Luận án nghiên cứu về tính chất truyền dẫn quang-từ và tính chất nhiệt của
các bán dẫn họ dichalcogenides kim loại chuyển tiếp khi có mặt từ trường vuông
góc với mặt phẳng của lớp vật liệu. Các kết quả chính mà luận án thu được như
sau:
1. Hệ số hấp thụ quang-từ và độ rộng vạch phổ đối với quá trình hấp thụ một
và hai photon đều phụ thuộc mạnh vào từ trường, các thông số của vật liệu, cơ
chế tương tác electron-phonon và loại phonon.
2. Vịtrí của đỉnh hấp thụ quang học được xác định một cách tường minh và
được phân chia ra hai vùng có tần số khác nhau: Đối với quá trình dịch chuyển
nội vùng, vịtrí đỉnh hấp thụ không phụ thuộc vào chỉ số mức Landau và nằm
ở vùng vi sóng đến vùng hồng ngoại gần; trong khi đó đối với quá trình dịch
chuyển liên vùng, vịtrí đỉnh hấp thụ phụ thuộc vào chỉ số mức Landau và nằm
ở vùng hồng ngoại gần đến vùng khả kiến. Vịtrí đỉnh hấp thụ của cả hai quá
trình dịch chuyển đều phụ thuộc mạnh vào định hướng spin, tương tác spin-quỹ
đạo, điện trường ngoài và trường Zeeman.
3. Khi có mặt từ trường ngoài, tốc độ mất mát năng lượng của electron dao
động với biên độ tăng theo từ trường, phụ thuộc mạnh vào loại vật liệu, cơ
chế tương tác và mật độ electron. Ở vùng nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ BlochGr¨ uneisen (TBG), tốc độ mất mát năng lượng của electron tăng nhanh theo nhiệt
độ theo quy luật hàm số mũ, khi T > TBG, tốc độ mất mát năng lượng tiếp tục
tăng theo nhiệt độ nhưng với mức độ giảm dần.
4. Công suất nhiệt-từ gây ra bởi hiệu ứng phonon-kéo dao động với biên độ
tăng theo từ trường, phụ thuộc mạnh vào loại vật liệu, cơ chế tương tác và mật
độ electron. Luận án đã có phát hiện mới về số mũ trong quy luật mô tả sự phụ
109thuộc của công suất nhiệt-từ vào nhiệt độ: Số mũ không phải là những hằng số
như trong trường hợp không có từ trường mà dao động xung quanh các giá trị3
và 5 khi không xét và có xét đến hiệu ứng chắn.
5. Luận án đã phát triển và góp phần hoàn thiện lý thuyết về phương pháp
gần đúng ma trận mật độ áp dụng cho hệ đơn lớp hai chiều: đưa ra được công
thức cải tiến cho độ cảm quang tuyến tính và phi tuyến bậc ba. Từ đó áp dụng
để thu được hệ số hấp thụ quang-từ và độ thay đổi chiết suất tuyến tính và phi
tuyến trong các vật liệu TMDC đơn lớp
162 trang |
Chia sẻ: huydang97 | Ngày: 27/12/2022 | Lượt xem: 422 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận án Tính chất truyền dẫn quang từ và tính chất nhiệt của các bán dẫn họ Dichalcogenides kim loại chuyển tiếp, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
N. Hieu, and Huynh V.
Phuc (2021), “Oscillations of the electron energy loss rate in two-dimensional
transition-metal dichalcogenides in the presence of a quantizing magnetic
field”, Physical Review B, 103 (23), 235417(1−10).
[3] Pham Thi Huong, Do Muoi, Tran N. Bich, Huynh V. Phuc, C. A. Duque,
Phu Thuong Nhan Nguyen, Chuong V. Nguyen, Nguyen N. Hieu, Le T.
Hoa (2020), “Intra- and inter-band magneto-optical absorption in monolayer
WS2”, Physica E, 124, 114315(1−6).
[4] Huynh V Phuc, S S Kubakaddi, Le Dinh, Tran N. Bich, and Nguyen N
Hieu (2022), “Phonon-drag thermopower and thermoelectric performance
of MoS2 monolayer in quantizing magnetic field”, Journal of Physics: Con-
densed Matter, 34, 315703(1−13).
[5] Tran N. Bich, Huynh V. Phuc, Le Dinh (2021), “Magneto-optical absorp-
tion coefficients of monolayer MoSe2”, Hue University Journal of Science:
Natural Science, 130 (1B), 21−26.
111
[6] L.V. Tung, N.Q. Bau, T.N. Bich, P.T. Vinh, H.V. Phuc (2021), “Lin-
ear and nonlinear magneto-optical absorption coefficients and refractive in-
dex changes in WSe2 monolayer”, VNU Journal of Science: Mathematics –
Physics, 37 (4), 59−67.
[7] Trần Ngọc Bích, Nguyễn Ngọc Hiếu, Tạ Thị Thơ, Lê Thị Ngọc Tú và
Huỳnh Vĩnh Phúc (2021), “Độ thay đổi chiết suất tuyến tính và phi tuyến
trong MoSe2 đơn lớp”, Dong Thap University Journal of Science, 10 (5),
25−30.
[8] Trần Ngọc Bích, Lê Thị Hóa, Huỳnh Vĩnh Phúc (2021), “Hệ số hấp thụ
quang-từ của hệ WTe2 đơn lớp”, Kỷ yếu Hội thảo khoa học Quốc gia các
nhà nghiên cứu trẻ 2021, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, 217−224.
[9] Trần Ngọc Bích, Huỳnh Vĩnh Phúc, Lê Đình, “Công suất nhiệt-từ trong
hệ WS2 đơn lớp”, đã được nhận đăng ở Tạp chí Khoa học, Trường Đại học
Sư phạm, Đại học Huế, số 3(63)/2022.
112
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Castro Neto A. H., Guinea F., Peres N. M. R., et al. (2009). The electronic
properties of graphene. Rev. Mod. Phys., 81 (1), 109–162.
[2] Liao L., Lin Y.-C., Bao M., et al. (2010). High-speed graphene transistors
with a self-aligned nanowire gate. Nature, 467 (7313), 305–308.
[3] Schwierz F. (2010). Graphene transistors. Nat. Nanotechnol., 5 (7), 487–
496.
[4] Kara A., Enriquez H., Seitsonen A. P., et al. (2012). A review on silicene
- New candidate for electronics. Surf. Sci. Rep., 67 (1), 1–18.
[5] Sone J., Yamagami T., Aoki Y., et al. (2014). Epitaxial growth of silicene
on ultra-thin Ag(111) films. New J. Phys., 16 (9), 095004(1–15).
[6] Davila M. E., Xian L., Cahangirov S., et al. (2014). Germanene: a novel
two-dimensional germanium allotrope akin to graphene and silicene. New
J. Phys., 16 (9), 095002(1–10).
[7] Fang H., Chuang S., Chang T. C., et al. (2012). High-performance single
layered WSe2 p-FETs with chemically doped contacts. Nano Lett., 12 (7),
3788–3792.
[8] Fuhrer M. S. and Hone J. (2013). Measurement of mobility in dual-gated
MoS2 transistors. Nat. Nanotechnol., 8 (3), 146–147.
[9] Geim A. K. and Grigorieva I. V. (2013). Van der Waals heterostructures.
Nature, 499 (7459), 419–425.
[10] Li X., Zhang F., and Niu Q. (2013). Unconventional Quantum Hall Ef-
fect and Tunable Spin Hall Effect in Dirac Materials: Application to an
Isolated MoS2 Trilayer. Phys. Rev. Lett., 110 (6), 066803(1–5).
113
[11] Lu H.-Z., Yao W., Xiao D., et al. (2013). Intervalley Scattering and Lo-
calization Behaviors of Spin-Valley Coupled Dirac Fermions. Phys. Rev.
Lett., 110 (1), 016806(1–5).
[12] Wang H., Yu L., Lee Y.-H., et al. (2012). Integrated circuits based on
bilayer MoS2 transistors. Nano Lett., 12 (9), 4674–4680.
[13] Xiao D., Liu G.-B., Feng W., et al. (2012). Coupled Spin and Valley
Physics in Monolayers of MoS2 and Other Group-VI Dichalcogenides.
Phys. Rev. Lett., 108 (19), 196802(1–5).
[14] Liu G.-B., Shan W.-Y., Yao Y., et al. (2013). Three-band tight-binding
model for monolayers of group-VIB transition metal dichalcogenides. Phys.
Rev. B, 88 (8), 085433(1–10).
[15] Kuc A., Zibouche N., and Heine T. (2011). Influence of quantum confine-
ment on the electronic structure of the transition metal sulfide TS2. Phys.
Rev. B, 83 (24), 245213(1–4).
[16] Eda G. and Maier S. A. (2013). Two-Dimensional Crystals: Managing
Light for Optoelectronics. ACS Nano, 7 (7), 5660–5665.
[17] Baugher B. W. H., Churchill H. O. H., Yang Y., et al. (2014). Optoelec-
tronic devices based on electrically tunable p-n diodes in a monolayer
dichalcogenide. Nat. Nanotechnol., 9 (4), 262–267.
[18] Jones A. M., Yu H., Ghimire N. J., et al. (2013). Optical generation of
excitonic valley coherence in monolayer WSe2. Nat. Nanotechnol., 8 (9),
634–638.
[19] Pospischil A., Furchi M. M., and Mueller T. (2014). Solar-energy conver-
sion and light emission in an atomic monolayer p-n diode. Nat. Nanotech-
nol., 9 (4), 257–261.
[20] Yin Z., Li H., Li H., et al. (2011). Single-layer MoS2 phototransistors.
ACS Nano, 6 (1), 74–80.
114
[21] Huffaker D., Park G, Zou Z, et al. (1998). 1.3 μm room-temperature
GaAs-based quantum-dot laser. Appl. Phys. Lett., 73 (18), 2564–2566.
