Luận án tiến sĩ Hóa học Hệ nhân tử trong nhóm phạm trù phân bậc

b, x) 7→ (b+ g(x), x). Khi đó, nhờ các hệ thức (4.22) và (4.23), α∗ là một Γ-đồng cấu giữa các Γ-nhóm. Hơn nữa, dễ thấy biểu đồ sau giao hoán 0 // B j0 // EF p0 // α∗  Q // 1, EF ε // D 0 // B j′0 // EF ′ p′0 // Q // 1, EF ′ ε′ // D và do đó α∗ là một đẳng cấu. Ta còn phải chỉ ra ε′α∗ = ε. Do hệ thức các (4.20) và (4.21) ta có ε′α∗(b, x) =ε′(b+ g(x), x) = d(b+ g(x))F ′(x) =d(b)d(g(x))F ′(x) = d(b)F (x) = ε(b, x). Vậy hai mở rộng EF và EF ′ là tương đương. Ngược lại, nếu α∗ : EF → EF ′ là một Γ-đẳng cấu giữa các mở rộng tương đương thì dễ thấy α∗(b, x) = (b+ g(x), x), 84 với g : Q → B là hàm thỏa mãn g(1) = 0. Thực hiện ngược lại từng bước lập luận trên ta được αx = (g(x), 1) là một đồng luân của F và F ′ . Bước 2: Ω là toàn ánh. Giả sử E là một mở rộng đẳng biến E của B bởi Q kiểu Γ-môđun chéo B → D cảm sinh ψ : Q→ Coker d theo biểu đồ giao hoán (4.16). Ta sẽ chứng tỏ rằng E có một hệ nhân tử liên kết, nghĩa là nó tương đương với một mở rộng đẳng biến tích chéo EF liên kết với một Γ-hàm tử monoidal (F, F˜ ) : ΓDisQ→ PB→D. Với mỗi x ∈ Q, chọn đại diện ux ∈ E sao cho p(ux) = x, u1 = 0. Mỗi phần tử trong E có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng b+ux với b ∈ B, x ∈ Q. Hệ đại diện {ux} cảm sinh một hàm chuẩn tắc f : (QìQ) ∪ (Qì Γ)→ B cho bởi ux + uy = f(x, y) + uxy, (4.24) σux = f(x, σ) + uσx. (4.25) và cảm sinh các tự đẳng cấu ϕx của B, cho bởi ϕx = àux : b 7→ ux + b− ux, Do điều kiện H2 của đồng cấu (id, ε) giữa các Γ-môđun chéo ta suy ra θεux = àux = ϕx. Khi đó, cấu trúc Γ-nhóm trên E được mô tả như sau (b+ ux) + (c+ uy) = b+ ϕx(c) + f(x, y) + uxy, σ(b+ ux) = σb+ f(x, σ) + uσx. Do ψ(x) = ψp(ux) = qε(ux) nên ε(ux) là một đại diện của ψ(x) trong D. Bởi vậy ta dựng một Γ-hàm tử monoidal (F, F˜ ) : DisΓ Q→ P như sau. F (x) = ε(ux), F (x σ→ σx) = (f(x, σ), σ), F˜x,y = (f(x, y), 1). Các hệ thức (4.25), (4.24) lần lượt chứng tỏ F (σ), F˜x,y là những mũi tên phù hợp trong P. Tính chuẩn tắc của hàm f(x, σ) kéo theo F (idx) = idF (x). Rõ ràng F (1) = 1. Điều này cùng với tính chuẩn tắc của hàm f(x, y) kéo theo tính tương thích của (F, F˜ ) với các ràng buộc đơn vị. Luật kết hợp và tính Γ-nhóm của B lần lượt kéo theo các hệ thức (4.13)- (4.15), trong đó θF (x) được thay bởi ϕ(x). Những hệ thức này lần lượt chứng tỏ (F, F˜ ) tương thích với các ràng buộc kết hợp, tính tự nhiên của F˜x,y, và F bảo toàn hợp thành của các mũi tên. Cuối cùng, có thể kiểm tra được rằng mở rộng đẳng biến tích chéo EF liên kết với (F, F˜ ) là tương đương với mở rộng E nhờ Γ-đẳng cấu α : (b, x) 7→ b+ ux. 85 Mỗi mở rộng đẳng biến của các Γ-nhóm được nghiên cứu trong [14] có thể được xem như là một mở rộng đẳng biến của các Γ-nhóm kiểu Γ-môđun chéo (B,AutB, à, 0). Khi đó, PB→AutB chính là nhóm phạm trù Γ-phân bậc toàn hình HolΓB của Γ-nhóm B. Đó là nhóm phạm trù Γ-phân bậc có các vật là các phần tử của nhóm AutB, mũi tên bậc σ (σ ∈ Γ) là cặp (b, σ) : f → g, với b ∈ B, f, g ∈ AutB sao cho σf = àbg. Hợp thành của hai mũi tên được cho bởi (f (b,σ)−−→ g (c,τ)−−→ h) = (f (τc+b,τσ)−−−−−→ h), tích tenxơ phân bậc được cho bởi (f (b,σ)−−→ g)⊗ (f ′ (b ′,σ)−−−→ g′) = (ff ′ (b+g(b ′),σ)−−−−−−→ gg′), và hàm tử đơn vị phân bậc được cho bởi I(∗ σ−→ ∗) = (idB (0,σ)−−→ idB). Các ràng buộc kết hợp, đơn vị đều là đồng nhất. Do đó ta có: Hệ quả 4.12 (Định lý 4.2 [14]). Đối với các Γ-nhóm B,Q, tồn tại một song ánh HomΓ[DisΓQ,HolΓB]→ ExtΓ(Q,B). Giả sử P = PB→D là nhóm phạm trù Γ-phân bậc chặt chẽ liên kết với Γ-môđun chéo B → D. Do pi0P = Coker d và pi1P = Ker d nên nhóm phạm trù phân bậc thu gọn của P là SP = (Cokerd,Kerd, h), h ∈ Z3Γ(Cokerd,Kerd). Khi đó theo (4.9), Γ-đồng cấu ψ : Q→ Cokerd cảm sinh một cản trở ψ∗h ∈ Z3Γ(Q,Kerd). Với khái niệm cản trở này, chúng ta phát biểu định lý sau. Định lý 4.13. Cho Γ-môđun chéo (B,D, d, θ) và Γ-đồng cấu ψ : Q → Cokerd. Khi đó sự triệt tiêu của ψ∗h trong H3Γ(Q,Kerd) là điều kiện cần và đủ để tồn tại mở rộng đẳng biến của B bởi Q kiểu Γ-môđun chéo B → D cảm sinh ψ. Hơn nữa, khi ψ∗h triệt tiêu thì tập các lớp tương đương của các mở rộng như vậy là song ánh với H2Γ(Q,Kerd). Chứng minh. Nếu ψ∗h = 0 thì theo Mệnh đề 4.5 tồn tại một Γ-hàm tử monoidal (Ψ, Ψ˜) : DisΓQ → SP. Lấy hợp thành với Γ-hàm tử monoidal chính tắc (H, H˜) : SP → P ta được một Γ-hàm tử monoidal (F, F˜ ) : DisΓQ → P, và theo Bổ đề 4.10 thu được mở rộng liên kết EF . 86 Ngược lại, giả sử có mở rộng đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo thỏa mãn biểu đồ (4.16). Gọi P′ là nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ liên kết với Γ-môđun chéo B → E. Thế thì theo Bổ đề 4.7, tồn tại một Γ-hàm tử monoidal F : P′ → P. Bởi vì nhóm phạm trù phân bậc thu gọn của P′ là DisΓ Q nên F cảm sinh một Γ-hàm tử monoidal kiểu (ψ, 0) từ DisΓQ tới SP. Bây giờ, theo Mệnh đề 4.5, cái cản trở của cặp (ψ, 0) phải triệt tiêu trong H 3 Γ(Q,Ker d), nghĩa là ψ∗h = 0. Kết luận cuối cùng của định lý được suy ra từ Mệnh đề 4.5 và Định lý 4.11. Chú ý rằng khi Γ = 1 là nhóm tầm thường thì thì tập Ext1B→D(Q,B, ψ) chính là tập các lớp tương đương các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo được nghiên cứu trong [42, 46, 9] và trong Chương 3. Vì vậy, trong trường hợp này, Định lý 4.13 chứa Định lý 3.7 Đối với Γ-môđun chéo (B,AutB, à, 0) thì mỗi mở rộng đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo (B,AutB, à, 0) chính là một mở rộng nhóm đẳng biến được nghiên cứu trong [14]. Do Cokerà = OutB,Kerà = ZB nên ta thu được hệ quả sau. Hệ quả 4.14 (Định lý 4.1 [14]). Cho B,D là các Γ-nhóm và đồng cấu đẳng biến ψ : Q→ OutB. Khi đó có một lớp cản trở Obs(ψ) ∈ H3Γ(Q,ZB) mà sự triệt tiêu của nó là điều kiện cần và đủ để tồn tại mở rộng đẳng biến của B bởi Q cảm sinh ψ. Hơn nữa, khi Obs(ψ) triệt tiêu thì tập các lớp tương đương của các mở rộng như vậy là song ánh với H2Γ(Q,ZB). Kết luận của Chương 4 Trong chương này chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây: • Xây dựng nhóm phạm trù phân bậc thu gọn bằng phương pháp hệ nhân tử. • Đưa ra khái niệm nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và biểu diễn các Γ-môđun chéo qua khái niệm này. • Phát biểu mối liên hệ giữa các đồng cấu Γ-môđun chéo và các hàm tử monoidal phân bậc giữa các nhóm phạm trù phân bậc liên