Luận án Thác triển Riemann-Hartogs ánh xạ chỉnh hình và hàm chỉnh hình theo từng biến

Kennedy, Subharmonic Functions, Academic Press, London New York San Francisco 1976. [17] L.L. Helms, Introduction to potential theory, New York 1975. [18] Y. Hervier, On the Weierstrass problem in Banach spaces, Proc. on 82 Infinite Dimensional Holomorphy, Lecture Notes in Math. 364(1974), 157-167. [19] Dinh Huy Hoang and Thai Thuan Quang, Holomorphic surjections and linear topological invariants, (Accepted for Pub. in Acta Math. Vietnamica). [20] L. Hormander, An introduction to Complex Analysis in several variables. Van Nostrand, 1966. [21] L. Hormander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North- Holland Publishing Company 1973. [22] S.M. lvashkovitch, Rational curvesand Extension of Holomorphicmaps, Proc. symposia in Math. Voi 52(1990,93-104. [23] p. Järvi, Generalizations of Picard's theorem for Riemann surfaces. Trans. Amer. Math. Sóc. 2(1991), 749 - 763. [24] B. Josefson, On the equivalence between locally polar and globally polar sets for plurisubhannonic functions on n, Ark. Mat 16(1978), 109-115. [25] Ha Huy Khoai and Nguyên Van Khuê, Holomorphic functions on Banach manifolds, Func. Analysis and its appl. 6(1972), 53-54. [26] Ha Huy Khoai and Nguyen Van Khue, Holomorphic maps on Banach manifolds, Acta Math. Vietnamica 9(1973), 62-75. [27] N. Van Khuê and P. Thiên Danh, Structure of spaces of germs of holomorphic functions, Publ. Math. 41(1997). 83 [28] Nguyen Dinh Lan, Structure of spaces of germs of holomorphic functions and its applications, (to appear in Vietnam Jour. of Math.). [29] S. Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces. Springer-Verlag 1987. [30] R. Meise and D. Vogt, Holomorphic functions of uniformly bounded type on nuclear Frechet spaces, Studia. Math. 83(1986),147-166. [31] R. Narasimhan, Introduction to the theory of analytic spaces. Springer Verlag, 1966. [32] A. P. Robertson and W. Robertson, Topological vector spaces. Cambridge at the Universily Press, 1964. [33] B. Shiffman, Extensions of holomorphic maps into Hermitian manifolds. Math. Ann. 194(1971), 249 - 258. [34] B. Shiffman, Separate analylicily and Hartogs theorem. Indiana Univ. Math. J. 38(1989), 943 -957. [35] B. Shiffman, Hariogs theoremfor separately holomorphic mappings into complex spaces. C.R. Acad. Sci. Paris Ser. 1 310 (1990), 89 - unctions ỉn (DN, Ann. Pol. Math. 39 (1981), 175-211. [37] J. Siciak, Separately analytic functions and envelopes of of holomorphy of some lower dimensional subsets of n, Ann. Pol. Malh. 22(1970),145-171. 84 [38] Bui Dac Tac and Nguyen Van Hao, Weakly holomorphic extension and the condition (L0). (to appear in VietNam Jour. of Math.) [39] Do Duc Thai. On the D*-extension and the Hartogs extension. Ann. Non Sup. Pisa 18(1991), 13 - 38. [40] Do Đúc Thai and Dinh Huy Hoang, Continuous linear extension operators from closed subgroups of a complex Lie group, (Accepted for Pub. in Ann. Toulouse). [41] Do Duc Thai and Nguyen Thi Le Huong, On the disc-convexity of Banach anaỉytic maniyfolds, Ann. Polon. Math. 1(1996), (to appear) [42] Do Duc Thai and Nguyen Thi Le Huong, A note on the Kobayashi pseudodistance and the tautness of holomorphic filber bundles, Ann. Polon. Math. LV1II 1 (1993), 1-5. [43] Do Duc Thai and Nguyen Thai Son, Extensions of holomorphic maps through hypersur faces and relatiơns to the Hartogs extensions in infìnite dimension, Proceedings of the American Mathematical Society. (Đã có nhận giấy chấp thuận cho đăng trên tạp chí). [44] Do Duc Thai and P. Thomas, D*-extension property without hyperbolicity. (to appear in Indiana Math.) [45] D. Vogt, On two classes of Frechet spaces, Arch. Math. Voi 45 (1987) 255-266. 85 [46] V.P Zahariuta, Separately analytic functions, generalizations of Hartogs' theorem and envolopes of holomorphy, Math. Sb. 101 (143), 1 (9) (1976) 57-76 (Russian). [47] V.P. Zaharjuta, Isomorphism of spaces of analytic functions, Sov. Math. Dokl. 22 (1980), 631 - 634 ( Russian). [48] M. Zorn, Characlerization of analytic functions in Banach spaces., Ann. of Math. (2)46(1945), 185-193. [49] O. Alehyanc, Une extension du théorème de Hartogs pour les applications séparément holomorphes. C.R. Acad. Sci. Paris, t. 234, Série I (1997), 149-152. [50] S. Dineen, R. Timoney and J.P. Vigue, Pseudodistances invariantes sur les domaines d'un espace localement convexe. Ann. Nor. Sup. Pisa 12(1985), 515 -529. [51] Nguyên T. V. and A. Zeriahi, Familles de polynomes presque partout borneés, Bull. Soi. Math. 107 (1983), 81-91. [52] Nguyen Thanh Van, Fonctions séparément analytiques et prolongement analytiques faible en dimension in finile, Ann. Polon Math. 32(1976), 71-83. [53] A. Zeriahi, Fonction de Green pluricomplexe a pôle l’infini sur un espace de Stein parabolique, Math. Scand. 69 (1991), 89-126. 86 [54] D.Vogt, Frechelraume zwischen deren jede stetige linear Abbildung beschrankt ist J. rein angew Math . 345 (1983), 182-200, [55] D. Vogt, Eine Charakterisieung der potenireihenrăume von endlichen lyp und ihre folgerungen, Manucripota Math. 37(1982), 269-301. 87 CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ĐƢỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 1. Nguyễn Thái Sơn, Hàm giải tích lấy giá trị Frechet và bất biến tôpô tuyến tính. Tạp chí Thông tin Khoa học, Trƣờng Đại học Sƣ Phạm thuộc Đại học Quốc gia TP HCM, số 18, tháng 11 năm 1997, trang 19 - 24 . 2. Nguyen Van Khue and Nguyen Thai Son, Separately holomorphic functions on compact sets and the property (DN), Publications of CFCA, Voi. 1 (1997), 87-92 3. Nguyen Thai Son, The Property (LB) of spaces ofgerms ofholomorphic functions, Publicalions of CFCA, Voi. 1(1997), 115-124. 4. Nguyen Thai Son, Separately holomorphic functions on compact sets, Acta Math. Vietnamica (Đã có giấy chấp nhận cho đăng trên tạp chí). 5. Nguyen Thai Son, Separately holomorphic functions on ̃-regular compact sets and the property (DN), Báo cáo Khoa học, đọc tại Colloque Franco-Vietnamien de Mathemaliques, Hochiminh Ville (du 3 au 8 Mars, 1997). Tóm tắt nội dung đăng trong Résumés của Hội thảo, trang 36-37. 