Luận án Định lí brauer và ứng dụng của nó để mô tả các biểu diễn bất khả qui của một số nhóm hữu hạn

ng tính chất của hàm dấu đã được đề cập ở mục 1.2 thì rõ ràng đây là một biểu diễn có chiều là 1 của nhóm 𝑆𝑛. Ví dụ 2.1.3.3: Bây giờ ta sẽ tìm hiểu các biểu diễn có số chiều bằng 1 của nhóm cyclic cấp 𝑛, 〈𝑔〉𝑛, trên trường số phức ℂ. Do là biểu diễn có chiều bằng 1, nên mỗi ảnh của biểu diễn là một ma trận bậc 1 × 1, hay nói cách khác, mỗi ảnh của biểu diễn là một số phức. Giả sử biểu diễn 𝜑 biến phần tử sinh 𝑔 thành 𝑐 ∈ ℂ thì 𝜑(𝑔𝑚) = 𝑐𝑚. Mặt khác, 𝑐𝑛 = 𝜑(𝑔𝑛) = 𝜑(1) = 1. Do đó 𝑐 phải là một căn bậc 𝑛 của đơn vị. Rõ ràng là ta có thể định nghĩa được một biểu diễn ứng với mỗi một căn đơn vị như trên, do đó sẽ có tất cả 𝑛 biểu diễn khác nhau của 〈𝑔〉𝑛 đều là biểu diễn bậc 1. Cụ thể hơn, xét 𝑛 = 4. Bốn căn bậc bốn của 1 trong ℂ là 1, 𝑖,−1,−𝑖. Ta kí hiệu bốn biểu diễn tương ứng là 𝜑1,𝜑2,𝜑3,𝜑4 thì ta có thể tóm tắt các biểu diễn vào bảng sau: 𝑔0 = 1 𝑔1 = 𝑔 𝑔2 𝑔3 𝜑1 1 1 1 1 𝜑2 1 𝑖 −1 −𝑖 𝜑3 1 −1 1 −1 𝜑4 1 −𝑖 −1 𝑖 Ta cũng có thể xây dựng được một biểu diễn có số chiều cao hơn cho 〈𝑔〉4 . Chẳng hạn, ta có thể lấy 𝜑(𝑔) = �1 00 𝑖 �. Nhưng biểu diễn này thực chất là tổ hợp của 𝜑1 và 𝜑2. Ví dụ 2.1.3.4: Cho một đồng cấu 𝜋 từ nhóm 𝐺 vào nhóm 𝑆𝑛 (tương đương với một tác động của nhóm 𝐺 lên tập {1,2, ,𝑛}). Tác động này được kí hiệu là 𝑔𝑖 = 𝜋(𝑔)(𝑖). Giả sử 𝑉 là một không gian vector trên 𝑘 có cơ sở là (𝑒1, 𝑒2, , 𝑒𝑛) là 𝜑(𝑔) là một phép biến đổi tuyến tính trên 𝑉 được xác định bởi: 𝜑(𝑔)(𝑒𝑖) = 𝑒𝜋(𝑔)(𝑖) Ta dễ dàng kiểm tra được 𝜑(𝑔1𝑔2) = 𝜑(𝑔1)𝜑(𝑔2) và 𝜑(1) = 1 nên 𝜑 là một biểu diễn của nhóm 𝐺. Biểu diễn này được gọi là biểu diễn hoán vị. Ví dụ 2.1.3.5: Giả sử một nhóm 𝐺 có hai biểu diễn 𝜑1 và 𝜑2 tương ứng với hai module biểu diễn trên trường 𝑘 là 𝑉1; 𝑉2. Từ không gian vector 𝑉1 ⊗𝑘 𝑉2, ta định nghĩa một biểu diễn mới của nhóm 𝐺, kí hiệu là 𝜑1 ⊗ 𝜑2, như sau: (𝜑1 ⊗ 𝜑2)(𝑔) = 𝜑1(𝑔)⊗𝜑2(𝑔) Với 𝜑1(𝑔) và 𝜑2(𝑔) lần lượt là các biến đổi tuyến tính trên 𝑉1,𝑉2 thỏa: 𝜑1(𝑔)⊗𝜑2(𝑔)(𝑣1 ⊗ 𝑣2) = 𝜑1(𝑔)(𝑣1)⊗𝜑2(𝑔)(𝑣2) Đây thực sự là một biểu diễn của 𝐺 vì ∀𝑔1,𝑔2 ∈ 𝐺: (𝜑1 ⊗ 𝜑2)(𝑔1𝑔2) = 𝜑1(𝑔1𝑔2)⊗𝜑2(𝑔1𝑔2) = 𝜑1(𝑔1)𝜑1(𝑔2)⊗𝜑2(𝑔1)𝜑2(𝑔2) = �𝜑1(𝑔1) ⊗𝜑2(𝑔1)��𝜑1(𝑔2)⊗𝜑2(𝑔2)� = �(𝜑1 ⊗ 𝜑2)(𝑔1)��(𝜑1 ⊗ 𝜑2)(𝑔2)�. Ta có thể gọi 𝜑1 ⊗ 𝜑2 là tích tenxơ của hai biểu diễn 𝜑1,𝜑2. Ta cũng sẽ gọi đây là một biểu diễn tenxơ của nhóm 𝐺. 2.2 Quan hệ giữa biểu diễn nhóm và module trên đại số nhóm: Việc nghiên cứu biểu diễn của một nhóm 𝐺 có thể được đưa về việc nghiên cứu module của đại số nhóm trên 𝐺. Mối liên hệ này sẽ được làm rõ ngay sau đây. Quay trở lại với định nghĩa 1 của biểu diễn nhóm, ta có thể xây dựng một phép nhân như sau: ∀∑ 𝑎𝑔𝑔𝑔∈𝐺 ∈ 𝑘𝐺;𝑣 ∈ 𝑉 ��𝑎𝑔𝑔 𝑔∈𝐺 � . 𝑣 = �𝑎𝑔(𝑔.𝑣) 𝑔∈𝐺 Ta dễ dàng kiểm tra được rằng 𝑉 là một 𝑘𝐺 - module với phép nhân trên. Có thể xem phép nhân trên như một đồng cấu đại số đi từ 𝑘𝐺 vào 𝐸𝑛𝑑𝑘𝑉. Ngược lại, nếu ta có một đồng cấu đại số 𝜑:𝑘𝐺 → 𝐸𝑛𝑑𝑘𝑉 với 𝑉 là một 𝑘 – không gian vector, thì hạn chế của 𝜑 xuống 𝐺 là một biểu diễn của 𝐺 (vì 𝜑(1) = 1 nên 𝜑(𝑔) ∈ 𝐺𝐿(𝑉)). Đồng thời với đồng cấu 𝜑 đó, ta có thể xây dựng trên 𝑉 cấu trúc của một 𝑘𝐺 – module với phép nhân: ��𝑎𝑔𝑔 𝑔∈𝐺 �𝑥 = �𝑎𝑔𝜑(𝑔)𝑥 𝑔∈𝐺 , 𝑥 ∈ 𝑉 Bây giờ ta lại tiếp tục giả sử rằng ta có một 𝑘𝐺 – module 𝑉. Hiển nhiên 𝑉 cũng sẽ là một không gian vector trên 𝑘 (giả sử rằng 𝑉 hữu hạn chiều trên 𝑘). Lúc này, ta sẽ có một biểu diễn 𝜑 của 𝐺 với mỗi 𝜑(𝑔):𝑥 ↦ 𝑔𝑥 là một biến đổi tuyến tính trên 𝑉. Như vậy, ta đã chỉ ra rằng mỗi biểu diễn của nhóm 𝐺 tác động lên một không gian vector (hữu hạn chiều) trên trường 𝑘 tương đương với một 𝑘𝐺 – module (module này là một 𝑘 – module hữu hạn chiều). Trong phạm vi luận án này, thuận tiện nhất là ta xem các biểu diễn của nhóm 𝐺 trên trường 𝑘 được đại diện bởi các 𝑘𝐺 – module. Ở đây ta chủ yếu xét 𝐺 là một nhóm hữu hạn, các biểu diễn đều hữu hạn chiều trên 𝑘. Ở đây ta cũng nói một chút về sự tương đương của các biểu diễn nhóm.Giả sử 𝜑 và 𝜓 là hai biểu diễn của nhóm 𝐺 có module biểu diễn lần lượt là 𝑉 và 𝑊. Ta nói 𝜑 và 𝜓 là tương đương nếu 𝑉 và 𝑊 đẳng cấu với nhau như các 𝑘𝐺 – module. Phát biểu trên có thể được biểu diễn bằng một sơ đồ giao hoán: ( ) ( ) P P V W g g V W ϕ ψ ≈ ≈ → → ↓ ↓ tức là ∀𝑔 ∈ 𝐺:𝑃𝜓(𝑔) = 𝜑(𝑔)𝑃 hay 𝜓(𝑔) = 𝑃−1𝜑(𝑔)𝑃, với 𝑃 là đẳng cấu không gian vector từ 𝑉 vào 𝑊. Đây là một quan hệ tương đương thực sự. 2.3 Biểu diễn bất khả qui: Định nghĩa 2.3.1: Giả sử 𝑉 là một module biểu diễn của nhóm 𝐺 phụ thuộc vào biểu diễn 𝜑. Một 𝑘𝐺 - module con 𝑈 của 𝑉, đồng thời cũng là không gian vector con của 𝑉 trên 𝑘, được gọi là bất biến đối với 𝜑 nếu ∀𝑔 ∈ 𝐺,∀𝑢 ∈ 𝑈:𝜑(𝑔)(𝑢) ∈ 𝑈. Khi đó là có một biểu diễn cảm sinh 𝜑|𝑈 của 𝐺 trên 𝑈. Ta gọi đó là một biểu diễn con của 𝜑. Khi 𝑈 là module con của module 𝑉, ta xét module thương 𝑉 𝑈� . Ta cũng có thể xây dựng một biểu diễn của nhóm 𝐺 với module biểu diễn là 𝑉 𝑈� . Cụ thể như sau: 𝜑|𝑉 𝑈� (𝑔):𝑥 + 𝑈 ⟼ 𝜑(𝑔)(𝑥) + 𝑈 Ta dễ dàng kiểm tra đây là một biểu diễn được định nghĩa tốt. 2.3.2 Ví dụ: Ta sẽ lấy cho định nghĩa trên một ví dụ từ biểu diễn hoán vị (ví dụ 2.1.3.4). 𝑉 là không gian vector được mô tả trong ví dụ 2.1.3.4 tương ứng với biểu diễn hoán vị 𝜑 của nhóm 𝐺. Ta xét một không gian con của 𝑉 là 𝑊 = 〈𝑒1 + 𝑒2 + ⋯+ 𝑒𝑛〉 Với mọi 𝑔 ∈ 𝐺, tác động của 𝜑(𝑔) lên phần tử sinh của 𝑊 ta được 𝜑(𝑔)(𝑒1 + 𝑒2 + ⋯+ 𝑒𝑛) = 𝑒𝜋(𝑔)(1) + 𝑒𝜋(𝑔)(2) + ⋯+ 𝑒𝜋(𝑔)(𝑛)= 𝑒1 + 𝑒2 + ⋯+ 𝑒𝑛 nên 𝜑|𝑊 = 𝐼𝑊. Hơn nữa theo như được xây dựng ở phần 2.3.1, ta có một biểu diễn nữa của nhóm 𝐺 với module biểu diễn là 𝑉 𝑊� = 𝑘𝑒1 ⊕ 𝑘𝑒2 ⊕ ⊕𝑘𝑒𝑛 𝑘(𝑒1 + 𝑒2 + ⋯+ 𝑒𝑛)� Xét trong trường hợp 𝐺 = 𝑆𝑛, ta gọi biểu diễn của 𝐺 ứng với module 𝑉 𝑊� như trên là biểu diễn chính qui. Biểu diễn này luôn có số chiều là 𝑛 − 1. Định nghĩa 2.3.3: Một biểu diễn được gọi là biểu diễn bất khả qui (hay đơn) nếu module biểu diễn phụ thuộc vào nó là một 𝑘𝐺 – module bất khả qui (hay đơn). Nói cách khác, biểu diễn đó không có một biểu diễn con nào khác chính nó. Định nghĩa 2.3.4: Một biểu diễn được gọi là khả qui hoàn toàn (hay nửa đơn) nếu module biểu diễn phụ thuộc vào nó là một 𝑘𝐺 – module nửa đơn. 