Luận án Sự tồn tại và ổn định của nghiệm tuần hoàn của một số lớp phương trình động lực học thủy khí

= T (t)u0 + ∫ t 0 T (t− s)g(u)(s)ds với t ≥ 0. (3.31) Hơn nữa, phương trình tuyến tính tương ứng của phương trình (3.30) là { u′ − Au = f(t); u(0) = u0. (3.32) Một hàm u : R+ → Y là một nghiệm đủ tốt của (3.32) nếu nó thỏa mãn u(t) = T (t)u0 + ∫ t 0 T (t− s)f(s)ds. (3.33) Nhận thấy rằng A sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh hyperbolic (xem [24]). Chú ý 3.2.9. Nếu nửa nhóm (T (t))t≥0 trên không gian Banach Y là nửa nhóm hyperbolic thì có thể suy ra nửa nhóm (T (t))t≥0 thỏa mãn (X, Y, ϕ)-ổn định với X = PY và ϕ(t) = Me−νt với mọi t ≥ 0, trong đó P là phép chiếu nhị phân mũ và M , ν hằng số nhị phân mũ. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kì T với phương trình tuyến tính (3.2) và phương trình nửa tuyến tính (3.8). Đầu tiên, ta phải chứng minh phương trình (3.2) có ít nhất một nghiệm đủ tốt bị chặn. Sau đó, ta có thể áp dụng Định lí 3.1.2 để có được sự tồn tại của nghiệm đủ tốt tuần hoàn chu kì T . 41 Nếu (T (t))t≥0 là nửa nhóm hyperbolic với phép chiếu mũ P và các hằng số N, ν > 0 thì hàm Green được định nghĩa như sau G(t) := PT (t) với t > 0;−T (t)(I − P ) với t < 0. (3.34) Ta nhận thấy rằng với t < 0 ta có T (t) := (T (−t) |kerP )−1 đã được định nghĩa trên kerP = (I − P )X. Vì vậy, G(t) thỏa mãn ước lượng ‖G(t)‖ ≤ (1 + ‖P‖)Me−ν|t| với t ∈ R. (3.35) Hệ quả sau chỉ ra tính bị chặn của phương trình (3.3) và phương trình (3.10). Bổ đề 3.2.10. Cho nửa nhóm (T (t))t≥0 là nửa nhóm hyperbolic với phép chiếu mũ P và các hằng số M, ν > 0. Cho f ∈ Cb(R+, Y ) và cho g : Cb(R+, Y ) → Cb(R+, Y ) thỏa mãn điều kiện (3.9). Khi đó, ta có các mệnh đề sau: (a) Cho v ∈ Cb(R+, Y ) là nghiệm của phương trình (3.3) (tức là nghiệm đủ tốt của phương trình (3.2)). Khi đó, v có thể biểu diễn dưới dạng v(t) = T (t)ξ0 + ∫ ∞ 0 G(t− τ)f(τ)dτ với ξ0 ∈ PY, (3.36) trong đó G(t) là hàm Green được xác định trong (3.34). (b) Cho u ∈ Cb(R+, Y ) là một nghiệm của phương trình (3.10) thỏa mãn supt≥0 ‖u(t)‖Y ≤ ρ cho một số cố định ρ > 0. Khi đó, với t ≥ 0 hàm u có thể viết dưới dạng u(t) = T (t)v0 + ∫ ∞ 0 G(t− τ)g(u)(τ)dτ với v0 ∈ PY, (3.37) cho G như ở trong Phần (a). Chứng minh. (a) Ta kí hiệu ‖ · ‖ là chuẩn trong Y , và ‖ · ‖Cb là chuẩn trong Cb(R+, Y ). Đặt y(t) := ∫∞ 0 G(t− τ)f(τ)dτ cho t ≥ 0. Do f ∈ Cb(R+, Y ) và ước lượng ước lượng (3.35), ta có ‖y(t)‖ ≤ (1 + ‖P‖)M‖f‖Cb ∫ ∞ 0 e−ν|t−τ |dτ ≤ 2(1 + ‖P‖)M‖f‖Cb ν với mọi t ≥ 0. 42 Hơn nữa, dễ dàng nhận thấy rằng y(·) thỏa mãn phương trình y(t) = T (t)y(0) + ∫ t 0 T (t− τ)f(τ)dτ với t ≥ 0. Từ v(t) là một nghiệm của phương trình (3.3), ta có được v(t)−y(t) = T (t)(v(0)− y(0)) với t ≥ 0. Ta đặt ξ0 = v(0) − y(0). Tính bị chặn v(·) và y(·) trên [0,∞) kéo theo ξ0 ∈ PY . Cuối cùng, từ v(t) = T (t)ξ0 + y(t) với t ≥ 0, phương trình (3.36) được đưa ra. (b) Tương tự như Phần (a) ta đặt y(t) := ∫∞ 0 G(t − τ)g(u)(τ)dτ với t ≥ 0. Do g thỏa mãn điều kiện (3.9) và sử dụng ước lượng (3.35), ta có ‖y(t)‖ ≤ (1 + ‖P‖)M ∫ ∞ 0 e−ν|t−τ |(‖g(u)(τ)− g(0)(τ)‖+ ‖g(0)(τ)‖)dτ ≤ (1 + ‖P‖)M(Lρ+ γ) ∫ ∞ 0 e−ν|t−τ |dτ ≤ 2(1 + ‖P‖)M(Lρ+ γ) ν với t ≥ 0. Vì vậy, cũng dễ dàng nhận thấy y(·) thỏa mãn phương trình y(t) = T (t)y(0) + ∫ t 0 T (t− τ)g(u)(τ)dτ với t ≥ 0. Từ u(t) là một nghiệm của phương trình (3.10), ta có u(t)− y(t) = T (t)(u(0)− y(0)) với t ≥ 0. ta đặt v0 = u(0) − y(0). Tính bị chặn của u(·) và y(·) trên R+ kéo theo v0 ∈ PY . Cuối cùng, từ phương trình u(t) = T (t)v0 + y(t) với t ≥ 0, ta thu được phương trình (3.37). Chú ý 3.2.11. Qua tính toán đơn giản ta cũng có thể chỉ ra rằng, mệnh đề ngược của mệnh đề (a) và (b) là đúng, nghĩa là một nghiệm của phương trình (3.36) thỏa mãn phương trình (3.3) với t ≥ 0, và nghiệm của phương trình (3.37) sẽ thỏa mãn phương trình (3.10) với t ≥ 0. Tiếp theo ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm bị chặn của các phương trình (3.3) và (3.10) (tức là nghiệm đủ tốt bị chặn của (3.2) và (3.8)) và do đó tồn tại nghiệm tuần hoàn được đưa ra trong định lí sau. Định lí 3.2.12. Xét các phương trình (3.3) và (3.10). Cho nửa nhóm (T (t))t≥s≥0 là nửa nhóm hyperbolic với phép chiếu nhị phân mũ P và các hằng số M, ν. Cho 43 f ∈ Cb(R+, Y ) là hàm tuần hoàn với chu kì T và g : Cb(R+, Y ) → Cb(R+, Y ) thỏa mãn điều kiện (3.9) với các hằng số ρ, L, và γ. Khi đó, ta có các mệnh đề sau (a) Phương trình (3.3) có duy nhất một nghiệm tuần hoàn với chu kì T . (b) Khi các hằng số L, γ đủ nhỏ, phương trình (3.10) có duy nhất một nghiệm tuần hoàn với chu kì T . Chứng minh. (a) Với mỗi hàm f ∈ Cb(R+, Y ), cho ξ0 = 0 ∈ PY trong (3.36), ta có phương trình (3.3) có một nghiệm bị chặn u(t) = ∫ ∞ 0 G(t− τ)f(τ)dτ. (3.38) Sử dụng bất đẳng thức (3.35), ta có đánh giá nghiệm ‖u‖Cb 6 2M(‖P‖+ 1) ν ‖f‖Cb. (3.39) Từ Chú ý 3.2.9, ta có (T (t))t≥0 thỏa mãn điều kiện ϕ-ổn định với ϕ(t) = Me−νt, t ≥ 0. Vì vậy, áp dụng Định lí 3.1.2, ta có với mỗi hàm f ∈ Cb(R+, Y ) tuần hoàn chu kì T thì tồn tại một nghiệm uˆ tuần hoàn chu kì T của (3.3) (nghĩa là nghiệm đủ tốt tuần hoàn chu kì T của phương trình (3.2)) thỏa mãn ‖uˆ‖Cb 6 M˜‖f‖Cb, (3.40) trong đó M˜ := ( 2M(‖P‖+1) ν + T ) sup 0≤t≤T ‖T (t)‖. Tính duy nhất của nghiệm tuần hoàn chu kì T -được suy ra từ tính liên tục và tính tuần hoàn chu kì T của nghiệm. Xét hai nghiệm tuần hoàn uˆ và vˆ, ta sử dụng tính bị chặn của các nghiệm của phương trình (3.36) có ‖uˆ(t) − vˆ(t)‖ = ‖T (t)(u0 − v0)‖ ≤Me−νt‖u0 − v0‖ → 0 khi t→∞ với u0, v0 ∈ PX. Từ đó dẫn tới uˆ(t) = vˆ(t) với mọi t ≥ 0. (b) Từ kết quả phần (a), cho mỗi hàm f tuần hoàn với chu kì T thì phương trình tuyến tính (3.32) có duy nhất một nghiệm uˆ tuần hoàn chu kì T thỏa mãn bất phương trình (3.40). Vì vậy, kết luận phần (b) được đưa ra từ Định lí 3.1.3. 