Luận án Dạy học giải tích ở trường trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh

]a b . Phương pháp: Bước 1. Tìm ix ( ; )a b là điểm mà '( )f x bằng 0 hoặc không xác định. Bước 2. Tính các giá trị ( ), ( ), ( )if x f a f b . Bước 3. Kết luận:   [ ; ] max ( ) max ( ), ( ), ( )i a b f x f x f a f b   [ ; ] min ( ) min ( ), ( ), ( )i a b f x f x f a f b + GV chính xác lại quy trình + HS nhận xét về quy trình (gồm mấy bước, các bước thực hiện gì) HĐ 3. Áp dụng quy trình Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 332 2   x xx y trên đoạn [ 1 2  ;2]. + Ta có: 22x 4x ' 1 y x   . + Trên đoạn [ 1 2  ;2], ' 0 0y x   . + Mà (0) 3f  , 17(2) 3 f  ; 1( ) 4 2 f   . + Vậy 1 [ ;2] 2 17 max ( ) 3 f x   khi 2x  ; 1 [ ;2] 2 min ( ) 3f x   khi 0x  . + HS thực hiện theo quy trình để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn. xvi xvi Phụ lục 5: GIÁO ÁN TỰ CHỌN 1 Chuyên đề. PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ I. Mục tiêu bài học 1. Kiến thức: Các dạng đồ thị của hàm đa thức bậc nhất, đa thức bậc ba, đa thức bậc 4. 2. Kĩ năng: Sử dụng hình ảnh của đồ thị để tìm lời giải cho bài toán. 3. Một số yêu cầu cần đạt - HS phối hợp thủ pháp đồ thị với các thủ pháp khác như thủ pháp so sánh, thủ pháp chia nhỏ, thủ pháp kết hợp trong tìm lời giải các bài toán về hàm số. - Học sinh tự mình sáng tạo ra được các bài toán mới, hứng thú, tích cực và phát huy tính độc lập trong học tập. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh - Giáo viên sử dụng thủ pháp sử dụng đồ thị hàm số, thủ pháp chia nhỏ đối tượng phức hợp thiết kế bài giảng. - Học sinh sử dụng bản đồ tư duy hệ thống lại kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, tiếp tuyến, sự tương giao. II. Tiến trình dạy học 1. Bài toán tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến trong một khoảng HĐ 1. Các kiến thức cơ sở Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS 1. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số Giả sử f là hàm số có đạo hàm trên khoảng I. Nếu '( ) 0 f x x I   thì hàm số f đồng biến trên khoảng I. Nếu '( ) 0 f x x I   thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I. (Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm) 2. Các dạng đồ thị của hàm đa thức bậc 2 2 , 0y ax bx c a    0a  0a  HS: Nhắc lại mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm bậc nhất và tính đơn điệu của hàm số. HS: Nêu điều kiện để hàm đa thức bậc ba, hàm đa thức bậc 4 và hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất đồng biến (nghịch biến) trong một khoảng. HS: Vẽ các dạng đồ thị của hàm đa thức bậc 2. xvii xvii HĐ 2. Phương pháp giải Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Ví dụ 1. Cho hàm số 1)1(2 24  mxmxy . Tìm m để hàm số đồng biến với mọi 1x . Lời giải. + Ta có 3 2'( ) 4 4( 1) 4 ( 1)f x x m x x x m      . + Để hàm số đồng biến với mọi 1x  '( ) 0 1f x x    24 ( 1) 0 1x x m x      2 1 0 1x m x     (1) + Xét hàm số 2( ) 1g x x m   có đồ thị là parabol có bề lõm quay lên trên. Từ dạng hình ảnh của đồ thị, suy ra (1)  (1) 0g   0m Vậy 0m là giá trị cần tìm. GV: Nêu ví dụ. HS: Nêu điều kiện để hàm đa thức bậc 4 nghịch biến trên khoảng (0;2). HS: Tính đạo hàm '( )f x HS: Biến đổi điều kiện để hàm số đồng biến với mọi 1x GV: Yêu cầu HS vẽ dạng đồ thị của hàm số 2( ) 1g x x m   . HS: Quan sát dạng hình ảnh của đồ thị hàm số và tìm điều kiện của m . Phương pháp giải: + Bước 1: Tính đạo hàm + Bước 2: Biến đổi điều kiện + Bước 3: Chọn hàm đặc trưng và vẽ dạng đồ thị của hàm đặc trưng + Bước 4: Quan sát dạng đồ thị đồ thị và tìm điều kiện HS: Nêu các bước giải GV: Chính xác lại các bước Ví dụ 2. Cho hàm số 1)4()1( 2 1 3 1 23  xmxmxy . a) Tìm m để đồng biến trên  . b) Tìm m để nghịch biến trong khoảng (0;2). Lời giải a) + Ta có: 2'( ) ( 1) 4f x x m x m     . + Hàm số đã cho đồng biến trên   '( ) 0 f x x    2 ( 1) 4 0 x m x m x        (1) Xét hàm số 2( ) ( 1) 4g x x m x m     . Hàm số GV: Nêu ví dụ. HS: Nêu điều kiện để hàm đa thức bậc 3 nghịch biến trên khoảng (0;2). HS: Thực hiện phương pháp giải xviii xviii ( )y g x có đồ thị là parabol có bề lõm quay lên trên. Từ dạng hình ảnh của đồ thị suy ra (1)  1( ) 0 2 m g    21 ( 2 17) 0 4 m m    (Bất phương trình vô nghiệm). Vậy không có giá trị m thỏa mãn. b) + Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (0;2)  '( ) 0 (0;2)f x x    2 ( 1) 4 0 (0;2)x m x m x       (1) Xét hàm số 2( ) ( 1) 4g x x m x m     trong khoảng (0;2). Hàm số ( )y g x có đồ thị là parabol có bề lõm quay lên trên. Từ dạng hình ảnh của đồ thị suy ra (1)      02)2( 04)0( mg mg  42  m Vậy 42  m là giá trị cần tìm. HĐ 3. Bài tập vận dụng Bài 1. Cho hàm số 3 23 ( 1) 4y x x m x m     a) Tìm m để hàm số đồng biến trên R. b) Tìm m để hàm số nghịch biến trên (-1;1). Bài 2. Cho hàm số xmxmxy )3()1( 3 1 23  . Tìm m để hàm số đồng biến với 2x . 2. Bài toán tìm điều kiện để hàm số có cực trị HĐ 1. Các kiến thức cơ sở Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS 1. Liên hệ giữa dấu của đạo hàm bậc nhất và cực trị của hàm số Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên khoảng (a;b) ( có thể trừ điểm x0). Khi đó a) Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 ( theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. b) Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua HS: Nhắc lại định lý điều kiện đủ để hàm số có cực trị. HS. Giải thích ý nghĩa của của định lý thông qua bảng biến thiên. xix xix điểm x0 ( theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại x0. 