Luận án Phương trình khuếch tán không cổ điển

Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu lớp phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn và miền không trụ trong trường hợp không ôtônôm, tức là khi ngoại lực g phụ thuộc vào cả biến không gian và thời gian. Luận án đã đạt được các kết quả sau: 1. Chứng minh được sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu, sự tồn tại của tập hút đều, tính nửa liên tục trên của tập hút đều tại ε = 0 đối với phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không bị chặn RN, trong cả hai trường hợp là số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev, và số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức. 2. Chứng minh được tính bị chặn đều và sự hội tụ của tập hút đều của phương trình khuếch tán không cổ điển với số hạng phi tuyến tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev và ngoại lực dao động kì dị. 3. Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm biến phân và sự tồn tại tập hút lùi của phương trình khuếch tán không cổ điển trong miền không trụ khi số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu Sobolev.

pdf114 trang | Chia sẻ: tueminh09 | Ngày: 21/01/2022 | Lượt xem: 491 | Lượt tải: 3download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận án Phương trình khuếch tán không cổ điển, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
n kUn(tn; )xnk2L2(BcK ) <  4 ; 8n  N; (3.50) vîiBcK = fx 2 RN : jxj > Kg. M°t kh¡c, bði M»nh · 3.1, d¢y fUn(tn; )xng bà ch°n trong H1(Bk ). Do ph²p nhóng H 1(BK ) ,! L2(BK ) l  compact n¶n fUn(tn; )xng ÷ñc phõ bði húu h¤n c¡c h¼nh c¦u câ b¡n k½nh nhä hìn 4 trong L2(BK ). Tø k¸t qu£ tr¶n v  (3.50), tçn t¤i mët hå húu h¤n c¡c h¼nh c¦u vîi b¡n k½nh  phõ fUn(tn; )xng. Tø ¥y, ta nhªn sü tçn t¤i cõa mët tªp (H1(RN )\ Lp(RN ); L2(RN ))-hót ·u A2. C§u tróc cõa tªp hót ·u A2 ÷ñc suy ra tø ành l½ 1.1. 3.3.2. Sü tçn t¤i cõa tªp H1(RN ) \ Lp(RN ); Lp(RN )-hót ·u º chùng minh sü tçn t¤i cõa tªp H1(RN ) \ Lp(RN ); Lp(RN )- v  (H1(RN )\ Lp(RN );H1(RN ) \ Lp(RN ))-hót ·u, ta c¦n gi£ thi¸t h m ngo¤i lüc g thäa m¢n i·u ki»n m¤nh hìn nh÷ sau. (G2) g 2 L1(R;L2(RN )); @tg 2 L2b(R;L2(RN )) v  lim k!+1 sup t2R Z t+1 t Z jxjk jg(s; x)j2dxds = 0: D¹ th§y n¸u g 2 L1(R;L2(RN )) th¼ g 2 L2b R;L2(RN )  . V¼ vªy, måi ¡nh gi¡ trong ph¦n tr÷îc v¨n óng khi g thäa m¢n (G2). Tø ¥y, ta th§y r¬ng  2 L1 R;L2(RN ) vîi måi  2 Hw(g): (3.51) Tø b¥y gií, º ng­n gån ta s³ sû döng k½ hi»u () = fx 2 RN :  l  óng g; vîi  l  mët i·u ki»n logic; v  kk1 = kkL1(R;L2(RN )) vîi måi  2 Hw(g): 75 Bê · 3.4. Vîi b§t k¼  2 R, b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN ) \ Lp(RN ) v   > 0, tçn t¤i T v  M0 sao cho mes( (jU(t; )u j M))  ; vîi måi t > T;M > M0; u 2 B v   2 Hw(g); (3.52) vîi mes(G) l  ë o Lebesgue cõa tªp G trong RN . Chùng minh. Tø (3.33) ta th§y r¬ng, vîi b§t k¼ t  T1, u 2 B v   2 Hw(g), ta câ 0  Z RN jU(t; )u j2  Z (jU(t;)u jM) jU(t; )u j2 M2mes( (jU(t; )u j M)): Do â ta thu ÷ñc (3.52) khi chån T = T1 v  M0 =  0  1=2 . Bê · 3.5. Vîi b§t k¼  2 R, b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN ) \ Lp(RN ) v   > 0, tçn t¤i T >  v  M0 > 0 sao choZ (jujM) (juM j2+"jruj2)  ; vîi måi t > T; u 2 B;M M0 v   2 Hw(g): Chùng minh. K½ hi»u (uM)+ = 8<:uM n¸u u M0 n¸u u M; v  M = (u  M). Nh¥n (3.1) vîi (u M)+ v  l§y t½ch ph¥n tr¶n RN , ta ÷ñc 1 2 d dt Z M (juM j2 + "jruj2) + Z M jruj2 + Z M f(x; u)(uM) +  Z M u(uM) = Z M (t)(uM): (3.53) 76 Sû döng gi£ thi¸t (3.2)-(3.3), u M trong M v  b§t ¯ng thùc Young, ta câZ M f(x; u)(uM)dx = Z M f(x; u)udx Z M f(x; u)Mdx  Z M [ 1u p 1(x)]M Z M  2u p1 + 2(x)   Z M [ 1u p 1(x)]M Z M 2u p1 Z M 2(x)u  1 2 Z M up Z M 1(x) C1 Z M 2(x) p0 C2mes( M ): (3.54) Tø b§t ¯ng thùc Cauchy v  gi£ thi¸t (3.51), ta ÷ñcZ M (t)(uM)  kk 2 1 2 mes ( M )) +  2 Z M juM j2: (3.55) Tø nhúng ¡nh gi¡ (3.53)-(3.55) v  R M u(u M)  R M ju M j2, ta nhªn ÷ñc d dt Z M (juM j2 + "jruj2) +  Z M (juM j2 + "jruj2)  C  mes ( M ) + Z M 1(x) + Z M 2(x) p0  : V¼ vªy, ¡p döng b§t ¯ng thùc Gronwall ta thu ÷ñcZ M (ju(t)M j2 + "jru(t)j2) e(t)(ku Mk2 + "kruk2) + C  mes ( M ) + Z M 1(x) + Z M 2(x) p0  : Sû döng Bê · 3.4, gi£ thi¸t 1 2 L1(RN ), 2 2 Lp0(RN ) v  u thuëc tªp bà ch°n B, ta ÷ñcZ M (juM j2 + "jruj2)  ; khi t v  M õ lîn: (3.56) L°p l¤i nhúng bi¸n êi nh÷ tr¶n v  thay (uM)+ bði (u+M), vîi (u+M) = 8<:u+M n¸u u  M0 n¸u u  M; ta ÷ñc Z (uM) ((u+M)2 + "jruj2)  ; (3.57) 77 khi t v  M õ lîn. K¸t hñp (3.56) v  (3.57) ta thu ÷ñc i·u ph£i chùng minh. º chùng minh sü tçn t¤i tªp hót ·u trong Lp( ), ta s³ sû döng k¸t qu£ sau. Bê · 3.6. [33] Gi£ sû p  2 v  fU(t; )g2Hw(g) l  mët hå qu¡ tr¼nh thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) fU(t;)g2Hw(g) câ mët tªp (H1(RN ) \ Lp(RN ); L2(RN ))-hót ·u; (ii) fU(t; )g2Hw(g) câ mët tªp (H1(RN )\Lp(RN ); Lp(RN ))-h§p thö ·u; (iii) vîi b§t k¼  > 0 v  b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN )\Lp(RN ), tçn t¤i M v  T sao choZ (jU(t;)u jM) jU(t; )u jp  C vîi måi u 2 B; t  T v   2 Hw(g); vîi C l  h¬ng sè ëc lªp vîi ; u ; t v  . Khi â hå qu¡ tr¼nh fU(t; )g2Hw(g) câ mët tªp (H1(RN )\Lp(RN ); Lp(RN ))- hót ·u. ành l½ 3.3. Gi£ sû r¬ng f thäa m¢n gi£ thi¸t (F2) v  g thäa m¢n gi£ thi¸t (G2). Khi â, hå c¡c qu¡ tr¼nh fU(t; )g2Hw(g) cõa b i to¡n (3.1) câ mët tªp (H1(RN ) \ Lp(RN ); Lp(RN ))-hót ·u Ap, v  Ap = [ 2Hw(g) K(s); vîi måi s 2 R: Chùng minh. Tø M»nh · 3.1, ành l½ 3.2 v  Bê · 3.6, ta ch¿ c¦n chùng minh cho, vîi b§t k¼  > 0 v  b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN ) \ Lp(RN ), tçn t¤i M > 0 v  T   sao cho Z (ju(t)jM) ju(t)jp  C; (3.58) vîi måi t  T; u 2 B v   2 Hw(g). Trong â, vîi b§t k¼  2 Hw(g), ta coi (uM)+ nh÷ mët h m thû v  nh¥n v o ph÷ìng tr¼nh (3.1), ta câ Z M ut(uM)+" Z M rutru+ Z M jruj2+ Z M f(x; u)(uM) = Z M (t)(uM): 78 Sû döng ¡nh gi¡ (3.54) ta ÷ñc 1 2 Z (uM) ju(t)jp  Z M jutjjuM j+ " Z M jrutjjruj+ Z M j(t)jjuM j + Z M 1(x) + C1 Z M 2(x) p0 + C2mes( M )  kut(t)k Z M juM j2 1=2 + "krut(t)k Z M jruj2 1=2 + kk1 Z M juM j2 1=2 + Z M 1(x) + C1 Z M 2(x) p0 + C2mes( M ): Tø Bê · 3.2 ta suy ra r¬ngZ (uM) ju(t)jp C Z M juM j2 1=2 + Z M jruj2 1=2 + Z M 1(x) + Z M 2(x) p0 +mes( M )  khi t õ lîn. Do 1 2 L1(RN ) v  2 2 Lp0(RN ), ta câZ M 1(x) + Z M 2(x) p0 <  n¸u M