Luận án Một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng
Chú ý cuối chương. Từ các kết quả trong chương này, trong trường hợp từ trường B ≡ 0, ta thu lại được các kết quả tương ứng về sự tồn tại, dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều không ôtônôm trong [51, 16]. Đồng thời các kết quả này là sự mở rộng tương ứng các kết quả trong [28, 43] từ trường hợp ôtônôm (tức là khi f không phụ thuộc thời gian) trong miền bị chặn sang trường hợp không ôtônôm trong miền không bị chặn nhưng thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré và điều kiện nón.
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận án Một số hệ phương trình cặp trong cơ học chất lỏng, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
) suy ra mfm * f
trong L2(0; T ;L2(
)). Do â,Z
mfm w *
Z
f w trong L2(0; T ):
Tø (4.34), ta câ
h !e Nm; wiH 1(
);H10(
) * h !e N; wiH 1(
);H10(
) trong L2(0; T ):
Sû döng (4.36), ta ÷ñcZ
(mumum) rw *
Z
(uu) rw trong
8<:L2(0; T ); N = 2;L4=3(0; T ); N = 3:
93
Nâi c¡ch kh¡c,
hr (mumum); wiH 1(
);H10(
) * hr (uu); wiH 1(
);H10(
)
trong
8<:L2(0; T ); N = 2;L4=3(0; T ); N = 3:
Cuèi còng, tø (4.34), ta suy ra
h um; wiV 01 ;V1 * h u;wiV 01 ;V1 trong L2(0; T ):
V¼ nhúng hëi tö n y ·u thäa m¢n trong D0(0; T ), ta l§y giîi h¤n (4.37) khi
m!1 v thu ֖c
@(u)
@t
+r (uu) u f
!e N; w
H 1(
);H10(
)
= 0 trong D0(0; T )
(4.39)
vîi måi w 2 V m0 . Bði V1 trò mªt trong V1 n¶n (4.39) công óng vîi måi
w 2 V1. M°t kh¡c,
S :=
@(u)
@t
+r (uu) u f
!e N 2W 1;1(0; T ;H 1(
))
v¼
u 2 L1(0; T ;L2(
))) @(u)
@t
2W 1;1(0; T ;L2(
));
uu 2
8<:L2(0; T ;L2(
)); N = 2L4=3(0; T ;L2(
)); N = 3 ) r (uu) 2
8<:L2(0; T ;H 1(
)2);L4=3(0; T ;H 1(
)3);
u 2 L2(0; T; V1)) u 2 L2(0; T ;V 01);
f 2 L2(0; T ;L2(
)) ,!W 1;1(0; T ;H 1(
)):
Hay ta câ thº vi¸t
S 2 H 1(
;W 1;1(0; T ))N :
Tø Bê · 1.7 vîi E = W 1;1(0; T ); r = 1 v p = +1, ta suy ra tçn t¤i
mët h m suy rëng p 2 L2(
;W 1;1(0; T )) = W 1;1(0; T ;L2(
)) sao cho
S = rp, tùc l
@(u)
@t
u+r (uu) +rp =
!e N + f trong W 1;1(0; T ;H 1(
)):
94
Lªp luªn t÷ìng tü, ta công câ
@()
@t
+r (u) = g trong W 1;1(0; T ;H 1(
)):
i·u n y ch¿ ra r¬ng (4.3) ÷ñc thäa m¢n.
Chóng ta công câ thº ti¸n qua giîi h¤n (4.7) khi m ! 1. Thªt vªy, theo
nhúng t½nh ch§t hëi tö trong (4.33) suy ra m ! trong D0(Q) k²o theo
@t
m ! @t trong D0(Q):
Hìn núa, tø (4.35) v 1 = u, ta suy ra
r (mum)! r (u) trong D0(Q):
Do vªy,
@t+r (u) = 0 trong D0(Q):
V¼ 2 L1(Q) v u 2 L1(0; T ;L2(
)) \ L2(0; T ;L6(
)), ph÷ìng tr¼nh ¤o
h m ri¶ng n y thäa m¢n trong
W 1;1(0; T ;L1(
)) +
L1
0; T ;H 1(
)
\ L2 0; T ;W 1;6(
):
B÷îc 4: Nhúng i·u ki»n ban ¦u.
Tø (4.33), ta câ m(:; 0) ! (:; 0) trong W 1;1(
). Do â, nhúng i·u
ki»n ban ¦u cõa m v (4.5) d¨n ¸n (0) = 0. º chùng minh c¡c i·u ki»n
ban ¦u cán l¤i trong (4.4), ta cè ành (v; ') trong V v x²t d¢y f(vm; 'm)g 2
V m m sao cho (vm; 'm)! (v; ') trong V . Khi âZ
mum vmdx;Z
mm'mdx
bà ch°n trong L1(0; T ): (4.40)
Ta câ jfmjL2 ! jf jL2 trong L2(0; T ). Khi â, tçn t¤i mët d¢y con (v¨n k½
hi»u ch¿ sè m) v mët h m K 2 L2(0; T ) sao cho jfmjL2 K h¦u khp (0; T ).
95
V¼ kvmk1 bà ch°n ·u, tø (4.10) ta suy ra Z
@(mum)
@t
vmdx
= Z
d
dt
mum vmdx
=
Z
mumum rvm ((um; vm)) +
!e Nm vm + mfm vm
dx
C
jmumumjL2 + kumk1 + jmj+ jmfmjL2
kvmk1
C(K + Cm);
(4.41)
trong â
Cm = jmumumjL2 + kumk1 + jmj+ jmfmjL2
bà ch°n ·u trong L2(0; T ) n¸u N = 2 v trong L4=3(0; T ) n¸u N = 3. Tø
(4.40), (4.41) v Bê · 1.5, ta th§y r¬ng d¢y
R
mum vmdx thuëc mët tªp
compact C0([0; T ]). M°t kh¡c, ta câZ
mum vmdx *
Z
u vdx trong L1(0; T ):
Do â, Z
mum vmdx!
Z
u vdx trong C0([0; T ]):
T÷ìng tü, ta công câZ
mm'mdx!
Z
'dx trong C0([0; T ]):
°c bi»t, t¤i t = 0 ta thu ÷ñcZ
mum vmdx
(0)!
Z
u vdx
(0);
Z
mm'mdx
(0)!
Z
'dx
(0):
M°t kh¡c, ta công câZ
m(0)um(0) vmdx =
Z
m0 u
m
0 vmdx!
Z
0u0 vdx;Z
m(0)m(0)'mdx =
Z
m0
m
0 '
mdx!
Z
00'dx:
Nh÷ vªy ta ¢ chùng minh ÷ñc c¡c i·u ki»n ban ¦u trong (4.4).
96
Cuèi còng, ta l§y giîi h¤n (4.19) khi m!1 v tø (4.33), ta thu ÷ñc
inf
0 sup
0 h¦u khp Q:
M°t kh¡c, tø t½nh trìn cõa ; z v z, v lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong (4.24),
ta thu ֖c
z 2 N1=4;2(0; T ;W 1;3(
)W 1;3(
)):
ành l½ ÷ñc chùng minh.
4.3. SÜ DUY NHT CÂ IU KIN CÕA NGHIM YU
Kh¡c vîi b i to¡n B²nard vîi mªt ë h¬ng ð Ch÷ìng 2, sü duy nh§t nghi»m
cõa b i to¡n Boussinesq (4.1) công nh÷ èi vîi h» Navier-Stokes vîi mªt ë
thay êi l mët c¥u häi phùc t¤p, thªm ch½ trong tr÷íng hñp 2 chi·u (xem
[11, 32]). Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ chùng minh r¬ng nghi»m y¸u l duy
nh§t n¸u nâ õ trìn. Vi»c kiºm tra sü tçn t¤i cõa nghi»m trìn trong mët
kho£ng thíi gian x¡c ành l khæng khâ - ch¯ng h¤n n¸u 0 khæng tri»t ti¶u -
v tø ¥y ta k¸t luªn r¬ng måi nghi»m y¸u b¬ng vîi nghi»m trìn trong kho£ng
thíi gian â.
Chóng ta x²t nghi»m y¸u to n cöc (; z) ÷ñc cho trong ành l½ 4.1. Gi£
sû b i to¡n (4.3)-(4.4) tçn t¤i nghi»m (; z) thäa m¢n
r 2 L2(0; T ;L3(
)); 2 C0(Q);
rz 2 L2(0; T ;L1(
) L1(
)); z 2 C0(Q)N C0(Q);
zt 2 L2(0; T ;L3(
) L3(
)):
(4.42)
Khi â ta câ k¸t qu£ sau v· sü duy nh§t nghi»m.
ành l½ 4.2. Gi£ sû r¬ng (f; g) 2 L2 0; T ;L3(
) L3(
) v
1
p
; (4.43)
trong â
; ; l c¡c h» sè trong (4.1) v 1 > 0 l gi¡ trà ri¶ng ¦u ti¶n cõa
tr¶n
vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet thu¦n nh§t. Gåi (; z) l nghi»m cõa
b i to¡n (4.1) thäa m¢n (4.42). Khi â (; z) (; z) h¦u khp Q.
