Luận án Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số

sin 2 2 2 cos 2 2 2 cos 4 2 cos sin 4 u u d u t dt a t u da u u d a t a t dt t t dt u u a t t t a A                                                                                                2 21 1 2 cos (3. )85 u aB t            84 3 3 2 2 3 2 2 2 23 2 2 1 1 2 2 2 sin 3 sin 3 cos 8 2 4 2 4 2 3 cos 3 sin 3 sin 2 2 2 2 2 3 3 d x d da a t a t t dt dt dt da d d d t a t a t dt dt dt dt u da d u d a da a dt dt a dt dt                                                                                     3 3 22 2 2 3 21 1 2 2 3 3 3 2 2 21 1 1 3 cos 2 3 sin 3sin 3 2 2 2 3 3 sin cos sin 8 4 4 d a t dt d a d a d u d u t t dt dt dt t dt t u a A aB t                                                                 (3.86) Trong đó 2 t     (3.87) Thế phương trình (3.82), (3.84), (3.85) và (3.86) vào phương trình (3.80)   3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 2 1 1 1 1 1 12 2 2 1 2 3 3 sin cos sin cos 8 4 4 4 sin cos sin cos sin 4 2 cos 4 cos , sin , cos 2 4 u a A aB a t u u A aB a A aB t t a u f a a a                                                                                    , cos cos cospD a ac t           (3.88) So sánh các hệ số của ε ta được 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 13 2 2 1 1 0 cos 4 4 2 sin cos cos , 2 u u u u A aB t t t a B A f ac t                                      (3.89)     2 0 3 3 3 3 3 0 cos , sin , cos , cos 2 4 sin cos cos sin 2 8 sign sin cos 2 p p p f f a a a D a a a ka h a h a D a                                      (3.90) 85 Theo tài liệu tham khảo [73] đạo hàm cấp phân số của hàm lượng giác     cos cos 2 sin sin 2 p p p p p D t t p D t t                          (3.91) Biến đổi vế phải của phương trình (3.90) ta được   3 3 3 3 3 0 0 3 3 3 3 3 0 3 3 3 3 3 0 sin cos cos sin 2 8 sign sin cos 2 sin cos cos sin 2 8 sign sin cos 2 2 sin cos cos sin 2 8 p p p p f a a ka h a h a D a a a ka h a h a D a t a a ka h a h                                                                          3 3 3 3 3 0 sign sin 2 cos cos sin sin 2 2 2 2 2 sin cos cos sin 2 8 sign sin cos cos sin sin 2 2 2 2 p p p p a p p a t t a a ka h a p p h a a                                                                                (3.92) Khai triển Fourier hàm 0f ta có     0 0 cos sinm m m f r a m s a m      (3.93) Với là toán tử trung bình 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 , 2 1 cos 2 cos , 1 sin 2 sin , m m r f d f r f m d f m s f m d f m                       (3.94) 86 Hàm 1u thoả mãn phương trình (3.89) cũng được tìm dưới dạng chuỗi    1 , cos , sinn n n u G a n H a n        (3.95) Với điều kiện 1u không chứa các số hạng cộng hưởng. Điều kiện này sẽ tương đương với điều kiện là hàm 1u không chứa cos ,sin  . Thay thế phương trình (3.93) và (3.95) vào phương trình (3.89) ta có     2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 sin cos 4 2 2 cos sin 2 2 cos cos cos sin , n n n n n m m m n n n G H n H G n A aB aB A ac t r m s m                                                         (3.96) Mặt khác ta có     cos cos cos cos 2 2 1 cos2 cos sin 2 sin cos2 cos3 sin 2 sin3 2 t                   (3.97)       2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 sin cos 4 2 2 cos sin 2 2 cos 2 cos sin 2 sin cos 2 cos3 sin 2 sin 3 2 cos sin , n n n n n m m m n n n G H n H G n A aB aB A ac r m s m                                                                   (3.98) So sánh các hàm điều hoà cos ,sin  và các hàm điều hoà khác ta có 2 1 1 1 2 1 1 1 cos2 2 2 sin2 2 2 ac A aB r ac A aB s                 (3.99)     2 2 3 2 2 3 1 cos 2 4 2 2 1 sin 2 4 2 2 n n n n n n n n n ac n H G r n ac n G H s                               (3.100) 87 Trong đó  1n  và    3 0 3 1 3 n n n       (3.101) Giải phương trình (3.99) và (3.100) ta có     3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 sin 2 cos2 2 4 2 1 4 4 cos2 sin 2 2 4 2 1 4 4 n n n n n n n n r ns nac ac G n n nr s nac ac H n n                                                    (3.102)     0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 1 sin cos cos2 sin 2 4 4 1 cos sin sin 2 cos2 4 4 f f ac ac A f f ac ac B a                                       (3.103) Với 1 ( 0) sign 1 ( 0) 0 ( 0) x x x x        (3.104) Đặt 0 0 sign sin cos cos sin sin 2 2 2 2 p p p p R h a a                             (3.105) Từ phương trình (3.92) tính toán các giá trị trung bình 0 0cos , sinf f  3 3 3 0 2 3 4 0 3 0 3 2 3 4 0 3 3 0 3 3 0 cos sin cos sin cos 2 8 cos cos cos 1 3 cos , 2 8 sin sin sin 2 8 cos sin cos sin sin 1 3 sin , 4 64 f a h a a ka R a ka R f a h a a ka R a h a R                                                  (3.106) 88 Thay phương trình (3.106) vào phương trình (3.103) và sau khi tính toán ta tìm được các phương trình của xấp xỉ thứ nhất         2 3 12 2 2 2 4 3 22 2 3 1 cos2 sin 2 8 4 2 1 3 sin 2 cos2 4 4 22 da ac k h a ac R dt d ac ac a k h a R dt a                                            (3.107) Trong đó 1 0 0 2 0 0 2 cos sin 2 cos sin R R R R R R             (3.108) Từ phương trình (3.105) tính toán các giá trị trung bình của 0 cosR  và 0 sinR  0 0 2 cos sign sin cos 2 cos cos sin sin cos 2 2 2 1 cos , 2 2 2 p p p p R h a p p a p a                                       (3.109) 0 0 2 0 sin sign sin sin 2 cos cos sin sin sin 2 2 2 2 1 sin , 2 2 2 