2. Các dạng đồ thị của hàm đa thức bậc 3 0a  0a  '( ) 0f x  có hai nghiệm phân biệt f(x)=x^3-6x+1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y f(x)=-x^3+3x+1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y '( ) 0f x  có nghiệm kép f(x)=x^3-3x^2+3x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y f(x)=-x^3+3x^2-3x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y '( ) 0f x  vô nghiệm f(x)=x^3-3x^2+4x -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y f(x)=-x^3+3x^2-4x+1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y GV: Vẽ các dạng đồ thị của hàm bậc ba. HS: Quan sát đồ thị nhận xét về số cực trị của hàm đa thức bậc 3 và số nghiệm của phương trình '( )f x : + Hàm số có 2 cực trị  phương trình '( ) 0f x  có 2 nghiệm phân biệt. + Hàm số không có cực trị  phương trình '( ) 0f x  có 1 nghiệm kép hoặc vô nghiệm. GV: Hướng dẫn HS quan sát đồ thị và đưa ra nhận xét điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và cực đại nhỏ hơn cực tiểu là: 0 '( ) 0 a f x   co ù hai nghieäm phaân bieät HS: Nhận xét điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và cực đại lớn hơn cực tiểu là: 0 '( ) 0 a f x   co ù hai nghieäm phaân bieät 3. Các dạng đồ thị của hàm đa thức bậc 4 0a  0a  '( ) 0f x  có 3 nghiệm phân biệt f(x)=x^4-4x^2-3 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y f(x)=-x^4+4x^2+3 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y '( ) 0f x  có 2 nghiệm phân biệt f(x)=x^4-3x^3+1 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y f(x)=-x^4+3x^3-2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y '( ) 0f x  có 1 nghiệm phân biệt GV: Vẽ các dạng đồ thị của hàm bậc bốn. HS: Quan sát đồ thị nhận xét về số cực trị của hàm đa thức bậc 4 và số nghiệm của phương trình '( )f x : + Hàm số có 3 cực trị  phương trình '( ) 0f x  có 3 nghiệm phân biệt. + Hàm số có 1 cực trị  phương trình '( ) 0f x  có 2 nghiệm phân biệt hoặc có 1 nghiệm. GV: Hướng dẫn HS quan sát đồ thị và đưa ra nhận xét điều kiện để hàm số có 1 cực đại và 2cực tiểu là: xx xx f(x)=-x^4-2x^2+5 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y f(x)=x^4+2x^2-5 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y 0 '( ) 0 a f x   co ù3 nghieäm phaân bieät HS: Nhận xét điều kiện để hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu là: 0 '( ) 0 a f x   co ù3 nghieäm phaân bieät HĐ 2. Phương pháp giải Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Ví dụ 1. Cho hàm số: 3 21 1( ) ( 2) (4 ) 3 3 f x x m x m x      . a) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu. b) Tìm m để hàm số không có cực trị. Lời giải a) + Ta có 2( ) 2( 2) 4f x x m x m     + Hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình '( ) 0f x  có 2 nghiệm phân biệt  2 2( 2) 4 0x m x m      2 0m m   0m  hoặc 1m  . Vậy 0m  hoặc 1m  là những giá trị cần tìm. b) 0 1m  GV: Yêu cầu HS tính đạo hàm GV: Yêu cầu HS căn cứ vào đồ thị xác định mối liên hệ giữa số cực trị và nghiệm của phương trình '( ) 0f x  . HS: Hàm số có 2 cực trị  phương trình '( ) 0f x  có 2 nghiệm phân biệt. HS: Tìm điều kiện của m. GV: Câu b) Hướng dẫn HS quan sát dạng đồ thị và sử dụng thủ pháp đảo ngược tìm lời giải. HS: Tìm được m. Ví dụ 2. Cho hàm số 10)9( 224  xmmxy . a) Tìm m để hàm số có 3 cực trị; b) Tìm m để hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu; c) Tìm m để hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu; d) Tìm m để hàm số có 1 cực đại. Lời giải a) + Ta có: 2 2'( ) 2 (2 9)f x x mx m   y’=0 2 2 0 2 9 0 (1) x mx m     + Hàm số có ba cực trị  y’=0 có 3 nghiệm phân biệt (y’ đổi dấu khi qua ba nghiệm đó)  PT (1) có GV: Nêu ví dụ và yêu cầu HS vẽ các dạng của hàm đa thức bậc 4. HS: HS vẽ các dạng của hàm đa thức bậc 4. HS: Quan sát dạng đồ thị của hàm đa thức bậc 4. Tìm điều kiện để hàm đa thức bậc 4 và giải quyết câu a) hàm số có 3 cực trị. GV: Yêu cầu HS giải quyết câu b) câu c). HS: Quan sát dạng đồ thị, phân tích đặc điểm và giải quyết câu b) câu c). GV: Yêu cầu HS giải quyết câu d) xxi xxi hai nghiệm phân biệt khác 0       0 2 9 0 2 m m m      30 3 m m b) + Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu  y’=0 có 3 nghiệm phân biệt và hệ số 4 0m   3m   c) Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu  y’=0 có 3 nghiệm phân biệt và hệ số 4 0m   0 3m  d) TH 1: 0m  . Hàm số có dạng 29 10y x   . Đồ thị là parabol có bề lõm quay xuống dưới. Hàm số có 1 cực đại. TH 2: Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu  0 3m  (câu c) TH 3: Hàm số có 1 cực trị và là cực đại HĐ 3. Bài tập vận dụng Bài 1. Tìm m để hàm số 4 3 24 x 3( 1) 1y x m m x     có cực tiểu và cực đại. 3. Bài toán tiếp tuyến HĐ 1. Các kiến thức cơ sở Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Điều kiện tiếp xúc: Cho 2 hàm số ( )y f x và ( )y g x . Điều kiện cần và đủ để hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau là hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x   GV: Hướng dẫn HS phân tích điều kiện tiếp xúc. HS: Phân chia điều kiện tiếp xúc GV: Vẽ đồ thị minh họa điều kiện tiếp xúc HS: Phân tích hình ảnh đồ thị chỉ ra đặc điểm của điều kiện tiếp xúc HĐ 2. Phương pháp giải Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Ví dụ. Cho hàm số 4 2 1y x x   . Tìm điểm A thuộc trục tung sao cho qua A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số. Lời giải: + Các điểm thuộc trục tung có dạng (0; )A a . Điều kiện cần: + Giả sử qua (0; )A a có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới GV: Yêu cầu HS nhận xét về dạng của đồ thị hàm số. HS: Quan sát đồ thị và tìm hướng giải bài toán. xxii xxii đồ thị hàm số. + Vì đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. Nên qua điểm A , nếu có một đường thẳng với hệ số góc là k tiếp xúc với đồ thị hàm số thì cũng có một đường thẳng với hệ số góc là k tiếp xúc với đồ thị hàm số. Do đó có một tiếp tuyến song song với trục Ox và có dạng y a . + Khi đó, hệ phương trình sau có nghiệm: 4 2 3 1 4 2 0 x x a x x       Tìm được 1a   và 2a   . Điều kiện đủ: + Với 2a   , phương trình đường thẳng qua (0; 2)A  có dạng: 2y kx  . Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm: 4 2 3 1 2 4 2 x x kx x x k         1 0 x k    Không thỏa mãn có ba tiếp tuyến. + Với 1a   phương trình đường thẳng qua (0; 1)A  có dạng: 1y kx  . Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm: 4 2 3 1 1 4 2 x x kx x x k         0 0 x k   ; 6 3 4 6 3 x k     ; 6 3 4 6 3 x k     Vậy qua (0; 1)A  kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị. Bài 1. Cho hàm số 4 22 1y x x   . Tìm điểm A thuộc trục tung sao cho qua A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số. Bài 2. Tìm điểm A thuộc trục tung sao cho qua A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số 124  xxy . 