𝜑 là một biểu khả qui hoàn toàn của 𝐺 có module biểu diễn là 𝑉, nếu 𝑘𝐺 - module 𝑉 sẽ phân tích được thành 𝑉 = 𝑉1(1) ⊕ ⨁𝑉1(𝑚1)⨁𝑉2(1) ⊕ ⊕𝑉2(𝑚2) ⊕ ⨁𝑉𝑟(1) ⊕ 𝑉𝑟(𝑚𝑟) với 𝑉𝑖 (𝑗) là các 𝑘𝐺 - module đơn, 𝑉𝑖(𝑗) ≅ 𝑉𝑖(𝑗′) với mọi 𝑗, 𝑗′ và 𝑉𝑖(𝑗) ≇ 𝑉𝑖′(𝑗′) nếu 𝑖 ≠ 𝑖′. Ta có thể viết lại thành 𝑉 = 𝑚1𝑉1 ⊕𝑚2𝑉2 ⊕ ⨁𝑚𝑟𝑉𝑟 Ứng với mỗi 𝑉𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 ta có một biểu diễn con 𝜑𝑖 của của 𝜑. Do các 𝑉𝑖 là các 𝑘𝐺 - module đơn đôi một không đẳng cấu nên các 𝜑𝑖 là các biểu diễn bất khả qui con của 𝜑 đôi một không tương đương. Chúng ta có thể viết: 𝜑 ≅ 𝑚1𝜑1 ⊕𝑚2𝜑2 ⊕ ⊕𝑚𝑟𝜑𝑟 Ta gọi các 𝜑𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 là các thành phần bất khả qui của 𝜑 và các 𝑚𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 là các bội số tương ứng với các 𝜑𝑖. Định nghĩa 2.3.5: Xét tác động tịnh tiến của nhóm 𝐺 lên chính nó 𝑎 ↦ 𝑇𝑎,∀𝑔 ∈ 𝐺:𝑇𝑎(𝑔) = 𝑔𝑎 Ta có thể mở rộng tác động này lên 𝑘𝐺: ∀𝑥 ∈ 𝑘𝐺:𝑇𝑎(𝑥) = 𝑥𝑎. Từ tác động đó ta xây dựng được một biểu diễn của nhóm 𝐺 với module biểu diễn chính là 𝑘𝐺. Biểu diễn đó biến mỗi 𝑎 ∈ 𝐺 thành 𝑇𝑎 với tác động mở rộng như trên. Ta gọi đó là tác động chính qui, kí hiệu là 𝜏. Gọi 𝑉1, ,𝑉𝑟 là tập hợp đầy đủ các 𝑘𝐺 – module trái đơn đôi một không đẳng cấu, đặt 𝐷𝑖 = 𝐸𝑛𝑑(𝑉𝑖) và 𝑛𝑖 = dim𝐷𝑖 𝑉𝑖 . Khi đó ta có: a) Với vai trò là một đại số, 𝑘𝐺 𝑟𝑎𝑑 𝑘𝐺� = M𝑛1(𝐷1) × × M𝑛𝑟(𝐷𝑟). b) Với vai trò là một 𝑘𝐺 – module trái, 𝑘𝐺 𝑟𝑎𝑑 𝑘𝐺� ≅ 𝑛1𝑉1 ⊕ ⊕𝑛𝑟𝑉𝑟. c) dim𝑘 𝑉𝑖 = 𝑛𝑖 dim𝑘 𝐷𝑖. d) |𝐺| = dim𝑘(𝑟𝑎𝑑 𝑘𝐺) + ∑ 𝑛𝑖2 dim𝑘 𝐷𝑖𝑟𝑖=1 . Trong trường hợp đặc số của trường 𝑘 không chia hết cho |𝐺| (bao gồm cả 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 0), 𝑘𝐺 là đại số nửa đơn. Khi đó mọi biểu diễn của 𝐺 cũng nửa đơn. Đồng thời 𝑟𝑎𝑑 𝑘𝐺 = 0, nên: a) Với vai trò là một đại số, 𝑘𝐺 = M𝑛1(𝐷1) × × M𝑛𝑟(𝐷𝑟). b) Với vai trò là một 𝑘𝐺 – module trái, 𝑘𝐺 ≅ 𝑛1𝑉1 ⊕ ⊕𝑛𝑟𝑉𝑟. c) |𝐺| = ∑ 𝑛𝑖2 dim𝑘 𝐷𝑖𝑟𝑖=1 . Qua sự phân tích trên ta thấy rằng mọi biểu diễn bất khả qui của nhóm 𝐺 đều là thành phần đơn của biểu diễn chính qui. Nói cách khác, con số 𝑟 trong sự phân tích trên cho ta số các biểu diễn bất khả qui đôi một khác nhau của nhóm 𝐺. Lấy tâm của khai triển của 𝑘𝐺, ta có: 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺) ≅ 𝐶𝑒𝑛𝑡 �𝑀𝑛1(𝐷1)�⊕ ⊕𝐶𝑒𝑛𝑡 �𝑀𝑛𝑟(𝐷𝑟)� ≅ 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐷1) ⊕ ⊕𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐷𝑟) mà 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐷𝑖) là một trường (do là vành chia giao hoán) nên sẽ là thành phần đơn của 𝑘 - đại số giao hoán nửa đơn 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺). Khi đó 𝑟 là số các thành phần đơn của 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺). Mệnh đề 2.3.6: Gọi 𝐶1,𝐶2, ,𝐶𝑠 là tất cả các lớp liên hợp rời nhau của nhóm 𝐺. Đặt 𝜍𝑖 = ∑ 𝑔𝑔𝜖𝜍𝑖 . Khi đó (𝜍1, 𝜍2, , 𝜍𝑠) là một cơ sở của 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺). Chứng minh: Ta dễ dàng kiểm tra được 𝜍𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑠 giao hoán với mọi phần tử của 𝐺, nên chúng cũng sẽ giao hoán với mọi phần tử của 𝑘𝐺. Cho nên 𝜍𝑖 ∈ 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺), 𝑖 = 1, 𝑠����. Mặt khác các phần tử của 𝐺 𝑘 - độc lập tuyến tính nên các {𝜍𝑖} cũng là 𝑘 - độc lập tuyến tính. Bây giờ ta cần chỉ ra {𝜍𝑖} là hệ sinh của 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺). Thật vậy, lấy 𝑧 = ∑𝑎𝑖𝑔𝑖 ∈ 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺), với 𝑎𝑖 ∈ 𝑘,𝑔𝑖 ∈ 𝐺. Với 𝑥 ∈ 𝐺:∑𝑎𝑖𝑔𝑖 = 𝑧 = 𝑥𝑧𝑥−1 = ∑𝑎𝑖𝑥𝑔𝑖 𝑥−1. Bởi vì tính độc lập tuyến tính trên 𝑘 của các 𝑔𝑖, so sánh hệ số ở vế đầu và vế cuối của đẳng thức trên, ta thấy rằng các phần tử liên hợp với 𝑔𝑖 sẽ có cùng hệ số với 𝑔𝑖. Cho nên ta có thể viết lại 𝑧 = �𝑎𝑖𝜍𝑖 Từ đây có thể kết luận (𝜍1, 𝜍2, , 𝜍𝑠) là một cơ sở của 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺).■ Như vậy ta có thể thấy rằng 𝑟 ≤ 𝑠 = ∑ dim𝑘 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐷𝑖)𝑟𝑖=1 . Dấu bằng “=” xảy ra khi và chỉ khi 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐷𝑖) = 𝑘,∀𝑖. Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi 𝑘 là trường đóng đại số. Định lý 2.3.7: Cho 𝐺 là nhóm hữu hạn, 𝑘 là một trường đóng đại số sao cho 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 ∤ |𝐺|. Đặt 𝑟 là số các lớp liên hợp rời nhau của 𝐺. Khi đó số các biểu diễn bất khả qui đôi một không đẳng cấu của 𝐺 trên 𝑘 chính bằng 𝑟. Hơn nữa, nếu các biểu diễn đó là 𝜑1, ,𝜑𝑟 và có bậc số chiều lần lượt là 𝑛1, ,𝑛𝑟 thì: |𝐺| = ∑ 𝑛𝑖2𝑟1 . 2.4 Trường phân rã của một nhóm: Định nghĩa 2.4.1: Ta gọi một trường 𝑘 là trường phân rã của một nhóm 𝐺 khi đại số nhóm 𝑘𝐺 phân rã trên 𝑘. Định lý 2.4.2: Cho 𝑘 là một trường bất kì và 𝐺 là một nhóm bất kì. Khi đó, sẽ có một mở rộng hữu hạn 𝐾 nào đó của 𝑘 là trường phân rã của 𝐺. Chứng minh: Cho 𝑘0 là trường nguyên tố của 𝑘, và 𝑘� là bao đóng đại số của 𝑘. Vì 𝑘0 là trường hoàn thiện nên nó có một mở rộng 𝑘1 trong 𝑘� sao cho 𝑘1 là trường phân rã cho 𝐺. Đặt 𝐾 = 𝑘.𝑘1. Rõ ràng, 𝐾 là mở rộng hữu hạn của 𝑘, và do 𝑘1 là trường phân rã cho 𝐺 nên 𝐾 cũng vậy. Ta đã tìm được trường 𝐾 thỏa yêu cầu.■ Theo Brauer ta có: trong trường hợp 𝑘0 = ℚ, trường phân rã k1 là ℚ(𝜍𝑚), với 𝜍𝑚 là căn nguyên thủy bậc 𝑚 của đơn vị. Trong trường hợp 𝑘0 = 𝐹𝑝, 𝑘1 sẽ là ℤ[𝜍𝑚] 𝜌� , với 𝜌 là ideal nguyên tố của ℤ[𝜍𝑚] có chứa 𝑝. Trong trường hợp 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 ∤ |𝐺| và 𝑘 là trường phân rã của nhóm 𝐺, ngoài (𝜍1, 𝜍2, , 𝜍𝑟), 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺) còn có một cơ sở khác. Ta thu được cơ sở này từ cấu trúc nửa đơn của 𝑅 = 𝑘𝐺. Vì 𝑘 là trường phân rã nên các 𝐷𝑖 đều bằng 𝑘 và 𝑛𝑖 = dim𝑘 𝑀𝑖. Khi đó ta có thể thấy mỗi M𝑛𝑖(𝑘) sẽ bằng 𝑅. 𝑒𝑖, với 𝑒𝑖 là phần tử lũy đẳng thích hợp nằm trong tâm của 𝑅. Ta sẽ có 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 = 0 nếu 𝑖 ≠ 𝑗. Như vậy ta có được {𝑒𝑖: 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟} là một cơ sở nữa của 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺). 