Luận án Nghiên cứu sự thay đối vận tóc nhóm của ánh sáng đa tần số khi có mặt phi tuyến kerr và hiệu ứng doppler

51 n . Sự biến thiên của chiết su t nhóm theo cư ng độ trư ng laser điều khi n t i p = 0 đư ng liền n t , p = -9 MHz đư ng đứt n t và p = 7.6 MHz đư ng ch m ch m và c = 0. Dựa vào Hình 2.7, ch ng ta th y: - Khi hư ó ặ ườ g laser đi hiể (c = 0): Trong miền cộng hư ng, p = 0 là miền có tán s c là d thư ng, do đó chiết su t nhóm có giá tr m. C n xa cộng hư ng, ứng với p = -9 MHz và p = 7,6 MHz là hai miền có tán s c thư ng không điều khi n đư c nên chiết su t nhóm dương. - Khi ó ặ ườ g laser đi hiể (c > 0): T i c a sổ EIT với p = 0: khi có mặt laser điều khi n làm xu t hi n đư ng tán s c thư ng trong miền tán s c d thư ng. Độ cao của đư ng tán s c thư ng này lớn d n c n độ d c giảm khi cư ng độ laser điều khi n tăng, do 52 đó chiết su t nhóm tăng và chuy n t giá tr m tương ứng với chế độ lan truyền ánh sáng nhanh sang giá tr dương tương ứng với chế độ lan truyền ánh sáng chậm . Tuy nhiên, do sự c nh tranh gi a sự tăng độ cao và giảm độ d c của đư ng tán s c nên chiết su t nhóm tăng đến giá tr cực đ i khi cư ng độ trư ng điều khi n đ t đến giá tr c = 2,8 MHz, sau đó chiết su t nhóm giảm khi c tăng do độ d c của đư ng tán s c giảm m nh xem Hình 2.3). Tương tự, t i các c a sổ EIT với p = -9 MHz và p = 7,6 MHz: khi có mặt laser điều khi n làm xu t hi n các đư ng tán s c thư ng (điều khi n đư c) trong miền tán s c thư ng xa cộng hư ng. Ban đ u khi cư ng độ laser điều khi n c n nh , sự xu t hi n các đư ng tán s c này làm giảm độ cao của đư ng tán s c thư ng xa cộng hư ng nên chiết su t nhóm giảm và chuy n t giá tr dương sang giá tr m. Tiếp tục tăng cư ng độ laser điều khi n thì đư ng tán s c do hi u ứng EIT sẽ chiếm ưu thế so với đư ng tán s c xa cộng hư ng , do đó chiết su t nhóm l i chuy n t giá tr m sang giá tr dương. Tuy nhiên, khi tăng cư ng độ laser điều khi n làm giảm độ d c của đư ng tán s c xem Hình 2.3 nên chiết su t nhóm tăng đến giá tr cực đ i và sau đó giảm, như ch ng ta th y trên Hình 2.7. T Hình 2.7, ch ng ta có th t nh đư c giá tr cực đ i dương của chiết su t nhóm t i 3 c a sổ EIT, cụ th : đ i với c a sổ EIT t i p = 0 thì  (0) 32 max gn = 5,910 5 đ t đư c t i c = 2,8 MHz ; đ i với c a sổ EIT t i p = -9 MHz thì  (0) 42 max gn = 1,910 5 đ t đư c t i c = 4,4 MHz và đ i với c a sổ EIT t i p = 7,6 MHz thì  (0) 52 max gn = 2,210 6 đ t đư c t i c = 9,6 MHz . Như vậy ch ng ta có th thay đổi chế độ lan truyền t ánh sáng nhanh sáng ánh sáng chậm và ngư c l i bằng cách thay đổi cư ng độ laser điều khi n. 53 2.5.3. Sự t y đổ vận t c n óm án sán t eo tần s l ser Bên c nh thay đổi theo cư ng độ thì chiết su t nhóm cũng đư c điều khi n theo t n s ch m laser điều khi n. Trong trư ng h p này ch ng tôi c đ nh cư ng độ laser điều khi n t i c = 4 MHz và vẽ đ th chiết su t nhóm theo độ l ch t n s laser d t i các giá tr khác nhau của độ l ch t n s laser điều khi n là c = 0, c = -2 MHz và c = +2 MHz như trên Hình 2.8. Dựa vào Hình 2.8 ta th y, các miền ánh sáng chậm và các miền ánh sáng nhanh đư c d ch chuy n sang trái hoặc sang phải trên trục p khi độ l ch t n s của ch m laser điều khi n c thay đổi về ph a t n s th p hơn hoặc cao hơn t n s cộng hư ng nguyên t . Sự d ch chuy n này là do sự xu t hi n các đỉnh m – dương của chiết su t nhóm trong miền c a sổ EIT nên khi d ch chuy n t n s của laser điều khi n tương ứng với sự d ch chuy n t n s laser d đ đảm bảo điều ki n cộng hư ng hai photon t o nên hi u ứng EIT. Hình 2.8. Sự biến thiên của chiết su t nhóm theo độ l ch t n s laser d t i một s giá tr khác nhau của độ l ch t n s laser điều khi n c = 0 đư ng liền nét), c = -2 MHz đư ng g ch g ch và c = 2 MHz đư ng ch m ch m . 54 Mặt khác, ch ng ta cũng có th chuy n chế độ lan truyền t ánh sáng nhanh sang ánh sáng chậm và ngư c l i bằng cách thay đổi t n s laser điều khi n. Ch ng h n, ch ng tôi c đ nh t n s ch m laser d cộng hư ng với d ch chuy n 1/2 3/25 ( 3) 5 ( 3)S F P F   , ngh a là p = 0 c n t n s Rabi c = 4 MHz và vẽ đ th chiết su t nhóm theo độ l ch t n s laser điều khi n như trên Hình 2.9. Dựa vào Hình 2.9 ch ng ta th y xu t hi n ba cặp giá tr dương-âm của chiết su t nhóm t i các miền t n s khác nhau của laser điều khi n. Điều này có ngh a là, ch ng ta có th chuy n chế độ lan truyền t ánh sáng nhanh sang ánh sáng chậm và ngư c l i bằng cách thay đổi t n s laser điều khi n. V dụ, t i c = 0 là một đỉnh dương của chiết su t nhóm; nếu điều chỉnh t n s laser điều khi n một lư ng c = 7 MHz thì chiết su t nhóm đ i với ánh sáng d sẽ nhận giá tr m. Hình 2.9. Sự biến thiên của chiết su t nhóm theo độ l ch t n laser điều khi n khi p = 0 và c = 4 MHz. 55 2.5.4 Sự t y đổ vận t c n óm án sán t eo đ sâu cử sổ EIT Đ th y đư c sự biến thiên của chiết su t nhóm theo độ s u của các c a sổ EIT, ch ng tôi vẽ đ th của chiết su t nhóm vào độ s u c a sổ EIT t i ba c a sổ EIT dựa vào bi u thức 2.53 , 2.56 , 2.57 , 2.58 , như trên Hình 2.10. Hình 2.10. Sự biến thiên của chiết su t nhóm vào độ s u trong su t c a sổ EIT trong trư ng h p p = 0 và c = 0, c = -9 MHz, c = 7.6 MHz tương ứng đư ng liền n t, đư ng g ch g ch và đư ng ch m ch m. T hình này ta th y, ban đ u biên độ của su t nhóm tăng d n theo độ s u trong su t đến giá tr cực đ i khi độ s u trong su t đ t 55% và sau đó chiết su t nhóm giảm tới không khi độ s u trong su t d n tới 100%. Điều này có th đư c giải th ch là do, khi độ s u trong su t tăng thì độ rộng của các c a sổ EIT cũng tăng [82] dẫn đến độ d c của các đư ng tán s c thư ng giảm m nh, do đó chiết su t nhóm giảm. Mặt khác ta th y, chiết su t nhóm ứng với 56 d ch chuy n 2 5 đ t cực đ i khi độ trong su t c khoảng 55%. C n ứng với d ch chuy n 2 3 , 2 4 chiết su t nhóm đ t cực đ i t i độ trong su t c khoảng 56%. 