Luận án Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến

3, Γ = 1, 𝐽0 = 2, 𝑎 = 1. Trong trường hợp liên kết Gauss đơn này, chúng tôi cũng tính toán lại kết quả thu được ở hình vẽ 1 (Figure 1.) của công trình [48] và thu được như hình vẽ 3.4 dưới đây. Kết quả chúng tôi tính toán hoàn toàn giống với kết quả trước đó, điều đó khẳng định rằng thuật toán mà chúng tôi sử dụng để nghiên cứu là chính xác. Trong hình vẽ 3.4, đường màu đen nằm ngang trong hình là đường nền chính là trạng thái ban đầu thực hiện tiến triển 𝜌 = √ 𝛾 Γ , các đường cong có màu sắc khác nhau ứng với các giá trị cường độ liên kết khác nhau. Qua hình vẽ, chúng ta thấy rằng khi cường độ liên kết tăng thì cực đại của mô đun hàm sóng cũng tăng theo. Một đặc điểm thú vị cho thấy có một số vùng giá trị của cường (c) (a) (b) (d) 60 độ liên kết 𝐽0 sự phân bố cường độ ánh sáng không đơn điệu tại các vùng 𝑥 ∈ [−𝜋, 0] và 𝑥 ∈ [0, 𝜋]. Cụ thể là, giá trị cực tiểu của mô đun hàm sóng đạt tại các vị trí đối xứng 𝑥 = ±𝑥𝑚 của vòng, khác với đạt tại 𝑥 = ±𝜋 như thường thấy với các giá trị cường độ liên kết khác. Hình 3.4. Các trạng thái dừng trong trường hợp liên kết Gauss đơn, các tham số 𝛾 = 3, Γ = 1 và 𝑎 = 1, với cường độ liên kết khác nhau là 𝐽0 = 1, 𝐽0 = 2, 𝐽0 = 3. Hình (a) là kết quả tính toán của luận án, (b) là kết quả của công trình [48]. Trong trạng thái dừng còn được chia thành các loại khác nhau tùy thuộc vào độ lệch pha giữa hai hàm sóng miêu tả trạng thái trong hai vòng như: trạng thái dừng đối xứng, trạng thái dừng phản đối xứng, trạng thái dừng bất đối xứng. Muốn xác định các loại trạng thái này chúng ta xác định độ lệch pha của hai hàm sóng: Δ𝜙 = 𝜙1 − 𝜙2 với 𝜙1, 𝜙2 lần lượt là pha của hai hàm sóng 𝜓1, 𝜓2. Nếu Δ𝜙 = 0 thì trạng thái dừng là đối xứng, Δ𝜙 = 𝜋 thì trạng thái dừng phản đối xứng, Δ𝜙 biến điệu theo tọa độ không gian 𝑥 thì trạng thái dừng là không đối xứng. Để hiểu rõ hơn về các loại trạng thái dừng này, chúng tôi sẽ trình bày kết quả đã công bố [50, 51] trong trường hợp này liên kết cũng loại Gauss đơn nhưng với các bộ tham số là: cố định các tham số 𝛤 = 1, 𝐽0 = 1.5 và thay đổi tham số khuếch đại 𝛾, xét hai trường hợp 𝑎 = 0.01 và 𝑎 = 1. Trạng thái dừng chúng tôi tìm thấy trong cả hai trường hợp 𝑎 = 0.01 và 𝑎 = 1 đều có quá trình biến đổi trạng thái tương tự nhau khi tham số khuếch đại 𝛾 thay đổi. Đó là theo chiều tăng của tham số khuếch đại 𝛾, quá trình biến đổi trạng thái từ trạng thái (b) (a) 61 dừng đối xứng rồi đến trạng thái dao động sau đó là trạng thái dừng phản đối xứng [52]. Từ hình vẽ 3.5 và 3.6, chúng ta thấy cả hai loại trạng thái dừng đối xứng và phản đối xứng thì mô đun của hai hàm sóng đều bằng nhau (biểu thị bằng đường màu xanh và đường màu đỏ nét đứt trùng nhau), nghĩa là trạng thái của hệ vẫn có tính chất đối xứng về sự định xứ ánh sáng giữa hai vòng. Sự khác nhau đó là: độ lệch pha trong trường hợp trạng thái dừng đối xứng thì bằng 0 (hình 3.5b), trong trường hợp phản đối xứng thì bằng −𝜋 (hình 3.6b). Hình 3.5. Trạng thái dừng đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và 𝛾 = 0.55 [50, 51]. Hình 3.6. Trạng thái dừng phản đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và 𝛾 = 1.1 [50, 51]. Mỗi độ rộng của hàm liên kết, trạng thái dừng đối xứng thu được ở các vùng tham số khuếch đại 𝛾 khác nhau, cụ thể với độ rộng 𝑎 = 0.01 thì trạng thái dừng (b) (a) (b) (a) 62 đối xứng xuất hiện khi 𝛾 ≲ 0.55, trong khi độ rộng 𝑎 = 1 thì trạng thái đó xuất hiện khi 𝛾 ≲ 0.35. Trạng thái dừng phản đối xứng: đối với độ rộng 𝑎 = 0.01 thì 𝛾 ≳ 1.1, đối với độ rộng 𝑎 = 1 thì 𝛾 ≳ 0.54 [51]. Hình vẽ 3.7 miêu tả mô đun của hai hàm sóng ứng với tham số khuếch đại 𝛾 = 0.60, mô đun các hàm sóng lệch nhau (xem hình a), độ lệch pha biến thiên theo không gian 𝑥 (xem hình b). Trạng thái của hệ mà mô đun hàm sóng lệch nhau và gọi là trạng thái dừng bất đối xứng của hệ. Trạng thái dừng bất đối xứng xuất hiện đồng nghĩa với sự định xứ ánh sáng giữa hai vòng mất đi tính đối xứng. Hình 3.7. Trạng thái dừng bất đối xứng, hình (a) là mô đun của các hàm sóng, hình (b) là độ lệch pha của hai hàm sóng, các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 1.5, 𝑎 = 0.01 và 𝛾 = 0.60 [50, 51]. Trường hợp độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 0.01, khoảng tham số khuếch đại để về sự phân bố cường độ ánh sáng (trạng thái dừng) trong hai vòng mất tính đối xứng là 0.55 ≲ 𝛾 ≲ 1.05. Còn trong trường hợp độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 1, hiện tượng đó xảy ra khi khoảng tham số khuếch đại là 0.35 ≲ 𝛾 ≲ 0.51 [51]. Một loại phá vỡ đối xứng khác mà chúng tôi sẽ nghiên cứu trong hệ này đó là: sự phân bố cường độ ánh sáng không đối xứng bên trong mỗi vòng ở trạng thái dừng, đó là trạng thái dừng mà mô đun hàm sóng không có tính đối xứng chẵn 𝑥 → −𝑥 nữa. Ví dụ ở hình 3.8 miêu tả sự tiến triển của trạng thái đối xứng với nhiễu loạn nhỏ trong trường hợp liên kết hằng số với bộ tham số: Γ = 1, 𝛾 = (a) (b) 63 1.5 và 𝑐 = 1.75. Qua hình vẽ cho thấy trạng thái cuối cùng thu được là trạng thái dừng không đồng nhất tức là mô đun hàm sóng biến đổi theo tọa độ góc 𝑥 (trạng thái ngược lại là đồng nhất nghĩa là mô đun hàm sóng nhận một giá trị cố định tại mọi tọa độ góc x), có sự phân bố không đối xứng qua đường thẳng đứng đi qua 𝑥 = 0. Hình 3.8. Trạng thái không đồng nhất trong trường hợp liên kết hằng số, các tham số Γ = 1, 𝛾 = 1.5 và 𝑐 = 1.75 [31]. 