44 Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh tính ổn định của nghiệm tuần hoàn (3.10). Đầu tiên, ta xét kí hiệu Br(x) (Br(v)) là hình cầu trong Y (trong Cb(R+, Y ), tương ứng) với tâm tại x (tại v) với bán kính r. Định lí 3.2.13. Cho các giả thuyết của Định lí 3.2.12 được đưa ra. Giả sử rằng uˆ là nghiệm tuần hoàn chu kì T của (3.10) có được từ kết luận (b) của Định lí 3.2.12. Cho Bρ(0) là hình cầu chứa uˆ trong kết luận (b) của Định lí 3.2.12. Giả thiết thêm tồn tại hằng số dương L1 thỏa mãn ‖g(v1)− g(v2)‖Cb ≤ L1‖v1− v2‖Cb với mọi v1, v2 ∈ B2ρ(0). Nếu L1 là đủ nhỏ, với mỗi v0 ∈ B ρ2M (Puˆ(0))∩PX có một và chỉ một u(t) của phương trình (3.10) trên R+ thỏa mãn điều kiện Pu = v0 và u ∈ Bρ(uˆ). Hơn nữa, ta có ‖u(t)− uˆ(t)‖ ≤ Ce−µt‖Pu(0)− Puˆ(0)‖ for t ≥ 0, (3.41) với các hằng số dương C và µ không phụ thuộc vào u và uˆ. Chứng minh. Cho v0 ∈ B ρ 2M (Puˆ(0)) ∩ PY , ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ F được xác định bởi (Fw)(t) = T (t)v0 + ∫ ∞ 0 G(t− τ)(g(w)(τ))dτ với t ≥ 0 là ánh xạ đi từ Bρ(uˆ) tới Bρ(uˆ) và là ánh xạ co. Thật vậy, với w(·) ∈ Bρ(uˆ) ta có ‖w‖Cb ≤ ‖w − uˆ‖Cb + ‖uˆ‖Cb ≤ 2ρ (3.42) và ‖g(w)− g(uˆ)‖Cb ≤ L1‖w − uˆ‖Cb ≤ L1ρ. Ta đặt y(t) := (Fw)(t) = T (t)v0 + ∫ ∞ 0 G(t− τ)(g(w)(τ))dτ for t ≥ 0, ta có được ‖y(t)− uˆ(t)‖ ≤Me−νt‖v0 − P (0)uˆ(0)‖+ + (1 + ‖P‖)M ∫ ∞ 0 e−ν|t−τ |dτ‖g(w)− g(uˆ)‖Cb ≤M‖v0 − Puˆ(0)‖+ 2(1 + ‖P‖)ML1ρ ν với mọi t ≥ 0. Khi đó, ta có ‖Fw − uˆ‖Cb ≤M‖v0 − Puˆ(0)‖+ 2(1 + ‖P‖)ML1ρ ν . 45 Do ‖v0 − Puˆ(0)‖ ≤ ρ 2M nên ta thấy rằng, nếu L1 là đủ nhỏ thì ánh xạ F đi từ Bρ(uˆ) tới Bρ(uˆ). Tiếp theo, xét x, z ∈ Bρ(uˆ) (tương tự như trong (3.42), ta có ‖x‖Cb, ‖z‖Cb ≤ 2ρ), ta đánh giá ‖(Fx)(t)− (Fz)(t)‖ ≤ ∫ ∞ 0 ‖G(t− τ)‖‖g(x)(τ)− g(z)(τ))‖dτ ≤ (1 + ‖P‖)M ∫ ∞ 0 e−ν|t−τ |dτ‖g(x)− g(z)‖Cb for all t ≥ 0. Vì vậy, ‖Fx− Fz‖Cb ≤ 2(1 + ‖P‖)ML1 ν ‖x(·)− z(·)‖Cb. Do 2(1 + ‖P‖)ML1 ν < 1 nên ta có F : Bρ(uˆ) → Bρ(uˆ) là ánh xạ co. Vì vậy, tồn tại duy nhất u ∈ Bρ(uˆ) thỏa mãn Fu = u. Từ định nghĩa của ánh xạ F , ta thấy rằng u là nghiệm duy nhất trong Bρ(uˆ) của phương trình (3.37) với t ≥ 0. Từ Bổ đề 3.2.10 và Chú ý 3.2.11, ta có u là nghiệm duy nhất trong Bρ(uˆ) của phương trình (3.10). Cuối cùng, ta chứng minh (3.41). Do uˆ và u đều bị chặn trên R+ nên sử dụng công thức (3.37) ta có u(t)− uˆ(t) = T (t)(Pu(0)− Puˆ(0)) + ∫ ∞ 0 G(t− τ)(g(u)(τ)− g(uˆ)(τ))dτ. Vì vậy, ‖u(t)− uˆ(t)‖ ≤Me−νt‖Pu(0)− Puˆ(0)‖+ + (1 + ‖P‖)M ∫ ∞ 0 e−ν|t−τ |‖g(u)(τ)− g(uˆ)(τ)‖dτ ≤Me−νt‖Pu(0)− Puˆ(0)‖+ + (1 + ‖P‖)ML1 ∫ ∞ 0 e−ν|t−τ |‖u(τ)− uˆ(τ)‖dτ. Áp dụng bất đẳng thức dạng Gronwall- [38, hệ quả III.2.3], với β := (1 + ‖P‖)ML1 < ν2 , ta có ‖u(t)−uˆ(t)‖ ≤ Ce−µt‖Pu(0)−Puˆ(0)‖ với µ := √ ν2 − 2νβ, C := 2Mν ν + √ ν2 − 2νβ . Điều phải chứng minh. 46 Chú ý 3.2.14. Từ kết luận của định lí trên chỉ ra nghiệm uˆ tuần hoàn ổn định theo nghĩa với bất kỳ nghiệm u thỏa mãn Pu(0) ∈ B ρ 2M (Puˆ(0))∩PY và u nằm trong hình cầu nhỏ Bρ(uˆ) thì ‖u(t)− uˆ(t)‖ → 0 khi t→∞ (xem bất đẳng thức (3.41)). Đối với nửa nhóm ổn định mũ (T (t))t≥0 (xem trong Định nghĩa 1.1.12), ta có hệ quả sau được suy ra trực tiếp từ Định lí 3.2.13. Hệ quả 3.2.15. Cho các giả thuyết của Định lí 3.2.12 được đưa ra và cho uˆ là nghiệm tuần hoàn của phương trình (3.10) có được từ phần kết luận [b] của Định lí 3.2.12. Giả sử nửa nhóm (T (t))t≥0 là ổn định mũ. Khi đó, nghiệm tuần hoàn uˆ là ổn định mũ theo nghĩa với bất kì một nghiệm u ∈ Cb(R+, Y ) của (3.10) thỏa mãn ‖u(0)− uˆ(0)‖ là đủ nhỏ, ta có ‖u(t)− uˆ(t)‖ ≤ Ce−µt‖u(0)− uˆ(0)‖ với mọi t ≥ 0 (3.43) với các hằng số dương C và µ không phụ thuộc u và uˆ. Chứng minh. Ta áp dụng Định lí 3.2.13 với P = Id thì có được điều phải chứng minh. Người ta chứng minh toán tử A sinh ra một nửa nhóm (etA)t≥0 liên tục mạnh và là nửa nhóm hyperbolic nếu −ω /∈ σ(A) (xem trong [24, trang 4724] ). Hơn nữa, do toán tử r thuộc lớp C1 và r(0) = r′(0) = 0, nó suy ra r là Lipschitz địa phương với hệ số Lipschitz nhỏ gần 0. Vì vậy toán tử g thỏa mãn các điều kiện trong (3.9) với Y = Z, g(0) = f và hệ số Lipschitz là nhỏ nếu bán kính ρ là nhỏ. Vì vậy, áp dụng Định lí 3.2.12, ta có kết quả sau cho phương trình sóng tắt dần (3.28). Định lí 3.2.16. Cho A là toán tử xác định dương, tự liên hợp với giải thức compact trong không gian Hilbert H, α > 0, và ω ∈ R thỏa mãn −ω /∈ σ(A). Giả sử r : D(A 12 ) → H thuộc lớp C1 với r(0) = r′(0) = 0. Cho f ∈ Cb(R+, H) là tuần hoàn với chu kì T . Nếu ‖f‖Cb(R+,H) là đủ nhỏ thì phương trình (3.28) có duy nhất một nghiệm đủ tốt uˆ tuần hoàn với chu kì T trong lân cận của 0. 47 Các ví dụ Chúng tôi đưa ra hai ví dụ sử dụng kết quả trên. Ví dụ 3.2.17. Xét phương trình sóng tắt dần với ngoại lực không tuyến tính ∂2t u+ α∂tu−∆u = h(u) + f(t); t ∈ R+, x ∈ Ω, (3.44) trong đó Ω là miền bị chặn với biện thuộc lớp C2 trong Rn, n = 1, 2, 3, với điều kiện biên Neumann hoặc Dirichlet thuần nhất và α > 0 là hằng số. Hàm phi tuyến h thuộc lớp C1 với h(0) = 0. Ta đặt ω = −h′(0)− 1, Phương trình (3.44) tương đương với phương trình ∂2t u+ α∂tu+ (I −∆)u+ ωu = h(u)− h′(0)u+ f(t); t ∈ R+, x ∈ Ω. Phương trình trên có thể viết lại dưới dạng ∂2t u+ α∂tu+Au+ ωu = r(u) + f(t); t ∈ R+ với A = I − ∆ và r(u) := h(u) − h′(0)u. Ta chọn H := L2(Ω), khi đó toán tử A = I−∆ với miền xác định D(A) = H10 (Ω)∩H2(Ω) là xác định dương, tự liên hợp và có giải thức compact. Hơn nữa, do phép nhúng Sobolev ta thấy rằng toán tử r thuộc lớp C1 là ánh xạ từ D(A 12 ) ⊂ H1(Ω) tới H. Khi đó, Định lí 3.2.16 chứng minh rằng −ω /∈ σ(A) nghĩa là −h′(0) /∈ σ(∆), điều này chỉ ra rằng nếu f là tuần hoàn chu kì T và đủ nhỏ thì phương trình sóng tắt dần (3.44) có duy nhất nghiệm đủ tốt uˆ tuần hoàn chu kì T trong hình cầu nhỏ của Cb(R+, H). Ví dụ 3.2.18. Xét hệ dầm Timoshenko tắt dần với tải trọng phi tuyến ∂2tw + α∂tw − κ∂x(ϕ+ ∂xw) = ∂wΨ(w,ϕ) + f(t); t ∈ R+, x ∈ [0, l], ∂2t ϕ+ α∂tϕ+ κ(ϕ+ ∂xw)− ∂2xϕ = ∂ϕΨ(w,ϕ); t ∈ R+, x ∈ [0, l], (3.45) với điều kiện biên w(t, 0) = ϕ(t, 0) = 0, ∂xw(t, l) + ϕ(t, l) = ∂xϕ(t, l) = 0. Để biết chi tiết về mô hình và ý nghĩa vật lý của hệ dầm Timoshenko tắt dần ta xem trong [39, Phần 9]. Trong đó, các hằng số α, κ,  là dương và Ψ : R2 → R 48 thuộc lớp C2 với ∇Ψ(0) = 0. Ta chọn H = L2(0, l)2 và A = ( −κ∂2x −κ∂x κ∂x κI − ∂2x ) −∇2Ψ(0)− ω, tương ứng với điều kiện biên và r(u) = ∇Ψ(u)−∇2Ψ(0)u, trong đó u = (w,ϕ)T . Khi đó các giả thuyết của Định lí 3.2.16 được đưa ra khi −ω ≥ 0 là đủ lớn và −ω /∈ σ(A). Vì vậy, Định lí 3.2.16 đươc áp dụng khi hàm f ∈ Cb(R+, H) và tuần hoàn chu kì T với ‖f‖Cb đủ nhỏ, hệ dầm Timoshenko tắt dần có duy nhất nghiệm đủ tốt uˆ tuần hoàn chu kì T trong hình cầu nhỏ trong Cb(R+, H). Kết luận Chương 3 Trong chương này, chúng tôi đã đạt được kết quả sau: • Với nửa nhóm thỏa mãn điều kiện (X, Y, ϕ)-ổn định và phương trình tuyến tính tồn tại nghiệm bị chặn thì