Luận án Dao động uốn của dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động

       T (5.42) Sử dụng ký hiệu ma trận (5.42), từ phương trình (5.40) ta suy ra 32 1 1 32 1 1 1 2 1 32 1 1 32 1 1 , AA A A BB B B CC C C DD D D                                       T T T 1 1 1 1 1 1 ... , 2,3,..., i i i i i A A B B i n C C D D                     T T (5.43) Để xác định các tần số riêng và dạng dao động riêng của dầm có vết nứt, ta phải chú ý đến các điều kiện biên của dầm. Dưới đây là hai trường hợp với điều kiện biên khác nhau. 5.2.2 Thiết lập phương trình tần số của dầm hai đầu bản lề Các điều kiện biên của dầm hai đầu bản lề (hình 5.2) có dạng 75 (0) 0, (0) 0, ( ) 0, ( ) 0X X X L X L     (5.44) Hình 5.2 Mô hình dầm hai đầu bản lề có nhiều vết nứt Chú ý đến hai điều kiện biên tại 0x  và các phương trình (5.14), (5.17) ta có 1 1 1(0) 0X B D   (5.45) 2 21 1 1(0) 0X B D      (5.46) Từ phương trình (5.45) ta suy ra 1 1D B  . Thay vào phương trình (5.46) ta được 2 21( ) 0B    Do 2 2 0   , ta suy ra 1 10, 0B D  (5.47) Chú ý đến hai điều kiện biên tại x L và các phương trình (5.14), (5.17) ta có ( ) sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( ) 0n n n n n n n n nX L A l B l C l D l        (5.48) 2 2 2 2( ) sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( ) 0n n n n n n n n nX L A l B l C l D l              (5.49) trong đó ln là chiều dài đoạn dầm thứ n, 1.n n nl x x   Hai phương trình (5.48) và (5.49) có thể viết lại dưới dạng ma trận 2 2 2 2 sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( )0 sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( )0 n n n n n n n n n n n n A l l l l B l l l l C D                                (5.50) Để thuận tiện ta đưa vào ký hiệu 1 2 2 2 2 sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( ) sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( ) n n n n n n n n l l l l l l l l                   K (5.51) Từ phương trình (5.43) ta có 1 1 1 2 2 1 1 1 ... n n n n n n A A B B C C D D                     T T T T (5.52) Thế (5.47), (5.52) vào phương trình (5.50) ta được 1 1 1 2 1 1 0 0 ... 0 0 n n A C               K T T T (5.53) Ta đưa vào ký hiệu ma trận x L 1l w 76 11 12 13 141 1 2 1 21 22 23 24 ...n n r r r r r r r r        R K T T T (5.54) Khi đó từ phương trình (5.53) ta suy ra hệ hai phương trình đại số tuyến tính thuần nhất 11 13 1 21 23 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 r r A r r C                   (5.55) Để cho 1A và 1C không đồng thời triệt tiêu, ta có 11 13 11 23 13 21 21 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) r r r r r r r r           (5.56) Phương trình (5.56) được gọi là phương trình đặc trưng. Giải phương trình này ta được .k Dựa vào công thức (5.12) ta tính được các tần số riêng uốn thứ k là k của dầm. Mặt khác, từ phương trình (5.55) ta suy ra ( ) ( )11 1 13 1( ) ( ) 0 k k k kr A r C   (5.57) Phương trình này dẫn đến ( ) ( )111 1 13 ( ) ( ) k kk k rC A r    (5.58) Cho ( )1 1 kA  , ta được ( ) 111 13 ( ) ( ) k k k rC r    (5.59) với ( ) ( ) ( ) ( )111 1 1 1 13 ( )1, B 0, C , D 0, ( ) k k k kk k rA r       các hằng số ( ) ( ) ( ) ( ), , ,k k k ki i i iA B C D được xác định theo công thức (5.43). Từ đó ta suy ra dạng dao động riêng thứ k của đoạn dầm thứ i như sau: ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) sin ( ) cos ( ) sinh ( ) cosh ( ) k k k i i k i i k i k k i k i i k i X x A x x B x x C x x D x x                     (5.60) 5.2.3 Thiết lập phương trình tần số của dầm hai đầu ngàm Các điều kiện biên của dầm hai đầu ngàm (hình 5.3) có dạng (0, ) 0, (0, ) 0 (0) 0, (0) 0w t w t X X      (5.61) ( , ) 0, ( , ) 0 ( ) 0, ( ) 0w L t w L t X L X L      (5.62) w x L l1 Hình 5.3 Mô hình dầm hai đầu ngàm có nhiều vết nứt Từ các phương trình (5.14), (5.16) và các điều kiện biên (5.61), (5.62) ta có 77 1 1 1(0) 0X B D   (5.63) 1 1 1(0) 0X A C     (5.64) ( ) sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( ) 0n n n n n n n n nX L A l B l C l D l        (5.65) ( ) cos( ) sin( ) cosh( ) sinh( ) 0n n n n n n n n nX L A l B l C l D l             (5.66) Từ các phương trình (5.63) và (5.64) ta suy ra 1 1 1 1, D B C A      (5.67) Các phương trình (5.65) và (5.66) có thể viết dưới dạng 2 0 0 n n n n A B C D              K (5.68) trong đó ta sử dụng ký hiệu ma trận 2 sin( ) cos( ) sinh( ) cosh( ) cos( ) sin( ) cosh( ) sinh( ) n n n n n n n n l l l l l l l l                  K (5.69) Thế các phương trình (5.52) và (5.67) vào phương trình (5.68) ta được 1 1 2 1 2 1 1 1 0 ... 0 n n A B A B                    K T T T (5.70) Sử dụng ký hiệu 11 12 13 142 1 2 1 21 22 23 24 ...n n r r r r r r r r        R K T T T (5.71) khi đó phương trình (5.70) có dạng 1 1 11 12 13 14 21 22 23 24 1 1 0 0 A Br r r r r r r r A B                     hay 11 13 1 12 14 1 21 23 1 22 24 1 ( ) 0 ( ) 0 r r A r r B r r A r r B                   (5.72) Điều kiện để cho 1 1,A B không đồng thời triệt tiêu là 11 13 12 14 21 23 22 24 0 r r r r r r r r          (5.73) 78    22 24 11 13 12 14 21 23( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0r r r r r r r r                        (5.74) Cuối cùng, giải phương trình (5.74) ta được các trị riêng k và tính được tần số riêng k tương ứng. Với ,k  từ phương trình (5.72) ta suy ra  ( ) ( )11 13 1 12 14 1( ) ( ) ( ) ( ) 0k kk k k kr r A r r B          (5.75) Giải phương trình (5.75) ta nhận được 11 13 ( ) ( ) 1 1 12 14 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k k r r B A r r         (5.76) Chọn ( )1 1kA  , ta suy ra 11 13 ( ) 1 12 14 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k r r B r r         (5.77) Từ các phương trình (5.67) và (5.77) ta xác định được bốn hệ số 11 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 12 14 ( ) ( ) 1, , , ( ) ( ) k k k k k k k k k r r A B C D B r r               (5.78) Sử dụng kết quả (5.78), ta xác định được dạng dao động riêng thứ k của đoạn dầm thứ i của dầm hai đầu ngàm theo công thức (5.60). 