õ lîn. Tø Bê · 3.4 v  Bê · 3.5, suy ra, tçn t¤i T0 v  M0 sao choZ (u(t)M) ju(t)jp  C vîi måi t  T0; u 2 B;  2 Hw(g) v M M0. Thay (uM)+ b¬ng (u+M), sau â ¡nh gi¡ v  bi¸n êi t÷ìng tü nh÷ tr¶n, ta công nhªn ÷ñc k¸t qu£Z (u(t)M) ju(t)jp  C: Khi â ta ÷ñc (3.58) v  ành l½ ÷ñc chùng minh. 3.3.3. Sü tçn t¤i cõa tªp (H1(RN ) \ Lp(RN );H1(RN ) \ Lp(RN ))-hót ·u º chùng minh t½nh compact ti»m cªn ·u cõa hå qu¡ tr¼nh fU(t; )g2Hw(g), ta sû döng Bê · 2.4 v  bê · sau. 79 Bê · 3.7. Gi£ sû r¬ng 2  q <1 v  fU(t; )g2 câ mët tªp (H1(RN ) \ Lp(RN ); Lq(RN ))-hót ·u. Khi â, vîi b§t k¼  > 0,  2 R v  b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN ) \ Lp(RN ), tçn t¤i T   v  m0 2 N sao choZ RN j(I Pm)U(t; )u jq  C; vîi b§t k¼ t  T; u 2 B;m  m0;  2 ; trong â Pm l  ph²p chi¸u ch½nh t­c tø Lq(RN ) v o khæng gian con mchi·u. Chùng minh. Gi£ sû A l  tªp (H1(RN )\Lp(RN ); Lq(RN ))-hót ·u cõa hå c¡c qu¡ tr¼nh fU(t; )g2. Khi â, vîi b§t k¼  > 0,  2 R v  b§t k¼ tªp bà ch°n B  H1(RN ) \ Lp(RN ), tçn t¤i T0 sao cho[ tT0 [ 2 U(t; )B  NLq (A; ); vîi NLq (A; ) l  mët -l¥n cªn cõa A trong Lq(RN ). Do A l  tªp compact trong Lq(RN ), tçn t¤i n 2 N v  vi 2 Lq(RN ); i = 1; : : : ; n, sao cho[ tT0 [ 2 U(t; )B  n[ i=1 NLq (vi; ): Vîi méi vi câ mët mi sao choZ RN j(I Pm)vijq   vîi måi m  mi: L§y m0 = maxfm1; : : : ;mng. K½ hi»u Qm0 = I Pm0 , ¡nh gi¡ t÷ìng tü nh÷ (2.3.3.) trong Bê · 2.5, ta thu ÷ñc Vîi b§t k¼ t  T0, u 2 B, v  b§t k¼  2 Hw(g) tçn t¤i vi sao choZ RN jQm0U(t; )u jq  2q(Cq + 1); vîi Cq ch¿ phö thuëc q. Bê · ÷ñc chùng minh. B¥y gií, ta s³ chùng minh k¸t qu£ ch½nh cõa ph¦n n y. ành l½ 3.4. Gi£ sû c¡c i·u ki»n (F2) v  (G2) ÷ñc thäa m¢n. Khi â, hå c¡c qu¡ tr¼nh fU(t; )g2Hw(g) li¶n k¸t b i to¡n (3.1) câ tªp (H1(RN ) \ Lp(RN );H1(RN ) \ Lp(RN ))-hót ·u AHw(g). Hìn núa, AHw(g) = [ 2Hw(g) K(s);8s 2 R: 80 Chùng minh. Do H1(RN ) l  t¡ch ÷ñc, ta câ thº chån tªp fw1; w2; : : :g l  mët cì sð trüc giao trong c£ hai khæng gian L2(RN ) v  H1(RN ). Gi£ sû Hm = spanfw1; w2; : : : ; wmg, Pm l  ph²p chi¸u ch½nh t­c tr¶n Hm v  I l  ¡nh x¤ çng nh§t. Khi â, vîi b§t k¼ u 2 H1(RN ), u tçn t¤i duy nh§t mët c¡ch t¡ch: u = u1 + u2, vîi u1 = Pmu 2 Hm v  u2 = (I Pm)u. Gi£ sû  l  h¬ng sè d÷ìng tòy þ, ta coi u2 nh÷ mët h m thû, nh¥n u2 vîi (3.1), ta ÷ñc 1 2 d dt ku2k2 + "kru2k2+ kru2k2 + Z RN f(x; u)u2 + ku2k2 = Z RN (t)u2; v¼ vªy, d dt ku2k2 + "kru2k2+ 2kru2k2 + 2ku2k2  2kf(x; u)kLp0 (RN )ku2kLp(RN ) + 2k(t)kku2k: (3.59) Sû döng gi£ thi¸t (3.3), ta ÷ñc jf(x; u)jp0  C(jujp+ 2(x)p0), khi â tø M»nh · 3.1 suy ra kf(; u)kLp0 (RN ) bà ch°n vîi t õ lîn. Vªy fU(t; )g2 câ tªp (H1(RN ) \ Lp(RN ); L2(RN )) v  (H1(RN ) \ Lp(RN ); Lp(RN ))-hót ·u. Theo Bê · 3.7 ta ÷ñc m sao cho ku2k <  v  ku2kLp( ) < ; vîi måi m  m: (3.60) Tø (3.59) v  (3.60) ta ÷ñc d dt ku2k2 + "kru2k2+  ku2k2 + "kru2k2  C + kk1; n¶n ku2k2 + "kru2k2  e(tT ) ku(T )k2 + "kru(T )k2+ C + kk1: V¼ vªy, ta x¡c ành ÷ñc t  ;m0 2 N, sao cho ku2k2 + "kru2k2  C; vîi b§t k¼ t  t; u 2 B v  m  m0. i·u tr¶n câ ngh¾a, fU(t; )g2 thäa m¢n i·u ki»n (ii) trong Bê · 2.4. i·u ki»n (i) hiºn nhi¶n thäa m¢n khi S 2 S tt U(t; )B l  bà ch°n v  Pm l  ph²p chi¸u bà ch°n vîi b§t k¼ m. Khi â, vîi Bê · 2.4, ta th§y r¬ng fU(t; )g2Hw(g) l  (H1(RN ) \ Lp(RN );H1(RN )) -compact ti»m cªn ·u. Tø nhúng i·u tr¶n còng vîi sü tçn t¤i cõa tªp (H1(RN ) \ Lp(RN ); Lp(RN ))-hót ·u, ta thu ÷ñc sü tçn t¤i cõa tªp (H1(RN )\Lp(RN );H1(RN )\Lp(RN ))-hót ·u AHw(g). C§u tróc cõa tªp AHw(g) ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø ành l½ 1.1. 81 3.4. TNH NÛA LI–N TÖC TR–N CÕA TŠP HÓT —U T„I " = 0 Tr÷îc h¸t chó þ r¬ng sü tçn t¤i tªp hót ·u trong khæng gianH1(RN )\Lp(RN ) cõa ph÷ìng tr¼nh ph£n ùng-khu¸ch t¡n cê iºn, tùc l  ph÷ìng tr¼nh (3.1) khi " = 0, ÷ñc chùng minh g¦n ¥y bði T.Q. Bao trong [6]. Trong ph¦n n y, chóng ta k½ hi»u fU"(t; )g l  hå c¡c qu¡ tr¼nh cõa b i to¡n (3.1) ùng vîi sè h¤ng "ut v  ngo¤i lüc . Bê · 3.8. Gi£ sû f'ng l  d¢y bà ch°n trong H1(RN ) \ Lp(RN ), fng  Hw(g), v  f"ng  [0; 1] thäa m¢n 'n * ' trong H1(RN ) \ Lp(RN ); (3.61) n *  trong Hw(g); (3.62) v  "n ! 0 khi n ! +1. Khi â, vîi måi t   , tçn t¤i d¢y con fjg cõa fng sao cho U"jj (t; )'j ! U0(t; )' trong L2(RN ): (3.63) Chùng minh. K½ hi»u un(t) = Un(t; )'n, ta ÷ñc @tun "n@tun un + f(x; un) + un = n(t): (3.64) Nh¥n ph÷ìng tr¼nh (3.64) vîi un + @tun, l§y t½ch ph¥n tr¶n RN , ¡p döng b§t ¯ng thùc Holder v  b§t ¯ng thùc Cauchy, ta ÷ñc d dt  (+ 1)kunk2 + ("n + 1)krunk2 + 2 Z RN F (x; un)dx  + 2krunk2 + 2kunk2 + k@tunk2 + 2"kr@tunk2 + 2 Z RN f(x; un)undx   1 + 1   kn(t)k2: (3.65) L§y t½ch ph¥n tø  tîi t hai v¸ cõa (3.65), sau â sû döng gi£ thi¸t (3.2), (3.5) 82 v  un() = 'n, ta câ (+ 1)kun(t)k2 + krun(t)k2 + 3kun(t)kpLp(RN ) + 2 Z t  krunk2 +  Z t  kunk2 + 2"n Z t  kr@tunk2  (+ 1)k'nk2 + 2kr'nk2 + 2 4k'nkpLp(RN ) + 2k 4kL1(RN ) + 2(t )k 1kL1(RN ) +  1 + 1  Z t  kn(s)k2: (3.66) Tø (3.61) v  (3.62) suy ra v¸ ph£i cõa (3.66) bà ch°n bði mët h¬ng sè C khæng phö thuëc v o n. V¼ vªy, tø (3.66) ta ÷ñc fun(t)g bà ch°n trong H1(RN ) \ Lp(RN ): V¼ vªy, tçn t¤i mët h m v0 2 L2(RN ) sao cho un(t) * v0 y¸u trong L2(RN ) (theo d¢y con). Vîi méi m > 0, ta k½ hi»u Bm l  h¼nh c¦u câ t¥m l  gèc tåa ë vîi b¡n k½nh m. L§y b§t k¼ 2 L2(Bm), ta °t  (x) = (x) vîi måi x 2 Bm v   (x) = 0 vîi måi x > m. Tø ¥y, d¹ d ng th§y r¬ng  2 L2(RN ) v  (un(t); )L2(Bm) = (un(t);  )L2(RN ) ! (v0;  )L2(RN ) = (v0; )L2(Bm): Tø â suy ra un(t) * v0 trong L2(Bm) vîi måi m > 0. M°t kh¡c, vîi m > 0, fun(t)g l  bà ch°n trong H1(Bm), khi â H1(Bm) ,! L2(Bm) l  nhóng compact, ta th§y r¬ng fun(t)g l  compact t÷ìng èi trong L2(Bm). Vªy, ta câ thº chån d¢y con fjg cõa fng sao cho uj(t) ! vm l  hëi tö m¤nh trong L2(Bm), vîi vm 2 L2(Bm). Tø t½nh duy nh§t cõa giîi h¤n y¸u, ta thu ÷ñc k¸t luªn uj(t)! v0 l  hëi tö m¤nh trong L2(Bm) vîi måi m > 0: (3.67) Ta s³ chùng minh cho uj(t)! v0 trong L2(RN ). Trong â, ta câZ RN juj(t) v0j2  Z Bm juj(t) v0j2 + 2 Z Bcm juj(t)j2 + 2 Z Bcm jv0j2; (3.68) vîi Bcm = fx 2 RN : jxj > mg. B¥y gií ta s³ ¡nh gi¡ cho tøng sè h¤ng ð v¸ ph£i cõa (3.68). ¦u ti¶n, tø (3.67) ta câ Z Bm juj(t) v0j2 ! 0 khi n! +1: 83 Ti¸p theo, sû döng ¡nh gi¡ trong Bê · 3.3, ta d¹ d ng thu ÷ñcZ Bcm juj(t)j2  e(t) Z Bcm (j'j j2 + jr'j j2) + C Z t  Z Bcm jj(s)j2 + C Z Bcm j 1(x)j+ C m Z t  kuj(s)k2 + kruj(s)k2 + "2jkr@tujk2 : (3.69) p döng (3.61), (3.62) v  (3.66) trong (3.69), ta thu ÷ñcZ Bcm juj(t)j2 ! 