Luận án Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ phương trình dạng navier - Stokes

|≤k√2 2|x| k2 C|u||∇ut| ≤ C k |u||∇ut|, ∣∣∣∣b(u, u, θ( |x|2k2 )u) ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∫ Ω 2∑ i,j=1 |uj |2ui ∂ ∂xi θ ( |x|2 k2 )∣∣∣∣ ≤ ∫ k≤|x|≤k√2 2|x| k2 C|u|3 ≤ C k |u|2|∇u|. Suy ra 1 2 d dt (∫ |x|>k |u|2dx+ α2 ∫ |x|>k |∇u|2dx ) + ν ∫ |x|>k |∇u|2dx ≤ C k ( ν|u||∇u|+ α2|u||∇ut|+ |u|2|∇u| ) + ∫ |x|>k g u dx. Nhân hai vế với eσs rồi áp dụng bất đẳng thức Ho¨lder và Cauchy ta có d ds eσs (∫ |x|>k |u|2dx+ α2 ∫ |x|>k |∇u|2dx ) ≤ C e σs k ( ν|u||∇u|+ α2|u||∇ut|+ |u|2|∇u| ) + eσs νλ1 ∫ |x|>k |g|2dx. Lấy tích phân hai vế cận từ τ đến t và áp dụng các đánh giá (2.54)-(2.56) ta được 86 ∫ |x|>k |u|2dx+ α2 ∫ |x|>k |∇u|2dx ≤ eσ(τ−t)(|u0|2 + α2|∇u0|2) + e −σt νλ1 ∫ t τ ∫ |x|>k eσs|g|2dxds + C e−σt k ∫ t τ eσs ( ν|u||∇u|+ α2|u||∇ut|+ |u|2|∇u| ) ds → 0 khi k → +∞; τ → −∞. (2.58) đã được chứng minh. Bổ đề 2.10. Với mỗi t > τ + 1, mỗi dãy {αn}n≥1 thỏa mãn lim n→+∞ αn = 0 và mỗi Bˆαn ∈ Dαn ta có lim n→+∞ ‖Uαn(t, τ)ϕn − U(t, τ)ϕ‖ = 0, ở đó {ϕn} ⊂ B(τ) sao cho ϕn → ϕ trong (L2(Ω))2. Chứng minh. Đặt vn(t) = Uαn(t, τ)ϕn, u(t) = U(t, τ)ϕ và wn(t) = vn(t)−u(t), ta có ∂twn + νAwn + α 2 nAvnt +B(vn)−B(u) = 0 (2.62) và wn(τ) = ϕn − ϕ. Nhân hai vế (2.62) với wn, sau đó lấy tích phân trên Ω, ta được (∂twn, wn) + ν(Awn, wn) + α 2 n(Avnt, wn) + (B(vn)−B(u), wn) = 0, (2.63) hay 1 2 d dt |wn|2 + ν‖wn‖2 = −α2n(∇vnt,∇wn)− b(vn, vn, wn) + b(u, u, wn) = −α2n(∇vnt,∇wn)− b(wn, vn, wn) ≤ α2n|∇vnt||∇wn|+ c|wn|‖wn‖‖vn‖ ≤ α2n|∇vnt||∇wn|+ ν 2 ‖wn‖2 + c|wn|2‖vn‖2. 87 Từ đó suy ra |wn(t)|2 ≤ exp {∫ t τ c‖vn‖2ds }( |wn(τ)|2 + 2α2n ∫ t τ |∇vns||∇wn|ds ) ≤ exp {∫ t τ c‖vn‖2ds }( |wn(τ)|2 + 2αn ( α2n ∫ t τ |∇vns|2ds ) 1 2 (∫ t τ |∇wn|2ds ) 1 2 ) . Áp dụng Bổ đề 2.9 và giả thiết ϕn → ϕ trong (L2(Ω))2, αn → 0 khi n→ +∞ ta được |wn(t)|2 → 0 khi n→ +∞. (2.64) Mặt khác, từ (2.63) ta lại có ν‖wn(t)‖2 ≤ |wnt(t)||wn(t)|+ α2n‖vnt(t)‖‖wn(t)‖ − b(wn(t), vn(t), wn(t)) ≤ |wnt(t)||wn(t)|+ αn (αn‖vnt(t)‖) ‖wn(t)‖+ |wn(t)|‖wn(t)‖‖vn(t)‖. Áp dụng Bổ đề 2.9 một lần nữa và sau đó sử dụng (2.64) ta được ‖wn(t)‖ → 0 khi n→ 0. Bổ đề đã được chứng minh. Bổ đề 2.11. Với t ∈ R bất kì, tập U(t) = ⋃α2∈(0,1]Aα(t) là compact trong (L2(Ω))2. Chứng minh. Để chứng minh kết quả của bổ đề, đầu tiên ta chứng minh U = {U(t) : t ∈ R} thuộc Dα. Thật vậy, nếu y ∈ U(t) thì y ∈ Aα0(t) với một α20 ∈ (0, 1] nào đó. Do Aα0(t) = ⋂ s≤t ⋃ τ≤s Uα0(s, τ)B(τ), (2.65) ở đó Bˆ = {B(t), t ∈ R} là tập hấp thụ đều của quá trình {Uα(t, τ)}, không phụ thuộc vào α, nên tồn tại một dãy số thực τn → −∞ và dãy xn ∈ B(τn) sao cho Uα0(t, τn)xn → y trong V . Mà Bˆ = {B(t), t ∈ R} là một họ các tập Dα-hấp thụ lùi nên tồn tại N sao cho Uα0(t, τn)xn ∈ B(t) với mọi n ≥ N . Từ đó suy ra y ∈ B(t). Vì vậy, U(t) ⊂ B(t) với mọi t ∈ R, mà Bˆ ∈ Dα nên U thuộc Dα. 88 Sau đó, ta sẽ chỉ ra rằng với mỗi η > 0 tồn tại hữu hạn các hình cầu bán kính nhỏ hơn η phủ U(t). Do tính bất biến của Aˆα, với mỗi u ∈ Aα(t) và τ ≤ t tồn tại v ∈ Aα(τ) sao cho u = Uα(t, τ)v. Với mỗi K > 0 cho trước, kí hiệu BK = {x ∈ Ω : |x| < K} và BcK = Ω\BK . Do (2.58), ta có thể lấy K > 0 không phụ thuộc vào u sao cho ‖u‖(L2(BCK))2 ≤ η 4 ∀u ∈ U(t). (2.66) Mặt khác, do tồn tại một họ các tập hấp thụ lùi trong V không phụ thuộc vào α nên tồn tại một hằng số C sao cho ‖u‖(H1(BK))2 ≤ C ∀u ∈ U(t). Mà phép nhúng H1(BK) ↪→ L2(BK) là compact, suy ra U(t) compact tương đối trong (L2(BK))2, hay tồn tại phủ mở hữu hạn trong (L2(BK))2 với bán kính nhỏ hơn η4 . Kết hợp với (2.66) ta được U(t) compact tương đối trong (L2(Ω))2. Bây giờ, ta đã sẵn sàng để chứng minh kết quả chính của mục này. Định lí 2.10. Họ các tập Dα-hút lùi Aˆα = {Aα(t) : t ∈ R}, α2 ∈ [0, 1] là nửa liên tục trên trong V tại α = 0, nghĩa là với mỗi t ∈ R lim α→0 distV (Aα(t), A(t)) = 0. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lí bằng phương pháp phản chứng. Giả sử distV (Aα(t), A(t)) 9 0 khi α→ 0. Khi đó, do tính compact của A(t), tồn tại một hằng số δ > 0 sao cho với mỗi n ≥ 1 tồn tại αn ≤ 1/n và ϕn ∈ Aαn(t) thỏa mãn distV (ϕn, A(t)) ≥ δ. (2.67) Mặt khác, do tính D-hấp thụ lùi của A(t) và U ∈ Dˆ tồn tại τ0 ≤ t sao cho distV (U(t, τ0)U(τ0), A(t)) ≤ δ 2 . (2.68) Từ Uαn(t, τ0)Aαn(τ0) = Aαn(t) suy ra tồn tại ψn ∈ Aαn(τ0) sao cho ϕn = Uαn(t, τ0)ψn. Áp dụng Bổ đề 2.11, U(τ0) là tiệm cận compact trong (L2(Ω))2 89 và do {ψn} ⊂ U(τ0), không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ψn → ψ trong (L2(Ω))2 với ψ ∈ (L2(Ω))2. Do đó, bởi Bổ đề 2.10, ta được ‖ϕn − U(t, τ0)ψ‖ = ‖Uαn(t, τ0)ψn − U(t, τ0)ψ‖ → 0 khi n→∞. Mà U(t, τ0)ψ ∈ U(t, τ0)U(τ0) suy ra (2.67) và (2.68) mâu thuẫn với nhau nên giả sử trên là sai. Định lí đã được chứng minh. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 Trong chương này chúng tôi đã nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt trong miền không nhất thiết bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và ngoại lực có thể phụ thuộc thời gian. Các kết quả đạt được bao gồm: Khi n = 3: 1) Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu (Định lí 2.1). 2) Chứng minh được sự tồn tại của tập hút lùi (Định lí 2.2) và đánh giá được số chiều fractal của tập hút lùi (Định lí 2.3). Khi n = 2: 1) Chứng minh được tính trơn của tập hút lùi (Định lí 2.5). Kết quả này vẫn đúng trong trường hợp n = 3. 2) Chứng minh được tính nửa liên tục trên của tập hút lùi tại α = 0. Đây là một kết quả rất thú vị, cho thấy mối quan hệ giữa tập hút lùi của hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt và hệ phương trình Navier-Stokes giới hạn tương ứng. 90 Chương 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH KELVIN-VOIGT- BRINKMAN-FORCHHEIMER Trong chương này, chúng tôi xét hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman- Forchheimer ba chiều trên một miền không nhất thiết bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré với biên trơn. Đầu tiên, sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu. Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu thông qua sự tồn tại duy nhất một tập Dσ-hút lùi khi ngoại lực g "lớn" và phụ thuộc vào biến thời gian; khi ngoại lực g không phụ thuộc vào thời gian và đủ "nhỏ", chúng tôi chỉ ra sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng. Nội dung của chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án. 3.1. ĐẶT BÀI TOÁN Cho Ω là một miền bất kì trong R3 với biên trơn ∂Ω. Trong chương này, ta nghiên cứu hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm sau  ut − ν∆u− α2∆ut + (u · ∇)u+ f(x, u) +∇p = g, x ∈ Ω, t > τ, ∇ · u = 0, x ∈ Ω, t > τ, u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > τ, u(x, τ) = u0(x), x ∈ Ω, (3.1) 91 trong đó u = u(x, t) = (u1, u2, u3) là hàm véctơ vận tốc và p = p(x, t) là hàm áp suất cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt, α là tham số đặc trưng cho tính đàn hồi của chất lỏng, g = g(x, t) = (g1, g2, g3) là hàm ngoại lực, u0 là vận tốc ban đầu và f là hàm phi tuyến thỏa mãn một số điều kiện xác định sẽ chỉ rõ dưới đây. Để nghiên cứu bài toán trên, ta giả thiết: (H1) Miền Ω là một miền trong R3, có thể bị chặn hoặc không bị chặn, nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré: Tồn tại một hằng số λ1 > 0 sao cho:∫ Ω ϕ2dx ≤ 1 λ1 ∫ Ω |∇ϕ|2dx với mọi ϕ ∈ H10 (Ω); Nhắc lại rằng giả thiết này sẽ được thỏa mãn nếu miền Ω bị chặn theo một hướng nào đó. (H2) f : Ω × R3 → R3 là hàm liên tục và f(x, ·) ∈ C1(R3,R3) thỏa mãn các điều kiện sau  1) f(x, u) · u ≥ µ|u|r+1 − ϕ1(x), 2) |f(x, u)| ≤ β|u|r + ϕ2(x), 3) f ′u(x, u)v · v ≥ (−K + κ|u|r−1)|v|2, ∀u, v ∈ R3, (3.2) ở đó ϕ1, ϕ2 là hai hàm không âm thỏa mãn ϕ1 ∈ L1(Ω), ϕ2 ∈ Lr∗(Ω), với r∗ = (r+ 1)/r, r ≥ 1; K, µ, β, κ là các hằng số dương và u · v là tích vô hướng của u và v trong R3. Ví dụ điển hình của lớp phi tuyến này là f(x, u) = |u|r−1u (r ≥ 1); (H3) g ∈ L2loc(R;V ′) sao cho∫ t −∞ eσs‖g(s)‖2∗ds < +∞ với mọi t ∈ R, ở đó σ = νλ11+α2λ1 và λ1 là hằng số trong bất đẳng thức Poincaré. 92 Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu các vấn đề sau đối với bài toán (3.1): • Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu. • Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu thông qua: ◦ Sự tồn tại duy nhất tập hút lùi; ◦ Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng khi ngoại lực g không phụ thuộc vào biến thời gian. 3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU Trước tiên chúng ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (3.1). Định nghĩa 3.1. Một hàm u được gọi là nghiệm yếu trên khoảng (τ, T ) của bài toán (3.1) nếu thỏa mãn:  u ∈ C([τ, T ];V ) ∩ L∞(τ, T ;V ) ∩ Lr+1(τ, T ;Lr+1(Ω)), d dt u(t) + νAu(t) + α2Aut(t) +B(u(t), u(t)) + Pf(u(t)) = g(t) trong V ′ + L(r+1)/r(Ω), với hầu khắp t ∈ (τ, T ), u(τ) = u0. Kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu của bài toán được trình bày trong định lí sau. Định lí 3.1. Giả sử các điều kiện (H1), (H2), (H3) được thỏa mãn. Khi đó, với mọi u0 ∈ V và T > τ cho trước, bài toán (3.1) có duy nhất một nghiệm yếu u trên khoảng (τ, T ). Hơn nữa, với mọi t > τ , hàm số cho bởi u0 7→ u(t) liên tục trên V . Chứng minh. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (3.1) bằng phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin qua 5 bước: Bước 1: Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ Faedo-Galerkin. Do V ∩ Lr+1(Ω) là không gian tách được và V là trù mật trong V ∩ Lr+1(Ω) nên tồn tại một dãy các phần tử độc lập tuyến tính {w1, w2, . . . } ⊂ V là đầy 93 đủ trong V ∩ Lr+1(Ω), trực giao trong V . Kí hiệu Vm = span{w1, ..., wm} và phép chiếu Pmu = ∑m j=1(u,w j)wj . Một hàm um(t) = m∑ j=1 cmj (t)w j được gọi là một nghiệm m-xấp xỉ của bài toán (3.1) nếu 〈∂u m ∂t , wj〉+ ν ∫ Ω ∇um∇wjdx+ α2〈∂∇u m ∂t ,∇wj〉+ ∫ Ω (um · ∇)umwjdx + ∫ Ω f(x, um)wjdx = 〈g, wj〉 (3.3) với mọi j = 1, 2, . . . và um(x, τ) = ∑m j=1 a jwj(x) với aj = (u0, wj). Áp dụng định lí Peano ta thu được kết quả về sự tồn tại của dãy nghiệm xấp xỉ um. Nhờ các đánh giá tiên nghiệm dưới đây, nghiệm xấp xỉ um tồn tại trên cả khoảng (τ, T ). Bước 2: Thiết lập các đánh giá tiên nghiệm cho dãy nghiệm xấp xỉ um. Nhân hai vế (3.3) với cmj , sau đó lấy tổng theo j từ 1 đến m và lấy tích phân theo biến s với cận từ τ đến t, ta được 1 2 ∫ t τ d ds (|um(s)|2 + α2‖um(s)‖2)ds+ ν ∫ t τ |∇um(s)|2ds + ∫ t τ ∫ Ω f(x, um) · umdxds = ∫ t τ 〈g, um〉ds. Áp dụng giả thiết (H2) và bất đẳng thức Cauchy ta có |um(t)|2 + α2‖um(t)‖2 + ν ∫ t τ ‖um(s)‖2ds+ 2µ ∫ t τ ‖um(s)‖r+1 Lr+1 ds ≤ |u0|2 + α2‖u0‖2 + 2(T − τ)‖ϕ1‖L1 + 1 ν ‖g‖2L2(τ,T ;V ′) =: N ; (3.4) với mọi t ∈ [τ, T ]. Suy ra {um} bị chặn trong L∞(τ, T ;V )∩Lr+1(τ, T ;Lr+1(Ω)). Từ đó, ta dễ dàng chứng minh được {Aum} và {Bum} bị chặn trong L2(τ, T ;V ′); {f(x, um)} bị chặn trong L(r+1)/r(QT ). Bước 3: Qua giới hạn. Các đánh giá trên suy ra rằng từ dãy nghiệm xấp xỉ {um} ta có thể trích ra 94 một dãy con, vẫn kí hiệu là {um}, sao cho um ⇀ u *- yếu trong L∞(τ, T ;V ), um ⇀ u yếu trong Lr+1(τ, T ;Lr+1(Ω)). Ta cần chứng minh u chính là nghiệm yếu của bài toán (3.1). Thật vậy, với ψ là một hàm khả vi liên tục bất kì trên [τ, T ] thỏa mãn ψ(T ) = 0, ta có ∫ T τ 〈 ∂um ∂t , wj 〉 ψ dt+ ν ∫ T τ ∫ Ω ∇um∇wjψdx dt+ α2 ∫ T τ ∫ Ω ∇umt ∇wjψdx dt + ∫ T τ ∫ Ω (um · ∇)umwjψdx dt+ ∫ T τ ∫ Ω f(x, um)wjψdx dt = ∫ T τ 〈g, wj〉ψdt (3.5) với mọi j = 1, 2, . . . . Ta cần phải chứng minh:∫ T τ ∫ Ω (um · ∇)umwjψdxdt→ ∫ T τ ∫ Ω (u · ∇)uwjψdxdt và ∫ T τ ∫ Ω f(x, um)wjψdx dt→ ∫ T τ ∫ Ω f(x, u)wjψdxdt khi m→ +∞. Đầu tiên, ta sẽ chứng minh {um|O} là compact tương đối trong L2(τ, T ;H10 (O)) với mọi tập con bị chặn O trong Ω bằng cách sử dụng Bổ đề 1.4. Ta đã có {um} bị chặn trong L∞(τ, T ;H10 (O)), vì vậy, chỉ cần kiểm tra rằng {um} thỏa mãn điều kiện (i) trong Bổ đề 1.4, nghĩa là chứng minh: lim h→0 sup m∈N ‖τhum − um‖L2(τ,T−h;H10 (O)) = 0. Xét h > 0 đủ nhỏ cho trước. Từ (3.3) suy ra với (t, t+ h) ⊂ (τ, T ) bất kì ta có ∫ Ω ( um(t+ h)− um(t))wjdx+ ν ∫ t+h t ∫ Ω ∇um(s)∇wjdxds + α2 ∫ Ω (∇um(t+ h)−∇um(t))∇wjdx+ ∫ t+h t b(um(s), um(s), wj)ds + ∫ t+h t ∫ Ω f(x, um(s))wjdxds = ∫ t+h t 〈g, wj〉ds. 95 Nhân hai vế với cmj (t+ h)− cmj (t) và lấy tổng theo j ta thu được∫ Ω |um(t+ h)− um(t)|2dx+ α2 ∫ Ω |∇um(t+ h)−∇um(t)|2dx = − ν ∫ t+h t ∫ Ω ∇um(s)(∇um(t+ h)−∇um(t))dxds − ∫ t+h t b(um(s), um(s), um(t+ h)− um(t))ds − ∫ t+h t ∫ Ω f(x, um(s))(um(t+ h)− um(t))dxds + ∫ t+h t 〈g, um(t+ h)− um(t)〉ds ≤ ν ∫ t+h t (∫ Ω |∇um(s)|2dx )1/2(∫ Ω |∇um(t+ h)−∇um(t)|2dx )1/2 ds + 2−1 ∫ t+h t |um(s)|1/2‖um(s)‖3/2‖um(t+ h)− um(t)‖ds + ∫ t+h t (∫ Ω |um(t+ h)− um(t)|r+1dx ) 1 r+1 (∫ Ω |f(um(s))| r+1r dx ) r r+1 ds + ∫ t+h t ‖g(s)‖∗‖um(t+ h)− um(t)‖ds ≤‖um(t+ h)− um(t)‖∫ t+h t ( ν‖um(s)‖+ 2−1|um(s)|1/2‖um(s)‖3/2 + ‖g(s)‖∗ ) ds + ‖um(t+ h)− um(t)‖Lr+1∫ t+1 t (∫ Ω (β|um(x)|r + ϕ2(x))(r+1)/rdx )r/(r+1) ds ≤‖um(t+ h)− um(t)‖ ∫ t+h t Gm(s)ds + ‖um(t+ h)− um(t)‖Lr+1 ∫ t+h t ( β‖um‖rLr+1 + ‖ϕ2‖Lr∗ ) ds, ở đó Gm(s) = ν‖um(s)‖+ 2−1|um(s)|1/2‖um(s)‖3/2 + ‖g(s)‖∗. 