97
Chùng minh. Tr÷îc h¸t, vîi h¦u khp t 2 (0; T ), ta câZ
jzj2 + 2
Z t
0
Z
jruj2 + 2
Z t
0
Z
jrj2 2
Z t
0
Z
!e N u
Z
0jz0j2 + 2
Z t
0
Z
(f; g) z:
(4.44)
Ti¸p theo, tø t½nh trìn cõa z v (4.3) ta câ ¯ng thùc sauZ
z z +
Z t
0
Z
ru ru+
Z t
0
Z
r r
Z t
0
Z
!e N u
=
Z
0z0 z(0) +
Z t
0
Z
(uu; u) rz + z zt
+
Z t
0
Z
(f; g) z:
(4.45)
V¼ (; z) l nghi»m cõa (4.3)-(4.4) n¶n8>>>:
ut u+ (u r)u+rp
!e N = ( )
ut + (u r)u
+
(u u) ru+ f;
t + u r = ( )(t + u r) + (u u) r + g:
(4.46)
Nh¥n t÷ìng ùng ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v thù hai cõa (4.46) vîi u v , sau
â l§y t½ch ph¥n tr¶n
(0; t), v cëng c¡c k¸t qu£ vîi nhau ta thu ÷ñcZ t
0
Z
z zt +
Z t
0
Z
ru ru+
Z t
0
Z
r r +
Z t
0
Z
(uu; u) rz
=
Z t
0
Z
!e N u+
Z t
0
Z
( )
zt z + (u r)u u+ (u r)
+
Z t
0
Z
h
(u u) ru u+ (u u) ri+ Z t
0
Z
(f; g) z:
(4.47)
K¸t hñp (4.45) v (4.47), vîi h¦u khp t 2 (0; T ), ta câZ
z z + 2
Z t
0
Z
ru ru+ r r
=
Z
0z
2
0
+
Z t
0
Z
!e N
u+ u+ Z t
0
Z
(f; g) z +
Z t
0
Z
(f; g) z
+
Z t
0
Z
( )
zt z + (u r)u u+ (u r)
+
Z t
0
Z
h
(u u) ru u+ (u u) ri:
(4.48)
98
M°t kh¡c, n¸u nh¥n l¦n l÷ñt ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v thù hai cõa (4.46) vîi
u v , sau â l§y t½ch ph¥n tr¶n
(0; t), ta công thu ÷ñcZ
jzj2 + 2
Z t
0
Z
jruj2 + jrj2
=
Z
0z
2
0 + 2
Z t
0
Z
!e N u
+ 2
Z t
0
Z
( )
zt z + (u r)u u+ (u r)
+ 2
Z t
0
Z
h
(u u) ru u+ (u u) ri+ 2 Z t
0
Z
(f; g) z:
(4.49)
Ta cëng (4.44) vîi (4.49) v trø i (4.48) d¨n ¸nZ
jz zj2 + 2
Z t
0
Z
jr(u u)j2 + jr( )j2
2
Z t
0
Z
!e N ( ) (u u) + 2
Z t
0
Z
( )(f; g) (z z)
+ 2
Z t
0
Z
h
(u u) ru (u u) + (u u) r( )i
+ 2
Z t
0
Z
( )
zt (z z) + (u r)u (u u) + (u r)( )
:
(4.50)
Sû döng nhúng gi£ thi¸t cõa z, c¡c b§t ¯ng thùc Holder, Young v ành l½
nhóng Sobolev (xem, ch¯ng h¤n [33, ành l½ 4.12]), ta ÷îc l÷ñng sè h¤ng thù
hai v thù ba cõa v¸ ph£i trong (4.50) nh÷ sau:
tZ
0
Z
( )(f; g) (z z)
tZ
0
0@Z
j j2
1A 12 0@Z
j(f; g)j3
1A 13 0@Z
jz zj6
1A 16
tZ
0
C"(s)
Z
j j2dx
ds+ "
tZ
0
Z
jr(z z)j2;
v Z t
0
Z
h
(u u) ru (u u) + (u u) r( )i
Z t
0
krz(s)kL1(
)L1(
)
Z
jz zj2dx
ds =
Z t
0
C(s)
Z
jz zj2dx
ds:
99
Mët c¡ch t÷ìng tü, ta công câ Z t
0
Z
( )
zt (z z) + (u r)u (u u) + (u r)( )
Z t
0
C"(s)
Z
j j2dx
ds+ "
Z t
0
Z
jr(z z)j2:
Cuèi còng, sû döng c¡c b§t ¯ng thùc Holder v Cauchy, ta nhªn ÷ñc 2
Z t
0
Z
!e N ( ) (u u)
Z t
0
Z
jr(u u)j+
2
21
Z t
0
Z
jr( )j:
Thay nhúng ¡nh gi¡ tr¶n v o v¸ ph£i cõa (4.50), khi â vîi h¦u khp t 2 (0; T )
v vîi måi " > 0, ta câZ
jz zj2 +
Z t
0
Z
jr(u u)j2 + jr( )j2
Z t
0
C(s)
Z
jz zj2dx+ C"(s)
Z
j j2dx
ds+ "
Z t
0
Z
jr(z z)j2;
(4.51)
trong â C(s); C"(s) l c¡c h m o ÷ñc khæng ¥m trong L1(0; T ).
Ti¸p theo, chóng ta s³ ÷îc l÷ñng j jL2 . V¼ v l nghi»m n¶n tø (4.3)
ta câ
@
@t
( ) + u r( ) = (u u) r:
Nh¥n hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n vîi ( ), ta ÷ñc
d
dt
j j2L2 = 2
Z
( )(u u) rdx
vîi måi t 2 [0; T ]. p döng c¡c b§t ¯ng thùc Holder, Cauchy v Sobolev, ta
nhªn ÷ñc
j j2L2
Z t
0
Z
j j2
1
2
Z
jrj3
1
3
Z
ju uj6
1
6
Z t
0
A"(s)
Z
j j2dx
ds+ "
Z t
0
Z
jr(u u)j2
Z t
0
A"(s)
Z
j j2dx
ds+ "
Z t
0
Z
jr(z z)j2;
(4.52)
vîi A(s) 2 L1(0; T ).
100
Chån " õ nhä, tø (4.51) v (4.52) ta suy raZ
jz zj2 + j j2+ Z t
0
Z
jr(z z)j2
Z t
0
A(s)
Z
jz zj2 + j j2dxds;
vîi A(s) 2 L1(0; T ) v < min(; ). p döng b§t ¯ng thùc Gronwall, ta k¸t
luªn z = z; = h¦u khp Q.
Nhªn x²t 4.3. B¬ng c¡ch sû döng c¡c ành l½ nhóng Sobolev (xem [33, ành
l½ 4.12]), chóng ta câ thº thi¸t lªp nhúng gi£ thi¸t têng qu¡t cho (4.42) bao
gçm zt; (f; g) 2 L2(0; T ;Lp(
)Lp(
));r 2 L2(0; T ;Lp(
)), trong â p = 3
n¸u N = 3 v p > 2 tòy þ khi N = 2.
4.4. BI TON IU KHIN TÈI ×U
Trong möc n y, chóng tæi x²t b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u èi vîi h m möc
ti¶u cho bði
J(h; ; z) =
a1
2
Z
jz(x; T ) ze(x)j2dx+ a2
2
Z
j(x; T ) e(x)j2dx
+
a01
2
ZZ
Q
jz(x; t) zdj2dxdt+ a
0
2
2
ZZ
Q
j(x; t) dj2dxdt+ b
2
ZZ
!(0;T )
jhj2dxdt;
(4.53)
trong â ! l tªp mð (nhä) kh¡c réng trong
; c¡c sè thüc khæng ¥m a1; a01; a2; a
0
2
vîi ½t nh§t mët sè thüc d÷ìng; h¬ng sè d÷ìng b cho bi¸t chi ph½ cõa i·u
khiºn; c¡c tr¤ng th¡i mong muèn ze(x) = (ue(x); e(x)) 2 H, zd = (ud; d) 2
L2(Q) L2(Q) v e 2 L1(
), d 2 L1(Q) cho tr÷îc. Khi â h m mªt ë
(x; t), tr¤ng th¡i z = (u; ) v i·u khiºn h = (v; w) thäa m¢n h» Boussinesq
101
sau:8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
@(u)
@t
u+r (uu) +rp =
!e N + v1!; (x; t) 2 Q;
r u = 0; (x; t) 2 Q;
@()
@t
+r (u) = w1!; (x; t) 2 Q;
@
@t
+r (u) = 0; (x; t) 2 Q;
u = 0; = 0; (x; t) 2P;
jt=0 = 0; (u)jt=0 = 0u0; ()jt=0 = 00; x 2
;
(4.54)
vîi 0; z0 = (u0; 0) cho tr÷îc.
Nhªn x²t 4.4. H m möc ti¶u J trong (4.53) cung c§p cho ta nhúng thæng
tin sau: "quÿ ¤o nghi»m g¦n vîi ze; e trong
t¤i thíi iºm T", "quÿ ¤o
nghi»m g¦n vîi zd; d trong Q".
Tø ¥y, chóng tæi x²t tr÷íng hñp
0 2 L1(
); 0 > 0 h¦u khp
:
Khi â, ta câ (x; t) j0jL1 h¦u khp Q v nhúng i·u ki»n ban ¦u
trong (4.54) ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau:
jt=0 = 0; ujt=0 = u0; jt=0 = 0; x 2
:
X²t b i to¡n sau:8>:Cüc tiºu hâa phi¸m h m J(h; ; z);trong â (; z) l nghi»m cõa (4.54) vîi h 2 Uad: (4.55)
Gi£ sû tªp i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc Uad l tªp kh¡c réng, âng v lçi.