0 khi n;m! +1: (3.70) V¼ v0 2 L2(RN ), Z Bcm jv0j2 ! 0 khi m! +1: (3.71) Tø (3.68)-(3.71), suy ra uj(t)! v0 trong L2(RN ) khi n! +1: (3.72) M°t kh¡c, ¡nh gi¡ nh÷ trong Bê · 3.1, ta câ U"jj (t; )'j * U 0 (t; )' trong H 1(RN ) \ Lp(RN ): (3.73) Tø (3.72) v  (3.73) ta thu ÷ñc (3.63). ành l½ 3.5. Gi£ sû f thäa m¢n gi£ thi¸t (F2) v  g thäa m¢n gi£ thi¸t (G2). Khi â, hå c¡c tªp hót ·u fA"g"2[0;1] l  nûa li¶n töc tr¶n trong L2(RN ) t¤i " = 0, tùc l , lim "!0+ distL2(RN ) (A";A0) = 0: Chùng minh. Gi£ sû r¬ng distL2(RN )(A";A0) 6! 0 khi " ! 0. Khi â, tçn t¤i  > 0 sao cho lim sup "!0 distL2(RN )(A";A0)  : Tø t½nh ch§t, A" l  tªp compact vîi b§t k¼ " 2 [0; 1], ta câ thº chån mët d¢y "n; "n ! 0 khi n! +1 v  n 2 A"n thäa m¢n distL2(RN ) ( n;A0)   vîi måi n  1: (3.74) 84 Tø M»nh · 3.1 v  ành l½ 1.1 ta th§y r¬ng tªp A = S "2(0;1]A" l  bà ch°n v  khi â, vîi t½nh ch§t hót ·u cõa A0, chóng ta câ thº chån t õ lîn sao cho distL2(RN ) U0(t; 0)A;A0    2 ; vîi måi  2 Hw(g): (3.75) Tø ành l½ 3.2, ta câ A"n = [ 2Hw(g) K"n (t); v¼ vªy, do n 2 A"n , tçn t¤i n 2 Hw(g) sao cho n 2 K"nn(t). Tø ành ngh¾a cõa K"nn , ta thu ÷ñc 'n 2 K"nn(0) thäa m¢n n = U"nn (t; 0)'n. Do f'ng  S n1K"nn(0) bà ch°n trong H1(RN )\Lp(RN ), Hw(g) l  compact y¸u v  limn!+1 "n = 0, n¶n ta thu ÷ñc mët d¢y con fmg  fng sao cho 'm * ' trong H1(RN ) \ Lp(RN ); m * 0 trong L2(; t;L2(RN )); v  "m ! 0 khi m! +1. Tø ¥y, ¡p döng Bê · 3.8, suy ra m ! U00(t; 0)' 2 U00(t; 0)A: Do â (3.74) v  (3.75) m¥u thu¨n vîi nhau. ành l½ ÷ñc chùng minh. K˜T LUŠN CH×ÌNG 3 Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu b i to¡n Cauchy èi vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng bà ch°n RN , vîi sè h¤ng phi tuy¸n thäa m¢n i·u ki»n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu a thùc. C¡c k¸t qu£ ch½nh ¤t ÷ñc l : 1) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i duy nh§t cõa nghi»m y¸u (ành l½ 3.1). 2) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i tªp hót ·u A" trong khæng gian H1(RN )\ Lp(RN ) (ành l½ 3.4). 3) Chùng minh ÷ñc t½nh nûa li¶n töc tr¶n cõa tªp hót ·u t¤i " = 0 (ành l½ 3.5). Chó þ r¬ng c¡c k¸t qu£ trong ch÷ìng n y v¨n óng n¸u ta thay RN b¬ng mi·n tòy þ trong RN (vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet thu¦n nh§t tr¶n @ ). Ch÷ìng 4 PH×ÌNG TRœNH KHU˜CH TN KHÆNG CÊ IšN TRONG MI—N KHÆNG TRÖ VÎI SÈ H„NG PHI TUY˜N T‹NG TR×ÐNG V€ TI–U HAO KIšU SOBOLEV Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  d¡ng i»u ti»m cªn nghi»m cõa b i to¡n bi¶n ban ¦u èi vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng trö vîi sè h¤ng phi tuy¸n thäa m¢n i·u ki»n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu Sobolev, ngo¤i lüc câ thº phö thuëc v o thíi gian. Sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n ÷ñc chùng minh b¬ng ph÷ìng ph¡p penalty cõa J.L. Lions [25]. Sau â, sû döng ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m k¸t hñp vîi ph²p nhóng compact, chóng tæi chùng minh sü tçn t¤i tªp hót lòi cõa qu¡ tr¼nh sinh bði b i to¡n. Chó þ r¬ng do c¡c thi¸t di»n t thay êi theo thíi gian t, b i to¡n l  khæng ætænæm ngay c£ khi ngo¤i lüc khæng phö thuëc v o thíi gian v  c¡c khæng gian h m chùa gi¡ trà cõa nghi»m t¤i thíi iºm t s³ thay êi theo t. ¥y công ch½nh l  kh¡c bi»t cì b£n khi x²t b i to¡n trong mi·n trö v  mi·n khæng trö, v  i·u n y d¨n ¸n nhúng khâ kh«n lîn khi nghi¶n cùu. Nâi ri¶ng, º nghi¶n cùu d¡ng i»u ti»m cªn nghi»m cõa b i to¡n, chóng tæi ph£i sû döng l½ thuy¸t tªp hót lòi trong [20], chù khæng dòng ÷ñc l½ thuy¸t tªp hót ·u nh÷ trong c¡c ch÷ìng tr÷îc. Nëi dung cõa ch÷ìng n y düa tr¶n c¡c b i b¡o [4] trong Danh möc cæng tr¼nh khoa håc cõa t¡c gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n. 4.1. T B€I TON Cho f tgt2R l  hå nhúng tªp con mð bà ch°n cõa RN sao cho s < t) s  t: 85 86 K½ hi»u Q;T := [ t2(;T ) t  ftg; Q := [ t2(;1) t  ftg; ;T := [ t2(;T ) @ t  ftg;  := [ t2(;1) @ t  ftg: Trong ch÷ìng n y, chóng tæi nghi¶n cùu sü tçn t¤i v  d¡ng i»u ti»m cªn nghi»m cõa b i to¡n sau ¥y:8>>>>>>>: ut ut u+ f(u) = g(t; x) trong Q ; u = 0 tr¶n  ; ujt= = u tr¶n  ; (4.1) vîi u 2 H10 (  ) cho tr÷îc, h m phi tuy¸n f v  ngo¤i lüc g thäa m¢n c¡c gi£ thi¸t sau: (F3) f 2 C1(R;R) thäa m¢n f 0(u)  `; (4.2) jf (u)j  C (1 + juj) ; (4.3) lim inf juj!1 uf (u) F (u) u2  0; (4.4) lim inf juj!1 F (u) u2  0; (4.5) vîi 0 <   N+2N2 , ` v   l  hai h¬ng sè d÷ìng v  F (u) = R u 0 f (s)ds l  mët nguy¶n h m cõa f ; (G3) g 2 L2loc(RN+1). Trong ch÷ìng n y, º ng­n gån, ta sû döng c¡c k½ hi»u d÷îi ¥y:  Hr := L2( r), câ t½ch væ h÷îng (:; :)r v  chu©n j:jr, ùng vîi méi r 2 R.  Vr := H10 ( r), câ t½ch væ h÷îng ((:; :))r v  chu©n k:kr, ùng vîi méi r 2 R. Tø gi£ thi¸t cõa f tgt2R l  mi·n khæng gi£m, suy ra Vs  Vt khi s < t; v  fVtgt2[;T ] câ thº coi l  hå c¡c khæng gian con âng cõa khæng gian VT vîi méi T >  . 87  Hr l  èi ng¨u cõa Hr. Khæng gian Vr ÷ñc xem nh÷ khæng gian con cõa Hr , vîi méi v 2 Vr x¡c ành mët ph¦n tû fv 2 Hr ành ngh¾a bði fv(h) = (v; h)r; h 2 Hr:  V r l  èi ng¨u cõa Vr v  h:; :i k½ hi»u l  t½ch èi ng¨u cõa hai khæng gian n y. 4.2. SÜ TÇN T„I V€ DUY NH‡T NGHI›M BI˜N PH…N Trong ph¦n n y, sû döng ph÷ìng ph¡p penalty cõa J.L Lions, chóng ta s³ chùng minh sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.1). Ph÷ìng ph¡p penalty. º nghi¶n cùu b i to¡n (4.1), vîi méi T >  , chóng ta x²t b i to¡n phö sau: ut ut u+ f(u) = g(t; x) trong Q;T ; u = 0 tr¶n ;T ; ujt= = u (x); x 2  ; (4.6) vîi  2 R; u :  ! R v  g : Q ! R l  h m cho tr÷îc. Cè ành T >  v  vîi méi t 2 [; T ] k½ hi»u V ?t := fv 2 VT : ((v; w))T = 0;8w 2 Vtg l  khæng gian con trüc giao cõa Vt, vîi t½ch væ h÷îng trong VT v  vîi P (t) 2 L(VT ) l  to¡n tû chi¸u trüc giao, i tø khæng gian VT v o V ?t , ÷ñc ành ngh¾a P (t)v 2 V ?t ; v P (t)v 2 Vt; vîi méi v 2 VT . Cuèi còng, k½ hi»u P (t) = P (T ) vîi måi t > T v  P (T ) l  ph¦n tû khæng cõa L(VT ). 