96 Vì vậy, ta có ‖τhum − um‖2L2(τ,T−h;L2(Ω)) + α2‖τhum − um‖2L2(τ,T−h;H10 (Ω)) = ∫ T−h τ |um(t+ h)− um(t)|2dt+ α2 ∫ T−h τ |∇um(t+ h)−∇um(t)|2dt ≤ ∫ T−h τ ‖um(t+ h)− um(t)‖ ∫ t+h t Gm(s)dsdt + ∫ T−h τ ‖um(t+ h)− um(t)‖Lr+1 ∫ t+h t ( β‖um‖rLr+1 + ‖ϕ2‖Lr∗ ) dsdt. Để đánh giá vế phải của bất đẳng thức trên ta sử dụng định lí Fubini. Với hàm s¯ =   τ nếu s ≤ τ s nếu τ < s ≤ T − h T − h nếu s > T − h ta có∫ T−h τ ‖um(t+ h)− um(t)‖ ∫ t+h t Gm(s)dsdt + ∫ T−h τ ‖um(t+ h)− um(t)‖Lr+1 ∫ t+h t ( β‖um‖rLr+1 + ‖ϕ2‖Lr∗ ) dsdt ≤ ∫ T τ Gm(s) ∫ s¯ s−h ‖um(t+ h)− um(t)‖dtds + ∫ T τ ( β‖um(s)‖rLr+1 + ‖ϕ2‖Lr∗ ) ∫ s¯ s−h ‖um(t+ h)− um(t)‖Lr+1dtds ≤2 ( N ν ) 1 2 h 1 2 ∫ T τ Gm(s)ds+ 2 ( N 2µ ) 1 r+1 h r r+1 ∫ T τ ( β‖um(s)‖rLr+1 + ‖ϕ2‖Lr∗ ) ds, trong đó ta đã sử dụng đánh giá (3.4), bất đẳng thức Young và nhận xét 0 ≤ s¯−s− h ≤ h∀s ∈ R để đánh giá ∫ s¯ s−h ‖um(t+h)−um(t)‖dt và ∫ s¯ s−h ‖um(t+ h)− um(t)‖Lr+1dt. Thật vậy, ta có∫ s¯ s−h ‖um(t+ h)− um(t)‖dt ≤ (∫ s¯ s−h dt )1/2(∫ s¯ s−h ‖um(t+ h)− um(t)‖2dt )1/2 ≤ 2h1/2 (∫ T−h τ ‖um(t)‖2dt )1/2 ≤ 2 ( N ν )1/2 h1/2 97 và ∫ s¯ s−h ‖um(t+ h)− um(t)‖Lr+1dt ≤ (∫ s¯ s−h dt )r/(r+1)(∫ s¯ s−h ‖um(t+ h)− um(t)‖r+1Lr+1dt )1/(r+1) ≤ 2hr/(r+1) (∫ T−h τ ‖um(t)‖r+1Lr+1dt )1/(r+1) ≤ 2 ( N 2µ )1/(r+1) hr/(r+1). Như vậy, ta chỉ còn cần chứng minh ∫ T τ Gm(s)ds và ∫ T τ ( β‖u(s)‖rLr+1+‖ϕ2‖Lr∗ ) ds bị chặn. Thật vậy, ta có ∫ T τ Gm(s)ds ≤ ∫ T τ ( ν‖um(s)‖+ 2−1N1/4‖um(s)‖3/2 + ‖g(s)‖∗ ) ds ≤ ν (∫ T τ ds )1/2(∫ T τ ‖um(s)‖2ds )1/2 + 2−1N1/4 (∫ T τ ds )1/4(∫ T τ ‖um(s)‖2ds )3/4 + (∫ T τ ds )1/2(∫ T τ ‖g(s)‖2∗ds )1/2 ≤ ν(T − τ)1/2 ( N ν ) 1 2 + 2−1N1/4(T − τ)1/4 ( N ν ) 3 4 + (T − τ)1/2‖g‖L2(τ,T ;V ′) và ∫ T τ ( β‖um(s)‖rLr+1 + ‖ϕ2‖Lr∗ ) ds ≤ β (∫ T τ ds ) 1 r+1 (∫ T τ ‖um(s)‖r+1 Lr+1 ds ) r r+1 + ‖ϕ2‖Lr∗ (T − τ) ≤ β(T − τ)1/(r+1) ( N 2µ ) r r+1 + ‖ϕ2‖Lr∗ (T − τ). Từ các chứng minh trên, sử dụng Bổ đề 1.4 ta kết luận được rằng dãy {um} compact tương đối trong L2(τ, T ;H10 (O)). Vì vậy, từ dãy {um|O} ta có thể trích ra một dãy con, vẫn kí hiệu là {um|O}, hội tụ trong L2(τ, T ;H10 (O)) với 98 mọi hình cầu O ⊂ Ω, hay um → u trong L2(τ, T ; (H10 )loc(Ω)). Do đó, với mọi j và Ω′ = supp wj ∩ Ω, ta có um → u trong L2(τ, T ;H10 (Ω′)). Suy ra∣∣∣∣ ∫ T τ ∫ Ω (um · ∇)umwjψdxdt− ∫ T τ ∫ Ω (u · ∇)uwjψdxdt ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∫ T τ ∫ Ω′ (um · ∇)umwjψdxdt− ∫ T τ ∫ Ω′ (u · ∇)uwjψdxdt ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∫ T τ (b(um, um, wj)− b(u, u, wj))ψdt ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ ∫ T τ (b(um, wj , um − u) + b(um − u,wj , u))ψdt ∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ ∫ T τ (b(um − u,wj , u)ψdt ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ ∫ T τ b(um, wj , um − u))ψdt ∣∣∣∣ ≤c ∫ T τ ‖um − u‖1/2L2(Ω′)‖um − u‖ 1/2 H10 (Ω ′) (‖um‖H10 (Ω′) + ‖u‖H10 (Ω′))ψdt ≤c (∫ T τ ‖um − u‖2L2(Ω′)dt )1/4(∫ T τ ‖um − u‖2H10 (Ω′)dt )1/4 [(∫ T τ ‖um‖2H10 (Ω′)dt )1/2 + (∫ T τ ‖u‖2H10 (Ω′)dt )1/2] ≤c‖um − u‖1/2L2(τ,T ;L2(Ω′))‖um − u‖1/2L2(τ,T ;H10 (Ω′)) → 0 (khi m→∞). Mặt khác, cũng do {um|O} hội tụ trong L2(τ, T ;H10 (O)) nên từ dãy {um|O} ta có thể trích ra một dãy con, vẫn kí hiệu là {um|O}, sao cho {um(x, t)|O} hội tụ hầu khắp nơi đến {u(x, t)|O} trong (τ, T )×O. Kết hợp với tính liên tục của hàm f(·, ·) ta được f(x, um(x, t)) → f(x, u(x, t)) với hầu khắp (t, x) ∈ (τ, T )×O. Lại có hàm {f(x, um)} bị chặn trong L(r+1)/r(τ, T ;L(r+1)/r(O)), suy ra, theo Bổ đề 1.6, f(x, um) ⇀ f(x, u) trong L(r+1)/r(τ, T ;L(r+1)/r(O)) với mọi hình cầu O ⊂ Ω, hay f(x, um) ⇀ f(x, u) trong L(r+1)/r(τ, T ;L(r+1)/rloc (Ω)). Vì vậy, với j bất kì, Ω′ = supp wj ∩ Ω, ta có f(x, um) ⇀ f(x, u) trong L(r+1)/r(τ, T ;L(r+1)/r(Ω′)). Suy ra∫ T τ ∫ Ω f(x, um)wjψdx dt− ∫ T τ ∫ Ω f(x, u)wjψdx dt = ∫ T τ ∫ Ω′ ( f(x, um)− f(x, u))wjψdx dt→ 0 (khi m→∞). 99 Vậy, từ phương trình (3.5), cho m→∞ ta được∫ T τ 〈∂u ∂t , ϕ 〉 ψ dt + ν ∫ T τ ∫ Ω ∇u∇ϕ ψ dxdt+ α2 ∫ T τ ∫ Ω ∇ut∇ϕ ψ dxdt + ∫ T τ ∫ Ω (u · ∇)uϕψdxdt+ ∫ T τ ∫ Ω f(x, u)ϕψdx dt = ∫ T τ 〈g, ϕ〉ψdt với mọi ψ ∈ C∞0 (τ, T ), ϕ = ∞∑ k=1 ckwk ∈ V , hay u thỏa mãn phương trình đầu tiên của hệ phương trình (3.1) theo nghĩa yếu. Bước 4: Chứng minh u ∈ C([τ, T ];V ) và u(τ) = u0. Ta lấy một dãy {un} ∈ C1([τ, T ];V ) bất kì thỏa mãn un → u trong L∞(τ, T ;V ) ∩ Lr+1(τ, T ;Lr+1(Ω)), dun dt → du dt trong L2(τ, T ;V ′) + L(r+1)/r(τ, T ;L(r+1)/r(Ω)). Ta có ‖un(t)− um(t)‖2 = ‖un(t0)− um(t0)‖2 + 2 ∫ t t0 〈∇un(s)−∇um(s),∇u′n(s)−∇u′m(s)〉ds. Chọn t0 sao cho ‖un(t0)− um(t0)‖2 = 1 T − τ ∫ T τ ‖un(t)− um(t)‖2dt và kí hiệu X(t1, t2) = L ∞(t1, t2;V ) ∩ Lr+1(t1, t2;Lr+1(Ω)), X ′(t1, t2) = L2(t1, t2;V ′) + L(r+1)/r(t1, t2;L(r+1)/r(Ω)), ta có ∫ Ω ‖un(t)− um(t)‖2dx = 1 T − τ ∫ T τ ∫ Ω |∇un(t)−∇um(t)|2dxdt + 2 ∫ t t0 ∫ Ω 〈∇un(s)−∇un(s),∇u′n(s)−∇u′n(s)〉dxds 100 ≤ 1 T − τ ∫ T τ ∫ Ω |∇un(t)−∇um(t)|2dxdt + 2‖un(t)− um(t)‖X(t0,t)‖u′n(t)− u′m(t)‖X′(t0,t) ≤ 1 T − τ ‖un − um‖ 2 L2(τ,T ;V ) + 2‖un − um‖X(τ,T ).‖u′n − u′m‖X′(τ,T ). Từ đó suy ra {un} là một dãy Cauchy trong C([τ, T ];V ), do đó un → v trong C([τ, T ];V ). Mặt khác, ta cũng có un(t) → u(t) trong H10 (Ω) với hầu khắp t ∈ [τ, T ]. Vì vậy, do tính duy nhất của giới hạn ta có u(t) = v(t) với hầu khắp t ∈ [τ, T ] và do đó u ∈ C([τ, T ];V ) (nếu cần đã chỉnh sửa giá trị của u(t) trên một tập có độ đo không). Bây giờ, ta sẽ chứng minh u(τ) = u0. Vì u là một nghiệm yếu của hệ phương trình (3.1) nên với ψ ∈ C∞[τ, T ] bất kì thỏa mãn ψ(T ) = 0, ta có với mọi ϕ ∈ V ∩ Lr+1(Ω), ∫ T τ ∫ Ω ∂u ∂t ϕψ dxdt+ ν ∫ T τ ∫ Ω ∇u∇ϕψ dxdt+ α2 ∫ T τ ∫ Ω ∇ut∇ϕψ dxdt + ∫ T τ ∫ Ω (u · ∇)uϕψ dxdt+ ∫ T τ ∫ Ω f(x, u)ϕψdx dt = ∫ T τ 〈g, ϕ〉ψ dt. Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được − ∫ Ω u(τ)ϕψ(τ)dx− ∫ T τ ∫ Ω u ∂ ∂t (ϕψ)dxdt+ ν ∫ T τ ∫ Ω ∇u∇ϕψ dxdt + α2 ( − ∫ Ω ∇u(τ)∇ϕψ(τ)dx− ∫ T τ ∫ Ω ∇u ∂ ∂t (∇ϕψ)dxdt ) + ∫ T τ ∫ Ω (u · ∇)uϕψ dxdt+ ∫ T τ ∫ Ω f(x, u)ϕψdx dt = ∫ T τ 〈g, ϕ〉ψ dt. (3.6) Làm tương tự với dãy nghiệm xấp xỉ um ta có − ∫ Ω um(τ)ϕψ(τ)dx− ∫ T τ ∫ Ω um ∂ ∂t (ϕψ)dxdt+ ν ∫ T τ ∫ Ω ∇um∇ϕψdxdt + α2 ( − ∫ Ω ∇um(τ)∇ϕψ(τ)dx− ∫ T τ ∫ Ω ∇um ∂ ∂t (∇ϕψ)dxdt ) + ∫ T τ ∫ Ω (um · ∇)um ϕψ dxdt+ ∫ T τ ∫ Ω f(x, um)ϕψdx dt = ∫ T τ 〈g, ϕ〉ψ dt. 101 Lấy giới hạn hai vế, cho m→∞ ta được − ∫ Ω u0ϕψ(τ)dx− ∫ T τ ∫ Ω u ∂ ∂t (ϕψ)dxdt+ ν ∫ T τ ∫ Ω ∇u∇ϕψdxdt + α2 ( − ∫ Ω ∇u0∇ϕψ(τ)dx− ∫ T τ ∫ Ω ∇u ∂ ∂t (∇ϕψ)dxdt ) + ∫ T τ ∫ Ω (u · ∇)uϕψ dxdt+ ∫ T τ ∫ Ω f(x, u)ϕψdx dt = ∫ T τ 〈g, ϕ〉ψ dt. (3.7) Từ (3.6) và (3.7) suy ra∫ Ω u(τ)ϕψ(τ)dx+ α2 ∫ Ω ∇u(τ)∇ϕψ(τ)dx = ∫ Ω u0ϕψ(τ)dx+ α 2 ∫ Ω ∇u0∇ϕψ(τ)dx, hay ψ(τ)((u(τ), ϕ))2 = ψ(τ)((u0, ϕ))2, (3.8) trong đó ((u, v))2 = (u, v) + α 2((u, v)). Dễ thấy, ((·, ·))2 xác định một tích vô hướng trong V , tương đương với tích vô hướng ((., .)) thường dùng. Vì vậy, từ (3.8) ta được u(τ) = u0. Bước 5: Chứng minh tính tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ kiện ban đầu. Giả sử u1, u2 là hai nghiệm yếu của hệ phương trình (3.1) với điều kiện ban đầu tương ứng u01 , u02 ∈ V . Đặt u = u1−u2. Dễ thấy u ∈ C([τ, T ];V ) và với mọi hàm thử ϕ ta có 〈du dt , ϕ〉+ ν(∇u,∇ϕ) + α2〈d∇u dt ,∇ϕ〉+ b(u1, u1, ϕ)− b(u2, u2, ϕ) + ∫ Ω ( f(x, u1)− f(x, u2) ) · ϕdx = 0. Chọn ϕ = u và áp dụng đánh giá (1.7), tính chất 3) của hàm f với chú ý u2 102 bị chặn trong L∞(τ, T ;V ), ta thu được 1 2 d dt (|u|2 + α2|∇u|2)+ ν|∇u|2 = − ∫ Ω ( f(x, u1)− f(x, u2) ) · (u1 − u2)dx+ b(u, u, u2) ≤K|u|2 + 2−1|u|1/2‖u‖3/2‖u2‖ ≤K|u|2 + c|u|1/2‖u‖3/2 ≤ (K + c)|u|2 + ν 2 ‖u‖2. Do đó, d dt (|u|2 + α2|∇u|2)+ ν|∇u|2 ≤ (2c+ 2K)|u|2 ≤ 2(K + c)(|u|2 + α2|∇u|2). Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được điều phải chứng minh. 3.3. SỰ TỒN TẠI TẬP Dσ-HÚT LÙI Từ kết quả của Định lí 3.1, ta có thể định nghĩa một quá trình liên tục U(t, τ) : V → V cho bởi U(t, τ)u0 = u(t; τ, u0), τ ≤ t, u0 ∈ V, ở đó, u(t) = u(t; τ, u0) là nghiệm yếu của hệ phương trình (3.1) với dữ kiện ban đầu u(τ) = u0. Ta nhắc lại kí hiệu σ = λ1ν 1 + α2λ1 và đặt Rσ là tập tất cả các hàm r : R → (0,+∞) thỏa mãn lim t→−∞ eσtr2(t) = 0. Kí hiệu Dσ là tập tất cả các họ Dˆ = {D(t) : t ∈ R} ⊂ P(V ) sao cho D(t) ⊂ B¯(0, rDˆ(t)), trong đó B¯(0, rDˆ(t)) là một hình cầu đóng trong V tâm 0, bán kính rDˆ(t), với rDˆ(t) ∈ Rσ. Ta có bổ đề đầu tiên về tính liên tục của quá trình U(t, τ) sinh ra bởi bài toán. Bổ đề 3.1. Lấy {u0n} ⊂ V là một dãy bất kì trong V hội tụ yếu đến phần tử u0 thuộc V . Khi đó, với mọi τ ≤ t ta có U(t, τ)u0n ⇀ U(t, τ)u0 yếu trong V, (3.9) 103 U(t, τ)u0n ⇀ U(t, τ)u0 yếu trong L 2(τ, T ;V ) ∩ Lr+1(τ, T ;Lr+1(Ω)) (3.10) và U(t, τ)u0n → U(t, τ)u0 mạnh trong L2(τ, T ; (H10 )loc(Ω)). (3.11) Chứng minh. Để đơn giản, ta kí hiệu un(t) = U(t, τ)u0n , u(t) = U(t, τ)u0. Như trong chứng minh của Định lí 3.1 ta có với mọi T ≥ τ , {un} bị chặn trong L∞(τ, T ;V ) ∩ Lr+1(τ, T ;Lr+1(Ω)). (3.12) Do đó, với mọi v ∈ V ∩ Lr+1(Ω) ta có (un(t+ a)− un(t), v) + α2((un(t+ a)− un(t), v)) = ∫ t+a t 〈u′n(s), v〉ds+ α2 ∫ t+a t 〈∇u′n(s),∇v〉ds ≤ ∫ t+a t ( − ν((un(s), v))− b(un(s), un(s), v)− ∫ Ω f(x, un(s)) · vdx+ 〈g, v〉 ) ds. (3.13) Chọn v = un(t+ a)− un(t) ∈ V ∩Lr+1(Ω) với hầu khắp t, thay vào (3.13) ta được |un(t+ a)− un(t)|2 + α2‖un(t+ a)− un(t)‖2 =− ν ∫ t+a t ∫ Ω ∇un(s) · (∇un(t+ a)−∇un(t))dxds + ∫ t+a t b(un(s), un(s), un(t+ a)− un(t))ds − ∫ t+a t ∫ Ω f(x, un(s)) · (un(t+ a)− un(t))dxds+ ∫ t+a t 〈g, un(t+ a)− un(t)〉ds ≤‖un(t+ a)− un(t)‖ ∫ t+a t ( ν‖un(s)‖+ 2−1|un(s)|1/2‖un(s)‖3/2 + ‖g(s)‖∗ ) ds + ‖un(t+ a)− un(t)‖Lr+1 ∫ t+a t (‖ϕ2‖Lr∗ + β‖un(s)‖rLr+1)ds. Vì vậy,∫ T−a τ |un(t+ a)− un(t)|2dt+ α2 ∫ T−a τ ‖un(t+ a)− un(t)‖2dt ≤ ∫ T−a τ ‖un(t+ a)− un(t)‖ ∫ t+a t Gn(s)dsdt + ∫ T−a τ ‖un(t+ a)− un(t)‖Lr+1 ∫ t+a t (‖ϕ2‖Lr∗ + β‖un‖rLr+1)dsdt, (3.14) 104 ở đó Gn(s) = ν‖un(s)‖ + 2−1|un(s)|1/2‖un(s)‖3/2 + ‖g(s)‖∗. Sử dụng định lí Fubini với hàm s¯ =   τ nếu s ≤ τ s nếu τ < s ≤ T − a T − h nếu s > T − a ta có ∫ T−a τ |un(t+ a)− un(t)|2dt+ α2 ∫ T−a τ ‖un(t+ a)− un(t)‖2dt ≤ ∫ T τ Gn(s) ∫ s¯ s−a ‖un(t+ a)− un(t)‖dtds + ∫ T τ ( β‖u(s)‖rLr+1 + ‖ϕ2‖Lr∗ ) ∫ s¯ s−a ‖un(t+ a)− un(t)‖Lr+1dtds ≤C1Ta1/2 ∫ T τ Gn(s)ds+ C 2 Ta r/(r+1) ∫ T τ ( β‖un(s)‖rLr+1 + ‖ϕ2‖Lr∗ ) ds, trong đó ta đã sử dụng (3.12), bất đẳng thức Young và nhận xét 0 ≤ s¯−s− a ≤ a∀s ∈ R để đánh giá tích phân ∫ s¯ s−a ‖un(t+h)−un(t)‖dt và ∫ s¯ s−a ‖un(t+a)− un(t)‖Lr+1dt. Thật vậy, ta có∫ s¯ s−a ‖un(t+ a)− un(t)‖dt ≤ (∫ s¯ s−a dt )1/2(∫ s¯ s−a ‖un(t+ a)− un(t)‖2dt )1/2 ≤ 2a1/2 (∫ T−a τ ‖un(t)‖2dt )1/2 ≤ C1Ta1/2 và ∫ s¯ s−a ‖un(t+ a)− un(t)‖Lr+1dt ≤ (∫ s¯ s−a dt )r/(r+1)(∫ s¯ s−a ‖un(t+ a)− un(t)‖r+1Lr+1dt )1/(r+1) ≤ 2ar/(r+1) (∫ T−a τ ‖un(t)‖r+1Lr+1dt )1/(r+1) ≤ C2Tar/(r+1), trong đó các hằng số dương C1T , C2T không phụ thuộc vào n. Như vậy, ta còn cần chỉ ra rằng ∫ T τ Gn(s)ds và ∫ T τ ( β‖un(s)‖rLr+1 +‖ϕ2‖Lr∗ ) ds bị chặn. Thật 105 vậy, sử dụng bất đẳng thức Ho¨lder và (3.12) ta có ∫ T τ Gn(s)ds ≤ ∫ T τ ( ν‖un(s)‖+ c‖um(s)‖3/2 + ‖g(s)‖∗ ) ds ≤ ν (∫ T τ ds )1/2(∫ T τ ‖u(s)‖2ds )1/2 + c (∫ T τ ds )1/4(∫ T τ ‖un(s)‖2ds )3/4 + (∫ T τ ds )1/2(∫ T τ ‖g(s)‖2∗ds )1/2 ≤ cν(T − τ)1/2 + c(T − τ)1/4 + (T − τ)1/2‖g‖L2(τ,T ;V ′) và ∫ T τ ( β‖un(s)‖rLr+1 + ‖ϕ2‖Lr∗ ) ds ≤β (∫ T τ ds )1/(r+1)(∫ T τ ‖un(s)‖r+1Lr+1ds )r/(r+1) + ‖ϕ2‖Lr∗ (T − τ) ≤ cβ(T − τ)1/(r+1) + ‖ϕ2‖Lr∗ (T − τ). Áp dụng các đánh giá trên vào (3.14) ta được ∫ T−a τ |un(t+a)−un(t)|2dt+α2 ∫ T−a τ ‖un(t+a)−un(t)‖2dt ≤ C˜1Ta 1 2 +C˜2Ta r r+1 , trong đó C˜1T , C˜2T là các hằng số dương không phụ thuộc vào n. Vì vậy, lim a→0 sup n (∫ T−a τ ‖un(t+ a)− un(t)‖2L2(Ωr′ )dt + α2 ∫ T−a τ ‖un(t+ a)− un(t)‖2H10 (Ωr′ )dt ) = 0, (3.15) với mọi r′ > 0, ở đó Ωr′ = {x ∈ Ω : |x| < r′}. Hơn nữa, từ (3.11) ta có {un|Ωr′ } bị chặn trong L∞(τ, T ;V ) ∩ Lr+1(τ, T ;Lr+1(Ω)) với