6. Nguyen Thai Son, Hartogs holomorphic extensions and extensions of holomorphic maps through polar sets of finite type, Vietnam Journal of Math. (to appear) 88 7. Nguyen Van Dong and Nguyen Thai Son, Frechet-valued analytic functions and linear topological invariants, Portugaliae Mathematica. Voi. 55 Fasc. 1(1998), 101-112. 8. Do Duc Thai and Nguyen Thai Son, Extensions of holomorphic maps through hypersufaces and relations to the Hartogs extensỉons in infinite dimension, Proceedings of the American Mathematical Society. (Đã có giấy chấp thuận cho đăng trên tạp chí). 89 PHỤ LỤC Theo qui định của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chúng tôi xin đính kèm sau đây các nhận xét của các GS phản biện: 1. PGS TS Nguyễn Hữu Đức 2. GSTS Phạm Ngọc Thao 3. PGS TS Hà Huy Bảng và Quyết Nghị của hội đồng chấm luận án cấp nhà nƣớc họp ngày 11 tháng 9 năm 1998 tại Trƣờng Đại học Sƣ Phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Cũng cần nói thêm là bản luận án này đã đƣợc sửa chữa một cách hoàn chỉnh theo đề nghị của các GS phản biện trƣớc khi trình ra hội đồng chấm luận án Tiến sĩ Toán học cấp nhà nƣớc. Thành phố Hồ Chí Minh ngày 22 tháng 9 năm 1998 Tác giả luận án. 90 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Số: QĐ-BGD&ĐT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc Hà Nội, ngày 27 tháng 7 năm 1998 QUYẾT ĐỊNH CỦA BỘ TRƢỞNG BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Về việc thành lập Hội đồng chấm luận án Tiến sĩ cấp Nhà nước BỘ TRƢỞNG BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO - Căn cứ Nghị định số 29/CP ngày 30 tháng 3 năm 1994 của Chính phủ định nhiệm vu, quyền hạn và tổ chức bộ máy của Bộ Giáo dục và đào tạo. - Căn cứ Quyết định số 224 / TTg ngày 24 tháng 5 năm 1976 của Thủ tƣớng chính phủ về đào tạo trên đại học ở trong nƣớc. - Căn cứ các Quyết định số 468/TTg ngày 14/12/1977 của Thủ tƣớng Chính phủ về việc ủy nhiệm cho Bộ Đại học và THCN nay là Bộ Giáo dục và Đào tạo xét duyệt danh sách những thành viên của các Hội đồng chấm luận án cho nghiên cứu sinh Theo đề nghị của ông Vụ trƣởng Vụ Sau đại học QUYẾT ĐỊNH Điều 1: Thành lập Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nƣớc cho luận án Tiến sĩ Toán về đề tài : Thác triển Riemann-Hartogs, ánh xạ chỉnh hình và hàm chỉnh hình theo từng biến Của nghiên cứu sinh : Nguyễn Thái Sơn Chuyên ngành : Toán giải tích - Mã số : l - 01-01 (Danh sách các thành viên Hội dồng kèm theo Quyết định này ) Điều 2: Ủy nhiệm cho ông Hiệu trƣởng Trƣờng Đại học Sƣ phạm - ĐH Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh tổ chức bảo vệ luận án trên theo đúng qui định hiện hành. Điều 3: Các ông Chánh văn phòng, Vụ trƣởng Vụ Sau đại học và các Vụ có liên quan thuộc Bộ Giáo dục và Đào tạo, Hiệu trƣởng Trƣờng đại học Sƣ phạm - ĐHQG thành phố Hồ Chí Minh và các thành viên Hội đồng chịu trách nhiệm thi hành Quyết định này . 91 NHẬN XÉT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC "Thác triển Riemann-Hartogs ánh xạ chỉnh hình và hàm chỉnh hình theo từng biến" Của NCS Nguyễn Thái Sơn ĐHSP TP. Hồ Chí Minh Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số 1.01.01 Ngƣời nhận xét: PGS. TS. Nguyễn Hữu Đức Luận án đề cáp tới việc nghiên cứu thác triển Riemann-Hartogs ánh xạ chỉnh hình và hàm chỉnh hình theo từns biến. Nhƣ chúng ta đã biết, bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình là một trong những bài toán truyền thống và quan trọng nhất của Giải tích phức cũng nhƣ Hình học giải tích phức. Đặc biệt trong những năm gần đây, nhờ sự phát triển của Giải tích phức hyperbolic và lý thuyết đa thế vị phức, bài toán đó đã và đang đƣợc nghiên cứu mạnh mẽ bởi nhiều nhà toán học trong nƣớc và trên thế giới. Vì thế đề tài khoa học của luận án hoàn toàn có tính chất thời sự và các kết quả thu đƣợc của luận án có giá trị khoa học cao. Luận án dày 88 trang, gồm 4 chƣơng, lời mở đầu và 55 tài liệu tham khảo. Nhƣ chúng ta đã biết, bài toán thác triển chỉnh hình cho đến nay đƣợc nghiên cứu chủ yếu theo hai hƣớng : thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình (thƣờng gọi là thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs) và thác triển chỉnh hình kiểu Riemann mà nó khó hơn nhiều so với việc thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Chƣơng 1 của Luận án dành cho việc nghiên cứu thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Nói cụ thể hơn, tác giả đã nghiên cứu lớp không gian giải tích Banach có tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Kết quả quan trọng đầu tiên của chƣơng này là Định lý 1.2.1, ở đó tác giả đã chứng tỏ rằng mọi không gian giải tích Banach lồi đĩa yếu đều có tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Định lý này trong trƣờng hợp hữu hạn chiều lần đầu tiên chứng minh bởi B. Shiffman bằng một phƣơng pháp khá phức tạp và khó khăn. Dựa vào đó tác giả đã chứng minh định lý 1.2.3 chứng tỏ rằng một đa tạp Banach X có các C 1 -phân hoạch đơn vị và là hợp tăng của những miền giả lồi sao cho mọi tập mở compact tƣơng đối trong X đều không chứa đƣờng thẳng phức, có tính chất thác triển chỉnh hình Hartoes. Đây là kết quả mở rộng thực sự của một kết quả đã biết của Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hƣơng. Phản ví dụ 1.3 là rất hay, chứng tỏ sự mở rộng thực sự của Định lý 1.2.3 với kết quả trƣớc đây. 92 Chƣơng 2 nghiên cứu việc thác triển chỉnh hình qua tập mỏng, cụ thể là thác triển chỉnh hình qua tập cực đóng. Đây là một vấn đề rất khó. Các kết quả chính của chƣơng này là Định lý 2.1.2 (đã đƣa vấn đề từ chiều cao về vấn đề trong chiều 1) và Định lý 2.2.2 (cho trƣờng hợp X không giả lồi). Trên cơ sở hai Định lý này tác giả đã mở rộng Định lý Järvi cho chiều cao (Định lý 2.2.2) và cho các tập  (X) (Định lý 2.3.2) Lƣu ý rằng khi tập mỏng là tập đa cực, Định lý 2.1.2 đã đƣợc chứng minh gần đây bởi Đỗ Đức Thái. Tuy nhiên nhƣ đã biết, tồn tại các tập cực mà không đa cực. Vậy thì các kết quả nhận đƣợc ở đây là hoàn toàn mới so với những gì đã biết. Chƣơng 3 dành cho việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact trong hữu hạn chiều. Điều rất thú vị là các kết quả thu đƣợc đã chỉ ra mối liên hệ giữa việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact với các bất biến tôpô tuyến tính trên không gian các hàm chỉnh hình. Kết quả chính đầu tiên là Định lý 