Luận án Tính toán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương

u một số đối tượng đặc biệt trong lớp các đại số Lie toàn phương. Nghiên cứu thêm các tính chất và vai trò của đối đồng điều trong việc nghiên cứu các đại số Lie toàn phương. Xây dựng một số lớp các đại số Lie toàn phương đặc biệt mà có thể tính toán đối đồng điều bằng công thức tổng quát. Chương 3. Vài lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được và tính toán đối đồng điều Chương 3, cũng là chương cuối của luận án, được chia làm 5 mục. Mục đầu tiên giới thiệu một số công cụ và phương pháp cần thiết cho phép phân loại và tính toán đối đồng điều của siêu đại số Lie toàn phương. Hai mục tiếp theo lần lượt giới thiệu các kết quả về phân loại lớp các siêu đại số Lie giải được bất khả phân 7 (Định lý 3.1) và lớp các siêu đại số Lie giải được bất khả phân 8 chiều với phần chẵn 6 chiều (Định lý 3.2). Một phần các kết quả mới của hai mục này đã được công bố trong bài báo “Phân loại các siêu đại số Lie toàn phương giải được 8 chiều với phần chẵn bất khả phân 6 chiều” đăng trên Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM năm 2016. Mục thứ tư giới thiệu kết quả tính toán đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của lớp các siêu đại số Lie toàn phương cơ bản (Định lý 3.3). Kết quả mới này đã được công bố trong bài báo “The Second Cohomology Group of Elementary Quadratic Lie Superalgebras” đăng trên Tạp chí East-West Journal of Mathematics năm 2017. Mục cuối cùng là phần kết luận chương 3. 3.1. Một số công cụ và phương pháp cần thiết cho bài toán phân loại siêu đại số Lie toàn phương và tính toán đối đồng điều 3.1.1. Quỹ đạo phụ hợp của đại số Lie symplectic sp(2n) Cho V là không gian vectơ symplectic 2n chiều trên trường số phức, tức là không gian vectơ được trang bị một dạng song tuyến tính phản xứng không suy biến B. Ta gọi gl(V ) là đại số Lie các biến đổi tuyến tính của V , GL(V ) là nhóm các biến đổi tuyến tính khả nghịch của V . Ánh xạ D ∈ gl(V ) được gọi là phản xứng nếu B(D(X),Y ) = −B(X,D(Y )),∀X,Y ∈ V. Ta gọi Sp(V ) = {A ∈ GL(V ) : B(A(X),A(Y )) = B(X,Y ),∀X,Y ∈ V } là nhóm đẳng cự của không gian symplectic (V,B), sp(V ) = {A ∈ gl(V ) : B(A(X),Y ) = −B(X,A(Y )),∀X,Y ∈ V } là đại số Lie symplectic. Ta cũng có thể viết sp(V ) = sp(2n). Ma trận biểu diễn của mỗi phần tử trong sp(V ) đối với cơ sở chính tắc của V luôn   A B có dạng  , trong đó A,B,C là các ma trận vuông n × n và B,C đối xứng. C −At   a b Đối với đại số Lie sp(2), mỗi phần tử đều có dạng   nên là phần tử lũy linh c −a hoặc là phần tử nửa đơn (do đa thức đặc trưng có nghiệm duy nhất bằng không hoặc có hai nghiệm đối nhau). Nhắc lại rằng biểu diễn phụ hợp Ad được xác định bởi . Ký hiệu OD = Adsp(V )(D) là Sp(V )−quỹ đạo của D. Trước khi trình bày về phân loại Sp(V )−quỹ đạo của sp(V ). Tiếp theo, ta định nghĩa phân hoạch của một số nguyên dương như sau. Một phân hoạch [d] của một số nguyên dương m là một bộ [d1,d2,...,dk] các số nguyên dương sao cho d1 ≥ d2 ≥ ... ≥ dk và d1 + d2 + ... + dk = m. Ta cũng có thể ký hiệu thay cho [d1,d2,...,dk] nếu d1 = ... = di1 = ti1, di1+1 = ... = di1+i2 = ti2,......, di1+...ir−1+1 = ... = di1+...+ir = tir. Chỉ số ij được gọi là số bội của tj, gọi P(m) là tập các phân hoạch của số nguyên dương m. Cho số nguyên dương p. Khối Jordan lũy linh độ dài p xác định bởi J1 = (0) và với p ≥ 2. Khi đó Jp là biến đổi lũy linh của Cp. Cho phân hoạch [d] = [d1,d2,...,dk] ∈ P(m), phép biến đổi tuyến tính X[d] của Cm được xác định bởi ma trận diagk(Jd1,Jd2,...,Jdk) là một phần tử lũy linh của gl(m). Ngược lại, nếu D là phần tử lũy linh của gl(m) thì D là GL(m)−liên hợp với dạng chuẩn Jordan X[d] với [d] = [d1,d2,...,dk] ∈ P(m). Cho hai phân hoạch khác nhau [d] = [d1,d2,...,dk] và của số nguyên dương m. Khi đó các GL(m)-quỹ đạo của chúng rời nhau. Tức là ta có một song ánh giữa tập các GL(m)-quỹ đạo của các phần tử lũy linh trong gl(m)và tập P(m). Cho hai phân hoạch khác nhau [d] = [d1,d2,...,dk] và của số nguyên dương m. Khi đó các GL(m)−quỹ đạo của chúng rời nhau. Tức là ta có một song ánh giữa tập các GL(m)−quỹ đạo của các phần tử lũy linh trong gl(m) và tập P(m). Đối với Sp(2n)−quỹ đạo trong sp(2n), tập các Sp(2n)−quỹ đạo của các phần tử lũy linh trong sp(2n) tương ứng 1-1 với số bội của thành phần lẻ là chẵn (xem [41], Proposition 7.2), mỗi Sp(2n)−quỹ đạo nửa đơn trong sp(2n)đều có đại diện là ma trận chéo dạng diag2n (λ1,...,λn,−λ1,...,−λn). Đặc biệt, tập các Sp(2)-quỹ đạo của sp(2) gồm các Sp(2)-quỹ đạo của phần tử lũy Bổ đề 3.1.1. Cho A,B ∈ sp(2) sao cho [A,B] = 0. Khi đó A,B phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. Đại số Lie sp(2) có cơ sở {H,X,Y } với [H,X] = 2X,[H,Y ] = −2Y,[X,Y ] = H. Gọi A = aH + bX + cY,B = a0H + b0X + c0Y. Từ giả thiết [A,B] = 0 kéo theo (bc0 − b0c)H + 2(ab0 − a0b)X − 2(ac0 − a0c)Y = 0. Điều này tương đương với hai bộ ba (a,b,c) và (a0,b0,c0) tỉ lệ hay A,B phụ thuộc tuyến tính. Bổ đề 3.1.2. Cho A,B,C ∈ sp(2), nếu [A,B] = C,[A,C] = [B,C] = 0 thì C = 0. Chứng minh. Do [A,C] = [B,C] = 0 nên theo Bổ đề 3.1.1, ta có A và C phụ thuộc tuyến tính ; B và C phụ thuộc tuyến tính. Nếu C 6= 0 thì A,B phụ thuộc tuyến tính. Dẫn đến C = [A,B] = 0 (mâu thuẫn). Bổ đề 3.1.3. Cho A,B ∈ sp(2), B 6= 0 sao cho [A,B] = B. Khi đó A nửa đơn có các giá trị riêng là lũy linh. Chứng minh. Ta có thể chọn cơ sở chính tắc phù hợp để A có dạng Bổ đề 3.1.4. Cho là siêu đại số Lie toàn phương bất khả phân sao cho dimg1 = 2 và phần chẵn g0 = l⊕z, trong đó l là đại số Lie toàn phương rút gọn và z là đại số Lie toàn phương Abel có số chiều bằng m ≥ 1. Khi đó ta có thể chọn một cơ sở trực chuẩn {U1,U2,...,Um} của z thỏa mãn một trong hai tính chất sau đây: . , trong đó i là đơn vị ảo. Chứng minh. Giả sử {U1,U2,...,Um} là một cơ sở trực chuẩn của z. Nếu tồn tại Uj ∈ h sao cho thì Uj ∈ z(g). Vì vậy (CUj)0 là một ideal phân bậc không suy biến của (g,B). Điều này mâu thuẫn với tính chất bất khả phân của (g,B). Vì vậy ad( Ta xét hai trường hợp như sau: Nếu m = 1 thì ad(. Nếu m ≥ 2, chọn hai phần tử Uj, Uk thuộc cơ sở của h. Rõ ràng ad( khác không. Theo Bổ đề 3.1.1, ta có ad( phụ thuộc tuyến tính. Do đó, ta có thể giả sử ad( √ trong đó λ là một số phức khác không. Nếu λ2 6= −1, ta chọn λ2 + 1 là một căn bậc hai của số phức khác không λ2 + 1. Ta