Luận án Nghiên cứu chuyển pha trong mô hình Sigma tuyến tính

chiral theo à và T . - Tại giá trị cố định của à, ngưng tụ chiral là hàm đa trị của T như hình 2.42. - Tại giá trị cố định của T , ngưng tụ chiral là hàm đa trị của à như hình 2.43. Như đã nói ở phần trên, theo [17], trong trường hợp này để xác định loại chuyển pha không thể đơn thuần chỉ dựa vào phương trình khe. Trên hình 2.44 chúng tôi khảo sát sự biến thiên của thế hiệu dụng theoM , theo đó các đường cong thế năng đều có hai cực tiểu cùng độ sâu được ngăn cách nhau bởi một hàng rào thế, tức là ta có chuyển pha loại 1. Giản đồ pha tương ứng thu được trên hình 2.45. 2.4. Vai trò của điều kiện trung hòa điện tích Vật chất ở các sao luôn ở trạng thái trung hòa về điện tích còn điều kiện cân bằng màu được tự động thỏa mãn trong trường hợp này. Vì vậy chúng ta phải xét đến điều kiện cân bằng điện tích của hệ. Mặt khác, vật chất phải ở trạng thái cân bằng bền dưới quá trình phân rã 85 0 50 100 150 200 250 300 350 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Μ@MeVD u  f Π Hình 2.42: Biến thiên ngưng tụ chiral theo à tại T = 0 (nét liền), 50 MeV (nét gạch), 100 MeV (nét chấm). 0 20 40 60 80 100 120 140 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π Hình 2.43: Biến thiên của ngưng tụ chiral theo T tại à = 0 (nét liền), 50 MeV (nét gạch), 100 MeV (nét chấm). 86 -400 -200 0 200 400 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 M @MeVD W @M eV . fm - 3 D Hình 2.44: Sự biến thiên thế hiệu dụng theoM . Đường nét liền, nét gạch, nét chấm lần lượt ứng với (T, à) = (0, 194.3), (50, 171.9), (100, 69.7) MeV. u > 0 u = 0 0 50 100 150 200 0 20 40 60 80 100 Μ@MeVD T@ M eV D Hình 2.45: Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong mặt phẳng (T, à). 87 yếu d→ u+ e− + ν˜e. Ta có thể lấy thế hóa của các neutrino bằng 0 nếu giả thiết các neutrino này có thể rời khỏi hệ. Khi đó đòi hỏi về cân bằng thế hóa sẽ dẫn đến àu − àd = −àe, trong đó àe là thế hóa của electron. Điều kiện cân bằng thế hóa liên quan đến sự có mặt của ngưng tụ các pion mang điện dẫn đến yêu cầu àu − àd = àI , (2.24) àe = −àI . (2.25) Ngoài ra chúng ta cũng có điều kiện àu + àd = à. Kết hợp với (2.24) dẫn đến ρu + ρd = ρ, ρu − ρd = ρI . (2.26) Điều kiện cân bằng điện tích yêu cầu điện tích toàn phần của hệ trong pha ngưng tụ phải bằng 0, tức là Q = ∑ B=u,d qBρB + αρI − (1− α)ρI + ρe+ = 0, (2.27) 0 ≤ α ≤ 1, ở đây qB là điện tích của quark B, α là tỉ phần đóng góp của ngưng tụ pi + , (1−α) là tỉ phần đóng góp của ngưng tụ pi− vào ngưng tụ của các pion mang điện còn ρe+ là mật độ positron. 88 Kết hợp (2.25) với (2.27) ta có∑ B=u,d qBρB = (1− 2α)ρI + ( ∂Ωe ∂àe ) ∣∣∣∣ àe=−àI , (2.28) với Ωe là thế hiệu dụng của electron Ωe = −2 ∫ d3~p (2pi)3 { Ep + T ln [ 1 + e−β(Ep−àe) ] + T ln [ 1 + e−β(Ep+àe) ]} , Ep = √ ~p2 +m2e, được dẫn ra từ Lagrangian của electron Le = ψe(iγà∂à + eγ0àe −me)ψe, với ψe, e vàme lần lượt là toán tử trường, điện tích và khối lượng của electron. Thay (2.26) vào (2.28) chúng ta sẽ thu được biểu thức cho sự phụ thuộc giữa àI và à. Như vậy, khi có tính đến ràng buộc trung hòa điện tích, hệ sẽ chỉ còn phụ thuộc vào hai tham số, chẳng hạn là à và T . Bây giờ chúng ta sẽ xem xét ảnh hưởng của điều kiện trung hòa điện tích lên cấu trúc pha của hệ. Trong các tính toán này, để đơn giản, chúng ta bỏ qua khối lượng của electron. 2.4.1. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc Trước tiên chúng ta xem xét trong giới hạn chiral. Trong trường hợp này không có ngưng tụ chiral. Giải số phương trình khe (2.17) và ràng buộc (2.28) ta thu được đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của ngưng tụ pion theo T tại à = 100 MeV và theo à tại T = 0 như trên hình 2.46, trong đó đường nét liền, nét gạch và nét đứt theo thứ tự ứng với α = 0, 1/4 và 1/2. Rõ ràng ở đây chỉ xảy ra chuyển pha loại 1. Giản đồ pha cho ngưng tụ pion trong trường hợp này được vẽ trong mặt phẳng (T, à) như trên hình 2.47. Các tính toán tương tự cho mô hình NJL [58] cho thấy có cả chuyển pha loại 1 và loại 2 và giữa chúng được ngăn cách bởi điểm tới hạn. 89 0 20 40 60 80 100 120 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD v f Π (a) 0 50 100 150 200 250 300 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Μ@MeVD v f Π (b) Hình 2.46: Sự biến thiên của ngưng tụ pion theo T tại à = 100 MeV (hình 2.46(a)) và theo à tại T = 0 (hình 2.46(b)). Đường nét liền, nét đứt và nét gạch lần lượt ứng với α = 0, 1/4, 1/2. v = 0 v > 0 0 50 100 150 200 250 300 0 20 40 60 80 100 120 140 Μ@MeVD T@ M eV D Hình 2.47: Giản đồ pha cho ngưng tụ pion trong mặt phẳng (T, à) khi có tính đến trung hòa điện tích. Để so sánh chúng tôi bổ xung đường nét gạch là giản đồ pha tương ứng khi không có trung hòa điện tích và àI = 232.576 MeV. 90 Bây giờ ta xét cho thế giới vật lý. Kết quả có thể liệt kê như sau: a) Trước tiên xét cho vùng àI > mpi, ở đây đồng thời xuất hiện ngưng tụ chiral và ngưng tụ pion. Giải số các phương trình khe (2.11) và (2.12) với ràng buộc (2.28) ta thu được: - Trên hình 2.48 biểu diễn sự biến thiên của ngưng tụ pion theo T tại àI = 200MeV và theo à tại T = 50MeV. Các đường nét liền, nét gạch, nét chấm theo thứ tự ứng với α = 0, 0.25, 0.3. Các tính toán tương tự cho mô hình NJL [6] cho thấy các pion mang điện không ngưng tụ trong trường hợp này. - Dựa vào khảo sát sự biến thiên của thế hiệu dụng Ω(M) chúng tôi thu được giản đồ pha cho ngưng tụ chiral ứng với một số giá trị của α như trên hình 2.49. Tính từ dưới lên, các đường cong lần lượt ứng với α = 0, 0.25, 0.3. Đường nét liền (nét gạch) ứng với chuyển pha loại 1 (dịch chuyển trơn). M ( T = 347, à = 662) MeV và N (T = 373.7, à = 1232) MeV là các điểm kết thúc chuyển pha loại 1. Với α = 0.3 chỉ xảy ra dịch chuyển trơn. Kết quả này cũng khác biệt với kết quả của [6], ở đó ngưng tụ chiral giảm dần khi T và à tăng nhưng không bao giờ triệt tiêu. b) Trong vùng àI < mpi không xảy ra ngưng tụ pion. Hình 2.50 là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của ngưng tụ chiral theo T tại àI = 0 (nét liền) và àI = 100 MeV (nét gạch). Giản đồ pha cho ngưng tụ chiral trong trường hợp này được vẽ trong mặt phẳng (T, àI) như trên hình 2.51. 2.4.2. Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc Trong vùng àI > mpi, như đã biết thì u = 0, v 6= 0, giải phương trình khe (2.22) với ràng buộc bởi điều kiện (2.28) ta thu được đồ thị biểu diễn sự biến thiên của ngưng tụ pion theo T tại à = 100 MeV và theo à tại T = 50 MeV và một vài giá trị của α như trên hình 2.52. Trong các hình vẽ này đường nét liền, nét gạch, nét chấm và nét chấm-gạch lần lượt ứng với α = 0, 1/4, 1/2 91 0 10 20 30 40 50 60 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 T@MeVD v f Π (a) 0 50 100 150 200 250 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Μ@MeVD v f Π (b) Hình 2.48: Sự biến thiên của ngưng tụ pion theo T tại àI = 200MeV (hình 2.48(a)) và theo à tại T = 50 MeV (hình 2.48(b)). Đường nét liền, nét gạch và nét chấm lần lượt ứng với α = 0, 0.25, 0.3. ổ ổ u > 0 u = 0 M N 0 500 1000 1500 2000 0 500 1000 1500 2000 Μ@MeVD T@ M eV D Hình 2.49: Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong mặt phẳng (T, à) khi tính đến (2.28) cho thế giới vật lý. Từ dưới lên, các đường ứng với α = 0, 0.25, 0.3. 92 0 50 100 150 200 250 300 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π Hình 2.50: Sự phụ thuộc T của ngưng tụ chiral khi có ràng buộc (2.28) trong thế giới vật lý khi àI < mpi. Đường nét liền và nét gạch lần lượt ứng với àI = 0, 100 MeV. u > 0 u = 0 0 20 40 60 80 100 120 260 280 300 320 340 ΜI@MeVD T@ M eV D Hình 2.51: Giản đồ pha cho ngưng tụ chiral trong mặt phẳng (T, àI) khi có tính đến điều kiện trung hòa điện tích và àI < mpi. 93 0 20 40 60 80 100 120 140 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD v f Π (a) 0 100 200 300 400 500 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Μ@MeVD v f Π (b) Hình 2.52: Sự biến thiên của ngưng tụ pion theo T tại à = 100 MeV (hình 2.52(a)) và theo à tại T = 50MeV (hình 2.52(b)). Đường nét liền, nét gạch, nét chấm và nét chấm-gạch lần lượt ứng với α = 0, 1/4, 1/2, 1. và 1. Các đồ thị này cũng cho thấy chuyển pha của ngưng tụ pion theo T và theo à luôn là chuyển pha loại 1. Giản đồ pha của ngưng tụ pion khi có tính đến yêu cầu trung hòa điện tích được vẽ trong mặt phẳng (T, à) ở hình 2.53. Đường nét liền biểu diễn ngưng tụ pion trong trường hợp này là chuyển pha loại 1. Đường nét gạch được vẽ khi không tính đến yêu cầu trung hòa điện tích và àI = 200 MeV. Trong vùng àI < mpi, giải phương trình khe (2.23) với ràng buộc (2.28) ta thu được hình 2.54 biểu diễn biến thiên của ngưng tụ chiral khi có ràng buộc (2.28) theo T và theo à. Đường nét liền và nét gạch tương ứng với àI = 0, 138 MeV. Kết quả cho thấy luôn xảy ra chuyển pha loại 1 của u theo T và theo à. Giản đồ pha của ngưng tụ chiral tương ứng được vẽ trong mặt phẳng (T, àI) ở hình 2.55. 2.5. Nhận xét Trong toàn bộ chương 2 chúng tôi đã khảo sát cấu trúc pha của LSMq, đây là một trong số các mô hình hiệu dụng (effective model) để nghiên cứu 94 v = 0 v > 0 0 50 100 150 200 250 0 20 40 60 80 100 120 140 Μ@MeVD T@ M eV D Hình 2.53: Giản đồ pha của ngưng tụ pion trong mặt phẳng (T, à). Đường nét liền là có ràng buộc trung hòa điện tích và chỉ có chuyển pha loại 1. Để so sánh, đường nét gạch là giản đồ pha tương ứng nhưng không tính đến (2.28) được vẽ tại àI = 200 MeV. 0 20 40 60 80 100 120 140 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (a) 0 50 100 150 200 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Μ@MeVD u  f Π (b) Hình 2.54: Sự biến thiên của ngưng tụ chiral theo T (hình 2.54(a)) và theo à (hình 2.54(b)). Đường nét liền, nét gạch lần lượt được vẽ với àI = 0, 138 MeV. 95 u > 0 u = 0 mΠ 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120 ΜI@MeVD T@ M eV D Hình 2.55: Giản đồ pha cho ngưng tụ chiral trong mặt phẳng (T, àI) khi có tính đến điều kiện trung hòa điện tích. cấu trúc pha của QCD. Các kết quả chính của chương này có thể hệ thống lại như sau. 1- Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc: a) Trong giới hạn chiral thì không có sự ngưng tụ chiral còn ngưng tụ pion luôn thuộc chuyển pha loại 1. b) Trong thế giới vật lý, trạng thái cơ bản được xác định bởi sự tồn tại đồng thời của cả ngưng tụ pion và chiral cho vùng àI > mpi và các chuyển pha tương ứng cho thấy - Giản đồ pha của ngưng tụ pion trong mặt phẳng (T, àI) tại à cố định gồm cả hai loại chuyển pha, chúng ngăn cách nhau bởi điểm tới hạn. Kết quả này phù hợp với kết quả của LQCD [37] và mô hình PNJL [51]. - LQCD [37], mô hình PNJL [51] và kết quả của chúng tôi cho cùng một giản đồ pha của ngưng tụ pion trong mặt phẳng (à, àI) ở T = 0: đường chuyển pha loại 1 kết thúc ở điểm tới hạn và đường chuyển pha loại 2 kéo dài tới à = 0. Trong kết quả của chúng tôi cho thấy diễn biến này không đổi khi T < 150 MeV nhưng ở nhiệt độ cao hơn thì chỉ còn chuyển pha loại 1. - Giản đồ pha của ngưng tụ pion trong mặt phẳng (T, à) tại àI = 150 96 MeV hoàn toàn phù hợp với hình 13 của [51]. - Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong mặt phẳng (T, à) khi àI < mpi cho thấy chuyển pha chiral là chuyển pha loại 1 và kết thúc ở điểm tới hạn CEP. Điều này cũng được tìm thấy khi sử dụng mô hình PNJL [51]. Khi àI < mpi chuyển pha chiral thuộc loại 1 trong mặt phẳng (T, à) và kết thúc tại điểm tới hạn CEP khi àI = 150 MeV. Mô hình PNJL cũng thu được kết quả hoàn toàn tương tự. Tuy nhiên, khi àI đạt cỡ 300 MeV thì không còn chuyển pha loại 1. - Sự biến thiên của ngưng tụ chiral và pion theo àI ứng với các giá trị khác nhau của à và T cũng được so sánh trên hình 2.28. c) Khi tính đến điều kiện trung hòa điện tích, một vài kết quả quan trọng thu được như sau: - Giản đồ pha của ngưng tụ pion không phụ thuộc vào tỉ số α, tuy nhiên có thay đổi đáng kể. - Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong mặt phẳng (T, à) có điểm tới hạn CEP khi α < 0.3. 2- Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc: a) Khi àI > mpi trạng thái của hệ được xác định bởi sự ngưng tụ pion. Với mọi giá trị của các tham số T, à và àI chỉ xảy ra chuyển pha loại 1. Chúng tôi cũng thu được giản đồ pha tương ứng trong không gian (T, à, àI). b) Khi àI < mpi chỉ xảy ra ngưng tụ chiral. Quá trình dịch chuyển từ pha đối xứng sang pha phá vỡ đối xứng chiral thuộc chuyển pha loại 1. c) Khi tính đến yêu cầu trung hòa điện tích các kết quả có sự thay đổi nhỏ. CHƯƠNG 3 Chuyển pha chiral trong không-thời gian rút gọn Trong chương này chúng tôi nghiên cứu chuyển pha chiral trong không - thời gian rút gọn (compactified space-time) trong khuôn khổ LSMq khi không có ICP. Lagrangian của mô hình có dạng L = LLSM + Lq, (3.1) trong đó LLSM được xác định ở (1.1) còn Lq có dạng (2.2). Không tính đến ICP thì ngưng tụ pion triệt tiêu do đó thế năng của LSM khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng không chính tắc chính là giới hạn chiral khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc. Tổng quát ta xét biểu thức thế năng U = m2 2 (σ2 + ~pi2) + λ2 4 (σ2 + ~pi2)2 − ²fpim2piσ, (3.2) với m và λ ở (1.4). 3.1. Chuyển pha chiral khi không tính đến hiệu ứng Casimir 3.1.1. Thế hiệu dụng và phương trình khe Thực hiện phép quay Wick ta sẽ thu được tác dụng cổ điển SE tương ứng với (3.1) có dạng SE = i ∫ L 0 dx3 ∫ +∞ −∞ dτdx⊥LE. (3.3) Trong phương pháp trường trung bình các trường meson σ và ~pi có trạng thái cơ bản thỏa mãn 〈σ〉 = u, 〈~pi〉 = 0. 97 98 Theo [23, 33], topo không tầm thường của không-thời gian dẫn đến sự tồn tại của hai loại điều kiện biên cho trường quark là điều kiện biên tuần hoàn (ứng với UQ) và điều kiện biên phản tuần hoàn (ứng với TQ) q(τ, x, y, z = 0) = ±q(τ, x, y, z = L), (3.4) với L là độ dài của chiều rút gọn được lấy dọc theo trục Oz. Theo (3.4) rõ ràng có sự tương tự giữa L và β = 1/T trong hình thức luận Matsubara. Để thuận tiện chúng ta đưa vào đại lượng a = 1/L và nó có thứ nguyên năng lượng trong hệ đơn vị tự nhiên. Hàm tổng thống kê của hệ có dạng Z = ∫ DqDq exp[−SE]. Kết hợp với (3.4) ta thu được thế hiệu dụng trong gần đúng trường trung bình Ω(u, L) = − lnZ V L = U(u) + Ωqq, (3.5) trong đó V là thể tích hệ trong không gian Euclidean và Ωqq = −νqa +∞∑ n=−∞ ∫ d~p⊥ (2pi)2 { En + T ln [ 1 + exp ( − En − à T )] +T ln [ 1 + exp ( − En + à T )]} , (3.6) với En = √ p23n + p 2 ⊥ +M 2, M = mq + gu. Số hạng đầu tiên dưới dấu tích phân ở (3.6) là phần đóng góp chân không, nó liên quan đến hiệu ứng Casimir. Bỏ qua số hạng này ta có thể viết lại Ωqq = −νqaT +∞∑ n=−∞ ∫ d~p⊥ (2pi)2 { ln [ 1 + exp ( − En − à T )] + ln [ 1 + exp ( − En + à T )]} . (3.7) 99 Điều kiện biên (3.4) dẫn đến p3n = 2pina, (3.8) cho UQ và p3n = (2n+ 1)pia, (3.9) đối với TQ. Trạng thái của hệ được xác định từ yêu cầu ∂Ω ∂u = 0, (3.10) hay m2u+ λ2u3 − ²fpim2pi + ∂Ωqq ∂u = 0, (3.11) trong đó ∂Ωqq ∂u = νqgaM +∞∑ n=−∞ ∫ d~p⊥ (2pi)2 1 En { 1 e(En−à)/T + 1 + 1 e(En+à)/T + 1 } .(3.12) Các phương trình (3.11), (3.12) cùng với (3.8) và (3.9) được gọi là các phương trình khe cho UQ và TQ. 3.1.2. Tính số Với giá trị của các tham số đã chọn như trong chương 2, chúng tôi tiến hành tính số cho các trường hợp sau đây. 3.1.2.1. Giới hạn chiral ² = 0 Trước tiên ta hãy xét trường hợp à = 0. Dựa vào các phương trình (3.8) và (3.9) chúng ta tìm được - Sự biến thiên của ngưng tụ chiral u(T, a) theo T ứng với một số giá trị của a trên hình 3.1(a) cho UQ và 3.1(b) cho TQ. Rõ ràng rằng với UQ chuyển pha chiral luôn thuộc loại 1, trong khi đó với TQ chuyển pha thuộc loại 1 khi a < 0.5 fm−1 và trở thành loại 2 ở các giá trị a lớn hơn. 100 0 20 40 60 80 100 120 140 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (a) UQ 0 50 100 150 200 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (b) TQ Hình 3.1: Sự biến thiên của ngưng tụ chiral theo T cho UQ (hình 3.1(a)) và TQ (hình 3.1(b)) tại à = 0. Đường nét liền, nét gạch, nét chấm, nét chấm-gạch lần lượt được vẽ với a = 0, 0.253, 0.507, 0.760 fm−1. u > 0 u = 0 0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 80 100 120 140 a@fm-1D T@ M eV D (a) UQ ổ u > 0 C u = 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 0 50 100 150 200 250 300 a@fm-1D T@ M eV D (b) TQ Hình 3.2: Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong mặt phẳng (T, a) cho UQ (hình 3.2(a)) và TQ (hình 3.2(b)) tại à = 0. Đường nét liền (nét gạch) ứng với chuyển pha loại 1 (loại 2). C là điểm tới hạn. 101 u > 0 u = 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 20 40 60 80 100 120 140 a@fm-1D T@ M eV D (a) UQ ổ u > 0 C u = 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 100 150 200 a@fm-1D T@ M eV D (b) TQ Hình 3.3: Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong mặt phẳng (T, a) cho UQ (hình 3.3(a)) và TQ (hình 3.3(b)) tại à = 50MeV. Đường nét liền (nét gạch) ứng với chuyển pha loại 1 (loại 2). C là điểm tới hạn. - Giản đồ pha cho ngưng tụ chiral tại à = 0 được vẽ trong mặt phẳng (T, a) cho UQ (hình 3.2(a)) và TQ (hình 3.2(b)). Đường nét liền (nét gạch) ứng với chuyển pha loại 1 (loại 2). Tiếp theo ta hãy xét tại à = 50 MeV. Giải hệ (3.8)-(3.12) cùng với u(T, à = 50MeV, a) = 0 ta thu được giản đồ pha như trên hình 3.3. Bậc của chuyển pha được xác định dựa vào sự biến thiên của ngưng tụ chiral theo T tại a = 0, 0.253, 0.507 fm−1 trong mỗi trường hợp như trên hình 3.4. Rõ ràng rằng với UQ chuyển pha luôn thuộc loại 1, trong khi đó với TQ xuất hiện cả 2 loại chuyển pha được ngăn cách nhau bởi điểm tới hạn có a = 0.4 fm −1 . 3.1.2.2. Thế giới vật lý ² = 1 Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong mặt phẳng (T, a) ứng với à = 0, 50 MeV và 200 MeV. a- Giải số phương trình khe cho UQ ta thu được đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc T của ngưng tụ chiral như trên hình 3.5. Tính chất chung của các hình vẽ này là chúng có hai vùng khác nhau của nhiệt độ được ngăn cách bởi giá 102 0 20 40 60 80 100 120 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (a) UQ 0 20 40 60 80 100 120 140 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (b) TQ Hình 3.4: Biến thiên của ngưng tụ chiral u(T, a) trong giới hạn chiral theo T tại à = 50 MeV và a = 0 (nét liền), a = 0.253 fm−1 (nét gạch) và a = 0.507 fm−1 (nét chấm). trị T = T0 (tất nhiên T0 phụ thuộc vào à) mà ở đó khi T > T0 tham số trật tự u là một hàm đơn trị của T và dịch chuyển trơn về 0 khi T tăng, dạng biểu hiện này của u thường được gọi là dịch chuyển trơn. Trong khi đó khi T < T0 tham số trật tự trở thành hàm đa trị của T , ở đó theo Asakawa và Yazaki [8], xuất hiện chuyển pha loại 1. Sử dụng phương pháp này chúng ta có thể đồng