3.2.1 đƣa ra điều kiện cần và đủ đối với H(Z), không gian các hàm chỉnh hình trên không gian Stein Z, sao cho mọi hàm -chỉnh hình trên tập compact không đa cực K trong một không sian Stein bất khả qui địa phƣơng có thác triển chỉnh hình tới một lân cận của K. Đó là tính (DN) của H(Z). Trong khi đó Định lý 3.2.5 nói ràng nếu đúng Định lý 3.2.1 đối với mọi không gian (DN)-không gian H(Z), thì K bắt buộc không là đa cực hay tƣơng đƣơng không gian [H(K)]' đối ngẫu của không gian các mầm các hàm chỉnh hình trên K có tính chất (LB). Bởi Định lý 3.3.2 về sự bất biến của tính chất (LB  ) qua các ánh xạ chỉnh hình riêng hữu hạn tác giả mở rộng kết quả nhận đƣợc tới trƣờng hợp Steiri tùy ý không nhất thiết bất khả qui địa phƣơng (Định lý 3.3.1). Chƣơng 4 tiếp tục xét đến vấn đề tƣơng tự nhƣ ở Chƣơng 3 nhƣng đối với các tập mở và tập compact trong vô hạn chiều. Đầu tiên tác giả xét tính giải tích thực của hàm giải tích.theo từng biến đối với trƣờng hợp miền xác định là các tập mở trong không gian Ffechet. Dễ thấy rằng nói chung một hàm nhƣ thế không giải tích thực. B. Shiffman đã chứng minh tính giải tích thực của các hàm này, khi chúng chỉnh hình theo một trong hai biến. Bằng cách áp dụng tôpô Nachbin trên không gian các hàm chỉnh hình tác giả mở rộng đƣợc kết quả tới trƣờng hợp Frechet (Định lý 4.1.1). Tiếp theo tác giả xét Định lý 3.2.1 và 3.3.1 khi K compact trong một không gian hạch Frechet có cớ sở. Khó khăn ở đây là khi K 93 không đa cực có hay không tập compact lồi cân L chứa K sao cho K là compact không đa cực trong không gian Banach E(L) sinh bởi L. Nếu việc này thực hiện tác giả nói rằng K thỏa mãn (NP). Định lý 4.2.4 và 4.2.6 thể hiện các Định lý 3.2.1 và 3.3.1 trong trƣờng hợp vô hạn chiều liên quan tới khái niệm comapct không đa cực thỏa mãn (NP). Nhìn chung, luận án có nhiều kết quả hay và có giá trị khoa học cao bằng một số ý tƣởng cũng nhƣ kỹ thuật cá nhân và tổ hợp khá khó. Hầu hết các kết quả của luận án đã đƣợc công bố trong các tạp chí có uy tín ở trong nƣớc và quốc tế. Luận án đƣợc tình bày mạch lạc, súc tích, các chứng minh đƣa ra là chính xác, chặt chẽ. Những kết quả mà luận án đạt đƣợc đã chứng tỏ tính nghiêm túc của tác giả trong nghiên cứu khoa học cũng nhƣ trình độ cao của tác giả luận án. Tôi cho rằng luận án đáp ứng đầy đủ tất cả các yêu cầu của một luận án Tiến sĩ Toán học và đề nghị cho phép tác giả của nó xứng đáng nhận học vị Tiến sĩ Toán học. Đà Lạt, ngày 18 tháng 8 năm 94 NHẬN XÉT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN "THÁC TRIỂN RIEMANN - HAGTOGS ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN" Của Nguyễn Thái Sơn. Luận án nghiên cứu hai bài toán cổ điển rất cơ bản của giải tích phức cổ điển (tôi muốn nói đến giải tích phức trên C), nhƣng đã, hiện đang, và có lẽ sẽ lâu dài, là bài toán thời sự quan trọng đối với giải tích phức hiện đại: bài toán thác triển chỉnh hình (các loại) và tính chỉnh hình của hàm (ánh xạ) chỉnh hình theo từng biến. Luận án gồm mở đầu và 4 chƣơng. Trong mở đầu tác giả điểm lại, một cách sơ lƣợc nhƣng đầy đủ, những nét chủ yếu trong tình hình nghiên cứu và những kết quả cơ bản đã đạt đƣợc trƣớc đây và hai bài toán đó. Chƣơng I. trình bày những kết quả sau của tác giả: a) Nếu X là không gian dải tích Banac thỏa mãn điều kiện lồi đĩa yếu thì X có tính chịu thác triển chỉnh hình Hagtogs (định lý 1.2.1.). b) Nếu X là đa tạp giải tích Banach, thừa nhận phân hoạch đơn vị lớp C1, là hợp tăng của những miền giả lồi mà mỗi tập con mở compact tƣơng đối của nó đều không chứa đƣờng thẳng phức thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hastogs (Đinh lý 1.2.3). Tác giả cũng cho ví dụ để chứng tỏ giả thiết của định lý này là thực sự rộng hơn giả thiết "X giả lồi, không chứa đƣờng thẳng phức" của định lý cùng loại mà Đ.Đ. Thái và Lê Hƣơng đã chứng minh. Chƣơng II. Trình bày các kết quả sau của tác giả a) với một không gian phức X. Nếu H (,X) H (-S, X) với một tập cực đóng S, trong  thì H(Z, X) H(Z-S, X) với mọi tập mở Z của Cn và tập cực đóng S Z (Định lý 2.1.2). b). Với X giả lồi, nếu H (, X) = H (A - s, X) với mọi tập cực đóng S trong  thì H (Z, X) = H (Z - S , X), với mọi tập mở Z trong không gian Banach và tập cực đóng loại hữu hạn S trong Z (định lý 2.2.2). c). Nếu X là mặt Riemann compact hyperbolic thì H (Z, X) H (Z - S , X) Với mọi Z và S nhƣ ở (b).( Định lý 2.2.3) 95 Với X là không gian giải tích banach, tính chất nói ở (c) đƣợc gọi là tính (SPEP) (thác triển thực sự). d). Nếu trên không gian phức X có một metric hermit  và một hàm đa điều hòa dƣới  thỏa mãn một điều kiện nhất đinh thì X có tính (SPEP) =>  (X) (miền Hartogs) cũng có tính chất (SPEP) Mệnh đề ngƣợc luôn đúng (định lý 2.3.2) Tác giả cũng lƣu ý (bằng ví dụ của ĐĐ Thái và Thomas) rằng tồn tại  để  () không hyperbolic nhƣng, do định lý trên () có tính (SPEP), chứng tỏ rằng điều kiện hyperbolic nói trên không là cần cho (SPEP). Chƣơng III. Trình bày các kết quả sau về chỉnh hình theo từng biến: a) Giả sử Z, X là các không gian Stein. X bất khả quy địa phƣơng, K là tập con compact không đa cực trên mỗi nhánh bất khả quy của X. Thế thì mọi hàm trên K X Z, chỉnh hình từng biến đều thác triển chỉnh hình đƣợc ra một lân cận W (K)  Z của K  Z khi và chỉ khi H (Z)  (DN) ( Định lý 3.2.1.) b) Giữ nguyên các giả thiết trên nhƣng thay điều kiện "không đa cực..." bằng điều kiện "có tính duy nhất" và giả thiết H (Z)  (DN). Thế thì tính thác triển đƣợc nhƣ trên là tƣơng đƣơng với điều kiện "không đa cực" ở (a) và với điểu kiện táah [H (K)]'(LB) ( định lý 3.2.5). Cuối cùng tác giả chứng minh rằng c) Trong đinh lý trên điều kiện "bất khả quy địa phƣơng" có thể bỏ (định lý 3.3.1). Chƣơng IV. Trình bày các kết quả sau: a) Giả thiết E và F lần lƣợt là các không gian Prechet thực và phức D  G là tập mở trong E  Fvà f : D  G  C là hàm chỉnh hình theo biến trên G, "giải tích yếu" theo biến trên D (nói một cách rút gọn) thế thì f giải tích (định lý 4.1.1). Gọi ( )là tính chất H (L, Hb (F)) H (K, Hb (F)); K L Trong đó vế trái chỉ không gian các hàm chỉnh hình biến và K L có nghĩa K là một tập compact trong không gian Banach E(L) sinh bởi L; K và L là những tập compact trong một không gian Frechet hạch có cơ sở E. Khi đó thì: 96 b) Với điều kiện: (NP) (về K và L) ta