Luận án Ứng dụng quan hệ thứ tự và bậc tôpô trong nghiên cứu một số lớp bao hàm thức

    1 11( ) 1n n nC m x v v v               (2.3.18) Trường hợp điều kiện (a) trong (H2) đúng, áp dụng các bất đẳng thức Holder và Young, ta được 1 (1 ) (1 ) (1 ) . 1 ,( ) p p t n n n nq q t v v vm vC C                      ' . p t         (2.3.19) Vì ' *(1 ) , (1 )q p t p       và (2.3.19) nên suy ra  1 (1 ) 1p tn n nv vC v       , điều này mâu thuẫn với nv  và 1 , (1 ) .p t p       Trường hợp điều kiện (b) trong (H2) đúng, từ (2.3.18) ta suy ra    1 1 11 ( ) ( ) 1 1 p n n n n n nv a v b x v C m x v v v                       (2.3.20) Theo bất đẳng thức Young, ta có     ((1 ) ' '11 )1( ) 1 ( ) ( ) ( ) tn n n n n ntb x v v v v C b x v vC               (2.3.21) trong đó, (1 ) / (1 )t     . Từ (2.3.20), (2.3.21) ta suy ra 86  1 1 11 (1 ) 1 ' ' 1 p n n n n nq t v C v vC v v                       (2.3.22) Vì ' *(1 )q p    , ta được  '1 1 ,p tn n nv vC v      điều này mâu thuẫn với nv  và 1 1 , ' .p t p               Bước 2. Bây giờ ta chứng minh (2.3.16) trong đó hàm 0u được định nghĩa như sau: 0 ( ) 0u x  trong 0\  , 0 )( ()u cux x trong 0 , trong đó u là hàm riêng dương, tương ứng với vectơ riêng chính 0 của bài toán 2p pu u u    trong 0 , 0u  trên 0 . Ta có khẳng định sau (xem [3]) 1 1,0 0 0 0 0 0( ), ( ), 0 p pA u u u W                . (2.3.23) Nếu (2.3.23) không đúng thì tồn tại dãy 0, , 0n n nt u u   và ( )n nJ u  sao cho   0( )n n f n nu P N u t u  , hay tương đương 0( ), ( , ) ( , , )n n n n n nA u g x u f x u u t u           . Ta có 0n nu t u và ký hiệu ns là số lớn nhất sao cho 0n nu s u . Vì * *0n n np p C u u s u  , nên ta có 0.ns  Trong 0 , từ điều kiện (H1), ta có 2 1 1 1( , , ) ( ) ( )n n n n n nf x u u m m u x m s u x       , (2.3.24) và trong 0\  , ta có 0 ( ) 0u x  . Do đó (2.3.24) đúng trong  và  21 0( ( )) ( )n n f n n nu P N u P m s u x v    . (2.3.25) Ta chọn số  thỏa mãn max , 1 1p              và ta sẽ chứng minh 0n nv s u  . 87 Thật vậy, từ định nghĩa của ánh xạ P, ta có 2 1,1 0 0( ), ( ) ( ),, ) ( p n n nA v m s u x g x v W             . (2.3.26) Chọn 0( )n ns u v    trong (2.3.23), (2.3.26) và trừ từng vế ta được 1 ( 1) 2 0 0 0 0 1 0 0( ) ( ),( ) ( , ) ( ), p n n n n n n n n nA s u A v s u v s u g x v m s u s u v                  (2.3.27) trong đó,  1 0: ( ) ( )n nx s u x v x    . Đặt ( 1) 20 0 1 0 0( , ) ( ) p n n n n nh s u g x v m s u s u v            . Trong 0 1  , ta có ( 1) 2 0 0 2 0 1 0 0 ( 1) ( ) 2 0 0 2 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ). p n n n n n p n n n n n h s u m s u m s u s u v s u s m s u m s u v                                      Vì 0ns  và hàm 0u bị chặn nên ta suy ra 0h  trong 0 1  . Trong 1 0\  , ta có 0h  . Do đó, 0 0( ) ( ),( ) 0n n n nA s u A v s u v      và vì vậy 0n ns u v   . Khi đó, ta có 0n nu s u  do (2.3.25) và n ns s  do định nghĩa của ns . Điều này mâu thuẫn với 0 1  và 0ns  . Chứng minh hoàn tất. Định lý 2.3.8 Giả sử các hàm Caratheodory : , : Ng f        và hàm đa trị : ( )F cc   thỏa mãn các điều kiện (g1), (F1) – (F2) và (H3) (i) 1 ( ) ( , ) ( ) , ( , )a u b x g x u au b x x u         , trong đó  *1, 0, 1, 1 , ( )sa a p p b L      với ' * 'max (1 ) , p s p              , (ii) 1 0 ( , ) lim 0 p u g x u u   đều trên  . (H4) (i) 1( , , ) ( ) , ( , , )p Nf x u v m x u c v x u v       , trong đó , ( )1, . 