Luận án Về liên thông kì dị chính qui trên lược đồ trên một vành

ther Hensel Trước tiên, để thuận tiện tham khảo ta nhắc lại kết quả của W. Wasow đối với các tự đồng cấu tuyến tính của không gian véc tơ hữu hạn chiều trênC: Bổ đề A.2.1 ([48, II, Problem 4.1]). Cho m,n ∈N∗, A ∈Matm(C), và B ∈Matn(C). Tập các giá trị riêng củaC−tuyến tính f : Matm×n(C)−→Matm×n(C), X 7→ AX−XB là Sp f = SpA⊖SpB. Đặc biệt, nếu A không có hai giá trị riêng khác nhau một số nguyên khác không, thì nid− A : Matm(C) → Matm(C) là một tự đẳng cấu tuyến tính với mọi n ∈ Z∖{0}. Giả sử (R,r) là một C-đại số địa phương Noether Hensel có trường thặng dưC. Mục này, chúng tôi sử dụng tính chất nâng của vành Hensel R để thiết lập khai triển Jordan đối với các tự đồng cấu R-tuyến tính của các môđun hữu hạn trên R. Lặp lại chứng minh tương tự [40, Theorem 2.3(iii), p.9], chúng tôi thu được bổ đề sau: Bổ đề A.2.2. ChoM là R-môđun tự do hạng r và f : M −→M là tự đồng cấu R-tuyến tính. Giả sử đồng cấu thương f : M/rM −→M/rM là một C-tự đẳng cấu tuyến tính. Khi đó f là một tự đẳng cấu R-tuyến tính của M. Chứng minh. Xét m= {m1, ...,mr} là một cơ sở của M trên R. Đặt A= (ai j) là ma trận của f đối với cơ sởm. Khi đó A= (ai j) là ma trận của f đối với cơ sở m= {m1, ...,mr}. Theo giả thiết, detA= det(ai j) là một ma trận khả nghịch trong Mr(C). Bởi vì detA= detA mod r, ta kéo theo detA khả nghịch trong R. Áp dụng công thức Cramér, A là ma trận khả nghịch. Vì vậy, f là đẳng cấu R-tuyến tính của M. Dựa theo Bổ đề A.2.1 và Bổ đề A.2.2, thu được kết quả sau: Hệ quả A.2.3. Cho A ∈Mn(R) và A ∈Mn(C) là ma trận rút gọn modulo r của A. Giả sử A không có hai giá trị riêng sai khác một số nguyên khác không. Khi đó, tự đồng cấu R-tuyến tính nid−A : Mn(R)→Mn(R) 104 Cấu trúc của các tự đồng cấu tuyến tính là một song ánh với mọi n ∈ Z∖{0}. Đối với các tự đồng cấu R-tuyến tính ta thu được bổ đề sau: Bổ đề A.2.4 (Khai triển Jordan trên R). Cho V là một R-môđun hữu hạn, ϕ :V →V là một tự đồng cấu R-tuyến tính và ϕ là rút gọn modulo r của ϕ . Giả sử Spϕ = {ρ1, . . . ,ρr} là tập các giá trị riêng của ϕ và V = r⊕ i=1 ker ( ϕ−ρi )ri là khai triển của V thành tổng trực tiếp của các không gian véc tơ con riêng suy rộng của ϕ . Khi đó, tồn tại khai triển thành tổng trực tiếp V =V1⊕ ...⊕Vr, trong đó Vi là các R-môđun con ϕ-bất biến của V, sao cho rút gọn modulo r tướng ứng là ker ( ϕ−ρi )ri, với mỗi 1≤ i≤ r. Chứng minh. Đặt Rn −→ V −→ 0 là một một toàn cấu của V sao cho cảm sinh một đẳng cấuCn −→V/r. Khi đó ϕ nâng thành một tự đồng cấu R-tuyến tính ϕ˜ : Rn −→ Rn và rút gọn modulo r của đa thức đặc trưng của ϕ˜ là đa thức đặc trưng của ϕ: Pϕ˜(T ) = Pϕ(T ). Bởi vì R là vành Hensel, phân tích Pϕ(T ) = r ∏ i=1 ( T −ρi )ri nâng thành tích Pϕ˜(T ) = r ∏ i=1 gi(T ), sao cho với mỗi 1 ≤ i ≤ r các đa thức gi(T ) và ĝi(T ) = ∏ j ̸=i g j(T ) đôi một nguyên tố cùng nhau. Do đó, pi(T )gi(T )+qi(T )ĝi(T ) = 1, (A.2) xem [41, Chapter 1, Section 4, p.32] hoặc [17, Proposition 2.8.3]. Đặt Vi = kergi(ϕ) với mỗi i= 1,2, . . . ,r, khi đó mỗi Vi là một R-môđun con ϕ-bất biến của V . Ta có Pϕ˜(ϕ) = 0 trên V , và khi đó ta thu được V = ker ( Pϕ˜(ϕ) ) . Ta chứng minh V = kerg1(ϕ)⊕ ...⊕kergr(ϕ). Thật vậy, với mỗi v ∈V đặt v1 = q1(ϕ)ĝ1(ϕ)(v). Khi đó, ta thu được v1 ∈ kerg1(ϕ) bởi vì g1(ϕ)ĝ1(ϕ)(v) = 0. Hơn nữa, dựa theo (A.2), ta có v− v1 ∈ ker ĝ1(ϕ) = ker∏ j≥1 g j(ϕ). Bởi qui nạp ta thu được khai triển v= v1+ v2+ ...+ vr, A.2 Cấu trúc của các tự đồng cấu trên vành địa phương Noether Hensel 105 trong đó vi ∈ kergi(ϕ) với mọi 1≤ i≤ r. Do đó, ta thu được V = kerg1(ϕ)+ ...+kergr(ϕ). Ngoài ra, kerg1(ϕ)+ ...+kergr(ϕ) là một tổng trực tiếp là hiển nhiên từ (A.2). Thật vậy, giả sử 0 = v1+ v2+ ...