5.2.4 Các bước tính toán tần số riêng và dạng dao động riêng - Nhập tham số đầu vào 0 1, , , , , , , , , , .i i i iE I A L b h a n l x x     - Tính toán độ mềm lò xo thay thế theo (5.4) - (5.6). - Tính các phần tử ( )ijkt của ma trận iT theo công thức (5.41), tính các phần tử jkk của ma trận 1K theo công thức (5.51) hoặc 2K theo công thức (5.69). - Tính các phần tử của ma trận R theo công thức (5.54) đối với dầm hai đầu bản lề hoặc (5.71) đối với dầm hai đầu ngàm. - Thiết lập phương trình đặc trưng theo công thức (5.56) đối với dầm hai đầu bản lề hoặc (5.74) đối với dầm hai đầu ngàm. - Giải phương trình đặc trưng (phương trình đại số phi tuyến) bằng thuật toán lặp Newton-Raphson để xác định các trị riêng, Chọn xấp xỉ ban đầu ( )k là các giá trị ( )k trong trường hợp dầm không bị nứt, từ đó ta xác định được các tần số riêng. - Xác định các dạng dao động riêng theo công thức (5.60). 5.2.5 Một số kết quả tính toán mô phỏng số 5.2.5.1 Tần số riêng của dầm ứng suất trước hai đầu bản lề Dựa trên cơ sở lý thuyết đã trình bày ở mục trước, một chương trình tính trên phần mềm MATLAB đã được xây dựng để tính toán tần số riêng của dầm ứng suất trước có số lượng vết nứt tùy ý với hai điều kiện biên khác nhau. Các tham số hình học và vật liệu của dầm cho trong bảng 5.1 được tham khảo từ thông số kỹ thuật của một dầm BTCT. 79 - Thí dụ thứ nhất đánh giá ảnh hưởng của độ lớn và vị trí vết nứt đối với tần số riêng của dầm ứng suất trước, ta thực hiện việc tính toán tần số riêng cho dầm có một vết nứt vuông góc với trục dầm và cho vết nứt này tại các vị trí khác nhau theo trục dầm. Biến dạng tỷ đối ban đầu được chọn là 0 0.002.   Độ lớn của vết nứt thay đổi theo các mức:  = 0%, 10%, 20%, 30% và 40%.   x w l1 L Hình 5.4 Mô hình dầm ứng suất trước hai đầu bản lề có một vết nứt Ta thay đổi vị trí vết nứt trong tính toán bằng cách cho khoảng cách l1 biến thiên từ 0 đến L (xem hình 5.4). Các đồ thị trên hình 5.6 biểu diễn sự biến thiên của ba tần số riêng đầu tiên của dầm hai đầu bản lề theo vị trí vết nứt và độ lớn vết nứt. Ta nhận thấy rằng vết nứt càng lớn thì các tần số riêng càng suy giảm. Đặc biệt, vết nứt lại vị trí L/2 không ảnh hưởng đến tần số riêng thứ hai; vết nứt lại vị trí L/3 và 2L/3 không ảnh hưởng dến tần số riêng thứ ba. Các tần số riêng ứng với  = 0% (tương ứng với trường hợp không có vết nứt) có trị số trùng với các trị số tính theo công thức xác định tần số riêng của dầm hai đầu bản lề ứng suất trước trong chương 2 như sau: 4 2 2 4 2 04 2 , 1,2,3,...k EI Ek k k L A L       (5.79) Bảng 5.1 Các số liệu tính toán của dầm Tham số Đơn vị Giá trị  kg/m3 32.3 10 E N/m2 110.315 10 L m 18 b m 1.8 h m 1.3446 80 a) b) c) Hình 5.5 Biến thiên của ba tần số riêng đầu tiên (thứ tự a, b, c) của dầm ứng suất trước hai đầu bản lề có một vết nứt theo vị trí vết nứt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 20 22 24 26 28 30 32 So vet nut N  1 [r ad /s ] =0 % =10 % =20 % =30 % =40 % Hình 5.6 Biến thiên của tần số riêng thứ nhất của dầm hai đầu bản lề theo số vết nứt phân bố đều theo chiều dài dầm, biến dạng tỷ đối ban đầu 0 0.002.   0 5 10 15 27.5 28 28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 32 [ra d/ s] l1 [m] =40% =30% =20% =10% =0% 0 5 10 15 140 145 150 155 160 l1 [m] [ra d/ s] =0% =10% =20% =30% =40% 0 5 10 15 330 335 340 345 350 355 360 365 370 l1 [m] [ra d/ s] =40% =30% =20% =10% =0% 81 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 22 24 26 28 30 32 So vet nut  1 [ra d/ s] =5 % =30% =20% =10% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 100 110 120 130 140 150 160 So vet nut  2 [ra d/ s] =10% =20% =30% =5% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 220 240 260 280 300 320 340 360 380 So vet nut  3 [r ad /s ] =5% =10% =20% =30% Hình 5.7 Biến thiên của ba tần số riêng của dầm hai đầu bản lề theo số lượng vết nứt và độ lớn vết nứt, các vết nứt tiến triển dần theo trục dầm, biến dạng tỷ đối ban đầu 0 0.002.   82 0 5 10 15 -1 0 1 = 36.61 rad/s L [m] 0 5 10 15 -1 0 1 = 136.11 rad/s L [m] 0 5 10 15 -1 0 1 = 298.83 rad/s L [m] 0 5 10 15 -1 0 1 = 33.59 rad/s L [m] 0 5 10 15 -1 0 1 = 125.00 rad/s L [m] 0 5 10 15 -1 0 1 = 276.78 rad/s L [m] 0 5 10 15 -1 0 1 = 28.44 rad/s L [m] 0 5 10 15 -1 0 1 = 105.86 rad/s L [m] 0 5 10 15 -1 0 1 = 234.70 rad/s L [m] N=5 N=10 N=3 Hình 5.8 Các dạng dao động riêng của dầm hai đầu bản lề với N vết nứt, biến dạng tỷ đối ban đầu 0 0.001   - Thí dụ thứ hai đánh giá ảnh hưởng của số lượng vết nứt và độ lớn vết nứt đến tần số riêng của dầm. Kết quả tính toán tần số riêng đầu tiên được biểu diễn trên hình 5.6, trong đó các đường cong thể hiện sự biến thiên trị số của tần số riêng đối với số lượng vết nứt (từ 1 đến 15 vết nứt phân bố đều trên dầm và có độ lớn như nhau). Tần số riêng suy giảm khi số lượng vết nứt tăng lên. Độ lớn vết nứt càng tăng thì mức độ suy giảm của tần số riêng càng lớn. Các đồ thị trên hình 5.7 biểu diễn sự biến thiên của ba tần số riêng đầu tiên theo số vết nứt, trong đó các vết nứt không phân bố đều trên dầm mà tiến triển theo trục dầm. Trong mỗi trường hợp, các vết nứt có độ lớn i như nhau. Hình 5.8 biểu diễn các dạng dao động riêng của dầm ứng với ba tần số riêng đầu tiên và phân chia thành bốn trường hợp có số lượng vết nứt khác nhau (N = 0, 3, 5, 10). Các đồ thị dạng riêng cho thấy các điểm không liên tục tại các vị trí vết nứt. Hình 5.9 Biến thiên của hai tần số riêng đầu tiên của dầm hai đầu bản lề có ba vết nứt theo độ lớn của vết nứt và biến dạng tỷ đối ban đầu - Thí dụ thứ ba đánh giá ảnh hưởng của độ lớn vết nứt và ứng suất trước đến tần số riêng của dầm hai đầu bản lề, trong đó ta cho biến dạng tỷ đối ban đầu biến thiên trong -2 -1 0 1 2 x 10-3 0 0.2 0.4 20 25 30 35 40 45 50 55 0  1 [ra d/ s] -2 -1 0 1 2 x 10-3 0 0.2 0.4 120 130 140 150 160 170 180 0  2 [ra d/ s] 83 khoảng 00,002 0,002.   Các kết quả tính toán được biểu diễn trên các đồ thị trên hình 5.9, cho thấy biến dạng tỷ đối ban đầu âm (nén trước) làm suy giảm tần số riêng và ngược lại, biến dạng tỷ đối ban đầu dương (kéo trước) làm tăng các tần số riêng đầu tiên khá rõ. Khi độ lớn các vết nứt tăng từ 20% lên 40%, tần số riêng thứ hai của dầm giảm nhanh chóng. 