kết. • Phân lớp các Γ-môđun chéo. • Phát biểu và giải bài toán mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo nhờ các kết quả của lý thuyết nhóm phạm trù phân bậc. 87 Chương 5 Ann-phạm trù chặt chẽ và mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một phiên bản môđun chéo trên nhóm của J. H. C. Whitehead cho các vành, gọi là E-hệ. Đặc biệt, E-hệ chính qui chính là các song môđun chéo trên vành (Định lý 5.2). Cũng như đối với (Γ-)môđun chéo, chúng tôi chỉ ra rằng mỗi E-hệ chính qui xác định một Ann-phạm trù chặt chẽ, và ngược lại. Từ đó, nghiên cứu về mối liên hệ giữa các đồng cấu E-hệ chính qui và các Ann-hàm tử đơn giữa các Ann-phạm trù liên kết (các Bổ đề 5.3, 5.4), và phân lớp phạm trù các E-hệ chính qui (Định lý 5.7). Cuối cùng, chúng tôi phát biểu bài toán mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui, xây dựng lý thuyết cản trở và chứng minh định lý phân lớp cho các mở rộng loại này (Định lý 5.10). Riêng phần đầu của chương, chúng tôi trình bày sơ lược về các nhóm đối đồng điều vành của Mac Lane và Shukla để sử dụng cho việc phân lớp các mở rộng vành kiểu E-hệ. Các kết quả của chương này được viết dựa theo [38]. 5.1 Lý thuyết đối đồng điều vành của Mac Lane và Shukla Các nhóm đối đồng điều chiều thấp của vành theo nghĩa Mac Lane đã được N. T. Quang và D. D. Hanh sử dụng để phân lớp các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù [35], và mới đây đã được N. T. Quang sử dụng để phân lớp các Ann-phạm trù tổng quát [37]. Theo cách xây dựng định nghĩa đối đồng điều vành của Mac Lane, giả sử R là một vành vàM là một R-song môđun thì các phần tử của nhóm đối đồng điều chiều 3, H3MacL(R,M), được mô tả như sau. Nhóm Z3MacL(R,M) các 3-đối dây chuyền của vành R lấy hệ tử trong R-song môđun M bao gồm các bộ bốn h = (σ, α, λ, ρ) các ánh xạ chuẩn tắc σ : R4 →M, α, λ, ρ : R3 →M, 88 thỏa mãn 8 điều kiện. Nhóm con B3MacL(R,M) ⊂ Z3MacL(R,M) các 3-đối bờ là những bộ bốn h = (σ, α, λ, ρ) sao cho tồn tại các ánh xạ g = (à, ν) : R2 →M thỏa mãn 4 điều kiện. Tuy nhiên, để thuận lợi cho việc sử dụng đối đồng điều vành của Mac Lane vào bài toán phân lớp các Ann-phạm trù, N. T. Quang đã đưa ra một mô tả khác cho nhóm đối đồng điều vành H3MacL(R,M) (Mệnh đề 7.2, 7.3 [33]). Theo đó, nhóm Z 3 MacL(R,M) các 3-đối dây chuyền của vành R lấy hệ tử trongR-song môđunM bao gồm các bộ năm h = (ξ, η, α, λ, ρ) các ánh xạ ξ, α, λ, ρ : R3 →M, η : R2 →M, thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z, t ∈ R: S1. ξ(y, z, t)− ξ(x+ y, z, t) + ξ(x, y + z, t)− ξ(x, y, z + t) + ξ(x, y, z) = 0, S2. ξ(x, y, z)− ξ(x, z, y) + ξ(z, x, y) + η(x+ y, z)− η(x, z)− η(y, z) = 0, S3. η(x, y) + η(y, x) = 0, S4. xη(y, z)− η(xy, xz) = λ(x, y, z)− λ(x, z, y), S5. η(x, y)z − η(xz, yz) = ρ(x, y, z)− ρ(y, x, z), S6. xξ(y, z, t)− ξ(xy, xz, xt) = λ(x, z, t)− λ(x, y + z, t) + λ(x, y, z + t)− λ(x, y, z), S7. ξ(x, y, z)t− ξ(xt, yt, zt) = ρ(y, z, t)− ρ(x+ y, z, t) + ρ(x, y + z, t)− ρ(x, y, z), S8. ρ(x, y, z + t)− ρ(x, y, z)− ρ(x, y, t) + λ(x, z, t) + λ(y, z, t)− λ(x+ y, z, t) = ξ(xz + xt, yz, yt) + ξ(xz, xt, yz)− η(xt, yz) + ξ(xz + yz, xt, yt)− ξ(xz, yz, xt), S9. α(x, y, z + t)− α(x, y, z)− α(x, y, t) = xλ(y, z, t) + λ(x, yz, yt)− λ(xy, z, t), S10. α(x, y + z, t)− α(x, y, t)− α(x, z, t) = xρ(y, z, t)− ρ(xy, xz, t) + λ(x, yt, zt)− λ(x, y, z)t, S11. α(x+ y, z, t)− α(x, y, t)− α(y, z, t) = −ρ(x, y, z)t− ρ(xz, yz, t) + ρ(x, y, zt), S12. xα(y, z, t)− α(xy, z, t) + α(x, yz, t)− α(x, y, zt) + α(x, y, z)t = 0, và thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc: ξ(0, y, z) = ξ(x, 0, z) = ξ(x, y, 0) = 0, α(1, y, z) = α(x, 1, z) = α(x, y, 1) = 0, α(0, y, z) = α(x, 0, z) = α(x, y, 0) = 0, λ(1, y, z) = λ(0, y, z) = λ(x, 0, z) = λ(x, y, 0) = 0, ρ(x, y, 1) = ρ(0, y, z) = ρ(x, 0, z) = ρ(x, y, 0) = 0. Nhóm con B3MacL(R,M) ⊂ Z3MacL(R,M) các 3-đối bờ là những bộ năm h = (ξ, η, α, λ, ρ) 89 sao cho tồn tại các ánh xạ g = (à, ν) : R2 →M thoả mãn S13. ξ(x, y, z) = à(y, z)− à(x+ y, z) + à(x, y + z)− à(x, y), S14. η(y, x) = à(x, y)− à(y, x), S15. α(x, y, z) = xν(y, z)− ν(xy, z) + ν(x, yz)− ν(x, y)z, S16. λ(x, y, z) = ν(x, y + z)− ν(x, y)− ν(x, z) + xà(y, z)− à(xy, xz), S17. ρ(x, y, z) = ν(x+ y, z)− ν(x, z)− ν(y, z) + à(x, y)z − à(xz, yz), ở đó à, ν thỏa mãn các điều kiện chuẩn tắc à(0, y) = à(x, 0) = 0 và ν(0, y) = ν(x, 0) = ν(1, y) = ν(x, 1) = 0. Như vậy, với cách mô tả này thì mỗi 3-đối chu trình theo nghĩa của Mac Lane nếu thỏa mãn thêm điều kiện η(x, x) = 0 cũng chính là một 3-đối chu trình theo nghĩa của Shukla (trong đó vành R được xem như là Z-đại số). Điều này là hoàn toàn phù hợp với kết quả phân lớp các Ann-phạm trù chính qui bởi nhóm H3Shu(R,M) trong [1], và như vậy có một đơn ánh (Hệ quả 1 [33]) H3Sh(R,M) ↪→ H3MacL(R,M). Nhóm Z2MacL(R,M) bao gồm các 2-đối dây chuyền g = (à, ν) của vành R lấy hệ tử trong R-song môđun M thoả mãn ∂MacLg = 0. Nhóm con B 2 MacL(R,M) ⊂ Z2MacL(R,M) của các 2-đối bờ gồm những cặp (à, ν) sao cho tồn tại các ánh xạ t : R → M thoả mãn (à, ν) = ∂MacLt, nghĩa là: S18. à(x, y) = t(y)− t(x+ y) + t(x), S19. ν(x, y) = xt(y)− t(xy) + t(x)y, trong đó t thoả mãn điều kiện chuẩn tắc t(0) = t(1) = 0. Nhóm Z1MacL(R,M) bao gồm các 1-đối dây chuyền t của vànhR lấy hệ tử trongR-song môđun M thoả mãn ∂MacLt = 0. Nhóm con B 1 MacL(R,M) ⊂ Z1MacL(R,M) của các 1-đối bờ là những hàm t sao cho tồn tại a ∈ R thoả mãn t(x) = ax− xa. Các nhóm thương H iMacL(R,M) = Z i MacL(R,M)/B i MacL(R,M), i = 2, 3, được gọi là nhóm đối đồng điều Mac Lane thứ i của vành R với hệ tử trong R-song môđun M . Trong các trường hợp i = 1, 2 ta có: H1MacL(R,M) = H 1 Shu(R,M), H 2 MacL(R,M) = H 2 Shu(R,M). 90 5.2 Song môđun chéo và E-hệ chính qui Khái niệm môđun chéo trên các k-đại số (k là trường) đã được J. -H. Baues giới thiệu trong [4] khi nghiên cứu về các đại số thứ cấp (secondary algebra). Sau đó, các môđun chéo trên các k-đại số đã được sử dụng để định nghĩa các mở rộng chéo của một đại số B bởi một B-song môđun M [5]. Trong [6], các tác giả đã thay thế trường k bởi vành giao hoán, có đơn vị K và thu được khái niệm song môđun chéo. Mối liên hệ giữa khái niệm này với các mở rộng chéo và nhóm đối đồng điều Hochschild chiều 3 đã được xem xét trong [31]. Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm song môđun chéo và đồng cấu song môđun chéo theo [31]. Định nghĩa [31]. i) Một song môđun chéo là một bộ ba (B,D, d), trong đó D là K-đại số kết hợp, B là D-song môđun và d : B → D là đồng cấu D-song môđun thỏa mãn d(b)b′ = bd(b′), b, b′ ∈ B. (5.1) ii) Một đồng cấu (k1, k0) : (B,D, d)→ (B′, D′, d′) giữa hai song môđun chéo bao gồm cặp đồng cấu k1 : B → B′, k0 : D → D′, trong đó k1 là đồng cấu nhóm, k0 là đồng cấu K-đại số thỏa mãn các điều kiện k0d = d ′k1, (5.2) k1(xb) = k0(x)k1(b), k1(bx) = k1(b)k0(x), (5.3) với mọi x ∈ D, b ∈ B. Điều kiện (5.3) chứng tỏ k1 là đồng cấu D-song môđun khi xem B ′ là D-song môđun với tác động xb′ = k0(x)b′, b′x = b′k0(x). Khi vành cơ sở K được lấy là vành các số nguyên Z thì song môđun chéo (B,D, d) được gọi là song môđun chéo trên vành. Tiếp theo, để trình bày khái niệm E-hệ chúng tôi nhắc lại một số thuật ngữ theo S. Mac Lane [28]. Một song tích của vành A là một cặp ánh xạ a 7→ ζa, a 7→ aζ từ A vào chính nó thỏa mãn ζ(a+ b) = ζa+ ζb, (a+ b)ζ = aζ + bζ, ζ(ab) = (ζa)b, (ab)ζ = a(bζ), a(ζb) = (aζ)b, với mọi phần tử a, b ∈ A. Tổng ζ +ω và tích ζω của hai song tích ζ và ω được xác định bởi (ζ + ω)a = ζa+ ωa, a(ζ + ω) = aζ + aω, (ζω)a = ζ(ωa), a(ζω) = (aζ)ω, 91 với mọi a ∈ A. Tập tất cả các song tích của A là một vành được ký hiệu bởi MA. Với mỗi phần tử c của A, song tích àc xác định bởi àca = ca, aàc = ac, a ∈ A, được gọi là một song tích trong. Khi đó CA = {c ∈ A|àc = 0} được gọi là song tâm của A. Hai song tích ζ và ω được gọi là giao hoán nếu với mọi a ∈ A, ζ(aω) = (ζa)ω, ω(aζ) = (ωa)ζ. (5.4) Bây giờ, khái niệm E-hệ mà chúng tôi nêu ra dưới đây được xem như một phiên bản của môđun chéo cho các vành. Định nghĩa [38]. Một E-hệ là một bộ bốn (B,D, d, θ) trong đó d : B → D, θ : D →MB là các đồng cấu vành thỏa mãn các điều kiện sau: θ ◦ d = à, (5.5) d(θxb) = x.d(b), d(bθx) = d(b).x, (5.6) với mọi x ∈ D, b ∈ B. E-hệ (B,D, d, θ) được gọi là chính qui nếu θ là 1-đồng cấu (đồng cấu biến đơn vị thành đơn vị) và các phần tử thuộc θ(D) là giao hoán. Một đồng cấu (f1, f0) : (B,D, d, θ)→ (B′, D′, d′, θ′) giữa hai E-hệ bao gồm các đồng cấu vành f1 : B → B′, f0 : D → D′ sao cho f0d = d ′f1 (5.7) và f1 là một đồng cấu toán tử, nghĩa là f1(θxb) = θ ′ f0(x) f1(b), f1(bθx) = f1(b)θ ′ f0(x) . (5.8) Để cho tiện, E-hệ (B,D, d, θ) đôi khi còn được ký hiệu bởi B d→ D, hoặc đơn giản là B → D. Các ví dụ. 1. Nếu B là một ideal hai phía của D thì ta có E-hệ chính qui (B,D, d, θ0), trong đó d là phép nhúng, θ0 : D →MB được cho bởi phép lấy song tích, nghĩa là θ0xb = xb, bθ 0 x = bx, x ∈ D, b ∈ B. 2. Cho D là một vành, B là một D-song môđun, 0 : B → D là đồng cấu không giữa các D-song môđun. Khi đó B là một vành với phép nhân được xác định bởi b.b′ = 0(b)b′ = 92 b0(b′) = 0 với mọi b, b′ ∈ B, và ta có E-hệ chính qui (B,D,0, θ), với θ được cho bởi tác động song môđun. 3. Cho B là một vành,MB là vành các song tích của B, à : B →MB là đồng cấu biến mỗi phần tử b ∈ B thành song tích trong của B. Khi đó ta có E-hệ (B,MB, à, id). Nhìn chung, E-hệ này không chính qui. Từ định nghĩa E-hệ, ta thấy ngay các tính chất sau đây. Mệnh đề 5.1. Cho E-hệ (B,D, d, θ). Khi đó: i) Kerd ⊂ CB, ii) Imd là iđêan trong D, iii) đồng cấu θ cảm sinh đồng cấu ϕ : D →MKerd cho bởi ϕx = θx|Kerd, iv) Kerd là Cokerd-song môđun với tác động sa = ϕx(a), as = (a)ϕx, a ∈ Kerd, x là một đại diện của s ∈ Cokerd. Định lý dưới đây nói lên mối liên hệ giữa hai khái niệm E-hệ chính qui và song môđun chéo trên vành. Định lý 5.2. Phạm trù các E-hệ chính qui và phạm trù các song môđun chéo trên vành là đẳng cấu. Chứng minh. Cho E-hệ chính qui =(B,D, d, θ). Khi đó nhóm aben cộng B là một D-song môđun với tác động xb = θxb, bx = bθx (5.9) với x ∈ D, b ∈ B. Có thể kiểm tra rằng các điều kiện của một song môđun chéo được thỏa mãn. Chẳng hạn điều kiện (5.1) được suy ra từ điều kiện (5.5), d(b)b′ = θd(b)(b′) (5.5) = àb(b ′) = bb′ = bàb′ (5.5) = bθd(b′) = bd(b ′), do àb, àb′ là các song tích trong của vành B. Ngoài ra, tính chính qui của E-hệ là cần và đủ để môđun hai phía B là D-song môđun. Ngược lại, nếu (B,D, d) là một song môđun chéo trên vành thì B có cấu trúc vành với phép nhân b ∗ b′ := d(b)b′ = bd(b′), b, b′ ∈ B. (5.10) Khi đó, d : B → D là một đồng cấu vành do với mọi b, b′ ∈ B ta có d(b ∗ b′) = d(d(b)b′) = d(b)d(b′). ánh xạ θ : D → MB được xác định bởi tác động song môđun (5.9). Đồng cấu θ có ảnh trong MB và hai phần tử của θ(D) giao hoán do tính D-song môđun của B. Hơn nữa, θ 93 thỏa mãn điều kiện (5.6) do d là một đồng cấu song môđun. Điều này chứng tỏ tương ứng M 7→ (B,D, d) là một song ánh trên tập các vật. Nếu (f1, f0) : (B,D, d, θ)→ (B′, D′, d′, θ′) là một mũi tên giữa các E-hệ thì hiển nhiên (f1, f0) là cặp đồng cấu thỏa mãn hệ thức (5.2). Mặt khác, với mọi x ∈ D, b ∈ B ta có f1(xb) (5.9) = f1(θxb) (5.8) = θ′f0(x)f1(b) (5.9) = f0(x)f1(b) = xf1(b). Tương tự, ta có f1(bx) = f1(b)x. Nghĩa là cặp (f1, f0) là một mũi tên giữa hai song môđun chéo. Ngược lại, cho (k1, k0) : (B,D, d)→ (B′, D′, d′) là một mũi tên giữa các song môđun chéo. Ta chứng tỏ k1 là đồng cấu vành. Theo cách xác định phép nhân trên B để D-môđun B trở thành một vành, ta có k1(b ∗ b′) (5.10)= k1(d(b)b′) (5.3)= k0(d(b))k1(b′) (5.2)= d′(k1(b))k1(b′) (5.10)= k1(b) ∗ k1(b′), với mọi b, b′ ∈ B. Hơn nữa, cặp (k1, k0) thỏa mãn (5.8). Do định lý trên, khái niệm E-hệ được xem như là sự làm yếu của khái niệm song môđun chéo trên vành. 5.3 Phân lớp các E-hệ chính qui Trong mục này, để phân lớp các E-hệ chính qui dựa vào đặc trưng của các song môđun chéo trên vành như trong Định lý 5.2, trước hết chúng tôi chỉ ra rằng các E-hệ cũng chính là các Ann-phạm trù chặt chẽ. Với mỗi E-hệ chính qui (B,D, d, θ), ta có thể xây dựng được một Ann-phạm trù chặt chẽ A = AB→D gọi là Ann-phạm trù liên kết với E-hệ (B,D, d, θ) như sau: ObA = D. Với hai vật x, y của A thì Hom(x, y) = {b ∈ B/y = d(b) + x}. Hợp thành của các mũi tên được cho bởi (x b→ y c→ z) = (x b+c→ z). Hai phép toán ⊕,⊗ trên các vật được cho bởi hai phép toán +,ì trong vành D. Đối với các mũi tên ta đặt (x b→ y)⊕ (x′ b′→ y′) = (x+ x′ b+b′−→ y + y′), 94 (x b→ y)⊗ (x′ b′→ y′) = (xx′ bb ′+bθx′+θxb′−−−−−−−−→ yy′). Do tính chính qui của E-hệ, cụ thể là do tính giao hoán của các song tích thuộc θ(D), tương đương với tính kết hợp của phép toán ⊗ trên các mũi tên nên ta có thể chọn ràng buộc