Luận án Một số phương pháp hiệu chỉnh giải hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh

uy tắc dừng lặp (2.47) ‖Bx(K) − f˜δ‖2R4 ≤ τδ 1, k = 0, 1, ...., K − 1. Để quá trình lặp hội tụ, ta cần chọn các tham số thỏa mãn các điều kiện (2.48), (2.49) và (2.50) αk αk+1 ≤ 1 + α3k, αk > αk+1, (1− cλ) cα20 ≤ 1, λ = α20 + L 2 2 , ‖x0 − x(0)‖R4 ≤ ( 1− cλ− 2α0c ) ( √ τ − 1)2α0 (1 + α30) (1 + α 2 0) + 2α0 , vậy chọn L = ‖B‖R4 = 1.1847, α0 = 0.1, λ = α 2 0 + L 2 2 = 0.7068, c = 1 2λ = 0.7075. Để τ thỏa mãn điều kiện (2.50) ta có thể chọn τ = (√ ‖x− x(0)‖R4 [(1 + α30) (1 + α20) + 2α0]( 1− cλ− 2α0c ) α0 + 1 )2 = 133.57463. Nếu chọn xấp xỉ đầu x(0) = x∗ = (0; 0; 0; 0) thì dễ thấy t = 415 và x0 = ( 1; 715 ;−13 ; 1115 ) là nghiệm x∗− chuẩn nhỏ nhất. 72 Với cách chọn tham số và xấp xỉ đầu như trên, ta có kết quả nghiệm tìm được như sau: n K x (K) 1 x (K) 2 x (K) 3 x (K) 4 1 0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 2 0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 3 16 0.177032 0.245830 −0.207462 0.545650 4 77 0.435608 0.225849 −0.259445 0.845527 5 10821 0.678054 0.280364 −0.286240 0.870472 6 439824 0.842983 0.367841 −0.310054 0.814587 7 15936490 0.940141 0.427954 −0.324409 0.766137 Bảng 2.3. Nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm x0 với nhiễu δ = 10−n, n = 1, 2, ... n K ‖Bx(K) − f˜δ‖ τδ ‖x(K) − x0‖ 1 0 1.089943 13.357463 1.366260 2 0 1.004651 1.335746 1.366260 3 16 0.361763 0.133575 0.881541 4 77 0.114956 0.013357 0.628154 5 10821 0.036548 0.001336 0.399228 6 439824 0.011567 0.000134 0.203875 7 15936490 0.003655 0.000013 0.078987 Bảng 2.4. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm x0 với nhiễu δ = 10−n, n = 1, 2, ... Trong trường hợp nhiễu toán tử, Aj và fj được xấp xỉ bởi A h j và f δ j , ở đây Ahj = Aj +H, f δ j = fj + ∆, j = 1, 2, 73 H =  h/2 h/3 h/4 h/5 h/3 h/4 h/5 h/6 h/4 h/5 h/6 h/7 h/5 h/6 h/7 h/8  ,∆ =  δ/2 δ/2 δ/2 δ/2  , Bh = (Ah1) ∗Ah1 + (A h 2) ∗Ah2 , f˜δ = (A h 1) ∗f δ1 + (A h 2) ∗f δ2 . Để quá trình lặp x(k+1) = x(k) − βk(Bhx(k) + αk(x(k) − x(0))− f˜δ) hội tụ, ta cần chọn các tham số thỏa mãn các điều kiện αk αk+1 ≤ 1 + α3k, αk > αk+1, (1− cλ) cα20 ≤ 1, λ = α20 + L 2 2 , ‖x0 − x(0)‖R4 ≤ ( 1− cλ− 2α0c ) ( √ τ − 1)2α0 (1 + α30) (1 + α 2 0) + 2α0 , vậy chọn L = ‖Bh‖R4, α0 = 0.05, λ = α 2 0+L 2 2 , c = 1 2λ . Để τ thỏa mãn điều kiện (2.50) ta có thể chọn τ = (√ ‖x− x(0)‖R4 [(1 + α30) (1 + α20) + 2α0]( 1− cλ− 2α0c ) α0 + 1 )2 = 145.8741. Vậy ta có kết quả tính toán như sau: n K x (K) 1 x (K) 2 x (K) 3 x (K) 4 1 0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 2 0 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 3 29 0.167796 0.240586 −0.200835 0.525637 4 96 0.393307 0.251553 −0.267696 0.835876 5 7009 0.670939 0.277273 −0.285218 0.871628 6 380309 0.837765 0.364742 −0.309287 0.816961 7 13912613 0.937705 0.426402 −0.324047 0.767432 Bảng 2.5. Nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm x0 với nhiễu h = δ = 10−n, n = 1, 2, ... 74 n K ‖Bhx(K) − f˜δ‖ τδ ‖x(K) − x0‖ 1 0 1.155791 14.587413 1.366260 2 0 1.009850 1.458741 1.366260 3 29 0.381565 0.145874 0.896866 4 96 0.120050 0.014587 0.655113 5 7009 0.038193 0.001459 0.406930 6 380309 0.012078 0.000146 0.210430 7 13912613 0.003819 0.000015 0.082164 Bảng 2.6. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm x0 với nhiễu h = δ = 10−n, n = 1, 2, ... Nhận xét: Từ các kết quả tính toán trên cho thấy, mỗi phương trình toán tử là một hệ phương trình đại số có định thức ma trận hệ số bằng không, nên mỗi hệ đều có vô số nghiệm, vậy mỗi hệ đều là không chỉnh. Bằng phương pháp hiệu chỉnh, hệ phương trình toán tử dẫn về một phương trình toán tử, cụ thể ở đây là một hệ phương trình đại số tuyến tính mà ma trận hệ số có cùng kích thước với ma trận hệ số bất kỳ một hệ nào trong hệ bài toán. Ngoài ra, ma trận hệ số này có định thức khác không, tức là bài toán xấp xỉ là bài toán đặt chỉnh và như vậy ta hoàn toàn có thể tìm nghiệm bằng các phương pháp giải thông thường, các kết quả tính toán được thể hiện ở Bảng 2.1 và Bảng 2.2 đã chỉ ra sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ mà chỉ cần thỏa mãn điều kiện nguồn lên một toán tử trong hệ. Trong trường hợp bài toán xấp xỉ cho hệ phương trình có ma trận hệ số với điều kiện xấu, khi đó việc sử dụng các phương pháp giải thông thường sẽ có sai số lớn, vậy để tìm nghiệm ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp và quy tắc dừng lặp, các 75 kết quả số được thể hiện ở Bảng 2.3, Bảng 2.4, Bảng 2.5 và Bảng 2.6, từ các kết quả tính toán cho thấy, nếu bỏ đi vai trò của tham số hiệu chỉnh thì bài toán xấp xỉ lại là bài toán đặt không chỉnh và có vô số nghiệm. Tuy nhiên, khi có mặt của tham số hiệu chỉnh thì việc giải bài toán lại cho ta nghiệm duy nhất và nghiệm duy nhất có thể tìm được theo ý muốn khi có phần tử x∗ đóng vai trò như là tiêu chuẩn để chọn nghiệm. 2.4.2. Kết quả tính toán cho hệ phương trình toán tử phi tuyến Xét hệ phương trình: Aj(x) = fj, j = 1, 2, (2.57) ở đây, A1(x) = f1 ⇔  x41 + x 4 2 = 2 x21 − x22 = 0 x1x3 = 0 A2(x) = f2 ⇔  x1 − x2 + x3 = 0 2x1 − 2x2 + x3 = 0 x1 − x2 − x3 = 0 Phương trình A1(x) = f1 có 4 nghiệm s1 = (−1;−1; 0), s2 = (−1; 1; 0), s3 = (1;−1; 0), s4 = (1; 1; 0), A2 là toán tử tuyến tính có rank(A2) = 2. Vậy, hệ (2.57) có 2 nghiệm s1 = (−1;−1; 0), s4 = (1; 1; 0). 