5.2.5.2 Tần số riêng của dầm ứng suất trước hai đầu ngàm Ta sử dụng các tham số đầu vào cho tính toán số tần số riêng của dầm hai đầu ngàm (hình 5.10) giống như trường hợp dầm hai đầu bản lề (bảng 5.1). w l1 Hình 5.10 Mô hình dầm ứng suất trước hai đầu ngàm có một vết nứt Sự ảnh hưởng của ứng suất trước, số vết nứt và độ lớn vết nứt đến tần số riêng của dầm hai đầu ngàm được biểu diễn qua các đồ thị trên các hình 5.11 - 5.15. Tương tự như cách thực hiện tính toán đối với dầm hai đầu bản kề, các đồ thị trên hình 5.12 biểu diễn sự biến thiên của ba tần số riêng đầu tiên của dầm hai đầu ngàm theo vị trí vết nứt l1 và độ lớn vết nứt . Quy luật biến thiên của các tần số riêng trên hình 5.12 có dạng phù hợp với các kết quả đã được công bố tại công trình [62] cho dầm không ứng suất trước và theo một lý thuyết tính toán khác. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 60 70 80 90 100 So vet nut N  1 [r ad /s ] =0 % =10 % =20 % =30 % =40 % Hình 5.11 Biến thiên của tần số riêng thứ nhất của dầm hai đầu ngàm theo số vết nứt phân bố đều theo chiều dài dầm, biến dạng tỷ đối ban đầu 0 0.001  84 a) b) c) Hình 5.12 Biến thiên của ba tần số riêng đầu tiên (thứ tự a, b, c) của dầm ứng suất trước hai đầu ngàm có một vết nứt theo vị trí vết nứt Các kết quả tính toán cho dầm ứng suất trước hai đầu ngàm cho thấy cùng một hiện tượng như tại dầm ứng suất trước hai đầu bản lề: Số lượng vết nứt càng tăng thì tần số riêng càng giảm, mức độ suy giảm của tần số riêng nhanh hơn nếu độ lớn vết nứt cao hơn (các hình 5.13 và 5.14). Đồng thời, biến dạng tỷ đối ban đầu càng âm thì các tần số riêng đầu tiên suy giảm càng nhiều (hình 5.15). 0 5 10 15 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 l1 [m] [ra d/ s] =40% =30% =20% =10% =0% 0 5 10 15 220 225 230 235 240 245 250 255 260 l1 [m] [ra d/ s] =40% =30% =20% =10% =0% 0 5 10 15 450 460 470 480 490 500 510 l1 [m] [ra d/ s] =40% =30% =20% =10% =0% 85 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 60 65 70 75 80 85 90 So vet nut  1 [ra d/ s] =5 % =30% =20% =10% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 160 180 200 220 240 260 So vet nut  2 [ra d/ s] =10% =20% =30% =5% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 300 350 400 450 500 550 So vet nut  3 [ra d/ s] =5% =10% =20% =30% Hình 5.13 Biến thiên của ba tần số riêng của dầm hai đầu ngàm theo số lượng vết nứt và độ lớn vết nứt, các vết nứt tiến triển dần theo trục dầm, biến dạng tỷ đối ban đầu 0 0.002.   86 Hình 5.14 Biến thiên của hai tần số riêng của dầm hai đầu ngàm theo số lượng vết nứt và độ lớn vết nứt, số lượng vết nứt tăng dần theo trục dầm, biến dạng tỷ đối ban đầu 0 0.001  Hình 5.15 Biến thiên của hai tần số riêng đầu tiên của dầm hai đầu ngàm có ba vết nứt theo độ lớn của vết nứt và biến dạng tỷ đối ban đầu 87 5.3 Dao động uốn của dầm ứng suất trước có vết nứt dưới tác dụng của vật thể di động 5.3.1 Thiết lập phương trình vi phân dao động Trong mục này ta khảo sát dao động cưỡng bức của dầm ứng suất trước có N = n-1 vết nứt, chịu liên kết hai đầu bản lề, dưới tác dụng của vật thể di động với vận tốc không đổi v (hình 5.16). x xn = L x1 xi v dk m z Hình 5.16 Mô hình dao động cưỡng bức của dầm ứng suất trước có vết nứt, hai đầu bản lề, chịu tác dụng của một vật thể di động Từ các kết quả lý thuyết trong chương trước, ta có thể biểu diễn dao động uốn của dầm và dao động của vật thể di động trên dầm bằng các phương trình sau  4 2 204 2 2 , , ew w w wEI b EA p x z tx t t x             (5.80) ( ) ( ) ( ) 1 ( )( ) n i i i i mz dz kz mg L t dw kw          (5.81) trong đó w = w(x,t) là độ võng động lực của dầm, ( )iw là độ võng của dầm tại điểm vật thể tiếp xúc với dầm trong đoạn dầm thứ i. Hàm lực kích động tại vế phải của phương trình (5.80) có dạng:   ( ) ( ) ( ) 1 , , ( )[ ( ) ( )] ( ) n i i i i p x z t L t k z w d z w x vt          (5.82) với hàm tín hiệu ứng với đoạn dầm thứ i (i = 1,..., n) có dạng 1( ) 1 1 khi x ( ) 0 khi v x , > i ii i i vt x L t t vt x       (5.83) Điều kiện biên của dầm hai đầu bản lề có dạng 2 20 : (0, ) 0, (0, ) 0 wx w t t x    (5.84) 88 2 2: ( , ) 0, ( , ) 0 wx L w L t L t x    (5.85) Áp dụng phương pháp khai triển theo các dạng riêng, ta biểu diễn độ võng động của dầm dưới dạng quen thuộc sau: 1 ( , ) ( ) ( ) K k k k w x t X x q t   (5.86) trong đó ta sử dụng K tọa độ suy rộng qk, tương ứng với K dạng riêng ( )kX x đầu tiên của dầm. Từ phương trình (5.86) ta suy ra các hệ thức sau ( ) 4 2 4 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ) IV K K k k k k k k w wq t X x q t X x x x       (5.87) 2 2 1 1 ( ) ( ), ( ) ( ) K K k k k k k k w wq t X x q t X x t t        (5.88) ( ) ( ) ( ) 1 ( , ) ( ) ( ) K i i i k k k w w vt t q t X vt    (5.89) ( ) ( ) 1 ( , ) ( ) ( ) K i i k k k ww vt t q t X vt t      (5.90) Từ các phương trình (5.80) và (5.86) ta có ( ) 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) IV K K K e k k k k k k k k k K k k k EI q t X x q t X x b q t X x EA q t X x p x z t                  (5.91) Phương trình (5.11) dẫn đến quan hệ ( ) 20( ) ( ) ( ) IV k k k kEIX x EAX x X x    (5.92) Thế hệ thức (5.92) vào phương trình (5.91) ta được 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) K e k k k k k k q t b q t q t X x p x z t          (5.93) Nhân hai vế của phương trình (5.93) với dạng riêng ( )mX x và sau đó tích phân từ 0 đến L ta có 2 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) L LK e k k k k k m m k q t b q t q t X x X x dx X x p x z t dx           (5.94) Tính chất trực giao của các dạng riêng dẫn đến 0 0 khi ( ) ( ) khi L k m k k m X x X x dx h k m    với 20 ( ) L k kh X x dx  (5.95) Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát các dạng riêng không trực giao với nhau. Ta có thể xác định đại lượng hk dưới dạng   1 22 ( ) 10 ( ) ( ) i i xL n i k k k i x X x dx X x dx h     (5.96) trong đó 0 0,x  ( ) ( )ikX x là dạng riêng thứ k của