[22] Pan D., Towe E., and Kennerly S. (1998). Normal-incidence intersubband
(In, Ga)As/GaAs quantum dot infrared photodetectors. Appl. Phys. Lett.,
73 (14), 1937–1939.
[23] Wood T., Burrus C., Miller D., et al. (1984). High-speed optical modula-
tion with GaAs/GaAlAs quantum wells in ap-i-n diode structure. Appl.
Phys. Lett., 44 (1), 16–18.
[24] Radisavljevic B., Radenovic A., Brivio J., et al. (2011). Single-layer MoS2
transistors. Nat. Nanotechnol., 6 (3), 147–150.
[25] Splendiani A., Sun L., Zhang Y., et al. (2010). Emerging photolumines-
cence in monolayer MoS2. Nano Lett., 10 (4), 1271–1275.
[26] Wang Q. H., Kalantar-Zadeh K., Kis A., et al. (2012). Electronics and
optoelectronics of two-dimensional transition metal dichalcogenides. Nat.
Nanotechnol., 7 (11), 699–712.
[27] Liu H., Neal A. T., and Ye P. D. (2012). Channel length scaling of MoS2
MOSFETs. ACS Nano, 6 (10), 8563–8569.
[28] Yoon Y., Ganapathi K., and Salahuddin S. (2011). How good can mono-
layer MoS2 transistors be? Nano Lett., 11 (9), 3768–3773.
[29] Reed J. C., Zhu A. Y., Zhu H., et al. (2015). Wavelength tunable microdisk
cavity light source with a chemically enhanced MoS2 emitter. Nano Lett.,
15 (3), 1967–1971.
[30] Al E. B., Ungan F., Yesilgul U., et al. (2015). Effects of applied electric
and magnetic fields on the nonlinear optical properties of asymmetric
GaAs/Ga1-xAlxAs double inverse parabolic quantum well. Opt. Mater.,
47, 1–6.
115
[31] Karabulut I. and Baskoutas S. (2008). Linear and nonlinear optical ab-
sorption coefficients and refractive index changes in spherical quantum
dots: Effects of impurities, electric field, size, and optical intensity. J.
Appl. Phys., 103 (7), 073512(1–5).
[32] U¨nlu¨ S., Karabulut I., and Safak H. (2006). Linear and nonlinear inter-
subband optical absorption coefficients and refractive index changes in a
quantum box with finite confining potential. Physica E, 33 (2), 319–324.
[33] Vali M., Dideban D., and Moezi N. (2015). A scheme for a topological
insulator field effect transistor. Physica E, 69, 360–363.
[34] Zheng J., Zhang Y., Li L., et al. (2015). An equivalent-stepped-index-
coupled DFB semiconductor laser and laser array realized by stepping
the duty cycle of the Sampled Bragg grating. Opt. Laser Technol., 67,
38–43.
[35] Huant S., Najda S. P., and Etienne B. (1990). Two-dimensional D− cen-
ters. Phys. Rev. Lett., 65 (12), 1486–1489.
[36] Rajagopal A. K. and Ryan J. C. (1991). Quantum-state representations
in a strong quantizing magnetic field: Pairing theory of superconductivity.
Phys. Rev. B, 44 (18), 10280–10285.
[37] Spector H. N. (1983). Free-carrier absorption in quasi-two-dimensional
semiconducting structures. Phys. Rev. B, 28 (2), 971–976.
[38] Eseanu N. (2011). Intense laser field effect on the interband absorption
in differently shaped near-surface quantum wells. Phys. Lett. A, 375 (6),
1036–1042.
[39] Niculescu C. E. and Burileanu M. L. (2010). Nonlinear optical absorption
in inverse V-shaped quantum wells modulated by high-frequency laser
field. Eur. Phys. J. B, 74 (1), 117–122.
116
[40] Ozturk E., Sari H., and Sokmen I. (2004). The dependence of the inter-
subband transitions in square and graded QWs on intense laser fields.
Solid State Commun., 132 (7), 497–502.
[41] Ozturk E, Sari H, and Sokmen I (2005). Electric field and intense laser
field effects on the intersubband optical absorption in a graded quantum
well. J. Phys. D: Appl. Phys., 38 (6), 935–941.
[42] Ungan F., Yesilgul U., Kasapoglu E., et al. (2012). The effects of hydro-
static pressure and intense laser field on the linear and nonlinear optical
properties of a square quantum well. Opt. Commun., 285 (3), 373–377.
[43] Nguyen C. V., Hieu N. N., Duque C. A., et al. (2017). Linear and nonlinear
magneto-optical absorption coefficients and refractive index changes in
graphene. Opt. Mater., 69, 328–332.
[44] Nguyen C. V., Hieu N. N., Duque C. A., et al. (2017). Linear and nonlinear
magneto-optical properties of monolayer phosphorene. J. Appl. Phys., 121
(4), 045107(1–6).
[45] Nguyen C. V., Hieu N. N., Muoi D., et al. (2018). Linear and nonlinear
magneto-optical properties of monolayer MoS2. J. Appl. Phys., 123 (3),
034301(1–7).
[46] Nguyen C. V., Hieu N. N., Poklonski N. A., et al. (2017). Magneto-optical
transport properties of monolayer MoS2 on polar substrates. Phys. Rev.
B, 96 (12), 125411(1–14).
[47] Koperski M., Molas M. R., Arora A., et al. (2019). Orbital, spin and valley
contributions to Zeeman splitting of excitonic resonances in MoSe2, WSe2
and WS2 Monolayers. 2D Mater., 6 (1), 015001(1–9).
[48] Pham K. D., Tung L. V., Thuan D. V., et al. (2019). Phonon-assisted
cyclotron resonance in Po¨schl-Teller quantum well. J. Appl. Phys., 126
(12), 124301(1–9).
117
[49] Hoi B. D., Phuong L. T. T., and Phong T. C. (2018). Magneto-optical
absorption and cyclotron-phonon resonance in graphene monolayer. J.
Appl. Phys., 123 (9), 094303(1–6).
[50] Koshino M. and Ando T. (2008). Magneto-optical properties of multilayer
graphene. Phys. Rev. B, 77 (11), 115313(1–8).
[51] Santra K. and Sarkar C. K. (1993). Energy-loss rate of hot carriers in
semiconductors with nonequilibrium phonon distribution in the extreme
quantum limit at low temperatures. Phys. Rev. B, 47 (7), 3598–3602.
[52] Tao Z. C., Ting C. S., and Singh M. (1993). Energy loss rate of hot
electrons in a semiconductor: The role of anharmonic interactions. Phys.
Rev. Lett., 70 (16), 2467–2470.
[53] Fletcher R., Pudalov V. M., Feng Y., et al. (1997). Thermoelectric and
hot-electron properties of a silicon inversion layer. Phys. Rev. B, 56 (19),
12422–12428.
[54] Kubakaddi S. S., Suresha K., and Mulimani B. G. (2002). Hot-electron en-
ergy relaxation in GaAs/GaAlAs two-dimensional structures: importance
of two-phonon processes. Semicond. Sci. Technol., 17 (6), 557–564.
[55] Ma Y., Fletcher R., Zaremba E., et al. (1991). Energy-loss rates of two-
dimensional electrons at a GaAs/AlxGa1−xAs interface. Phys. Rev. B, 43
(11), 9033–9044.
[56] Bhargavi K. S. and Kubakaddi S. S. (2014). High field transport properties
of a bilayer graphene. Physica E, 56, 123–129.
[57] Katti V. S. and Kubakaddi S. S. (2013). Effect of chiral property on hot
phonon distribution and energy loss rate due to surface polar phonons in
a bilayer graphene. J. Appl. Phys., 113 (6), 063705(1–5).
[58] Kubakaddi S. S. (2018). The role of vector potential coupling in the hot
electron cooling power in bilayer graphene at low temperature. Physica
E, 95, 144–148.
118
[59] Kubakaddi S. S. and Phuc H. V. (2020). Power loss of hot Dirac fermions
in silicene and its near equivalence with graphene. Semicond. Sci. Tech-
nol., 36 (2), 025005(1–11).
[60] Kaasbjerg K., Bhargavi K. S., and Kubakaddi S. S. (2014). Hot-electron
cooling by acoustic and optical phonons in monolayers of MoS2 and other
transition-metal dichalcogenides. Phys. Rev. B, 90 (16), 165436(1–13).
[61] Kubakaddi S. S. and Biswas T. (2018). Hot electron cooling in Dirac
semimetal Cd3As2 due to polar optical phonons. J. Phys.: Condens. Mat-
ter, 30 (26), 265303(1–10).
[62] Kubakaddi S. S. (2021). Large power dissipation of hot Dirac fermions in
twisted bilayer graphene. J. Phys.: Condens. Matter, 33 (11), 115704(1–
7).
[63] Bhat J. S., Kapatkar S. B., Kubakaddi S. S., et al. (1998). Energy Loss
Rate of Hot Electrons Due to Confined and Interface Optical Phonons
in Semiconductor Quantum Wells in Quantizing Magnetic Field. Phys.
Status Solidi B, 209 (1), 37–47.
[64] Hollering R. W. J., Berendschot T. T. J. M., Bluyssen H. J. A., et al.
(1988). Energy relaxation of lower-dimensional hot carriers studied with
picosecond photoluminescence. Phys. Rev. B, 38 (18), 13323–13334.
[65] Reinen H. A. J. M., Berendschot T. T. J. M., Kappert R. J. H., et al.
(1988). Electron-phonon interaction of a two-dimensional electron gas in
a strong magnetic field. Solid State Commun., 65 (12), 1495–1499.
[66] Biswas T. and Ghosh T. K. (2013). Phonon-drag magnetothermopower in
Rashba spin-split two-dimensional electron systems. J. Phys.: Condens.