88 B¥y gií ta s³ x§p x¿ P (t) b¬ng nhúng to¡n tû ch½nh quy hìn theo thíi gian. X²t hå p(t; :; :) c¡c ¡nh x¤ song tuy¸n t½nh èi xùng tr¶n VT ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: p(t; v; w) := ((P (t)v; w))T ; 8v; w 2 VT ;8t  : Ta chùng minh ÷ñc r¬ng t 7! p(t; v; w) 2 R l  o ÷ñc vîi måi v; w 2 VT . Hìn núa, jp(t; v; w)j  kvkT kwkT . Vîi méi k  1 v  t   , ta ành ngh¾a pk(t; v; w) := k Z 1=k 0 p(t+ r; v; w)dr; 8v; w 2 VT ; 8t  ; v  k½ hi»u Pk(t) 2 L(VT ) l  to¡n tû li¶n k¸t ÷ñc ành ngh¾a bði ((Pk(t)v; w)) := pk(t; v; w); 8v; w 2 VT ; 8t  : Bê · 4.1. [7, 20] Cho b§t k¼ sè nguy¶n 1  h  k, t   , v  vîi måi v; w 2 VT ;, ta câ pk(t; v; w) = pk(t;w; v); 0  ph(t; v; v)  pk(t; v; v)  p(t; v; v) = kP (t)vk2T  kvk2T ; p0k(t; v; v) := d dt pk(t; v; v)  k(p(t+ 1=k; v; v) p(t; v; v))  0; ((Pk(t)v; z))T = 0; 8z 2 Vt: Hìn núa, vîi måi d¢y fvkg  L2(; T ;VT ) hëi tö y¸u tîi v trong L2(; T ;VT ), lim inf k!+1 Z T  pk(t; vk(t); vk(t))dt  Z T  p(t; v(t); v(t))dt: Gi£ sû J : VT ! V T l  ¯ng c§u Riesz, ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau hJv;wiT := ((v; w))T ; 8v; w 2 VT ; v  méi sè nguy¶n k  1 v  méi t 2 [; T ], k½ hi»u Ak(t) := + kJPk(t): Khi â, Ak(t) 2 L(VT ; V T ); t 2 [; T ], l  mët hå c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh èi xùng sao cho ¡nh x¤ t 2 [; T ] ! Ak(t) 2 L(VT ; V T ) l  o ÷ñc, bà ch°n v  thäa m¢n hAk(t)v; viT  kvk2T 8v 2 VT ; 8t 2 [; T ]: 89 Gi£ sû u 2 VT l  cho tr÷îc v  vîi méi k  1, ta x²t b i to¡n (u0k(t); v)T + hAk(t)uk(t); viT + hAk(t)u0k(t); viT + (f(uk(t)); v)T = (g(t); v)T ; 8v 2 VT ; ((uk(); v))T = ((u ; v))T : (4.7) Þ t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p penalty nh÷ sau: Vîi méi k  1, sû döng ph÷ìng ph¡p Galerkin, chùng minh b i to¡n (4.7) (b i to¡n trong mi·n trö) câ nghi»m uk. Sau â, ta chùng minh d¢y uk hëi tö ¸n mët nghi»m cõa b i to¡n (4.6) (b i to¡n trong mi·n khæng trö). Tø ¥y, ta thu ÷ñc k¸t qu£ v· sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n (4.1). Ta s³ tr¼nh b y chùng minh chi ti¸t ð ph¦n ti¸p theo. Tr÷îc khi chùng minh sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n (4.1), ta ành ngh¾a kh¡i ni»m nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.1). Vîi méi T >  , k½ hi»u eQ;T := T  (; T ); U;T := f 2 L1(; T ;VT );0 2 L2(; T ;VT );() = (T ) = 0; (t) 2 Vt h¦u kh­p nìi trong (; T )g: ành ngh¾a 4.1. Mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6) l  mët h m u thäa m¢n (C1) u 2 L1(; T ;VT ); u0 2 L2(; T ;VT ); (C2) vîi måi  2 U;T , ta câZ T  [(u(t);0(t))T + ((u(t);(t)))T + ((u0(t);(t)))T + (f(u);(t))T ]dt = Z T  (g(t);(t))T dt; (C3) u(t) 2 Vt h¦u kh­p nìi trong (; T ), (C4) lim t# (t )1 R t  ju(r) u j2T dr = 0: 90 D¹ d ng th§y r¬ng n¸u T2 > T1 >  v  u l  mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6) vîi T = T2, th¼ h¤n ch¸ cõa u trong mi·n eQ;T1 công l  mët nghi»m bi¸n ph¥n (4.6) vîi T = T1. K½ hi»u eQ := S T> eQ(;T ). ành ngh¾a 4.2. Mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.1) l  mët h m u : eQ ! R sao cho vîi méi T >  , h¤n ch¸ cõa nâ trong mi·n eQ;T l  mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6). Möc ½ch cõa möc n y l  t¼m mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6) thäa m¢n ju(t)j2T + ku(t)k2T + 2 Z t  ku(r)k2T dr + 2 Z t  (f(u(r)); u(r))T dr = ju j2T + kuk2T + 2 Z t  (g(r); u(r))T dr: (4.8) Ta nâi r¬ng, u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng trong (; T ) n¸u (4.8) ÷ñc thäa m¢n h¦u kh­p nìi trong (; T ). T÷ìng tü, n¸u u l  mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.1), ta nâi r¬ng u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (;+1) n¸u vîi méi T >  , h¤n ch¸ cõa u tr¶n mi·n eQ;T thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng (4.8) h¦u kh­p nìi trong (; T ). Vîi b§t k¼ h m v 2 L2(; T ;HT ) v  b§t k¼ t 2 (; T ], ta °t v;T (t) := lim sup h#0 h1 Z th  jv(r + h) v(r)j2T dr: Nh÷ trong [5, 20], ta câ thº chùng minh r¬ng nghi»m bi¸n ph¥n u cõa (4.1) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ) khi v  ch¿ khi u;T (t) = 0 vîi h¦u kh­p nìi trong (; T ). Ti¸p theo, ta x²t i·u ki»n õ º u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ). Bê · 4.2. [5] Gi£ sû u l  mët nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6) v  gi£ sû tçn t¤i 91 mët d¢y ftng  (; T ) c¡c iºm Lebesgue cõa juj2T sao cho tn ! T v  lim sup n!+1  ju(tn)j2T + ku(tn)k2T   ju j2T + kuk2T + 2 Z t  [(g(r); u(r))T ku(r)k2T (f(u(r)); u(r))T ]dr: Khi â u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ). B¥y gií, chóng ta s³ sû döng ph÷ìng ph¡p penalty º chùng minh sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.6) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ). Nh÷ mët h» qu£ trüc ti¸p, chóng ta chùng minh sü tçn t¤i v  duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.1) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (;+1). ành l½ 4.1. Gi£ sû c¡c i·u ki»n (F3)-(G3) thäa m¢n v  u 2 V cho tr÷îc. Khi â, vîi b§t k¼ T >  , b i to¡n (4.6) câ duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ). Chùng minh. Chóng ta chia chùng minh ành l½ th nh 3 b÷îc. B÷îc 1. Chùng minh sü tçn t¤i nghi»m y¸u cõa b i to¡n (4.7). º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m y¸u cõa b i to¡n, ta sû döng ph÷ìng ph¡p compact cõa J.L Lions trong [25]. Cho fejg1j=1 l  mët cì sð trüc giao cõa HT h¼nh th nh bði ph¦n tû trong VT sao cho khæng gian vectì sinh bði fejg1j=1 l  trò mªt trong VT . Khi â, câ mët d¢y fumg hëi tö tîi u trong VT , vîi fumg trong khæng gian vectì sinh bði fe1; e2; : : : ; emg. Vîi méi sè nguy¶n d÷ìng m  1, ta x²t x§p x¿ uk;m(t) = Pm j=1 km;j(t)ej , ÷ñc x¡c ành nh÷ nghi»m cõa8>>>: (u0k;m(t); ej)T + hAk(t)uk;m(t); ejiT + hAk(t)u0k;m(t); ejiT + (f(uk;m(t)); ej)T = (g(t); ej)T ; ((uk;m(); ej))T = ((um ; ej))T ; j = 1; : : : ;m: (4.9) Nh¥n (4.9) vîi 0km;j(t) v  l§y têng tø j = 1 ¸n m, ta câ (u0k;m(t); u 0 k;m(t))T + hAk(t)uk;m(t); u0k;m(t)iT + hAk(t)u0k;m(t); u0k;m(t)iT + (f(uk;m(t)); u0k;m(t))T = (g(t); u0k;m(t))T ; 92 hay ju0km(t)j2T + 1 2 d dt kuk;m(t)k2T + ku0k;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); u0k;m(t)))T + k((Pk(t)u 0 k;m(t); u 0 k;m(t)))T + (f(uk;m(t)); u 0 k;m(t))T = (g(t); u 0 k;m(t))T : (4.10) Do â (g(t); u0k;m(t))T  ju0k;m(t)j2T + ku0k;m(t)k2T + 1 2 d dt [kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T ] + k((Pk(t)u 0 k;m(t); u 0 k;m(t)))T + (f(uk;m(t)); u 0 k;m(t)) = ju0k;m(t)j2T + ku0k;m(t)k2T + k((Pk(t)u0k;m(t); u0k;m(t)))T + 1 