đoạn dầm i. Mặt khác ta có ( ) ( ) 10 0 ( ) ( , , ) = ( )( ) ( ) ( ) L L n i i k k i X x p x z t dx L t mg mz X x x vt dx      (5.97) Thế các phương trình (5.95), (5.97) vào phương trình (5.94) ta được phương trình 89 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( w ) ( )] n e i i i i k k k k k ik q t b q t q t L t k z w d z X vt h             (5.98) Mặt khác, phương trình (5.76) dẫn đến hệ thức (i) (i) (i) 1 ( )( ) n i mz dz kz mg L t bw kw          (5.99) Thế các phương trình (5.89), (5.90) vào phương trình (5.99) cho ta phương trình (i) ( ) (i) 1 1 1 ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) n K K i k k k k i k k mz mg dz kz L t d q t X vt k q t X vt               (5.100) Mặt khác, thế các phương trình (5.89) and (5.90) vào phương trình (5.98) ta có         2 (i) (i) 1 (i) (i) ( ) 1 1 (i) (i) (i) (i) ( ) 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) X ( ) ( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n e k k k k k ik n K i r k r i rk n n K i k r k r i i rk k q t b q t q t L t kX vt z h L t kX vt vt q t h L t dX vt z L t dX vt X vt q t h h                           (5.101) Nếu ta sử dụng ký hiệu 1 khi 0 khi s r r s r s     (5.102) phương trình (5.101) được viết lại dưới dạng ( ) ( ) ( ) (i) ( ) 1 1 1 3 (i) (i) (i) 2 (i) (i) 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] n K n i i i k e i k r k r r k i r ik k n n s r k k k r k i r ik k q t L t dX vt X vt b q t L t dX vt z h h L t kX vt X vt q t L t kX vt z h h                                (5.103) Phương trình (5.100) dẫn đến phương trình sau (i) ( ) (i) 1 1 1 ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) n K K i k k k k i k k d k d kz g z z L t q t X vt q t X vt m m m m              (5.104) Ta có thể biểu diễn các phương trình (5.103) và (5.104) dưới dạng ma trận như sau ( ) ( ) ( )t t t  q B q C q f  (5.105) trong đó ta sử dụng các ký hiệu 1 1 1 2 2 2 , ,... ... ... K K K q q q q q q q q q z z z                                            q q q           (5.106) Ma trận  tB có dạng sau 11 12 1 1 1 21 22 2 2 1 1 2 1 11 12 1 1 1 ( ) (t) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ... ... ... ... ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) K K K K K K KK KK K K K K K K b t b b t b t b t b t b t b t t b t b t b t b t b t b t b t b t                   B (5.107) 90 với các phần tử: (i) (i) (i), 1 ( ) ( )[ ( ) ( )] , ( , 1,..., ) n s e s r s r r is db t L t X vt X vt b s r K h      (5.108) (i) (i), 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1,..., ) n s K s is db t L t X vt s K h   (5.109) (i) (i), 1 ( ) ( ) ( ) ( 1,..., ) n K r r i db t L t X vt r K m    (5.110) 1, 1( ) K K db t m    (5.111) Ma trận  tC có dạng 11 12 1 1 1 21 22 2 2 1 1 2 1 11 12 1 1 1 ( ) (t) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ... ... ... ... ... ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) K K K K K K KK KK K K K K K K c t c c t c t c t c t c t c t t c t c t c t c t c t c t c t c t                   C (5.112) trong đó các phần tử được biểu diễn bởi (i) (i) (i) 2, 1 ( ) ( )[ ( ) ( )] , ( , 1,..., ) n s s r s r r s is kc t L t X vt X vt s r K h       (5.113) (i) (i), 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1,..., ) n s K s is kc t L t X vt s K h   (5.114) (i) (i), 1 ( ) ( ) ( ) ( 1,..., ) n K r r i kc t L t X vt r K m    (5.115) 1, 1( )K K kc t m    (5.116) Véctơ vế phải của phương trình (5.105) có dạng  T1 2 1, ,..., ,K Kf f f f f (5.117) với các phần tử: 1 2 1... 0,K Kf f f f g     (5.118) Như vậy, nghiệm của phương trình (5.105) sẽ cho ta giá trị của véctơ tọa độ q theo thời gian. Độ võng động của dầm tại một mặt cắt bất kỳ sẽ được xác định bởi công thức (5.86). 5.3.2 Một số kết quả tính toán mô phỏng số dao động uốn của dầm dưới tác dụng của vật thể di động Dựa trên lý thuyết đã xây dựng về dao động cưỡng bức của dầm ứng suất trước có vết nứt chịu tác dụng của một vật thể di động trong mục 5.3.1, chương trình tính VIBEAM03- BKHN trên phần mềm MATLAB đã được xây dựng để tính toán độ võng động của dầm ứng suất trước hai đầu bản lề có số lượng vết nứt tùy ý. Các tham số hình học và vật liệu của dầm trong bảng 5.2 được tham khảo từ thông số kỹ thuật của một dầm BTCT dự ứng lực. Vận tốc của xe có giá trị lần lượt là 5 m/s, 10 m/s và 15 m/s. Một số kết quả tính toán dao động của dầm được biểu diễn trên các hình từ 5.17 đến 5.22. 91 Bảng 5.2 Các số liệu tính toán dao động cưỡng bức của dầm Tham số Đơn vị Giá trị  kg/m3 32.5 10 E N/m2 110.315 10 L m 33 b m 1.5 h m 1.3446 m kg 3420 k N/m 54 10 d kg/s 4600 eb 0 0 -0,001 0 2 4 6 8 10 12 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 x 10-3 Thoi gian [s] D o vo ng w [m ] =0 =10% =20% =30% =40% Hình 5.17 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=5 m/s, dầm có một vết nứt giữa dầm 92 0 2 4 6 8 10 12 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 x 10-3 Thoi gian [s] D o vo ng w [m ] =0 =10% =20% =30% =40% Hình 5.18 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=5 m/s, dầm có ba vết nứt phân bố đều 0 1 2 3 4 5 6 -15 -10 -5 0 5 x 10-3 Thoi gian [s] D o vo ng w [m ] =0 =10% =20% =30% =40% Hình 5.19 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=10 m/s, dầm có một vết nứt giữa dầm 93 0 1 2 3 4 5 6 -15 -10 -5 0 5 x 10-3 Thoi gian [s] D o vo ng w [m ] =0 =10% =20% =30% =40% Hình 5.20 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=10 m/s, dầm có ba vết nứt phân bố đều 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -20 -15 -10 -5 0 5 x 10-3 Thoi gian [s] D o vo ng w [m ] =0 =10% =20% =30% =40% Hình 5.21 Độ võng tại mặt cắt giữa dầm tại v=15 m/s, dầm có ba vết nứt phân bố đều 94 0 2 4 6 8 10 12 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 x 10-3 Thoi gian [s] D o vo ng w [m ] v = 5 m/s 1 vet nut 30% 3 vet nut 30% 0 1 2 3 4 5 6 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 x 10-3 Thoi gian [s] D o vo ng w [m ] v = 10 m/s 1 vet nut 30% 3 vet nut 30% Hình 5.22 So sánh độ võng động của dầm có một vết