Ch¯ng h¤n, trong tr÷íng hñp ìn gi£n nh§t, ta câ thº l§y
Uad = L2(! (0; T )) L2(! (0; T ));
102
ho°c
Uad =
n
h = (v; w) 2 L2(! (0; T )) L2(! (0; T )) : jhj M
o
;
trong â M l h¬ng sè d÷ìng.
4.4.1. Sü tçn t¤i nghi»m tèi ÷u
Chóng ta câ k¸t qu£ têng qu¡t sau v· sü tçn t¤i nghi»m tèi ÷u cõa b i
to¡n (4.55).
ành l½ 4.3. Gi£ sû c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n:
1. Tªp Uad L2(! (0; T )) L2(! (0; T )) l kh¡c réng, lçi v âng.
2. J l nûa li¶n töc d÷îi y¸u, tùc l n¸u (hm; m; zm) l nghi»m cõa (4.54),
hm * h trong L2(!(0; T ))L2(!(0; T )), m * trong L1(Q) v zm * z
trong L2(0; T ;V ) th¼
lim inf
m!1 J(h
m; m; zm) J(h; ; z):
3. Uad bà ch°n ho°c J l c÷ïng èi vîi h, tùc l J(hm; m; zm)! +1 khi
hm 2 Uad; khmkL2(!(0;T ))L2(!(0;T )) !1.
Khi â b i to¡n tèi ÷u (4.55) câ ½t nh§t mët nghi»m.
Chùng minh. Tªp c¡c i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc l tªp kh¡c réng v bà ch°n
trong L2(! (0; T )) L2(! (0; T )). Vîi méi c°p i·u khiºn trong L2(!
(0; T ))L2(! (0; T )), bði ành l½ 4.1, tçn t¤i mët nghi»m cõa h» (4.54). Hìn
núa, h m J bà ch°n d÷îi n¶n J(h; ; z) 0. Do â, tçn t¤i infimum cõa J tr¶n
tªp c¡c i·u khiºn ch§p nhªn ÷ñc v c¡c tr¤ng th¡i, hay
0 J = inf
(h;;z)
J(h; ; z) 1:
X²t d¢y bë ba f(hm; m; zm)g sao cho J(hm; m; zm)! J khi m!1. Tø gi£
thi¸t (3) ta suy ra r¬ng fhmg bà ch°n trong L2(! (0; T )) L2(! (0; T )).
Khi â, ta gi£ sû hm * h trong L2(!(0; T ))L2(!(0; T )). Theo gi£ thi¸t
(1), tªp c¡c i·u khiºn l lçi v âng trong L2(! (0; T ))L2(! (0; T )), do
â âng y¸u trong L2(! (0; T )) L2(! (0; T )), d¨n ¸n h 2 Uad.
Theo ành l½ 4.1, ta câ d¢y f(m; zm)g bà ch°n trong L1(Q) L2(0; T ;V ) v
ta gi£ sû r¬ng m * trong L1(Q) v zm * z trong L2(0; T ;V ). B¬ng
103
nhúng lªp luªn t÷ìng tü nh÷ B÷îc 3 v 4 trong ành l½ 4.1, ta suy ra bë ba
(h; ; z) l nghi»m cõa h» (4.54).
Cuèi còng, ta c¦n ch¿ ra J = J(h; ; z). Thªt vªt, tø gi£ thi¸t (2), ta câ
J = lim
m!1 J(h
m; m; zm) J(h; ; z):
V¼ (h; ; z) l ch§p nhªn ÷ñc, v J l infimum tr¶n tªp c¡c i·u khiºn v
tr¤ng th¡i ch§p nhªn ÷ñc, tø ¥y ta suy ra J = J(h; ; z), ta ÷ñc i·u
ph£i chùng minh.
4.4.2. i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p mët
Tr÷îc h¸t, chóng tæi chùng minh mët k¸t qu£ v· sü tçn t¤i nghi»m trìn
cõa h» tuy¸n t½nh sau:8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
c
@y
@t
+ (a r)y + (y r)a
+
@a
@t
+ (a r)a
y
!e N'+r = f(x; t); (x; t) 2 Q;
r y = 0; (x; t) 2 Q;
c
@'
@t
+ a r'+ y rb
+
@b
@t
+ a rb
' = g(x; t); (x; t) 2 Q;
@
@t
+ a r + y rc = 0; (x; t) 2 Q;
y = 0; ' = 0; (x; t) 2P;
jt=0 = 0; yjt=0 = 0; 'jt=0 = 0; x 2
;
(4.56)
trong â c¡c h m sè a(x; t); b(x; t); v c(x; t) thäa m¢n
rc 2 L2(0; T ;W 1;1(
)); c 2 C0(Q); c(x; t) > 0 trong Q;
(ra;rb) 2 L2(0; T ;L1(
) L1(
)); (a; b) 2 C0(Q)N C0(Q);
(a; b) 2 L1(0; T ;H2(
)H2(
)) \ L2(0; T ;H3(
)H3(
));
(rat;rbt) 2 L2(0; T ;L2(
) L2(
));
(at; bt) 2 L2(0; T ;L3(
) L3(
)):
(4.57)
104
T½nh trìn cõa nghi»m ~z = (y; ') ÷ñc cho trong bê · sau.
Bê · 4.4. Gi£ sû (f; g) 2 L2(0; T ;H1(
)H1(
)) v c¡c h m sè = (a; b); c
thäa m¢n (4.57). Khi â tçn t¤i c¡c h m ~z(x; t); (x; t) x¡c ành trong Q v
thäa m¢n h» (4.56) sao cho
~z 2 L2(0; T ;H3(
)H3(
)) v 2 C1(Q):
Chùng minh. Bê · ÷ñc chùng minh b¬ng c¡ch sû döng ph÷ìng ph¡p x§p x¿
nûa Galerkin nh÷ trong ành l½ 4.1. Ð ¥y chóng tæi ch¿ tr¼nh b y nhúng n²t
ch½nh cõa chùng minh.
Gåi wi; i t÷ìng ùng l c¡c h m ri¶ng cõa to¡n tû Stokes P v to¡n tû
Laplace . Vîi t > 0, c¡c h m
ym(x; t) =
mX
j=1
sj(t)w
j(x); 'm(x; t) =
mX
j=1
j(t)
j(x); m(x; t)
÷ñc gåi l nghi»m m x§p x¿ cõa b i to¡n gi¡ trà ban ¦u cho h» ph÷ìng tr¼nh
vi ph¥n th÷íng8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
R
c
@ym
@t
+ (a r)ym + (ym r)a
wjdx+
R
@a
@t
+ (a r)a
wjdx
+((ym; wj))
R
!e N'm wjdx =
R
f wjdx; 1 j m;R
c
@'m
@t
+ a r'm + ym rb
jdx+
R
@b
@t
+ a rb
jdx
+(('m; j)) =
R
g jdx; 1 j m;
(4.58)
v cho ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng
@m
@t
+ a rm + ym rc = 0; (4.59)
vîi c¡c i·u ki»n ban ¦u
sj(0) = 0; j(0) = 0;
m(0) = 0:
Tr÷îc h¸t, gi£ sû ym ¢ bi¸t, chóng ta suy ra nghi»m cõa (4.59) (xem [29, Bê
· 1.3]). º ìn gi£n trong c¡ch tr¼nh b y, ta vi¸t nghi»m cõa (4.58) l (y; ')
thay cho (ym; 'm). Nh¥n ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v thù ba cõa (4.56) l¦n l÷ñt
105
vîi yt v 't, ta ÷ñc
kpc~ztk2L2(
)L2(
) +
min(; )
2
d
dt
jr~zj2
Z
!e N' ytdx+
Z
(f; g) ~ztdx
Z
c(ar~z + yr ) ~ztdx
Z
( t + ar ) ~ztdx:
(4.60)
Ti¸p theo, ta công nh¥n l¦n l÷ñt ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v thù ba cõa (4.56)
vîi y v ' d¨n ¸n
min(; )j~zj2
Z
c(~zt + ar~z + yr ) ~zdx
Z
( t + ar ) ~zdx
Z
!e N' ydx
Z
(f; g) ~zdx:
(4.61)
B¥y gií chóng ta s³ ÷îc l÷ñng c¡c sè h¤ng cõa v¸ ph£i trong (4.60) v (4.61).
