Luận án Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng

g ∗ Fc k1 ) (x), (2.8) ở đó k1 ∈ L2(R+) sao cho( Fck1 ) (y) = 1 (1 + y2)2 (Lk)(y) . Chứng minh. Từ biểu thức (2.5) và điều kiện (2.6), ta có C1‖f‖L2(R+) = C1‖Fcf‖L2(R+) ≤ ‖(1 + y2) (Lk)(y)(Fcf)(y)‖L2(R+) = ‖g‖L2(R+), ‖g‖L2(R+) = ‖(1 + y2) (Lk)(y)(Fcf)(y)‖L2(R+) ≤ C2‖Fcf‖L2(R+) = C2‖f‖L2(R+), suy ra (2.7). Bên cạnh đó, từ điều kiện (2.6) ta có 1 C2(1 + y2) ≤ 1 (1 + y2)2 (Lk)(y) ≤ 1C1(1 + y2) . 49 Suy ra 1 (1 + y2)2 (Lk)(y) ∈ L2(R+), theo đó tồn tại hàm k1(x) ∈ L2(R+) sao cho( Fck1 ) (y) = 1 (1 + y2)2 (Lk)(y) . (2.9) Từ biểu thức (2.5), (2.9) và đẳng thức nhân tử hóa (1.46), ta có( Fcf ) (y) = 1 (1 + y2) (Lk)(y)(Fcg)(y) = (1 + y2) 1 (1 + y2)2 (Lk)(y)(Fcg)(y) = (1 + y2) ( Fck1 ) (y) ( Fcg ) (y) = (1 + y2)Fc ( g ∗ Fc k1 ) (y). (2.10) Bằng cách tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc vào hai vế của (2.10) ta có thể biến đổi như sau f(x) = Fc [ (1 + y2)Fc ( g ∗ Fc k1 ) (y) ] (x) = ( 1− d 2 dx2 ) Fc [ Fc ( g ∗ Fc k1 ) (y) ] (x) = ( 1− d 2 dx2 )( g ∗ Fc k1 ) (x), Từ đó, ta nhận được phép biến đổi ngược (2.8). 2 2.1.2 Liên hệ giữa phép biến đổi tích phân với các đạo hàm Định lý sau cho sự liên hệ giữa phép biến đổi tích phân Tk với các đạo hàm của nhân k. 50 Định lý 2.1.2. Giả sử k(x) có đạo hàm đến cấp hai, và k(x), k ′′ (x) ∈ L2(R+) hoặc k(x), k ′′ (x) ∈ H(R+) sao cho tích phân (1.1) hội tụ như tích phân lặp đối với k cũng như đối với k ′′ , và k(0) = 0. Khi đó, ta có( Tkf ) (x) = ( f ∗ 1 (k + k ′′ ) ) (x)− k′(0)f(x). (2.11) Chứng minh. Từ (2.1) và (2.5) ta có( Tkf ) (x) = Fc [ (1 + y2) (Lk)(y)(Fcf)(y)](x). Mặt khác, từ y2 (Lk)(y) = (Lk′′)(y)− yk(0)− k′(0) = (Lk′′)(y)− k′(0), ta có ( Tkf ) (x) = Fc [ L(k + k′′)(y)(Fcf)(y)](x)− Fc[k′(0)(Fcf)(y)](x) = ( f ∗ 1 (k + k ′′ ) ) (x)− k′(0)f(x). Định lý đã được chứng minh. 2 Nhận xét 2.1.1. Với tích chập suy rộng ( .∗ 2 . ) , ta cũng có thể thiết lập phép biến đổi tích phân tương ứng. Đó là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace, có dạng f(x) 7→ g(x) = ( 1− d 2 dx2 )( f ∗ 2 k ) (x), x > 0. (2.12) Nghiên cứu phép biến đổi tích phân này ta cũng nhận được các kết quả tương tự phép biến đổi tích phân Tk được cho bởi (2.1). Ngoài ra, nếu các điều kiện trong Mệnh đề 2.1.1 được thỏa mãn thì bất đẳng thức chuẩn (2.7) vẫn còn đúng đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace và khi đó phép biến đổi ngược tồn tại được xác định bởi f(x) = ( 1− d 2 dx2 )( g ∗ FsFc k1 ) (x), (2.13) 51 ở đó k1 ∈ L2(R+) được xác định như trong Mệnh đề 2.1.1, và ( . ∗ FsFc . ) là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine xác định bởi (0.6). 2.2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm trọng Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu phép biến đổi tích phân liên quan đến các tích chập suy rộng ( . γ∗ 3 . ) cho bởi (1.27) và tích chập suy rộng ( . ∗ FcFs . ) cho bởi (1.47). Đó là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace Tk1,k2 với hàm trọng. Phép biến đổi này có dạng f(x) 7→ g(x) = (Tk1,k2f)(x) = ( 1− d 2 dx2 ){( f γ∗ 3 k1 ) (x) + ( f ∗ FcFs k2 ) (x) } , x > 0, (2.14) trong đó k1, k2 là nhân của phép biến đổi. 2.2.1 Định lý kiểu Watson Định lý 2.2.1 (Định lý kiểu Watson). Giả sử k1(x) ∈ H(R+) và k2(x) ∈ L2(R+), khi đó điều kiện cần và đủ để phép biến đổi tích phân (2.14) unita trong L2(R+) là ∣∣− sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y)∣∣ = 1 1 + y2 . (2.15) Hơn nữa, phép biến đổi ngược có dạng f(x) = ( 1− d 2 dx2 ){ − (g γ∗ 4 k1 ) (x) + ( k2 ∗ FsFc g ) (x) } , (2.16) trong đó k1 và k2 lần lượt là các hàm liên hợp phức của k1 và k2. 52 Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử k1 và k2 thỏa mãn điều kiện (2.15). Ta biết rằng h(y), yh(y), y2h(y) ∈ L2(R) khi và chỉ khi ( Fh ) (x), ddx ( Fh ) (x), d2 dx2 ( Fh ) (x) ∈ L2(R) (Định lý 68, trang 92, [44]). Hơn nữa, d2 dx2 ( Fh ) (x) = 1√ 2pi d2 dx2 +∞∫ −∞ h(y)e−ixydy = F [ (−iy)2h(y)](x). Trường hợp đặc biệt, nếu h là hàm chẵn thỏa mãn h(y), y2h(y) ∈ L2(R+), thì ta có đẳng thức sau( 1− d 2 dx2 )( Fch ) (x) = Fc [ (1 + y2)h(y) ] (x). (2.17) Từ điều kiện (2.15), suy ra biểu thức − sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y) bị chặn, và ta cũng có (1 + y2) [− sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y)](Fsf)(y) ∈ L2(R+). Từ (2.14), bằng cách sử dụng các đẳng thức (1.48), (1.28), và công thức (2.17), ta có g(x) = ( 1− d 2 dx2 ) Fc [ − sin y(Fsf)(y)(Lk1)(y) + (Fsf)(y)(Fsk2)(y)](x) =Fc [ (1 + y2) ( − sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y))(Fsf)(y)](x). Kết hợp đẳng thức Parseval ‖f‖L2(R+) = ‖F{ cs}f‖L2(R+) và điều kiện (2.15), suy ra ‖g‖L2(R+) =‖(1 + y2) [− sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y)](Fsf)(y)‖L2(R+) =‖(Fsf)(y)‖L2(R+) = ‖f‖L2(R+). Điều đó chứng tỏ phép biến đổi tích phân (2.14) là đẳng cự. Mặt khác, từ (1 + y2) [− sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y)](Fsf)(y) ∈ L2(R+), 53 ta có ( Fcg ) (y) = (1 + y2) [− sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y)](Fsf)(y). Sử dụng điều kiện (2.15), ta có( Fsf ) (y) = (1 + y2) [− sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y)](Fcg)(y). Cũng từ điều kiện (2.15) cho ta (1 + y2) [− sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y)](Fsg)(y) ∈ L2(R+). Bằng cách sử dụng công thức (2.17), kết hợp với các đẳng thức kiểu Parseval (1.48) và (1.28), ta có f(x) =Fs [ (1 + y2) ( − sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y))(Fcg)(y)] = ( 1− d 2 dx2 ) Fs [ − sin y(Fcg)(y)(Lk1)(y) + (Fcg)(y)(Fsk2)(y)] = ( 1− d 2 dx2 ){ − (g γ∗ 4 k1 ) (x) + ( k2 ∗ FsFc g ) (x) } . Như vậy, phép biến đổi tích phân (2.14) là unita trong L2(R+) và có biến đổi ngược cho bởi (2.16). Điều kiện đủ. Giả sử phép biến đổi (2.14) là unita trong L2(R+). Khi đó từ đẳng thức Parseval đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, ta có ‖g‖L2(R+) =‖(1 + y2) [− sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y)](Fsf)(y)‖L2(R+) =‖(Fsf)(y)‖L2(R+) = ‖f‖L2(R+). Suy ra, toán tử Mθ[f ](y) = θ(y)f(y), ở đó θ(y) = (1 + y 2) [− sin y(Lk1)(y) +( Fsk2 ) (y) ] là unita trong L2(R+), hay