3.2.2. Trạng thái dao động Trạng thái dao động là trạng thái mà mô đun hàm sóng biến đổi tuần hoàn theo thời gian. Trạng thái này cũng tồn tại trong các trường hợp liên kết khác nhau ở các vùng tham số khác nhau. Trong trường hợp liên kết đồng nhất, hình vẽ 3.9 miêu tả trạng thái dao động trong hệ với các tham số là Γ = 1, 𝛾 = 1 và 𝑐 = 1.25. Hình 3.9a miêu tả tổng công suất của ánh sáng trong hai vòng biến đổi theo thời gian, hình nhỏ là kết quả trong công trình [31], hình lớn kết quả sử dụng thuật toán của chúng tôi, các kết quả thu được hoàn toàn giống nhau. Sự tiến triển của một hàm sóng được miêu tả ở hình vẽ 3.9c. Để biết số lượng tần số của trạng thái dao động, chúng tôi thực hiện biến đổi Fourier của tổng công suất được miêu tả ở hình 3.9b. Qua đó, chúng tôi thấy rằng xuất hiện 7 tần số 𝜔 trong không gian Fourier có biến đổi Fourier của tổng công suất khác không. Đây là trường hợp trạng thái dao động với 7 tần số. Hình 3.9d miêu tả mô đun hai hàm sóng tại cùng một thời điểm, cho thấy có sự bất đối xứng chẵn 𝑥 → −𝑥 của các hàm sóng. Điều đó có nghĩa là sự phân bố cường độ ánh sáng bên trong mỗi vòng thì không đối xứng. 64 Hình 3.9. Trạng thái dao động của hệ trong trường hợp liên kết hằng số. Hình (a) biểu diễn tổng công suất ánh sáng trong hai vòng theo thời gian [31], (b) là biến đổi Fourier của tổng công suất, (c) là tiến triển của hàm sóng theo thời gian và (d) là mô đun của các hàm sóng. Các tham số của hệ Γ = 1, 𝛾 = 1 và 𝑐 = 1.25. Sự mất đối xứng trong mỗi vòng cũng được tìm thấy trong trường hợp liên kết Gauss đơn [48] tùy thuộc vào vùng giá trị của cường độ liên kết. Ví dụ, hình vẽ 3.10 mô tả mô đun hàm sóng biến đổi theo thời gian và sự phân bố cường độ ánh sáng theo không gian trong một vòng của hệ với các tham số 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝑎 = 1. Hình (a) ứng với cường độ liên kết 𝐽0 = 4, chúng ta thấy rằng sự phân bố cường độ sáng có tính đối xứng chẵn 𝑥 → −𝑥 (đối xứng qua trục thẳng đứng đi qua vị trí 𝑥 = 0); hình (b) ứng với 𝐽0 = 5, trường hợp này cũng là trạng thái dao động tuần hoàn nhưng sự phân bố cường độ ánh sáng không có tính chất đối xứng như trường hợp 𝐽0 = 4. (a) (b) (c) (d) 65 Hình 3.10. Sự tiến triển của hàm sóng theo thời gian trong một vòng quang học của hệ trong trường hợp liên kết Gauss đơn với các tham số: 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝑎 = 1; hình (a) ứng với cường độ liên kết 𝐽0 = 4, hình (b) ứng với cường độ liên kết 𝐽0 = 5 [48]. 3.2.3. Trạng thái hỗn loạn Trạng thái hỗn loạn được hiểu là sự phân bố cường độ ánh sáng trong các vòng không đồng đều, lộn xộn và không trật tự. Trạng thái này chắc chắn có sự phá vỡ đối xứng 𝑥 → −𝑥, nó đã được ứng dụng và hứa hẹn có nhiều ứng dụng khác trong các thiết bị quang tử như bảo mật thông tin, kỹ thuật mật mạ. Trong trường hợp liên kết hằng số, trạng thái hỗn loạn đã được tìm thấy. Hình 3.11 miêu tả một trường hợp của trạng thái hỗn loạn của hệ trong trường hợp liên kết hằng số, các thông số Γ = 1, 𝛾 = 𝑐 = 2. Qua hình 3.11a, chúng ta thấy rằng tổng công suất ánh sáng trong hai vòng ban đầu ổn định, rồi chuyển sang dao động (a) (b) x x t t Mô đun hàm sóng Mô đun hàm sóng 66 trong một khoảng thời gian nhỏ và cuối cùng chuyển sang giai đoạn biến thiên lộn xộn, không trật tự theo thời gian. Hình 3.11b là biến đổi Fourier của tổng công suất theo thời gian, tần số 𝜔 trong không gian Fourier biến thiên liên tục từ giá trị 0 tới 4 và không có trật tự xác định, đó là dấu hiệu nhận biết trạng thái hỗn loạn. Cũng có thể nhận biết trạng thái đó thông qua các cách khác như: tiến triển của mô đun hàm sóng theo thời gian (hình vẽ c) hay mô đun hàm sóng tại thời điểm cuối cùng (hình vẽ d). Hình 3.11. Trạng thái hỗn loạn xuất hiện trong hệ trong trường hợp liên kết hằng số (trong đó hình nhỏ của hình vẽ (a) là kết quả của [31]), khi các tham số đặc trưng của hệ Γ = 1, 𝛾 = 2 và 𝑐 = 2. Kịch bản dẫn đến hỗn loạn cũng là vấn đề cần xem xét trong việc định hướng cho ứng dụng như trong các hệ tắt bật cực nhanh. Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày ba loại kịch bản dẫn tới hỗn loạn đó là: kịch bản nhân đôi tần số, kịch bản gần dao động tuần hoàn, kịch bản không liên tục dần tới trạng thái hỗn loạn. Kịch bản nhân đôi tần số dẫn đến hỗn loạn đã được chỉ ra trong công trình (a) (b) (c) (d) 67 công bố [46, 52]. Theo đó, để dẫn đến hỗn loạn quá trình động lực học xuất phát từ trạng thái dao động một tần sẽ được nhân lên hai tần số rồi bốn tần số và cứ như thế cho tới khi xuất hiện hỗn loạn được miêu tả ở hình vẽ 3.12 dưới đây. Hình 3.12. Biến đổi Fourier của tổng công suất trong hai vòng của hệ mô tả kịch bản dẫn đến hỗn loạn. Hình (a) ứng với hằng số liên kết 𝑐 ∈ [1.74,1.82], hình (b) chi tiết vùng nhỏ khung vuông màu đỏ ứng với 𝑐 ∈ [1.790,1.810] [52]. Hình 3.12 miêu tả biến đổi Fourier của tổng công suất ánh sáng trong hai vòng của hệ theo hằng số liên kết 𝑐. Những vị trí có màu càng sáng ứng với giá trị biến đổi Fourier của tổng công suất ánh sáng càng lớn. Quá trình biến đổi trạng thái được thể hiện như sau: Trạng thái dừng theo thời gian, ứng với biến đổi Fourier chỉ có một đỉnh ở tần số bằng không (nó được biểu diễn chỉ nền màu nâu đen sau khi đã cho biến đổi Fourier bằng không tại tần số 𝜔 = 0). Sau đó phá vỡ đối xứng đầu tiên xảy ra và biến đổi Fourier xuất hiện các đỉnh đơn tương ứng với trạng thái dao động giới hạn với một tần số (quan sát kỹ vị trí gần với 𝑐 ≈ 1.74, tần số góc 𝜔 ≈ 7 chúng ta thấy chỉ có 1 vạch sáng trên nền màu nâu đen). Khi tăng dần giá trị 𝑐, nhiều tần số xuất hiện, tuy nhiên vẫn ở vùng dao động giới hạn. Khi 𝑐 ≈ 1.76 có sự rẽ nhánh mà nơi đó xuất hiện thêm các tần số mới, trong khi các tần số cũ vẫn giữ nguyên, nhưng không ổn định được lâu. Khi tham số điều khiển 𝑐 lớn hơn gần với vùng hỗn loạn, chúng tôi quan sát thấy có sự nhân đôi tần số. Tại điểm rẽ nhánh, mỗi nhánh của giản đồ không ổn định. Đó là loại rẽ nhánh dưới tới hạn. 𝜔 𝜔 c c (a) (b) 68 Như vậy, chúng tôi đã trình bày chi tiết khái niệm về các loại trạng thái như: trạng thái dừng, trạng thái dao động, trong thái hỗn loạn và sự phá vỡ đối xứng của chúng. Trong đó, có dấu hiệu để nhận biết các loại trạng thái và sự phá vỡ đối xứng của các hàm sóng thì rất quan trọng để nghiên cứu trường hợp liên kết Gauss kép. Để nhận biết các loại trạng thái chúng ta thực hiện tính toán tổng công suất của ánh sáng trong hai vòng và biến đổi Fourier của nó. Nếu tổng công suất không thay đổi theo thời gian (sau thời gian đủ dài tiến triển) thì đó chính là trạng thái dừng, nếu tổng công suất biến đổi tuần hoàn đó là trạng thái dao động và nếu tổng công suất biến thiên lộn xộn không có qui luật đó là trạng thái hỗn loạn. Thực hiện tính độ lệch pha của các hàm sóng trong trạng thái dừng để nhận biết các loại trạng thái khác nhau như: đối xứng, phản đối xứng, bất đối xứng. Trong trạng thái dao động, để biết số lượng tần số trong trạng thái dao động thì chúng ta thực hiện tính biến đổi Fourier của tổng công suất. Còn sự phá vỡ đối xứng của các hàm sóng có thể nhận biết bằng cách tính mô đun của các hàm sóng hoặc tính độ bất đối xứng Θ𝑖 như đã định nghĩa trên. Phần sau đây là kết quả nghiên cứu chính của chúng tôi về sự phá vỡ đối xứng đó của hệ trong trường hợp liên kết Gauss kép. 3.3. Sự phá vỡ đối xứng của hệ với hàm liên kết Gauss kép Hàm liên kết Gauss kép của hệ có dạng như biểu thức (3.5). Để nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng của hệ, chúng tôi đã sử dụng kỹ thuật tiến triển với điều kiện đầu là trạng thái đối xứng với nhiễu loạn nhỏ cho bởi biểu thức (3.15). Với mô hình lý thuyết này, chúng tôi đã kiểm tra với nhiều vùng tham số khác nhau và quá trình động lực học của hệ về sự biến đổi các trạng thái của hệ có sự tương tự nhau. Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày lần lượt các trường hợp đã được xem xét: trường hợp thứ nhất xét ảnh hưởng của cường độ liên kết 𝐽0, trường hợp thứ hai ảnh hưởng của tham số khuếch đại 𝛾 và trường hợp thứ ba ảnh hưởng của tham số mất mát Γ lên sự phá vỡ đối xứng của hệ. Lưu ý rằng, bộ các tham số mà chúng tôi đã sử dụng trong các trường hợp cụ thể sau đây có thể đặc trưng đầy đủ các tính chất của hệ. 69 3.3.1. Ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự phá vỡ đối xứng của hệ Trong mục này chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự phá vỡ đối xứng của hệ với các bộ tham số: cố định bộ các tham số khuếch đại 𝛾 = 3, tham số mất mát Γ = 1 và thay đổi cường độ liên kết 𝐽0. Các trường hợp độ rộng hàm liên kết khác nhau đã được kiểm tra và cho thấy quá trình biến đổi trạng thái tương tự nhau khi độ rộng của hàm liên kết lệch nhau không quá lớn, chúng có sự khác nhau đáng kể khi độ rộng đó lớn gấp hàng trăm lần nhau. Vì vậy, sau đây chúng tôi sẽ trình bày sự phá vỡ đối xứng của hệ trong hai trường hợp: độ rộng liên kết hẹp (𝑎 = 0.01) và độ rộng liên kết lớn (𝑎 = 1.0) là hai trường hợp đại diện của hai loại độ rộng của hàm liên kết. 3.3.1.1. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết hẹp Trong trường hợp này, chúng tôi xem xét độ rộng của hàm liên kết Gauss kép 𝐽(𝑥) với 𝑎 = 0.01 (gọi là liên kết hẹp). Kết quả về SSB các trạng thái của hệ được tóm tắt trong sơ đồ 3.1 sau đây: Sơ đồ 3.1. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của cường độ liên kết khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01. Trong sơ đồ các ký hiệu có nghĩa như sau:  O-SSB nghĩa là không có sự phá vỡ đối xứng  SSB nghĩa là có sự phá vỡ đối xứng  S: ký hiệu của trạng thái dừng  O: ký hiệu của trạng thái dao động  Chaos: ký hiệu của trạng thái hỗn loạn Đối với cường độ liên kết 𝐽0 ≲ 0.95, trạng thái cuối cùng thu được luôn luôn là trạng thái phản đối xứng có cực đại tại hai vị trí liên kết của hai vòng quang học, tức là mô đun của hàm sóng và công suất ánh sáng của hai vòng bằng nhau nhưng ngược pha nhau (độ lệch pha của hai hàm bao bằng 𝜋). Khi tăng dần cường độ liên kết chúng tôi thấy bắt đầu 𝐽0 ≃ 0.95 vẫn thu trạng thái dừng nhưng bắt đầu có SSB ở trong mỗi vòng (tức là độ bất đối xứng trong mỗi vòng khác không Θ𝑖 ≠ 0 với 𝑖 = 1,2 như đã định nghĩa ở biểu thức (3.13)) và tại các vị trí liên kết mô đun hàm sóng đạt cực tiểu [51]. Như vậy, trạng thái dừng có SSB bên trong mỗi vòng xuất hiện trong trường hợp hàm liên kết có 70 dạng Gauss kép trong khi đó loại trạng thái dừng này không xuất hiện trong trường hợp hàm liên kết Gauss đơn. Khi cường độ liên kết 𝐽0 ≃ 1.1, chúng tôi nhận thấy vẫn có SSB nhưng tại hai vị trí liên kết mô đun của hàm sóng lại đạt cực đại và có sự đảo từ trạng thái dừng có hai cực tiểu sang trạng thái dừng có hai cực đại tại hai vị trí liên kết 𝑥 = ± 𝜋 2 . Hình 3.13. Mô đun của các hàm sóng ứng với các giá trị khác nhau của cường độ liên kết: hình (a), (b), (c) và (d) tương ứng với cường độ liên kết 𝐽0 = 0.9, 𝐽0 = 0.95, 𝐽0 = 1.0 và 𝐽0 = 1.1. Trong hình 3.13: (a) là trạng thái dừng đối xứng và không có SSB bên trong mỗi vòng; hình (b), (c) và (d) là các trạng thái không đối xứng và có SSB bên trong mỗi vòng, loại trạng thái này được duy trì trong vùng cường độ liên kết 0.950 ≲ 𝐽0 ≲ 2.597. Tăng giá trị của cường độ liên kết, chúng tôi quan sát thấy trạng thái dao động với nhiều tần số trong một khoảng nhỏ của cường độ x x x x M ô đ u n h àm s ó n g M ô đ u n h àm s ó n g M ô đ u n h àm s ó n g M ô đ u n h àm s ó n g (a) (b) (c) (d) 71 liên kết 2.598 ≲ 𝐽0 ≲ 2.61, trạng thái dao động trong trường hợp Gauss kép này thì luôn có SSB trong mỗi vòng (xem hình 3.14). Hình vẽ 3.14 miêu tả trạng thái dao động của hệ theo thứ tự từ trái sang phải ứng với ba tham số của cường độ liên kết 𝐽0 = 2.598, 𝐽0 = 2.6, 𝐽0 = 2.610, các hình vẽ (a1), (b1) và (c1) miêu tả sự tiến triển theo thời gian của mô đun hàm sóng, hình vẽ (a2), (b2) và (c2) tương ứng là tổng công suất của hàm sóng theo thời gian tiến triển, hình vẽ (a3), (b3) và (c3) là biến đối Fourier của tổng công suất tiến triển theo thời gian. Tiếp tục tăng cường độ liên kết, khi cường độ liên kết trong khoảng 2.62 ≲ 𝐽0 ≲ 2.83, hệ quay trở lại trạng thái dừng phản đối xứng. Hình 3.14. Trạng thái dao động ứng với ba trường hợp khác nhau của cường độ liên kết 𝐽0 = 2.598, 𝐽0 = 2.6 và 𝐽0 = 2.61. (a2) (b3) (c2) (a3) (b2) (c3) (a1) (b1) (c1) 72 Trạng thái hỗn loạn bắt đầu xuất hiện tại 𝐽0 ≃ 2.84, trạng thái này duy trì cho đến giá trị cường độ liên kết 𝐽0 ≃ 3.18. Tuy nhiên trong vùng hỗn loạn này có một vùng nhỏ của giá trị cường độ liên kết 3.03 ≲ 𝐽0 ≲ 3.05 trong đó tồn tại trạng thái dao động (xem hình vẽ 3.16). Khi tiếp tục tăng cường độ liên kết thì hệ quay lại trạng thái dao động với nhiều tần số, càng tăng cường độ liên kết thì số lượng tần số dao động càng giảm và đạt đến trạng thái dao động với một tần số duy nhất tại giá trị cường độ liên kết 𝐽0 ≃ 3.20. Hình vẽ 3.15 mô tả một số trường hợp đại diện về trạng thái nhiễu loạn và trạng thái dao động trong trường hợp trên, lần lượt từ trên xuống tương ứng với các cường độ liên kết 𝐽0 = 2.84, 𝐽0 = 3.19, 𝐽0 = 3.20, các hình (a1), (a2) và (a3) là tổng công suất của hệ theo thời gian, các (b1), (b2) và (b3) tương ứng là biến đổi Fourier đã được chuẩn hóa của tổng công suất. Ở vùng cường độ liên kết 𝐽0 ≳ 3.4 trạng thái dừng đối xứng lại xuất hiện. N N (a1) (b1) (a2) (b2) t t t 73 Hình 3.15. Tổng công suất và biến đổi Fourier của các trạng thái lần lượt tương ứng với các tham số cường độ liên kết 𝐽0 = 2.84, 𝐽0 = 3.19 và 𝐽0 = 3.20; hình (a1-b1) một trạng thái hỗn loạn, (a2-b2) trạng thái dao động nhiều tần số, (a3-b3) trạng thái dao động với một tần số. Để nhận biết sự thay đổi các trạng thái trên chúng tôi sử dụng biến đổi Fourier của tổng công suất được mô tả trong hình 3.16, đây là hình ba chiều nhưng chúng tôi đã xoay để nhìn trong mặt phẳng (𝐽0, 𝜔) với trục hoành là cường độ liên kết, trục tung là tần số, trục thứ ba là độ lớn của biến đổi Fourier của tổng công suất có độ lớn biểu thị bằng độ sáng của màu sắc. Những vị trí có màu càng sáng ứng với biên độ tần số càng lớn. Những vùng màu xanh da trời ứng với biên độ của các tần số bằng không miêu tả các trạng thái dừng (vùng ký hiệu bằng chữ “S” - Stationary). Những vùng ký hiệu bằng chữ “O” - Oscillation ứng với vùng tồn tại trạng thái dao động, trong đó có một vệt với các đốm sáng khá đều đặn (vị trí khung vuông màu đỏ) với độ sáng mờ dần ở vùng tần số 𝜔 lớn hơn chính là một trong những vùng trạng thái dao động mà chúng ta đã minh họa ở hình 3.15, có các tần số khá đều đặn ứng với cường độ liên kết nằm trong khoảng 2.598 ≲ 𝐽0 ≲ 2.61. Vùng có vệt sáng rộng không đều chính là vùng trạng thái hỗn loạn (ký hiệu bằng “Chaos”). Vùng có các vệt sáng giảm dần về số vạch chính là vùng trạng thái dao động, giảm dần cho đến khi còn một vệt N (a3) (b3) t 74 sáng duy nhất ứng với trạng thái dao động chỉ có một tần số. Đối chiếu với các kịch bản dẫn tới hỗn loạn, chúng tôi nhận thấy đặc trưng rẽ nhánh trong trường hợp này thuộc loại trên tới hạn, kịch bản dẫn tới hỗn loạn là từ trạng thái dừng đột nhiên chuyển sang trạng thái hỗn loạn tại 𝐽0 ≈ 2.81. Hình 3.16. Sơ đồ rẽ nhánh sự chuyển đổi trạng thái của hệ khi các tham số 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝑎 = 0.01 theo cường độ liên kết 𝐽0 ∈ [1.97, 3.57]. Như vậy, quá trình biến đổi trạng thái trong trường hợp này được tóm tắt như sau: theo chiều tăng của cường độ liên kết thì hệ bắt đầu từ trạng thái dừng phản đối xứng rồi đến trạng thái dao động (chỉ một khoảng nhỏ của cường độ liên kết), sau đó xuất hiện trạng thái hỗn loạn, quay trở lại trạng thái dao động, rồi lại trạng thái dừng đối xứng. 3.3.1.2. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết rộng Khi độ rộng của hàm liên kết lớn (gọi tắt là liên kết lớn), nghĩa là độ rộng đó được so sánh với chu vi của các vòng quang học cụ thể độ rộng được chọn là 𝑎 = 1. Tương tự như trường hợp độ rộng của hàm liên kết hẹp quá trình biến đổi trạng thái và SSB được mô tả ở sơ đồ sau đây: Sơ đồ 3.2. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của cường độ liên kết khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1. 75 Từ sơ đồ 3.1, chúng ta thấy trạng thái dừng phản đối xứng và không có SSB trong mỗi vòng xuất hiện khi cường độ liên kết trong các khoảng 𝐽0 ≲ 1.6 và 3.7 ≲ 𝐽0 ≲ 9.4. Trạng thái dừng không đối xứng và có SSB trong mỗi kênh xuất hiện khi cường độ liên kết thõa mãn 1.7 ≲ 𝐽0 ≲ 3.3. Trạng thái dừng phản đối xứng đồng thời có SSB bên trong mỗi vòng khi mà cường độ liên kết thõa mãn 3.4 ≲ 𝐽0 ≲ 3.6 và 9.5 ≲ 𝐽0 ≲ 10.5. Hình 3.17. Mô đun của các hàm sóng trong vùng trạng thái dừng ứng với các giá trị khác nhau của cường độ liên kết. Hình 3.17 miêu tả mô đun của các hàm sóng trong vùng trạng thái dừng đối với các giá trị khác nhau của cường độ liên kết. Các hình (a), (g) và (h) tương ứng với 𝐽0 = 1.6, 𝐽0 = 3.7 và 𝐽0 = 9.4, cho thấy rằng mô đun hàm sóng có sự đối xứng qua trục thẳng đứng đi qua gốc tọa độ O tức là phân bố cường độ sáng có tính đối xứng trong mỗi vòng. Còn các hình (b), (c), (d), (e), (i) và (k) tương ứng với 𝐽0 = 1.7, 𝐽0 = 3.3, 𝐽0 = 3.4, 𝐽0 = 3.6, 𝐽0 = 9.5 và 𝐽0 = 10.5 , các trường hợp này mô đun hàm sóng mất đi tính chất đối xứng chẵn 𝑥 → −𝑥. (b) (c) (a) (d) (e) (g) (h) (i) (k) 76 Trong trường hợp liên kết rộng này chúng tôi thấy rằng trạng thái dao động và trạng thái hỗn loạn xuất hiện đan xen không đều đặn ở vùng cường độ liên kết lớn hơn trường hợp liên kết hẹp cụ thể ở vùng 𝐽0 ≳ 10.5. Sự xuất hiện đan xen các trạng thái dao động và hỗn loạn đó chính là do tính chất của hệ không bảo toàn và tính chất nhạy cảm của trạng thái hỗn loạn với các tham số đầu vào của hệ. Hình 3.18 mô tả biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ ở vùng cường độ liên kết lớn. Những vùng vệt màu sáng ứng với biên độ của tần số lớn. Qua nghiên cứu chúng ta thấy rằng các tần số xuất hiện trong các trạng thái hỗn loạn ở vùng này không ổn định thể hiện qua các vệt sáng đứt đoạn, các trạng thái xuất hiện không có trật tự, và có xu hướng dần về tần số cao khi cường độ liên kết lớn (các vệt sáng dốc lên theo chiều trái sang phải). Đồng thời trong vùng tham số cường độ liên kết xuất hiện trạng thái hỗn loạn vẫn có một số vị trí của tham số mà ở đó tồn tại trạng thái dừng đan xen. Hình 3.18. Sơ đồ rẽ nhánh mô tả sự chuyển đổi trạng thái của hệ ở vùng cường độ liên kết lớn khi độ rộng của hàm liên kết rộng 𝑎 = 1. 77 3.3.2. Ảnh hưởng của tham số khuếch đại lên sự phá vỡ đối xứng của hệ Mục này, chúng tôi xem xét ảnh hưởng của tham số khuếch đại 𝛾 lên SSB của hệ trong hai trường hợp sau đây: trường hợp thứ nhất tham số mất mất Γ = 1, cường độ liên kết được chọn 𝐽0 = 2.85, độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 0.01 và thay đổi 𝛾; trường hợp thứ hai tham số mất mất Γ = 1, cường độ liên kết được chọn 𝐽0 = 12.75, độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 1 và thay đổi 𝛾. 3.3.2.1. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết hẹp Trường hợp thứ nhất, các trạng thái cuối cùng thu được trong quá trình tiến triển theo thời gian với trạng thái ban đầu đối xứng có biểu thức như (3.15) và SSB được tóm tắt trong hình 3.19 và sơ đồ 3.3 dưới đây. Hình 3.19. Giản đồ rẽ nhánh sự biến đổi các trạng thái của hệ, khi các tham số cố định Γ = 1, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01 và 𝛾 thay đổi. Sơ đồ 3.3. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số khuếch đại khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01. 78 Khi hệ số khuếch đại 𝛾 ≲ 2.12 chúng tôi thu được trạng thái dừng đối xứng không có SSB. Tiếp đến là trạng thái bất đối xứng và không có SSB (lưu ý SSB xảy ra trong mỗi vòng nghĩa là mỗi hàm sóng mất đối xứng chẵn) xuất hiện trong khoảng của tham số khuếch đại 2.12 ≲ 𝛾 ≲ 2.38. Trạng thái dao động tồn tại trong các vùng 2.38 ≲ 𝛾 ≲ 2.54, 2.80 ≲ 𝛾 ≲ 2.88 và 2.94 ≲ 𝛾 ≲ 2.98 và trạng thái hỗn loạn xuất hiện trong các vùng 2.54 ≲ 𝛾 ≲ 2.8, 2.88 ≲ 𝛾 ≲ 2.94 và 2.98 ≲ 𝛾 ≲ 3.06. Sau đó trạng thái dừng phản đối xứng không có SSB xuất hiện khi 𝛾 ≳ 3.06, trạng thái đó tồn tại cho đến khi bắt đầu xuất hiện trạng thái dừng bất đối xứng có SSB tại 𝛾 ≳ 3.7. Hình vẽ 3.20 biểu diễn mô đun của hàm sóng với các giá trị tham số khuếch đại khác nhau, hình (a) ứng với 𝛾 ≃ 2.12 cho thấy rằng mô đun hai hàm sóng trùng nhau (miêu tả trạng thái đối xứng) và hình (b) ứng với 𝛾 ≃ 2.22 cho thấy mô đun các hàm sóng lệch nhau miêu tả một trạng thái bất đối xứng. Một ví dụ trong vùng dao động được mô tả trong hình 3.21, hình (a1) là tổng công suất, hình (b1) là biến đổi Fourier của tổng công suất tương ứng, đây là trường hợp dao động với nhiều tần số. Hình 3.20. Mô đun của các hàm sóng trong hai vòng quang học hình (a) khi tham số khuếch đại 𝛾 ≃ 2.12 mô tả trạng thái dừng đối xứng và hình (b) khi tham số khuếch đại 𝛾 ≃ 2.22 mô tả trạng thái không đối xứng. (a) (b) 79 Hình 3.21. Tổng công suất của hệ mô tả trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn của hệ, hình (a1-b1) biểu diễn trạng thái dao động ứng với tham số khuếch đại 𝛾 = 2.42, hình (a2-b2) biểu diễn trạng thái hỗn loạn ứng với tham số khuếch đại 𝛾 ≈ 2.62. Một trạng thái hỗn loạn cũng được biểu diễn ứng với tham số khuếch đại 𝛾 ≈ 2.62 ở hình 3.21. Hình (3.21a2) là tiến triển của mô đun hàm sóng theo thời gian, hình (3.21b2) là biến đổi Fourier của tổng công suất tương ứng. Hình 3.22a là mô đun hàm sóng tại giá trị 𝛾 = 3.06 tại đó bắt đầu chuyển từ trạng thái hỗn loạn sang trạng thái dừng không có SSB, hình 3.22b là mô đun hàm sóng tại giá trị 𝛾 = 3.65 tại đó có sự chuyển đổi từ trạng thái dừng không có SSB sang trạng thái dừng có SSB. �̃� (b1) (a2) (a1) �̃� (b2) 80 Hình 3.22. Mô đun của các hàm sóng, hình (a) và (b) lần lượt mô tả trạng thái phản đối xứng và trạng thái bất đối xứng ứng với các tham số khuếch đại là 𝛾 = 3.06 và 𝛾 = 3.65. Tóm lại, trong trường hợp với các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, tham số điều khiển là 𝛾 thay đổi. Thứ tự các trạng thái xuất hiện khi tham số khuếch đại tăng dần là: trạng thái dừng đối xứng, trạng thái dừng không đối xứng không có SSB, trạng thái dao động với các tần số khác nhau, trạng thái hỗn loạn, trạng thái dừng phản đối xứng không có SSB, trạng thái dừng không đối xứng và có SSB bên trong mỗi vòng. 3.3.2.2. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết rộng Trường hợp thứ hai chúng tôi cũng xét với tham số khuếch đại 𝛾 thay đổi, các tham số được cố định đó là tham số mất mát Γ = 1, độ rộng của hàm liên kết 𝑎 = 1, cường độ liên kết 𝐽0 = 12.75. Kết quả của quá trình biến đổi trạng thái và SSB được tổng hợp ở hình vẽ 3.23 và sơ đồ 3.4. Hình 3.23 miêu tả biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ. Qua đó, chúng tôi nhận thấy rằng sự biến đổi các trạng thái phức tạp, thể hiện qua các vệt sáng đứt đoạn trên nền màu xanh. Cũng như đã nói ở các phần trên, những vùng chỉ có một sọc sáng tương ứng với trạng thái dao động có một tần số, những vùng có nhiều sọc sáng tương ứng với trạng thái dao động nhiều tần số, những vùng có các vệt sáng rộng tương ứng với vùng trạng thái hỗn loạn. Đặc biệt, chúng tôi nhận thấy có một vùng mà tham số khuếch đại 4.4 ≲ 𝛾 ≲ 5.06, ở đó trạng thái dao động có nhiều tần số có tính qui luật mà sự giảm tần số (dần về tần số thấp) gần như tuyến tính với sự tăng của tham số khuếch đại 𝛾, khi mà tham số khuếch đại (a) (b) 81 gần với giá trị 𝛾 ≈ 5, trạng thái hỗn loạn xuất hiện, tiếp sau đó khi 𝛾 ≳ 5.06 thì đột nhiên hệ trở lại trạng thái dừng. Hình 3.23. Giản đồ rẽ nhánh biểu diễn sự biến đổi các trạng thái động lực học của hệ, khi các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 12,75, 𝑎 = 1. Sơ đồ 3.4. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số khuếch đại khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1. Miêu tả một cách chi tiết hơn: trạng thái dao động một tần số khi 0.16 ≲ 𝛾 ≲ 0.4; trạng thái hỗn loạn một phần khi 0.4 ≲ 𝛾 ≲ 2.56, 2.86 ≲ 𝛾 ≲ 3.14, 3.77≲ 𝛾 ≲ 3.84, 3.98 ≲ 𝛾 ≲ 4.4 và hỗn loạn toàn phần 5.0 ≲ 𝛾 ≲ 5.06; trạng thái dao động nhiều tần số khi 2.56 ≲ 𝛾 ≲ 2.86, 3.14 ≲ 𝛾 ≲ 3.77 và 4.4 ≲ 𝛾 ≲ 82 5.0. Sơ đồ 3.4 tóm tắt sự biến đổi trạng thái và SSB, qua đó cho thấy trạng thái dừng không có SSB xuất hiện khi 3.84 ≲ 𝛾 ≲ 3.98, 5.06 ≲ 𝛾 ≲ 5.12 và 5.48 ≲ 𝛾 ≲ 5.6; trạng thái dừng có SSB xuất hiện khi 5.12 ≲ 𝛾 ≲ 5.48. Một số ví dụ về trạng thái dao động một tần số, ba tần số, nhiều tần số và trạng thái dao động được minh họa ở hình vẽ 3.24. Hình 3.24a miêu tả biến đổi Fourier của tổng công suất ứng với tham số khuếch đại 𝛾 = 0.16, chúng ta thấy chỉ có một tần số dao động duy nhất. Tương tự các hình 3.24b, c, d ứng với các tham số 𝛾 = 2.65, 𝛾 = 4,75 và 𝛾 = 5.03 lần lượt miêu tả dao động ba tần số, nhiều tần số và trạng thái hỗn loạn. Hình 3.24. Biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ miêu tả các trạng thái dao động một tần số, ba tần số, nhiều tần số và trạng thái hỗn loạn. Các hình (a), (b), (c) và (d) lần lượt tương ứng với các tham số 𝛾 = 0.16, 𝛾 = 2.65, 𝛾 = 4.75 và 𝛾 = 5.03. (a) (b) (c) �̃� �̃� �̃� �̃� (d) 83 3.3.3. Ảnh hưởng của tham số mất mát lên sự phá vỡ đối xứng của hệ Tương tự các phần trên, trong phần này chúng tôi xét hai trường hợp với hai loại độ rộng hàm liên kết khác nhau: trường hợp thứ nhất cố định các tham số khuếch đại 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01 và thay đổi tham số mất