Luận án Về môđun cohen - Macaulay suy rộng chính tac và một số quỹ tích không cohen - Macaulay trên vành noether địa phương

có ngay đẳng thức dim nCM(M ⊗R S) = dim(S/mS) + dim nCM(M). Như vậy, mệnh đề được chứng minh hoàn toàn. Tiếp theo, chúng tôi quan tâm đến mối liên hệ giữa chiều của các quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc qua chuyển phẳng. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, cho f : (R,m) → (S, n) là đồng cấu phẳng địa phương, thì không phải lúc nào KR ⊗R S cũng là môđun chính tắc của S. Theo Y. Aoyama và S. Goto [4], điều này chỉ đúng khi S/mS là vành Gorenstein. Bổ đề 3.1.5. [4, Định lý 4.1] Cho f : (R,m) → (S, n) là một đồng cấu phẳng địa phương. Khi đó S/mS là một vành Gorenstein nếu và chỉ nếu KR ⊗R S là môđun chính tắc của S và S/mS là vành Cohen-Macaulay. Cho t > 0 là một số nguyên, cho S = R[[x1, . . . , xt]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức t biến trên R. Khi đó, ánh xạ tự nhiên R → S là đồng cấu phẳng địa phương và S/mS là vành Gorenstein. Kết quả tiếp theo sau đây chỉ ra mối liên hệ giữa các môđun chính tắc (tương ứng các môđun khuyết) của R và S qua đồng cấu phẳng tự nhiên này. 50 Mệnh đề 3.1.6. Cho S = R[[x1, . . . , xt]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên R. Khi đó (a) K iS ∼= K i−tR ⊗R S với mọi i ≥ t và K iS = 0 với mọi i < t. Đặc biệt, nếu K i−tR 6= 0 thì dimSK iS = t+ dimRK i−tR . (b) KR là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu KS là Cohen-Macaulay. Nếu KR không là Cohen-Macaulay thì dim nCM(KS) = t+dim nCM(KR). Chứng minh. (a) Giả sử (R′,m′) là vành Gorenstein địa phương chiều n′ sao cho R là vành thương của R′. Đặt R = R′/J, với J là iđêan nào đó của R′. Theo Định lý đối ngẫu địa phương ta có đẳng cấu H im(R) ∼= HomR(Extn′−iR′ (R,R′), E(R/m)) = HomR(K iR, E(R/m)) với mọi i ∈ N. Đặt S ′ = R′[[x1, . . . , xt]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức t biến trên R′. Với mỗi số nguyên i ≥ 0, ta có đẳng cấu ExtiR′(R,R ′)⊗R′ S ′ ∼= ExtiS′(R⊗R′ S ′, S ′). Chú ý rằng S ′ là một vành Gorenstein với chiều dimS ′ = n′ + t nên K iR ⊗R′ S ′ ∼= K i+tR⊗R′S′ với mọi số nguyên i ≥ 0. Do K iR và R đều có cấu trúc R′-môđun nên ta có R⊗R′ S ′ ∼= R⊗R R′/J ⊗R′ S ′ ∼= R⊗R S ∼= S; K iR ⊗R′ S ′ ∼= K iR ⊗R R′/J ⊗R′ S ′ ∼= K iR ⊗R S. Vì vậy K iS ∼= K i−tR ⊗RS với mọi i ≥ t. Dễ thấy rằng K iS = 0 với mọi i < t. Do đó, nếu K i−tR 6= 0 thì dimSK iS = t+ dimRK i−tR . (b) Vì vành S/mS là Gorenstein nên theo Bổ đề 3.1.5 ta suy ra được KS ∼= KR ⊗R S. Lại do đơn cấu tự nhiên R → S là đồng cấu phẳng địa phương và dim(S/mS) = depth(S/mS) = t nên áp dụng Bổ đề 3.1.1 ta được dimKS = t + dimKR, depthKS = t + depthKR. Do đó KR là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu KS là Cohen-Macaulay. Giả sử rằng KR 51 không là Cohen-Macaulay. Khi đó, do KR và KS là đẳng chiều nên theo Mệnh đề 3.1.4 ta suy ra ngay đẳng thức dim nCM(KS) = dim nCM(KR ⊗R S) = t+ dim nCM(KR). 3.2. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc Trong tiết này chúng tôi trình bày kết quả chính của Chương 3 về mối quan hệ giữa chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M. Ta đã biết nếu d ≤ 2 thì KM luôn là môđun Cohen-Macaulay nên nCM(KM) = ∅. Do đó ta chỉ cần quan tâm đến trường hợp d ≥ 3. Hơn nữa, để nghiên cứu môđun chính tắc của M, ta có thể giả thiết M là không trộn lẫn, tức là dim(R̂/P) = dimR̂ M̂ với mọi P ∈ AssR̂ M̂ (xem M. Nagata [30]). Thật vậy, ký hiệu UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn d. Khi đó M/UM(0) là không trộn lẫn và KM ∼= KM/UM (0). Chú ý rằng dim nCM(M) ≤ d−1. NếuM là không trộn lẫn thì dim nCM(M) ≤ d−2. Định lý sau đây là kết quả chính của Chương 3, trong đó chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM . Đặc biệt hơn, chúng tôi chỉ ra rằng, ngoài mối quan hệ bao hàm nCM(KM) ⊆ nCM(M), thì hai quỹ tích này hầu như là độc lập với nhau theo nghĩa sau đây. Định lý 3.2.1. Các phát biểu sau là đúng. (a) dim nCM(KM) ≤ min {d− 3, dim nCM(M)}. (b) Cho các số nguyên n, s, r thỏa mãn −1 ≤ s ≤ n − 3 và s ≤ r ≤ n − 2. Khi đó luôn tồn tại một vành Noether địa phương, đầy đủ 52 (R,m) sao cho R là không trộn lẫn và dimR = n, dim nCM(R) = r, dim nCM(KR) = s. Để chứng minh Định lý 3.2.1, chúng tôi cần sử dụng các kết quả sau đây, trong đó Định lý cấu trúc vành Buchsbaum của S. Goto [19] đóng một vai trò quan trọng. Bổ đề 3.2.2. [19, Định lý 1.1] Cho n > 0 và h0, . . . , hn−1 ≥ 0 là các số nguyên. Khi đó, tồn tại vành Buchsbaum địa phương (R,m) thỏa mãn dimR = n và dimR/mH i m(R) = hi với mọi 0 ≤ i ≤ n − 1. Hơn nữa, nếu h0 = 0 thì R là miền nguyên. Một công cụ nữa chúng tôi cần dùng đến trong