có: () đúng F  (DN) (định lý 4.2.4) c) Với E nhƣ trên và K có tính duy nhất thì: K có tính chất (NP) () đúng F(DN) và compact, lồi. cân; L K (Định lý 4.2.5) Tất cả các kết quả nêu trên đã, hoặc là sự mở rộng, hoặc là một tình huống mới khác, của những kết quả đã biết mới nhất cho đến nay, và là một đóng góp thực sự mới và có giá trị (ở mức độ khác nhau) của tác giả vào lĩnh vực này của giải tích phức. Chúng đều đƣợc chứng minh nghiêm túc, chính xác và chặt chẽ (trong căn bản) và đã đƣợc công bố rộng rãi, đầy đủ trên các tạp chí có uy tín và các hội nghị chuyên ngành có tầm cỡ. Các tài liệu và kết quả liên quan đến luận án đểu đƣợc trích dẫn khách quan và đầy đủ. Tóm tắt luận án phản ánh đầy đủ và trung thực nội dung của luận án. Vì vậy theo tôi luận án đáp ứng hoàn toàn mọi yêu cầu của một luận án TS. Toán và tác giả của nó hoàn toàn xứng đáng với học vị này. Tuy nhiên tôi thấy cần lƣu ý tác giả mấy vấn đề sau đây nhằm hoàn thiện thêm luận án. a) Còn nhiều sai sót ấn loát cần phải sửa chữa (trong đó có cả những sai sót làm sai lệch hoặc không hiểu nổi nội dung chẳng hạn: trong chứng minh (iii)  (ii) của định lý 3.2.5, hay các chuẩn ở trang 52 v.v...) b) Đôi chỗ những chi tiết cơ bản trong chứng minh còn bị bỏ qua, hoặc lý luận thiếu thận trọng (chẳng hạn : trong chứng minh định lý 3.2.5. ((ii) => (iii)) về S và T = S cần có lý luận chặt chẽ hơn, S compact đƣợc chứng minh ở đâu ? Lý luận và cả cách chọn U và về tập K, trong chứng minh định lý 2.2.2...)... Những thủ tục thông thƣờng về logic đôi chỗ còn chƣa đƣợc chấp hành nghiêm chỉnh (chẳng hạn phản chứng mà không ghi đích danh mâu thuẫn, quy nạp mà không nêu giả thiết quy nạp..., dù chúng có hiển nhiên đến mấy...) c) Tôi cho rằng một đôi lời bình luận của tác giả trong luận án là không thật thỏa đáng, mà cũng không thật cần thiết. 97 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc    Thành phố Hồ Chí Minh ngày 11 tháng 9 năm 1998 QUYẾT NGHỊ CỦA HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC CỦA NCS NGUYỄN THÁI SƠN với đề tài: "Thác triển Riemann-Hartogs ánh xạ chỉnh hình và hàm chỉnh hình theo từng biến" Ngày 11 tháng 9 năm 1998, Hội đồng chấm Luận án Tiến sĩ Toán học của nghiên cứu sinh Nguyễn Thái Sơn gồm: 1. TS Trần Văn Tấn Chủ tịch Hội đồng 2. PGS TS Nguyễn Hữu Đức Ngƣời nhận xét 1 3. GS TS Phạm Ngọc Thao Ngƣời nhận xét 2 4. PGS TS Hà Huy Bảng Ngƣời nhận xét 3 5. PGS TS Trần Hữu Bổng Thƣ ký Hội đồng 6. GS TS Đặng Đình Áng ủy viên Hội đồng 7. PGS PTS Lê Văn Hốt ủy viên Hội đồng đã họp nghe nghiên cứu sinh trình bày Luận án và nghe các ý kiến nhận xét, thảo luận của các thành viên Hội đồng và những ngƣời tham dự. Hội nghị nhất trí QUYẾT NGHỊ 1. Đề tài Luận án phù hợp với nội dung và mã số chuyên ngành giải tích, không trùng lắp về nội dung với các luận án đã bảo vệ. Đề tài luận án có tính hiện đại, thời sự đƣợc nhiều nhà khoa học trong nƣớc và trên thế giới quan tâm. 2. Luận án là công trình khoa học nghiêm túc, có giá trị khoa học cao, là đóng góp đáng kể vào sự phát triển của giải tích phức nhiều biến (vào bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình và vấn đề tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến) thông qua các bất biến tôpô tuyến tính. Các kết quả của luận án đều mới, đƣợc chứng minh chặt chẽ, chính xác, đƣợc công bố trên 8 công trình khoa học, trong đó có 3 bài công bố ở các tạp chí quốc tế (Proceedings of American Mathematical Society, Acta Mathematica Vietnamica, Portugaliae Math.) Kết quả mới chủ yếu của luận án là: 98 DANH SÁCH HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN ÁN TIẾN SĨ CẤP NHÀ NƢỚC Cho luận án của nghiên cứu sinh : Nguyễn Thái Sơn Về đề tài : Thác triển Riemann-Hartogs, ánh xạ chỉnh hình và hàm chỉnh hình theo từng biến . Thuộc chuyên ngành : Toán giải tích - Mã số : 1 - 01 - 01 (Theo Quyết định thành lập Hội đồng số: 1877 / QĐ - BDGD&SDH ngày 27 tháng 7 năm 1998 ) TT Họ và tên, Học hàm học vị Cơ quan công tác Chức trách trc Hội đồng 1 TS Trần Văn Tấn Đai học Quốc gia Hà nội Chủ tịch Hội đồng 2 PGS TS Nguyễn Hữu Đức Đai học Đà lạt Phản biện 1 3 GS TS Phạm Ngọc Thao ĐHKHTN-ĐHQG Hà nội Phản biện 2 4 PGS TS Hà Huy Bảng Viên Toán học Phản biện 3 5 PGS TS Trần Hữu Bổng ĐH Sƣ phạm-ĐHQG tp.IICM Thƣ ký Hội đồng 6 GS TS Đặng Đình Áng ĐH KHTN-ĐHQG tp.HCM ủy viên Hội đồng 7 PGS PTS Lê Văn Hốt ĐH Kỹ thuật - tp. HCM Ủy viên Hội đồng 99 \ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THÁI SƠN THÁC TRIỂN RIEMANN-HARTOGS ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀ HÀM CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN. Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 1.01.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1998 Công trình đƣợc hoàn thành tại: Khoa Toán, Trƣờng Đại học Sƣ Phạm, Đại học Quốc gia TP HCM. Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : 1. GS.TS Nguyễn Văn Khuê. 2. PTS Trần Huyên. Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Hữu Đức Đại học Đà Lạt. Phản biện 1: GS.TS Phạm Ngọc Thao Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Hà Huy Bảng Viện Toán học Việt Nam. Luận án sẽ đƣợc bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận án cấp nhà nƣớc họp tại: Trƣờng Đại học Sƣ Phạm TP Hồ Chí Minh. vào hồi giờ ngày tháng năm 1998. Có thể tìm hiểu Luận án tại:  Thƣ viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh.  Thƣ viện trƣờng Đại học Sƣ Phạm, Đại học Quốc gia TP HCM. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Thác triển ánh xạ chỉnh hình là một trong những bài toán trung tâm của giải tích phức hữu hạn cũng nhƣ vô hạn chiều. Vì vậy nó đã và đang dƣợc nhiều tác giả quan tam đến bằng những cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết đƣợc bài toán dó. Đặc biệt gần đây bởi Ivashkovitch, Shiffman, Nguyen Thanh Van - Zcriahi, Alehyane, ... và ờ Việt Nam, bởi Hà Huy Khoái, Nguyên Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Đỗ Đức Thái... Cho đến gần đây,việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng đáng chú ý. Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chinh hình, tức là thác triển Hartogs mà trƣờng hợp dặc biệt (nhƣng quan trọng) là với điều kiện nào của không gian phức X mọi ánh xạ chỉnh hình từ H2(r)  X có thác triển chỉnh hình tới 2, ở đây 0 < r < 1,  = {z   : |z| < 1} và H2(r) = {(z1, z2)  2 : |z1| 1 - r} Dạng 2: Thác triển ánh xạ chỉnh hình qua tập mỏng, chẳng hạn qua điểm kỳ dị cô lập, qua siêu mặt cũng nhƣ qua tập đa cực đóng. Tức là thác triển kiểu Riemann. 2 Có thể nói rằng trong hầu hết các trƣờng hợp, việc thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ ra khó hơn rất nhiều so với thác triển kiểu Hartogs. Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của lý thuyết thế vị phức, việc nghiên cứu bài toán thác triền ánh xạ chỉnh hình đã có những bƣớc tiến mạnh mẽ. Các công trình của Shiff-man, Suzuki, Järvi, Đỗ Đức Thái... đã làm xuất hiện một phƣơng hƣớng mới trong việc nghiên cứu bài toán. Đó là khảo sát việc thác triển chỉnh hình qua tập đa cực và tập có dung lƣợng bằng không. Vào những năm 80 của thế kỷ này, D. Vogt đã đƣa ra và có nhiều kết quả nghiên cứu về các bất biến tôpô tuyến tính. Các bất biến này mở ra nhiều ứng dụng cho giải tích phức. Một trong các ứng dụng của chúng là nghiên cứu tính chỉnh hình của các ánh xạ chỉnh hình theo từng biến, một bài toán nổi tiếng đƣợc đặt ra vào nám 1906 bởi Hartogs. Bài toán này đã đƣợc nghiên cứu từ lâu và đã có nhiều kết quả quan trọng. Quan tâm tới vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn lựa đề tài nghiên cứu về việc thác triển ánh xạ chỉnh hình và tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến. Theo chúng tôi, đề tài này có tính hiện đại, thời sự và thiết thực dối với sự phát triển của Giải tích phức. 2. Nhiệm vụ và đối tƣợng nghiên cứu.  Nghiên cứu việc thác triển ánh xạ chỉnh hình kiểu Hartogs.  Nghiên cứu việc thác triển ánh xạ chỉnh hình kiểu Riemann. 3 Chủ yếu là nghiên cứu tính thác triển chỉnh hình qua các tập cực và các tập cực loại hữu hạn.  Nghiên cứu tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trên các tập hợp compact trong hữu hạn chiều.  Nghiên cứu tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trên các tập hợp mở và các tập compact trong vô hạn chiều. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu. Để giải quyết nhiệm vụ của dề tài, chúng tôi lựa chọn những phƣơng pháp mới, có hiệu quả. Điều này dƣợc thể hiện trong cách chứng minh từng định lý cụ thế. Chúng tôi cố gắng vận dụng những thành tựu mới nhất của Giải tích phức nhiều biến, lý thuyết đa thế và lý thuyết về các bất biến tôpô tuyến tính cũng nhƣ lý thuyết về bó coherent cùng với những kỹ thuật truyền thống dể vƣợt qua các trở ngại, nhằm giải quyết thành công những mục tiêu đề ra. 4. Nội dung Luận án. Luận án của chúng tôi ngoài phần mở đầu và kết luận gồm 4 chƣơng với 76 trang và 55 tài liệu tham khảo, có nội dung chính là nghiên cứu tính thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs và kiểu Riemann đồng thời nghiên cứu tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến. 4 Các kết quả trình bày trong Luận án và một số kết quả khác có liên quan đã đƣợc báo cáo chi tiết tại Hội thảo Giải tích phức và ứng dụng tại Đại học Sƣ Phạm Hà Nội (20-21/9 /1996) và đƣợc báo cáo một phần tại Hội thảo quốc tế Việt-Pháp tại TP Hồ Chí Minh (3- 8/3/1997). Các kết quả trên đã đƣợc công bố trên các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [7], [8] và đƣợc nhận công bố trong công trình [6]. Luận án đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn nhiệt tình và tận tụy của GS.TS Nguyễn Văn Khuê và PTS Trần Huyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những ngƣời Thầy của mình. Tác giả xin chân thành cám ơn PGS. TS Đỗ Đức Thái, Đại học Sƣ Phạm thuộc Đại học Quốc gia Hà Nội, PGS. TS Nguyễn Hữu Đức, Đại học Đà Lạt đã đọc kỹ bản Luận án và giúp tác giả nhiều ý kiến quí báu. Tác giả củng xin chân thành cám ơn GS.TS Hà Huy Khoái, Viện toán học Việt Nam và GS.TS Nguyễn Thanh Vân, Đại học Toulouse đã giúp tác giả nhiều ý kiến để hoàn thiện bản Luận án. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán và Phòng quản lý khoa học Trƣờng Đại học Sƣ Phạm Thành phố Hồ Chí Minh và PGS.PTS Nguyễn Trọng Khâm đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu. 5 Chƣơng 1 THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU HARTOGS. Trong hội nghị Nice năm 1970, Shiing-Shen Chem đã đƣa ra giả thuyết sau đây: Cho X là một đa tạp phức vài một mêtric Herrnit đầy đủ và có độ cong thiết diện chinh hỉnh không dƣơng. Cho và U  k là một lân cận của B. Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f : U  X đều thác triển chỉnh hình lên B. Gần nhƣ đồng thời, vào năm 1971 Shiffman và Griffiths đã chứng minh đƣợc các kết quả quan trọng và dùng các kết quả này hai ông đã chứng minh đƣợc giả thuyết trên. Nhƣ vậy cả Shiffman lẫn Griffiths đều đã giải bài toán về tính thác triển chỉnh hình Hartogs trong hữu hạn chiều. Trong phần đầu của chƣơng này, chúng tôi dùng điều kiện lồi-đĩa yếu để nghiên cứu tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs trong vô hạn chiều. Kết quả mà chúng tôi nghiên cứu đƣợc có thể phát biểu nhƣ sau : Định lý 1.2.1. Cho X là một không gian giải tích Danach thỏa mãn điều kiện lồi-đĩa yếu. Khi đó X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. 6 Để chứng minh Định lý, chúng tôi cần bổ dề: Bổ đề 1.2.2. Ánh xạ f : f  X giả lồi địa phƣơng, nghĩa là với mọi x  X tồn tại một lân cận giả lồi V của x trong X sao cho 1f  (V) là giả lồi. Ở đây, f là thác triển chính tắc của f :   X và f chỉ miền tồn tại của f. Lƣu ý rằng Định lý trên trong trƣờng hợp hữu hạn chiều đã đƣợc Shiffman chứng minh năm 1971 với một phƣơng pháp phức tạp hơn. Vào những năm 80, những công trình của Shiffman, Ivashkovitch đã chỉ ra những đặc trƣng hình học cho phép nhận biết một không gian có tính chất thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Chẳng hạn, vào năm 1987, Ivashkovitch đã chứng minh đƣợc một đặc trƣmg hình học rất quan trọng cho tính thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs của những đa tạp Kahler lồi chỉnh hình. Một đa tạp Kăhler lồi chỉnh hình X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs khi và chỉ khi X không chứa đƣờng cong hữu tỉ. Kết quả này đã đƣợc mờ rộng bời Đỗ Đức Thái sang trƣờng hợp không gian phức. Năm 1993, Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hƣơng đã chứng minh đƣợc rằng nếu X là một đa tạp Banach giả lồi có các C1-phân hoạch đơn vị và X không chứa các đƣờng thẳng phức thì X có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. Chúng tôi mở rộng kết quả trên vào lớp các đa tạp mà là hợp tăng của những miền giả lồi. Chúng tôi chứng minh đƣợc 7 Định lý 1.2.3. Cho X là một da tạp Banach có các Cl-phân hoạch đơn vị và là hợp tăng của những miền giả lồi mà mỗi tập mở compact tƣơng đối trong X đều không chứa đƣờng thẳng phức. Khi đó X có tính chất thác triển chỉnh hỉnh Hartogs. Đến đây một cách tự nhiên nảy sinh ra câu hỏi là liệu rằng hợp tăng của những miền giả lồi có luôn luôn là giả lồi hay không? Chúng tôi xây dựng một ví dụ khẳng định rằng tồn tại một đa tạp phức X không giả lồi có dạng n n 1 X X    ở đây Xk  Xk+1 là các đa tạp Stein bằng cách đặt {( ) ( ) ( ) ∏ ( ) } với mỗi n. Do đó Định lý nêu trên là một mờ rộng thật sự kết quả của Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hƣơng. 