Bði c¡c gi£ thi¸t trong (4.57), c¡c b§t ¯ng thùc Holder, Cauchy v Poincar²,
ta câ Z
c(ar~z + yr ) ~ztdx
C"jcj2L1 jaj2L1 jr~zj2 + "j~ztj2
+ C"jcj2L1 jyj2jr j2L1(
)L1(
) C"jr~zj2 + "j~ztj2;
Z
( t + ar ) ~ztdx
C"jj2L1(j tj2 + jaj2L1 jr j2) + "j~ztj2
C" + "j~ztj2;
v
Z
!e N' ytdx+
Z
(f; g) ~ztdx
j'jjytj+ k(f; g)kL2(
)L2(
)j~ztj
C"jr~zj2 + C"k(f; g)k2L2(
)L2(
) + "j~ztj2
vîi måi " > 0 õ nhä. T÷ìng tü, ta câ
j~zj2 j~ztj2 + Cjr~zj2 + Ck(f; g)k2L2(
)L2(
):
Thay c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n v o têng cõa (4.60) v (4.61), vîi h¬ng sè c0 phò
hñp, ta thu ÷ñc
1
2
d
dt
jr~zj2 + c0k
p
c~ztk2L2(
)L2(
) + c0j~zj2 Cjr~zj2 + Ck(f; g)k2L2(
)L2(
):
106
i·u n y suy ra
~z 2 L1(0; T ;V ) \ L2(0; T ;H2(
)H2(
)) v ~zt 2 L2(Q):
Ti¸p theo, chóng tæi s³ chùng minh ~z 2 L2(0; T ;H3(
)H3(
)). L§y ¤o h m
theo x hai v¸ ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v thù ba cõa (4.56), ta ÷ñc
ry = rc
yt + (a r)y + (y r)a
+r
at + (a r)a
!e Nr' rf
+ c
ryt +rary + ay +ryra+ ya
+
rat + (ra)2 + aa
;
r' = rc
't + a r'+ y rb
+r
bt + a rb
rg
+ c
r't +rar'+ a'+ryrb+ yb
+
rbt +rarb+ ab
:
(4.62)
Nh¥n t÷ìng ùng ph÷ìng tr¼nh thù nh§t v thù hai cõa (4.62) vîi ryt v r't,
sau â l§y t½ch ph¥n tr¶n
, ta câ ¯ng thùc sau
kpcr~ztk2L2(
)L2(
) +
min(; )
2
d
dt
j~zj2
Z
!e Nr' ryt
Z
rc(~zt + ar~z + yr ) r~zt
Z
r( t + ar ) r~zt +
Z
(rf;rg) r~zt
Z
c(rar~z + a~z +ryr + y ) r~zt
Z
(r t +rar + a ) r~zt:
(4.63)
T÷ìng tü nh÷ trong (4.60), ta câ ÷îc l÷ñng c¡c sè h¤ng trong (4.63) nh÷ sau: Z
rc(~zt + ar~z + yr ) r~zt
Z
(r t +rar + a ) r~zt
"jr~ztj2
+C"
h
jrcj2L1
j~ztj2 + jaj2L1 jr~zj2 + jyj2kr k2L1(
)L1(
)
+jj2L1
jr tj2 + jr j2jr j2L1L1(
) + jaj2L1 j j2
i
C" + "jr~ztj2;
v
Z
!e Nr' ryt +
Z
(rf;rg) r~zt
Z
r( t + ar ) r~zt
C"
jr~zj2 + k(f; g)k2L2(
)L2(
) + jrj2L1
j tj2 + jaj2L1 jr j2+ "jr~ztj2;
107
sè h¤ng cuèi còng l Z
c
rar~z + a~z +ryr + y r~zt
jcj2L1
jraj2L1 jr~zj2 + jaj2L1 j~zj2
+ jr~zj2kr k2L1(
)L1(
) + jyj2L4k k2L4(
)L4(
)
+ "jr~ztj2
C" + C"j~zj2 + "jr~ztj2:
Hìn núa, tø (4.62), ta suy ra
min(; )jr~zj2
c r~zt +rar~z + a~z +ryr + y
2L2(
)L2(
)
+ kr( t + ar ) (rf;rg)k2L2(
)L2(
) + j
!e Nr'j2L2
+
rc ~zt + ar~z + yr + r t +rar + a
2L2(
)L2(
) ;
(4.64)
trong â
kr( t + ar ) (rf;rg)k2L2(
)L2(
) + j
!e Nr'j2L2
jrj2L1(j tj2 + jaj2L1 jr j2) + k(rf;rg)k2L2(
)L2(
) + Cjr~zj2;
v
rc ~zt + ar~z + yr + r t +rar + a
2L2(
)L2(
)
jrcj2L1
j~ztj2 + jaj2L1 jr~zj2 + jyj2kr k2L1(
)L1(
)
+jj2L1
jr tj2 + jr j2jr j2L1(
)L1(
) + jaj2L1 j j2
:
Ngo i ra, sè h¤ng cuèi còng trong (4.64) bà ch°n. Thªt vªy,
c r~zt+rar~z + a~z +ryr + y
2
L2(
)L2(
)
jcj2L1
jraj2L1 jr~zj2 + jaj2L1 j~zj2
+ jr~zj2kr k2L1(
)L1(
) + jyj2L4k k2L4(
)L4(
)
+ Cjr~ztj2
C + Cj~zj2 + Cjr~ztj2:
L§y (4.63) cëng vîi (4.64), vîi " õ nhä, ta nhªn ÷ñc
1
2
d
dt
j~zj2 + c1k
p
cr~ztk2L2(
)L2(
) + c1jr~zj2
Cj~zj2 + Ck(rf;rg)k2L2(
)L2(
):
108
B§t ¯ng thùc tr¶n suy ra
~z 2 L1(0; T ;H2(
)H2(
)) \ L2(0; T ;H3(
)H3(
)) v ~zt 2 L2(0; T ;V ):
Ti¸p theo chóng ta s³ ph¡t biºu v chùng minh i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p
mët.
ành l½ 4.4. Gi£ sû Uad L2(! (0; T )) L2(! (0; T )) l tªp kh¡c réng,
âng, lçi v J ÷ñc cho trong (4.53). Gåi (h; ; z) l nghi»m tèi ÷u cõa b i
to¡n (4.55), gi£ sû (; z) thäa m¢n
r 2 L2(0; T ;W 1;1(
)); 2 C0(Q);
rz 2 L2(0; T ;L1(
) L1(
)); z 2 C0(Q)N C0(Q);
z 2 L1(0; T ;H2(
)H2(
)) \ L2(0; T ;H3(
)H3(
));
rzt 2 L2(Q) L2(Q); zt 2 L2(0; T ;L1(
) L1(
));
(4.65)
v (4.43) thäa m¢n. Khi â, bði ành l½ 4.2, (; z) l nghi»m y¸u duy nh§t
cõa b i to¡n (4.54), v tçn t¤i duy nh§t nghi»m y¸u (; z), vîi z = (; ), cõa
b i to¡n8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
@
@t
+ (u r) + ( r)u + r r
+rq = a01(u ud); (x; t) 2 Q;
r = 0; (x; t) 2 Q;
@
@t
+ + u r +
!e N = a01( d); (x; t) 2 Q;
@
@t
u r +
@u
@t
+ (u r)u
+
@
@t
+ u r
= a02(
d); (x; t) 2 Q;
= 0; = 0; (x; t) 2P;
jt=T = a2(jt=T e); x 2
;
jt=T = a1
jt=T (u
jt=T ue); jt=T = a1
jt=T (
jt=T e); x 2
:
(4.66)
Hìn núa, ta câ b§t ¯ng thùc sau8>:
RR
!(0;T )
(bh + z)(h h)dxdt 0
8h 2 Uad; h 2 Uad:
(4.67)
109
Nhªn x²t 4.5. B¬ng nhúng lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong chùng minh cõa [40,
ành l½ 2], ta chùng minh ÷ñc gi£ thi¸t (4.65) v· t½nh trìn cõa nghi»m trong
b i to¡n (4.54) thäa m¢n khi c¡c dú ki»n õ trìn. Cö thº, ta câ kh¯ng ành
sau.
Gi£ sû (v; w) 2 H1(0; T ;L2(
) L2(
)). Khi â vîi måi z0 2 H2 \ V ,
0 2 C2(
) thäa m¢n 0 < 0 h¦u khp trong
v T > 0 cho tr֔c. Khi
â, tçn t¤i T 0 2 (0; T ] v nghi»m duy nh§t (; z) thäa m¢n
2 C2(QT 0); z 2 L1(0; T 0;H2(
)H2(
)) \ L2(0; T ;H3(
)H3(
));
vîi N = 3. Hìn núa, T 0 = T n¸u N = 2.
Ti¸p theo ta s³ chùng minh ành l½ 4.4.
Chùng minh. Tr÷îc h¸t, vîi h 2 L2(! (0; T )) L2(! (0; T )) v c¡c gi£
thi¸t cõa (; z) trong (4.65), ta suy ra (; z) l nghi»m y¸u duy nh§t cõa
b i to¡n (4.54) ùng vîi h = h, tùc l 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
@(u)
@t
u +r (uu) +rp =
!e N + v1!; (x; t) 2 Q;
r u = 0; (x; t) 2 Q;
@()
@t
+r (u) = w1!; (x; t) 2 Q;
@
@t
+r (u) = 0; (x; t) 2 Q;
u = 0; = 0; (x; t) 2P;
jt=0 = 0; ujt=0 = u0; jt=0 = 0; x 2
:
(4.68)
°t h = h+ h vîi 2 R+ (nhä), h = (h1; h2) 2 L2(0; T ;H1(!)H1(!))
v h 2 Uad. Gåi (; z) l tr¤ng th¡i t÷ìng ùng vîi h. Khi â ta câ thº vi¸t
(trong â s = (y; '); s = (y ; ' ))
(; z) = (; z) + (; s) + ( ; s );
110
vîi8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
@y
@t
+ (u r)y + (y r)u
+
@u
@t
+ (u r)u
y
!e N'+r = h1; (x; t) 2 Q;
r y = 0; (x; t) 2 Q;
@'
@t
+ u r'+ y r
+
@
@t
+ u r
' = h2; (x; t) 2 Q;
@
@t
+ u r + y r = 0; (x; t) 2 Q;
y = 0; ' = 0; (x; t) 2P;
jt=0 = 0; yjt=0 = 0; 'jt=0 = 0; x 2
;
(4.69)
v 8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
@y
@t
+ (u r)y + (y r)u
+
@u
@t
+ (u r)u
y
!e N' + U +r = 0; (x; t) 2 Q;
r y = 0; (x; t) 2 Q;
@'
@t
+ u r' + y r
+
@
@t
+ u r
'+ = 0; (x; t) 2 Q;
@
@t
+ u r + y r + (y + y ) r( + ) = 0; (x; t) 2 Q;
y = 0; ' = 0; (x; t) 2
P
;
jt=0 = 0; y jt=0 = 0; ' jt=0 = 0; x 2
:
(4.70)
Ð ¥y ta k½ hi»u
U = ( + )
@y
@t
+
@y
@t
+ (u r)(y + y ) +
(y + y ) r
u
+
+ ( + )
(y + y ) r
(y + y );
v
= ( + )
@'
@t
+
@'
@t
+ u r('+ ' ) + (y + y ) r
+
+ ( + )
(y + y ) r('+ ' )
:
111
Bði ph²p nhóng H3(
) ,! W 1;1(
) l li¶n töc, n¶n tø Bê · 4.4, b i to¡n
(4.69) câ nghi»m s 2 L2(0; T ;W1;1(
)W 1;1(
)).