1 qLp mp            với ' *p q p        , 88 (ii) Với mỗi dãy 0 ,n nt u u   và mỗi dãy bị chặn   Nn nv  , ta có 1 11 ( , , ) lim ( ) pn n n n pn n f x t u t v m x u t    , trong đó 1 1( ) 0, ( ) rm x m L   với ' * 1max , p r p              . (H5) (2) (1) ( , )B F x u Au B   trên  , trong đó ' * * , 0 , 0 min , (1 ) ' p p A B p q q p                       . Gọi 0 là giá trị riêng chính của bài toán 2 1( ) . trong , ˆ0 tren . p pu m x u u u        Khi đó, nếu 0B  thì bài toán (2.3.6) có nghiệm không âm, không tầm thường. Chứng minh Chứng minh của Định lý này tương tự với chứng minh Định lý 2.3.7. Bước 1. Chúng ta sẽ chứng minh (2.3.15). Giả sử ngược lại, tức là ta tìm được dãy  n nv sao cho ,n nv v  và (2.3.22) đúng với 1p   , nghĩa là  '1 11 ( ) ' 1 1 p p n n n n np q t v C v v v vC                  . Vì 't p  nên ta được 1 1 ( ) ' p p n n n p q Cv v v          . (2.3.28) Nếu ( ) ' 1p q    thì ta có 1 1 1 p p n n nCv v v           điều này mâu thuẫn với 1n v   và 1 ( ) 1 ' p q         . Bây giờ, ta xét trường hợp 1 ( ) 'p q    . Khi đó, kết hợp với điều kiện (H5) ta có *1 ( ) 'p q p     . Áp dụng bất đẳng thức nội suy, ta được 89 * 1 1 ( ) ' 1 1 . .n n n n np q pv C v v C v v               , (2.3.29) trong đó (0,1)  và được xác định bởi * 1 1 1 1 1 ( ) ' 1p q p               . Từ (2.3.28) và (2.3.29) ta suy ra ( ) ' ( ) ' , (1 ) 1 t n np q p q p p v C v t p               . (2.3.30) Mặt khác, ta có ( ) 'n p q v   do (2.3.28) và 1t  do điều kiện (H5), điều này mâu thuẫn với (2.3.30). Bước 2. Chúng ta sẽ thiết lập ( , ( , )) 0Ki P T B r  với r đủ nhỏ, bằng cách chứng minh 1( ( ) ), 0, ,u P T u t t u u r       , với r đủ nhỏ. với 11 0 1 0( ) pm x    , 0 là hàm riêng ứng với giá trị riêng chính 0 . Giả sử ngược lại, khi đó có thể tìm được các dãy 0, 0, 0n n nt u u   và ( )n nJ u  sao cho 1( ( ) )n n f n nu P N u t   , nói cách khác ta có   ,1 1 1 0( ), , , ) ( , , ( ) , p n n n n n n n n n n p A z f x u z u z g x u z t W u                 (2.3.31) trong đó nn n u z u  . Theo điều kiện (H3) và chứng minh trong [53], ta có   1lim , 0n n p n n z u g x u      đều đối với  trong tập con bị chặn của 1, 0 ( ) pW  (2.3.32) Ta chứng minh khẳng định sau: dãy   1 , ,n n n n n p n n u f x u z u z          bị chặn trong ( )L  . (2.3.33) 90 Thật vậy, (2.3.33) được suy ra từ     11 1, , 0 ( ) pn n n n n p np n n n n n f x u z u z A u z B m x z c u u z                11 ( ) ,pn n nC z m x z c z      và ánh xạ Nemytskii   11 ( ) pu C u m x u c u     biến tập bị chặn trong 1, 0 ( ) pW  thành tập bị chặn trong ( )L  (Mệnh đề 2.3.3). Từ (2.3.31) và (2.3.33) ta suy ra dãy 1 n n p n t u          bị chặn và ta có thể giả sử nó hội tụ tới 0 0t  nào đó. Vì 1, 0 ( ) pW  là không gian phản xạ và phép nhúng từ 1,0 ( ) pW  vào '( )L  là compact (chú ý *' p  ), ta có thể giả sử w nz z trong 1, 0 ( ) pW  , nz z trong '( )L  . (2.3.34) Chọn nz z   trong (2.3.31), từ (2.3.32), (2.3.33), (2.3.34) ta được, lim ( ), 0n n n A z z z    . Do đó nz z   trong 1, 0 ( ) pW  và kéo theo nz z   trong * ( )pL  và nz z  trong  ( ) N pL  . Ta có thể coi ,n nz z z z   hầu khắp nơi trong  và * 0 0( ), ( ) p p n nz z L z u L       . Vì  ( ) ( ( )) ( )n n n nB x A u x B A u z x B      nên suy ra lim ( )n n x B   hầu khắp nơi trong  . Khi đó, ta có   1 11 , , ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p n n n n n p n n f x u z u z x x x x u