Luận án Dáng điệu tiệm cận của một số hệ vi phân đa trị trong không gian vô hạn chiều

ức l  ut(s) = u(t+ s); s 2 [h; 0]. Để nghi¶n cứu t½nh ổn định cho lớp b i to¡n n y, chóng tæi đưa ra kh¡i 74 niệm sau đ¥y về t½nh ổn định yếu của nghiệm khæng của b i to¡n (4.1)-(4.3): Kþ hiệu (φ) l  tập nghiệm của b i to¡n (4.1)-(4.3) ứng với điều kiện ban đầu φ sao cho 0 2 (0). Nghiệm khæng của b i to¡n (4.1)-(4.3) được gọi l  ổn định tiệm cận yếu nếu nâ l  1) ổn định: với mọi ϵ > 0, tồn tại  > 0 sao cho nếu ∥φ∥h <  th¼ ∥ut∥h < ϵ với mọi u 2 (φ) v  t > 0, ở đ¥y ∥
∥h kþ hiệu chuẩn sup trong C([h; 0];X); 2) hót yếu: với mọi φ 2 B, tồn tại u 2 (φ) thỏa m¢n ∥ut∥h ! 0 khi t! +1. 4.2. KHÆNG GIAN H€M V€ ĐỘ ĐO X²t E = PC(J ;X) l  khæng gian c¡c h m x¡c định tr¶n J  R v  nhận gi¡ trị trong X sao cho  u li¶n tục tr¶n J n ftk : k 2 g;  tồn tại u(t+k ) = lim t!t+k u(t) v  u(tk ) = lim t!tk u(t) sao cho u(tk ) = u(tk). Nếu J l  một khoảng compact, PC(J ;X) còng với chuẩn ∥u∥PC = sup t2J ∥u(t)∥; l  một khæng gian Banach. Gọi PC l  độ đo Hausdorff tr¶n PC(J ;X), ta câ c¡c t½nh chất sau (xem [40]): với mọi tập bị chặn D  PC(J ;X),  supt2J (D(t))  PC(D), với D(t) = fu(t) : d 2 Dg;  Nếu D l  tập đồng li¶n tục tr¶n mỗi khoảng (tk1; tk]  J th¼ PC(D) = supt2J (D(t)). Trong trường hợp J l  nửa trục, tức l  J = [h;+1), ta x²t khæng gian PCϱ([h;+1);X) = fu 2 PC([h;+1);X) : lim t!+1 u(t) ϱ(t) = 0g; 75 trong đâ ϱ : R+ ! [1;+1) l  một h m li¶n tục v  khæng giảm. Ta câ PCϱ([h;+1);X) còng với chuẩn ∥u∥ϱ = sup t2[h;0] ∥u(t)∥+ sup t0 ∥u(t)∥ ϱ(t) ; l  một khæng gian Banach. Tuy nhi¶n, trong trường hợp n y, chóng ta khæng x¡c định v  t½nh to¡n được độ đo Hausdorff tr¶n PCϱ. Do đâ, chóng ta phải x¥y dựng một độ đo mới câ t½nh chất đơn điệu, khæng suy biến v  ch½nh quy tr¶n khæng gian n y. Với u 2 PCϱ, kþ hiệu T (u) l  hạn chế của u tr¶n [h; T ], tức l  T (u) 2 PC([h; T ];X). Với D  PCϱ, đặt 1(D) = sup T>0 PC(T (D)); (4.4) d1(D) = lim T!+1 sup u2D sup tT ∥u(t)∥ ϱ(t) ; (4.5) (D) = 1(D) + d1(D): (4.6) Ta thấy rằng 1(
) v  d1(
) l  c¡c độ đo đơn điệu khæng suy biến, do đâ (
) cũng câ c¡c t½nh chất đâ. B¥y giờ ta chứng minh t½nh ch½nh quy của (
). Bổ đề 4.1. Nếu Ω  PCϱ([h;+1);X) l  một tập bị chặn thỏa m¢n (Ω) = 0, th¼ Ω l  tập compact tương đối. Chứng minh. Do d1(Ω) = 0, với ϵ > 0 bất kỳ, ta câ thể chọn T > 0 sao cho u(t)ϱ(t) < ϵ3 ; 8t  T; 8u 2 Ω: (4.7) Với fung l  một d¢y trong Ω, ta câ 1(fung) = 0, do đâ PC(T (fung)) = 0, tức l  funj[h;T ]g câ một d¢y con hội tụ trong PC([h; T ];X) (ta vẫn kþ hiệu l  n). Vậy, tồn tại N(ϵ) 2 N thỏa m¢n sup t2[h;0] ∥un(t) um(t)∥+ sup t2[0;T ] ∥un(t) um(t)∥ < ϵ 3 ; 8n;m  N(ϵ): 76 Như vậy, sup t2[h;0] ∥un(t) um(t)∥+ sup t2[0;T ] un(t)ϱ(t) um(t)ϱ(t) < ϵ3 ; 8n;m  N(ϵ): (4.8) Kết hợp (4.7)-(4.8), ta câ ∥un um∥ϱ = sup t2[h;0] ∥un(t) um(t)∥+ sup t0 un(t)ϱ(t) um(t)ϱ(t)  sup t2[h;0] ∥un(t) um(t)∥+ sup t2[0;T ] un(t)ϱ(t) um(t)ϱ(t) + sup tT un(t)ϱ(t) um(t)ϱ(t)  sup t2[h;0] ∥un(t) um(t)∥+ sup t2[0;T ] un(t)ϱ(t) um(t)ϱ(t) + sup tT un(t)ϱ(t) + sup tT um(t)ϱ(t)  ϵ 3 + ϵ 3 + ϵ 3 = ϵ; với mọi n;m  N(ϵ). Do đâ fung l  d¢y Cauchy trong PCϱ([h;+1);X). Ta câ điều phải chứng minh. Gọi (t; s) l  một họ c¡c to¡n tử tuyến t½nh bị chặn tr¶n X với t; s 2 [0; T ]; s  t. Kết quả sau đ¥y đ¢ được chứng minh trong [67, Bổ đề 1]. Mệnh đề 4.1. Giả thiết rằng  thỏa m¢n c¡c điều kiện sau: (1) tồn tại một h m  2 Lq(0; T ); q > 1 sao cho ∥(t; s)∥  (t s) với mọi t; s 2 [0; T ]; s  t; (2) ∥(t; s) (r; s)∥  ϵ với 0  s  r ϵ; r < t = r + h  T , trong đâ ϵ = ϵ(h)! 0 khi h! 0. Khi đâ, to¡n tử S : Lq ′ (0; T ;X)! C([0; T ];X) được định nghĩa bởi (Sg)(t) := ∫ t 0 (t; s)g(s)ds biến mỗi tập bị chặn th nh một tập li¶n tục đồng bậc, trong đâ q′ l  số mũ li¶n hợp của q, tức l  1q + 1 q′ = 1. 77 Với p > 1 , ta x¡c định to¡n tử tuyến t½nh Q : L p(0; T ;X)! C([0; T ];X); Q(f)(t) = ∫ t 0 (t s)1P(t s)f(s)ds: (4.9) Mệnh đề 4.2. Giả sử nửa nhâm W (
) sinh bởi A l  li¶n tục theo chuẩn. Khi đâ: 1) Với mỗi tập bị chặn Ω  Lp(0; T ;X), Q(Ω) l  một tập li¶n tục đồng bậc trong C([0; T ];X). Hơn nữa, ta câ ước lượng sau PC(Q(Ω))  4 sup t2[0;T ] ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥
(Ω(s))ds: 2) Nếu ffng  Lp(0; T ;X) l  một d¢y nửa compact, tức l  ffn(t) : n  1g  K(t) với K(t) l  họ c¡c tập compact, v  ∥fn(t)∥  (t) với hầu khắp t 2 [0; T ] với  2 Lp(0; T ), th¼ fQ(fn)g l  compact tương đối trong C([0; T ];X). Hơn nữa, nếu fn ⇀ f trong Lp(0; T ;X) th¼ Q(fn) ! Q(f) trong C([0; T ];X). Chứng minh. (1) Do W (
) l  li¶n tục theo chuẩn, ta câ P(
) cũng li¶n tục theo chuẩn (xem [78]). Vậy (t; s) = (ts)1P(ts) thỏa m¢n (1) (2) trong Mệnh đề 4.1. Do đâ, chóng ta câ t½nh li¶n tục đồng bậc của Q(Ω). Khi đâ PC(Q(Ω)) = sup t2[0;T ] (Q(Ω)(t)): p dụng Mệnh đề 1.5, ta câ PC(Q(Ω)) = sup t2[0;T ]  (∫ t 0 (t s)1P(t s)Ω(s)ds )  4 sup t2[0;T ] ∫ t 0  ( (t s)1P(t s)Ω(s) ) ds  4 sup t2[0;T ] ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥
 (Ω(s)) ds: 78 (2) Từ chứng minh tr¶n, d¢y fQ(fn)g l  li¶n tục đồng bậc. Hơn nữa, ta câ  (fQ(fn)(t)g) =  ({∫ t 0 (t s)1P(t s)fn(s)ds })  4 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥
 (ffn(s)g) ds = 0; do Mệnh đề 1.5. Như vậy fQ(fn)(t)g l  một tập tiền compact, với mỗi t 2 [0; T ]. p dụng Định l½ Arzel -Ascoli, fQ(fn)g l  tiền compact trong C([0; T ];X). Khẳng định cuối còng được chứng minh như sau. Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta câ Q : Lp(0; T ;X)! C([0; T ];X) l  bị chặn, suy ra nâ li¶n tục. Do đâ, nâ li¶n tục theo tæpæ yếu (xem [15, Định l½ 3.10]), tức l  Q(fn)⇀ Q(f) trong C([0; T ];X). Từ t½nh tiền compact của fQ(fn)g, ta câ sự hội tụ n y l  mạnh trong C([0; T ];X). Định l½ được chứng minh. 4.3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TR–N NỬA TRỤC Trong mục n y, ta x²t ϱ(t) = et với  > 0. Với b i to¡n (4.1)-(4.3), x²t c¡c giả thiết: (A) C0-nửa nhâm fW (t)gt0 sinh bởi A l  li¶n tục theo chuẩn v  bị chặn to n cục, tức l  ∥W (t)x∥ MA∥x∥; 8t  0; x 2 X: (F) Th nh phần phi tuyến F : R+ X  C([h; 0];X)! P(X) thỏa m¢n: 1) ¡nh xạ đa trị (v; w) 7! F (t; v; w) l  nửa li¶n tục tr¶n với mỗi t 2 R+; 2) ¡nh xạ đa trị t 7! F (t; u(t); ut) câ h m chọn đo được mạnh với mỗi u 2 PCϱ; 3) tồn tại h m m 2 Lploc(R+) thỏa m¢n ∥F (t; v; w)∥ = supf∥∥ :  2 F (t; v; w)g  m(t)(∥v∥+∥w∥h); 79 với mọi (t; v; w) 2 R+ X  C([h; 0];X); 4) nếu W (