chứng minh Định lý chính của Chương là vành iđêan hóa. Do đó, chúng tôi nhắc lại khái niệm vành iđêan hóa được giới thiệu bởi M. Nagata [30]. Tích Descartes R×M cùng với hai phép toán cộng và nhân xác định bởi: (r1,m1) + (r2,m2) = (r1 + r2,m1 +m2); (r1,m1)(r2,m2) = (r1r2, r1m2 + r2m1) là một vành. Vành này được gọi là vành iđêan hóa của M trên R và được ký hiệu bởi R nM . Chú ý rằng R nM là vành giao hoán địa phương Noether với đơn vị là (1, 0). Iđêan cực đại duy nhất của RnM là m×M. Theo Mệnh đề 1.3.4(ii), ta có các môđun chính tắcKR, KM , KRnM là đẳng chiều. Do đó ta có thể suy ra ngay bổ đề sau từ [12, Định lý 3.1] và [25, Định lý 1.1]. Bổ đề 3.2.3. Các phát biểu sau là đúng (a) Nếu dimM < dimR thì dim nCM(KRnM) = dim nCM(KR). (b) Nếu dimM = dimR thì dim nCM(KRnM) = max{dim nCM(KR), dim nCM(KM)}. 53 Ngoài ra, chúng tôi còn cần sử dụng một đặc trưng Cohen-Macaulay của môđun chính tắc qua đối đồng điều địa phương sau đây. Bổ đề 3.2.4. [5, Hệ quả 2.7] Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng với dimM = d ≥ 0. Khi đó KM là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu H im(M) = 0 với mọi i = 2, . . . , d− 1. Chứng minh Định lý 3.2.1. (a). Vì M là không trộn lẫn nên theo Mệnh đề 1.3.3(iii), với mỗi số nguyên k ≥ 1, nếu M thỏa mãn điều kiện Serre (Sk) thì dimRH i m(M) ≤ i − k với mọi i < d. Do đó, theo Bổ đề 3.1.3, ta suy ra nếu M thỏa mãn điều kiện Serre (Sk) thì dim nCM(M) = max i<d dimRH i m(M) ≤ d− k − 1. Lại có KM luôn thỏa mãn điều kiện Serre (S2) (theo Mệnh đề 1.3.4(iv)) nên ta có ngay dim nCM(KM) ≤ d − 3. Vì thế ta chỉ cần chứng minh rằng dim nCM(KM) ≤ dim nCM(M). Nếu KM là Cohen-Macaulay thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Giả sử rằng KM không là Cohen- Macaulay. Đặt s = dim nCM(KM) thì ta có s ≤ d − 3. Khi đó tồn tại p ∈ nCM(KM) sao cho dimR/p = s. Suy ra (KM)p không là Cohen- Macaulay. Vì vậy p ∈ Supp(KM) và do đó p ∈ Supp(M). Theo Mệnh đề 1.3.4(ii) ta có Ass(KM) = {q ∈ Ass(M) | dimR/q = d} nên p /∈ Ass(KM), suy ra p ⊇ q với q ∈ Ass(M) và dimR/q = d. Do R là thương của một vành Gorenstein địa phương nên R là catenary. Khi đó dimR/p + dimMp = dimR/p + ht p/q = dimR/q = d. Theo Mệnh đề 1.3.3(ii) ta có (KM)p ∼= KMp. Do vậy, KMp không là Cohen-Macaulay. Từ đó suy ra Mp không là Cohen-Macaulay, tức là p ∈ nCM(M). Vậy dim nCM(M) ≥ dimR/p = s = dim nCM(KM). (b). Cho n, s, r là các số nguyên thỏa mãn −1 ≤ s ≤ n − 3 và s ≤ r ≤ n− 2. Ta xét hai trường hợp sau. 54 • Trường hợp s = −1. Nếu r = −1, thì bất kỳ vành địa phương, đầy đủ, Cohen-Macaulay chiều n nào cũng thỏa mãn yêu cầu. Giả sử r ≥ 0. Chọn (R1,m1) là một miền nguyên, địa phương, đầy đủ Buchsbaum sao cho dimR1 = n− r ≥ 2 và H im1(R1) = 0 với mọi i 6= n− r và i 6= 1. Chú ý rằng một miền nguyên địa phương R1 như vậy luôn tồn tại theo Định lý cấu trúc vành Buchsbaum của S. Goto (Bổ đề 3.2.2). Khi đó R1 không là Cohen-Macaulay. Chú ý rằng R1 là Cohen-Macaulay suy rộng. Suy ra dim nCM(R1) = 0. Từ cách chọn R1 ta có KR1 là Cohen-Macaulay theo Bổ đề 3.2.4. Suy ra dim nCM(KR1) = −1. Đặt R = R1[[x1, . . . , xr]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức r biến trên R1. Khi đó, R là một miền nguyên, Noether địa phương, đầy đủ và dimR = n. Vì KR1 là Cohen- Macaulay, nên theo Mệnh đề 3.1.6(b) suy ra rằng KR là Cohen-Macaulay, tức là dim nCM(KR) = −1 = s. Do R1 là Buchsbaum và H0m1(R1) = 0, nên R1 là không trộn lẫn, tức là dim(R1/p) = dimR1 với mọi p ∈ AssR1. Với mỗi p ∈ Spec(R1), vì R/pR ∼= (R1/p)[[x1, . . . , xr]] là một miền nguyên nên pR ∈ Spec(R) và dim(R/pR) = r+ dim(R1/p). Do đơn cấu tự nhiên R1 → R là phẳng nên theo Bổ đề 3.1.1(b) ta có AssR = ⋃ p∈AssR1 AssR(R/pR) = {pR | p ∈ AssR1}. Suy ra rằng với mỗi P ∈ AssR, tồn tại p ∈ AssR1 sao cho P = pR. Từ đó dim(R/P) = r + dim(R1/p) = r + dimR1 = dimR = n. Như vậy, R cũng là không trộn lẫn. Vì R1 không là Cohen-Macaulay và R, R1 là đẳng chiều nên theo Mệnh đề 3.1.4 ta có dim nCM(R) = r + dim nCM(R1) = r. Vậy R là vành địa phương đầy đủ không trộn lẫn thỏa mãn. • Trường hợp s ≥ 0. Theo Bổ đề 3.2.2, ta có thể chọn (R2,m2) là một miền nguyên, địa phương, Buchsbaum, đầy đủ sao cho 55 dimR2 = n − s ≥ 3, H0m2(R2) = 0 và Hn−s−1m2 (R2) 6= 0. Rõ ràng R2 không là Cohen-Macaulay nhưng lại là Cohen-Macaulay suy rộng nên dim nCM(R2) = 0 và `R2(H n−s−1 m2 (R2)) < ∞. Theo Nhận xét 2.1.4(iii), ta có Rl(Hn−s−1m2 (R2)) = `R2(H n−s−1 m2 (R2)) 6= 0. Do đó, theo Bổ đề 2.1.5 ta suy ra được KR2 không là Cohen-Macaulay. Từ đó dim nCM(KR2) = 0. Giả sử R3 = R2[[x1, . . . , xs]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức s biến trên R2. Bằng phương pháp tương tự như trên, ta có thể chỉ ra