+ vr, trong đó vi ∈ kergi(ϕ) với mọi 1 ≤ i ≤ r. Khi đó, v2 + ...+ vr ∈ ker ∏ j≥1 g j(ϕ). Điều này chứng tỏ v1 = 0 và v2+ ...+ vr = 0. Bởi qui nạp, ta thu được v2 = ...= vr = 0. Cuối cùng, hiên nhiển ta thấy rút gọn modulo r ta thu được: Vi/r= ker ( ϕ−ρi )ri với mỗi 1≤ i≤ r. Hệ quả A.2.5. Cho A ∈ Mn(R) và A ∈ Mn(C) là rút gọn modulo r của A. Giả sử SpA = {ρ1, . . . ,ρr} là tập các giá trị riêng của A ∈Mn(C) trongC. Khi đó, tồn tại P ∈GLn(R), một phân hoạch n= n1+ · · ·+nr và các ma trậnU1 ∈Mn1(R), . . . ,Ur ∈Mnr(R) sao cho P−1AP=  U1 0 00 . . . 0 0 0 Ur  , trong đó rút gọn modulo r củaUi là ma trận Jordan suy rộng (khối Jordan) của A ứng với ρi với mỗi 1≤ i≤ r. Chứng minh. Đặt ϕ là tự đồng cấu R-tuyến tính của Rn xác định bởi ma trận A. Dựa theo Bổ đề A.2.4, R-môđun Rn là tổng trực tiếp của các R-môđun con ϕ-bất biến V =V1⊕ ...⊕Vr, trong đó rút gọn modulo r củaVi là ker ( A−ρi )ri với mỗi 1≤ i≤ r. Áp dụng Bổ đề Nakayama để nâng các C-cơ sở của ker ( A−ρi )ri thành tương ứng các R-cơ sở của Vi. Khi đó, ta thu được điều phải chứng minh. Ví dụ A.2.6. Xét vành R= { f/g : f ,g ∈C[t],g(0) ̸= 0} là địa phương hóa củaC[t] tại iđêan cực đại (t). Khi đó, bởi tính chất địa phương hóa vành R là mộtC đại số địa phương Noether cùng iđêan cực đại (t). Tuy nhiên, dựa theo [45, Example 2.4, p.324], vành R⊊CJtK không là một C đại số Hensel. Cụ thể hơn ta thấy đa thức P(T ) = T 2− t−1 bất khả qui trong R[T ] nhưng thặng dư modulo (t) của P(T ) có phân tích (T −1)(T +1) trongC[T ]. Xét tự đồng cấu R-tuyến tính ϕ : R2 → R2 của R2 xác định bởi ma trận( 0 1+ t 1 0 ) 106 Cấu trúc của các tự đồng cấu tuyến tính trong cơ sở chính tắc. Khi đó, rút gọn modulo (t) của ϕ là một C-tự đồng cấu tuyến tính ϕ xác định bởi ma trận ( 0 1 1 0 ) . Do đó, ϕ chéo hóa được cùng khai triển Jordan C2 = ker(ϕ−1) ⊕ ker(ϕ+1). (A.3) Tuy nhiên, bởi vì đa thức đặc trưng Pϕ(T ) = T 2− t−1 của ϕ bất khả qui nên không tồn tại khai triển của R2 thành tổng trực tiếp hai R-môđun con tương thích với khai triển Jordan (A.3). Nhận xét A.2.7. Trong ví dụ trên, nếu ta xét R=CJtK (trường hợp này R là một vành Hensel). Khi đó luôn tồn tại √ 1+ t = 1+ 1 2 t− 1 8 t2+ 1 16 t3+ ... trongCJtK. Trong trường hợp này tự đồng cấu R-tuyến tính ϕ chéo hóa được cùng với giá trị riêng ±√1+ t và các môđun con riêng tương ứng thỏa mãn Bổ đề A.2.4. Phụ lục B Môđun trên một vành vi phân tổng quát Mục đích của phụ lục này nhằm giới thiệu Định lý B.2.4 về một đặc trưng của môđun xạ ảnh trên vành vi phân đơn, đây là một trường hợp đặc biệt của [1, Theorem 2.5.2.1] của Y. André. Trong phụ lục này, chúng tôi đưa ra một chứng minh khác cho định lý này dựa theo đặc trưng xạ ảnh của các iđêan Fitting. Toàn bộ phụ lục này, ta luôn xét A là một C-đại số Noether giao hoán có đơn vị 1. B.1 Vành vi phân tổng quát Cho Ω1 là một A-môđun hữu hạn sinh bất kì. Ta nói A là một vành vi phân có giá trị trong Ω1 nếu tồn tại một ánh xạC-tuyến tính D : A−→Ω1 thỏa mãn qui tắc Leibniz D(ab) = aD(b)+bD(a) với mọi a,b ∈ A, và ký hiệu bởi (A,Ω1,D). MộtC-đại số vi phân trong Định nghĩa 1.1.1 là mộtC-đại số vi phân có giá trị trong A. Ví dụ B.1.1. Xét A=CJxK và Ω1 = Aω là A-môđun tự do sinh bởi ω . Xét D : A→Ω1 cho bởi D ( ∞ ∑ i=0 aixi ) = ∞ ∑ i=0 iaixi−1ω . Với mọi a= ∞ ∑ i=0 aixi và b= ∞ ∑ j=0 b jx j, ta kiểm tra được D ( ab ) =D ( ∞ ∑ i=0 aixi ∞ ∑ j=0 b jx j ) = ∞ ∑ k=0 k ( ∑ i+ j=k aib jxk−1 ) . Ta cũng có aD(b)+bD(a) = ∞ ∑ k=0 k ( ∑ i+ j=k aib jxk−1 ) . Do đó, D ( ab ) = aD(b)+bD(a) nên D là mộtC-đạo hàm củaCJxK cùng giá trị vi phân trong Ω1. Chú ý rằng, ω là ảnh của x quaC-đạo hàm D, vì vậy không mất tính tổng quát ta có thể