76 Trong trường hợp vế phải fj được xấp xỉ bởi f δ j = (f δ j,1; f δ j,2; f δ j,3) với ‖f δj − fj‖R3 ≤ δ, j = 1, 2, f δj = fj + ∆, ∆ = (δ/ √ 3; δ/ √ 3; δ/ √ 3), j = 1, 2. Để tìm nghiệm của (2.57), ta tìm nghiệm của bài toán tối ưu F (x) = ‖A1x− f δ1‖2R3 + ‖A2x− f δ2‖2R3 + α‖x− x∗‖2R3 → min (2.58) ⇔ F (x) = (x41 + x 4 2 − f δ1,1)2 + (x21 − x22 − f δ1,2)2 +(x1x3 − f δ1,3)2 + (x1 − x2 + x3 − f δ2,1)2 +(2x1 − 2x2 + x3 − f δ2,2)2 + (x1 − x2 − x3 − f δ2,3)2 +α ( (x1 − x∗1)2 + (x2 − x∗2)2 + (x3 − x∗3)2 )→ min R3 , (2.59) ở đây, x∗ = (x∗1; x ∗ 2; x ∗ 3) ∈ R3, α là tham số hiệu chỉnh. Vậy, nghiệm của (2.58) là nghiệm của hệ ∂F ∂xi = 0, i = 1, 2, 3. (2.60) Việc giải (2.60) được thực hiện bằng sơ đồ lặp Newton (xem [64]) x(k+1) = x(k) − J(x(k))−1G(x(k)), x(0) = x∗ = (x∗1; x∗2; x∗3), ở đây, J =  ∂g1 ∂x1 ∂g1 ∂x2 ∂g1 ∂x3 ∂g2 ∂x1 ∂g2 ∂x2 ∂g2 ∂x3 ∂g3 ∂x1 ∂g3 ∂x2 ∂g3 ∂x3  , G =  g1 g2 g3  , gi = ∂F∂xi , i = 1, 2, 3, với việc chọn α = δ, thì sau 1000 lần lặp ta thu được kết quả sau 77 α = δ xα,δ1 x α,δ 2 x α,δ 3 ‖xδα(δ) − s1‖R3 ‖xδα(δ) − s4‖R3 1.0000 1.1497 1.0959 1.1525 3.2159 1.1662 0.1000 1.0205 1.0161 0.1467 2.8581 0.1490 0.0100 1.0022 1.0017 0.0151 2.8312 0.0154 0.0010 1.0002 1.0002 0.0015 2.8287 0.0015 0.0001 1.0000 1.0000 0.0002 2.8285 0.0002 Bảng 2.7. Kết quả tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x∗ = (5; 5; 5) α = δ xα,δ1 x α,δ 2 x α,δ 3 ‖xδα(δ) − s1‖R3 ‖xδα(δ) − s4‖R3 1.0000 -0.9973 -1.2169 -1.0887 1.1101 3.1764 0.1000 -0.9991 -1.0362 -0.1401 0.1447 2.8570 0.0100 -0.9999 -1.0040 -0.0145 0.0150 2.8312 0.0010 -1.0000 -1.0004 -0.0015 0.0015 2.8287 0.0001 -1.0000 -1.0000 -0.0001 0.0002 2.8285 Bảng 2.8. Kết quả tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x∗ = (−5;−5;−5) Bây giờ ta xét trường hợp hệ phương trình (2.57) có nhiễu lên các toán tử, ta có Ah1(x) =  (1 + h)x41 + x 4 2 x21 − (1− h)x22 (1 + h)x1x3 , Ah2(x) =  (1 + h)x1 − x2 + x3 2x1 − (2 + h)x2 + (1 + h)x3 x1 − x2 − (1 + h)x3 Để tìm nghiệm của hệ phương trình Ahj (x) = f δ j , j = 1, 2, 78 ta tìm nghiệm của bài toán tối ưu Fh(x) = ‖Ah1x− f δ1‖2R3 + ‖Ah2x− f δ2‖2R3 + α‖x− x∗‖2R3 → min . Bằng sơ đồ lặp Newton, ta có kết quả tính toán được cho trong Bảng 2.9 và Bảng 2.10. h = δ xα1 x α 2 x α 3 ‖xhδα(h,δ) − s1‖R3 ‖xhδα(h,δ) − s4‖R3 1.0000 0.9574 1.1537 0.9288 3.0549 0.9424 0.1000 0.9993 1.0317 0.2491 2.8614 0.2511 0.0100 1.0002 1.0036 0.0291 2.8313 0.0293 0.0010 1.0000 1.0004 0.0030 2.8287 0.0030 0.0001 1.0000 1.0000 0.0003 2.8285 0.0003 Bảng 2.9. Kết quả tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x∗ = (5; 5; 5) và tham số hiệu chỉnh α = h+ δ h = δ xα1 x α 2 x α 3 ‖xhδα(h,δ) − s1‖R3 ‖xhδα(h,δ) − s4‖R3 1.0000 -0.7916 -1.2890 -1.0080 1.0692 3.0766 0.1000 -0.9780 -1.0519 -0.2465 0.2528 2.8607 0.0100 -0.9980 -1.0059 -0.0285 0.0291 2.8313 0.0010 -0.9998 -1.0006 -0.0029 0.0030 2.8287 0.0001 -1.0000 -1.0001 -0.0003 0.0003 2.8285 Bảng 2.10. Kết quả tính toán sau 1000 lần lặp cho hệ phương trình phi tuyến với xấp xỉ đầu x(0) = x∗ = (−5;−5;−5) và tham số hiệu chỉnh α = h+ δ Nhận xét: Kết quả trên cho thấy nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm x∗- chuẩn nhỏ nhất. Trong Bảng 2.7 và Bảng 2.9, ta thấy với x(0) = x∗ = 79 (5; 5; 5), ‖x(0) − s1‖R3 = 9.8489, ‖x(0) − s4‖R3 = 7.5498, vậy nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về s4 là nghiệm có x∗- chuẩn nhỏ nhất. Trong Bảng 2.8 và Bảng 2.10, x(0) = x∗ = (−5;−5;−5), ‖x(0) − s1‖R3 = 7.5498, ‖x(0) − s4‖R3 = 9.8489, nên nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về s1 là nghiệm có x∗− chuẩn nhỏ nhất. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 Trong chương này, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh với các toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert và hệ phương trình toán tử phi tuyến với các toán tử liên tục và đóng yếu khi giả thiết hệ phương trình có nghiệm nằm trong một tập lồi đóng, từ đó đề xuất phương pháp hiệu chỉnh nghiệm của hệ phương trình. Các kết quả đạt được là mở rộng phương pháp (1.4) cho hệ phương trình đặt không chỉnh đối với trường hợp có nhiễu vế phải và nhiễu toán tử. Chúng tôi chứng minh được sự ổn định của bài toán xấp xỉ và quy tắc chọn tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào nhiễu vế phải, nhiễu toán tử sao cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm của hệ (1.11), tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ phương trình (1.11) được đánh giá khi bổ sung thêm các điều kiện lên một toán tử bất kỳ trong hệ phương trình, bao gồm tính khả vi Fréchet, điều kiện Lipchitz lên đạo hàm Fréchet của toán tử, điều kiện nguồn và điều kiện đối với hằng số Lipchitz, trong khi ở các phương pháp khác đòi hỏi điều kiện lên tất cả các toán tử và khá phức tạp. Cuối cùng là các ví dụ tính toán số giải hệ phương trình toán tử tuyến tính và hệ phương trình toán tử phi tuyến để minh họa cho lý thuyết được trình bày trong chương này. 80 Chương 3 Hiệu chỉnh tìm nghiệm cho hệ phương trình phi tuyến với toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach Chương này gồm bốn mục. Mục 3.1 giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử phi tuyến khi các toán tử là U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn khả vi Gâteaux đều. Mục 3.2 trình bày nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh. Mục 3.3 đưa ra tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh khi chọn tham số theo nguyên lý tựa độ lệch được trình bày ở mục 3.2. Mục 3.4 là các ví dụ tính toán minh họa cho lý thuyết đưa ra ở các mục trước. Kết quả của chương này được lấy từ các bài báo [31] và [32]. 3.1. Phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình với toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach Trong mục này, các kết quả hiệu chỉnh cho hệ phương trình (1.11) được đưa ra trong trường hợp toán tử Aj là U− đơn điệu và ngược U− đơn điệu mạnh trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt với chuẩn 81 khả vi Gâteaux đều. Giả thiết toán tử Aj và vế phải fj là những đại lượng được xấp xỉ bởi Ahj , f δ j và thỏa mãn (2.1), (2.14). Để tìm nghiệm của bài toán (1.11), ta xét phương pháp hiệu chỉnh dựa trên cơ sở tìm nghiệm của bài toán Ah1(x) + α µ˜ N∑ j=2 (Ahj (x)− f δj ) + α(x− x∗) = f δ1 , (3.1) ở đây, µ˜ ∈ (0, 1) là hằng số dương cố định, α là tham số hiệu chỉnh. Bổ đề 3.1 (xem [72]) Cho C là một tập con lồi trên không gian Banach X có chuẩn khả vi Gâteaux đều, {xk} là tập con giới nội trong X, z ∈ C và µ là giới hạn Banach, thì µk‖xk − z‖2 = min v∈C µk‖xk − v‖2 khi và chỉ khi µk 〈v − z, U(xk − z)〉 ≤ 0 với mọi v ∈ C. Trong [19] chỉ ra được với toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên X là m− U− đơn điệu. Cho A là toán tử m− U− đơn điệu trên X và f ∈ X. Toán tử v = Tf(x) được xác định từ đẳng thức A(v) + v = f + x. (3.2) Khi đó Tf thỏa mãn các tính chất sau: (i) D(Tf) = X; (ii) Tf là không giãn; (iii) Fix(Tf) = S, ở đây Fix(Tf) = {x ∈ X : x = Tf(x)}. Định lý sau chỉ ra sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ trong trường hợp chỉ có nhiễu vế phải. 82 Định lý 3.1 Cho