Luận án Nghiên cứu hiệu ứng xuyên hầm klein bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên

ua hai 100 môi trường tương tự như bậc thế nghịch trong BWA. Ảnh hưởng của độ cao bậc thế nghịch và số sóng tới của DS khi nghiên cứu IKT đã được khảo sát rõ ràng, giúp kiểm tra lại tính phù hợp của hệ số truyền qua lý thuyết trong mô hình rời rạc với BWA. Đối với sự phụ thuộc vào độ cao bậc thế, IKT hoàn toàn giống với KT khi xảy ra chỉ ở một vùng độ cao bậc thế có giá trị nhất định. Đối với sự phụ thuộc vào số sóng, chúng tôi cũng đã thiết lập mối quan hệ quan trọng khi so sánh hệ số truyền qua của IKT với KT. Đó là sự đối xứng của cả hai mô hình rời rạc trong BWA và liên tục của cả hai hiệu ứng khi thay đổi số sóng đầu vào. 2. Chúng tôi đã nghiên cứu một cách có hệ thống hiệu ứng xuyên đường Klein qua một rào thế hình chữ nhật trong BWA. Hiệu ứng xuyên hầm Klein này xảy ra khi một chùm tia đầu vào nằm trên nhánh năng lượng dương chạm vào mép trước của hàng rào thế năng, sau đó tạo ra chùm tia truyền qua nằm trên nhánh năng lượng âm mà sau khi chạm vào mép sau của hàng rào thế năng cuối cùng sẽ tạo ra chùm tia đầu ra lại thuộc nhánh dương. Chúng tôi đã tính toán giải tích được hệ số truyền qua của sóng phẳng qua rào thế hình chữ nhật trong mô hình liên tục và trong mô hình rời rạc với BWA. Sau đó, chúng tôi mô phỏng đường truyền của DS từ vùng I có thế năng thấp sang vùng II có thế năng cao hơn và sang vùng III có thế năng bằng với thế năng vùng I. Các kết quả lý thuyết về hệ số truyền qua trong BWA hoàn toàn phù hợp với kết quả dựa trên mô phỏng mà chúng tôi sử dụng DS. Sự phụ thuộc của hệ số truyền qua trong BWA vào số sóng đầu vào của DS và độ cao rào thế đã được nghiên cứu chi tiết. Khi thay đổi độ cao rào thế, hệ số truyền qua trong hiệu ứng xuyên hầm Klein qua rào thế hình chữ nhật 101 phù hợp với kết quả mô phỏng, đặc biệt khi tham số độ rộng DS đủ lớn và trong chế độ tuyến tính khi lan truyền chùm tia. Bởi vì các chùm tia sẽ hoạt động ở một chế độ gần với điều kiện sóng phẳng hơn, và thứ hai, biên độ đầu vào của DS tỷ lệ nghịch với độ rộng chùm tia sẽ đáp ứng tốt hơn yêu cầu về độ tuyến tính. Thêm vào đó, tính phi tuyến có thể có vai trò đáng chú ý trong hiệu ứng KT và có thể làm giảm hệ số truyền sóng qua hàng rào thế hình chữ nhật trong BWA. 3. Kết quả của chúng tôi cho thấy DS trong BWA rất hữu ích cho việc nghiên cứu các hiệu ứng quang học tương tự như KT, IKT và các hiệu ứng lượng tử tương đối tính khác phát sinh từ các phương trình Dirac. 102 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo Nghiên cứu của chúng tôi về IKT qua bậc thế năng đã được trình bày ở Chương 2. Quá trình xuyên hầm của hạt electron trong hiệu ứng Klein qua rào thế hình chữ nhật được nghiên cứu một cách hệ thống trong Chương 3. Từ các hướng nghiên cứu mà chúng tôi đã thực hiện, chúng tôi nhận thấy có thể phát triển các hướng nghiên cứu tiếp theo như sau: 1. Hiệu ứng Sauter khi electron truyền qua bậc thế không có cạnh thẳng đứng mà có góc nghiêng nhất định. Sauter đã chỉ ra rằng độ dốc và độ rộng của vùng chuyển tiếp giữa các mức thế năng có ảnh hưởng rất quan trọng đến hiệu ứng xuyên hầm Klein [41]. Kết quả nghiên cứu sơ bộ của chúng tôi bằng cách mô phỏng quá trình truyền của DS trong BWA cũng xác nhận điều này. 2. Tiếp tục nghiên cứu hiệu ứng xuyên hầm Klein qua các dạng trường thế khác nhau như qua hố thế thành cao hữu hạn,... 3. Tiếp tục tìm hiểu các hiệu ứng lượng tử tương đối tính khác xuất hiện bằng hệ ống dẫn sóng nhị nguyên, từ đó tính toán lý thuyết và mô phỏng chúng và so sánh các kết quả thu được với kết quả thực nghiệm. 