thay Uj và Uk lần lượt bởi . Khi đó ta được một cơ sở trực chuẩn mới của h thỏa mãn ad ad(. Điều này trái với tính bất khả phân của (g,B). Từ đó suy ra ad( or ad( . Nếu ad( thì ad(. Không mất tính tổng quát, ta giả sử ad( Nếu m ≥ 3, xét Uj, Uk and Ul. Do (g,B) bất khả phân nên ad( . Do đó ad( . Điều mâu thuẫn này suy ra m = 2 và ad(, trong đó i là đơn vị ảo. Bổ đề đã được chứng minh hoàn toàn. 3.1.2. Mở rộng kép và mở rộng kép tổng quát của siêu đại số Lie toàn phương Sau đây ta sử dụng kỹ thuật mở rộng kép, mở rộng T ∗ để trình bày mô tả cấu trúc của một siêu đại số Lie toàn phương giải được. Trước hết xin giới thiệu khái niệm siêu đạo hàm. Định nghĩa 3.1. Cho g là một siêu đại số Lie và D : g → g là một biến đổi tuyến tính thuần nhất bậc α của g. Ta nói D là một siêu đạo hàm của g nếu nó thỏa mãn tính chất: D[X,Y ] = [DX,Y ] + (−1)αx[X,D(Y )],∀X ∈ gx,Y ∈ g. Kí hiệu (Der(g))α là không gian tất cả các siêu đạo hàm bậc α của g. Đặt Der(g) = (Der(g))0 ⊕ (Der(g))1 . Dễ dàng chứng minh được rằng Der(g) là siêu đại số Lie con của Hom(g,g). Định nghĩa 3.2. Cho (g,B) là một siêu đại số Lie toàn phương và D : g → g là một siêu đạo hàm thuần nhất bậc α của g. Ta nói D là một siêu đạo hàm siêu phản xứng của g nếu nó thỏa mãn tính chất: B(D(X),Y ) = −(−1)αxB(X,D(Y )),∀X ∈ gx,Y ∈ g. Dễ dàng chứng minh được rằng không gian vectơ con của Der(g) sinh bởi tất cả các siêu đạo hàm thuần nhất siêu phản xứng là siêu đại số Lie con của siêu đại số Lie Der(g) và kí hiệu là Dera(g,B). Mệnh đề 3.1.1. ([12], Theorem 2.4) Cho (g,B) là một siêu đại số Lie toàn phương, h là một siêu đại số Lie và φ : h → Dera(g) là một đồng cấu siêu đại số Lie. Gọi ψ là ánh xạ đi từ g × g vào h∗ được xác định bởi: ψ(X,Y )(Z) = (−1)(x+y)zB(φ(Z)(X),Y ),∀X ∈ gx,∀Y ∈ gy,∀Z ∈ hz. Khi đó không gian vectơ g = h ⊕ g ⊕ h∗ cùng với phép nhân [H + X + f,K + Y + g] = [H,K]h + [X,Y ]g + φ(H)(Y ) − (−1)xyφ(K)(X) + ad∗(H)(g) − (−1)xyad∗(K)(f) + ψ(X,Y ), với mọi là một siêu đại số Lie. Hơn nữa, nếu γ là một dạng song tuyến tính siêu đối xứng bất biến trên h thì g cùng với dạng song tuyến tính xác định bởi: B(H + X + f,K + Y + g) = γ(H,K) + B(X,Y ) + f(K) + (−1)xyg(H) là một siêu đại số Lie toàn phương và được gọi là mở rộng kép của (g,B) bởi h theo nghĩa φ. Trường hợp h là đại số Lie một chiều, g được gọi là mở rộng kép một chiều của (g,B). Mệnh đề sau đây thể hiện tầm quan trọng của mở rộng kép một chiều trong nghiên cứu cấu trúc của các siêu đại số Lie toàn phương. Mệnh đề 3.1.2. [11] Cho (g,B) là một siêu đại số Lie toàn phương bất khả phân có số chiều n > 1 sao cho tồn tại ít nhất một phần tử thuần nhất chẵn thuộc tâm. Khi đó (g,B) là mở rộng kép một chiều của một siêu đại số Lie toàn phương n − 2 chiều. Theo mệnh đề này, mỗi siêu đại số Lie toàn phương giải được có z(g) ∩ g0 6= {0} là mở rộng kép một chiều của một siêu đại số Lie toàn phương có số chiều thấp hơn. Tuy nhiên, điều kiện z(g) ∩ g0 6= {0} không phải lúc nào cũng thỏa. Do đó, để phân loại siêu đại số Lie giải được ta cần sử dụng khái niệm mở rộng kép tổng quát. Sau đây chúng tôi xin trình bày một số kết quả về mở rộng kép tổng quát một chiều phục vụ cho bài toán phân loại. Chi tiết các chứng minh trong bài báo [12]. Mệnh đề 3.1.3. Cho (g,B) là một siêu đại số Lie toàn phương và D : g → g là một siêu đạo hàm phản xứng lẻ của g và X0 ∈ g0 sao cho . Khi đó g = g ⊕ Ce ⊕ Cf là siêu đại số Lie với tích Lie được xác định bởi [e,e] = X0,[e,X] = D(X) − (−1)xB(X,X0)f,∀X ∈ g và [X,Y ] = [X,Y ]g − B(D(X),Y )f,∀X,Y ∈ g. Siêu đại số Lie này được gọi là tích nửa trực tiếp tổng quát của g ⊕ Cf bởi siêu đại số Lie toàn phương một chiều (Ce)1 (theo nghĩa D và X0). Hơn nữa, g cùng với dạng song tuyến tính xác định bởi B(X,Y ) = B(X,Y ),∀X,Y ∈ g và B(f,e) = 1 là một siêu đại số Lie toàn phương và được gọi là mở rộng kép tổng quát của (g,B) bởi siêu đại số Lie toàn phương một chiều (Ce)1 (theo nghĩa D và X0). Nhận xét 3.1.1. Khi g có phần chẵn 1 chiều thì X0 = 0 nên g được biểu diễn thành tổng trực tiếp trưc giao của hai siêu đại số Lie toàn phương với số chiều nhỏ hơn, cụ thể là . Các kết quả sau đây mô tả quy nạp siêu đại số Lie toàn phương thông qua cấu trúc mở rộng kép và mở rộng kép tổng quát một chiều. Mệnh đề 3.1.4. Cho (g,B) là một siêu đại số Lie toàn phương bất khả phân có số chiều n > 1 sao cho tồn tại ít nhất một phần tử thuần nhất lẻ thuộc tâm. Khi đó (g,B) là mở rộng kép tổng quát của một siêu đại số Lie toàn phương n − 2 chiều. Hệ quả 3.1.1. Cho (g,B) là một siêu đại số Lie toàn phương giải được bất khả phân có số chiều n > 1. Khi đó (g,B) là mở rộng kép của một siêu đại số Lie toàn phương n−2 chiều bởi một đại số Lie một chiều hoặc mở rộng kép tổng quát của một siêu đại số Lie toàn phương n − 2 chiều bởi một siêu đại số Lie một chiều. 3.2. Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều bất khả phân Cho (g,B) là siêu đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều, do dạng song tuyến tính B hạn chế trên g1 là dạng symplectic nên phần lẻ có số chiều chẵn. Như ta đã biết siêu đại số Lie toàn phương khả phân là tổng trực tiếp trực giao của các siêu đại số Lie toàn phương có số chiều nhỏ hơn nên ta chỉ xét (g,B) bất khả phân. Định lý 3.1. Cho g là một siêu đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều bất khả phân. Nếu g có phần lẻ tầm thường, thì g đẳng cấu đẳng cự với một trong các đại số Lie toàn phương sau: g7,1 = span{X1,X2,X3,T,Z1,Z2,Z3} : [X3,X2] = X1,[X3,T] = X2,[X3,Z1] = −Z2, [X3,Z2] = −T,[X2,Z1] = [T,Z2] = Z3. g7,2 = span{X1,X2,X3,T,Z1,Z2,Z3} : [X3,X1] = X1,[X3,T] = X2,[X3,Z1] = −Z1,[X3,Z2] = −T, [X1,Z1] = [T,Z2] = Z3. g7,3 = span{X1,X2,X3,T,Z1,Z2,Z3}: [X3,X1] = X1,[X3,X2] = −X2,[X3,Z1] = −Z1,[X3,Z2] = Z2, [X1,Z1] = [Z2,X2] = Z3,[X1,X2] = T,[X1,T] = −Z2,[X2,T] = Z1. Nếu g có phần lẻ không tầm thường, thì g đẳng cấu đẳng cự với một trong các siêu đại số Lie toàn phương sau: : [X1,X2] = T,[X1,T] = −Z2,[X2,T] = Z1, [X1,T1] = λY1,[X2,T1] = µY1,[T1,T1] = λZ1 + µZ2. : [X1,X2] = T,[X1,T] = −Z2,[X2,T] = Z1,[X1,Y1] = λY1, [X1,T1] = −λT1,[X2,Y1] = µY1,[X2,T1] = −µT1,[Y1,T1] = λZ1 + µZ2. Chứng minh. Nếu dim(g1) = 6, thì g0 là mở rộng kép tổng quát một chiều của siêu không gian vectơ 5 chiều với phần chẵn một chiều. Do đó g khả phân. Nếu dim(g1) = 4, thì g0 là đại số Lie toàn phương giải được 3 chiều nên g0 