2.5 Số các biểu diễn bất khả qui – Định lý Brauer: Bổ đề 2.5.1: Cho R là một vành đặc số p, với p là số nguyên tố. Đặt S = [R,R]. Khi đó: (1) ∀𝑎1, , 𝑎𝑛 ∈ 𝑅: (𝑎1 + ⋯+ 𝑎𝑛)𝑝𝑟 ≡ 𝑎1𝑝𝑟 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑝𝑟(𝑚𝑜𝑑 𝑆),∀𝑟 ≥ 0. (2) 𝑠 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑠𝑝𝑟 ∈ 𝑆,∀𝑟 ≥ 0. Chứng minh: Trước hết ta chứng minh (1) cho trường hợp 𝑟 = 1. Khai triển hình thức (𝑎1 + ⋯+ 𝑎𝑛)𝑝 ta được 𝑛𝑝 số hạng khác nhau, mỗi số hạng có 𝑝 thừa số tạo thành từ 𝑎1, ,𝑎𝑛. Gọi 𝑁 là tập tất cả các số hạng trong khai triển trên. Ta xét tác động hoán vị của một nhóm cyclic 𝐺 cấp 𝑝 lên tập 𝑁. Lúc đó quĩ đạo của mỗi số hạng 𝑎1 𝑝, ,𝑎𝑛𝑝 chỉ có đúng một phần tử. Còn các quĩ đạo khác sẽ có đúng 𝑝 phần tử. Mặt khác, ta thấy rằng hai số hạng có cùng quĩ đạo thì luôn đồng dư mod 𝑆. Thế nên giả sử ta sẽ tổng các phần tử trong quĩ đạo của 𝑎1, ,𝑎𝑛, rồi lấy đồng dư mod 𝑆, ta được tổng đó đồng dư với 𝑝(𝑎1 𝑎𝑛) = 0, do 𝑅 là vành đặc số 𝑝. Như vậy ta đã chứng minh được (1) đúng cho 𝑟 = 1. Bây giờ giả sử (1) đúng tới 𝑟 − 1,∀𝑟 ≥ 1. Khi đó: (𝑎1 + ⋯+ 𝑎𝑛)𝑝𝑟 = �(𝑎1 + ⋯+ 𝑎𝑛)𝑝𝑟−1�𝑝 ≡ �𝑎1𝑝𝑟−1 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑝𝑟−1�𝑝 ≡ 𝑎1 𝑝𝑟 + ⋯ = 𝑎𝑛𝑝𝑟(𝑚𝑜𝑑 𝑆) (1) được chứng minh xong. (2): Đặt 𝑠 = ∑(𝑎𝑖𝑏𝑖 − 𝑏𝑖𝑎𝑖) ∈ 𝑆. Theo (1) ta có: 𝑠𝑝 ≡�(𝑎𝑖𝑏𝑖 − 𝑏𝑖𝑎𝑖)𝑝 ≡�((𝑎𝑖𝑏𝑖)𝑝 − (𝑏𝑖𝑎𝑖)𝑝) ≡�(𝑎𝑖(𝑏𝑖𝑎𝑖)𝑝−1𝑏𝑖 − (𝑏𝑖𝑎𝑖)𝑝−1𝑏𝑖 .𝑎𝑖) (𝑚𝑜𝑑 𝑆) ⇒ 𝑠𝑝 ∈ 𝑆 ⇒ 𝑠𝑝 2 = (𝑠𝑝)𝑝 ∈ 𝑆 ⇒ ⋯ ⇒ 𝑠𝑝𝑟 ∈ 𝑆. (2) được chứng minh. ■ Bổ đề 2.5.2: Giả sử 𝑅 = M𝑛(𝑘) với 𝑘 là một trường giao hoán. Khi đó: [𝑅,𝑅] = {𝑀 ∈ M𝑛(𝑘): 𝑡𝑟(𝑀) = 0} Chứng minh: Gọi 𝑆 = {𝑀 ∈ M𝑛(𝑘): 𝑡𝑟(𝑀) = 0}. Theo tính chất của trace của ma trận, ta có 𝑡𝑟(𝑀𝑁) = 𝑡𝑟(𝑁𝑀), cho nên ∀𝑀,𝑁 ∈ M𝑛(𝑘): 𝑡𝑟(𝑀𝑁 −𝑁𝑀) = 𝑡𝑟(𝑀𝑁) − 𝑡𝑟(𝑁𝑀) = 0 Như vậy [𝑅,𝑅] ⊂ 𝑆. Bây giờ, ta xét �𝐸𝑖𝑗� là các đơn vị ma trận. Nếu 𝑖 ≠ 𝑗, ta có: 𝐸𝑖𝑗 = 𝐸𝑖𝑖𝐸𝑖𝑗 − 𝐸𝑖𝑗𝐸𝑖𝑖 ∈ [𝑅,𝑅] 𝐸𝑖𝑖 − 𝐸𝑗𝑗 = 𝐸𝑖𝑗𝐸𝑗𝑖 − 𝐸𝑗𝑖𝐸𝑖𝑗 ∈ [𝑅,𝑅] Do [𝑅,𝑅] cũng là một 𝑘 – module. Khi đó, với mọi ma trận 𝑀 = �𝑎𝑖𝑗�, ta có: 𝑀 = �𝑎𝑖𝑗𝐸𝑖𝑗 𝑖,𝑗 ≡�𝑎𝑖𝑖𝐸𝑖𝑖𝑖 ≡�𝑎𝑖𝑖𝐸11𝑖 (𝑚𝑜𝑑 [𝑅,𝑅]) Với giả thiết 𝑀 ∈ 𝑆, 𝑡𝑟(𝑀) = 0 thì chắc chắn 𝑀 ∈ [𝑅,𝑅]. từ đó ta có điều phải chứng minh. ■ Định lý 2.5.3: Cho một 𝑘 – đại số hữu hạn 𝑅 và 𝑇(𝑅) = 𝑟𝑎𝑑 𝑅 + [𝑅,𝑅] Nếu 𝑅 phân rã trên 𝑘 thì số các 𝑅 – module trái đơn (sai khác một đẳng cấu) là dim𝑘 𝑅 𝑇(𝑅)� . Hơn nữa, 𝑇(𝑅) chứa tất cả các phần tử lũy linh của 𝑅. Chứng minh: Đặt 𝑅� = 𝑅 𝑟𝑎𝑑 𝑅� . Vì [𝑅,𝑅] ảnh thông qua toàn ánh chiếu là [𝑅�,𝑅�] cho nên dim𝑘 𝑅 𝑇(𝑅)� = dim𝑘 𝑅� [𝑅�,𝑅�]� Mặt khác, ta có thể phân tích 𝑅� ≅ 𝐴1 × × 𝐴𝑟, trong đó mỗi 𝐴𝑖 là một ma trận đại số trên 𝑘, và 𝑟 là số các 𝑅 – module trái đơn của 𝑅. Rõ ràng ta có [𝑅�,𝑅�] ≅ ∏ [𝐴𝑖 ,𝐴𝑖]𝑟𝑖=1 , nên: 𝑅� [𝑅�,𝑅�]� ≅ ∏ 𝐴𝑖 [𝐴𝑖 ,𝐴𝑖]�𝑟𝑖=1 . Mỗi nhân tử ở vế phải có số chiều trên 𝑘 là 1. Do vậy: dim𝑘 𝑅� [𝑅�,𝑅�]� = 𝑟. Xét một phần tử lũy linh 𝑥 bất kì của 𝑅, khi đó �̅� ∈ 𝑅� là một ma trận vuông lũy linh trên 𝑘. Vì mọi ma trận lũy linh trên 𝑘 đều có vết là 0, nên �̅� ∈ [𝑅�,𝑅�], hay 𝑥 ∈ 𝑇(𝑅). Ta có đpcm. ■ Hệ quả 2.5.4: Cho 𝑅 là 𝑘 – đại số và 𝐾 là trường phân rã của 𝑅. Kí hiệu 𝑟 (tương ứng là 𝑟’) là số các 𝑅 – module trái đơn (tương ứng là 𝑅𝐾 – module trái đơn). Khi đó 𝑟 ≤ 𝑟′ ≤ dim𝑘 𝑅 𝑇(𝑅)� . Chứng minh: Ta đã có 𝑟 ≤ 𝑟′. Từ định lý trên ta có: 𝑟′ = dim𝑘 𝑅𝐾 𝑇(𝑅𝐾)� . Mặt khác, [𝑅,𝑅]𝐾 ⊂ [𝑅𝐾 ,𝑅𝐾] và (𝑟𝑎𝑑 𝑅)𝐾 ⊂ 𝑟𝑎𝑑 𝑅𝐾 nên 𝑇(𝑅)𝐾 ⊂ 𝑇(𝑅𝐾). Từ đó: 𝑟′ = dim𝑘 𝑅𝐾 𝑇(𝑅𝐾)� ≤ dim𝑘 𝑅𝐾 𝑇(𝑅)𝐾� = dim𝑘 𝑅 𝑇(𝑅)� . Ta có đpcm. ■ 2.5.5 Định lý Clifford: Cho 𝑘 là một trường bất kì và 𝐻 là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm 𝐺. Nếu 𝑉 là 𝑘𝐺 –module trái đơn, thì 𝑉 sẽ là 𝑘𝐻 – module con nửa đơn. Chứng minh: Cho 𝑀 là 𝑘𝐻 – module con đơn của 𝑉. ∀𝑔 ∈ 𝐺, 𝑔𝑀 cũng là 𝑘𝐻 – module con của 𝑉 vì ℎ(𝑔𝑀) = 𝑔(𝑔 − 1ℎ𝑔𝑀) = 𝑔𝑀(𝑔 − 1ℎ𝑔 ∈ 𝐻). Hơn nữa, 𝑔𝑀 là 𝑘𝐻 – module đơn vì nếu ∃𝑀’ là 𝑘𝐻 – module con thực sự của nó thì 𝑔−1𝑀 cũng sẽ là 𝑘𝐻 – module con thực sự của 𝑀, điều này trái với giả thiết đơn của 𝑀. Từ đó, ta đặt 𝑉′ ≔ ∑ 𝑔𝑀𝑔∈𝐺 . Đây là một 𝑘𝐻 – module nửa đơn (vì nó là tổng của các module đơn) và 𝑉’ đồng thời cũng là 𝑘𝐺 – module con của 𝑉. Do tính đơn của 𝑉 nên ta có 𝑉 = 𝑉’. ■ Định lý 2.5.6: Cho 𝑘 là một trường đặc số 𝑝 > 0 và 𝐺 là một nhóm hữu hạn. Khi đó, mọi 𝑝 – nhóm con chuẩn tắc 𝐻 của 𝐺 tác động tầm thường lên mọi 𝑘𝐺 – module trái đơn. Cho nên, các 𝑘𝐺 – module trái đơn cũng chính là các    Gk H - module trái đơn. Chứng minh: Ta sẽ chứng minh rằng 𝐻 tác động tầm thường lên các 𝑘𝐻 – module đơn 𝑀 bằng qui nạp theo |𝐻|. Điều này hiển nhiên đúng với |𝐻| = 1. Xét |𝐻| > 1, khi đó tồn tại ℎ ∈ 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐻),ℎ ≠ 1 và có cấp là 𝑝𝑛. Vì (ℎ − 1)𝑝𝑛 = ℎ𝑝𝑛 − 1 = 0 ∈ 𝑘𝐻 nên ℎ – 1 là một tác động lũy linh trên 𝑀, cho nên 𝐾𝑒𝑟 của nó là khác 0. Đặt 𝑀0 = {𝑚 ∈ 𝑀:ℎ𝑚 = 𝑚} ≠ (0). 𝑀R0 là một 𝑘𝐻 – module con của 𝑀, nên 𝑀0 = 𝑀. Từ đó 𝑀 có thể được xem như 𝑘 �𝐻 〈ℎ〉� � - module. Theo nguyên lí qui nạp ta có đpcm. ■ Trong mỗi nhóm hữu hạn 𝐺, đặt 𝑂𝑝(𝐺) là giao của tất cả các 𝑝 – nhóm Sylow. Rõ ràng 𝑂𝑝(𝐺) là 𝑝 – nhóm con Sylow chuẩn tắc lớn nhất của 𝐺. Hệ quả 2.5.7: Cho 𝑘 là một trường đặc số 𝑝 > 0, and 𝐺 là một nhóm hữu hạn. với ℎ ∈ 𝐺, các phát biểu sau tương đương: (1) ℎ ∈ 𝑂𝑝(𝐺) (2) ℎ tác động tầm thường lên tất cả các 𝑘𝐺 – module trái đơn. (3) ℎ − 1 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑘𝐺) Chứng minh: (2) và (3) hiển nhiên tương đương. Do 𝑂𝑝(𝐺) là nhóm con chuẩn tắc của 𝐺, nên ta có (1) ⟹ (2). Giả sử ℎ tác động tầm thường lên tất cả các 𝑘𝐺 – module trái đơn. Ta phân tích 𝑘𝐺, với vai trò là module trái trên chính nó, thành chuỗi hợp thành. Từ đó ta thấy được ℎ − 1 tác động như một phép biến đổi lũy linh trên 𝑘𝐺. Cho nên, với một số nguyên 𝑛 đủ lớn: (ℎ − 1)𝑝𝑛 = ℎ𝑝𝑛 − 1 = 0 ∈ 𝑘𝐺, nghĩa là cấp của h là một lũy thừa của 𝑝. Đặt 𝐻 là tập hợp tất cả các phần tử của 𝐺 thỏa mãn (2). Dễ dàng kiểm tra được 𝐻 là nhóm con chuẩn tắc của 𝐺, đồng thời 𝐻 là 𝑝 – nhóm. Vậy 𝐻 ⊂ 𝑂𝑝(𝐺). Ta có đpcm.■ Hệ quả 2.5.8: Cho 𝑘 là một trường đặc số 𝑝, 𝐺 là một nhóm hữu hạn với một 𝑝 – nhóm con Sylow chuẩn tắc 𝐻. Khi đó: 𝑟𝑎𝑑 𝑘𝐺 = �𝑘𝐺(ℎ − 1) ℎ∈𝐻 với 𝑑𝑖𝑚𝑘𝑟𝑎𝑑 𝑘𝐺 = [𝐺:𝐻](|𝐻| − 1). Chứng minh: Vì (ℎ − 1)𝑔 = 𝑔(𝑔 − 1ℎ𝑔 − 1),∀𝑔 ∈ 𝐺. Ideal trái 𝐽 ∶= ∑ 𝑘𝐺(ℎ − 1)ℎ∈𝐻 cũng là một ideal hai phía nằm trong rad 𝑘𝐺. Ta cũng thấy 𝑘𝐺 𝐽� đẳng cấu với 𝑘 �𝐺 𝐻� �. Vì 𝑝 không phải là ước của � 𝐺 𝐻� �, 𝑘 � 𝐺 𝐻� � là nửa đơn. Từ đó ta có rad 𝑘𝐺 = 𝐽 và 𝑑𝑖𝑚𝑘𝑟𝑎𝑑 𝑘𝐺 = |𝐺| − �𝐺 𝐻� � = [𝐺:𝐻](|𝐻| − 1). Ta có đpcm.