tương đương với điều kiện (2.15) được thỏa mãn. Định lý đã được chứng minh. 2 Nhận xét 2.2.1. Với tích chập suy rộng ( . γ∗ 4 . ) , ta cũng có thể thiết lập và nghiên cứu phép biến đổi tích phân tương ứng. Đó là phép biến đổi tích phân 54 kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm trọng có dạng f(x) 7→ g(x) = ( 1− d 2 dx2 ){( f γ∗ 4 k1 ) (x) + ( f ∗ FsFc k2 ) (x) } , x > 0, (2.18) trong đó ( . ∗ FsFc . ) là tích chập suy rộng xác định bởi (0.6). Khi đó bằng kỹ thuật tương tự, ta cũng có thể chứng minh được Định lý kiểu Watson đối với phép biến đổi này. Định lý 2.2.2. Giả sử k1(x) ∈ H(R+) và k2(x) ∈ L2(R+), khi đó điều kiện cần và đủ để phép biến đổi (2.18) là unita trong L2(R+) là∣∣ sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y)∣∣ = 1 1 + y2 . (2.19) Hơn nữa, phép biến đổi ngược có dạng f(x) = ( 1− d 2 dx2 ){ − (g γ∗ 3 k1 ) (x) + ( g ∗ FcFs k2 ) (x) } , (2.20) trong đó k1 và k2 lần lượt là các hàm liên hợp phức của k1 và k2. Sau đây là một ví dụ minh họa cho sự tồn tại của k1 và k2 thỏa mãn các điều kiện (2.15) và (2.19). Ví dụ 2.2.1. Ta chọn k1(x) = i sinx thì k1(x) ∈ H(R+). Bằng cách sử dụng (3.2.9) trong [6], ta có (Lk1)(y) = i 1 + y2 . (2.21) Mặt khác, theo công thức (2.2.14) trong [6], ta có Fs [ cos y 1 + y2 ] = 1√ 2pi ∞∫ 0 sin y(x+ 1) + sin y(x− 1) 1 + y2 dy 55 = 1 2 √ 2pi [ e−(x+1)Ei(x+ 1)− e(x+1)Ei(−x− 1) + e−(x−1)Ei(x− 1)− e(x−1)Ei(−x+ 1) ] ∈ L2(R+). Vậy nên, ta chọn k2(x) = 1 2 √ 2pi [ e−(x+1)Ei(x+ 1)− e(x+1)Ei(−x− 1) + e−(x−1)Ei(x− 1)− e(x−1)Ei(−x+ 1) ] , trong đó, Ei(x) là tích phân mũ được xác định với mỗi số thực x. Suy ra( Fsk2 ) (y) = cos y 1 + y2 . (2.22) Khi đó từ (2.21) và (2.22), suy ra các điều kiện (2.15) và (2.19) được thỏa mãn, nghĩa là ∣∣∓ sin y(Lk1)(y) + (Fsk2)(y)∣∣ = 1 1 + y2 . 2.2.2 Định lý kiểu Plancherel Định lý 2.2.3 (Định lý kiểu Plancherel). Giả sử k1(x) ∈ H(R+) và k2(x) ∈ L2(R+), thỏa mãn điều kiện (2.19) đồng thời Θ1(x, u, v) = ( 1− d 2 dx2 )[ θ2(x− 1, u, v)− θ2(x+ 1, u, v) ] , Θ2(x, u, v) = ( 1− d 2 dx2 )[ θ1(x− 1, u, v)− θ1(x+ 1, u, v) ] , K(x) = ( 1− d 2 dx2 ) k2(x) là các hàm bị chặn. Cho f ∈ L2(R+) và với mỗi số tự nhiên N, đặt gN(x) = 1 2pi ∞∫ 0 N∫ 0 Θ2(x, u, v)f(u)k1(v)dudv 56 + 1√ 2pi N∫ 0 f(u) [ K(|x− u|)−K(x+ u)]du. Khi đó: 1) Ta có gN ∈ L2(R+), và nếu N →∞ thì gN hội tụ theo chuẩn trong L2(R+) đến hàm g ∈ L2(R+) với ‖g‖L2(R+) = ‖f‖L2(R+). 2) Đặt gN = g.χ(0, N), thì fN(x) =− 1 2pi ∞∫ 0 ∞∫ 0 Θ1(x, u, v)g N(u)k1(v)dudv + 1√ 2pi ∞∫ 0 gN(u) [ K(x+ u) + sign(u− x)K(|x− u|)]du, cũng thuộc L2(R+), và nếu N →∞ thì fN hội tụ theo chuẩn đến f . Chứng minh. Từ biểu thức xác định của fN và gN , suy ra đây là các tích phân hội tụ. Đặt fN = f.χ(0, N), ta có gN(x) = 1 2pi ∞∫ 0 N∫ 0 Θ2(x, u, v)f(u)k1(v)dudv + 1√ 2pi N∫ 0 f(u) [ K(|x− u|)−K(x+ u)]du = ( 1− d 2 dx2 ){ 1 2pi ∞∫ 0 ∞∫ 0 [ θ1(x− 1, u, v)− θ1(x+ 1, u, v) ] fN(u)k1(v)dudv + 1√ 2pi ∞∫ 0 fN(u) [ k2(|x− u|)− k2(x+ u) ] du } . Trong Định lý kiểu Watson, ta biết rằng gN ∈ L2(R+). Với g là hàm ảnh của f qua phép biến đổi tích phân (2.18), ta có ‖g‖L2(R+) = ‖f‖L2(R+), và suy ra 57 phép biến đổi ngược (2.20). Ta có (g − gN)(x) = ( 1− d 2 dx2 ){ 1 2pi ∞∫ 0 ∞∫ 0 [ θ1(x− 1, u, v)− θ1(x+ 1, u, v) ] × (f − fN)(u)k1(v)dudv + 1√ 2pi ∞∫ 0 (f − fN)(u)[k2(|x− u|)− k2(x+ u)]du}. Bằng cách sử dụng Định lý kiểu Watson, ta có (g − gN)(x) ∈ L2(R+) và ‖g − gN‖L2(R+) = ‖f − fN‖L2(R+). Khi ‖g − gN‖L2(R+) → 0 với N → ∞ thì dãy hàm gN hội tụ theo chuẩn đến g trong L2(R+). Phần còn lại của định lý, được chứng minh hoàn toàn tương tự. 2 Kết luận Chương 2 Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk và Fourier cosine-Fourier sine-Laplace Tk1,k2 với hàm trọng. Nhận được các kết quả chính: • Định lý kiểu Watson về điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi Tk và Tk1,k2 là unita trong L2(R+). • Xác định được điều kiện đủ để Tk là toán tử bị chặn và có biến đổi ngược. • Định lý kiểu Plancherel về sự tồn tại các dãy toán tử hội tụ theo chuẩn về toán tử tích phân Tk1,k2 và toán tử ngược của nó. Nội dung của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [3] và [4], trong Danh mục công trình đã công bố của luận án. 58 Chương 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG Trong chương này, chúng ta sử dụng các kết quả nghiên cứu của Chương 1 và Chương 2 để giải một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân và cho công thức nghiệm dưới dạng đóng. 3.1 Giải phương trình và hệ phương trình tích phân Ta biết rằng, phương trình tích phân đóng vai trò quan trọng trong các lĩnh vực toán học cũng như kỹ thuật. Không có phương pháp giải chung nhất cho loại phương trình này, mà chỉ giải được trong một số trường hợp cụ thể nào đó. Trong phần này, chúng ta xét một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân mà bằng các cách giải thông thường rất khó thực hiện được. Các tích chập suy rộng Fourier-Laplace đã được nghiên cứu trong Chương 1 cùng với Định lý Wiener-Levy (trang 63 trong [24]) sau đây là công cụ quan trọng giúp ta trong việc xây dựng công thức nghiệm tường minh cho lớp phương trình và hệ phương trình tích phân. Định lý 3.1.1 (Định lý Wiener-Levy). Giả sử f là biến đổi Fourier của một hàm thuộc L1(R), và ϕ là hàm giải tích trong một lân cận của gốc, chứa miền {f(y),∀y ∈ R} thỏa mãn ϕ(0) = 0, khi đó ϕ(f) cũng là ảnh qua phép biến đổi Fourier của một hàm nào đó thuộc L1(R). Nhận xét 3.1.1. Đối với phép biến đổi Fourier cosine, Định lý Wiener-Levy cũng cho ta kết quả tương tự. Nghĩa là nếu f là biến đổi Fourier cosine của 59 một hàm trong L1(R+) và ϕ là hàm giải tích trong một lân cận của gốc chứa miền {f(y),∀y ∈ R+} sao cho ϕ(0) = 0, thì ϕ(f) cũng là biến đổi Fourier cosine của một hàm nào đó trong L1(R+). 3.1.1 Giải phương trình tích phân a) Xét phương trình tích phân loại một có dạng ∞∫ 0 K1(x, u)f(u)du = g(x), x > 0, (3.1) trong đó K1(x, u) = 1 pi ∞∫ 0 θ1(x, u, v)k(v)dv, (3.2) với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2). Định lý 3.1.2. Cho g(x), k(x) ∈ L1(R+). Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình (3.1) có nghiệm trong L1(R+) là ( Fcg ) (y)( Lk ) (y) ∈ Ac. Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng f(x) = ∞∫ 0 ( Fcg ) (y)(Lk)(y) cosxydy. (3.3) Chứng minh. Từ giả thiết của định lý và nhân K1(x, u) cho bởi (3.2), ta có thể viết lại phương trình (3.1) dưới dạng tương đương( f∗ 1 k ) (x) = g(x), x > 0, (3.4) trong đó tích chập suy rộng ( .∗ 1 . ) được cho bởi (1.1). Điều kiện cần. Giả thiết rằng, phương trình (3.1) có nghiệm trong L1(R+) cho bởi (3.3). Từ giả thiết hàm g(x) ∈ L1(R+) suy ra tích chập suy rộng 60 ( f∗ 1 k ) (x) ∈ L1(R+). Từ đó, bằng cách sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.4) đối với đẳng thức (3.4), ta có( Fcf ) (y) (Lk)(y) = (Fcg)(y), suy ra ( Fcf ) (y) = ( Fcg ) (y)(Lk)(y) . (3.5) Mặt khác, do f(x) ∈ L1(R+) nên ( Fcf ) (y) ∈ Ac. Kết hợp với (3.5) ta suy ra( Fcg ) (y)( Lk ) (y) ∈ Ac. Điều kiện đủ. Từ giả thiết ( Fcg ) (y)( Lk ) (y) ∈ Ac, suy ra tồn tại hàm f(x) ∈ L1(R+) thỏa mãn ( Fcf ) (y) = ( Fcg ) (y)( Lk ) (y) . Vậy ta có ( Fcf ) (y) (Lk)(y) = (Fcg)(y). Suy ra ( f∗ 1 k ) (x) = g(x), và ta nhận được (3.3). Định lý đã được chứng minh. 2 b) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng f(x) + ∞∫ 0 K1(x, u)f(u)du = g(x), x > 0, (3.6) trong đó nhân K1(x, u) cho bởi (3.2) và k(x), g(x) là hàm cho trước trong L1(R+), và f(x) là hàm cần tìm. Định lý 3.1.3. Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn 1 + (Lk)(y) 6= 0, ∀y > 0. (3.7) 61 Khi đó phương trình (3.6) có nghiệm duy nhất trong L1(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng f(x) = g(x)− (q ∗ Fc g ) (x), (3.8) ở đó q(x) ∈ L1(R+) được xác định bởi q(x) = Fc ( (Lk)(y) 1 + (Lk)(y) ) (x). (3.9) Chứng minh. Với nhân K1(x, u) cho bởi (3.2), phương trình (3.6) có thể viết lại dưới dạng tích chập f(x) + ( f ∗ 1 k ) (x) = g(x), x > 0. (3.10) Áp dụng phép biến đổi Fourier cosine Fc đối với phương trình (3.10) và sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.3), ta nhận được( Fcf ) (y) + ( Fcf ) (y) (Lk)(y) = (Fcg)(y). (3.11) Do đó ( Fcf ) (y) = ( Fcg ) (y)− (Fcg)(y) (Lk)(y) 1 + (Lk)(y) . Theo Bổ đề 1.1.1, vì k(x) ∈ L1(R+) nên (Lk)(y) ∈ Ac. Từ điều kiện (3.7) suy ra ( Lk ) (y) 1+ ( Lk ) (y) ∈ Ac và sử dụng Định lý Wiener-Levy, suy ra ( Lk ) (y) 1+ ( Lk ) (y) là biến đổi Fourier cosine Fc của hàm q(x) ∈ L1(R+), được cho bởi (3.9). Khi đó ta có ( Fcf ) (y) = ( Fcg ) (y)− (Fcg)(y)(Fcq)(y). (3.12) Do ( Fcg ) (y), ( Fcq ) (y) ∈ Ac nên ( Fcf ) (y) ∈ Ac. Suy ra, f(x) ∈ L1(R+). Áp dụng phép biến đổi Fourier cosine Fc đối với (3.12) và sử dụng (1.46) ta nhận được nghiệm cho bởi (3.8). Định lý đã được chứng minh. 2 62 c) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng f(x) + ∞∫ 0 K2(x, t)f(t)dt = g(x), x > 0, (3.13) ở đó K2(x, t) = 1 pi √ 2pi ∫ R+2 θ1(x, u, v + µ) [ ψ(|u− t|) + ψ(u+ t)]ϕ(v)dudv, µ > 0, (3.14) với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2). Định lý 3.1.4. Giả sử rằng ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+). Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình (3.13) có nghiệm duy nhất trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1+e−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 6= 0,∀y > 0. Hơn nữa, nghiệm có thể được biểu diễn dưới dạng sau f(x) = g(x)− (g ∗ Fc q ) (x), (3.15) ở đó tích chập ( . ∗ Fc . ) được định nghĩa bởi (1.45), hàm q ∈ L1(R+) được xác định bởi ( Fcq ) (y) = e−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 1 + e−µy(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) . (3.16) Chứng minh. Với nhân K2(x, t) cho bởi (3.14), phương trình (3.13) có thể viết lại dưới dạng tích chập như sau f(x) + (( f ∗ Fc ψ ) γ∗ 1 ϕ ) (x) = g(x). (3.17) Điều kiện cần. Giả thiết rằng, phương trình tích phân (3.13) có nghiệm duy nhất trong L1(R+), với mọi hàm g(x) trong L1(R+). Suy ra, tồn tại hàm g(x) ∈ L1(R+) sao cho ( Fcg ) (y) 6= 0, ∀y > 0. (3.18) 63 Bằng cách sử dụng các đẳng thức nhân tử hóa (1.18) và (1.46) đối với (3.17), ta có ( Fcf ) (y) + e−µy ( Fcf ) (y) ( Fcψ ) (y) (Lϕ)(y) = (Fcg)(y). Kết hợp với (1.18), ta có( Fcf ) (y) [ 1 + Fc ( ψ γ∗ 1 ϕ ) (y) ] = ( Fcg ) (y). (3.19) Bằng cách sử dụng phản chứng, giả thiết tồn tại y0 > 0 thỏa mãn điều kiện 1 + Fc ( ψ γ∗ 1 ϕ ) (y0) = 0. Kết hợp với (3.19), ta có( Fcg ) (y0) = 0, ∀g ∈ L1(R+). (3.20) Điều đó mâu thuẩn với (3.18). Suy ra 1 + Fc ( ψ γ∗ 1 ϕ ) (y) 6= 0,∀y > 0. Điều kiện đủ. Từ (3.18) và các giả thiết của Định lý 3.1.4, ta có ( Fcf ) (y) = ( Fcg ) (y) 1 + Fc ( ψ γ∗ 1 ϕ ) (y) = ( Fcg ) (y) [ 1− Fc ( ψ γ∗ 1 ϕ ) (y) 1 + Fc ( ψ γ∗ 1 ϕ ) (y) ] = ( Fcg ) (y)− (Fcg)(y) Fc ( ψ γ∗ 1 ϕ ) (y) 1 + Fc ( ψ γ∗ 1 ϕ ) (y) . (3.21) Với điều kiện 1 + Fc ( ψ γ∗ 1 ϕ ) (y) 6= 0,∀y > 0, theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại hàm q(x) ∈ L1(R+) thỏa mãn (3.16). Kết hợp với (3.21), ta có( Fcf ) (y) = ( Fcg ) (y)− (Fcg)(y)(Fcq)(y) = (Fcg)(y)− Fc(g ∗ Fc q ) (y). Từ đó suy ra (3.15). Định lý 3.1.4 đã được chứng minh. 2 64 Ngoài ra, ta cũng có thể xét phương trình tích phân (3.13) với nhân K3(x, t) = 1 pi √ 2pi ∫ R+2 θ2(x, u, v + µ) [ ψ(|u− t|)− ψ(u+ t)]ϕ(v)dudv, µ > 0, (3.22) trong đó θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.11). Khi đó, chứng minh bằng kỹ thuật tương tự như trong Định lý 3.1.4, ta cũng nhận được kết quả sau. Hệ quả 3.1.1. Với các giả thiết như trong Định lý 3.1.4, phương trình (3.13) với nhân K3(x, t) được xác định bởi (3.22) có nghiệm duy nhất trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) và nghiệm được xác định bởi f(x) = g(x)− (g ∗ FsFc q ) (x), (3.23) ở đó tích chập ( . ∗ FsFc . ) được xác định bởi (0.6), hàm q ∈ L1(R+) được cho bởi (3.16). d) Xét phương trình tích phân loại hai có dạng f(x) + ∞∫ 0 K4(x, t)f(t)dt = g(x), x > 0, (3.24) trong đó K4(x, t) = 1 2pi √ 2pi ∫ R+2 [ θ2(x− 1, u, v + µ)− θ2(x+ 1, u, v + µ) ] × [ϕ(u+ t) + sign(u− t)ϕ(|u− t|)]ψ(v)dudv, µ > 0, (3.25) với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.11). Định lý 3.1.5. Giả sử các hàm g(x), ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+). Khi đó điều kiện cần và đủ để phương trình tích phân (3.24) có duy nhất nghiệm trong L1(R+) 65 với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1+e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) 6= 0, ∀y > 0. Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạnh sau f(x) = g(x) + ( g ∗ Fc q ) (x), trong đó q là hàm thuộc L1(R+) sao cho( Fcq ) (y) = −e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) 1 + e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) , và tích chập ( . ∗ Fc . ) được xác định bởi (1.45). Chứng minh. Với nhân K4(x, t) cho bởi (3.25), phương trình (3.24) có thể viết lại dưới dạng f(x) + (( ϕ ∗ FsFc f ) γ∗ 5 ψ ) (x) = g(x), (3.26) trong đó, tích chập suy rộng ( . ∗ FsFc . ) được xác định bởi (0.6). Điều kiện cần. Giả sử phương trình (3.24) có nghiệm trong L1(R+), với mọi hàm g thuộc L1(R+). Suy ra, tồn tại g(x) ∈ L1(R+) sao cho( Fcg ) (y) 6= 0, ∀y > 0. (3.27) Tác động phép biến đổi Fourier cosine lên hai vế của phương trình (3.26) và sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.29), ta có( Fcf ) (y)− e−µy sin yFs ( ϕ ∗ FsFc f ) (y) (Lψ)(y) = (Fcg)(y). Kết hợp với (0.7), ta có( Fcf ) (y)− e−µy sin y(Fsϕ)(y)(Fcf)(y)(Lψ)(y) = (Fcg)(y). Từ đó và (1.29), ta có( Fcf ) (y) [ 1− Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y) ] = ( Fcg ) (y). (3.28) 66 Điều này là mâu thuẩn với giả thiết tồn tại y0 > 0 sao cho 1− Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y0) = 0. Kết hợp với (3.28), ta có( Fcg ) (y0) = 0, ∀g ∈ L1(R+). (3.29) Suy ra (3.27). Từ đó ta nhận được 1− Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y) 6= 0, ∀y > 0. Điều kiện đủ. Từ (3.27) và giả thiết của phương trình (3.24), ta có ( Fcf ) (y) = ( Fcg ) (y) 1− Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y) = ( Fcg ) (y) [ 1 + Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y) 1− Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y) ] = ( Fcg ) (y) + ( Fcg ) (y). Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y) 1− Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y) . (3.30) Khi đó theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại một hàm q(x) trong L1(R+) sao cho ( Fcq ) (y) = Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y) 1− Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y) . (3.31) Từ (3.30), (3.31) và q(x) ∈ L1(R+) ta có( Fcf ) (y) = ( Fcg ) (y) + ( Fcg ) (y) ( Fcq ) (y) = ( Fcg ) (y) + Fc ( g ∗ Fc q ) (y). Suy ra, f(x) = g(x) + ( g ∗ Fc q ) (x), f(x) ∈ L1(R+). Định lý đã được chứng minh. 2 Ngoài ra, ta cũng có thể xét phương trình tích phân (3.24) với nhân K5(x, t) = 1 2pi √ 2pi ∫ R+2 [ θ1(x− 1, u, v + µ)− θ1(x+ 1, u, v + µ) ] 67 × [ϕ(u+ t)− sign(u− t)ϕ(|u− t|)]ψ(v)dudv, µ > 0, (3.32) trong đó θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2). Khi đó chứng minh bằng kỹ thuật tương tự như trong Định lý 3.1.5, ta nhận được kết quả sau. Hệ quả 3.1.2. Cho g(x), ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+). Khi đó điều kiện cần và đủ để phương trình (3.24) với nhân K5(x, t) cho bởi (3.32) có duy nhất nghiệm trong L1(R+) với mọi hàm g(x) thuộc L1(R+) là 1−e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) 6= 0, ∀y > 0. Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạnh sau f(x) = g(x)− (g ∗ FsFc q ) (x). Trong đó q là hàm thuộc L1(R+) sao cho( Fcq ) (y) = −e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) 1− e−µy sin y(Fcϕ)(y)(Lψ)(y) , và tích chập suy rộng ( . ∗ FsFc . ) được xác định bởi (0.6). Sau đây ta chỉ ra một trường hợp cụ thể để minh họa cho Định lý 3.1.5. Ví dụ 3.1.1. Ta chọn các hàm ϕ(x), ψ(x) như sau ϕ(x) = e−ax, ψ(x) = e−bx (a, b > 0). Khi đó dễ thấy ϕ(x), ψ(x) ∈ L1(R+) và ta có ( Fsϕ ) (y) = √ 2 pi y a2 + y2 , (Lψ)(y) = 1 b+ y . (3.33) Từ đẳng thức nhân tử hóa (1.29) và (3.33), ta có Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y) = −e−µy sin y(Fsϕ)(y)(Lψ)(y) = − √ 2 pi e−µy sin y. y (a2 + y2)(b+ y) . 68 Khi đó, ta có 1− Fc ( ϕ γ∗ 5 ψ ) (y) 6= 0, ∀y > 0. Theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại hàm q(x) ∈ L1(R+) sao cho ( Fcq ) (y) = − √ 2 pie −µy sin y. y(a2+y2)(b+y) 1 + √ 2 pie −µy sin y. y(a2+y2)(b+y) . (3.34) Suy ra q(x) = Fc [ −√ 2pie−µy sin y. y(a2+y2)(b+y) 1 + √ 2 pie −µy sin y. y(a2+y2)(b+y) ] (x) = −2 pi ∞∫ 0 y sin y cosxy (a2 + y2)(b+ y)eµy + √ 2 piy sin y dy, và nghiệm được cho bởi f(x) = g(x) + ( g ∗ Fc q ) (x). 3.1.2 Giải hệ phương trình tích phân a) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng f(x) + ∞∫ 0 K6(x, t)g(t)dt = p(x), g(x) + ∞∫ 0 K7(x, t)f(t)dt = q(x), x > 0. (3.35) Trong đó K6(x, t) = 1 pi √ 2pi ∫ R+2 θ1(x, u, v + µ) [ k(|u− t|) + k(u+ t)]ϕ(v)dudv, K7(x, t) = 1 pi √ 2pi ∫ R+2 θ1(x, u, v + µ) [ l(|u− t|) + l(u+ t)]ψ(v)dudv, µ > 0, (3.36) 69 với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2). Định lý 3.1.6. Giả thiết ϕ(x), ψ(x), p(x), q(x), k(x), l(x) ∈ L1(R+), thỏa mãn 1− e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y) 6= 0, ∀y > 0. Khi đó hệ (3.35) có nghiệm duy nhất (f, g) trong ( L1(R+), L1(R+) ) được cho bởi các biểu thức f(x) = p(x)− ( q ∗ Fc ( k γ∗ 1 ϕ )) (x) + ( p ∗ Fc ξ ) (x)− (( q ∗ Fc (k γ∗ 1 ϕ) ) ∗ Fc ξ ) (x), (3.37) g(x) = q(x)− ( p ∗ Fc ( l γ∗ 1 ψ )) (x) + ( q ∗ Fc ξ ) (x)− (( p ∗ Fc (l γ∗ 1 ψ) ) ∗ Fc ξ ) (x). (3.38) Trong đó, ξ(x) ∈ L1(R+) thỏa mãn( Fcξ ) (y) = e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y) 1− e−2µy(Fck)(y)(Fcl)(y)(Lϕ)(y)(Lψ)(y) . (3.39) Chứng minh. Ta có thể viết lại hệ hai phương trình (3.35) dưới dạng f(x) + (( g ∗ Fc k ) γ∗ 1 ϕ ) (x) = p(x), g(x) + (( f ∗ Fc l ) γ∗ 1 ψ ) (x) = q(x). (3.40) Tác động phép biến đổi Fourier cosine lên hệ (3.40) và sử dụng các đẳng thức nhân tử hóa (1.4), (1.46), ta có( Fcf ) (y) + e−µy ( Fcg ) (y) ( Fck ) (y) (Lϕ)(y) = (Fcp)(y),( Fcg ) (y) + e−µy ( Fcf ) (y) ( Fcl ) (y) (Lψ)(y) = (Fcq)(y). Suy ra ( Fcf ) (y) + ( Fcg ) (y)Fc ( k γ∗ 1 ϕ ) (y) = ( Fcp ) (y), 70 ( Fcg ) (y) + ( Fcf ) (y)Fc ( l γ∗ 1 ψ ) (y) = ( Fcq ) (y). (3.41) Giải hệ hai phương trình tuyến tính (3.41), ta có ( Fcf ) (y) = ( Fcp ) (y)− Fc ( q ∗ Fc ( k γ∗ 1 ϕ )) (y) 1− Fc (( k γ∗ 1 ϕ ) ∗ Fc ( l γ∗ 1 ψ )) (y) (3.42) = [( Fcp ) (y)− Fc ( q ∗ Fc ( k γ∗ 1 ϕ )) (y) ][ 1 + Fc (( k γ∗ 1 ϕ ) ∗ Fc ( l γ∗ 1 ψ )) (y) 1− Fc (( k γ∗ 1 ϕ) ∗ Fc ( l γ∗ 1 ψ )) (y) ] . Theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại hàm ξ(x) ∈ L1(R+) thỏa mãn (3.39). Kết hợp với (3.42), ta có( Fcf ) (y) = [( Fcp ) (y)− Fc ( q ∗ Fc ( k γ∗ 1 ϕ )) (y) ][ 1 + ( Fcξ ) (y) ] = ( Fcp ) (y)− Fc ( q ∗ Fc ( k γ∗ 1 ϕ )) (y) + Fc ( p ∗ Fc ξ ) (y) − Fc [( q ∗ Fc ( k γ∗ 1 ϕ )) ∗ Fc ξ ] (y). Từ đó ta nhận được (3.37). Tương tự, ta cũng có (3.38). Định lý 3.1.6 đã được chứng minh. 2 Ngoài ra, ta có thể xét hệ phương trình (3.35) với cặp nhân K8(x, t) = 1 pi √ 2pi ∫ R+2 θ2(x, u, v + µ) [ k(|u− t|)− k(u+ t)]ϕ(v)dudv, K9(x, t) = 1 pi √ 2pi ∫ R+2 θ2(x, u, v + µ) [ l(|u− t|)− l(u+ t)]ψ(v)dudv, µ > 0, (3.43) với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.11). Khi đó bằng kỹ thuật biến đổi tương tự như trong phần chứng minh Định lý 3.1.6, ta cũng nhận được kết quả sau đây. 71 Hệ quả 3.1.3. Với các giả thiết như trong Định lý 3.1.6, thì hệ (3.35) với cặp nhân K8(x, t) và K9(x, t) được xác định bởi (3.43) có nghiệm duy nhất (f, g) trong ( L1(R+), L1(R+) ) . Hơn nữa nghiệm có dạng f(x) = p(x)− ( q ∗ FsFc ( k γ∗ 1 ϕ )) (x) + ( p ∗ FsFc ξ ) (x)− (( q ∗ FsFc (k γ∗ 1 ϕ) ) ∗ FsFc ξ ) (x), g(x) = q(x)− ( p ∗ FsFc ( l γ∗ 1 ψ )) (x) + ( q ∗ FsFc ξ ) (x)− (( p ∗ FsFc (l γ∗ 1 ψ) ) ∗ FsFc ξ ) (x). Trong đó, ξ(x) là hàm thuộc L1(R+) được xác định bởi (3.39) và tích chập suy rộng ( . ∗ FsFc . ) được xác định bởi (0.6). b) Xét hệ hai phương trình tích phân loại hai có dạng f(x) + ∞∫ 0 K10(x, u)g(u)du = p(x), g(x) + ∞∫ 0 K11(x, u)f(u)du = q(x), x > 0. (3.44) Trong đó K10(x, u) = 1 2pi ∞∫ 0 ϕ(v) [ θ2(x− 1, u, v + µ)− θ2(x+ 1, u, v + µ) ] dv, K11(x, u) = 1√ 2pi [ ψ(u+ x)− sign(u− x)ψ(|u− x|)], µ > 0, với θ2(x, u, v) được xác định bởi (1.11). Định lý 3.1.7. Giả sử rằng ϕ(x), ψ(x), p(x), q(x) ∈ L1(R+) thỏa mãn 1− e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 6= 0, ∀y > 0. Khi đó hệ (3.44) có nghiệm duy nhất (f, g) trong ( L1(R+), L1(R+) ) cho bởi f(x) = p(x)− (q γ∗ 5 ϕ ) (x)− (p ∗ Fc ξ ) (x) + (( q γ∗ 5 ϕ ) ∗ Fc ξ ) (x), 72 g(x) = q(x)− (ψ ∗ FsFc p ) (x)− (q ∗ FsFc ξ ) (x) + (( ψ ∗ FsFc p ) ∗ FsFc ξ ) (x). Trong đó ξ(x) ∈ L1(R+) là hàm thỏa mãn( Fcξ ) (y) = −e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 1− e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) , các tích chập ( . ∗ FsFc . ) và ( . ∗ Fc . ) tương ứng được xác định bởi biểu thức (0.6) và (1.45). Chứng minh. Ta có thể viết lại hệ hai phương trình (3.44) dưới dạng f(x) + ( g γ∗ 5 ϕ ) (x) = p(x), g(x) + ( f ∗ FsFc f ) (x) = q(x). (3.45) Bằng cách tác động phép biến đổi Fourier cosine lên hệ (3.45) đồng thời sử dụng các đẳng thức nhân tử hóa (1.33) và (1.48), ta có( Fcf ) (y)− e−µy sin y(Fsg)(y)(Lϕ)(y) = (Fcp)(y),( Fsg ) (y) + ( Fsψ ) (y) ( Fcf ) (y) = ( Fsq ) (y). (3.46) Giải hệ hai phương trình tuyến tính (3.46), ta có( Fcf ) (y) = ( Fcp ) (y) + e−µy sin y ( Fsq ) (y) (Lϕ)(y) 1 + e−µy sin y ( Fsψ ) (y) (Lϕ)(y) = [( Fcp ) (y)− Fc ( q γ∗ 5 ϕ ) (y) ][ 1 1 + Fc ( ψ γ∗ 5 ϕ ) (y) ] = [( Fcp ) (y)− Fc ( q γ∗ 5 ϕ ) (y) ][ 1− Fc ( ψ γ∗ 5 ϕ ) (y) 1 + Fc ( ψ γ∗ 5 ϕ ) (y) ] . (3.47) Theo Định lý Wiener-Levy, tồn tại hàm ξ(x) ∈ L1(R+) sao cho ( Fcξ ) (y) = Fc ( ψ γ∗ 5 ϕ ) (y) 1 + Fc ( ψ γ∗ 5 ϕ ) (y) . (3.48) 73 Từ (3.47) và (3.48), ta có( Fcf ) (y) = [( Fcp ) (y)− Fc ( q γ∗ 5 ϕ ) (y) ][ 1− (Fcξ)(y)] = ( Fcp ) (y)− Fc ( q γ∗ 5 ϕ ) (y)− Fc ( p ∗ Fc ξ ) (x) + Fc (( q γ∗ 5 ϕ ) ∗ Fc ξ ) (x). Suy ra, f(x) = p(x)− (q γ∗ 5 ϕ ) (x)− (p ∗ Fc ξ ) (x) + (( q γ∗ 5 ϕ ) ∗ Fc ξ ) (x), và dễ thấy rằng f(x) ∈ L1(R+). Biến đổi tương tự, ta cũng nhận được g(x) = q(x)− (ψ ∗ FsFc p ) (x)− (q ∗ FsFc ξ ) (x) + (( ψ ∗ FsFc p ) ∗ FsFc ξ ) (x), và g(x) ∈ L1(R+). Định lý đã được chứng minh. 2 Ngoài ra, ta có thể xét hệ phương trình (3.44) với cặp nhân K12(x, u) = 1 2pi ∞∫ 0 ϕ(v) [ θ1(x− 1, u, v + µ)− θ1(x+ 1, u, v + µ) ] dv, K13(x, u) = 1√ 2pi [ ψ(u+ x) + sign(u− x)ψ(|u− x|)], µ > 0, (3.49) với θ1(x, u, v) được xác định bởi (1.2). Khi đó bằng kỹ thuật biến đổi tương tự như trong phần chứng minh Định lý 3.1.7, ta cũng nhận được kết quả sau đây. Hệ quả 3.1.4. Giả sử các điều kiện như trong Định lý 3.1.7 được thỏa mãn và 1 − e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 6= 0, ∀y > 0. Khi đó hệ phương trình tích phân (3.44) với cặp nhân K12(x, t) và K13(x, t) được xác định bởi (3.49) có nghiệm duy nhất (f, g) trong ( L1(R+), L1(R+) ) . Hơn nữa nghiệm có dạng f(x) = p(x)− (q γ∗ 6 ϕ ) (x) + ( p ∗ FsFc ξ ) (x)− (( q γ∗ 6 ϕ ) ∗ FsFc ξ ) (x), g(x) = q(x)− (ψ ∗ FcFs p ) (x) + ( q ∗ Fc ξ ) (x)− (( ψ ∗ FcFs p ) ∗ Fc ξ ) (x). 74 Trong đó ξ(x) ∈ L1(R+) là hàm thỏa mãn( Fcξ ) (y) = e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) 1− e−µy sin y(Fcψ)(y)(Lϕ)(y) , và tích chập suy rộng ( . ∗ FcFs . ) được xác định bởi (1.47). 3.2 Giải phương trình vi-tích phân Cũng như phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân đến nay vẫn chưa có một phương pháp giải chung nhất. Đúng hơn, người ta chỉ mới giải quyết được một số trường hợp cụ thể nào đó. Đặc biệt việc giải các phương trình vi-tích phân cho nghiệm dưới dạng đóng là không nhiều. Trong mục này, bằng cách sử dụng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace Tk1,k2 đã nghiên cứu trong Chương 2 với sự hổ trợ của Định lý Wiener-Levy cho phép biến đổi Fourier cosine, chúng ta sẽ giải một lớp phương trình vi-tích phân cho nghiệm dưới dạng đóng. 3.2.1 Giải phương trình vi-tích phân cấp hai Xét phương trình vi-tích phân có dạng f(x)− f ′′(x) + (Tkf)(x) = g(x), x > 0, (3.50) f ′(0) = f(0) = 0. Trong đó k(x), g(x) là các hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f(x) là hàm cần tìm. Định lý 3.2.1. Nếu 1 + (Lk)(y) 6= 0, ∀y > 0, thì phương trình (3.50) có nghiệm duy nhất trong L1(R+). Hơn nữa, nghiệm có thể viết dưới dạng f(x) = √ pi 2 [( g(t) ∗ Fc e−t ) (x)− (( g(t) ∗ Fc e−t ) ∗ Fc q ) (x) ] , (3.51) 75 trong đó q(x) ∈ L1(R+) là hàm được xác định bởi q(x) = Fc ( ( Lk ) (y) 1+ ( Lk ) (y) ) (x). Chứng minh. Phương trình (3.50) có thể viết lại dưới dạng f(x)− f ′′(x) + (1− d2 dx2 )( f ∗ 1 k ) (x) = g(x), (3.52) f ′(0) = f(0) = 0. Từ công thức (2.14.4) trong [6] Fc [ f ′′ ] (y) = −y2(Fcf)(y)−√2 pi f ′(0) kết hợp với điều kiện của phương trình (3.52), suy ra Fc [ f ′′ ] (y) = −y2(Fcf)(y) (3.53) Khi