rằng R3 là một vành Noether địa phương, đầy đủ, không trộn lẫn với iđêan cực đại duy nhất n = (m2, x1, . . . , xs)R3 và dimR3 = n. Vì R2 và KR2 không là Cohen-Macaulay nên theo Mệnh đề 3.1.4 và Mệnh đề 3.1.6 ta có dim nCM(R3) = s+ dim nCM(R2) = s; dim nCM(KR3) = s+ dim nCM(KR2) = s. Do đó, nếu s = r, ta đặt R = R3 thì R là vành thỏa mãn yêu cầu. Giả sử s < r. Theo Mệnh đề 3.1.6(a) ta suy ra được rằng H in(R3) = 0 với mọi i < s và với mỗi số nguyên i ≥ s, ta có K iR3 ∼= K i−sR2 ⊗R2 R3. Chú ý rằng ánh xạ tự nhiên R2 → R3 là đồng cấu phẳng nên với bất kỳ số nguyên i < n, ta suy ra được theo Định lý đối ngẫu địa phương rằng nếu H in(R3) 6= 0 thì H i−sm2 (R2) 6= 0 và dimR3 H i n(R3) = dimR2 H i−s m2 (R2) + s = s. Do đó, dimR3 H i n(R3) ≤ s với mọi i < n. Cho a1, . . . , an−r là một phần hệ tham số của R3. Đặt P = (a1, . . . , an−r)R3 và Q = R3/(a1, . . . , an−r)R3. Khi đó ta có dãy khớp các R3-môđun 0→ P → R3 → Q→ 0. Từ đó ta có dãy khớp cảm sinh H in(R3)→ H in(Q)→ H i+1n (P )→ H i+1n (R3), 56 với mọi i ≥ 0. Chú ý rằng dimQ = r ≤ n − 2 và dimP = dimR3 = n. Suy ra dimR3 H r n(Q) = r và dimR3 H i n(Q) < r với mọi i 6= r. Vì r+ 1 < n và dimR3 H i n(R3) ≤ s với mọi i < n, nên ta có dimR3 Hrn(R3) ≤ s < r và dimR3 H r+1 n (R3) ≤ s < r. Suy ra dimR3 Hr+1n (P ) = r và dimR3 H in(P ) < r với mọi i 6= r + 1 và i 6= n. Vì R3 là không trộn lẫn nên P là không trộn lẫn. Do đó, theo Bổ đề 3.1.3 ta có dim nCM(P ) = max i<n dimR3 H i n(P ) = r. Đặt R = R3 n P là vành iđêan hóa của R3-môđun P. Khi đó R là vành Noether địa phương với iđêan cực đại duy nhất m = n× P. Vì R3 là đầy đủ với tôpô n-adic nên R là đầy đủ với tôpô m-adic (xem [2, Định lý 4.11]). Vì R3 và P là không trộn lẫn chiều n nên chúng ta có thể kiểm tra rằng R là không trộn lẫn chiều n. Do R là đầy đủ và không trộn lẫn nên theo Bổ đề 3.1.3 ta có dim nCM(R) = max i<n dimRH i m(R). Xét dãy khớp sau 0→ P → R ρ→ R3 → 0, trong đó (x) = (0, x) với mọi x ∈ P và ρ(a, x) = a với mọi (a, x) ∈ R. Từ dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương cảm sinh, chúng ta có thể kiểm tra được rằng dimRH r+1 m (R) = dimRH r+1 m (P ) = dimR3 H r+1 n (P ) = r và dimRH i m(R) ≤ s < r với mọi i 6= r+1 và i 6= n. Vậy dim nCM(R) = r. Vì r ≤ n− 2 và dimR3 Q = r nên từ dãy khớp 0→ P → R3 → Q→ 0 ta có KP ∼= KR3. Hơn nữa, vì KR2 không là Cohen-Macaulay nên theo Mệnh đề 3.1.6(b) ta có dim nCM(KR3) = s + dim nCM(KR2) = s. Theo Bổ đề 3.2.3, ta có dim nCM(KR) = max{dim nCM(KR3), dim nCM(KP )} = dim nCM(KR3) = s. Như vậy, R là vành thỏa mãn Định lý. 57 Nhận xét 3.2.5. Từ Định lý 3.2.1, chúng ta có thể chỉ ra rằng chiều ngược lại của Mệnh đề 2.1.10 không đúng. Thật vậy, theo Định lý 3.2.1, tồn tại một vành địa phương, đầy đủ, không trộn lẫn R sao cho R không là Cohen-Macaulay suy rộng, nhưng KR lại là Cohen-Macaulay suy rộng. Theo Định lý 2.2.4, tồn tại một hệ tham số chính tắc của R, nhưng R không có hệ tham số chuẩn tắc. Kết luận Chương 3 Trong chương này, chúng tôi đã thu được các kết quả sau đây. • Chỉ ra tính chất về chiều của môđun đối đồng điều địa phương và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun qua chuyển phẳng. • Xét tính Cohen-Macaulay của môđun chính tắc và mối quan hệ của các môđun khuyết qua đồng cấu phẳng tự nhiên R→ S trong trường hợp S = R[[x1, . . . , xt]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên R. Từ đó đưa ra mối liên hệ về chiều của các môđun khuyết cũng như chiều của các quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc qua đồng cấu phẳng tự nhiên này. • Chỉ ra rằng chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM hầu như là độc lập với nhau. 58 Chương 4 Đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng và quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s Cho ϕ : (S, n) → (S ′, n′) là một đồng cấu phẳng địa phương giữa các vành Noether địa phương. Với mỗi S-môđun hữu hạn sinh L, ta có mối quan hệ giữa các tập iđêan nguyên tố liên kết của S ′-môđun L⊗S S ′ và của S-môđun L như sau (xem [29, Định lý 23.2]) AssS′(L⊗S S ′) = ⋃ s∈AssS L AssS′(S ′/sS ′); (4.1) AssS L = {ϕ−1(S) | S ∈ AssS′(L⊗S S ′)}. (4.2) Ngoài ra, khi biết tập các iđêan nguyên tố liên kết của một môđun hữu hạn sinh, ta có thể xác định được chiều cũng như tính được số bội của nó thông qua công thức bội liên kết (xem [29, Định lý 14.7]). Mặt khác, với mỗi i ≥ 0 là một số nguyên và r = dim(S ′/nS ′), môđun đối đồng điều địa phương H i+rn′ (L⊗S S ′) là S ′-môđun Artin và H in(L) là S-môđun Artin. Hơn nữa, tập các iđêan nguyên tố gắn kết định nghĩa bởi I. G. Macdonald [27] cho môđun Artin đóng vai trò quan trọng tương tự như tập các iđêan nguyên tố liên kết của các môđun