2.6. Sự t y đổi đ trễ nhóm theo các tham s đ ều khiển Do độ trễ nhóm t l thuận với chiết su t nhóm xem bi u thức 2.63) nên sự biến thiên của độ trễ nhóm theo t n s và cư ng độ của các ch m laser tương tự như sự biến thiên của chiết su t nhóm. Trước hết, chúng tôi khảo sát sự biến thiên của độ trễ nhóm theo t n s laser d bằng cách c đ nh t n s ch m điều khi n có t n s g n cộng hư ng với d ch chuy n 3/2 5/25 ( 3) 5 ( 3)P F D F   , ngh a là c = 0 và chọn Ωc = 4 MHz, c n t n s của ch m laser d đư c thay đổi qu t qua miền phổ h p thụ của d ch chuy n 1/2 3/25 ( 3) 5 ( 3)S F P F   , như trên Hình 2.11. Hình 2.11. Sự biến thiên của độ trễ nhóm theo độ l ch t n ch m d khi ∆c = 0 và Ωc = 4 MHz. 57 Dựa vào Hình 2.11, ch ng ta th y xu t hi n các miền độ trễ nhóm dương và m tương ứng với các miền của ánh sáng chậm và ánh sáng nhanh và đư c tăng cư ng xung quanh các c a sổ EIT. Sự thay đổi của độ trễ nhóm theo cư ng độ trư ng laser điều khi n đư c mô tả như trên Hình 2.12, đ y chúng tôi vẫn c đ nh t n s ch m điều khi n c = 0 và thay đổi cư ng độ trư ng điều khi n. Dựa vào Hình 2.12, ch ng ta th y, khi cư ng độ trư ng laser điều khi n tăng lên thì độ trễ nhóm cũng đư c tăng cư ng. Do khi tăng cư ng độ trư ng điều khi n thì h p thụ t i các c a sổ EIT giảm xu ng, chiết su t nhóm đư c tăng cư ng. Hình 2.12. Đ th độ trễ nhóm khi độ l ch t n ch m điều khi n là c = 0 và c = 4 MHz, c = 6 MHz, c = 10 MHz. Đ th y rõ hơn sự phụ thuộc của độ trễ nhóm vào cư ng độ trư ng laser điều khi n t i các c a sổ EIT, ch ng tôi vẽ đ th độ trễ nhóm theo cư ng độ trư ng laser điều khi n khi p = 0, p = -9 MHz và p = 7,6 MHz và c = 0 như trên Hình 2.13. Dựa vào Hình 2.13 ch ng ta th y t i các c a sổ 58 khác nhau thì độ trễ nhóm là khác nhau. Ứng với d ch chuy n 2 4 độ trễ nhóm đ t giá tr lớn nh t và độ trễ nhóm đ t giá tr nh nh t ứng với d ch chuy n 2 5 , b i vì cư ng độ liên kết gi a các d ch chuy n là khác nhau do t l : 32 42 52: : 1:1,46 : 0,6a a a  . Hình 2.13. Đ th độ trễ nhóm theo t n s Rabi laser điều khi n t i p = 0, p = -9 MHz, p = 7.6 MHz và c = 0 tương ứng với đư ng liền n t, đư ng g ch g ch và đư ng ch m ch m. 2.7. K t luận c ư n - Bằng cách s dụng khả năng liên kết đ ng th i các mức siêu tinh tế c nh nhau b i một laser cư ng độ m nh, ch ng tôi đ x y dựng một mô hình điều khi n đ ng th i vận t c nhóm ánh sáng t i ba miền t n s theo c u hình k ch th ch bậc thang 5 mức năng lư ng dựa trên hi u ứng EIT. - S dụng hình thức luận ma trận mật độ trong g n đ ng lư ng cực đi n, g n đ ng sóng quay và g n đ ng trư ng yếu, chúng tôi đ dẫn ra đư c 59 bi u thức giải t ch của chiết su t nhóm và độ trễ nhóm theo các tham s của trư ng laser, môi trư ng nguyên t và độ sâu của c a sổ EIT. Mô hình giải t ch đư c áp dụng cho môi trư ng nguyên t 85Rb và thu đư c kết quả sau: o Khảo sát sự biến thiên của h s h p thụ và tán s c theo độ l ch t n ch m d cho h nguyên t 85Rb ch ng tôi th y xu t hi n ba đư ng cong tán s c t i ba c a sổ EIT có t m t i p = 0, p = -9 MHz và p = 7,6 MHz. Độ cao và độ d c của các đư ng cong tán s c này có th thay đổi đư c b i ánh sáng điều khi n. Đ y ch nh là cơ s cho vi c điều khi n vận t c nhóm ánh sáng t i đa miền t n s . o Khảo sát sự biến thiên của chiết su t nhóm theo độ l ch t n s laser dò khi c đ nh t n s và cư ng độ laser điều khi n chúng tôi xác đ nh đư c 3 miền ánh sáng chậm, xen kẽ là các miền ánh sáng nhanh. Điều này cho th y có sự xen kẽ gi a ánh sáng nhanh và ánh sáng chậm trong mỗi c a sổ EIT. o Khảo sát sự biến thiên của chiết su t nhóm theo cư ng độ laser điều khi n t i các c a sổ EIT chúng tôi đ ước lư ng đư c giá tr cực đ i dương của chiết su t nhóm t i 3 c a sổ EIT. Các cực đ i này thu đư c t i độ sâu trong su t khoảng 55%. o Chúng ta có th thay đổi chế độ lan truyền gi a ánh sáng nhanh sáng ánh sáng chậm bằng cách thay đổi cư ng độ hoặc t n s của laser điều khi n. Ch ng h n, t i c = 0 là một đỉnh dương của chiết su t nhóm; nếu điều chỉnh t n s laser điều khi n một lư ng c = 7 MHz thì chiết su t nhóm đ i với ánh sáng d sẽ nhận giá tr m. - Mô hình giải t ch có ưu đi m là thuận l i cho các nghiên cứu ứng dụng liên quan và trong t nh toán các tham s trong thực nghi m. Bên c nh đó, nh c u hình kích thích bậc thang nên ch ng ta có th chọn các tr ng thái |3, |4 và |5 là các tr ng thái Rydberg có th i gian s ng lớn c µs), khi đó vận t c nhóm có th làm chậm xu ng đến vài mm/s. 60 C ư n 3 ẢN NG CỦA P I TUYẾN KERR VÀ ĐỘ M RỘNG DOPPLER LÊN VẬN TỐC N ÓM ÁN SÁNG 3.1. Ản ưởng của phi tuy n Kerr lên vận t c nhóm ánh sáng Đ nghiên cứu ảnh hư ng của phi tuyến Kerr lên vận t c nhóm ánh sáng, chúng ta xu t phát t bi u thức tán s c hi u dụng quen thuộc: 0 2 pn n n I  , (3.1) với n0 là tán s c (tuyến t nh), n2 là h s phi tuyến Kerr. Trước hết ch ng ta tìm bi u thức của h s phi tuyến Kerr bằng cách giải h phương trình ma trận mật độ tới nghi m nhiễu lo n bậc ba. Nghi m của ph n t ma trận mật độ 21 bậc ba là [45]: 2 (3) (2) (2) 21 22 11 * 21 1 1 ( ) 2 2 2 p p pi i F F F F                 , (3.2) với 2 2 2 2 2 2 32 42 52 21 31 41 1 51 2 ( / 2) ( / 2) ( / 2) ( ) ( ) ( ) c c c p p c p c p c a a a F i i i i                              và F là liên h p phức của F . Khi đó, kết h p với phương trình 2.40 ta có nghi m của ph n t ma trận mật độ 21 tới bậc ba có d ng [45]: 2 (1) (3) 21 21 21 * 21 1 1 2 2 2 p p pi i F F F F                      . (3.3) Bi u thức độ cảm đi n [20]: 2 4 221 21 3 * 0 0 21 1 1 1 1 2 p iNd iNd E F F F F                . (3.4) Đ i với môi trư ng đ i xứng t m thì độ cảm đi n toàn ph n có th đư c khai tri n thành các s h ng tuyến t nh và phi tuyến như sau [65]: 61 (1) 2 (3)3 pE    . (3.5) Đ ng nh t thức 3.3 và 3.4 , ch ng ta r t ra bi u thức cho độ cảm đi n tuyến t nh và phi tuyến, có d ng; 2 (1) 21 0 1iNd F    , (3.6) 4 (3) 21 3 * 0 21 1 1 1 1 3 2 iNd F F F            . (3.7) Sau khi tách ph n thực và ph n ảo của (1) và (3) , ch ng ta đư c: 2 (1) 21 2 2 2 2 0 Nd A B i A B A B           , (3.8) 4 (3) 21 3 2 2 2 2 2 2 0 21 1 3 Nd A B B i A B A B A B              , (3.9) đ y, các bi u thức A, B, A32, A42, A52 đư c xác đ nh t các phương trình 2.46 đến 2.50 . Khi đó, bi u thức tán s c tuyến t nh 0n và tán s c phi tuyến 2n đ i với ch m laser d đư c xác đ nh như sau [81]: (1) 2 21 0 2 2 0 Re( ) 1 1 2 2 Nd A