2 d dt  kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2 Z T F (uk;m(t))dx  : Do (g(t); u0k;m(t))T  1 2 (jg(t)j2T + ju0k;m(t)j2T ); n¶n, jg(t)j2T  d dt  kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2 Z T F (uk;m(t))dx  + 2ku0k;m(t)k2T + 2k((Pk(t)u0k;m(t); u0k;m(t)))T + ju0k;m(t)j2T : (4.11) L§y t½ch ph¥n hai v¸ cõa (4.11) tr¶n o¤n [; t];   t  T , ta ÷ñc 2 Z t  ku0k;m(t)k2T dr + 2k Z t  ((Pk(r)u 0 k;m(r); u 0 k;m(r)))T dr + Z t  ju0k;m(r)j2T dr + kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2 Z T F (uk;m(t))dx  Z t  jg(r)j2T dr + kuk;m()k2T + k((Pk()uk;m(); uk;m()))T + 2 Z T F (uk;m())dx: Tø (4.5), vîi méi  > 0, tçn t¤i mët h¬ng sè d÷ìng C thäa m¢nZ T F (uk;m(t))dx+ juk;m(t)j2 + C  0: 93 Do kuk2T  1;T juj2T v  chån  = 1;T4 , ta câZ T F (uk;m(t))dx+ 1 4 kuk;m(t)k2T + C  0: (4.12) Tø gi£ thi¸t (4.3) v  ph²p nhóng VT ,! L 2NN2 ( T ), ta câZ T F (uk;m())dx  C Z T (1 + jum j+1)dx  Cj T j+ Ckumk 2N N2 T : (4.13) Tø (4.12) v  (4.13), suy ra 2 Z t  ku0k;m(t)k2T dr + 2k Z t  ((Pk(r)u 0 k;m(r); u 0 k;m(r)))T dr + Z t  ju0k;m(r)j2T dr + 1 2 kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T  Z t  jg(r)j2T dr + kuk;m()k2T + k((Pk()uk;m(); uk;m()))T + C + Cj T j+ Ckumk 2N N2 T : (4.14) Do â fuk;mg bà ch°n trong L1(; T ;VT ); uk;m * uk trong L1(; T ;VT ); fu0k;mg bà ch°n trong L2(; T ;VT ); u0k;m * u 0 k trong L 2(; T ;VT ): Do d¢y fuk;mg l  bà ch°n trong khæng gian L1(; T ;VT ), sû döng gi£ thi¸t (4.3), ta câ thº th§y r¬ng ff(uk;m)g l  bà ch°n trong khæng gian Lq(; T ;Lq( T )) vîi q = 2NN+2 , khi â f(uk;m) *  trong khæng gian L q(; T ;Lq( T )). B¥y gií, ta s³ chùng minh  = f(uk). Thªt vªy, ta câ VT  HT  V T ; fuk;mg bà ch°n trong L1(; T ;VT ); fu0k;mg bà ch°n trong L2(; T ;VT ): Theo Bê · Aubin-Lions (Bê · 1.2, Ch÷ìng 1), fuk;mg l  compact t÷ìng èi trong L2(; T ;HT ). Do â, ta câ thº gi£ sû r¬ng uk;m ! uk h¦u kh­p nìi trongeQ;T . Tø gi£ thi¸t f l  li¶n töc, suy ra f(uk;m) ! f(uk) h¦u kh­p nìi eQ;T . p döng Bê · 1.4 trong Ch÷ìng 1, ta câ f(uk;m) * f(uk) trong Lq(; T ;Lq( T )): 94 i·u n y cho th§y uk l  nghi»m y¸u cõa b i to¡n (4.7). B÷îc 2. Chùng minh sü tçn t¤i nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (4.6) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng. Tø (4.14) v  8t 2 [; T ], ta câ k Z t  ((Pk(r)uk;m(r); uk;m(r)))T dr  (T ) Z t  jg(r)j2T dr + kuk;m()k2T + k((Pk()uk;m(); uk;m()))T + C + Cj T j+ Ckumk 2N N2 T  : X²t h m sè  : L2(; T ;VT )! R x¡c ành bði (v) = Z T  ((Pk(t)v(t); v(t)))T dt; v 2 L2(; T ;VT ): D¹ d ng th§y  l  h m sè li¶n töc v  lçi. Do â R T  ((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T dt l  nûa li¶n töc d÷îi y¸u trong L2(; T ;VT ). Hìn núa, uk;m * uk trong L2(; T ;VT ), do vªy k Z T  ((Pk(t)uk(t); uk(t)))T dt  k lim inf m!1 Z T  ((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T dt   (T ) Z T  jg(r)j2T dr + kuk()k2T + k((Pk()uk(); uk()))T + (T )  C + Cj T j+ Ckuk 2N N2 T  : Do u0k;m * u 0 k trong L 2(; T ;VT ), lªp luªn nh÷ tr¶n ta câ 2k Z T  ((Pk(t)u 0 k(t); u 0 k(t)))T dt  2k lim inf m!1 Z T  ((Pk(t)u 0 k;m(t); u 0 k;m(t)))T dt  Z T  jg(r)j2T dr + kuk()k2T + k((Pk()uk(); uk()))T + C + Cj T j+ Ckuk 2N N2 T : Tø k¸t qu£ uk;m * uk trong L1(; T ;VT ) v  t½nh nûa li¶n töc d÷îi y¸u cõa 95 chu©n, ta suy ra 2 Z T  ku0k(t)k2T dr + 2k Z T  ((Pk(r)u 0 k(r); u 0 k(r)))T dr + Z T  ju0k(r)j2T dr + 1 2 kuk(t)k2T + k Z T  ((Pk(t)uk(t); uk(t)))T dt  (4 + T ) Z T  jg(r)j2T dr + kuk()k2T + k((Pk()uk(); uk()))T + C + Cj T j+ Ckuk 2N N2 T   C: (4.15) Tø u 2 V ; ((Pk()u ; u ))T = 0 vîi måi k  1 v  (4.15), ta ÷ñc fukg bà ch°n trong L1(; T ;VT ); fu0kg bà ch°n trong L2(; T ;VT ); uk *  u trong L1(; T ;VT ); u0k * u 0 trong L2(; T ;VT ): Tø Bê · 4.1, ta câZ t  kP (t)u(t)k2T dt  lim inf k!1 Z T  ((Pk()uk(); uk()))T dt  lim inf k!1 C k = 0; tùc l , P (t)u(t) = 0 h¦u kh­p nìi trong (; T ) hay u(t) 2 Vt h¦u kh­p nìi trong (; T ), v Z t  kP (t)u0(t)k2T dt  lim inf k!1 Z T  ((Pk()u 0 k(); u 0 k()))T dt  lim inf k!1 C k = 0; tùc l , P (t)u0(t) = 0 h¦u kh­p nìi trong (; T ). Hìn núa, tø (4.15) v  ¯ng thùc uk(t) uk(s) = Z t s u0k(r)dr; 8s; t 2 [; T ]; 8k  1 ta ÷ñc juk(t) uk(s)jT  C 12 jt sj 12 ; 8s; t 2 [; T ]; 8k  1: (4.16) Công tø (4.15) ta câ kuk(t)kT  C vîi måi t 2 [; T ] v  vîi méi k  1. Do ph²p nhóng VT v o HT l  compact, n¶n tªp fv 2 VT : kvk2T  Cg l  compact trong HT . Vªy, tø (4.16) v  ành l½ Arzela-Ascoli, tçn t¤i mët d¢y con, v¨n k½ hi»u l  fukg, sao cho uk ! u trong C([; T ];HT ) khi k ! +1: 96 V¼ vªy, i·u ki»n (C4) ÷ñc thäa m¢n. M°t kh¡c, do fukg l  bà ch°n trong L1(; T ;VT ) v  fu0kg bà ch°n trong L2(; T ;VT ), ¡p döng bê · Aubin-Lions v  Bê · 1.3 trong [25, Ch÷ìng 1], n¶n ta ÷ñc f(uk) * f(u) trong Lq(; T ;Lq( T )): Do uk l  nghi»m y¸u cõa b i to¡n (u0k(t); v)T + hAk(t)uk(t); viT + hAk(t)u0k(t); viT + (f(uk(t)); v)T = (g(t); v)T ; ((uk(); v))T = ((u ; v))T ; 8v 2 VT ; chuyºn qua giîi h¤n khi k ! 1 v  sû döng P (t)u(t) = 0, P (t)u0(t) = 0 h¦u kh­p nìi trong (; T ), ta câ thº k¸t luªn r¬ng u l  nghi»m cõa b i to¡n (4.6). B¥y gií chóng ta s³ chùng minh u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng trong (; T ). Nh¥n ph÷ìng tr¼nh (4.9) vîi km;j v  l§y têng tø j = 1 ¸n m, ta câ (u0k;m(t); uk;m(t))T + hAkm(t)uk;m(t); uk;m(t)iT + hAkm(t)u0k;m(t); uk(t)iT + (f(uk;m(t)); uk;m(t))T = (g(t); uk;m(t))T : Khi â, ta câ 1 2 d dt juk;m(t)j2T + kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 1 2 d dt kuk;m(t)k2T + k((Pk(t)u0k;m(t); uk;m(t)))T + (f(uk;m(t)); uk;m(t)) = (g(t); uk;m(t))T ; (4.17) hay juk;m(t)j2T + 2 Z t  kuk;m(r)k2T dr + 2k Z t  ((Pk(r)uk;m(r); uk;m(r)))T dr + kuk;m(t)k2T + 2k Z t  ((Pk(r)u 0 k;m(r); uk;m(r)))T dr + 2 Z t  (f(uk;m(r)); uk;m(r))dr = 2 Z t  (g(r); uk;m(r))T dr + jum j2T + kumk2T : Tø ((Pk(t)u 0 k;m(t); uk;m(t)))T  1 2 d dt ((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T ; ((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T  0; 97 juk;m(t)j2T + 2 Z t  kuk;m(r)k2T dr + kuk;m(t)k2T + 2 Z t  (f(uk;m(r)); uk;m(r))T dr  2 Z t  (g(r); uk;m(r))T dr + jum j2T + kumk2T + k((Pk()uk;m(); uk;m()))T ; cho m!1, ta thu ÷ñc juk(t)j2T + 2 Z t  kuk(r)k2T dr + kuk(t)k2T + 2 Z t  (f(uk(r)); uk(r))T dr  2 Z t  (g(r); uk(r))T dr + ju j2T + kuk2T : (4.18) Ta câZ T  (f(uk(r)); uk(r))T