chúng tôi đã chỉ ra nếu ngoại lực f tuần hoàn theo chu kì T thì phương trình tuyến tính sẽ tồn tại duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn chu kì T và bị chặn. • Với các giả thuyết như trong trường hợp của phương trình tuyến tính, với một số điều kiện của hàm phi tuyến g và điều kiện hệ số đủ nhỏ thì phương trình phi tuyến có nghiệm đủ tốt tuần hoàn duy nhất trong hình cầu nhỏ . • Ứng dụng các kết quả trong hai Định lí 3.1.2 và Định lí 3.1.3 vào phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn và miền ngoại vi, ứng dụng trong phương trình sóng tắt dần. Cụ thể: – Ứng dụng trong phương trình Navier- Stokes với miền Ω bị chặn có biên thuộc lớp C2, chỉ ra nửa nhóm (T (t))t≥0 là (X, Y, ϕ)-ổn định với ϕ(t) = Me−δtt− n 2 ( 1 r− 12p ). Chứng minh được rằng khi ngoại lực F đủ nhỏ và tuần hoàn chu kì T thì phương trình Navier-Stokes có nghiệm đủ tốt tuần hoàn chu kì T trong hình cầu nhỏ trong Cb(R+, L2pσ,w(Ω)). – Áp dụng vào phương trình Navier-Stokes trong miền ngoại vi với biên trơn, chỉ ra nửa nhóm (T (t))t≥0 là (X, Y, ϕ)-ổn định với ϕ(t) = 49 Mt−( n 2r− 12 ). Chứng minh được rằng khi ngoại lực F đủ nhỏ và tuần hoàn chu kì T thì phương trình Navier-Stokes có nghiệm đủ tốt tuần hoàn chu kì T trong hình cầu nhỏ trong Cb(R+, Lnσ,w(Ω)). – Cuối cùng, ứng dụng trong phương trình sóng tắt dần thì nhận thấy toán tử tuyến tính trong phương trình sóng tắt dần sinh ra nửa nhóm nửa nhóm hyperbolic (T (t))t≥0 (hoặc một nửa nhóm có nhị phân mũ) nên nó thỏa mãn điều kiện (X, Y, ϕ)-ổn định với ϕ(t) = Me−νt, t ≥ 0. Với một số điều kiện của toán tử A và ngoại lực đủ nhỏ và tuần hoàn chu kì T thì phương trình sóng tắt dần có duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn chu kì T . Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [3] trong Danh mục các công trình đã công bố của luận án. 50 Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH OSEEN-NAVIER-STOKES KHÔNG Ô-TÔ-NÔM Trong chương này chúng tôi nghiên cứu phương trình Navier-Stokes trong miền ngoại vi của vật cản xoay và dịch chuyển với vận tốc phụ thuộc thời gian, ở đây vận tốc góc cũng phụ thuộc vào thời gian. Phương trình mô tả hệ động lực này gọi là phương trình Oseen-Navier-Stokes trong miền ngoại vi phụ thuộc thời gian. Hệ phương trình mô tả trong miền ngoại vi cố định Ω ⊂ R3 ut + (u · ∇)u−∆u+∇p = (η(t) + ω(t)× x) · ∇u− ω(t)× u+ divF trong Ω× (0,∞), ∇ · u = 0 trong Ω× (0,∞), u = η(t) + ω(t)× x trên ∂Ω× (0,∞), u|t=0 = u0 trong Ω, lim |x|→∞ u = 0, (4.1) trong đó u = (u1(x, t), u2(x, t), u3(x, t)) T là vận tốc của chất lỏng; p = p(x, t) là áp suất; và divF là ngoại lực η = (0, 0, a(t))T và ω = (0, 0, k(t))T tương ứng là vận tốc góc và vận tốc dịch chuyển của vật cản. Miền Ω = R3\D(0) trong đó D(0) là vị trí miền D ⊂ R3 tại t = 0. Trong trường hợp khi vận tốc xoay và vận tốc dịch chuyển bằng 0 tức là (η(t) = 0, ω(t) = 0) thì phương trình trên chính là phương trình Navier- Stokes. Năm 1959, Serrin [7] chứng minh một định lí quan trong về nghiệm mạnh tuần hoàn với phương trình N-S trong miền không bị chặn sử dụng tính ổn định của nghiệm. Kết quả này bắt đầu cho nhiều nghiên cứu về tính ổn định và tuần hoàn của nghiệm phương trình N-S. Kết quả đã được mở rộng bởi một số tác giả như Miyakawa cùng các cộng sự [8], Kaniel cùng các cộng sự[9]. Với phương trình 51 N-S trong miền không bị chặn, Maremonti là người đầu tiên chỉ ra trong [37] về tính ổn định và tuần hoàn của nghiệm phương trình N-S trên toàn không gian Rd. Sau đó, Kozono và Nakao [10] đã đưa ra một khái niệm nghiệm đủ tốt và chứng minh tồn tại nghiệm của phương trình N-S trên toàn trục thời gian R và trong Rn với n ≥ 4. Tính ổn định của nghiệm tuần hoàn đã được chứng minh bởi Taniuchi [40]. Yamazaki [13] đã sử dụng định lí nội suy và phương pháp lặp của Kato [14], [15] để nghiên cứu nghiệm đủ tốt tuần hoàn trên miền ngoại vi và có được sự tồn tại của nghiệm đủ tốt tuần hoàn trong không gian Lp yếu. Tính duy nhất của nghiệm có được khi dữ liệu ban đầu đủ nhỏ. Hơn nữa, các kết quả trong miền ngoại vi, chúng ta có thể tham khảo tới các tác giả Taniuchi [41], van Baalen và Wittwer [17], Galdi và Silvestre [42]. Một hướng giải quyết vấn đề nghiệm tuần hoàn của chất lỏng sử dụng không gian nội suy và ước lượng của phương trình tuyến tính được giới thiệu bởi Geissert, Hieber và Huy [19]. Trong [45], sử dụng phương pháp ergodic và nguyên lí của Massera để chứng minh tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình N-S trên đa tạp Einstein với độ cong tensors âm. Hơn nữa, với phương trình N-S trên đa tạp Einstein, Huy [46] cũng đưa ra chứng minh nghiệm tuần hoàn theo kiểu Serrin. Phương trình Oseen- Navier-Stokes trong trường hợp vận tốc dịch chuyển và vận tốc xoay của vận cản là hằng số thì Huy [20] sử dụng tổng Cesàro và phương pháp Massera để chứng minh tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn và chỉ ra tính ổn định có được từ điều kiện dữ liệu đủ nhỏ. Một số kết quả gần đây về nghiệm tuần hoàn của phương trình Oseen-Navier-Stokes, chúng ta có thể tham khảo tác giả Galdi [43], [44]. Chọn R0 > 0 thỏa mãn R3\Ω ⊂ BR0 := {x ∈ R3 : |x| < R0}. (4.2) Ta xét hàm cắt bỏ φ ∈ C∞0 (B3R0) thỏa mãn φ = 1 trên B2R0 và đặt b(x, t) = 1 2 rot{φ(x)(η(t)× x− |x|2ω(t))} thì b(x, t) thỏa mãn divb = 0, b|∂Ω = η(T ) + ω(t)× x, b(t) ∈ C∞0 (B3R0). 