4. Nghiên cứu các dạng soliton có các tính chất quang học đặc biệt để có 103 thể ứng dụng vào thực tiễn, dùng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu quang học và truyền tải thông tin. Sau cùng, chúng tôi hy vọng rằng các nghiên cứu của chúng tôi sẽ giúp ích cho quá trình nghiên cứu chuyên sâu về lý thuyết lẫn thực nghiệm về các hiệu ứng lượng tử bằng hệ ống dẫn sóng, góp phần giúp cho lĩnh vực nghiên cứu mô phỏng các hiệu ứng lượng tử có bước tiến vững chắc trong tương lai. 104 Danh mục các công trình đã công bố Danh mục các công trình đã công bố có liên quan đến nội dung luận án 1. Minh C. Tran, Quang Nguyen-The, Cuong C. Do and Truong X. Tran, “Inverse Klein tunneling effect in binary waveguide arrays,” Phys- ical Review A, vol. 105, p. 023523, 2022. (SCI IF 3.14, Q1 theo Scimago, h-index: 88) 2. Minh C. Tran, Cuong C. Do and Truong X. Tran, “Klein tunneling through a rectangular potential barrier in a binary waveguide array,” Annals of Physics, vol. 450, p. 169241, 2023. (SCI IF 3.036, Q1 theo Scimago, h-index: 109) Danh mục các công trình công bố khác trong quá trình thực hiện luận án 1. Minh C. Tran and Truong X. Tran, “A new class of out-gap discrete solitons in binary waveguide arrays,” Chaos, vol. 32, p. 073113, 2022. 105 (SCI IF 3.741, Q1 theo Scimago, h-index: 115) 2. Minh C. Tran and Truong X. Tran, “Beyond-band discrete soliton interaction in binary waveguide arrays,” Chaos, vol. 33, p. 063103, 2023. (SCI IF 3.741, Q1 theo Scimago, h-index: 115) 3. Minh C. Tran, Anh T. Doan, Thau X. Nguyen and Truong X. Tran, “2D Jackiw-Rebbi and trivial localized states in square interfaced bi- nary waveguide lattices,” Physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 449, p. 133854, 2023. (SCI IF 4, Q1 theo Scimago, h-index: 144) Các báo cáo hội nghị đã tham gia 1. Minh C. Tran and Truong X. Tran, “Investigating the inverse Klein tunneling effect in binary waveguide arrays,” Hội nghị Vật lý lý thuyết lần thứ 47, Tuy Hòa, 2022 2. Minh C. Tran and Truong X. Tran, “Investigating the Klein tunnel- ing effect through a rectangular potential barrier in binary waveguide arrays,” Hội nghị Vật lý lý thuyết lần thứ 48, Đà Nẵng, 2023 106 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Xuân Trường, Hệ ống dẫn sóng: từ Quang học rời rạc đến Lý thuyết trường lượng tử, Nhà xuất bản Quân đội Nhân dân, 2023. [97] Lê Văn Hoàng, Bài giảng Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, 2015. [98] Đặng Quang Khang, Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 1996. Tiếng Anh [2] A. L. Jones, “Coupling of Optical Fibers and Scattering in Fibers”, Journal of the Optical Society of America, 1965, 55, 261. [3] Y. S. Kivshar and G. P. Agrawal, Optical Solitons: from Fiber to Photonic Crystals, Academic Press, San Diego, 2003. [4] D. N. Christodoulides and E. D. Eugenieva, “Blocking and Routing Discrete Solitons in Two-Dimensional Networks of Nonlinear Waveg- uide Arrays”, Physical Review Letters, 2001, 87, 233901. 107 [5] D. N. Christodoulides, F. Lederer and Y. Silberberg, “Discretizing light behaviour in linear and nonlinear waveguide lattices”, Nature, 2003, 424, 817. [6] T. X. Tran and F. Biancalana, “Diffractive Resonant Radiation Emitted by Spatial Solitons in Waveguide Arrays”, Physical Review Letters, 2013, 110, 113903. [7] T. Pertsch, P. Dannberg, W. Elflein, A. Bra¨uer and F. Lederer, “Op- tical Bloch Oscillations in Temperature Tuned Waveguide Arrays”, Physical Review Letters, 1999, 83, 4752. [8] G. Lenz, I. Talanina and C. M. de Sterke, “Bloch Oscillations in an Array of Curved Optical Waveguides”, Physical Review Letters, 1999, 83, 963. [9] F. Bloch, “U¨ber die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgit- tern”, Z. Physik, 1929, 52, 