) khæng compact, tồn tại k 2 Lploc(R+) sao cho (F (t; V;W ))  k(t) [ (V ) + sup t2[h;0] (W (t)) ] ; với hầu khắp t 2 R+, v  mọi tập bị chặn V  X;W  C([h; 0];X). (G) H m g : PCϱ ! C([h; 0];X) li¶n tục v  thỏa m¢n 1) ∥g(u)∥h  g(∥u∥ϱ) với mọi u 2 PCϱ, trong đâ g l  một h m thực x¡c định tr¶n R+; 2) tồn tại số khæng ¥m  thỏa m¢n h(g(D))  
1(D) với mọi tập bị chặn D  PCϱ, trong đâ h l  độ đo Hausdorff trong C([h; 0];X). ( I) H m Ik : X ! X; k 2 ; li¶n tục v  thỏa m¢n: 1) tồn tại d¢y số thực khæng ¥m flkgk2 sao cho ∑ k2 lk <1 v  ∥Ik(x)∥  lk ∥x∥; với mọi x 2 X; k 2 : 2) Tồn tại d¢y số thực khæng ¥m fkgk2 sao cho (Ik(B))  k(B); với mọi tập bị chặn B  X; 3) D¢y ftk : k 2 g thỏa m¢n infk2(tk+1 tk) > 0. Với u 2 PCϱ, đặt PpF (u) = ff 2 Lploc(R+;X) : f(t) 2 F (t; u(t); ut) hầu khắp t 2 R+g: Định nghĩa 4.1. H m u : [h;+1)! X được gọi l  một nghiệm t½ch ph¥n của b i to¡n (4.1)-(4.3) nếu u(t) + g(u)(t) = φ(t) với t 2 [h; 0], v  tồn tại 80 f 2 PpF (u) sao cho u(t) = S(t)[φ(0) g(u)(0)] + ∑ 0<tk<t S(t tk)Ik(u(tk)) + ∫ t 0 (t s)1P(t s)f(s)ds; với t > 0. Với φ 2 C([h; 0];X) cho trước, đặt F : PCϱ ! P(PCϱ) l  ¡nh xạ đa trị x¡c định bởi F(u)(t) = 8>>>>>>>>>: φ(t) g(u)(t); t 2 [h; 0]; S(t)[φ(0) g(u)(0)] + ∑ 0<tk<t S(t tk)Ik(u(tk)) + {∫ t 0 (t s)1P(t s)f(s)ds : f 2 PpF (u) } ; t > 0: Khi đâ, u l  một nghiệm t½ch ph¥n của b i to¡n (4.1)-(4.3) nếu v  chỉ nếu nâ l  một điểm bất động của to¡n tử nghiệm F . Đầu ti¶n, để kiểm tra t½nh đâng của F , ta chứng minh bổ đề sau đ¥y. Bổ đề 4.2. Giả sử rằng (F) thỏa m¢n. Nếu fvng  PCϱ với vn ! v v  fn 2 PpF (vn) th¼ fn ⇀ f trong L1loc(R+;X) với f 2 PpF (v). Chứng minh. X²t fvng  PCϱ m  vn ! v; fn 2 PpF (vn). Ta câ ffn(t)g  C(t) := F (t; fvn(t); (vn)tg), l  một tập compact với hầu khắp t 2 R+, do giả thiết (F)(1). Với T > 0 cho trước, từ giả thiết (F)(3), ta câ ffnj[0;T ]g bị chặn bởi một h m Lp-khả t½ch. Theo [33, Hệ quả 3.3], ffng l  tập compact yếu trong Lp(0; T ;X). Do đâ, câ thể giả sử fn ⇀ f1 2 Lp(0; T ;X). p dụng Bổ đề Mazur (xem [15]), tồn tại d¢y ~fn 2 coffi : i  ng sao cho ~fn ! f1 trong Lp(0; T ;X). V¼ vậy ~fn(t) ! f1(t) hầu khắp t 2 [0; T ]. Do F nhận gi¡ trị compact v  F (t;
;
) l  nửa li¶n tục tr¶n, ta câ với ϵ > 0 F (t; vn(t); (vn)t)  F (t; v(t); vt ) +Bϵ 81 với mọi n đủ lớn, ở đ¥y Bϵ l  h¼nh cầu trong X câ t¥m ở gốc tọa độ v  b¡n k½nh ϵ. Vậy fn(t) 2 F (t; v(t); vt ) +Bϵ; hầu khắp t 2 [0; T ]: Do t½nh lồi của F (t; v(t); vt )+Bϵ, bao h m thức tr¶n vẫn đóng khi thay fn(t) bởi ~fn(t). Vậy, f1(t) 2 F (t; v(t); vt )+Bϵ với hầu khắp t 2 [0; T ]. Do ϵ l  bất kỳ, ta thu được f1(t) 2 F (t; v(t); vt ) với hầu khắp t 2 [0; T ]. Lặp lại l½ luận ở tr¶n cho t 2 [(j1)T; jT ]; j = 1; 2; ::: ta câ fn ⇀ f j trong Lp((j 1)T; jT ;X) với f j(t) 2 F (t; v(t); vt ) với hầu khắp t 2 [(j 1)T; jT ]. Ta x¡c định f 2 Lploc(R+;X) như sau f(t) = f j(t) nếu t 2 [(j 1)T; jT ]; ta câ được điều phải chứng minh. B¥y giờ, ta sẽ chứng minh t½nh đâng của to¡n tử nghiệm. Bổ đề 4.3. Giả sử rằng (A), (F), (G) v  (I) thỏa m¢n. Khi đâ, to¡n tử nghiệm F l  đâng. Chứng minh. X²t fvng  PCϱ l  một d¢y hội tụ tới v v  zn 2 F(vn) sao cho zn ! z. Ta sẽ chứng minh z 2 F(v). Từ định nghĩa của F , ta lấy fn 2 PpF (vn) sao cho zn(t) = 8>>>>>>>>>: φ(t) g(vn)(t); t 2 [h; 0]; S(t)[φ(0) g(vn)(0)] + ∑ 0<tk<t S(t tk)Ik(vn(tk)) +Q(fn)(t); t > 0; (4.10) trong đâ Q đ¢ được định nghĩa trong (4.9). Từ Bổ đề 4.2, fn ⇀ f trong 82 Lploc(R+;X) với f 2 PpF (v). Ta sẽ chứng minh z(t) = 8>>>>>>>>>: φ(t) g(v)(t); t 2 [h; 0]; S(t)[φ(0) g(v)(0)] + ∑ 0<tk<t S(t tk)Ik(v(tk)) +Q(f )(t); t > 0: (4.11) Với t 2 [h; 0], do g li¶n tục, ta câ ngay điều cần chứng minh. Với t > 0, lấy T > 0 sao cho t  T , l½ luận tương tự như trong chứng minh Bổ đề 4.2, ta câ d¢y ffnj[0;T ]g l  nửa compact. p dụng Mệnh đề 4.2, Q(fn) ! Q(f) trong C([0; T ];X) v  Q(fn)(t)! Q(f)(t) trong X. Do t½nh li¶n tục của g v  Ik, chuyển qua giới hạn trong (4.10) ta thu được (4.11). Định l½ được chứng minh. Từ đ¥y, ta sẽ chứng minh t½nh n²n của to¡n tử nghiệm. Bổ đề 4.4. Giả thiết như trong Bổ đề 4.3. Nếu ℓ := MA +MA ∑ k2 k + 8 sup t0 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥k(s)ds <1; (4.12) ta câ 1(F(D))  ℓ
1(D); với mọi tập bị chặn D  PCϱ. Chứng minh. X²t D  PCϱ l  một tập bị chặn. Với v 2 D, ta biểu diễn 83 F(v) = F1(v) + F2(v) + F3(v), trong đâ F1(v)(t) = 8>:S(t)[φ(0) g(v)(0)]; t > 0;φ(t) g(v)(t); t 2 [h; 0]; F2(v)(t) = 8>>>: ∑ 0<tk<t S(t tk)Ik(v(tk)); t > 0; 0; t 2 [h; 0]; F3(v)(t) = 8>:Q ◦ P p F (v)(t); t > 0; 0; t 2 [h; 0]: Từ t½nh chất nửa cộng t½nh đại số của 1, ta câ 1(F(D))  1(F1(D)) + 1(F2(D)) + 1(F3(D)): Với z1; z2 2 F1(D), tồn tại u1; u2 2 D để z1(t) = 8>:S(t)[φ(0) g(u1)(0)]; t  0;φ(t) g(u1)(t); t 2 [h; 0] z2(t) = 8>:S(t)[φ(0) g(u2)(0)]; t  0;φ(t) g(u2)(t); t 2 [h; 0]: Do đâ ∥z1(t) z2(t)∥  8>:∥S(t)∥∥g(u1) g(u2)∥h; t  0;∥g(u1) g(u2)∥h; t 2 [h; 0]: Ta thu được jjz1 z2jj MA∥g(u1) g(u2)∥h: Vậy PC(F1(D)) MAh(g(D)): 84 p dụng (G)(2), ta câ 1(F1(D))  MA 1(D): (4.13) B¥y giờ, ta x²t z1; z2 2 F2(D), khi đâ tồn tại u1; u2 2 D thỏa m¢n z1(t) z2(t) = ∑ 0<tk<t S(t tk)[Ik(u1(tk)) Ik(u2(tk))]: Do đâ jjz1 z2jj MA ∑ k2 jjIk(u1(tk)) Ik(u2(tk))jj: Vậy 1(F2(D)) MA ∑ k2 (Ik(D(tk))) MA ∑ k2 k(D(tk))  ( MA ∑ k2 k ) 1(D); (4.14) do giả thiết (I)(2). X²t F3(D), ta câ Ω = PpF (D)j[0;T ] bị chặn Lp(0; T ;X), do đâ T (F3(D)) = Q(Ω); v  ta câ đ¡nh gi¡ PC(T (F3(D)))  4 sup t2[0;T ] ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥
(Ω(s))ds; (4.15) do Mệnh đề 4.2. Từ (F)(4), ta câ (Ω(s))  (F (s;D(s); Ds))  k(s)[(D(s)) + sup r2[h;0] (D(s+ r))]  2k(s)PC(T (D)): 85 Thế v o (4.15), ta thu được PC(T (F3(D)))  ( 8 sup t2[0;T ] ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥k(s)ds ) PC(T (D)): Do đâ 1(F3(D))  ( 8 sup t0 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥k(s)ds ) 1(D): (4.16) Kết hợp (4.13)-(4.14) v  (4.16), ta thu được 1(F(D))  ℓ
1(D); (4.17) trong đâ ℓ được x¡c định bởi (4.12). Định l½ được chứng minh. Bổ đề 4.5. Giả thiết như trong Bổ đề 4.3. Giả sử # := sup t>0 ∫ t 0 ∥P(t s)∥ ϱ(t s) m(s)ds <1; (4.18)  := sup t>0 ∫ t t (t s)1∥P(t s)∥ ϱ(t s) m(s)ds <1; (4.19) với  2 (0; 1), khi đâ d1(F(D))  2
d1(D); (4.20) với mọi tập bị chặn D  PCϱ. Chứng minh. X²t D  PCϱ l  một tập bị chặn. Sử dụng ph¥n t½ch F = F1 + F2 + F3 như trong chứng minh Bổ đề 4.4, ta sẽ chứng minh d1(F1(D)) = d1(F2(D)) = 0: Với ϵ > 0 cho trước, ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại T > 0 sao cho ∥Fi(v)(t)∥ ϱ(t) < ϵ; 8t  T; v 2 D; i = 1; 2: 86 Chọn R > 0 thỏa m¢n supf∥v∥ϱ : v 2 Dg  R, ta câ, với t > 0 ∥F1(v)(t)∥ ϱ(t)  ∥S(t)∥ ϱ(t) (∥φ∥h + ∥g(v)∥h)  MA ϱ(t) (∥φ∥h + g(∥v∥ϱ))  ∥S(t)∥ ϱ(t) (∥φ∥h + g(R)) < ϵ; for all t  T1; 8v 2 D; do ∥S(t)∥ϱ(t) ! 0 khi t! +1. X²t F2, chọn N0 2  sao cho RMA ∑ k>N0 lk < ϵ 2 : (4.21) Chọn T2 > 0 thỏa m¢n ∥S(t)∥ ϱ(t) R ∑ kN0 lk < ϵ 2 ; 8t  T2: (4.22) Khi đâ với mỗi v 2 D, từ (I)(2) ta câ ∥F2(v)(t)∥ ϱ(t)  1 ϱ(t) ∑ k2 ∥S(t tk)∥∥Ik(v(tk))∥  1 ϱ(t) ∑ k2 ∥S(t tk)∥lk∥v(tk)∥  R ϱ(t) ∑ kN0 ∥S(t tk)∥lk + RMA ϱ(t) ∑ k>N0 lk  R ∑ kN0 ∥S(t tk)∥ ϱ(t tk) lk +RMA ∑ k>N0 lk < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ; 8t  T2 + tN0 : do (4.21)-(4.22) v  ϱ(
) l  khæng giảm, ϱ(t)  1; 8t  0. B¥y giờ, ta sẽ đ¡nh gi¡ d1(F3(D)). Lấy z 2 F3(v); v 2 D. Chọn f 2 PpF (v) sao cho z(t) = ∫ t 0 (t s)1P(t s)f(s)ds; t > 0; 87 ta câ ∥z(t)∥ ϱ(t)  ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥ ϱ(t s) ∥f(s)∥ ϱ(s) ds  (∫ t 0 + ∫ t t ) (t; s)ds; (4.23) trong đâ (t; s) = (t s)1∥P(t s)∥m(s) ϱ(t s) ∥v(s)∥+ ∥vs∥h ϱ(s) ; do (G)(1) v  (F)(3). Lấy t > 0 sao cho t h > 0. Ta câ, với s 2 [0; t], ∥v(s)∥+ ∥vs∥h ϱ(s) = 1 ϱ(s) (∥v(s)∥+ sup 2[h;0] ∥v(s+ )∥)  1 ϱ(s) (∥v(s)∥+ sup 2[h;0] ∥v()∥+ sup 2[0;s] ∥v()∥)  sup 2[h;0] ∥v()∥+ 1 ϱ(s) (∥v(s)∥+ sup 2[0;s] ∥v()∥)  sup 2[h;0] ∥v()∥+ ∥v(s)∥ ϱ(s) + sup 2[0;s] ∥v()∥ ϱ()  2R: Do đâ ∫ t 0 (t; s)ds  2R ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥ ϱ(t s) m(s)ds  2R [(1 )t]1 ∫ t 0 ∥P(t s)∥ ϱ(t s) m(s)ds  2R# [(1 )t]1 ; (4.24) trong đâ # được cho trong (4.18). Mặt kh¡c, với s  t ta câ ∥v(s)∥+ ∥vs∥h ϱ(s) = 1 ϱ(s) (∥v(s)∥+ sup 2[h;0] ∥v(s+ )∥)  ∥v(s)∥ ϱ(s) + sup 2[h;0] ∥v(s+ )∥ ϱ(s+ )  sup rt ∥v(r)∥ ϱ(r) + sup rth ∥v(r)∥ ϱ(r)  2 sup rth ∥v(r)∥ ϱ(r) : 88 Khi đâ∫ t t (t; s)ds  (∫ t t (t s)1∥P(t s)∥ ϱ(t s) m(s)ds ) 2 sup rth ∥v(r)∥ ϱ(r)  2 sup rth ∥v(r)∥ ϱ(r) ; (4.25) trong đâ  được định nghĩa trong (4.19). p dụng c¡c đ¡nh gi¡ (4.24)-(4.25) v o (4.23), ta câ ∥z(t)∥ ϱ(t)  2R# [(1 )t]1 + 2 suprth ∥v(r)∥ ϱ(r) ; với mọi t > h , v 2 D; z 2 F3(v). Từ bất đẳng thức cuối suy ra d1(F3(D))  2
d1(D): Bổ đề được chứng minh. Kết hợp c¡c Bổ đề 4.4 v  4.5, ta thu được bổ đề sau. Bổ đề 4.6. Giả sử rằng (A), (F), (G) v  (I) thỏa m¢n. Khi đâ, to¡n tử nghiệm F l  -n²n với điều kiện ℓ = MA +MA ∑ k2 k + 8 sup t0 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥k(s)ds < 1; (4.26) # = sup t>0 ∫ t 0 ∥P(t s)∥ ϱ(t s) m(s)ds <1; (4.27)  = sup t>0 ∫ t t (t s)1∥P(t s)∥ ϱ(t s) m(s)ds < 1 2 ; (4.28) với  2 (0; 1). Chứng minh. Từ Mệnh đề 4.4 v  4.5, với mọi tập bị chặn D  PCϱ, ta câ 1(F(D)) + d1(F(D))  maxfℓ; 2g
(1(D) + d1(D)): Vậy (F(D))  maxfℓ; 2g
(D): 89 Nếu (F(D))  (D) th¼ (D)  maxfℓ; 2g
(D), như vậy (D) = 0 do maxfℓ; 2g < 1. Khi đâ D l  tập compact tương đối. Định l½ 4.1. Giả thiết như trong Bổ đề 4.6. Giả sử (1 +MA) lim inf r!+1 g(r) r +MA ∑ k2 lk + 2 sup t>0 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥m(s) ϱ(t s) ds < 1; (4.29) khi đâ, b i to¡n (4.1)-(4.3) câ ½t nhất một nghiệm t½ch ph¥n trong PCϱ. Chứng minh. Từ Bổ đề 4.3, ta câ F l  đâng. Hơn nữa, F l  -n²n do Bổ đề 4.6. Ngo i ra, F nhận gi¡ trị compact. Thật vậy, với v 2 PCϱ, ta câ (F(v))  maxfℓ; g
(fvg) = 0: Tức l  (F(v)) = 0 v  do đâ F(v) l  tập tiền compact do Bổ đề 4.1. Từ t½nh đâng của F , ta câ F(v) l  compact. Để ¡p dụng Định l½ 1.5, ta cán phải chứng minh rằng tồn tại R > 0 sao cho F(BR)  BR; trong đâ BR l  h¼nh cầu trong PCϱ, t¥m tại gốc tọa độ, b¡n k½nh R. Đầu ti¶n, ta sẽ kiểm tra F(PCϱ)  PCϱ. Lấy v 2 PCϱ, th¼ d1(fvg) = 0. Sử dụng (4.20), ta câ d1(F(v)) = 0. Từ đâ ta câ F(v)  PCϱ. B¥y giờ, ta sẽ chứng minh tồn tại R > 0 thỏa m¢n F(BR)  BR. Giả sử ngược lại, với mỗi n 2 N, tồn tại vn 2 Bn v  zn 2 F(vn) sao cho ∥zn∥ϱ > n. Chọn fn 2 PpF (vn) thỏa m¢n zn(t) = 8>>>>>>>>>: φ(t) g(vn)(t); t 2 [h; 0]; S(t)[φ(0) g(vn)(0)] + ∑ 0<tk<t S(t tk)Ik(vn(tk)) + ∫ t 0 (t s)1P(t s)fn(s)ds; t > 0; 90 ta thu được, với mọi t  0, ∥zn(t)∥ ϱ(t) ∥S(t)∥ ϱ(t) [∥φ∥h + g(∥vn∥ϱ)] + ∑ 0<tk<t ∥S(t tk)∥ ϱ(t tk) ∥vn(tk)∥ ϱ(tk) lk + ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥ ϱ(t s) ∥vn(s)∥+ ∥(vn)s∥h ϱ(s) m(s)ds; nhờ c¡c giả thiết (G)(1), (I)(2) v  (F)(3). Do ∥S(t)∥ ϱ(t) MA; 8t  0; ∥vn(s)∥ ϱ(s)  n; 8s  0; ∥(vn)s∥h ϱ(s)  1 ϱ(s) sup 2[h;0] ∥vn(s+ )∥  sup 2[h;0] 1 ϱ(s+ ) ∥vn(s+ )∥  ∥vn∥ϱ  n; ta câ ∥zn(t)∥ ϱ(t) MA(∥φ∥h + g(n)) + nMA ∑ k2 lk + 2n ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥ ϱ(t s) m(s)ds: Từ đâ, ta câ 1 < ∥zn∥ϱ n = 1 n ( ∥zn∥h + sup t>0 ∥zn(t)∥ ϱ(t) )  (1 +MA)(∥φ∥h + g(n)) n +MA ∑ k2 lk + 2 sup t>0 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥ ϱ(t s) m(s)ds: Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức cuối, ta thu được điều m¥u thuẫn với (4.29). Định l½ được chứng minh. 4.4. TNH ỔN ĐỊNH YẾU Trong mục n y, để chứng minh t½nh ổn định yếu của nghiệm khæng, ta phải thay c¡c giả thiết (A), (F) and (G) bởi c¡c giả thiết mạnh hơn: 91 (A*) Nửa nhâm W (
) sinh bởi A l  li¶n tục theo chuẩn v  ổn định mũ, tức l  tồn tại  > 0 sao cho ∥W (t)x∥ MAet∥x∥; 8t  0; x 2 X: (F*) H m phi tuyến đa trị F thỏa m¢n (F) với m 2 L1(R+) \ Lploc(R+). (G*) H m khæng cục bộ g thỏa m¢n (G) với g(r) = 