ký hiệu hình thức Dx (nếu không có nhầm lẫn). Cho (A,Ω1,D) là một C-đại số vi phân có giá trị trong A-môđun Ω1 và I ⊂ A là một iđêan bất kì của A. Ta nói rằng I là một iđêan D-bất biến của A nếu D(I)⊂ IΩ1. Hiển nhiên, 108 Môđun trên một vành vi phân tổng quát vành vi phân (A,Ω1,D) luôn có hai iđêan D-bất biến 0 và chính A. Ta gọi (A,Ω1,D) là một C-đại số vi phân đơn nếu nó chỉ có đúng hai iđêan D-bất biến là 0 và chính A. Ví dụ B.1.2. Xét CJxK là C-đại số vi phân có giá trị trong Ω1 =CJxKDx bởi D( ∞∑ i=0 aixi ) = ∞ ∑ i=0 iaixi−1Dx. Khi đó, các iđêan (xn) không phải một iđêan D-bất biến của CJxK. Hơn nữa, CJxK chỉ có hai iđêan D-bất biến là 0 và chínhCJxK. Giả sử Ω1 là một A-môđun tự do với cơ sở ω1, ...,ωn. Ta có A-môđun đối ngẫu Ω1∨ của Ω1 là tự do sinh bởi cơ sở ω∗1 , ...,ω ∗ n , trong đó ω∗i (ω j) = δi j = { 1 nếu i= j 0 nếu i ̸= j với mỗi 1≤ i, j≤ n. Khi đó, tồn tại đồng cấu A-tuyến tính tự nhiên ev :Ω1∨⊗ A Ω1→A xác định bởi ev(ω∗i ⊗ω j) = δi j, 1≤ i, j≤ n. Ta cũng có đồng cấu A-tuyến tính coev : A→Ω1⊗ A Ω1∨ cho bởi ảnh của đơn vị coev(1) = n ∑ i=1 (ωi⊗ω∗j ), 1≤ i, j ≤ n. Các đồng cấu này thỏa mãn (idΩ1 ⊗ ev)(coev⊗ idΩ1) = idΩ1 và (ev⊗ idΩ1∨)(idΩ1∨⊗ coev) = idΩ1∨. Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề B.1.3. Cho (A,Ω1,D) là mộtC-đại số vi phân sao cho Ω1 là một A-môđun tự do hữu hạn sinh và I ⊂ A là một iđêan bất kì của A. Khi đó I là một iđêan D-bất biến khi và chỉ khi ev ( Ω1∨⊗ A I )⊂ I. Chứng minh. Xét một cơ sở ω1, ...,ωn của A-môđun Ω1. Với mỗi a ∈ A, tồn tại a1, ...,an ∈ A sao cho Da= a1ω1+a2ω2+ ...+anωn. Bởi tính toán, ta thu được ev ( ω∗i ⊗Da ) = x∗i (a1ω1+a2ω2+ ...+anωn) = ai với mỗi 1≤ i≤ n. Bởi vì ω∗1 , ...,ω∗n là một cơ sở của A-môđun Ωi∨ nên ta thu được rằng I là một iđêan D-bất biến khi và chỉ khi ev ( Ω1∨⊗ A I )⊂ I. B.2 Môđun trên một vành vi phân tổng quát B.2.1 Liên thông trên vành vi phân tổng quát Cho (A,Ω1,D) là mộtC-đại số vi phân có giá trị trong A-môđun Ω1 vàM là một A-môđun bất kỳ. Một liên thông trên M liên kết với C-đại số vi phân (A,Ω1,D) là một ánh xạ C-tuyến tính ∇ : M −→Ω1⊗ A M B.2 Môđun trên một vành vi phân tổng quát 109 thỏa mãn ∇(am) =Da⊗m+a∇(m) với mọi a ∈ A và m ∈M. Một cấu xạ giữa hai liên thông (M′,∇′) và (M′′,∇′′) là một đồng cấu A-tuyến tính ϕ : M′→M′′ thỏa mãn ∇′′ ◦ϕ = (idΩ1 ⊗ϕ)◦∇′. Ký hiệu Mor ( (M′,∇′),(M′′,∇′′) ) tập các cấu xạ từ (M′,∇′) đến (M′′,∇′′). Nhận xét B.2.1. Giả sử Ω1 là một A-môđun xạ ảnh. Khi đó, ta có tương ứng 1−1 giữa các liên thông ∇ : M→Ω1⊗ A M trên A-môđun hữu hạn sinhM và cácC-ánh xạ tuyến tínhΩ1∨→ EndC(M). Cụ thể mỗi liên thông∇ :M−→Ω1⊗ A M tương ứng vớiΩ1∨→ EndC(M),ϕ 7→∇ϕ cho bởi ∇ϕ(m) = ev ( ϕ⊗∇(m)). Hơn nữa, dựa theo quy tắc Leibniz ta thu được ∇ϕ(am) = ∇aϕ(m)+ ev ( ϕ⊗Da). Đặc biệt, nếu Ω1 = Aω là một A-môđun tự do hạng 1 thì một liên thông ∇ : M→Ω1⊗ A M tương ứng 1−1 với một liên thông ∇ : M→M theo Định nghĩa 1.1.3. B.2.2 Môđun trên một vành vi phân tổng quát Cho (M′,∇′) và (M′′,∇′′) là các A-môđun cùng liên thông liên kết với D. Tương tự Ví dụ 1.2.3, ta định nghĩa một liên thông trên A-môđun HomA ( M′,M′′ ) . Cho (A,Ω1,D) là một C-đại số vi phân cùng với Ω1 là một A-môđun phẳng. Ta thu được đồng cấu chính tắc ⋆ : Ω1⊗ A HomA ( M′,M′′ )−→ HomA(M′,Ω1⊗ A M′′ ) , Da⊗ f 7→ fa, trong đó fa : M′→Ω1⊗ A M′′ cho bởi công thức fa(m) =Da⊗ f (m) với mọi m ∈M′. Khi đó, từ Ω1 là một A-môđun phẳng, đồng cấu (⋆) trên là một đẳng cấu (xem [7, Chapter I, §2.9, Proposition 10, p.38]). Xét đồng cấu ∇ : HomA ( M′,M′′ ) −→ Ω1⊗ A HomA ( M′,M′′ ) xác định bởi ∇( f ) = ∇′′ ◦ f − (idΩ1 ⊗ f )◦∇′ với mỗi f ∈ HomA(M′,M′′). Với mỗi a ∈ A và f ∈ HomA(M′,M′′), ta có biến đổi sau đúng với mọi m ∈M′: ∇(a f )(m) =(∇′′ ◦a f )(m)− (idΩ1 ⊗a f )◦∇′(m) =∇′′ ( a f (m) )−a(idΩ1 ⊗ f )◦∇′(m) =a(∇′′ ◦ f )(m)−a(idΩ1 ⊗ f )◦∇′(m)+(Da⊗ f )(m). Do đó, HomA(M ′,M′′) := ( HomA(M′,M′′),∇ ) là một liên thông trên HomA ( M′,M′′ ) liên kết với D. Ký hiệu bởi HomA(M ′,M′′)∇ := ker ( ∇ : HomA(M′,M′′)−→Ω1⊗ A HomA(M′,M′′) ) . Khi đó, từ định nghĩa, đồng cấu A-tuyến tính ϕ : M′→M′′ là cấu xạ giữ hai liên thông khi và chỉ khi ϕ ∈ HomA(M′,M′′)∇. 