Ti¸p theo, chóng ta s³ chùng minh
! 0 trong L1(0; T ;L2(
));
s ! 0 trong L1(0; T ;L2(
) L2(
));
khi ! 0+. ¦u ti¶n ta nh¥n ph÷ìng tr¼nh thù bèn cõa (4.68), (4.69), (4.70)
vîi 12y y v 12' ' , sau â l§y t½ch ph¥n tr¶n
; ta công nh¥n l¦n l÷ñt
ph÷ìng tr¼nh thù nh§t, thù ba v thù bèn cõa (4.70) vîi y , ' v . Ti¸p
¸n, ta cëng t§t c£ c¡c k¸t qu£ l¤i v thu ÷ñc ¯ng thùc sau
1
2
d
dt
Z
+ ( + )
s2 +
1
2
d
dt
Z
j j2 +
Z
(jry j2 + jr' j2)
=
Z
(y r)u y + y r'
Z
s (zt + urz)
Z
h
( + )st s + (y + y )rs s + (y + y ) r
i
Z
( + )
urs s + yrz s + (y r)u y + y r'
2
Z
( + )(y + y )rs s
Z
y r +
Z
!e N' y :
(4.71)
Sû döng c¡c b§t ¯ng thùc Holder, Young, ành l½ nhóng Sobolev (ch¯ng h¤n,
xem [33, ành l½ 4.12]) v c¡c gi£ thi¸t trong (4.65), chóng ta ÷îc l÷ñng c¡c sè
h¤ng cõa v¸ ph£i trong (4.71) nh÷ sau: Z
(y r)u y + y r'
C(krzkL1(
)L1(
)) Z
s2 ;
Z
s (zt + urz)
C"(kzt k2L3(
)L3(
) + juj2L1krzk2L3(
)L3(
))j j2L2 + "ks k2L6(
)L6(
)
C"j j2L2 + "ks k2;
112
v Z
y r +
Z
!e N' y
C"jrj2L1 j j2L2 + "jy j2 +
1
2
jy j2 +
2
21
j' j2
C"j j2L2 + ("+ =2)ky k2 +
2
221
k' k2:
Tø Bê · 4.4, ta suy ra
2 C1(Q) st 2 L2(0; T ;V );
s 2 L1(0; T ;H2(
)H2(
)) \ L2(0; T ;W1;1(
)W 1;1(
)):
Sû döng k¸t luªn tr¶n ta ÷îc l÷ñng nhúng sè h¤ng cán l¤i cõa (4.71) nh÷ sau Z
(y + y )rs s
=
Z
yrs s
+ Z
[(y r)y y + y r' ' ]
2C"jj2L1 jyj2L3 jrsj2 + "jy j2L6 + C(krskL1(
)L1(
))
Z
s2
2C" + C
Z
s2 + "ks k2;
Z
h
( + )st s + (y + y ) r
i 2C"j + j2L2kstk2L3(
)L3(
)
+ "jy j2L6 + 2jyj2jrj2L1 + Cj j2L2 + 2C"jrj2L1 j j2L2 + "jy j2
2C" + 2C"j j2L2 + "ks k2;
v Z
( + )
urs s + yrz s + (y r)u y + y r'
2C"j + j2L2 juj2L1 jrsj2L3(
)L3(
) + "ks k2L6(
)L6(
)
+ C(krzkL1(
)L1(
))
Z
( + )s
2
2C" + 2C"j j2L2 + C
Z
( + )s
2
+ "ks k2:
113
Sè h¤ng cuèi còng trong (4.71) ÷ñc ÷îc l÷ñng nh÷ sau 2 Z
( + )(y + y )rs s
2 Z
( + )yrs s
+ 2 Z
( + )
(y r)y y + y r''
4C"j + j2L2 jyj2L6 jrsj2L6(
)L6(
) + "ks k2L6(
)L6(
)
+ C(krskL1(
)L1(
))
Z
( + )s
2
4C" + 4C"j j2L2 + C
Z
( + )s
2
+ "ks k2:
Tø nhúng b§t ¯ng thùc tr¶n v vîi " õ nhä, ta suy ra
d
dt
Z
+ ( + )
s2 +
d
dt
Z
j j2 +
Z
jrs j2
C
Z
+ ( + )
s2 + [C"
2( 2 + 1) + C"]
Z
2 +
2C"(
2 + 1):
p döng b§t ¯ng thùc Gronwall, ta nhªn ÷ñcZ
+ ( + )
s2 + j j2
4 + 2
4 + 2 + 1
expfC"( 4 + 2 + 1)tg
4 + 2
4 + 2 + 1
:
Do vªy,
! 0 trong L1(0; T ;L2(
));
s ! 0 trong L1(0; T ;L2(
) L2(
));
khi ! 0+.
Theo gi£ thi¸t, ta câ J(h; ; z) J(h; ; z) 0. M°t kh¡c,
J(h; ; z) J(h; ; z)
=
0B@a1 Z
(z ze)(s+ s ) + a2
Z
( e)( + ) + b
ZZ
!(0;T )
h h
1CA
+
0@a01 ZZ
Q
(z zd)(s+ s ) + a02
ZZ
Q
( d)( + ) + Z
1A 0;
(4.72)
114
trong â
Z =
2
Z
a1(s+ s )
2 + a2( + )
2
dx
+
ZZ
Q
a01(s+ s )
2 + a02( + )
2
dxdt+ b
ZZ
!(0;T )
jhj2dxdt
;
v rã r ng Z ! 0 khi ! 0+.
Chia hai v¸ cõa (4.72) cho v l§y giîi h¤n khi ! 0+, ta câ
a1
Z
(z ze)sdx+ a2
Z
( e)dx
+a01
ZZ
Q
(z zd)sdxdt+ a02
ZZ
Q
( d)dxdt+ b
ZZ
!(0;T )
h:hdxdt 0:
(4.73)
Chóng tæi x²t h» tuy¸n t½nh (4.66), ¥y l h» li¶n hñp cõa (4.69). Lªp luªn
t÷ìng tü nh÷ trong ành l½ 4.1 v ành l½ 4.2, ta suy ra b i to¡n (4.66) câ duy
nh§t mët nghi»m y¸u (; z) thäa m¢n
2 L1(Q);
z 2 L1(0; T ;H) \ L2(0; T ;V ):
Hìn núa, sû döng t½ch ph¥n tøng ph¦n, ta câ thº kiºm tra ÷ñc
a1
Z
(z ze)sdx+ a2
Z
( e)dx
+a01
ZZ
Q
(z zd)sdxdt+ a02
ZZ
Q
( d)dxdt =
ZZ
!(0;T )
z hdxdt:
¯ng thùc tr¶n còng vîi (4.73) cho ta b§t ¯ng thùcZZ
!(0;T )
(bh + z) hdxdt 0:
B§t ¯ng thùc tr¶n óng vîi måi h câ d¤ng h =
1
(h h) vîi h 2 Uad, tø ¥y
ta suy ra (4.67). Chùng minh ÷ñc ho n th nh.
115
4.5. BI TON THÍI GIAN TÈI ×U
Trong möc n y, chóng tæi x²t b i to¡n tèi ÷u trong â thíi gian c¦n thi¸t
º g¦n vîi tr¤ng th¡i mong muèn âng vai trá quan trång. Cö thº, x²t h m
möc ti¶u
I(h; ; z) =
1
2
T (h; z; ze; )2 +
b
2
ZZ
!(0;T )
jhj2dxdt;
ð â ze = (ue; e) 2 H, > 0 v
T (h; z; ze; ) := inffT > 0 : ju(:; T ) uej ; j(:; T ) ej g:
Chóng tæi s³ chùng minh sü tçn t¤i cõa nghi»m tèi ÷u, sau â d¨n ¸n h»
tèi ÷u t÷ìng ùng.
4.5.1. Sü tçn t¤i nghi»m tèi ÷u
X²t tªp lçi âng Uad L2(! (0; T0))L2(! (0; T0)) vîi T0 > 0 cè ành
v
E0 = f(h; ; z) : h 2 Uad; (; z) l nghi»m cõa (4.54) trong
(0; T0)g:
Khi â E0 L2(! (0; T0)) L2(! (0; T0)) E0, ð â E0 l khæng gian
nghi»m cõa b i to¡n (4.54) trong
(0; T0), tùc l c°p (; z) thäa m¢n8>: 2 L
1(
(0; T0));
z 2 L1(0; T0;H) \ L2(0; T0;V ):
Chóng ta x²t b i to¡n thíi gian tèi ÷u sau8>:
T¼m (h; ; z) 2 E0 sao cho
I(h; ; z) = min
(h;;z)2E0
I(h; ; z):
(4.74)
Tr÷îc h¸t º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m tèi ÷u, chóng ta c¦n bê · sau.