hữu hạn sinh. Vì thế, một câu hỏi tự nhiên là các tập iđêan nguyên tố gắn kết của H in(L) và H i+r n′ (L ⊗S S ′) có quan hệ với nhau như thế nào? Chiều và số bội của H i+rn′ (L ⊗S S ′) có thể xác định thông qua chiều và số bội của H in(L) hay không? Mục 59 tiêu thứ nhất của Chương 4 là trả lời các câu hỏi trên trong trường hợp ϕ : Rp → R̂P là đồng cấu cảm sinh từ đồng cấu tự nhiên R → R̂, trong đó P ∈ Spec(R̂), p = P ∩ R và rP = dim(R̂P/pR̂P). Cụ thể là chúng tôi xây dựng hai công thức liên hệ giữa tập các iđêan nguyên tố gắn kết của H ipRp(Mp) và H i+rP PR̂P (M̂P), với chú ý rằng Mp⊗Rp R̂P ∼= M̂P. Từ đó, chúng tôi đưa ra mối liên hệ về chiều, số bội của các môđun đối đồng điều địa phương Artin này. Mục tiêu thứ hai của Chương là áp dụng kết quả về tập các iđêan nguyên tố gắn kết của H ipRp(Mp) và H i+rP PR̂P (M̂P) để nghiên cứu tính Cohen-Macaulay, tính Cohen-Macaulay theo chiều > s và chiều của các quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s khi chuyển qua đồng cấu phẳng ϕ. Nội dung của Chương 4 được trình bày dựa theo bài báo [31] và [43]. 4.1. Iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương qua chuyển phẳng Cho P ∈ Spec(R̂) và p = P ∩ R. Từ đây trở đi, ta luôn ký hiệu rP = dim(R̂P/pR̂P). Mục tiêu của tiết này là xây dựng các công thức chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương H ipRp(Mp) qua đồng cấu phẳng địa phương ϕ : Rp → R̂P, tương tự như các công thức (4.1), (4.2) của môđun hữu hạn sinh. Chú ý rằng nếu rP = 0 thì theo Định lý chuyển cơ sở phẳng [8, Định lý 4.3.2] ta có đẳng cấu H ipRp(Mp)⊗Rp R̂P ∼= H i+rP PR̂P (M̂P). Vì thế, theo Mệnh đề 1.2.5 ta có ngay AttRp ( H ipRp(Mp) ) = { ϕ−1(QR̂P) | QR̂P ∈ AttR̂P ( H i+rP PR̂P (M̂P) )} . Giả sử rP > 0 và H i pRp (Mp) 6= 0. Khi đó H ipRp(Mp) ⊗Rp R̂P không là R̂P-môđun Artin vì dim SuppR̂P ( H ipRp(Mp)⊗Rp R̂P ) = rP > 0. Như vậy, trong trường hợp này, H ipRp(Mp) ⊗Rp R̂P 6∼= H i+rP PR̂P (M̂P). Tuy nhiên ta có đẳng cấu sau đây. 60 Bổ đề 4.1.1. Cho P ∈ Spec(R̂) và p = P∩R. Nếu R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương thì H i PR̂P (M̂P) ∼= { H rP PR̂P ( H i−rP pRp (Mp)⊗Rp R̂P ) nếu i ≥ rP, 0 nếu i < rP. Hơn nữa, H i PR̂P (M̂P) 6= 0 nếu và chỉ nếu H i−rPpRp (Mp) 6= 0 với mọi i ≥ rP. Chứng minh. Do R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương nên thớ hình thức R̂P/pR̂P là Cohen-Macaulay theo [22, Hệ quả 1.2]. Từ đó suy ra depth(R̂P/pR̂P) = dim(R̂P/pR̂P) = rP. Mặt khác, Mp ⊗Rp R̂P ∼= M̂P. Vì thế, áp dụng Bổ đề 3.1.1(d) ta được depthR̂P(M̂P) = depthR̂P(Mp ⊗Rp R̂P) = depthRp(Mp) + depth(R̂P/pR̂P) = depthRp(Mp) + rP ≥ rP. Do đó, nếu i < rP thì H i PR̂P (M̂P) = 0. Xét trường hợp i ≥ rP. Theo Bổ đề 3.1.2, ta có đẳng cấu H i PR̂P (M̂P) ∼= HrPPR̂P ( H i−rP pRp (Mp)⊗Rp R̂P ) . Để xây dựng công thức liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết của H ipRp(Mp) và của H i+rP PR̂P (M̂P), chúng tôi cần sử dụng kết quả sau đây của L. T. Nhàn và P. H. Quý [35]. Đó là các nguyên lý chuyển dịch qua địa phương và qua đầy đủ cho iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương. Bổ đề 4.1.2. [35, Định lý 3.7] Cho p ∈ Spec(R) và i ≥ 0 là một số nguyên. Giả sử R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Khi đó 61 (a) AttRp ( H i−dim(R/p) pRp (Mp) ) = { qRp | q ∈ AttR(H im(M)), q ⊆ p } ; (b) AttR̂(H i m(M)) = ⋃ p∈AttR(Him(M)) AssR̂(R̂/pR̂). Định lý sau đây, là kết quả chính đầu tiên của Chương 4, cho ta mối quan hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyển phẳng. Định lý 4.1.3. Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Giả sử P ∈ Spec(R̂) và p = P ∩ R. Đặt rP = dim ( R̂P/pR̂P ) . Khi đó với bất kỳ số nguyên i ≥ 0, ta có: (a) AttRpH i pRp (Mp) = { QR̂P ∩Rp | QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) } , (b) AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) = ⋃ qRp∈AttRp HipRp(Mp) Ass ( R̂P/qR̂P ) , (c) Với mỗi Q ∈ Spec(R̂) thỏa mãn Q ⊆ P và q = Q ∩ R, ta có QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) nếu và chỉ nếu qRp ∈ AttRpH ipRp(Mp) và Q ∈ min Var(qR̂). Chứng minh. (a). Lấy bất kỳ qRp ∈ AttRpH ipRp(Mp). Vì R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương nên Rp cũng là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Do đó, theo Bổ đề 4.1.2(a) ta có qRq ∈ AttRqH i−dim(Rp/qRp)qRq (Mq). Vì ánh xạ tự nhiên R → R̂ là đồng cấu phẳng, nên nó thỏa mãn Định lý đi xuống (xem [29, Định lý 9.5]). Do đó, từ giả thiết q ⊆ p và P ∩ R = p suy ra tồn tại Q ∈ min Var(qR̂) sao cho Q ⊆ P và Q∩R = q. Theo Định lý chuyển cơ sở phẳng [8, Định lý 4.3.2] ta có( H i−dim(Rp/qRp) qRq (Mq) ) ⊗Rq R̂Q ∼= H i−dim(Rp/qRp)qR̂Q (Mq ⊗Rq R̂Q) ∼= H i−dim(Rp/qRp) QR̂Q (M̂Q). Do ϕ : Rq → R̂Q là đồng cấu phẳng địa phương và dim ( R̂Q/qR̂Q ) = 0, nên theo Bổ đề 1.2.5, tồn tại Q1R̂Q ∈ AttR̂QH i−dim(Rp/qRp) QR̂Q (M̂Q) sao cho 62 qRq = Q1R̂Q ∩ Rq. Suy ra Q1 ⊆ Q và Q1 ∩ R = q. Vì Q ∈ min Var(qR̂), nên ta có Q = Q1. Do đó QR̂Q ∈ AttR̂QH i−dim(Rp/qRp) QR̂Q (M̂Q). Vì thế, theo Bổ đề 4.1.2(a) ta suy ra QR̂P ∈ AttR̂PH i−dim(Rp/qRp)+dim ( R̂P/QR̂P ) PR̂P (M̂P). Giả sử P1 ∈ min Var(pR̂) là iđêan nguyên tố của R̂ sao cho P1 ⊆ P và rP = dim(R̂P/pR̂P) = dim(R̂P/P1R̂P). Vì R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương nên R/q và R/p là không trộn lẫn (theo thuật ngữ của M. Nagata [30]). Do đó ta có dim(R̂/Q) = dim(R/q) và dim(R̂/P1) = dim(R/p). Lại do R̂ là catenary, nên ta suy ra rP = dim(R̂P/P1R̂P) = dim(R̂/P1)− dim(R̂/P) = dim(R/p)− dim(R̂/P). Chú ý rằng R cũng là catenary, vì vậy ta có i− dim(Rp/qRp) + dim ( R̂P/QR̂P ) = i− dim(R/q) + dim(R/p) + dim(R̂/Q)− dim(R̂/P) = i+ dim(R/p)− dim(R̂/P) = i+ rP. Suy ra QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) với qRp = QR̂P ∩Rp. Như vậy, AttRpH i pRp (Mp) ⊆ { QR̂P ∩Rp | QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) } . Ngược lại, giả sử QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P). Khi đó Q ⊆ P. Áp dụng Định lý chuyển cơ sở phẳng [8, Định lý 4.3.2], với mỗi số nguyên i ≥ 0, ta có đẳng cấu H im(M) ∼= H imR̂(M̂) các R̂-môđun. Do đó theo Bổ đề 4.1.2(a) ta được Q ∈ AttR̂H i+rP+dim(R̂/P) mR̂ (M̂) = AttR̂H i+rP+dim(R̂/P) m (M). 63 Vì R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương nên theo Bổ đề 4.1.2(b) ta có Q ∈ Ass(R̂/qR̂) với q ∈ AttRH i+rP+dim(R̂/P)m (M). Lại theo Bổ đề 4.1.2(a), ta suy ra được qRp ∈ AttRpH i+rP+dim(R̂/P)−dim(R/p)pRp (Mp). Từ tính không trộn lẫn của vành R/p và chứng minh tương tự như trên ta có rP = dim(R/p)− dim(R̂/P). Suy ra qRp ∈ AttRpH ipRp(Mp). Hơn nữa, vì Q ∈ Ass(R̂/qR̂) nên ta có q = Q ∩ R và QR̂P ∈ Ass(R̂P/qR̂P). Do tính phẳng của ánh xạ tự nhiên Rp → R̂P nên từ Bổ đề 3.1.1(a) ta suy ra được rằng QR̂P ∩Rp = qRp. Như vậy khẳng định (a) được chứng minh. (b). Giả sử QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P). Đặt q = Q ∩ R. Bằng cách chứng minh tương tự như trong phần cuối của chứng minh (a), ta có thể chỉ ra rằng qRp ∈ AttRpH ipRp(Mp) và QR̂P ∈ Ass(R̂P/qR̂P). Ngược lại, giả sử qRp ∈ AttRpH ipRp(Mp) và QR̂P ∈ Ass(R̂P/qR̂P). Khi đó q ⊆ p, Q ⊆ P và Q ∈ AssR̂(R̂/qR̂). Vì R/q là không trộn lẫn nên Q ∈ min Var(qR̂). Hơn nữa, q = Q ∩ R nên theo Bổ đề 4.1.2(a) ta có qRq ∈ AttRqH i−dim(Rp/qRp)qRq (Mq). Vì Q ∈ min Var(qR̂) nên theo (a) ta được QR̂Q ∈ AttR̂QH i−dim(Rp/qRp)+rQ QR̂Q (M̂Q). Lại theo Bổ đề 4.1.2(a) ta được QRP ∈ AttR̂PH i−dim(Rp/qRp)+rQ+dim(R̂P/QR̂P) PR̂P (M̂P). VìR/q là không trộn lẫn vàQ ∈ AssR̂(R̂/qR̂) nên dim(R̂/Q) = dim(R/q). Suy ra Q ∈ min Var(qR̂) và do đó rQ = dim(R̂Q/qR̂Q) = 0. Từ tính cate- nary của R và R̂ ta có i− dim(Rp/qRp) + rQ + dim(R̂P/QR̂P) = i− dim(R/q) + dim(R/p) + dim(R̂/Q)− dim(R̂/P) = i+ dim(R/p)− dim(R̂/P) = i+ rP. Suy ra QRP ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P). 64 (c). Cho Q ∈ Spec(R̂) với Q ⊆ P và q = Q ∩ R. Theo (b) ta có QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) nếu và chỉ nếu qRp ∈ AttRqH ipRp(Mp) và QR̂P ∈ Ass(R̂P/qR̂P). Chú ý rằng QR̂P ∈ Ass(R̂P/qR̂P) nếu và chỉ nếu Q ⊆ P và Q ∈ Ass(R̂/qR̂). Vì R/q là không trộn lẫn nên Q ∈ Ass(R̂/qR̂) nếu và chỉ nếu Q ∈ min Var(qR̂). Suy ra QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) nếu và chỉ nếu qRp ∈ AttRqH ipRp(Mp) và Q ∈ min Var(qR̂). 4.2. Chiều và bội qua chuyển phẳng Theo Mệnh đề 1.2.2(ii), chiều của một môđun Artin có thể được tính thông qua chiều của các iđêan nguyên tố gắn kết của nó theo công thức sau dimRA = max{dim(R/p) | p ∈ AttRA}. Vì thế, ta có thể áp dụng Định lý 4.1.3 để so sánh chiều của các môđun đối đồng điều địa phương Artin H ipRp(Mp) và H i+rP PR̂P (M̂P). Từ đó suy ra mối liên hệ về số bội cho hai môđun đối đồng điều địa phương Artin này. Định lý sau đây là kết quả chính thứ hai của Chương 4. Định lý 4.2.1. Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Giả sử P ∈ Spec(R̂) và p = P ∩ R. Đặt rP = dim R̂P/pR̂P. Khi đó với bất kỳ số nguyên i ≥ 0 ta có dimR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) = dimRpH i pRp (Mp) + rP. Chứng minh. Giả sử i ≥ 0 là một số nguyên. Vì đồng cấu địa phương Rp → R̂P là phẳng và vành R̂P/pR̂P là Cohen-Macaulay chiều rP nên từ Bổ đề 4.1.1 ta có H i+rP PR̂P (M̂P) = 0 nếu và chỉ nếu H i pRp (Mp) = 0. Do đó, nếu H ipRp(Mp) = 0 thì cả hai vế đều bằng −∞. Giả sử rằng H ipRp(Mp) 6= 0. Đặt k = dimRpH ipRp(Mp) thì k ≥ 0. Theo Mệnh đề 1.2.2(ii), tồn tại iđêan nguyên tố qRp ∈ AttRpH ipRp(Mp) sao cho k = dim(Rp/qRp). Vì q ⊆ p và P ∩ R = p nên suy ra tồn tại 65 Q ∈ min Var(qR̂) sao cho Q ⊆ P. Khi đó QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) (theo Định lý 4.1.3(c)). Do đó ta có dimR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) ≥ dim(R̂P/QR̂P) = dim(R̂/Q)− dim(R̂/P). Vì R/q và R/p là không trộn lẫn và Q ∈ min Var(qR̂) nên ta có dim(R̂/Q) = dim(R/q) và rP = dim(R/p)− dim(R̂/P). Suy ra dim(R̂/Q)− dim(R̂/P) = dim(R/q)− dim(R/p) + rP = dim(Rp/qRp) + rP = k + rP. Ngược lại, đặt t = dimR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) thì theo Bổ đề 1.2.5 ta có t ≥ 0. Từ Mệnh đề 1.2.2(ii), tồn tại QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) sao cho t = dim(R̂P/QR̂P). Đặt q = Q ∩ R. Khi đó qRp ∈ AttRpH ipRp(Mp) và Q ∈ min Var(qR̂) (theo Định lý 4.1.3(c)). Do đó, từ Mệnh đề 1.2.2(ii) và do tính catenary của R và R̂, ta có dimRpH i pRp (Mp) + rP ≥ dim(Rp/qRp) + rP = dim(R/q)− dim(R/p) + rP = dim(R̂/Q)− dim(R̂/P) = dim(R̂P/QR̂P) = t. Từ Định lý 4.2.1, ta có hệ quả sau về tính không triệt tiêu, tập các iđêan nguyên tố gắn kết và chiều của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất H rP PR̂P ( H ipRp(Mp)⊗Rp R̂P ) . Hệ quả 4.2.2. Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương, P ∈ Spec(R̂), p = P ∩ R và rP = dim(R̂P/pR̂P). Giả sử H ipRp(Mp) 6= 0. Khi đó, Hn PR̂P ( H ipRp(Mp)⊗Rp R̂P ) 6= 0 nếu và chỉ nếu n = rP. 66 Hơn nữa, H rP PR̂P (H ipRp(Mp) ⊗Rp R̂P) là R̂P-môđun Artin có chiều bằng rP + dimRp(H i pRp (Mp)) và có tập iđêan nguyên tố gắn kết là AttR̂P(H rP PR̂P (H ipRp(Mp)⊗Rp R̂P)) = {QR̂P ∈ AssR̂P(R̂P/qR̂P) | q ∈ AttR(H i+ht(p/q)m (M))}. Chứng minh. Theo Bổ đề 4.1.1, H rP PR̂P (H ipRp(Mp) ⊗Rp R̂P) ∼= H i+rP PR̂P (M̂P) nên H rP PR̂P ( H ipRp(Mp)⊗Rp R̂P ) là R̂P-môđun Artin. Chú ý rằng H i pRp (Mp) là một Rp-môđun Artin nên nó là giới hạn thuận của một hệ thuận {An}, trong đó mỗi An là một Rp-môđun có độ dài hữu hạn. Vì ánh xạ tự nhiên Rp → R̂P là hoàn toàn phẳng và vành R̂P/pR̂P là Cohen-Macaulay chiều rP nên mỗi môđun An ⊗Rp R̂P là một R̂P-môđun hữu hạn sinh và là Cohen-Macaulay chiều rP. Do đó H n PR̂P (An ⊗Rp R̂P) = 0 với mọi n 6= rP. Vì tích tenxơ giao hoán với giới hạn thuận và hàm tử đối đồng điều địa phương cũng giao hoán với giới hạn thuận nên ta suy ra với mọi n 6= rP thì Hn PR̂P (H ipRp(Mp)⊗Rp R̂P) = HnPR̂P(lim−→An ⊗Rp R̂P) = Hn PR̂P (lim−→ (An ⊗Rp R̂P)) = lim−→ (H n PR̂P (An ⊗Rp R̂P)) = 0. Áp dụng Bổ đề 4.1.1 và các Định lý 4.1.3, 4.2.1 ta có điều phải chứng minh. Tiếp theo chúng tôi sử dụng Định lý 4.1.3 và công thức bội liên kết trong Định lý 1.2.9 để đưa ra mối liên hệ giữa số bội của H ipRp(Mp) và của H i+rP PR̂P (M̂P). Định lý 4.2.3. Giả sử R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Cho aRp là một iđêan pRp-nguyên sơ của Rp. Cho AR̂P là iđêan của R̂P sao cho R̂P/(AR̂P + pR̂P) có độ dài hữu hạn. Đặt JR̂P = aR̂P + AR̂P. 67 Khi đó JR̂P là một iđêan PR̂P-nguyên sơ của R̂P và e′(JR̂P, H i+rP PR̂P (M̂P)) = e ′(aRp, H ipRp(Mp)).e(AR̂P, R̂P/pR̂P). Chứng minh. Dễ thấy rằng JR̂P là một iđêan PR̂P-nguyên sơ của R̂P. Trường hợp H ipRp(Mp) = 0 thì mệnh đề là hiển nhiên đúng. Giả sử H ipRp(Mp) 6= 0. Đặt k := dimRpH ipRp(Mp). Khi đó k ≥ 0. Đặt T = {qRp ∈ AttRpH ipRp(Mp) | dim(Rp/qRp) = k}. Suy ra T 6= ∅. Với mỗi q ∈ Spec(R) sao cho qRp ∈ T, đặt T (q) = {QR̂P | Q ∈ min Var(qR̂),Q ⊆ P}. Vì R/q là không trộn lẫn, nên ta có dim(R̂/Q) = dim(R/q) = k + dimR/p với mọi QR̂P ∈ T (q). Từ đó suy ra dim(R̂P/QR̂P) = dim(R̂/Q)− dim(R̂/P) = k + rP với mọi QR̂P ∈ T (q). Do đó theo Định lý 4.1.3(c) và Định lý 4.2.1 ta có⋃ qRp∈T T (q) = {QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) | dim(R̂P/QR̂P) = k + rP} = {QR̂P ∈ AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P) | dim(R̂P/QR̂P) = dimR̂P(H i+rP PR̂P (M̂P))}. Giả sử QR̂P ∈ ⋃ qRp∈T T (q). Theo Mệnh đề 1.2.2(ii) ta có QR̂P ∈ min AttR̂PH i+rP PR̂P (M̂P). Suy ra AttR̂QH i+rP−dim(R̂P/QR̂P) QR̂Q (M̂Q) = {QR̂Q} (theo Bổ đề 4.1.2(a)). Vì Q ∈ min Var(qR̂) và R/q là không trộn lẫn, nên i+ rP − dim(R̂P/QR̂P) = i− k. 68 Từ đó ta có `R̂Q ( H i−k QR̂Q (M̂Q) ) < ∞ (theo Mệnh đề 1.2.2(iii)). Do iđêan Q ∈ min Var(qR̂) và ánh xạ Rq → R̂Q là hoàn toàn phẳng nên `R̂Q ( H i−k QR̂Q (M̂Q) ) = `R̂Q ( H i−kqRq (Mq)⊗Rq R̂Q ) = `Rq ( H i−kqRq (Mq) ) .