555. [10] M. Ghulinyan, C. J. Oton, Z. Gaburro, L. Pavesi, C. Toninelli and D. S. Wiersma, “Zener Tunneling of Light Waves in an Optical Su- perlattice”, Physical Review Letters, 2005, 94, 127401. [11] H. Trompeter, T. Pertsch, F. Lederer, D. Michaelis, U. Streppel, A. Bra¨uer and U. Peschel, “Visual Observation of Zener Tunneling”, Physical Review Letters, 2006, 96, 023901. [12] C. Zener, “A theory of the electrical breakdown of solid dielectrics”, Proceedings of the Royal Society A, 1934, 145, 523. [13] C. Waschke, H. G. Roskos, R. Schwedler, K. Leo, H. Kurz and K. Ko¨hler, “Coherent submillimeter-wave emission from Bloch oscil- 108 lations in a semiconductor superlattice”, Physical Review Letters, 1993, 70, 3319. [14] S. Longhi, M. Marangoni, M. Lobino, R. Ramponi, P. Laporta, E. Cianci and V. Foglietti, “Observation of Dynamic Localization in Periodically Curved Waveguide Arrays”, Physical Review Letters, 2006, 96, 243901. [15] P. W. Anderson, “Absence of Diffusion in Certain Random Lattices”, Physical Review Journals Archive, 1958, 109, 1492. [16] T. Schwartz, G. Bartal, S. Fishman and M. Segev, “Transport and Anderson localization in disordered two-dimensional photonic lat- tices”, Nature, 2007, 446, 52. [17] O. Peleg, G. Bartal, B. Freedman, O. Manela, M. Segev and D. N. Christodoulides, “Conical Diffraction and Gap Solitons in Honey- comb Photonic Lattices”, Physical Review Letters, 2007, 98, 103901. [18] X. Zhang, “Observing Zitterbewegung for Photons near the Dirac Point of a Two-Dimensional Photonic Crystal”, Physical Review Let- ters, 2008, 100, 113903. [19] L.-G. Wang, Z.-G. Wang, J.-X. Zhang and S.-Y. Zhu, “Realization of Dirac point with double cones in optics”, Optics Letters, 2009, 34, 1510. [20] S. Longhi, “Photonic analog of Zitterbewegung in binary waveguide arrays”, Optics Letters, 2010, 35, 235. [21] L. Lamata, J. León, T. Scha¨tz and E. Solano, “Dirac Equation and Quantum Relativistic Effects in a Single Trapped Ion”, Physical Re- view Letters, 2007, 98, 253005. 109 [22] J. Cserti and G. Dávid, “Unified description of Zitterbewegung for spintronic, graphene, and superconducting systems”, Physical Re- view B, 2006, 74, 172305. [23] J. Y. Vaishnav and C. W. Clark, “Observing Zitterbewegung with Ultracold Atoms”, Physical Review Letters, 2008, 100, 153002. [24] R. Gerritsma, G. Kirchmair, F. Za¨hringer, E. Solano, R. Blatt and C. F. Roos, “Quantum simulation of the Dirac equation”, Nature, 2010, 463, 68. [25] F. Dreisow, M. Heinrich, R. Keil, A. Tu¨nnermann, S. Nolte, S. Longhi and A. Szameit, “Classical Simulation of Relativistic Zit- terbewegung in Photonic Lattices”, Physical Review Letters, 2010, 105, 143902. [26] S. Longhi, “Klein tunneling in binary photonic superlattices”, Phys- ical Review B, 2010, 81, 075102. [27] Q. Nguyen-The and T. X. Tran, “Klein tunneling of Dirac solitons in binary waveguide arrays”, Journal of the Optical Society of America B, 2020, 37, 1911. [28] F. Dreisow, R. Keil, A. Tu¨nnermann, S. Nolte, S. Longhi and A. Szameit, “Klein tunneling of light in waveguide superlattices”, Eu- rophysics Letters, 2012, 97, 10008. [29] T. X. Tran, S. Longhi and F. Biancalana, “Optical analogue of relativistic Dirac solitons in binary waveguide arrays”, Annals of Physics, 2014, 340, 179. 