x Bm x z x         hầu khắp nơi trong . (2.3.35)      * '1 ( ) 0 01 0 , , ( ) 1 ( ) ( ) ( ( ). ( ) )n n n n n p p p n f x u z u z x C z m x z c x x u u L L              (2.3.36) 91 Chuyển qua giới hạn trong (2.3.31) và từ (2.3.32), (2.3.35), (2.3.36) ta được  1 1,1 0 1 0( ), ( ) , ( )p pA z Bm x z t W          , tương đương 1 1 1 0 1( ) ( ( ) ) p pz Bm x z t      . (2.3.37) Vì 0B  nên ta có 0 0t  và 1 1 1 1/ 1 0 1 0 0 1 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ( ) ) . p p p pz t t m x t            . Ta gọi t là số lớn nhất thỏa mãn 0z t . Khi đó, từ (2.3.34) ta được 1/ 1 1 1 1 1 0 0 0 ( ) ( ( ) ) . p p p p B z Bm x t t               . Vì 0B  nên điều này mâu thuẫn với tính lớn nhất của t. Định lý 2.3.9 Giả sử các giả thiết dưới đây thỏa mãn (H6) Hàm :g    liên tục, thỏa mãn điều kiện (g1) và tồn tại *( 1, 1)p p    sao cho (i) ( , ) lim 0 u g x u a u   đều đối với x , (ii) Với mọi 0r  tồn tại 0  sao cho hàm ( , )u u g x u  không giảm trên [0 , ]r , (iii) 1 0 ( , ) lim p u g x u c u     đều trên  và hàm 1 ( , ) p g x u u u  không giảm đối với hầu hết x . (H7) Hàm : Nf     liên tục và 1 2( , , )m u f x u v m u c v     , với 1 2 , ( 1, ), ., , 0 1 , 1 c m m p pp                 (H8) Ánh xạ đa trị  :F cc   thỏa mãn điều kiện (F1), (F2) và (2) (1) 1 ( , ) ,Au F x u Au B     92 trong đó * 1 (1 ) , , 0 , min , 1, .A A B p p                   Khi đó, tồn tại số *A sao cho nếu 1 *A A thì bài toán (2.3.6) có ít nhất hai nghiệm không âm, không tầm thường. Chứng minh Trong không gian 10 ( )C  với chuẩn 1Cu , ta định nghĩa nón K như sau  10 ( ) : ( ) 0 ,K u C u x    và phần trong xác định bởi 1int ( ) : ( ) 0 ( ) 0 ,ˆtrong , tren u K u C u x x n             trong đó ( )n x là vectơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài tại điểm x của biên  . Trước tiên, cố định  0 \u K  , ta chứng minh với R đủ lớn thì 1 0( ) ( ( )) , 0, , Ct u u P T u u t u u R        . (2.3.38) Giả sử ngược lại, tức là tồn tại 1 0, ,n n n Ct u u   thỏa mãn 0( ) ( ( ))n n n nt u u P T u u   . Khi đó, tồn tại ( )nn J u  sao cho 0( ) ( ( ))n n n f n nt u u P N u u   . Đặt 0( )n n n nv t u u u   , ta được, 0 1 ( ( )), 1 1 n n n f n n n n n t v P N u u v u t t      . (2.3.39) Vì 1 1 1 0n nC C C u v u  nên ta có 1 .n Cv  Do tính chính quy hóa của Lieberman [50] nên  max ( ) :n nv v x x   và từ kết quả của Giorgi-Stampachia [30] ta có nv  . Từ (2.3.39) và định nghĩa của toán tử P, ta có ( , ) ( , , ) p n n n n n n nv g x v v f x u u v       . (2.3.40) Từ giả thiết (H6)(i) ta suy ra tồn tại các số thực dương 1 2, ,a a b sao cho 93 1 2( , ) , ( , )a u b g x u a u b x u         . Từ (2.3.40) và giả thiết (H7) ta suy ra   11 21 p n n n n nv a v Au B m u vbu c                 . (2.3.41) Chúng ta có thể đánh giá vế phải của (2.3.41) như sau. Vì ( ) ( )( )t t ta b C t a b   với 0, 0, 0t a b   nên     1 0 0( ) ( ) ( ) ( ) t tt t n n n C u x v x u x C v x u    ,   1 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n n n C n n t u x v x u x C v x u t t               . Do đó,     2 1 11 1n n n n nnA C vu B m u c u vb v v                   1 11 ( ) 1 tp n n nC v v C v                ' 1 (1 ) 1 , p t n n n p C v v v t                    (2.3.42) Từ (2.3.41), (2.3.42) ta được  11 (1 )1 (11 1 ) 1 p p t n nn n tn v va v vv C                      . Từ điều kiện (H8) suy ra ' 1 1 , (1 ) (1 ) 1 p t                     . Do đó,  (11 1 1 )1 11 1n t n p nnv v C v va                 , kéo theo 1n v   và vì vậy mâu thuẫn với 1 1 ,      (1 ) 1t    . Vậy (2.3.38) đúng và do đó ( , ( , )) 0Ki P T B R  với 0R  đủ lớn, (2.3.43) Tiếp theo, ta chứng minh với 0r  đủ nhỏ thì 1 ( ( ( )), [0,1], , C u t P T u t u u r      . (2.3.44) 94 Giả sử ngược lại, tức là tồn tại các dãy   1 [0,1], , 0n n n Cnt u u   , ( )n nJ u  sao cho ( ( ))n n n f nu t P N u , tương đương 1, 0, , ( , , ) , ( ) pn n n n n n n u u A g x f x u u W t t                           . Chọn n n u t   , ta được   2, ( , , ) p n n n n n n n n n n n n n u u u u g x f x u u Au B m u c u t t t t                      . Do đó  1 1 1pn n n n n nu C u u u u u                 . (2.3.45) Chúng ta có thể đánh giá vế phải của (2.3.45) như sau.   1 1 1 11 1 1 1 ,n n n n n nu u u u u u                               '1 1. pn n n n n npu u u u u u                      ''1 ppn n nu u u                      ' ' 1 (1 ) p pn n nu u u                            1 1 .n nu u   Ở đây ta đã sử dụng ' * *1 , (1 ) 1 p p p                 . Do đó,  1 1 1 1 ,pn n n n nu C u u u u             điều này mâu thuẫn với 0nu  và 1 , 1p p     . Vậy (2.3.44) đúng và vì vậy ( , ( , )) 1Ki P T B r  với 0r  đủ nhỏ. (2.3.46) 95 Cuối cùng, chúng ta sẽ xây dựng tập hợp con mở, bị chặn G thỏa mãn ( , ) , ( , ) , ( , ) 1KG B R G B r i P T G     (2.3.47) Theo kết quả của [37], tồn tại  sao cho với mọi   , bài toán ( , ) trong , ˆ0 tren , pu u g x u u          có nghiệm trong int .K Với 1 * 1 2 A A m       thì 11 . 2 m A      Khi đó, tồn tại 0 intu K thỏa mãn 1 1 0 0 0 0 ( , ) trong , 2 ˆ0 tren . p m A u u g x u u                Ta định nghĩa hàm 10: ( )C   xác định bởi  0( ) sup : .u t u tu    Khi đó,  là hàm liên tục và lõm (Mệnh đề 1.2.8). Chọn 1C R u sao cho (2.3.38) đúng và định nghĩa 1 1 0 1 ( ) , ( ) . 2C G u C u R u           Ta sẽ chứng minh (2.3.47). Muốn vậy, ta chỉ cần chứng minh nếu 1 ( ) 2 u  và ( ( ))v P T u thì 1 ( ) 2 v  . Thật vậy, theo định nghĩa của ánh xạ T, tồn tại ( )J u sao cho ( ( ))fv P N u , ta có ( , ) ( , , )pv g x v f x u u    0 0 1 1 1 01 ( , ) 2 pA m u A m u u u g x               . Do đó, theo Mệnh đề 2.3.4, ta có 0v u và ( ) 1.v  Từ (2.3.43), (2.3.46), (2.3.47) và tính chất cộng tính của bậc tôpô ta suy ra ánh xạ P T có điểm bất động trong G và một điểm bất động khác trong ( , ) \ ( , ) .B R B R G    96 KẾT LUẬN Luận án của chúng tôi nghiên cứu bậc tôpô theo nón và các vấn đề liên quan, cho các ánh xạ đa trị compact nửa liên tục trên, tác động trong không gian có thứ tự và ứng dụng vào một số bài toán cụ thể. Các kết quả chính của luận án bao gồm 1. Đưa ra các kết quả dễ áp dụng về tính bậc tôpô cho một số lớp ánh xạ hoặc trên các miền đặc biệt. Một kết quả đáng chú ý là khẳng định đạo hàm theo nón của ánh xạ đa trị compact cũng là ánh xạ compact và có thể dùng bậc tôpô của nó để tính bậc tôpô của ánh xạ đầu. 2. Chứng mình một số định lý về tồn tại một hoặc nhiều điểm bất động, sự tồn tại vectơ riêng với thông tin về dáng điệu tiệm cận khi tham số tiến ra  . 