n A B        , (3.10)   (3) 4 21 2 2 2 3 2 2 2 20 0 0 21 21 2 2 0 3Re( ) 1 4 4 1 2 Nd AB n n c c Nd A A B A B                . (3.11) Như vậy, chiết su t nhóm khi có phi tuyến Kerr đư c xác đ nh b i [44]: ( ) 0 2 0 2 k g p p p p p p p n n n n n n n I I                    . (3.12) Độ trễ nhóm tương ứng là: ( ) ( )1 ( 1) 2 k k del gT n c   . (3.13) 62 3.1.1. Ản ưởn củ p tuy n Kerr l n vận t c n óm án sán Đ th y đư c ảnh hư ng của phi tuyến Kerr lên vận t c nhóm chiết su t nhóm trước hết ch ng ta xem x t sự thay đổi của phi tuyến Kerr theo các tham s điều khi n. Trong công trình [81], các tác giả đ x t sự biến thiên của n2 theo độ l ch t n s của trư ng laser d khi c đ nh t n s của trư ng laser điều khi n cộng hư ng với d ch chuy n 2 3 tức là c = 0) và t n s Rabi t i giá tr Ωc = 0 và Ωc = 10 MHz, đư c mô tả như trên Hình 3.1. đ y, đư ng liền n t là đ th của n2 khi có mặt của trư ng điều khi n với Ωc = 10 MHz , đư ng n t đứt là đ th của n2 khi không có mặt trư ng laser điều khi n ứng với Ωc = 0 , c n đư ng ch m ch m là đ th h s h p thụ khi có mặt trư ng laser điều khi n. T Hình 3.1 ch ng ta th y, khi không có mặt của trư ng laser điều khi n, h s phi tuyến Kerr n2 chỉ đư c tăng cư ng trong l n cận cộng hư ng. Sự tăng cư ng của h s phi tuyến Kerr trong miền cộng hư ng có th đư c giải th ch là do sự biến d ng m nh của đám m y đi n t dẫn đến ph n cực phi tuyến lớn. xa cộng hư ng, giá tr của n2 r t nh . Khi có mặt của trư ng laser điều khi n, biên độ của phi tuyến Kerr n2 đư c tăng cư ng đáng k tăng vài bậc so với khi không có EIT xung quanh 3 c a sổ EIT và có biên độ đ t tới 10-5 cm2 . Ngoài ra, trong mỗi c a sổ EIT thì giá tr của h s phi tuyến Kerr tách thành hai miền m và dương xen kẽ nhau. Độ cao và độ d c của các đư ng cong này điều khi n đư c theo cư ng độ và t n s của laser điều khi n [81]. Với biên độ phi tuyến Kerr khổng l như vậy sẽ có ảnh hư ng không nh tới tán s c hi u dụng ngay t i cư ng độ ánh sáng d th p. 63 n 3 Sự biến thiên của n2 theo ∆p khi chọn c = 10 MHz đư ng liền n t và khi c = 0 đư ng g ch g ch ; đư ng ch m ch m mô tả sự biến thiên của h h p thụ khi c = 10 MHz. Cả ba đ th đư c vẽ trong trư ng h p c = 0 [81]. Tiếp theo, chúng ta s dụng công thức (2.55) và (3.12 đ vẽ đ th chiết su t nhóm theo độ l ch t n ch m d khi không có đư ng đứt n t và khi có phi tuyến Kerr đư ng liền n t với các tham s khác đư c chọn là c = 0, c = 4 MHz và cư ng độ trư ng dò Ip = 10 mW/cm 2, kết quả đư c mô tả như trên Hình 3.2. 64 Hình 3.2. Sự biến thiên của chiết su t nhóm theo độ l ch t n s ch m laser d trong trư ng h p có phi tuyến Kerr đư ng liền n t và không có phi tuyến Kerr đư ng đứt n t khi c = 0, c = 4 MHz và Ip = 10 mW/cm 2 . Dựa vào Hình 3.2 ch ng ta th y khi có mặt phi tuyến Kerr làm cho biên độ của chiết su t nhóm giảm đáng k . Đ giải th ch cho sự giảm này, ch ng ta vẽ đ th của tán s c tuyến t nh và tán s c phi tuyến là hai thành ph n của tán s c hi u dụng như trên Hình 3.3. 65 Hình 3.3. Sự biến thiên của h s phi tuyến Kerr đư ng liền n t và h s tán s c tuyến t nh đư ng đứt n t theo độ l ch t n s laser d khi c = 10 MHz và ∆c = 0. Rõ ràng, t Hình 3.3 ch ng ta th y sự biến thiên của h s tán s c phi tuyến và h s tán s c tuyến t nh là ngư c d u nhau, do đó tán s c hi u dụng giảm khi đưa vào phi tuyến Kerr. Vì vậy, chiết su t nhóm giảm như ch ng ta th y trong Hình 3.2. Đ th y rõ hơn sự l ch gi a chiết su t nhóm khi có và không có phi tuyến Kerr, chúng ta vẽ đ th chiết su t nhóm theo t n s Rabi ch m laser điều khi n t i các c a sổ EIT như trên Hình 3.4. đ y, đư ng liền nét ứng với có phi tuyến Kerr c n đư ng đứt n t là khi không có phi tuyến Kerr. T Hình này không chỉ cho th y chiết su t nhóm đư c điều khi n theo cư ng độ laser điều khi n như ph n t ch trong mục 2.5.3, mà c n cho th y ảnh hư ng của phi tuyến Kerr dẫn đến đỉnh chiết su t nhóm nh hơn. Độ l ch lớn nh t gi a hai đư ng cong c 20% đ i với các tham s đ cho. 66 Hình 3.4. Sự biến thiên của (0)gn đư ng đứt n t và ( )k gn đư ng liền n t theo cư ng độ trư ng điều khi n c khi Ip = 10 mW/cm 2 , ∆c = 0 và ∆p = 0 (a), p = -9 MHz (b), p = 7.6 MHz (c). 3.1.2 Đ ều k ển c t suất n óm t eo cườn đ l ser dò Khi đưa vào h s phi tuyến Kerr, bên c nh chiết su t nhóm đư c điều khi n theo cư ng độ và t n s laser điều khi n thì nó c n đư c điều khi n b i ch nh cư ng độ của ch m laser d . Đ th y đư c điều này, chúng ta vẽ đ th 67 chiết su t nhóm theo độ l ch t n ch m d t i các giá tr khác nhau của cư ng độ trư ng dò pI khi c = 4 MHz và c = 0, như trên Hình 3.5. Hình 3.5. Sự biến thiên của chiết su t nhóm theo độ l ch t n s ch m laser d t i các giá tr khác nhau của cư ng độ trư ng laser dò khi ∆c = 0, c = 4 MHz. Kết quả t Hình 3.5 cho th y, khi cư ng độ laser d tăng thì ảnh hư ng của phi tuyến Kerr lên chiết su t nhóm tr nên m nh hơn làm cho chiết su t nhóm giảm m nh thậm ch có th giảm về không hoặc m đư ng ch m ch m). Đ th y rõ hơn sự phụ thuộc của chiết su t nhóm vào cư ng độ trư ng dò, chúng ta vẽ đ th chiết su t nhóm theo pI t i c = 4 MHz, c = 0 và p = 0 như trên Hình 3.6. Rõ ràng là vận t c nhóm có th thay đổi t chế độ lan truyền ánh sáng chậm sang chế độ lan truyền ánh sáng nhanh khi thay đổi cư ng độ laser d . Với các tham s đ chọn, giá tr ngư ng của cư ng độ ánh sáng d đ chuy n chế độ lan truyền là c Ip = 60 mW/cm 2 (Hình 3.6). 68 Hình 3.6. Sự biến thiên của ( )kgn theo cư ng độ trư ng laser dò pI khi c = 4 MHz, ∆c = 0 và ∆p = 0. 