dr = Z T  (f(uk(r)) f(u(r)); uk(r) u(r))T dr + Z T  (f(uk(r)); u(r))T dr + Z T  (f(u(r)); uk(r))T dr Z T  (f(u(r)); u(r))T dr  ` Z T  juk(r) u(r)j2T dr + Z T  (f(uk(r)); u(r))T dr + Z T  (f(u(r)); uk(r))T dr Z T  (f(u(r)); u(r))T dr: Tø b§t ¯ng thùc tr¶n v  (4.18), ta ÷ñc juk(T )j2T + 2 Z T  kuk(r)k2T dr + kuk(T )k2T  2 Z T  (g(r); uk(r))T dr + ju j2T + kuk2T + 2` Z T  juk(r) u(r)j2T dr 2 Z T  (f(uk(r)); u(r))T dr 2 Z T  (f(u(r)); uk(r))T dr + 2 Z T  (f(u(r)); u(r))T dr: Do uk * u hëi tö y¸u trong L2(; T ;VT ), ta ÷ñc juk(T )j2T + kuk(T )k2T ju j2T + kuk2T 2 Z T  (f(u(r)); u(r))T dr 2 Z T  ku(r)k2T + 2 Z t  (g(r); u(r))T dr: 98 p döng Bê · 4.2 khi tn = T vîi måi n, ta thu ÷ñc, u thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng tr¶n (; T ). B÷îc 3. Chùng minh t½nh duy nh§t v  phö thuëc li¶n töc cõa nghi»m thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng. Cho u; u l  hai nghi»m bi¸n ph¥n cõa (4.6) ùng vîi c¡c gi¡ trà ban ¦u u ; u 2 V , thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ). Khi â, u;T (t) = u;T (t) = 0 vîi måi t 2 (; T ) v  ju(t) u(t)j2T + ku(t) u(t)k2T + 2 Z t  ku(r) u(r)k2T dr + 2 Z t  (f(u(r)) f(u(r)); u(r) u(r))T dr  ju(t) u(t)j2T + ku(t) u(t)k2T lim sup h#0 h1 Z th  (u(r + h) u(r); u(r + h) u(r))T dr: L¤i câ h1 Z th  (u(r + h) u(r); u(r + h) u(r))T dr 2   h1 Z th  ju(r + h) u(r)j2dr  h1 Z th  ju(r + h) u(r)j2dr  ; n¶n lim h#0 h1 Z th  (u(r + h) u(r); u(r + h) u(r))T dr = 0: Thay ¡nh gi¡ tr¶n v  gi£ thi¸t (4.2) v o (4.8), ta thu ÷ñc ju(t) u(t)j2T + ku(t) u(t)k2T + 2 Z t  ku(r) u(r)k2T dr  ju u j2T + ku uk2T 2 Z t  (f(u(r)) f(u(r)); u(r) u(r))T dr  ju u j2T + ku uk2T + 2` Z t  ju(r) u(r)j2T dr: p döng b§t ¯ng thùc Gronwall, ta câ ju(t) u(t)j2T + ku(t) u(t)k2T + 2 Z t  ku(r) u(r)k2T dr  e2`(t)  ju u j2T + ku uk2T ) h¦u kh­p nìi t 2 (; T ): 99 Do â, ta câ i·u c¦n chùng minh. 4.3. SÜ TÇN T„I CÕA TŠP D-HÓT LÒI Theo ành l½ 4.1, vîi méi  2 R v  u 2 V , s³ tçn t¤i duy nh§t mët nghi»m bi¸n ph¥n u(; ; u ) cõa b i to¡n (4.1) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng h¦u kh­p nìi trong (; T ) vîi måi T >  . ành ngh¾a U(t; )u := u(t; ; u ); 1 <   t < +1; u 2 V : D¹ d ng kiºm tra hå ¡nh x¤ fU(t; ) : t  g l  mët qu¡ tr¼nh. Möc ½ch cõa ph¦n n y l  chùng minh sü tçn t¤i cõa tªp hót lòi trong khæng gian HT èi vîi qu¡ tr¼nh U(t; ) b¬ng c¡ch chùng minh sü tçn t¤i cõa tªp h§p thö lòi bà ch°n trong VT v  sû döng t½nh compact cõa ph²p nhóng VT ,! HT . Chóng ta s³ sû döng bê · sau. Bê · 4.3. [31] Cho X  Y l  khæng gian Banach, X l  khæng gian ph£n x¤ v  ph²p nhóng X v o Y l  compact. Gi£ sû fvng l  mët d¢y bà ch°n trong L1(t0; T ;X) sao cho vn * v hëi tö y¸u trong Lp(t0; T ;X) vîi p 2 [1;+1) v  v 2 C0([t0; T ];Y ). Khi â, v(t) 2 X vîi måi t 2 [t0; T ] v  kv(t)kX  lim inf n!+1 kvnkL1(t0;T ;X); 8t 2 [t0; T ]: M»nh · 4.1. Gi£ sû c¡c gi£ thi¸t cõa ành l½ 4.1 ÷ñc thäa m¢n v  g 2 L2loc(RN+1) vîi Cg;T = sup tT Z t t1 jg(r)j2T < +1: Khi â, vîi méi u 2 V cho tr÷îc, nghi»m bi¸n ph¥n u ùng vîi b i to¡n (4.1) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh n«ng l÷ñng trong (; T ), çng thíi u công thäa m¢n ku(t)k2T  C  eT (t)ku()k 2N N2 T + 1 + 1 1 eT Cg;T  ; 8t 2 [ + 1; T ]; (4.19) vîi 0 0 l  gi¡ trà ri¶ng ¦u ti¶n cõa to¡n tû  trong T vîi i·u ki»n bi¶n Dirichlet thu¦n nh§t, v  h¬ng sè C ëc lªp vîi t;  . 100 Chùng minh. Gi£ sû uk;m l  x§p x¿ Galerkin cõa uk x¡c ành bði b i to¡n (4.7). Tø (4.17) v  (4.10), ta câ 1 2 d dt juk;m(t)j2T + 2kuk;m(t)k2T + u0k;m(t) 2T + kuk;m(t)k2T + ku0k;m(t)k2T + 2k((Pk(t)u 0 k;m(t); uk;m(t)))T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + k((Pk(t)u 0 k;m(t); u 0 k;m(t)))T + f(uk;m(t)); u 0 k;m(t) + uk;m(t)  T = (g(t); uk;m(t))T + g(t); u0k;m(t)  T : Do ((Pk(t)u 0 k;m(t); uk;m(t)))T  1 2 d dt ((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T ; f(uk;m(t)); u 0 k;m(t)  T = d dt Z T F (uk;m(t))dx; (g(t); uk;m(t))T  1 41 jg(t)j2T + 1juk;mj2T ; 81 > 0; g(t); u0k;m(t)  T  1 42 jg(t)j2T + 2ju0km j2T ; 82 > 0; ta câ 1 2 d dt juk;m(t)j2T + 2kuk;m(t)k2T + 2k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2Z T F (uk;m(t))dx  + ju0k;m(t)j2T + kuk;m(t)k2T + ku0k;m(t)k2T + k((Pk(t)u0k;m(t); uk;m(t)))T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + (f(uk;m(t)); uk;m(t))T  1 41 jg(t)j2T + 1juk;m(t)j2T + 1 42 jg(t)j2T + 2ju0km(t)j2T ; 82; 1 > 0: Tø gi£ thi¸t (4.5), vîi méi  > 0, tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng C thäa m¢nZ T F (uk;m(t))dx+ juk;m(t)j2T + C  0: (4.20) Do kuk;m(t)k2T  1;T juk;m(t)j2T v  chån  = 1;T =4, ta ÷ñcZ T F (uk;m(t))dx+ 1 4 kuk;m(t)k2T + C  0: Tø gi£ thi¸t (4.4), vîi méi  > 0, tçn t¤i C > 0 sao cho (f(uk;m(t)); uk;m(t))T = Z T f(uk;m(t))uk;m(t)dx   Z T F (uk;m(t))dx juk;m(t)j2T C: 101 Tø nhúng ¡nh gi¡ tr¶n ta ÷ñc 1 2 d dt juk;m(t)j2T + 2kuk;m(t)k2T + 2k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2 Z T F (uk;m(t))dx+ 2C  + (1 2)ju0k;m(t)j2T + 1 2 kuk;m(t)k2T + ( 1;T 2 1 )juk;m(t)j2T + ku0k;m(t)k2T +  Z T F (uk;m(t))dx + k((Pk(t)u 0 k;m(t); uk;m(t)))T + k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2C  ( 1 41 + 1 42 )jg(t)j2T + Cj T j; 82; 1 > 0: K½ hi»u yk;m(t) = juk;m(t)j2T + 2kuk;m(t)k2T + 2k((Pk(t)uk;m(t); uk;m(t)))T + 2 Z T F (uk;m(t))dx+ 2C: Chån 2 < 1 v  ; 1 õ nhä sao cho T < minf1=2; 1;T 21 2; 2g, ta câ d dt yk;m(t) + T yk;m(t)  C(1 + jg(t)j2T ): p döng b§t ¯ng thùc Gronwall, ta câ yk;m(t)  eT (t)yk;m() + C(1 + eT t Z t  eT sjg(t)j2T ds): (4.21) Sû döng (4.20), ta th§y r¬ng yk;m(t)  kuk;m(t)k2T : (4.22) Tø (4.3) v  ph²p nhóng VT  L 2NN2 ( T ), ta thu ÷ñc yk;m() = jum j2T + 2kumk2T + 2k((Pk()um ; um))T + 2 Z T F (um)dx  ( 1 1;T + 2)kumk2T + 2k((Pk()um ; um))T + C Z T (1 + jum j+1)dx+ 2C  Ckumk2T + Ckumk 2N N2 T + 2k((Pk()um ; um))T + C  C(kumk 2N N2 T + 1) + 2k((Pk()um ; um))T : (4.23) 102 Vªy, tø (4.21)-(4.23), ta câ kuk;m(t)k2T  C eT (t)(kumk 2N N2 T + 1) + 1 + e T t Z t  eT sjg(t)j2T ds  + 2eT (t)k((Pk()um ; um))T ; (4.24) vîi C l  khæng phö thuëc v o t;  v  k. Do uk;m * uk *-y¸u trong L1(; T ;VT ) khi m! +1 n¶n tø (4.24) v  Bê · 4.3, ta k¸t luªn kuk(t)k2T  C eT (t)(kuk 2N N2 T + 1) + 1 + e T t Z t  eT sjg(t)j2T ds  + 2eT (t)k((Pk()u ; u ))T : Cuèi còng, do uk * u trong L2(; T ;VT ) khi k ! +1 v  ¡nh gi¡Z t  eT (ts)jg(t)j2T ds  Z t t1 eT (ts)jg(t)j2T ds+ Z t1 t2 eT (ts)jg(t)j2T ds+ :::  (1 + eT + e2T + :::)Cg;T = 1 1 eT Cg;T ; ta thu ÷ñc b§t ¯ng thùc (4.19), ku(t)k2T  C eT (t)(kuk 2N N2 T + 1) + 1 + e T t Z t  eT sjg(t)j2T ds   CeT (t)kuk 2NN2T + 1 + 11 eT Cg;T : Gi£ sû R l  tªp hñp t§t c£ r(t) sao cho lim t!1 e ttkr(t)k2t = 0: K½ hi»u D l  lîp t§t c£ c¡c hå bD = fD(t) : D(t) 2 Vt; D(t) 6= ;; t 2 Rg sao cho D(t)  B(r(t)) vîi r(t) 2 R. Vîi méi t 2 R, ành ngh¾a r20(t) = 2C(1 + 1 1 et Cg;t); v  x²t hå nhúng h¼nh c¦u âng bB = fB(t) : t 2 Rg, vîi B(t) = fv 2 Vt : kvkt  r0(t)g; t 2 R: 103 Sau â, sû döng b§t ¯ng thùc (4.19), ta câ thº kiºm tra bB l  tªp D-h§p thö lòi èi vîi qu¡ tr¼nh U(:; :). Hìn núa, ph²p nhóng Vt v o Ht l  compact n¶n B(t) l  tªp compact trong Ht vîi b§t k¼ t 2 R. Khi â, tø ành l½ 1.2 suy ra ành l½ 4.2. Gi£ sû c¡c i·u ki»n (F3) v  (G3) ÷ñc thäa m¢n. Khi â, qu¡ tr¼nh U(:; :) li¶n k¸t b i to¡n (4.1) câ mët tªp D-hót lòi bA = fA(t) : t 2 Rg trong hå c¡c khæng gian fHtg. Chó þ. K¸t qu£ cõa ch÷ìng n y l  sü ph¡t triºn c¡c k¸t qu£ trong [20, 21] èi vîi ph÷ìng tr¼nh ph£n ùng-khu¸ch t¡n cê iºn, v  k¸t qu£ trong [5] èi vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn vîi sè h¤ng phi tuy¸n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu a thùc. K˜T LUŠN CH×ÌNG 4 Ch÷ìng n y nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng trö vîi sè h¤ng phi tuy¸n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu Sobolev. C¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc bao gçm: 1) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i v  duy nh§t cõa nghi»m bi¸n ph¥n cõa b i to¡n (ành l½ 4.1). 2) Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i tªp D-hót lòi bA trong hå khæng gian fHtg cõa qu¡ tr¼nh sinh bði b i to¡n (ành l½ 4.2). K˜T LUŠN 1. K˜T QUƒ „T ×ÑC Trong luªn ¡n n y chóng tæi nghi¶n cùu lîp ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng bà ch°n v  mi·n khæng trö trong tr÷íng hñp khæng ætænæm, tùc l  khi ngo¤i lüc g phö thuëc v o c£ bi¸n khæng gian v  thíi gian. Luªn ¡n ¢ ¤t ÷ñc c¡c k¸t qu£ sau: 1. Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i v  t½nh duy nh§t cõa nghi»m y¸u, sü tçn t¤i cõa tªp hót ·u, t½nh nûa li¶n töc tr¶n cõa tªp hót ·u t¤i " = 0 èi vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng bà ch°n RN , trong c£ hai tr÷íng hñp l  sè h¤ng phi tuy¸n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu Sobolev, v  sè h¤ng phi tuy¸n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu a thùc. 2. Chùng minh ÷ñc t½nh bà ch°n ·u v  sü hëi tö cõa tªp hót ·u cõa ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn vîi sè h¤ng phi tuy¸n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu Sobolev v  ngo¤i lüc dao ëng k¼ dà. 3. Chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m bi¸n ph¥n v  sü tçn t¤i tªp hót lòi cõa ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn trong mi·n khæng trö khi sè h¤ng phi tuy¸n thäa m¢n i·u ki»n t«ng tr÷ðng v  ti¶u hao kiºu Sobolev. 2. — XU‡T MËT SÈ V‡N — NGHI–N CÙU TI˜P THEO B¶n c¤nh nhúng k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc trong luªn ¡n, mët sè v§n · kh¡c c¦n ÷ñc ti¸p töc nghi¶n cùu: 104 105  Nghi¶n cùu t½nh trìn v  ¡nh gi¡ sè chi·u fractal/Hausdorff cõa tªp hót ·u v  tªp hót lòi nhªn ÷ñc trong luªn ¡n.  Nghi¶n cùu t½nh °t óng v  d¡ng i»u ti»m cªn nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn vîi sè h¤ng chùa nhî trong mi·n khæng bà ch°n. Mët v i k¸t qu£ trong mi·n bà ch°n nhªn ÷ñc g¦n ¥y trong [44, 46, 47].  Nghi¶n cùu t½nh °t óng v  d¡ng i»u ti»m cªn nghi»m cõa b i to¡n vîi ph÷ìng tr¼nh khu¸ch t¡n khæng cê iºn vîi tr¹ væ h¤n. Mët v i k¸t qu£ trong tr÷íng hñp tr¹ húu h¤n nhªn ÷ñc g¦n ¥y trong [9, 19]. DANH MÖC CÆNG TRœNH KHOA HÅC CÕA TC GIƒ LI–N QUAN ˜N LUŠN N 1. C.T. Anh and N.D. Toan, Existence and upper semicontinuity of uni- form attractors in H1(RN ) for non-autonomous nonclassical diffusion equations, Annales Polonici Mathematici 113 (2014), no. 3, 271-295. 2. C.T. Anh and N.D. Toan, Nonclassical diffusion equations on RN with singular oscillating external forces,Applied Mathematics Letters 38 (2014), 20-26. 3. C.T. Anh and N.D. Toan, Uniform attractors for non-autonomous non- classical diffusion equations on RN , Bulletin of the Korean Mathematical Society 51 (2014), no. 5, 1299-1324. 4. N.D. Toan, Existence and long-time behavior of variational solutions to a class of nonclassical diffusion equations in non-cylindrical domains, Acta Mathematica Vietnamica (2015), (DOI) 10.1007/s40306-015-0120-5. 106 T i li»u tham kh£o [1] E.C. Aifantis (1980), On the problem of diffusion in solids, Acta Mech. 37, 265-296. [2] E.C. Aifantis (2011), Gradient nanomechanics: applications to deforma- tion, fracture, and diffusion in nanopolycrystals, Metallurgical and Mate- rials Transactions A, vol. 42, no. 10, 2985-2998, [3] C.T. Anh and T.Q. Bao (2010), Pullback attractors for a class of non- autonomous nonclassical diffusion equations, Nonlinear Anal. 73, 399-412. [4] C.T. Anh and T.Q. Bao (2012), Dynamics of non-autonomous nonclassical diffusion equations on RN , Comm. Pure Appl. Anal. 11, 1231-1252. [5] C.T. Anh and N.D. Toan (2012), Pullback attractors for nonclassical dif- fusion equations in non-cylindrical domains, Int. J. Math. Math. Sci., Article ID 875913, 30 p. [6] T.Q. Bao (2012), Existence and upper semi-continuity of uniform attrac- tors for non-autonomous reaction diffusion equations on RN , Electron. J. Differential Equations 2012, no. 203, 18 pp. [7] M.L. Bernardi, G.A. Pozzi and G. Savar² (2001), Variational equations of Schrodinger-type in a non-cylindrical domain, J. Differential Equations 171, 63-87. [8] T. Caraballo, G. Lukasiewicz and J. Real (2006), Pullback attractors for asymptotically compact non-autonomous dynamical systems, Nonlinear Anal. 64, 484-498. 