X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, A1 là toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz, Aj là toán tử ngược U− đơn điệu mạnh với hằng số γj trên X, j = 2, ..., N . Khi đó, ta có: (i) với mỗi α > 0 và f δj ∈ X, phương trình A1(x) + α µ˜ N∑ j=2 (Aj(x)− f δj ) + α(x− x∗) = f δ1 (3.3) có nghiệm duy nhất xδα; (ii) nếu S 6= θ, f δj thỏa mãn (2.1) với j = 1, ..., N , tham số α được chọn sao cho α, δ/α→ 0, thì xδα hội tụ mạnh tới x0 ∈ S và thỏa mãn 〈x0 − x∗, U(x0 − z)〉 ≤ 0, ∀z ∈ S. (3.4) Chứng minh (i) Vì Aj là U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên X, j = 1, ..., N , toán tử A := A1 + α µ˜ N∑ j=2 Aj cũng là U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên X, vậy, A cũng có tính chất m− U− đơn điệu, nên phương trình (3.3) có nghiệm xδα, với α > 0 và f δ j ∈ X. Vì (A + α(I − x∗))(.) là U− đơn điệu mạnh với hằng số α, nên nghiệm xδα là duy nhất. (ii) Không mất tính tổng quát, ta giả thiết (N − 1)αµ˜ ≤ 1, từ (3.3), ta có 〈A1(xδα)− A1(z) + αµ˜ N∑ j=2 (Aj(x δ α)− Aj(z)− (f δj − fj)) +α(xδα − x∗), U(xδα − z)〉 = 〈f δ1 − f1, U(xδα − z)〉, 83 với z ∈ S, suy ra 〈xδα − x∗, U(xδα − z)〉 ≤ 1 α 〈f δ1 − f1, U(xδα − z)〉 + αµ˜ α N∑ j=2 〈f δj − fj, U(xδα − z)〉. Vì Aj là U− đơn điệu với j = 1, ..., N nên ta có ‖xδα − z‖2 ≤ 〈x∗ − z, U(xδα − z)〉+ 2 δ α ‖xδα − z‖, z ∈ S. Vậy, {xδα} là giới nội, nên tồn tại một hằng số dương M1 sao cho với mọi α, δ > 0 ta có ‖xδα‖ ≤M1, suy ra ‖xδα − z‖2 ≤ 〈x∗ − z, U(xδα − z)〉+ 2 δ α (M1 + ‖z‖),∀z ∈ S. (3.5) Từ (3.3) và Aj là liên tục Lipschitz với j = 2, ..., N , ta cũng thu được ‖A1(xδα)− f1‖ ≤ α‖xδα − x∗‖+ αµ˜ N∑ j=2 ‖Aj(xδα)− Aj(z)‖+ 2δ ≤ α‖xδα − x∗‖+ αµ˜ N∑ j=2 1 γj (M1 + ‖z‖) + 2δ. Suy ra lim α,δ/α→0 ‖A1(xδα)− f1‖ = 0. (3.6) Từ (3.3) và A1 là U− đơn điệu, Aj là ngược U− đơn điệu mạnh với hằng số γj, nên ta có N∑ j=2 γj‖Aj(xδα)− fj‖ 2 ≤ N∑ j=2 〈 Aj(x δ α)− fj, U(xδα − z) 〉 ≤ α1−µ˜ 〈x∗ − xδα, U(xδα − z)〉+ (δ/αµ˜ + (N − 1)δ)‖U(xδα − z)‖ ≤ (α1−µ˜‖x∗ − z‖+ (α1−µ˜δ/α + (N − 1)δ))(M1 + ‖z‖). 84 Suy ra lim α,δ/α→0 ‖Aj(xδα)− fj‖ = 0, j = 2, ..., N. (3.7) Xét toán tử Tj = I−Aj và T fj = Tj +fj, dễ thấy z ∈ S khi và chỉ khi z ∈ ∩Nj=1Fix(T fj). Vì Aj là U− đơn điệu, Tj là toán tử giả co trên X, nên toán tử T fj cũng giả co trên X. Từ (3.6) và (3.7), ta có ‖(I−T fj)xδα‖ → 0 khi α, δ/α→ 0, j = 1, ..., N . Dễ thấy Λj := (2I−T fj)−1 là toán tử không giãn. Thực vậy, 2I−T fj = I+I−T fj=I+Aj−fj là U− đơn điệu mạnh trên X. Vậy, R(2I − T fj) = X, từ (3.2), ta có (2I − T fj)x = (I + I − T fj)x = (I + Aj)x− fj. Toán tử Aj(.) = Aj(.)− fj là m− U− đơn điệu, (I +Aj)−1 và Λj là các toán tử không giãn. Fix(Λj) = Fix(T fj) = Sj. Vậy, xδα − T fjxδα = (2I − T fj)xδα − xδα = Λ−1j xδα − xδα và ΛjΛ −1 j x δ α = x δ α. Suy ra ‖xδα − Λjxδα‖ = ‖ΛjΛ−1j xδα − Λjxδα‖ ≤ ‖Λ−1j xδα − xδα‖ = ‖(I − T fj)xδα‖, vậy, ‖xδα − Λjxδα‖ → 0 khi α, δ/α→ 0. Cho {xk} là dãy con của {xδα} với αk, δk/αk → 0 khi k →∞. Ta xét hàm ϕ(x) = µk‖xk− x‖2 với mọi x ∈ X. Ta có ϕ(x)→∞ khi ‖x‖ → ∞ và ϕ liên tục và lồi, vậy khi X là phản xạ thì tồn tại z˜ ∈ X sao cho ϕ(z˜) = minx∈Xϕ(x). Suy ra tập C∗ := {u ∈ X : ϕ(u) = min x∈X ϕ(x)} 6= ∅. 85 Dễ thấy C∗ là tập con giới nội và lồi đóng của X (xem [3]). Vì ‖xk − Λjxk‖ → 0, ta có ϕ(Λj z˜) = µk‖xk − Λj z˜‖2 = µk‖Λjxk − Λj z˜‖2 ≤ µk‖xk − z˜‖2 = ϕ(z˜). Suy ra ΛjC ∗ ⊂ C∗, j = 1, 2, ..., N . Mặt khác, tồn tại điểm bất động của {Λj}Nj=1 thuộc C∗. Thật vậy, vì X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt, C∗ là tập Chebyshev trong X (xem [57]), suy ra z ∈ ∩Nj=1Fix(Λj), nên tồn tại duy nhất z˜ ∈ C∗ sao cho ‖z − z˜‖ = inf x∈C∗ ‖z − x‖. Vì z = Λjz, Λj z˜ ∈ C∗, ta có ‖z − Λj z˜‖ = ‖Λjz − Λj z˜‖ ≤ ‖z − z˜‖. Suy ra Λj z˜ = z˜. Vậy, tồn tại z˜ ∈ ∩Ni=1Fix(Λj) ∩ C∗. Từ bổ đề 3.1, ta có µk‖xk − z˜‖2 = min x∈X µk‖xk − x‖2 ⇔ µk 〈x− z˜, U(xk − z˜)〉 ≤ 0. Chọn x = x∗, ta có µk 〈x∗ − z˜, U(xk − z˜)〉 ≤ 0. Trong (3.5), chọn z = z˜ khi đó αk, δk/αk → 0 ta có 〈x∗ − z˜, U(xk − z˜)〉 ≥ ‖xk − z˜‖2. Suy ra µk‖xk − z˜‖2 = 0. Mặt khác, với giới hạn Banach µ ta có lim inf k→∞ ‖xk − z˜‖2 ≤ µk‖xk − z˜‖2 = 0. 86 Vì {xk} compact yếu trong không gian Banach phản xạ và lồi chặt, nên tồn tại dãy con {xkj} của {xk} sao cho lim j→∞ ‖xkj − z˜‖2 = lim inf k→∞ ‖xk − z˜‖2 = 0. Vậy {xkj} hội tụ mạnh tới z˜ khi j →∞. Từ (3.5) và tính liên tục yếu của chuẩn toán tử đối ngẫu U trên tập con giới nội của X, khi α, δ/α→ 0 ta có 〈z − x∗, U(z˜ − z)〉 ≤ 0, ∀z ∈ S = ∩Nj=1Fix(Λj). (3.8) Vì z, z˜ ∈ S và S là tập đóng lồi, nên khi thay z trong (3.8) bởi sz+(1−s)z˜, s ∈ (0, 1), s→ 0 và sử dụng tính chất U(s(z˜ − z)) = sU(z˜ − z), ta có 〈z˜ − x∗, U(z˜ − z)〉 ≤ 0, ∀z ∈ S. Khi x0 trong (3.4) là duy nhất thì z˜ = x0. Vậy {xδα} hội tụ mạnh tới x0 khi α, δ/α→ 0. Trong trường hợp tổng quát, khi vế phải và toán tử có nhiễu ta có định lý sau chỉ ra sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ. Định lý 3.2 Cho X là không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, Ahj là toán tử liên tục Lipschitz và U− đơn điệu trên X, thỏa mãn điều kiện (2.14), g(t) là hàm không âm và giới nội, h > 0. Khi đó, ta có: (i) α > 0, f δj ∈ X, phương trình (3.1) có nghiệm duy nhất xhδα ; (ii) Nếu S 6= θ, f δj thỏa mãn (2.1), j = 1, ..., N , tham số hiệu chỉnh α được chọn sao cho α, (δ + h)/α → 0, khi đó xhδα hội tụ mạnh tới x0 ∈ S và thỏa mãn (3.4). Chứng minh. 87 (i) Vì Ahj liên tục Lipschitz và U− đơn điệu trên X, j = 1, ..., N , toán tử Ah1(.) + α µ˜ N∑ j=2 (Ahj (.)− f δj ) + α(I − x∗)(.) liên tục Lipschitz và U− đơn điệu mạnh với hằng số α. Suy ra phương trình (3.1) có nghiệm duy nhất xδα, α > 0, h, δ > 0. (ii) Từ (3.1) ta có 〈Ah1(xhδα )− Ah1(z) + αµ˜ N∑ j=2 (Ahj (x hδ α )− Ahj (z)) + α(xhδα − x∗), U(xhδα − z)〉 = 〈f δ1 − f1 + αµ˜ N∑ j=2 (f δj − fj), U(xhδα − z)〉 +〈A1(z)− Ah1(z) + αµ˜ N∑ j=2 (Aj(z)− Ahj (z)), U(xhδα − z)〉, ở đây z ∈ S, suy ra 〈xhδα − x∗, U(xhδα − z)〉 ≤ 1 α 〈f δ1 − f1, U(xhδα − z)〉 +〈αµ˜−1 N∑ j=2 (f δj − fj), U(xhδα − z)〉 + 1 α ‖A1(z)− Ah1(z)‖‖xhδα − z‖+ αµ˜−1 N∑ j=2 ‖Aj(z)− Ahj (z)‖‖xhδα − z‖. Vì Ahj là U− đơn điệu, nên ta có ‖xhδα − z‖2 ≤ 〈x∗ − z, U(xhδα − z)〉+ 2 δ + hg(‖z‖) α ‖xhδα − z‖, ∀z ∈ S, suy ra {xhδα } giới nội, nên tồn tại hằng số M2 > 0 sao cho ‖xhδα ‖ ≤ M2, với mọi α, δ, h > 0 và thỏa mãn (h+ δ)/α→ 0, suy ra ∀z ∈ S, ta có ‖xhδα − z‖2 ≤ 〈x∗ − z, U(xhδα − z)〉+ 2 δ + hg(‖z‖) α (M2 + ‖z‖). (3.9) 88 Từ (3.1) và (N − 1)αµ˜ ≤ 1, ta có ‖Ah1(xhδα )− f1‖ ≤ α‖xhδα − x∗‖+ αµ˜ N∑ j=2 ‖Ahj (xhδα )− Aj(z)‖ +(1 + (N − 1)αµ˜)δ ≤ α‖xhδα − x∗‖+ αµ˜ N∑ j=2 ‖Ahj (xhδα )− Aj(xhδα )‖ +αµ˜ N∑ j=1 ‖Aj(xhδα )− Aj(z)‖+ 2δ ≤ α‖xhδα − x∗‖+ hg(‖xhδα ‖) + αµ˜ N∑ j=2 1 γj ‖xhδα − z‖+ 2δ ≤ α‖xhδα − x∗‖+ hgm + αµ˜ N∑ j=2 1 γj (M2 + ‖z‖) + 2δ, ở đây, gm = sup{g(s) : s ∈ (0,M2)}, α, (h+ δ)/α→ 0. Suy ra lim α,(h+δ)/α→0 ‖Ah1(xhδα )− f1‖ = 0. Vậy, từ (2.14), ta có lim α,(h+δ)/α→0 ‖A1(xhδα )− f1‖ = 0. Tương tự như trong chứng minh định lý 3.1, ta cũng thu được ‖Aj(xhδα )− fj‖ → 0, j = 2, ..., N và xhδα → x0 khi α, (h+ δ)/α→ 0. 