■ Bổ đề 2.5.9: Một phần tử 𝛼 ∈ 𝑅 = 𝑘𝐺 thuộc vào [𝑅,𝑅] khi và chỉ khi tổng các hệ số của nó trên mỗi lớp liên hợp của 𝐺 là 0. Chứng minh: (⇒) Giả sử 𝛼 = 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 ∈ [𝑅,𝑅];𝑎, 𝑏 ∈ 𝑘𝐺. Viết a, b ở dạng 𝑎 = ∑𝑎𝑔𝑔 và 𝑏 = ∑𝑏ℎℎ. Khi đó: 𝛼 = ∑ 𝑎𝑔𝑏ℎ(𝑔ℎ − ℎ𝑔)𝑔,ℎ . Xét 𝛼0 = 𝑔ℎ − ℎ𝑔. Vì gh và hg là liên hợp với nhau nên ta có đpcm đúng cho 𝛼0. Từ đó nó cũng đúng cho 𝛼 = 𝑎𝑔𝑏ℎ(𝑔ℎ − ℎ𝑔), và đúng cho mọi 𝛼. (⇐) Xét 𝑔1,𝑔2 là hai phần tử liên hợp trong 𝐺. Khi đó ta có thể viết 𝑔1 = 𝑔ℎ và 𝑔2 = ℎ𝑔 với 𝑔,ℎ ∈ 𝐺 phù hợp ⇒ 𝑔1 ≡ 𝑔2(𝑚𝑜𝑑 [𝑅,𝑅]). Giả sử 𝐶 = {𝑔1, ,𝑔𝑛} là một lớp liên hợp trong 𝐺 và đặt 𝛼 = 𝜀1𝑔1 + ⋯+ 𝜀𝑛𝑔𝑛 ∈ 𝑘𝐺 Khi đó: 𝛼 ≡ (𝜀1 + ⋯+ 𝜀𝑛)𝑔1(𝑚𝑜𝑑 [𝑅,𝑅]). Cho nên, nếu 𝜀1 + ⋯+ 𝜀𝑛 = 0 thì 𝛼 ∈ [𝑅,𝑅].■ Hệ quả 2.5.10: Cho 𝑅 = 𝑘𝐺, với 𝐺 là một tập hợp bất kì, 𝑘 là một vành giao hoán. Khi đó 𝑅 𝑟𝑎𝑑[𝑅,𝑅]� là một 𝑘 – module tự do với cơ sở {𝑎𝑖 + [𝑅,𝑅]: 𝑖 ∈ 𝐼}, với {𝑎𝑖: 𝑖 ∈ 𝐼} là tập hợp đầy đủ các đại diện của các lớp liên hợp trong 𝐺. Bổ đề 2.5.11: Cho 𝑘 là một trường phân rã của nhóm 𝐺, 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 𝑝 ≥ 0 và có 𝑅 = 𝑘𝐺. Khi đó 𝑅 𝑇(𝑅)� là 𝑘 – không gian vector với cơ sở là �𝑎𝑗 + 𝑇(𝑅): 𝑗 ∈ 𝐽�, với �𝑎𝑗: 𝑗 ∈ 𝐽� là tập hợp đầy đủ đại diện của các lớp liên hợp 𝑝 – chính qui của G. Chứng minh: TH1: 𝑝 = 0. ⇒ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 = 0 ⇒ 𝑇(𝑅) = [𝑅,𝑅]. Khi đó 𝐼 = 𝐽 (𝐼 là tập được giới thiệu trong hệ quả 2.5.10). Ta có đpcm. TH2: 𝑝 > 0. Lấy 𝑔 ∈ 𝐺. Ta có thể phân tích 𝑔 = 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎, với 𝑎 là 𝑝 – chính qui và 𝑏𝑝 𝑛 = 1, với 𝑛 phù hợp. Vì 𝑎 và 𝑏 giao hoán nên: (𝑎𝑏 − 𝑎)𝑝𝑛 = 𝑎𝑝𝑛𝑏𝑝𝑛 − 𝑎𝑝𝑛 = 0 ∈ 𝑅 ⇒ 𝑎𝑏 – 𝑎 lũy linh. Do 𝑇(𝑅) chứa mọi phần tử lũy linh của 𝑅 nên 𝑔 = 𝑎𝑏 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑇(𝑅)). Mặt khác ta cũng đã chứng minh với 𝑔,𝑔’ liên hợp với nhau thì 𝑔 ≡ 𝑔′(𝑚𝑜𝑑 [𝑅,𝑅]). Do đó �𝑎𝑗 + 𝑇(𝑅): 𝑗 ∈ 𝐽� là tập sinh của 𝑅 𝑇(𝑅)� . Tiếp theo ta cần chỉ ra rằng ∑ 𝜀𝑗𝑎𝑗𝑗∈𝐽 ∈ 𝑇(𝑅) ⇒ 𝜀𝑗 = 0,∀𝑗 ∈ 𝐽. Thật vậy, ∑ 𝜀𝑗𝑎𝑗𝑗∈𝐽 = 𝑐 + 𝑑, với 𝑐 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅,𝑑 ∈ [𝑅,𝑅]. Đặt 𝑚 = 𝐵𝐶𝑁𝑁��𝑎𝑗��. Khi đó 𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑚). Ta chọn 𝑁 vừa đủ lớn sao cho 𝑝𝑁 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑚) và 𝑐𝑝𝑁 = 0 (điều này có thể vì 𝑐 ∈ 𝑟𝑎𝑑 𝑅 nên c lũy linh). Đặt 𝑞 = 𝑝𝑁. ⇒𝑎𝑗 𝑞 = 𝑎𝑗 ,∀𝑗 ∈ 𝐽 và 𝑑𝑞 ∈ [𝑅,𝑅]. ⇒ 0 = 𝑐𝑞 = �∑ 𝜀𝑗𝑎𝑗 − 𝑑�𝑞 ≡ ∑𝜀𝑗𝑞𝑎𝑗𝑞 − 𝑑𝑞 ≡ ∑𝜀𝑗𝑞𝑎𝑗 (𝑚𝑜𝑑 [𝑅,𝑅]) . ⇒ 𝜀𝑗 𝑞 = 0 ⇒ 𝜀𝑗 = 0.■ Thông qua những kết quả đã chứng minh ở trên, ta đã chứng minh được định lý Brauer như sau: 2.5.12 Định lý Brauer: Cho 𝐺 là một nhóm hữu hạn, 𝑘 là một trường phân rã của nhóm 𝐺 có đặc số 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 𝑝 ≥ 0. Khi đó số các biểu diễn bất khả qui của 𝑘𝐺 bằng với số các lớp liên hợp 𝑝 – chính qui của nhóm 𝐺. 2.6 Lý thuyết đặc trưng: 2.6.1 Định nghĩa: Cho 𝜑 là một biểu diễn của nhóm 𝐺. Khi đó đặc trưng của 𝜑 là một hàm 𝜒𝜑:𝐺 → 𝑘; 𝜒𝜑(𝑔) = 𝑡𝑟𝜑(𝑔). Nếu 𝜑 là biểu diễn bất khả qui thì 𝜒𝜑 tương ứng cũng được gọi là đặc trưng bất khả qui. Số chiều của 𝜑 cũng chính là số chiều của 𝜒𝜑. Ví dụ: xét biểu diễn chính qui 𝜏 của một nhóm hữu hạn 𝐺 trên trường số phức. Ta có: 𝜒𝜏(𝑔) = �|𝐺| 𝑛ế𝑢 𝑔 = 10 𝑛ế𝑢 𝑔 ≠ 1 2.6.2 Một số tính chất của đặc trưng: 1) Các biểu diễn tương đương thì có cùng hàm đặc trưng. Thật vậy, nếu 𝜑1 có module biểu diễn 𝑉1 tương đương với 𝜑2 có module biểu diễn 𝑉2, thì tồn tại đẳng cấu 𝑃 sao cho 𝜑2(𝑔) = 𝑃𝜑1(𝑔)𝑃−1. Áp dụng tính chất của vết, ta được 𝑡𝑟𝜑2(𝑔) = 𝑡𝑟𝜑1(𝑔); ∀𝑔 ∈ 𝐺. Vậy 𝜒𝜑1 = 𝜒𝜑2. 2) Với mọi 𝑔,ℎ ∈ 𝐺 mà liên hợp với nhau thì 𝜒𝜑(𝑔) = 𝜒𝜑(ℎ). Điều này được suy ra trực tiếp từ tính chất của vết. 3) Nếu 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 0 thì chiều của 𝜑 là 𝜒𝜑(1). Điều này là hiển nhiên vì 𝜑(1) = 1𝑉 nên 𝜒𝜑(1) = 𝑡𝑟𝜑(1) = dim𝑘 𝑉. Trong mục này, ta sẽ đề cập một chút đến đặc trưng của biểu diễn tenxơ được nhắc đến ở ví dụ 2.1.3.5. Kết quả này sẽ được dung lại ở chương 3 sau này. Giả sử một nhóm 𝐺 có hai biểu diễn 𝜑1 và 𝜑2 tương ứng với hai module biểu diễn trên trường 𝑘 là 𝑉1; 𝑉2. Khi đó biểu diễn tenxơ tương ứng sẽ là 𝜑1 ⊗ 𝜑2 có module biểu diễn là 𝑉1 ⊗ 𝑉2. Nếu 𝐵1 = (𝑢1,𝑢2, ,𝑢𝑛) là một cơ sở của 𝑉1 trên 𝑘, 𝐵2 = (𝑣1,𝑣2, ,𝑣𝑚) là một cơ sở của 𝑉2 trên 𝑘. Khi đó 𝑚 × 𝑛 vector 𝑢𝑖 ⊗ 𝑣𝑗 tạo thành một cơ sở cho 𝑉1 ⊗ 𝑉2. Ta có thể sắp xếp chúng theo một thứ tự như sau: (𝑢1 ⊗ 𝑣1, ,𝑢1 ⊗ 𝑣𝑚,𝑢2 ⊗ 𝑣1, ,𝑢2 ⊗ 𝑣𝑚, ,𝑢𝑛 ⊗ 𝑣𝑚) (∗) Khi đó nếu 𝑎1 ∈ 𝐸𝑛𝑑𝑘𝑉1 có ma trận �𝛼(1)� theo cơ sở 𝐵1 và 𝑎2 ∈ 𝐸𝑛𝑑𝑘𝑉2 có ma trận �𝛼(2)� theo cơ sở 𝐵2 𝑎1(𝑢𝑖) = �𝛼𝑗𝑖(1)𝑢𝑗 𝑗 ;𝑎2𝑣𝑘 = �𝛼𝑙𝑘(2)𝑣𝑙 𝑙 Khi đó ta có (𝑎1 ⊗ 𝑎2)(𝑢𝑖 ⊗ 𝑣𝑘) = �𝛼𝑗𝑖(1)𝛼𝑙𝑘(2)(𝑢𝑗 ⊗ 𝑣𝑙) 𝑗,𝑙 Cho nên ma trận của (𝑎1 ⊗ 𝑎2) theo cơ sở (∗) là ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝛼11 (1)�𝛼(2)� 𝛼12(1)�𝛼(2)� ⋯ 𝛼1𝑛(1)�𝛼(2)� 𝛼21 (1)�𝛼(2)� 𝛼22(1)�𝛼(2)� ⋯ 𝛼2𝑛(1)�𝛼(2)� ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 𝛼𝑛1 (1)�𝛼(2)� 𝛼𝑛2(1)�𝛼(2)� ⋯ 𝛼𝑛𝑛(1)�𝛼(2)�⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎤ Quay trở lại với hai biểu diễn của ta, giả sử 𝛼(1),𝛼(2) cũng chính là các ma trận tương ứng với 𝜑1,𝜑2 thì ma trận tương ứng với 𝜑1 ⊗ 𝜑2 chính là ma trận ngay trên đây. Từ đó ta thấy rằng 𝑡𝑟(𝑎1 ⊗ 𝑎2) = (𝑡𝑟 𝑎1)(𝑡𝑟 𝑎2) ⇒ 𝜒𝜑1⊗𝜑2(𝑔) = 𝜒𝜑1(𝑔).𝜒𝜑2(𝑔) Cho nên 𝜒𝜑1⊗𝜑2 = 𝜒𝜑1 .𝜒𝜑2. Bây giờ, ta có thể mở rộng định nghĩa đặc trưng của biểu diễn nhóm thành đặc trưng liên kết với một module trên đại số hữu hạn chiều. Định nghĩa 2.6.3: Cho một 𝑘 – đại số 𝑅 và 𝑀 là một 𝑅 – module trái hữu hạn chiều trên 𝑘. Xét hàm đặc trưng 𝜒𝑀:𝑅 → 𝑘 định nghĩa bởi 𝜒𝑀(𝑎) = 𝑡𝑟(𝑎), với 𝑎 ∈ 𝑅, 𝑡𝑟(𝑎) là vết của phép biến đổi tuyến tính trên 𝑀 được cho bởi phép nhân ngoài với 𝑎. Rõ ràng 𝜒𝑀 là một hàm 𝑘 – tuyến tính trên 𝑅. Nếu ta có một dãy khớp các 𝑅 – module hữu hạn chiều trên 𝑘 0 → 𝑀′ → 𝑀 → 𝑀′′ → 0 thì với việc chọn cơ sở phù hợp, ta có thể thấy rằng 𝜒𝑀 = 𝜒𝑀′ + 𝜒𝑀′′. Đặc biệt, các thương hợp thành của một module 𝑀, cùng với bội số của chúng, hoàn toàn xác định được đặc trưng 𝜒𝑀. Điều ngược lại cũng đúng trong trường hợp đặc số của trường là 0. Định lý 2.6.4: Cho 𝑅 là một 𝑘 – đại số, 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 0, và 𝑀 là một 𝑅 – module trái với dimk M < ∞. Khi đó 𝜒𝑀 hoàn toàn xác định được các thương hợp thành của 𝑀, kể cả các bội