r;8r  0, ở đ¥y  l  một hằng số dương. Ta câ mệnh đề sau đ¥y. Mệnh đề 4.3. [5] Nếu giả thiết (A*) thỏa m¢n, th¼ c¡c to¡n tử giải thức S(
); P(
) l  ổn định tiệm cận, tức l  ∥S(t)∥; ∥P(t)∥ ! 0 khi t! +1: Như vậy, trong mục n y, chọn ϱ(t)  1 với mọi t  0, ta câ ∥S(t)∥ ϱ(t) ; ∥P(t)∥ ϱ(t) ! 0 khi t! +1: X²t khæng gian PC0 = fu 2 PC([h;+1);X) : lim t!+1u(t) = 0g; với chuẩn ∥u∥1 = sup th ∥u(t)∥: Khi đâ, PC0 l  một khæng gian Banach. X²t ¡nh xạ nghiệm F tr¶n PC0 v  l½ luận tương tự như trong Mục 4.3., ta chứng minh được sự tồn tại của nghiệm hót to n cục như sau. Định l½ 4.2. Giả sử (A*), (F*), (G*) v  (I) thỏa m¢n. Khi đâ, b i to¡n (4.1)-(4.3) câ nghiệm t½ch ph¥n thỏa m¢n ∥u(t)∥ = o(1) khi t! +1, với điều 92 kiện ℓ = MA +MA ∑ k2 k + 8 sup t0 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥k(s)ds < 1; (4.30) ϖ = (1 +MA) +MA ∑ k2 lk + 2 sup t>0 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥m(s)ds < 1: (4.31) Chứng minh. Trong trường hợp n y, c¡c giả thiết của Bổ đề 4.6 v  Định l½ 4.1 đều thỏa m¢n. Dom 2 L1(R+), ta câ điều kiện (4.27) thỏa m¢n. Hơn nữa, điều kiện (4.28) được suy ra từ (4.31), trong khi điều kiện (4.31) ch½nh l  (4.29). Như vậy, ta câ ngay điều phải chứng minh. Sau đ¥y l  định l½ ch½nh của mục n y. Định l½ 4.3. Với c¡c giả thiết của Định l½ 4.2 thỏa m¢n. Khi đâ, nghiệm khæng của b i to¡n (4.1)-(4.3) l  ổn định tiệm cận yếu. Chứng minh. Đặt (φ) l  tập c¡c nghiệm t½ch ph¥n của b i to¡n (4.1)-(4.3) với điều kiện ban đầu φ. Ta thấy 0 2 (0) do F (t; 0; 0) = 0, g(0) = 0 v  Ik(0) = 0; k 2 . Từ Định l½ 4.2 ta câ, với mỗi φ 2 C([h; 0];X) tồn tại u 2 (φ) sao cho ∥u(t)∥ ! 0 khi t ! +1. Do đâ, ta câ ∥ut∥h ! 0 khi t ! +1, tức l  nghiệm khæng l  hót yếu. Như vậy, ta cán phải chứng minh rằng nghiệm n y l  ổn định. X²t φ 2 C([h; 0];X) v  u 2 (φ), khi đâ, tồn tại f 2 PpF (u) sao cho u(t) = φ(t) g(u)(t); t 2 [h; 0]; u(t) = S(t)[φ(0) g(u)(0)] + ∑ 0<tk<t S(t tk)I(u(tk)) + ∫ t 0 (t s)1P(t s)f(s)ds; t > 0: 93 Sử dụng c¡c giả thiết (F*), (G*) v  (I), ta câ ∥u(t)∥  ∥φ∥h + ∥u∥1; t 2 [h; 0]; ∥u(t)∥ MA(∥φ∥h + ∥u∥1) +MA∥u∥1 ∑ k2 lk + 2∥u∥1 sup t>0 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥m(s)ds; t > 0; trong đâ ∥
∥1 l  chuẩn trong PC0. Từ c¡c ước lượng n y, ta câ ∥u∥1  [ (1 +MA) +MA ∑ k2 lk + 2 sup t>0 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥m(s)ds ] ∥u∥1 + (1 +MA)∥φ∥h: Do đâ ∥ut∥h  ∥u∥1  1 +MA 1ϖ ∥φ∥h; 8t > 0; trong đâ ϖ được cho trong (4.31). Bất đẳng thức cuối n y cho ta t½nh ổn định của nghiệm khæng. Như vậy, định l½ được chứng minh. 4.5. P DỤNG Ở mục n y, chóng tæi ¡p dụng c¡c kết quả trừu tượng đạt được ở tr¶n cho một hệ vi ph¥n lưới d dt ui(t) = (Au(t))i + fi(t); t > 0; t ̸= tk; k 2 N; (4.32) fi(t) 2 [f1i(t; ui(t); ui(t (t))); f2i(t; ui(t); ui(t (t)))]; (4.33) ∆ui(tk) = Iik(ui(tk)); (4.34) ui(s) + N∑ j=1 cjui(j + s) = φi(s); s 2 [h; 0]; j > 0; (4.35) trong đâ u = (ui) : [h;+1) ! ℓ2, d dt l  đạo h m theo nghĩa Caputo bậc  2 (0; 1), A : ℓ2 ! ℓ2 l  to¡n tử tuyến t½nh x¡c định bởi (Av)i = vi+1 (2 + )vi + vi1; v 2 ℓ2; 94  : R+ ! [0; h] l  một h m li¶n tục,  l  một số dương. Ở đ¥y ℓ2 l  khæng gian c¡c d¢y (vi)i2Z thỏa m¢n ∑ i2Z v 2 i <1, v  l  một khæng gian Hilbert với t½ch væ hướng (u; v)ℓ2 = ∑ i2Z uivi, k½ hiệu [f1; f2] = ff1 + (1 )f2 :  2 [0; 1]g. Hệ vi ph¥n dạng lưới như (4.32)-(4.35) xuất hiện trong nhiều b i to¡n thực tiễn, v½ dụ như xử l½ ảnh, b i to¡n nhận dạng mẫu, kỹ thuật điện,... Nâ cũng câ thể được coi như một mæ h¼nh nửa rời rạc của bao h m thức đạo h m ri¶ng bậc ph¥n số @ @t u(x; t) = @2 @x2 u(x; t) u(x; t) + f(x; t); x 2 R; t > 0; f(x; t) 2 [f1(x; t; u(x; t); u(x; t (t))); f2(x; t; u(x; t); u(x; t (t)))]; ∆u(x; tk) = Ik(x; u(x; tk)); u(x; s) + N∑ j=1 cju(x; j + s) = φ(x; s); s 2 [h; 0]; trong đâ ta rời rạc hâa biến x. X²t B : ℓ2 ! ℓ2 l  to¡n tử tuyến t½nh định nghĩa bởi (Bv)i = vi+1 vi, th¼ B được x¡c định bởi (Bv)i = vi1 vi. Hơn nữa, nếu ~A : ℓ2 ! ℓ2 được x¡c định bởi ( ~Av)i = vi+1 2vi + vi1 th¼ ~A = BB = BB: Ta câ A = ~A I l  to¡n tử bị chặn tr¶n ℓ2. Do đâ nửa nhâm fetA : t  0g l  li¶n tục đều (xem [34]) v  do đâ nâ li¶n tục theo chuẩn. Tuy nhi¶n, nửa nhâm n y l  khæng compact, do nâ câ thể mở rộng th nh nhâm fetA : t 2 Rg v  to¡n tử I = etAetA l  khæng compact. Để thu được kết quả ổn định mũ của fetA : t  0g, ta x²t hệ dv(t) dt = ~Av(t) v(t); v(t) 2 ℓ2: 95 Nh¥n hai vế với v ta câ 1 2 d dt ∥v(t)∥2 = ( ~Av(t); v(t)) ∥v(t)∥2 = (BBv(t); v(t)) ∥v(t)∥2 = ∥Bv(t)∥2 ∥v(t)∥2  ∥v(t)∥2: p dụng Bổ đề Gronwall ta câ ∥v(t)∥  et∥v(0)∥; v  do đâ ∥etA∥  et; t  0, tức l  nửa nhâm fetA : t  0g l  ổn định mũ. Như vậy, giả thiết (A*) thỏa m¢n. Trước khi x²t tới cấu tróc của hệ (4.32)-(4.35), ta nhắc lại về độ đo Haus- dorff trong ℓ2 (xem [10, Định l½ 4.2]). Gọi Rn : ℓ2 ! ℓ2 l  to¡n tử tuyến t½nh x¡c định bởi Rn(v) = ∑ jij>n viei; trong đâ ei = (ij)j2Z. Khi đâ  : 2ℓ 2 ! R+ được x¡c định bởi (B) = lim sup n!+1 [sup v2B ∥Rn(v)∥] = lim sup n!+1 [ sup v2B ( ∑ jij>n jvij2 ) 1 2 ] l  độ đo Hausdorff trong ℓ2. B¥y giờ ta x²t c¡c giả thiết (N1) C¡c h m f1i; f2i : R+  R2 ! R; i 2 Z; li¶n tục v  thỏa m¢n maxfjf1i(t; y; z)j2; jf2i(t; y; z)j2g  m2(t)(jyj2+jzj2);8(t; ; z) 2 R+R2; trong đâ m 2 C(R+;R+) thỏa m¢n m(t)  Cm 1 + t+1 với Cm > 0: (N2) C¡c h m Iik : R! R, i 2 Z; k 2 N, l  c¡c h m li¶n tục v  jIik(y)j  lkjyj; 96 với flk : k 2 Ng l  một d¢y khæng ¥m thỏa m¢n ∑ k2N lk <1. X²t f1; f2 : R+  ℓ2  C([h; 0]; ℓ2)! ℓ2 l  c¡c h m được x¡c định như sau f1(t; v; w) = (f1i(t; vi; wi((0))))i2Z; f2(t; v; w) = (f2i(t; vi; wi((0))))i2Z: Như vậy f1; f2 l  li¶n tục. Hơn nữa, từ (N1) ta câ ∥f1(t; v; w)∥2 = ∑ i2Z jf1i(t; vi; wi((0)))j2  m2(t) ∑ i2Z (jvij2 + jwi((0))j2) = m2(t)(∥v∥2 + ∥w((0))∥2  m2(t)(∥v∥2 + sup s2[h;0] ∥w(s)∥2): Tương tự ∥f2(t; v; w)∥2  m2(t)(∥v∥2 + sup s2[h;0] ∥w(s)∥2): Đặt F (t; v; w) = [f1(t; v; w); f2(t; v; w)]; v 2 ℓ2; w 2 C([h; 0]; ℓ2); ta câ ∥F (t; v; w)∥  m(t)(∥v∥+ ∥w∥h): Mặt kh¡c, với mỗi (t; v; w) 2 R+ ℓ2C([h; 0]; ℓ2), F (t; v; w) l  một tập lồi, tức l , F l  h m đa trị với gi¡ trị lồi. Ngo i ra, F (t; v; w)  spanff1(t; v; w); f2(t; v; w)g, tức l  F (t; v; w) l  một tập bị chặn nằm trong khæng gian con hai chiều của ℓ2, do đâ F (t; v; w) l  compact. Do f1; f2 li¶n tục, h m đa trị (v; w) 7! F (t; v; w) đâng. Điều n y k²o theo F (t;