4. Bài toán tìm điều kiện về sự tương giao của đồ thị hàm số HĐ 1. Các kiến thức cơ sở Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Điều kiện tương giao GV: Vẽ hình ảnh đồ thị minh họa điều xxiii xxiii Cho 2 hàm số ( )y f x và ( )y g x . Điều kiện cần và đủ để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại k điểm phân biệt là phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( )f x g x có k nghiệm phân biệt. kiện tương giao của hàm bậc 3 và trục hoành HS: Nhận xét về đặc điểm của đồ thị và số giao điểm của nó với trục hoành. HĐ 2. Phương pháp giải Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Ví dụ. Cho hàm số 3 2 2 2y x 3mx 3(m 1)x (m 1)      a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt; b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. Lời giải a) + Ta có 2 2y ' 3(x 2mx m 1)    + Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  hàm số có cực đại cực tiểu 1 2,x x và hai điểm cực trị 1 1( ; ( ))x f x , 2 2( ; ( ))x f x của đồ thị hàm số nằm về hai phía của trục hoành  2 2x 2mx m 1 0    có hai nghiệm 1 2,x x và 1 2( ). ( ) 0f x f x  + Mà 1 0, m    nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1,2 1x m  . Do đó: 1 2( ). ( ) 0f x f x   ( 1). ( 1) 0f m f m    2 2( 1)( 3)( 1)( 2 1) 0m m m m m       3 1 1 2 1 3 1 2 m m m           (*) Vậy 3 1m    , 1 2 1m   , 3 1 2m   là những giá trị cần tìm. b) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương  thỏa mãn a) và thêm GV: Vẽ đồ thị hàm bậc ba HS: Nhận xét đặc điểm của hàm bậc ba cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt. HS: Quan sát đồ thị và tìm cách giải quyết. xxiv xxiv điều kiện: 1 2 0 0 (0) 0 x x f     1m  Kết hợp với (*) ta được 3 1 2m   . Vậy 3 1 2m   là những giá trị cần tìm. HĐ 3. Bài tập vận dụng Bài 1. Cho hàm số 3 3 1y x mx m    , m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Bài 2. Cho hàm số mmxxy  33 , m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Bài 3. Cho hàm số 3 2 3y x mx   , m là tham số. a. Tìm m để ĐTHS cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. b. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm. 5. Hướng dẫn công việc về nhà - Sử dụng bản đồ tư duy hệ thống hóa lại các kiến thức cơ bản trong bài học. - Sưu tầm, phân loại các bài tập cho từng dạng. Phụ lục 6: GIÁO ÁN TỰ CHỌN 2 Chuyên đề. PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. Mục tiêu bài học 1. Kiến thức - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm - Hình ảnh trực quan của tiếp tuyến với đồ thị hàm số - Phương pháp tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong chứng minh bất đẳng thức. 2. Kĩ năng - Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm - Sử dụng hình ảnh trực quan của tiếp tuyến với đồ thị hàm số so sánh các biểu thức - Sử dụng công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm làm yếu tố trung gian trong đánh giá bất đẳng thức. 3. Một số yêu cầu cần đạt - Trang bị các thủ pháp đồ thị hàm số, thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian, thủ pháp chia nhỏ đối tượng phức hợp, thủ pháp kết hợp. - Học sinh tự mình sáng tạo ra được các bài toán mới, hứng thú, tích cực và phát huy tính độc lập trong học tập. xxv xxv II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh - Giáo viên thiết kế bài giảng thiết kế các tình huống. - Sử dụng bản đồ tư duy hệ thống lại các bài toán về phương trình tiếp tuyến và phương pháp giải. II. Tiến trình dạy học HĐ 1. Hình thành phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Ví dụ. Cho hàm số 3 23 2y x x  (1). a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm 1x  . b) Với 0 4x  , hãy so sánh 3 23 2x x và 5x 4 . f(x)=3x^3-2x^2 Tập hợp 1 f(x)=5x-4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y (1,1) c) Cho , , ,a b c d là các số thực dương thỏa mãn 4a b c d    . Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 3 3 3 2 2 2 23( ) 2( ) 4a b c d a b c d        . Lời giải a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm 1x  là: 5 4y x  . b) Xét hiệu: 3 2(3 2 ) (5 4)x x x   2( 1) (3x 4) 0, (0;4)x x      Vậy 3 23 2 5 4x x x   , (0;4)x  . c) Với 0 , , , 1a b c d  , ta có: 3 3 3 3 2 2 2 23( ) 2( ) 5( ) 16 a b c d a b c d a b c d             Mà 4a b c d    nên: GV: Yêu cầu HS nêu bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm? Vận dụng vào viết phương trình tiếp tuyến tại điểm 1x  . HS: Nêu phương trình tiếp tuyến dạng: 0 0 0'( )( )y f x x x y   Áp dụng thực hiện câu a). GV: Yêu cầu HS nêu cách so sánh hai biểu thức ở câu b) và áp dụng? HS: Xét hiệu và so sánh. GV: Yêu cầu HS vẽ đồ thị hàm số (1) và tiếp tuyến. Căn cứ vào hình ảnh của đồ thị để giải thích điều chứng minh được ở câu b) GV: Yêu cầu HS tìm điều kiện của , , ,a b c d ? Áp dụng b) để chứng minh bất đẳng thức? HS: Tìm được điều kiện: 0 , , , 1a b c d  . Áp dụng câu b) để chứng minh câu c) xxvi xxvi 3 3 3 3 2 2 2 23( ) 2( ) 4a b c d a b c d        Dấu bằng xảy ra khi 1a b c d    HĐ 2. Phát biểu phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS *) Quy trình chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tiếp tuyến B1. Tìm điều kiện của biến và dự đoán dấu bằng xảy ra. B2. Từ bất đẳng thức xây dựng hàm đặc trưng ( )y f x . B3. Viết phương trình tiếp tuyến y ax b  của đồ thị hàm số ( )y f x tại điểm xảy ra dấu bằng. B4. Với những x thỏa mãn điều kiện của biến, so sánh ( )f x và ax b . Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức đã cho. GV: Yêu cầu HS từ ví dụ trên xây dựng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức. Và GV chính xác lại quy trình. GV: Yêu cầu HS xây dựng quy trình tương tự cho bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến. HĐ 3. Vận dụng phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Ví dụ 1. Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn 3 , , 4 a b c   và 1a b c   . Chứng minh rằng: 2 2 2 9 1 1 1 10 a b c a b c      Lời giải *) Ta có: 2 36 3 1 50 50 x x x   (1) 3 4 x   . Dấu bằng xảy ra khi 1 3 x  hoặc 3 4 x   . Thật vậy, (1)  250x (36x 3)( 1)x    3 236x 3x 14x 3 0     2(3x 1) (4x 3) 0   (Đúng 3 4 x   ) *) Áp dụng (1), ta có: 2 2 2 36 9 ( ) 1 1 1 50 50 a b c a b c a b c         GV: Yêu cầu HS vận dụng quy trình giải bài toán. HS: + Xác định hàm đặc trưng 2 ( ) 1 x f x x   + Xác định điều kiện 3 , , 4 a b c   và dấu bằng xảy ra khi 1 3 a b c   . + Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )f x tại điểm 1 3 x  là 36 3 50 50 y x  . + Chứng minh 2 36 3 1 50 50 x x x   3 4 x   và áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức. GV: Yêu cầu HS nhận xét dạng của biểu thức ở bất đẳng thức cần chứng minh. HS: Có dạng tổng của các hàm số. xxvii xxvii Hay 2 2 2 10 1 1 1 9 a b c a b c      Dấu bằng xảy ra khi 1 3 a b c   . Ví dụ 2. Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn 1a b c   . Chứng minh rằng: 1 1 1 2 1 1 1 a b c a b c        Lời giải + Điều kiện 0 , , 1a b c  . + Dự đoán dấu bằng xảy ra ( ; ; ) (1;0;0)a b c  + Xét hàm đặc trưng 1 ( ) 1 x f x x   + Phương trình tiếp tuyến tại điểm 1x  là 1y x   + Nhận xét: 1 1, [0;1] 1 x x x x       Thật vậy, với [0;1]x bất đẳng thức 1 1 1 x x x      21 . 0x x  (Bất đẳng thức luôn đúng [0;1]x  ) Dấu bằng xảy ra khi 1x  hoặc 0x  . + Áp dụng nhận xét ta có: 1 1 1 ( ) 3 1 1 1 a b c a b c a b c            Hay 1 1 1 2 1 1 1 a b c a b c        Dấu bằng xảy ra khi ( ; ; ) (1;0;0)a b c  . GV: Nêu ví dụ HS: Tìm điều kiện của biến và dự đoán dấu bằng xảy ra ( ; ; ) (1;0;0)a b c  . HS: Xét hàm đặc trưng 1 ( ) 1 x f x x   . GV: Yêu cầu HS lựa chọn tiếp điểm điểm để viết phương trình tiếp tuyến. HS: + Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm 1x  là 1y x   . + So sánh 1 1 x x   và 1x  với [0;1]x + Dựa vào đánh giá chứng minh bất đẳng thức. Ví dụ 3. Cho các số , ,a b c dương thỏa mãn 2 2 2 1a b c   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c c a a b      Lời giải GV: Yêu cầu HS kết hợp điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh đưa về dạng tổng của hàm số. HS: Bất đẳng thức cần chứng minh thành: xxviii xxviii + Đặt 2 2 2, ,x a y b z c   . Bài toán thành “Cho , ,x y z dương thỏa mãn 1x y z   . Chứng minh rằng: 3 3 1 1 1 2 yx z x y z      ” Suy ra 0 , , 1x y z  . + Nhận xét: 3 3 (*) x (0;1) 1 2 x x x    Thật vậy. Với x (0;1) , ta có: (*)  33 3 3x 2 0x     2( 3x 1)(3x 3x 2) 0     2( 3x 1) ( 3x 2) 0   (Đúng x (0;1)  ) + Áp dụng nhận xét ta có: 3 3 ( ) 1 1 1 2 yx z x y z x y z        Hay 3 3 1 1 1 2 yx z x y z      Dấu bằng xảy ra khi 1 3 x y z   . 2 2 2 3 3 1 1 1 2 a b c a b c      GV: Yêu cầu HS chuyển về dạng toán để sử dụng phương trình tiếp tuyến. HS: Đặt 2 2 2, ,x a y b z c   . Bài toán thành “Cho , ,x y z dương thỏa mãn 1x y z   . Chứng minh rằng: 3 3 1 1 1 2 yx z x y z      ” GV: Yêu cầu HS sử dụng quy trình giải bài toán HS: + Hàm đặc trưng ( ) 1 x f x x   + Điều kiện xác định 0 , , 1x y z  , dấu bằng xảy ra khi 1 3 x y z   + Phương trình tiếp tuyến 3 3 2 y x + Chứng minh: 3 3 1 (*) x (0; ] 1 2 3 x x x    + Áp dụng vào giải quyết bài toán. Ví dụ 4. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 5 b c a c a b a b c b c a c a b a b c              Lời giải. + Đặt 3 a b c A   , ax A  , by A  , cz A  . Suy ra , ,x y z dương, 3x y z   nên 0 , , 3x y z  . + Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 5 y z x z x y x y z y z x z x y x y z              GV: Nêu ví dụ và hướng dẫn HS sử dụng yếu tố trung gian 3 a b c A   , ax A  , b y A  , cz A  , biến đổi bất đẳng thức đã cho theo ẩn mới về dạng có vế trái là tổng của các hàm số. HS: + Tìm được điều kiện của , ,x y z : 0 , , 3x y z  + Biến đổi thu gọn bất đẳng thức. + Dự đoán dấu bằng xảy ra 1x y z   xxix xxix  2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3 2 ) (3 2 ) (3 2 ) 3 (3 ) (3 ) (3 ) 5 x y z x x y y z z            2 2 2 1 1 1 3 2 6 9 2 6 9 2 6 9 5x x y y z z         + Ta có: 2 1 2 3 (*), (0;3) 2 6 9 25 x x x x     Thậy vậy, (*) tương đương với: 2( 1) (2x 1) 0x    bất đẳng thức đúng với (0;3)x  . + Do đó: 2 2 2 1 1 1 2 6 9 2 6 9 2 6 9x x y y z z        2( ) 9 3 25 5 x y z    (Dấu bằng xảy ra khi 1x y z   ). Vậy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 5 b c a c a b a b c b c a c a b a b c              Dấu bằng xảy ra khi a b c  + Chọn hàm đặc trưng: 2 1 ( ) 2 6 9 f x x x    + Phương trình tiếp tuyến tại điểm 1x  là: 2 3 25 x y  + So sánh 2 1 2 6 9x x  và 2 3 25 x  + Áp dụng so sánh để chứng minh bất đẳng thức. HĐ 4. Củng cố kiến thức và bài tập về nhà 1) Sử dụng bản đồ tư duy củng cố lại phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến. 2) Giải các bài toán sau: Bài 1. Cho bốn số thực không âm , , ,a b c d thỏa mãn điều kiện 4a b c d    . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 5 3 5 3 5 3 5 3 2 a b c d a b c d        . Bài 2. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 3a b c   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c      Bài 3. Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 3 2 x y z   . Chứng minh rằng: 2 2 21 1 1 15 2 x y z x y z      Bài 4. Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 3x y z   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 81 81 81 3 82x y z x y z       xxx xxx Bài 5. Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 12x y z   . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 28 8 8x y z      Bài 6. Cho , ,a b c là ba số thực thỏa mãn 1a b c   . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3a b c a b c a b c        Bài 7. Cho , ,a b c là các số thực dương và 3a b c   . Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 9 9 5 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) a b c a b c b c a c a b           Bài 8. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) 8 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c a b              Bài 9. Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 1 1 1 4 a b c a b c a b b c c a              3) Đưa ra nhận xét đặc điểm của các bài toán có thể sử dụng phương pháp tiếp tuyến. 4) Sưu tầm, phân loại và xây dựng các bài toán sử dụng phương pháp tiếp tuyến. 5) Tìm cách giải khác cho Ví dụ 2. Đề xuất phương pháp giải mới. Mở rộng phương pháp giải toán (Phương pháp tiếp xúc, phương pháp nghiệm bội, Phương pháp hàm đặc trưng). Phụ lục 7: GIÁO ÁN TỰ CHỌN 3 Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP TIẾP XÚC TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. Mục tiêu bài học 1. Kiến thức - Phương pháp tiếp xúc để chứng minh bất đẳng thức. 2. Kĩ năng: - Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị hàm số để tìm bất đẳng thức trung gian. 3. Một số yêu cầu cần đạt - Trang bị các thủ pháp đồ thị hàm số, thủ pháp sử dụng yếu tố trung gian, thủ pháp so sánh, thủ pháp chia nhỏ, thủ pháp kết hợp. - Học sinh tự mình sáng tạo ra được các bài toán mới, hứng thú, tích cực và phát huy tính độc lập trong học tập. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh xxxi xxxi - Giáo viên sử dụng các thủ pháp đồ thị, biểu tượng hóa, tạo tình huống, sử dụng yếu tố trung gian, thiết kế bài giảng. - Sử dụng bản đồ tư duy hệ thống lại các bài toán về phương trình đồ thị và phương pháp giải. II. Tiến trình dạy học HĐ 1. Hình thành phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Ví dụ. a) Tìm hàm số 2( ) , 0g x Ax B A   có đồ thị tiếp xúc với đồ thị hàm số 2 ( ) 1 x f x x   với tại tiếp điểm 0 1 3 x  ; b) Chứng minh 2 2 3 3 , (0;1) 1 2 x x x x    c) Cho các số , ,a b c dương thỏa mãn 2 2 2 1a b c   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c c a a b      Lời giải a) Đồ thị hàm số 2( ) , 0g x Ax B A   tiếp xúc với đồ thị hàm số 2 ( ) 1 x f x x   với tại điểm 0 1 3 x   hệ phương trình ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x   có nghiệm 0 1 3 x  . Tìm được 3 3 2 A  và 0B  . Vậy 2 3 3 ( ) 2 g x x . b) Với (0;1)x , ta có: 2 2 3 3 1 2 x x x   2( 3 1) ( 3 2) 0x x   (Đúng với mọi (0;1)x ) Vậy 2 2 3 3 , (0;1) 1 2 x x x x    , dấu bằng xảy ra GV: Yêu cầu HS nêu điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc với nhau. HS: Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm được 3 3 2 A  và 0B  . GV: Vẽ hình ảnh hai đồ thị ( )y f x và ( )y g x tiếp xúc với nhau tại điểm 0x . Hướng dẫn HS nhận xét về mặt hình đồ thị vị trí của hai đồ thị và đưa ra bất đẳng thức so sánh ( )f x và ( )g x trong khoảng (0;1) . HS: Chứng minh câu b) bằng biến đổi đại số. GV: Yêu cầu HS tìm điều kiện của , ,a b c ? Áp dụng b) để chứng minh bất đẳng thức? HS: Tìm được điều kiện: 0 , , 1a b c  . Áp dụng câu b) để chứng minh câu c) xxxii xxxii khi 1 3 x  c) Do 2 2 2 1a b c   , nên bất đẳng thức đã cho thành: 2 2 2 3 3 1 1 1 2 a b c a b c      Theo giả thiết, ta có: 0 , , 1a b c  . Áp dụng câu b) ta được: 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 1 1 1 2 a b c a b c a b c        Hay 2 2 2 3 3 1 1 1 2 a b c a b c      Dấu bằng xảy ra khi 1 3 a b c   HĐ 2. Phát biểu phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS *) Quy trình chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tiếp xúc B1. Tìm điều kiện của biến và dự đoán dấu bằng xảy ra. B2. Từ bất đẳng thức xây dựng hàm đặc trưng ( )y f x . B3. Tìm hàm số ( )y g x có đồ thị tiếp xúc với đồ thị hàm số ( )y f x tại điểm xảy ra dấu bằng. B4. Với những x thỏa mãn điều kiện của biến, so sánh ( )f x và ( )g x . Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức đã cho. GV: Yêu cầu HS từ ví dụ trên xây dựng phương pháp tiếp xúc để chứng minh bất đẳng thức. Và GV chính xác lại quy trình. GV: Yêu cầu HS xây dựng quy trình tương tự cho bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp tiếp tuyến. HĐ 3. Vận dụng phương pháp Kiến thức cần đạt Hoạt động của GV và HS Ví dụ 1. Cho các số thực dương , , , ,a b c d e thỏa mãn 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4a b c d e          . Chứng minh rằng: GV: Nêu ví dụ HS: Tìm điều kiện của biến , , , , 0a b c d e  và dự đoán dấu bằng xảy ra khi 1a b c d e     . HS: Xác định hàm đặc trưng: xxxiii xxxiii 2 2 2 2 2 1 4 4 4 4 4 a b c d e a b c d e          Lời giải *) Điều kiện: , , , , 0a b c d e  *) Nhận xét: 2 3 4 4 4 5 x x x     , 0x  . Thậy vậy, với 0x  , ta có: 2 3 4 4 4 5 x x x      2( 1) ( 1) 0x x   (Luôn đúng với mọi 0x  ) Dấu bằng xảy ra khi 1x  . *) Áp dụng nhận xét ta có: 2 2 2 2 24 4 4 4 4 a b c d e a b c d e         1 1 1 1 1 3 4 4 4 4 4 4a b c d e               Hay 2 2 2 2 2 1 4 4 4 4 4 a b c d e a b c d e          Dấu bằng xảy ra khi 1a b c d e     . 2 ( ) 4 x f x x   HS: Tìm hàm số ( ) 4 A g x B x   có đồ thị tiếp xúc với đồ thị hàm số 2 ( ) 4 x f x x   . HS. Tìm được 3 4 ( ) 4 5 g x x    GV: Yêu cầu HS sử dụng biến đổi đại số chứng minh bất đẳng thức đặc trưng: 2 3 4 4 4 5 x x x     , 0x  . HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng chứng minh bất đẳng thức đã cho. Ví dụ 2. Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 3a b c   . Chứng minh rằng: 3 3 3 ( ) 3a b c a b c         Lời giải *) Nhận xét: 23 113 , (0; 3) 8 8 x x x x       (1) Dấu bằng xảy ra khi 1x  . Thật vậy, 2 3 11 3 8 8 x x x      23( 1) 2(4 3 7) 0x x x       2 2 2( 1)3( 1) 0 4 3 7 x x x x        2( 1) 12 3 3 19 0 4 3 7 x x x x x        GV: Nêu ví dụ và yêu cầu HS vận dụng quy trình giải bài toán. HS: + Xác định hàm đặc trưng ( ) 3f x x x   + Xác định điều kiện 0 , , 3a b c  và dấu bằng xảy ra khi 1a b c   . + Tìm hàm số 2( ) , 0g x Ax B A   có đồ thị tiếp xúc với đồ thị hàm số ( )f x tại điểm 1x  là 23 11( ) 8 8 g x x   . GV: Hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp so sánh, chia nhỏ và kết hợp để chứng minh: 23 113 , (0; 3) 8 8 x x x x       xxxiv xxxiv (Bất đẳng thức đúng với mọi (0; 3)x ) Dấu bằng xảy ra khi 1x  . *) Từ giả thiết suy ra: 0 , , 3a b c  Áp dụng (1), ta có: 3 3 3 ( )a b c a b c        2 2 23 33( ) 8 8 a b c     Hay 3 3 3 ( ) 3a b c a b c         Dấu bằng xảy ra khi 1a b c   . HS: Áp dụng vào chứng minh bất đẳng