8 Chƣơng 2 THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH KIỂU RIEMANN. Nhƣ trên đã nói, việc thác triển chỉnh hình kiểu Riemann - tức là thác triền ánh xạ chỉnh hình qua các tập mỏng là phƣơng hƣớng thứ hai của bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình. Nó đã đƣợc quan tâm nghiên cứu từ lâu bời rất nhiều nhà toán học lớn. Cùng với sự hình thành của giải tích phức hyperbolic, phƣơng hƣớng nghiên cứu nói trên đã có những tiến bộ đáng kể, đặc biệt là việc nghiên cứu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình qua điểm thủng. Ví dụ ta có định lý Kwack : Giả sử X là một không gian phức hyperbolic, f : *  X là ánh xạ chỉnh hỉnh sao cho tồn tại dãy {zn}  * , zn  X mà dãy {f(zn)} hội tụ trong X. Khi đó f thác triển thành một ánh xạ chỉnh hỉnh F :   X. Tiếp đó Đỗ Đức Thái đã có những công trình nghiên cứu về tính chất * -thác triển và lần đầu tiên đã chứng tỏ đƣợc rằng đối với lớp không gian phức compact thì tính chất *-thác triển và tính chất hyperbolic là tƣơng đƣơng. Tuy nhiên kết luận trên đây sẽ không đúng đối với các không gian tùy ý. Ví dụ, rất gần đây, P.Thomas - Đỗ Đức Thái đã xây dựng đƣợc không gian có tính chất *-thác triển nhƣng không có tính chất hyperbolic. 9 Vài năm trở lại đây, Royden và một vài tác giả khác đã chỉ ra rằng nếu X là một mặt Riemann compact hyperbolic ( tƣơng ứng vói hiện tƣợng mọi ánh xạ chinh hình từ  vào X đều là hàm hằng) thì X có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực trong . Jarviđã tổng quát hóa các kết quả của Royden trong trƣờng hợp các tập con compact có dung lƣợng bằng 0 trong một miền z của . Năm 1995, Đỗ Đức Thái đã chứng minh đƣợc ràng nếu X là một không gian phức có tính chất 1-thác triển chỉnh hình thực sự qua tập đa cực thì nó có tính chất n-thác triển chỉnh hình thực sự qua tập đa cực với mọi n  2. Trong chƣơng này chúng tôi tiếp tục hƣớng nghiên cứu nói trên của Đỗ Đức Thái. Trƣớc hết chúng tôi mở rộng kết quả đó cho các tập cực đóng và sau đó nghiên cứu tính thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn. Ta nói X có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực đóng S và ký hiệu H(Z, X) = H(Z \ S, X) nếu ánh xạ thu hẹp R : H(Z, X)  H(Z \ S, X) là song ánh, và X có tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực đóng S ký hiệu H(Z, X)  H(Z \ S, X) nếu ánh xạ thu hẹp R : H(Z, X)  H(Z \ S, X) đồng phôi, ở đây S là một tập cực đóng trong trong một tập mở Z của một không gian Banach B và X là một không gian phức. 10 Trong trƣờng hợp S là một tập cực loại hữu hạn và H(Z, X)  H(Z \ S, X) thì ta nói X có tính chất (SPEP). Chúng tôi chứng minh định lý sau đây: Định lý 2.1.2. Cho X là một không gian phức sao cho H(, X)  H( \ S, X) với mọi tập cực đóng S  . Khi đó H(Z, X)  H(Z \ S, X) với mọi tập mở Z của n và mọi tập cực đóng S  Z. Nhƣ vậy nếu X là một không gian phức có tính chất 1-thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực đóng thì nó cũng có tính chất n-thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực đóng với mọi n  2. Lƣu ý rằng trong n, mọi tập đa cực đều là tập cực, nhƣng ngƣợc lại, có những tập cực mà không đa cực. Do đó kết quả này là một mờ rộng kết quả của Đỗ Đức Thái. Tuy nhiên về kỹ thuật chứng minh, chúng tôi chỉ có một vài cải tiến thích hợp của Đỗ Đức Thái. Trong khi nghiên cứu trƣờng hợp vô hạn chiều của Định lý 2.1.2, chúng tôi đi đến bài toán sau: Giả sử X là không gian phức sao cho H(, X) = H( \ S, X) với mỗi tập con cực đóng S  . Phải chảng khi đó H(Z, X) = H(Z \ S, X) 11 với mỗi tập con cực đóng trong đa tạp phức Z. Câu trả lời đầy đủ cho vấn đề trên chúng tôi chƣa đạt đƣợc. Tuy nhiên, dựa vào định lý 2.1.2 chúng tôi quan tâm đến trƣờng hợp Z là một tập mờ trong một không gian Banach và S là một tập cực loại hữu hạn dóng trong Z. Với những giả thiết nhƣ trên, chúng tôi chứng minh dƣợc: Định lý 2.2.2. Cho X là một không gian giả lồi sao cho H(, X)  H( \ S, X) với mọi tập cực đóng S  . Khi đó H(Z, X)  H(Z \ S, X) vài mọi tập mà Z trong một không gian Banach B và mọi tập cực loại hữu hạn đóng S trong Z. Chúng tôi kết hợp Định lý 2.2.2 với một kết quả của Jarvi đề mở rộng các kết quả của ông tới trƣờng hợp vô hạn chiều. Định lý 2.2.3. Cho X là một mặt Riemann compact hyperbolic. Khi đó H(Z, X)  H(Z \ S, X) với mọi tập mở Z của không gian Banach B và mọi tập cực loại hữu hạn đóng S  Z. Nói cách khác, mặt Riemann compact hyperbolic có tính chất (SPEP). Để chỉ thêm một ví dụ thứ hai về một không gian phức có tính chất (SPEP), chúng tôi khảo sát miền Hartogs. Cho X là một không gian phức và  hàm đa diều hoa dƣới trên X. Xét miền Hartogs (X) cho bởi 12 Trong phần còn lại của chƣơng này, chúng tôi tìm điều kiện để (X) có tính chất (SPEP). 2.3.2. Định lý. Giả sử X là một không gian phức,  là một hàm đa điều hòa dƣới trên X và  là một mêtric Hermit trên X. a) Nếu X có tính chất (SPEP) và   x a l imsup log (x,a) (x) 0      với mọi  > 0 và mọi a  X thì (X) cũng có tính chết (SPEP). b) Nếu (X) có tinh chất (SPEP) thì X cũng có tính chất (SPEP) và   x a l imsup log (x,a) (x) 0      với mọi  > 0 và mọi a  X Rõ ràng điều kiện a) của Định lý 2.3.2 luôn đƣợc thỏa với  là một hàm liên tục trên . Tuy nhiên, gần đây P.Thomas và D.D.Thai đã xây dựng một hàm  gián đọan tại 0  , điều hòa dƣới trên  thỏa mãn điều kiện Hơn nửa () không hyperbolic. Áp dụng định lý 2.3.2 ta suy ra () có tính chất (SPEP). 