116
Bê · 4.5. °t
T n := T
(hn; zn; ze; ); T := T (h; z; ze; );
v gi£ sû eT = lim
n!+1T
n < T
:
Khi â z(:; eT ) ze; ~z p2k~zk; 8~z 2 V: (4.75)
Chùng minh. X²t zn l mët d¢y trong E0, bði ành l½ 4.1, ta câ
zn 2 L1(0; T0;H) \ L2(0; T0;V );
znt 2 L (0; T0;V 0); ( = 2 n¸u N = 2 v = 4=3 n¸u N = 3):
Ta vi¸t z(:; eT ) ze; ~z z(:; eT ) z(:; T n); ~z
+
z(:; T n) zn(:; T n); ~z + zn(:; T n) ze; ~z :
Chó þ r¬ng zn * z trong L1(0; T ;H) v znt * zt trong L
(0; T ;V 0), ta suy
ra zn ! z trong C0([0; T ];V 0). Do â, vîi måi ~z 2 V , ta câ z(:; T n) zn(:; T n); ~z Ckz(:; T n) zn(:; T n)kk~zk
kzn zkC0([0;T0];V 0)k~zk ! 0:
(4.76)
Hìn núa, v¼ T n ! eT v z 2 C0w([0; T0];H) d¨n ¸n z(:; T n) * z(:; eT ) trong H,
do vªy z(:; eT ) z(:; T n); ~z ! 0: (4.77)
Cuèi còng, tø ành ngh¾a cõa T n , ta ÷ñc zn(:; T n) ze; ~z jzn(:; T n) zejjzj p2jzj: (4.78)
Tø (4.76)-(4.78) ta suy ra (4.75).
B¥y gií chóng tæi s³ ch¿ ra b i to¡n (4.74) câ nghi»m.
ành l½ 4.5. Gi£ sû tªp hñp c¡c bë ba (h; ; z) chùa trong E0 sao cho I(h; ; z) <
+1 l kh¡c réng. Khi â, b i to¡n (4.74) tçn t¤i ½t nh§t mët nghi»m.
117
Chùng minh. Tªp Uad âng y¸u trong L2(! (0; T0))L2(! (0; T0)) v I l
c÷ïng. Nh÷ vªy, ta ch¿ c¦n chùng minh I l nûa li¶n töc d÷îi y¸u trong chu©n
E0.
X²t d¢y f(hn; n; zn)g E0 sao cho hn * h trong L2(!(0; T0))L2(!
(0; T0)) v (n; zn) * (; z) trong E0. Khi â l°p l¤i chùng minh trong ành
l½ 4.1 ta suy ra (; z) l nghi»m cõa (4.54) trong
(0; T0) vîi h = h. Hìn
núa, ta câ
lim inf
n!+1
ZZ
!(0;T0)
jhnj2dxdt
ZZ
!(0;T0)
jhj2dxdt:
M°t kh¡c, n¸u T n := T
(hn; zn; ze; ) v T := T (h; z; ze; ) th¼
lim inf
n!+1 T
n T :
Thªt vªy, n¸u kh¯ng ành tr¶n l sai, khi â ta câ thº gi£ sû T n ! eT v thäa
m¢n eT = lim
n!+1T
n < T
: (4.79)
M°t kh¡c, v¼ eT p2,
i·u n y tr¡i vîi k¸t luªn cõa Bê · 4.5. Do â
lim inf
n!+1 T
n T :
¥y l i·u c¦n chùng minh.
4.5.2. i·u ki»n c¦n tèi ÷u c§p mët
Chóng tæi x²t h m möc ti¶u cho bði8>>>:
(T; h) =
T 2
2
+
b
2
ZZ
(0;T0)
jhj2dxdt;
8(T; h) 2 [0; T0] L2(! (0; T0)) L2(! (0; T0)):
Khi â, b i to¡n (4.74) ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau8>>>>>>>>>>>>>>>:
Cüc tiºu hâa phi¸m h m (T; h);
trong â T 2 [0; T0];
(h; ; z) 2 E0;
ju(:; T ) uej ; j(:; T ) ej :
118
Bði l½ do hiºn nhi¶n, ta công câ thº vi¸t l¤i b i to¡n tr¶n d÷îi d¤ng sau8>>>>>>>>>>>>>>>:
Cüc tiºu hâa phi¸m h m (T; h);
trong â T 2 [0; T0];
(h; ; z) 2 E0;
ju(:; T ) uej = j(:; T ) ej = :
(4.80)
º thuªn ti»n cho vi»c x²t b i to¡n (4.80), chóng tæi x²t mæ h¼nh ìn gi£n
hìn nh÷ sau: 8>>>>>>>>>>>>>>>:
@
@t
= ; (x; t) 2 Q;
r = 0; (x; t) 2 Q;
= 0; (x; t) 2P;
jt=0 = 0; x 2
:
(4.81)
Gåi (T ; ) l nghi»m cõa b i to¡n8>>>>>>>>>>>>>>>>>:
Cüc tiºu hâa phi¸m h m (T; ) =
T 2
2
+
b
2
ZZ
!(0;T )
jj2dxdt;
trong â T 2 [0; T0];
(; ) l nghi»m cõa (4.81);
j (:; T ) ej = ;
(4.82)
v gi£ sû T 2 [0; T0], 2 int Uad
chó þ r¬ng trong tr÷íng hñp n y th¼
Uad L2(! (0; T ))
. Gåi l tr¤ng th¡i ùng vîi v gi£ sû
9 > 0 sao cho t 7! (:; t) thuëc lîp C1 trong [T ; T ]:
Chóng ta s³ t¼m (T ; ) l m cüc tiºu phi¸m h m vîi c¡c i·u ki»n
E(; ) := ( t ; (:; 0) 0) = (0; 0);
V (T; ) :=
1
2
j (:; T ) ej2
2
2
= 0:
119
B¬ng c¡ch sû döng ành l½ Lagrange, khi â tçn t¤i c¡c nh¥n tû 0; 2 R, c¡c
h m ( (x; t); (x)) (khæng çng thíi b¬ng 0) v
0 = 0h0(T ; ); (S;m)i h( ; ); E0(; )(m; y)i+ hV 0(T ; ); (S; y)i
= 0
0B@T S + b ZZ
!(0;T)
mdxdt
1CA ZZ
(0;T)
(yt y m)dxdt (; y(:; 0))
+
h
S
(:; T ) e; t (:; T )
+
(:; T ) e; y(:; T )
i
vîi måi S;m v y. N¸u ta chån S = 1; y = m = 0 th¼
0T
+
(:; T ) e; t (:; T )
= 0: (4.83)
Tr÷íng hñp S = m = 0, vîi måi y, ta câZZ
(0;T)
(yt y)dxdt+ (; y(:; 0))
(:; T ) e; y(:; T )
= 0;
i·u n y d¨n ¸n b i to¡n8>>>>>>>:
t = 0 trong
(0; T );
= 0 tr¶n @
(0; T );
(x; T ) =
(x; T ) e(x)
trong
;
(4.84)
v
(x) = (x; 0) trong
: (4.85)
Cuèi còng, n¸u chån S = 0, vîi måi y v m th¼
+ 0b
= 0 trong ! (0; T ): (4.86)
Tø (4.83), (4.85) v (4.86) suy ra 6= 0. Thªt vªy, n¸u = 0 th¼ 0 = 0; 0
v = 0, i·u n y l væ l½.
Hìn núa, h m sè t 7! 12 j (:; t) ej2 l khæng t«ng t¤i t = T n¶n
(:; T ) e; t (:; T )
0. Tø (4.83) ta suy ra 0 6= 0. Khæng m§t t½nh
120
têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû 0 = 1, khi â (4.86) v (4.83) trð th nh
+ b = 0 trong ! (0; T )
v
T = (:; T ) e; t (:; T ):
B¬ng c¡ch lªp luªn t÷ìng tü nh÷ b i to¡n (4.82), ta nhªn ÷ñc k¸t qu£
quan trång sau.
ành l½ 4.6. Gi£ sû nhúng i·u ki»n trong ành l½ 4.4 thäa m¢n v (T ; h)
l nghi»m cõa (4.80) ùng vîi tr¤ng th¡i (; z). Ta gi£ sû r¬ng
0 < T < T0;
9 > 0 sao cho t 7! z(:; t) thuëc lîp C1 trong [T ; T ]; (4.87)
v
u(:; T ) ue; ut (:; T )
< 0;
(:; T ) e; t (:; T )
< 0; (4.88)
k½ hi»u E l khæng gian n«ng l÷ñng ùng vîi T . Ta công gi£ sû (; z) l
nghi»m cõa (4.65) v (4.43) thäa m¢n, d¨n ¸n (; z) l nghi»m y¸u duy
nh§t cõa (4.54) ( ành l½ 4.2) ùng vîi T = T v h = h. Khi â, tçn t¤i
1; 2 2 R v nghi»m y¸u (; z) 2 E, trong â z = (; ), cõa b i to¡n sau8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
@
@t
+ (u r) + ( r)u + r r
+rq = 0; (x; t) 2
(0; T );
r = 0; (x; t) 2
(0; T );
@
@t
+ + u r +
!e N = 0; (x; t) 2
(0; T );
@
@t
u r +
@u
@t
+ (u r)u
+
@
@t
+ u r
= 0; (x; t) 2
(0; T );
= 0; = 0; (x; t) 2 @
(0; T );
jt=T = 0; x 2
;
jt=T = 1
jt=T (u
jt=T ue); jt=T = 2
jt=T (
jt=T e); x 2
:
(4.89)
121
Hìn núa, ta câ b§t ¯ng thùc sau8>:
RR
!(0;T)
(bh + z)(h h)dxdt 0
8h 2 Uad; h 2 Uad;
vîi thíi gian tèi ÷u
T = P[0;T0]
1
u(:; T ) ue; ut (:; T )
2 (:; T ) e; t (:; T );
(4.90)
v
ju(:; T ) uej = j(:; T ) ej =
thäa m¢n. Ð ¥y P[0;T0] : R+ ! [0; T0] l ph²p chi¸u trüc giao.