;
) l  nửa li¶n tục tr¶n với mỗi t 2 R. Chó þ rằng với mỗi u 2 PC0,  2 [0; 1], h m f(t) = f1(t; u(t); u(t (t))) + (1 )f2(t; u(t); u(t (t)));  2 [0; 1] l  đo được mạnh. Vậy, (F)(1)-(F)(3) thỏa m¢n. 97 B¥y giờ, ta đ¡nh gi¡ (F (t; V;W )) với V  ℓ2;W  C([h; 0]; ℓ2) l  c¡c tập bị chặn. Ta câ sup (v;w)2VV ∥Rn[f1(t; v; w)]∥ = 0@∑ jij>n jf1i(t; vi; wi((0)))j2 1A 12  m(t) sup (v;w)2VV 0@∑ jij>n [jvij2 + jwi((0))j2] 1A 12  m(t) sup (v;w)2VV [0@∑ jij>n jvij2 1A 12 + 0@∑ jij>n jwi((0))j2 1A 12 ]  m(t) [ sup v2V 0@∑ jij>n jvij2 1A 12 + sup w2W 0@∑ jij>n jwi((0))j2 1A 12 ] = m(t) [ sup v2V ∥Rn(v)∥+ sup w2W ∥Rn(w((0)))∥ ] : Qua giới hạn bất đẳng thức cuối còng, ta được (f1(t; V;W ))  m(t) [ (V ) + (W ((0)))]  m(t)[(V ) + sup s2[h;0] (W (s)) ] : l½ luận tương tự cho f2, ta câ (f2(t; V;W ))  m(t) [ (V ) + sup s2[h;0] (W (s)) ] : Ta câ F (t; V;W )  coff1(t; V;W ) [ f2(t; V;W )g; n¶n (F (t; V;W ))   (f1(t; V;W ) [ f2(t; V;W ))  maxf (f1(t; V;W )) ;  (f2(t; V;W ))g  m(t)[(V ) + sup s2[h;0] (W (s)) ] : 98 Như vậy (F)(4) thỏa m¢n v  như vậy (F*) cũng được thỏa m¢n với k = m. Ta x²t Ik : ℓ2 ! ℓ2; k 2 N, x¡c định bởi Ik(v) = (Iik(vi))i2Z: Từ t½nh li¶n tục của Iik suy ra t½nh li¶n tục của Ik. Hơn nữa, từ (N2) ta câ ∥Ik(v)∥ = (∑ i2Z jIik(vi)j2 ) 1 2  lk (∑ i2Z jvij2 ) 1 2 = lk∥v∥: Do đâ (I)(1) được thỏa m¢n. Với V  ℓ2 l  một tập bị chặn. Ta câ sup v2V ∥Rn(Ik(v))∥ = sup v2V 0@∑ jij>n jIik(vi)j2 1A 12  lk sup v2V 0@∑ jij>n jvij2 1A 12 = lk sup v2V ∥Rn(v)∥: Qua giới hạn bất đẳng thức cuối khi n! +1, ta thu được (Ik(V ))  lk(V ): Như vậy, giả thiết (I) thỏa m¢n với k = lk; k 2 N; với điều kiện infftk+1 tk : k 2 Ng > 0. Đối với điều kiện khæng cục bộ, x²t h m g : PC0 ! C([h; 0]; ℓ2) x¡c định bởi (g(u)(s))i = N∑ j=1 cjui(j + s): Từ đâ ta câ, với u; v 2 PC0, ∥g(u)(s) g(v)(s)∥  N∑ j=1 jcj j∥u(j + s) v(j + s)∥  0@ N∑ j=1 jcj j 1A sup t2[h;N ] ∥u(t) v(t)∥: 99 Điều n y k²o theo ∥g(u) g(v)∥h  0@ N∑ j=1 jcj j 1A ∥u v∥PC([h;N ];ℓ2): Bất đẳng thức cuối n y cho ta ∥g(u)∥h  0@ N∑ j=1 jcj j 1A ∥u∥1; h(g(D))  0@ N∑ j=1 jcj j 1APC(T (D)); T = N ;  0@ N∑ j=1 jcj j 1A1(D): Do đâ (G*) thỏa m¢n với  =  = ∑N j=1 jcj j. Cuối còng, ta đưa ra ước lượng cho t½ch ph¥n I(t) = ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥m(s)ds: Chó þ rằng trong trường hợp n y ∥etA∥  1; do đâ ∥P(t)∥  1() ; 8t  0. Vậy I(t)  Cm () (∫ t 2 0 (t s)1 1 + s+1 ds+ ∫ t t 2 (t s)1 1 + s+1 ds )  Cm () (( t 2 )1 ∫ t 2 0 ds 1 + s+1 + 1 1 + ( t 2 )+1 ∫ t t 2 (t s)1ds )  Cm () ( J(t) + 1 ) ; trong đâ J(t) = ( t 2 )1 ∫ t 2 0 ds 1 + s+1 : Do lim t!0 J(t) = lim t!+1J(t) = 0; 100 ta câ supt>0 J(t) 0 I(t) < 1. Từ c¡c điều kiện (4.30)-(4.31) thỏa m¢n với c¡c hệ số Cm; lk; cj nhỏ, ta thu được t½nh ổn định tiệm cận yếu của nghiệm khæng của hệ (4.32)-(4.35). 4.6. TRƯỜNG HỢP B€I TON ĐƠN TRỊ Trong mục n y, ta x²t một trường hợp đặc biệt của b i to¡n (4.1)-(4.3), đâ l  khi h m F l  h m đơn trị, kþ hiệu l  f . Khi đâ, b i to¡n trở th nh CD0 u(t) = Au(t) + f(t; u(t); ut); t ̸= tk; tk 2 (0;+1); k 2 ; (4.36) ∆u(tk) = Ik(u(tk)); (4.37) u(s) + g(u)(s) = φ(s); s 2 [h; 0]: (4.38) Đối với b i to¡n đơn trị n y, ta chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm ph¥n r¢ u 2 PC0 với c¡c điều kiện: (Aa) Nửa nhâm W (
) sinh bởi A l  li¶n tục theo chuẩn v  ổn định mũ, tức l  tồn tại  > 0 sao cho ∥W (t)x∥ MAet∥x∥; 8t  0; x 2 X: (Fa) f(
; v; w) đo được với mỗi v 2 X, f(t;
;
) li¶n tục hầu khắp t 2 R+; f(t; 0; 0) = 0, v  tồn tại k 2 Lp(R+); p > 1 thỏa m¢n jjf(t; v1; w1) f(t; v2; w2)jj  k(t)(jjv1 v2jj+ jjw1 w2jjh); t 2 R+; với mọi v1; v2 2 X;w1; w2 2 C([h; 0];X). (Ga) g l  một h m li¶n tục thỏa m¢n g(0) = 0 v  tồn tại số khæng ¥m  để jjg(w1) g(w2)jjh  jjw1 w2jj1; với mọi w1; w2 2 PC0. 101 ( Ia ) Ik; k 2 ; li¶n tục, Ik(0) = 0 v  tồn tại một d¢y fkg; k 2  thỏa m¢n jjIk(x) Ik(y)jj  kjjx yjj; với mọi x; y 2 X: X²t to¡n tử nghiệm F tr¶n khæng gian PC0, ¡p dụng nguy¶n l½ ¡nh xạ co Banach, ta câ định l½ sau về sự tồn tại v  duy nhất nghiệm ph¥n r¢ của b i to¡n (4.36)-(4.38). Định l½ 4.4. Giả sử (A), (Fa), (Ga), (Ia) v  (R) thỏa m¢n. Khi đâ, b i to¡n (4.36)-(4.38) câ duy nhất nghiệm u 2 PC0, với điều kiện(  + ∑ k2 k ) MA + 2 sup t0 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥k(s)ds < 1: (4.39) Chứng minh. Để chứng minh định l½ n y, chóng ta sẽ sử dụng nguy¶n l½ ¡nh xạ co Banach. Đầu ti¶n, ta chứng minh F giữ bất động PC0. Ở đ¥y, ta gọi F(u)(t) = S(t)[φ(0) g(u)(0)] + ∑ 0<tk<t S(t tk)Ik(u(tk)) + ∫ t 0 (t s)1P(t s)f(s; u(s); us)ds; t > 0: Lấy u 2 PC0 m  R = jjujj1 > 0. Ta sẽ chứng minh F(u) 2 PC0, tức l , F(u)(t)! 0, khi t! +1. Với ϵ > 0 cho trước, tồn tại T1 > 0 m  jju(t)jj  ϵ; 8t > T1; (4.40) jjutjjh = sup 2[h;0] jju(t+ )jj  ϵ;8t > T1 + h: (4.41) Mặt kh¡c, từ giả thiết ∑ k2 k < +1, tồn tại N0 2 N thỏa m¢n ∑ k>N0 k  ϵ: 102 Do đâ, với t > 0, jjF(u)(t)jj  jjS(t)jj(jjφjjh + jjg(u)jjh) + ∑ kN0 jjS(t tk)jj jjIk(u(tk))jj + ∑ k>N0 jjS(t tk)jj jjIk(u(tk))jj + ∫ t 0 (t s)1jjP(t s)jj jjf(s; u(s))jjds  jjS(t)jj(jjφjjh + R) +R ∑ kN0 jjS(t tk)jjk +RMA ∑ k>N0 k + ∫ t 0 (t s)1jjP(t s)jj k(s) (jju(s)jj+ jjusjjh)ds = E1(t) + E2(t) + E3(t) trong đâ E1(t) = jjS(t)jj(jjφjjh + R); E2(t) = R ∑ kN0 jjS(t tk)jjk +RMA ∑ k>N0 k; E3(t) = ∫ t 0 (t s)1jjP(t s)jj k(s) (jju(s)jj+ jjusjjh)ds: Từ giả thiết (Aa), tồn tại T2 > 0 thỏa m¢n jjS(t)jj  ϵ; jjP(t)jj  ϵ; 8t > T2; v¼ vậy E1(t)  (1 + )Rϵ; 8t > T2: (4.42) Ngo i ra, ta câ E2(t)  ( ∑ kN0 k +MA ) Rϵ; 8t > T2 + tN0 : (4.43) 103 B¥y giờ, ta x²t E3(t), với t > T1 + h ta câ E3(t) = (∫ T1+h 0 + ∫ t T1+h ) (t s)1jjP(t s)jj k(s) (jju(s)jj+ jjusjjh)ds  2R ∫ T1+h 0 (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds + 2ϵ ∫ t T1+h (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds V¼ vậy, E3(t)  2Rϵ ∫ T1+h 0 (t s)1 k(s)ds + 2ϵ ∫ t T1+h (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds với t > T2 + T1 + h. Khi đâ, ¡p dụng bất đẳng thức Holder, ta câ E3(t)  2Rϵ (∫ T1+h 0 (t s)(1)p′ds )1=p′(∫ T1+h 0 (k(s))pds )1=p + 2ϵ ∫ t T1+h (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds  ( 2RC(t) jjkjjLp(R+) + 1 ) ϵ (4.44) với t > T2 + T1 + h, trong đâ p′ = p p 1 , C(t) = { 1 ( 1)p′ + 1 [ t(1)p ′+1 (t T1 h)(1)p′+1 ]}1=p′ ; đến đ¥y, ta sử dụng t½nh chất 2 ∫ t T1+h (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds < 1 từ (4.39). Kết hợp (4.42), (4.43) v  (4.44) cho ta jjF(u)(t)jj  Cϵ với t > maxfT2 + T1 + h; T2 + tN0g, trong đâ C = (1 + )R+ ( ∑ kN0 k +MA ) R+ 2RC(t) jjkjjLp(R+) + 1  (1 + )R+ (∑ k2 k +MA ) R+ 2RC(t) jjkjjLp(R+) + 1: 104 Với C(t), từ p > 1 ; p′ < 1 1  , ta thấy 0 < ( 1)p ′ + 1 < 1. Từ đâ t(1)p ′+1 (t T1 h)(1)p′+1 = t(1)p′+1 [ 1 ( 1 T1 + h t )(1)p′+1] s [( 1)p′ + 1](T1 + h)t(1)p′ khi t!1: Do đâ C(t) l  bị chặn, v¼ vậy C cũng bị chặn. Từ đâ suy ra F(PC0)  PC0. Nhiệm vụ cán lại của chóng ta l  chứng minh F l  ¡nh xạ co. Thật vậy, với u; v 2 PC0, ta câ jjF(u)(t)F(v)(t)jj  jjS(t)jj jjg(u) g(v)jjh + ∑ 0<tk<t jjS(t tk)jj jjIk(u(tk)) Ik(v(tk))jj + ∫ t 0 (t s)1jjP(t s)jj jjf(s; u(s); us) f(s; v(s); vs)jjds MA jju vjj1 + ( MA ∑ 0<tk<t k ) jju vjj1 + 2 (∫ t 0 (t s)1jjP(t s)jj k(s)ds ) jju vjj1; nhờ c¡c giả thiết (Fa), (Ga) v  (Ia). Do đâ jjF(u)F(v)jj1  ℓjju vjj1; với ℓ = (  + ∑ k2 k ) MA + 2 sup t0 ∫ t 0 (t s)1∥P(t s)∥k(s)ds < 1: Vậy, ta câ kết quả cần chứng minh. Kết luận Chương 4 Trong chương n y chóng tæi nghi¶n cứu t½nh ổn định yếu cho lớp bao h m thức vi ph¥n bậc ph¥n số câ xung, trễ hữu hạn với điều kiện khæng cục bộ. C¡c kết quả đạt được bao gồm: 105 1) Chứng minh sự tồn tại nghiệm tr¶n nửa trục của b i to¡n tổng qu¡t (Định l½ 4.1). 2) Chứng minh t½nh ổn định tiệm cận yếu của nghiệm khæng (Định l½ 4.3). 3) p dụng kết quả trừu tượng thu được, chứng minh t½nh ổn định yếu của một hệ vi ph¥n lưới (Mục 4.5). 4) Trong trường hợp b i to¡n đơn trị, chứng minh sự tồn tại v  duy nhất nghiệm ph¥n r¢ (Định l½ 4.4). Theo sự hiểu biết của t¡c giả, c¡c kết quả n y l  những nghi¶n cứu đầu ti¶n về t½nh ổn định cho lớp b i to¡n dạng (4.1)-(4.3). C¡c kỹ thuật ước lượng t½ch ph¥n bậc ph¥n số v  ước lượng theo độ đo khæng compact câ thể sử dụng để nghi¶n cứu t½nh ổn định nghiệm cho nhiều lớp b i to¡n theo hướng sử dụng lþ thuyết điểm bất động. 106 KẾT LUẬN V€ KIẾN NGHỊ 1. C¡c kết quả đạt được Trong luận ¡n n y chóng tæi đ¢ nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận của một số hệ vi ph¥n đa trị trong khæng gian Banach tổng qu¡t. Luận ¡n đ¢ đạt được c¡c kết quả sau:  Đối với lớp bao h m thức vi ph¥n câ trễ hữu hạn m  phần tuyến t½nh sinh ra nửa nhâm t½ch ph¥n: Chứng minh t½nh giải được to n cục v  sự tồn tại tập hót to n cục của nửa dáng đa trị sinh bởi b i to¡n.  Đối với lớp bao h m thức vi ph¥n dạng đa diện, phần tuyến t½nh sinh ra nửa nhâm t½ch ph¥n: Chứng minh được sự tồn tại nghiệm đối tuần ho n.  Đối với lớp bao h m thức vi ph¥n bậc ph¥n số, câ xung, với điều kiện khæng cục bộ v  trễ hữu hạn: Chứng minh được t½nh giải được tr¶n nửa trục v  t½nh ổn định tiệm cận yếu. Trong trường hợp đặc biệt, h m phi tuyến đơn trị v  thỏa m¢n điều kiện Lipschitz, chứng minh được sự tồn tại v  duy nhất nghiệm ph¥n r¢. 2. Kiến nghị một số vấn đề nghi¶n cứu tiếp theo B¶n cạnh c¡c kết quả đ¢ đạt được trong luận ¡n, một số vấn đề mở li¶n quan cần được tiếp tục nghi¶n cứu:  Nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận (theo c¡ch tiếp cận của l½ thuyết tập hót hoặc l½ thuyết ổn định) của một số lớp bao h m thức vi ph¥n với trễ biến 107 thi¶n hoặc trễ væ hạn còng với c¡c vần đề li¶n quan như t½nh ch½nh qui của nghiệm, t½nh trơn của tập hót, t½nh ổn định trong thời gian hữu hạn của nghiệm.  Nghi¶n cứu sự tồn tại của c¡c lớp nghiệm đặc biệt như nghiệm tuần ho n, đối tuần ho n, nghiệm tối ưu của một số lớp bao h m thức vi ph¥n nửa tuyến t½nh khæng câ cấu tróc đa diện. 108 DANH MỤC CÆNG TRœNH KHOA HỌC CỦA TC GIẢ LI–N QUAN ĐẾN LUẬN N 1) T.D. Ke and D. Lan (2014), Decay integral solutions for a class of impul- sive fractional differential equations in Banach spaces, Fractional Calcu- lus and Applied Analysis, Volume 17, Number 1, 96-121. 2) T.D. Ke and D. Lan (2014), Global attractor for a class of functional differential inclusions with HilleYosida operators, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, Volume 103, 7286 3) T.D. Ke and D. Lan, Generalized Cauchy problem governed by fractional differential inclusions on the half-line, submitted 4) T.D. Ke and D. Lan, Existence of anti-periodic solutions for a class of polytope differential inclusions with Hille-Yosida operators, submitted 109 T i liệu tham khảo [1] M. Adimy, H. Bouzahir and K. Ezzinbi (2002), Local existence and sta- bility for some partial functional differential equations with infinite delay, Nonlinear Anal. 48, 323-348. [2] S. Adly and L.B. Khiet (2014), Stability and invariance results for a class of non-monotone set-valued Lur'e dynamical systems, Appl. Anal. 93, no. 5, 10871105. [3] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina and B.N. Sadovskii (1992), Measures of Noncompactness and Condensing Opera- tors, Birkhauser, Boston-Basel-Berlin. [4] M. Alia and K. Ezzinbi (2008), Strong solutions for some nonlinear partial functional differential equations with infinite delay, Electron. J. Differen- tial Equations 91, 1-19. [5] C.T. Anh and T.D. Ke (2014), On nonlocal problems for retarded frac- tional differential equations in Banach spaces, Fixed Point Theory 15, No.2, 373-392. [6] Anthony W. Knapp (2005), Basic Real Analysis, Birkhauser, Boston- Basel-Berlin. [7] W. Arendt (1987), Resolvent positive operators, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 54 (2), 321349. 