p p p p R h a p p a p h a                                          (3.110) Thế phương trình (3.109) và (3.110) vào phương trình (3.108) 1 0 0 1 0 1 2 2 1 cos sin 2 2 2 2 2 2 1 2 cos sin 2 2 2 2 1 2 cos sin , 2 2 2 p p p p pp p p p p p p R a h a p p a h a p p a h                                                       (3.111) 89 2 0 0 1 0 2 1 2 1 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sin 2 2 2 2 1 2 cos sin , 2 2 2 p p p p p p p p p p p p R a h a p p a h a p p a h                                                   (3.112) Phương trình (3.107) có dạng         2 3 2 2 1 0 2 2 4 3 2 2 1 0 3 1 cos2 sin 2 8 4 2 1 2 cos sin 2 2 2 1 3 sin 2 4 42 1 2 cos2 cos sin 2 2 2 2 p p p p da ac k h a ac dt p p a h d ac a k h a dt a ac p p a h                                                                         (3.113) Do đó trong xấp xỉ thứ nhất nghiệm riêng của phương trình (3.78) có dạng cos 2 x a t         (3.114) Với ,a là nghiệm của các phương trình (3.113). 3.2.1.2. Đường cong biên độ tần số Nghiệm dừng của hệ (3.107) được xác định từ những phương trình sau       2 3 0 0 0 0 0 1 2 2 4 3 0 0 0 0 0 0 2 3 sin 2 cos2 2 4 8 1 3 cos2 sin 2 2 4 4 c c a a k h a R c c a a a k h a R                               (3.115) Triệt tiêu pha 0 ở (3.115), ta được phương trình của biên độ 0a  0W , 0a   (3.116) Trong đó         2 2 2 0 0 1 22 2 0 2 2 2 2 2 0 2 12 2 0 3 2 2 W , 4 3 1 2 0 4 4 a ka R R a c ha R R a                                        (3.117) 90 Thay 1 2,R R từ phương trình (3.111) và (3.112) vào phương trình (3.117)     2 1 1 0 02 2 0 2 2 2 2 2 1 0 0 02 2 0 1 0 2 1 1 cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 2 cos sin 4 4 2 2 2 1 4 2 cos sin 2 2 2 p p p p p p p p p p p p a a a p p ka ha a a p p a                                                                                       2 2 0 0 0 4 c h a     22 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 3 3 4 cos sin 0 4 2 4 2 4 p p p p p p c ka ha h a                              (3.118)    2 2 6 2 6 2 4 3 4 0 0 3 3 2 2 2 2 2 1 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 9 24 cos sin 2 2 96 4 4 8 cos 4 8 sin 2 2 4 128 sin 256 0 2 p p p p p p p p p p p p p p k h a k k h h a p p h h a p c a h a h                                                               (3.119) 3.2.1.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng Xét tính ổn định của nghiệm dừng 0 0a  của hệ phương trình (3.107). Thay 0 0,a a a       vào hệ phương trình (3.107) với 0 0,a  là nghiệm của hệ phương trình (3.115), ta có các phương trình biến phân sau       2 2 1 0 02 2 0 2 2 4 3 0 0 2 3 4 2 3 2 2 d a R k h a a a dt a a k h a R                                      (3.120)       4 2 02 2 0 2 2 0 1 0 3 22 3 2 4 d R k h a a dt a k h a R a                                  (3.121) Phương trình đặc trưng của hệ 2 0Z S    (3.122) 91 Trong đó    2 20 0 12 2 0 3 1 , 2 Z k h a a R a             (3.123)   2 0 2 2 2 0 W , 4 a S a        (3.124) Với W có dạng phương trình (3.116). Do đó, điều kiện ổn định của nghiệm dừng là    2 30 0 13 2 0,k h a a R    (3.125) 0 W 0 a    (3.126) Từ các phương trình (3.111), (3.112), (3.125) và (3.126) ta có điều kiện ổn định của hệ  2 3 1 00 0 4 3 2 cos sin 0 2 2 p p hp p k h a a                   (3.127) 2 0 0 2 2 2 1 2 0 0 0 02 0 0 3 3 cos 4 2 3 4 3 4 2 sin 0 4 2 2 p p p p p ka ka p ha h ha h a a                                    (3.128) 3.2.1.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số Chọn bộ tham số 1, 1, 1, 0.01, 0.5, 0.1, 0.05,p p k h           0 0.0025, 0.05, 2 h c       . Phương trình vi phân dao động của hệ có dạng 3 3 1 21 0.1 0.05 0.0025sign 0.01 0.05 cos 0x x x x x x x D x x t             (3.129) Dựa trên phương trình đường cong biên độ tần số (3.119), ta có các đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên các hình 3.16 – 3.22. Trong đó, đường nét liền biểu diễn các nghiệm ổn định, nét đứt biểu diễn các nghiệm không ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn định khi các bất phương trình (3.127) và (3.128) không thoả mãn. 92 Với mỗi một giá trị của  , ta có một phương trình vi phân dao động tương ứng. Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính toán dao động của hệ. Sau đó, xác định được các biên độ dao động của hệ trong giai đoạn dao động điều hòa tương ứng với từng giá trị của  . Trên hình 3.20 và hình 3.22 (hai đường cong biên độ tần số tương ứng với hai giá trị khác nhau của p ), những chấm tròn là những nghiệm tìm được thông qua phương pháp số. Ta có thể thấy rằng có sự phù hợp tốt giữa các kết quả giải tích và kết quả số. Ta nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối với đường cong biên độ tần số. Nếu cấp phân số 0.5p  và cho hệ số p thay đổi, các đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên hình 3.16. Nếu hệ số 0.01p  và cấp phân số p thay đổi, ta được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.17. Ta cũng có được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.18 với hệ số ma sát 0h thay đổi. Từ các đồ thị trên, ta nhận thấy rằng khi cấp phân số p và hệ số ma sát 0h tăng thì biên độ dao động giảm; hệ số p tăng thì biên độ dao động không tăng nhưng pha dao động thay đổi. Hình 3.16. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 93 Hình 3.17. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi Hình 3.18. Đường cong biên độ tần số khi 0 h thay đổi 94 Hình 3.19. Đường cong biên độ tần số khi 0.01; 0.5p p   Hình 3.20. Đường cong biên độ tần số khi MPS 0.01; 0.5p p   Hình 3.21. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.5p p   95 Hình 3.22. Đường cong biên độ tần số MPS khi 0; 0.5p p   3.2.2. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát động và cản nhớt theo luật đạo hàm cấp phân số 3.2.2.1. Thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận Xét dao động tham số của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có dạng sau 2 2 3 3 22 sign cos 0 p px x x x k x hx h x x D x cx t                (3.130) Trong đó , , , , , ,pk h c    là những hằng số, 2h là một hằng số dương. pD x là đạo hàm cấp phân số của  x t . Giả thiết hệ có cộng hưởng  2 21 , 2          (3.131) Khi đó phương trình (3.64) có thể được viết lại như sau   2 2 , , , cos 0 4 4 px x x x f x x x D x cx t             (3.132) Trong đó   3 3 22, , , signp ppf x x x D x x x k x hx h x x D x        (3.133) Nghiệm riêng hai tham số của phương trình (3.132) được tìm dưới dạng 2 1 2cos , , , , 2 2 2 x a t u a t u a t                             (3.134) Trong đó  , ,su a   là những hàm chu kỳ 2 đối với  và  . 96 a và  được xác định từ những phương trình sau         2 1 2 2 1 2 , , , , da A a A a dt d B a B a dt                (3.135) Để xác định các hàm , ,s s su A B ta tính 21 2 1 2 22 1 2 21 1 1 cos sin 2 2 sin 2 2 sin cos sin 2 dx u u da u t a t dt a a dt u d u u a t dt t t u a A aB t                                                                               (3.136) 2 2 2 2 21 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 2 21 2 1 2 2 2 cos sin 2 2 2sin 2 2 2 cos 2 d x u u d a u u d t a t dt a a dt dt u u da d u u da t a a dt dt a a dt a t                                                                                                  22 2 2 21 2 1 2 2 2 2 2 2 22 1 2 2 2 2 21 2 2 2 2 1 sin 2 2 2 cos 2 2 2 cos 4 2 cos sin 4 u u d u t dt a t u da u u d a t a t dt t t dt u u a t t t a A                                                                                                2 21 1 2 cos (3.137) u aB t            3 3 2 2 3 22 3 1 2 2 2 2 3 1 2 2 3 sin 3 sin 3 cos 8 2 4 2 4 2 3 cos 3 sin 3 2 2 2 3 cos 3 sin 2 2 2 d x d da a t a t t dt dt dt da d d u da d t a t dt dt dt a dt dt u d a da d a t t a dt dt dt                                                                                  2 3 21 2 3 3 3 2 2 21 1 1 3 3 3 sin cos sin 8 4 4 d a u dt t u a A aB t                               (3.138) Trong đó 2 t     (3.139) 97 Thế phương trình (3.134), (3.136), (3.137), (3.138) vào (3.132)   3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 2 1 1 1 1 1 12 2 2 1 2 3 3 sin cos sin cos 8 4 4 4 sin cos sin cos sin 4 2 cos 4 cos , sin , cos 2 4 u a A aB a t u u A aB a A aB t t a u f a a a                                                                                    , cos cos cospD a ac t           (3.140) So sánh các hệ số của ε ta được 3 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 13 2 0 cos sin 4 4 2 2 cos cos , u u u a u A aB B A t t t f ac t                                      (3.141)     2 0 3 3 3 3 3 2 2 cos , sin , cos , cos 2 4 sin cos cos sin 2 8 sin sign sin cos 2 2 p p p f f a a a D a a a ka h a h a a D a                                               (3.142) Đạo hàm cấp phân số của hàm lượng giác [73]     cos cos 2 sin sin 2 p p p p p D t t p D t t                          (3.143) Biến đổi vế phải của phương trình (3.133) ta được 3 3 3 3 3 0 2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 sin cos cos sin 2 8 sin sign sin cos 4 2 2 sin cos cos sin 2 8 sin sign sin cos cos sin si 4 2 2 2 2 p p p p f a a ka h a h a a D a t a a ka h a p p h a a a                                                                          n       (3.144) 98 Khai triển Fourier hàm 0f ta có     0 0 cos sinm m m f r a m s a m      (3.145) Với là toán tử trung bình 2 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 , 2 1 cos 2 cos , 1 sin 2 sin , m m r f d f r f m d f m s f m d f m                       (3.146) Hàm 1u thoả mãn phương trình (3.141) cũng được tìm dưới dạng chuỗi    1 , cos , sinn n n u G a n H a n        (3.147) Với điều kiện 1u không chứa các số hạng cộng hưởng. Điều kiện này sẽ tương đương với điều kiện là hàm 1u không chứa cos ,sin  . Thế phương trình (3.145) và (3.147) vào phương trình (3.141) ta có     2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 sin cos 4 2 2 cos sin 2 2 cos cos cos sin , n n n n n m m m n n n G H n H G n A aB aB A ac t r m s m                                                         (3.148) Mặt khác ta có   1 cos cos cos2 cos sin 2 sin cos2 cos3 sin 2 sin3 2 t             (3.149)       2 2 2 2 1 1 1 1 0 1 sin cos 4 2 2 cos sin 2 2 cos 2 cos sin 2 sin cos 2 cos3 sin 2 sin 3 2 cos sin , n n n n n m m m n n n G H n H G n A aB aB A ac r m s m                                                                   (3.150) 99 So sánh các hàm điều hoà cos ,sin  dẫn đến 2 1 1 1 2 1 1 1 cos2 2 2 sin2 2 2 ac A aB r ac A aB s                 (3.151) So sánh các hàm điều hoà khác ta có     2 2 3 2 2 3 1 cos 2 4 2 2 1 sin 2 4 2 2 n n n n n n n n n ac n H G r n ac n G H s                               (3.152) Trong đó  1n  và    3 0 3 1 3 n n n       (3.153) Giải phương trình (3.160) và (3.152) ta có     