mọi r′ > 0. Bây giờ, ta sử dụng hàm cắt ρ ∈ C1(R+) với ρ(s) = 1 trong đoạn [0, 1] và ρ(s) = 0 trong [2,+∞). Với mỗi r′ > 0, ta định nghĩa 106 vn,r′(x) = ρ ( |x|2 r′2 ) un(x) với x ∈ Ω2r′ . Khi đó, từ (3.15) ta có lim a→0 sup n (∫ T−a τ ‖vn,r′(t+ a)− vn,r′(t)‖2L2(Ω2r′ )dt + α2 ∫ T−a τ ‖vn,r′(t+ a)− vn,r′(t)‖2H1(Ω2r′ )dt ) = 0, với mọi T > τ, r > 0. Trong khi đó, từ (3.12) ta có {vn,r′} bị chặn trong L∞(τ, T ;H1(Ω2r′)) ∩ Lr+1(τ, T ;Lr+1(Ω2r′)) với mọi T > τ , r > 0. Sử dụng Định lí 13.3 và Chú ý 13.1 trong [48] ta được {vn,r′} compact tương đối trong L2(τ, T ;H1(Ω2r′) với mọi T > τ, r′ > 0. Suy ra {un|Ωr′ } compact tương đối trong L2(τ, T ;H1(Ω2r′)) với mọi T > τ, r′ > 0. Vì vậy, bằng phương pháp chọn chéo, ta có thể trích ra một dãy con {un′} sao cho un′ ⇀ u˜ *- yếu trong L∞loc(R;V ), un′ ⇀ u˜ *- yếu trong Lr+1loc (R;L r+1(Ωr′)), un′ → u˜ mạnh trong L2loc(R;H1(Ωr′)) r′ > 0, (3.16) với u˜ ∈ L∞loc(R;V ) ∩ Lr+1loc (R;Lr+1(Ω)). Sự hội tụ trong (3.16) cho phép ta chuyển qua giới hạn trong phương trình với un′ và chỉ ra rằng u˜ là một nghiệm yếu của (3.1) với điều kiện ban đầu u˜(τ) = u0. Do tính tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán ta có u˜ = u. Do đó, bằng phương pháp phản chứng, ta kết luận được rằng cả dãy {un} phải hội tụ đến u trong trường hợp (3.16) hay (3.10) và (3.11) được chứng minh. Tiếp theo, do tính hội tụ mạnh trong (3.16) ta cũng có un(t) hội tụ mạnh đến u(t) trong H1(Ωr′) với hầu khắp t ≥ τ và với mọi r′ > 0. Vì vậy, với mọi v ∈ V, ta có ((un(t), v)) → ((u(t), v)) với hầu khắp t ∈ R. Hơn nữa, từ (3.12) và (3.13) ta thấy {(un(t), v)} bị chặn đều và liên tục đồng bậc trên [τ, T ], với mọi T > τ . Do đó, ((un(t), v)) → ((u(t), v)), ∀ t ∈ R, ∀ v ∈ V. 107 Cuối cùng, do V trù mật trong V , ta có được (3.9). Sau đây, ta sẽ phát biểu và chứng minh kết quả về sự tồn tại tập hút lùi. Định lí 3.2. Giả sử các điều kiện (H1)-(H3) đều được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại duy nhất một tập Dσ-hút lùi Aˆ = {A(t) : t ∈ R} của quá trình U(t, τ) liên kết với bài toán (3.1). Chứng minh. Lấy τ ∈ R, u0 ∈ H cố định và kí hiệu u(t) = u(t; τ, u0) = U(t, τ)u0 với mọi t ≥ τ. Ta cần hai chuẩn mới trong V như sau [u]21 := ν‖u‖2 − σ 2 (|u|2 + α2‖u‖2) [u]22 := |u|2 + α2‖u‖2. Rõ ràng, hai chuẩn trên đều tương đương với chuẩn ‖ · ‖ thường dùng trong V . Để chứng minh sự tồn tại duy nhất của tập Dσ-hút lùi của quá trình U(t, τ) liên kết với bài toán, ta cần kiểm tra hai điều kiện của Định lí 1.1 như sau: i) Trước hết, ta chứng minh quá trình U(t, τ) có một họ Dσ-hấp thụ lùi Bˆσ. Thật vậy, từ 〈du dt , v 〉 + ν((u, v)) + α2((ut, v)) + b(u, u, v) + 〈f(x, u), v〉 = 〈g, v〉, chọn v(s) = eσsu(s) ta được d ds (eσs|u(s)|2) + α2 d ds (eσs‖u(s)‖2) + 2νeσs‖u(s)‖2 + 2eσs ∫ Ω f(x, u) · udx = σeσs|u(s)|2 + α2σeσs‖u(s)‖2 + 2eσs〈g(s), u(s)〉 ≤ σ λ1 eσs‖u(s)‖2 + α2σeσs‖u(s)‖2 + 2eσs‖g(s)‖∗‖u(s)‖ ≤ νeσs‖u(s)‖2 + 1 ν eσs‖g(s)‖2∗ + νeσs‖u(s)‖2. Do f(x, u) · u ≥ −ϕ1(x) + µ|u|r+1 ta có d ds eσs (|u(s)|2 + α2‖u(s)‖2)+2µeσs ∫ Ω |u|r+1dx ≤ 2eσs ∫ Ω ϕ1(x)dx+ 1 ν eσs‖g(s)‖2∗. 108 Vì vậy, d ds eσs (|u(s)|2 + α2‖u(s)‖2) ≤ 2eσs ∫ Ω ϕ1(x)dx+ 1 ν eσs‖g(s)‖2∗. Lấy tích phân hai vế theo biến s, cận từ τ đến t ta được eσt (|u(t)|2 + α2‖u(t)‖2) ≤ eστ(|u(τ)|2 + α2‖u(τ)‖2)+ 2 ∫ t τ ∫ Ω eσsϕ1(x)dxds+ 1 ν ∫ t τ eσs‖g(s)‖2∗ds = eστ [u0] 2 2 + 2 ∫ t τ eσsds ∫ Ω ϕ1(x)dx+ 1 ν ∫ t τ eσs‖g(s)‖2∗ds = eστ [u0] 2 2 + 2 eσt − eστ σ ∫ Ω ϕ1(x)dx+ 1 ν ∫ t τ eσs‖g(s)‖2∗ds. Suy ra |U(t, τ)u0|2+α2‖U(t, τ)u0‖2 ≤ eσ(τ−t)[u0]22+ 2 σ ‖ϕ1‖L1+e −σt ν ∫ t −∞ eσs‖g(s)‖2∗ds. (3.17) Kí hiệu R2σ(t) là số không âm cho bởi: với mỗi t ∈ R: R2σ(t) = 2 σα2 ‖ϕ1‖L1 + 2e −σt να2 ∫ t −∞ eσs‖g(s)‖2∗ds và Bˆσ = {Bσ(t) : t ∈ R} là họ các hình cầu trong V cho bởi: Bσ(t) = {v ∈ V : ‖v‖ ≤ Rσ(t)}, với mọi t ∈ R, (3.18) thì hiển nhiên ta có Bˆσ ∈ Dσ và chính là họ Dσ-hấp thụ lùi của quá trình U(t, τ). ii) Tiếp theo, ta chứng minh U(t, τ) là Dσ-compact tiệm cận lùi. Lấy Dˆ ∈ Dσ, t ∈ R, dãy τn → −∞ và dãy u0n ∈ D(τn) cố định. Ta cần chứng minh từ dãy {U(t, τn)u0n} có thể trích ra một dãy con hội tụ trong V . Do họ Bˆσ là Dσ-hút lùi nên với mỗi k ≥ 0, tồn tại τDˆ(k) sao cho U(t− k, τ − k,D(τ − k)) ⊂ Bσ(t− k) với mọi τ ≤ τDˆ(k). Vì vậy, với mỗi τ ≤ τDˆ(k)− k, U(t− k, τ,D(τ)) ⊂ Bσ(t− k). 109 Suy ra {U(t, τn)u0n} là tiền compact yếu trong V , lại do Bσ(t − k) lồi đóng nên tồn tại dãy con {(τn′ , u0n′ )} ⊂ {(τn, u0n)} và dãy {wk; k ≥ 0} ⊂ V sao cho với mọi k ≥ 0 và wk ∈ Bσ(t− k), U(t− k, τn′)u0n′ ⇀ wk yếu trong V. Do phép nhúng V ↪→ H là liên tục nên U(t− k, τn′)u0n′ ⇀ wk yếu trong H. Ta có w0 = weak− lim n′→∞ U(t, τn′)u0n′ = weak− lim n′→∞ U(t, t− k)U(t− k, τn′)u0n′ = U(t, t− k)(weak− lim n′→∞ U(t− k, τn′)u0n′ ) , nghĩa là U(t, t− k)wk = w0 với mọi k ≥ 0. Bởi tính nửa liên tục dưới của chuẩn ta có [w0]2 ≤ lim inf n′→∞ [U(t, τn′)u0n′ ]2. Như vậy, chỉ cần chứng minh được [w0]2 ≥ lim sup n′→∞ [U(t, τn′)u0n′ ]2, thì ta sẽ có sự hội tụ theo chuẩn lim n′→∞ [U(t, τn′)u0n′ ]2 = [w0]2 và kết hợp với tính hội tụ yếu, ta sẽ khẳng định được U(t, τn′)u0n′ hội tụ mạnh đến w0 trong V . Với mọi τ ∈ R, t ≥ τ, u0 ∈ V , từ〈du dt , v 〉 + ν((u, v)) + α2((ut, v)) + b(u, u, v) + 〈f(x, u), v〉 = 〈g, v〉, chọn v = eσ(s−t)u ta có d ds ( eσ(s−t)|u(s)|2 + α2eσ(s−t)‖u(s)‖2)+ 2νeσ(s−t)‖u(s)‖2 + 2 ∫ Ω eσ(s−t)f(x, u) · udx = σeσ(s−t)|u(s)|2 + α2σeσ(s−t)‖u(s)‖2 + 2eσ(s−t)〈g(s), u(s)〉. 110 Lấy tích phân hai vế cận từ τ đến t ta được |u(t)|2+α2‖u(t)‖2 = eσ(τ−t) (|u(τ)|2 + α2‖u(τ)‖2) + 2 ∫ t τ eσ(s−t) ( 〈g(s), u(s)〉 − (ν‖u(s)‖2 − σ 2 |u(s)|2 − α 2σ 2 ‖u(s)‖2) − ∫ Ω f(x, u) · udx ) ds, hay [U(t, τ)u0] 2 2 = e σ(τ−t)[u0]22 + 2 ∫ t τ eσ(s−t) ( 〈g(s), U(s, τ)u0〉 − [U(s, τ)u0]21 − ∫ Ω f(x, U(s, τ)u0) · U(s, τ)u0dx ) ds. Vì vậy, với mọi k ≥ 0, τn′ ≤ t− k, ta có [U(t, τn′)u0n′ ] 2 2 = [U(t, t− k)U(t− k, τn′)u0n′ ]22 = e−σk[U(t− k, τn′)u0n′ ]22 + 2 ∫ t t−k eσ(s−t)〈g(s), U(s, t− k)U(t− k, τn′)u0n′ 〉ds − 2 ∫ t t−k eσ(s−t)[U(s, t− k)U(t− k, τn′)u0n′ ]21ds − 2 ∫ t t−k ∫ Ω eσ(s−t)f(x, U(s, t− k)U(t− k, τn′)u0n′ ) · U(s, t− k)U(t− k, τn′)u0n′dxds. Vì τ ≤ τDˆ(k)− k, k ≥ 0 nên U(t− k, τ,D(τ)) ⊂ Bσ(t− k), suy ra lim sup n′→∞ (e−σk[U(t− k, τn′)u0n′ ]22) ≤ e−σk ( 1 λ1 + α2 ) R2σ(t− k), ∀ k ≥ 0. Do U(t− k, τn′)u0n′ ⇀ wk yếu trong V nên theo Bổ đề 3.1, U(s, t− k)U(t− k, τn′)u0n′ ⇀ U(s, t− k)wk yếu trong L2(t− k, t;V ). 