110 [8] W. Arendt, C.J.K. Batty, M. Hieber and F. Neubrander (2001), Vector- valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, in: Monographs in Mathematics, vol. 96, Birkhauser Verlag, Basel. [9] J.P. Aubin and A. Cellina (1984), Differential Inclusions. Set-valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin. [10] J. M. Ayerbe Toledano, T. Dom½nguez Benavides and G. Lâpez Acedo (1997),Measures of noncompactness in metric fixed point theory. Operator Theory: Advances and Applications, 99. Birkhauser Verlag, Basel. [11] J.M. Ball (1997), Continuity properties and global attractor of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations, J. Nonlinear Sci. 7, 475-502. [12] J.M. Ball (2004), Global attractor for damped semilinear wave equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. 10, 31-52. [13] M.T. Batchelor, R.J. Baxter, M.J. O'Rourke and C.M. Yung (1995), Exact solution and interfacial tension of the six-vertex model with anti-periodic boundary conditions, Journal of Physics A: Math. Theo. 28, 2759-2770. [14] M. Benchohra, J. Henderson and S. Ntouyas (2006), Impulsive Differ- ential Equations and Inclusions, in: Contemporary Mathematics and its Applications, Vol. 2. Hindawi, New York. [15] H. Brezis (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differ- ential Equations, Universitext. Springer, New York. [16] L.L. Bonilla and F.J. Higuera (1995), The onset and end of the Gunn effect in extrinsic semiconductors, SIAM J. Appl. Math. 55, 1625-1649 [17] D. Bothe (1998), Multivalued perturbations of m-accretive differential in- clusions, Israel J. Math 108, 109-138. 111 [18] H. Bouzahir, H. You and R. Yuan (2011), Global attractor for some partial functional differential equations with infinite delays, Funkcialaj Ekvacioj 54, 139-156. [19] T.A. Burton (2006), Stability by Fixed Point Theory for Functional Dif- ferential Equations, Dover Publications, New York. [20] L. Byszewski (1991), Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem, J. Math. Anal. Appl. 162, 494-505. [21] T. Caraballo and P. E. Kloeden (2009), Non-autonomous attractor for integro-differential evolution equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 2, 17-36. [22] T. Caraballo, P. Marin-Rubio and J.C. Robinson (2003), A comparision between to theories for multi-valued semiflows and their asymptotic be- haviour, Set-Valued Analysis 11, 297-322. [23] T. Caraballo, M. J. Garrido-Atienza, B. Schmalfuss and J. Valero (2008), Non-autonomous and random attractors for delay random semilinear equations without uniqueness, Discrete Contin. Dyn. Syst. 21, 415-443. [24] T. Caraballo, J. A. Langa, V. S. Melnik and J. Valero(2003), Pullback attractors of nonautonomous and stochastic multivalued dynamical sys- tems, Set-Valued Analysis 11, 153-201. [25] A. Cernea (2012), On the existence of mild solutions for nonconvex frac- tional semilinear differential inclusions, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 64, 1-15. [26] N.M. Chuong and T.D. Ke (2012), Generalized Cauchy problem involving nonlocal and impulsive conditions, J. Evol. Equ. 12, 367-392. 112 [27] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (2002), Attractors for Equations of Math- ematics Physics, American Mathematical Society Colloquium Publica- tions, Vol. 49, American Mathematical Society, Providence. [28] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (1997), Evolution equations and their trajectory attractors, J. Math. Pures Appl. 76, 913-964. [29] Y. Chen, D. O'Regan and R.P. Agarwal (2012), Anti-periodic solutions for semilinear evolution equations in Banach spaces, J. Appl. Math. Comput. 38, 6370. [30] M. Coti Zelati and P. Kalita (2015), Minimality properties of set-valued processes and their pullback attractors, SIAM J. Math. Anal. 47, 1530- 1561. [31] G. Da Prato and E. Sinestrari (1987), Differential Operators with Non- Dense Domain, Ann. Sc. Norm. Pisa. 14, 285-344. [32] K. Deimling (1992), Multivalued differential equations, Walter de Gruyter & Co., Berlin. [33] J. Diestel, W. M. Ruess and W. Schachermayer (1993), Weak compactness in Ll(;X), Proc. Amer. Math. Soc. 118, 447-453. [34] K.-J. Engel and R. Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Lin- ear Evolution Equations, with contributions by S. Brendle, M. Campiti, T. Hahn, G. Metafune, G. Nickel, D. Pallara, C. Perazzoli, A. Rhandi, S. Romanelli and R. Schnaubelt. Graduate Texts in Mathematics, 194. Springer-Verlag, New York. [35] K. Ezzinbi and S. Lalaoui Rhali (2003), Positivity and stability for some partial functional differential equations, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 10, 15-32. 113 [36] A. F. Filippov (1988), Differential Equations with Discontinuous Right- hand Sides, translated from the Russian. Mathematics and its Applica- tions (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht. [37] L. Gârniewicz and M. Lassonde (1994), Approximation and fixed points for compositions of R-maps, Topology Appl. 55 (3), 239-250. [38] A. Haraux (1989), Anti-periodic solutions of some nonlinear evolution equations, Manuscripta Math. 63, 479-505. [39] L. Hormander (1960), Estimates for translation invariance operators in Lp spaces, Acta Math. 104, 93-139. [40] S. Ji and S. Wen (2010), Nonlocal Cauchy Problem for Impulsive Differ- ential Equations in Banach Spaces, Int. J. Nonlinear Sci. 10, 88-95. [41] P. Kalita and G. Lukaszewicz (2014), Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity properties, Nonlinear Anal. 101, 124-143. [42] M. Kamenskii, V. Obukhovskii and P. Zecca (2001), Condensing Multi- valued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York. [43] H. Kellerman and M. Hieber (1989), Integrated semigroup, J. Funct. Anal. 84, 160-180. [44] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava and J.J. Trujillo (2006), Theory and Appli- cations of Fractional Differential Equations, Elsevier, Amsterdam. [45] D.S. Kulshreshtha, J.Q. Liang and H.J.W. Muller-Kirsten (1993), Fluc- tuation equations about classical field configurations and supersymmetric quantum mechanics, Ann. Physics. 