đó, tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc vào hai vế của phương trình (3.52), sử dụng công thức (3.53) và đẳng thức kiểu Parseval (1.3), ta có( Fcf ) (y) + y2 ( Fcf ) (y) + (1 + y2) ( Fcf ) (y) (Lk)(y) = (Fcg)(y), suy ra ( Fcf ) (y) [ 1 + y2 + (1 + y2) (Lk)(y)] = (Fcg)(y). (3.54) Từ (3.54) và sử dụng công thức (2.13.5) trong [6] 1 1 + y2 = √ pi 2 ( Fce −t)(y), ta có ( Fcf ) (y) = ( Fcg ) (y) 1 + y2 [ 1− (Lk)(y) 1 + (Lk)(y)] = √ pi 2 ( Fcg ) (y) ( Fce −t)(y)[1− (Lk)(y) 1 + (Lk)(y)] 76 =√ pi 2 Fc ( g(t) ∗ Fc e−t ) (y) [ 1− (Lk)(y) 1 + (Lk)(y)]. (3.55) Theo Bổ đề 1.1.1, do k(x) ∈ L1(R+) nên (Lk)(y) ∈ Ac. Từ điều kiện 1 + (Lk)(y) 6= 0, ∀y > 0 và Định lý Wiener-Levy, suy ra (Lk)(y) 1+ ( Lk ) (y) ∈ Ac. Hay( Lk ) (y) 1+ ( Lk ) (y) là biến đổi Fourier cosine Fc của hàm q(x) ∈ L1(R+), sao cho ( Fcq ) (y) = (Lk)(y) 1 + (Lk)(y) . (3.56) Từ (3.55) và (3.56), ta có( Fcf ) (y) = √ pi 2 Fc ( g(t) ∗ Fc e−t ) (y) [ 1− (Fcq)(y)] = √ pi 2 [ Fc ( g(t) ∗ Fc e−t ) (y)− Fc (( g(t) ∗ Fc e−t ) ∗ Fc q ) (y) ] . (3.57) Áp dụng phép biến đổi Fourier cosine Fc đối với (3.57) ta nhận được (3.51).2 3.2.2 Giải phương trình vi-tích phân a)Xét phương trình vi-tích phân có dạng f(x) + ( Tkf ) (x) = g(x), x > 0, (3.58) f ′(0) = f(0) = 0. Trong đó k(x), g(x) là các hàm cho trước trong không gian L1(R+) và f(x) là hàm cần tìm. Định lý 3.2.2. Nếu k(x), k ′′ (x) ∈ L1(R+), k′(0) = k(0) = 0, với điều kiện 1 + L(k + k′′)(y) 6= 0, ∀y > 0 được thỏa mãn, thì phương trình (3.58) có nghiệm duy nhất trong L1(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng f(x) = g(x)− (g ∗ Fc q ) (x), (3.59) 77 ở đó q(x) ∈ L1(R+) là hàm được xác định bởi q(x) = Fc ( L ( k+k ′′) (y) 1+L ( k+k′′ ) (y) ) (x). Chứng minh. Phương trình (3.58) có thể viết lại dưới dạng f(x) + ( 1− d 2 dx2 )( f ∗ 1 k ) (x) = g(x), (3.60) f ′(0) = f(0) = 0. Tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc lên hai vế của phương trình (3.60) và sử dụng (1.3), ta có( Fcf ) (y) + (1 + y2) ( Fcf ) (y) (Lk)(y) = (Fcg)(y). Suy ra ( Fcf ) (y) [ 1 + (1 + y2) (Lk)(y)] = (Fcg)(y). (3.61) Từ (3.61) và các giả thiết của Định lý 3.2.2, ta có ( Fcf ) (y) = ( Fcg ) (y) [ 1− (1 + y 2) (Lk)(y) 1 + (1 + y2) (Lk)(y)] = ( Fcg ) (y) [ 1− L ( k + k ′′) (y) 1 + L(k + k′′)(y)]. (3.62) Lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 3.2.1, suy ra tồn tại hàm q(x) ∈ L1(R+) sao cho ( Fcq ) (y) = L(k + k′′)(y) 1 + L(k + k′′)(y) . (3.63) Từ (3.62) và (3.63), ta có( Fcf ) (y) = ( Fcg ) (y)− (Fcg)(y)(Fcq)(y) =(Fcg)(y)− Fc(g ∗ Fc q ) (y). (3.64) Suy ra nghiệm được cho dưới dạng (3.59). Định lý đã được chứng minh. 2 78 b) Xét phương trình vi-tích phân có dạng f(x) + d dx ( Tϕ,ψf ) (x) = g(x), x > 0. (3.65) Trong đó, ϕ(x) = ( ϕ1 ∗L ϕ2 ) (x), ϕ1(x) ∈ H(R+), ϕ2(x) = ( sin t ∗ L sin t ) (x) và ψ(x) = ( sech t ∗ FsFc ψ1 ) (x), ψ1(x) ∈ L2(R+). Hàm g(x) cho trước trong L2(R+) và f(x) là hàm cần tìm. Định lý 3.2.3. Giả sử điều kiện sau thỏa mãn∣∣∣∣[1 + (y + y3)( sin y(Lϕ)(y)− (Fsψ)(y))]−1∣∣∣∣ 0. (3.66) Khi đó phương trình (3.65) có nghiệm duy nhất trong L2(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng f(x) = g(x)− (q ∗ FsFc g ) (x), ở đó q(x) ∈ L2(R+) là hàm được xác định bởi( Fcq ) (y) = (y + y3) [ sin y (Lϕ)(y)− (Fsψ)(y)] 1 + (y + y3) [ sin y (Lϕ)(y)− (Fsψ)(y)] . Chứng minh. Trước hết, ta viết lại phương trình (3.65) dưới dạng tương đương sau f(x) + ( d dx − d 3 dx3 )[( f γ∗ 3 ϕ ) (x) + ( f ∗ FcFs ψ ) (x) ] = g(x). (3.67) Bằng cách sử dụng các đẳng thức kiểu Parseval (1.34) và (1.48), ta có( d dx − d 3 dx3 )( f γ∗ 3 ϕ ) (x) = ( d dx − d 3 dx3 ) Fc [(− sin yFsf)(Lϕ)](x) = Fs [ (y + y3) sin y ( Fsf )(Lϕ)](x), (3.68) và ( d dx − d 3 dx3 )( f ∗ FcFs ψ ) (x) = ( d dx − d 3 dx3 ) Fs [( Fsf )( Fsψ )] (x) = −Fs [ (y + y3) ( Fsf )( Fsψ )] (x). (3.69) 79 Từ (3.67), (3.68) và (3.69), ta có f(x) + Fs [ (y + y3) sin y ( Fsf )(Lϕ)](x)− Fs[(y + y3)(Fsf)(Fsψ)](x) = g(x). Suy ra( Fsf ) (y) + (y + y3) [ sin y ( Fsf ) (y) (Lϕ)(y)− (Fsf)(y)(Fsψ)(y)] = (Fsg)(y), hay( Fsf ) (y) [ 1 + (y + y3) ( sin y (Lϕ)(y)− (Fsψ)(y))] = (Fsg)(y). (3.70) Từ (3.70) và điều kiện (3.66), ta có( Fsf ) (y) = ( Fsg ) (y) [ 1− (y + y 3) [ sin y (Lϕ)(y)− (Fsψ)(y)] 1 + (y + y3) [ sin y (Lϕ)(y)− (Fsψ)(y)] ] . (3.71) Mặt khác, sử dụng (1.7) trong [34] và đẳng thức nhân tử hóa đối với tích chập Laplace, ta có(Lϕ)(y) = (Lϕ1)(y)(Lϕ2)(y) = (Lϕ1)(y)L( sin t)(y)L( sin t)(y) = 1 (1 + y2)2 (Lϕ1)(y). (3.72) Hơn nữa, từ công thức (1.9.1) trong [4] Fc ( sech t ) (y) = √ pi 2 sech piy 2 , và công thức (1.9.4) trong [4] cho trường hợp n = 1 √ 2pi 4 (1 + y2) sech piy 2 = Fc ( sech3 t ) (y), kết hợp với đẳng thức nhân tử hóa (0.7), ta có( Fsψ ) (y) = Fc ( sech t ) (y) ( Fsψ1 ) (y) = 2 1 + y2 Fc ( sech3 t ) (y) ( Fsψ1 ) (y). (3.73) 80 Từ (3.72) và (3.73), ta có (y + y3) [ sin y (Lϕ)(y)− (Fsψ)(y)] = sin y y 1 + y2 (Lϕ1)(y)− 2yFc( sech3 t)(Fsψ1)(y). Khi đó, sử dụng công thức (2.13.6) trong [6]( Fse −t)(y) = y 1 + y2 , và lấy tích phân từng phần, dễ dàng chứng minh được công thức sau yFc ( sech3 t ) (y) = −3Fs ( sinh t sech4 t ) (y), kết hợp với các đẳng thức nhân tử hóa (1.29) và (1.48), ta có (y + y3) [ sin y (Lϕ)(y)− (Fsψ)(y)] = √ pi 2 sin y ( Fse −t)(y)(Lϕ1)(y) + 6Fs( sinh t sech4 t)(Fsψ1)(y) = √ pi 2 Fc ( e−t γ∗ 3 ϕ1 ) (y) + 6Fc (( sinh t sech4 t ) ∗ FcFs ψ1 ) (y) = Fc [√pi 2 ( e−t γ∗ 3 ϕ1 ) + 6 ( sinh t sech4 t ) ∗ FcFs ψ1 ] (y) ∈ L2(R+). (3.74) Từ (3.74) và điều kiện (3.66), suy ra tồn tại hàm q(x) ∈ L2(R+) sao cho( Fcq ) (y) = (y + y3) [ sin y (Lϕ)(y)− (Fsψ)(y)] 1 + (y + y3) [ sin y (Lϕ)(y)− (Fsψ)(y)] . (3.75) Từ (3.71) và (3.75), sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (0.7), ta có( Fsf ) (y) = ( Fsg ) (y)− (Fsg)(y)(Fcq)(y) = ( Fsg ) (y)− Fs ( q ∗ FsFc g ) (y). Suy ra f(x) = g(x)− (q ∗ FsFc g ) (x), f(x) ∈ L2(R+). Định lý đã được chứng minh. 2 81 Tương tự phép biến đổi Tk1,k2, ta có thể ứng dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace để giải một lớp phương trình vi-tích phân có dạng f(x) + ( d dx − d 3 dx3 )[( f γ∗ 4 ϕ ) (x) + ( f ∗ FsFc ψ ) (x) ] = g(x). (3.76) Ở đó các thông số được xác định như trong bài toán (3.65). Bằng kỹ thuật biến đổi tương tự trong chứng minh Định lý 3.2.3 ta nhận được kết quả sau. Hệ quả 3.2.1. Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn∣∣∣∣[1 + (y + y3)( sin y(Lϕ)(y) + (Fsψ)(y))]−1∣∣∣∣ 0. Khi đó phương trình (3.76) có nghiệm duy nhất trong L2(R+). Hơn nữa, nghiệm được cho dưới dạng f(x) = g(x)− (q ∗ Fc g ) (x), ở đó q(x) ∈ L2(R+) là hàm được xác định bởi( Fcq ) (y) = (y + y3) [ sin y (Lϕ)(y) + (Fsψ)(y)] 1 + (y + y3) [ sin y (Lϕ)(y) + (Fsψ)(y)] . Kết luận chương 3 Ứng dụng từ các kết quả Chương 1 và Chương 2, ta nhận được: • Điều kiện cần và đủ giải được một lớp các phương trình tích phân. • Điều kiện đủ giải được một lớp hệ phương trình tích phân. • Điều kiện đủ giải được một lớp phương trình vi-tích phân. Các lớp phương trình và hệ phương trình trên đều cho nghiệm dưới dạng đóng. Nội dung chính của chương này dựa vào một phần của mỗi bài báo [1], [2], [3] và [4], trong Danh mục công trình đã công bố của luận án. 82 KẾT LUẬN Các kết quả chính của luận án là: 1. Xây dựng bốn tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine và Laplace. Nhận được tính chất toán tử của các tích chập, đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu Titchmarch. Thiết lập các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng trong các không gian Lp(R+) và Lp(R+, ρ) tương ứng. 2. Xây dựng hai phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace Tk và tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine- Laplace Tk1,k2 với hàm trọng trong L2(R+). Nhận được Định lý kiểu Watson về điều kiện cần và đủ để các phép biến đổi là unita, điều kiện đủ để tồn tại biến đổi ngược. Định lý kiểu Plancherel về sự tồn tại một dãy hàm hội tụ theo chuẩn đến toán tử Tk1,k2 cũng được chứng minh. 3. Nhận được ứng dụng giải một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, phương trình vi-tích phân trong các không gian hàm L1(R+), L2(R+) và cho công thức nghiệm dưới dạng đóng. Luận án mở ra một số hướng nghiên cứu mới sau: • Nghiên cứu tích chập suy rộng Laplace rời rạc, các bất đẳng thức đối với tích chập này và ứng dụng. • Nghiên cứu tích chập Laplace, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Laplace và bất đẳng thức đối với tích chập này trong Time scales. • Nghiên cứu tích chập Laplace hữu hạn, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, bất đẳng thức đối với tích chập này và ứng dụng. 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adams R.A. and Fournier J.J.F. (2003), Sobolev Spaces, 2nd ed., Aca- demic Press, 300pp. [2] Al-Musallam F. and Tuan V.K. (2000), Integral transforms related to a generalized convolution, Results in Mathematics, 38, No.3-4, pp.197-208. [3] Anh P.K., Tuan N.M. and Tuan P.D. (2013), The finite Hartley new convolutions and solvability of the integral equations with Toeplitz plus Hankel kernels, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.397, pp.537–549. [4] Baterman H. and Erdelyi A. (1954), Tables of Intergral Transforms, Vol. 1, McGraw - Hill, New York, Toronto, London. [5] Britvina L.E. (2005), A class of integral transforms related to the Fourier cosine convolution, Intergral Transforms and Special Funtions, 16, No.5- 6, pp.379-389. [6] Debnath L., Bhatta D. (2007), Integral Transforms and Their Applica- tions, Chapman and Hall/CRC, Boca Raton. [7] Duc D.T. and Nhan N.D.V. (2008), On some convolution norm inequal- ities in weighted Lp(R n; ρ) spaces and their applications, Math. Inequal. Appl., 11(3), pp.495-505. [8] Gakhov F.D. and Cherskii Yu.I. (1948), Equation of Convolution Type, Nauka, Moscow. [9] Giang B.T., Mau N.V. and Tuan N.M. (2010), Convolutions for the 84 Fourier transforms with geometric variables and applications, Math. Nachr., Vol.283, No.12, pp.1758-1770. [10] Glaeske J. and Tuan V.K. (1995), Some applications of the convolu- tion theorem of the Hilbert transform, Intergral Transforms and Special Funtions, 3 p.263-268. [11] Hai N.T. and Yakubovich S.B. (1992), The double Mellin-Barners type integrals and their applications to convolution theory, World. Sci. Inter. Publ. Singapore. [12] Hirchman I.I. and Widder O.V. (1955), The convolution Transform, Princeton, New Jersey. [13] Hong N.T.(2010), Inequalities for Fourier cosine convolution and applica- tions, Intergral Transforms and Special Funtions, Vol.21, No.10, pp.755- 763. [14] Hong N.T., Tuan T. and Thao N.X. (2013), On the Fourier cosine- Kontorovich-Lebedev generalized convolution transforms, Applications of Mathematics, 58, No.4, pp.473-486. [15] Kakichev V.A. (1967), On the convolution for integral transforms, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., (2), pp.53-62. (In Russian). [16] Kakichev V.A., Thao N.X. and Hai N.T. (1996), Composition method to construting convolutions for intergral transforms, Intergral Transforms and Special Funtions, No.3, pp.235-242. [17] Kakichev V.A. and Thao N.X. (1998), On the design method for the generalized integral convolutions, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., (1), pp.31-40. (In Russian). 85 [18] Kakichev V.A., Thao N.X. and Tuan V.K. (1998), On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transforms, East-West Journal of Mathematics, Vol.1 (1), pp.85-90. [19] Kryzhniy V.V. (2003), Regularized inversion of integral transformations of Mellin convolution type, Inverse Problems, Vol.19, pp.1227-1240. [20] Luchko Y. (2008), Integral transforms of the Mellin convolution type and their generating operators, Integral Transforms and Special Functions Vol.19(11), pp.809-851. [21] Naimark S. (1993), Inequalities in the most simple Sobolev space and Convolution of L2 Functions with weight, Proc. Amer. Math. Soc, 118, pp. 515-520. [22] Nair V.C., Samar M.S. (1975), A relation between the Laplace transform and the Mellin transform with applications, Sociedade Portuguesa de Matemática, Vol.34 (3) pp.149-155. [23] Nhan N.D.V. and Duc D.T. (2008), Fundamental inequalities for the it- erated Laplace convolution in weighted Lp spaces and their applications, Integr. Transform. and Special Funct., Vol.19, No.9, pp.655 - 664. [24] Paley R.C. and Wiener N. (1949), Fourier Transforms in the Complex Domain, Amer. Math. Soc., New York. [25] Ryzhik I.M. and Gradshteyn I.S. (1951), Tables of Integrals, Sum, Series and Products, Moscow. [26] Saitoh S. (2000), Weighted Lp-norm inequalities in convolution, Sur- vey on Classical Inequalities, Kluwer Academic Pulishers, Amsterdam, Vol.517, pp.225-234. 