mát Γ; trường hợp thứ hai xét 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1 và thay đổi tham số mất mát Γ. Trường hợp 1. Cố định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, thay đổi Γ. Kết quả quá trình biến đổi trạng thái được tổng hợp dưới hình vẽ 3.25. Qua giản đồ chúng ta thấy trạng thái dừng của hệ tồn tại trong các khoảng tham số mất mát Γ ≲ 0.99 và Γ ≳ 1.60 tương ứng với vùng màu xanh toàn bộ trên giản đồ rẽ nhánh (ký hiệu bằng chứ S). Trong khoảng tham số mất mát 0.99 ≲ Γ ≲ 1.4 thì hệ xảy ra trạng thái hỗn loạn ứng với vùng có vệt rộng theo chiều thẳng đứng vuông góc với trục hoành (vùng ký hiệu bằng Chaos). Trạng thái dao động xảy ra trong một vùng của tham số mất mát 1.4 ≲ Γ ≲ 1.6. Hình 3.25. Giản đồ rẽ nhánh của quá trình biến đổi trạng thái của hệ khi cố định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, 𝑎 = 0.01, tham số mất mát phi tuyến Γ thay đổi. Sơ đồ 3.5. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số mất mát khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01. Chúng tôi đã xét khoảng biến thiên của tham số mất mát Γ ∈ (0.8,1.80), sự biến đổi trạng thái và SSB được tóm tắt trên sơ đồ 3.5. Qua đó chúng ta thấy chỉ 84 có hai vòng tham số mất mát không xảy ra SSB đó là Γ ∈ (0.8,0.99) và (1.60,1.70), các khoảng tham số còn lại đều có SSB, đặc biệt vùng trạng thái hỗn loạn tồn tại trong khoảng tham số mất mát 0.99 ≲ Γ ≲ 1.4. Qua khảo sát chúng tôi thu được thứ tự các trạng thái biến đổi khi tăng dần tham số mất mát của hệ đó là: trạng thái dừng phản đối xứng, trạng thái nhiễu loạn, trạng thái dao động, trạng thái dừng không đối xứng. Đặc trưng rẽ nhánh thuộc loại trên tới hạn, quá trình xuất hiện hỗn loạn từ trạng thái dừng đột nhiên chuyển sang trạng thái hỗn loạn. Trường hợp 2. Cố định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1, thay đổi Γ. Trong trường hợp này chúng tôi nhận thấy sự biến đổi trạng thái cũng biến đổi qua lại giữa các trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn. Nhưng trạng thái hỗn loạn không toàn bộ thể hiện các vệt sáng của vùng hỗn loạn không liên tục từ tần số 𝜔 = 0 đến một tần số nào đó. Sự biến đổi giữa các trạng thái cũng không ổn định giống như các trường hợp độ rộng 𝑎 = 1 đã xét ở trên. Sự biến đổi trạng thái không ổn định đó được miêu tả trên hình 3.26, các vệt sáng xuất hiện gián đoạn trên nền màu xanh. Hình 3.26. Sơ đồ rẽ nhánh biến đổi Fourier của tổng công suất của hệ khi các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 12.75, 𝑎 = 1, tham số mất mát phi tuyến Γ thay đổi. 85 Sơ đồ 3.6. Sự biến đổi trạng thái và SSB do ảnh hưởng của tham số mất mát khi độ rộng hàm liên kết rộng 𝑎 = 1. Trong trường hợp này chúng tôi xét khoảng biến thiên của tham số mất mát Γ ∈ (0.80,4,50). Qua kiểm tra các giá trị cụ thể của Γ chúng tôi nhận thấy luôn có SSB trong toàn bộ miền tham số mất mát xem xét, được miêu tả trên sơ đồ 3.6. Trạng thái hỗn loạn xuất hiện ở nhiều vùng tham số khác nhau, đan xem giữa các trạng thái dừng và trạng thái dao động. Qua các trường hợp xét độ rộng 𝑎 = 1 cho thấy với độ rộng lớn thì sự biến đổi giữa các trạng thái phức tạp. 3.4. Kết luận chương 3 Chương này chúng tôi đã nghiên cứu SSB và quá trình biến đổi các trạng thái trong hệ cộng hưởng hai vòng quang học được liên kết tuyến tính không gian với nhau, trong ba trường hợp hàm liên kết khác nhau. - Trường hợp liên kết hằng số và Gauss đơn, chúng tôi đã thực hiện tính toán lại một số kết quả để vừa kiểm chứng thuật toán sử dụng vừa làm rõ các khái niệm về các trạng thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ. Đặc biệt chỉ ra rằng: trong trường hợp liên kết hằng số tồn tại trạng thái hỗn loạn và kịch bản nhân đôi tần số dẫn đến hỗn loạn trong khi đó trường hợp Gauss đơn không xuất hiện trạng thái hỗn loạn. - Trường hợp hàm liên kết Gauss kép chúng tôi xét hai trường hợp đại diện với hàm liên kết có độ rộng hẹp 𝑎 = 0.01và độ rộng rộng 𝑎 = 1. Với mỗi độ rộng, chúng tôi đã lần lượt xét ảnh hưởng của các tham số điều khiển lên SSB và quá trình biến đổi trạng thái của hệ: + Ảnh hưởng của cường độ liên kết lên quá trình động lực học của hệ khi cố định các tham số 𝛾 = 3, Γ = 1 với hai trường hợp độ rộng của hàm liên kết 86 𝑎 = 0.01 và 𝑎 = 1, kết quả thu được các giá trị tới hạn và khoảng tham số của cường độ liên kết đặc trưng cho SSB và vùng tồn tại các loại trạng thái khác nhau. Đặc biệt kết quả cho thấy rằng khi độ rộng 𝑎 = 0.01 thì tồn tại kịch bản đột nhiên dẫn tới hỗn loạn, còn đối với độ rộng 𝑎 = 1 trạng thái hỗn loạn xuất hiện trong các vùng nhỏ của vùng 𝐽0 ≳ 10.5 và đan xen với trạng thái dừng và trạng thái dao động một cách phức tạp. + Ảnh hưởng của tham số khuếch đại lên quá trình động lực học của hệ xét cố định các tham số Γ = 1, 𝐽0 = 2.85 và cũng hai trường hợp độ rộng như trên. Kết quả cũng thu được các khoảng tham số khuếch đại tồn tại SSB, cũng như các loại trạng thái khác nhau. Trạng thái hỗn loạn xuất hiện với kịch bản không liên tục dẫn đến trạng thái hỗn loạn. + Ảnh hưởng của tham số mất mát lên quá trình động lực học của hệ khi cố định các tham số 𝛾 = 3, 𝐽0 = 2.85, kết quả cho thấy rằng khi độ rộng 𝑎 = 0.01 kịch bản đột biến dẫn tới hỗn loạn giống như trường hợp ảnh hưởng của cường độ liên kết đã xét ở trên, còn khi độ rộng 𝑎 = 1 sự xuất hiện các trạng thái cũng chuyển đổi qua lại phức tạp. 87 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu SSB trong một số hệ quang học khác nhau và thu được các kết quả như sau. Đối với hệ ống dẫn sóng với phi tuyến Kerr đồng nhất và thế tuyến tính dạng Gauss kép. Trường hợp phi tuyến Kerr tự hội tụ thì hệ có sự phá vỡ đối xứng tự phát. Chúng tôi đã xác định được vùng các tham số như công suất xung, hằng số lan truyền của hệ để tồn tại các loại trạng thái solitons đối xứng, không đối xứng cũng như vùng ổn định, không ổn định của các trạng thái đó. Đặc trưng rẽ nhánh của sự phá vỡ đối xứng trong trường hợp này thuộc loại trên tới hạn (supercritical). Còn trường hợp phi tuyến Kerr tự phân kỳ thì hệ không có sự phá vỡ đối xứng tự phát, các trạng thái đối xứng của hệ luôn luôn có tính chất ổn định cao. Đối với