nhất vùng đa trị của ngưng tụ chiral với vùng chuyển pha loại 1, từ đó ta thu được giản đồ pha trong mặt phẳng (T, a) được vẽ trên hình 3.6, ở đây đường nét liền (nét gạch) kí hiệu cho chuyển pha loại 1 và dịch chuyển trơn. Trên mỗi giản đồ, hai vùng chuyển pha được ngăn cách nhau bởi điểm tới hạn CEP. Kết quả này có thể kiểm tra bằng cách khảo sát sự biến thiên của thế hiệu dụng theo M ứng với một số cặp giá trị (T, a) nằm trong vùng đa trị của ngưng tụ chiral. Các đồ thị này cho thấy tại nhiệt độ tới hạn Tc (phụ thuộc à), chuyển pha loại 1 ứng với đường thế năng có 2 cực tiểu cùng độ sâu được ngăn cách nhau bởi một rào chắn. Hai cực tiểu này lần lượt ứng với pha phục hồi và pha phá vỡ đối xứng. Khi T tăng chiều cao hàng rào thế giảm dần và sẽ biến mất tại T = Tcross, đó chính là dấu hiệu chuyển sang dịch chuyển 103 0 50 100 150 200 250 300 350 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (a) à = 0 0 50 100 150 200 250 300 350 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (b) à = 50 MeV 0 200 400 600 800 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (c) à = 200 MeV Hình 3.5: Sự biến thiên của ngưng tụ chiral theo nhiệt độ trong thế giới vật lý cho UQ. Hình 3.5(a) và 3.5(b): a = 0 (nét liền), a = 0.253 fm−1 (nét gạch), a = 0.507 fm−1 (nét chấm) và a = 0.760 fm−1 (nét chấm-gạch). Hình 3.5(c): a = 0.0101 fm−1 (nét liền), a = 0.0181 fm −1 (nét gạch) và a = 0.0253 fm−1 (nét chấm). ổ CEP 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 0 50 100 150 200 a@fm-1D T@ M eV D (a) à = 0 ổ CEP 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 100 150 200 a@fm-1D T@ M eV D (b) à = 50 MeV ổ CEP 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 20 40 60 80 100 120 140 a@fm-1D T@ M eV D (c) à = 200 MeV Hình 3.6: Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong thế giới vật lý cho UQ. Đường nét liền kí hiệu chuyển pha loại 1, đường nét gạch kí hiệu dịch chuyển trơn. CEP là điểm tới hạn. 104 -100 0 100 200 300 400 -90 -80 -70 -60 -50 -40 M @MeVD W @M eV . fm - 3 D (a) à = 0. Từ trên xuống, các đường cong ứng với (T, a) = (92.1MeV, 0.760 fm −1 ), (109.446 MeV, 0.507 fm −1 ), (126.721 MeV, 0.253 fm −1 ). -100 0 100 200 300 400 -80 -70 -60 -50 -40 M @MeVD W @M eV . fm - 3 D (b) à = 50 MeV. Từ trên xuống, các đường cong ứng với (T, a) = (87.813 MeV, 0.760 fm −1 ), (105.429 MeV, 0.507 fm −1 ), (122.730 MeV, 0.281 fm −1 ). -100 0 100 200 300 400 -70 -65 -60 -55 -50 -45 -40 M @MeVD W @M eV . fm - 3 D (c) à = 200 MeV. Từ trên xuống, các đường cong ứng với (T, a) = (71.323 MeV, 0.304 fm −1 ), (79.398 MeV, 0.152 fm −1 ), (93.371 MeV, 0.018 fm −1 ). Hình 3.7: Sự biến thiên của thế hiệu dụng theo M ứng với một số cặp giá trị (T, a) trong vùng đa trị của ngưng tụ chiral. trơn. b- Đối với TQ, hình 3.8 biểu diễn sự phụ thuộc T của ngưng tụ chiral tại một số giá trị của a. Rõ ràng khi T tăng ngưng tụ chiral luôn dịch chuyển trơn tới 0. Giản đồ pha tương ứng được vẽ trên hình 3.9. 3.2. Chuyển pha chiral dưới ảnh hưởng của hiệu ứng Casimir 3.2.1. Năng lượng Casimir Để khảo sát ảnh hưởng của hiệu ứng Casimir lên chuyển pha chiral ta phải tính năng lượng chân không E trong (3.6), đó là phần năng lượng trong hai mặt phẳng song song vuông góc với trục z, E0(a) = −νq ∫ d~p⊥ (2pi)2 +∞∑ n=−∞ En.S, trong đó S → +∞ là diện tích các mặt phẳng. Rõ ràng E0 phân kỳ ở miền xung lượng lớn. Vấn đề này được giải quyết bằng phương pháp thừa số tắt dần hoặc phương pháp hàm zeta. Sử dụng phương pháp ở [15] và sử dụng 105 0 50 100 150 200 250 300 350 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (a) à = 0 0 50 100 150 200 250 300 350 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (b) à = 50 MeV 0 200 400 600 800 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (c) à = 200 MeV Hình 3.8: Sự biến thiên của ngưng tụ chiral theo nhiệt độ trong thế giới vật lý cho TQ. Hình 3.8(a) và 3.8(b): a = 0 (nét liền), a = 0.253 fm−1 (nét gạch), a = 0.507 fm−1 (nét chấm) và a = 0.760 fm−1 (nét chấm-gạch). Hình 3.8(c): a = 0.0101 fm−1 (nét liền), a = 0.0181 fm −1 (nét gạch) và a = 0.0253 fm−1 (nét chấm). u > 0 u = 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 100 200 300 400 500 600 a@fm-1D T@ M eV D (a) à = 0 u > 0 u = 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 100 200 300 400 500 600 a@fm-1D T@ M eV D (b) à = 50 MeV u > 0 u = 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 100 200 300 400 500 600 a@fm-1D T@ M eV D (c) à = 200 MeV Hình 3.9: Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong thế giới vật lý cho TQ. 106 công thức Abel-Plana [11] +∞∑ n=0 F (n)− ∫ +∞ 0 F (t)dt = 1 2 F (0) + i ∫ +∞ 0 dt e2pit − 1 [ F (it)− F (−it) ] , cho UQ và +∞∑ n=0 F (n+ 1 2 )− 2 ∫ +∞ 0 F (t)dt = i ∫ +∞ 0 dt ∑ λ=±1 F (t)− F (−t) e2pi(t+iλ/2) − 1 , cho TQ ta tìm được a) Năng lượng Casimir cho UQ EPC (a) = νq.16pi 2a3 ∫ +∞ 0 ydy ∫ +∞ b dt √ t2 − b2 e2pit − 1 , y = |~p⊥| 2pia , M 2∗ = M 2 (2pia)2 , b2 = y2 +M 2∗ . (3.13) b) Năng lượng Casimir cho TQ EAC (a) = −νq.16pi2a3 ∫ +∞ 0 ydy ∫ +∞ b dt √ t2 − b2 e2pit + 1 . (3.14) Như vậy, tính đến năng lượng Casimir thì Ωqq = E P C (a)− νqTa +∞∑ n=−∞ ∫ d~p⊥ (2pi)2 (3.15) ì { ln [ 1 + exp ( − En − à T )] + ln [ 1 + exp ( − En + à T )]} , cho UQ và Ωqq = E A C (a)− νqTa +∞∑ n=−∞ ∫ d~p⊥ (2pi)2 (3.16) ì { ln [ 1 + exp ( − En − à T )] + ln [ 1 + exp ( − En + à T )]} , cho TQ. 107 0 20 40 60 80 100 120 140 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (a) UQ 0 50 100 150 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (b) TQ Hình 3.10: Biến thiên của ngưng tụ chiral u(T, a) trong giới hạn chiral theo T tại à = 0 và a = 0 (nét liền), 0.253 fm−1 (nét gạch), 0.507 fm−1 (nét chấm). 3.2.2. Tính số 3.2.2.1. Giới hạn chiral ² = 0 Sử dụng các phương trình (3.11), (3.15) và (3.16) chúng ta tìm được sự phụ thuộc T của ngưng tụ chiral tại à = 0, 100 MeV và một số giá trị của a như trên hình 3.10 và 3.11. Theo đó, với UQ chuyển pha luôn thuộc loại 1, với TQ thì chuyển pha thuộc loại 1 ở miền a nhỏ và là loại 2 ở miền a lớn hơn. Giản đồ pha tương ứng được vẽ trên hình 3.12. 