Nhªn x²t 4.6. Chóng tæi gi£i th½ch v· gi£ thi¸t (4.88). Gi£ sû T 2 (0; T0),
h 2 int Uad v (4.87) thäa m¢n th¼ rã r ng
(:; T ) e; t (:; T )
0. N¸u
ta câ
(:; T ) e; t (:; T )
= 0 th¼ tø (4.83) v (4.86) ch¿ ra r¬ng 0 = 0
v
= 0 trong ! (0; T ):
V¼ nghi»m cõa h» (4.84) thäa m¢n t½nh ch§t th¡c triºn duy nh§t (xem trong
[18]) n¶n tø (4.85), ta câ = 0. Chó þ r¬ng ½t nh§t mët nh¥n tû ph£i kh¡c
0 n¶n tø ph÷ìng tr¼nh cuèi còng trong (4.84) ta suy ra
(x; T ) = e(x) trong
:
i·u n y l væ l½ v ta k¸t luªn
(:; T ) e; t (:; T )
< 0.
Chùng minh. Vîi S 2 R, h = (h1; h2) 2 L2(0; T ;H1(!) H1(!)) v h 2 Uad,
2 R+ (nhä), ta °t
T := T + S 2 [0; T0]; h := h + h 2 Uad: (4.91)
Gåi (; z) l tr¤ng th¡i ùng vîi i·u khiºn h v gi£ sû r¬ng
ju(:; T ) uej = j(:; T ) ej = :
Theo gi£ thi¸t v (4.91), ta câ
(T; h) (T ; h) =
T S + b
ZZ
!(0;T0)
h:hdxdt
!
+
2
2
S2 + b
ZZ
!(0;T0)
jhj2dxdt
!
0:
122
Hìn núa,
2
S2 + b
ZZ
!(0;T0)
jhj2dxdt
!
! 0 khi ! 0+:
Chia hai v¸ b§t ¯ng thùc tr¶n cho v l§y giîi h¤n khi ! 0+, ta nhªn
֖c
T S + b
ZZ
!(0;T0)
h:hdxdt 0: (4.92)
Theo chùng minh trong ành l½ 4.4, ta câ thº vi¸t
(; z) = (; z) + (; s) + ( ; s );
trong â s = (y; '), s = (y ; ' ) vîi (; s) v ( ; s ) t÷ìng ùng l nghi»m
cõa c¡c b i to¡n tuy¸n t½nh (4.69) v (4.70). Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong ành
l½ 4.4, ta câ (; s); ( ; s ) 2 E0 v
! 0 trong L1(0; T0;L2(
));
s ! 0 trong L1(0; T0;L2(
) L2(
));
khi ! 0+. Hìn núa
0 = ju(:; T ) uej2 2 = j
u(:; T ) u(:; T )+ u(:; T ) uej2 2
= ju(:; T ) u(:; T )j2 + 2
u(:; T ) u(:; T ); u(:; T ) ue
:
Tø
u(:; T ) u(:; T ) = y(:; T ) + ut (:; T )S + O( ) trong H1;
trong â O( )! 0, cho ! 0 ta suy ra
u(:; T ) ue; ut (:; T )S = u(:; T ) ue; y(:; T ):
T÷ìng tü, ta câ
(:; T ) e; t (:; T )S = (:; T ) e; '(:; T ):
Gåi 1; 2 2 R sao cho
1
u(:; T ) ue; ut (:; T )
2 (:; T ) e; t (:; T ) = T ; (4.93)
123
v (; z) l nghi»m cõa h» tuy¸n t½nh li¶n hñp (4.89). Hìn núa, ta câ
T S = 1S
u(:; T ) ue; ut (:; T )
2S (:; T ) e; t (:; T )
=
1
u(:; T ) ue
; y(:; T )
+
2
(:; T ) e
; '(:; T )
=
(:; T )(:; T ); y(:; T )
+
(:; T )(:; T ); '(:; T )
:
Sû döng t½ch ph¥n tøng ph¦n, ta kiºm tra ÷ñc
T S =
ZZ
!(0;T0)
z hdxdt:
Tø (4.92), ta câ b§t ¯ng thùcZZ
!(0;T0)
(z + bh) hdxdt 0:
M°t kh¡c, v¼ T 2 (0; T0) v 1; 2 cho trong (4.93) n¶n ta câ (4.90). ành l½
÷ñc chùng minh.
Chó þ cuèi ch÷ìng. Tø c¡c k¸t qu£ trong ch÷ìng n y, trong tr÷íng hñp
nhi»t ë 0, ta thu l¤i ÷ñc c¡c k¸t qu£ t÷ìng ùng v· sü tçn t¤i, t½nh duy
nh§t câ i·u ki»n cõa nghi»m y¸u, b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u v b i to¡n thíi
gian tèi ÷u cõa h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes vîi mªt ë thay êi trong [11].
KT LUN CH×ÌNG 4
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu h» Boussinesq câ mªt ë thay êi
trong mi·n bà ch°n hai ho°c ba chi·u. C¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc bao gçm:
1) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t câ i·u ki»n cõa nghi»m
y¸u ( ành l½ 4.1, ành l½ 4.2).
2) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i nghi»m v thi¸t lªp ÷ñc i·u ki»n c¦n tèi
÷u c§p mët cõa b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u v b i to¡n thíi gian tèi ÷u
(c¡c ành l½ 4.3-4.6).
124
KT LUN
1. KT QU T ×ÑC
Trong luªn ¡n n y, chóng tæi nghi¶n cùu mët sè h» ph÷ìng tr¼nh c°p khæng
ætænæm trong cì håc ch§t läng, bao gçm h» B²nard, h» MHD hai chi·u v h»
Boussinesq hai ho°c ba chi·u vîi mªt ë (khèi l÷ñng) thay êi. C¡c k¸t qu£
¤t ÷ñc bao gçm:
1) èi vîi h» B²nard v h» MHD hai chi·u trong mi·n thäa m¢n b§t ¯ng
thùc Poincar²: Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m y¸u, sü tçn
t¤i v ¡nh gi¡ ÷ñc sè chi·u fractal cõa tªp hót lòi.
2) èi vîi h» Boussinesq câ mªt ë thay êi trong mi·n bà ch°n: Chùng
minh ÷ñc sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t câ i·u ki»n cõa nghi»m y¸u,
chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i nghi»m tèi ÷u v thi¸t lªp ÷ñc i·u ki»n
c¦n tèi ÷u c§p mët cho b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u vîi phi¸m h m möc
ti¶u d¤ng to n ph÷ìng v b i to¡n thíi gian tèi ÷u.
2. KIN NGHÀ MËT SÈ VN NGHIN CÙU TIP THEO
B¶n c¤nh c¡c k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc trong luªn ¡n, mët sè v§n · mð li¶n
quan c¦n ÷ñc ti¸p töc nghi¶n cùu:
Nghi¶n cùu t½nh trìn cõa tªp hót lòi cõa h» B²nard v h» MHD nhªn
÷ñc trong luªn ¡n.
Nghi¶n cùu t½nh ên ành v b i to¡n ên ành hâa nghi»m døng cõa c¡c
h» B²nard v h» MHD.
125
Nghi¶n cùu t½nh ch½nh qui nghi»m cõa h» Boussinesq vîi mªt ë thay
êi.
Nghi¶n cùu b i to¡n i·u khiºn ÷ñc èi vîi h» Boussinesq vîi mªt ë
thay êi.
126
T i li»u tham kh£o
[1] A. Carvalho, J.A. Langa and J.C. Robinson (2013) Attractors for Infinite-
Dimensional Non-Autonomous Dynamical Systems. Appl. Math. Sci., 182.
Berlin: Springer, 409 p. 1
[2] A.V. Fursikov (2000) Optimal Control of Distributed Systems. Theory and
Applications. Amer. Math. Soc.
[3] B. Guo and X. Du (2005) The exponential attractor for the equations of
thermohydraulics. Acta Math. Sci., Ser. B, Engl. Ed., 25, 317-325.
[4] C. Bardos and B. Nicolaenko (2002) Navier-Stokes equations and dynam-
ical systems. Handbook of dynamical systems, Vol. 2, 503-597, NorthHol-
land, Amsterdam.
[5] C. Cao and J. Wu (2010) Two regularity criteria for the 3D MHD equa-
tions. J. Differ. Equations, 248, 2263-2274.
[6] C. Foias, O. Manley and R. Temam (1987) Attractors for the B²nard prob-
lem: existence and physical bounds on their fractal dimension. Nonlinear
Anal., 11, 939-967.