107 108 [9] T. Caraballo and A.M. M¡rquez-Dur¡n, Existence, uniqueness and asymptotic behavior of solutions for a nonclassical diffusion equation with delay, Dyn. Partial Differ. Equ. 10 (2013), 267-281. [10] A. Carvalho, J.A. Langa and J.C. Robinson (2013), Attractors for Infinite- Dimensional Non-Autonomous Dynamical Systems, Appl. Math. Sci. 182. Berlin: Springer, 409 p. [11] D.N. Cheban, P.E. Kloeden and B. Schmalfu, The relationship between pullback, forward and global attractors of nonautonomous dynamical sys- tems, Nonlinear Dyn. Syst. Theory 2 (2002), 125-144. [12] G. Chen and C.K. Zhong (2008), Uniform attractors for non-autonomous p-Laplacian equation, Nonlinear Anal. 68, 3349-3363. [13] V.V. Chepyzhov (2013), Uniform attractors of dynamical processes and non-autonomous equations of mathematical physics, Russ. Math. Surv. 68, 349-382. [14] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (1994), Attractors for non-autonomous dynamical systems and their dimension, J. Math. Pures Appl. 73, 279 - 333. [15] V.V. Chepyzhov and M.I. Vishik (2002), Attractors for Equations of Math- ematical Physics, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., Vol. 49, Amer. Math. Soc., Providence, RI. [16] V.V. Chepyzhov, V. Pata and M.I. Vishik (2009), Averaging of 2D Navier- Stokes equations with singularly oscillating force, Nonlinearity 22, 351- 370. [17] M. Conti, E.M. Marchini and V. Pata (2014), Nonclassical diffusion with memory, Math. Meth. Appl. Sci. doi: 10.1002/mma.3120. 109 [18] M. Conti, V. Pata and R. Temam (2013), Attractors for processes on time-dependent spaces. Applications to wave equations, J. Differential Equations 255, 1254-1277. [19] Z. Hu and Y. Wang (2012), Pullback attractors for a nonautonomous nonclassical diffusion equation with variable delay, J. Math. Phys. 53, 072702. [20] P.E. Kloeden, P. Marin-Rubio and J. Real (2008), Pullback attractors for a semilinear heat equation in a non-cylindrical domain, J. Differential Equations 244, 2062-2090. [21] P.E. Kloeden, J. Real and C. Sun (2009), Pullback attractors for a semi- linear heat equation in time-varying domains, J. Differential Equations 246, 4702-4720. [22] K. Kuttler and E. C. Aifantis (1987), Existence and uniqueness in non- classical diffusion, Quart. Appl. Math. 45, 549-560. [23] K. Kuttler and E. Aifantis (1988), Quasilinear evolution equations in non- classical diffusion, SIAM J. Math. Anal. 19, 110-120. [24] D. Li, Z. X. Wang and Z. Wang (1998), Global existence, uniqueness and long-time behaviour for a class of nonclassical diffusion equations, Acta Math. Appl. Sinica 21, 267-276. [25] J.L. Lions, Quelques M²thodes de R²solution des Probl±mes aux Limites non Lin²aires, Dunod, Paris, 1969. [26] Y. Liu (2014), Time-dependent global attractors for the nonclassi- cal diffusion equations, Applicable Analysis: An International Journal 110 [27] Y. Liu and Q. Ma (2009), Exponential attractors for a nonclassical diffu- sion equation, Electron. J. Differ. Equa. Vol. 2009, No. 9, 1-7. [28] Q. Ma, Y. Liu and F. Zhang (2012), Global attractors in H1(RN ) for nonclassical diffusion equations, Discrete Dyn. Nat. Soc. 2012, Art. ID 672762, 16 pp. [29] J.C. Peter and M.E. Gurtin (1968), On a theory of heat conduction in- volving two temperatures, Z. Angew. Math. Phys. 19, 614-627. [30] F. Rivero (2013), Time dependent perturbation in a non-autonomous non- classical parabolic equation, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B 18, 209-221. [31] J.C. Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cam- bridge University Press. [32] H. Song, S. Ma and C.K. Zhong (2009), Attractors of non-autonomous reaction-diffusion equations, Nonlinearity 22, 667-682. [33] H. Song and C.K. Zhong (2008), Attractors of non-autonomous reaction- diffusion equations in Lp, Nonlinear Anal. 68, 1890-1897. [34] C. Sun, S. Wang and C. Zhong (2007), Global attractors for a nonclassical diffusion equation, Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 23, 1271-1280. [35] C. Sun and M. Yang (2009), Dynamics of the nonclassical diffusion equa- tions, Asymptotic Anal. 59, 51-81. [36] R. Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia. [37] R. Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York. 111 [38] T.W. Ting (1963), Certain non-steady flows of second-order fluids, Arch. Ration. Mech. Anal 14, 1-26. [39] C. Truesdell and W. Noll (1995), The Nonlinear Field Theories of Me- chanics, in: Encyclopedia of Physics, Springer, Berlin. [40] B. Wang (1999), Attractors for reaction-diffusion equations in unbounded domains, Physica D 179, 41-52. [41] Y. Wang (2013), On the upper semicontinuity of pullback attractors for multi-valued processes, Quart. Appl. Math. 71, 369-399. [42] S. Wang, D. Li and C. Zhong (2006), On the dynamic of a class of non- classical parabolic equations, J. Math. Anal. Appl. 317, 565-582. [43] Y. Wang and Y. Qin (2010), Upper semicontinuity of pullback attractors for nonclassical diffusion equations, J. Math. Phys. 51, 022701, 12 p. [44] Y. Wang and L. Wang (2013), Trajectory attractors for nonclassical dif- fusion equations with fading memory, Acta Math. Sci. Ser. B Engl. Ed. 33, 721-737. [45] L. Wang, Y. Wang and Y. Qin (2014), Upper semicontinuity of attractors for nonclassical diffusion equations in H1(R3), Appl. Math. Comp. 240, 51-61. [46] X. Wang, L. Yang and C.K. Zhong (2010), Attractors for the nonclassical diffusion equations with fading memory, J. Math. Anal. Appl. 362, 327- 337. [47] X. Wang and C.K. Zhong (2009), Attractors for the non-autonomous nonclassical diffusion equations with fading memory, Nonlinear Anal. 71, 5733-5746. 112 [48] H. Wu and Z. Zhang (2011), Asymptotic regularity for the nonclassical diffusion equation with lower regular forcing term, Dyn. Syst. 26, 391-400. [49] Y. Xiao (2002), Attractors for a nonclassical diffusion equation, Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser 18, 273-276. [50] F. Zhang (2014), Time-dependent global attractor for a class of nonclas- sical parabolic equations, J. Appl. Math., Vol. 2014, 6 p. [51] Y.J. Zhang and Q.Z. Ma (2014), Exponential attractors of the nonclas- sical diffusion equations with lower regular forcing term, Int. J. Modern Nonlinear Theory and Appl. 3, 15-22. [52] F. Zhang and Y. Liu (2014), Pullback attractors in H1(RN ) for non- autonomous nonclassical diffusion equations, Dyn. Syst. 29, 106-118.

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdfluan_an_phuong_trinh_khuech_tan_khong_co_dien.pdf
Luận văn liên quan