kết hợp a là chặt chẽ. Các ràng buộc còn lại trên A cũng đều được xác định là chặt chẽ. Ngược lại, với Ann-phạm trù chặt chẽ (A,⊕,⊗) ta có thể xác định một E-hệ chính qui MA = (B,D, d, θ) liên kết với A như sau. Đặt D = ObA, B = {0 b−→ x| x ∈ D}. Khi đó, D là một vành với hai phép toán x+ y = x⊕ y, xy = x⊗ y, và B là vành với hai phép toán b+ c = b⊕ c, bc = b⊗ c. Các đồng cấu d : B → D và θ : D →MB lần lượt cho bởi d(0 b−→ x) = x, θy(0 b−→ x) = (0 idy⊗b−−−→ yx), (0 b−→ x)θy = (0 b⊗idy−−−→ yx). Dễ thử lại rằng (B,D, d, θ) được xác định như trên là một E-hệ. Trong các bổ dưới đây chúng ta luôn giả thiết rằng AB→D và AB′→D′ là hai Ann-phạm trù lần lượt liên kết với các E-hệ chính qui (B,D, d, θ) và (B′, D′, d′, θ′). Các bổ đề này nói lên mối liên hệ giữa các đồng cấu E-hệ chính qui và các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù liên kết. Bổ đề 5.3. Cho đồng cấu (f1, f0) : (B,D, d, θ)→ (B′, D′, d′, θ′) giữa các E-hệ chính qui. Khi đó: i) Tồn tại một hàm tử F : AB→D → AB′→D′ xác định bởi F (x) = f0(x), F (b) = f1(b), x ∈ ObA, b ∈ MorA. ii) Các đẳng cấu tự nhiên F˘x,y : F (x+y)→ F (x) +F (y), F˜x,y : F (xy)→ F (x)F (y) cùng với F là một Ann-hàm tử nếu F˘ và F˜ là các hằng thuộc Ker d′ sao cho với mọi x, y ∈ D, θ′F (x)(F˜ ) = (F˜ )θ ′ F (y) = F˜ , (5.11) θ′F (x)(F˘ ) = (F˘ )θ ′ F (y) = F˘ + F˜ . (5.12) Khi đó, ta nói rằng F là một Ann-hàm tử dạng (f1, f0). 95 Chứng minh. i) Mỗi phần tử b ∈ B có thể được coi như là một mũi tên (0 b→ d(b)) trong A. Khi đó, (F (0) F (b)→ F (db)) là một mũi tên trong A′. Do cách xác định Ann-phạm trù liên kết với một E-hệ chính qui nên F xác định như trên là một hàm tử. ii) Ta xác định các đẳng cấu tự nhiên F˘x,y : F (x+ y)→ F (x) + F (y), F˜x,y : F (xy)→ F (x)F (y) sao cho F = (F, F˘ , F˜ ) trở thành một Ann-hàm tử. Trước hết, ta thấy rằng do F (x) + F (x′) = F (x+ x′), nên d′(F˘x,x′) = 0. Tương tự, d′(F˜x,x′) = 0, do đó F˘x,x′ , F˜x,x′ ∈ Kerd′ ⊂ CB′ . (5.13) Bây giờ với (x b→ y) và (x′ b′→ y′) là hai mũi tên trong A thì: • F (b⊕ b′) = F (x+ x′ b+b′−−→ y + y′) = (f0(x+ x′) f1(b+b′)−−−−→ f0(y + y′)), F (b)⊕ F (b′) = (f0(x) f1(b)−−→ f0(y))⊕ (f0(x′) f1(b′)−−−→ f0(y′)) = ( f0(x) + f0(x ′) f1(b)+f1(b′)−−−−−−−→ f0(y) + f0(y′) ) . Do f1 là một đồng cấu vành nên F (b⊕ b′) = F (b)⊕ F (b′). (5.14) Do (5.13), (5.14) và do giả thiết F˘ là hằng (F˘x,x′ = F˘y,y′), nên biểu đồ sau giao hoán F (x+ x′) F (x) + F (x′) F (y + y′) F (y) + F (y′), - F˘x,x′ ? F (b⊕b′) ? F (b)⊕F (b′) - F˘y,y′ (5.15) nghĩa là F˜ thỏa mãn tính tự nhiên. • F (b⊗ b′) = F (xx′ bb ′+bθx′+θxb′−−−−−−−−→ yy′) = (f0(xx′) f1(bb′+bθx′+θxb′)−−−−−−−−−−→ f0(yy′)), F (b)⊗ F (b′) = (f0(x) f1(b)−→ f0(y))⊗ (f0(x′) f1(b′)−→ f0(y′)) = ( f0(x)f0(x ′) f1(b)f1(b′)+f1(b)θ′f0(x′) +θ′ f0(x) f1(b′)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ f0(y)f0(y′) ) . Theo (5.8) ta có: f1(θxb ′) = θ′f0(x)f1(b ′) và f1(bθx′) = f1(b)θ′f0(x′) nên F (b⊗ b′) = F (b)⊗ F (b′). (5.16) 96 Do (5.13), (5.16) và do giả thiết F˜ là hằng (F˜x,x′ = F˜y,y′), nên biểu đồ sau giao hoán F (xx′) F (x)F (x′) F (yy′) F (y)F (y′), - F˜x,x′ ? F (b⊗b′) ? F (b)⊗F (b′) - F˜y,y′ (5.17) nghĩa là F˜ thỏa mãn tính tự nhiên. Tính tương thích của (F, F˜ ) với các ràng buộc kết hợp suy ra từ đẳng thức (5.11). Tính tương thích của (F, F˘ , F˜ ) với các ràng buộc phân phối suy ra từ đẳng thức (5.12). Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ ) được gọi là đơn nếu F (0) = 0, F (1) = 1 và F˘ , F˜ là những hằng. Với khái niệm này chúng tôi phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên. Bổ đề 5.4. Cho Ann-hàm tử đơn (F, F˘ , F˜ ) : AB→D → AB′→D′ . Khi đó có một đồng cấu (f1, f0) : (B → D)→ (B′ → D′) giữa các E-hệ chính qui, được xác định bởi f1(b) = F (b), f0(x) = F (x), với mỗi b ∈ B, x ∈ D. Chứng minh. Do F (0) = 0, F (1) = 1 và do F˘ , F˜ là các hằng nên ta suy ra F˘ , F˜ ∈ Ker d′. Từ đó, theo định nghĩa của mũi tên trong A′B′→D′ ta suy ra F (x+ y) = F (x) + F (y), F (xy) = F (x)F (y), và bởi vậy f0 là một đồng cấu vành. Do F˘ là hằng thuộc Ker d ′ nên từ biểu đồ giao hoán (5.15) suy ra F (b⊕ b′) = F (b)⊕ F (b′). Nghĩa là f1(b+ b ′) = f1(b) + f1(b′). Do F˜ là hằng thuộc Ker d′ nên từ biểu đồ giao hoán (5.17) suy ra F (b⊗ b′) = F (b)⊗ F (b′). Theo định nghĩa của luật ⊗ ta suy ra f1(bb ′) + f1(bθx′) + f1(θxb′) = f1(b)f1(b′) + f1(b)θ′f0(x′) + θ ′ f0(x) f1(b ′). (5.18) Trong hệ thức trên lần lượt chọn b = 0, b′ = 0 ta thu được f1(θxb ′) = θ′f0(x)f1(b ′), f1(bθx′) = f1(b)θ′f0(x). 97 Tức là (5.8) được thỏa mãn. Đồng thời khi đó đẳng thức (5.18) trở thành f1(bb ′) = f1(b)f1(b ′), nghĩa là f1 là một đồng cấu vành. Cuối cùng ta chứng tỏ hệ thức (5.7) được thỏa mãn. Thật vậy, với mọi mũi tên (x b→ y) trong A, ta có y = d(b) + x. Suy ra f0(y) = f0(d(b) + x) = f0(d(b)) + f0(x). Mặt khác, (f0(x) f1(b)→ f0(y)) là mũi tên trong AB′→D′ nên ta có: f0(y) = d ′(f1(b)) + f0(x). Vậy f0(d(b)) = d ′(f1(b)) với mọi b ∈ B. Bổ đề 5.5. Hai Ann-hàm tử cùng dạng (F, F˘ , F˜ ), (F ′, F˘ ′, F˜ ′) : AB→D → AB′→D′ là đồng luân. Chứng minh. Giả sử F, F ′ là hai Ann-hàm tử có cùng dạng (f1, f0). Theo Bổ đề 5.3, F˘ , F˘ ′ là các hằng. Ta chứng tỏ α = F˘ ′ − F˘ là đồng luân của F và F ′. Dễ dàng kiểm tra tính tự nhiên của α và tính tương thích của α với phép toán ⊕. Bây giờ ta chứng tỏ α tương thích với phép toán ⊗, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán F (xy) F (x)F (y) F ′(xy) F ′(x)F ′(y). -F˜ ? α ? α⊗α - F˜ ′ (5.19) Theo Bổ đề 5.3 ta có F˜ ′ − F˜ =(θ′F (x)(F˘ ′)− F˘ ′)− (θ′F (x)(F˘ )− F˘ ) = θ′F (x)(α)− α. Mặt khác, do α ∈ Ker d′ ⊂ CB′ nên α⊗ α =α.