110 [30] T. X. Tran, X. N. Nguyen and D. C. Duong, “Dirac soliton stability and interaction in binary waveguide arrays”, Journal of the Optical Society of America B, 2014, 31, 1132. [31] T. X. Tran and D. C. Duong, “Higher-order Dirac solitons in binary waveguide arrays”, Annals of Physics, 2015, 361, 501. [32] T. X. Tran and F. Biancalana, “Linear and nonlinear photonic Jackiw- Rebbi states in interfaced binary waveguide arrays”, Physical Review A, 2017, 96, 013831. [33] T. X. Tran, “Extreme robustness of Jackiw–Rebbi states in binary waveguide arrays under strong disturbance”, Journal of the Optical Society of America B, 2019, 36, 2559. [34] R. Jackiw and C. Rebbi, “Solitons with fermion number ½”, Physical Review D, 1976, 13, 3398. [35] T. X. Tran, “Coupling and protection effects of Jackiw-Rebbi states and trivial states in interfaced binary waveguide arrays”, Physical Review A, 2020, 101, 063826. [36] T. X. Tran, “Jackiw–Rebbi states and trivial states in interfaced binary waveguide arrays with cubic–quintic nonlinearity”, Chaos, 2020, 30, 2559. [37] F. Dreisow, S. Longhi, S. Nolte, A. Tu¨nnermann and A. Szameit, “Vacuum Instability and Pair Production in an Optical Setting”, Physical Review Letters, 2012, 109, 110401. [38] T. X. Tran, H. M. Nguyen and D. C. Duong, “Optical analogs of pair production and annihilation in binary waveguide arrays with a curved section”, Physical Review A, 2022, 105, 032201. 111 [39] O. Klein, “Die Reflexion von Elektronen an einem Potentialsprung nach der relativistischen Dynamik von Dirac”, Z. Physik, 1929, 69, 157. [40] H. Nitta, T. Kudo and H. Minowa, “Motion of a wave packet in the Klein paradox”, American Journal of Physics, 1999, 67, 966. [41] F. Sauter, “U¨ber das Verhalten eines Elektrons im homogenen elek- trischen Feld nach der relativistischen Theorie Diracs”, Z. Physik, 1931, 69, 742. [42] M. C. Tran, Q. Nguyen-The, C. C. Do and T. X. Tran, “Inverse Klein tunneling effect in binary waveguide arrays”, Physical Review A, 2022, 105, 023523. [43] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Kat- snelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos and A. A. Firsov, “Two- dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene”, Nature, 2005, 438, 197. [44] M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov and A. K. Geim, “Chiral tun- nelling and the Klein paradox in graphene”, Nature Physics, 2006, 2, 620. [45] C. W. J. Beenakker, “Colloquium: Andreev reflection and Klein tun- neling in graphene”, Review of Modern Physics, 2008, 80, 1337. [46] A. F. Young and P. Kim, “Quantum interference and Klein tun- nelling in graphene heterojunctions”, Nature Physics, 2009, 5, 222. [47] N. Stander, B. Huard and D. Goldhaber-Gordon, “Evidence for Klein Tunneling in Graphene p - n Junctions”, Physical Review Let- ters, 2009, 102, 026807. 112 [48] G. A. Steele, G. Gotz and L. P. Kouwenhoven, “Tunable few-electron double quantum dots and Klein tunnelling in ultraclean carbon nan- otubes”, Nature Nanotechnology, 2009, 4, 363. [49] R. Gerritsma, B. P. Lanyon, G. Kirchmair, F. Za¨hringer, C. Hempel, J. Casanova, J. J. García-Ripoll, E. Solano, R. Blatt and C. F. Roos, “Quantum Simulation of the Klein Paradox with Trapped Ions”, Physical Review Letters, 2011, 106, 026807. [50] O. Bahat-Treidel, O. Peleg, M. Grobman, N. Shapira, M. Segev and T. Pereg-Barnea, “Klein Tunneling in Deformed Honeycomb Lattices”, Physical Review Letters, 2010, 104, 063901. [51] S. Somekh, E. Garmire, A. Yariv, H. Garvin and R. Hunsperger, “Channel optical waveguide directional couplers”, Applied Physics Letters, 1973, 22, 46. [52] H. Haus and L. Molter-Orr, “Coupled multiple waveguide systems”, IEEE Journal of Quantum Electronics, 1983, 19, 840. [53] H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, R. Morandotti, A. R. Boyd and J. S. Aitchison, “Discrete Spatial Optical Solitons in Waveguide Arrays”, Physical Review Letters, 1998, 81, 3383. [54] D. N. Christodoulides and R. I. Joseph, “Discrete self-focusing in nonlinear arrays of coupled waveguides”, Optics Letters, 1988, 13, 794. [55] N. K. Efremidis, S. Sears, D. N. Christodoulides, J. W. Fleischer and M. Segev, “Discrete solitons in photorefractive optically induced photonic lattices”, Physical Review E, 2002, 66, 046602. 