52 Hơn nữa, ta có ω × b = div  −(a(t))2|x|2φ(x) 2 0 a(t)k(t)x2φ(x) 0 −(a(t))2|x|2φ(x) 2 −a(t)k(t)x1φ(x) 0 0 0  = div(−F1), (4.3) bt = div  0 −a′(t)|x|2φ(x) 2 −k′(t)x1φ(x) 2 a′(t)|x|2φ(x) 2 0 −k′(t)x2φ(x) 2 k′(t)x1φ(x) k′(t)x2φ(x) 0  = div(−F2). (4.4) Nếu ta đặt z(x, t) = u(x, t) − b(x, t) thì u thỏa mãn phương trình (4.1) tương đương với z thỏa mãn zt −∆z −(η + ω × x) · ∇z + ω × z +∇p = divG− (z · ∇)z − (b · ∇)z − (z · ∇)b− (b · ∇)b trong Ω× (0,∞), ∇ · z = 0 trong Ω× (0,∞), z = 0 trên ∂Ω× (0,∞), z|t=0 = z0 trong Ω, lim |x|→∞ z = 0, (4.5) trong đó z0(x) := u0(x)− b(x, 0) và G := F + F1 + F2 +∇b+ b⊗ (η + ω × x). (4.6) 4.1 Phương trình tuyến tính không ô-tô-nôm Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu phương trình tuyến tính liên kết với (4.5) trong miền ngoại vi. Cho Ω ⊂ R3 là miền ngoại vi với biên thuộc lớp C1,1, 53 giá trị ban đầu z0 ∈ L3σ,w(Ω). Ta xét hệ phương trình tuyến tính sau zt −∆z − (η + ω × x) · ∇z + ω × z +∇p = divG trong Ω× (0,∞), ∇ · z = 0 trong Ω× (0,∞), z = 0 trên ∂Ω× (0,∞), z|t=0 = z0 trong Ω, lim |x|→∞ z = 0. (4.7) Ta đưa các kí hiệu sau: |(η, ω)|0 := sup T≥t≥0 (|η(t)|+ |ω(t)|), |(η, ω)|1 := sup T≥t≥0 (|η′(t)|+ |ω′(t)|), |(η, ω)|θ := sup T≥t>s≥0 |η(t)− η(s)|+ |ω(t)− ω(s)| (t− s)θ . (4.8) Giả thiết 4.1.1. Trong phần này, chúng tôi đưa ra các điều kiện cho hệ số η, ω như sau: i) η, ω ∈ Cθ([0,∞),R3) ∩ C1([0,∞),R3) ∩ L∞(0,∞,R3) với θ ∈ (0, 1); ii) Tồn tại hằng số m ∈ (0,∞) thỏa mãn |(η, ω)|0 + |(η, ω)|1 + |(η, ω)|θ ≤ m. (4.9) 4.1.1 Họ tiến hóa Ta xét họ toán tử tuyến tính {L(t)}t≥0 trên Lr(Ω) được định nghĩa như sau D(L(t)) := { u ∈ Lrσ ∩W 1,r0 ∩W 2,r : (ω(t)× x) · ∇u ∈ Lr(Ω) } và L(t)u := −P [∆u+ (η(t) + ω(t)× x) · ∇u− ω(t)× u] với u ∈ D(L(t)). (4.10) Ta biết rằng họ toán tử {L(t)}t≥0 sinh ra họ tiến hóa bị chặn {U(t, s)}t≥s≥0 trên Lrσ(Ω) với mỗi 1 < r <∞ và điều kiện η, ω ∈ Cθloc([0,∞);R3) với θ ∈ (0, 1) (xem [47]). Hơn nữa, với 1 < r < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ thì {U(t, s)}t≥s≥0 được mở rộng là tiến hóa liên tục mạnh, bị chặn trên Lr,qσ (Ω). 54 Chúng tôi đưa lại những ước lượng Lr,q − Lp,q có được từ [48, Định lí 2.1, Định lí 2.2]. Mệnh đề 4.1.2. Giả sử η(t) và ω(t) thỏa mãn Giả thiết 4.1.1. Kí hiệu ‖ · ‖r,q là chuẩn trong Lr,q(Ω) (với 1 < r <∞, 1 ≤ q ≤ ∞), ta có các khẳng định sau: (i) ‖U(t, s)x‖r,q, ‖U(t, s)∗x‖r,q ≤M(t− s)− 3 2 ( 1 p− 1r )‖x‖p,q, (4.11) với mọi t > s ≥ 0 (và 1 < p ≤ r <∞). (ii) Với 1 < p ≤ r < 3, ta có ‖∇U(t, s)x‖r,q, ‖∇U(t, s)∗x‖r,q ≤M(t− s)− 1 2− 32 ( 1p− 1r )‖x‖p,q, (4.12) với mọi t > s ≥ 0. (iii) Với 1 < p ≤ r ≤ 3 và 1 ≤ q <∞, ta có ‖∇U(t, s)∗x‖r,q ≤M(t− s)− 1 2− 32 ( 1p− 1r )‖x‖p,q với mọi t > s ≥ 0. (4.13) Trong trường hợp 1p − 1r = 13 với 1 < p ≤ r ≤ 3, ta có∫ t 0 ‖∇U(t, s)∗x‖r,1ds ≤M‖x‖p,1 với mọi t > s ≥ 0. (4.14) Chứng minh. Sử dụng định lí nội suy và các ước lượng Lp − Lq trong Hishida [48, Định lí 2.1], ta có được ước lượng (4.11) và (4.12). Khẳng định (iii) đã được chứng minh trong [48, Định lí 2.2]. 4.1.2 Nghiệm bị chặn của phương trình tuyến tính không thuần nhất Áp dụng phép chiếu Helmholtz P vào hệ (4.7), ta có thể viết phương trình như phương trình Cauchy tuyến tính không ô-tô-nôm{ zt + L(t)z = PdivG, t > 0 , z|t=0 = z0 ∈ L3σ,w(Ω), (4.15) trong đó L(t) được định nghĩa trong (4.10). Xem chứng minh trong [47], họ toán tử (L(t))t≥0 sinh ra họ tiến hóa (U(t, s))t≥s≥0 theo nghĩa z(t) = U(t, 0)z0 55 là nghiệm của phương trình thuần nhất zt + L(t)z = 0; z(0) = z0. Vì vậy, ta định nghĩa một nghiệm đủ tốt của phương trình (4.15) là một hàm z(t) thỏa mãn phương trình tích phân z(t) = U(t, 0)z(0) + ∫ t 0 U(t, τ)PdivG(τ)dτ. (4.16) Ta kí hiệu ‖ · ‖s,w là chuẩn trong Lsσ,w. Xét không gian các hàm bị chặn và liên tục yếu Cw∗,b(R+, Lsσ,w) := { v : R+ → Lsσ,w : v là liên tục yếu * sup t∈R+ ‖v(t)‖s,w <∞ } (4.17) với chuẩn ‖v‖∞,s,w := sup t∈R+ ‖v(t)‖s,w. Chú ý 4.1.3. Cho η(t) và ω(t) thỏa mãn Giả thiết 4.1.1. Nếu ngoại lực F thỏa mãn F thuộc vào không gian Cw∗,b(R+, L3/2σ,w(Ω)3×3) thì G cũng thuộc vào không gian Cw∗,b(R+, L3/2σ,w(Ω)3×3), hơn nữa ‖G‖∞, 32 ,w ≤ ‖F‖∞, 32 ,w + C(m). (4.18) Chúng tôi đưa ra định lí sau chỉ ra tính bị chặn, liên tục yếu của nghiệm đủ tốt của phương trình tuyến tính (4.15). Định lí 4.1.4. Cho Ω là miền ngoại vi trong R3 với biên thuộc lớp C1,1 và z0 ∈ L3σ,w(Ω). Giả sử η(t) và ω(t) thỏa mãn Giả thiết 4.1.1 và F ∈ Cw∗,b(R+, L3/2σ,w(Ω)3×3). Khi đó phương trình (4.15) có duy nhất một nghiệm đủ tốt z ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w(Ω)) được biểu diễn bởi công thức (4.16) với z(0) = z0. Hơn nữa, ta có ‖z‖∞,3,w ≤M‖z0‖3,w + M˜‖G‖∞, 32 ,w, (4.19) trong đó M và M˜ là các hằng số dương không phụ thuộc vào z0, z, và F . Chứng minh. Cho z(t) = U(t, 0)z(0) + ∫ t 0 U(t, τ)PdivG(τ)dτ với z(0) = z0, ta chỉ ra rằng ‖z(t)‖3,w là bị chặn. Ta viết kí hiệu 〈·, ·〉 là chỉ cặp liên hợp L3σ,w và L 3 2 ,1 σ . Với mỗi ϕ ∈ L 3 2 ,1 σ , ta có ước lượng sau. | 〈z(t), ϕ〉 | ≤ | 〈U(t, 0)z0, ϕ〉 |+ ∫ t 0 | 〈U(t, τ)PdivG(τ), ϕ〉 |dτ 56 ≤ | 〈U(t, 0)z0, ϕ〉 |+ ∫ t 0 | 〈G(τ),∇U(t, τ)∗ϕ〉 |dτ ≤ ‖U(t, 0)z0‖3,w‖ϕ‖ 3 2 ,1 + ∫ t 0 ‖G(τ)‖ 3 2 ,w ‖∇U(t, τ)∗ϕ‖3,1dτ ≤ M‖z0‖3,w‖ϕ‖ 3 2 ,1 + ‖G‖∞, 32 ,w ∫ t 0 ‖∇U(t, τ)∗ϕ‖3,1dτ. (4.20) Sử dụng ước lượng Lr,q−Lp,q (xem Mệnh đề 4.1.2, bất đẳng thức (4.14)), ta suy ra ∫ t 0 ‖∇U(t, τ)∗ϕ‖3,1dτ ≤ M˜‖ϕ‖ 32 ,1. Sử dụng bất đẳng thức này vào (4.20), ta có | 〈z(t), ϕ〉 | ≤M‖z0‖3,w‖ϕ‖ 3 2 ,1 +M˜‖G‖∞, 32 ,w‖ϕ‖ 32 ,1 với mọi t > 0 và mọi ϕ ∈ L 3 2 ,1 σ . Vì vậy, ‖z(t)‖3,w ≤M‖z0‖3,w + M˜‖G‖∞, 32 ,w , ∀t ≥ 0. (4.21) Từ bất đẳng thức (4.21), ta được bất đẳng thức (4.19). Tiếp theo ta sẽ chứng minh z(t) là liên tục yếu* đối với t ∈ (0,∞) với giá trị trong L3σ,w(Ω). Do U(t, s) là liên tục mạnh nên U(t, 0)z0 là liên tục đối với t. Vì vậy, ta chỉ cần chứng minh hàm tích phân t 7→ ∫ t0 U(t, τ)PdivG(τ)dτ là liên tục yếu*. Thực vậy, với mỗi ϕ ∈ C∞0,σ (C∞0,σ là trù mật trong L 3 2 ,1 σ ). Ta cần chỉ ra ∣∣∣〈∫ t0 U(t, τ)PdivG(τ)dτ − ∫ s0 U(s, τ)PdivG(τ)dτ, ϕ〉∣∣∣ → 0 khi t → s. Không mất tính tổng quát, ta giả sử t ≥ s ≥ τ , ta có∣∣∣∣〈∫ t 0 U(t, τ)PdivG(τ)dτ − ∫ s 0 U(s, τ)PdivG(τ)dτ, ϕ 〉∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣〈∫ t s U(t, τ)PdivG(τ)dτ, ϕ 〉∣∣∣∣ + ∣∣∣∣〈∫ s 0 U(t, τ)PdivG(τ)dτ − ∫ s 0 U(s, τ)PdivG(τ)dτ, ϕ 〉∣∣∣∣ = ∣∣∣∣〈∫ t s U(t, τ)PdivG(τ)dτ, ϕ 〉∣∣∣∣+ ∣∣∣∣〈∫ s 0 (U(t, s)− I)U(s, τ)PdivG(τ)dτ, ϕ 〉∣∣∣∣ (4.22) (ta sử dụng tính chất họ tiến hóa U(t, s)U(s, τ) = U(t, τ) với t ≥ s ≥ τ). Tích phân đầu trong biểu thức cuối của (4.22) có thể ước lượng như sau.∣∣∣∣〈∫ t s U(t, τ)PdivG(τ)dτ, ϕ 〉∣∣∣∣ ≤ ∫ t s |〈G(τ),∇U(t, τ)∗ϕ〉| dτ ≤ C‖G‖∞, 32 ,w ∫ t s ‖∇U(t, τ)∗ϕ‖3,1dτ 57 ≤ C‖G‖∞, 32 ,w ∫ t s (t− τ)− 12dτ‖ϕ‖3,1 = 2C‖G‖∞, 32 ,w(t− s) 1 2‖ϕ‖3,1. Vì vậy, tích phân đầu sẽ tiến tới 0 khi s→ t . Tương tự, tích phân thứ hai trong biểu thức (4.22) có thể đánh giá như sau∣∣∣∣〈∫ s 0 (U(t, s)− I)U(s, τ)PdivG(τ)dτ, ϕ 〉∣∣∣∣ ≤ ∫ s 0 |〈G(τ),∇U(s, τ)∗(U(t, s)∗ − I)ϕ〉| dτ ≤ ‖G‖∞, 32 ,w ∫ s 0 ‖∇U(s, τ)∗(U(t, s)∗ − I)ϕ‖3,1dτ ≤ C‖G‖∞, 32 ,w ∫ s 0 (s− τ)− 12dτ‖(U(t, s)∗ − I)ϕ‖3,1 ≤ 2C‖G‖∞, 32 ,ws 1 2‖(U(t, s)∗ − I)ϕ‖3,1. Do họ tiến hóa liên hợp U(t, s)∗ là liên tục mạnh, biểu thức tích phân thứ hai trong (4.22) cũng tiến tới 0 khi s → t. Tương tự, ta xét trường hợp s > t > τ . Vì vậy, nghiệm đủ tốt z(t) là liên tục yếu* đối với biến t và bị chặn nên z ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w(Ω)). 