3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 sin 2 cos2 2 4 2 1 4 4 cos2 sin 2 2 4 2 1 4 4 n n n n n n n n r ns nac ac G n n nr s nac ac H n n                                                    (3.154)     0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 1 sin cos cos2 sin 2 4 4 1 cos sin sin 2 cos2 4 4 f f ac ac A f f ac ac B a                                       (3.155) Với 1 ( 0) sign 1 ( 0) 0 ( 0) x x x x        (3.156) Đặt 2 2 2 0 2 sin sign sin cos cos sin sin 4 2 2 2 2 p p p p R h a a a                               (3.157) 100 Từ phương trình (3.143) tính toán các giá trị trung bình 0 0cos , sinf f  2 3 4 0 3 3 3 0 3 0 2 3 3 0 3 3 4 0 3 3 0 cos sin cos cos cos 2 sin cos cos 8 1 3 cos , 2 8 sin sin cos sin cos sin 2 sin sin 8 1 3 sin , 4 64 f a a ka h a R a ka R f a a ka h a R a h a R                                                  (3.158) Thay phương trình (3.158) vào phương trình (3.155) và sau khi tính toán ta tìm được các phương trình của xấp xỉ thứ nhất         2 3 12 2 2 2 4 3 22 2 3 1 cos2 sin 2 8 4 2 1 3 sin 2 cos2 4 4 22 da ac k h a ac R dt d ac ac a k h a R dt a                                            (3.159) Trong đó 1 0 0 2 0 0 2 cos sin 2 cos sin R R R R R R             (3.160) Từ phương trình (3.157) ta tính toán các giá trị trung bình 0 cosR  và 0 sinR  2 2 2 0 2 2 cos sign sin sin cos 4 2 cos cos sin sin cos 2 2 2 1 cos , 2 2 2 p p p p R h a a p p a p a                                         (3.161) 101 2 2 3 0 2 2 2 2 2 sin sign sin sin 4 2 cos cos sin sin sin 2 2 2 1 1 sin , 3 2 2 2 p p p p R h a a p p a p h a a                                            (3.162) Thế phương trình (3.161) và (3.162) vào phương trình (3.160) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 cos sin 2 2 2 3 2 2 2 1 4 cos sin 2 2 3 2 2 1 4 cos sin , 2 2 2 3 p p p p pp p p p p p p R a h a a p p a h a a p p a h a                                                          (3.163) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 cos sin 2 2 2 3 2 2 2 4 1 cos sin 2 2 3 2 2 1 4 cos sin , 2 2 2 3 p p p p p p p p p p p p R a h a a p p a h a a p p a h a                                                      (3.164) Khi đó phương trình (3.159) có dạng         2 3 2 2 1 2 2 2 2 4 3 2 2 1 2 2 2 3 1 cos2 sin 2 8 4 2 1 4 cos sin 2 2 2 3 1 3 sin 2 4 42 1 4 cos2 cos sin 2 2 2 2 3 p p p p da ac k h a ac dt p p a h a d ac a k h a dt a ac p p a h a                                                                          (3.165) Như vậy trong xấp xỉ thứ nhất ta có nghiệm riêng của phương trình (3.130) dưới dạng cos 2 x a t         (3.166) Với ,a là nghiệm của các phương trình (3.165). 102 3.2.2.2. Đường cong biên độ tần số Nghiệm dừng của hệ (3.159) được xác định từ những phương trình sau       2 3 0 0 0 0 0 1 2 2 4 3 0 0 0 0 0 0 2 3 sin 2 cos2 2 4 8 1 3 cos2 sin 2 2 4 4 c c a a k h a R c c a a a k h a R                               (3.167) Triệt tiêu pha 0 ở hệ (3.167) trên ta được phương trình của biên độ 0a  0W , 0a   (3.168) Trong đó         2 2 2 0 0 1 22 2 0 2 2 2 2 2 0 2 12 2 0 3 2 2 W , 4 3 1 2 0 4 4 a ka R R a c ha R R a                                         (3.169) Thay 1 2,R R từ phương trình (3.163) và (3.164) vào phương trình (3.169)     2 1 1 0 02 2 0 2 2 2 2 2 1 0 0 02 2 0 1 0 2 1 1 cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 2 cos sin 4 4 2 2 2 1 2 cos sin 2 2 2 p p p p p p p p p p p p a a a p p ka ha a a p p a                                                                                    2 2 2 0 8 0 3 4 c h a        2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 2 0 3 3 8 cos sin 0 4 2 4 2 3 4 p p p p p p c ka ha h a                                (3.170)      2 2 6 2 4 5 3 2 2 0 2 0 2 4 2 3 4 2 2 2 0 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 81 576 216 216 cos 2 216 216 sin 1024 2 768 sin 144 144 2 288 cos sin 36 0 2 2 p p p p p p p p p p p k h a h h a k k p h h h a p h a p p c                                                                        (3.171) 103 3.2.2.3. Khảo sát ổn định của dao động dừng Xét tính ổn định của nghiệm dừng 0 0a  của hệ phương trình (3.159). Thay 0 0,a a a       vào hệ phương trình (3.159) với 0 0,a  là nghiệm của hệ phương trình (3.167), ta có các phương trình biến phân sau       2 2 1 0 02 2 0 2 2 4 3 0 0 2 3 4 2 3 2 2 d a R k h a a a dt a a k h a R                                      (3.172)       4 2 02 2 0 2 2 0 1 0 3 22 3 2 4 d R k h a a dt a k h a R a                                  (3.173) Phương trình đặc trưng của hệ 2 0Z S    (3.174) Trong đó    2 20 0 12 2 0 3 1 , 2 Z k h a a R a             (3.175)   2 0 2 2 2 0 W , 4 a S a        (3.176) Với W có dạng phương trình (3.168). Do đó, điều kiện ổn định của nghiệm dừng là    2 30 0 13 2 0,k h a a R    (3.177) 0 W 0 a    (3.178) Từ các phương trình (3.163), (3.164), (3.177) và (3.178) ta có điều kiện ổn định của hệ  2 3 1 20 0 2 8 3 2 cos sin 0 2 2 p p p p k h a a h a                     (3.179) 104 2 0 0 2 2 2 1 2 0 2 0 0 2 3 3 cos 4 2 3 8 3 8 2 sin 0 4 2 3 2 3 p p p p p ka ka p ha h a ha h                                      (3.180) 3.2.2.4. Đồ thị đường cong biên độ tần số Ta chọn bộ tham số sau để nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối với đường cong biên độ tần số 21, 1, 1, 0.01, 0.5, 0.1, 0.01, 0.001, 0.05, 2 p p k h h c                  Khi đó, phương trình vi phân dao động của hệ có dạng 3 3 2 1/21 0.1 0.01 0.001 sign 0.01 0.05 cos 0x x x x x x x x D x x t             (3.181) Sử dụng phương trình đường cong biên độ tần số (3.171), ta có được các đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên các hình 3.23 – 3.29. Trong đó, đường nét liền biểu diễn các nghiệm ổn định, đường nét đứt biểu diễn các nghiệm không ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn định khi các bất phương trình (3.179) và (3.180) không thoả mãn. Hình 3.23. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 105 Hình 3.24. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi Hình 3.25. Đường cong biên độ tần số khi 2 h thay đổi Khi hệ số p thay đổi, cấp phân số 0.5p  , các đường cong biên độ tần số được biểu diễn trên hình 3.23. Nếu hệ số 0.01p  và thay đổi cấp phân số p, ta đạt được các đường cong biên độ tần số trên hình 3.24. Ta nhận thấy khi cấp phân số p tăng thì biên độ dao động giảm, khi hệ số của đạo hàm cấp phân số p tăng thì biên độ dao động không tăng nhưng pha dao động thay đổi. 106 Hình 3.25 chỉ ra các đường cong biên độ tần số với các giá trị khác nhau của hệ số ma sát h2 và 0.01, 0.5p p   . Từ đồ thị trên, cũng có thể thấy được ảnh hưởng quan trọng của hệ số ma sát đối với đường cong biên độ tần số. Khi hệ số ma sát h2 tăng thì biên độ dao động giảm. Khi p = 0; p = 0.5; h2 = 0.01, từ phương trình (3.170) và (3.131) cùng với bộ tham số đã chọn ở trên, phương trình đường cong biên độ tần số có dạng 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0.3 0.03 0.08 0.05 1 1 0 4 4 3 4 a a a                      (3.182) Khi p = 0.01; p = 0.5; h2 = 0.01, phương trình đường cong biên độ tần số có dạng 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0.3 0.03 0.08 0.05 1 0.005 2 1 0.005 2 0 4 4 3 4 a a a                        (3.183) Đặt 2 21 0.005 2   , phương trình (3.183) có dạng phương trình (3.182). Do đó, nếu tịnh tiến đường cong biên độ tần số khi p = 0 sang phải một đoạn bằng 0.005 2 ta sẽ được đồ thị đường cong biên độ tần số khi p = 0.01. Ta có thể nhận thấy trên hình 3.26 và hình 3.27. Hình 3.26. Đường cong biên độ tần số khi 20; 0.5; 0.01p p h    107 Hình 3.27. Đường cong biên độ tần số khi 20.01; 0.5; 0.01p p h    Hình 3.28. Đường cong biên độ tần số khi 20.01; 0.5; 0.1p p h    Với mỗi một giá trị của  , ta có một phương trình vi phân dao động tương ứng. Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính toán dao động của hệ. Sau đó, xác định được các biên độ dao động của hệ trong giai đoạn dao động điều hòa tương ứng với từng giá trị của  . Trên hình 3.29, những chấm tròn là những nghiệm tìm được thông qua phương pháp số. Sự phù hợp tốt giữa các kết quả giải tích và kết quả số có thể rõ ràng nhận thấy được. 108 Hình 3.29. Đường cong biên độ tần số MPS khi 20.01; 0.5; 0.005p p h    3.3. Kết luận chương 3 Nhiều hệ động lực được mô tả bởi các phương trình vi phân gồm những số hạng tuyến tính với hệ số hằng và những số hạng phi tuyến tương đối nhỏ so với số hạng tuyến tính. Chương 3 áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số được mô tả bởi các phương trình vi phân có dạng như trên. Ưu điểm của phương pháp là tính đơn giản, đặc biệt trong việc tính toán các xấp xỉ bậc cao và khả năng ứng dụng vào một lớp lớn các bài toán phi tuyến yếu. Sử dụng các phương trình biên độ tần số, các đường cong biên độ tần số được vẽ thông qua phần mềm Matlab, trong đó những đường nét liền là nghiệm ổn định, đường nét đứt là nghiệm không ổn định và miền gạch là những miền không ổn định. Những chấm tròn ký hiệu nghiệm được mô phỏng số. Ta có thể thấy rằng có sự phù hợp giữa nghiệm số và nghiệm giải tích. Đường cong biên độ tần số chỉ ra những ảnh hưởng quan trọng của đạo hàm cấp phân số đối với các hệ động lực được xem xét. Ảnh hưởng của các hệ số và cấp của đạo hàm cấp phân số đối với nghiệm cũng được minh hoạ thông qua các đường cong biên độ tần số. Do đó, hệ có thể được tối ưu hoá thông qua việc chọn các tham số cấp phân số phù hợp. 109 KẾT LUẬN CHUNG VÀ NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 1. Kết luận chung Tích phân và đạo hàm cấp phân số là một lĩnh vực của toán học đang được quan tâm nghiên cứu. Về phương diện cơ học, một số mô hình vật liệu mới mà quan hệ ứng suất biến dạng được mô tả bằng đạo hàm cấp phân số và một số quy luật cản, bằng thực nghiệm, thấy cần phải mô tả bằng tích phân và đạo hàm cấp phân số. Do đó việc nghiên cứu dao động của các cơ hệ có đạo hàm cấp phân số là cần thiết và có ý nghĩa thực tế. Trong luận án này áp dụng khái niệm đạo hàm và tích phân cấp phân số nghiên cứu dao động của một số cơ hệ cấp ba có phần tử cấp phân số. Các phương pháp sử dụng trong luận án là phương pháp số và phương pháp tiệm cận. 2. Những đóng góp mới của luận án Một số kết quả mới đã đạt được như sau: 1. Dựa trên ý tưởng của phương pháp tích phân Newmark và định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville, một thuật toán số tính toán đáp ứng động lực của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số đã được phát triển. 2. Áp dụng phương pháp Runge – Kutta và định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville đã xây dựng một thuật toán tìm đáp ứng của hệ động lực cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Phương pháp này có ưu điểm trong việc tính toán và lập trình trên phần mềm Matlab. 3. Áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng của một số hệ phi tuyến yếu cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số: hệ Duffing, hệ van der Pol, hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động. Nội dung mỗi phần: thiết lập biểu thức nghiệm bằng phương pháp tiệm cận, đường cong biên độ - tần số, khảo sát ổn định của dao động dừng, đồ thị đường cong biên độ - tần số. 110 4. Những kết quả số mô phỏng số dao động hệ phi tuyến yếu cấp ba đã cho biết ảnh hưởng của những tham số trong đạo hàm cấp phân số đối với tính ổn định, đường cong biên độ tần số của hệ. Một vài thí dụ: • Đạo hàm cấp phân số p tăng: biên độ dao động giảm. • Hệ số p của đạo hàm cấp phân số tăng: biên độ dao động giảm trong trường hợp hệ Duffing; trong trường hợp hệ van der Pol, hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động, biên độ dao động không giảm nhưng pha dao động thay đổi. • Qua sự phân tích ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối với tính ổn định, có thể thấy rằng: khi tần số lực kích động càng lớn và các tham số đạo hàm cấp phân số càng nhỏ thì tính ổn định của nghiệm dừng càng tốt. Kết quả này đóng một vai trò quan trọng trong việc điều khiển và tối ưu hoá các hệ động lực. 3. Một số vấn đề có thể tiếp tục mở rộng nghiên cứu - Nghiên cứu áp dụng phương pháp số và phương pháp tiệm cận tính toán dao động của các hệ kỹ thuật có sử dụng các vật liệu mới như silicon, cao su tổng hợp. - Nghiên cứu áp dụng phương pháp số và phương pháp tiệm cận nghiên cứu dao động đàn hồi có cản cấp phân số. 111 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 1. Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Resonance oscillation of third order forced van der Pol system with fractional order derivative”, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol.11, Issue 4, pp. 0410301-0410305. 2. Nguyen Van Khang, Tran Dinh Son, Bui Thi Thuy (2012), “Numerical calculating linear vibrations of third order systems involving fractional operators”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 34, No. 2, pp. 91 – 99. 3. Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Calculating resonance oscillation of third order Duffing system with fractional order derivative using the asymptotic method”, Journal of Science & Technology, No.112 (2016), pp. 65 – 69. 4. Bui Thi Thuy, Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016), “Nonlinear oscillations in third order autonomous Duffing system involving fractional order derivatives”, Proceedings of the 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation – ICEMA4, Hanoi 25-26/08/2016, pp. 165 -171. 5. Bùi Thị Thuý (2015), “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận”, Tuyển tập Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng 03-05/08/2015, tr. 247 – 254. 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt 1. Trương Quốc Chiến (2015), Dao động phi tuyến của hệ Duffing có chứa đạo hàm cấp phân số, Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. 2. Nguyễn Văn Khang (2009), “Bài giảng Động lực học hệ có đạo hàm cấp phân số”, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. 3. Nguyễn Văn Khang (2004), “Dao động kỹ thuật”, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội. 4. Dương Văn Lạc (2014), Tính toán dao động của móng máy trên nền đàn nhớt cấp phân số, Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. 5. Dương Văn Lạc (2016), Phát triển phương pháp Runge – Kutta – Nystrӧm tính toán dao động của cơ hệ có phần tử đàn nhớt cấp phân số, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội. 6. Bùi Thị Thuý (2010), Góp phần nghiên cứu dao động phi tuyến của cơ hệ có đạo hàm cấp phân số, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội. Tài liệu tiếng Anh 7. Atanackovic, T. M., Spasis, D. T. (2004), “On Viscoelastic Compliant Contact-Impact Models”, ASME J. Appl. Mech., Vol.71, pp. 134-138. 8. Bagley, R.L and Torvik, P.J. (1983a), “A theoretical Basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity”, J. of Rheology, Vol. 27, pp. 201- 210. 9. Bagley, R.L and Torvik, P.J (1983b), “Fractional Calculus – A different approach to the analysis of viscoelastically damped structures”, AIAA J., Vol. 21, No. 5, pp. 741 – 748. 10. Baker, W.P., Eldred, L.B, and Palazotto, A.N. (1996), “Viscoelastic material response with a fractional derivative constitutive model”, AIAA J., Vol. 34, No. 3, pp. 596 – 600. 113 11. Baleanu, D., et al.(eds) (2012), Fractional Dynamics and Control, Springer, New York. 12. Caputo, M. (1966), “Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent”, Annali Geofis., Vol. 19, pp. 383 – 393. 13. Caputo, M. (2008), “Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent – II”, Geophys. J. Roy. Astron. Soc., Vol. 13, pp. 529–539 (1967); reprinted in Fract. Calc. Appl. Anal., Vol. 11, pp. 4–14. 14. Caputo, M. (1976), “Vibrations of an infinite plate with a frequency independent Q”, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 60, No. 3, pp. 634 – 639. 15. Caputo, M.Mainardi, F. (2007), “A new dissipation model based on memory mechanism”, Pure Appl. Geophys., 91, pp. 134–147 (1971); reprinted in Fract. Calc. Appl. Anal. , Vol. 10, pp. 310–323 (2007). 16. Caputo, M., Mainardi, F. (1971), “Linear models of dissipation in anelastic solids”, Rivista del Nuovo Cimento, Vol. 1, pp. 161–198. 