13 Chƣơng 3 ẢNH XẠ CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN TRÊN CÁC TẬP HỢP COMPACT TRONG HỮU HẠN CHIỀU. Sự tổng quát hóa của định lý năm 1906 của Hartogs về hàm chỉnh hình theo từng biến đã đƣợc nghiên cứu bởi nhiều tác giả, nhƣ Terada, Bernstein, Siciak, Zaharjuta, Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi. Vào nám 1989, Shiffman đã mở rộng các kết quả nghiên cứu trên bằng cách sử dụng lý thuyết thế vị phức. Trong chƣơng này chúng tôi đạt đƣợc một số kết quả về tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến trong trƣờng hợp hữu hạn chiều. Các kết quả đƣợc phát biểu theo thuật ngữ của các bất biến tôpô tuyến tính, đƣợc đƣa ra và nghiên cứu bởi Vogt vào những năm 80. Các kết quả chính mà chung tôi nghiên cứu đƣợc nhằm giải bài toán sau đây: Cho Z là một không gian Stein và K là một tập con compact trong một không gian Stein X. Thế thì với điều kiện nào của Z và của K mọi ánh xạ chỉnh hình trên K x Z đều có thề thác triển chỉnh hình lên một lân cận có dạng W x Z của K x Z trong X x Z. Để giải bài toán chúng tôi xem xét hai vấn đề đƣợc thể hiện qua 14 hai Định lý sau đây: Định lý 3.2.1. Cho Z là một không gian Stein. Các điều kiện sau đây là tƣơng đƣơng: (i) Mọi hàm chỉnh hình theo từng biến trên K x Z, ở đây K là một tập compact trong một không gian Stein bất khả qui địa phƣơng X mà không đa cực trong mọi nhánh bất khả qui của mọi lân cận của K đều có thể thác triển chỉnh hình lên một lân cận W x Z của K x Z trong X x Z. (ii) Không gian H(Z) các hàm chỉnh hình trên Z trang bị tôpô mở compact có tính chất (DN). Để chứng minh Định lý, chúng tôi sử dụng các Bổ đề sau: Bổ đề 3.2.2. Cho  : Y  Z là một toàn ánh chỉnh hình riêng hữu hạn giữa các không gian Stein. Khi đó H(Z)  (DN) nếu và chỉ nếu, H(Y)  (DN). Bổ đề 3.2.3. Cho Z là một không gian Stein bất khả qui địa phƣơng. Khi đó H(Z)  (DN) nếu và chỉ nếu mọi hàm đa điều hòa dƣới trên Z mà bị chặn trên đều là hàm hằng. Bổ đề 3.2.4. Cho Z là một không gian Stein. Khi đó H(Z)  (DN) nếu và chỉ nếu H(Z \ H)  (DN) với mọi siêu mặt H  Z chứa quĩ tích kỳ dị S(Z) của Z. Trong đó các Bổ đề 3.2.2 và 3.2.3 đã đƣợc chứng minh bởi Đỗ Đức Thái, Đinh Huy Hoàng và Thái Thuận Quang. 15 Nhƣ vậy Định lý 3.2.1 cho ta một điều kiện cần và đủ về Z dể giải bài toán nói trên với giả thiết K là tập compact trong một không gian bất khả qui địa phƣơng mà là tập không đa cực trong nhánh bất khả qui của mọi lân cận của K. Bây giờ chúng tôi tiếp tục công việc nghiên cứu bằng cách tìm các điều kiện cần và đủ cho K dề bài toán đặt ra ờ trên có lời giải. Định lý 3.2.5. Cho K là một tập compact trong một không gian Stein bất khả qui địa phương X. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương: (i) Mọi hàm ch ỉnh hình theo từng biến trên K x Z, ở đây Z là một không gian Stein, H(Z)  (DN) và K là tập có tính duy nhất đều có thể thác triển chỉnh hình lên một lân cận W x Z của K x X trong X x Z. (ii) K là tập không đa cực trong mọi nhánh bất khả qui của mọi lân cận của K. (iii) [H(K)]'  ( LB ), ở đây H (K) chỉ không gian các hàm chỉnh hình trên K trang b ị tôpô giới hạn qui nạp. Trong phần cuối của chƣơng này chúng tôi chứng minh rằng các kết quả nêu trên vẫn đúng với X là một không gian Stein không nhất thiết là một không gian Stein bất khả qui địa phƣơng. Kết quả đƣợc phát biểu nhƣ sau : 16 Định lý 3.3.1. Cho K là một tập hợp compact trong một không gian Stein X. Khi dó các mệnh đề sau đây tƣơng đƣơng : (i) Mọi hàm chỉnh hình theo từng biến trên K x Z ở đây Z là một không gian Stein sao cho H(Z)  (DN) và K là tập có tính duy nhất đều có thể thác triển đến một hàm chỉnh hình trên một lân cận của K x Z trong X x Z có dạng W x Z. (ii) K Z không đa cực vài mọi nhánh bất khả qui Z của mọi lân cận của K trong X (iii) [H(K)]'  ( LB  ) Để giải bài toán với giả thiết X là một không gian Stein không nhất thiết là một không gian Stein bất khả qui địa phƣơng chúng tôi chứng minh công cụ sau đây : Định lý 3.3.2. Cho  : X  Y là một toàn ánh chỉnh hình riêng giữa các không gian Stein và K là một tập con compact trong Y . Khi đó [H(K)] '  ( LB ) nếu và chỉ nếu [H(- 1(K))]'  ( LB ). 17 Chƣơng 4 ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH THEO TỪNG BIẾN TRÊN CÁC TẬP MỞ VÀ CÁC TẬP HỢP COMPACT TRONG VÔ HẠN CHIỀU. Định lý nổi tiếng Hartogs về tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến trong n đã đƣợc mở rộng đến các tập con đặc biệt có dạng n+m bởi nhiều tác giả, đặc biệt bởi Siciak, Nguyễn Thanh Vân - Zeriahi. Vào năm 1990, Shiffman chứng minh rằng : Cho X là một không gian phức có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, U, V là các miền trong M, N tƣơng ứng và A là một tập con không đa cực của V. Giả sử f : U x V  X sao cho : i. fz  H(V, X) với hầu hết z  U, ii. fw  H(U, X) với mọi w  A. Khi đó f chỉnh hình trên U x V. Ta biết rằng, trong trƣờng hợp đặc biệt khi thay giả thiết (i) bằng fz  H(V, X) với mọi z  U và với X = , Định lý này đã đƣợc Terada chứng minh năm 1967. Cho đến bây giờ Định lý trên đây đƣợc xem nhƣ là kết quả mới nhất của Shiffman về tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến trên các tập mở trong hữu hạn chiều. 18 Trong phần đầu của chƣơng này chúng tôi mờ rộng các kết quả trên đây của Shiffman sang trƣờng hợp vô hạn chiều. Lƣu ý rằng điều này cũng đƣợc thực hiện bởi Nguyễn Thanh Vân và gần đây bởi N.V.Hao và B.