4.1.3 Nghiệm tuần hoàn Trong phần này chúng tôi xét các dữ liệu là phụ thuộc thời gian và tuần hoàn với chu kì T , ta sẽ chỉ ra tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn, bị chặn của phương trình Oseen-Navier-Stokes trường hợp tuyến tính. Chú ý 4.1.5. Giả sử η(t) và ω(t) là hàm tuần hoàn với chu kì T thì họ toán tử L(t) là tuần hoàn với chu kì T theo nghĩa L(t + T ) = L(t) với mọi t ∈ R+. Vì vậy họ toán tử L(t) sinh ra họ tiến hóa (U(t, s))t≥s≥0 là tuần hoàn chu kì T theo nghĩa U(t+ T, s+ T ) = U(t, s) với mọi t ≥ s ≥ 0. (4.23) Định lí tiếp theo chúng tôi chỉ ra nghiệm đủ tốt tuần hoàn chu kì T của phương trình (4.15) với điều kiện vận tốc vật cản và hàm ngoại lực tuần hoàn với chu kì T . 58 Định lí 4.1.6. Cho Ω ⊂ R3 là miền ngoại vi với biên thuộc lớp C1,1. Giả sử η(t) và ω(t) thỏa mãn Giả thiết 4.1.1 và là hàm tuần hoàn với chu kì T . Nếu F ∈ Cw∗,b(R+, L3/2σ,w(Ω)3×3) là tuần hoàn với chu kì T thì phương trình (4.15) có duy nhất một nghiệm đủ tốt zˆ ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w(Ω)) tuần hoàn với chu kì T . Hơn nữa, nghiệm tuần hoàn này còn thỏa mãn ‖zˆ‖∞,3,w ≤ M˜(M + 1)‖G‖∞, 32 ,w. (4.24) Chứng minh. Cho giá trị ban đầu z0 ∈ L3σ,w(Ω), từ Định lí 4.1.4 suy ra có một và chỉ một nghiệm đủ tốt z ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w(Ω)) của (4.15) với z(0) = z0. Ta định nghĩa ánh xạ Poincaré như sau: P : L3σ,w(Ω)→ L3σ,w(Ω) P(x) := z(T ) với z ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w) là nghiệm đủ tốt của (4.15) với z(0) = x. Từ công thức nghiệm đủ tốt (4.16), ta có P(x) = z(T ) = U(T, 0)x+ ∫ T 0 U(T, τ)P ( divG(τ) ) dτ. (4.25) Do η(t) và ω(t) là các hàm tuần hoàn chu kì T nên G(t) là hàm tuần hoàn chu kì T . Cũng do η(t) và ω(t) là các hàm tuần hoàn chu kì T nên họ toán tử L(t) là tuần hoàn chu kì T , sinh ra họ tiến hóa U(t, s)t≥s≥0 tuần hoàn chu kì T . Ta chứng minh tính chất sau của ánh xạ Poincaré Pm(x) = z(mT ) với mọi m ∈ N. (4.26) Ta sẽ chứng minh đẳng thức trên bằng phương pháp quy nạp. Thật vậy, từ công thức (4.25), ta suy ra đẳng thức đúng với m = 1. Giả sử đẳng thức đúng với m = k, nghĩa là Pk(x) = z(kT ) thì ta chứng minh đẳng thức đúng với m = k + 1. Từ định nghĩa của z, ta có z((k + 1)T ) = U((k + 1)T, 0)x+ ∫ (k+1)T 0 U((k + 1)T, τ)P ( divG(τ) ) dτ = U((k + 1)T, 0)x+ ∫ kT 0 U((k + 1)T, τ)P ( divG(τ) ) dτ + ∫ (k+1)T kT U((k + 1)T, τ)P ( divG(τ) ) dτ 59 = U((k + 1)T, kT )U(kT, 0)x + ∫ kT 0 U((k + 1)T, kT )U(kT, τ)P ( divG(τ) ) dτ + ∫ T 0 U((k + 1)T, kT + τ)P ( divG(τ) ) dτ = U(T, 0)U(kT, 0)x+ ∫ kT 0 U(T, 0)U(kT, τ)P ( divG(τ) ) dτ + ∫ T 0 U(T, τ)P ( divG(τ) ) dτ = U(T, 0)z(kT ) + ∫ T 0 U(T, τ)P ( divG(τ) ) dτ = U(T, 0)Pk(x) + ∫ T 0 U(T, τ)P ( divG(τ) ) dτ = Pk+1(x). (4.27) Vì vậy, ta có được đẳng thức (4.26) đúng với mọi m ∈ N. Do nghiệm đủ tốt z(mT ) là bị chặn nên dãy {Pm(x)}m∈N là dãy bị chặn trong L3σ,w. Ta định nghĩa tổng Cesàro Pn, cho mỗi n ∈ N xét Pn := 1 n n∑ m=1 Pm : L3σ,w(Ω)→ L3σ,w(Ω). (4.28) Chọn x = 0, bất đẳng thức (4.19) suy ra sup m∈N ‖Pm(0)‖3,w ≤ M˜‖G‖∞, 32 ,w. (4.29) Do tính bị chặn của {Pm(0)}m∈N trong L3σ,w suy ra dãy {Pn(0)}n∈N = { 1 n n∑ k=1 Pk(0) } n∈N bị chặn trong L3σ,w. Từ bất đẳng thức (4.29) suy ra sup n∈N ‖Pn(0)‖3,w ≤ M˜‖G‖∞, 32 ,w. (4.30) Do L3σ,w = (L 3 2 ,1 σ )′, sử dụng tính tách được của L 3 2 ,1 σ và định lí của Banach-Alaoglu suy ra tồn tại một dãy con hội tụ yếu-* {Pnk(0)} của dãy {Pn(0)}. {Pnk(0)} yếu ∗ −→ xˆ ∈ L3σ,w với ‖xˆ‖3,w ≤ M˜‖G‖∞, 32 ,w. (4.31) 60 Từ công thức (4.28), ta có PPn(0) − Pn(0) = 1n(Pn+1(0) − P(0)). Do dãy {Pn+1(0)}n∈N bị chặn trong không gian L3σ,w nên ta có lim n→∞(PPn(0)− Pn(0)) = limn→∞ 1 n (Pn+1(0)− P(0)) = 0 trong không gian L3σ,w. Vì vậy, dãy con {Pnk(0)} thỏa mãn tính chất (PPnk(0)− Pnk(0)) yếu ∗ −→ 0. (4.32) Từ (4.31) và (4.32), ta có PPnk(0) yếu ∗ −→ xˆ ∈ L3σ,w. (4.33) Bây giờ, ta sẽ chỉ ra P(xˆ) = xˆ. Thật vậy, với mọi h ∈ L 3 2 ,1 σ , ta có (ở đây 〈·, ·〉 là cặp liên hợp của L 3 2 ,1 σ và (L 3 2 ,1 σ )′): 〈PPnk(0), h〉 = 〈U(T, 0)Pnk(0), h〉+ 〈∫ T 0 U(T, s)P ( divG(s) ) ds, h 〉 = 〈Pnk(0), U(T, 0)∗h〉+ 〈∫ T 0 U(T, s)P ( divG(s) ) ds, h 〉 nk→∞−→ 〈xˆ, U(T, 0)∗h〉+ 〈∫ T 0 U(T, s)P ( divG(s) ) ds, h 〉 = 〈U(T, 0)xˆ, h〉+ 〈∫ T 0 U(T, s)P ( divG(s) ) ds, h 〉 = 〈P(xˆ), h〉 . (4.34) Từ đó, ta suy ra PPnk(0) yếu ∗ −→ Pxˆ ∈ L3σ,w. (4.35) Từ (4.33) và (4.35), ta có P(xˆ) = xˆ. (4.36) Bây giờ, xét xˆ ∈ L3σ,w là giá trị ban đầu, theo Định lí 4.1.4, tồn tại duy nhất một nghiệm đủ tốt zˆ(·) ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w(Ω)) với zˆ(0) = xˆ. Từ cách xác định ánh xạ Poincaré P suy ra zˆ(0) = zˆ(T ). Vì vậy, zˆ(t) là nghiệm tuần hoàn chu kì T . Hơn nữa, bất đẳng thức (4.19) kết hợp với (4.31) dẫn tới bất đẳng thức (4.24). Tính duy nhất của zˆ được chứng minh như sau. Giả sử zˆ1 và zˆ2 là hai nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kỳ T của phương trình (4.15) với zˆ1, zˆ2 ∈ 61 Cw∗,b(R+, L3σ,w). Thì từ v = zˆ1 − zˆ2, ta thấy rằng v là tuần hoàn với chu kì T . Hơn nữa, từ công thức (4.16) ta có v(t) = U(t, 0)(zˆ1(0)− zˆ2(0)) với t > 0. (4.37) Từ ước lượng Lr,q − L3,q (xem (4.11)), ta suy ra rằng lim t→∞ ‖v(t)‖r,w = 0 cho r > 3. (4.38) Do v là tuần hoàn, giới hạn (4.38) suy ra v(t) = 0 với mọi t ≥ 0. Vì vậy, zˆ1 = zˆ2. 4.2 Phương trình phi tuyến Trong phần này chúng tôi nghiên cứu tính tuần hoàn và tính ổn định của nghiệm đủ tốt của phương trình Oseen-Navier-Stokes (4.1). Áp dụng phép chiếu Helmholtz P vào hệ (4.5), ta có thể viết phương trình như phương trình Cauchy không ô-tô-nôm{ zt + L(t)z = Pdiv (G− z ⊗ z − b⊗ z − z ⊗ b− b⊗ b) , t > 0 , z|t=0 = z0 ∈ L3σ,w(Ω). (4.39) Tương tự như trường hợp phương trình tuyến tính, ta định nghĩa nghiệm đủ tốt của phương trình (4.39) là một hàm z(t) thỏa mãn phương trình tích phân sau. z(t) = U(t, 0)z(0)+ ∫ t 0 U(t, τ)Pdiv(−z⊗z−b⊗z−z⊗b−b⊗b+G(τ))dτ. (4.40) 4.2.1 Nghiệm tuần hoàn Định lí sau chỉ ra kết quả về nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình không ô-tô-nôm Oseen-Navier-Stokes. Định lí 4.2.1. Cho Ω ⊂ R3 là miền ngoại vi với biên thuộc lớp C1,1. Giả sử η(t) và ω(t) thỏa mãn Giả thiết 4.1.1 và là hàm tuần hoàn với chu kì T . Nếu F ∈ Cw∗,b(R+, L3/2σ,w(Ω)3×3) là tuần hoàn với chu kì T ; ‖F‖∞, 32 ,w và m đủ nhỏ thì phương trình (4.39) có duy nhất một nghiệm đủ tốt zˆ tuần hoàn với chu kì T trên quả cầu nhỏ thuộc không gian Cw∗,b(R+, L3σ,w(Ω)). 