số. Nếu các 𝑅 – module trái 𝑀,𝑀′ (hữu hạn chiều trên 𝑘) thỏa 𝜒𝑀 = 𝜒𝑀′ thì chúng có chung các thành phần, kể cả các bội số. Nếu 𝑀,𝑀′ đều nửa đơn thì 𝑀 ≅ 𝑀′. Chứng minh: Nhắc lại về sự phân tích cấu trúc của 𝑅� = 𝑅 𝑟𝑎𝑑 𝑅� . Ta có các 𝑀𝑖(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟) là tập hợp đầy đủ các 𝑅� - module bất khả qui. Mỗi 𝑀𝑖 là một module bất khả qui của thành phần thứ 𝑖 trong phân tích cấu trúc của 𝑅�. Giả sử các 𝑀𝑖(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟) là xuất hiện như thương hợp thành của 𝑀 với bội số 𝑚𝑖 ≥ 0. Khi đó 𝜒𝑀 = ∑ 𝑚𝑖𝜒𝑀𝑖𝑟𝑖=1 . Ta sẽ phải chỉ ra rằng 𝜒𝑀 có thể xác định được các số nguyên {𝑚1, ,𝑚𝑟}. Chọn các 𝑎𝑖 ∈ 𝑅(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟) sao cho 𝑎𝚤� ∈ 𝑅� là đơn vị cho thành phần đơn thứ 𝑖 của 𝑅�. Khi đó 𝑎𝑖 sẽ linh hóa các 𝑀𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑗 và tác động đồng nhất lên 𝑀𝑖. Tính toán đặc trưng 𝜒𝑀 trên các 𝑎𝑖 ta được 𝜒𝑀(𝑎𝑖) = 𝑚𝑖 dim𝑘 𝑀𝑖. Vì 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 0 nên ta có 𝑚𝑖 = 𝜒𝑀(𝑎𝑖)dim𝑘𝑀𝑖 trong 𝑘. Ta đã chỉ ra được 𝜒𝑀 hoàn toàn xác định được các thương hợp thành của 𝑀. Phần còn lại của định lý là hiển nhiên. ■ Định lý 2.6.5: Cho 𝑀,𝑀′ là các module trên 𝑘 – đại số 𝑅, với 𝑀 là hoàn toàn bất khả qui trên 𝑅. Nếu một trong hai điều kiện sau thỏa thì 𝑀 ≅ 𝑀′ khi và chỉ khi 𝜒𝑀 = 𝜒𝑀′. 1) dim𝑘 𝑀 = dim𝑘 𝑀′. 2) 𝑀′ là bất khả qui. Chứng minh: Định lý 2.6.4 đã cho thấy chiều (⟹) là hiển nhiên. Ta sẽ chứng minh chiều còn lại. Tương tự như chứng minh trên, ta có các 𝑀𝑖(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟) là tập hợp đầy đủ các 𝑅� - module bất khả qui. Ta giả sử 𝑀 = 𝑀1 và với mỗi 𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, 𝑀𝑖 sẽ xuất hiện như thương hợp thành của 𝑀′ với bội số 𝑚𝑖. Vì 𝑀 là hoàn toàn bất khả qui nên ánh xạ 𝑅 → 𝐸𝑛𝑑(𝑀1)𝐷1 là toàn ánh. Chọn 𝑎 ∈ 𝑅 sao cho khi chiếu 𝑎 vào 𝐸𝑛𝑑(𝑀1)𝐷1 ta được một 𝑘 – đồng cấu có vết là 1, còn khi chiếu 𝑎 vào 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑖)𝐷𝑖 , 𝑖 ≥ 2 thì ta được 0. Khi đó 1 = 𝜒𝑀(𝑎) = 𝜒𝑀′(𝑎) = �𝑚𝑖𝜒𝑀𝑖(𝑎)𝑟 𝑖=1 = 𝑚1𝜒𝑀(𝑎) = 𝑚1. 1 Cụ thể hơn ta có 𝑚𝑖 ≥ 1 như một số nguyên. Nếu một trong hai giả thiết (1) và (2) xảy ra thì ta sẽ có 𝑚2 = ⋯ = 𝑚𝑟 = 0 và 𝑚1 = 1. Vì thế, 𝑀′ ≅ 𝑀1 = 𝑀.■ Hệ quả 2.6.7: Cho 𝑅 là 𝑘 – đại số và 𝑘 là trường phân rã của 𝑅. Khi đó hai 𝑅 - module đơn là đẳng cấu khi và chỉ khi chúng có cùng đặc trưng. Quay trở lại với đặc trưng của biểu diễn nhóm, ta thấy rằng khi 𝑘 là trường phân rã của nhóm 𝐺 thì mọi biểu diễn bất khả qui đẳng cấu với nhau sẽ có cùng đặc trưng và ngược lại. Nếu 𝑉 là một 𝑘𝐺 – module tương ứng với biểu diễn 𝜑. 𝑉 có sự phân tích thành các thành phần đơn như nhau: 𝑉 = 𝑚1𝑉1 ⊕ ⊕𝑚𝑠𝑉𝑠. Giả sử các 𝜑𝑖 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑠 là các biểu diễn bất khả qui ứng với các 𝑉𝑖. Xét các đặc trưng 𝜒,𝜒1, ,𝜒𝑠 lần lượt tương ứng với các biểu diễn 𝜑,𝜑1, ,𝜑𝑠. Khi đó ta có 𝜒 = ∑ 𝑚𝑖𝜒𝑖𝑠𝑖=1 . 2.6.8 Quan hệ trực giao: 2.6.8.1 Định nghĩa: Một hàm 𝜇:𝐺 → 𝑘 được gọi là hàm phân lớp nếu giá trị của hàm 𝜇 là không đổi trên mỗi lớp liên hợp của 𝐺. Ta kí hiệu 𝐹𝑘(𝐺) là tập hợp tất cả các hàm phân lớp trên 𝐺. Tập hợp này có cấu trúc của một 𝑘 – không gian vector với số chiều đúng bằng 𝑟, số các lớp liên hợp của 𝐺. Trên 𝐹𝑘(𝐺) ta xây dựng một tích trong, được định nghĩa như sau: [𝜇,𝜗] = 1|𝐺| �𝜇(𝑔−1)𝜗(𝑔) 𝑔∈𝐺 Quay trở lại với biểu diễn của một nhóm. Rõ ràng đặc trưng là một hàm phân lớp, cho nên có thể định nghĩa một tích trong giữa các đặc trưng như sau: �𝜒𝜑 ,𝜒𝜓� = 1|𝐺|�𝜒𝜑(𝑔−1) 𝑔 𝜒𝜓(𝑔) Bây giờ ta xét trên nhóm hữu hạn 𝐺 và trường 𝑘 là trường phân rã của nhóm 𝐺, 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 ∤ |𝐺|. Ta đặt 𝜒𝑖 là đặc trưng tương ứng với các biểu diễn bất khả qui có các module biểu diễn 𝑀𝑖, {𝑀𝑖: 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟} là tập tất cả các 𝑘𝐺 - module đơn. Ta cũng có 𝑛𝑖 = dim𝑘 𝑀𝑖 là bội số của biểu diễn thứ 𝑖. Như đã phân tích trong các phần trước, 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺) có hai 𝑘 – cơ sở khác nhau: {𝑒𝑖: 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟}: tập các phần tử lũy linh ở trong tâm. {𝜍𝑔:𝑔 ∈ 𝐺}: mỗi 𝜍𝑔 là tổng các phần tử liên hợp với 𝑔 trong 𝐺. Và mệnh đề sau sẽ cho ta mối quan hệ giữa hai cơ sở này. Mệnh đề 2.6.8.2: (1) 𝑒𝑖 = 1|𝐺|𝑛𝑖 ∑ 𝜒𝑖(𝑔−1)𝑔𝑔∈𝐺 . Đặc biệt, 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 không chia hết 𝑛𝑖 ,∀𝑖. (2) 𝜍𝑔 = 𝑚𝑔 ∑ 𝜒𝑖(𝑔) 𝑒𝑖𝑛𝑖𝑖 , với 𝑚𝑖 là số các phần tử liên hợp với 𝑔. Chứng minh: Đặt 𝜒𝜏 là đặc trưng của biểu diễn chính qui trái có module biểu diễn chính là 𝑘𝐺. 𝜒𝜏(𝑔) = �|𝐺| 𝑛ế𝑢 𝑔 = 10 𝑛ế𝑢 𝑔 ≠ 1 Ta viết 𝑒𝑖 ở dạng 𝑒𝑖 = ∑ 𝑎𝑖ℎℎℎ∈𝐺 , 𝑎𝑖ℎ ∈ 𝑘. Khi đó với mọi 𝑔 trong 𝐺: 𝜒𝜏(𝑒𝑖𝑔−1) = �𝑎𝑖ℎ𝜒𝜏(ℎ𝑔−1) ℎ = 𝑎𝑖𝑔|𝐺| Mặt khác, 𝜒𝜏 = ∑ 𝑛𝑗𝜒𝑗𝑗 , nên 𝑎𝑖𝑔 = 1|𝐺|𝜒𝜏(𝑒𝑖𝑔−1) = 1|𝐺|�𝑛𝑗𝜒𝑗(𝑒𝑖𝑔−1) 𝑗 thêm nữa 𝑒𝑖 tác động như 𝛿𝑖𝑗 trên 𝑀𝑗 nên 𝜒𝑗(𝑒𝑖𝑔−1) = 𝛿𝑖𝑗𝜒𝑗(𝑔−1). Vì vậy 𝑎𝑖𝑔 = 𝑛𝑖|𝐺|𝜒𝑖(𝑔−1) Ta đã chứng minh được (1). Đồng thời vì 𝑒𝑖 ≠ 0 nên 𝑛𝑖 ≠ 0,𝑛𝑖 ∈ 𝑘. Điều này có nghĩa là 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 không chia hết 𝑛𝑖. Bây giờ ta viết 𝜍𝑔 = ∑ 𝑏𝑔,𝑖𝑒𝑖𝑖 . Tác động 𝜒𝑗 vào biểu thức đó, ta được 𝑚𝑔𝜒𝑗(𝑔) = 𝜒𝑗�𝜍𝑔� = �𝑏𝑔,𝑖𝜒𝑗(𝑒𝑖) 𝑖 = 𝑏𝑔,𝑗𝑛𝑗 cho nên 𝑏𝑔,𝑗 = 𝑚𝑔𝑛𝑗 𝜒𝑗(𝑔). Ta đã chứng minh xong (2).■ 2.6.8.3 Định lý trực giao thứ nhất và thứ hai: A. ∑ 𝜒𝑖(𝑔−1)𝜒𝑗(𝑔) = 𝛿𝑖,𝑗 . |𝐺|𝑔 B. ∑ 𝜒𝑖(𝑔)𝜒𝑖(ℎ−1) = 𝛿. |𝐶𝐺(𝑔)|𝑔 với 𝛿 = � 1 𝑛ế𝑢 𝑔, ℎ 𝑙𝑖ê𝑛 ℎợ𝑝0 𝑛ế𝑢 𝑔, ℎ 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑙𝑖ê𝑛 ℎợ𝑝 còn 𝐶𝐺(𝑔) là tâm hóa tử của 𝑔 trong 𝐺. Chứng minh: Ta sử dụng công thức (1) ở mệnh đề 2.6.8.2 để chứng minh (𝐴). Áp dụng 𝜒𝑗 lên (1), ta có: 𝛿𝑖,𝑗 .𝑛𝑖 = 𝜒𝑗(𝑒𝑖) = 1|𝐺|𝑛𝑖 �𝜒𝑖(𝑔−1)𝜒𝑗(𝑔) 𝑔∈𝐺 ⇒ 𝛿𝑖,𝑗 = 1|𝐺| �𝜒𝑖(𝑔−1)𝜒𝑗(𝑔) 𝑔∈𝐺 Ta đã có (𝐴). Để chứng minh (𝐵), ta thay công thức (1) vào (2) ở mệnh đề 2.6.8.2. Ta có: 𝜍𝑔 = 𝑚𝑔�𝜒𝑖(𝑔)𝑛𝑖 . 𝑛𝑖|𝐺|�𝜒𝑖(ℎ−1)ℎ ℎ𝑖 = 𝑚𝑔|𝐺|���𝜒𝑖(𝑔)𝜒𝑖(ℎ−1) 𝑖 � ℎ ℎ lưu ý là 𝑚𝑔 = [𝐺:𝐶𝐺(𝑔)] nên 𝜍𝑔 = |𝐺|: |𝐶𝐺(𝑔)||𝐺| ���𝜒𝑖(𝑔)𝜒𝑖(ℎ−1) 𝑖 � ℎ ℎ= 1|𝐶𝐺(𝑔)|���𝜒𝑖(𝑔)𝜒𝑖(ℎ−1) 𝑖 � ℎ ℎ So sánh hệ số của ℎ ở hai vế của đẳng thức trên, ta có đpcm.