nứt giữa dầm và dầm có ba vết nứt phân bố đều tại hai vận tốc xe khác nhau Từ các kết quả đồ thị độ võng động của dầm ứng suất trước có vết nứt dưới tác động của vật thể di động biểu diễn trên các hình 5.17-5.22, ta có thể rút ra một số nhận xét sau: - Khi vận tốc xe ô tô tăng, độ võng động của dầm cũng tăng. - Khi độ lớn vết nứt không thứ nguyên  tăng, độ võng động của dầm tăng tương ứng. Thí dụ, căn cứ vào các đồ thị trên hình 5.19 ta có thể nhận thấy tại vận tốc xe 10m/s, độ võng động lớn nhất của dầm có một vết nứt với 40%  có trị số lớn hơn độ võng động lớn nhất của dầm không có vết nứt đến 26%. - Khi số lượng vết nứt tăng, độ võng động của dầm cũng tăng. 95 - Khi ô tô đã dịch chuyển khỏi cầu, dao động tự do của dầm ứng suất trước phụ thuộc vào độ lớn vết nứt không thứ nguyên  . Nói chung khi  tăng, biên độ dao động tự do tăng. Tần số và biên độ dao động tự do phụ thuộc vào vận tốc ô tô khi qua cầu rõ rệt. Hình 5.23 So sánh độ võng động của dầm có một vết nứt 30%  giữa dầm tại vận tốc xe 5 m/s ứng với các trị số 0 khác nhau 0 1 2 3 4 5 6 -15 -10 -5 0 5 x 10-3 Thoi gian [s] D o vo ng w [m ] 0 = 0.0 0 = - 0.0008 0 = - 0.001 Hình 5.24 So sánh độ võng động của dầm có một vết nứt 30%  giữa dầm tại vận tốc xe 10 m/s ứng với các trị số 0 khác nhau Các kết quả tính toán độ võng động của dầm biểu diễn qua đồ thị trên các hình 5.23 và 5.24 cho thấy sự ảnh hưởng của ứng suất trước trong dầm đến độ võng động trong khi xe vẫn còn đang chuyển động trên dầm. Khi xe đã qua khỏi dầm, dao động tự do của dầm có vết nứt ít phụ thuộc vào trị số của biến dạng tỷ đối ban đầu 0. 96 Chú ý rằng khi 0 0,  các kết quả tính toán trong mục này phù hợp với các kết quả đã biết trong tài liệu [71]. 5.4 Kết luận chương 5 Vấn đề mô hình hóa và tính toán dao động uốn của dầm có vết nứt cũng như phân tích dao động của dầm chịu ứng suất trước đã được nghiên cứu nhiều và có nhiều kết quả về lý thuyết và thực nghiệm. Tuy nhiên, vấn đề mô hình hóa và tính toán dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt là bài toán còn đang được quan tâm nghiên cứu hiện nay. Đây là một vấn đề phức tạp do phải tính đến cả hai yếu tố ảnh hưởng đến dao động của dầm: Ứng suất trước và các vết nứt. Về xây dựng mô hình, mô hình vết nứt được thay thế bằng lò xo với tham số độ cứng của vết nứt được xác định từ công thức thực nghiệm của các nghiên cứu đã được công bố. Trong chương này, phương trình mô tả dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt dưới tác dụng của vật thể di động của mô hình đã được thiết lập. Một thuật toán số tính toán dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt dưới tác dụng của vật thể di động đã được đề xuất. Trên cơ sở các kết quả nghiên cứu lý thuyết, chương trình tính VIBEAM03-DHBK đã được xây dựng trên phần mềm tính toán đa năng MATLAB. Một số kết quả tính toán cụ thể bằng chương trình tính này cũng là một phần nội dung của chương. Mặc dù dầm có số lượng vết nứt lớn, chương trình tính vẫn cho kết quả nhanh chóng. Các kết quả số đã cho thấy sự biến thiên của tần số riêng của dầm ứng suất trước đối với độ lớn của vết nứt và số lượng vết nứt; sự thay đổi của dạng dao động riêng tại các vị trí có vết nứt và độ võng động lực của dầm dưới tác dụng của một vật thể di động. 97 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết quả chính của luận án Các dầm bê tông cốt thép sử dụng trong xây dựng cầu bê tông cốt thép dự ứng lực là các dầm ứng suất trước. Các ứng suất trước thể hiện qua biến dạng dài tỷ đối ban đầu 0 ( )x . Ngày nay trong các ngành giao thông vận tải, xây dựng và chế tạo cơ khí người ta hay sử dụng các loại dầm bê tông cốt thép dự ứng lực (có ứng suất trước) hoặc dầm thép có ứng suất trước. Việc tính toán thiết kế sử dụng các dầm ứng suất trước ở nước ta chủ yếu mới chỉ ở mức độ tính toán tĩnh [14, 15]. Vì vậy việc nghiên cứu dao động uốn của dầm ứng suất trước là cần thiết góp phần tính toán động trong quá trình xây dựng các công trình dân dụng và cầu đường ở nước ta. Luận án này là một công trình nghiên cứu đi theo hướng đó. Trong luận án này, vấn đề thiết lập phương trình dao động uốn tự do và cưỡng bức của dầm Euler-Bernulli ứng suất trước bằng phương pháp d’Alembert đã được trình bày chi tiết. Phương pháp ma trận truyền đã được áp dụng để thiết lập phương trình dao động uốn tự do của dầm ứng suất trước có vết nứt. Đối với mô hình dầm ứng suất trước có và không có vết nứt dưới tác dụng của vật thể di động, phương trình dao động uốn của dầm được xây dựng bằng phương pháp tách cấu trúc. Một phần quan trọng của luận án là xây dựng các thuật toán và chương trình tính toán dao động của dầm ứng suất trước. Các kết quả chính của luận án gồm các điểm sau đây. 1. Áp dụng nguyên lý d’Alembert đã thiết lập phương trình dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm giản đơn ứng suất trước. Bằng việc áp dụng các công thức thực nghiệm và các công thức tính toán gần đúng lực căng dây cáp trên cơ sở đo tần số dao động riêng của dây, luận án đã đưa ra một số kết quả tính lực căng dây cáp của cầu Bãi cháy và cầu Bính. Kết quả tính toán theo các công thức lý thuyết phù hợp với các kết quả tính toán bằng các công thức thực nghiệm. 