3.2.2.2. Thế giới vật lý ² = 1 Các hình vẽ 3.13 và 3.14 biểu diễn sự phụ thuộc T của ngưng tụ chiral tại à = 0, 50 MeV. Với UQ, chuyển pha loại 1 kết thúc tại điểm tới hạn CEP sau đó chuyển sang vùng dịch chuyển trơn. Vị trí của điểm CEP phụ thuộc à như trên giản đồ pha ở hình 3.15(a). Kết quả này được kiểm tra bằng đồ thị biểu diễn thế hiệu dụng theo M trên hình 3.16. Với TQ chuyển pha của ngưng tụ chiral luôn thuộc loại dịch chuyển trơn, giản đồ pha tương ứng được vẽ trên hình 3.15(b). 108 0 20 40 60 80 100 120 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (a) UQ: a = 0 (nét liền), 0.152 fm−1 (nét gạch), 0.253 fm −1 (nét chấm) 0 50 100 150 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (b) TQ: a = 0 (nét liền), 0.253 fm−1 (nét gạch), 0.507 fm −1 (nét chấm) Hình 3.11: Biến thiên của ngưng tụ chiral u(T, a) trong giới hạn chiral theo T tại à = 100 MeV. u > 0 u = 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 20 40 60 80 100 120 a@fm-1D T@ M eV D (a) UQ: chỉ có chuyển pha loại 1. ổ ổ u > 0 u = 0 M N 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 50 100 150 a@fm-1D T@ M eV D (b) TQ: các điểm tới hạn có (T, a)=M(145.43 MeV, 0.558 fm −1 ), N(131.5 MeV, 0.517 fm −1 ) Hình 3.12: Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong giới hạn chiral được vẽ trong mặt phẳng (T, a). Đường trên ứng với à = 0, đường dưới ứng với à = 100 MeV. Nét liền và nét gạch tương ứng với chuyển pha loại 1 và loại 2. 109 0 50 100 150 200 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (a) UQ 0 50 100 150 200 250 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (b) TQ Hình 3.13: Biến thiên của ngưng tụ chiral u(T, a) theo T trong thế giới vật lý tại à = 0 và a = 0 (nét liền), 0.253 fm−1 (nét gạch), 1.014 fm−1 (nét chấm). 0 50 100 150 200 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (a) UQ 0 50 100 150 200 250 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 T@MeVD u  f Π (b) TQ Hình 3.14: Biến thiên của ngưng tụ chiral u(T, a) theo T trong thế giới vật lý tại à = 50 MeV và a = 0 (nét liền), 0.253 fm−1 (nét gạch), 1.014 fm−1 (nét chấm). 110 ổ ổ N M 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 60 80 100 120 140 a@fm-1D T@ M eV D (a) UQ. Các điểm tới hạn CEP có (T, a) = M(126 MeV, 0.294 fm −1 ), N(121.6 MeV, 0.304 fm −1 ). u > 0 u = 0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 310 320 330 340 350 360 a@fm-1D T@ M eV D (b) TQ Hình 3.15: Giản đồ pha của ngưng tụ chiral trong mặt phẳng (T, a) trong thế giới vật lý. Đường trên và dưới ứng với à = 0, 50 MeV. Đường nét liền (nét gạch) ký hiệu chuyển pha loại 1 (dịch chuyển trơn). -100 0 100 200 300 400 -80 -70 -60 -50 -40 M @MeVD W @M eV . fm - 3 D Hình 3.16: Biến thiên của thế hiệu dụng theo M trong thế giới vật lý cho UQ tại à = 0. Từ trên xuống các đường ứng với (T, a) = (93 MeV, 0.760 fm−1), (109 MeV, 0.507 fm−1), (126 MeV, 0.294 fm −1 ). 111 3.3. Nhận xét Trong chương này, ảnh hưởng của sự rút gọn không-thời gian lên chuyển pha chiral được khảo sát trong khuôn khổ LSMq. Một số kết quả chính của chương có thể tóm tắt như sau. 1- Trong giới hạn chiral chuyển pha chiral đối với UQ luôn là chuyển pha loại 1. Trong khi đó, đối với TQ, tùy thuộc vào giá trị của độ dài rút gọn mà chuyển pha chiral có thể chuyển từ loại 1 sang loại 2 qua điểm tới hạn. 2- Trong thế giới vật lý, diễn biến chuyển pha chiral đối với UQ cho vùng mà à = 0, 50, 200 MeV khá giống nhau: chuyển từ chuyển pha loại 1 sang dịch chuyển trơn qua điểm tới hạn CEP. Đối với TQ thì chỉ có dịch chuyển trơn. Tiếp theo ta khảo sát mối quan hệ giữa chuyển pha chiral và lý thuyết Hohenberg [31], theo đó ngưng tụ Bose-Einstein không thể xảy ra trong hệ có số chiều không gian d ≤ 2. Ta hãy khảo sát ngưng tụ chiral ở vùng a lớn cho cả UQ và TQ trong giới hạn chiral. a- Với UQ, tính chất chung của các giản đồ pha là chúng đều tiến tới 0 khi a tăng lên. Như thế ngưng tụ chiral tiến tới 0 khi T tăng. Minh họa cho điều này, trên hình 3.17 chúng tôi vẽ sự phụ thuộc này tại à = 50 MeV và một vài giá trị nhiệt độ. Kết hợp hình vẽ này với hình 3.6(b) chúng ta có thể kết luận rằng u dần tới 0 khi a tăng. Điều này chứng tỏ lý thuyết Hohenberg đúng cho UQ. Kết luận này đúng cho tất cả các trường hợp khác. b- Với TQ, các giản đồ pha đều cho thấy chúng có một giá trị nhiệt độ T = Tmin (Tmin phụ thuộc à) mà sự phụ thuộc a của ngưng tụ chiral trong vùng T Tmin. Để minh họa cho điều này, chúng tôi lấy ví dụ tại à = 50MeV để vẽ đồ thị u(a) cho hai vùng là 0 < T < Tmin = 104 MeV và 104 MeV < T < +∞ như trên hình 3.18. 112 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a@fm-1D u  f Π Hình 3.17: Sự phụ thuộc a của ngưng tụ chiral trong giới hạn chiral cho UQ tại à = 50 MeV và T = 100 MeV (nét liền), 150 MeV (nét gạch), 200 MeV (nét chấm). Kết hợp với hình 3.9(c) thì các hình vẽ này cho thấy rằng u fpi → 1 khi a→∞, khi T 104 MeV thì nếu cho a tăng dần từ 0, lúc đầu ngưng tụ chiral triệt tiêu nhưng khi a đủ lớn lại xuất hiện ngưng tụ chiral và u fpi → 1 khi a→∞. Như thế, với TQ, một câu hỏi đặt ra là liệu có vi phạm lý thuyết Hohenberg hay không. Theo [46] thì câu trả lời là sự không triệt tiêu của ngưng tụ chiral ở vùng a lớn vẫn phù hợp với lý thuyết Hohenberg bởi vì điều kiện biên phản tuần hoàn tương đương với sự có mặt của một số trường ngoài, vì vậy ngưng tụ Bose-Einstein trong không gian 2D vẫn có thể được tạo nên bởi trường ngoài. Do nhiệt độ tới hạn của dịch chuyển pha phụ thuộc vào độ dài rút gọn nên những nghiên cứu này rất có ích trong việc tìm hiểu các tính chất của siêu dẫn nhiệt độ cao, nó cũng có thể áp dụng vào việc nghiên cứu ngưng tụ Bose-Einstein trong không gian (2D + ²) chiều. 113 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.05 1.10 a@MeVD u  f Π (a) T < Tmin : T = 50 MeV (nét liền), 80 MeV (nét gạch), 100 MeV (nét chấm). 