Matter, 25 (41), 415301(1–7).
[67] Cantrell D. G. and Butcher P. N. (1987). A calculation of the phonon-
drag contribution to the thermopower of quasi-2D electrons coupled to
119
3D phonons. I. General theory. J. Phys. C: Solid State Phys., 20 (13),
1985–1992.
[68] Buscema M., Barkelid M., Zwiller V., et al. (2013). Large and Tunable
Photothermoelectric Effect in Single-Layer MoS2. Nano Lett., 13 (2), 358–
363.
[69] Hippalgaonkar K., Wang Y., Ye Y., et al. (2017). High thermoelectric
power factor in two-dimensional crystals of MoS2. Phys. Rev. B, 95 (11),
115407(1–9).
[70] Bhargavi K. S. and Kubakaddi S. S. (2014). Phonon-drag thermopower
in a monolayer MoS2. J. Phys.: Condens. Matter, 26 (48), 485013(1–6).
[71] Fletcher R (1999). Magnetothermoelectric effects in semiconductor sys-
tems. Semicond. Sci. Technol., 14 (4), R1–R15.
[72] Fletcher R., Maan J. C., Ploog K., et al. (1986). Thermoelectric properties
of GaAs-Ga1−xAlxAs heterojunctions at high magnetic fields. Phys. Rev.
B, 33 (10), 7122–7133.
[73] Fromhold T. M., Butcher P. N., Qin G., et al. (1993). Phonon-drag magne-
tothermopower oscillations in GaAs/AsxGa1−xAs heterojunctions. Phys.
Rev. B, 48 (8), 5326–5332.
[74] Gibson G. A., Tedrow P. M., and Meservey R. (1989). Tunneling study of
Fermi-liquid effects in amorphous gallium. Phys. Rev. B, 40 (1), 137–147.
[75] Lyo S. K. (1989). Magnetoquantum oscillations of the phonon-drag ther-
moelectric power in heterojunctions. Phys. Rev. B, 40 (9), 6458–6461.
[76] Tsaousidou M., Butcher P. N., and Kubakaddi S. S. (1999). Quantitative
Interpretation of Thermopower Data for Composite Fermions in a Half-
Filled Landau Level. Phys. Rev. Lett., 83 (23), 4820–4823.
[77] Kubakaddi S. S., Biswas T., and Kanti Ghosh T. (2017). Phonon-drag
magnetoquantum oscillations in graphene. J. Phys.: Condens. Matter, 29
(30), 305301(1–8).
120
[78] Ochoa H. and Roldán R. (2013). Spin-orbit-mediated spin relaxation in
monolayer MoS2. Phys. Rev. B, 87 (24), 245421(1–8).
[79] Hien N. D., Nguyen C. V., Hieu N. N., et al. (2020). Magneto-optical
transport properties of monolayer transition metal dichalcogenides. Phys.
Rev. B, 101 (4), 045424(1–13).
[80] Li Z. and Carbotte J. P. (2013). Phonon structure in dispersion curves
and density of states of massive Dirac fermions. Phys. Rev. B, 88 (4),
045417.
[81] Tahir M., Vasilopoulos P., and Peeters F. M. (2016). Quantum magneto-
transport properties of a MoS2 monolayer. Phys. Rev. B, 93 (3), 035406(1–
9).
[82] Lê Đình (chủ biên), Trần Công Phong (2012), Giáo trình Cơ học lượng
tử, Nhà xuất bản Đại học Huế.
[83] Wang C. M. and Lei X. L. (2015). Linear magnetotransport in monolayer
MoS2. Phys. Rev. B, 92 (12), 125303(1–10).
[84] Tabert C. J. and Nicol E. J. (2013). Valley-Spin Polarization in the
Magneto-Optical Response of Silicene and Other Similar 2D Crystals.
Phys. Rev. Lett., 110 (19), 197402(1–5).
[85] Bhargavi K. S., Patil S., and Kubakaddi S. S. (2015). Acoustic phonon
assisted free-carrier optical absorption in an n-type monolayer MoS2 and
other transition-metal dichalcogenides. J. Appl. Phys., 118 (4), 044308(1–
7).
[86] Kaasbjerg K., Thygesen K. S., and Jacobsen K. W. (2012). Phonon-
limited mobility in n-type single-layer MoS2 from first principles. Phys.
Rev. B, 85 (11), 115317(1–16).
[87] Jin Z., Li X., Mullen J. T., et al. (2014). Intrinsic transport properties of
electrons and holes in monolayer transition-metal dichalcogenides. Phys.
Rev. B, 90 (4), 045422(1–7).
121
[88] Li X., Mullen J. T., Jin Z., et al. (2013). Intrinsic electrical transport
properties of monolayer silicene and MoS2 from first principles. Phys.
Rev. B, 87 (11), 115418(1–9).
[89] Thilagam A. (2016). Ultrafast exciton relaxation in monolayer transition
metal dichalcogenides. J. Appl. Phys., 119 (16), 164306(1–8).
[90] Kaasbjerg K., Thygesen K. S., and Jauho A.-P. (2013). Acoustic phonon
limited mobility in two-dimensional semiconductors: Deformation poten-
tial and piezoelectric scattering in monolayer MoS2 from first principles.
Phys. Rev. B, 87 (23), 235312(1–15).
[91] Nguyen Q. B., Nguyen V. N., and Tran C. P. (2002). Calculations of the
absorption coefficient of a weak electromagnetic wave by free carriers in
doped superlattices by using the Kubo-Mori method. J. Korean Phys.
Soc., 41 (1), 149–154.
[92] Nguyen Q. B. and Nguyen V. H. (2013). The quantum acoustoelectric cur-
rent in a doped superlattice GaAs:Si/GaAs:Be. Superlattices Microstruct.,
63, 121–130.
[93] Nguyen Q. B., Nguyen V. H., and Nguyen V. N. (2012). Calculations of
the acoustoelectric current in a quantum well by using a quantum kinetic
equation. J. Korean Phys. Soc., 61 (12), 2026–2031.
[94] Nguyen Q. B. and Bui D. H. (2012). Influence of a strong electromagnetic
wave (laser radiation) on the hall effect in quantum wells with a parabolic
potential. J. Korean Phys. Soc., 60 (1), 59–64.
[95] Nguyen Q. B. and Tran C. P. (1998). Calculations of the absorption coef-
ficient of a weak electromagnetic wave by free carriers in quantum wells
by the Kubo-Mori method. J. Phys. Soc. Jpn., 67 (11), 3875–3880.
[96] Nguyen Q. B., Nguyen V. H., and Nguyen V. N. (2012). The quantum
acoustomagnetoelectric field in a quantum well with a parabolic potential.
Superlattices Microstruct., 52 (5), 921–930.
122
[97] Nguyen Q. B., Nguyen T. T. N., and Nguyen V. N. (2014). Negative
absorption coefficient of a weak electromagnetic wave caused by electrons
confined in rectangular quantum wires in the presence of laser radiation.
J. Korean Phys. Soc., 64 (4), 572–578.
[98] Phong T. C. and Bau N. Q. (2003). Parametric resonance of acoustic and
optical phonons in a quantum well. J. Korean Phys. Soc., 42 (5), 647–651.
[99] Tran C. P., Vo T. L., and Bui D. H. (2011). Electrophonon resonance
in doped semiconductor superlatticesElectrophonon resonance in doped
semiconductor superlattices. Mod. Phys. Lett. B, 25 (12n13), 1093–1100.
[100] Phuong L. T. T., Phuc H. V., and Phong T. C. (2014). Influence of phonon
confinement on the optically-detected electrophonon resonance line-width
in cylindrical quantum wires. Physica E, 56, 102 –106.
[101] Phong T. C., Phuong L. T. T., Hien N. D., et al. (2015). Influence of
phonon confinement on the optically detected magneto-phonon resonance
line-width in quantum wells. Physica E, 71, 79–83.
[102] Doan Q. K., Le T. T. P., and Bui D. H. (2017). Nonlinear absorption
coefficient and optically detected electrophonon resonance in cylindrical
GaAs/AlAs quantum wires with different confined phonon models. Su-
perlattices Microstruct., 103, 252–261.
[103] Ngo V. Q. B., Bui D. H., Doan V. T., et al. (2019). Investigation of
cyclotron-phonon resonance in monolayer molybdenum disulfide. J. Phys.
Chem. Solids, 125, 74–79.
[104] Khoa D. Q., Hieu N. N., Bich T. N., et al. (2018). Magneto-optical ab-
sorption in quantum dot via two-photon absorption process. Optik, 173,
263–270.
[105] Catarina G., Have J., Fernández-Rossier J., et al. (2019). Optical orien-
tation with linearly polarized light in transition metal dichalcogenides.
Phys. Rev. B, 99 (12), 125405(1–17).
123
[106] Tahir M. and Vasilopoulos P. (2016). Magneto-optical transport proper-
ties of monolayer WSe2. Phys. Rev. B, 94 (4), 045415(1–8).
[107] Mitioglu A. A., Plochocka P., Aguila. Granados del, et al. (2015). Optical
Investigation of Monolayer and Bulk Tungsten Diselenide (WSe2) in High
Magnetic Fields. Nano Lett., 15 (7), 4387–4392.
[108] Ovchinnikov D., Allain A., Huang Y.-S., et al. (2014). Electrical Transport
Properties of Single-Layer WS2. ACS Nano, 8 (8), 8174–8181.
[109] Radisavljevic B. and Kis A. (2013). Mobility engineering and a metal-
insulator transition in monolayer MoS2. Nat. Mater., 12 (9), 815–820.
[110] Schmidt R., Arora A., Plechinger G., et al. (2016). Magnetic-Field-Induced
Rotation of Polarized Light Emission from Monolayer WS2. Phys. Rev.
Lett., 117 (7), 077402(1–6).