3. Chứng minh một số kết quả về tính bậc tôpô theo R. Bader cho lớp ánh xạ đa trị có giá trị không lồi, dạng P T với T là ánh xạ đa trị có giá trị lồi và P là ánh xạ đơn trị, có thể không tuyến tính. Đây là hướng nghiên cứu còn ít được quan tâm nhưng hứa hẹn nhiều ứng dụng. 4. Áp dụng các định lí điểm bất động của lớp ánh xạ đa trị compact có giá trị lồi và kỹ thuật xây dựng dãy lập đơn điệu trong nghiên cứu một lớp bao hàm thức vi phân cấp 2 với điều kiện biên nhiều điểm và chứa số hạng phi địa phương, luận án thu được kết quả về tồn tại một hoặc nhiều nghiệm, sự tồn tại vectơ riêng của bài toán. 5. Chứng minh sự tồn tại một hoặc hai nghiệm không tầm thường trong một nón đặc biệt cho bài toán biên liên hợp nhiều điểm với điều khiển phản hồi, bằng cách chuyển bài toán về tìm điểm bất động của ánh xạ đa trị lồi và áp dụng bậc tôpô kết hợp với kỹ thuật đánh giá nghiệm và lý luận thứ tự. 6. Trong nghiên cứu phương trình logistic suy rộng với điều khiển phản hồi, luận án đã sử dụng toán tử giải P của một bài toán liên kết để đưa bài toán ban đầu về tìm điểm bất động của ánh xạ dạng P T với T là ánh xạ đa trị có giá trị lồi. Áp dụng bậc tôpô của R. Bader kết hợp với kỹ thuật đánh giá nghiệm và lý luận thứ tự, luận án thu được sự tồn tại một hoặc hai nghiệm không âm, không tầm thường của bài toán. 97 Các hướng nghiên cứu tiếp theo của luận án: 1. Tiếp tục tìm các ứng dụng của bậc tôpô của R. Bader vào các bài toán cụ thể như bao hàm thức vi phân, phương trình vi phân dạng ẩn. 2. Nghiên cứu các vấn đề về bậc tôpô, định lí điểm bất động cho lớp ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được. Trong không gian độ đo  , ,  , Tập ( )pA L  gọi là phân tích được nếu với mọi ,u v A và mọi tập B thì  1B Bu v A    . 98 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [TG1] Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Đăng Quang, Bậc tôpô của một số lớp ánh xạ đa trị tác động trong không gian Banach có thứ tự, Tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Tập 19, Số 8(2022): 1332 – 1345. [TG2] Nguyễn Đăng Quang, Nghiệm trong nón của ánh xạ đa trị và ứng dụng cho bao hàm thức vi phân với điều kiện biên nhiều điểm, Tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Tập 19, Số 8(2022): 1371 – 1386. [TG3] Nguyen Bich Huy, Nguyen Dang Quang, Vo Viet Tri, On nonlinear multipoint conjugate value problem for feedback control systems in the cone, Discrete and Continuous Dynamical Systems – Series S, Volume 17, Issue 3(2024): 1119-1132. (doi:10.3934/dcdss.2023126). [TG4] Nguyen Bich Huy, Nguyen Dang Quang, Bui The Quan, On generalized logistic equations with non-local term of feedback control type, Jounal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 539, Issue 1(2024), 128486. (https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2024.128486). 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Amann, H. (1976). Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in Ordered spaces. SIAM Rev, 620-729. [2] Bader, R. (2001). A Topological Fixed-Point Index Theory for Evolution Inclusions. Journal for Analysis and its Applications, Vol.20, No.1, 3-15. [3] Boccardo, L., & Orsina, L. (1994). Sublinear elliptic equations in sL , Houston. J. Math. Vol.20, No.1, 99-114. [4] Borisovich, Y. G., Gelman, B. D., Myshkis, A. D., & Obukhovskii, V. V. (2011). Introduction to the Theory of Multivalued Maps and Differential Inclusions. Moscow: LIBROKOM. [5] Brezis, H., & Browder, F. (1982). Some properties of higher order Sobolev space. J. Math. Pures Appl, Vol.61, 245-259. [6] Carl, S., & Heikkila, S. (2010). Fixed Point Theory in Ordered Sets and Applications. Berlin: Springer. [7] Carl, S., & Le, K. V. (2021). Multi-valued Variational Inequalities and Inclusions. Springer. [8] Chang, K. C. (2009). A nonlinear Krein-Rutman theorem. Journal of Systems Science and Complexity, Vol.22, 542-554. [9] Cintra, M., Montenegro, M., & Suárez, A. (2022). The logicstic equation with nonlinear advection term. Nonlinear Analysis RWA, Vol.65, 103503. [10] Dancer, E. N. (1973). Global solution branches for positive mapping. Archive for Rational Mechanics and Analysis, Vol.52, 181-192. [11] De Blasi, F. S. (1976). On The Differentiability of Multifunctions. Pacific Jounal of Mathematic, Vol.66, No.1, 67-82. 100 [12] Degla, G. (2002). On the Principal Eigenvalue of Disconjugate BVPs with 1L - Coefficients. Advanced Nonlinear Studies, Vol.2, 19-39. [13] Degla, G. (2003). Positive nonlinear eigenvalue problems for conjugate BVPs. Nonlinear Analysis, Vol.55, No.5, 617 - 627. [14] Degla, G. (2014). On bifurcation from infinity and multipoint boundary value problems. Advances in Pure Mathematics, Vol.4, No.4, 108-117. [15] Deimling, K. (1985). Nonlinear Functional Analysis. Berlin: Springer. [16] Deimling, K. (1992). Multivalued Differential Equations. Berlin, New York: Walter de Gruyter. [17] Delgado, M., Duarte, I., & Suárez, A. (2019). Positive solutions of a nonlocal singular elliptic equations by means of a non-standart bifurcation theory. J. Math. Anal. Appl, Vol.469, No.2, 897-945. [18] Delgado, M., Molina-Becerra, M., & Suárez, A. (2021). A logistic type equation in N with nonlocal reaction term via bifurcation method. J. Math. Anal. Appl, Vol.493, No.1, 124532. [19] Drabek, P., & Hernandez, J. (2001). Existence and uniqueness of positive solutions for some quasilinear elliptic problems. Nonlinear Anal, Vol.44, 189- 204. [20] Drabek, P., Kufner, A., & Nicolosi, F. (1997). Quasilinear Elliptic Equations with Degenerations and Singularities. Berlin, New York,: De Gruyter. [21] Figueiredo- Sousa, T. S., Morales- Rodrigo, C., & Suárez, A. (2017). A nonlocal non-autonomous diffusion problem: linear and sublinear cases. Z. Angew. Math. Phys. [22] Figueiredo- Sousa, T. S., Morales- Rodrigo, C., & Suárez, A. (2020). Some superlinear problems with non local diffusion coefficient. J. Math. Anal. Appl, Vol.482, No.1, 123519. 101 [23] Figueiredo, G. M. (2013). Existence of positive solution for a Kirchhoff problem type with critical growth via truncation argument. J. Math. Anal. Appl, Vol.401, No.2, 706-713. [24] Figueiredo, G. M., Morales- Rodrigo, C., Santos - Junior, J. R., & Suárez, A. (2014). Study of a nonlinear Kirchhoff equation with non-homogeneous material. J. Math. Anal. Appl, Vol.416, No.2, 597-608. [25] Fitzpatrick, P. M., & Petryshyn, W. V. (1975). Fixed point theorems and the fixed point index for multivalued mappings in cones. J.London Math. Soc, Vol.S2-12, No.1, 75-85. [26] Gasinski, L., & Papageorgiou, N. S. (2014). On generalized logistic equations with a nonhomogeneous differential operator. Dynamical Systems, Vol.29, No.2, 190-207. [27] Gasinski, L., & Papageorgiou, N. S. (2014). Positive solutions for parametric equidiffusive p-Laplacian equations. Acta Mathematica Scientia, Series B. English Edition, Vol.34, No.3, 610-618. [28] Gasinski, L., & Papageorgiou, N. S. (2015). A variational approach to nonlinear logistic equations. Communications in Contemporary Mathematics, Vol.17, No.3, 1450021. [29] Gasinskii, L., & Santos-Junior, J. R. (2020). Nonexistence and multiplicity of positive solutions for an equaion with degenerate nonlocal diffusion. Bulletin the London Mathematical Society, Vol.52, No.3, 489-497. [30] Gilbarg, J. D., & Trudinger, N. (1983). Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer. [31] Goodrich, C. S. (2013). Positive solutions to differential inclusions with nonlocal, nonlinear boundary conditions. Applied Mathematics and Computation, Vol.219, No.24, 11071-11081. 102 [32] Gorniewicz, L. (2006). Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings. Springer. [33] Guo, D., & Lakshmikantham, V. (1988). Nonlinear Problems in Abstract Cone. San Diego: Academic Press. [34] Guo, Y., Wang, Y., & Yu, C. (2007). Positive solutions of m-point boundary value problems for second order differential equations with an advanced argument. Eighth ACIS International Conference on Software Engineering, Artificial Intelligence, Networking, and Parallel/Distributed Computing, Vol.2, 770-773. [35] Gutin, M. E., & Mac Camy, G. C. (1977). On the diffusion of biological populations. Math. Biosci, Vol.33, No.1-2, 35-49. [36] Hardy, G. H., Littlewood, J. E., & Polya, G. (1934). Inequalities. Cambridge University Press. [37] Iannizzotto, A., & Papageoigiou, N. S. (2011). Positive solutions for generalized nonlinear logistic equations of superdiffusive type. Topol. Methods Nonlinear Anal, Vol.38, No.1, 95-113. [38] Infante, G., & Pietramala, P. (2009). Perturbed Hammerstein integral inclusions with solutions that change sign. Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, Vol.50, No.4, 591-605. [39] Infante, G., & Webb, J. R. (2006). Loss of positivity in a nonlinear scalar heat equation. Nonlinear Differential Equations Appl, Vol.13, 249–261. [40] Jahn, J., & Truong, X. D. H. (2011). New Order Relations in Set Optimization. Journal of Optimization Theory and Applications, Vol.148, 209-236. [41] Kaufmann, V., & Milne, L. (2019). Positive solution of generalized nonlinear logistic equations via sub-super solutions. J. Math. Mal. Appl, Vol.471, No.1-2, 653-670. 103 [42] Klimov, V. S. (1994). On boundary problems with even number of solutions. Diff. Equ., Vol.30, No.4, 630 - 636. [43] Krasnoselskii, M. A. (1964). Positive Solutions of Operator Equations. Noordhoff. [44] Krasnoselskii, M. A., & Zabreiko, P. P. (1984). Geometrical Methods of Nonlinear Analysis. Berlin: Springer. [45] Krein, M. G., & Rutman, M. A. (1948). Linear operators leaving invariant a cone In Banach space. Uspeckhi Math-Nauk, Vol.3, No.1(23), 3-95. [46] Lasota, A., & Opial, Z. (1965). An application of the Kakutani-Ky Fan theorem in the theory of ordinary differential equations. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. Vol.13, 781-786. [47] Le, X. T., Le, T. P. N, & Nguyen, T. L. (2008). Positive solutions for an m-point boundary-value problem. Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2008, No.111, 1-11. [48] Lei, C. Y., Liao, F. F., & Tang, C. I. (2015). Multiple positive solutions for Kirchhoff type of problem with singularity and critical exponents. J. Math. Mal. Appl, Vol.421, No.1, 521-538. [49] Liang, Z., Li, F., & Shi, J. (2014). Positive solutions to Kirchhoff type equations with nonlinearity having prescribed asymptotic. Ann. Inst. H. Poincarée Anal. Non Linéaire, Vol.31, No.1, 156-167. [50] Lieberman, G. M. (1988). Boundary regularity solutions of degenerate elliptic equations. Nonlinear Analysis, Vol.12, No.11, 1203-1219. [51] Nguyen, B. H. (2002). Fixed points of increasing multivalued operators and an application to discontinuous elliptic equations. Nonlinear Analysis, Vol.51, No.4, 673-678. 