3.1.3. Ản ưởn củ p tuy n Kerr l n đ trễ n óm Tương tự như ảnh hư ng của phi tuyến Kerr lên chiết su t nhóm vận t c nhóm, phi tuyến Kerr cũng ảnh hư ng đáng k lên độ trễ nhóm. Trong mục này, chúng ta s dụng phương trình 2.62 và 3.13) đ vẽ đ th độ trễ nhóm theo độ l ch t n ch m d trong trư ng h p không có mặt phi tuyến Kerr và có mặt phi tuyến Kerr với Ip = 10 mW/cm 2 , c = 0 và c = 4 MHz. T hình này ch ng ta th y khi có mặt phi tuyến Kerr thì độ trễ nhóm giảm đáng k so với trư ng h p không có mặt phi tuyến Kerr. 69 Hình 3.7. Sự biến thiên của độ trễ nhóm theo độ l ch t n ch m d khi không có mặt phi tuyến Kerr đư ng đứt n t và có mặt phi tuyến Kerr đư ng liền nét) t i Ip = 10 mW/cm 2 , ∆c = 0 và c = 4 MHz. 3.2. Ản ưởng của mở r ng Doppler lên vận t c nhóm ánh sáng Trong các nghiên cứu và t nh toán các ph n trên, chúng ta đ b qua sự m rộng Doppler và do đó kết quả ph h p với môi trư ng kh nguyên t l nh có nhi t độ c K thư ng đư c làm l nh và bẫy nguyên t bằng laser . Tuy nhiên, khi khảo sát mẫu nguyên t nhi t độ ph ng hoặc cao hơn thì ảnh hư ng của sự m rộng Doppler sẽ tr nên đáng k . Khi t nh đến m rộng Doppler và giả s chùm laser dò lan truyền ngư c chiều so với ch m điều khi n (đ kh sự m rộng Doppler bậc nh t đ i với c u hình bậc thang [79]). Khi đó, nếu một nguyên t chuy n động với vận t c v ngư c theo hướng ch m laser d thì nguyên t sẽ “nhìn th y” t n s 70 của ch m laser d tăng lên một lư ng ( / ) pv c  , đ ng th i nhìn th y t n s của ch m laser điều khi n giảm đi một lư ng ( / ) cv c  . Do đó, các độ l ch t n s của ch m laser d và laser điều khi n đư c thay đổi và đư c xác đ nh b i: ( / )p p pv c      , (3.14a) ( / )c c cv c      . (3.14b) Giả s các thành ph n vận t c nguyên t nằm dọc theo trục ch m tia và tu n theo phân b Maxwell: 2 2/0( ) v u N N v e u   , (3.15) trong đó, 2 /Bu k T m là vận t c căn phương của nguyên t , 0N là mật độ nguyên t toàn ph n trong mẫu. Khi đó, bi u thức độ cảm đi n trong khoảng vận t c nguyên t dv là [82]: 2 21 0 ( ) ( ) id N v dv dv F v    , (3.16) trong đó: 2 2 32 21 31 2 2 2 2 42 52 41 1 51 2 ( / 2) ( ) ( ) ( ) / ( / 2) ( / 2) . ( ) ( ) / ( ) ( ) / p c p p c p c c c p c p c p c p c v a F v i c i i v c a a i i v c i i v c                                                 (3.17) Ch ng ta đặt: 2 2 2/v u x , (3.18) Khi đó, bi u thức độ cảm đi n 3.16 tr thành [82]: 22 21 0 ( ) xid e dx dx F x     , (3.19) 71 với 2 2 32 21 31 2 2 2 2 42 52 41 1 51 2 ( / 2) ( ) ( ) ( ) / ( / 2) ( / 2) ( ) ( ) / ( ) ( ) / p c p p c p c c c p c p c p c p c ux a F v i c i i ux c a a i i ux c i i ux c                                                 . (3.20) X t trư ng h p t n s laser d và laser điều khi n g n nhau thì có ta có th b qua d ch chuy n hai photon, do đó bi u thức 3.19 đư c viết l i [82]: 22 0 21 0 [ ]( / ) x p iN d e dx dx z ixu c       , (3.21) trong đó: 2 2 32 21 31 ( / 2) ( ) c p p p c c a z i u i               2 2 2 2 42 52 41 1 51 2 ( / 2) ( / 2) ( ) ( ) c c p c p c a a i i                   . (3.22) T ch ph n phương trình (3.21 với x biến thiên t  ta thu đư c bi u thức độ cảm đi n khi có sự ảnh hư ng của độ m rộng Doppler [82]: 2 2 0 21 0 [1- ( )] ( / ) z D p iN d e erf z u c      , (3.23) đ y, ( )erf z là hàm b sai s của z . Khi đó, bi u thức chiết su t nhóm khi t nh đến m rộng Doppler đư c xác đ nh: ( ) Re( )D D g p p n      . (3.24) Tương tự, ta có bi u thức độ trễ nhóm ứng với trư ng h p có m rộng Doppler: ( ) ( )1 ( 1) 2 D D del g D T n c   (3.25) 72 3.2.1. Ản ưởn củ mở r n Doppler l n vận t c n óm Đ khảo sát ảnh hư ng của m rộng Doppler bi u th qua nhi t độ bu ng mẫu lên vận t c nhóm ch ng ta xem x t công tua h p thụ. Sự phụ thuộc của h s h p thụ vào nhi t độ đư c mô tả các tác giả trong công trình [46] mô tả như trên Hình 3.8. Dựa vào Hình 3.8 ch ng ta th y, khi nhi t độ tăng lên thì độ rộng công tua h p thụ cũng tăng. Đ ng th i độ s u và độ rộng của c a sổ EIT giảm. Điều này có th đư c giải th ch là, khi nhi t độ tăng thì làm cho các nguyên t chuy n động nhanh hơn, dẫn đến làm giảm độ kết h p gi a các tr ng thái lư ng t của nguyên t nên hi u su t EIT b giảm. Hình 3.8. Sự phụ thuộc của h s h p thụ theo độ l ch t n s của chùm dò khi ∆c = 0, c = 10 MHz [46]. Theo h thức Kramer- Kronig, sự thay đổi h p thụ sẽ dẫn đến thay đổi tán s c của một trư ng mà h quả là vận t c nhóm chiết su t sẽ thay đổi. Đ 73 th y rõ điều này chúng ta vẽ đ th chiết su t nhóm theo độ l ch t n s trong hai trư ng h p khi có m rộng Doppler và khi không có m rộng Doppler t i hi u su t trong su t là 50%. Mu n vậy, trước hết chúng ta vẽ đ th sự phụ thuộc của độ trong su t vào cư ng độ trư ng điều khi n khi có cộng hư ng p = c = 0 như Hình 3.9. T hình 3.9 ta tìm đư c giá tr của t n s Rabi c t i hi u su t trong su t 50% cho trư ng h p không có m rộng Doppler là c 2,8 MHz  và có m rộng Doppler là c 22 MHz  t i nhi t độ T = 300 K. Hình 3.9. Sự phụ thuộc của độ trong su t cảm ứng t vào c khi p = c = 0 trong hai trư ng h p: không có Doppler đư ng đứt n t) và có Doppler đư ng liền n t). 74 Tiếp theo, chúng ta vẽ đ th chiết su t nhóm theo p trong hai trư ng h p không có và có m rộng Doppler t i nhi t độ T = 300 K , ứng với độ trong su t là 50% và độ l ch t n ch m điều khi n c 0  như trên Hình 3.10. Hình 3.10. Đ th chiết su t nhóm theo độ l ch t n p khi ∆c = 0 trong hai trư ng h p: không có Doppler đư ng đứt n t, c = 2.5 MHz) và có Doppler đư ng liền n t, c = 22 MHz). Dựa vào Hình 3.10 ta th y, xu t hi n 3 cặp miền giá tr m-dương của chiết su t nhóm xen kẽ nhau quanh các c a sổ EIT. Tuy nhiên, do công tua m rộng nên miền ánh sáng nhanh tr nên lớn hơn đ i với trư ng h p có m rộng Doppler. Đặc bi t, biên độ của chiết su t nhóm b giảm m nh khi đưa vào sự m rộng Doppler. Ch ng h n, x t t i Δp = 0 ch ng ta thu đư c giá tr chiết su t nhóm khi không có Doppler là ng (0) ~ 5.6.10 5 (hay vg (0) ~ 5.3.10 2 75 m/s), còn khi có m rộng Doppler là ng (D) ~ 1.2x10 3 (hay vg (0) ~ 2.5x10 5 m/s), tức là chiết su t nhóm nh hơn c 100 l n so với khi không có m rộng Doppler. Đ th y rõ hơn sự suy giảm của biên độ chiết su t nhóm khi nhi t độ tăng lên, chúng ta vẽ đ th chiết su t nhóm theo nhi t độ t i các giá tr c đ nh của ch m laser là p = c = 0, c 22 MHz  ứng với độ trong su t 50%. Sự suy giảm này có th đư c giải th ch là do hi u su t trong su t giảm khi nhi t độ tăng [82]. Hình 3.11. Sự biến thiên của chiết su t nhóm ( )Dgn theo nhi t độ t i các giá tr ∆p = ∆c = 0 và c = 22 MHz. Tương tự như trư ng h p không có m rộng Doppler, trong trư ng h p này ch ng ta cũng có th xê d ch các miền ánh sáng nhanh và ánh sáng chậm bằng cách thay đổi các giá tr