3.2. Nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh Đối với việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của bài toán ban đầu bao gồm hai bước cơ bản là tìm phương pháp hiệu chỉnh và chọn tham số hiệu chỉnh dựa vào thông tin của bài toán, nếu 89 tham số hiệu chỉnh chỉ phụ thuộc vào sai số thì được gọi là tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm, trong trường hợp tham số không chỉ phụ thuộc vào sai số của bài toán mà còn phụ thuộc vào dữ kiện của bài toán ban đầu thì tham số hiệu chỉnh đó được gọi là tham số hậu nghiệm. Nhìn chung, chọn tham số hậu nghiệm cho kết quả tốt hơn tham số tiên nghiệm khi ta sử dụng thêm thông tin về nghiệm của bài toán, vấn đề chọn tham số hậu nghiệm cho bài toán (1.11) khi N = 1 với nhiễu vế phải đã được Alber,Ya.I. (xem [5]) xét đến bằng nguyên lý độ lệch cổ điển chọn tham số hiệu chỉnh từ hệ thức ‖A(xδα)− fδ‖ = Kδp, K > 1, 0 < p ≤ 1. Mở rộng kết quả trên, chúng tôi đưa ra nguyên lý tựa độ lệch chọn tham số hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử khi sử dụng phương pháp hiệu chỉnh (3.1), nội dung chính của nguyên lý này là chọn tham số hiệu chỉnh từ hệ thức ρ(α) = K(h+ δ)p, K > 2, 0 < p ≤ 1, ở đây, ρ(α) ≡ α‖xhδα − x∗‖. Sau đây là kết quả lý thuyết được dùng để chứng minh cho sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ phương trình khi chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch. Bổ đề 3.2 ρ(α) ≡ α‖xhδα − x∗‖ có các tính chất sau: (i) ρ(α) liên tục trên (α0,+∞) với α0 > 0; 90 (ii) Nếu ‖ N∑ j=2 (Ahj (x∗)− f δj )‖ > 0, h, δ ≥ 0, (3.10) thì limα→+∞ρ(α) = +∞. Trong đó A0j ≡ Aj, f 0j ≡ fj. Chứng minh Cho α, β ∈ (α0,+∞), từ (3.1) ta có Ah1(x hδ α )− Ah1(xhδβ ) + αµ˜ N∑ j=2 (Ahj (x hδ α )− f δj )− βµ˜ N∑ j=2 (Ahj (x hδ β )− f δj ) +α(xhδα − x∗)− β(xhδβ − x∗) = 0. Suy ra α 〈 xhδα − xhδβ , U(xhδα − xhδβ ) 〉− (β − α) 〈xhδβ , U(xhδα − xhδβ )〉 +αµ˜ N∑ j=2 〈 Ahj (x hδ α )− Ahj (xhδβ ), U(xhδα − xhδβ ) 〉 −(βµ˜ − αµ˜) N∑ j=2 〈 Ahj (x hδ β )− f δj , U(xhδα − xhδβ ) 〉 = 0. Vậy, ta có | ‖xhδα − x∗‖ − ‖xhδβ − x∗‖ |≤ ‖xhδα − xhδβ ‖ ≤ |α− β| α0 ‖xhδβ ‖+ ∣∣αµ˜ − βµ˜∣∣ α0 N∑ j=2 ‖Ahj (xhδβ )− f δj ‖. Bất đẳng thức trên cho thấy ρ(α) liên tục tại β ∈ (α0,+∞). Từ phương trình hiệu chỉnh (3.1) ta có Ah1(x hδ α )− Ah1(x∗) + αµ˜ N∑ j=2 (Ahj (x hδ α )− Ahj (x∗)) +α(xhδα − x∗) = f δ1 − Ah1(x∗) + αµ˜ N∑ j=2 (f δj − Ahj (x∗)). 91 Suy ra 〈 Ah1(x hδ α )− Ah1(x∗), U(xhδα − x∗) 〉 +αµ˜ N∑ j=2 〈 Ahj (x hδ α )− Ahj (x∗), U(xhδα − x∗) 〉 +α 〈 xhδα − x∗, U(xhδα − x∗) 〉 = 〈 f δ1 − Ah1(x∗), U(xhδα − x∗) 〉 + αµ˜ N∑ j=2 〈 f δj − Ahj (x∗), U(xhδα − x∗) 〉 . Sử dụng tính chất U− đơn điệu của toán tử, ta suy ra〈 xhδα − x∗, U(xhδα − x∗) 〉 ≤ 1 α 〈 f δ1 − Ah1(x∗), U(xhδα − x∗) 〉 +αµ˜−1 N∑ j=2 〈 f δj − Ahj (x∗), U(xhδα − x∗) 〉 . Vậy ta có ‖xhδα − x∗‖ ≤ ‖f δ1 − Ah1(x∗)‖ α + 1 α1−µ˜ N∑ j=2 ‖f δj − Ahj (x∗)‖, Suy ra lim α→+∞‖x hδ α − x∗‖ = 0. (3.11) Từ (3.1), ta có ‖Ah1(xhδα )− f δ1 + α(xhδα − x∗)‖ = αµ˜‖ N∑ j=2 (Ahj (x hδ α )− f δj )‖. Suy ra ρ(α) ≡ α‖xhδα − x∗‖ ≥ αµ˜‖ N∑ j=2 (Ahj (x hδ α )− f δj )‖−‖Ah1(xhδα )− f δ1‖. (3.12) Từ (3.11), (3.12) và tính liên tục của toán tử Aj suy ra lim α→+∞ρ(α) = +∞. Định lý sau đây chỉ ra cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch. 92 Định lý 3.3 Cho x∗ ∈ X \ S thỏa mãn (3.10). Khi đó, ta có: (i) tồn tại α¯ = α(h, δ) sao cho α¯ ≥ (K − 2)(δ + h) p 2‖x∗ − z‖ , z ∈ S (3.13) và ρ(α¯) = [K + 2g(‖xhδα¯ ‖)](δ + h)p, K > 2, p ∈ (0, 1], (3.14) ở đây, xhδα¯ là nghiệm của (3.1) khi thay α = α¯; (ii) khi h, δ → 0 thì: 1) α¯ → 0; 2) nếu p ∈ (0, 1) thì (δ + h)/α → 0 và xhδα → x0 ∈ S; 3) nếu p = 1, U liên tục yếu theo dãy và S = {x0} thì xhδα ⇀ x0 và (δ + h)/α ≤ C, C > 0. Chứng minh (i) Từ (3.1) và tính chất U− đơn điệu của toán tử Ahj , ta có〈 xhδα − x∗, U(xhδα − z) 〉 ≤ 1 α (δ+hg(‖xhδα ‖))(1+(N−1)αµ˜)‖xhδα − z‖, z ∈ S. Suy ra ‖xhδα − z‖ ≤ ‖x∗ − z‖+ 1 α (δ + hg(‖xhδα ‖))(1 + (N − 1)αµ˜). Vậy ta có α‖xhδα − x∗‖ ≤ 2α‖x∗ − z‖+ (δ + hg(‖xhδα ‖))(1 + (N − 1)αµ˜). (3.15) Dễ thấy, với mỗi h, δ > 0 và α đủ nhỏ, ta luôn có 2α‖x∗ − z‖ < (K − 2)(δ + h)p. Chọn α đủ nhỏ sao cho (N − 1)αµ˜ ≤ 1, khi đó, từ (3.15) suy ra ρ(α) ≡ α‖xhδα − x∗‖ < (K − 2)(δ + h)p + (δ + hg(‖xhδα ‖))2 < (K − 2)(δ + h)p + (1 + g(‖xhδα ‖))2(δ + h)p. 93 Vậy, ta có ρ(α) < (K + 2g(‖xhδα ‖))(δ + h)p. (3.16) Xét hàm d(α) = ρ(α)− (K + 2g(‖xhδα ‖))(δ + h)p, α ≥ α0 > 0, Theo kết quả của Bổ đề 3.2, ta có lim α→+∞d(α) = +∞− (K + 2g(‖x∗‖))(δ + h) p = +∞. (3.17) Từ (3.16), (3.17) và tính liên tục của d(α) ta suy ra tồn tại α¯ sao cho d(α¯) = 0, kết luận (i) của định lý được chứng minh. (ii) Để chứng minh α¯ → 0 khi h, δ → 0, bằng phương pháp phản chứng, ta giả sử có hai khả năng xảy ra: (1) Tồn tại α¯k = α(hk, δk)→ +∞, hk, δk → 0 khi k → +∞. (2) Tồn tại α¯k = α(δk, hk)→ C0, C0 > 0, hk, δk → 0 khi k → +∞. Xét trường hợp (1): Từ (3.11), (3.14), ρ(α¯) = α¯‖xhδα¯ − x∗‖ và Bổ đề 3.2, ta có lim k→+∞ ‖xhkδkα¯ − x∗‖ = lim k→+∞ ρ(α¯k) α¯k = 0. (3.18) Từ (3.1), ta có α¯µ˜k‖ N∑ j=2 (Ahkj (x hkδk α¯k )− f δkj )‖ − ‖Ahk1 (xhkδkα¯k )− f δk1 ‖ ≤ α¯k‖xhkδkα¯k − x∗‖ = ρ(α¯k) = (K + 2g(‖xhkδkα¯k ‖))(hk + δk)p, kết hợp (3.10), (3.18), dễ thấy khi α¯k → +∞ và hk + δk → 0 ta thu được kết quả +∞ ≤ 0. Xét trường hợp (2): 94 Từ (3.14), tính giới nội của hàm g(t) và ρ(α¯k) = α¯k‖xhδα¯k − x∗‖ ta có lim k→∞ ρ(α¯k) = C0 lim k→∞ ‖xhδα¯k − x∗‖ = 0. Từ (3.1) Ahk1 (x hkδk α¯k )− f δk1 + α¯µ˜k N∑ j=2 (Ahkj (x hkδk αk )− f δkj ) + α¯k(xhkδkα¯k − x∗) = 0. Khi k → +∞, ta có A1(x∗)− A1(z) + C0µ˜ N∑ j=2 (Aj(x∗)− Aj(z)) = 0, z ∈ S, (3.19) 〈A1(x∗)− A1(z), U(x∗ − z)〉+ C0µ˜ N∑ j=2 〈Aj(x∗)− Aj(z), U(x∗ − z)〉 = 0. Vì Aj, j = 1, ..., N là các toán tử U− đơn điệu và Aj, j = 2, ..., N có tính chất ngược U− đơn điệu mạnh với hằng số γj, j = 2, ..., N nên ta có 0 = 〈A1(x∗)− A1(z), U(x∗ − z)〉+ C0µ˜ N∑ j=2 〈Aj(x∗)− Aj(z), U(x∗ − z)〉 ≥ C0µ˜ N∑ j=2 γj‖Aj(x∗)− Aj(z)‖, z ∈ S. Suy ra ‖Aj(x∗)− Aj(z)‖ = 0, j = 2, ..., N. Vậy, x∗ ∈ ∩Nj=2Sj. Theo (3.19), ta có A1(x∗)−A1(z) = 0, z ∈ S, điều này có nghĩa là x∗ ∈ S1, suy ra x∗ ∈ S, điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy ta có kết luận α¯→ 0 khi h, δ → 0. Từ (3.13), ta có (h+ δ)/α¯ ≤ 2(δ + h)1−p‖x∗ − z‖/(K − 2), z ∈ S, (3.20) 95 vì x∗ 6∈ S, suy ra trong trường hợp p ∈ (0, 1) thì (h + δ)/α → 0 khi h, δ → 0, theo kết quả của Định lý 3.2, ta có xhδα → x0 ∈ S và thỏa mãn (3.4). Khi p = 1, thì từ (3.20) suy ra (δ + h)/α¯ ≤ C := 2‖x∗ − z‖/(K − 2), z ∈ S. Theo (3.15), ta có ‖xhδα − x∗‖ ≤ 2‖x∗ − z‖+ 1 α (δ + hg(‖xhδα ‖)(1 + (N − 1)αµ˜) ≤ 2‖x∗ − z‖+ max{1; g(‖xhδα ‖)}(1 + (N − 1)αµ˜) h+ δ α . Vì α(h, δ) → 0, (h + δ)/α ≤ C nên {xhδα } giới nội. Mặt khác, X có tính phản xạ nên tồn tại dãy con {xk := xhkδkαk } của {xhδα } hội tụ yếu tới x∞ ∈ X khi k →∞. Theo (3.1) ta có ‖Ahk1 (xk)− A1(xk) + f1 − f δk1 + αµ˜k N∑ j=2 (Ahkj (xk)− f δkj ) + αk(xk − x∗)‖ = ‖f1 − A1(xk)‖. Suy ra ‖A1(xk)− f1‖ ≤ δk +αµ˜k N∑ j=2 ‖Ahkj (xk)− f δkj ‖+αk‖xk − x∗‖+hkg(‖xk‖), Vậy, limk→∞‖A1(xk)− f1‖ = 0, suy ra A1(x∞) = f1. Vì Aj có tính chất ngược U− đơn điệu mạnh với hằng số γj và A1 là toán tử U− đơn điệu, nên N∑ j=2 γj‖Aj(xk)− fj‖2 ≤ 〈 N∑ j=2 (Aj(xk)− Ahkj (xk) + f δkj − fj) +α1−µ˜k (xk − x∗), U(xk − x∞) 〉 ≤ ((N − 1)(δk + hkg(‖xk‖)) + α1−µ˜k ‖xk − x∗‖)‖xk − x∞‖. 96 Vậy, limk→∞‖Aj(xk)− fj‖ = 0, j = 2, ..., N , suy ra Aj(x∞) = fj, j = 2, ..., N, x∞ ∈ S. Theo giả thiết (1.11) tồn tại nghiệm duy nhất x0, nên x∞ = x0 và xhδα ⇀ x0 khi h, δ → 0. Trong trường hợp hệ phương trình chỉ có nhiễu vế phải, chúng tôi cũng đạt được các kết quả tương tự và đã được đăng trên tạp chí Zhurnal Vychisl. Math. i Math. Fiz (Tạp chí Toán học tính toán và Vật lý Toán, xem [32]). 3.3. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh Để đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh, ta giả thiết ‖A1(y)− A1(x0)−QA′1(x0)∗U(y − x0)‖ ≤ γ‖A1(y)− A1(x0)‖, (3.21) ở đây, y là phần tử thuộc lân cận của tập nghiệm S, γ > 0, Q là toán tử đối ngẫu chuẩn tắc của X∗. Định lý sau chỉ ra tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ. Định lý 3.4 Giả thiết: (i) A1 khả vi Fréchet và thỏa mãn (3.21); (ii) tồn tại phần tử ω ∈ X sao cho x∗ − x0 = A′1(x0)ω; (iii) tham số hiệu chỉnh α được chọn theo Định lý 3.3. Khi đó, với mỗi 0 < p < 1 ta có ‖xhδα − x0‖ = O((h+ δ)ν), ν = min{1− p; µ˜p/2}. Chứng minh. 97 Từ (3.1), tính chất U− đơn điệu của toán tử Ahj và các điều kiện của định lý, ta có ‖xhδα − x0‖2 = 〈 xhδα − x0, U(xhδα − x0) 〉 = 1 α 〈f δ1 − Ah1(xhδα ) + αµ˜ N∑ j=2 (f δj − Ahj (xhδα )), U(xhδα − x0)〉 + 〈 x∗ − x0, U(xhδα − x0) 〉 (3.22) ≤ 1 α (δ+hg(‖xhδα ‖))(1 + (N − 1)αµ˜)‖xhδα − x0‖+ 〈 x∗ − x0, U(xhδα − x0) 〉 . Từ (3.21) và xhδα → x0 ∈ S, ta có〈 x∗ − x0, U(xhδα − x0) 〉 = 〈 ω, A′1(x0) ∗U(xhδα − x0) 〉 ≤ ‖ω‖‖A′1(x0)∗U(xhδα − x0)‖ và ‖A′1(x0)∗U(xhδα − x0)‖ = ‖QA′1(x0)∗U(xhδα − x0)‖, ‖A1(xhδα )− A1(x0)−QA′1(x0)∗U(xhδα − x0)‖ ≤ γ‖A1(xhδα )− A1(x0)‖. Vì ‖QA′1(x0)∗U(xhδα − x0)‖ − ‖A1(xhδα )− A1(x0)‖ ≤ ‖A1(xhδα )− A1(x0)−QA′1(x0)∗U(xhδα − x0)‖, nên ‖A′1(x0)∗U(xhδα − x0)‖ ≤ (γ + 1)‖A1(xhδα )− f1‖ ≤ (γ + 1)(δ + hg(‖xhδα ‖) + ‖Ah1(xhδα )− f δ1‖) ≤ (γ + 1)(δ + hg(‖xhδα ‖) + α‖xhδα − x∗‖+ αµ˜ N∑ j=2 ‖Ahj (xhδα )− f δj ‖). Từ (3.22) ta có ‖xhδα − x0‖2 ≤ 1 α max{1; g(‖xhδα ‖)}(δ + h)(1 + (N − 1)αµ˜)‖xhδα − x0‖ 98 + 〈 x∗ − x0, U(xhδα − x0) 〉 , suy ra ‖xhδα − x0‖2 ≤ 1 α max{1; g(‖xhδα ‖)}(δ + h)(1 + (N − 1)αµ˜)‖xhδα − x0‖ +‖ω‖(γ + 1)(δ + hg(‖xhδα ‖) + α‖xhδα − x∗‖ (3.23) +αµ˜ N∑ j=2 ‖Ahj (xhδα )− f δj ‖), ở đây, δ + hg(‖xhδα ‖) ≤ (1 + g(‖xhδα ‖))(h+ δ)p ≤ (1 + g(‖xhδα ‖))(h+ δ)µ˜p, α‖xhδα − x∗‖ = (K + 2g(‖xhδα ‖))(δ + h)p ≤ (K + 2g(‖xhδα ‖))(δ + h)µ˜p, αµ˜ = (K + 2g(‖xhδα ‖))µ˜/‖xhδα − x∗‖µ˜(δ + h)µ˜p. Vậy từ (3.23) suy ra ‖xhδα − x0‖2 ≤ C1(h+ δ)1−p‖xhδα − x0‖+ C2(h+ δ)µ˜p, C1 > 0, C2 > 0. Mặt khác a, b, c ≥ 0, s > t, as ≤ bat + c⇒ as = O(bs/(s−t) + c), vậy, ta thu được ‖xhδα − x0‖ = O((h+ δ)ν), ν = min{1− p; µ˜p/2}. 3.4. Một số kết quả tính toán Để minh họa cho lý thuyết hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trong các mục trước, ta xét bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình F ( 1 2 〈Bjx, x〉)Bj(x) = fj, j = 1, 2, 3, (3.24) 99 ở đây, F : R→ R được chọn như sau: F (t) =  0, t ≤ a0 t−a0 ε , a0 < t ≤ a0 + ε 1, t > a0 + ε trong đó, a0 là hằng số dương, ε đủ bé và Bj : L 2[0, 1]→ L2[0, 1] là các toán tử tích phân được xác định bởi Bjx(t) = 1∫ 0 kj(t, s)x(s)ds, j = 1, 2, 3, trong đó, kj(t, s), j = 1, 2, 3 là các hạch tích phân và được xác định như sau: k1(t, s) =  t(1− s), t ≤ ss(1− t), s < t k2(t, s) =  (1−s)2st2 2 − (1−s) 2 t3(1+2s) 6 + (t−s)3 6 , t ≤ s s2(1−s)(1−t)2 2 + s2(1−t3)(2s−3) 6 + (s−t)3 6 , s ≤ t k3(t, s) = ts. Trong trường hợp fj là đại lượng được xấp xỉ bởi f δ j = fj + δ, δ > 0, bài toán (3.24) dẫn về việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán F ( 1 2 〈Bjx, x〉)Bj(x) = f δj , j = 1, 2, 3. (3.25) Giải bài toán (3.25) dẫn về tìm nghiệm của phương trình hiệu chỉnh A1(x) + α µ˜(A2(x)− f δ2 + A3(x)− f δ3 ) + α(x− x∗) = f δ1 , ở đây, Aj(x) = F ( 1 2 〈Bjx, x〉)Bj(x), j = 1, 2, 3, hay viết dưới dạng B(x) + α(x− x∗) = f˜δ, (3.26) 100 B(x) = A1(x) + α µ˜(A2(x) + A3(x)), f˜δ = f δ 1 + α µ˜(f δ2 + f δ 3 ). Để giải số bài toán (3.26), ta thực hiện việc rời rạc hóa các tích phân Bjx(t) như sau: Bjx(ti) ≈ B˜jxi = h [ kj(ti, t0)x0 + kj(ti, tM)xM 2 + M−1∑ q=1 kj(ti, tq)xq ] , i = 0, 1, ...,M, x(t) ≈ x˜ = (x0;x1; ....;xM), xi ≈ x(ti), i = 0, 1, ...,M, ở đây, t0 = 0, tM = 1, ti = i/M, tq = q/M, h = 1/M. Vậy toán tử B˜j được xác định như sau: B˜j = (bi,q) M i,q=0; bi,q = hkj(ti, tq), i, q = 1, ...,M − 1; bi,0 = hkj(ti, t0)/2; bi,M = hkj(ti, tM)/2. Sau khi rời rạc, bài toán (3.26) đưa về dạng B˜x˜+ α(x˜− x˜∗) = f˜δ, (3.27) B˜ = A˜1 + α µ˜(A˜2 + A˜3), A˜jx˜ = F ( 1 2 〈B˜jx˜, x˜〉)B˜jx˜, j = 1, 2, 3. Để kiểm tra nghiệm hiệu chỉnh có hội tụ về nghiệm của (3.24) hay không, ta giả thiết (3.24) có nghiệm x(t) = 1, kết quả tính tính toán kiểm tra sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm bài toán (3.27) được thực hiện theo sơ đồ lặp hiệu chỉnh (xem [12]) x(k+1) = x(k) − βk(B˜x(k) + αk(x(k) − x(0))− f˜δ) , x(0) = x˜∗ ∈ RM+1, βk = cαk, αk+1 = αk 1 + α3k , k = 0, 1, 2, ..., với quy tắc dừng lặp (xem[9]) ‖B˜x(K) − f˜δ‖2RM+1 ≤ τδ 1, k = 0, 1, ...., K − 1. 