0 1 2 3 4 5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 a@fm-1D u  f Π (b) T > Tmin : T = 150 MeV (nét liền), 200 MeV (nét gạch), 250 MeV (nét chấm) Hình 3.18: Sự phụ thuộc a của ngưng tụ chiral trong giới hạn chiral cho TQ tại à = 50 MeV. kết luận Trong luận án này, chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu cấu trúc pha của QCD trong khuôn khổ LSM và LSMq. Sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT chúng tôi nghiên cứu một cách hệ thống cấu trúc pha của LSM, gồm cấu trúc pha chiral và cấu trúc pha của ngưng tụ pion dựa trên gần đúng IHF, trong đó định lí Goldstone được thực hiện và tính tự hợp của lý thuyết được bảo toàn. Phương pháp trường trung bình được sử dụng để nghiên cứu cấu trúc pha của LSMq và chuyển pha chiral trong không-thời gian rút gọn. Trong số nhiều kết quả thu được của luận án, chúng tôi xin nêu 3 kết quả nổi bật nhất: 1. Lần đầu tiên thu được kết quả hoàn chỉnh về giản đồ pha của chuyển pha chiral và ngưng tụ pion trong LSM, trong đó đã chứng tỏ rằng chuyển pha chiral trong giới hạn chiral là chuyển pha loại 2 khi định lý Goldstone được thực hiện. Kết quả này đã giải quyết xong một vấn đề còn tranh luận lâu nay. 2. Khi có sự tham gia của quark hóa trị, giản đồ pha trên mặt phẳng (T, à) chứa điểm CEP, phù hợp với tiên đoán của QCD mô phỏng trên mạng (LQCD). 3. Nhiệt độ tới hạn trong chuyển pha chiral phụ thuộc vào chiều dài rút gọn L của không-thời gian rút gọn. Các kết quả đạt được trên đây sẽ là những đóng góp có ý nghĩa vào công việc nghiên cứu những vấn đề liên quan đến các hiện tượng tới hạn trong vật lý hiện đại, đặc biệt trong lĩnh vực vật lý năng lượng cao. Những kết quả thu được của luận án mở ra cho chúng tôi một số 115 hướng nghiên cứu tiếp theo: 1. Để có thể mô tả được các cơ chế khác nhau của QCD như phá vỡ đối xứng chiral và cơ chế giam cầm, chúng tôi sẽ tiến hành khảo sát cấu trúc pha của QCD trong mô hình Polyakov-LSM. Kết quả thu được có thể sẽ cho chúng ta những hiểu biết sâu hơn về cấu trúc pha của QCD ở vùng trong vùng QCP lớn. 2. Trong không-thời gian rút gọn, nhiệt độ chuyển pha phụ thuộc rất mạnh vào giá trị của độ dài rút gọn nên khi L đủ nhỏ, chúng ta có thể nghiên cứu sâu hơn về siêu dẫn nhiệt độ cao và khảo sát ngưng tụ Bose-Einstein trong không gian (2D + ²) chiều. 116 Các công trình liên quan đến luận án [1]. Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Phase structure of the linear sigma model with the non-standard symmetry breaking term, J. Phys. G: Nucl. and Part. 38, 045002, 2011. [2]. Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Phase structure of the linear sigma model with the standard symmetry breaking term, Eur. Phys. J. C 71, 1810 (2011). [3]. Tran Huu Phat, Nguyen Van Thu and Nguyen Van Long (2011), Phase structure of the linear sigma model with electric neutrality constraint, Proc. Natl. Conf. Nucl. Scie. and Tech. 9 (2011), pp. 246-256. [4]. Tran Huu Phat, Nguyen Van Long and Nguyen Van Thu (2011), Neu- trality effect on the phase structure of the linear sigma model with the non-standard symmetry breaking term, Proc. Natl. Conf. Theor. Phys. 36 (2011), pp. 71-79. [5]. Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Casimir effect and chiral phase transition in compactified space-time, submitted to Eur. Phys. J. C. [6]. Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Chiral phase transition in com- pactified space-time, submitted to The 37th NCTP. [7]. Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Phase structure of linear sigma model without neutrality (I), Comm. Phys. Vol. 22, No. 1 (2012), pp. 15-31. [8]. Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Phase structure of linear sigma model with neutrality (II), Comm. Phys., to be published. [9]. Tran Huu Phat and Nguyen Van Thu, Phase structure of linear sigma model with constituent quarks: Non-standard case, Scientific Journal, Hanoi University of Education 2, to be published. Tài liệu tham khảo [1] Abuki H., Ciminale M., Gatto R., Ippolito N. D., Nardulli G., Rug- gieri M. (2008), Electrical neutrality and pion modes in the two flavor Polyakov-Nambu-Jona-Lasinio model, Phys. Rev. D 78, 014002. [2] Abuki H., Anglani R., Gatto R., Pellicoro M. and Ruggieri M. (2009), The fate of pion condensation in quark matter: from the chiral limit to the physical pion mass, arxiv: 0809.2658. [3] Arkani-Hamed N., Dimopoulos S. and Dvali G. (1998), The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter, Phys. Lett. B 429, 263; ibid., Phenomenology, astrophysics, and cosmology of theories with submillimeter dimensions and TeV scale quantum gravity, Phys. Rev. D 59, 086004 (1999). [4] Andersen J. O. (2007), Pion and kaon condensation at finite tempera- ture and density, Phys. Rev. D 75, 065011. [5] Andersen J. O. and Brauner T. (2008), Linear sigma model at finite density in the 1/N expansion to next-to-leading order, Phys. Rev. D 78, 014030. [6] Andersen J. O. and Kyllingstad L. (2010), Pion condensation in a two- flavour NJL model: the role of charge neutrality, J. Phys. G. Part. Nucl. Phys. 37, 015003. [7] Arnold P. and Espinosa O. (1993), The effective potential and first order phase transitions: Beyond leading-order, Phys. Rev. D 47, 3546. [8] Askawa M. and Yazaki K. (1989), Chiral restoration at finite density and temperature, Nucl. Phys. A 504, 668. [9] Barducci A., Casalbuoni R., Pettini G., and Ravagli L. (2005), Pion and kaon condensation in a 3-flavor Nambu-Jona-Lasinio model, Phys. 118 Rev. D 71, 016011. [10] Barducci A., Casalbuoni R., Pettini G., and Ravagli L. (2004), Calcula- tion of the QCD phase diagram at finite temperature, and baryon and isospin chemical potentials, Phys. Rev. D 69, 096004; Ebert D. and Klimenko K. G. (2006), Pion condensation in electrically neutral cold matter with finite baryon density, Eur. Phys. J. C 46, 771; Lawley S., Bentz W. and Thomas A. W. (2006), The phases of isospin asymmet- ric matter in the two flavor NJL model, Phys. Lett B 632, 495; He L. (2010), Nambu-Jona-Lasinio model description of weakly interacting Bose condensate and BEC-BCS crossover in dense QCD-like theories, Phys. Rev. D 82, 096003. [11] Bellucci S. and Saharian A. A. (2009), Fermionic Casimir effect for parallel plates in the presence of compact dimensions with applications to nanotubes, Phys. Rev. D 80, 105003. [12] Bergman O., Lifschytz G. and Lipper M. (2007), Holographic nuclear physics, JHEP 0711, 056 (hep-th/0708.0326); Rozali M., Shieh H. H., van Raamsdonk M., Wu J. (2008), Cold nuclear matter in holographic QCD, JHEP 0801, 053 (hep-th/0708.1322). [13] Bernard V., Meissner U. G. and Zahed I. (1987), Decoupling of the pion at finite temperature and density, Phys. Rev. D 36, 819. [14] Birse M. C., Cohen T. D, and McGovern J. A. (2001), Phases of QCD with nonvanishing isospin density, Phys. Lett. B 516, 27. [15] Bordag M., Mohideen V. and Mostepanenko V. M. (2001), New devel- opments in the Casimir effect, Phys. Rep. 353, 1. [16] BordagM. and Skolozub V. (2001), Phase transition in scalar φ4-theory beyond the super-daisy resummations, J. Phys. A 34, 461. 