của t n s ch m laser điều khi n. Ch ng h n, chúng ta vẽ đ th chiết su t nhóm ( )Dgn theo đ l ch t n s ch m d t i các 76 giá tr khác nhau của độ l ch t n ch m điều khi n Δc = -5 MHz, Δc = 0, và Δc = 5 MHz như trên Hình 3.12. T Hình 3.12a cho th y khi ch ng ta thay đổi giá tr độ l ch t n ch m laser điều khi n thì miền ánh sáng nhanh và chậm d ch chuy n sang trái hoặc sang phải. Mặt khác, như Hình 3.12b cho th y, ánh sáng chậm có th chuy n thành ánh sáng nhanh và ngư c l i với sự thay đổi của t n s ch m điều khi n. Ch ng h n, điều chỉnh độ l ch t n qua giá tr c = 1,3 MHz thì chế độ lan truyền ánh sáng đư c chuy n t ánh sáng nhanh sang ánh sáng chậm. Hình 3.12. (a) – Sự thay đổi v ng ánh sáng nhanh và ánh sáng chậm với độ l ch t n s Δc = -5 MHz đư ng g ch g ch , Δc = 0 đư ng liền n t , và Δc = 5 MHz đư ng ch m ch m ; b) – Sự biến thiên của chiết su t nhóm ( )Dgn theo Δc khi Δp = -2 MHz. Cả hai trư ng h p đều đư c vẽ t i c = 22 MHz và T = 300 K. Đ th y đư c sự thay đổi chiết su t nhóm ánh sáng theo cư ng độ laser điều khi n, chúng ta c đ nh t n s của trư ng laser điều khi n tr ng với d ch chuy n 2 3 , tức là Δc = 0 và vẽ đ th chiết su t nhóm theo cư ng độ trư ng laser điều khi n khi Δp = 2 MHz và T = 300 K như trên Hình 3.13. đ y, đư ng liền n t ứng với khi có m rộng Doppler, c n đư ng đứt n t là 77 trư ng h p không có m rộng Doppler. Hình 3.13. Đ th chiết su t nhóm ( )Dgn đư ng liền n t và (0) gn đư ng đứt nét) theo cư ng độ trư ng điều khi n khi Δc = 0, Δp = 2 MHz và T = 300 K. T Hình 3.13 ch ng ta th y, với sự thay đổi của cư ng độ trư ng điều khi n thì giá tr chiết su t nhóm có th thay đổi t m sang dương. Do đó, sự lan truyền ch m d có th điều khi n t ánh sáng nhanh sáng ánh sáng chậm. Tuy nhiên, ph m vi thay đổi t n s Rabi gi a hai giá tr cực tr của chiết su t nhóm trong trư ng h p có m rộng Doppler là lớn hơn. Cụ th là, với trư ng h p không có m rộng Doppler thì ph m vi thay đổi t n s Rabi c c 4 MHz  , c n khi có m rộng Doppler thì c 30 MHz  . Sự khác nhau như vậy là do khi có m rộng Doppler đ đ t đư c c ng độ s u trong su t 78 như khi không có m rộng Doppler thì đ i h i cư ng độ laser điều khi n phải lớn hơn như đ chỉ ra trên Hình 3.9. 3.2.2 Đ trễ n óm Đ th y đư c s ảnh hư ng của m rộng Doppler lên độ trễ nhóm, chúng ta vẽ đ th độ trễ nhóm theo độ l ch t n ch m d trong trư ng h p có và không có m rộng Doppler với c = 6 MHz, c = 0 như trên Hình 3.14. T hình vẽ này ta th y, khi có sự m rộng Doppler làm cho độ trễ nhóm giảm đi so với trư ng h p không có m rộng Doppler. Điều này ph h p với kết quả Hình 3.11 là khi tăng nhi t độ thì độ kết h p giảm t c độ ph n r hi u dụng tăng nên chiết su t nhóm giảm, kết quả là độ trễ xung sẽ giảm. Hình 3.14. Đ th độ trễ nhóm ( )DdelT đư ng liền n t và (0) delT đư ng đứt n t theo độ l ch t n ch m d khi ∆c = 0, c = 6 MHz và T = 300 K. 79 3.3. So sánh với k t quả thực nghiệm Đ ki m chứng độ tin cậy của mô hình giải t ch bi u diễn sự phụ thuộc của vận t c nhóm vào phi tuyến Kerr đư c dẫn ra trong luận án, chúng tôi so sánh kết quả t nh toán lý thuyết với ph p đo thực nghi m đư c thực hi n b i nhóm nghiên cứu Hoa Kì công b trên t p ch Nature [2]. Các tác giả trong công trình [2] đ tiến hành đo vận t c nhóm ánh sáng lan truyền trong môi trư ng ngưng tụ Bose-Einstein nhi t độ c chục nK nên hi u ứng Doppler đư c b qua. Đ tương th ch trong so sánh, chúng tôi đ chuy n mô hình lý thuyết 5 mức năng lư ng thành 3 mức tương tự như trong công trình thực nghi m [2]. Điều này hoàn toàn dễ dàng thực hi n đư c bằng cách thay A52 = A42 = 0 vào các công thức (2.55) và (3.12). Kết quả thực nghi m trong công trình [2] cho th y: khi cư ng độ trư ng laser điều khi n Ic = 5 mW/cm 2 tương ứng c = 5,3 MHz) thì giá tr vận t c nhóm đo đư c là 17 /gv m s . Mặt khác, áp giá tr cư ng độ sáng này vào vào mô hình lý thuyết ch ng tôi thu đư c 17 /gv m s khi có mặt phi tuyến Kerr ứng với công thức 3.12 hoặc 15 /gv m s khi không có mặt phi tuyến Kerr ứng với công thức 2.55 . Kết quả này cho th y, mô hình lý thuyết sẽ ph h p với thực nghi m hơn khi t nh đến phi tuyến Kerr. Đ có th phân tích một cách toàn di n hơn, ch ng tôi s dụng công thức 2.55 và 3.12 đ vẽ đ th mô tả sự thay đổi vận t c nhóm ứng với khi có mặt và khi không có mặt phi tuyến Kerr như trên Hình 3.15. T các đ th cho th y, vận t c nhóm khi không có mặt phi tuyến Kerr sẽ nh hơn c 10% so với khi có mặt phi tuyến Kerr t i giá tr Ip= 5 mW). Sự sai khác này sẽ tăng lên khi tăng cư ng độ trư ng laser dò do hi u ứng Kerr . Mặt khác, t đ th Hình 3.15 còn cho phép ước lư ng giá tr cư ng độ trư ng điều khi n đ vận t c nhóm đ t giá tr cực ti u. 80 Hình 3.15. Sự thay đổi vận t c nhóm theo cư ng độ laser điều khi n khi có mặt (đườ g i ) và không có mặt (đườ g đứ phi tuyến Kerr t i các giá tr Ip = 5 mW/cm 2 và ∆p = ∆c = 0. Các s li u về nguyên t đư c chọn như trong công trình [2]. 3.4 K t luận c ư n 3 Trong chương này, bằng cách s dụng hình thức luận ma trận mật độ và lý thuyết nhiễu lo n d ng ch ng tôi đ dẫn ra đư c bi u thức của chiết su t nhóm và độ trễ nhóm của h nguyên t năm mức bậc thang khi có mặt phi tuyến Kerr và m rộng Doppler. Khi t nh đến ảnh hư ng của phi tuyến Kerr có nh ng đi m khác bi t sau đ y. Thứ hấ , biên độ của chiết su t nhóm nh hơn so với trư ng h p không đưa vào phi tuyến Kerr, ngh a là vận t c nhóm đư c tăng cư ng. Thứ hai, chiết su t nhóm không chỉ đư c điều khi n b i trư ng laser liên kết mà c n đư c điều khi n b i ch nh cư ng độ của ch m laser d . Khi cư ng độ trư ng laser d tăng d n thì ảnh hư ng của phi tuyến Kerr lên chiết su t nhóm 81 tr nên m nh hơn làm cho chiết su t nhóm giảm m nh, thậm ch có th giảm về không hoặc m. Thứ , khi có mặt phi tuyến Kerr thì kết quả lý thuyết g n hơn với thực nghi m hơn. X t khi có ảnh hư ng của m rộng Doppler cho th y: biên độ của chiết su t nhóm b giảm m nh. Ch ng ta cũng có th điều khi n chế độ lan truyền t ánh sáng nhanh sang ánh sáng chậm và ngư c l i bằng cách thay đổi các giá tr của t n s hoặc cư ng độ trư ng laser điều khi