α + (α)θ′F ′(y) + θ′F ′(x)(α) =(α)θ′F ′(y) + θ ′ F ′(x)(α). Với y = 0 hoặc x = 0 ta được α⊗ α = (α)θ′F ′(y) = θ′F ′(x)(α) = θ′F (x)(α). Bởi vậy, F˜ ′ − F˜ = α⊗ α− α, nghĩa là biểu đồ (5.19) giao hoán. Hai Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ ), (F ′, F˘ ′, F˜ ′) được gọi là đồng luân mạnh nếu chúng đồng luân và F = F ′. Từ Bổ đề 5.5 ta có ngay kết quả sau. 98 Hệ quả 5.6. Hai Ann-hàm tử F, F ′ : AB→D → AB′→D′ là đồng luân mạnh khi và chỉ khi chúng cùng dạng. Ký hiệu phạm trù của các Ann-phạm trù chặt chẽ và các Ann-hàm tử đơn bởi Annstr. Ta có thể định nghĩa phạm trù đồng luân mạnh HoAnnstr của Annstr như là một phạm trù thương với cùng các vật nhưng các mũi tên là các lớp đồng luân mạnh của các Ann-hàm tử đơn: HomHoAnnstr(A,A′) = HomAnnstr(A,A′) đồng luân mạnh . Ký hiệu ESyst là phạm trù có các vật là các E-hệ chính qui và mũi tên là các đồng cấu giữa chúng, ta có kết quả sau là mở rộng của Định lý 1 [8]. Định lý 5.7. [Định lý phân lớp] Tồn tại tương đương phạm trù Φ : ESyst → HoAnnstr, (B → D) 7→ AB→D (f1, f0) 7→ [F ] trong đó F (x) = f0(x), F (b) = f1(b), với x ∈ ObA, b ∈ MorA. Chứng minh. Theo Hệ quả 5.6, tương ứng Φ trên các tập Hom: Φ : HomESyst(B → D,B′ → D′)→ HomHoAnnstr(AB→D,AB′→D′) là đơn ánh. Theo Bổ đề 5.4, mỗi Ann-hàm tử đơn F : AB→D → AB′→D′ xác định một đồng cấu (f1, f0) : (B → D) → (B′ → D′), và rõ ràng Φ(f1, f0) = [F ], nghĩa là Φ là toàn ánh trên các tập Hom . NếuMA là E-hệ chính qui liên kết với Ann-phạm trù chặt chẽ A thì theo cách xác định Ann-phạm trù liên kết với một E-hệ chính qui ta có Φ(MA) = A (không chỉ là đẳng cấu). Vậy Φ là một tương đương giữa hai phạm trù. 5.4 Mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui Trong mục này chúng tôi phát biểu bài toán mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui, tương tự như bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo trong [9]. Đồng thời giải quyết bài toán này bằng lý thuyết cản trở của các Ann-hàm tử, xem như là một ứng dụng của lý thuyết Ann-phạm trù. Định nghĩa [38]. Cho E-hệ chính qui (B,D, d, θ). Một mở rộng của vành B bởi vành Q kiểu E-hệ chính qui B → D là một biểu đồ các đồng cấu vành 0 // B j // E p // ε  Q // 0, B d // D 99 trong đó dòng trên là khớp, hệ (B,E, j, θ0) là một E-hệ chính qui với θ0 là phép lấy song tích, cặp (id, ε) là một đồng cấu của các E-hệ chính qui. Hai mở rộng của B bởi Q kiểu E-hệ chính qui (B,D, d, θ) được gọi là tương đương nếu biểu đồ sau giao hoán 0 // B j // E p // α  Q // 0, E ε // D 0 // B j′ // E ′ p′ // Q // 0, E ′ ε′ // D (5.20) và ε′α = ε. Hiển nhiên α là một đẳng cấu. Trong biểu đồ E : 0 // B j // E p // ε  Q // ψ  0, B d // D q // Cokerd (5.21) với q là phép chiếu chính tắc, do dòng trên là khớp và q ◦ ε ◦ j = q ◦ d = 0 nên có một đồng cấu vành ψ : Q→ Cokerd sao cho hình vuông thứ hai giao hoán. Hơn nữa, ψ chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương của mở rộng E . Mục tiêu của chúng tôi là sử dụng lý thuyết cản trở của các Ann-hàm tử để nghiên cứu tập các lớp tương đương các mở rộng vành của B bởi Q kiểu E-hệ chính qui B → D cảm sinh ψ, ExtB→D(Q,B, ψ). Trong phần này, chúng tôi tiếp tục mở rộng kỹ thuật hệ nhân tử đối với bài toán mở rộng nhóm kiểu môđun chéo ở Chương 3 sang cho bài toán mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui. Trong bổ đề dưới đây, các Ann-hàm tử DisQ → AB→D là hệ dữ liệu phù hợp để xây dựng các mở rộng như vậy. Bổ đề 5.8. Cho E-hệ chính qui (B,D, d, θ) và đồng cấu vành ψ : Q → Coker d. Với mỗi Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ ) : DisQ→ A cảm sinh cặp (ψ, 0) đều tồn tại một mở rộng EF của B bởi Q kiểu E-hệ B → D cảm sinh đồng cấu ψ : Q→ Coker d. Mở rộng EF được gọi là mở rộng tích chéo liên kết với Ann-hàm tử F . Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.1 (F, F˘ , F˜ ) cảm sinh Ann-hàm tử K : DisQ → SA kiểu (ψ, 0). Gọi (H, H˘, H˜) là Ann-hàm tử chính tắc SA → A xác định bởi đính (xs, ix). Khi đó theo (1.11) ta có H(s) = xs, H(s, b) = b, H˘s,r = −ixs⊕xr , H˜s,r = −ixsãxr . 100 Cũng theo Mệnh đề 1.1, (F, F˘ , F˜ ) là đồng luân với cái hợp thành DisQ K−→ SA H−→ A, Do đó có thể lấy (F, F˘ , F˜ ) chính là hợp thành này. Khi đó theo cách xác định của H˘K, H˜K ta có F˘u,v = f(u, v) = f ′(u, v)− ixs+xr , (5.22) F˜u,v = g(u, v) = g ′(u, v)− ixsãxr ∈ B, (5.23) với u, v ∈ Q, s = ψ(u), r = ψ(v), f ′(u, v) = K˘u,v, g′(u, v) = K˜u,v. Do tính tương thích của (F, F˘ , F˜ ) với các ràng buộc chặt chẽ của DisQ và A nên f, g là những hàm chuẩn tắc thỏa mãn các đẳng thức: f(u, v + t) + f(v, t)− f(u, v)− f(u+ v, t) = 0, (5.24) f(u, v) = f(v, u), (5.25) θF (u)g(v, t)− g(uv, t) + g(u, vt)− g(u, v)θF (t) = 0, (5.26) g(u, v + t)− g(u, v)− g(u, t) + θF (u)f(v, t)− f(uv, ut) = 0, (5.27) g(u+ v, t)− g(u, t)− g(v, t) + f(u, v)θF (t) − f(ut, vt) = 0. (5.28) Hàm ϕ : Q→MB xác định bởi ϕ(u) = θF (u) = θxs (s = ψ(u)) thỏa mãn các hệ thức ϕ(u) + ϕ(v) = àf(u,v) + ϕ(u+ v), (5.29) ϕ(u)ϕ(v) = àg(u,v) + ϕ(uv). (5.30) Thật vậy, ta sẽ chứng minh hệ thức (5.29), còn hệ thức (5.30) được suy ra tương tự từ hệ thức (5.23). Do f ′(u, v) = K˘u,v ∈ Ker d nên theo Mệnh đề 5.1 ta có f ′(u, v) ∈ CB. Khi đó theo (5.22) thì àf(u,v) = à(−ixs+xr). Bởi vậy, ϕ(u) + ϕ(v) = θxs + θxr = θxs+xr = θ[d(−ixs+xr) + xs+r] = θ[d(−ixs+xr)] + θxs+r = à(−ixs+xr) + ϕ(u+ v) (5.22)= àf(u,v) + ϕ(u+ v). Do họ các hàm (ϕ, f, g) thỏa mãn các hệ thức (5.24) - (5.30) nên theo [28] ta có thể xây dựng tích chéo E0 = [B,ϕ, f, g,Q], nghĩa là E0 = B ìQ cùng với hai phép toán (b, u) + (b′, u′) = (b+ b′ + f(u, u′), u+ u′), 101 (b, u).(b′, u′) = (b.b′ + bϕ(u′) + ϕ(u)b′ + g(u, u′), uu′). E0 thỏa mãn các tiên đề của vành nhờ các hệ thức trên. Trong đó, đáng chú ý là tính kết hợp của phép nhân trong E0 có được khi và chỉ khi E-hệ (B → D) là chính qui. Thật vậy, ta có các tích [(b, u)(b′, u′)](b′′, u′′) = ((bb′)b′′ + bϕ(u′)ϕ(u′′) + [ϕ(u)b′]ϕ(u′′) + g(u, u′)ϕ(u′′) + ϕ(uu′)b′′ + g(uu′, u′′), (uu′′)u′′), (b, u)[(b′, u′)(b′′, u′′)] = (b(b′b′′) + bϕ(u′u′′) + ϕ(u)[b′ϕ(u′′)] + ϕ(u)ϕ(u′)b′′ + ϕ(u)g(u, u′) + g(u, u′u′′), u(u′u′′)). Do (5.26), (5.30), luật kết hợp đối với tích trong B,Q, và luật giao hoán đối với tổng trong B, đặc biệt do hệ thức (5.4): [ϕ(u)b′]ϕ(u′′) = ϕ(u)[b′ϕ(u′′)], ta thu được luật kết hợp đối với tích trong E0. Ta được dãy khớp các đồng cấu vành EF : 0→ B j0→ E0 p0→ Q→ 0 với j0(b) = (b, 0); p0(b, u) = u, b ∈ B, u ∈ Q. Do j0(B) là iđêan hai phía trong E0 nên j0 : B → E0 là một E-hệ chính qui với θ0 : E0 →MB là phép lấy song tích. Đồng cấu vành ε : E0 → D được xác định bởi ε(b, u) = db+ xψ(u), (b, u) ∈ E0, trong đó xψ(u) là đại diện của ψ(u) trong D. Ta chứng tỏ cặp (idB, ε) thỏa mãn các hệ thức (5.7), (5.8). Dễ thấy rằng ε ◦ j0 = d. Hơn nữa, với mọi (b, u) ∈ E0, c ∈ B ta có θ0(b,u)c = j −1 0 [(b, u)(c, 0)] = bc+ ϕ(u)c, θε(b,u)c = θdb+xψ(u)c = bc+ ϕ(u)c. Do đó θ0(b,u)c = θε(b,u)c. Tương tự, cθ 0 (b,u) = cθε(b,u). Vì vậy (idB, ε) là một đồng cấu của các E-hệ chính qui, nghĩa là ta có mở rộng kiểu E-hệ chính qui (5.21), trong đó E được thay bởi E0. Do với mọi u ∈ Q ta có