225, 191-211. 114 [46] V. Lakshmikantham, D.D. Bainov and P. S. Simeonov (1989), Theory of impulsive differential equations, World Scientific Publishing Co., Inc., Teaneck, NJ. [47] J.H. Liu (2003), A remark on the mild solutions of non-local evolution equations, Semigroup Forum 66, 63-67. [48] H. Liu and J.-C. Chang (2009), Existence for a class of partial differential equations with nonlocal conditions, Nonlinear Anal. 70, 3076-3083. [49] Z.H. Liu (2010), Anti-periodic solutions to nonlinear evolution equations, J. Funct. Anal. 258, 2026-2033. [50] Q. Liu (2011), Existence of anti-peroidic mild solution for semilinear evo- lution equation, J. Math. Anal. Appl. 377 (1), 110-120. [51] J.H. Liu et al (2015), Existence of anti-periodic mild solutions to semilinear nonautonomous evolution equations, J. Math. Anal. Appl., [52] V.S. Melnik and J. Valero (1998), On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions, Set-Valued Analysis 6, 83-111. [53] V.S. Melnik and J. Valero (2000), On global attractors of multivalued semiprocesses and nonautonomous evolution inclusions, Set-Valued Anal- ysis 8, 375-403. [54] K. S. Miller and B. Ross (1993), An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York. [55] F. Neubrander (1988), Integrated semigroups and their applications to the abstract Cauchy problem, Pacific J. Math. 135 (1), 111155. 115 [56] G.M. N'Gu²r²kata and V. Valmorin (2012), Antiperiodic solutions of semi- linear integrodifferential equations in Banach spaces, Appl. Math. Com- put. 218, 1111811124. [57] G.M. N'Gu²r²kata (2009), A Cauchy problem for some fractional abstract differential equation with nonlocal conditions, Nonlinear Anal. 70, 1873- 1876. [58] P.H.A. Ngoc (2015), Novel criteria for exponential stability of nonlinear differential systems with delay, IEEE Trans. Automat. Control. 60, no. 2, 485-490. [59] V. Obukhovskii and J.-C. Yao (2010), On impulsive functional differential inclusions with Hille-Yosida operators in Banach spaces, Nonlinear Anal. 73, 1715-1728. [60] H. Okochi (1988), On the existence of periodic solutions to nonlinear abstract parabolic equations, J. Math. Soc. Japan. 40, 541553. [61] H. Okochi (1990), On the existence of anti-periodic solutions to a nonlinear evolution equation associated with odd subdifferential operators, J. Funct. Anal. 91, 246258. [62] H. Okochi (1990), On the existence of anti-periodic solutions to nonlin- ear parabolic equations in noncylindrical domains, Nonlinear Anal. 14, 771783 [63] A. Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Par- tial Differential Equations, Springer-Verlag, New York. [64] I. Podlubny (1999), Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications, Mathematics in Science and Engineering. 198. Sandiego, CA: Academic Press. 116 [65] G. Raugel (2002), Global Attractors in Partial Differential Equations, In Handbook of dynamical systems, Vol. 2, pp. 885-892, North - Holland, Amsterdam. [66] R. Sakthivel, R. Ganesh and S.M. Anthoni (2013), Approximate controlla- bility of fractional nonlinear differential inclusions, Appl. Math. Comput. 225, 708-717. [67] T.I. Seidman (1987), Invariance of the reachable set under nonlinear per- turbations, SIAM J. Control Optim. 25 (5), 1173-1191. [68] R.Schnaubelt (2001), Asymptotically autonomous parabolic evolution equations, J. Evol. Equ. 1, 1937. [69] H.B. Stewart (1974), Generation of analytic semigroups by strongly ellip- tic operators, Trans. Amer. Math. Soc. 199, 141-162. [70] Horst R. Thieme (1990), Semiflows generated by Lipschitz perturbations of non-densely defined operators, Differential Integral Equations 3(6), 1035-1066. [71] Horst R. Thieme (1990), Integrated semigroups and integrated solutions to abstract cauchy problems, J. Math. Anal. Appl. 152, 416447. [72] A. Tolstonogov (2000), Differential Inclusions in a Banach Space, Trans- lated from the 1986 Russian original and revised by the author. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. [73] J. Valero (2000), Finite and infinite-dimensional attractor of multivalued reaction-diffusion equations, Acta Math. Hungar. 88:3, 239-258. [74] J. Valero (2001), Attractors of parabolic equations without uniqueness, J. Dynam. Differential Equations. 13, 711-744. 117 [75] I.I. Vrabie (2003), C0-semigroups and applications, North-Holland Math- ematics Studies, 191. North-Holland Publishing Co., Amsterdam. [76] H. You and R. Yuan (2010), Global attractor for some partial functional differential equations with finite delay, Nonlinear Anal. 72, 3566-3574. [77] W. Wang (2010), Generalized Hanalay inequality for stability of nonlinear neutral functional differential equations, J. Ineq. Appl., ArtID 475019, 16 pages. [78] R. N. Wang, D.-H. Chena and T.-J. Xiao (2012), Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, J. Differential Equa- tions 252, 202-235. [79] Y. Wang (2010), Antiperiodic solutions for dissipative evolution equations, Mathematical and Computer Modelling 51, 715-721. [80] R.N. Wang, Q.M. Xiang and P.X. Zhu (2014), Existence and approxi- mate controllability for systems governed by fractional delay evolution inclusions, Optimization 63, 1191-1204. [81] R. N. Wang and Q. H. Ma (2014), Some new results for multi-valued fractional evolution equations, Appl. Math. Comput. 257, 285-294. [82] R.N. Wang, P.X. Zhu and Q.H. Ma (2015), Multi-valued nonlinear pertur- bations of time fractional evolution equations in Banach spaces, Nonlinear Dyn. 80, 1745-1759. [83] Y. Zhou and F. Jiao (2010), Nonlocal Cauchy problem for fractional evo- lution equations, Nonlinear Anal.: Real World Applications 11, 4465-4475. [84] Y. Zhou and F. Jiao (2010), Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations, Comp. Math. Appl. 59 (2010), 1063-1077.