2. Áp dụng phương pháp tách cấu trúc thiết lập phương trình dao động uốn của dầm giản đơn dưới tác dụng của vật thể di động. Trong đó vật thể di động là một hệ dao động đơn giản và mô hình khảo sát gần với thực tế hơn. Luận án đã xây dựng thuật toán giải các phương trình dao động uốn của dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động, đồng thời xây dựng chương trình tính VIBEAM01-ĐHBK trên phần mềm tính toán đa năng MATLAB để tính toán dao động uốn của cầu dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động. Các phương trình vi phân mô tả dao động của dầm ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động là các phương trình vi phân hệ số biến đổi. Khi các vật thể di động trên dầm với vận tốc không đổi, các phương trình vi phân mô tả dao động của hệ là các phương trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn. Do đó hiện tượng cộng hưởng (vận tốc tới hạn) tham số cần được quan tâm nghiên cứu. Chương trình VIBEAM01-ĐHBK được sử dụng để tính toán vận tốc tới hạn của ô tô qua cầu Đông Hà và cầu Bùng. Kết quả tính cho thấy vận tốc tới hạn thấp hơn nhiều so với kết quả tính toán vận tốc tới hạn dựa trên lý thuyết dao động cưỡng bức trước đây. 3. Áp dụng phương pháp tách cấu trúc thiết lập phương trình dao động uốn của dầm liên tục (dầm có gối đỡ trung gian) ứng suất trước dưới tác dụng của nhiều vật thể 98 di động. Các phương trình mô tả dao động của dầm liên tục ứng suất trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động là một hệ phương trình hỗn hợp gồm một phương trình đạo hàm riêng, nhiều phương trình vi phân thường, nhiều phương trình đại số phi tuyến. Phương pháp Ritz-Galerkin đã được áp dụng để biến đổi hệ phương trình hỗn hợp nêu trên về một hệ phương trình vi phân thường. Trên cở sở đó, chương trình tính VIBEAM02-ĐHBK đã được xây dựng để tính toán dao động uốn của cầu dầm liên tục ứng suất trước dưới tác dụng của nhiều vật thể di động. Chương trình này được sử dụng để tính toán dao động uốn của cầu Phả Lại và cầu Hiền Lương. Các kết quả tính toán bằng phần mềm VIBEAM02-ĐHBK phù hợp với các kết quả đo đạc trên cầu thực. 4. Áp dụng phương pháp ma trận truyền xây dựng các phương trình tính toán các tần số riêng của dầm ứng suất trước có vết nứt. Trong đó vết nứt được thay thế bằng các lò xo theo các kết quả nghiên cứu thực nghiệm của các tác giả nước ngoài. Phương pháp tách cấu trúc được sử dụng để thiết lập phương trình dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt dưới tác dụng của vật thể di động. Trên cơ sở các kết quả lý thuyết và thuật toán, chương trình tính VIBEAM03-ĐHBK đã được xây dựng để tính dao động uốn của dầm ứng suất trước có nhiều vết nứt dưới tác dụng của vật thể di động. Chương trình VIBEAM03-ĐHBK được sử dụng để tính toán và đưa ra các kết quả mô phỏng số nhiều thí dụ cụ thể. Chương trình này cũng được sử dụng để tính toán và cho kết quả để so sánh với kết quả tính toán trong một bài báo của tác giả nước ngoài khi ứng suất trước bằng 0, cho thấy hai kết quả khá phù hợp với nhau. Các vấn đề có thể nghiên cứu tiếp 1. Xây dựng lý thuyết dầm ứng suất trước với các mô hình chính xác hơn khi biến dạng tỷ đối ban đầu 0 không phải là hằng số mà là hàm của tọa độ x hoặc mô hình dầm phi tuyến. 2. Nghiên cứu các áp dụng của lý thuyết dầm ứng suất trước giải quyết các bài toán trong công nghệ. 3. Nghiên cứu ảnh hưởng của các vết nứt đến sự phá hủy lũy tiến các công trình. 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Hạnh Long (2001) Ổn định động lực của cầu dầm giản đơn trên đường ô tô dưới tác dụng của tải trọng khai thác. Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học giao thông vận tải, Hà Nội [2] Đỗ Xuân Thọ (1996) Tính toán dao động uốn của dầm liên tục chịu tác dụng của vật thể di động. Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [3] Hoàng Hà (1999) Nghiên cứu dao động uốn của kết cấu nhịp cầu dây văng trên đường ô tô chịu tác dụng của hoạt tải khai thác. Luận án Tiến sĩ, Trường Đại học giao thông vận tải, Hà Nội [4] Nguyễn Đức Phong (2015) Dao động uốn của cầu dầm giản đơn dưới tác dụng của hoạt tải khai thác, Đồ án tốt nghiệp, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội [5] Nguyễn Minh Phương (2002) Tính toán dao động uốn của dầm liên tục trên các gối cứng và gối đàn hồi bằng phương pháp giải phóng các liên kết trung gian. Luận văn Thạc sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [6] Nguyễn Minh Phương (2009) Tính toán dao động uốn của dầm liên tục và tấm trực hướng chịu tác dụng của nhiều vật thể trung gian. Luận văn Tiến sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [7] Nguyễn Thị Vân Hương (2005) Tính toán dao động uốn của dầm có ứng suất trước. Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội [8] Nguyễn Thị Vân Hương (2007) Dao động uốn của dầm có ứng suất trước dưới tác dụng của vật thể di động. Luận văn Thạc sỹ khoa học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội [9] Nguyễn Tiến Khiêm (2004) Cơ sở Động lực học công trình. NXB Đại học quốc gia Hà Nội [10] Nguyễn Văn Khang (2005) Dao động kỹ thuật (in lần thứ 4). NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội [11] Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Minh Phương (2002) Tính toán dao động uốn của dầm liên tục bằng phương pháp giải phóng liên kết. Tuyển tập Hội nghị cơ học toàn quốc lần thứ 7, Hà Nội [12] Nguyễn Văn Khang, Thái Mạnh Cầu, Nguyễn Phong Điền, Vũ Văn Khiêm, Nguyễn Nhật Lệ (2006) Bài tập dao động kỹ thuật (in lần thứ 3). NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội [13] Nguyễn Văn Khang, Vũ Văn Khiêm (1999) Về một phương pháp mới tính dao động uốn của dầm liên tục trên các gối cứng trung gian. Tuyển tập công trình khoa học Hội nghị cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ VI, Hà Nội [14] Nguyễn Viết Trung, Hoàng Hà (1996), Cầu bê tông cốt thép, Tập 1, Trường Đại học Giao thông vận tải, Hà Nội 100 [15] Nguyễn Viết Trung, Hoàng Hà (1996), Cầu bê tông cốt thép, Tập 2, Trường Đại học Giao thông vận tải, Hà Nội [16] Nguyễn Xuân Toản (2007), Phân tích dao động cầu dây văng dưới tác dụng của tải trọng di động, Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, Đại học Đà Nẵng [17] Phí Thị Hằng (2016) Phương pháp phổ tần số trong nghiên cứu dao động của dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải trọng di động. Luận án tiến sĩ cơ học, Học viện Khoa học và Công nghệ [18] Tạ Hữu Vinh (2005), Nghiên cứu dao động của kết cấu các hệ thanh chịu tải trọng di động bằng phương pháp số, Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, Học viện Kỹ thuật quân sự [19] Trần Thanh Hải (2011) Chẩn đoán vết nứt của dầm đàn hồi bằng phương pháp đo dao động. Luận văn Tiến sĩ, Viện Cơ học Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [20] Abeles P.W., Bardhan-Roy B. K. (1981) Prestressed