Đ.Tắc. Kết quả mà chúng tôi đạt đƣợc nhƣ sau: Định lý 4.1.1 Cho E là một không gian Frechet thực và F là một không gian Prechet phức. Giả sử f : D x G   ở đây D x G là một tập mà trong E x F, là một hàm thỏa mãn các điều kiện sau đây: fx : z  f(x, z) chỉnh hỉnh trên G vài x  D và f : x  (f(x, z)) giải tích trên D với   [H(G)]'. Khi đó f giải tích. Nhƣ vậy, thông qua Định lý 4.1.1 chúng tôi đã có một kết quả về việc mờ rộng Định lý nổi tiếng của Hartogs về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình tách dƣợc trong n sang trƣờng hợp vô hạn chiều đối với lớp các không gian Frechet. Trong phần còn lại của chƣơng này ta sẽ tìm các điều kiện cho K và F sao cho (  ) H  ( L , H b ( F ’ ) )  H ( K , H b ( F ’ ) ) với mọi tập compact L  K . Ở đây ta viết L  K nếu K là một tập compact trong E(L), không gian Banach sinh bởi L. 19 Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp hữu hạn chiều đã trình bày ờ chƣơng 3, để giải bài toán chúng tôi xem xét hai vấn đề đƣợc thể hiện qua hai Định lý sau đây : Định lý 4.2.4. Cho F là một không gian Prechet. Khi dó F có tính chất (DN) nếu và chỉ nếu () đúng vài mọi tập cornpact K trong một không gian Frechet hạch với cơ sở và thỏa điều kiện (NP) sau đây: (NP) Với mọi tập compact lồi cân L  K tồn tại một tập compact L không đa cực và căn sao cho K  L L . Định lý 4.2.5. Cho K là một tập compact có tính duy nhất trong một không gian Frechet hạch E có cơ sở. Khi đó K thỏa (NP) nếu và chỉ nếu () đúng vài mọi không gian Frechet F có tính chất (DN) và mọi tập compact lồi cân L  K. Để chứng minh định lý 4.2.4, trƣớc hết chúng tôi chứng minh Mệnh đề 4.2.6. Cho E và F là cấc không gian Frcchet vơi E  ( B ) vài B là một tập bị chặn nào đó trong E và F  (DN). Khi đó mọi hàm chỉnh hỉnh kiểu bị chặn trên F’bor lấy giá trị trong E đều có thể đƣợc phân tích qua một không gian Banach. Ở đây ta ký hiệu F’bor là không gian bornologic kết hợp với F' và sử dụng Mệnh đề 4.2.7. Cho E là một không gian Frechet hạch có cơ sở và B là một tập compact căn không đa cực trong E. Khi đó [ H(B)]' có tính chết ( B ). 20 KẾT LUẬN 1. Luận án đã nghiên cứu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh tƣơng đối toàn diện cả Hartogs lẫn Riemann. Chúng tôi dã chỉ ra các lớp không gian có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs, đã chứng minh trƣờng hợp vô hạn chiều một kết quả của Shiffman về một giả thuyết đƣợc ra vào nám 1970 tại Hội nghị Nice. Cũng cần lƣu ý thêm rằng phƣơng pháp chứng minh của chúng tôi tỏ ra đơn giản hơn nhiều so với sự chứng minh trong hữu hạn chiều mà Shiffman tiến hành năm 1971. Ngoài ra chúng tôi cũng mở rộng đƣợc một kết quả nghiên cứu của Đỗ Đức Thái và Nguyễn Thị Lê Hƣơng về một lớp đa tạp có tính chất thác triển chỉnh hình Hartogs. Đó là lớp các đa tạp mà là hợp tầng của những miền giả lồi. Chúng tôi cũng cho một ví dụ để thấy kết quả đạt đƣợc là thật sự có hiệu quả. 2. Cũng trong bài toán thác triển chỉnh hình, chúng tôi nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình qua các tập cực loại hữu hạn. Đồng thời chúng tôi nghiên cứu đƣợc tính thác triển chỉnh hình qua tập cực của miền Hartogs (X). Kết quả thứ nhất tổng quát hơn các kết quả tƣơng tự mà Đỗ Đức Thái đã chứng minh về sự thác triển chỉnh hình qua tập đa cực ờ số chiều cao. Kết quả thứ hai đƣợc xem nhƣ là một công cụ mạnh để xét tính thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn của miền Hartogs, chẳng hạn chúng tôi đã sử dụng nó một cách có hiệu quả để khẳng định đƣợc một miền Hartogs đặc biệt mà P.Thomas và Đỗ Đức Thái đã xây dựng gần đây là có tính chất đó. 21 3. Lần đầu tiên, chúng tôi là ngƣời đã sử dụng lý thuyết thế vị phức đƣợc phát triền bởi Siciak và các bất biến tôpô tuyến tính đƣợc đƣa ra và nghiên cứu bởi Vogt vào đầu những năm 80 để nghiên cứu về tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trong trƣờng hợp hữu hạn chiều. Chúng tôi cũng sử dụng một cách hiệu quả lý thuyết về các bó Coherent để hoàn thiện các kết quả nghiên cứu của mình nhằm đơn giản hóa các giả thiết về các không gian Stein bất khả qui địa phƣơng. 4. Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu đƣợc tính chỉnh hình của những hàm chỉnh hình theo từng biến trên các tập mở, xem nhƣ một mở rộng kết quả nghiên cứu gần đây của Shiffman. Mặt khác, chúng tôi tiếp tục dùng các bất biến tôpô tuyến tính để nghiên cứu tính chỉnh hình của các hàm chỉnh hình theo từng biến trên các tập compact trong vô hạn chiều, là một trong những bài toán đƣợc nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu gần đây và cũng là một trong những bài toán quan trọng của giải tích phức trong trƣờng hợp vô hạn chiều. Ở đây chúng tôi quan tâm tìm hiểu thêm về các không gian Frechet hạch có cơ sở bằng cách tìm các điều kiện cần và đủ về các không gian Frechet F và các điều kiện về tập compact K trong một không gian Frechet E sao cho mọi hàm chỉnh hình theo từng biến xác định trên mọi tập compact chứa K và lấy giá trị trong không gian các hàm chỉnh hình kiểu bị chận trên không gian đối ngẫu của F thì chỉnh hình trên K. Nhƣ vậy, chúng tôi đã có những thành công nào dó trong việc mở 22 rộng Định lý nổi tiếng của Hartogs loại compact sang trƣờng hợp vô hạn chiều đối với lớp các không gian Frechet. Luận án nêu ra một số vấn đề nghiên cứu cụ thể đòi hỏi phải tiếp tục tìm hiểu sâu sắc hơn, chẳng hạn : phải chăng nếu mọi không gian phức có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập cực trong  thì nó có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập đa cực và phải chăng mọi không gian phức compact hyperbolic đều có tính chất thác triển chỉnh hình qua tập đa cực v.v... 23 CÁC CÔNG TRÌNH ĐA CÔNG BỐ ĐƢỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN [1] Do Duc Thai and Nguyen Thai Son, Extensions of holomorphic maps through hypersurfaces and relations to the Hartogs ex-tensions in infinite dimension, Procecdings of the American Mathematicai Society. (Đã có giấy chấp thuận cho đăng trên tạp chí). [2] Nguyễn Thái Sơn, Hàm giải tích lấy giá trị Frechct và bất biến tôpô tuyến tính. Thông báo Khoa học, Trƣờng Đại học Sƣ Phạm TP HCM, 18 (1997), 19 - 24 . [3] Nguyen Thai Son, The Property ( LB ) of spaces of germs of holomorphic functions, Publications of CFCA, Vol.1 (1997), 115-124. [4] Nguyen Thai Son, Separately holomorphic functions on com-pact set, Acta Math. Vietnamica (Đã có giấy chấp nhận cho đăng trên tạp chí). [5] Nguyen Thai Son, Separately holomorphic functions on L -regular compact sets and the property (DN) Colloque Pranco-Vietnainien de Mathematiques, Hochiminh Viile (du 3 au 8 Mars, 1997). [6] Nguyen Thai Son, Hartogs holomorphic cxtensions and exten-sions of holomorphic maps through polar sets of finite type, Vietnam Journal of Math. (to appear). 24 [7] Nguyen Van Dong and Nguyen Thai Son, Frechet-valued ana-lytic functions and linear topological invariants, Portugaliíe Mathematica. Vol. 55 Fasc.1(1998), 101-112. [8] Nguyen Van Khue and Nguyen Thai Son, Separately holomor-phic functions on compact sets and the property (DN), Pub-lications of CFCA, Vol. 1 (1997), 87-92