[111] Smolen´ski T., Cotlet O., Popert A., et al. (2019). Interaction-Induced
Shubnikov–de Haas Oscillations in Optical Conductivity of Monolayer
MoSe2. Phys. Rev. Lett., 123 (9), 097403(1–6).
[112] Chakraborty C., Goodfellow K. M., and Nick Vamivakas A. (2016). Lo-
calized emission from defects in MoSe2 layers. Opt. Mater. Express, 6 (6),
2081–2087.
[113] Yuan H., Bahramy M. S., Morimoto K., et al. (2013). Zeeman-type spin
splitting controlled by an electric field. Nat. Phys., 9 (9), 563–569.
[114] Shakouri K., Vasilopoulos P., Vargiamidis V., et al. (2014). Spin- and
valley-dependent magnetotransport in periodically modulated silicene. Phys.
Rev. B, 90 (12), 125444(1–11).
[115] Xu W, Lewis R. A., Koenraad P. M., et al. (2004). High-field magneto-
transport in a two-dimensional electron gas in quantizing magnetic fields
and intense terahertz laser fields. J. Phys.: Condens. Matter, 16 (1), 89–
101.
124
[116] Xu W. (1998). Nonlinear optical absorption and LO-phonon emission in
steady-state terahertz-driven three-dimensional electron gases. Phys. Rev.
B, 57, 12939–12950.
[117] Phuc H. V. and Hieu N. N. (2015). Nonlinear optical absorption in graphene
via two-photon absroption process. Opt. Commun., 344, 12–16.
[118] Phong T. C., Thu Phuong L. T., Phuc H. V., et al. (2013). Influence of
phonon confinement on the optically-detected electrophonon resonance
linewidth in rectangular quantum wires. J. Korean Phys. Soc., 62 (2),
305–310.
[119] Phuc H. V., Hue L. T. M., Dinh L., et al. (2013). LO-phonon-assisted cy-
clotron resonance linewidth via multiphoton absorption process in cylin-
drical quantum wire. Superlattices Microstruct., 60, 508–515.
[120] Phuc H. V., Hieu N. N., Dinh L., et al. (2015). Nonlinear optical absorp-
tion in parabolic quantum well via two-photon absorption process. Opt.
Commun., 335, 37–41.
[121] Phuc H. V., Dinh L., and Phong T. C. (2013). Phonon-assisted cyclotron
resonance in quantum wells via the multiphoton absorption process. Su-
perlattices Microstruct., 59, 77–86.
[122] Phuc H. V., Khoa D. Q., Hieu N. V., et al. (2016). Linear and nonlinear
magneto-optical absorption in parabolic quantum well. Optik, 127 (22),
10519–10526.
[123] Duque C. A., Kasapoglu E., S¸akiroglu S., et al. (2011). Intense laser effects
on nonlinear optical absorption and optical rectification in single quantum
wells under applied electric and magnetic field. Appl. Surf. Sci., 257 (6),
2313–2319.
[124] Kubakaddi S. S. (2009). Interaction of massless Dirac electrons with acous-
tic phonons in graphene at low temperatures. Phys. Rev. B, 79 (7), 075417(1–
6).
125
[125] Betz A. C., Vialla F., Brunel D., et al. (2012). Hot Electron Cooling by
Acoustic Phonons in Graphene. Phys. Rev. Lett., 109 (5), 056805(1–5).
[126] Baker A. M. R., Alexander-Webber J. A., Altebaeumer T., et al. (2012).
Energy relaxation for hot Dirac fermions in graphene and breakdown of
the quantum Hall effect. Phys. Rev. B, 85 (11), 115403(1–6).
[127] McKitterick C. B., Prober D. E., and Rooks M. J. (2016). Electron-
phonon cooling in large monolayer graphene devices. Phys. Rev. B, 93
(7), 075410(1–7).
[128] Scharf B., Perebeinos V., Fabian J., et al. (2013). Effects of optical and
surface polar phonons on the optical conductivity of doped graphene.
Phys. Rev. B, 87 (3), 035414(1–9).
[129] Laitinen A., Oksanen M., Fay A., et al. (2014). Electron–Phonon Coupling
in Suspended Graphene: Supercollisions by Ripples. Nano Lett., 14 (6),
3009–3013.
[130] Bistritzer R. and MacDonald A. H. (2009). Electronic Cooling in Graphene.
Phys. Rev. Lett., 102 (20), 206410(1–4).
[131] Tse W.-K. and Das Sarma S. (2009). Energy relaxation of hot Dirac
fermions in graphene. Phys. Rev. B, 79 (23), 235406(1–5).
[132] Viljas J. K. and Heikkila¨ T. T. (2010). Electron-phonon heat transfer in
monolayer and bilayer graphene. Phys. Rev. B, 81 (24), 245404(1–9).
[133] Biswas T. and Ghosh T. (2013). Phonon-drag thermopower and hot-
electron energy-loss rate in a Rashba spin-orbit coupled two-dimensional
electron system. J. Phys.: Condens. Matter, 25 (26), 265301(1–10).
[134] Herring C. (1954). Theory of the Thermoelectric Power of Semiconduc-
tors. Phys. Rev., 96 (5), 1163–1187.
126
[135] Tsaousidou M., Butcher P. N., and Triberis G. P. (2001). Fundamental
relationship between the Herring and Cantrell-Butcher formulas for the
phonon-drag thermopower of two-dimensional electron and hole gases.
Phys. Rev. B, 64 (16), 165304(1–10).
[136] Nguyễn Quang Báu (chủ biên), Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn
(2004), Lý thuyết bán dẫn, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[137] Chaubey M. P. and Van Vliet C. M. (1986). Transverse magnetoconduc-
tivity of quasi-two-dimensional semiconductor layers in the presence of
phonon scattering. Phys. Rev. B, 33 (8), 5617–5622.
[138] Wang C. M. and Lei X. L. (2013). Nonlinear magnetotransport in dc
current biased graphene. Phys. Rev. B, 87 (23), 235403(1–9).
[139] Ding Y., Wang Y., Ni J., et al. (2011). First principles study of structural,
vibrational and electronic properties of graphene-like MX2 (M=Mo, Nb,
W, Ta; X=S, Se, Te) monolayers. Physica B, 406 (11), 2254–2260.
[140] Liu H.-L., Shen C.-C., Su S.-H., et al. (2014). Optical properties of mono-
layer transition metal dichalcogenides probed by spectroscopic ellipsome-
try. Appl. Phys. Lett., 105 (20), 201905(1–4).
[141] Patil S. B., Sankeshwar N. S., and Mulimani B. G. (2017). Role of charged
impurities in thermoelectric transport in molybdenum disulfide monolay-
ers. J. Phys.: Condens. Matter, 29 (48), 485303(1–39).
[142] Jiang Z., Henriksen E. A., Tung L. C., et al. (2007). Infrared Spectroscopy
of Landau Levels of Graphene. Phys. Rev. Lett., 98 (19), 197403(1–4).
[143] Phuc H. V. and Dinh L. (2015). Surface optical phonon-assisted cyclotron
resonance in graphene on polar substrates. Mater. Chem. Phys., 163, 116–
122.
[144] Duque C. M., Morales A. L., Mora-Ramos M. E., et al. (2013). Opti-
cal nonlinearities associated to applied electric fields in parabolic two-
dimensional quantum rings. J. Lumin., 143, 81–88.
127
[145] Ozturk E. and Sokmen I. (2014). Nonlinear intersubband transitions in a
parabolic and an inverse parabolic quantum well under applied magnetic
field. J. Lumin., 145, 387–392.
[146] Gambhir M., Kumar M., Jha P., et al. (2013). Linear and nonlinear op-
tical absorption coefficients and refractive index changes associated with
intersubband transitions in a quantum disk with flat cylindrical geometry.
J. Lumin., 143, 361–367.
[147] Morimoto T., Hatsugai Y., and Aoki H. (2009). Optical Hall Conductivity
in Ordinary and Graphene Quantum Hall Systems. Phys. Rev. Lett., 103
(11), 116803(1–4).
[148] Tabert C. J. and Nicol E. J. (2013). Magneto-optical conductivity of
silicene and other buckled honeycomb lattices. Phys. Rev. B, 88 (8),
085434(1–10).
[149] Laturia A., Put M. L. Van de, and Vandenberghe W. G. (2018). Dielec-
tric properties of hexagonal boron nitride and transition metal dichalco-
genides: from monolayer to bulk. NPJ 2D Mater. Appl., 2 (1), 1–7.
[150] Cai Y., Lan J., Zhang G., et al. (2014). Lattice vibrational modes and
phonon thermal conductivity of monolayer MoS2. Phys. Rev. B, 89 (3),
035438(1–8).
[151] Li W., Carrete J., and Mingo N. (2013). Thermal conductivity and phonon
linewidths of monolayer MoS2 from first principles. Appl. Phys. Lett., 103
(25), 253103(1–4).
[152] Shakouri K., Vasilopoulos P., Vargiamidis V., et al. (2014). Integer and
half-integer quantum Hall effect in silicene: Influence of an external elec-
tric field and impurities. Phys. Rev. B, 90 (23), 235423(1–9).
[153] Greenaway M. T., Krishna Kumar R., Kumaravadivel P., et al. (2019).
Magnetophonon spectroscopy of Dirac fermion scattering by transverse
128
and longitudinal acoustic phonons in graphene. Phys. Rev. B, 100 (15),
155120(1–8).
[154] Vasilopoulos P., Charbonneau M., and Van Vliet C. M. (1987). Linear and
nonlinear electrical conduction in quasi-two-dimensional quantum wells.
Phys. Rev. B, 35 (3), 1334–1344.
129
PHỤ LỤC
Phụ lục 1. Chứng minh hệ thức giao hoán [a−, a+] = 1.