Abel. Nếu g là mở rộng kép một chiều của siêu không gian vectơ toàn phương 5 chiều với phần chẵn 1 chiều thì g khả phân. Nếu là mở rộng kép tổng quát một chiều của siêu không gian vectơ 5 chiều với phần chẵn 3 chiều. h = h0 ⊕ h1 bởi (Ce)1 (theo nghĩa D và X0). Do X0 là phần tử đẳng hướng nên ta có thể bổ sung để được cơ sở chính tắc {X0,Y0,T} của h0. Khi đó ta có phân tích thành tổng trực tiếp trực giao các siêu đại số Lie toàn phương ⊥ g = CT⊕ (span{X0,Y0} ⊕ span{h1,e,f}). Do đó ta chỉ còn xét dim(g1) = 0,2. Nếu dim(g1) = 0 thì g trở thành đại số Lie toàn phương bất khả phân 7 chiều. Theo bài báo [41], g = g7 = span{X1,X2,X3,T,Z1,Z2,Z3}. Dạng song tuyến tính B được xác định là B(T,T) = 1, B (Xi,Zi) = 1,1 ≤ i ≤ 3. Có 3 họ đại số không đẳng cấu đẳng cự sau: g7,1 : [X3,X2] = X1, [X3,T] = X2, [X3,Z1] = −Z2, [X3,Z2] = −T, [X2,Z1] = [T,Z2] = Z3. g7,2 : [X3,X1] = X1, [X3,T] = X2, [X3,Z1] = −Z1, [X3,Z2] = −T và [X1,Z1] = [T,Z2] = Z3. g7,3: [X3,X1] = X1, [X3,X2] = −X2, [X3,Z1] = −Z1, [X3,Z2] = Z2, [X1,Z1] = [Z2,X2] = Z3, [X1,X2] = T, [X1,T] = −Z2 và [X2,T] = Z1. Nếu dim(g1) = 2. Ta có g0 là đại số Lie toàn phương giải được 5 chiều. Nếu g0Abel thì theo [36], ⊥ dim(g0) = 2 (vô lý) nên g0 không Abel. Nếu g0 khả phân thì g0 = g4⊕CT với g4 là đại số Lie Kim cương, khi đó theo Bổ đề 3.1.2, ad( nên g khả phân. Điều này mâu thuẫn. Do đó g0 bất khả phân, nên g0 = g5 với tích Lie được xác định bởi [X1,X2] = T,[X1,T] = −Z2,[X2,T] = Z1. Chú ý rằng ad(sp g. Theo Bổ đề 3.1.2, ta có hay z(g) ∩ g0 = z(g0) = span{Z1,Z2}, Do g bất khả phân nên ad( không đồng thời bằng không. Theo Bổ đề 3.1.1, ad( phụ thuộc tuyến tính nên ad( (xem Bổ đề 3.1.2). Theo phân loại các Sp(2)−quỹ đạo của sp(2), ta có các trường hợp sau. ad( , với λ,µ ∈ C không đồng thời bằng không. Ta có [X1,Y1] = λY1,[X1,T1] = −λT1, [X2,Y1] = µY1,[X2,T1] = −µT1, B(g0,[Y1,Y1]) = B([g0,Y1],Y1) = 0 nên [Y1,Y1] = 0. B(g0,[T1,T1]) = B([g0,T1],T1) = 0 nên [T1,T1] = 0. nên [Y1,T1] = λZ1 + µZ2. Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là g với các tích Lie khác không [X1,X2] = T,[X1,T] = −Z2,[X2,T] = Z1,[X1,Y1] = λY1, [X1,T1] = −λT1,[X2,Y1] = µY1,[X2,T1] = −µT1,[Y1,T1] = λZ1 + µZ2. λ ad(, với λ,µ ∈ C không đồng thời bằng không. Ta có [X1,T1] = λY1, [X2,T1] = µY1, B(g0,[Y1,T1]) = B([g0,Y1] ,T1) = 0 nên [Y1,T1] = 0. B(g0,[Y1,Y1]) = B([g0,Y1],Y1) = 0 nên [Y1,Y1] = 0. nên [T1,T1] = λZ1 + µZ2. Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là g với các tích Lie khác không [X1,X2] = T,[X1,T] = −Z2,[X2,T] = Z1, [X1,T1] = λY1,[X2,T1] = µY1,[T1,T1] = λZ1 + µZ2. Đến đây định lý đã được chứng minh hoàn toàn. 3.3. Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải được 8 chiều bất khả phân với phần chẵn 6 chiều Kết quả chính trong mục này là phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải được 8 chiều bất khả phân với phần chẵn 6 chiều: Định lý 3.2. Cho g là một siêu đại số Lie toàn phương giải được 8 chiều với phần chẵn 6 chiều. Nếu g bất khả phân thì g đẳng cấu đẳng cự với một trong các siêu đại số Lie toàn phương sau đây: : [X1,X2] = Z3,[X2,X3] = Z1,[X3,X1] = Z2,[X1,Y1] = λY1, , trong đó λ,µ,ν là các số phức không đồng thời bằng không. : [X1,X2] = Z3,[X2,X3] = Z1,[X3,X1] = Z2,[X3,T1] = Y1, [X1,T1] = λY1,[X2,T1] = µY1,[T1,T1] = λZ1 + µZ2 + Z3, trong đó λ,µ là các số phức. : [X3,Z1] = Z1,[X3,Z2] = λZ2,[X3,X1] = −X1,[X3,X2] = −λX2, [Z1,X1] = Z3,[Z2,X2] = λZ3,[X3,T1] = Y1,[T1,T1] = Z3, trong đó λ là số phức khác không. : [X3,Z1] = Z1,[X3,Z2] = λZ2,[X3,X1] = −X1,[X3,X2] = −λX2,[Z1,X1] = Z3, [Z2,X2] = λZ3,[X3,Y1] = µY1,[X3,T1] = −µT1,[Y1,T1] = µZ3, trong đó λ,µ là các số phức khác không. : [X3,Z1] = Z1,[X3,Z2] = λZ2,[X3,X1] = −X1,[X3,X2] = −λX2, , trong đó λ là số phức khác không. : , trong đó µ là số phức khác không. : [X3,Z1] = Z1,[X3,Z2] = Z1 + Z2,[X3,X1] = −X1 − X2,[X3,X2] = −X2, [Z1,X1] = [Z2,X1] = [Z2,X2] = Z3,[X3,T1] = Y1,[T1,T1] = Z3. : [X3,Z1] = Z1,[X3,X1] = −X1 − X2,[X3,X2] = −X2,[X3,Z2] = Z1 + Z2, [Z1,X1] = [Z2,X1] = [Z2,X2] = Z3,[X3,Y1] = λY1,[X3,T1] = −λT1,[Y1,T1] = λZ3, trong đó λ là số phức khác không. : [X3,Z1] = Z1,[X3,Z2] = Z1 + Z2,[X3,X1] = −X1 − X2,[X3,X2] = −X2, . : [X,P] = P,[X,Q] = −Q,[P,Q] = Z, [X,T1] = λY1,[U1,T1] = Y1,[U2,T1] = iY1,[T1,T1] = λZ + U1 + iU2, trong đó {U1,U2} là cơ sở của C2, λ là số phức khác không. : [X,P] = P,[X,Q] = −Q,[P,Q] = Z, , trong đó {U1,U2} là cơ sở của C2, λ,µ là các số phức khác không. : [X1,X2] = T,[X1,T] = −Z2,[X2,T] = Z1, [X1,T1] = λY1,[X2,T1] = µY1,[U,T1] = Y1,[T1,T1] = λZ1 + µZ2 + U, trong đó {U} là cơ sở của C, λ,µ là các số phức không đồng thời bằng không. : [X1,X2] = T,[X1,T] = −Z2,[X2,T] = Z1,[X1,Y1] = λY1, trong đó {U} là cơ sở của C, λ và µ là các số phức không đồng thời bằng không, ν 6= 0. Chứng minh. Do g giải được nên g0 cũng giải được. Do đó, để chứng minh định lý trên, ta lần lượt xét từng trường hợp của phần chẵn như sau. a) Với phần chẵn g0 = g6,1: Theo [79], các tích Lie khác không [X1,X2] = Z3,[X2,X3] = Z1,[X3,X1] = Z2 và Z(g0) = span{Z1,Z2,Z3}. Chú ý rằng ad( sp g. Ta có = ad( nên theo Bổ đề 3.1.2, ad(. Tương tự ad(. Suy ra z(g) ∩ g0 = z(g0) = span{Z1,Z2,Z3}. Theo Bổ đề 3.1.1, ad( đôi một phụ thuộc tuyến tính. Nếu cả ba cùng bằng 0 thì g khả phân. Do đó ad( không đồng thời bằng 0. Hơn nữa, theo phân loại Sp(g1)−quỹ đạo của sp(g1), ta có thể chọn cơ sở chính tắc {Y1,T1} để ma trận biểu diễn của ad( cùng là dạng chéo hoặc tam giác trên ngặt. Ta có 2 trường hợp sau. λ ν Với ad(, ta có: Theo tính bất biến, không suy biến và chẵn của B, ta có [Y1,Y1] = 0, [T1,T1] = 0, [Y1,T1] = λZ1 + µZ2 + νZ3. Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là g. Với ad( (sau một phép đổi cơ sở trên g1.) Ta có [X3,T1] = Y1,[X1,T1] = λY1,[X2,T1] = µY1. Lại theo tính bất biến của B, ta có [Y1,g1] = 0, [T1,T1] = λZ1 + µZ2 + Z3. Kí hiệu siêu đại số Lie này là g. b) Với phần chẵn g0 = g6,2(λ): Các tích Lie khác không [X3,Z1] = Z1,[X3,Z2] = λZ2,[X3,X1] = −X1, [X3,X2] = −λX2,[Z1,X1] = Z3,[Z2,X2] = λZ3 với λ 6= 0, g6,2(λ1). Trong trường hợp này, g6,2(λ2) đẳng cấu nếu và chỉ nếu λ1 = ±λ2 hoặc. Ta có ad( thỏa mãn Bổ đề 3.1.2 nên ad(. Do đó z(g) ∩ g0 = z(g0) = span{Z3}. Chú ý rằng ad( sp g. Đặt. Nếu ad( thì ad(. Tương tự ta cũng có ad( nên g khả phân. Vì vậy ta xét ad(. Vì ad(, đôi một phụ thuộc tuyến tính (Bổ đề 3.1.1) nên dimV = 1,2. (i) Nếu dimV = 1 Đặt ad( , ad( . Do nên ad(. Tương tự, ta cũng có ad(. Ta có B([g0,g0][g1,g1]) = B([[g0,g0],g1],g1) = 0 suy ra [g1,g1] ⊂ [g0,g0]⊥ = z(g0) = CZ3. Theo Mệnh đề 3.1.2, g là mở rộng kép một chiều của o(q0) ⊕ sp(g1) bởi ad(X3), trong đó q0 = span{Z1,Z2,X1,X2}. Áp dụng phân loại Sp(g1)−quỹ đạo của sp(g1), ta có các trường hợp sau của ad(X3).  