110 Môđun trên một vành vi phân tổng quát Định nghĩa B.2.2. Cho (M,∇) là A-môđun cùng liên thông liên kết với (A,Ω1,D). Ta gọi A-môđun HomA(M ′,A) là đối ngẫu của (M,∇), và ký hiệu bởi (M∨,∇∨). Xét trường hợp A là một miền nguyên Noether, K là trường các thương của A và vành vi phân (A,Ω1,D) thỏa mãn Ω1 là một A-môđun tự do hữu hạn sinh. Vành vi phân được mở rộng thành trường vi phân (K,K⊗ A Ω1,D) cùng với D : K→ K⊗ A Ω1 cho bởi D( a s ) = 1 s ⊗D(a)− a s2 ⊗D(s), a s ∈ K. Với mỗi M = (M,∇) là A-môđun cùng liên thông liên kết với (A,Ω1,D), ký hiệu bởi MK = ( K⊗ A M,∇ ) liên thông liên kết với (K,K⊗ A Ω1,D), trong đó ∇ : K⊗ A M→K⊗ A Ω1⊗ A M cho bởi ∇( a s ⊗m) = D(a s )⊗m+ a s ⊗∇(m) với mọi a s ∈ K và m ∈M. Kết quả sau là trường hợp đặc biệt của [1, Proposition 2.5.1.1]. Mệnh đề B.2.3. Cho A là một miền nguyên và K là trường các thương của A. Cho (A,Ω1,D) là mộtC-đại số vi phân đơn sao cho Ω1 là A-môđun tự do hữu hạn sinh được sinh bởi D(A). ChoM ′ = (M′,∇′) vàM ′′ = (M′′,∇′′) liên kết với (A,Ω1,D). Khi đó ánh xạ tự nhiên K⊗ A − : Mor(M ′,M ′′)−→Mor(M ′K,M ′K) là một đẳng cấu. Chứng minh. Trước tiên ta nhận thấy từ giả thiết, D mở rộng thành một đạo hàm trên K bởi D( a s ) = 1 s ⊗D(a)− a s2 ⊗D(s), với mọi a s ∈ K. Tính đơn cấu của K⊗ A −. Ta có K là phẳng trên A nên đồng cấu K⊗ A HomA ( M′,M′′ )−→ HomK(M′K,M′′K) là một song ánh (xem [7, Chapter I, §2.9, Proposition 11, p.39]). Dựa theo song ánh này, ta thu được rằng HomK(M ′ K,M ′′ K) ∇ ⊂ K⊗ A HomA(M ′,M ′′). Từ nhận xét trên, ta có Mor ( M ′,M ′′ ) = HomA(M ′,M′′)∇. Do đó, để chứng minh tính đơn cấu của K⊗ A −, ta chỉ cần chứng minh ánh xạ Φ : HomA(M ′,M ′′)∇ −→ K⊗ A HomA(M ′,M ′′) là đơn ánh. Với mỗi f ∈ HomA(M ′,M ′′)∇ khác không, bởi định nghĩa của Φ ta chỉ cần chứng minh iđêan linh tử hóa I ⊂ A của f bằng không. Dựa theo Nhận xét B.2.1, với mọi B.2 Môđun trên một vành vi phân tổng quát 111 ϕ ∈Ω1∨ và a ∈ I ta có 0 = ∇ϕ(a f ) =∇aϕ( f )+ ev(ϕ⊗Da) f =ev ( ϕ⊗Da) f bởi vì ∇aϕ( f ) = ev(aϕ⊗∇( f ))= 0. Do đó, ev ( ϕ⊗Da) ∈ I với mọi ϕ ∈Ω1∨ và a ∈ I, tức là ev(Ω1∨⊗ A I )⊂ I. Áp dụng Mệnh đề B.1.3, ta thu được I là một iđêan D-bất biến của A. Theo giả thiết (A,Ω1,D) là một C-đại số vi phân đơn nên ta thu được I = 0. Tính toàn cấu của K⊗ A −. Cho f ∈ Mor(M ′K,M ′′K) là một cấu xạ bất kỳ của các liên thông. Từ giả thiết Ω1 là A-môđun tự do hữu hạn sinh được sinh bởi D(A) và K phẳng trên A, ta có thể nhúngM ′ vàM ′′ tương ứng trongM ′K vàM ′′K . Bởi vì ∇′′ ◦ f = (id⊗ f )◦∇′, ta có f (M ′) là một A-môđun con của M ′′K được trang bị cùng liên thông cho bởi hạn chế của ∇′′. Để chứng minh K⊗ A − là toàn ánh ta sẽ chứng minh f ∈Mor(M ′,M ′′). Đặt N = f (M ′)∩ (M ′′) và E = f (M ′)/N . Khi đó f cảm sinh f :M ′ −→ E . Ta có EK = 0 nên ảnh của f trong Mor(M ′K,EK) bằng không. Tương tự như trên, ta cũng có thể nhúng E trong EK . Do đó, ta thu được f = 0, điều này kéo theo f (M ′)⊂M ′′. Định lý sau là một trường hợp đặc biệt của [1, Theorem 2.5.2.1], nó là định lý chính của phụ lục này. Chứng minh của của định lý được dựa theo xây dựng trong trường hợp tổng quát của André. Định lý B.2.4. Cho A là một miền nguyên, (A,Ω1,D) là một C-đại số vi phân đơn sao cho Ω1 là A-môđun tự do hữu hạn sinh được sinh bởi D(A). Cho M là