qε(0, u) = q(xψ(u)) = ψ(u) nên mở rộng EF cảm sinh ψ : Q→ Coker d. Trong bổ đề trên, bộ ba (ϕ, f, g) mô tả một Ann-hàm tử từ DisQ tới A là một hệ nhân tử đối với mở rộng vành kiểu E-hệ (B → D). Nó là mở rộng của khái niệm hệ nhân tử đối với mở rộng nhóm kiểu môđun chéo được xét ở Chương 3 sang cho trường hợp hai phép toán. Định lý dưới đây là phiên bản của lý thuyết Schreier cho các mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui. 102 Định lý 5.9 (Lý thuyết Schreier cho các mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui). Có một song ánh Ω : HomAnn(ψ,0)[DisQ,A]→ ExtB→D(Q,B, ψ). Chứng minh. Bước 1: Các Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ ), (F ′, F˘ ′, F˜ ′) đồng luân khi và chỉ khi các mở rộng liên kết tương ứng EF , EF ′ là tương đương Giả sử F, F ′ : DisQ→ A là hai Ann-hàm tử đồng luân, với đồng luân α : F → F ′. Khi đó, theo định nghĩa của Ann-mũi tên, các biểu đồ sau giao hoán F (u+ v) F (u) + F (v) F ′(u+ v) F ′(u) + F ′(v), -F˘u,v ? αu+v ? αu+αv - F˘ ′u,v F (uv) F (u)F (v) F ′(uv) F ′(u)F ′(v). -F˜u,v ? αuv ? αu⊗αv - F˜ ′u,v Theo định nghĩa phép toán ⊗ trên A ta có αu ⊗ αv = αuαv + αuθF (v) + θF (u)αv. Từ đó, với f(u, v) = F˘u,v, f ′(u, v) = F˘ ′u,v, g(u, v) = F˜u,v, g′(u, v) = F˜ ′u,v ta có f ′(u, v)− f(u, v) = αu − αu+v + αv, (5.31) g′(u, v)− g(u, v) = αuαv + αuθF (v) + θF (u)αv − αuv. (5.32) Bây giờ ta đặt α∗ : EF → EF ′ (b, u) 7→ (b− αu, u). Chú ý rằng θF ′(u) = àαu + θF (u) và sử dụng các hệ thức (5.31), (5.32), ta chứng minh được α∗ là một đẳng cấu. Hơn nữa, biểu đồ (5.20) giao hoán, trong đó E và E ′ lần lượt được thay bởi EF và EF ′ . Ta còn phải chỉ ra ε′α∗ = ε. Do α : F → F ′ là một đồng luân nên F (u) = xψ(u) = F ′(u). Bởi vậy xψ(u) = d(αu) + xψ(u), hay d(αu) = 0. Khi đó, ε′α∗(b, u) = ε′(b− αu, u) = d(b− αu) + xψ(u) = d(b)− d(αu) + xψ(u) = d(b) + xψ(u) = ε(b, u). Vậy hai mở rộng EF và EF ′ là tương đương. Ngược lại, nếu hai mở rộng EF và EF ′ là tương đương thì tồn tại đẳng cấu vành (b, u) 7→ (b − αu, u) từ EF đến EF ′ . Do vậy, bằng cách lập luận ngược lại từng bước, ta thu được đồng luân α : F → F ′. 103 Bước 2: Ω là toàn ánh. Giả sử E là một mở rộng E của B bởi Q kiểu E-hệ chính qui (B,D, d, θ) cảm sinh ψ : Q→ Coker d như trong biểu đồ giao hoán (5.21). Ta sẽ chứng tỏ rằng E có một hệ nhân tử liên kết, nghĩa là tương đương với một mở rộng tích chéo EF liên kết với một Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ ) : DisQ→ A nào đó. Gọi A′ = AB→E là Ann-phạm trù chặt chẽ liên kết với E-hệ chính qui (B,E, j, θ′). Khi đó theo Mệnh đề 5.3, cặp đồng cấu (idB, ε) trong biểu đồ (5.21) xác định một Ann-hàm tử đơn (K, K˘, K˜) : A′ → A. Do pi0A′ = Q, pi1A′ = 0 nên Ann-phạm trù thu gọn SA′ chính là Ann-phạm trù DisQ. Trong A′ ta chọn đính (eu, ie), e ∈ E, u ∈ Q (nghĩa là {eu} là một hệ đại diện của Q trong E). Khi đó theo (1.11) Ann-hàm tử chính tắc (H ′, H˘ ′, H˜ ′) : DisQ→ A′ được cho bởi H ′(u) = eu, H˘ ′u,v = −ieu+ev = g′(u, v), H˜ ′u,v = −ieu.ev = h′(u, v). Khi đó hợp thành F = K ◦H ′ xác định một Ann-hàm tử DisQ→ A, với F (u) = ε(eu), F˘u,v = H˘ ′u,v = g′(u, v), F˜u,v = H˜ ′u,v = h ′(u, v). Theo phép chứng minh Định lý 5.10, ta xác định được mở rộng EF của tích chéo E0 = [B,ϕ, g′, h′, Q], liên kết với (F, F˘ , F˜ ). Bây giờ ta chứng tỏ E và EF tương đương, tức là có biểu đồ sau giao hoán EF : 0 // B j0 // E0 p0 // α  Q // 0, E0 ε0 // D E : 0 // B j // E p // Q // 0, E ε // D và εα = ε0. Do mỗi phần tử của E viết được duy nhất dưới dạng b + eu, b ∈ B, nên ta có thể xác định một ánh xạ α : E0 → E, (b, u) 7→ b+ eu. Để chỉ ra α là một đồng cấu vành, trước hết ta thấy rằng hệ đại diện {eu} có một số tính chất sau: ϕ(u)c = θ′eu(c), cϕ(u) = cθ ′ eu , c ∈ B, (5.33) eu + ev = −ieu+ev + eu+v = g′(u, v) + eu+v, (5.34) eu.ev = −ieu.ev + eu.v = h′(u, v) + euv. (5.35) (Đẳng thức (5.33) có được do cặp (idB, ε) là đồng cấu môđun chéo. Đẳng thức (5.34), (5.35) có được do định nghĩa của mũi tên trong A′). Vì vậy, ta có α[(b, u) + (c, v)] = α(b+ c+ g′(u, v), u+ v) = b+ c+ g′(u, v) + eu+v (5.34) = b+ c+ eu + ev = (b+ eu) + (c+ ev) = α(b, u) + α(c, v). 104 α[(b, u)(c, v)] = α(bc+ bϕ(v) + ϕ(u)c+ h′(u, v), uv) = bc+ bϕ(v) + ϕ(u)c+ h′(u, v) + euv (5.33),(5.35) = bc+ bθ′ev + θ ′ euc+ euev = bc+ b.ev + eu.c+ eu.ev = (b+ eu).(c+ ev) = α(b, u).α(c, v). Cuối cùng, ta chọn đại diện eu sao cho ε(eu) = xψ(u). Điều này có thể thực hiện được do từ (5.21) ta có q(ε(eu)) = ψp(eu) = ψ(u). Khi đó: εα(b, u) = ε(b+ eu) = ε(b) + ε(eu) = d(b) + xψ(u) = ε0(b, u), nghĩa là E và EF là hai mở rộng tương đương. Giả sử A = AB→D là Ann-phạm trù chặt chẽ liên kết với E-hệ chính qui B → D. Do pi0A = Coker d và pi1A = Ker d nên Ann-phạm trù thu gọn SA có dạng SA = (Cokerd,Kerd, k), trong đó k ∈ H3Shu(Cokerd,Kerd) do A và SA là những Ann-phạm trù chính qui. Khi đó đồng cấu ψ : Q→ Cokerd cảm sinh một cản trở ψ∗k ∈ H3Shu(Q,Kerd). Dưới đây, chúng tôi phát biểu kết quả chính của mục này, là một mở rộng của Định lý 5.2 [9]. Hơn nữa, mỗi một ∂-mở rộng được xét trong [6] thực ra là trường hợp riêng của E-hệ chính qui khi Q = Cokerd, và ψ = idCokerd nên kết quả của chúng tôi là chứa Định lý 4.4.2 [6]. Định lý 5.10. Cho E-hệ chính qui (B,D, d, θ) và đồng cấu vành ψ : Q→ Cokerd. Khi đó sự triệt tiêu của ψ∗k trong H3Shu(Q,Kerd) là điều kiện cần và đủ để tồn tại mở rộng vành của B bởi Q, kiểu E-hệ B → D cảm sinh ψ. Hơn nữa, khi ψ∗k triệt tiêu thì tồn tại một song ánh ExtB→D(Q,B, ψ)↔ H2Shu(Q,Kerd). Chứng minh. Nếu ψ∗k = 0 thì theo Định lý 1.2 tồn tại một Ann-hàm tử (Ψ, Ψ˜) : DisQ→ SA. Lấy hợp thành với Ann-hàm tử chính tắc (H, H˘, H˜) : SA → A ta được một Ann-hàm tử (F, F˘ , F˜ ) : DisQ→ A, và theo Bổ đề 5.8 thu được mở rộng liên kết EF . Ngược lại, giả sử có mở rộng kiểu E-hệ chính qui thỏa mãn biểu đồ (5.21). Gọi A′ là Ann-phạm trù chặt chẽ liên kết với E-hệ B → E. Thế thì theo Mệnh đề 5.3, tồn tại một 105 Ann-hàm tử F : A′ → A. Bởi vì Ann-phạm trù thu gọn của A′ là DisQ nên theo Mệnh đề 1.1, F cảm sinh một Ann-hàm tử kiểu (ψ, 0) từ DisQ tới (Coker d,Ker d, k). Bây giờ, theo Định lý 1.2, cái cản trở của cặp (ψ, 0) phải triệt tiêu trong H3Shu(Q,Ker d), nghĩa là ψ∗k = 0. Bây giờ, song ánh nói trong định lý được suy ra như sau. Trước hết, có một song ánh tự nhiên Hom[DisQ,A]↔ Hom[DisQ,SA] Từ đó do pi0(DisQ) = Q, pi1(SA) = Kerd