n. Tuy nhiên, ph m vi thay đổi t n s Rabi gi a hai giá tr cực tr của chiết su t nhóm trong trư ng h p có m rộng Doppler là lớn hơn. Mô hình lý thuyết ph h p với quan sát thực nghi m điều đó kh ng đ nh độ tin cậy. Qua so sánh với thực nghi m cho th y, phi tuyến Kerr sẽ đóng vai tr tăng cư ng vận t c nhóm ánh sáng trong môi trư ng EIT. Sự ảnh hư ng của phi tuyến Kerr càng lớn khi cư ng độ laser dò càng cao. 82 KẾT LUẬN C UNG Điều khi n vận t c nhóm ánh sáng trong môi trư ng EIT là một l nh vực đang đư c kì vọng t o nên bước đột phá trong công ngh quang t như lưu tr và x lý thông tin quang, t o “h đen nh n t o” trong ph ng th nghi m, v.v. Do có phi tuyến Kerr khổng l và m rộng Doppler nên đặc trưng tán s c hi u dụng của môi trư ng EIT kh nguyên t khác bi t so với môi trư ng r n. Mặt khác, tìm kiếm mô hình điều khi n đ ng th i ánh sáng trong nhiều miền t n s có vai tr đặc bi t trong thông tin lư ng t b i nh ng ưu đi m trong t o các cặp photon đan r i. Luận án đ đề xu t mô hình nghiên cứu khả năng điều khi n vận t c nhóm ánh sáng đa t n s trong môi trư ng EIT kh nguyên t khi có mặt phi tuyến Kerr và m rộng Doppler. Áp dụng mô hình giải t ch cho h nguyên t 85 Rb cho th y sự liên kết đ ng th i các mức siêu tinh tế c nh nhau |3, |4 và |5 nên các photon có th đư c điều khi n đ chuy n động “nhanh-chậm” t i ba miền t n s cách nhau cách nhau l n lư t là 9 MHz và 7,6 MHz với b n đặc đi m nổi bật sau: Thứ hấ , v tr của các miền ánh sáng “nhanh-chậm” của laser d có th đư c d ch chuy n sang phải hoặc trái trong thang t n s bằng cách tăng hay giảm t n s của trư ng laser điều khi n; Thứ h i, biên độ và d u của chiết su t nhóm thay đổi theo cư ng độ và t n s của ánh sáng laser điều khi n. Vì vậy, ch ng ta có th chuy n chế độ lan truyền gi a ánh sáng nhanh và ánh sáng chậm bằng cách điều khi n cư ng độ hoặc t n s của trư ng laser điều khi n. Thứ , do phi tuyến Kerr có giá tr r t lớn nên nó có vai tr tăng cư ng đáng k vận t c nhóm ánh sáng trong môi trư ng EIT. Đặc bi t, ch ng ta có 83 th điều khi n các photon chuy n động nhanh hay chậm bằng cách thay đổi cư ng độ sáng của ch nh ch m laser d . Đ y ch nh là đi m khác bi t quan trọng của phi tuyến Kerr so với phi tuyến Kerr ch o đ đư c các công trình nghiên cứu trước đ y. Thứ ư, ảnh hư ng của m rộng Doppler lên vận t c nhóm của ánh sáng lan truyền trong môi trư ng EIT nhi t độ ph ng là đáng k . Khi nhi t độ tăng, biên độ của chiết su t nhóm giảm và do đó vận t c nhóm sẽ tăng. Luận án đ dẫn ra đư c bi u thức giải t ch mô tả chuy n động của ánh sáng đa t n s trong môi trư ng EIT khi có mặt phi tuyến Kerr và m rộng Doppler. Thông qua so sánh với các quan sát thực nghi m đ kh ng đ nh độ tin cậy cao của mô hình lý thuyết, đ ng th i khuyến ngh về vi c c n phải t nh đến ảnh hư ng của phi tuyến Kerr trong các môi trư ng EIT. Mặt khác, vi c x y dựng thành công mô hình giải t ch sẽ t o điều ki n thuận l i cho lựa chọn các thông s thực nghi m và tri n khai các nghiên cứu ứng dụng liên quan. Ngoài ra, nh c u hình k ch th ch ki u bậc thang nên ch ng ta có th lựa chọn các tr ng thái |3, |4 và |5 là các tr ng thái Rydberg có th i gian s ng c s . Khi đó, vận t c nhóm có th đư c điều khi n làm chậm đến giá tr c vài mm/s. Đ y là v n đề có ý ngh a lớn trong vi c t o ra ánh sáng siêu chậm (ultra-slow light). Các kết quả nghiên cứu ch nh trong luận án đ đư c đăng trên hai t p ch qu c tế có uy t n trong danh mục ISI (Journal Optical Society of America B và Optik). 84 CÁC CÔNG TR N K OA C TÁC GIẢ SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN [1]. N.T. Anh, L.V. Doai, N.H. Bang, “M i i g g ve i y f i- frequency light in a five-level cascade-type atomic medium associated with giant self-Ke i e i y”, JOSA B, Vol 35, No.6, pp.1233-1239 (2018). [2]. N.T. Anh, L.V. Doai, D.H. Son, and N.H. Bang, “M i i g i- frequency light in a five-level cascade EIT medium under Doppler e i g”, Optik 171 (2018), pp.721–727. [3]. N.T. Anh, L.T. Hiếu, T.T. Anh, L.V. Đoài, “Đi hiể v ố hó h s g hiệ ứ g g s ố ứ g điệ ừ g ôi ườ g g y ử 87R ứ ”, T p ch KH trư ng Đ i học Vinh, tập 46, s 2A, 2017, trang 21-30. CÁC CÔNG TR N K OA C TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ [1]. Le Van Doai, Le Thi Minh Phuong, Nguyen Tuan Anh, Doan Hoai Son, Dinh Xuan Khoa, Vu Ngoc Sau, and Nguyen Huy Bang, “A comparative study of optical bistability in three-level EIT configurations”, Communications in Physics, Vol.28, No.2 (2018), pp. 127-138. [2]. B.T.H. Hai, L.V. Doai, D.H. Son, D.X. Khoa, N.H. Bang, P.V. Trong, L.T.M. Phuong, N.T. Anh, “Electromagnetically induced transparency in the five-level scheme of cold Rb 85 i v ”, Communications in Physics, Vol.23, No.2 (2013), pp.163-170. [3]. H.T.T. L ch, N.T. Hoài, L.T.Y. Nga, M.V. Lưu, L.V. Đoài, N.L.T. An, N.T. Anh, T.D. Thanh, “S ư g giữ s g s ố ứ g điệ ừ 85 với độ g , điệ ổ điể ”, t p ch khoa học công ngh và thực phẩm trư ng ĐHCN TP Tp. HCM , s 6 2015, trang 1-10. [4]. L.T.M. Phương, P.V. Thuận, L.V. Đoài, N.T. Anh, Đ.X. Khoa, N.H. Bằng, “Đi hiể ạ hi s ấ ủ ôi ườ g hí g y ử R i hiệ ứ g g s ố ứ g điệ ừ”, T p ch KH trư ng ĐH Vinh, tập 42, s 2A, 2013, trang 56-63. 86 TÀI LIỆU T AM K ẢO [1] M. Fleischhauer, A. Imamoglu, and J.P. Marangos, “Electromagnetically induced transparency: Optics in coherent media”, Rev. Mod. Phys.77, 633(2005). [2] L.V. Hau, S. E. Harris, Z, Dutton, C.H. Bejroozi, “Light speed e i 17 e es e se i i g s”, Nature 397, 594 (1999). [3] M.M. Kash, V.A. Sautenkov, A.S. Zibrov, L. Hollberg, G.R. Welch, M.D. Lukin, Y. Rostovtsev, E.S. Fry, M.O. Scully, “Ultraslow group velocity and enhanced nonlinear optical effects in a coherently driven hot atomic gas”, Phys. Rev. Lett. 82, 229 (1999). [4] D. Budker, D.F. Kimball, S.M. Rochester, V.V. Yashchuk, “Nonlinear magneto-optics and reduced group velocity of light in atomic vapor with slow ground state relaxation”, Phys. Rev. Lett. 83, 1767 (1999). [5] D. F. Phillips, A. Fleischhauer, A. Mair, and R. L. Walsworth, “Storage of Light in Atomic Vapor”, Phys. Rev. Lett. 86, 783–786 (2001). [6] C. Liu, Z. Dutton, C. H. Behroozi, L. V. Hau, “Observation of coherent optical information storage in an atomic medium using halted light pulses”, Nature. 