một A-môđun hữu hạn cùng một liên thông ∇ : M −→Ω1⊗ A M. Khi đó M là một A-môđun xạ ảnh. Chứng minh. ĐặtM = (M,∇) vàM ∨ là đối ngẫu củaM . Bởi vì K là phẳng trên A nên đồng cấu tự nhiên (M ∨)K ≃ (MK)∨ bởi vì K⊗ A HomA ( M,A )−→ HomK(MK,K) là một đẳng cấu (xem [7, Chapter I, §2.9, Proposition 11, p.39]). Mặt khác, MK là một K-không gian véc tơ hữu hạn chiều nên tồn tại các đồng cấu evK :M ∨K ⊗ K MK −→ (K,D) và coevK : (K,D)−→MK⊗ K M ∨K thỏa mãn (idMK ⊗ evK)(coevK⊗ idMK) = idMK . Dựa theo Mệnh đề B.2.3, tồn tại các đồng cấu ev :M ∨⊗ A M −→ (A,D) và coev : (A,D)−→M ⊗ A M ∨ thỏa mãn (idM ⊗ ev)(coev⊗ idM ) = idM . Đặc biệt ta thu được ev : M∨⊗ A M −→ A và coev : A −→ M⊗ A M∨ thỏa mãn (idM ⊗ ev)(coev⊗ idM) = idM. Hơn nữa, tồn tại mi ∈M và αi ∈M∨ sao cho coev(1) = s ∑ i=1 (mi⊗αi). 112 Môđun trên một vành vi phân tổng quát Bởi vì (idM⊗ ev)(coev⊗ idM) = idM, nên với mỗi m ∈M ta có m= 1⊗m=(idM⊗ ev)(coev⊗ idM)(1⊗m) =(idM⊗ ev) ( s ∑ i=1 mi⊗αi )⊗m = s ∑ i=1 mi⊗ ev ( αi⊗m ) = s ∑ i=1 ev(αi⊗m)mi. Để chứng minhM là một A-môđun xạ ảnh ta sẽ chứng minh A-môđunM thỏa mãn tiêu chuẩn sau của tính xạ ảnh: với mọi g : N→ P là một toàn cấu và f : M→ P là một đồng cấu của các A-môđun tồn tại một đồng cấu A-tuyến tính h : M→ N sao cho f = g◦h. Thật vậy, bởi vì g là toàn cấu nên tồn tại ni ∈ N sao cho g(ni) = f (mi) với mọi 1≤ i≤ s. Đặt h : M −→ N xác định bởi h ( s ∑ i=1 ev(αi⊗m)mi ) = s ∑ i=1 ev(αi⊗m)ai. Dễ thấy h là ánh xạ A-tuyến tính thỏa mãn f = g◦h, do đó M là một A-môđun xạ ảnh. B.2.3 Chứng minh khác của định lý chính Mục này đưa ra một chứng minh khác của Định lý B.2.4. Chứng minh dựa theo đặc trưng iđêan Fitting của môđun xạ ảnh (xem Mệnh đề B.2.6). Trước tiên, ta lưu ý rằng mọi môđun hữu hạn sinh trên một vành Noether đều là biểu diễn được hữu hạn. Cụ thể, mọi A-môđun hữu hạn sinh M luôn tồn tại q,r ∈N và dãy khớp A⊕q→ A⊕r →M→ 0 của các A-môđun. Iđêan Fitting Chúng tôi nhắc lại sơ lược [15, Mục 20.2]. Cho M là một A-môđun sinh bởi m1, ...,mr và xét (⋆) : A⊕q→ A⊕r →M→ 0 một biểu diễn của M. Ký hiệu H là ma trận của A⊕q → A⊕r. Khi đó, [29, Lemma 15.8.2.] khẳng định rằng iđêan sinh bởi các định thức con cấp (r− i) của H không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn (⋆) ở trên. Ta gọi iđêan này là iđêan Fitting thứ i của M, và ký hiệu bởi Fitti(M). Bởi định nghĩa, dễ dàng ta thấy được Fittr(M) = R. Hơn nữa, dùng công thức khai triển định thức ta thu được 0⊂ Fitt0(M)⊂ Fitt1(M)⊂ ...⊂ Fittr(M) = R. Ta nhắc lại ở đây một số tính chất của iđêan Fitting. Chứng minh chi tiết của các kết quả này có thể xem trong [15, Section 20.2]. Mệnh đề B.2.5 ([15, Corollary 20.5]). Iđêan Fitting của môđun hữu hạn sinh giao hoán với đổi cơ sở bởi đồng cấu của các vành. Tức là, nếu A→ B là đồng cấu của các vành thì Fitti(B⊗ A M) = Fitti(M)B. B.2 Môđun trên một vành vi phân tổng quát 113 Trong trường hợp A là một miền nguyên, ta thu được [15, Proposition 20.8] như sau: Mệnh đề B.2.6. Cho r ∈N∗ là một số nguyên dương và M là một A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó hai khẳng định sau tương đương: (i) A-môđun M là xạ ảnh hạng hằng r. (ii) Fittr(M) = A và Fittr−1(M) = 0. Một chứng minh khác của Định lý B.2.4: ĐặtP1 = A⊕Ω1 là đại số cùng với phép nhân thỏa mãn ωω ′ = 0 với mọi ω,ω ′ ∈Ω1. Ký hiệu ι : A→P1 bởi ι(a) = a và t : A→P1 bởi t(a) = a+Da. ĐặtP1 ⊗ ι ,A M là tích tenxơ cho bởi ι và cấu trúc A-môđun củaP1 ⊗ ι ,A M cho bởi t. Xét ánh xạ ϕ : M −→P1 ⊗ ι ,A M cho bởi ϕ(m) = ∇(m)+1⊗m. Khi đó, với mọi a ∈ A và m ∈M ta kiểm tra được ϕ(am) =∇(am)+1⊗ (am) =Da⊗m+a∇(m)+a⊗m, sử dụng cấu trúc A-môđun củaP1 ⊗ ι ,A M =(a+Da)⊗m+a∇(m) =a(1⊗m)+a∇(m) = a[1⊗m+∇(m)]. Do đó, ϕ là một đồng