113 [56] E. D. Eugenieva, N. K. Efremidis and D. N. Christodoulides, “De- sign of switching junctions for two-dimensional discrete soliton net- works”, Optics Letters, 2001, 26, 1978. [57] A. Szameit, J. Burghoff, T. Pertsch, S. Nolte, A. Tu¨nnermann and F. Lederer, “Two-dimensional soliton in cubic fs laser written waveg- uide arrays in fused silica”, Optics Express, 2006, 14, 6055. [58] W. Watanabe, T. Asano, K. Yamada, K. Itoh and J. Nishii, “Wave- length division with three-dimensional couplers fabricated by fila- mentation of femtosecond laser pulses”, Optics Letters, 2003, 28, 2491. [59] S. Nolte, M. Will, J. Burghoff and A. Tuennermann, “Femtosecond waveguide writing: a new avenue to three-dimensional integrated optics”, Applied Physics A, 2003, 77, 109. [60] R. Keil, C. Noh, A. Rai, S. Stu¨tzer, S. Nolte, D. G. Angelakis and A. Szameit, “Optical simulation of charge conservation violation and Majorana dynamics”, Optica, 2015, 2, 454. [61] F. Lederer, G. I. Stegeman, D. N. Christodoulides, G. Assanto, M. Segev and Y. Silberberg, “Discrete solitons in optics”, Physics Re- ports, 2008, 463, 1. [62] L. Brillouin, “Les électrons libres dans les métaux et le role des réflexions de Bragg”, Journal de Physique et le Radium, 1930, 1, 377. [63] H. Ibach and H. Lu¨th, Solid-State Physics, An Introduction to Prin- ciples of Materials Science, Springer-Verlag, Berlin, 1996. 114 [64] W. Greiner, Relativistic Quantum Mechanics, Springer-Verlag, Berlin, 1990. [65] M. A. Karpierz, “Soliton driven photonics”, Kluwer Academic Pub- lishers: Dordrecht, 2001, 41. [66] M. A. Karpierz, M. Sierakowski, M. S´wi l lo and T. Wolin´ski, “Self Focusing in Liquid Crystalline Waveguides”, Molecular Crystals and Liquid Crystals, 1998, 320, 157. [67] M. Warenghem, J. F. Henninot and G. Abbate, “Bulk Optical Fréed- ericksz Effect: Non Linear Optics of Nematics Liquid Crystals in Capillaries”,Molecular Crystals and Liquid Crystals, 1998, 320, 207. [68] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics,3rd edition, Academic Press, San Diego, 2001. [69] R. Y. Chiao, E. Garmire and C. H. Townes, “Self-Trapping of Optical Beams”, Physical Review Letters, 1964, 13, 479. [70] A. Barthelemy, S. Maneuf and G. Froehly, “Propagation soliton et auto-confinement de faisceaux laser par non linearité optique de kerr”, Optics Communications, 1985, 55, 201. [71] C. Conti, M. Peccianti and G. Assanto, Proc. Nonlinear Guided Waves and Their Appli- cations, Optical Society of America, Wash- ington DC, 2002. [72] I. V. Shadrivov and A. A. Zharov, “Dynamics of optical spatial soli- tons near the interface between two quadratically nonlinear media”, Journal of the Optical Society of America B, 2002, 19, 596. [73] W. Królikowski and O. Bang, “Solitons in nonlocal nonlinear media: Exact solutions”, Physical Review E, 2000, 63, 016610. 115 [74] H. L. Pecseli and J. J. Rasmussen, “Nonlinear electron waves in strongly magnetized plasmas”, Plasma Physics, 1980, 22, 421. [75] N. Rosanov, A. Vladimirov, D. Skryabin and W. Firth, “Internal os- cillations of solitons in two-dimensional NLS equation with nonlocal nonlinearity”, Physics Letters A, 2002, 293, 45. [76] W. Krolikowski, O. Bang, J. J. Rasmussen and J. Wyller, “Modula- tional instability in nonlocal nonlinear Kerr media”, Physical Review E, 2001, 64, 016612. [77] D. R. Andersen, D. E. Hooton, G. A. Swartzlander and A. E. Ka- plan, “Direct measurement of the transverse velocity of dark spatial solitons”, Optics Letters, 