17. Chern, J.-T. (1993), Finite element modeling of viscoelastic materials on the theory of fractional calculus, Ph.D. thesis, Pennsylvania State University. 18. Nguyen Van Dao (1979), Nonlinear oscillations of higher order systems, NCSR Vietnam, Hanoi. 19. Nguyen Van Dao (1998), Stability of dynamic systems with examples and solved problems, VNU Publishing House, Hanoi. 20. Diethelm, K. (1997), “An Algorithm for the Numerical Solution of Differential Equations of Fractional Order”, IMA J. Numer. Anal., Vol.5, pp. 1-6. 21. Diethelm, K. (2003), Fractional Differential Equations, Vorlesungsskript der TU Braunschweig. 22. Diethelm, K., Freed, A.D. (1999), “On the solution of nonlinear fractional differential equations used in the modeling of viscoplasticity”, In: Keil, F., Mackens, W., Voß, H., Werther, J. (eds.) Scientific Computing in Chemical Engineering II: Computational Fluid Dynamics, Reaction Engineering, and Molecular Properties, pp. 217–224. Springer, Heidelberg. 23. Diethelm, K., Freed, A.D. (1999), “The FracPECE subroutine for the numerical solution of differential equations of fractional order”, In: Heinzel, 114 S., Plesser, T. (eds.) Forschung und wissenschaftliches Rechnen: Beitrӓge zum Heinz-Billing-Preis 1998, pp. 57–71. Gesellschaftfür wissenschaftliche Datenverarbeitung, Gӧttingen. 24. Freed, A.D., Diethelm, K., Luchko, Y. (2002), Fractional-order viscoelasticity (FOV): constitutive development using the fractional calculus (first annual report). Technical Memorandum 2002-211914, NASA Glenn Research Center, Cleveland. 25. Diethelm, K., Ford, N. J. (2003), “Numerical solution of Bagley Torvik equation, Departments of Mathematics”, Manchester Centre for Computational Mathematics, Numerical Analysis Reports, No. 378. 26. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2003), “Initial Condition Problems of Fractional Viscoelastic Equations”, Proceedings of the 2003 ASME Design Engineering Technical Conferences, September 2-6, 2003, Chicago Illinois, VSA. 27. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2004), “Role of Prehistories in the Initial Value Problems of Fractional Viscoelastic Equations”, International Journal of Nonlinear Dynamics, Vol.38, No.1-2, pp. 207-220. 28. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2009), “Analysis of Impulse Response of Gel by Nonlinear Fractional Derivative Models”, Proceedings of the ASME 2009 International Design Engineering Technical Conferences, September 2, 2009, San Diego, California USA. 29. Fukunaga, M., Shimizu, N., Nasuno, H. (2009), “A nonlinear fractional derivative model of impulse motion for viscoelastic materials”, Physica Scripta T136 (2009) 014010 (6pp). 30. Fukunaga, M., Shimizu, N. (2011), “Nonlinear fractional derivative models of viscoelastic impact dynamics based on Entropy elasticity and generalized Maxwell Law”, Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol. 6, 021005 (6pp). 31. Gaul, L., Klein, P., Kempfle, S. (1991), “Damping description involving fractional operators”, Mech. Syst. Signal Process., Vol. 5, pp.81–88. 115 32. Gaul, L. and Chen, C.M. (1993), “Modeling of viscoelastic elastomer mounts in multibody systems”, Advanced multibody system dynamics, pp. 257 – 276. 33. Gemant, A. (1936), “A method of analyzing experimental results obtained from elasto-viscous bodies”, Physics (New York), Vol. 7, pp. 311 – 317. 34. Gemant, A. (1938), “On fractional differentials”, The London Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine, Ser. 25, pp. 540 – 549. 35. Gil-Negrete N., Vinolas J., Kari L. (2009), “A Nonlinear Rubber Material Model Combing Fractional Order Viscoelasticity and Amplitude Dependent Effects”, ASME J. Appl. Mech, Vol.76, pp. 110091-110099. 36. Gorenflo, R. and Abdel-Rehim E. (2004), “From power laws to fractional diffusion: the direct way”, Vietnam Journal of Mathematics, Vol. 32, SI pp. 65-75. 37. Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. (1980), Tables of Integrals, Series and Products, Academic Press, New York. 38. Ingman, D., Suzdalnitsky, J. (2008), “Response of viscoelastic plate to impact”, Journal of Vibration and Acoustics, 130: 011010, 39. Ingman, D., Suzdalnitsky, J., Zeifman, M. (2000), “Constitutive dynamic- order model for nonlinear contact phenomena”, ASME J. Applied Mechanics, Vol. 67, pp. 383-390. 40. Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016), “Subharmonic resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative”, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol. 11, pp. 051018. 41. Koeller, R.C. (1984), “Applications of fractional calculus and theory of viscoelasticity”, Transactions of the ASME, J. of Applied Mechanics, Vol. 51, pp. 299 – 307. 42. Lavoie, J. L., Osler, T. J. and Tremblay, R. (1976), Fractional derivatives and special functions, SIAM Rev., Vol. 18, 240-268. 43. Lee, E.H., Rodgers, T.G. (1963), “Solution of viscoelastic stress analysis problems using measured crepp or relaxation functions”, ASME J. Applied Mechanics, Vol. 30, pp. 127-133. 116 44. Leibniz, G. W. (1962), Mathematische Schiften, Georg Ohns Verlagsbuch- handlung, Hildesheim. 45. Li, W.Q. and Tsai, C.S. (1994), “Seismic mitigation of structures by using viscoelastic dampers”, Nuclear engineering and design, Vol. 147, pp. 263 – 274. 