cấu A-tuyến tính đối với cấu trúc A-môđunP1 cho bởi t. Do đó, bởi đặtM ⊗ A,t P1 là tích tenxơ cho bởi t và cấu trúc A-môđun củaP1 ⊗ ι ,A M cho bởi ι , ta thu được đồng cấuP1-tuyến tính ψ : M ⊗ A,t P1 −→P1 ⊗ ι ,A M. (B.1) Bởi vì t(a) = a+Da nên a(m⊗1) = m⊗ (a+Da) ∈M ⊗ A,t P1 với mọi a ∈ A, do đó rút gọn modulo Ω1 của ψ ta thu được ánh xạ đồng nhất. Ta sẽ chứng minh ψ là một đẳng cấu của cácP1-môđun. Xét ánh xạ ε :P1 →P1 xác định bởi ε(a) = a+Da và ε(aDb) =−aDb với mỗi a ∈ A. Khi đó, ε2 = idP1 bởi vì ε2 ( a+bDc ) = ε ( a+Da−bDc)= a+Da−Da+bDc= a+bDc. Khi đó, η :P1 ⊗ ι ,A M −→M ⊗ A,t P1, x⊗m 7→ m⊗ ε(x) là một ánh xạ ε-tuyến tính đồng thời là một song ánh. Hiển nhiên, rút gọn modulo Ω1 của η thành ánh xạ đồng nhất. Bởi vì ε2 = idP1 , nên ( η ◦ ϕ)2 là một tự đồng P1-cấu tuyến tính của M ⊗ A,t P1. Đặt Φ= idM⊗ A,t P1 − (η ◦ϕ)2, ta thu được ánh xạ Φ : M ⊗ A,t P1 −→M ⊗ A,t P1. 114 Môđun trên một vành vi phân tổng quát Bởi vì rút gọn modulo Ω1 của ( η ◦ϕ)2 thành ánh xạ đồng nhất nên Φ ánh xạ M ⊗ A,t P1 vào trong M ⊗ A,t Ω1. Mặt khác, Ω1 ⊂P1 là iđêan bình phương bằng không củaP1 nên Φ2 = 0. Do đó, (η ◦ϕ)2 là một đẳng cấu cùng với ánh xạ nghịch đảo là idM⊗ A,t P1 +Φ. Vì vậy, ϕ là một song ánh. Dựa theo Mệnh đề B.2.5, đẳng cấu (B.1) kéo theo Fittn(P1 ⊗ t,A M) =t ( Fittn(M) ) P1 =ι ( Fittn(M) ) P1 =Fittn(M)P1. Với mỗi a ∈ Fittn(M), ta có D(a) ∈Ω1 và D(a) = a− t(a) ∈ Fittn(M)P1. Khi đó, bởi Ω1 là A-môđun hữu hạn ta có thể viết D(a) = p ∑ i=1 ai(xi+Dyi); D(a) = q ∑ j=1 b jω j, trong đó ai ∈ Fittn(M) và b j,xi,yi,z j ∈ A. Khi đó, ta dẫn đến p ∑ i=1 aixi = 0 và p ∑ i=1 aiDyi = q ∑ j=1 b jω j. Bởi vì Ω1 là A-môđun tự do, nên q= p và { b j = a j ω j = D(yi) với mọi 1≤ i≤ p. Điều này chứng tỏ D(Fittn(M))⊂ Fittn(M)Ω1, nói cách khác Fittn(M) là một iđêan D-bất biến của A. Theo giả thiết (A,Ω1,D) là C-đại số vi phân đơn, nên tồn tại số r ∈N∗ sao cho Fittr(M) = A và Fittn(M) = 0 với mọi n< r. Vì vậy, Mệnh đề B.2.6 khẳng định M là một A-môđun xạ ảnh hạng hằng r. Tài liệu tham khảo [1] Y. André. Différentielles non commutatives et Théorie de Galois différentielle ou aux différences. Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 4e serie(t. 34):685–739, 2001. [2] Y. André. Structure des connexions méromorphes formelles de plusieurs variables. Invent. Math., 170:147–198, 2007. [3] Y. André. Slope filtrations. Confluentes Mathematici, 1(1):1–85, 2009. [4] Y. André, F. Baldassarri, and M. Cailotto. De Rham cohomology of differential modules on algebraic varieties. Second edition. Progress in Mathematics 189. Birkha¨user/Springer Nature Switzerland AG, 2020. [5] M. F. Atiyah and I.G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra. Addison- Wesley series in mathematics. CRC Press - Taylor & Francis Group, 1966. [6] S. M. Bhatwadekar and R. A. Rao. On a question of Quillen. Transactions of the American Mathematical Society, 279(2):801–810 (10 pages), 1983. [7] N. Bourbaki. Algébra commutative. Chapters 1-4. Éléments de Mathématiques. Masson - Paris (Berlin - Springer 2006), 1985. [8] E. A. Coddington and N. Levinson. Theory of ordinary differential equations. TMH editor. McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-London, 1955. [9] P. Deligne. Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points in Galois groups over Q. Math. Sci. Res. Inst. Publ., 16:79–297, 1987. [10] J. P. Dos Santos. The behaviour of the differential Galois group on the generic and special fibres: A Tannakian approach. J. Reine Angew. Math., 637(DEC):63–98, 2009. [11] D. Dummit and R.M. Foote. Abstract Algebra, 3rd Edition. John Wiley & Sons. Inc., 2003. [12] N. D. Duong and P. H. Hai. Tannakian duality over Dedekind rings and applications. Mathematische Zeitschrift, 288(5):1103–1142, 2018. [13] N.D. Duong, P. H. Hai, and J. P.D. Santos. On the structure of affine flat group schemes over discrete valuation rings I. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., (18):977–1032, 2018. [14] B. Dwork, G. Gerotto, and F.J. Sullivan. An introduction to G-functions. Annals of Mathematics Studies 133. Princeton University Press, 1994. 116 Tài liệu tham khảo [15] D. Eisenbud. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. Springer, New York, 1995. [16] V. Ene. On the structure of nilpotent endomorphisms and applications. An. St. Univ. Ovidius Constanta, 14(1):71–82, 2006. [17] Lei Fu. Etale Cohomology Theory. Nankai Tracts in Mathematics: Volume 13. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2011. [18] Alexander Grothendieck. Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Publ. Math. IHÉS, 4:5–228, 1960. [19] Alexander Grothendieck. Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie. Publ. Math. IHÉS, Tome 11(Troisième partie): 5–167, 1961. [20] Alexander Grothendieck. Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. Publ. Math. IHÉS, Tome 28(Troisième partie): 5–255, 1966. [21] Alexander Grothendieck. Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. Publ. Math. IHÉS, Tome 32(Quatrième partie):5–361, 1967. [22] P. H. Hai and J. P.D. Santos. On the structure of affine flat group schemes over discrete valuation rings II. International Mathematics Research Notices, (12):9375–9424, 2021. [23] P. H. Hai and J. P.D. Santos. Regular singular connections on relative complex schemes. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., VOL. XXIV(ISSUE 3), 2023. [24] D. Harbater. Patching and Galois theory in Galois groups and fundamental groups. Math. Sci. Res. Inst. Publ., 41:313–424, 2003. [25] R. Hartshorne. Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 52. Springer Science+Business Media New York, 1977. [26] J. E. Humphreys. Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics 9. New York, Springer-Verlag, 1972. [27] L. Illusie. Grothendieck’s existence theorem in formal geometry: With a letter (in French) of Jean-Pierre Serre. Math. Surveys Monogr., 123:179–233, 2006. [28] Y. Ilyashenko and S. Yakovenko. Lectures on analytic differential equations. Graduate Studies in Mathematics 86. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. [29] Johan de Jong and Authors. The Stacks project. GNU Free Documentation License. Free Software Foundation, Inc. 51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA, 2022. [30] N. M. Katz. Nilpotent connections and the monodromy theorem: Applications of a result of Turrittin. Publ. Math. IHÉS, 39(1):175–232, 1970. Tài liệu tham khảo 117 [31] N. M. Katz. A simple algorithm for cyclic vectors. Amer. J. Math., 109:65–70, 1987. [32] N. M. Katz. On the calculation of some differential Galois groups. Invent. Math., 87: 13–61, 1987. [33] N. M. Katz. Exponential sums and differential equations. Annals of Mathematics Studies 124. Princeton University Press., 1990. [34] K. S. Kedlaya. Good formal structure for flat meromorphic connections, I: Surfaces. Duke mathematical journal, 154(2):343–418, 2008. [35] K. S. Kedlaya. Good formal structure for flat meromorphic connections, II: Excellent schemes. Journal of the American Mathematical Society, 24(1):183–229, 2011. [36] L. Kindler. Local-to-Global Extensions of D-Modules in Positive Characteristic. International Mathematics Research Notices, Vol. 2015(19):pp. 9139–9174, 2015. [37] Y. Laszlo and C. Pauly. On the Hitchin morphism