119 [17] Buballa M. (2005), NJL-model analysis of dense quark matter, Phys. Rept., 407, 205. [18] Campell D. K., Dashen R. F. and Manassah J. T. (1975), Chiral sym- metry and pion condensation. I. Model-dependent results, Phys. Rev. D 12, 979. [19] Cornwall J., Jackiw R. and Tomboulis E. (1974), Effective action for composite operators, Phys. Rev. D 10, 2428; Amelino-Camelia G. and Pi S. Y. (1993), Self-consistent improvement of the finite-temperature effective potential, Phys. Rev. D 47, 2356. [20] Dolan L. and Jackiw R. (1974), Symmetry behavior at finite tempera- ture, Phys. Rev. D 9, 3320. [21] Elizalde E. (2006), Uses of zeta regularization in QFT with boundary conditions: A Cosmo-topological Casimir effect, J. Phys. A 39, 6299. [22] Elizalde E., Nojiri S. and Odintsov S. D. (2004), Late-time cosmology in a (phantom) scalar-tensor theory: Dark energy and the cosmic speed- up, Phys. Rev. D 70, 043539. [23] Ford L. H. (1980), Twisted scalar and spinor strings in Minkowski spacetime, Phys. Rev. D 21, 949. [24] Frank M., Buballa M. and Oertel M. (2003), Flavor-mixing effects on the QCD phase diagram at non-vanishing isospin chemical potential: one or two phase transitions?, Phys. Lett. B 562, 221. [25] Gell-Mann M. and Levy M. (1960), The axial vector current in beta decay, Nuovo Cimento 16, 705. [26] Gupta S. (2005), Phenomenology using lattice QCD, hep-lat/0502005; [27] Harris J. W. and Muller B. (1996), The search for the quark - gluon plasma, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., 46, 71. 120 [28] Hatsuda T. and Kunihiro T. (1994), QCD phenomenology based on a chiral effective Lagrangian, Phys. Rept., 247, 221. [29] He L., Jin M. and Zhuang P. (2005), Pion superfluidity and meson properties at finite isospin density, Phys. Rev. D 71, 116001. [30] He L. and Zhang P. (2005), Phase structure of Nambu-Jona-Lasinio model at finite isospin density, Phys. Lett. B 615, 93. [31] Hohenberg P. C. (1967), Existence of long-range order in one and two dimensions, Phys. Rev. 158, 383. [32] Horowitz G. T. (2010), Introduction to holographic superconductors, arxiv:1002.1722. [33] Isham C. J. (1978), Twisted quantum fields in a curved space-time, Proc. R. Soc. London A 362, 383; ibid. 364, 591 (1978). [34] Ivanov Yu. B., Riek F. and Knoll J. (2005), Gapless Hartree-Fock re- summation scheme for the O(N) model, Phys. Rev. D 71, 105016. [35] Kirnhitz D. and Linde A. (1972), Macroscopic consequences of the Weinberg model, Phys. Lett. B 42, 471. [36] Kogut J. B. and Toublan D. (2001), QCD at small nonzero quark chem- ical potentials, Phys. Rev. D 64, 034007. [37] Kogut J. B. and Sinclair D. K. (2001), Scaling behavior at the Nt = 6 chiral phase transition for 2-flavor lattice QCD with massless stag- gered quarks, and an irrelevant 4-fermion interaction, Phys. Rev. D 64, 034508; ibid. D 66, 034505 (2002). ibid. D 70, 094501(2004). [38] Lenaghan J. T. and Rischke D. H. (2000), TheO(N)model at finite tem- perature: renormalization of the gap equations in Hartree and large-N approximation, J. Phys. G 26, 431. 121 [39] Loewe M. and Villavicencio C. (2004), Thermal pion masses in the second phase: àI > mpi, Phys. Rev. D 70, 074005. [40] Mao H., Petropoulos N., Shu S. and Zhao W. Q. (2006), The linear sigma model at a finite isospin chemical potential, J. Phys. G 32, 2187. [41] Mermin N. D. and Wagner H. (1966), Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models, Phys . Rev. Lett. 17, 1133. [42] Mohapatra R. N. and Senjanovic G. (1979), Soft CP-invariance viola- tion at high temperature, Phys. Rev. Lett. 42, 1651. [43] Mukherjee S., Mustapha M. G., Ray R. (2006), Thermodynamics of the Polyakov-Nambu-Jona-Lasinio model with nonzero baryon and isospin chemical potentials, Phys. Rev. D 75, 094015. [44] Nemoto Y., Naito K., and Oka M. (2000), Effective potential of O(N) linear sigma model at finite temperature, Eur. Phys. J. A 9, 245. [45] Ogure K. and Sato J. (1998), Critical properties of the O(N) invariant scalar model using the auxiliary-mass method at finite temperature, Phys. Rev. D 58, 85010. [46] Plunien G., Muller B., and Greiner W. (1986), The Casimir effect, Phys. Rep. 134, 87. [47] Rajagopal K. and Wilczek F. (1993), Static and dynamic critical phe- nomena at a second order QCD phase transition, Nucl. Phys. B 399, 395. [48] Randall L. and Sundrum R. (1999), Large mass hierarchy from a small extra dimension, Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999); ibid. 83, 4690. [49] Sachdev S. (1999), Quantum phase transition, Cambridge University Press, UK. 122 [50] Sakai T. and Sugimoto S. (2005), Low energy hadron physics in holo- graphic QCD, Prog. Theor. Phys. 113, 843 (hep-th/0412141); ibid. 114, 1083 (2005) (hep-th/0507073). [51] Sasaki T., Y. Sakai, Kouno H. and Yahiro M. (2010), QCD phase di- agram at finite baryon and isospin chemical potentials, Phys. Rev. D 82, 116004. [52] Scavenius O., Mocsy A., Mishustin I. N. and Rischke D. H. (2001), Chiral phase transition within effective models with constituent quarks, Phys. Rev. C 64, 045202. [53] Schwarz J. H. (2003), Update on string theory, astro-ph/0304507. [54] See, for example, Modern Kaluza-Klein theories, edited by Appelquits T., Chodos A. and Freund P. T. (Addison-Wesley, Reading, MA, 1987). [55] Shu S. and Li J. R. (2007), Bose-Einstein condensation and chiral phase transition in linear sigma model, J. Phys. G 31, 459 (2006); BoseEin- stein condensation in a linear sigma model at large N approximation, J. Phys. G 34, 2727. [56] Son D. T. and Stephanov M. A. (2001), QCD at finite isospin density, Phys. Rev. Lett. 86, 592. [57] Splittorff K., Son D. T. and Stephanov M. A. (2001), QCD-like