■ Bổ đề 2.6.8.4: Xét một biểu diễn 𝜑 của nhóm 𝐺. Khi đó 𝜑 là biểu diễn bất khả qui khi và chỉ khi �𝜒𝜑 ,𝜒𝜑� = 1. Chứng minh: Trước hết ta sẽ nhắc lại một số tính chất của tích trong của các đặc trưng. ∀𝑚1,𝑚2,𝑚3 ∈ ℕ∗; ∀𝜒1,𝜒2,𝜒3 là các đặc trưng: • [𝑚1𝜒1 + 𝑚2𝜒2;𝜒3] = 𝑚1[𝜒1;𝜒3] + 𝑚2[𝜒2;𝜒3] • [𝜒1;𝑚2𝜒2 + 𝑚3𝜒3] = 𝑚2[𝜒1;𝜒2] + 𝑚3[𝜒1;𝜒3] Giả sử 𝜑 có thể phân tích thành các thành phần bất khả qui như sau: 𝜑 = ∑ 𝑛𝑖𝜑𝑖 𝑟 𝑖=1 . Khi đó ta có: �𝜒𝜑 ,𝜒𝜑� = � 𝑛𝑖𝜒𝑖𝑟 𝑖=1 ,� 𝑛𝑗𝜒𝑗𝑟 𝑗=1 � = ��𝑛𝑖𝑛𝑗�𝜒𝑖 ,𝜒𝑗�𝑟 𝑗=1 𝑟 𝑖=1 = �𝑛𝑖2𝑟 𝑖 Mặt khác, các 𝑛𝑖 là các số nguyên dương nên �𝜒𝜑 ,𝜒𝜑� = 1 ⟺ � ∃!𝑘:𝑛𝑘 = 1∀𝑖 ≠ 𝑘:𝑛𝑖 = 0 Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi 𝜑 ≅ 𝜑𝑘. Như vậy, 𝜑 phải bất khả qui.  Định lý 2.6.8.5: Giả sử trường 𝑘 có 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 0 và 𝐴 là vành của các phần tử thỏa tính chất: chúng là phần tử của 𝑘 mà nghiệm đúng một phương trình hệ số nguyên với hệ số bậc cao nhất là 1. Khi đó: (1) ∀𝑔 ∈ 𝐺: 𝜍𝑔 ∈ ∑𝐴. 𝑒𝑖. Nói cách khác: 𝜒𝑖�𝜍𝑔�𝑛𝑖 = 𝜒𝑖(𝑔)𝑚𝑔𝑛𝑖 ∈ 𝐴,∀𝑖. (2) ∀𝑖: |𝐺|𝑒𝑖 𝑛𝑖 ∈ ∑𝐴. 𝜍𝑔 Chứng minh: Trước hết, ta có 𝐶𝑒𝑛𝑡(ℤ𝐺) ⊂ 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝑘𝐺) (vì 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 0). Vì vành giao hoán 𝐶𝑒𝑛𝑡(ℤ𝐺) = ∑ℤ. 𝜍𝑔 là hữu hạn sinh như một nhóm abel, mỗi 𝜍𝑔 mà thuộc vào 𝐶𝑒𝑛𝑡(ℤ𝐺) là integral trên ℤ. Vì thế nên hệ số của 𝜍𝑔 theo sự khai triển của ∑ 𝑘. 𝑒𝑖𝑟𝑖=1 cũng integral trên ℤ. Điều này chỉ ra (1) đúng. Ta lưu ý rằng với mỗi 𝑔 ∈ 𝐺 và mỗi 𝑘𝐺 - module hữu hạn sinh 𝑀: 𝜒𝑀(𝑔) ∈ 𝐴 Gọi 𝑇 là ma trận biểu diễn cho tác động của 𝑔 được xây dựng trên một cở sở của 𝑘 trong 𝑀. Khi đó 𝑇|𝑔| = 𝐼, với 𝐼 là ma trận đơn vị. Vì vậy mà mọi giá trị riêng của 𝑇 (nằm trong bao đóng đại số của 𝑘) đều là căn bậc |𝑔| của đơn vị trên 𝑘. Vì 𝜒𝑀(𝑔) là tổng của tất cả các giá trị riêng đó nên ta có 𝜒𝑀(𝑔) ∈ 𝐴. Áp dụng phần (2) của mệnh đề 2.6.8.2 ta có (2) đúng.■ Từ định lý trên, ta có: |𝐺| 𝑛𝑖 𝑒𝑖 ∈ �𝐴�𝐴. 𝑒𝑗 𝑗𝑔 ⊂�𝐴. 𝑒𝑗 𝑗 Cho nên |𝐺| 𝑛𝑖 ∈ 𝐴 ∩ ℚ = ℤ. Điều này cho thấy, trong trường hợp trường 𝑘 có 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 0 thì các bội số {𝑛𝑖} của các biểu diễn bất khả qui trên 𝑘𝐺 là ước số của |𝐺|. Sau đây là một kết quả sâu hơn. Định lý 2.6.8.6: Cho 𝑘 là trường có 𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑘 = 0 và 𝐴 là vành của các phần tử thỏa tính chất: chúng là phần tử của 𝑘 mà nghiệm đúng một phương trình hệ số nguyên với hệ số bậc cao nhất là 1. Đặt 𝐻 = 𝐶𝑒𝑛𝑡(𝐺). Khi đó: (1) Mỗi 𝑛𝑖 là ước của [𝐺:𝐻]. (2) Mỗi 𝑛𝑖 ≤ �[𝐺:𝐻]. (3) Nếu 𝐺 là một 𝑝 – nhóm thì mỗi 𝑛𝑖2 là ước của [𝐺:𝐻]. Chứng minh: Để đơn giản kí hiệu, ta đặt sẽ viết 𝜒 thay cho 𝜒𝑖, tương tự là 𝑛 = 𝑛𝑖 ,𝑀 = 𝑀𝑖. Ta cũng có thể giả sử 𝑀 là module trung thành dưới tác động của 𝐺. Vì 𝐸𝑛𝑑� 𝑀𝑘𝐺 � = 𝑘 nên 𝐻 tác động lên 𝑀 như phép nhân vô hướng, nghĩa là ℎ.𝑚 = 𝜇(ℎ).𝑚 với ℎ ∈ 𝐻,𝑚 ∈ 𝑀 và 𝜇 là đồng cấu từ 𝐻 vào 𝑘\{0} . Vì 𝑀 cũng là module trung thành dưới tác động của 𝐻 nên 𝜒(𝑔ℎ) = 𝜒(ℎ𝑔) = 𝜇(ℎ).𝜒(𝑔). Bây giờ ta định nghĩa một quan hệ tương đương trên 𝐺 như sau: 𝑔~𝑎 khi và chỉ khi 𝑎 = 𝑔1ℎ1, với 𝑔1 liên hợp với 𝑔 còn ℎ1 ∈ 𝐻. Khi đó 𝜒(𝑔−1)𝜒(𝑔) là không đổi trên mỗi lớp tương đương., bởi vì với mỗi 𝑎 = 𝑔1ℎ1 như trên ta có: 𝜒(𝑎−1)𝜒(𝑎) = 𝜒(ℎ1−1𝑔1−1)𝜒(𝑔1ℎ1) = 𝜇(ℎ1−1).𝜇(ℎ1).𝜒(𝑔1−1)𝜒(𝑔1)= 𝜒(𝑔1−1)𝜒(𝑔1) Với mỗi 𝑔 ∈ 𝐺, đặt 𝐶𝑙(𝑔) kí hiệu cho lớp tương đương của 𝑔. Ta sẽ chứng minh nếu 𝜒(𝑔) ≠ 0 thì |𝐶𝑙(𝑔)| = 𝑚𝑔|𝐻|, với 𝑚𝑔 là số các phần tử trong nhóm liên hợp với 𝑔. Để chứng minh điều này, ta sẽ chỉ ra rằng với mỗi 𝑎~𝑔 thì việc biểu diễn 𝑎 = 𝑔1ℎ1 là duy nhất. Thật vậy: Giả sử 𝑎 = 𝑔2ℎ2 là một cách biểu diễn khác của 𝑎, khi đó 𝜇(ℎ1).𝜒(𝑔1) = 𝜇(ℎ2).𝜒(𝑔2) mà 𝜒(𝑔2) = 𝜒(𝑔1) = 𝜒(𝑔) ≠ 0 nên ta có 𝜇(ℎ1) = 𝜇(ℎ2) ⇒ ℎ1 = ℎ2. Từ đó ta cũng có 𝑔1 = 𝑔2. Xét {𝑔𝑗} là tập đầy đủ các đại diện cho các lớp tương đương 𝐶𝑙(𝑔) trên 𝐺 mà thỏa 𝜒(𝑔) ≠ 0. Khi đó: |𝐺| = �𝜒(𝑔−1)𝜒(𝑔) 𝑔 = ��𝐶𝑙�𝑔𝑗��.𝜒�𝑔𝑗−1�𝜒�𝑔𝑗� 𝑗= |𝐻|.�𝑚𝑔𝑗𝜒�𝑔𝑗−1�𝜒�𝑔𝑗� 𝑗 Áp dụng phần (1) của định lý 2.6.8.4 ta được [𝐺:𝐻] 𝑛 = �𝜒�𝑔𝑗−1�𝑚𝑔𝑗𝜒�𝑔𝑗� 𝑛 𝑗 ∈ 𝐴 ∩ ℚ = ℤ Ta đã chứng minh xong (1). Bây giờ ta đặt 𝐷:𝑘𝐺 → 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑘) chính là biểu diễn phụ thuộc vào 𝑀. Theo bổ đề Burnside đã đề cập ở mục 1.7.2.1 thì ta có 𝐷 là toàn ánh, có nghĩa là tập {𝐷(𝑔):𝑔 ∈ 𝐺} mở rộng trên toàn 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑘). Nhưng với ℎ ∈ 𝐻:𝐷(𝑔ℎ) = 𝜇(ℎ)𝐷(𝑔). Cho nên 𝐸𝑛𝑑(𝑀𝑘) đã thực sự được mở rộng bởi �𝐷�𝑡𝑗��, trong đó �𝑡𝑗� là tập đầy đủ các đại diện của các lớp ghép 𝑔 + 𝐻. So sánh số chiều, ta được 𝑛2 ≤ [𝐺:𝐻], điều này chỉ ra (2) đúng. Trong trường hợp 𝐺 là 𝑝 – nhóm thì 𝑛𝑖2 và [𝐺:𝐻] đều là lũy thừa của 𝑝, kết hợp với (2), ta được (3).■ 2.6.9 Bảng đặc trưng: Nếu ta cố định một tập hợp đầy đủ các đại diện {𝑎𝑗: 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟} của các lớp liên hợp trên nhóm 𝐺, ta có thể hình thành một ma trận vuông cấp 𝑟 với mỗi vị trí (𝑖, 𝑗) chính là giá trị của 𝜒𝑖�𝑎𝑗�. Ma trận đó được gọi là bảng đặc trưng của nhóm 𝐺. Lưu ý rằng bảng này vuông vì ta đang xét trên trường phân rã 𝑘 của nhóm 𝐺. Một lưu ý nữa là dòng đầu tiên của bảng luôn dành cho biểu diễn tầm thường, và cột đầu tiên của bảng sẽ cho ta biết số chiều của biểu diễn tương ứng. CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM ĐỐI XỨNG Xét trên trường số phức ℂ là một trường đóng đại số, có 𝑐ℎ𝑎𝑟 ℂ = 0 nên mọi biểu diễn của các nhóm 𝑆𝑛 trên trường số này bằng đúng với số lớp liên hợp rời nhau của 𝑆𝑛. Điều tương tự cũng đúng cho các nhóm 𝐴𝑛(𝑛 ≥ 3). Số lượng, đại diện và lực lượng của từng nhóm liên hợp có thể được tính dựa vào lý thuyết trình bày ở mục 1.3.3 và 1.3.4. 3.1 Biểu diễn của nhóm S3: Ta dễ dàng kiểm tra được nhóm 𝑆3có 3 lớp liên hợp với các đại diện là (1); (12); (123). Lực lượng của mỗi lớp liên hợp lần lượt là 1, 3 và 2. Như vậy ta sẽ có ba biểu diễn bất khả qui của 𝑆3. 3.1.1 Biểu diễn 1 – chiều: Mỗi nhóm 𝑆𝑛 đều có hai biểu diễn 1 - chiều cơ bản, đó là biểu diễn tầm thường 𝜑1 và biểu diễn dấu 𝜑2. Hiển nhiên chúng bất khả qui. Khi đó giá trị đặc trưng 𝜒1 và 𝜒2 tương ứng được tính là 𝜒𝑖(𝜎) = 𝜑(𝜎) ∈ ℂ;∀𝜎 ∈ 𝑆𝑛 Xét trên 𝑆3, ta có: • 𝜒1(𝜎) = 1,∀𝜎 ∈ 𝑆3. • 𝜒2�(1)� = 1;𝜒2�(12)� = −1;𝜒2�(123)� = 1. 