1 0 0 0 0 0  0 λ 0 0 0 0    ad( . Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là g. 0 0 0 − 0 0     0 0 0 0 0 1     0 0 0 0 0   0 0 0 0 0   0 λ 0 0 0 0        0   0 0 0 0 0 0 0 µ 0   0    −µ   ad(. Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là 0 0 0 − 0 0 gs8,6,4(λ,µ). (ii) Nếu dimV = 2 Do ad( ad( có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử ad(. Ta có ad( phụ thuộc tuyến tính nên ad(. Mà vì vậy ad( . Do nên ad( nửa đơn có các giá trị riêng và ad( lũy linh (xem Bổ đề 3.1.3). Ta có thể chọn cơ sở chính tắc {Y1,T1} của g1 để 1 ad(. Thay, ta được ad( . Giả sử ad( . Suy luận tương tự như trên, suy ra λ = 1 hoặc ad(. Từ suy ra λ = −1 hoặc ad(. Nếu λ = −1 ta có thể thay vai trò X2,Z2 cho nhau nên có thể xem λ = 1. Do đó ta xét các trường hợp sau: Nếu ad(, ta tính được . Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là g. Nếu λ = 1 thì ad(, theo tính chất bất biến của B, ta có . Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là g. c) Với phần chẵn g0 = g6,3: Khi đó, các tích Lie khác không [X3,Z1] = Z1,[X3,Z2] = Z1 + Z2,[X3,X1] = −X1 − X2, [X3,X2] = −X2 [Z1,X1] = [Z2,X1] = [Z2,X2] = Z3. Đặt. Do đó z(g) ∩ g0 = z(g0) = span{Z3}, đồng thời các ma trận ad( đôi một phụ thuộc tuyến tính nên dimV = 1,2. Nếu dimV = 1 Lập luận tương tự như trên, ta có ad( và g là mở rộng kép một chiều của o(q0)⊕sp(g1) (với q0 = span{Z1,Z2,X1,X2}) bởi ad(X3). Áp dụng phân loại Sp(g1)−quỹ đạo của sp(g1), ta có các trường hợp sau của ad(X3).  1 1 0  0 1 0   0 0 0 0  0  0     0   0 0 0 0 0 0 0 0 0   1   0 1 1 0 0 0 0 0 0  0  0      ad( . Ta kí hiệu siêu đại số Lie . 0 0 −1 −1 0 0   ad( . Ta kí hiệu siêu đại số Lie g. 0 0 −1 −1 0 0     0 0 0 0 λ 0      0 0 0 0 0 −λ Nếu dimV = 2 Đầu tiên ta chứng minh ad(. Thật vậy, giả sử ad( và đặt ad( . Do nên ad( . Đồng thời ta cũng có ad( nửa đơn và lũy linh (xem Bổ đề 3.1.3). Do đó ta có thể chọn cơ sở chính tắc {Y1,T1} của g1 sao cho ad( . Đặt ad( . Từ hệ thức suy ra ad(. Điều này mâu thuẫn nên ad(. Vì vậy ad(. Từ đây ta có ad(, ad( không thể đồng thời bằng không. Do vai trò của ad(, ad( bình đẳng nên ta giả sử ad(. Vì nên theo Bổ đề 3.1.3, ad( nửa đơn, ad( lũy linh và ta có thể chọn cơ sở chính tắc {Y1,T1} của g1 sao cho ad( . Đặt ad(. Từ suy ra ad(. Theo tính chất bất biến của B, ta có . Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là gs8,6,9. d) Với phần chẵn là tổng trực tiếp trực giao của g4 và C2: Chú ý rằng g4 = span{X,P,Q,Z} là đại số Lie kim cương, các tích Lie và dạng song tuyến tính xác định bởi [X,P] = P,[X,Q] = −Q,[P,Q] = Z,B(X,Z) = B(P,Q) = 1. Gọi {U1,U2} là cơ sở trực chuẩn của C2, {Y1,T1} là cơ sở chính tắc của C2. Theo Bổ đề 3.1.4 ta có thể chọn {U1,U2} sao cho ad(. Theo Bổ đề 3.1.2, từ [P,Q] = Z,[P,Z] = 0,[Q,Z] = 0 suy ra ad(. Do ad(, ad(, ad( cùng phụ thuộc tuyến tính với ad( nên ad( đôi một phụ thuộc tuyến tính. Do đó ad(. Do g bất khả phân nên ad(. Ta có 2 trường hợp như sau. ad( , với λ là số phức khác không. Trong trường hợp này ta có [X,T1] = λY1,[U1,T1] = Y1,[U2,T1] = iY1, [Y1,Y1] = 0,[Y1,T1] = 0,[T1,T1] = λZ + U1 + iU2. Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là . ad(, ad( , với λ, µ là số phức khác không. Ta có [X,Y1] = λY1, [X,T1] = −λT1, [U1,Y1] = µY1, [U1,T1] = −µT1, [U2,Y1] = iµY1, [U2,T1] = −iµT1. Từ tính chất bất biến của B, ta có [Y1,Y1] = 0, [Y1,T1] = λZ + µU1 + iµU2, nên [T1,T1] = 0. Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là g. e) Với phần chẵn là tổng trực tiếp trực giao của g5 và C: Nhắc lại rằng g5 = span{X1,X2,T,Z1,Z2} có dạng song tuyến tính xác định bởi B(X1,Z1) = B(X2,Z2) = B(T,T) = 1, tích Lie được xác định bởi [X1,X2] = T, [X1,T] = −Z2 và [X2,T] = Z1. Gọi {U} là cơ sở trực chuẩn của C, {Y1,T1} là cơ sở chính tắc của g1. Chú ý rằng ad(. Theo Bổ đề 3.1.2, ta có ad( hay (g) ∩ g0 = z(g0) = span{Z1,Z2}. Theo Bổ đề 3.1.2, ad(. Do g bất khả phân nên ad( không đồng thời bằng không và ad(. Nếu ad(, theo Bổ đề 3.1.1, ta có ad( phụ thuộc tuyến tính. ad( phụ thuộc tuyến tính. Nên ad( phụ thuộc tuyến tính. Do đó theo Bổ đề 3.1.1, ad( phụ thuộc tuyến tính nên ad(. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ ad(. Và ad( phụ thuộc tuyến tính. Theo phân loại các Sp(2)−quỹ đạo của sp(2), ta có các trường hợp sau. ad(, với λ,µ ∈ C không đồng thời bằng không. Ta có [X1,T1] = λY1,[X2,T1] = µY1,[U,T1] = Y1. Theo tính bất biến của B, ta có [Y1,Y1] = 0, [Y1,T1] = 0, [T1,T1] = λZ1+µZ2+U. Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là . λ ν ad(, với λ,µ ∈ C không đồng thời bằng không, ν là số phức khác không. Ta có [X1,Y1] = λY1,[X1,T1] = −λT1, , [Y1,Y1] = 0, [Y1,T1] = λZ1 + µZ2 + νU, [T1,T1] = 0. Ta kí hiệu siêu đại số Lie này là g. Đến đây định lý đã được chứng minh xong. 3.4. Đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của siêu đại số Lie toàn phương cơ bản Trong phần này, bằng cách áp dụng các kết quả về mối quan hệ giữa toán tử đối bờ và tích Z × Z2−Poison ở trên (xem Mệnh đề 0.3.4), chúng tôi sẽ trình bày việc mô tả nhóm đối đồng điều thứ hai của các siêu đại số Lie toàn phương cơ bản đã được phân loại trong [39]. Đây là sự tiếp nối việc tính toán nhóm đối đồng điều của đại số Lie toàn phương cơ bản trong bài báo [1]. Nhắc lại rằng có chính xác 3 siêu đại số Lie toàn phương cơ bản như sau. , trong đó g0 = span{X0,Y0},g1 = span{X1,Y1}. Dạng song tuyến tính B và tích Lie được xác định bởi B (X0,Y0) = 1,B (X1,Y1) = 1, [Y1,Y1] = −2X0,[Y0,Y1] = −2X1. , trong đó g0 = span{X0,Y0},g1 = span{X1,Y1}. Dạng song tuyến tính B và tích Lie được xác định bởi B (X0,Y0) = 1,B (X1,Y1) = 1, [X1,Y1] = X0,[Y0,X1] = X1,[Y0,Y1] = −Y1. , trong đó g0 = span{X0,Y0},g1 = span{X1,Y1,Z1,T1}. Dạng song tuyến tính B và tích Lie được xác định bởi B (X0,Y0) = 1,B (X1,Z1) = 1,B (Y1,T1) = 1, [Z1,T1] = −X0,[Y0,Z1] = −Y1,[Y0,T1] = −X1. Tiếp theo là kết quả về nhóm đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của các siêu đại số Lie toàn phương cơ bản trên. Định lý 3.3. Với các ký hiệu như trên, nhóm đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của các siêu đại số Lie toàn phương cơ bản được xác định như sau. , với là cơ sở đối ngẫu của {X0,Y0,X1,Y1}. với là cơ sở đối ngẫu của {X0,Y0,X1,Y1}. với là cơ sở đối ngẫu của {X0,Y0,X1,Y1,Z1,T1}. Chứng minh. (i) Xét siêu đại số Lie toàn phương g Ta có g, các tích Lie khác không [Y1,Y1] = −2X0,[Y0,Y1] = −2X1 và B (X0,Y0) = 1,B (X1,Y1) = 1. Từ định nghĩa của dạng song tuyến tính B, ta có 3-dạng liên kết với g là . Tính toán trực tiếp ta được . Suy ra . Vì vậy . Tính toán toán tử {I,.