1990, 15, 783. [78] G. A. Swartzlander, D. R. A. Jr., J. J. Regan, H. Yin and A. E. Ka- plan, “Spatial dark-soliton stripes and grids in self-defocusing ma- terials”, Physical Review Letters, 1991, 66, 1583. [79] G. R. Allan, S. R. Skinner, D. R. Andersen and A. L. Smirl, “Obser- vation of fundamental dark spatial solitons in semiconductors using picosecond pulses”, Optics Letters, 1991, 16, 156. [80] S. Skinner, G. Allan, D. Andersen and A. Smirl, “Dark spatial soliton propagation in bulk ZnSe”, IEEE Journal of Quantum Electronics, 1991, 27, 2211. [81] B. Luther-Davies and Y. Xiaoping, “Waveguides and Y junctions formed in bulk media by using dark spatial solitons”, Optics Letters, 1992, 17, 496. 116 [82] C. Schmidt-Hattenberger, U. Trutschel, R. Muschall and F. Lederer, “Analytical description of the optical field in a circular fibre array with Kerr-law nonlinearity”, Optics Communications, 1992, 56, 473. [83] N. Finlayson, K. J. Blow, L. J. Bernstein and K. W. DeLong, “Lo- calization of chaos in the discrete nonlinear Schro¨dinger equation”, Physical Review A, 1993, 48, 3863. [84] W. Chen and D. L. Mills, “Gap solitons and the nonlinear optical response of superlattices”, Physical Review Letters, 1987, 58, 160. [85] B. J. Eggleton, R. E. Slusher, C. M. de Sterke, P. A. Krug and J. E. Sipe, “Bragg Grating Solitons”, Physical Review Letters, 1996, 76, 1627. [86] A. B. Aceves, C. D. Angelis, A. M. Rubenchik and S. K. Turitsyn, “Multidimensional solitons in fiber arrays”, Journal of the Optical Society of America B, 1994, 19, 329. [87] A. B. Aceves, G. G. Luther, C. De Angelis, A. M. Rubenchik and S. K. Turitsyn, “Energy Localization in Nonlinear Fiber Arrays: Collapse-Effect Compressor”, Physical Review Letters, 1995, 75, 73. [88] O. Bang and P. D. Miller, “Exploiting discreteness for switching in waveguide arrays”, Optics Letters, 1996, 21, 1105. [89] U. Peschel, T. Pertsch and F. Lederer, “Optical Bloch oscillations in waveguide arrays”, Optics Letters, 1998, 23, 1701. [90] L. Esaki and R. Tsu, “Superlattice and Negative Differential Con- ductivity in Semiconductors”, IBM Journal of Research and Devel- opment, 1970, 14, 61. 117 [91] E. E. Mendez, F. Agulló-Rueda and J. M. Hong, “Stark Localization in GaAs-GaAlAs Superlattices under an Electric Field”, Physical Review Letters, 1988, 60, 2426. [92] J. Feldmann, K. Leo, J. Shah, D. A. B. Miller, J. E. Cunningham, T. Meier, G. von Plessen, A. Schulze, P. Thomas and S. Schmitt- Rink, “Optical investigation of Bloch oscillations in a semiconductor superlattice”, Physical Review B, 1992, 46, 7252. [93] B. Bourlon, D. C. Glattli, B. Pla c¸ais, J. M. Berroir, C. Miko, L. Forró and A. Bachtold, “Geometrical Dependence of High-Bias Cur- rent in Multiwalled Carbon Nanotubes”, Physical Review Letters, 2004, 92, 026804. [94] A. Sibille, J. F. Palmier and F. Laruelle, “Zener Interminiband Res- onant Breakdown in Superlattices”, Physical Review Letters, 2004, 80, 4506. [95] G. Ithier, E. Collin, P. Joyez, D. Vion, D. Esteve, J. Ankerhold and H. Grabert, “Zener Enhancement of Quantum Tunneling in a Two- Level Superconducting Circuit”, Physical Review Letters, 2005, 94, 057004. [96] R. Morandotti, U. Peschel, J. S. Aitchison, H. S. Eisenberg and Y. Silberberg, “Experimental Observation of Linear and Nonlinear Optical Bloch Oscillations”, Physical Review Letters, 1999, 83, 4756. [99] A. A. Sukhorukov and Y. S. Kivshar, “Discrete gap solitons in mod- ulated waveguide arrays”, Optics Letters, 2002, 27, 2112. 