`R̂Q(R̂Q/qR̂Q). Do đó, theo Định lý 1.2.9 ta có công thức e′(JR̂P, H i+rP PR̂P (M̂P)) = ∑ QR̂P∈AttR̂P H i+rP PR̂P (M̂P) dim(R̂P/QR̂P)=k+rP `R̂Q ( H i+rP−dim(R̂P/QR̂P) QR̂Q (M̂Q) ) .e(JR̂P, R̂P/QR̂P) = ∑ qRp∈T ( ∑ QR̂P∈T (q) `R̂Q ( H i−k QR̂Q (M̂Q) ) .e(JR̂P, R̂P/QR̂P) ) . = ∑ qRp∈T `Rq ( H i−kqRq (Mq) )( ∑ QR̂P∈T (q) `R̂Q(R̂Q/qR̂Q).e(JR̂P, R̂P/QR̂P) ) Với mỗi q ∈ Spec(R) thỏa mãn qRp ∈ T , ta có dim(R̂P/qR̂P) = dim ( Rp/qRp ⊗Rp R̂P ) = dim(Rp/qRp) + dim(R̂P/pR̂P) = k + rP. Vì thế ta suy ra được QR̂P ∈ T (q) nếu và chỉ nếu QR̂P ∈ Ass(R̂P/qR̂P) và dim(R̂P/QR̂P) = dim(R̂P/qR̂P). Do đó với mỗi qRp ∈ T , từ công thức bội liên kết của R̂P/qR̂P ứng với iđêan JR̂P, ta có∑ QR̂P∈T (q) `R̂Q(R̂Q/qR̂Q).e(JR̂P, R̂P/QR̂P) = e(JR̂P, R̂P/qR̂P). Vì ánh xạ Rp → R̂P là hoàn toàn phẳng, bằng cách chứng minh tương tự [13, Định lý 6.2] ta có e ( JR̂P, R̂P/qR̂P ) = e ( aR̂P + AR̂P, Rp/qRp ⊗Rp R̂P ) = e(aRp, Rp/qRp).e ( AR̂P, R̂P/pR̂P ) . 69 Do đó ta có mối liên hệ giữa số bội của H i+rP PR̂P (M̂P) và số bội của H i pRp (Mp) e′(JR̂P, H i+rP PR̂P (M̂P)) = ( ∑ qRp∈T `Rq ( H i−kqRq (Mq) ) .e(aRp, Rp/qRp) ) e ( AR̂P, R̂P/pR̂P ) = e′ ( aRp, H i pRp (Mp) ) .e ( AR̂P, R̂P/pR̂P ) . Chú ý rằng các Định lý 4.1.3, 4.2.1 và 4.2.3 không còn đúng nếu bỏ đi giả thiết R là vành thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Ví dụ 4.2.4. Cho (R,m) là một miền nguyên Noether địa phương có chiều bằng 3 sao cho R̂ cũng là miền nguyên và tồn tại q ∈ Spec(R) sao cho R/q là trộn lẫn (miền nguyên như vậy luôn tồn tại theo [7]). Giả sử Q ∈ Ass(R̂/qR̂) thỏa mãn dim(R̂/Q) < dim(R/q). Khi đó Q ∩R = q và ta có các tính chất sau (a) AttR̂Q ( H1 QR̂Q (R̂Q) ) = { QR̂Q} và AttRq ( H0qRq(Rq) ) = ∅. Đặc biệt, nếu ta chọn i = 0 và P = Q, thì P ∩ R = q, rP = 1 và các khẳng định trong Định lý 4.1.3 và Định lý 4.2.3 là không đúng. (b) Q ∈ AttR̂H2mR̂(R̂), q ∈ AttRH2m(R), dimR̂ ( H2 mR̂ (R̂) ) = 1 và chiều dimR(H 2 m(R)) 6= 1. Đặc biệt, nếu ta chọn i = 2 và P = mR̂, thì P ∩ R = m, rP = 0. Khi đó phát biểu của Định lý 4.2.1 là không đúng. Chứng minh. (a). Vì R là miền nguyên và R/q là trộn lẫn nên q 6= {0}. Do đó, dim(R/q) 0, vì nếu dim(R̂/Q) = 0, thì Q = mR̂ ∈ Ass(R̂/qR̂). Từ đó suy ra depth(R/q) = depth(R̂/qR̂) = 0. Vì thế, m ∈ Ass(R/q) = {q}. Suy ra dim(R/q) = 0 = dim(R̂/Q), mâu thuẫn với giả thiết. Như vậy, dim(R/q) = 2 và dim(R̂/Q) = 1. Giả sử 70 0 6= a ∈ q. Vì R là một miền nguyên chiều 3 nên dim(R/aR) = 2. Do đó q ∈ min AssR(R/aR). Lại do Q ∈ Ass(R̂/qR̂), nên theo Bổ đề 3.1.1(b) ta có Q ∈ Ass(R̂/aR̂). Suy ra QR̂Q ∈ Ass(R̂Q/aR̂Q). Do đó depth(R̂Q/aR̂Q) = 0. Vì R̂ là một miền nguyên, a là R̂Q-chính quy suy ra depth(R̂Q) = 1. Do đó H 1 QR̂Q (R̂Q) 6= 0. Vì R̂Q là một miền nguyên nên nó thỏa mãn điều kiện Serre (S1). Suy ra dimR̂Q ( H1 QR̂Q (R̂Q) ) = 0 theo [17, 4.1, 4.4]. Từ Mệnh đề 1.2.2(iii), ta có AttR̂Q ( H1 QR̂Q (R̂Q) ) = { QR̂Q}. Chú ý rằng Rq là một miền nguyên chiều 1. Suy ra H 0 qRq (Rq) = 0, tức là AttRq ( H0qRq(Rq) ) = ∅. Vì R̂ là miền nguyên nên R/q là tựa không trộn lẫn, tức là mọi iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu của R̂/qR̂ đều có chiều bằng dim(R/q). Suy ra Q /∈ min Ass(R̂/qR̂). Do đó rQ = 1. (b). Vì QR̂Q ∈ AttR̂Q ( H1 QR̂Q (R̂Q) ) và dim(R̂/Q) = 1 nên theo Bổ đề 4.1.2(a) ta có Q ∈ AttR̂H2mR̂(R̂). Từ đó theo Mệnh đề 1.2.2(ii), ta suy ra được dimR̂(H 2 mR̂ (R̂)) ≥ dim(R̂/Q) = 1. Mặt khác, theo Mệnh đề 1.2.5 ta có q = Q ∩ R ∈ AttRH2m(R). Do đó dimR(H2m(R)) ≥ dim(R/q) = 2. Vì R̂ là miền nguyên, nên nó thỏa mãn điều kiện Serre (S1). Từ đó suy ra dimR̂(H 2 mR̂ (R̂)) ≤ 1. Vậy dimR̂(H2mR̂(R̂)) = 1. 4.3. Quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng Cho số nguyên s ≥ −1. Khái niệm dãy chính quy theo chiều > s được giới thiệu bởi M. Brodmann và L. T. Nhàn [6] là một mở rộng của khái niệm dãy chính quy quen thuộc và khái niệm môđun Cohen- Macaulay theo chiều > s định nghĩa trong [45] là một mở rộng của khái niệm môđun Cohen-Macaulay. Mục tiêu của tiết này là nghiên cứu tính Cohen-Macaulay, tính Cohen-Macaulay theo chiều > s và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s khi chuyển qua đồng cấu phẳng ϕ : Rp → R̂P dựa trên các kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết và chiều 71 của các môđun đối đồng điều địa phương H ipRp(Mp) và H i+rP PR̂P (M̂P) trong Mục 4.2. Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm dãy chính quy theo chiều > s và khái niệm môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s (xem [6], [45]). Định nghĩa 4.3.1. Một phần tử x ∈ m được gọi là M -chính quy theo chiều > s nếu x /∈ p với mọi p ∈ AssRM thỏa mãn dim(R/p) > s. Một dãy x1, . . . , xt ∈ m được gọi là một M -dãy chính quy theo chiều > s nếu xi là M/(x1, . . . , xi−1)M -chính quy theo chiều > s với mọi i = 1, . . . , t. Ta nói rằng M là một môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s nếu mọi hệ tham số của M là M -dãy chính quy theo chiều > s. Dễ thấy rằng M -dãy chính quy theo chiều > −1 chính là M -dãy chính quy,M -dãy chính quy theo chiều > 0 là dãy lọc chính quy củaM. Do đó, môđun