[7] C.G. Gal and M. Grasselli (2010) Asymptotic behavior of a Cahn-
Hilliard-Navier-Stokes system in 2D. Ann. Inst. Henri Poincar², Anal.
Non Lin²aire, 27, 401-436.
1Vi»c tr¼nh b y c¡c t i li»u tham kh£o ð ¥y, v· thù tü v h¼nh thùc, l theo qui ành
cõa cì sð o t¤o.
127
[8] C.G. Gal and M. Grasselli (2010) Longtime behavior for a model of homo-
geneous incompressible two-phase flows. Discrete Contin. Dyn. Syst., 28
(1), 1-39.
[9] C.T. Anh and D.T. Son (2014) Finite-dimensional pullback attractors for
non-autonomous Newton-Boussinesq equations in some two-dimensional
unbounded domains. Bull. Pol. Acad. Sci. Math., 62, 265-289.
[10] C. Zhao and K. Li (2004) On existence, uniqueness and Lr-exponential
stability for stationary solutions to the MHD equations in three dimen-
sional domains. ANZIAM J., 46, 95-109.
[11] E. Fern¡ndez-Cara (2012) Motivation, analysis and control of the variable
density Navier-Stokes equations. Dis. Cont. Dyn. Sys. Series S, 5, 1021-
1090.
[12] E. Hopf (1955) On nonlinear partial differential equations. Lectures series
of the symposium on PDE, Berkeley, 1-29.
[13] G. Duvaut and J.-L. Lions (1972) Les In²quations en M²canique et
Physique. Dunod, Paris.
[14] G. Fucci, B. Wang and P. Singh (2009) Asymptotic behavior of the
Newton-Boussinesq equation in a two-dimensional channel. Nonlinear
Anal., 70, 2000-2013.
[15] G.P. Galdi (2012) Navier-Stokes equations: a mathematical analysis.
Mathematics of complexity and dynamical systems. Vols. 1-3, 1009-1042,
Springer, New York.
[16] J.A. Langa, G. Lukaszewicz and J. Real (2007) Finite fractal dimension
of pullback attractors for non-autonomous 2D Navier-Stokes equations in
some unbounded domains. Nonlinear Anal., 66, 735-749.
128
[17] J.C. Robinson (2001) Infinite-Dimensional Dynamical Systems. Cam-
bridge University Press, Cambridge.
[18] J.C. Saut and B. Scheurer (1987) Unique continuation for some evolution
equations. J. Differential Equations, 66, 118-139.
[19] J.L. Lions (1969) Quelques M²thodes de R²solution des Probl±mes aux
Limites non Lin²aires. Paris: Dunod, Gauthier-Villars.
[20] J.M. Ball (2004) Global attractor for damped semilinear wave equations.
Discrete Contin. Dyn. Syst., 10, 31-52.
[21] J.M. Coron (2007) Control and Nonlinearity. Mathematical Surveys and
Monographs, 136. American Mathematical Society, Providence, RI.
[22] J.M. Ghidaglia, M. Marion and R. Temam (1988) Generalization of the
Sobolev-Lieb-Thirring inequalities and applications to the dimension of
attractors. Diff. Int. Equa., 1, 1-21.
[23] J. Simon (1990) Nonhomogeneous viscous incompressible fluids: existence
of velocity, density, and pressure. SIAM J. Math. Anal., 21, 1093-1117.
[24] M. Cabral, R. Rosa and R. Temam (2004) Existence and dimension of
the attractor for the B²nard problem on channel-like domains. Disc. Cont.
Dyna. Syst., 10, 89-116.
[25] M.E. Schonbek, T.P. Schonbek and E. Suli (1996) Large-time behavior
of solutions to the magneto-hydrodynamics equations. Math. Ann., 304,
717-756.
[26] M. Grasselli and H. Wu (2011) Finite dimensional global attractor for
a system modeling the 2D nematic liquid crystal flow. Z. Angew. Math.
Phys., 62, 979-992.
129
[27] M. Holst, E. Lunasin and G. Tsogtgerel (2010) Analysis of a general family
of regularized Navier-Stokes and MHD models. J. Nonlinear Sci., 20, 523-
567.
[28] M. Sermange and R. Temam (1983) Some mathematical questions related
to the MHD equations. Commun. Pure Appl. Math., 36, 635-664.
[29] O.A. Ladyzhenskaya and V.A. Solonnikov (1978) Unique solvability of
an initial and boundary value problem for viscous incompressible non-
homogeneous fluids. J. Sov. Math., 9, 697-749.
[30] O. Manley, M. Marion and R. Temam (1993) Equations for combustion in
the presence of complex chemistry. Indiana Univ. Math. J., 42 , 941-967.
[31] P. Constantin and C. Foias (1988) Navier-Stokes Equations. Chicago Lec-
tures in Mathematics, University of Chicago Press, Chicago.
[32] P.-L. Lions (1996)Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol I: Incom-
pressible Models. Oxford University Press, New York.
[33] R.A. Adams and J.F. Founier (2003) Sobolev Spaces. 2nd edition, Elsevier.
[34] R. Agapito and M. Schonbek (2007) Non-uniform decay of MHD equations
with and without magnetic diffusion. Commun. Partial Differ. Equations,
32, 1791-1812.
[35] R. Brown, P. Perry and Z. Shen (2000) On the dimension of the attractor
for the non-homogeneous Navier-Stokes equations in nonsmooth domains.
Indiana Univ. Math. J., 49, 81-112.
[36] R. Danchin (2003) Density-dependent incompressible fluids in critical
spaces. Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 133, 1311-1334.
130
[37] R. Danchin (2003) Navier-Stokes equations with variable density. Hyper-
bolic Problems and Related Topics, International Press, Graduate Series
in Analysis, 121-135.
[38] R. DiPerna and P.-L. Lions (1989) Ordinary differential equations, trans-
port theory and Sobolev spaces. Invent. Math., 98, 511-547.
[39] R. Rosa (1998) The global attractor for the 2D Navier-Stokes flow on some
unbounded domains. Nonlinear Anal., 32, 71-85.
[40] R. Salvi (1991) The equations of viscous incompressible nonhomogeneous
fluid: on the existence and regularity. J. Australian Math. Soc. Series B,
33, 94-110.
[41] R. Temam (1979) Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Anal-
ysis. 2nd edition, Amsterdam: North-Holland.
[42] R. Temam (1995) Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional
Analysis. 2nd edition, Philadelphia.
[43] R. Temam (1997) Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics
and Physics. 2nd edition, Springer-Verlag, New York.
[44] R. Temam (2000) Some developments on Navier-Stokes equations in the
second half of the 20th century. Development of Mathematics 1950-2000,
Birkhauser, Basel, 1049-1106.
[45] R. Temam and X. Wang (1995) Asymptotic analysis of the linearized
Navier-Stokes equations in the 2D channel. Diff. Int. Equ., 8, 1591-1618.
[46] S.A. Antontsev and A.V. Kazhikov (1973) Mathematical Study of Flows
of Nonhomogeneous Fluids. Lectures at the University of Novosibirsk,
Novosibirsk, USSR.
131
[47] S. Bosia (2012) Well-posedness and long term behavior of a simplified
Ericksen-Leslie non-autonomous system for nematic liquid crystal flows.
Comm. Pure Appl. Anal., 11, 407-441.
[48] S. Chen (1982) Symmetry analysis of convection on patterns. Comm.
Theor. Phys., 1, 413-426.
[49] S. Gala (2012) A new regularity criterion for the 3D MHD equations in
R3. Comm. Pure Appl. Anal., 11, 1353-1360.
[50] S.S. Dragomir (2003) Some Gronwall Type Inequalities and Applications.
Nova Science Publishers, New York.
[51] T. Caraballo, G. Lukaszewicz and J. Real (2006) Pullback attractors for
asymptotically compact non-autonomous dynamical systems. Nonlinear
Anal., 64, 484-498.
[52] T.G. Cowling (1957) Magnetohydrodynamics. Interscience Tracts Phys.
Astronom., 4, Interscience, New York.
[53] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (1994) Attractors for non-autonomous
dynamical systems and their dimension. J. Math. Pures Appl., 73, 279-
333.
[54] X. Jia and Y. Zhou (2012) Regularity criteria for the 3D MHD equations
via partial derivatives. Kinetic and Related Models, 5, 505-516.
[55] X.L. Song and Y.R. Hou (2012) Pullback D-attractors for the non-
autonomous Newton-Boussinesq equation in two-dimensional bounded do-
main. Discrete Contin. Dyn. Syst., 32, 991-1009.
132
DANH MÖC CC CÆNG TRNH CÆNG BÈ
CÕA LUN N
1. C.T. Anh and D.T. Son (2013), Pullback attractors for non-autonomous
2D B²nard problem in some unbounded domains, Mathematical Methods
in the Applied Sciences 36, 1664-1684. (ISI)
2. C.T. Anh and D.T. Son (2015), Pullback attractors for non-autonomous
2D MHD equations in some unbounded domains, Annales Polonici Math-
ematici 113, 129-154. (ISI)
DANH MÖC CC CÆNG TRNH KHOA HÅC
CÕA TC GI LIN QUAN N LUN N
3. C.T. Anh and D.T. Son, On the weak solutions to the variable density
Boussinesq system, submitted (2015).
4. C.T. Anh and D.T. Son, Optimal control problems of the variable density
Boussinesq system, submitted (2015).
Các file đính kèm theo tài liệu này:
luan_an_mot_so_he_phuong_trinh_cap_trong_co_hoc_chat_long.pdf