86 [27] Saitoh S., Tuan V.K. and Yamamoto M. (2000), Reverse weighted Lp- norm inequalities in convolutions and stability in inverse problems, J. of Ineq. in Pure and App. Math., Vol.1(1), pp.1-7. [28] Saitoh S., Tuan V.K. and Yamamoto M. (2002), Reverse convolution inequalities and applications to inverse heat source problems, J. of Ineq. in Pure and App. Math., 3, No.5, pp.1-11. [29] Saitoh S., Tuan V.K. and Yamamoto M. (2003), Convolution inequalities and applications, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathemat- ics, Vol.4(3), pp.1-8. [30] Saitoh S., Tuan V.K. and Yamamoto M. (2001), Conditional stability of a real inverse formula for the Laplace transform, Zeitschrift fu¨r Analysis und ihre Anwendungen, 20, No.1, pp.131-142. [31] Saitoh S., Tuan V.K. and Yamamoto M. (2002), Reverse convolution in- equalities and applications to inverse heat source problem, J. of Inequal. Pure and Appl. Math., 3(5), Article 80. [32] Sirvastava H.M. and Tuan V.K. (1995), A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral equations, Arch. Math., 64, No.2, pp.144-149. [33] Sneddon I.N. (1951), Fourier Transforms, McGray-Hill, New York. [34] Schiff J.L. (1999), The Laplace Transforms: Theory and Applications, Springer-Verlag, New York, Inc. [35] Stein E.M. and Weiss G. (1971), Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, Princeton, N.J. [36] Thao N. X. and Hai N.T. (1997), Convolutions for integral transform and 87 their application, Computer Centre of the Russian Academy, Moscow, 44 pp. (In Russian). [37] Thao N.X. and Khoa N.M. (2005), On the generalized convolution with a weight function for Fourier, Fourier cosine and sine transforms, Vietnam Journal of Mathematies, Vol.33, No.4, pp.421-436. [38] Thao N.X. and Virchenko N.O. (2012), On the generalized convolution for Fc, Fs , and K-L integral transforms, Ukrainian Mathematical Jour- nal, Vol.64, (1), pp.89-101. [39] Thao N.X., Tuan V.K. and Khoa N.M. (2004), A generalized convolu- tion with a weight-function for the Fourier cosine and sine transforms, Fractional Calculus and Applied Analysis, Vol.7, No.3, pp.323-337. [40] Thao N.X., Tuan V.K. and Hong N.T. (2007), Integral transforms of Fourier cosine and sine generalized convolution type, Int. J. Math. Math. Sci., Vol.2007, pp.1-11. [41] Thao N.X., Tuan V.K. and Hong N.T. (2008), Integral transforms related to the Fourier sine convolution with a weight function, Vietnam J. Math., (1), pp.83-101. [42] Thao N.X., Tuan V.K. and Hong N.T. (2012), A Fourier generalized convolution transform and applications to integral equations, Fractional Calculus and Applied Analysis, 15, No.3, pp.493-508. [43] Thao N.X. and Anh H.T.V. (2014), On the Hartley-Fourier sine general- ized convolution, Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol.37 (15), pp.2308-2319. [44] Titchmarch E.C. (1986), Introduction the Theory of Fourier Intergrals, Third Edition. Chelsea Publishing Co., New York. 88 [45] Tuan T., Thao N.X., Mau N.V. (2010), On the generalized convolution for the Fourier sine and the Kontorovich-Lebedev transforms, Acta Math. Vietnam., Vol.35 (2), pp.303-317. [46] Tuan V.K. (1990), Modified Laplace transforms and a multidimensional H-transform, Dokl. Akad. Nauk. USSR, 313, No.6, pp.1299-1302. (In Russian) [47] Tuan V.K. and Saigo M. (1995), Convolution of Hankel transform and its application to an integral involving Bessel function of first kind, Internat. J. Math. Math. Sci., 18, No.3, pp.545-550. [48] Tuan V.K. and Tuan T. (2012), A real-variable inverse formula for the Laplace transform, Intergral Transforms and Special Funtions, Vol.23, No.8, pp.551-555. [49] Tuan V.K. (1999), Integral transforms of Fourier cosine convolution type, J. Math. Anal. Appl., 229, pp.519-529. [50] Vilenkin Y.Ya. (1958), Matrix elements of midecomsale unitary repre- sentations for motions group of the Lobachevskii’s space and generalized Mehler-Fox transforms, Dokl. Akad. Nauk. USSR, Vol.118(2), pp.219- 222. (In Russian). [51] Yakubovich S.B. (1990), On the construction method for construction of integral convolution, DAN BSSSR, 34(7), pp.588-591. [52] Yakubovich S.B. (2006), Certain isometrics related to the bilaterral Laplace transforms, Modeling and Analysis, Vol.11, No.3, pp.331-346. [53] Yakubovich S.B. (2003), Integral transforms of the Kontorovich-Lebedev convolution type, Collect. Math., Vol.54(2), pp.99-110. 89 [54] Yakubovich S.B. and Britvina L.E. (2010), Convolution related to the Fourier and Kontorovich-Lebedev transforms revisited, Int. Trans. and Spec. Func., Vol.21 (4), pp.259-276. [55] Yakubovich S.B. and Moshinskii A.I. (1993), Integral equations and con- volutions related to the Kontorovich-Lebedev type integral transforms, Differentzial’nye uravneniya, 29, No.7, pp.1272-1284. (in Russian). [56] Widder D.V.(1941), The Laplace Transforms,Princeton University Press. 90 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 1. Nguyen Xuan Thao, Trinh Tuan and Le Xuan Huy (2013), The Fourier-Laplace generalized convolutions and applications to integral equations, Vietnam Journal of Mathematics, Vol.41, pp.451-464. 2. Nguyen Xuan Thao, Trinh Tuan and Le Xuan Huy (2014), The generalized convolutions with a weight function for Laplace transform, Nonlinear Functional Analysis and Applications, Vol.19, No.1, pp.61–77. 3. Le Xuan Huy and Nguyen Xuan Thao (2014), On the Laplace generalized convolution transform,Annales Univ. Sci. Budapest. Sect. Comp., Vol.43, pp.303–316. 4. Nguyen Xuan Thao, Vu Kim Tuan, Le Xuan Huy and Nguyen Thanh Hong (2015), On the Fourier–Laplace convolution trans- forms, Integral Transforms and Special Functions, Vol.26 (4), pp.303-313. (ISI) 91