hệ hai ống dẫn sóng có mặt phi tuyến biến điệu dạng hàm delta và liên kết tuyến tính với nhau. Chúng tôi đã xác định được vùng các tham số như công suất xung, hằng số lan truyền để tồn tại các loại trạng thái soliton khác nhau. Đặc trưng rẽ nhánh của sự phá vỡ đối xứng của trường hợp này là dưới tới hạn (subcritical), các trạng thái solitons bất đối xứng là không ổn định, các trạng thái solitons đối xứng thì luôn ổn định. Đối với hệ cộng hưởng vòng có liên kết tuyến tính dạng Gauss kép chúng tôi xét ba trường hợp ảnh hưởng của ba tham số điều khiển khác nhau (cường độ liên kết, tham số khuếch đại và tham số mất mát) lên SSB và thu được: + Các vùng tham số của cường độ liên kết, tham số khuếch đại, tham số mất mát để tồn tại các loại trạng thái khác nhau như: trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn và sự phá vỡ đối xứng hàm sóng. + Hai kịch bản khác nhau dẫn đến trạng thái hỗn loạn đó là: kịch bản từ trạng thái dừng đột nhiên chuyển sang trạng thái hỗn loạn và kịch bản từ trạng thái dừng sang trạng thái dao động không liên tục rồi dẫn đến hỗn loạn. Các kết quả thu được ở trên là cơ sở rất quan trọng để nghiên cứu trong thực nghiệm. Nó cũng định hướng ứng dụng trong các thiết bị quang tử như 88 chuyển mạch quang, hệ tắt bật cực nhanh, trong thông tin quang và đặc biệt trạng thái hỗn loạn được ứng dụng trong bảo mật thông tin quang, kỹ thuật mật mạ,v.v. Để có thể hiểu sâu hơn về các hiện tượng này chúng ta có thể nghiên cứu chi tiết hơn phương trình Schrödinger phi tuyến với nhiều điều kiện vật lý cụ thể khác, ví dụ như: mở rộng mô hình nhiều chiều hơn, thế năng phức tạp hơn, tăng thêm số hạng phi tuyến hay tăng số vòng trong hệ cộng hưởng vòng quang hoặc có thể nghiên cứu trong hệ các lĩnh vực vật lý khác như BEC, polariton,v.v. Đây là những nội dung mà chúng tôi định hướng nghiên cứu trong tương lai. Những kết quả nghiên cứu ở trên đã được trình bày trong các hội nghị khoa học chuyên ngành, cũng như đã công bố trên các tạp chí uy tín trong nước và nước ngoài. 89 CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ [1]. Nguyen Duy Cuong, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van, M. Trippenbach, Bui Dinh Thuan, and Do Thanh Thuy, Spontaneous Symmetry Breaking of Solitons Trapped in a Double-Gauss Potential, Communications in Physics, Vol. 28, No. 4 (2018), pp. 301-310 [2]. Duy Cuong Nguyen; Xuan Khoa Dinh; Xuan The Tai Le; Viet Hung Nguyen; Marek Trippenbach, On the nonlinear dynamics of coupled micro- resonators, Proceedings 11204, 14th Conference on Integrated Optics: Sensors, Sensing Structures, and Methods, (2019), Szcyrk-Gliwice, Poland. [3]. Nguyen Duy Cuong, Bui Dinh Thuan, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van, Marek Trippenbach, and Do Thanh Thuy, Spontaneous Symmetry Breaking in Coupled Ring Resonators with Linear Gain and Nonlinear Loss, Vinh University Journal of Science 48, 2A (2019), 39-48. [4]. Nguyen Duy Cuong, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van, Le Canh Trung, Bui Dinh Thuan, Marek Trippenbach, Two Spot Coupled Ring Resonators, Communications in Physics, Vol. 29, No. 4 (2019), pp. 491-500. [5]. Le Xuan The Tai, Nguyen Duy Cuong, Dinh Xuan Khoa, Nguyen Viet Hung, and Marek Trippenbach, Local versus uniform coupling, preparing to submit in Photonics Letters of Poland. 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. C. L. Vân, Vật lý đại cương tập I và II, NXB Giáo dục, (2008). [2]. K. Hayata and M. Koshiba, Self-localization and spontaneous symmetry breaking of optical fields propagating in strongly nonlinear channel waveguides: limitations of the scalar field approximation, J. Opt. Soc. Am. B 9, (1992) 1362. [3]. B. Maes, M. Soljacic, J. D. Joannopoulos, P. Bienstman, R. Baets, S. P. Gorza, M. Haelterman, Switching through symmetry breaking in coupled nonlinear micro-cavities, Optics Express 14, (2006) 10678. [4]. W. Królikowski, Y. S. Kivshar, Soliton-based optical switching in waveguide arrays, J. Opt. Soc. Am. B 13, (1996) 876-887. [5]. F. Lederer, G. I. Stegeman, D. N. Christodoulides, G. Assanto, M. Segev, Y. Silberberg, Discrete solitons in optics. Phys. Rep. 463, (2008) 1-126. [6]. P. L. Chu, B. A. Malomed, G. D. Peng, Passage of a pulse through a nonlinear amplifier, Opt. Commun. 140, (1997) 289-295. [7]. H. E. Nistazakis, D. J. Frantzeskakis, J. Atai, B. A. Malomed, N. Efremidis, K. Hizanidis, Multichannel pulse dynamics in a stabilized Ginzburg-Landau system. Phys. Rev. E 65, (2002) 036605. [8]. Y. D. Wu, Coupled-soliton all-optical logic device with two parallel tapered waveguides. Fiber Integr. Opt. 23, (2004) 405-414. [9]. D. Chevriaux, R. Khomeriki, J. Leon, Bistable transmitting nonlinear directional couplers. Mod. Phys. Lett. B 20, (2006) 515-532. [10]. H. Hatami-Hanza, P. L. Chu, B.A. Malomed, G. D. Peng, Soliton compression and splitting in double-core nonlinear optical fibers. Opt. Commun. 134, (1997) 59-65. [11]. D. G. Rabus, H. Heidrich, M. Hamacher, U. Troppenz, Channel dropping filters based on ring resonators and integrated SOAs, Optical Society of America 130, (2003) 3120. [12]. Y. Senlin, C. Zeying, C. H. Wenjian, Chaotic laser synchronization and its application in optical fiber secure communication, Science in China Ser. F Information Sciences 47 3, (2004) 332-347. 91 [13]. A. Uchida, Optical communication with chaotic lasers: applications of Nonlinear Dynamics and Synchronization, First Edition, (2012) Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. [14]. M. Naruse, Y. Terashima, A. Uchida, S. J. Kim, Ultrafast photonic reinforcement learning based on laser chaos, Cientific Reports 7-8772, (2017) 1-10. [16]. K. Hayata and M. Koshiba, Self-localization and spontaneous symmetry breaking of optical fields propagating in strongly nonlinear channel waveguides: limitations of the scalar field approximation, J. Opt. Soc. Am. B 9, (1992) 1362. [15]. C. Cambournac, T. Sylvestre, H. Maillotte, B. Vanderlinden, P. Kockaert, Ph. Emplit, and M. Haelterman, Symmetry-Breaking Instability of Multimode Vector Solitons, Phys. Rev. Lett. 89, (2002) 083901. [16]. Y. J. Tsofe and B. A. Malomed, Quasisymmetric and asymmetric gap solitons in linearly coupled Bragg gratings with a phase shift, Phys. Rev. E 75, (2007) 056603. [17]. L. Albuch and B. A. Malomed, Solitary pulses in linearly coupled Ginzburg-Landau equations, Math. Comput. Simul. 