101 Để quá trình lặp hội tụ, ta cần chọn các tham số thỏa mãn các điều kiện αk αk+1 ≤ 1 + α3k, αk > αk+1, (1− cλ) cα20 ≤ 1, λ = α20 + L 2 2 , ‖x˜− x(0)‖RM+1 ≤ ( 1− cλ− 2α0c ) ( √ τ − 1)2α0 (1 + α30) (1 + α 2 0) + 2α0 , vậy chọn L = ‖B˜‖RM+1, α0 = 0.1, λ = α 2 0 + L 2 2 , c = 1 2λ , τ = (√ ‖x− x(0)‖RM+1 [(1 + α30) (1 + α20) + 2α0]( 1− cλ− 2α0c ) α0 + 1 )2 . Trong các kết quả tính toán, điểm xấp xỉ ban đầu được chọn là x(0) = (0.9; 0.9; ...; 0.9) ∈ RM+1, a0 = 10 −3 3 , ε = 10−2,M = 50, µ˜ = 1 2 . Với cách chọn tham số và xấp xỉ đầu như trên, ta có kết quả nghiệm tìm được như sau: n K ‖B˜x(K) − f˜δ‖ τδ ‖x(K) − x0‖ 1 0 1.281316 2.702034 0.714143 2 0 0.235367 0.270203 0.714143 3 0 0.133629 0.027020 0.714143 4 3 0.048042 0.002702 0.356609 5 12461 0.016399 0.000269 0.242662 6 595071 0.005181 0.000027 0.185342 7 22343008 0.001638 0.000003 0.149496 Bảng 3.1. Kết quả tính toán về mối liên hệ giữa số lần lặp và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm đúng x0 = (x 0 0;x 0 1; ...;x 0 M) = (1; 1; ...; 1), δ = 10 −n 102 Bây giờ ta xét trường hợp các toán tử tích phân có nhiễu Bhj x(t) = 1∫ 0 khj (t, s)x(s)ds, j = 1, 2, 3, ở đây, khj (t, s) = kj(t, s) + h(t, s), j = 1, 2, 3, 0 < h(t, s) ≤ h, ∀t, s và h→ +0. Nếu chọn nhiễu h(t, s) = h thì ta có kết quả tính toán sau: n K ‖B˜hx(K) − f˜δ‖ τδ ‖x(K) − x0‖ 1 0 0.288198 2.771210 0.714143 2 0 0.153002 0.270602 0.714143 3 0 0.125654 0.027024 0.714143 4 3 0.047713 0.002702 0.359784 5 12420 0.016399 0.000269 0.243664 6 594816 0.005181 0.000027 0.185589 7 22341513 0.001638 0.000003 0.149560 Bảng 3.2. Kết quả tính toán về mối liên hệ giữa số lần lặp và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm đúng x0 = (x 0 0;x 0 1; ...;x 0 M) = (1; 1; ...; 1) khi có nhiễu lên toán tử h = δ = 10 −n Nhận xét: Kết quả tính toán trên là kết quả kiểm tra sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ phương trình đặt không chỉnh khi cho trước nghiệm của hệ là x(t) = 1. Phương trình hiệu chỉnh (3.27) có B˜ là ma trận với điều kiện xấu, vì vậy để tìm nghiệm ta cần phải sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp và quy tắc dừng lặp. Từ Bảng 3.1 và Bảng 3.2 có thể thấy số lần lặp hiệu chỉnh phụ thuộc rất lớn vào nhiễu δ và việc chọn xấp xỉ đầu x(0). Vì vậy, trong trường hợp đòi hỏi độ chính xác cao cho nghiệm của bài toán thì yêu cầu thời gian tính toán tương đối lớn. 103 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 Trong chương này, chúng tôi giới thiệu hệ phương trình đặt không chỉnh với các toán tử là U− đơn điệu và liên tục Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều. Các kết quả đạt được của chương này là xây dựng phương pháp hiệu chỉnh cho hệ phương trình đặt không chỉnh phi tuyến khi có nhiễu vế phải và nhiễu toán tử bằng cách xấp xỉ hệ phương trình bằng một phương trình hiệu chỉnh. Chúng tôi chứng minh được phương trình hiệu chỉnh tồn tại nghiệm duy nhất. Đề xuất nguyên lý chọn tham số hiệu chỉnh α phụ thuộc vào nhiễu vế phải, nhiễu lên toán tử sao cho nghiệm hiệu chỉnh hội tụ về nghiệm của hệ mà không cần tính liên tục yếu theo dãy của các toán tử, nguyên lý này được gọi là nguyên lý tựa độ lệch. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ phương trình được đánh giá khi bổ sung thêm các điều kiện đặt lên một toán tử bất kỳ trong hệ phương trình mà không đòi hỏi điều kiện lên tất cả các toán tử. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra các ví dụ tính toán số để minh họa cho lý thuyết được trình bày trong chương này. 104 Kết luận Luận án này đề cập đến hai vấn đề sau: 1. Đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho hệ phương trình phi tuyến với các toán tử liên tục và đóng yếu. Các kết quả đạt được đã chỉ ra phương pháp đưa hệ phương trình đặt không chỉnh về một bài toán đặt chỉnh, việc giải bài toán xấp xỉ được thực hiện bằng phương pháp Newton. Ngoài ra, sự ổn định và sự hội tụ của nghiệm bài toán đặt chỉnh về nghiệm của hệ phương trình cũng được chứng minh nhờ tính chất liên tục và đóng yếu của toán tử. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ phương trình được đưa ra khi bổ sung thêm các điều kiện lên một toán tử bất kỳ trong hệ phương trình, bao gồm tính khả vi Fréchet, điều kiện Lipchitz lên đạo hàm Fréchet của toán tử, điều kiện nguồn và điều kiện đối với hằng số Lipchitz. Trong trường hợp đặc biệt, khi các toán tử là tuyến tính liên tục cũng được xét đến và đã chỉ ra được phương pháp đưa hệ phương trình đặt không chỉnh về một bài toán đặt chỉnh. Ngoài ra, sự ổn định và sự hội tụ của nghiệm bài toán đặt chỉnh về nghiệm của hệ phương trình cũng được chứng minh nhờ tính chất liên tục của toán tử. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ phương trình được đưa ra khi bổ sung thêm điều kiện nguồn trên một toán tử. 2. Trong trường hợp các toán tử có tính chất U− đơn điệu và liên tục 105 Lipschitz trên không gian Banach phản xạ và lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu chỉnh và chỉ ra được tính duy nhất của nghiệm hiệu chỉnh. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh về nghiệm của hệ phương trình được đưa ra khi tham số hiệu chỉnh được chọn theo nguyên lý tựa độ lệch và bổ sung thêm các điều kiện lên một toán tử bất kỳ trong hệ phương trình, bao gồm điều kiện nguồn và tính khả vi Fréchet. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra các ví dụ tính toán số để minh họa cho lý thuyết. Các vấn đề cần nghiên cứu tiếp là: 1. Đánh giá tốc độ hội tụ tới nghiệm của phương pháp hiệu chỉnh đưa ra ở chương 2 và chương 3 cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh. 2. Nghiên cứu việc áp dụng các phương pháp lặp cho hệ phương trình đặt không chỉnh. 3. Nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh nhiều tham số cho hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh. 106 Tài liệu tham khảo [1] Anh,Ph.K., Buong,Ng. (2005), Bài toán đặt không chỉnh, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Nghia,H.L. (2009), Về bài toán chụp cắt lớp của máy CT- Scanner, [ cua-may-ct-scanner.41697.html, truy cập ngày 11/10/2010]. [3] Agarwal, R.P., O’Regan.D. and Sahu.D.R. (2009), Fixed point the- ory for Lipschitz type mappings with applications, Springer. [4] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P. (1979),On solutions of nonlinear prob- lems involving monotone discontinuous operators, Uravnenia. [5] Alber,Ya.I., Ryazantseva,I.P. (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Types, Springer verlag Publishers. [6] Andrew,J.K., Michael,Z. (2004), Convex functional analysis, Ger- many. [7] Anh,Ph.K., Chung,C.V. (2009), Parallel iterative regularization methods for solving systems of ill-posed equations, Appl. Math. Com- put, 212(2), 542-550. [8] Bakushinky,A.B., Goncharsky,A. (1994), Ill-posed problems: Theory and Aplications, Kluwer Academic. 107 [9] Bakushinky,A.B., Smirnova,A. (2006), A posteriori stopping rule for regularized fixed point iterations, Nonl. Anal, 64(6), 1255-1261. [10] Bakushinky,A.B., Smirnova,A. (2005), On application of general- ized discrepancy principle to iterative methods for nonlinear ill-posed problems, Numer. Funct. Anal. Optim, 26(1), 35-48. [11] Bakushinsky,A.B. (1992), The Problem of the convergence of the iteratively regularized Gauss-Newton method, Com- put.Math.Math.Phys, 32(9), 1353-1359. [12] Bakushinsky,A.B., Poljak,B.T. (1974), The solution of variational inequalities, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1038-1041 (in Russian). [13] Barbu,V. (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhoff Internal. Publ. Leyden Netherlands. Ed. Acad. Bucurest, Romania. [14] Barbu,V. (1975), Convexity and optimization in Banach spaces, Ed- itura Academiei R.S.R. Bucurest. [15] Baumeister,J., Kaltenbacher,B., Leitão,A. (2010), On Levenberg- Marquardt - Kaczmarz methods for regularizing systems of nonlinear ill-posed equations, Inverse Problems and Imaging, 335-350. [16] Boonchari,D., Saejung,S. (2009), Weak and strong convergence the- orems of an implicit iteration for a countable family of continuous pseudocontractive mappings, Journal of Computational and Applied Mathematics, 233(4), 1108-1116. 108 [17] Browder,F.E. (1966), Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities, Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A, 56(4), 1080-1086. [18] Browder,F.E., Petryshyn,W.V. (1967), Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces, J. Math. Anal. Appl, 20(2), 197-228. [19] Browder,F.E. (1967), Nonlinear mapping of nonexpansive and accre- tive type in Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 73(6), 875-882. [20] Browder,F.E. (1964), Continuity properties of monotone nonlinear operators in Banach spaces, Bull. AMS, 70(4), 551-553. [21] Bryan,P.R., Martin,A.Y. (2006), Linear functional analysis, Springer, London. [22] Buong,Ng. (2006), Regularization for unconstrained vector optimiza- tion of convex functionals in Banach spaces, Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiziki, 46(3), 372-378. [23] Buong,Ng. (1992), Projection - regularization method and ill- posedness for equations involving accretive operators, Vietnamese Math. J, 20(1), 33-39. [24] Buong,Ng. (2004), Generalized discrepancy principle and ill-posed equations involving accretive operators, J. Nonlinear Functional Analys and Appl, Korea, 9, 73-78. 109 [25] Buong,Ng. (2004), Convergence rates in regularization for nonlin- ear ill-posed equations under m-accretive perturbations, Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiziki, 44(3), 397-402. [26] Buong,Ng. (2004), On nonlinear ill-posed accretive equations, Southest Asian Bull. of Math, 28(1), 1-6. [27] Buong,Ng., Dung,N.D. (2012), Convergence Rates in Regularization for Nonlinear Ill-Posed Equations with Perturbative Data, Applied Mathematical Sciences, 6(127), 6301 - 6310. [28] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solu- tion of a system of ill-posed equations involving linear bounded map- pings with perturbative data, Thainguyen University Journal of Sci- ence and Technology, 83(7), 73 - 79. [29] Buong,Ng., Dung,N.D. (2011), Regularization for a common solu- tion of a system of ill-posed equations involving linear bounded map- pings, Applied Mathematical Sciences, 5(76), 3781 - 3788. [30] Buong,Ng., Dung,N.D. (2009), Regularization for a Common Solu- tion of a System of Nonlinear Ill-Posed Equations, Int. Journal of Math. Analysis, 3(34), 1693 - 1699. [31] Buong,Ng., Dung,N.D. (2013), Regularization for a common solu- tion of a finite system of nonlinear ill-posed equations involving lip- schitz continuous and accretive mappings on Banach spaces, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia lần thứ XV về một số vấn đề chọn lọc của Công nghệ Thông tin và Truyền thông, Hà Nội, 3-4/12/2012. 110 [32] Buong,Ng., Dung,N.D. (2014), A regularized parameter choice in regularization for a common solution of a finite system of ill-posed equations involving Lipschitz continuous and accretive mappings, Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiziki, 54(3), 397 - 406. [33] Buong,Ng., Phuong,Ng.T.H. (2013), Regularization methods for nonlinear ill-posed equations involving m- accretive mappings in Ba- nach spaces, Iz.VUZ. Mathematica, (2), 67-74. [34] Buong,Ng., Thuy,Ng.T.T. (2007), Iterative regularization method of zero order for unconstrained vector optimization of convex function- als, Kỷ yếu hội nghị khoa học kỉ niệm 30 năm thành lập Viện Công nghệ Thông tin 27-28/12/2006, Nhà xuất bản Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Hà Nội, 168-173. [35] Buong,Ng., Hung,V.Q. (2005), Newton-Kantorovich iterative regu- larization for nonlinear ill-posed equations involving accretive oper- ators, Ukrainian Math. Zh, 57(2), 323-330 . [36] Burger,M., Kaltenbacher.B. (2006), Regularization Newton- Kacmarz methods for nonlinear ill-posed problems, SIAM J. Number. Analysis, 44(1), 153-182. [37] Ceng,L.C., Petrusel,A., Yao,J.C. (2007), Implicit iteration scheme with perturbed mapping for common fixed points of a finite family of lipschitz pseudocontractive mappings, J. Mathematical Inequalities, 1(2), 249-258. 