theories at finite baryon and isospin density, Phys. Rev. D 64, 016003. [58] Stone J. R., Miller J. C., Koncewicz R., Stevenson P. D. and Strayer M. R. (2003), Nuclear matter and neutron-star properties calculated with the Skyrme interaction, Phys. Rev. C 68, 034324. [59] Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh and Le Viet Hoa (2004), On the chiral phase transition in the linear sigma model, Eur. Phys. J. A 19, 359; 123 [60] Tran Huu Phat, Nguyen Van Long, Nguyen Tuan Anh and Le Viet Hoa (2008), Kaon condensation in the linear sigma model at finite density and temperature, Phys. Rev. D 78, 105016. [61] Weinberg S. (1974), Gauge and global symmetries at high temperature, Phys. Rev. D 9, 3357. phụ lục Phụ lục A: tái chuẩn hóa thế hiệu dụng ở chương 1 Dựa trên phương pháp tái chuẩn hóa đã được sử dụng trong [60] chúng tôi sẽ trình bày chi tiết việc tái chuẩn hóa thế hiệu dụng ứng với Lagrangian (1.1). Ta đưa vào đây hai trường mới Φ1 = 1√ 2 (pi1 + ipi2), Φ2 = 1√ 2 (σ + ipi3). (A.1) Thay (A.1) vào (1.1) ta sẽ đưa được Lagrangian này về dạng tổng quát hơn L = (∂0 + iàk)Φ∗k(∂0 − iàk)Φk − (~∂Φ∗k)(~∂Φk)−m2kΦ∗kΦk −λk(Φ∗kΦk)2 − 2λ(Φ∗1Φ1)(Φ∗2Φ2), (A.2) trong đó Φ∗ là liên hợp phức của Φ, à2k > m 2 k với k = 1, 2. Tương ứng với (A.2) ta có đối hạng ∆L = − [δm2kΦ∗kΦk + δλk(Φ∗kΦk)2 + 2δλΦ∗1Φ1Φ∗2Φ2]+ δΩ. (A.3) Số hạng này sẽ cho ta giá trị của khối lượng và các hằng số liên kết tái chuẩn hóa. Đại lượng δΩ biểu diễn phần năng lượng bổ sung, nó sẽ bị hấp thụ hết trong biểu thức của thế hiệu dụng tái chuẩn hóa. Lấy tổng (A.2) và (A.3) ta thu được biểu thức cho thế hiệu dụng tái chuẩn hóa V CJTβ (u, v;D,G) = δΩ + m21 − à21 + δm21 2 u2 + m22 − à22 + δm22 2 v2 + λ1 + δλ1 4 u4 + λ2 + δλ2 4 v4 + λ+ δλ 2 u2v2 + 1 2 ∫ β tr { lnD−1(k) +D−10 D(k) + lnG −1(k) +G−10 G(k)− 2.1 } + λ1 + δλ1 4 [P 211 + P 2 22 + 6P11P22] + λ2 + δλ2 4 [Q211 +Q 2 22 + 6Q11Q22] + λ+ δλ 2 [P11Q11 + P11Q22 + P22Q11 + P22Q22]. (A.4) Giả thiết rằng các tham số tái chuẩn hóa δmk, δλk và δλ không phụ thuộc vào nhiệt độ và thế hóa, khi đó khối lượng và các hằng số liên kết tái chuẩn 124 125 hóa được định nghĩa trong chân không m21R = ( δ2V CJTβ δu2 ) u=v=0,T=à1=à2=0 , m22R = ( δ2V CJTβ δv2 ) u=v=0,T=à1=à2=0 , λ1R = 1 6 ( δ4V CJTβ δu4 ) u=v=0,T=à1=à2=0 , λ2R = 1 6 ( δ4V CJTβ δv4 ) u=v=0,T=à1=à2=0 , λR = 1 2 ( δ4V CJTβ δu2δv2 ) u=v=0,T=à1=à2=0 . Cũng cần nhấn mạnh rằng, trong gần đúng IHF, các định nghĩa cho các hệ số tái chuẩn hóa ở trên sẽ không dẫn đến các hàm 4 điểm mà thay vào đó ta sẽ chỉ gặp 3 loại đỉnh đơn giản. Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ không gặp phải vấn đề phân kỳ hồng ngoại. Với yêu cầu tất cả các số hạng phân kỳ phải được hấp thụ hết bởi các tham số của đối hạng chúng ta sẽ có hệ phương trình δλ1(3P11 + P22)0 + δλ(Q11 +Q22)0 + λ1(3P11 + P22)0 + λ(Q11 +Q22)0 = 0, δλ2(3Q11 +Q22)0 + δλ(P11 + P22)0 + λ2(3Q11 +Q22)0 + λ(P11 + P22)0 = 0, (A.5) ở đây chúng ta đã sử dụng ký hiệu (A+B)0 = (A+B)u=v=0,T=à1=à2=0. Các phương trình (A.5) tạo thành hệ hai phương trình tuyến tính cho ba đại lượng chưa biết là δλ1, δλ2 và δλ. Nghiệm của các phương trình này không phụ thuộc vào T, à1 và à2. Với yêu cầu tất cả các số hạng phân kỳ có mặt trong (A.4) phải bị khử hết sẽ dẫn đến phương trình δΩ + 2∑ i=1 (Aiδm 2 i +Biδλi) + Cδλ+D = 0, (A.6) 126 trong đó A1 = 1 2 div(P11 + P22), A2 = 1 2 div(Q11 +Q22), B1 = u 2 div( 3 2 P11 + 1 2 P22) + 3 4 div(P 211 + P 2 22) + 1 2 divP11P22, B2 = v 2 div( 3 2 Q11 + 1 2 Q22) + 3 4 div(Q211 +Q 2 22) + 1 2 divQ11Q22, C = 1 2 u2div(Q11 +Q22) + 1 2 v2div(P11 + P22) + 1 2 ∑ i,k=1 2divPiiPkk, D = 1 2 (−à21 +m21 + 3λ1u2 + λv2 −M 21 )divP11 + 1 2 (−à21 +m21 + λ1u2 + λv2)divP22 + 1 2 (−à22 +m22 + 3λ2v2 + λu2 −M 22 )divQ11 + 1 2 (−à22 +m22 + λu2 + λ2v2)divQ22 + λ1 4 div(3P11 + 3P22 + 4P11P22) + λ2 4 div(3Q11 + 3Q22 + 4Q11Q22) + λ 2∑ i,k=1 divPiiQkk + div[R1 +R2]. Rõ ràng rằng (A.6) là một phương trình tuyến tính của ba ẩn số δΩ, δm21 và δm22. Sự tồn tại nghiệm của các phương trình (A.5) và (A.6) đảm bảo rằng trong biểu thức của thế hiệu dụng tái chuẩn hóa sẽ chỉ còn chứa các số hạng hữu hạn. 127 Phụ lục B: các tích phân mô men xung lượng ở chương 1 Để đơn giản các ký hiệu ta giả sử xét một đại lượng F . Thành phần hội tụ và thành phần phân kỳ của nó được kí hiệu lần lượt là [F ] và divF thì F = [F ] + divF. Trong các tính toán ở chương 1 chúng ta thường gặp một số tích phân mô men xung lượng sau đây. B1. Đối với hàm truyền D Chúng ta định nghĩa P11 = ∫ β D11, P22 = ∫ β D22, R1 = 1 2 ∫ β tr lnD−1(k), thì sau một số tính toán sẽ dẫn đến [P11] = (M 21 + à 2 I) ln 2 8pi2 + 1 16pi2à2I ∫ ∞ 0 dx √ x x+ 4à2I (x+ 4à2I +M 2 1 ) ì [ exp √ (x+ 4à2I)(x+ 4à 2 I +M 2 1 ) 2àIT − 1 ]−1 + 1 16pi2à2I ∫ ∞ 0 dx √ x+ 4à2I +M 2 1 x+M 21 x [ exp √ x(x+M 21 ) T − 1 ]−1 , [P22] = à2I ln 2 8pi2 + 1 16pi2à2I ∫ ∞ 0 dx √ x(x+ 4à2I) exp √ (x+4à2I)(x+4à 2 I+M 2 1 ) 2àIT − 1 + 1 16pi2à2I ∫ ∞ 0 dx √ (x+ 4à2I +M 2 1 )(x+M 2 1 ) exp √ x(x+M21 ) 2àIT − 1 , [R1] = −(M 4 1 + 2à 2 IM 2 1 + 2à 4 I) ln 2 16pi2 + T 16pi2à3I ∫ ∞ 0 dx(x+ 2à2I + M 21 2 ) √ x(x+ 4à2I +M 2 1 ) 128 ì { ln [ 1− exp { − √ (x+ 4à2I)(x+ 4à 2 I +M 2 1 ) 2àIT }] + ln [ 1− exp { − √ x(x+M 21 ) 2àIT }]} . B2. Đối với hàm truyền G Tương tự như trên ta định nghĩa Q = ∫ β 1 k2 +M 2 = [Q] + divQ, R2 = 1 2 ∫ β tr lnG−1 = [R2] + divR2, sẽ dẫn tới [Q11] = M 23 16pi2 ln M 23 γ2 − 1 2pi2 ∫ ∞ 0 dk k2√ k2 +M 23 (1− exp √ k2+M23 T ) , [Q22] = M 24 16pi2 ln M 24 γ2 − 1 2pi2 ∫ ∞ 0 dk k2√ k2 +M 24 (1− exp √ k2+M24 T ) , [R2] = M 43 64pi2 ( ln M 23 γ2 − 1 2 ) + M 44 64pi2 ( ln M 24 γ2 − 1 2 ) + T 2pi2 ∫ ∞ 0 dkk2 ln [ 1− exp ( − √ k2 +M 23 T )] + T 2pi2 ∫ ∞ 0 dkk2 ln [ 1− exp ( − √ k2 +M 24 T )] . B3. Thành phần nhiệt độ 0 (P11)0 = (M 201 + à 2 I) ln 2 8pi2 , (P22)0 = à2I ln 2 8pi2 , (R1)0 = −(M 4 01 + 2à 2 IM 2 01 + 2à 4 I) ln 2 16pi2 , 129 (Q11)0 = M 203 16pi2 ln M 203 γ2σ , (Q22)0 = M 204 16pi2 ln M 204 γ2pi , (R2)0 = M 403 64pi2 ( ln M 203 γ2σ − 1 2 ) + M 404 64pi2 ( ln M 204 γ2pi − 1 2 ) . B2. Khai triển nhiệt độ cao P11 ' (P11)0 + T 2 12 , P22 ' (P22)0 + T 2 12 , R1 ' (R1)0 − pi 2 45 T 4 + M 21 − 2à2 24 T 2, Q11 ' (Q11)0 + T 2 12 , Q22 ' (Q22)0 + T 2 12 , R2 ' (R2)0 − pi 2 45 T 4 + M 23 +M 2 4 24 T 2.