111 Kết hợp với giả thiết eσ(s−t)g(s) ∈ L2(t− k, t;V ′) ta thu được lim sup n′→∞ ∫ t t−k eσ(s−t)〈g(s), U(s, t− k)U(t− k, τn′)u0n′ 〉ds = ∫ t t−k eσ(s−t)〈g(s), U(s, t− k)wk〉ds. Lại có, (∫ t t−k eσ(s−t)[v(s)]2ds ) 1 2 cũng xác định một chuẩn trong L2(t−k, t;V ), tương đương với chuẩn thường dùng, suy ra∫ t t−k eσ(s−t)[U(s, t− k)wk]21ds ≤ lim inf n′→∞ ∫ t t−k eσ(s−t)[U(s, t− k)U(t− k, τn′)u0n′ ]21ds. Tiếp theo, cũng do Bổ đề 3.1, ta có U(s, t− k)U(t− k, τn′)u0n′ ⇀ U(s, t− k)wk yếu trong Lr+1(t− k, t;Lr+1(Ω)), và U(s, t−k)U(t−k, τn′)u0n′ → U(s, t−k)wk mạnh trong L2(t−k, t; (H10 )loc(Ω)), nên ∫ t t−k ∫ Ω eσ(s−t)f(U(s, t− k)wk) · U(s, t− k)wkdxds ≤ lim inf n′→∞ ∫ t t−k ∫ Ω eσ(s−t)f(x, U(s, t− k)U(t− k, τn′)u0n′ ) · U(s, t− k)U(t− k, τn′)u0n′dxds. Từ các đánh giá trên, ta dễ dàng có được lim sup n′→∞ [U(t, τn′)u0n′ ] 2 2 ≤ e−σk( 1 λ1 + α2 ) R2σ(t− k) + 2 ∫ t t−k eσ(s−t) ( 〈g(s), U(s, t− k)wk〉 − [U(s, t− k)wk]21 − ∫ Ω f(x, U(s, t− k)wk) · U(s, t− k)wkdx ) ds. 112 Mặt khác, ta có [w0] 2 2 = [U(t, t− k)wk]22 = e−σk[wk]22 + 2 ∫ t t−k eσ(s−t)〈g(s), U(s, t− k)wk〉ds − 2 ∫ t t−k eσ(s−t)[U(s, t− k)wk]21ds − 2 ∫ t t−k ∫ Ω eσ(s−t)f(x, U(s, t− k)wk) · U(s, t− k)wkdxds. Vì vậy, lim sup n′→∞ [U(t, t− τn′)u0n′ ]22 ≤ e−σk ( 1 λ1 + α2 ) R2σ(t− k) + [w0]22 − e−σk[wk]22 ≤ e−σk( 1 λ1 + α2 ) R2σ(t− k) + [w0]22. Mà ta lại có e−σkR2σ(t− k) = 2e−σt ν ∫ t−k −∞ eσs‖g(s)‖2∗ds→ 0 khi k → +∞, suy ra lim sup n′→∞ [U(t, τn′)u0n′ ] 2 2 ≤ [w0]22. Định lí đã được chứng minh. Nhận xét 3.1. Như một hệ quả trực tiếp của định lí trên, ta sẽ chỉ ra được sự tồn tại tập hút toàn cục của quá trình sinh bởi bài toán khi ngoại lực g ∈ V ′ không phụ thuộc vào biến thời gian t. Khi đó, ta định nghĩa một nửa nhóm liên tục S(t) : V → V cho bởi S(t)u0 = u(t), trong đó u(t) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (3.1) với điều kiện ban đầu u0. Dễ thấy rằng S(t)u0 = U(t, 0)u0 = U(t+ τ, τ)u0, với τ ∈ R. Vì vậy, từ đánh giá (3.17) ta có được hình cầu B0 = { u ∈ V : ‖u‖2 ≤ 2 σα2 ‖ϕ1‖L1 + 2 νσα2 ‖g‖2∗ } 113 là một tập hấp thụ bị chặn của S(t), nghĩa là với tập bị chặn B bất kì, tồn tại T (B) sao cho S(t)B ⊂ B0 với mọi t ≥ T (B). Mặt khác, với tn → +∞ và un ∈ B bất kì, dãy S(tn)un = U(tn, 0)un = U(0,−tn)un là compact tương đối trong V (do phần ii) trong chứng minh Định lí 3.2). Vì vậy, S(t) là compact tiệm cận trong V . Do đó, theo định lí đã biết về sự tồn tại duy nhất tập hút toàn cục (xem, chẳng hạn, [49, Định lí 1.1]), nửa nhóm S(t) có một tập hút toàn cục compact liên thông A trong V . 3.4. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG Giả sử ngoại lực g ∈ V ′ không phụ thuộc vào biến thời gian t. Ta có định nghĩa nghiệm dừng tương ứng của bài toán (3.1) như sau: Định nghĩa 3.2. Một hàm u∗ ∈ V ∩ Lr+1(Ω) được gọi là nghiệm dừng của bài toán (3.1) nếu nó thỏa mãn ν((u, v)) + b(u, u, v) + ∫ Ω f(x, u) · v dx = 〈g, v〉 với mọi v ∈ V ∩ Lr+1(Ω). Sự tồn tại duy nhất của nghiệm dừng được phát biểu trong định lí sau. Định lí 3.3. Dưới các giả thiết và kí hiệu như trên, bài toán (3.1) có ít nhất một nghiệm dừng u∗ thỏa mãn ν‖u∗‖2 + 2µ‖u∗‖r+1 Lr+1 ≤ 1 ν ‖g‖2∗ + 2‖ϕ1‖L1 . (3.19) Hơn nữa, nếu giả thiết sau được thỏa mãn ν > Kλ−11 + 2 −1λ−1/41 (‖g‖2∗ ν2 + 2‖ϕ1‖L1 ν )1/2 (3.20) thì nghiệm dừng của bài toán (3.1) là duy nhất. Chứng minh. (i) Sự tồn tại. Đầu tiên, ta thấy việc chứng minh đánh giá (3.19) cho nghiệm dừng u∗ (nếu tồn tại) là dễ dàng. Thật vậy, nếu nghiệm dừng u∗ tồn tại thì phải thỏa mãn đẳng thức ν((u∗, u∗)) + b(u∗, u∗, u∗) + ∫ Ω f(x, u∗) · u∗ dx = 〈g, u∗〉. 114 Do b(u∗, u∗, u∗) = 0 và f(x, v) · v ≥ µ|v|r+1 − ϕ1(x), ta có ν‖u∗‖2 + µ ∫ Ω |u∗|r+1dx ≤ ‖ϕ1‖L1 + ‖g‖∗‖u∗‖ ≤ ‖ϕ1‖L1 + 1 2ν ‖g‖2∗ + ν 2 ‖u∗‖2, và từ đó ta được đánh giá (3.19). Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh nghiệm dừng của bài toán tồn tại. Thật vậy, do V ∩Lr+1(Ω) là tách được và V trù mật trong V ∩Lr+1(Ω) nên tồn tại một dãy các phần tử độc lập tuyến tính, trực giao {w1, w2, . . . } ⊂ V, đầy đủ trong V ∩ Lr+1(Ω). Kí hiệu Vm = span{w1, ..., wm}. Một nghiệm dừng xấp xỉ của bài toán (3.1) là hàm có dạng um = m∑ i=1 cmiw i thỏa mãn ν((um, wi)) + b(um, um, wi) + ∫ Ω f(x, um) · wi dx = 〈g, wi〉. (3.21) Để chứng minh sự tồn tại nghiệm, ta định nghĩa toán tử Rm : Vm → Vm bởi ((Rmu, v)) = ν((u, v))+b(u, u, v)+ ∫ Ω f(x, u) ·v dx−〈g, v〉 với mọi u, v ∈ Vm. Với mọi u ∈ Vm ta có ((Rmu, u)) = ν((u, v)) + b(u, u, u) + ∫ Ω f(x, u) · u dx− 〈g, u〉 ≥ ν‖u‖2 + µ‖u‖r+1 Lr+1 − ‖ϕ1‖L1 − ‖g‖∗‖u‖ ≥ ν 2 ‖u‖2 − ‖ϕ1‖L1 − 1 2ν ‖g‖2∗. Vì vậy, nếu chọn k = (‖g‖2∗ ν2 + 2‖ϕ1‖L1 ν )1/2 , ta được ((Rmu, u)) ≥ 0 với mọi u ∈ Vm sao cho ‖u‖ = k và do đó, sử dụng Bổ đề 1.7, là hệ quả của Định lí điểm bất động Brouwer, ta có: với mỗi m ≥ 1 tồn tại um ∈ Vm sao cho ‖um‖ ≤ k và Rm(um) = 0. 115 Thay wi trong (3.21) bởi um với chú ý b(um, um, um) = 0 và f(x, v) · v ≥ µ|v|r+1 − ϕ1(x), ta được ν‖um‖2 + 2µ‖um‖r+1Lr+1 ≤ 1 ν ‖g‖2∗ + 2‖ϕ1‖L1 . Do đó, {um} bị chặn trong V ∩ Lr+1(Ω), dẫn đến {f(x, um)} cũng bị chặn trong L(r+1)/r(Ω). Vì vậy, từ dãy {um} ta có thể trích được một dãy con, vẫn kí hiệu là {um} sao cho um hội tụ yếu trong V ∩Lr+1(Ω) đến u∗ và ta có thể chứng minh u∗ chính là một nghiệm dừng yếu của bài toán (3.1). (ii) Tính duy nhất nghiệm. Giả sử u∗1 và u∗2 là hai nghiệm dừng của bài toán (3.1). Đặt u∗ = u∗1 − u∗2 ta có: với mọi v ∈ V ∩ Lr+1(Ω) ν〈Au∗, v〉+ b(u∗1, u∗1, v)− b(u∗2, u∗2, v) + ∫ Ω (f(x, u∗1)− f(x, u∗2)) · vdx = 0. Chọn v = u∗ ta được ν‖u∗‖2 = −b(u∗1, u∗1, u∗) + b(u∗2, u∗2, u∗)− ∫ Ω (f(x, u∗1)− f(x, u∗2)) · u∗dx ≤ b(u∗, u∗, u∗2)− ∫ Ω f ′u(x, ξ)u ∗ · u∗dx ≤ 2−1λ−1/41 ‖u∗‖2‖u∗2‖+K|u∗|2 ≤ ( Kλ−11 + 2 −1λ−1/41 (‖g‖2∗ ν2 + 2‖ϕ1‖L1 ν )1/2) ‖u∗‖2. (3.22) Từ (3.20) và (3.22) ta suy ra tính duy nhất của nghiệm dừng. Bây giờ, ta sẽ chứng minh nghiệm dừng duy nhất u∗ nhận được ở trên là ổn định mũ toàn cục. Định lí 3.4. Giả sử rằng các giả thiết trong Định lí 3.1 với g không phụ thuộc vào biến thời gian và điều kiện (3.20) được thỏa mãn. Khi đó, nghiệm u(t) của bài toán (3.1) với τ = 0 thỏa mãn đánh giá sau ‖u(t)− u∗‖2 ≤ ( 1 + 1 λ1α2 ) e−λt‖u(0)− u∗‖2, với λ là số dương thỏa mãn λ(λ−11 + α 2)− 2ν + λ−1/41 (‖g‖2∗ ν2 + 2‖ϕ1‖L1 ν )1/2 + 2Kλ−11 < 0. (Sự tồn tại số λ > 0 như vậy suy ra từ điều kiện (3.20)). 