Thật vậy, ta chứng minh [a−, a+] = 1 như sau:
[a−, a+] =
α2c
22
[πx − iπy, πx + iπy] (PL.1)
=
α2c
22
{[πx, πx] + i[πx, πy]− i[πy, πx] + [πy, πy]}
=
α2c
22
2i[πx, πy]
Mặt khác, π = p+ eA nên ta có
πx = px + eAx = px + e.0 = px,
πy = py + eAy = py + e.Bx.
Suy ra
[πx, πy] = [px, py + eBx] (PL.2)
= [px, py] + eB[px, x] = −ieB
Vậy
[a−, a+] =
α2c
22
2i(−ieB) = α
2
ceB
= 1. (PL.3)
Phụ lục 2. Chứng minh công thức (1.8).
Thật vậy, thay các ma trận Pauly vào (1.2) ta có
σx =
⎛
⎝0 1
1 0
⎞
⎠ , σy =
⎛
⎝0 −i
i 0
⎞
⎠ , σz =
⎛
⎝1 0
0 −1
⎞
⎠ (PL.4)
P1
He = vF
⎧⎨
⎩τ
⎛
⎝0 1
1 0
⎞
⎠πx +
⎛
⎝0 −i
i 0
⎞
⎠πy
⎫⎬
⎭+ (Δτ,s + dΔz)
⎛
⎝1 0
0 −1
⎞
⎠+ (Oτ,s + sZs − τZv)I
=
⎛
⎝ Δzτ,s vF (τπx − iπy)
vF (τπx + iπy) −Δτ,s
⎞
⎠+ (Oτ,s + sZs − τZv)I. (PL.5)
Với vùng K (τ = +1), ta có
H+e =
⎛
⎝ Δz+1,s vF (πx − iπy)
vF (πx + iπy) −Δ+1,s
⎞
⎠+ (O+1,s + sZs − Zv)I. (PL.6)
Từ (1.7), ta có
(πx + iπy) =
√
2
αc
a+, (PL.7)
(πx − iπy) =
√
2
αc
a−. (PL.8)
Vậy ta được
H+e =
⎛
⎝Δz+1,s ωca−
ωca+ −Δ+1,s
⎞
⎠+ (O+1,s + sZs − Zv)I. (PL.9)
Tương tự, với vùng K ′ (τ = −1), ta có
H−e =
⎛
⎝ Δz−1,s vF (−πx − iπy)
vF (−πx + iπy) −Δ−1,s
⎞
⎠+ (O−1,s + sZs + Zv)I (PL.10)
=
⎛
⎝ Δz−1,s −ωca+
−ωca− −Δ−1,s
⎞
⎠+ (O−1,s + sZs − Zv)I.
Viết gộp (PL.9) và (PL.10) lại, ta được biểu thức (1.8).
Phụ lục 3. Chứng minh các hệ quả (1.17) và (1.18).
Thật vậy, ta có
a+a−φn = a+(a−φn) = a+(
√
nφn−1) (PL.11)
=
√
na+φn−1
=
√
n
√
n− 1 + 1φn−1+1
= nφn.
P2
a−a+φn = a−(a+φn) = a−(
√
n+φn+1) (PL.12)
=
√
n+ 1a−φn+1
=
√
n+ 1
√
n+ 1φn+1−1
= (n+ 1)φn.
Phụ lục 4. Tìm hàm sóng và năng lượng của điện tử trong vùng K ′.
Đối với vùng K ′, phương trình đặc trưng có dạng
det
(
HK
′
0 − IEK
′
0
)
= 0. (PL.13)
Thay biểu thức HK
′
0 ở (1.8) vào phương trình đặc trưng (PL.13), đồng thời sử dụng hệ
thức (1.18), ta thu được
(EK
′
0 )
2 − (Δz−1,s)2 − (n+ 1)(ωc)2 = 0. (PL.14)
Vậy ta có
EK
′
0 = pE
−1,z
n,s = p
√
(n+ 1)(ωc)2 + (Δz−1,s)2. (PL.15)
Sử dụng điều kiện ωc Δzτ,s và khai triển số hạng lũy thừa mũ 1/2, ta được
EK
′
0 = pE
−1,z
n,s = p{(n+ 1)(ωc)2 + (Δz−1,s)2}1/2 ≈ p(n+ 1)
(ωc)
2
2Δz−1,s
+ pΔz−1,s. (PL.16)
Thay (PL.16) vào (1.11) ta thu được biểu thức năng lượng của điện tử ở vùng K ′ là
E−1,pn,s ≈ p(n+ 1)
(ωc)
2
2Δz−1,s
+ pΔz−1,s +O−1,s + sZs + Zv. (PL.17)
Tiếp theo ta tìm biểu thức hàm sóng của điện tử. Phương trình (1.21) tương đương với
⎛
⎝Δz−1,s − EK′0 −ωca+
−ωca− −Δ−1,s − EK′0
⎞
⎠
⎛
⎝c3
c4
⎞
⎠ = 0 (PL.18)
P3
Thực hiện chuyển ma trận về dạng bậc thang và giải hệ phương trình ta thu được
c3 = − ωc
pE−1,pn,s −Δz−1,s
a+c4, (PL.19)
với c4 tùy ý. Chọn c4 = φn. Khi đó ta có
c3 =
ωc
Δz−1,s − pE−1,pn,s
a+φn =
ωc
√
n+ 1
Δz−1,s − pE−1,pn,s
φn+1. (PL.20)
Mặt khác, từ phương trình (PL.15), ta có
√
n+ 1ωc = ±
√
(pE−1,pn,s )2 − (Δz−1,s)2 = −p
√
(pE−1,pn,s )2 − (Δz−1,s)2, (PL.21)
ở đây ta chọn dấu trừ trong −p để thuận tiện trong việc chuyển đổi từ vùng K sang vùng K ′.
Vậy
c3 =
√
(pE−1,pn,s )2 − (Δz−1,s)2
Δz−1,s − pE−1,pn,s
φn+1 = −
√√√√pE−1,pn,s +Δz−1,s
pE−1,pn,s −Δz−1,s
φn+1. (PL.22)
Suy ra
ψ(x) ≡ ψ−1,pn,s (x) = D
⎛
⎜⎜⎜⎝
−
√√√√pE−1,pn,s +Δz−1,s
pE−1,pn,s −Δz−1,s
φn+1
φn
⎞
⎟⎟⎟⎠ , (PL.23)
với D là hệ số chuẩn hóa được tìm từ điều kiện chuẩn hóa.
∫ +∞
−∞
[ψ−1,pn,s (x)]
†ψ−1,pn,s (x)dx = 1, (PL.24)
với
[ψ−1,pn,s (x)]
† = D∗
⎛
⎝−
√√√√pE−1,pn,s +Δz−1,s
pE−1,pn,s −Δz−1,s
∗
φ∗n+1 φ∗n
⎞
⎠ . (PL.25)
Suy ra
[ψ−1,pn,s (x)]
†ψ−1,pn,s (x) = |D|2
{
pE−1,pn,s +Δz−1,s
pE−1,pn,s −Δz−1,s
|φn+1|2 + |φn|2
}
. (PL.26)
P4
Thay vào điều kiện chuẩn hóa ta được
|D|2
{
pE−1,pn,s +Δz−1,s
pE−1,pn,s −Δz−1,s
∫ +∞
−∞
|φn+1|2 dx+
∫ +∞
−∞
|φn|2 dx
}
= 1 (PL.27)
Do đó
D =
√√√√pE−1,pn,s −Δz−1,s
2pE−1,pn,s
. (PL.28)
Thay vào phương trình (PL.23) ta được biểu thức hàm sóng của điện tử trong vùng K ′.
ψ−1,pn,s (x) =
⎛
⎝−A−1,pn,s φn+1(x− x0)
B−1,pn,s φn(x− x0)
⎞
⎠ , (PL.29)
trong đó
A−1,pn,s =
√√√√pE−1,pn,s +Δz−1,s
2pE−1,pn,s
, B−1,pn,s =
√√√√pE−1,pn,s −Δz−1,s
2pE−1,pn,s
. (PL.30)
Ta có thể đặt m = n+1 và sau đó chuyển m → n để thu được biểu thức hàm sóng thống nhất
với trường hợp vùng K như sau
ψ−1,pn,s (x) =
⎛
⎝−A−1,pn,s φn(x− x0)
B−1,pn,s φn−1(x− x0)
⎞
⎠ . (PL.31)
Phụ lục 5. Chứng minh các phương trình (1.54) và (1.55).
Để đơn giản ta tính tích phân I2 trước. Ta có
I2 =
∫ +∞
−∞
eiqxxφ∗n′(x− x0)φn(x− x0)dx, (PL.32)
trong đó φn(x− x0) là hàm sóng dao động tử điều hòa có dạng
φn(x− x0) = 1
(
√
π2nn!αc)
1/2
e
−
(x− x0)2
2αc2 Hn
(
x− x0
αc
)
, (PL.33)
P5
với Hn(x) là đa thức Hermite bậc n.
I2 =
1
(π2n+n′n!n′!)1/2 αc
∫ +∞
−∞
eiqxx0e
−
(x− x0)2
αc2 Hn
(
x− x0
αc
)
eHn′
(
x− x0
αc
)
dx. (PL.34)
Đổi biến số bằng cách đặt
X =
x− x0
αc
⇒ x = αcX + x0 ⇒ dx = αcdX,
ta được
I2 =
1
(π2n′+nn′!n!)1/2
∫ +∞
−∞
e−X
2+iqxαcXHn (X)Hn′ (X) dx. (PL.35)
Thực hiện phép biến đổi
−X2 + iqxαcX = −
[
X2 − iqxαcX +
(
iqxαc
2
)2
−
(
iqxαc
2
)2]
= −
[
X − iqxαc
2
]2
+
(
iqxαc
2
)2
= −X12 +
(
iqxαc
2
)2
, (PL.36)
trong đó ta đã đặt: X1 = X − iqxαc
2
. Từ đó ta có
I2 =
eiqxx0e−(
qxαc
2 )
2
(π2n+n′n!n′!)1/2
∫ ∞
−∞
e−X
2
1Hn
(
X1 +
iqxαc
2
)
Hn′
(
X1 +
iqxαc
2
)
dX1. (PL.37)
Sử dụng công thức
∫ +∞
−∞
e−x
2
Hm(x+ a)Hn(x+ b)dx = 2
nm!