3.1.2 Biểu diễn 2 – chiều: Xét biểu diễn chính qui 𝜑3 của 𝑆3 với module biểu diễn là 𝑘𝑒1 ⊕ 𝑘𝑒2 ⊕ 𝑘𝑒3 𝑘(𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3)� Module này có một cơ sở là {𝑒2� ; 𝑒3� }. Với cơ sở này ta có thể tính được đặc trưng 𝜒3 của biểu diễn chính qui như sau: (1)(𝑒2� ) = 𝑒2� ; (1)(𝑒3� ) = 𝑒3� ⟹ (1) → �1 00 1� ⟹ 𝜒3�(1)� = 2. (12)(𝑒2� ) = 𝑒1� = −𝑒2� − 𝑒3� ; (12)(𝑒3� ) = 𝑒3� ⟹ (12) → �−1 0 −1 1� ⟹ 𝜒3�(12)� = 0. (123)(𝑒2� ) = 𝑒3� ; (123)(𝑒3� ) = 𝑒1� = −𝑒2� − 𝑒3� ⟹ (123) → �0 −11 −1� ⟹ 𝜒3�(123)� = −1. Kiểm tra bằng điều kiện trực giao, ta có: 1.22 + 3.02 + 2. (−1)2 = 6 = |𝑆3| Cho nên 𝜑3 là một biểu diễn bất khả qui của 𝑆3. 3.1.3 Bảng đặc trưng: Như vậy ta đã tìm được đủ các biểu diễn bất khả qui của nhóm 𝑆3. Dưới đây là bảng đặc trưng của 𝑆3. (1) (12) (123) 𝜒1 1 1 1 𝜒2 1 −1 1 𝜒3 2 0 −1 3.2 Biểu diễn của nhóm 4S : Nhóm 𝑆4 có 5 lớp liên hợp được đại diện bởi các phần tử sau: (1); (12); (123); (1234); (12)(34) Lực lượng của các lớp liên hợp lần lượt là 1,6,8,6 và 3. Như vậy 𝑆4 có tất cả 5 biểu diễn bất khả qui. 3.2.1 Biểu diễn 1 – chiều: Tương tự như 𝑆3, 𝑆4 cũng có hai biểu diễn 1 – chiều: 𝜑1 là biểu diễn tầm thường, 𝜑2 là biểu diễn dấu. • 𝜒1(𝜎) = 1,∀𝜎 ∈ 𝑆4. • 𝜒2�(1)� = 1;𝜒2�(12)� = −1;𝜒2�(123)� = 1;𝜒2�(12)(34)� = 1. 3.2.2 Biểu diễn 3- chiều: 𝑆4 có một biểu diễn chính qui 𝜑4 3 – chiều được cho bởi module 𝑘𝑒1 ⊕ 𝑘𝑒2 ⊕ 𝑘𝑒3 ⊕ 𝑘𝑒4 𝑘(𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 + 𝑒4)� Module này có một cơ sở là {𝑒2� ; 𝑒3� ; 𝑒4� }. Với cơ sở này ta có thể tính được đặc trưng 𝜒4 của biểu diễn chính qui như sau: (1)(𝑒2� ) = 𝑒2� ; (1)(𝑒3� ) = 𝑒3� ; (1)(𝑒4� ) = 𝑒4� ⟹ (1) → �1 0 00 1 00 0 1� ⟹ 𝜒4�(1)� = 3. (12)(𝑒2� ) = 𝑒1� = −𝑒2� − 𝑒3� − 𝑒4� ; (12)(𝑒3� ) = 𝑒3� ; (12)(𝑒4� ) = 𝑒4� ⟹ (12) → �−1 0 0−1 1 0 −1 0 1� ⟹ 𝜒4�(12)� = 1. (123)(𝑒2� ) = 𝑒3� ; (123)(𝑒3� ) = 𝑒1� = −𝑒2� − 𝑒3� − 𝑒4� ; (123)(𝑒4� ) = 𝑒4� ⟹ (123) → �0 −1 01 −1 00 −1 1� ⟹ 𝜒4�(123)� = 0. (1234)(𝑒2� ) = 𝑒3� ; (1234)(𝑒3� ) = 𝑒4� ; (123)(𝑒4� ) = 𝑒1� = −𝑒2� − 𝑒3� − 𝑒4� ⟹ (1234) → �0 0 −11 0 −10 1 −1� ⟹ 𝜒4�(1234)� = −1. (12)(34)(𝑒2� ) = 𝑒1� = −𝑒2� − 𝑒3� − 𝑒4� ; (12)(34)(𝑒3� ) = 𝑒4� ; (12)(34)(𝑒4� ) = 𝑒3� ⟹ (12)(34) → �−1 0 0−1 0 1 −1 1 0� ⟹ 𝜒4�(12)(34)� = 1. Kiểm tra bằng điều kiện trực giao, ta có: 1.32 + 6.12 + 8. 02 + 6. (−1)2 + 3.12 = 24 = |𝑆4| Cho nên 𝜑4 là một biểu diễn bất khả qui của 𝑆4. Ta còn có một biểu diễn 3 – chiều bất khả qui nữa của 𝑆4 được hình thành từ tích tenxơ của 𝜑2 và 𝜑4 với module 𝑀5 = 𝑀2 ⊗𝑘 𝑀4, ta gọi là 𝜑5 = 𝜑2 ⊗ 𝜑4. Thật vậy, dựa vào những kết quả phân tích ở mục 2.6.2 ta có: 𝜒5�(1)� = 𝜒2�(1)�.𝜒4�(1)� = 1.3 = 3 𝜒5�(12)� = 𝜒2�(12)�.𝜒4�(12)� = −1.1 = −1 𝜒5�(123)� = 𝜒2�(123)�.𝜒4�(123)� = 1.0 = 0 𝜒5�(1234)� = 𝜒2�(1234)�.𝜒4�(1234)� = −1. (−1) = 1 𝜒5�(12)(34)� = 𝜒2�(12)(34)�.𝜒4�(12)(34)� = 1. (−1) = −1 Do 𝜑2 là 1 – chiều và 𝜑4 là 3 – chiều nên 𝜑5 là biểu diễn 3 – chiều. Đồng thời, kiểm tra bằng điều kiện trực giao, ta có: 1.32 + 6. (−1)2 + 8. 02 + 6.12 + 3. (−1)2 = 24 = |𝑆4| Vậy 𝜑5 là một biểu diễn bất khả qui của 𝑆4. Vì 12 + 12 + 32 + 32 = 20 = 4!− 22 nên ta còn thiếu một biểu diễn 2 – chiều bất khả qui nữa. 3.2.3 Biểu diễn 2 – chiều: Ta gọi module tương ứng của nó là 𝑀3. Biểu diễn này được xây dựng như sau. Xét 𝐻 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} là một nhóm con chuẩn tắc trong 𝑆4 mà 𝑆4 𝐻� ≅ 𝑆3. Ta có thể viết 𝑆4 𝐻� = �(1)����; (12)������; (13)������; (23)������; (123)��������; (132)��������� Trong 𝑆3 có một biểu diễn 2 – chiều bất khả qui là biểu diễn hoán vị 𝜑3 với module là 𝑀3 = 𝑘𝑒1 ⊕ 𝑘𝑒2 ⊕ 𝑘𝑒3 𝑘(𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3)� Từ đó ta có thể xác định biểu diễn 2 – chiều bất khả qui của 𝑆4 như sau: 𝜑′3:𝑆4 → 𝑆4 𝐻� → 𝐸𝑛𝑑ℂ(𝑀3) 𝑔 ↦ �̅� ↦ 𝜑3(�̅�) Ta dễ dàng kiểm tra được đây thực sự là một biểu diễn của 𝑆4. Bây giờ ta tính các giá trị để điền vào bảng đặc trưng. 𝜑′3�(1)� = 𝜑3�(1)� ⇒ (1) → �1 00 1� ⟹ 𝜒3�(1)� = 2. 𝜑′3�(12)� = 𝜑3�(12)� ⇒ (12) → �−1 0−1 1� ⟹ 𝜒3�(12)� = 0. 𝜑′3�(123)� = 𝜑3�(123)� ⇒ (123) → �0 −11 −1� ⟹ 𝜒3�(123)� = −1. 𝜑′3�(1234)� = 𝜑3�(1234)���������� = 𝜑3�(13)� ⟹ 𝜒3�(1234)� = 𝜒3�(13)� = 𝜒3(12) = 0. 𝜑′3�(12)(34)� = 𝜑3�(12)(34)������������� = 𝜑3�(1)� ⟹ 𝜒3�(12)(34)� = 𝜒3�(1)� = 2. Kiểm tra bằng điều kiện trực giao, ta có: 1. 22 + 6. 02 + 8. (−1)2 + 6. 02 + 3. 22 = 24 = |𝑆4| Cho nên 𝜑3′ đúng là một biểu diễn bất khả qui của 𝑆4. 3.2.4 Bảng đặc trưng: (1) (12) (123) (1234) (12)(34) 𝜒1 1 1 1 1 1 𝜒2 1 −1 1 −1 1 𝜒3 2 0 −1 0 2 𝜒4 3 1 0 −1 −1 𝜒5 3 −1 0 1 −1 3.3 Biểu diễn của nhóm 4A : Trước hết, ta nói đến các lớp liên hợp trong 𝐴4. Trong 𝑆4 có 3 lớp liên hợp chẵn (các phần tử trong lớp là phép thế chẵn) với đại diện là (1); (123); (12)(34). Ta kiểm tra thấy rằng chỉ có lớp liên hợp với đại diện là (123) là không thể giao hoán với bất kì một phép lẻ nào. Do đó, trong 𝐴𝑛 lớp liên hợp này tách ra thành hai lớp liên hợp với lực lượng bằng nhau. Hai đại diện cho 2 lớp liên hợp này sẽ là (123)và (12)(123)(12)−1 = (132). Như vậy, các đại diện cho các lớp liên hợp rời nhau trong 𝐴4 sẽ là (1); (12)(34); (123); (132) Và lực lượng của chúng lần lượt là 1, 3, 4, 4. 3.3.1 Biểu diễn 1 – chiều: Nhóm 𝐴4 có 12 phần tử và nhóm 𝐻 được nhắc đến ở trên cũng là một nhóm con chuẩn tắc của 𝐴4. Ta có 𝐴4 𝐻� là một nhóm cylic cấp 3. Ta cũng xác định được 𝐴4 𝐻� = {(1)����; (123)��������; (132)��������}. Theo như phân tích trong ví dụ 2.1.3.3 về biểu diễn 1 – chiều của nhóm cyclic ta có thể tìm được ba biểu diễn 1 - chiều cho 𝐴4 𝐻� dựa vào các căn bậc ba của đơn vị trong ℂ. Ta chọn (123)�������� là phần tử sinh cho 𝐴4 𝐻� . Khi đó: 𝜑1: (123)�������� ⟼ 1 𝜑2: (123)�������� ⟼ 𝜔 𝜑3: (123)�������� ⟼ 𝜔2 Ở đây, 𝜔 là căn nguyên thủy bậc 3 của đơn vị. Từ ba biểu diễn 1 – chiều của 𝐴4 𝐻� , ta nâng lên cho 𝐴4. ∀𝑔 ∈ 𝐴4, 𝑖 = 1,3����: 𝜑𝑖 ′:𝑔 ⟼ �̅� ⟼ 𝜑𝑖(�̅�) Tương tự như đã làm cho biểu diễn 2 – chiều của 𝑆4, ta có thể dễ dàng tìm được các giá trị đặc trưng. 3.3.2 Biểu diễn 3 – chiều: Ta sẽ xem xét biểu diễn chính qui của nhóm 𝑆4 trong phạm vi của 𝐴4. Module biểu diễn 𝑀4 = 𝑘𝑒1 ⊕ 𝑘𝑒2 ⊕ 𝑘𝑒3 ⊕ 𝑘𝑒4 𝑘(𝑒1 + 𝑒2 + 𝑒3 + 𝑒4)� cũng có thể được xem như 𝑘𝐴4 - module và có thể sử dụng tích trong của đặc trưng 𝜒4 để cho thấy tính bất khả qui: 1. 