in positive characteristic. Internat. Math. Res. Notices, 3:129–143, 2001. [38] A. H. M. Levelt. Jordan decomposition for a class of singular differential operators. Arkiv For Matematik, 13(1):1–27, 1975. [39] H. Matsumura. Commutative Algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. [40] H. Matsumura. Commutative ring theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8. Cambridge University Press, 1986. [41] J. S. Milne. Étale Cohomology. Princeton Math. Series. Volume 33. Princeton U. Press, 1980. [42] T. Mochizuki. Good formal structure for meromorphic flat connections on smooth projective surfaces. Advanced Studies Pure Mathematics, 54:223–253, 2009. [43] B.C. Ngo. Weierstrass preparation theorem and singularities in the space of non- degenerate arcs. Arxiv.org/abs/1706.05926v1, 2017. [44] D. Popescu. General Néron desingularization and approximation. Nagoya Math. J., 104:85–115, 1986. [45] C. Rotthaus. Excellent Rings, Henselian Rings, and the Approximation Property. Rocky Mountain Journal of Mathematics, Vol. 27(1):p.317–334, 1997. [46] R. N. Saavedra. Catégories Tannakiennes. Lecture Notes in Mathematics 265. Springer- Verlag, Berlin, 1972. [47] M. Van der Put and M. Singer. Galois theory of linear differential equations. Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften 328. Springer, Berlin, Heidelberg, 2003. [48] W. Wasow. Asymptotic expansions for ordinary differential equations. Reprint of the first edition with corrections. Pure and applied mathematics 14. Robert E. Krieger Publishing Co. Huntington, New York, 1976. Chỉ mục C-đại số vi phân đơn, 108 OPC-môđun tự do địa phương tương đối, 25 t−liên thông, 92 p−độ cong, 92 đa thức đặc trưng, 92 khả tích, 92 t−phân thớ, 92 cyclic phần tử, 3 vectơ, 3 cấu xạ Frobenius, 91 Frobenius tương đối, 91 giữa các họ liên thông, 47 giữa các liên thông, 4, 8, 13, 16, 29 iđêan D-bất biến, 107 khai triển Jordan liên thông, 75 tự đồng cấu tuyến tính, 101, 104 khai triển Turrittin-Levelt-Jordan, 76, 86 liên thông, 2, 108 nghiệm, 2 đối ngẫu, 2, 110 liên thông lôgarit trênCJxK, 4 Euler, 5 số mũ, 5 thặng dư, 5 tích tenxơ, 4 liên thông lôgarit trên PC, 13 dạng Euler, 17 Euler, 14 số mũ, 15 liên thông trênC((x)), 8 chéo hóa được, 75 chỉ số Turrittin, 76 hạng 1, 75 khai triển lôgarit, 78, 83 không rẽ nhánh, 76 kì dị chính qui, 9 nửa đơn, 75 tích tenxơ, 8 tầm thường, 8 đặc trưng, 76 liên thông trên R((x)), 29 dạng Euler, 34 giá trị không chính qui, 86 không có R-xoắn, 57 không rẽ nhánh, 86 120 Chỉ mục phẳng, 40 số mũ Turrittin, 86 liên thông trên RJxK có kì dị lôgarit, 30 x-thuần túy, 30 Euler, 33 số mũ rút gọn, 32 thặng dư, 32 thặng dư rút gọn, 32 liên thông trên PC \{0,∞}, 15 kì dị chính qui, 16 liên thông trên PR có kì dị lôgarit, 49 Euler, 68 số mũ, 50 thuần túy, 50 liên thông trên PR \{0,∞}, 50 kì dị chính qui, 50 lưới Deligne-Manin, 19, 23, 26, 27 lôgarit, 9, 12, 16, 31, 50 miền iđêan chính, 57 mô hình x-thuần túy, 31 Deligne-Manin, 42, 54 lôgarit, 9, 16, 31, 50 môđun không R−xoắn, 85 tự do, 85 tự do tương đối, 22 phương trình vi phân, 2 phạm trù liên thông MC(C[x±]/C), 16 MC(R[x±]/R), 50 MC(C((x))/C), 8 MC(R((x))/R), 29 MC◦(R((x))/R), 29, 85 MCs(C((xs))/C), 73 phạm trù liên thông kì dị chính qui MCrs(C[x±]/C), 16 MCrs(R[x±]/R), 50 MCrs(R[x±]/R)∧, 51 MCrs(R((x))/R), 30 MCrs(R((x))/R)∧, 47 MC◦rs(R[x±]/R), 68 MC◦rs(R((x))/R), 58 phạm trù liên thông lôgarit MClog,s(C[[xs]]/C), 73 MClog(PC/C), 13 MClog(PR/R), 49 MClog(RJxK/R), 30 MC◦log(RJxK/R), 30 phạm trù tự đồng cấu tuyến tính EndC, 3 EndR, 32 End◦R, 32 trường vi phân, 1 tương đương Deligne, 19, 25, 56 vành vi phân, 1, 107 đồng nhất Jacobi, 96