118 [100] W. Kutta, “Beitrag zur na¨herungsweisen Integration totaler Differ- entialgleichungen”, Zeitschrift fu¨r Mathematik und Physik, 1901, 46, 435. [101] J. Butcher, “A history of Runge-Kutta methods”, Applied Numerical Mathematics, 1996, 20, 247. [102] M. C. Tran, C. C. Do and T. X. Tran, “Klein tunneling through a rectangular potential barrier in a binary waveguide array”, Annals of Physics, 2023, 450, 169241. 119 Phụ lục Trong phần Phụ lục, đầu tiên chúng tôi trình bày chi tiết cách thu được các công thức tính toán hệ số truyền qua T i trong phương trình (2.22) ở Chương 2 cho mô hình rời rạc của IKT được thể hiện trong Phụ lục A. Tiếp theo, trong Phụ lục B chúng tôi trình bày chi tiết cách thu được giới hạn độ cao bậc thế và số sóng tới trong hiệu ứng xuyên hầm Klein qua bậc thế nghịch trong Chương 2. 120 Phụ lục A Công thức giải tích tính hệ số truyền qua trường hợp xuyên hầm Klein nghịch Trong phần Phụ lục này, chúng tôi trình bày các bước tính toán hệ số truyền qua của IKT trong BWA. Đầu tiên, chúng tôi giả sử rằng thế năng được đặt như sau: Φn = Φ (hoàn toàn độc lập với biến n), nghiệm sóng phẳng (trị riêng) của phương trình (2.1) tương ứng với số sóng chuẩn hóa theo chiều ngang có giá trị bằng hiệu số pha giữa hai ống dẫn sóng liền kề tại cùng một giá trị z là Q, với Q = kxd, trong đó kx là số sóng theo chiều ngang và có giá trị khác 0 nếu chùm sáng truyền xiên trong BWA và d là nửa chu kỳ của WA, tức khoảng cách giữa hai ống dẫn sóng liền kề tính từ tâm tới tâm, được cho bởi phương trình [26]: c(+)n (Q) =  −2κ cosQ ω+ − σ − Φ  exp (iQn− iω+z) , (A1) 121 thuộc nhánh năng lượng dương ω+ (Q,Φ) = Φ + √ σ2 + 4κ2 cos2Q, và [26]: c(−)n (Q) =  −2κ cosQ ω− − σ − Φ  exp (iQn− iω−z) , (A2) thuộc nhánh năng lượng âm ω− (Q,Φ) = Φ − √ σ2 + 4κ2 cos2Q. Trong các phương trình (A1) và (A2), hàng trên và hàng dưới lần lượt áp dụng cho các giá trị chẵn và lẻ của vị trí ống dẫn sóng thứ n. Tương tự như KT, đối với IKT chúng tôi tiếp cận từ công thức tính số sóng trong trường hợp này như sau: Qi0 = π 2 + ki0 2 , (A3) với 0 < Qi0 < π 2 hay −π < ki0 < 0. Trái ngược với trường hợp xuyên hầm Klein thuận, ta xét một bậc thế năng với Φ = Φ0 khi các giá trị n ≤ 0 và Φ = 0 khi các giá trị n ≥ 0. Xét một sóng tới, thuộc nhánh năng lượng âm ω− với số sóng Qi0 < π/2 xuất phát từ vùng z → ∞ và truyền đến vùng chuyển tiếp của bậc thế. Chú ý rằng ta chọn độ cao bậc thế Φ0 sao cho quá trình IKT có thể xảy ra. Trong trường hợp này, tồn tại một số sóng có giá trị thực Qi1, lớn hơn π/2 nằm trong vùng II thỏa mãn điều kiện sau: ω+ ( Qi1, 0 ) = ω− ( Qi0,Φ0 ) , (A4) Chúng ta tính được nghiệm của phương trình liên kết mode (2.1) trong trường hợp thế năng nghịch như sau [26]: 122 cn =  ( a (i) n + ra (r) n ) exp (−iω0z) khi n ≤ 1 ta (t) n exp (−iω0z) khi n ≥ 0 , (A5) trong đó ωi0 ≡ ω+(0, Qi1) = ω−(Φ0, Qi0) và ain, arn, và atn lần lượt là biên độ sóng tới, sóng phản xạ và sóng truyền qua được định nghĩa như sau: a(i)n =  −2σ cosQi0 ω0 − σ − Φ0  exp (iQi0n) , (A6) a(r)n =  −2σ cosQi0 ω0 − σ − Φ0  exp (−iQi0n) , (A7) a(t)n =  −2σ cosQi1 ω0 − σ  exp (iQi1n) , (A8) Trong phương trình (A6-A8), phần trên (dưới) thể hiện cho giá trị chẵn (lẻ) theo biến chạy n, trong đó hệ số biến phức r và t trong phương trình (A5) xác định bởi điều kiện liên tục của cn tại vị trí n = 0 và n = 1, chúng tôi áp điều kiện biên tại hai vị trí trên để thu được [26]: ta (t) 0 = a (i) 0 + ra (r) 0 , ta (t) 1 = a (i) 1 + ra (r) 1 . (A9) Thay các phương trình (A6)-(A8) vào (A9) ta thu được: t (−2κ cosQi1) = (−2κ cosQi0)+ r (−2κ cosQi0) , t ( ωi0 − σ ) eiQ i 1 = ( ωi0 − σ − Φ0 ) eiQ i 0 + r ( ωi0 − σ − Φ0 ) e−iQ i 0, (A10) 123 sau đó, chúng tôi rút gọn hệ phương trình trên thành: t cosQi1 = (r + 1) cosQ i 0, t ( ωi0 − σ ) eiQ i 1 = ( ωi0 − σ − Φ0 ) ( eiQ i 0 + re−iQ i 0 ) , (A11) từ hệ phương trình trên, chúng tôi dễ dàng tìm được r và t như