104 [52] Nguyen, B. H., & Bui, T. Q. (2016). Positive solutions of logistic equations with dependence on gradient and nonhomogeneous Kirchhoff term. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.444, No.1, 95-109. [53] Nguyen, B. H., Bui, T. Q., & Nguyen, H. K. (2016). Existence and multiplicity results for generalized logistic equations. Nonlinear Analysis, Vol.144, 77-92. [54] Nguyen, B. H., Dao, B. D., & Nguyen, H. K. (2003). On a class of inclusions in Ordered spaces. Zeit. Anal. Anwend, Vol.22, No.3, 543-551. [55] Nguyen, B. H., Nguyen, D. Q., & Vo, V. T. (2023). On nonlinear multipoint conjugate value problem for feedback control systems in the cone. Discrete and Continuous Dynamical Systems – Series S, Vol.17, No.3, 1119-1132. [56] Nguyen, B. H., Nguyen, D. T., & Tran, D. T. (2012). On the structure of unbounded positive solutions to the quasilinear logistic equation. Nonlinear Analysis, Vol.75, No.8, 3682–3690. [57] Nguyen, B. H., Tran, T. B., & Vo, V. T. (2018). The monotone minoraut method and eigenvalue problem for multivalued operators in cones. Fixed Point Theory, Vol.19, No.1, 275-286. [58] O’Regan, D., & Zima, M. (2008). Leggett-William theorems for coincidences of multivalued operators. Nonlinear Analysis, Vol.68, No.10, 2879-2888. [59] Obukhovsky, V., & Gelman, B. (2020). Multivalued Maps and Differential Inclusions: Elements of theory and Applications. World Scientific Publishing Co. [60] O'Regan, D., & Agarwal, R. P. (2000). A note on the of multiple fixed points for multivalued maps with applications. Journal of Differential Equations, Vol.160, No.2, 389-403. [61] O'Regan, D., & Zima, M. (2007). Leggett-Williams norm-type fixed point theorems for multivalued mappings. Applied Mathematics and Computation, Vol.187, No.2, 1238-1249. 105 [62] O'Regan, D., Cho, Y., & Chen, Y. (2006). Topological Degree Theory and applications. CRC Press. [63] Papageorgiou, N. S., & Kyritsi-Yiallourou, S. T. (2009). Handbook of Applied Analysis. New York: Springer. [64] Rabinowitz, P. H. (1971). Some global results for nonlinear eigenvalued problems. Journal of Functional Analysis, Vol.7, No.3, 487-513. [65] Tietz, C. (2019). An order theoretic fixed point theorem with application to multivalued variational inequalities with nonsmooth bifunctions. Journal Fixed Point Theory Applications, Vol.21, No.5, 26 pp. [66] Vazquez, J. L. (1984). A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations. Applied Mathematics & Optimization, Vol.12, No.1, 191-202. [67] Vo, V. T. (2016). Một số lớp phương trình trong không gian Banach có thứ tự - Luận án Tiến sĩ Toán học. Đại Học Sư Phạm TPHCM. [68] Vo, V. T., & Rezapour, S. (2021). Eigenvalue intervals of multivalued operator and its application for a multipoint boundary value problem. Bulletin of the Iranian Mathematical Society, Vol.47, No.4, 1301–1314. [69] Zabreiko, P. P. (1997). K-metric and K-normed spaces:survey. Collectanea Mathematica, Vol.48, No.4-6, 825-859.