74, (2007) 312. [18]. M. Ornigotti, G. D. Valle, D. Gatti, and S. Longhi, Topological suppression of optical tunneling in a twisted annular fiber, Phys. Rev. A 76, (2007) 023833. [19]. S. Trillo, S. Wabnitz, E. M. Wright, G. I. Stegeman, Soliton switching in fiber nonlinear directional couplers. Opt. Lett. 13, (1988) 672-674. [20]. A. W. Snyder, D. J. Mitchell, L. Poladian, D. R. Rowland, and Y. Chen, Physics of nonlinear fiber couplers, J. Opt. Soc. Am. B 8, (1991) 2102. [21]. B. A. Malomed, I. M. Skinner, P. L. Chu, and G. D. Peng, Symmetric and asymmetric solitons in twin-core nonlinear optical fibers, Phys Rev E 53, (1996) 4084-4091. [22]. P. LI, D. MIHALACHE, Symmetry breaking of solitons in PT-symmetric potentials with competing cubic-quintic nonlinearity, Proceedings of the Romanian Academy, Series A 19, (2018) 61-68. 92 [23]. T. Mayteevarunyoo, B. A. Malomed, and G. Dong, Spontaneous symmetry breaking in a nonlinear double-well structure, Physical Review A 78, (2008) 053601. [24]. N. V. Hung, P. Zin, M. Trippenbach, and B. A. Malomed, Two- dimensional solitons in media with stripe-shaped nonlinearity modulation, Physical Review E 82, (2010) 046602. [25]. V. Lutsky and B. A. Malomed, Solitons supported by singular modulation of the cubic nonlinearity, J. Opt. Ex. 25, (2017) 12969. [26]. R. S. Gioggia and N. B. Abraham, Routes to chaotic output from a single- mode, de-excited laser, Physical Review letters 51, (1983) 650-653. [27]. P. Colet and R. Roy, Digital communication with synchronized chaotic lasers, Optics Letters 19, (1994) 2056-2058. [28]. A. Argyris, M. Hamacher, K. E. Chlouverakis, A. Bogris, and D. Syvridis, Photonic integrated device for chaos applications in communications, Physical Review Letters 100, (2008) 194101. [29]. A. Uchida1, K. Amano, M. Inoue, K. Hirano, S. Naito, H. Someya, I. Oowada, T. Kurashige, M. Shiki, S. Yoshimori, K. Yoshimura, and P. Davis, Fast physical random bit generation with chaotic semiconductor lasers, Nature Photonics 2, (2008) 728-732. [30]. N. Jiang, C. Xue, Y. Lv, K. Qiu, Secure key distribution applications of chaotic lasers, Proc. of SPIE 10026, (2016) 100260H-2. [31]. N. V. Hung, K. Zegadlo, A. Ramaniuk, V. V. Konotop & M. Trippenbach, Modulational instability of coupled ring waveguides with linear gain and nonlinear loss, Scientific RepoRts 7, (2017) 4089. [32]. C. L. Van and P. Goldstein, A concise cource on nonlinear partial diferential equations, University of Zielona Gora Press (2008). [33]. D. X. Khoa, L. V. Doai, D. H. Son, and Ng. H. Bang, Enhancement of self- Kerr nonlinearity via electromagnetically induced transparency in a five-level cascade system: an analytical approach, J. Opt. Soc. Am. B., 31, N6 (2014), 1330 - 1334. 93 [34]. M. Göppert‐Mayer, Über Elementarakte mit zwei Quantensprüngen, Annalen der Physik. 6. (1931), Folge. 9. [35]. W. Kaiser and C. G. B. Garrett, Two-photon excitation in CaF2: Eu 2+, Physical Review Letters, 7, 6 (1961), 229-231. [36]. E. W. Van Stryland, H. Vanherzeele, M. A. Woodall, M. J. Soileau,, A. L. Smirl, S. Guha, Th. F. Boggess, Two photon absorption, nonlinear refraction, and optical limiting in semiconductors, Optical Engineering 24 (4), (1985), 613- 623. [37]. G. P. Agrawal, Nonlinear fiber optics, Fifth Edition, New York: Academic, 2013. [38]. R. Li, Fei Lv, L. Li, and Z. Xu, Symmetry breaking and manipulation of nonlinear optical modes in an asymmetric double-channel waveguide, Physical review A 84, (2011), 033850. [39]. C. L. Vân, Đ. X. Khoa, M. Trippenbach, Nhập môn quang học phi tuyến, NXB Giáo dục 2011. [40]. Y. S. Kivshar, G. P. Agrawal. Optical Solitons, 2003. [41]. Z. Chen, M. Segev and D. N Christodoulides, Optical spatial solitons: historical overview and recent advances, Rep. Prog. Phys. 75 (2012) 086401. [42]. J. Yang, Nonlinear waves in integrable and nonintegrable systems, monographs on mathematical modeling and computation, (2010). [43]. B. A. Malomed, Spontaneous symmetry breaking in nonlinear systems: an overview and a simple model, Springer: Heidelberg, (2016), 97-112. [44]. M. Matuszewski, B. A. Malomed, and M.Trippenbach, Spontaneous symmetry breaking of solitons trapped in a double-channel potential, Phys. Rev. A. 75 (2007) 063621. [45]. P. L. Chu, B. A. Malomed, and G. D. Peng, Soliton switching and propagation in nonlinear fiber couplers: analytical results, J. Opt. Soc. Am. B. 10 (1993) 1379-1385. [46]. A. Uchida, Optical communication with chaotic lasers: applications of nonlinear dynamics and synchronization, first edition, (2012). 94 [47]. K. B. Zegadlo, Ng. V. Hung, A. Ramaniuk, M. Trippenbach and B. A. Malomed, Symmetry breakings in dual-core systems with double-spot localization of nonlinearity, Symmetry 10 (2018) 156. [48]. A. Ramaniuk, N. V. Hung, M. Giersig , K. Kempa, V. V. Konotop, and M. Trippenbach, Vortex creation without stirring in coupled ring resonators with gain and loss, Symmetry 10, (2018) 195. [49]. Ng. D. Cuong, C. L. Van, D. X. Khoa, M. Trippenbach, Two spot coupled ring resonators, Communication in Physics, Vol. 29, No. 4 (2019) 491-500. [50]. D. Cuong Ng., X. Khoa D., X. Th. Tai L., V. Hung Ng., M. Trippenbach, On the nonlinear dynamics of coupled micro-resonators, Proceedings 11204, 14th Conference on Integrated Optics: Sensors, Sensing Structures, and Methods, (2019), Szcyrk-Gliwice, Poland. [51]. Ng. D. Cuong, B. D. Thuan, D. X. Khoa, C. L. Van, M. Trippenbach, and D. Th. Thuy, Spontaneous symmetry breaking in coupled ring resonators with linear gain and nonlinear loss, Vinh University Journal of Science 48, 2A (2019), 39-48. [52]. K. Zegadlo, Ng. V. Hung, V. V. Konotop, J. Zakrzewski, M. Trippenbach, Route to chaos in a coupled microresonator system with gain and loss, Nonlinear Dyn 97 (2019) 559-569.