Concrete Designer’s Handbook (3. Edition), CRC Press, New York. [21] Attar M. (2012) A transfer matrix method for free vibration analysis and crack identification of stepped beams with multiple edge cracks and different boundary conditions. International Journal of Mechanical Sciences 57, pp. 19–33 [22] Aydin K. (2007) Vibratory characteristics of axially-loaded Timoshenko beams with arbitrary number of cracks. ASCE Journal of Vibration and Acoustics 129, pp.341- 354 [23] Benaroya H. (2004) Mechanical Vibration (2. Edition). Marcel Dekker, New York [24] Binici B. (2005) Vibration of beams with multiple open cracks subjected to axial force. Journal of Sound and Vibration 287, pp. 277-295 [25] Bishop R. E. D., Price W. G. (1978) The vibration characteristics of a beam with an axial force. Journal of Sound and Vibration 59 (2), pp. 237-244 [26] Bokaian A. (1988) Natural frequencies of beams under compressive axial load. Journal of Sound and Vibration 126 (1), pp. 49-65 [27] Chen W., Hao H., Chen S. (2015) Numerical analysis of prestressed reinforced concrete beam subjected blast loading. Material and Design 65, pp. 662-674 [28] Chondros T. G., Dimarogonas A. D., Yao J. (1998) A continuous cracked beam vibration theory. Journal of Sound and Vibration 215, pp. 17-34 [29] Dall’Asta A., Dezi L. (1996) Discussion on ”Prestress force effect on vibration frequency of concrete bridges” by Saiidi M. et al.. Journal of Structural Engineering 121, pp. 458-459 [30] Dall’Asta A., Leoni G. (1999) Vibration of beams prestressed by internal frictionless cables. Journal of Sound and Vibration 222(1), pp. 1-18 [31] Dimarogonas A. D. (1996) Vibration of cracked structures: a state of the art review. Engineering Fracture Mechanics 55, pp. 831-857 101 [32] Fryba L. (1972) Vibration of solids and structures under moving loads. Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, Prague [33] Fryba L. (1996) Dynamics of railway bridges. Thomas Telford, London [34] Geier R. (2004) Schwingungsuntersuchungen von Schraegseilen. Books on Demand, Norderstedt [35] Gomes H. M., Flores de Almeida F. J. (2014) An analytical dynamic model for single-cracked beams including bending, axial stiffness, rotational inertia, shear deformation and coupling effects. Applied Mathematical Modelling 38, pp. 938-948 [36] Hamed E., Frostig Y. (2004) Free vibrations of cracked prestressed concrete beams. Engineering Structures 26, pp. 1611-1621 [37] Hamed E., Frostig Y. (2006) Natural frequencies of bonded and unbonded prestressed beamsprestress force effects. Journal of Sound and Vibration 295, pp. 28-39 [38] Hayashikawa T., Watanabe N. (1981) Dynamic behavior of continuous beams with moving loads. Journal of the Engineering Mechanics Division, pp. 289-246 [39] Hinrichs R. (1990) Gedaempfte Schwingungen vorgespannter Balken. VDI Fortschritt-Berichte, Reihe 11, Nr.142, VDI Verlag Duesseldorf [40] Huszar Z. (2008) Vibration of cracked reinforced and prestreed concrete beams. Facta Univesitatis, Architecture and Civil Enginering 6, pp.155-164 [41] Japan Prestressed Concrete Engineering Association (1998) Prestressed Concrete in Japan [42] Keer A. D. (1973) On the dynamic response of a prestressed beam. Princeton University Research Report, 73-SM-8 [43] Keer A. D. (1976) On the dynamic response of a prestressed beam. Journal of Sound and Vibration 49(4), pp. 569-573 [44] King R. E., Rea D. (1965) An analysis of damped free vibrations of slender prestressed concrete beams. International Journal of Mechanical Science 7, pp. 211- 219 [45] Kolousek V. (1973) Dynamics in Engineering Structures. Butterworths, London [46] Li F. G., Li R. (2012) Theoretical Analysis of Natural Vibration Frequency for unbounded prestressed concrete beams. Advanced Materials Research, Vol. 594- 597, pp. 882-885 [47] Li F. G., Li R. (2013) Finite element analysis of natural vibration frequency for unbounded prestressed concrete beams. Applied Mechanics and Materials, Vol. 351-352, pp. 1034-1037 [48] Lin H. P. (2004) Direct and inverse methods on free vibration analysis of simply supported beam with a crack. Engineering Structures 26, pp. 427-436 [49] Lin H. P., Chang S. C., Wu J. D. (2002) Beam vibrations with an arbitrary number of cracks. Journal of Sound and Vibration 258(5), pp. 878-999 [50] Lin T. Y., Burns N. H. (1981) Design of prestressed concrete structures. Wiley, New York [51] Magnus K., Popp K. (1997) Schwingungen (5. Auflage). B.G. Teubner Stuttgart 102 [52] Mahrenholz O. (1987) Wekstoffdaempfung. In VDI Berichte 627, pp. 21-33 [53] Masoud S., Jarran M. A., Al-Maarory M. (1998) Effect of crack depth on the natural frequency of a prestressed fixed-fixed beam. Journal of Sound and Vibration 214(2), pp. 201-212 [54] Miyamoto A., Tei K., Nakamura H. and Bull J. W. (2000) Behavior of prestressed beam strengthened with external tendons. Journal of Structural Engineering 126(9), pp. 1033-1044 [55] Mo Y. L., Hwang W. L. (1994) Dynamic response of prestressed concrete frames. Engineering Structures 16, pp. 577-584 [56] Morse P. C., Ingard K. U. (1968) Theoretical Acoustics. Mcgraw-Hill, New York [57] Nguyen Dinh Kien (2006) Vibration frequency of prestress slender beams resting on winkler elastic foundation. Vietnam Journal of Mechanics 28(4), pp. 241-251 [58] Nguyen Dinh Kien (2007) Free vibration of prestress Timoschenko beams resting on elastic foundation. Vietnam Journal of Mechanics 29(1), pp. 1-12 [59] Nguyen Dinh Kien (2008) Dynamic response of prestressed Timoschenko beams resting on two-parameter foundation to moving harmonic load. Technische Mechanik 28(3-4), pp. 237-258 [60] Nguyen Dinh Kien, Le Thi Ha (2011) Dynamic characteristics elastically supported beam subjected to a compressive axial force and a moving harmonic load. Vietnam Journal of Mechanics 33(2), pp. 113-131 [61] Nguyen Dinh Kien, Tran Thanh Hai (2006) Dynamic analysis of prestressed Bernoulli beam resting on tow-parameter