116 Chứng minh. Đặt w(t) = u(t)− u∗ ta có〈 dw(t) dt , v 〉 + ν((w(t), v)) + α2 〈 d∇w(t) dt ,∇v 〉 + b(u(t), u(t), v) − b(u∗, u∗, v) + (f(x, u(t))− f(x, u∗), v) = 0. Chọn v = eλtw(t) (với λ là một số dương bất kì, giá trị sẽ được chọn sau), ta có 1 2 d dt ( eλt|w|2 + α2eλt‖w‖2)− λ 2 eλt(|w|2 + α2‖w‖2) + νeλt‖w‖2 + eλtb(u, u, w) − eλtb(u∗, u∗, w) + eλt(f(x, u)− f(x, u∗), w) = 0. Vì vậy, d dt ( eλt|w|2 + α2eλt‖w‖2) ≤ eλt ( λ|w|2 + λα2‖w‖2 − 2ν‖w‖2 + 2b(w,w, u∗)− 2 ∫ Ω f ′(x, ξ)w · wdx ) ≤ eλt ( λλ−11 ‖w‖2 + λα2‖w‖2 − 2ν‖w‖2 + λ−1/41 ‖w‖2‖u∗‖+ 2K|w|2 ) ≤ eλt ( λ(λ−11 + α 2)− 2ν + λ−1/41 (‖g‖2∗ ν2 + 2‖ϕ1‖L1 ν )1/2 + 2Kλ−11 ) ‖w‖2. Do (3.20), ta có −2ν + λ−1/41 (‖g‖2∗ ν2 + 2‖ϕ1‖L1 ν )1/2 + 2Kλ−11 < 0. Vì vậy, ta có thể chọn λ > 0 đủ nhỏ sao cho λ(λ−11 + α 2)− 2ν + λ−1/41 (‖g‖2∗ ν2 + 2‖ϕ1‖L1 ν )1/2 + 2Kλ−11 < 0, và thu được d dt (eλt[w(t)]22) ≤ 0. Vì vậy, [u(t)− u∗]22 ≤ e−λt[u(0)− u∗]22. Chú ý rằng ‖u‖2 ≤ 1 α2 [u]22 ≤ ( 1 λ1 + α2 ) ‖u‖2 ∀u ∈ V, ta được điều phải chứng minh. 117 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer ba chiều trong miền không nhất thiết bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré. Các kết quả đạt được bao gồm: 1) Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu (Định lí 3.1). 2) Chứng minh được sự tồn tại tập hút lùi của quá trình sinh bởi nghiệm yếu của bài toán khi ngoại lực g có thể phụ thuộc vào biến thời gian (Định lí 3.2). 3) Chứng minh được sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu của bài toán khi ngoại lực g không phụ thuộc vào biến thời gian và "đủ nhỏ" (Định lí 3.3). 118 KẾT LUẬN 1. CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt và hệ Kelvin- Voigt-Brinkman-Forchheimer ba chiều trong trường hợp ngoại lực phụ thuộc thời gian (trường hợp không ôtônôm) và miền xét hệ không nhất thiết bị chặn mà chỉ cần thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré. Các kết quả đạt được bao gồm: 1. Đối với hệ Navier-Stokes-Voigt: Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu, sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi, tính trơn của tập hút lùi, tính nửa liên tục trên của tập hút lùi trong trường hợp hai chiều. 2. Đối với hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer: Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu, sự tồn tại của tập hút lùi, sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng. 2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO • Tiếp tục nghiên cứu các tính chất của tập hút lùi của quá trình sinh bởi hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer: tính trơn, đánh giá số chiều của tập hút, sự phụ thuộc liên tục của tập hút theo các tham số. • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ Navier-Stokes-Voigt và hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer trong trường hợp ngoại lực phụ thuộc vào trễ hoặc chứa nhiễu ngẫu nhiên. 119 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1. C. T. Anh and P. T. Trang, Pullback attractors for 3D Navier-Stokes- Voigt equations in some unbounded domains, Proc. Royal Soc. Edinburgh Sect. A 143 (2013), 223-251. 2. C. T. Anh and P. T. Trang, On the 3D Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer equations in some unbounded domains, Nonlinear Anal. 89 (2013), 36-54. 3. C. T. Anh and P. T. Trang, Regularity and upper semicontinuity of pullback attractors for Navier-Stokes-Voigt equations in two-dimensional unbounded domains, submitted. 120 Tài liệu tham khảo [1] R.A. Adams (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York. [2] A.V. Babin and M.I. Vishik (1992), Attractors of Evolution Equations, Amsterdam, North-Holland, 532 p. [3] J.M. Ball (2004), Global attractor for damped semilinear wave equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. 10, 31-52. [4] C. Bardos and B. Nicolaenko (2002), Navier-Stokes equations and dy- namical systems, Handbook of dynamical systems, Vol. 2, 503-597, North- Holland, Amsterdam. [5] M. Bulicek and J. Malek (2005), On the dimension on the attractor for a class of fluids with pressure dependent viscossity, Comm. Pure Appl. Anal. 4, 805-822. [6] X. Cai and Q. Jiu (2008), Weak and strong solutions for the incompressible Navier-Stokes equations with damping, J. Math. Anal. Appl. 343, 799-809. [7] X. Cai and L. Lei (2010), L2 decay of the incompressible Navier-Stokes equations with damping, Acta Math. Sci., Ser. B, Engl. Ed. 30, 1235-1248. [8] Y. Cao, E.M. Lunasin and E.S. Titi (2006), Global well-posedness of the three-dimensional viscous and inviscid simplified Bardina turbulence mod- els, Commun. Math. Sci. 4, 823-848. 121 [9] T. Caraballo, G. Lukaszewicz and J. Real (2006), Pullback attractors for asymptotically compact non-autonomous dynamical systems, Nonlinear Anal. 64, 484-498. [10] A. Carvalho, J.A. Langa and J.C. Robinson (2013), Attractors for Infinite- Dimensional Non-Autonomous Dynamical Systems, Appl. Math. Sci. 182. Berlin: Springer, 409 p. [11] A.O. Celebi, V.K. Kalantarov and M. Polat (2009), Global attractors for 2D Navier-Stokes-Voight equations in an unbounded domain, Appl. Anal. 88, 381-392. [12] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (1994), Attractors for non-autonomous dynamical systems and their dimension, J. Math. Pures Appl. 73, 279-333. [13] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (2002),Attractors for Equations of Math- ematical Physics, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 49, Amer. Math. Soc., Providence, RI. [14] P. Constantin and C. Foias (1988), Navier-Stokes Equations, Chicago Lec- tures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago. [15] Y. Dou, X. Yang and Y. Qin (2011), Remarks on uniform attractors for the 3D non-autonomous Navier-Stokes-Voight equations, Bound. Value Probl. 