62 Chứng minh. Ta sử dụng nguyên lí điểm bất động để chứng minh định lí này. Xét hình cầu BTρ ⊂ Cw∗,b(R+, L3σ,w(Ω)) được xác định như sau: BTρ := {v ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w) : v là tuần hoàn chu kì T với ‖v‖∞,3,w ≤ ρ}. (4.41) Ta định nghĩa ánh xạ Φ như sau: Cho phương trình zt + L(t)z = Pdiv (−v ⊗ v − b⊗ v − v ⊗ b− b⊗ b+G) , (4.42) với v ∈ BTρ , ta đặt Φ(v) = z với z ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w) là nghiệm tuần hoàn chu kì T của phương trình (4.42). (4.43) Ta chỉ ra rằngm, ρ và ‖G‖∞, 32 ,w là đủ nhỏ, thì Φ là ánh xạ từ BTρ tới BTρ và là ánh xạ co. Thật vậy, với v ∈ BTρ , do Bổ đề 1.2.13 nên ta có v(t)⊗ v(t) ∈ L3/2σ,w(Ω)3×3 và ‖v(t)⊗ v(t)‖ 3 2 ,w ≤ C‖v(t)‖23,w với mọi t ≥ 0. Vì vậy, ‖v ⊗ v‖∞, 32 ,w ≤ C‖v‖ 2 ∞,3,w ≤ Cρ2, ‖b⊗ b‖∞, 32 ,w ≤ C‖b‖ 2 ∞,3,w ≤ Cm2, ‖b⊗ v‖∞, 32 ,w ≤ C‖b‖∞,3,w‖v‖∞,3,w ≤ Cmρ, ‖v ⊗ b‖∞, 32 ,w ≤ C‖v‖∞,3,w‖b‖∞,3,w ≤ Cmρ. (4.44) Sử dụng Định lí 4.1.6, ta thay thếG trong vế phải bởi−v⊗v−b⊗v−v⊗b−b⊗b+G và áp dụng (4.24), ta có được với mỗi v ∈ BTρ thì tồn tại một và chỉ một nghiệm đủ tốt z tuần hoàn với chu kì T của phương trình (4.42), và nghiệm này thỏa mãn ‖z‖∞,3,w ≤ M˜(M + 1) ( Cρ2 + 2Cmρ+ Cm2 + ‖G‖∞, 32 ,w ) . (4.45) Vì vậy, với ρ, m, và ‖G‖∞, 32 ,w đủ nhỏ thì ánh xạ Φ từ BTρ tới BTρ . Từ công thức (4.16) ta có Φ(v)(t) = U(t, 0)z(0)+ ∫ t 0 U(t.τ)Pdiv(−v⊗v−b⊗v−v⊗b−b⊗b+G(τ))dτ (4.46) với Φ(v) = z. 63 Hơn nữa, với v1, v2 ∈ BTρ , do (4.46) nên ta có u := Φ(v1) − Φ(v2) là nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tuyến tính ut + L(t)u = Pdiv(−v1 ⊗ v1 + v2 ⊗ v2 − b⊗ v1 − v1 ⊗ b+ b⊗ v2 + v2 ⊗ b). Vì vậy, từ Định lí 4.1.6, ta có ‖Φ(v1)− Φ(v2)‖∞,3,w ≤ M˜(M + 1)‖ − (v1 − v2)⊗ v1 − v2 ⊗ (v1 − v2) − b⊗ (v1 − v2)− (v1 − v2)⊗ b‖∞, 32 ,w ≤ M˜(M + 1)(2ρ+ 2Cm)‖v1 − v2‖∞,3,w. (4.47) Do đó với ρ, m, và ‖G‖∞, 32 ,w đủ nhỏ, ta có Φ : BTρ → BTρ là ánh xạ co. Vì vậy, Φ có duy nhất một điểm bất động zˆ, và khi đó zˆ là nghiệm đủ tốt duy nhất tuần hoàn chu kỳ T của phương trình Oseen-Navier-Stokes (4.39). 4.2.2 Tính ổn định của nghiệm bị chặn và nghiệm tuần hoàn Định lí 4.2.2. Cho Ω ⊂ R3 là miền ngoại vi với biên thuộc lớp C1,1. Giả sử các điều kiện của Định lí 4.2.1 được đưa ra thì nghiệm đủ tốt tuần hoàn chu kì T của phương trình (4.39) trong Định lí 4.2.1 là ổn định tiệm cận nghĩa là với bất kì nghiệm u ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w) của phương trình (4.39) thỏa mãn ‖u(0)− zˆ(0)‖3,w, ‖u(0)− zˆ(0)‖r,w là đủ nhỏ thì ‖u(t)− zˆ(t)‖r,w ≤ C t 1 2− 32r với mọi t > 0 (4.48) với r là một số thực bất kì thuộc (3,∞). Chứng minh. Từ điều kiện m, ‖G‖∞, 32 ,w, và z0 ∈ L3σ,w là đủ nhỏ, tương tự như trong chứng minh của Định lí 4.2.1 (sử dụng Bρ := {v ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w) : ‖v‖∞,3,w ≤ ρ} thay cho BTρ ) chỉ ra rằng tồn tại duy nhất một nghiệm đủ tốt z ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w) của phương trình (4.39) thỏa mãn z(0) = z0. Hơn nữa, nghiệm z nằm trong quả cầu đủ nhỏ Bρ trong Cw∗,b(R+, L3σ,w). Cho zˆ là nghiệm của phương trình (4.39) có được trong Định lí 4.2.1, và cho u ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w) là nghiệm đủ tốt khác của phương trình (4.39) thỏa mãn ‖u(0)− zˆ(0)‖3,w là đủ nhỏ. 64 Đặt v = u− zˆ, ta thấy v thỏa mãn v(t) = U(t, 0)(u(0)− zˆ(0)) + ∫ t 0 U(t, τ)Pdiv(H(v))dτ, (4.49) trong đó H(v) = −v ⊗ (v + zˆ)− zˆ ⊗ v − b⊗ v − v ⊗ b. Với mỗi r > 3 cố định, đặt M := { v ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w) : sup t>0 t 1 2− 32r‖v(t)‖r,w <∞ } và xét chuẩn ‖v‖M := ‖v‖∞,3,w + supt>0 t 1 2− 32r‖v(t)‖r,w trên M. Ta nhận thấy rằng với m, ‖u(0)− zˆ(0)‖3,w và ‖zˆ‖∞,3,w đủ nhỏ, phương trình (4.49) chỉ có một nghiệm duy nhất trong hình cầu của M có tâm tại 0. Thật vậy, với v ∈M, ta xây dựng ánh xạ Φ như sau Φ(v)(t) := U(t, 0)(u(0)− zˆ(0)) + ∫ t 0 U(t, τ)Pdiv(H(v))dτ. Kí hiệu Bρ := {w ∈ M : ‖w‖M ≤ ρ}. Bây giờ, ta chỉ ra rằng với m, ‖u(0) − zˆ(0)‖3,w và ρ đủ nhỏ, ánh xạ Φ là ánh xạ từ Bρ tới Bρ. Hơn nữa, ta chứng minh được Φ là ánh xạ co. Thật vậy, với v ∈M, tương tự như trong chứng minh của Định lí 4.2.1, ta có Φ(v) ∈ Cw∗,b(R+, L3σ,w). Tiếp theo, ta có t 1 2− 32rΦ(v)(t) = t 1 2− 32rU(t, 0)(u(0)− zˆ(0)) + t 12− 32r ∫ t 0 U(t, τ)Pdiv(H(v))dτ. Dùng ước lượng Lr − L3 với toán tử U(t, 0) (xem (4.11)), ta có được ‖t 12− 32rU(t, 0)(u(0)− zˆ(0))‖r,w ≤M‖u(0)− zˆ(0))‖3,w. Ta xét ∫ t 0 U(t, τ)Pdiv(H(v))dτ = ∫ t 0 U(t, t− ξ)Pdiv(H(v)(t− ξ))dξ, t > 0, và đánh giá tích phân này. Ta xét hàm thử ϕ ∈ C∞0,σ có∣∣∣∣〈∫ t 0 U(t, t− ξ)Pdiv(H(v(t− ξ))dξ, ϕ 〉∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ t 0 〈−H(v(t− ξ)),∇U(t, t− ξ)∗ϕ〉 dξ ∣∣∣∣ 65 ≤ ∫ t 0 |〈−H(v(t− ξ)),∇U(t, t− ξ)∗ϕ〉| dξ = ∫ t/2 0 |〈−H(v(t− ξ)),∇U(t, t− ξ)∗ϕ〉| dξ + ∫ t t/2 |〈−H(v(t− ξ)),∇U(t, t− ξ)∗ϕ〉| dξ. (4.50) Bây giờ, xét hai biểu thức tích phân trong đánh giá cuối của (4.50). Biểu thức tích phân đầu được đánh giá như sau∫ t/2 0 |〈−H(v(t− ξ)),∇U(t, t− ξ)∗ϕ〉| dξ ≤ ∫ t/2 0 ‖H(v(t− ξ))‖ 3r 3+r ,w ‖∇U(t, t− ξ)∗ϕ‖ 3r 3r−3−r ,1 dξ ≤ ∫ t/2 0 (‖v(t− ξ)‖3,w + 2Cm+ 2‖zˆ(t− ξ)‖3,w)‖v(t− ξ)‖r,w ‖∇U(t, t− ξ)∗ϕ‖ 3r 3r−3−r ,1 dξ ≤ (‖v‖M + 2Cm+ 2‖zˆ‖∞,3,w)‖v‖M ∫ t/2 0 (t− ξ)− 12+ 32r ‖∇U(t, t− ξ)∗ϕ‖ 3r 3r−3−r ,1 dξ ≤ ( t 2 )− 12+ 32r (‖v‖M + 2Cm+ 2‖zˆ‖∞,3,w)‖v‖M ∫ t/2 0 ‖∇U(t, t− ξ)∗ϕ‖ 3r 3r−3−r ,1 dξ. Sử dụng ước lượng (4.14), ta có∫ t/2 0 ‖∇U(t, t− ξ)∗ϕ‖ 3r 3r−3−r ,1 dξ ≤M‖ϕ‖ r r−1 ,1. Vì vậy, ta có∫ t/2 0 |〈−H(v(t− ξ)),∇U(t, t− ξ)∗ϕ〉| dξ ≤M ( t 2 )− 12+ 32r (‖v‖M + 2C|ζ|+ 2‖zˆ‖∞,3,w)‖v‖M‖ϕ‖ rr−1 ,1. (4.51) Ta đánh giá biểu thức tích phân thứ hai trong (4.50)∫ t t/2 |〈−H(v(t− ξ)),∇U(t, t− ξ)∗ϕ〉| dξ ≤ ∫ t t/2 ‖H(v(t− ξ))‖ 3 2 ,w ‖∇U(t, t− ξ)∗ϕ‖3,1 dξ ≤ ∫ t t/2 (‖v(t− ξ)‖3,w 66 + 2Cm+ 2‖zˆ(t− ξ)‖3,w)‖v(t− ξ)‖3,w ‖∇U(t, t− ξ)∗ϕ‖3,1 dξ ≤M(‖v‖M + 2Cm+ 2‖zˆ‖∞,3,w)‖v‖M ∫ t t/2 ξ− 3 2+ 3 2r ‖ϕ‖ r r−1 ,1 dξ ≤Mt− 12+ 32r (‖v‖M + 2Cm+ 2‖zˆ‖∞,3,w)‖v‖M ‖ϕ‖ r r−1 ,1 . (4.52) Từ (4.51), (4.52), và (4.50), ta có được∣∣∣∣〈∫ t 0 U(t, t− ξ)div(H(v(t− ξ))dξ, ϕ 〉∣∣∣∣ ≤ M˜t− 12+ 32r (‖v‖M + 2Cm+ 2‖zˆ‖∞,3,w)‖v‖M ‖ϕ‖ r r−1 ,1 , với mọi ϕ ∈ C∞0,σ. Vì