√
πbn−mLn−mm (−2ab), (m n),
với giả thiết n < n′, ta được
I2 =
√
2n′
2n
n!
n′!
eiqxx0e
−
(qxαc
2
)2 (
iqxαc
2
)n′−n
Ln
′−n
n
(
q2xα
2
c
2
)
. (PL.38)
P6
Đặt u =
q2xα
2
c
2
⇒ qxαc
2
=
√
u
2
, ta thu được
I2 =
√
n!
n′!
eiqxx0e−u/2(i
√
u)n
′−nLn
′−n
n (u). (PL.39)
Tính toán tương tự, ta thu được kết quả cho tích phân I1 như phương trình (1.54).
Phụ lục 6. Chứng minh phương trình (1.77).
Ta tính 〈α′′|x|α〉 như sau
〈α′′|x|α〉 =
〈⎛⎝Aτ ′′,p′′n′′,s′′φn′′−1(x− xo)
Bτ
′′,p′′
n′′,s′′φn′′(x− xo)
⎞
⎠∣∣∣x∣∣∣
⎛
⎝Aτ,pn,sφn−1(x− xo)
Bτ,pn,sφn(x− xo)
⎞
⎠〉 (PL.40)
= Aτ
′′,p′′
n′′,s′′A
τ,p
n,s
∫ +∞
−∞
xφ∗n′′−1(x− xo)φn−1(x− xo)dx
+Bτ
′′,p′′
n′′,s′′B
τ,p
n,s
∫ +∞
−∞
xφ∗n′′(x− xo)φn(x− xo)dx
≡ Aτ ′′,p′′n′′,s′′Aτ,pn,sJ1 +Bτ
′′,p′′
n′′,s′′B
τ,p
n,sJ2.
Để đơn giản ta tính J2 trước. Sử dụng biểu thức dạng hàm sóng dao động tử điều hòa ở
(PL.33), ta có
J2 =
∫ +∞
−∞
xφ∗n′′(x− x0)φn(x− x0)dx (PL.41)
=
1
(π2n′′+nn′′!n!)1/2αc
∫ +∞
−∞
xe
−
(
x− x0
αc
)2
Hn′′
(
x− x0
αc
)
Hn
(
x− x0
αc
)
dx
Đổi biến số bằng cách đặt
X =
x− x0
αc
⇒ x = αcX + x0 ⇒ dx = αcdX,
ta được
J2 =
1
(π2n′′+nn′′!n!)1/2
∫ +∞
−∞
(αcX + x0)e
−X2Hn′′ (X)Hn (X) dx (PL.42)
=
αc√
2
(√
n+ 1δn′′,n+1 +
√
nδn′′,n−1
)
+ x0δn′′,n.
P7
Trong đó, ta đã sử dụng các công thức
∫ +∞
−∞
e−x
2
HN (x)HN ′(x)dx = (2
N+N ′N !N ′!)1/2δN ′,N
√
π (PL.43)∫ +∞
−∞
xe−x
2
HN (x)HN ′(x)dx = (2
N+N ′−1N !N ′!)1/2(
√
N + 1δN ′,N+1 +
√
NδN ′,N−1)
√
π.
(PL.44)
Tính tương tự cho J1, ta thu được
J1 =
αc√
2
(√
n+ 1δn′′,n+1 +
√
nδn′′,n−1
)
+ x0δn′′,n. (PL.45)
Thay (PL.45) và (PL.42) vào (PL.40), ta được
eBα′′α = e〈α′′|x|α〉 =e
(
Aτ
′′,p′′
n′′,s′′A
τ,p
n,s +B
τ ′′,p′′
n′′,s′′B
τ,p
n,s
)
(PL.46)
×
[
x0δn′′,n +
αc√
2
(√
nδn′′,n−1 +
√
n+ 1δn′′,n+1
) ]
.
Phụ lục 7. Chứng minh phương trình (1.113).
Theo phương trình (1.97) với n = 3
ρ
(3)
α′,α(t) = ρ
(3)
α′,α(ω)e
−iωt + ρ(3)α′,α(−ω)eiωt (PL.47)
Thay vào (1.112) đồng thời sử dụng (1.96) và cân bằng hệ số của e−iωt, ta được
(−iω + iωα′,α + γα′,α)ρ(3)α′,α(ω) =
1
E(ω)
{
[ρ(2)α,α(0)− ρ(2)α′,α′(0)]dα′,α − (dα,α − dα′,α′)ρ(2)α′,α(0)
}
(PL.48)
⇔ ρ(3)α′,α(ω) =
E(ω)
Eα′,α − ω − iγα′,α
{
[ρ(2)α,α(0)− ρ(2)α′,α′(0)]dα′,α − (dα,α − dα′,α′)ρ(2)α′,α(0)
}
.
Phụ lục 8. Chứng minh phương trình (1.118).
Tính các số hạng ρ
(1)
α,α(Ω) và ρ
(1)
α,α(−Ω). Từ phương trình (1.94) với n = 1, ta có
∂ρ
(1)
α,α(t)
∂t
= −γα,αρ(1)α,α(t)−
i
[Hˆint, ρˆ
(0)(t)]α,α. (PL.49)
Sử dụng phương trình (1.95), giao hoán tử [Hˆint, ρˆ
(0)(t)]α,α được tính như sau
[Hˆint, ρˆ
(0)(t)]α,α = −[dα,α′ρ(0)α′,α(t)− ρ(0)α,α′(t)dα′,α]E(t) = 0. (PL.50)
P8
Vì thế, phương trình (PL.49) được viết lại
−iΩρ(1)α,α(Ω)e−iΩt + iΩρ(1)α,α(−Ω)eiΩt = −γα,α[ρ(1)α,α(Ω)e−iΩt + ρ(1)α,α(−Ω)eiΩt]. (PL.51)
Cân bằng các hệ số của e−iΩt, ta được
− iΩρ(1)α,α(Ω) = −γα,αρ(1)α,α(Ω) → ρ(1)α,α(Ω) = 0. (PL.52)
Hoàn toàn tương tự, cân bằng hệ số eiΩt, ta thu được
iΩρ(1)α,α(−Ω) = −γα,αρ(1)α,α(−Ω) → ρ(1)α,α(−Ω) = 0. (PL.53)
Các số hạng ρ
(1)
α′,α′(Ω) và ρ
(1)
α′,α′(−Ω)
Từ phương trình (1.94) với n = 1, ta có
∂ρ
(1)
α′,α′(t)
∂t
= −γα′,α′)ρ(1)α′,α′(t)−
i
[Hˆint, ρˆ
(0)(t)]α′,α′ . (PL.54)
Sử dụng phương trình (1.95), giao hoán tử [Hˆint, ρˆ
(0)(t)]α′,α′ được tính như sau
[Hˆint, ρˆ
(0)(t)]α′,α′ = −[dα′,αρ(0)α,α′(t)− ρ(0)α′,α(t)dα,α′ ]E(t) = 0. (PL.55)
Vì thế, phương trình (PL.54) được viết lại
−iΩρ(1)α′,α′(Ω)e−iΩt + iΩρ(1)α′,α′(−Ω)eiΩt = −γα′,α′ [ρ(1)α′,α′(Ω)e−iΩt + ρ(1)α′,α′(−Ω)eiΩt]. (PL.56)
Cân bằng các hệ số của e−iΩt, ta được
− iΩρ(1)α′,α′(Ω) = −γα′,α′ρ(1)α′,α′(Ω) → ρ(1)α′,α′(Ω) = 0. (PL.57)
Hoàn toàn tương tự, cân bằng hệ số eiΩt, ta thu được
iΩρ
(1)
α′,α′(−Ω) = −γα′,α′ρ(1)α′,α′(−Ω) → ρ(1)α′,α′(−Ω) = 0. (PL.58)
Thay các phương trình (PL.52), (PL.53), (PL.57), (PL.58), (1.104) và (1.106) vào phương trình
(1.117), ta thu được
0 = −(iΩα′,α + γα′,α)ρ(2)α′,α(0)−
i
(dα,α − dα′,α′)
[
ρ
(1)
α′,α(Ω) + ρ
(1)
α′,α(−Ω)
]
E(Ω). (PL.59)
P9
Bỏ qua số hạng không cộng hưởng ρ
(1)
α′,α(−Ω), chúng ta viết lại phương trình (PL.59) như sau
(iΩα′,α + γα′,α)ρ
(2)
α′,α(0) = −
i
(dα,α − dα′,α′)ρ(1)α′,α(Ω)E(Ω) (PL.60)
⇒ ρ(2)α′,α(0) =
(dα′,α′ − dα,α)ρ(1)α′,α(Ω)E(Ω)
Eα′,α − iγα′,α
=
dα′,α(dα′,α′ − dα,α)(ρ(0)α,α − ρ(0)α′,α′)E(Ω)2
(Eα′,α − iγα′,α)(Eα′,α − ω − iγα′,α) .
Phụ lục 9. Chứng minh phương trình (1.119).