111 [38] Cezaro,A.D., Baumeister,J, Leitão,A. (2011), Modified iterated Tikhonov methods for solving system of nonlinear ill-posed equa- tions, Inverse problems and imaging, 5(1), 1-17. [39] Cezaro,A.D., Haltmeier,M., Leitão,A., Scherzer,O. (2008), On steepest-descent-Kaczmarz method for regularizing systems of non- linear ill-posed equations, Applied Mathematics and Computations, 202(2), 596-607. [40] Cioranescu,I. (1990), Geometry of Banach spaces, Duality mappings and nonlinear problems, Kluwer Acad. Publ, Dordrecht. [41] Ekeland,I., Temam,R. (1976), Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland, Amsterdam, Holland. [42] Engl,H.W., Kunish,K., Neubauer,A. (1989), Convergence rates for Tikhonov regularization of nonlinear ill-posed problems, Inverse Problems, 5(4), 523-540. [43] Fiacco,A.V., McCormick,G.P. (1968), Nonlinear programming: se- quential unconstrained minimization techniques, New-York. [44] Gerald,T. (2001), Nonlinear functional analysis, Wien, Austria. [45] Hadamard,J. (1932), Le probléme de Caushy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, Paris. [46] Haltmeier,M., Kowar,R., Leitao,A., Scherzer,O. (2007), Kacmarz methods for nonlinear ill-posed equations I: Convergence analysis, Inverse problem and Imaging, 1(2), 289-298, II: Application 1(3), 507-523. 112 [47] Hanke,M. (1997), A regularizing Levenberg - Marquardt scheme , with applications to inverse ground water filtration problems, Inverse Problems, 13(1), 79-95. [48] Hein,T. (2008), Convergence rates for multi - parameter regulariza- tion in Banach spaces, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 43(4), 773-794. [49] Heinz,H.B., Patrick,L.C. (2010), Convex analysis and monotone op- erator theory in Hilbert spaces, Springer, New York. [50] Hohage,T. (1999), Iterative Methods in Inverse Obstacle Scattering: Regularization Theory of Linear and Nonlinear Exponentially Ill- Posed Problems, PhD thesis, University of Linz. [51] Ivanov,V.K. (1962), On linear ill-posed problems, Dokl. Acad. Nauk SSSR Math (in Russian). [52] Ivanov,V.K. (1963), On linear ill-posed problems, Math. Sbornik (in Russian). [53] John,K.H., Bruno,N. (2005), Applied analysis, Wordl Scientific Pub- lishing, Singapore. [54] Kaltenbacher,B. (1997), Some Newton type methods for the regu- larization of nonlinear ill-posed problems, Inverse Problems, 13(3), 729-753. [55] Kapmanov,V.G. (1986), Linear programming, Moscow, Nauka (in Russian). 113 [56] Kinderlehrer,D., Stampacchia,G. (1980), An introduction to Vari- ational Inequalities and Their Applications, Academic Press, NewYork. [57] Konyagin,C.V. (1980), On approximative properties of closed sets in Banach spaces and the characteristics of strongly convex spaces, Dokl. Acad. Nauk SSSR, 251(2), 276-280. [58] Kowar.R., Scherzer.O. (2002), Convergence analysis of a Landweber- Kaczmarz method for solving nonlinear ill-posed problems, in: S. Ro- manov, S.I. Kabanikhin, Y.E. Anikonov, A.L. Bukhgein, Ill-Posed and Inverse Problems, VSP Publishers, Zeist. [59] Krein,S.G.E, Petunin.Y.I. (1966), Scales of Banach spaces, Russian Math. Surveys, 21(2), 85-159. [60] Lavrentiev,M.M. (1967), Some improperly posed problems in math- ematical physics, Springer, New-York. [61] Lerray,J., Shauder,I. (1946), Topology and functional equations, Us- pekhiMath. Nauk, (in Russian). [62] Morozov,V.A. (1966), Regularization of incorrectly posed problems and the choice of regularization parameter, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 6(1), 242-251. [63] Neumann,J.V. (1949), On rings of operators. Reduction theory, An- nals of Mathematics, 401- 485. 114 [64] Ortega,J.M., Rheinboldt,W.C. (1970), Interative solution of nonlin- ear equations in serveral variable, Academic press, New York San- Fransisco - London. [65] Petrovsky.I.G. (1954), Lectures on partial differential equations, In- terscience, New York. [66] Phelps,R.R. (1989), Convex functions, monotone operators and dif- ferentiability, Springer - Verlag, Berlin, Germany. [67] Polak,E. (1974), Numerical methods of optimizations, Moscow, Mir, (in Russian). [68] Ryazantseva,I.P. (1989), On one algorithm for solving nonlinear monotone equations with an unknown estimate input errors, Zh. Vy- chisl. Math.i Math. Fiz. SSSR, 29(10), 1572- 1576 (in Russian). [69] Ryazantseva,I.P. (2002), Regularization proximal point algorithm for nonlinear equations of monotone type in Banach space, Zh. Vychisl. Math.i Math. Fiz, 42(9), 1295-1303. [70] Seidman,T.I., Vogel,C.R. (1989), Well-posednes and convergence of some regularization methods for nonlinear ill-posed problems, In- verse problems, 5(2), 227-238. [71] Song,Y.S. (2009), An iterative process for a finite family of pseudo- contractive mappings, Acta Mathematica Sinica, 25(2), 293-298. [72] Takahashi,W., Ueda,Y. (1984), On Reich’s strong convergence the- orem for resolvents of accretive operators, J.Math. Anal. Appl, 104(2), 546-553. 115 [73] Tikhonov,A.N., Arsenin,V.Y. (1977), Solution of ill-posed problems, Wiley, N.Y. [74] Tikhonov,A.N., Glasko,V.B. (1965), Application of regularization methods in nonlinear problems, Zh. Vychisl. Math. i Math. Fiz. SSSR, 5(3), 463-473 (in Russian). [75] Tikhonov,A.N. (1963), On regularization for incorrectly posed prob- lems, Dokl. Acad. Nauk SSSR Math, 153(1), 49 -52 (in Russian). [76] Tikhonov,A.N. (1963), Regularization of incorrectly posed problems, In Soviet Math. Dokl, 4(6), 1624 -1627. [77] Tikhonov,A.N. (1963), Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method, Dokl. Acad. Nauk SSSR Math, 4, 1035 -1038 (in Russian). [78] Vainberg,M.M. (1972), Variational method and method of monotone mappings, Moscow, Nauka (in Russian). [79] Vainberg,M.M. (1973), Variational method and methods of mono- tone operators in the theory of nonlinear equations, Wiley, New- York. [80] Vasil’ev,P.P. (1980), Numerical methods for solving optimal prob- lems, Moscow, Nauka (in Russian). 116