vậy, ta có∥∥∥∥∫ t 0 U(t, t− ξ)div(H(v(t− ξ))dξ ∥∥∥∥ r,w ≤ M˜t− 12+ 32r (‖v‖M + 2Cm+ 2‖zˆ‖∞,3,w)‖v‖M, với mọi t > 0. Điều này tương đương ‖Φ(v)‖M ≤M‖u(0)− zˆ(0)‖3,w + M˜(‖v‖M + 2Cm+ 2‖zˆ‖∞,3,w)‖v‖M. Tương tự như trên, ta có được ‖Φ(v1)− Φ(v2)‖M ≤ (2Cm+ ‖v1‖M + ‖v2‖M + 2‖zˆ‖∞,3,w)‖v1 − v2‖M với mọi v1, v2 ∈M. Vì vậy, với ‖u(0)− zˆ(0)‖3,w, ‖zˆ‖∞,3,w, m, và ρ đủ nhỏ, ánh xạ Φ là ánh xạ từ Bρ tới Bρ và là ánh xạ co. Khi đó, Φ có duy nhất một điểm bất động v = u− zˆ trong M. Vì vậy, ta có được (4.48) và chỉ ra được tính ổn định của zˆ . Kết luận Chương 4 Trong chương này, chúng tôi đã đạt được kết quả sau: • Chứng minh được tồn tại nghiệm đủ tốt bị chặn, nghiệm đủ tốt tuần hoàn bị chặn của phương trình Oseen-Navier-Stokes không ô-tô-nôm trường hợp tuyến tính với miền ngoại vi. Cụ thể: 67 – Với giá trị ban đầu z0 ∈ L3σ,w(Ω) , dùng ước lượng Lr,q − Lp,q cho họ tiến hóa {U(t, s)}t≥s≥0 chỉ ra tồn tại nghiệm đủ tốt liên tục yếu và bị chặn cho phương trình tuyến tính. – Với dữ liệu ban đầu tuần hoàn chu kì T , dùng ánh xạ Poincaré và tổng Cesàro để chỉ ra tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tuyến tính. • Chứng minh được tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn với dữ liệu đủ nhỏ và cũng chỉ ra được tính ổn định tiệm cận của nghiệm tuần hoàn đó của phương trình Oseen-Navier-Stokes không ô-tô-nôm với miền ngoại vi. Cụ thể: – Sử dụng nguyên lí điểm bất động trên không gian BTρ để chỉ ra tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình phi tuyến. – Sử dụng ước lượng Lr,q −Lp,q cho họ tiến hóa {U(t, s)}t≥s≥0, nguyên lí điểm bất động trong không gian M để chỉ tính ổn định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn cho phương trình phi tuyến. Kết quả chính của chương này dựa vào bài báo [2] trong Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án. 68 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1 Những kết quả đã đạt được Nội dung của luận án gồm 4 chương trong đó Chương 1 là kiến thức chuẩn bị, còn lại là 3 chương chính của luận án. Chương 2 và Chương 3 đưa ra kết quả về tồn tại nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa trường hợp ô-tô-nôm, sử dụng phương pháp theo nguyên lý Serrin. Chương 4 nghiên cứu về phương trình Oseen-Navier-Stokes dạng không ô-tô-nôm và sử dụng nguyên lý Massera để chỉ ra sự tồn tại và ổn định của nghiệm đủ tốt tuần hoàn. Những kết quả chính của luận án đạt được: • Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính với nửa nhóm liên kết thỏa mãn các đánh giá ổn định. Áp dụng kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tuyến tính để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm tuần hoàn của phương trình Stokes trong không gian các hàm bị chặn, cũng chỉ ra được sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của các phương trình tuyến tính có nửa nhóm thỏa mãn ước lượng Gauss. • Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính với nửa nhóm liên kết thỏa mãn (X, Y, ϕ)-ổn định. Dùng kết quả của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính tổng quát đã chỉ ra được sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình Navier-Stokes trong miền bị chặn và miền ngoại vi, và cũng chỉ ra được sự tồn tại, duy nhất của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình sóng tắt dần. • Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình Oseen-Navier-Stokes không ô-tô-nôm (vận tốc của vận cản quay và dịch chuyển phụ thuộc thời gian) trong miền ngoại vi trong không gian Lorentz . 69 2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo Trên cở sở luận án, chúng tôi đề xuất một số vấn đề mở sau: • Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình tiến hóa không ô-tô-nôm. • Nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định cấp đa thức của nghiệm đủ tốt tuần hoàn của phương trình Oseen-Navier-Stokes không ô-tô-nôm trong miền ngoại vi trong các không gian nội suy khác như không gian Lorentz có trọng Muckenhoupt,vv,... • Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tự đồng hình, tiệm cận hầu tuần hoàn,... của phương trình Oseen-Navier-Stokes không ô-tô-nôm trong miền ngoại vi. 70 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 1. Thieu Huy Nguyen, Thi Kim Oanh Tran (2018), “Periodicity of inhomogeneous trajectories and applications”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 468, Number 1, pp. 161-168 . 2. Thieu Huy Nguyen, Thi Kim Oanh Tran, “Periodic motions of the non- autonomous Oseen-Navier-Stokes flows past a moving obstacle with data in Lp-spaces”, Vietnam journal Mathematics, https://doi.org/10.1007/ s10013-022-00599-8 (Published online 09 January 2023). 3. Thieu Huy Nguyen, Thi Ngoc Ha Vu, Thi Kim Oanh Tran, “(X, Y, ϕ)- stability semigroup, periodic solutions and applications”, Dynamical Systems, https://doi.org/10.1080/14689367.2023.2228219 (Published online 26 Jun 2023). 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J. Massera (1950), “The existence of periodic solutions of systems of differ- ential equations”, Duke Math. J., 17, 457-475. [2] O. Zubelevich (2006), “A note on theorem of Massera”, Regul. Chao. Dyn., 11, 475-481. [3] J. Pru¨ss (1979), “Periodic solutions of semilinear evolution equations”, Non- linear Anal., 3, 601-612. [4] T.Yoshizawa (1975), “Stability theory and the existence of periodic solutions and almost periodic solutions”, Applied Mathematical Sciences, Springer- Verlag New York-Heidelberg, 14. [5] J.H. Liu, G.M. N’Guérékata, N.V. Minh (2008), “Topics on Stability and Periodicity in Abstract Differential Equations”, Series on Concrete and Ap- plicable Mathematics, World Scientific Publishing, Singapore, 6. [6] J. Pru¨ss (1986), “Periodic solutions of the thermostat problem. Differential equations in Banach spaces” (Book’s Chapter), Lecture Notes in Math., Springer, Berlin, 1223, 216-226. [7] J. Serrin (1959), “A note on the existence of periodic solutions of the Navier- Stokes equations”, Arch. Ration. Mech. Anal., 3, 120-122. [8] T. Miyakawa, Y. Teramoto (1982), “Existence and periodicity of weak so- lutions to the Navier-Stokes equations in a time dependent domain”, Hi- roshima Math. J., 12, 513-528. [9] S. Kaniel, M. Shinbrot (1967), “A reproductive property of the Navier-Stokes equations”, Arch. Rational Mech. Anal., 24, 363-369. [10] H. Kozono and M. Nakao (1996), “Periodic solution of the Navier-Stokes equations in unbounded domains”, Tohoku Math. J., 48, 33-50. 