Từ phương trình (1.94) với n = 2, ta có
∂ρ
(2)
α,α(t)
∂t
= −γα,α)ρ(2)α,α(t)−
i
[Hˆint, ρˆ
(1)(t)]α,α. (PL.61)
Sử dụng phương trình (1.95), giao hoán tử [Hˆint, ρˆ
(1)(t)]α,α được tính như sau
[Hˆint, ρˆ
(1)(t)]α,α = −[dα,α′ρ(1)α′,α(t)− ρ(1)α,α′(t)dα′,α]E(t). (PL.62)
Thế phương trình (PL.62) vào (PL.61), đồng thời thay thế các số hạng ρ
(1)
α′,α(t) và ρ
(1)
α,α′(t)
bằng các thành phần không đổi tương ứng của chúng, lưu ý đến ∂ρ
(2)
α′,α(0)/∂t = 0 và chỉ lấy
các thành phần dc của E(t), chúng ta thu được phương trình
0 =− γα,αρ(2)α,α(0) +
i
dα,α′
[
ρ
(1)
α′,α(Ω) + ρ
(1)
α′,α(−Ω)
]
E(Ω) (PL.63)
− i
[
ρ
(1)
α,α′(Ω) + ρ
(1)
α,α′(−Ω)
]
dα′,αE(Ω).
Chúng ta cần tìm biểu thức của ρ
(1)
α,α′(Ω) và ρ
(1)
α,α′(−Ω).
Từ phương trình (1.94), với n = 1, chúng ta có
∂ρ
(1)
α,α′(t)
∂t
= −(iΩα,α′ + γα,α′)ρ(1)α,α′(t)−
i
[Hˆint, ρˆ
(0)(t)]α,α′ . (PL.64)
Sử dụng phương trình (1.95), giao hoán tử [Hˆint, ρˆ
(0)(t)]α′,α được tính tương tự (1.102) và kết
quả là
[Hˆint, ρˆ
(0)(t)]α,α′ = −(ρ(0)α′,α′ − ρ(0)α,α)dα,α′E(t). (PL.65)
P10
Thế phương trình (1.89) và (PL.65) vào (PL.64) chúng ta thu được
−iΩρ(1)α,α′(Ω)e−iΩt + iΩρ(1)α,α′(−Ω)eiΩt = −(iΩα,α′ + γα,α′)[ρ(1)α,α′(Ω)e−iΩt + ρ(1)α,α′(−Ω)eiΩt]
(PL.66)
+
i
(ρ
(0)
α′,α′ − ρ(0)α,α)dα,α′ [E(Ω)e−iΩt + E(Ω)eiΩt].
Cân bằng các hệ số của e−iΩt, ta có
−iΩρ(1)α,α′(Ω) = −(iΩα,α′ + γα,α′)ρ(1)α,α′(ω) +
i
(ρ
(0)
α′,α′ − ρ(0)α,α)dα,α′E(Ω). (PL.67)
Vậy
ρ
(1)
α,α′(Ω) = (ρ
(0)
α,α − ρ(0)α′,α′)
dα,α′E(Ω)
Eα′,α + ω + iγα,α′
. (PL.68)
Cân bằng hệ số của eiΩt, ta được
iΩρ
(1)
α,α′(−Ω) = −(iΩα,α′ + γα,α′)ρ(1)α,α′(−Ω) +
i
(ρ
(0)
α′,α′ − ρ(0)α,α)dα,α′E(Ω) (PL.69)
Vậy, biểu thức cho ρ
(1)
α′,α(−Ω) là
ρ
(1)
α,α′(−Ω) = (ρ(0)α,α − ρ(0)α′,α′)
dα,α′E(Ω)
Eα′,α − Ω + iγα,α′ . (PL.70)
Từ các phương trình (PL.68) và (1.106) chúng ta nhận thấy các số hạng ρ
(1)
α,α′(Ω) và ρ
(1)
α′,α(−Ω)
là các số hạng không cộng hưởng, vì thế chúng ta có thể bỏ qua các số hạng này trong các
tính toán, và phương trình (PL.63) được viết gọn lại thành
0 = −γα,αρ(2)α,α(0) +
iE(Ω)
[
dα,α′ρ
(1)
α′,α(Ω) + ρ
(1)
α,α′(−Ω)dα′,α
]
. (PL.71)
Thay (1.104) và (PL.70) vào (PL.71), ta có
ρ(2)α,α(0) = −
2E(Ω)2(ρ
(0)
α,α − ρ(0)α′,α′)(dα′,α)∗dα′,αγα′,α
γα,α[(Eα′,α − Ω)2 + (γα′,α)2] . (PL.72)
Phụ lục 10. Chứng minh phương trình (1.120).
P11
Từ phương trình (1.94) với n = 2, ta có
∂ρ
(2)
α′,α′(t)
∂t
= −γα′,α′)ρ(2)α′,α′(t)−
i
[Hˆint, ρˆ
(1)(t)]α′,α′ . (PL.73)
Sử dụng phương trình (1.95), giao hoán tử [Hˆint, ρˆ
(1)(t)]α′,α′ được tính như sau
[Hˆint, ρˆ
(1)(t)]α′,α′ = −[dα′,αρ(1)α,α′(t)− ρ(1)α′,α(t)dα,α′ ]E(t). (PL.74)
Thế phương trình (PL.74) vào (PL.73), đồng thời thay thế các số hạng ρ
(1)
α′,α(t) và ρ
(1)
α,α′(t)
bằng các thành phần không đổi tương ứng của chúng, lưu ý đến ∂ρ
(2)
α′,α′(0)/∂t = 0 và chỉ lấy
các thành phần dc của E(t), chúng ta thu được phương trình
0 =− γα′,α′ρ(2)α′,α′(0) +
i
dα′,α
[
ρ
(1)
α,α′(Ω) + ρ
(1)
α,α′(−Ω)
]
E(Ω) (PL.75)
− i
[
ρ
(1)
α′,α(Ω) + ρ
(1)
α′,α(−Ω)
]
dα,α′E(Ω).
Bỏ qua các số hạng không cộng hưởng, ta thu được
0 = −γα′,α′ρ(2)α′,α′(0) +
iE(Ω)
[
dα,α′ρ
(1)
α′,α(Ω) + ρ
(1)
α,α′(−Ω)dα′,α
]
. (PL.76)
Thay (1.104) và (PL.70) vào (PL.76), ta có
ρ
(2)
α′,α′(0) = −
2E(Ω)2(ρ
(0)
α,α − ρ(0)α′,α′)(dα′,α)∗dα′,αγα′,α
γα′,α′ [(Eα′,α − Ω)2 + (γα′,α)2] . (PL.77)
Phụ lục 11. Chứng minh công thức (2.3) và (2.4).
Tính I3: Thực hiện đổi biến tích phân I3 sang biến u
u =
α2cq
2
2
⇒ du = α2cqdq ⇒ dq =
du
α2cq
,
ta được
I3 =
∫ ∞
0
q3|Jα′,α′′(q)|2dq = 2
α4c
∫ ∞
0
u|Jα′,α′′(u)|2du (PL.78)
Sử dụng biểu thức của thừa số dạng trong trường hợp dịch chuyển nội vùng (τ = τ ′) ở phương
P12
trình (1.58), ta có
I3 =
2
α4c
k!
(k + j)!
∫ ∞
0
uj+1e−u
[
Bτ
′,p′
n′,s′B
τ ′′,p′′
n′′,s′′L
j
k(u) +A
τ ′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
√
k + j
k
Ljk−1(u)
]2
du
(PL.79)
=
2
α4c
k!
(k + j)!
{(
Bτ
′,p′
n′,s′B
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2 ∫ ∞
0
uj+1e−u
[
Ljk(u)
]2
du
+ 2Bτ
′,p′
n′,s′B
τ ′′,p′′
n′′,s′′A
τ ′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
√
k + j
k
∫ ∞
0
uj+1e−uLjk−1(u)L
j
k(u)du
+
k + j
k
(
Aτ
′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2 ∫ ∞
0
uj+1e−u
[
Ljk−1(u)
]2
du
}
.
Sử dụng công thức tích phân phụ lục (A.3) trong tài liệu tham khảo [154]
∫ ∞
0
e−xxm+1[Lmn (x)]
2dx =
(2n+m+ 1)(n+m)!
n!
, (PL.80)
ta có ∫ ∞
0
uj+1e−u
[
Ljk(u)
]2
du =
(2k + j + 1)(k + j)!
k!
, (PL.81)
∫ ∞
0
uj+1e−u
[
Ljk−1(u)
]2
du =
[2(k − 1) + j + 1](k + j − 1)!
(k − 1)! , (PL.82)
và sử dụng công thức phụ lục (A.2) trong tài liệu tham khảo [117]
m!
(m+ j)!
√
m+ j
m
∫ ∞
0
uj+1e−uLjm−1(u)L
j
m(u)du = −
√
m(m+ j). (PL.83)
Từ đó ta có
I3 =
2
α4c
{(
Bτ
′,p′
n′,s′B
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2
(2m+ j + 1)− 2Bτ ′,p′n′,s′Bτ
′′,p′′
n′′,s′′A
τ ′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
√
k(k + j) (PL.84)
+
(
Aτ
′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2
(2m+ j − 1)
}
.
Tiếp theo ta tính I4
I4 =
α20
16
∫ ∞
0
q5|Jα′,α′′(q)|2dq = α
2
0
4α6c
∫ ∞
0
u2|Jα′,α′′(u)|2du
=
α20
4α6c
k!
(k + j)!
{(
Bτ
′,p′
n′,s′B
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2 ∫ ∞
0
uj+2e−u
[
Ljk(u)
]2
du (PL.85)
+ 2Bτ
′,p′
n′,s′B
τ ′′,p′′
n′′,s′′A
τ ′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
√
k + j
k
∫ ∞
0
uj+2e−uLjk−1(u)L
j
k(u)du
P13
+
k + j
k
(
Aτ
′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2 ∫ ∞
0
uj+2e−u
[
Ljk−1(u)
]2
du
}
.
Sử dụng công thức phụ lục (A.3) và (A.4) trong tài liệu tham khảo [117]
k!