thức. GV: Yêu cầu HS nhận xét dạng của biểu thức ở bất đẳng thức cần chứng minh. HS: Có dạng tổng của các hàm số. Ví dụ 3. Cho các số thực dương , ,a b c thỏa mãn 1 1 1 3 a b c    . Chứng minh rằng: 2 1 2 1 2 1 9 23 1 3 1 3 1 a b c a b c        Lời giải *) Nhận xét: 2 1 7 31 16 163 1 x xx     , 0x  . Thật vậy, 0x  ta có: 2 1 7 31 16 163 1 x xx      232 16 (31 7) 3 1x x x     232( 1) 31( 1)(2 3 1) 6(3x 5 4 3 1) 0x x x x           2 2 2 93( 1) 54( 1)32( 1) 0 2 3 1 3x 5 4 3 1 x x x x x           93 542( 1) 32 0 2 3 1 3x 5 4 3 1 x x x               32 3 1 29 542( 1) 0 2 3 1 3x 5 4 3 1 x x x x              Luôn đúng với mọi 0x  Dấu bằng xảy ra khi 1x  . *) Áp dụng nhận xét ta có: 2 1 2 1 2 1 7 1 1 1 93 16 163 1 3 1 3 1 a b c a b ca b c                 GV: Nêu ví dụ. HS: Tìm điều kiện của biến , , 0a b c  và xác định dấu bằng xảy ra 1a b c   . HS: Xác định hàm đặc trưng 2 1 ( ) 3 1 x f x x   HS: Tìm hàm số ( ) A g x B x   có đồ thị tiếp xúc với đồ thị hàm số 2 1 ( ) 3 1 x f x x   tại điểm 1x  . HS: Điều kiện tiếp xúc là hệ sau có nghiệm 1x  : 3 2 2 1 3 1 6 1 2 3 1 x A B xx x A xx         Tìm được 7 16 A   và 31 16 B  . Và 7 31 ( ) 16 16 g x x    GV: Hướng dẫn HS sử dụng thủ pháp phân nhỏ, thủ pháp kết hợp, thủ pháp so sánh chứng minh bất đẳng thức đặc trưng: xxxv xxxv Hay 2 1 2 1 2 1 9 23 1 3 1 3 1 a b c a b c        Dấu bằng xảy ra khi 1a b c   . 2 1 7 31 16 163 1 x xx     , 0x  . HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng chứng minh bất đẳng thức đã cho. Ví dụ 4. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn 3abc  . Chứng minh rằng: 3 3 3log log log1 1 1 3 a b c a b c a b c         Lời giải *) Ta có: 3abc   3 3 3log log log 1a b c   *) Nhận xét: 33 3 3 log1 1 3 9 log 3 x x x x     , 0x  Thật vậy, 0x  , ta có: 33 3 3 log1 1 3 9 log 3 x x x x      33(1 3log )( 3 ) 0x x   (*) Xét hàm số 33( ) (1 3log )( 3 )h x x x   với 0x  . Ta có: ( ) 0h x   3 3x  . Hàm số ( )h x liên tục mỗi khoảng 3(0; 3) và 3( 3; ) và trong mỗi khoảng đó không có giá trị nào làm cho hàm số triệt tiêu. Do đó trên mỗi khoảng hàm số giữ nguyên dấu. Do đó (*) luôn đúng. *) Áp dụng nhận xét, ta được:   3 33 3 3 3 3 3log log log1 1 1 3 9 (log log log ) 9a b c a b c a b c a b c           Hay 3 3 3 log log log1 1 1 3 a b c a b c a b c         Dấu bằng xảy ra khi 3 3a b c   . GV: Nêu ví dụ HS: Xác định điều kiện , , 0a b c  và dự đoán dấu bằng xảy ra 3 3a b c   HS: Xác định hàm đặc trưng 3log1( ) 3 x f x x x   GV: Hướng dẫn HS đưa điều kiện về dạng tổng 3 3 3log log log 1a b c   HS: Tìm hàm số 3( ) logg x A x B  sao cho đồ thị của nó tiếp xúc với đồ thị hàm số 3 log1 ( ) 3 x f x x x   tại điểm 3 3x  . HS: Tìm được: 3 3 3 1 ( ) 9 log 3 g x x   GV: Hướng dẫn HS chứng minh bất đẳng thức đặc trưng: 33 3 3 log1 1 3 9 log 3 x x x x     , 0x  HS: Áp dụng bất đẳng thức đặc trưng chứng minh bất đẳng thức đã cho. HĐ 4. Củng cố kiến thức và bài tập về nhà 1) Sử dụng bản đồ tư duy củng cố lại phương pháp tiếp xúc trong chứng minh bất đẳng thức. 2) Đưa ra nhận xét đặc điểm của các bài toán có thể sử dụng phương pháp tiếp xúc. 3) Giải các bài toán sau: xxxvi xxxvi Bài 1. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 3a b c   . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 ( ) 6a b c a b c          Bài 2. Cho các số dương , , ,a b c d thỏa mãn 2 2 2 2 4a b c d    . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2( ) 12a b c d a b c d         Bài 3. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn 1 1 1 9 15 3 ( ) 2 2 a b c a b c       . Chứng minh rằng 2 2 2 1a b c   . Bài 4. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 3 4 a b c   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 a a b b c c a a b b c c           Bài 5. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn 2 2 2 3a b c   . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 3 3 23 3 3a b c      Bài 6. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn 1abc  . Chứng minh rằng: 3 2 21 1 1 a b c a b c      4) Sưu tầm, phân loại và xây dựng các bài toán sử dụng phương pháp tiếp xúc. 5) Nghiên cứu đề xuất phương pháp giải mới. Mở rộng phương pháp giải toán (Phương pháp nghiệm bội, Phương pháp hàm đặc trưng). Phụ lục 8: HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC 1. Hệ thống bài toán có tình huống sử dụng tính chất liên tục của hàm số để hình thành phương pháp giải bất phương trình dạng ( ) 0A x  Bài 1. Giải bất phương trình: 2 2( 2) 1 4x x x    Bài 2. Giải bất phương trình:    0 13 6535 1 22     x x xxx Bài 3. Giải bất phương trình:     0 34 25log68.2 2 3 1 35       xx xxxx Bài 4. Giải bất phương trình:    0 9 2)7(log)4(log1772.3 2 74 2   x xxxx . xxxvii xxxvii Bài 5. Giải bất phương trình: 2323  xxx Bài 6. Giải bất phương trình: 7 7log 11 log3 2xx x  Bài 7. Giải phương trình: 2013 2015 2014x x x  Bài 8. Giải bất phương trình:     )3(log2 2 log)3(loglog 727 2 2 x x xxxx Bài 9. Giải bất phương trình: 32( 2)( 4 4 2 2) 3 1x x x x      Bài 10. Giải bất phương trình: 21 4 1 3x x x x     Bài 11. Giải bất phương trình: 2 4 4 4 1 ( 1)( 2x) 0 2 3 1 x x x x x        Bài 12. Giải bất phương trình 31 7 2x x    2. Hệ thống bài toán có tình huống sử dụng tính đơn điệu của hàm số để phát triển phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Bài 1. Giải phương trình 2 2 2x 8 ( 1)( 2 2) 2x+3 x x x x       Bài 2. Giải hệ phương trình 3 2 3 2 2 2 3x 9x 22 3y 9 1 2 x y y x y x y            Bài 3. Giải hệ phương trình 3 2 3 3 2 6 13 10 2 5 3 3 10 6 x x x y y x y x y x x y                Bài 4. Giải hệ phương trình 44 2 2 1 1 2 2x( 1) 6 1 0 x x y y x y y y              Bài 5. Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 (2 ) 4 3 ( )( 1) ( 2) 1 1 xy y x x y y x y y x             , biết 0y  . Bài 6. Giải hệ phương trình 2 3 2 4 2 23 3 3 4 3 2 3 2 2 1( ) 1 ( 1) 1 x y y x x y y x x x x x x y               Bài 7. Giải hệ phương trình 3 2 2 3 ( ) 2 ( 2 1) 5x 7( ) 4 6 1 x x y x y y y x y x y xy x              Bài 8. Giải hệ phương trình 2 2 4 2 33 3 3 4 3 2 3 2 2 1( ) 1 ( 1) 1 x y x x y y y x x x x x x y               xxxviii xxxviii Bài 9. Giải hệ phương trình 3 2 3 2 3 2 3x 5x 1 4 3y 5y 1 4 3z 5z 1 4 x y y z z x              Bài 10. Chứng minh rằng với mọi 0a  , hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: ln(1 ) ln(1 ) x ye e x y y x a         Bài 11. Cho các số thực x, y thỏa mãn 0 x y    . Chứng minh rằng 3 3( 6 )sin ( 6 )sinx x y y y x   3. Hệ thống bài toán sử dụng chiều biến thiên của hàm số hình thành phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số Bài 1. Tìm m để phương trình mxxxx  626222 44 có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. Bài 2. Tìm m để phương trình   mxx  219951993 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Bài 3. Tìm m để phương trình 13  mxmx có nghiệm. Bài 4. Tìm m để phương trình 12  xmmx có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. Bài 5. Tìm m để phương trình  xxmxxx  4512 có nghiệm. Bài 6. Tìm m để phương trình mxxxxx  7272 2 có nghiệm. Bài 7. Tìm m để phương trình 2 22 2 1x m x x    có nghiệm. Bài 8. Tìm m để phương trình     2 sin2cos 2 cos2sin x xm x x có nghiệm trong khoảng [0; 2  ]. Bài 9. Chứng minh rằng phương trình 24 (4 1) 1x x   có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. 4. Hệ thống bài toán sử dụng chiều biến thiên của hàm số phát triển phương pháp đánh giá thông qua sử dụng hàm số Bài 1. Giải phương trình: 1 1 2015 1 2015 1 1 x x x x        Bài 2. Giải phương trình: 2014 11 2014 2014 1007(2015 2015 )x x x x     Bài 3. Giải phương trình: 3 2 43 8 40 8 4 4 0x x x x      Bài 4. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 (4 1) 2 (2 1) 32 1 2 x x y y y x y x y           xxxix xxxix Bài 5. Giải hệ phương trình: 2 2 2 3 2 2 2 4x ( 1 1)( 3 2) 1 ( 1) 2(1 ) x x y y x x y y            Bài 6. Giải hệ phương trình: 2 2 12 2 4 1 2 5 2 x y y y x         Bài 7. Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 5 5 3 1 1 ( ) 2 3 2 x y x x y x          Bài 8. Giải hệ phương trình: 2 3 1 3x 5 (1 ) 2x 2( 1) (2x 1) xy y y x y y y x y y                 5. Hệ thống bài toán sử dụng đồ thị hàm số xây dựng phương pháp tiếp xúc trong chứng minh bất đẳng thức Bài 1. Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn 3 , , 4 a b c   và 1a b c   . Chứng minh rằng: 2 2 2 9 1 1 1 10 a b c a b c      . Bài 2. Cho bốn số thực không âm , , ,a b c d thỏa mãn điều kiện 4a b c d    . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 5 3 5 3 5 3 5 3 2 a b c d a b c d        . Bài 3. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 3a b c   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c      Bài 4. Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 1x y z   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z       Bài 5. Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 12x y z   . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 28 8 8x y z      Bài 6. Cho , ,a b c là ba số thực thỏa mãn 1a b c   . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3a b c a b c a b c        Bài 7. Cho , ,a b c là các số thực dương và 3a b c   . Chứng minh rằng : xl xl 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 9 9 5 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) a b c a b c b c a c a b           Bài 8. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) 8 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c a b              Bài 9. Cho , ,a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 5 b c a c a b a b c b c a c a b a b c              Bài 10. Cho , ,a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 1 1 1 4 a b c a b c a b b c c a              Phụ lục 8: KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HS Nhóm lớp đối chứng và lớp thực nghiệm trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 1 Bảng 3.1. Thống kê kết quả học tập của HS nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 1 Tổng số HS ix 2 3 4 5 6 7 8 9 48 if (TN) 1 4 7 12 10 8 4 2 49 if (ĐC) 0 4 9 11 12 7 5 1 Biểu đồ 3.1. Đa giác đồ của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 1 Nhìn vào biểu đồ 3.1, ta thấy đỉnh của hai đa giác đồ gần ngang nhau, điều này chứng tỏ chất lượng của nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng là tương đương nhau. Phụ lục 9: KẾT QUẢ HỌC TẬP CỦA HS Nhóm lớp đối chứng và lớp thực nghiệm trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 2 Bảng 3.2. Thống kê kết quả học tập của HS lớp đối chứng và lớp thực nghiệm trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 2 xli xli Tổng số HS ix 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 51 if (TN) 2 3 6 14 13 9 2 2 52 if (ĐC) 2 2 7 13 14 10 3 1 Biểu đồ 3.2. Đa giác đồ của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước khi thực nghiệm sư phạm đợt 2 Nhìn vào biểu đồ 3.2 ta thấy đỉnh của hai đa giác đồ gần ngang nhau, điều này chứng tỏ chất lượng của nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng là tương đương nhau. Phụ lục 10: ĐỀ KIỂM TRA Thực nghiệm sư phạm đợt 1 và thực nghiệm sư phạm đợt 2 Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ nhất Bài kiểm tra Thời gian: 120 phút Bài 1. Cho hàm số 3 2 8 2( 3) ( 5) 1 3 y x m x m x      . Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng (0;1). a) Em hãy: Tính đạo hàm bậc nhất và xác định dạng của đồ thị hàm đa thức bậc hai? b) Dựa vào hình ảnh của hàm đa thức bậc hai, xác định cách giải bài toán? c) Trình bày cách giải bài toán? d) Tìm cách giải khác: Sử dụng chiều biến thiên; Sử dụng tam thức bậc hai? Bài 2. Cho hàm số 3 2 1 1 ( ) ( 2) (2 ) 3 3 f x mx m x m x      . Tìm m để hàm số có cực đại bé hơn cực tiểu. a) Em hãy: Tính đạo hàm bậc nhất và xác định các dạng của đồ thị hàm đa thức bậc 3? b) Dựa vào các dạng hình ảnh của đồ thị hàm số đa thức bậc ba, xác định cách giải bài toán? c) Trình bày cách giải bài toán? xlii xlii d) Mở rộng bài toán: Tìm điều kiện để hàm đa thức bậc ba không có cực trị; Tìm điều kiện để hàm đa thức bậc ba có cực trị phụ thuộc điều kiện? Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức 3 33 22 2 2 52 62 9 5 6 7 11 , ;3 3 15 21 7 5 x x x x x x              a) Bài toán này có giải được bằng biến đổi đại số thông thường không? Đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 33 22 2 2( ) 2 9 5 6 7 11 3 15 21 f x x x x x x       trong khoảng 6 ;3 5     . b) Giải phương trình '( ) 0f x  . c) Trình bày cách giải bài toán? d) Đưa ra phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức bằng sử dụng chiều biến thiên của hàm số? Bài 4. Giải bất phương trình nghiệm thực sau 25 16 5 2 7 9 0 3 5 2 3 x x x x x x           a) Bài toán này có đưa được về bài toán xét dấu của biểu thức ở trái của bất phương trình hay không? b) Hãy so sánh dấu của các biểu thức sau: 25 16 5 2 7 9x x x x      và 4x  3 5 2 3x x    và 3x  c) Trình bày cách giải? d) Tìm giải pháp khác (gợi ý dựa vào tính liên tục xét dấu của hàm số)? Bài 5. Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 3 2 x y z   . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 2 x y z x y z      a) Tìm điều kiện của , ,x y z ? Dự đoán dấu bằng xảy ra? Biểu thức điều kiện có dạng nào? Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức là dạng của tổng hàm số nào? b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 2 ( ) 1 x f x x   tại điểm 1 2 x  ? Chứng minh bất đẳng thức 2 5 1 1 9 x x x  , 3 (0; ) 2 x  và xét dấu bằng xảy ra. c) Trình bày cách giải? xliii xliii d) Tìm cách giải khác: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki? Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ hai Bài kiểm tra số 1 GV và HS vấn đáp tìm giải pháp giải các bài toán sau: Bài 1. Tìm m để đồ thị hàm số 3 2y x mx   cắt trục hoành tại đúng một điểm. + Tìm hiểu bài toán: Xác định các dạng của đồ thị hàm đa thức bậc ba? + Tìm giải pháp: Quan sát đồ thị của hàm số xác định cách giải bài toán? + Thực hiện giải pháp: Trình bày cách giải bài toán? + Tìm cách giải khác: Viết phương trình hoành độ giao điểm? Đưa phưuơng trình về dạng ( )g x m ? Lập bảng biến thiên của hàm số ( )g x và tìm m ? + Đưa ra phương pháp sử dụng chiều biến thiên trong bài toán tìm điều kiện có nghiệm của phương trình và bất phương trình? Bài 2. Tìm m để đồ thị hàm số 2 1 1 x y x   cắt đường thẳng d có hệ số góc là m và đi qua ( 2;2)A  tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị. + Tìm hiểu bài toán: Xác định phương trình đường thẳng d ? Xác định và biến đổi phương trình hoành độ giao điểm? + Tìm giải pháp: Xét phương trình hoành độ giao điểm và quan sát dạng đồ thị hàm số xác định cách giải bài toán? Sử dụng chiều biến thiên tìm điều kiện? + Thực hiện giải pháp: Trình bày cách giải bài toán? + Tìm cách giải khác: Đặt ẩn phụ 1t x  và xác định bài toán tương đương? Bài 3. Giải phương trình nghiệm thực sau: 7 2 23 3 6 315 30x 18 2 8( 2) 15x 1 35 0x x x x        + Tìm hiểu bài toán: Đưa biểu thức 7 2315 30xx  về dạng tích; So sánh với 238( 2) 15x 1x   và biến đổi phương trình? + Tìm giải pháp: Đưa phương trình về dạng hai hàm số 2 6( 15x 1) ( )f g x  . Xét sự biến thiên của hai hàm số và tìm nghiệm? + Thực hiện giải pháp: Trình bày cách giải bài toán? + Tổng quát bài toán: Phương pháp chiều biến thiên trong giải phương trình? Bài kiểm tra số 2 Thời gian: 120 phút Bài 1. Cho hàm số 4 2 2 4( 1) ( 2 8)y m x m m x m      . Tìm m để hàm số có 3 cực trị, trong đó có 2 cực đại và 1 cực tiểu. xliv xliv a) Xác định thông tin liên quan đến bài toán: Đạo hàm bậc nhất; Các dạng của đồ thị hàm đa thức bậc bốn? b) Quan sát dạng hình ảnh của đồ thị hàm đa thức bậc bốn và xác định cách giải bài toán? b) Trình bày cách giải bài toán? c) Mở rộng bài toán: Xác định điều kiện để hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu, hàm số có 1 cực đại. Bài 2. Cho hàm số 3 3y x mx m   . Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1 . a) Xác định các thông tin liên quan đến bài toán: Phương trình hoành độ giao điểm có nhẩm được nghiệm không? Vẽ các dạng của đồ thị hàm đa thức bậc ba hệ số a dương và hình ảnh của trục Ox ? b) Quan sát hình ảnh của đồ thị hàm số bậc ba và xác định cách giải? c) Trình bày cách giải? d) Mở rộng bài toán: Dựa vào hình ảnh của đồ thị hàm số, tìm cách giải bài toán “Tìm điều kiện để đồ thị hàm số 3 2y ax bx cx d    , 0a  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 0x ”? e) Tìm cách giải khác: Sử dụng chiều biến thiên của hàm số? Bài 3. Tìm điểm A thuộc trục tung sao cho qua A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số 4 22 4 5y x x    . a) Xác định các thông tin: Điểm thuộc trục trung có hoành độ bằng mấy? Nêu tính chất đối xứng của hàm đa thức bậc bốn trùng phương? b) Nêu tính chất của tiếp tuyến đi qua A . Tìm điều kiện cần để hàm số có ba tiếp tuyến? c) Thực hiện giải pháp? d) Đề xuất bài toán mới và cách giải? Bài 4. Cho , ,a b c là các số thực không âm thỏa mãn 1a b c   . Chứng minh rằng: 3 3 31 1 1 5 23 3 3 2 2 2 2 a a b b c c         a) Tìm điều kiện của , ,a b c ? Dự đoán dấu bằng xảy ra? Biểu thức điều kiện có dạng nào? Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức là dạng của tổng hàm số nào? xlv xlv b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 3 1 ( ) 3 2 f x x x   tại điểm 1x  ? Chứng minh bất đẳng thức 3 1 1 3 2 , [0;1] 2 2 x x x x      và xét dấu bằng xảy ra? c) Trình bày cách giải? d) Tìm cách giải khác: Tìm bất đẳng thức 3 1 3 , [0;1] 2 x x ax b x      theo cách khác? Bài 5. Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn 2ab bc ca abc   . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 1 1 1 (2 1) (2 1) (2 1) P a a b b c c      . a) Tìm điều kiện của , ,a b c ? Dự đoán dấu bằng xảy ra? Biến đổi biểu thức điều kiện về dạng tổng hàm? Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức là dạng của tổng hàm số nào? b) Đặt ẩn phụ 1 1 1 , ,x y z a b c    và đưa bài toán về bài toán ẩn mới. Chọn “hàm số đặc trưng” và viết phương trình tiếp tuyến tại điểm xảy ra dấu bằng? Xác định và chứng minh bất đẳng thức đặc trưng? c) Trình bày cách giải? d) Tìm cách giải khác (Sử dụng phương pháp tiếp xúc)?