72 [11] P. Maremonti, M. Padula (1999), “Existence, uniqueness, and attainability of periodic solutions of the Navier-Stokes equations in exterior domains” , J. Math. Sci. (New York), 93, 719-746. [12] G.P. Galdi and H. Sohr (2004), “Existence and uniqueness of time-periodic physically reasonable Navier Stokes flows past a body”, Arch. Ration. Mech. Anal., 172, 363-406. [13] M. Yamazaki (2000), “The Navier-Stokes equations in the weak−Ln space with time-dependent external force”, Math. Ann., 317, 635-675. [14] T. Kato (1984), “Strong Lp-solutions of Navier-Stokes equations in Rn with applications to weak solutions” , Math. Z., 187, 471-480. [15] Y. Giga (1986), “Solutions for semilinear parabolic equations in Lp and regularity of weak solutions of the Navier-Stokes system”, J. Differential Equations, 61, 186-212. [16] Y. Taniuchi (2009), “On the uniqueness of time-periodic solutions to the Navier-Stokes equations in unbounded domains”, Math. Z., 261, 597-615. [17] G. Van Baalen and P. Wittwer (2011), “Time periodic solutions of the Navier-Stokes equations with nonzero constant boundary conditions at in- finity”, SIAM J. Math. Anal., 43, 1787-1809. [18] G.P. Galdi and A.L. Silvestre (2006), “Existence of time-periodic solutions to the Navier- Stokes equations around a moving body”, Pac. J. Math., 223, 251-267. [19] M. Geissert, M. Hieber, T.H.Nguyen (2016), “A general approach to time periodic incompressible viscous fluid flow problems”, Arch. Rational Mech. Anal., 220, 1095-1118. [20] N.T. Huy (2014), “Periodic motions of Stokes and Navier-Stokes flows around a rotating obstacle”, Arch. Ration. Mech. Anal., 213, 689-703. [21] M. Hieber, N.T. Huy and A. Seyfert (2017), “On periodic and almost pe- riodic solutions to incompressible vicous fluid flow problems on the whole 73 line”, Mathematics for Nonlinear Phenomena: Analysis and Computation, 215, 51-81. [22] T.N.H.Vu, T.H.Nguyen and T.M.Vu (2020) “Parabolic evolution equations in interpolation spaces: boundedness, stability, and applications”, Z. Angew. Math. Phys., 71(39), 1-17. [23] K.J.Engel, R.Nagel (2000), “One-parameter Semigroups for Linear Evolu- tion Equations”, Graduate Text Math., Springer, Berlin, 194. [24] M.L. Hein, J. Pru¨ss (2016), ‘The Hartman-Grobman theorem for semilinear hyperbolic evolution equations”, J. Differential Equations 261, 4709-4727 [25] J. Bergh, J. Lo¨fstro¨m (1976), “Interpolation Spaces”, Springer, Berlin. [26] H. Triebel (1978), “Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Op- erators”, NorthHolland, Amsterdam. [27] H.Komatsu (1981), “A general interpolation theorem of Marcinkiewicz type”, Tohoku Math. J., 33(2), 383-393. [28] W. Borchers and T. Miyakawa (1995), “On stability of exterior stationary Navier-Stokes flows”, Acta Math., 174, 311-382. [29] T. Burton ( 1985), “Stability and Periodic Solutions of Ordinary and Func- tional Differential Equations”, Academic Press, Orlando, Florida. [30] K. Abe, Y. Giga, H. Hieber (2012), “Stokes resolvent estimates in spaces of bounded functions”, Hokkaido University Preprint Series in Mathematics, no. 1022. [31] P. Maremonti (2011), “A remark on the Stokes problem with initial data in L1”, J. Math. Fluid Mech, 13, 469-480. [32] W. Arendt (1994), “ Gaussian estimates and interpolation of the spectrum in Lp”, Differential and Integral Equations, 7, 1153-1168. [33] M. Hieber (1996), “ Gaussian estimates and holomorphy of semigroups on Lp spaces”, J. Lond. Math. Soc, (2) 54 148–160. Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. XL, 611-621. 74 [34] T.H. Nguyen, T.N.H. Vu, T.M. Vu (2021), “Conditional Stability of Semi- groups and Periodic Solutions to Evolution Equations”, Springer INdAM Series, 43 ,331-346. [35] T.H. Nguyen, T.N.H. Vu (2021), “Conditional stability and periodicity of solutions to evolution equations”, Journal of Evolution Equations, 21, 3797- 3812. [36] Y.Giga, H.Sohr (1989), “On the Stokes operator in exterior domains”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 36, 103–130. [37] P. Maremonti (1991), “Existence and stability of time periodic solutions to the Navier-Stokes equations in the whole space”, Nonlinearity, 4, 503-529. [38] J. L. Daleckii and M. G. Krein (1974), “Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces”, Transl. Amer. Math. Soc. Provindence RI. [39] J. Pru¨ss (1993), “Evolutionary Integral Equations and Applications”, Monogr. Math., 87. [40] Y. Taniuchi (1999), “On stability solutions of periodic solutions in un- bounded domains”, Hokkaido Math. J., 28, 147-173. [41] Y. Taniuchi (2009), “On the uniqueness of time-periodic solutions to the Navier-Stokes equations in unbounded domains”, Math. Z., 261, 597-615. [42] G. P. Galdi, A. L. Silvestre (2006), “ Existence of time-periodic solutions to the Navier-Stokes equations around a moving body”, Pacific J. Math., 223, 251-267. [43] G. P. Galdi (2013), “Existence and uniqueness of time-periodic solutions to the Navier-Stokes equations in the whole plane”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 6, 1237-1257. [44] G. P. Galdi (2013), “On the time-periodic flow of a viscous liquid past a moving cylinder”, Arch. Ration. Mech. Anal., 210, 451-498. 75 [45] T.H.Nguyen, T.X. Pham, T.N.H. Vu and T.M. Vu (2021), ‘Periodic solu- tions to Navier-Stokes equations on non-compact Einstein manifolds with negative curvature‘”, Analysis and Mathematical Physics, 1-17. [46] T.H.Nguyen, T.N.H. Vu (2022), “Navier-Stokes equations on non-compact Einstein manifolds: Stability implies periodicity”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 505(2), 125544. [47] T. Hansel and A. Rhandi (2014), “The Oseen-Navier-Stokes flow in the exterior of a rotating obstacle: the non-autonomous case”, J. Reine Angew. Math., 694, 1-26. [48] T. Hishida (2020), “Decay estimates of gradient of a generalized Oseen evo- lution operator arising from time-dependent rigid motions in exterior do- mains”, Arch. Rational Mech. Analy., 238, 215-254. 76