nên theo Định lý 5.9 và Định lý 1.2 ta có song ánh ExtB→D(Q,B, ψ)↔ H2Shu(Q,Kerd). Kết luận của Chương 5 Trong chương này chúng tôi đã thu được một số kết quả chính sau đây: • Đưa ra khái niệm E-hệ, E-hệ chính qui, chỉ ra sự tương đương giữa các E-hệ chính qui và các song môđun chéo trên vành. • Biểu diễn E-hệ chính qui qua ngôn ngữ của Ann-phạm trù chặt chẽ. • Phát biểu mối liên hệ giữa các đồng cấu E-hệ chính qui và các Ann-hàm tử giữa các Ann-phạm trù liên kết. • Phân lớp các E-hệ chính qui. • Phát biểu và giải bài toán mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui nhờ các kết quả của lý thuyết Ann-phạm trù. 106 Kết luận Môđun chéo và nhóm phạm trù, một cách độc lập, đã được sử dụng rộng rãi trong nhiều khung cảnh khác nhau. Các kết quả về nhóm phạm trù của H. X. Sính (1975) đã được nâng lên cho nhóm phạm trù phân bậc bởi A. M. Cegarra và các cộng sự, và cho trường hợp vành phạm trù (hay Ann-phạm trù) bởi N. T. Quang. Bên cạnh đó, R. Brown và C. Spencer (1976) đã chỉ ra rằng môđun chéo có thể được nghiên cứu bởi các nhóm phạm trù chặt chẽ. Điều này gợi ý cho chúng tôi rằng có thể nghiên cứu các lớp phạm trù phức tạp hơn như: nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, Ann-phạm trù chặt chẽ, để từ đó nghiên cứu các cấu trúc gần với môđun chéo như: môđun chéo đẳng biến, E-hệ. Luận án đã giải quyết vấn đề này với những kết quả chính như sau: 1. Xác định kiểu của một hàm tử monoidal giữa hai nhóm phạm trù và lý thuyết cản trở của một hàm tử. Từ đó đưa ra định lý phân lớp chính xác cho phạm trù các nhóm phạm trù và phạm trù các nhóm phạm trù bện. 2. Phân lớp các môđun chéo và xây dựng lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm kiểu môđun chéo dựa trên các kết quả của lý thuyết nhóm phạm trù chặt chẽ. Các kết quả thu được là mở rộng các kết quả của R. Brown và các đồng tác giả. 3. Nghiên cứu nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ, và từ đó phân lớp các Γ-môđun chéo và xây dựng lý thuyết Schreier cho các mở rộng nhóm đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo. Các kết quả thu được là bao hàm lý thuyết mở rộng nhóm đẳng biến của A. M. Cegarra - J. M. García-Calcines - J. A. Ortega và lý thuyết mở rộng nhóm kiểu môđun chéo của R. Brown - O. Mucuk. 4. Nghiên cứu Ann-phạm trù chặt chẽ, từ đó phân lớp các E-hệ chính qui và các mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui. 5. Phân lớp phạm trù các nhóm phạm trù bện Γ-phân bậc nhờ các hệ nhân tử trên Γ với hệ tử trong nhóm phạm trù bện kiểu (M,N). 107 Danh mục các công trình của tác giả có liên quan đến luận án 1. N. T. Quang, N. T. Thuy, P. T. Cuc, Monoidal functors between (braided) Gr-categories and their applications, East-West J. of Mathematics, 13, No 2 (2011), 163-186. 2. N. T. Quang, P. T. Cuc, Crossed bimodules over rings and Shukla cohomology, Math. Commun., 17 No. 2 (2012), 575-598. 3. N. T. Quang, P. T. Cuc, Classification of graded braided categorical groups by pseudo- functors, Journal of Science, Hue University, Vol. 77, No. 8 (2012), 59-68. 4. N. T. Quang, P. T. Cuc, N. T. Thuy, Crossed modules and strict Gr-categories, Commu- nications of Korean Mathematical Society, Vol. 29 (2014), No.1, 9-22. 5. N. T. Quang, P. T. Cuc, Equivariant crossed modules and cohomology of groups with operators, arXiv: 1302.4573v1 [math.CT] 19 Feb 2013. Cáckết quả trong luận án đã được báo cáovà thảo luận tại: - Hội thảo khoa học về Một số hướng nghiên cứu mới trong toán học hiện đại và ứng dụng, Thanh Hóa (do Trường Đại học Hồng Đức, Viện Toán học Việt Nam và Trường Đại học sư phạm Hà Nội phối hợp tổ chức), 5/2011. - Hội nghị toàn quốc về Đại số - Hình học - Tôpô, Thái Nguyên, 11/2011. - Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang, 8/2013. - Xeminar Bộ môn Đại số - Hình học, Khoa Toán, Trường Đại học sư phạm, Đại học Huế. - Xeminar Bộ môn Đại số, Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa. 108 Tài liệu tham khảo [1] N. T. Quang, Ann-phạm trù, Luận án Tiến sĩ, 1988, Hà Nội. Tiếng Anh [2] Z. Arvasi, T. S. Kuzpinari, E. Oă. Uslu, Three-crossed modules, Homology Homotopy and Appl., 2 (2009), 161-187. [3] J. C. Baez, A. D. Lauda, Higher dimensional algebra V: 2-groups, Theory Appl. Categ., 12 (2004), 423-491. [4] H.-J. Baues, Secondary cohomology and the Steenrod square, Homology Homotopy Appl., 4 (2002), No. 2, part 1, 29-62. [5] H.-J. Baues, E. G. Minian, Crossed extensions of algebras and Hochschild cohomology, Homology Homotopy Appl., 4 (2002), No. 2, 63-82. [6] H-J. Baues, T. Pirashvili, Shukla cohomology and additive track theories, arXiv:0401158v1 [math.CT] 14 Jan 2004. [7] R. Brown, Groupoids and crossed objects in algebraic topology, Homology Homotopy and Applied, 1 (1) (1999), 1-78. [8] R. Brown, C. Spencer, G-groupoids, crossed modules and the fundamental groupoid of a topological group, Proc. Konn. Ned. Akad. v. Wet., 79 (1976), 296 - 302. [9] R. Brown, O. Mucuk, Covering groups of non-connected topological groups revisited, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 115 (1994), 97-110. [10] R. Brown, T. Porter, On the Schreier theory of nonabelian extensions: generalisations and computations, Proceeding Royal Irish Academy, 96A (1996), 213-227. [11] R. Brown, P. J. Higgins, R. Sivera, Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, EMS Tracts in Mathematics, 15, 703 pages (August 2011). [12] M. Calvo, A. M. Cegarra, N. T. Quang, Higher cohomologies of modules, Algebraic & Geometric Topology 12 (2012) 343 - 413. 