foundation under moving harmonic load. Vietnam Journal of Mechanics 28(3), pp. 176-188 [62] Nguyen Tien Khiem, Tran Van Lien (2001) A simplified method for natural frequency analysis of a multiple cracked beam. Journal of Sound and Vibration, 245 (4), pp. 737-751 [63] Nguyen Van Khang, Do Xuan Tho, Hoang Ha (1999) Biegeschwingungen des einfachen Brueckentragers unter mehreren bewegten Koerpern. Technische Mechanik 19(3), pp. 203-210 [64] Nguyen Van Khang, Hoang Ha, Nguyen Minh Phuong (2006) Calculating Transverse Vibration of Beam Bridges under the Action of Some Moving Bodies in Vietnam. Proceedings of the National Conference on Engineering Mechanics and Automation, pp. 157-171 [65] Nguyen Van Khang, Hoang Ha, Vu Van Khiem, Do Xuan Tho (2000) On the transverse vibration of beam-bridges under the action of a moving bodies. IUTAM Symposium on Recent Developments in Non-linear Oscillations of Mechanical Systems, Kluwer Academic Publisher, pp 187-195 [66] Nguyen Van Khang, Nguyen Minh Phuong (2002) Transverse vibrations of continuous beam on intermediate hard and elastic supports under the action of moving bodies. Technische Mechanik 22(4), pp.306-316 [67] Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien, Nguyen Thi Van Huong (2006) On the compression softening effect of prestressed beams. Vietnam Journal of Mechanics 28(3), pp. 145-154 103 [68] Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien, Nguyen Thi Van Huong (2009) Transverse vibrations of prestressed continuous beams on rigid supports under the action of moving bodies. Archive of Applied Mechanics 79, pp. 939-953 [69] Nguyen Viet Khoa, Tran Thanh Hai (2010) Multi-cracks detection of a beam-like structure based on the on-vehicle vibration signal and wavelet analysis. Journal of Sound and Vibration 329, pp. 4455-4465 [70] Nguyen Viet Trung, Nguyen Trong Nghia, Nguyen Huu Hưng (2009) Evalution of steel-concrete composite structure in Binh bridge based on load test and monitoring results. Proccedings of Vibration of Cable-Stayed Bridges, Bachkhoa Publishing House 2009 [71] Pala. Y, Reis M. (2013) Dynamic response of a cracked beam under a moving mass load. ASCE Journal of Engineering Mechanics 139 (9), pp. 1229-1238 [72] Panovko J. G. (2001) Fehler und Misserfolge in Veroeffentlichungen ueber die Wirkung sich bewegender Lasten auf elastische Konstructionen – aus der 150- jaehrigen Entwicklungsgeschichte des Problems. Forschungsbericht Nr. 13, Institut fuer Mechanik, Technische Universitaet Berlin [73] Petersen Ch. (1996) Dynamik der Baukontruktionen. Verlag Vieweg, Braunschweig/ Wiesbaden [74] Raju K. K., Rao G. V. (1986) Free vibration behavior of prestressed beams. Journal of Structural Engineering 112, pp. 433-437 [75] Rombach G. (2000) Anwendung der Finite-Elemente-Methode im Betonbau. Ernst & Sohn, Berlin [76] Rombach G. (2003) Spannbetonbau. Ernst & Sohn, Berlin [77] Saiidi M., Douglas B., Feng. S (1994) Prestress force effect on vibration frequency of concrete bridges. Journal of Structural Engineering 120 (7), pp. 2233-2341 [78] Shaker F. J. (1975) Effect of axial load on mode shapes and frequencies of beams. NASA Technical Note, National Aeronautics and Space Administration [79] Shifrin E. I., Ruotolo R. (1999) Natural frequencies of a beam with an arbitrary number of cracks. Journal of Sound and Vibration 222, pp.409-423 [80] Stephan W. , Postl R. (1995) Schwingungen elastischer Kontinua. Teubner- Verlag, Stuttgart [81] Tomski, Przybylski J., Geisler T. (1994) Vibration of prestressed concrete beam with a concentrated mass. Journal of Sound and Vibration 174(3), pp. 315-321 [82] Unger J. F., Teughels A., De Roeck G. (2006) System identification and damage detection of a prestressed concrete beam. Journal of Structural Engineering 132(11), pp. 1691-1698 [83] Wang T. M. (1970) Natural frequencies of continuous Timoshenko beams. Journal of Sound and Vibration 13 (4), pp.409-414 [84] Yang J., Chen Y., Xiang Y., Jia X. L. (2008) Free and forced vibration of cracked inhomogeneous beams under an axial force and moving load. Journal of Sound and Vibration 312, pp. 166-181 [85] Yang Y. B., Yau J. D., Wu Y. S. (2004) Vehicle-Bridge interaction dynamics with application to high-speed railways. World Scientific Publishing Co, Singapore 104 [86] Zhong H., Yang M., Gao Z. (2015) Dynamic responses of prestressed bridge and vehicle through bridge–vehicle interaction analysis. Engineering Structures 87, pp. 116-125 [87] Zui H., Shinke T., Namita Y. (1996) Practical formulas for estimation of cable tension by vibration method. Journal of Structural Engineering, pp. 651-656. 105 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1] Nguyễn Thị Vân Hương, Ngô Quang Tuấn (2013) Xác định lực căng dây cáp theo mô hình dầm ứng suất trước hai đầu ngàm. Tuyển tập Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ 9, NXB Bách khoa, Tập 1, Tr. 254-266 [2] Nguyen Thi Van Huong, Nguyen Phong Dien (2014) On the natural frequency and mode shape of a cracked and prestressed beam. Journal of Science and Technology (Technical Universities), 103, pp. 47-52 [3] Nguyễn Thị Vân Hương (2015) Khảo sát ảnh hưởng của vết nứt đến tần số riêng dao động uốn của dầm ứng suất trước trên mô hình lý thuyết. Tạp chí Kết cấu và Công nghệ xây dựng, 16, Tr. 31-40 [4] Nguyen Thi Van Huong, Nguyen Van Khang, Nguyen Phong Dien (2015) Dynamic response of a cracked and prestressed beam under the action of a moving body. Journal of Science and Technology (Technical Universities), 106, pp. 58-62 [5] Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Thị Vân Hương (2016) Khảo sát ảnh hưởng của ứng suất trước và vết nứt đến tần số riêng uốn của dầm hai đầu ngàm. Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Tập 2, Tr. 73-81 [6] Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Thị Vân Hương, Nguyễn Đức Phong (2016) Về vận tốc tới hạn của ô tô khi qua cầu. Tạp chí Khoa học và Công nghệ, Tập 54 (3), Tr. 415- 425