} trên, ta được , Để ý 3-đối véctơ bên vế phải của các đẳng thức trên, ta có . Suy ra và dimKerδ2 = 4. Vậy . (ii) Xét siêu đại số Lie toàn phương g Ta có g, các tích Lie khác không [X1,Y1] = X0,[Y0,X1] = X1,[Y0,Y1] = −Y1,B (X0,Y0) = 1 và B (X1,Y1) = 1. Ta có B ([X1,Y1],Y0) = 1, do đó 3-dạng liên kết với g là . Tính toán trực tiếp ta được . Suy ra . Vì vậy . Tiếp tục tính toán toán tử {I,.}, ta được , Ta thấy các 3-đối véctơ khác không bên vế phải các đẳng thức trên độc lập tuyến tính, suy ra , vì vậy . (iii) Xét siêu đại số Lie toàn phương gs6 Ta có g, các tích Lie khác không [Z1,T1] = −X0,[Y0,Z1] = −Y1,[Y0,T1] = −X1 và B (X0,Y0) = 1,B (X1,Z1) = 1,B (Y1,T1) = 1. Ta có 3-dạng liên kết với gs6 là . Tính toán trực tiếp ta được , Suy ra . Vì vậy . Tiếp tục tính toán toán tử {I,.}, ta được , Ta xét các 3-đối véctơ bên vế phải các hệ thức trên, suy ra . Do đó . Vì vậy và . 3.5. Kết luận Chương 3 Tóm lại, Chương 3 của luận án đã giải quyết được các vấn đề cơ bản dưới đây. Về bài toán phân loại các siêu đại số Lie toàn phương: Đã phân loại triệt để được lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được bất khả phân 7 chiều và lớp các siêu đại số Lie giải được bất khả phân 8 chiều với phần chẵn 6 chiều. Về tính toán đối đồng điều: Đã tính toán tường minh được đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của lớp các siêu đại số Lie toàn phương cơ bản. Như vậy, ta cần tiếp tục nghiên cứu một số vấn đề mở dưới đây. Tiếp tục nghiên cứu bài toán phân loại lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được theo số chiều cao hơn. Nghiên cứu một số đối tượng đặc biệt trong lớp các đại số Lie toàn phương. Nghiên cứu thêm các tính chất và vai trò của đối đồng điều trong việc nghiên cứu các siêu đại số Lie toàn phương. Xây dựng một số lớp các siêu đại số Lie toàn phương có thể tính toán đối đồng điều bằng công thức tổng quát. KẾT LUẬN Nhìn lại một cách tổng thể, chúng ta thấy rõ rằng đối tượng nghiên cứu của đề tài là các đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie toàn phương và tính toán đối đồng điều của chúng. Các đối tượng này khá rộng lớn và thuộc lĩnh vực giao thoa giữa Hình học-Tôpô và Đại số. Luận án chỉ thu hẹp phạm vi nghiên cứu bao gồm các vấn đề cụ thể dưới đây. Vấn đề thứ nhất: Nghiên cứu và phân loại lớp các các đại số Lie thực giải được chiều hữu hạn tùy ý với ideal dẫn xuất thứ nhất thấp chiều hoặc đối chiều thấp, đồng thời mô tả, tính toán đối đồng điều của một lớp con các đại số Lie đã được phân loại. Vấn đề thứ hai: Giới thiệu một vài lớp các đại số Lie toàn phương đặc biệt, đồng thời mô tả đối đồng điều của chúng. Vấn đề thứ ba: Nghiên cứu và phân loại một vài lớp siêu đại số Lie toàn phương giải được số chiều thấp, đồng thời tính toán cụ thể đối đồng điều của một vài lớp đặc biệt các siêu đại số Lie toàn phương. Để thực hiện đề tài, chúng tôi đã sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp từ những công trình có tính nền tảng kinh điển và các công trình gần đây về những vấn đề liên quan; học tập các kỹ thuật của các tác giả với những cải tiến thích hợp. Cụ thể, ngoài một số phương pháp cơ bản, kinh điển của Đại số tuyến tính và Hình học vi phân, chúng tôi đã sử dụng và phát triển, cải tiến một cách thích hợp các kỹ thuật và phương pháp dưới đây. Phương pháp mở rộng đại số Lie bởi một đạo hàm. Phương pháp này được chúng tôi cải tiến cho mở rộng đại số Lie bởi cặp đạo hàm cho phù hợp với bài toán phân loại đại số Lie với đại số dẫn xuất đối chiều 2. Phương pháp tính toán đối đồng điều của đại số Lie giải được bằng toán tử vi phân kết hợp công cụ đại số ngoài. Phương pháp mở rộng kép và mở rộng T ∗ đối với bài toán phân loại đại số Lie toàn phương. Đồng thời, hai công cụ này được khái quát hóa lên cho siêu đại số Lie toàn phương cũng như khái niệm mở rộng kép được khái quát lên thành mở rộng kép tổng quát. Phương pháp mô tả đối đồng điều bằng cách tính trực tiếp toán tử đối bờ và phương pháp mở rộng đại số của Pouseele. Đối với đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương, việc tính toán đối đồng điều còn được tính toán thông qua mô tả không gian các đạo hàm phản xứng (cho trường hợp đối đồng điều thứ hai) và tích super-Poisson được giới thiệu bởi Pinzon và Ushirobira. Áp dụng, cải tiến và phát triển các phương pháp đã lựa chọn, Luận án về cơ bản đạt được các mục tiêu đã đề ra thể hiện qua những kết quả chính dưới đây. Phân loại triệt để lớp các đại số Lie thực giải được với ideal dẫn xuất đối chiều 1. Chứng tỏ rằng bài toán phân loại lớp các đại số Lie thực giải được với ideal dẫn xuất đối chiều 2 là wild và phân loại một lớp con đặc biệt của lớp này khi tính wild bị phá vỡ. Mô tả tất cả các đối đồng điều với hệ số trên trường cơ sở của các đại số Lie giải được có ideal dẫn xuất 1 chiều và đại số Lie Kim cương tổng quát. Tính toán tường minh toàn bộ các số Betti của tất cả các đại số Lie toàn phương giải được có số chiều bé hơn hoặc bằng 7 đã được phân loại trong [41]. Mô tả tường minh không gian các đạo hàm phản xứng Dera(g,B) với (g,B) là một đại số Lie toàn phương giải được có số chiều không vượt quá 7. Từ đó suy ra được nhóm đối đồng điều thứ hai của chúng. Tính toán đối đồng điều thứ hai của các đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan. Chú ý đến sự kiện mỗi đại số Lie toàn phương kỳ dị lũy linh đều đẳng cấu đẳng cự với tích trộn các đại số Lie lũy linh kiểu Jordan (xem [38]), kết quả này cũng hướng tới cho phép giải quyết triệt để bài toán tính đối đồng điều của mọi đại số Lie toàn phương kỳ dị lũy linh. Phân loại được lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được bất khả phân 7 chiều và lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được bất khả phân 8 chiều với phần chẵn 6 chiều. Mô tả nhóm đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của các siêu đại số Lie toàn phương cơ bản đã được phân loại trong [39]. Điều này cho phép liệt kê toàn bộ các mở rộng kép và do đó giúp cung cấp nhiều thông tin cho bài toán phân loại siêu đại số Lie toàn phương. Từ các kết quả đạt được của Luận án, chúng tôi đề xuất một số vấn đề gợi mở có thể thực hiện tiếp theo sau đề tài này như dưới đây. Tiếp tục nghiên cứu bài toán phân loại đại số Lie giải được với đại số dẫn xuất có số chiều cho trước, đồng thời tính toán đối đồng điều của chúng. Nghiên cứu thêm các tính chất và vai trò của đối đồng điều trong nghiên cứu các đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie toàn phương. Xây dựng thêm một số lớp các đại số Lie, đại số Lie toàn phương hoặc siêu đại số Lie toàn phương có thể tính toán đối đồng điều bằng công thức tổng quát. Nghiên cứu một số đối tượng đặc biệt trong lớp các đại số Lie, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie toàn phương và vai trò của nhóm đối đồng điều trên những đối tượng đó. Tiếp tục nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie toàn phương giải được, siêu đại số Lie toàn phương giải được theo số chiều cao hơn. đồng thời nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie giải được, đại số Lie toàn phương, siêu đại số Lie toàn phương dựa theo một số đặc trưng nào đó khác như kỳ dị, lũy linh, ... Chúng tôi hy vọng sẽ tiếp tục đầu tư nghiên cứu và hy vọng sẽ sớm đạt được những kết quả khả quan trong tương lai không xa. DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ Cao Trần Tứ Hải và Dương Minh Thành (2015), “Số Betti và không gian các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương giải được số chiều ≤ 7”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số 5(70), tr. 86-96 . Cao Trần Tứ Hải và Dương Minh Thành (2016), “Phân loại các siêu đại số Lie toàn phương giải được 8 chiều với phần chẵn bất khả phân 6 chiều”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số 12 (90), tr. 162-174. Cao Trần Tứ Hải và Dương Minh Thành (2019), “Số Betti thứ hai của các đại số Lie lũy linh kiểu Jordan”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM số 16 (16), tr. 877-890. Le Anh Vu, Ha Van Hieu, Nguyen Anh Tuan, Cao Tran Tu Hai, Nguyen Thi Mong Tuyen (2016), “Classification of real solvable Lie algebras whose simply connected Lie groups have only zero or maximal dimensional coadjoint orbits”, Revista de la UMA, Vol. 57, no. 2, 119-143. Cao Tran Tu Hai, Duong Minh Thanh and Le Anh Vu (2017), “The Second Cohomology Group of Elementary Quadratic Lie Superalgebras”, East-West Journal of Mathematics, Vol. 19 , no. 1, 32-42. Cao Tran Tu Hai, Duong Minh Thanh and Le Anh Vu (2018), “Cohomology of some families of Lie algebras and quadratic Lie algebras”, East-West Journal of Mathematics, Vol. 20, no. 2, 188-201. Le Anh Vu, Cao Tran Tu Hai, Duong Quang Hoa, Nguyen Anh Tuan, Vo Ngoc Thieu (2022), “On the problem of classifying solvable Lie algebras having small codimensional derived algebras”, Communications in Algebras, Vol. 50, no. 9, 3775–3793. TÀI LIỆU THAM KHẢO Dương Minh Thành (2013), “Nhóm đối đồng điều H2(g,C) của các đại số Lie toàn phương cơ bản”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số 47 (81), tr. 25 – 36. Cao Trần Tứ Hải, Dương Minh Thành (2015), “Số Betti và không gian các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương giải được số chiều ≤ 7”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số 5 (70), tr. 86-96. Cao Trần Tứ Hải và Dương Minh Thành (2016), “Phân loại các siêu đại số Lie toàn phương giải được 8 chiều với phần chẵn bất khả phân 6 chiều”, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM, số 12 (90), tr. 162-174. Cao Trần Tứ Hải và Dương Minh Thành (2019), “Số Betti thứ hai của các đại số Lie lũy linh kiểu Jordan” Tạp chí Khoa học Tự nhiên, Trường ĐHSP TP.HCM số 16 (16), tr. 877-890. “ Cao Trần Tứ Hải, Lê Anh Vũ và Dương Minh Thành (2016), “Nhóm đối đồng điều thứ nhất và thứ hai của siêu đại số Lie toàn phương cơ bản”, Kỷ yếu số 1 Hội thảo Khoa học cho Học viên cao học và Nghiên cứu sinh, Trường ĐHSP TP.HCM. H. Albuquerque, E. Bareiro and S. Benayadi (2010), “Odd-quadratic Lie superalgebras”, J. of Geo. and Phys. 60 (2), 230-250. G. F. Armstrong, G. Cairns and B. Jessup (1997), “Explicit Betti numbers for a family of nilpotent Lie algebras”, Proc. Amer. Math. Soc. 125, 381-385. D.V.Alekseevsky, J.Grabowski, G.Marmo, P.W.Michor (1998), “Poisson structures on double Lie groups”, J.Geom.Phys. 26, 340-379. W. Bai, W. Liu (2017), “Cohomology of Heisenberg Lie Superalgebras”, J. of Math. Physics 58 021701. I. Bajo, S. Benayadi (2007), “Lie algebras with quadratic dimension equal to 2”, J. Pure Appl. Algebra 209 (3), 725–737. I. Bajo, S. Benayadi (1997), “Lie algebras admitting a unique quadratic structure,” Commun, Algebra 25(9), 2795–2805. I. Bajo, S. Benayadi, and M. Bordemann (2007), “Generalized double extension and descriptions of quadratic Lie superalgebras”, arXiv:0712.0228v1. I. Bajo, S. Benayadi and A. Medina (2007), “Symplectic structure on quadratic Lie algebra”, J. of Algebra 316 (1), 174-188. H. Baum and I. Kath (2003), “Doubly extended Lie groups – curvature, holonomy and parallel spinors”, Differential Geom. Appl. 19, no. 3, 253 – 280. G. R. Belitskii, A. R. Dmytryshyn, R. Lipyanski, V. V. Sergeichuk, A. Tsurkov(2009), “Problems of classifying associative or Lie algebras over a field of characteristic not two and finite metabelian groups are wild”, Electron. J. Linear Algebra 18 516–529. G. R. Belitskii, R. Lipyanski, V. V. Sergeichuk (2005), “Problems of classifying associative or Lie algebras and triples of symmetric or skew-symmetric matrices are wild”, Linear Algebra Appl. 407 249–262. G. R. Belitskii, V. V. Sergeichuk (2003), “Complexity of matrix problems”, Linear Algebra Appl. 361 203–222. H. Benamor and S. Benayadi (1999), “Double extension of quadratic Lie superalgebras”, Comm. in Algebra 27(1), 67 – 88. S. Benayadi and A. Elduque, “Classification of quadratic Lie algebras of low dimension”, arXiv:1404.5174v1 [math.RA]. S. Benayadi and A. Elduque (2014), “Classification of quadratic Lie algebras of low dimension”, J. of Math. Physics, Vol. 55, Issue 8. H. Benamor, G. Pinczon (1989), “The graded