109 [13] A. M. Cegarra, A. R. Garzón, J. A. Ortega, Graded extensions of monoidal categories, J. Algebra, 241 (2) (2001), 620-657. [14] A. M. Cegarra, J. M. García - Calcines, J. A. Ortega, On graded categorical groups and equivariant group extensions, Canad. J. Math., 54 (5) (2002), 970-997. [15] A. M. Cegarra, J. M. García - Calcines, J. A. Ortega, Cohomology of groups with operators, Homology Homotopy Appl. Vol. 1, No. 4 (2002), 1-23. [16] A. M. Cegarra, A. R. Garzón, Some algebraic applications of graded categorical group theory, Theory and Applications of Categories, 11 (10) (2003), 215-251. [17] A. M. Cegarra, E. Khmaladze, Homotopy classification of braided graded categorical groups, J. Pure and Applied Algebra, 209 (2007), 411-437. [18] A. M. Cegarra, E. Khmaladze, Homotopy classification of graded Picard categories, Adv. Math., 213 (2007), 644-686. [19] S. Eilenberg, S. MacLane, On the groups H(Π, n) I, II, Ann. of Math. 58 (1953) 55- 106, 60 (1954), 49-139. [20] A. Froăhlich, C. T. C. Wall, Graded monoidal categories, Compositio Mathematica, 28, No. 3 (1974), 229-285. [21] A. Joyal, R. Street, Braided monoidal categories, Macquarie Mathematics Report No. 860081, November 1986. [22] A. Joyal, R. Street, Braided tensor categories, Adv. Math., Vol. 2, No. 1 (1993), 20-78. [23] G. M. Kelly, Tensor products in categories. J. Algebra, 2, No.1 (1965), 15-37. [24] M. L. Laplaza, Coherence for categories with group structure: an alternative ap- proach, J. Algebra, 84 (1983), 305-323. [25] S. MacLane, Cohomology theory of abelian groups, Proc. International Congress of Mathematicians, Vol. II (1950), 8-14. [26] S. MacLane, Natural associativity and commutativity, Rice University studies, 49 No. 4 (1963), 28-46. [27] S. Mac Lane, Homology, Spinger - Verlag, Berlin-Gơttingen-Heideiberg, 1963. [28] S. Mac Lane, Extensions and obstructions for rings, Illinois J. Mathematics, 2 (1958), 316-345. [29] B. Noohi,Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed modules, Homology, Homotopy Appl. 9 (2007), 75-106. [30] B. Noohi, Group cohomology with coefficients in a crossed module, Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, Volume 10 - Issue 02, April 2011, 359-404. 110 [31] T. Pirashvili, Algebra cohomology over a commutative algebra, arXiv:0309184v1 [math.CT] 10 Sep 2003. [32] T. Porter, Extensions, crossed modules and internal categories in categories of groups with operations, Proc. Edinb. Math. Soc., 30 (1987) 373-381. [33] N. T. Quang, Structure of Ann-categories and Mac Lane-Shukla cohomology, East- West Journal of Mathematics, 5, No 1 (2003), 51-66. [34] N. T. Quang, The factor sets of Gr-categories of the type (Π, A), International Journal of Algebra, 4 (2010), No. 14, 655-668. [35] N. T. Quang, D. D. Hanh, Homological classification of Ann-functors, East-West J. of Mathematics, 11, No. 2 (2009), 195-210. [36] N. T. Quang, N. T. Thuy, P. T. Cuc,Monoidal functors between (braided) Gr-categories and their applications, East-West J. of Mathematics, 13, No 2 (2011), 163-186. [37] N. T. Quang, Cohomological classification of Ann-categories, Math. Commun., 18 (2013), 1-18. [38] N. T. Quang, P. T. Cuc, Crossed bimodules over rings and Shukla cohomology, Math. Commun., 17 No. 2 (2012), 575-598. [39] N. T. Quang, P. T. Cuc, Equivariant crossed modules and cohomology of groups with operators, arXiv: 1302.4573v1 [math.CT] 19 Feb 2013. [40] N. T. Quang, P. T. Cuc, N. T. Thuy, Crossed modules and strict Gr-categories, Com- munications of Korean Mathematical Society, Vol. 29, No.1 (2014), 9-22. [41] N. T. Quang, P. T. Cuc, Classification of graded braided categorical groups by pseudo- functors, Journal of Science, Hue University, Vol. 77, No. 8 (2012), 59-68. [42] R. L. Taylor, Compound group extensions I, Trans. Amer. Math. Soc., 75 (1953), 106- 135. [43] J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy II, Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453-496. Tiếng Pháp [44] J. Bénabou, Catégories avec multiplication, C.R. Acad. Sci. Paris, 256, No. 9 (1963), 1897-1890. [45] D. Conduché, Modules croisés généralisés de longeur 2, J Pure Appl. Alg., 34 (1984), No 2-3, 155-178. [46] P. Dedecker, Les foncteurs ExtΠ, H 2 Π et H 2 Π non abéliens, C. R. Acad. Sci. Paris, 258 (1964), 4891-4894. 111 [47] A. Grothendieck, Catégories fibrées et déscente, (SGA I, exposé VI), Lecture Notes in Math., 224 (1971), Springer, Berlin, 145-194. [48] S. Mac Lane, Homologie des anneaux et des modules, Colloque de Topologie al- gébrique, Louvain (1956), 55-80. [49] N. Saavedra Rivano, Catégories Tannakiennes, Lecture Notes in Math., 265 (1972), Spriger-Verlag, Berlin and New York. [50] H. X. Sinh, Gr-catégories, Thèse de doctorat, Université Paris VII, 1975. [51] H. X. Sinh, Gr-catégories strictes, Acta mathematica Vietnamica, Tom. 3, No. 2 (1978), 47-59. [52] U. Shukla, Cohomologie des algebras associatives, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 7 (1961), 163-209. Tiếng Đức [53] O. Schreier, Uăber die Erweiterung von Gruppen I, Monatsh. Math. Phys. 34 (1926), 165-180, 112 Chỉ số HnΓ(Π, A), 66 HoAnnstr, 99 Γ-môđun chéo, 73 liên kết, 76 Γ-nhóm, 18 Γ-đồng cấu, 18 Hom(ϕ,f)[S,S′], 72 Π-môđun Γ-đẳng biến, 18∫ Γ (Π, A, h), 67 Annstr, 99 ESyst, 99 Psd(Γ,Brg), 38 Psd(Γ,C), 38 ΓBCG, 38 Ann-hàm tử dạng (f1, f0), 95 đơn, 97 đồng luân mạnh, 98 Ann-mũi tên, 22 Ann-phạm trù, 20 chặt chẽ, 21 chính qui, 21 kiểu (R,M), 23 liên kết, 94 thu gọn, 22 Ann-tương đương, 22 chính tắc, 23 cản trở của hàm tử Γ-phân bậc, 72 của hàm tử monoidal, 29 của Ann-hàm tử, 24 cặp hàm liên kết, 24, 29 cấu trúc của Ann-phạm trù, 23 E-hệ, 92 chính qui, 92 liên hợp, 95 hàm tử monoidal, 19 hàm tử Γ-phân bậc kiểu (ϕ, f), 72 Hàm tử monoidal phân bậc chính qui, 79 hàm tử monoidal bện, 20 phân bậc, 20 chính qui, 57 hạt nhân trừu tượng, 45 hệ nhân tử, 38, 51 chính qui, 74 môđun chéo, 53 các tự đẳng cấu, 54 liên kết, 55 đẳng biến, 73 mở rộng tích chéo, 60 mở rộng nhóm kiểu môđun chéo, 59 tương đương, 59 113 mở rộng tích chéo, 70, 100 mở rộng vành kiểu E-hệ tương đương, 100 mở rộng vành kiểu E-hệ chính qui, 99 mở rộng đẳng biến tích chéo, 82 mở rộng đẳng biến kiểu Γ-môđun chéo, 81 tương đương, 81 nhóm phạm trù, 17 bện, 19 bện thu gọn, 34 kiểu (Π, A), 18 liên kết, 54 phân bậc, 19 chặt chẽ, 74 kiểu (Π, A), 72 liên kết, 74 thu gọn, 72 rời rạc, 18 thu gọn, 18 đối xứng, 19 phân bậc, 18 ổn định, 18 phạm trù monoidal, 16 chặt chẽ, 17 phạm trù monoidal phân bậc, 18 bện, 19 phạm trù Picard, 19 ràng buộc bện, 19 ràng buộc kết hợp, 16 ràng buộc đơn vị, 16 song môđun chéo, 91 song tâm, 92 song tích, 91 giao hoán, 92 trong, 92 sự tương thích, 22 tiên đề ngũ giác, 16 tiên đề tam giác, 16 tiền đính kiểu (Π, A), 32 tâm, 45 tương đương chính tắc, 18 tương đương monoidal, 20 tương đương phân bậc chính tắc, 69 tương đương tự nhiên monoidal, 19 phân bậc, 20 bện, 20 vật đơn vị, 16 đính, 17, 23 đồng cấu Γ-môđun chéo, 76 E-hệ, 92 môđun chéo, 55 song môđun chéo, 91 toán tử, 92 đồng luân, 19, 22 114