(k + j)!
∫ ∞
0
uj+2e−u[Ljk(u)]
2du = 2 + 6k(k + 1) + j[j + 3(2k + 1)], (PL.86)
k!
(k + j)!
√
k + j
k
∫ ∞
0
uj+2e−uLjk−1(u)L
j
k(u)du = −2(j + 2k)
√
k(k + j). (PL.87)
Từ (PL.86) ta có
(k − 1)!
(k + j − 1)!
∫ ∞
0
uj+2e−u[Ljk−1(u)]
2du = 2 + 6(k − 1)(k − 1 + 1) (PL.88)
+ j{j + 3[2(k − 1) + 1]} = 2 + 6k(k − 1) + j[j + 3(2k − 1)].
Do đó
I4 =
α20
4α6c
{(
Bτ
′,p′
n′,s′B
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2
[6k2 + 6k + j2 + 3j(2k + 1) + 2] (PL.89)
− 4Bτ ′,p′n′,s′Bτ
′′,p′′
n′′,s′′A
τ ′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′(j + 2k)
√
k(k + j)
+
(
Aτ
′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2
[6k2 − 6k + j2 + 3j(2k − 1) + 2]
}
.
Phụ lục 12. Chứng minh công thức (2.12).
Thực hiện đổi biến tích phân sang biến u, ta được
∫ ∞
0
q|Jα′,α′′(q)|2dq = 1
α2c
∫ ∞
0
|Jα′,α′′(u)|2du (PL.90)
=
1
α2c
k!
(k + j)!
∫ ∞
0
uje−u
[
Bτ
′,p′
n′,s′B
τ ′′,p′′
n′′,s′′L
j
k(u) +A
τ ′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
√
k + j
k
Ljk−1(u)
]2
du
=
1
α2c
k!
(k + j)!
{(
Bτ
′,p′
n′,s′B
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2 ∫ ∞
0
uje−u
[
Ljk(u)
]2
du
+ 2Bτ
′,p′
n′,s′B
τ ′′,p′′
n′′,s′′A
τ ′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
√
k + j
k
∫ ∞
0
uje−uLjk−1(u)L
j
k(u)du
+
k + j
k
(
Aτ
′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2 ∫ ∞
0
uje−u
[
Ljk−1(u)
]2
du
}
P14
Sử dụng tính chất trực giao của đa thức Laguerre, ta thu được
∫ ∞
0
e−uuj
[
Ljk(u)
]2
du =
(k + j)!
k!
, (PL.91)∫ ∞
0
e−uujLjk(u)L
j
k−1(u)du = 0, (PL.92)∫ ∞
0
e−uuj
[
Ljk−1(u)
]2
du =
(k + j − 1)!
(k − 1)! . (PL.93)
Vậy ta có
∫ ∞
0
q|Jα′,α′′(q)|2dq = 1
α2c
{(
Bτ
′,p′
n′,s′B
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2
+
(
Aτ
′,p′
n′,s′A
τ ′′,p′′
n′′,s′′
)2 }
(PL.94)
Phụ lục 13. Chứng minh công thức (3.1).
Vì Hˆ0 là toán tử Hermite nên ta có
〈α′|[Hˆ0, rˆ]|α〉 = 〈α′|Hˆ0rˆ − rˆHˆ0|α〉 = 〈α′|Hˆ0rˆ|α〉 − 〈α′|rˆHˆ0|α〉 (PL.95)
= 〈Hˆ0α′|rˆ|α〉 − 〈α′|rˆ|Hˆ0α〉 = 〈Eα′ |rˆ|α〉 − 〈α′|rˆ|Eα〉 = (Eα′ − Eα)〈α′|rˆ|α〉.
Do đó
〈α′|rˆ|α〉 = 〈α
′|[Hˆ0, rˆ]|α〉
Eα′ − Eα . (PL.96)
Phụ lục 14. Chứng minh công thức (3.3).
[Hˆ0, xˆ] = [vF τσxπx, xˆ] = vF τσx[πx, xˆ], (PL.97)
trong đó πx = px + eAx, với A = (0, Bx, 0). Suy ra πx = px. Do đó
[Hˆ0, xˆ] = vF τσx[pˆx, xˆ] = −ivF τσx. (PL.98)
Phụ lục 15. Chứng minh phương trình (3.12).
Ta viết lại biểu thức tenxơ độ cảm phi tuyến bậc ba như sau
0χ
(3)
ij (ω) =
1
V
∑
α,α′
(
d
(i)
α′,α
)∗
d
(j)
α′,α(fα − fα′)
{
− 4(d
(j)
α′,α)
∗d(j)α′,α
(Eα′,α − ω + iγ0)(Eα′,α − ω − iγ0)2
(PL.99)
P15
+
(d
(j)
α′,α′ − d(j)α,α)2
(Eα′,α − iγ0)(Eα′,α − ω − iγ0)2
}
.
Biến đổi biểu thức này ta được
0χ
(3)
ij (ω) =
1
V
∑
α,α′
(
d
(i)
α′,α
)∗
d
(j)
α′,α(fα − fα′) (PL.100)
×
{
− 4(d
(j)
α′,α)
∗d(j)α′,α(Eα′,α − iγ0) + (d(j)α′,α′ − d(j)α,α)2(Eα′,α − ω + iγ0)
[(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2[E2α′,α + (γ0)2]
× (Eα′,α − ω + iγ0)(Eα′,α + iγ0)
}
.
Suy ra phần ảo của độ cảm quang phi tuyến bậc ba
Im[0χ
(3)
ij (ω)] =
1
V
∑
α,α′
(
d
(i)
α′,α
)∗
d
(j)
α′,α(fα − fα′)
[(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2[E2α′,α + (γ0)2]
(PL.101)
×
{[
4γ0(d
(j)
α′,α)
∗d(j)α′,α + γ0(d
(j)
α′,α′ − d(j)α,α)2
]
(E2α′,α − ωEα′,α − 2γ20)
+
[
− 4(d(j)α′,α)∗d(j)α′,αEα′,α + (d(j)α′,α′ − d(j)α,α)2(Eα′,α − ω)
]
(2Eα′,αγ0 − 2ωγ0)
}
.
Tiếp tục biến đổi lượng trong dấu {...} ta thu được
Im[0χ
(3)
ij (ω)] = −
1
V
∑
α,α′
(
d
(i)
α′,α
)∗
d
(j)
α′,α(fα − fα′)γ0
[(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2 (PL.102)
×
{
4(d
(j)
α′,α)
∗d(j)α′,α −
(d
(j)
α′,α′ − d(j)α,α)2
E2α′,α + (γ0)
2
[
3E2α′,α − 4Eα′,αω + (ω)2 − (γ0)2
]}
.
Từ đó ta thu được biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến bậc ba là
α
(3)
ij (ω, I) = ω
√
μ
R
Im
[
0χ
(3)
ij (ω)E(ω)
2
]
(PL.103)
= −ω
V
√
μ
R
I
20nrc
∑
α,α′
(
d
(i)
α′,α
)∗
d
(j)
α′,α(fα − fα′)γ0
[(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2
{
4(d
(j)
α′,α)
∗d(j)α′,α
− (d
(j)
α′,α′ − d(j)α,α)2
(Eα′,α)2 + (γ0)2
[
3(Eα′,α)
2 − 4Eα′,αω + (ω)2 − (γ0)2
]}
,
với I = 20nrcE(ω)
2 là mật độ ánh sáng tới.
P16
Phụ lục 16. Chứng minh phương trình (3.14).
Để tính độ thay đổi chiết suất phi tuyến bậc ba ta tìm phần thực của độ cảm phi tuyến
bậc 3. Từ biểu thức (PL.100) ta có
Re[0χ
(3)
ij (ω)] =
1
V
∑
α,α′
(
d
(i)
α′,α
)∗
d
(j)
α′,α(fα − fα′)
[(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2[E2α′,α + (γ0)2]
(PL.104)
×
{
− 4(d(j)α′,α)∗d(j)α′,αEα′,α(E2α′,α − ωEα′,α − 2γ20)
+ (d
(j)
α′,α′ − d(j)α,α)2(Eα′,α − ω)(E2α′,α − ωEα′,α − 2γ20)
+
[
4iγ0(d
(j)
α′,α)
∗d(j)α′,α + iγ0(d
(j)
α′,α′ − d(j)α,α)2
]
(2iEα′,αγ0 − i2ωγ0)
}
.
Biến đổi lượng trong dấu {...} ta thu được
Re[0χ
(3)
ij (ω)] = −
1
V
∑
α,α′
(
d
(i)
α′,α
)∗
d
(j)
α′,α(fα − fα′)
[(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2
{
4(d
(j)
α′,α)
∗d(j)α′,α(Eα′,α − ω) (PL.105)
− (d
(j)
α′,α′ − d(j)α,α)2
(Eα′,α)2 + (γ0)2
[
(Eα′,α − ω)(Eα′,α)2 − Eα′,αω + (γ0)2)− (γ0)2(2Eα′,α − ω)
]}
.
Từ đó ta thu được biểu thức độ thay đổi chiết suất phi tuyến bậc ba là
Δn
(3)
ij (ω, I)
nr
= Re
[
χ
(3)
ij (ω)E(ω)
2
2n2r
]
(PL.106)
= − μcI
4V 0n3r
∑
α,α′
(d
(i)
α′,α)
∗d(j)α′,α(fα − fα′)
[(Eα′,α − ω)2 + (γ0)2]2
{
4(d
(j)
α′,α)
∗d(j)α′,α(Eα′,α − ω)
− (d
(j)
α′,α′ − d(j)α,α)2
(Eα′,α)2 + (γ0)2
[
(Eα′,α − ω)((Eα′,α)2 − Eα′,αω − (γ0)2)
− (γ0)2(2Eα′,α − ω)
]}
.
P17
P18