Lie algebra structure of Lie superalgebra deformation theory”, Lett. Math. Phys. 18 (4), 307–313. S. Benayadi (2003), “Socle and some invariants of quadratic Lie superalgebras”, J. Algebra 261 (2), 245–291. L. Boza , E. M. Fedrian , J. Nunez, A. F. Tenorio (2013), “A historical review of the classifications of Lie algebras”, Rev. Un. Mat. Argentina, 54 (2), 75–99. V. M. Bondarenko, A. P. Petravchuk (2019), “Wildness of the problem of classifying nilpotent Lie algebras of vector fields in four variables”, Linear Algebra Appl. 568 165–172. M. Bordemann (1997), “Nondegenerate invariant bilinear forms on nonassociative algebras”, Acta Math. Univ. Comenianac LXVI, no. 2, 151 – 201. T. T. H. Cao, M. T. Duong and A. V. Le (2017), “The Second Cohomology Group of Elementary Quadratic Lie Superalgebras”, East-West Journal of Mathematics, Vol. 19, no. 1, 32-42. T. T. H. Cao, M. T. Duong and A. V. Le (2018), “Cohomology of some families of Lie algebras and quadratic Lie algebras”, East-West Journal of Mathematics, Vol. 20, no. 2, 188-201. D. H. Collingwood and W. M. McGovern (2017), Nilpotent Orbits in Semisimple Lie algebras, Van Nostrand Reihnhold Mathematics Series, New York. R. Campoamor-Stursberg (2008), “Quasi-classical Lie algebras and their contractions”, Int. J. Theor. Phys. 47, no. 2, 583 – 598. N. D. Do, Methods of Noncommutative Geometry for Groups C∗-algebras, Chapman & Hall/Research Notes in Math. Series, Vol. 416, Boca-Raton Florida, New York-Cambridge-London. P. Donovan, M. R. Freislich (1972), “Some evidence for an extension of the Brauer–Thrall conjecture”, Sonderforschungsbereich Theor. Math. 40 24–26. P. Donovan, M. R. Freislich (1973), The representation theory of finite graphs and associated algebras, Carleton Lecture Notes 5, Ottawa. V.G.Drinf’d (1983), “Hamiltonian structures on Lie groups, Lie bialgebras and the geometric meaning of the classical Yang-Baxter equations”, Soviet. Math. Dokl. 27 (1), 68-71. V.G.Drinf’d (1986), Quantum groups, in: Proc ICM, vol 1, Berkeley, 789-820. M. T. Duong (2013), “Two-step nilpotent quadratic Lie algebras and 8-dimensional non-commutative symmetric Novikov algebras”, Vietnam Journal of Mathematics, Vol. 41 (2), 135-148. M. T. Duong (2014), “A classification of solvable quadratic and odd quadratic Lie superalgebras in low dimensions”, Revista de la Unión Matemática Argentina, 55, No. 1, 119–138. M. T. Duong (2014), “The Betti number for a family of solvable Lie algebras”, Bulletin of the Malaysian Mathematical Sciences Society, 40, Issue 2, 735–746. M. T. Duong, G. Pinczon, and R. Ushirobira (2012), “A new invariant of quadratic Lie algebras”, Alg. and Rep. Theory 15 (6), 1163-1203. M. T. Duong and R.Ushirobira (2014), “Singular quadratic Lie superalgebras”, J. of Algebra 407, 372–412. M. T. Duong and R.Ushirobira (2014), “Jordanian double extensions of a quadratic vector space and symmetric Novikov algebras”, arXiv:1012.5556 [math-ph]. M. T. Duong and R.Ushirobira (2014), “Solvable quadratic Lie algebras of dimension ≤ 8”, arXiv:1407.6775v1. P. Eberlein (2003), “The moduli space of 2-step nilpotent Lie algebras of type (p,q)”, in: J. Bland, K-T. Kim, S. G. Krantz (Eds.), Contemporary Mathematics 332 (Explorations in Complex and Riemannian Geometry), AMS, Providence, Rhode Island, pp. 37–72. Fisher, D. J., Gray, R. J., Hydon, P. E. (2013). “Automorphisms of real Lie algebras of dimension five or less”, J. Phys. A: Math. Theor. 46(22):225204 (18pp). G. Favre and L. J. Santharoubane (1987), “Symmetric, invariant, non-degenerate bilinear form on a Lie algebra”, J. Algebra 105, 451–464. J. M. Figueroa-O’Farrill and S. Stanciu (1996), “On the structure of symmetric self-dual Lie algebras”, J. Math. Phys. 37, 4121–4134. D.B.Fuchs, D.A.Leites (1984), “Cohomology of Lie superalgebras”, Dokl.Bolg. Akad. Nauk 37 (10), 1294-1296. V. Futorny, T. Klymchuk, A. P. Petravchuk, V. V. Sergeichuk, “Wildness of the problems of classifying two-dimensional spaces of commuting linear operators and certain Lie algebras”, Linear Algebra Appl. 536 (2018) 201–209. F. R. Gantmacher (1939), “On the classification of real simple Lie groups”, Sb. Math., 5 (2), 217–250. M. Gerstenhaber (1961), “Dominance over the classical groups”, Ann. of Math. 74 (3) 532–569. M. P. Gong (1998),Classification of Nilpotent Lie algebras of Dimension 7 (Over Algebraically Closed Fields and R), PhD. Thesis, University of Waterloo, Ontario, Canada. W.A. de Graaf (2005), “Classification of solvable Lie algebras”, Experimental Mathematics, 14:1, 15–25. J. Humphreys (1995), “Conjugacy Classes in Semisimple Algebraic Groups”, Math. Surveys Monogr., vol. 43, American Mathematical Society. Jacobson N., “A note on automorphisms and derivations of Lie algebras”, Proc. Amer. Math. Soc., 6 (1955), 281–283 N. Jacobson (1962), Lie Algebras, Dover, New York. N. Jacobson (1944), “Schur’s Theorem on commutative matrices”,Bull. Amer. Math. Soc. 50 (6) 431–436. T. Janisse (2010), “Classification of finite dimensional Lie algebras with derived algebras having dimension 1 or 2”, Technical Reports 10-04, University of Windsor, Windsor, Ontario. V. Kac (1977), A sketch of Lie superalgebra theory, Commun. Math. Physics, 53 31—64. V. Kac (1985), Infinite-dimensional Lie algebras, Cambrigde University Press, New York. A. A. Kirillov (1976), Elements of the Theory of Representations, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg. I. Kath and M. Olbrich (2004), “Metric Lie algebras with maximal isotropic centre”, Math. Z. 246, 23–53. I. Kath and M. Olbrich (2006), “Metric Lie algebras and quadratic extensions, Transform, Groups” 11 , no. 1, 87 – 131. I. Kath (2007), “Nilpotent metric Lie algebras of small dimension”, J. Lie Theory 17, no. 1, 41 – 61. A. V. Le (1992), “On the foliations formed by the generic K-orbits of the MD4groups”, Acta Math. Vietnam., 15 (2), 39–55. A. V. Le, V. H. Ha, A. T. Nguyen, T. T. H. Cao, T. M. T.Nguyen (2016), “Classification of real solvable Lie algebras whose simply connected Lie groups have only zero or maximal dimensional coadjoint orbits”, Rev. Un. Mat. Argentina 57 (2) 119–143. A. V. Le, T. T. H. Cao, Q. H. Duong, A. T. Nguyen, N. T. Vo (2022), “ On the problem of classifying solvable Lie algebras having small codimensional