32 + 3. (−1)2 + 4.02 + 4.02 = 12 = |𝐴4| 3.3.3 Bảng đặc trưng: (1) (12)(34) (123) (132) 𝜒1 1 1 1 1 𝜒2 1 1 𝜔 𝜔2 𝜒3 1 1 𝜔2 𝜔 𝜒4 3 −1 0 0 3.4 Biểu diễn của nhóm 5A : Phân tích tương tự như đã phân tích với 𝐴4, ta tìm được các lớp liên hợp của 𝐴5 với các đại diện là (1); (12)(34); (123); (12345); (13524) lực lượng tương ứng là 1, 15, 20, 12, 12. Đối với nhóm các phép thế thì biểu diễn tầm thường và biểu diễn dấu là một. Mặt khác, 𝐴5 là nhóm đơn không cylic nhỏ nhất, có [𝐴5,𝐴5] = 𝐴5 nên 𝐴5 chỉ có một biểu diễn 1 – chiều duy nhất 𝜑1. Kế đến ta xét biểu diễn chính qui 4 – chiều. 𝑀4 = ⨁ 𝑘. 𝑒𝑖5𝑖=1 𝑘(𝑒1 + ⋯+ 𝑒5)� Ta có thể chỉ ra biểu diễn này bất khả qui 𝜑4 trên 𝐴5 bằng cách kiểm tra đặc trưng 𝜒4 như đã làm với các nhóm trước, ta không lặp lại ở đây. Ta có: 12 + 𝑛22 + 𝑛32 + 42 + 𝑛52 = 60 ⇒ 𝑛22 + 𝑛32 + 𝑛52 = 43. Khả năng duy nhất (sai khác một sự hoán vị) là 𝑛2 = 𝑛3 = 3;𝑛5 = 5. 3.4.1 Biểu diễn 3 – chiều: Để tìm biểu diễn ba chiều cho 𝐴5 ta sẽ tiếp cận theo hướng hình học. Hình trên là mô hình của một khối icosahedron. Khối này gồm 20 mặt là các tam giác đều, 30 cạnh và 12 đỉnh. Lấy trung điểm của mỗi cạnh, ta có thể chia chúng thành 5 nhóm, mỗi nhóm gồm 6 điểm với tính chất là: từ 6 điểm này ta vẽ được 3 đường thẳng đôi một vuông góc với nhau (xem hình minh họa về các nhóm điểm). Dựa vào 5 nhóm điểm đã chọn, ta có thể có một sự tương ứng 1– 1 giữa các phần tử của nhóm 𝐴5 với các phép quay của khối icosahedron. • Đương nhiên là phép đồng nhất chính là phép quay góc 00 với trục tùy ý. • Lấy đường thẳng đi qua hai đỉnh đối nhau của khối làm trục quay, ta có các biểu diễn có dạng (12345) và (13524). Các góc quay ở đây có thể là 720, 1440, 2160, 2880. Với 6 trục và 4 góc, ta có tổng cộng 24 phép quay loại này. Tuy nhiên, ta còn có thể chia thành 2 nhóm, mỗi nhóm 12 phép quay, tương ứng với 720 − 2880và 1440 − 2160. Nhóm liên hợp (12345) ứng với nhóm góc 720. Nhóm liên hợp (13524) ứng với nhóm góc 1440. • Lấy đường thẳng nối 2 trung điểm của 2 cạnh đối diện làm trục, ta có các biểu diễn có dạng (12)(34). Góc quay ở đây chỉ có thể là 1800. Với 15 cặp cạnh đối và 1 góc quay, ta có tổng cộng 15 phép quay loại này. • Lấy đường thẳng nối tâm của hai mặt đối diện làm trục quay, ta có các biểu diễn có dạng (123). Góc quay ở đây là 1200 và 2400. Với 10 cặp mặt đối và 2 góc quay, ta có tổng cộng 20 phép quay loại này. Đặc số của chúng được tính dựa trên ma trận biểu diễn của một phép quay góc 𝜃 trong không gian 3 – chiều có vết là 1 + 2 cos𝜃. Ta có một biểu diễn 3 – chiều đầu tiên 𝜑2 với đặc trưng 𝜒2. Xét một tự đồng cấu nhóm trên 𝐴5 như sau: 𝜏:𝑔 ⟼ (12)𝑔(12)−1 Đây thực sự là một tự đồng cấu trên 𝐴5 vì 𝐴5 là nhóm con chuẩn tắc của 𝑆5. Tự đồng cấu 𝜏 biến các 3 – chu trình thành 3 – chu trình, biến các phần tử liên hợp của (12)(34) thành các phần tử liên hợp của (12)(34), biến các phần tử trong lớp liên hợp (12345) thành các phần tử trong lớp liên hợp (13524) và ngược lại. Hợp thành của một tự đồng cấu và một biểu diễn thì sẽ là một biểu diễn. Cho nên ta định nghĩa 𝜑3 = 𝜑2 ∘ 𝜏. Vì các lớp liên hợp (123) và (12)(34) cố định với 𝜏 nên giá trị đặc trưng của 𝜒3 tại các lớp liên hợp này giống với giá trị của chúng trong trường hợp 𝜒2. Còn với (12345) và (13524), do 𝜏 hoán đổi hai lớp liên hợp này nên giá trị đặc trưng của chúng sẽ là số đối của giá trị trong trường hợp 𝜒2. Ta cũng dễ dàng kiểm tra được tính bất khả qui của hai biểu diễn 3 – chiều trên sau khi tìm được đủ các giá trị đặc trưng. 3.4.2 Biểu diễn 5 – chiều: Ở đây, ta không mô tả trực tiếp biểu diễn 5 – chiều của 𝐴5 mà chỉ tìm cách xác định các giá trị đặc trưng cần thiết để điền vào bảng đặc trưng. Với những gì đã tìm được, ta tìm thời có bảng đặc trưng như sau: (1) (12)(34) (123) (12345) (13524) 𝜒1 1 1 1 1 1 𝜒2 3 −1 0 �1 + √5� 2� �1 − √5� 2� 𝜒3 3 −1 0 �1 − √5� 2� �1 + √5� 2� 𝜒4 4 0 1 −1 −1 𝜒5 5 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Sử dụng định lý trực giao, ta có một hệ phương trình để tìm các giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑐 và 𝑑 như sau: ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 15𝑎2 + 20𝑏2 + 12𝑐2 + 12𝑑2 = 35 (1)15𝑎 + 20𝑏 + 12𝑐 + 12𝑑 = −5 (2) −15𝑎 + 12 1 + √52 𝑐 + 12 1 − √52 𝑑 = −15 (3) −15𝑎 + 12 1 − √52 𝑐 + 12 1 + √52 𝑑 = −15 (4)20𝑏 − 12𝑐 − 12𝑑 = −20 (5) Để lập được hệ trên ta lưu ý rằng, nghịch đảo của mỗi phép thế là một phép thế liên hợp với nó trong 𝐴5. Xét định thức của ma trận hệ số của hệ gồm bốn phương trình bậc nhất bốn ẩn (2), (3), (4), (5) ta có: � 15 20 12 12 −15 0 6 + 6√5 6 − 6√5 −15 0 6 − 6√5 6 + 6√50 20 −12 −12 � ≠ 0 Cho nên hệ gồm (2), (3), (4), (5) chỉ có một nghiệm duy nhất. Mặt khác, nếu ta thử bộ số 𝑎 = 1, 𝑏 = −1, 𝑐 = 0,𝑑 = 0 Thì ta thấy bộ số thỏa cả 5 phương trình trong hệ ban đầu. Vậy đó chính là các giá trị cần tìm. 3.4.3 Bảng đặc trưng: (1) (12)(34) (123) (12345) (13524) 𝜒1 1 1 1 1 1 𝜒2 3 −1 0 �1 + √5� 2� �1 − √5� 2� 𝜒3 3 −1 0 �1 − √5� 2� �1 + √5� 2� 𝜒4 4 0 1 −1 −1 𝜒5 5 1 −1 0 0 KẾT LUẬN Các kết quả chính của luận văn: 1. Trình bày các khái niệm và tính chất của module trên đại số hữu hạn chiều. 2. Trình bày lí thuyết biểu diễn nhóm. 3. Đưa ra chứng minh của định lí Brauer. 4. Vận dụng kết quả của định lí Brauer, lí thuyết đặc trưng, cũng như những tính chất cơ bản của nhóm hữu hạn để mô tả các biểu diễn bất khả qui của một số nhóm phép thế. Mặc dù nội dung nghiên cứu của đề tài không có nhiều mới mẻ, nhưng tôi cảm thấy kiến thức của mình được củng cố và mở rộng hơn nhiều, cảm thấy tâm huyết mình bỏ ra trong thời gian qua thật sự xứng đáng. Tuy vậy cũng sẽ khó tránh những sai sót mà tôi không nhận ra, rất mong quí thầy cô tận tình góp ý để tôi có thể chỉnh sửa cho luận văn của mình hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cám ơn quí thầy cô rất nhiều. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nathan Jacobson (1989), Basic Algebra II, second edition, W.H. Freeman and Company, New York. [2] Gorden James & Martin Liebeck (2003), Representations and Characters of Groups, Cambridge University Press. [3] I. N. Herstein (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association Of America. [4] T. Y. Lam (1991), A First Course In Noncommutative Rings, Spinger – Verlag, New York.