46. Miller, K.S. and Ross, B. (1993), An introducation to the Fractional Calculus and Fractional Diffenential Equations, John Wiley & Sons Inc., New York. 47. Mitropolskii, Yu.A and Nguyen Van Dao (1997), Applied Asymptotic Methods in Nonlinear Oscillations, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht. 48. Nasuno, H., Shimizu, N. and Fukunaga, M. (2007), “Fractional derivative consideration on nonlinear viscoelastic body”. In J. Sabatier, O. P. Agrawal and J. A. T. Machado, editors, Advances in Fractional Calculus, Theoretical Development and Applications in Physics and Engineering, pp. 363-376. Springer, Dordrecht. 49. Nutting P. G. (1921a), “A New General Law of Deformation”, J. of the Frankin Inst, Vol. 191, pp. 679-685. 50. Nutting P. G. (1921b), “A Study of Elastic Viscous Deformation Proceedings American Soc. for a Testing Materials”, J. of the Frankin Inst, Vol. 21, pp. 1162-1171. 51. Nutting P. G. (1943), “A General Stress-Strain-Time Formula”, J. of the Frankin Inst, Vol. 235, pp. 513-524. 52. Nutting P. G. (1946), “Deformation in Relation to Time, Pressure and Temperature”, J. of the Frankin Inst, pp. 449-458. 53. Oldham, K.B., Spanier, J. (1974), The Fractional Calculus, Academic, New York. 54. Papoulia, K. D. and Kelly, J.M. (1997), “Visco-Hyperelastic Model for Filled Rubbers Used in Vibration Isolation”, Transactions of the ASME, J. of Applied Mechanics, Vol. 119, pp. 292 – 297. 55. Podlubny, I. (1999), Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego. 117 56. Podlubny, I. (2002), “Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation”, Fract. Calc. Appl. Anal, Vol. 5, pp. 367–386. 57. Ross B. (1975), A brief history and exposition of the fundamental theory of the fractional calculus, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 457, Springer- Verlag, New York, pp. 1-36. 58. Rossikhin Yu. A. and Shitikova M. V. (1997a), “Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nolinear hereditary mechanics of solids”, Appl. Mech. Rev., Vol. 50, No. 1, January 1997, pp. 15-67. 59. Sackman, J.L. and Kelly, J.M. (1991), Constitutive Modeling of Nonlinear Damping Materials, Proc. of Damping ’91, Vol. 1, pp. 13 -15, San Diego Ca., pp. EBC-1-EBC-28. 60. Sakakibara S. (1997), “Properties of Vibration with Fractional Derivative Damping of Order 1/2”, International Journal of JSME, Series C, Vol. 40, pp. 393-399. 61. Scott Blair, G.W. and Caffyn, J.E. (1949), “An application of the Theory of Quasi-Properties to the Treatment of Anomalous Stress-Strain Relations”, Philos, May, Ser. 40, pp. 80-94. 62. Shaw, S., Warby, M.K., Whiteman, J.R. (1997): A comparison of hereditary integral and internal variable approaches to numerical linear solid elasticity, In: Proceedings of the XIII Polish Conference on Computer Methods in Mechanics, Poznan. 63. Shimizu, N., Zhang, W. (1999), “Fractional Calculus Approach to Dynamic Problems of Viscoelastic Materials”, International Journal of JSME, Series C, Vol. 42, No. 4, pp. 825-837. 64. Shimizu, N., Nasuno, H. (2007), “Modeling and Analysis of Nonlinear Viscoelastic Systems by means of Fractional Calculus – Numerical Integration Algorithms”, International Conference on Material Theory and Nonlinear Dynamics, Hanoi. 65. Suarez, L. E., Shokooh, A. (1995), “Response of Systems with Damping Materials Modeled using Fractional Calculus”, ASME J. Appl. Mech, Vol. 48, No. 11, pp. 1-9. 118 66. Suarez, L. E., Shokooh, A. (1997), “An Eigenvector Expansion Method for the Solution of Motion Containing Fractional Derivatives”, ASME J. Appl. Mech, Vol. 64, pp. 629-635. 67. Sugimoto, N., Yamane, Y. and Kakutani, T. (1984a), “Torsional Shock Waves in a Viscoelastic Rod”, Trans. Of the ASME, Ser. E., J. of Applied Mechanics, Vol. 51, pp. 595 – 601. 68. Sugimoto, N., Yamane, Y. and Kakutani, T. (1984b), “Oscillatory Structured Shock Waves in a Nonlinear Elastic Rod with Weak Viscoelasticity”, Trans. Of the ASME, Ser. E., J. of Applied Mechanics, Vol. 51, pp. 766 – 772. 69. Sugimoto, N. and Kakutani, T. (1985), “Generalized Burgers’ Equation for Nonlinear Viscoelastic Waves”, Wave Motion, Vol. 7, pp. 447 – 458. 70. Sugimoto, N. (1991), “Burgers Equation with a Fractional Derivative: Hereditary Effects on Nonlinear Acoustic Waves”, J. of Fluid Mechanics, Vol. 225, No. 4, pp. 631 – 653. 71. Torvik, P.J., Bagley, R.L. (1984), “On the appearance of the fractional derivative in the behavior of real materials”, J. Appl. Mech., Vol. 51, pp. 294–298. 72. Tsai, C.S. and Lee, H.H. (1993), “Applications of Viscoelastic Dampers to High-Rise Buildings”, Journal of Structural Engineering, Vol. 119, No. 4, pp. 1222-1233. 73. Tseng C-C, Pei S-C, Hsia S-C (2000), “Computation of fractional derivatives using Fourier transform and digital FIR differentiator”, Signal Processing, 80:151-159. 74. Zhang W., Shimizu N. (1998a), “Numerical Algorithm for Dynamic Problems Involving Fractional Operator”, International Journal of JSME, Series C, Vol. 41, No. 3, pp.364-370. 75. Zhang W., Shimizu N. (1998b), “Damping of the Viscoelastic Materials Based on Silicone Gel”, Proceedings of D & D ’98 in Hokkaido, Japan, Vol. A, pp.52-55. 76. Zhang W., Shimizu N. (1999a), “Damping Properties of the Viscoelastic Materials Described by Fractional Kelvin – Voigt Model”, International Journal of JSME, Series C, Vol. 42, No. 1, pp.1-9.