derived algebras”, Communications in Algebras, Vol. 50, no. 9, 3775–3793. A. V. Le, A. T. Nguyen, T. C. T. Nguyen, T. M. T. Nguyen, N. T. Vo (2020), “Applying matrix theory to classify real solvable Lie algebras having 2-dimensional derived ideals“, Linear Algebra Appl. 588 282–303. Malcev A. I. (1945), “On solvable Lie algebras”, Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., 9 (5), 329–356. L. Magnin (2010), “Determination of 7-dimensional indecomposable Lie algebras by adjoining a derivationto 6-dimensional Lie algebras”, Algebr. Represent. Theory 13, 723–753. I.A. Musson, G. Pinczon, R. Ushirobira (2009), “Hochschild cohomology and deformations of Clifford–Weyl algebras”, SIGMA 5, 27. A. Medina (1991), Structures de Poisson affines, in: P.Donato (Ed.), Symplectic Geometry and Mathematical Physics, in: Progress in Mathematics, Birkhaser. G. M. Mubarakzyanov (1963), “On solvable Lie algebras”, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 1 114–123. G. M. Mubarakzyanov, “Classification of real structures of Lie algebras of fifth order”, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 3 (1963) 99–106. Mubarakzyanov, G. M. (1963), “Classification of solvable Lie algebras of sixth order with a non-nilpotent basis element”, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. 4:104– 116. A. Nijenhuis, R.W. Richardson (1966), “Cohomology and deformations in graded Lie algebras”, Bull. Amer. Math. Soc. 72, 1–29. Nguyen, A. T., Le, A. V., Vo, N. T. (2021), “Testing isomorphism of complex and real Lie algebras”, 14pp. https://arxiv.org/abs/2102.10770arXiv:2102.10770. Ndogmo, J. C., Winternitz, P. (1994). “Solvable Lie algebras with Abelian nilradicals”, J. Phys. A. Math. Gen. 27:405–423. A. Ooms (2009), “Computing invariants and semi-invariants by means of Frobenius Lie algebras”, J.Algebra 4, 1293–1312. M. Postnikov,Lectures in Geometry. Semester V: Lie Groups and Lie Algebras, Mir Publishers, Moskow , First published 1986, Revised from the 1982 Russian edition. T. D. Pham, M. T. Duong, A. V. Le (2012), “Solvable quadratic Lie algebras in low dimensions”, East-West J. of Math. 14 (2) 208-218 G. Pinczon and R. Ushirobira (2012), “New applications of graded Lie algebras to Lie algebras, generalized Lie algebras and Cohomology”, J. Lie Theory 17 (3), 633 – 668 (2007). H. Pouseele (2005), “On the cohomology of extensions by a Heisenberg Lie algebra”, Bull. Austral.Math. Soc. 71, 459-470. H. Samelson (1980), Notes on Lie Algebras, Universitext.Springer. L. J. Santharoubane (1983), “Cohomology of Heisenberg Lie algebras”, Proc. Amer. Math. Soc. 87, 23-28. C. “Scho¨bel, A classification of real finite-dimensional Lie algebras with a lowdimensional derived algebra”, Rep. Math. Phys. 33 (1-2) (1993) 175–186. M. Scheunert (1979), The Theory of Lie Superalgebras, Lecture Notes in Math, vol. 716, Springer-Verlag, Berlin. Shabanskaya, A., Thompson, G. (2013). “Solvable extensions of a special class of nilpotent Lie algebras”, Arch Math (Brno). 49(3):141–159. L. Snobl, P. Winternitz (2014), “Classification and Identification of Lie Algebras”,˘ CRM Monograph Series, Vol. 33, AMS, Providence, Rhode Island, . M.Scheunert, R.B.Zhang (1998), “Cohomology of Lie superalgebras and their generalizations”, J.Math. Phy. 39 (9), 5024-5061. J. Schur (1905), Zur Theorie vertauschbaren Matrizen, J. Reine Angew. Math. 130 66–76. V. V. Sergeichuk (2000), “Canonical matrices for linear matrix problems”, Linear Algebra Appl. 317 53–102. Shabanskaya A. (2016). “Solvable indecomposable extensions of two nilpotent Lie algebras”, Comm Algebra. 44(3):3626–3667. M. Solleveld, Lie algebra cohomology and Macdonald’s conjectures, Master’s Thesis, University of Amsterdam, September 2002. Y.C.Su, R.B.Zhang (2007), “Cohomology of Lie superalgebras slm|n and osp2|2n”, Proc. London Math. Soc. 94 (3), 91-136. Turkowski, P. (1990), “Solvable Lie algebras of dimension six”, J. Math. Phys. 31:1344–1350. Turkowski, P. (1992), “Structure of real Lie algebras”, Linear Algebra Appl. 171:197–212. F. Zhu, Z. Chen, Tianjin (2010), “Novikov superalgebras with A0=A1A1”, Czechoslovak Mathematical Journal, 60 (135), 903-907. N. Bourbaki (1958), Eléments de Mathématiques, Algèbre, Algèbre Multilinéaire, vol. Fasc. VII, Livre II. Hermann, Paris. N. Bourbaki (1959), de Mathématiques. Algèbre, Formes sesquilinéaires et formes quadratiques, vol. Fasc. XXIV, Livre II. Hermann, Paris. N. Bourbaki (1959), Éléments de Mathématiques, Algèbre, Formes sesquilinéaires, Vol. Fasc. XXIV, Livre II, Hermann, Paris. N. Bourbaki (1971), Eléments de Mathématiques. Groupes et Algèbres de Lie, Chapitre I, Algèbres de Lie. Hermann, Paris. E. J. Cartan (1894), Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Ph.D. Thesis, Nony, Paris. J . Dixmier, “Sur les representations unitaires des groupes de Lie nilpotents III”, Canad. J . Math., 10 (1958), 321-348. E. E. Levi (1905), “Sulla struttura dei gruppi finiti e continui”, Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 40, 551–565. P.A. Gié (2004), Nouvelles structures de Nambu et super-théorème d’Amitsur–Levizki, Thèse de l’Université de Bourgogne, tel-00008876. G. M. Mubarakzyanov (1963), “Classification of real structures of Lie algebras of fifth order”, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 3, 99–106. A. Medina and P. Revoy (1984), Caractérisation des groupes de Lie ayant une pseudo-métrique bi-invariante, in : Géométrie symplectique et de contact, in : Collection Travaux en Cours, Hermann, Paris. A. Medina and P. Revoy (1985), “Algèbres de Lie et produit scalaire invariant”, Ann. Sci. École Norm. Sup. 4, 533 – 561. A. Medina (1985), “Groupes de Lie munis de métriques bi-invariantes“, Tôhoku Math. J. 37, 405–421. Ndogmo, J. C. (1994). Sur les fonctions invariantes sous l’action coadjointe d’une algèbre de Lie résoluble avec nilradical abélien, PhD dissertation, Universit ’e of Montréal, Montréal, Quebéc, CA. https://umontreal.on.worldcat.org/v2/ oclc/53598383. M.S. Vuong, H. V. Ho (1984), “Sur la structure des C∗-algebres d’une classe de groupes de Lie”, J. Operator Theory, 11 (1), 77–90. H. Zassenhaus (1939), “Uber Lie’sche Ringe mit Primzahlcharacteristik ” , Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 13, 1-100.