2011, 2011:49, 11 pp. [16] C. Foias, D.D. Holm and E.S. Titi (2001), The Navier-Stokes-alpha model of fluid turbulence, Advances in nonlinear mathematics and science, Phys. D 152/153 (2001), 505-519. [17] J. García-Luengo, P. Marín-Rubio and J. Real (2011), H2-boundedness of the pullback attractors for non-autonomous 2D Navier-Stokes equations in bounded domains, Nonlinear Anal. 74, 4882-4887. 122 [18] J. García-Luengo, P.M. Rubio and J. Real (2012), Pullback attractors in V for non-autonomous 2D-Navier-Stokes equations and their tempered behaviour, J. Differential Equations 252, 4333-4356. [19] J. García-Luengo, P. Marín-Rubio and J. Real (2012), Pullback attrac- tors for three-dimensional non-autonomous Navier-Stokes-Voigt equa- tions, Nonlinearity 25, 905-930. [20] M. J. Garrido-Atienza and P. Marin´-Rubio (2006), Navier-Stokes equa- tions with delays on unbounded domains, Nonlinear Anal. 64, 1100-1118. [21] O. Goubet (2000), Asymptotic smoothing effect for weakly damped forced Korteweg-de Vries equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. 6, 625-644. [22] O. Goubet and R. Rosa (2002), Asymptotic smoothing and the global attractor of a weakly damped KdV equation on the real line, J. Differential Equations 185, 25-53. [23] M. Holst, E. Lunasin and G. Tsogtgerel (2010), Analysis of a general family of regularized Navier-Stokes and MHD models, J. Nonlinear Sci. 20, 523-567. [24] Y. Hou and K. Li (2004), The uniform attractor for the 2D non- autonomous Navier-Stokes flow in some unbounded domains, Nonlinear Anal. 58, 609-630. [25] A.A. Ilyin and E.S. Titi (2003), Attractors for the two-dimensional Navier- Stokes-αmodel: an α-dependence study, J. Dynam. Differential Equations 15, 751-778. [26] Y. Jia, X. Zhang and B. Dong (2011), The asymptotic behavior of solu- tions to three-dimensional Navier-Stokes equations with nonlinear damp- ing, Nonlinear Anal., Real World Appl. 12, 1736-1747. 123 [27] N. Ju (2000), The H1-compact global attractor for the solutions to the Navier-Stokes equations in two-dimensional unbounded domains, Nonlin- earity 13, 1227-1238. [28] V.K. Kalantarov (1986), Attractors for some nonlinear problems of math- ematical physics, Zap. Nauchn. Sem. Lenigrad. Otdel. Math. Inst. Steklov. (LOMI) 152, 50-54. [29] V.K. Kalantarov (1988), Global Behavior of Solutions of Nonlinear Equa- tions of Mathematical Physics of Classical and Non-classical Type, Dr. Sc. thesis, St. Peterburg. [30] V.K. Kalantarov (2010), Global behavior of solutions to Brinkman- Forchheimer equations, Workshop on Dissipative PDE’s on Bounded and Unbounded Domains, Edinburgh, 24p. [31] V.K. Kalantarov and E.S. Titi (2009), Global attractor and determining modes for the 3D Navier- Stokes-Voight equations, Chin. Ann. Math. Ser. B 30, 697-714. [32] V.K. Kalantarov and E.S. Titi (2009), Gevrey regularity for the attractor of the 3D Navier- Stokes-Voight equations, J. Nonlinear. Sci. 19, 133-152. [33] V.K. Kalantarov and S. Zelik (2012), Smooth attractors for the Brinkman- Forchheimer equations with fast growing nonlinearities, Comm. Pure Appl. Anal. 11, 2037-2054. [34] O.A. Ladyzhenskaya (1991), Attractor for Semigroups and Evolution Equations, Cambridge University Press, Cambridge. [35] J.A. Langa, G. Lukaszewicz and J. Real (2007), Finite fractal dimension of pullback attractors for non-autonomous 2D Navier-Stokes equations in some unbounded domains, Nonlinear Anal. 66, 735-749. 124 [36] J.L. Lions (1969), Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires. Paris: Dunod, Gauthier-Villars. [37] A. Miranville and S. Zelik (2008), Attractors for disspative partial differ- ential equations in bounded and unbounded domains, Handbook of differ- ential equations: Evolutionary equations. Vol. IV. Amsterdam: Elsevier/ North-Holland. Handbook of Differential Equations, 103-200. [38] A.P. Oskolkov (1973), The uniqueness and solvability in the large of boundary value problems for the equations of motion of aqueous solutions of polymers, Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Math. Inst. Steklov. (LOMI) 38, 98-136. [39] M. Paicu, G. Raugel and A. Rekalo (2012), Regularity of the global attrac- tor and finite-dimensional behavior for the second grade fluid equations, J. Differential Equations 252, 3695-3751. [40] Y. Qin, X. Yang and X. Liu (2012), Averaging of a 3D Navier-Stokes- Voight equation with singularly oscillating forces, Nonlinear Anal. Real World Appl. 13 (2012), 893-904. [41] J.C. Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cam- bridge University Press, Cambridge. [42] M. Ro¨ckner and X. Zhang (2009), Tamed 3D Navier- Stokes equation: ex- istence, uniqueness and regularity, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 12, 525-549. [43] J. Roh (2005), Dynamics of the g-Navier-Stokes equations, J. Differential Equations 211, 452-484. [44] R. Rosa (1998), The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on some unbounded domains, Nonlinear Anal. 32, 71-85. 125 [45] X. Song and Y. Hou (2011), Attractors for the three-dimensional incom- pressible Navier-Stokes equations with damping, Dist. Cont. Dyna. Syst. 31, 239-252. [46] X. Song and Y. Hou (2015), Uniform attractors for three-dimensional Navier-Stokes equations with nonlinear damping, J. Math. Anal. Appl. 422, 337-351. [47] R. Temam (1979), Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Anal- ysis, 2nd edition, Amsterdam: North-Holland. [48] R. Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia. [49] R. Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, 2nd edition, New York. [50] R. Temam (2000), Some developments on Navier-Stokes equations in the second half of the 20th century, Development of Mathematics 1950–2000, Birkha¨user, Basel, 1049-1106. [51] G. Yue and C.K. Zhong (2011), Attractors for autonomous and nonau- tonomous 3D Navier-Stokes-Voight equations, Discrete. Cont. Dyna. Syst. Ser. B 16, 985-1002. [52] Z. Zhang, X. Wu and M. Lu (2011), On the uniqueness of strong solution to the incompressible Navier-Stokes equations with damping, J. Math. Anal. Appl. 377, 414-419.