409, 490-493 (2001). [7]. Vineet Bharti, Vasant Natarajan, “S - and super-luminal light g i si g Ry e g s e”, Opt. Comm. 392 (2017) 180-184. [8]. M. J. Akram, M. M. Khan, and F. Saif, “T e f s s w igh i hy i e h i sys e ”, Phys. Rev. A 92 (2015) 023846. [9]. Q. Jang, Y. Zhang, D. Wang, S. Ahrens, J. Zhang and S. Zhu, “S e i ef e i s issi f igh ses vi es four-w ve ixi g i esi v ”, Opt. Exp. 24 (2016) 24451-24459. 87 [10]. K. Yadav, A. Wasan, “S i s e i igh gation in inverted-Y sys e wi h w ve e g h is hi g effe s”, Phys. Lett. A 381 (37) (2017) 3246-3253. [11] J Kim, S L Chuang, P C Ku and C J Chang-Hasnain, “Slow light using semiconductor quantum dots”, J. Phys.D: Condens. Matter 16 S3727 (2004). [12] D. Mori, S. Kubo, H. Sasaki, and T. Baba, “Experimental demonstration of wideband dispersion-compensated slow light by a chirped photonic crystal directional coupler”, Opt. Exp. 15, 5264 (2007). [13] P C Ku, C J Chang-Hasnain and S L Chuang, “Slow light in semiconductor heterostructures”, J. Phys. D: Appl. Phys. 40 R93 (2007). [14] J Mork, P Lunnemann, W Xue, Y Chen, P Kaer and T R Nielsen, “Slow and fast light in semiconductor waveguides”, Semicond. Sci. Technol. 25 083002 (2010). [15] Chad Husko, Pierre Colman, Sylvain Combrié, Alfredo De Rossi, and Chee ei ong, “Effect of multiphoton absorption and free carriers in slow-light photonic crystal waveguides”, Opt. Lett. 36 (2011) 2239-2241. [16] S. Evangelou, V. Yannopapas, and E. Paspalakis, “Transparency and slow light in a four-level quantum system near a plasmonic nanostructure”, Phys. Rev. A 86, 053811 (2012). [17] B.R. Lavoie, P.M. Leung, and B.C. Sanders, “Slow light with three-level atoms in metamaterial waveguides”, Phys. Rev. A88 (2013) 023860. [18] Agus Muhamad Hatta, Ali A. Kamli, Ola A. Al-Hagan and Sergey A. Moiseev, “Slow light with electromagnetically induced transparency in optical fibre”, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 48 (2015) 155502. [19] M. Fleischhauer and M. D. Lukin, “D -State Polaritons in E e g e i y I e T s e y”, Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 5094. 88 [20] M. D. Lukin, “C q i : T i g i i g h s es i i e se es”, Rev. Mod. Phys. 75 (2003) 457-472. [21] R. W. Boyd and D. J. Gauthier, “C i g he ve i y f igh ses”, Science 326 (2009) 1074-1077. [22] R. W. Boyd, “S w f s igh : f e s i i s”, J. Mod. Opt. 56 (2009) 1908–1915. [23] A. V. Turukhin, V. S. Sudarshanam, M. S. Shahriar, J. A. Musser, B. S. Ham, P. R. Hammer, “O se v i f s w s e igh ses i s i ”, Phys. Rev. Lett. 88, 023602 (2002). [24] K. Bencheikh, E. Baldit, S. Briaudeau, P. Monnier, J. A. Levenson, and G. Mélin, “S w igh g i i i g e ium- e fi e ”, Opt. Express 18 (25), 25642–25648 (2010). [25] L. J. Wang, A. Kuzmich, and A. Dogariu, “G i -assisted superluminal igh g i ”, Nature 406 (6793), 277–279 (2000). [26] E. E. Mikhailov, V. A. Sautenkov, I. Novikova, G. R. Welch, “L ge negative and positive delay of optical pulses in coherently prepared e se R v wi h ffe g s”, Phys. Rev. A 69, 063808 (2004). [27] E. E. Mikhailov, V. A. Sautenkov, Y. V. Rostovtsev, G.R. Welch, “A s i es e ge eg ive e ay in rubidium vapor wi h ffe g s”, J. Opt. Soc. Am. B 21, 425 (2004). [28] A. M Akulshin and R. J McLean, “F s igh i i e i ”, J. Opt. 12 (2010) 104001. [29] G. S. Agarwal, T. N. Dey, S. Menon, “K f h gi g igh propagation from s i s e i ”, Phys. Rev. A 64 (2001) 053809. [30] K. Kim, H. S. Moon, C. Lee, S. K. Kim, and J. B. Kim, “O se v i f arbitrary group velocities of light from superluminal to subluminal on a si g e i si i i e”, Phys. Rev. A 68 (1), 013810 (2003). 89 [31] H. Sun, H. Guo, Y. Bai, D. Han, S. Fan, X. Chen, “Ligh g i from subluminal to superluminal in a three- eve Λ- y e sys e ”, Phys. Lett. A 335 (2005) 68–75. [32] M. Mahmoudi, M. Sahrai, H. Tajalli, “S i s erluminal igh g i vi i e fe e e f i he e fie s”, Phys. Lett. A 357 (2006) 66–71. [33] I. H. Bae and H. S. Moon, “C i s f igh g ve i y from subluminal to superluminal propagation with a standing-wave coupling fie i R v e ”, Phys. Rev. A 83 (5), 053806 (2011). [34] K. Qian, L. Zhan, L. Zhang, Z. Q. Zhu, J. S. Peng, Z. C. Gu, X. Hu, S. Y. Luo, and Y. X. Xia, “G ve i y i i i ive fi e s using mutually modulated cross-gain modulation: from ultraslow to s e i g i ”, Opt. Lett. 36 (12), 2185–2187 (2011). [35] S. Dutta, “The i he e e: i f i g he probe response and dispersion in a three- eve Λ sys e i he ese e f spontaneously gene e he e e”, Phys. Scr. 83 (2011) 015401 (7pp). [36] E. Paspalakis and P. L. Knight, “Electromagnetically induced transparency and controlled group velocity in a multilevel system”, Phys. Rev. A., 66, 015802 (2002). [37] L. Li, H. Guo, F. Xiao, X. Peng, and X. Chen, “Control of light in an M-type five-level atomic system”, J. Opt. Soc. Am. B, Vol. 22, N.6 (2005) 1309-1313. [38] Dingan Han, Yaguang Zeng, Yanfeng Bai, Hui Cao, Weicheng Chen, Chunqing Huang, Hong Lu, “Controlling the group velocity in five- level K-type atomic system”, Opt. Comm. 281 (2008) 4712–4714. [39] J. Wang, L.B. Kong, X.H. Tu, K.J. Jiang, K. Li, H.W. Xiong, Yifu Zhu, M.S. Zhan, “Electromagnetically induced transparency in multi-level cascade scheme of cold rubidium atoms”, Phys. Lett. A 328, (2004) 437. 