sau: r = tcosQ i 1 cosQi0 − 1, t = − i(ω i 0−σ−Φ0) sin(2Qi0) (ωi0−σ−Φ0)e−iQ i 0 cosQi1−(ωi0−σ)eiQ i 1 cosQi0 . (A12) Từ giá trị t và r được tính từ phương trình (A12) chúng tôi thay vào phương trình sau để tính được hệ số truyền qua cho mô hình rời rạc khi một DS xuyên hầm Klein nghịch qua bậc thế năng: T i ( Qi0,Φ0 ) = |t|2 ∣∣∣∣∣ ( ωi0 − σ ) sin ( 2Qi1 ) (ωi0 − σ − Φ0) sin (2Qi0) ∣∣∣∣∣ , (A13) thay t từ phương trình (A12) vào phương trình (A13) chúng tôi thu được phương trình sau: T i ( Qi0,Φ0 ) = (ωi0 − σ − Φ0)2 (ωi0 − σ) sin2 (2Qi0) sin (2Qi1) [(ωi0 − σ − Φ0) cosQi1 exp (−iQi0)− (ωi0 − σ) cosQi0 exp (iQi1)]2 (ωi0 − σ − Φ0) sin (2Qi0) , (A14) rút gọn phương trình (A14) ta được: T i ( Qi0,Φ0 ) = ( ωi0 − σ − Φ0 ) ( ωi0 − σ ) sin ( 2Qi0 ) sin ( 2Qi1 ) [(ωi0 − σ − Φ0) cosQi1 exp (−iQi0)− (ωi0 − σ) cosQi0 exp (iQi1)]2 , (A15) tiếp theo ta sử dụng công thức Euler eix = cos (x) + i sin (x) với mọi số 124 thực x để biến đổi phương trình (A15) thành: T i ( Qi0,Φ0 ) = (ωi0 − σ − Φ0) (ωi0 − σ) sin (2Qi0) sin (2Qi1) [(ωi0 − σ − Φ0) cosQi1 (cosQi0 − i sinQi0)− (ωi0 − σ) cosQi0 (cosQi1 + i sinQi1)]2 , (A16) sau đó rút gọn thành: T i ( Qi0,Φ0 ) = (ωi0 − σ − Φ0) (ωi0 − σ) sin (2Qi0) sin (2Qi1) {−Φ0 cosQi0 cosQi1 − i [(ωi0 − σ − Φ0) sinQi0 cosQi1 + (ωi0 − σ) sinQi1 cosQi0]}2 , (A17) lấy bình phương mẫu số của phương trình (A17) ta thu được phương trình (2.22) trong Chương 2 và được viết lại ở đây như sau: T i ( Qi0,Φ0 ) = (ωi0 − σ − Φ0) (ωi0 − σ) sin (2Qi0) sin (2Qi1) [Φ0 cosQi0 cosQ i 1] 2 + [(ωi0 − σ − Φ0) sinQi0 cosQi1 + (ωi0 − σ) sinQi1 cosQi0]2 . (A18) 125 Phụ lục B Giới hạn độ cao bậc thế và số sóng tới trong hiệu ứng xuyên hầm Klein nghịch Trong phụ lục này, chúng tôi trình bày chi tiết cách tính giới hạn trên và giới hạn dưới của độ cao bậc thế khi khảo sát IKT được đề cập trong Chương 2 khi electron di chuyển đến bậc thế nghịch có năng lượng E cao hơn độ cao bậc thế Φ0 với số sóng tới chuẩn hóa Q0 nằm trong khoảng 0 < Qi0 < π/2. Gọi số sóng truyền qua trong vùng II của electron là Q1. Theo định luật bảo toàn năng lượng thể hiện trong phương trình ω+(Q i 1, 0) = ω−(Q i 0,Φ0) ≡ ωi0, chúng tôi viết tường minh phương trình này dưới dạng như sau: √ σ2 + 4κ2 cos2Qi1 = Φ0 − √ σ2 + 4κ2 cos2Qi0. (B1) Từ (B1), nếu số sóng truyền qua thỏa mãn Qi1 = 0, giá trị lớn nhất của độ cao bậc thế Φmax0 nhận được là: Φmax0 = √ σ2 + 4κ2 + √ σ2 + 4κ2 cos2Qi0. (B2) 126 Để tìm giới hạn dưới của độ cao bậc thế nghịch, ta thay Qi1 = π/2 vào (B1), khi đó ta có Φmin0 = σ + √ σ2 + 4κ2 cos2Qi0. Từ hai biểu thức tính giới hạn trên và dưới của độ cao bậc thế nghịch, ta thu được công thức tính giới hạn độ cao bậc thế nghịch (2.14) trong hiệu ứng IKT với mô hình rời rạc và được viết lại ở đây như sau: σ + √ σ2 + 4κ2 cos2Qi0 < Φ0 <√ σ2 + 4κ2 + √ σ2 + 4κ2 cos2Qi0. Tiếp theo, ta tìm giới hạn số sóng của sóng tới. Do giá trị của Qi0 nằm trong khoảng từ 0 đến π/2 nên giá trị arccos của số sóng tới cực tiểu là Qi0 = arccos √ Φ20 − 2Φ0σ 2κ được suy ra từ công thức tính Φmin0 ở phần trên. Do đó, giá trị sóng tới để xuất hiện IKT được cho bởi công thức (2.16) và được viết lại ở đây như sau: arccos √ Φ20 − 2Φ0σ 2κ < Qi0 ≤ π 2 . (B3) Trong mô hình IKT liên tục, từ định luật bảo toàn năng lượng (2.17), chúng tôi thu được biểu thức: √ σ2 + κ2k21 = Φ0 − √ σ2 + κ2(ki0) 2. (B4) Từ (B4) ta thu được điều kiện (2.19) cho độ cao bậc thế nghịch như là: Φ0 > σ + √ σ2 + κ2(ki0) 2. (B5) Chuyển vế biểu thức (B5) và bình phương hai vế, chúng tôi thu được điều kiện sau: − √ Φ20 − 2Φ0σ κ < ki0 < 0. (B6) Từ (B6) và do Qi0 = π 2 + k0 2 nên để quan sát IKT thì số sóng tới phải 127 thỏa mãn điều kiện (2.21) và được viết lại ở đây như sau: π 2 − √ Φ20 − 2Φ0σ 2κ < Qi0 < π 2 . (B7) 128