90 [40] K. Kowalski, V. Cao Long, H. Nguyen Viet, S. Gateva, M. Głodz, J. Szonert, “Simultaneous coupling of three hfs components in a cascade scheme of EIT in cold 85 Rb atoms”, Journal of Non-Crystalline Solids, 355 (2009) 1295. [41] L.V. Doai, P.V. Trong, D.X. Khoa, and N.H. Bang, “Electromagnetically induced transparency in five-level cascade scheme of 85 Rb atoms: An analytical approach”, Optik, 125, 3666–3669 (2014). [42] H. Schmidt, and A. Imamogdlu, “Giant Kerr nonlinearities obtained by electromagnetically induced transparency”, Opt. Lett., 21, 1936 (1996). [43] H. ang, D. Goorskey, and M.Xiao, “Enhanced Kerr nonlinearity via atomic coherence in a three-level atomic system”, Phys.Rev.Lett.,87, 073601(2001). [44] J. Gao, M. Xiao, and Y. Zhu, “Atomic coherence and its potential applications”, Bentham Science Publishers Ltd, 2009 . [45] D. X. Khoa, L. V. Doai, D. H. Son, and N. H. Bang, “Enhancement of self-Kerr nonlinearity via electromagnetically induced transparency in a five-level cascade system: an analytical approach,” J. Opt. Soc. Am. B., 31, N6 (2014) 1330. [46] D. X. Khoa, P. V. Trong, L. V. Doai and N. H. Bang, “Electromagnetically induced transparency in a five-level cascade system under Doppler broadening: an analytical approach”, Phys, Scr. 91 (2016) 035401. [47] Le Canh Trung, Dinh Xuan Khoa, Phan Van Thuan, Le Van Doai, Nguyen Huy Bang, “Me s e e f is e sive s ive properties of a Doppler broadened multi-wi w EIT i e i ”, Journal of Optical Society of America B, 33, No.04 (2016) 735-740. 91 [48] W. Boyd, J. Gauthier, L. Gaeta, E. Willner, “M xi i e e y achievable on propagation through a slow- igh e i ”, Physical review A. 71, 023801(2005). [49] E. Harris, E. Field and A. Kasapi, “Dispersive properties of e e g e i y i e s e y”, Physical review A, Vol 46, N.1, 1 July 1992. [50]. Steven Soter and Neil de Grasse Tyson, “C s i h iz s: s y he i g e ge”, the New Press. 2000, American Museum of Natural History. [51]. Poincaré, H. (Part 1, translated by F. K. V.); Vreeland, Frederick V. (Part 2) (1904). “Experiments of MM. Fizeau and Gounelle". Maxwell's Theory and Wireless Telegraphy”. McGraw Publishing, pp. 52–55. [52]. Bernard Jaffe, “Michelson he S ee f Ligh ”, (1960, reprinted 1979). [53]. Evenson et al., “Speed of Light from Direct Frequency and Wavelength Measurements of the Methane-Stabilized Laser”, Phys. Rev. Lett., Vol. 29 (19) (1972) 1346–49. [54] Robert W. Boyd, "Slow" and "fast" light, University of Rochester, Rochester, New York 14627 USA (2001). [55]. M. S. Bigelow, N. N. Lepeshkin and R. W. Boyd, “O se v i f U s w Ligh P g i i R y C ys R Te e e”, Phys. Rev. Lett, Vol. 90, N0. 11 (2003). [56]. V. S. Zapasski and G. G. Kozkov, Saturable Asorber, “C he e P i Os i i s S w igh ”, Optics and Spectroscopy Vol. 100, N0. 3 (2006). [57]. S. E. Harris, J. E. Field, A. Imamoglu, “Nonlinear optical processes using electromagnetically induced transparency”, Phys. Rev. Lett. 64, 1107 (1990). 92 [58]. L. Brillouin, “Uber die Fortpflanzung des Lichtes in dispergierenden Me ie ”,Annalen der Physik 349, 203–240 (1914). [59]. A. Sommerfeld, “Uber die Fortpflanzung des Lichtes in dispergierenden Medien”, Annalen der Physik 349, 177–202 (1914). [60]. J. Garrison, “S e i sig s: causal loop paradoxes revisited” Physics Letters A 245, 19–25 (1998). [61]. S. Zhang, J. Chen, C. Liu, M. Loy, G. Wong, and S. Du, “O i P e s of a Single Photon”, Physical Review Letters 106, 243602 (2011). [62]. M. D. Stenner, D. J. Gauthier, and M. A. Neifeld, “The s ee f information i ’f s - igh ’ i e i ”, Nature 425, 695–698 (2003). [63]. R. L. Smith, “The Ve i ies f Ligh ”, American Journal of Physics 38, 978(1970). [64]. M. Stenner, D. Gauthier, and M. Neifeld, “F s C s I f i Transmission in a Medium With a Slow Group Velocity”, Physical Review Letters 94,053902 (2005). [65]. R. . Boyd, “Nonlinear Optics 3rd”, Academic Press, 2008. [66]. C. Chang-Hasnain, P.-C. Ku, J. Kim, and S.-L. Chuang, “V i e optical buer using slow light in semiconductor nanostructures”, Proceedings of the IEEE, vol. 91, no. 11, pp. 1884–1897, 2003. [67]. R. Won, “S w igh w hen (Interview with Robert Boyd)”, Nature Photonics, vol. 2, no. 8, pp. 454–455, 2008. [68]. Z. Shi, R. W. Boyd, D. J. Gauthier, and C. C. Dudley, “E h i g he spectral sensitivity of interferometers using slow-light media”, Opt. Lett., vol. 32, no. 8, pp. 915–917, 2007. [69]. Z. Shi and R. W. Boyd, “S w-light interferometry: practical limitations to spectroscopic performance”, J. Opt. Soc. Am. B, vol. 25, no. 12, pp. C136–C143, 2008. 93 [70]. Z. Shi, R. W. Boyd, R. M. Camacho, P. K. Vudyasetu, and J. C. Howell, “S w-light Fourier transform interferometer”, Phys. Rev. Lett., vol. 99, no. 24, p. 240801, 2007. [71]. T. F. Krauss, “Why we ee s w igh ?”, Nature Photonics, vol. 2, no. 8, pp. 448–450, 2008. [72]. J. B. Khurgin and R. S. Tucker, Eds., “Slow Light: Science and Applications (Optical Science and Engineering)”, 1st ed. CRC Press, 2008. [73]. F. ¨Ohman, K. Yvind, and J. Mørk, “V ge-controlled slow light in an integrated semiconductor structure with net gain”, Opt. Express, vol. 14, no. 21, pp. 9955–9962, 2006. [74]. I. Frigyes and A. Seeds, “O i y ge e e e-time delay in phased-array antennas”, IEEE Trans. Microw. Theory Tech., vol. 43, no. 9, pp. 2378–2386, 1995. [75] Z. Dutton and L. V. Hau, “S i g essi g i i f i with ultraslow light in Bose-Ei s ei e s es”, Phys. Rev. A, vol. 70, no. 5, p. 053831, 2004. [76]. D. McGloin, D.J. Fullton, M.H. Dunn, “Electromagnetically induced transparency in N-level cascade schemes”, Opt. Comm. 190 (2001) 221. [77]. Markus Mack, Jens Grimmel, Florian Karlewski, Lőrinc Sárkány, Helge Hattermann, and József Fortágh, “A -optical measurement of Rydberg-s e ife i es”, Phys. Rev. A 92, 012517 (2015). [78]. Daniel Adam Steck, “Rb85 D Line Data”, [79]. J. Gea-Banacloche, Y.-Q Li, S.-Z. Jin, and M. Xiao, “Electromagnetically induced transparency in ladder-type inhomogeneously broadened media: Theory and experiment”, Phys. Rev. A 51 1995 576. [80]. Lê Văn Đoài, “Nghi ứ à h v ố hó h s g ằ g hiệ ứ g g s ố ứ g điệ ừ”, luận văn cao học, Trư ng ĐH Vinh, 2010. 94 [81]. Lê Văn Đoài, “Đi hiể hệ số hi y Ke ủ ôi ườ g hí g y ử 85R hiệ ứ g g s ố ứ g điệ ừ”, luận án tiến s , Trư ng ĐH Vinh, 2015. [82]. Ph m Văn Trọng, “Nghi ứ hiệ ứ g g s ố ứ g điệ ừ g hệ g y ử ă ứ ”, luận án tiến s , Trư ng ĐH Vinh, 2015. [83]. Lê Cảnh Trung, “Phổ hấ h và hổ sắ ủ ôi ườ g hí g y ử 85R hi ó ặ hiệ ứ g g s ố ứ g điệ ừ”, luận án tiến s , Trư ng ĐH Vinh, 2017.