Cohen-Macaulay theo chiều > −1 là môđun Cohen-Macaulay. Khi vành cơ sở là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương, thì môđun Cohen-Macaulay theo chiều > 0 chính là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Hơn nữa, nếu M là môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s thì M/xM cũng là môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s, với bất kỳ phần tử tham số x của M. Sau đây là một đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s (xem [45, Mệnh đề 2.4]). Bổ đề 4.3.2. Giả sử dimM = d > s. Khi đó, M là Cohen-Macaulay theo chiều > s nếu và chỉ nếu với mọi p ∈ Supp(M) thỏa mãn dimR/p > s, ta có dimMp + dimR/p = d và Mp là Cohen-Macaulay. Bổ đề sau đây (có thể suy ra ngay từ [20, Định lý 3.7], [14, Bổ đề 3.1], [32, Mệnh đề 3.5]) cho ta một đặc trưng đồng điều cho môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s. Bổ đề 4.3.3. Cho R là thương của vành Cohen-Macaulay địa phương. Khi đó M là Cohen-Macaulay theo chiều > s nếu và chỉ nếu dimRH i m(M) ≤ s với mọi số nguyên i < dimRM. 72 Từ Mệnh đề 1.2.7, nếu R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương thì dimRH i m(M) = dimR̂H i m(M) = dimR̂H i mR̂ (M̂) với mọi i ≥ 0. Do đó, theo Bổ đề 4.3.3 ta có M là Cohen-Macaulay theo chiều > s nếu và chỉ nếu M̂ là Cohen-Macaulay theo chiều > s. Định lý sau đây là kết quả tiếp theo của Chương 4, chỉ ra tính Cohen-Macaulay và tính Cohen-Macaulay theo chiều > s dưới tác động của đồng cấu phẳng ϕ : Rp → R̂P. Định lý 4.3.4. Cho R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Giả sử P ∈ Spec(R̂) và p = P ∩ R. Đặt rP = dim(R̂P/pR̂P), s ≥ 0 là một số nguyên. Khi đó (a) Mp là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M̂P là Cohen-Macaulay. (b) Mp là Cohen-Macaulay theo chiều > s nếu và chỉ nếu M̂P là Cohen- Macaulay theo chiều > s+ rP. Chứng minh. (a). VìR là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương nên R̂P/pR̂P là vành Cohen-Macaulay chiều rP, tức là ta có dim R̂P/pR̂P = depth R̂P/pR̂P = rP. Mặt khác, do ánh xạ tự nhiên Rp → R̂P là đồng cấu phẳng và chú ý rằng Mp ⊗Rp R̂P ∼= M̂P, nên áp dụng Bổ đề 3.1.1 ta suy ra các đẳng thức dimR̂P M̂P = dimRpMp + rP và depthR̂P M̂P = depthRpMp + rP. Từ đó suy ra Mp là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu M̂P là Cohen-Macaulay. (b). Theo Bổ đề 4.3.3 ta có Mp là Cohen-Macaulay theo chiều > s nếu và chỉ nếu dimRpH i pRp (Mp) ≤ s với mọi i < dimRpMp. Theo Định lý 4.2.1, điều này xảy ra nếu và chỉ nếu dimR̂PH i PR̂P (M̂P) ≤ s + rP với mọi số i < dimR̂P(M̂P). Do đó, áp dụng Bổ đề 4.3.3 ta có điều phải chứng minh. 73 Mệnh đề sau đưa ra mối liên hệ giữa các quỹ tích nCM(Mp) và nCM(M̂P). Mệnh đề 4.3.5. Giả sử R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Cho P ∈ Spec(R̂) và p = P ∩R. Khi đó (a) nCM(Mp) = { QR̂P ∩Rp | QR̂P ∈ nCM(M̂P) } ; (b) nCM(M̂P) = ⋃ qRp∈nCM(Mp) Var(qR̂P). Chứng minh. (a). Giả sử qRp ∈ nCM(Mp). Khi đó Mq không là Cohen- Macaulay. Lấy Q ∈ min Var(qR̂) sao cho Q ⊆ P. Thế thì M̂Q không là Cohen-Macaulay theo Định lý 4.3.4(a). Suy ra QR̂P ∈ nCM(M̂P) và qRp = QR̂P∩Rp. Ngược lại, lấy bất kỳ iđêan nguyên tốQR̂P ∈ nCM(M̂P) và đặt qRp = QR̂P∩Rp. Khi đó M̂Q không là Cohen-Macaulay. Theo Định lý 4.3.4(a) ta suy raMq không là Cohen-Macaulay. Vì thế qRp ∈ nCM(Mp) và ta có điều phải chứng minh. (b). Giả sử QR̂P ∈ nCM(M̂P). Đặt qRp = QR̂P ∩ Rp. Theo chứng minh (a) ở trên, ta có qRp ∈ nCM(Mp) và QR̂P ∈ Var(qR̂P). Ngược lại, giả sử qRp ∈ nCM(Mp) và QR̂P ∈ Var(qR̂P). Lấy Q1 ∈ min Var(qR̂) sao cho Q1 ⊆ Q. Khi đó ta có Q1 ∩ R = q và Q1R̂P ∈ nCM(M̂P). Do đó, QR̂P ∈ nCM(M̂P). Mệnh đề được chứng minh xong. Mục tiêu tiếp theo của chúng tôi là nghiên cứu về chiều của các quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng. Định nghĩa 4.3.6. Cho s ≥ −1 là một số nguyên. Quỹ tích không Cohen- Macaulay theo chiều > s củaM , ký hiệu nCM>s(M), được xác định là tập tất cả các iđêan nguyên tố p của R thỏa mãnMp không là Cohen-Macaulay theo chiều > s. Chú ý rằng nếu s = −1 thì nCM>−1(M) = nCM(M) là quỹ tích không Cohen-Macaulay của M . Nếu R là thương của một vành Cohen- Macaulay địa phương thì nCM(M) là tập con đóng của Spec(R) với tôpô 74 Zariski, xem [17, Hệ quả 4.2(iv)]. Trong trường hợp s ≥ 0, quỹ tích nCM>s(M) nhìn chung không đóng kể cả khi R là đầy đủ, xem [34, Mệnh đề 4.3(iii)]. Tuy nhiên, nCM>s(M) luôn ổn định với phép đặc biệt hóa. Do đó ta có thể định nghĩa chiều của nó dim nCM>s(M) = max{dimR/p | p ∈ nCM>s(M)}. Định lý sau đây là kết quả chính tiếp theo của Chương 4 và là kết quả chính cuối cùng của luận án, trong đó chúng tôi chỉ ra mối quan hệ giữa dim nCM>s(Mp) và dim nCM>s(M̂P). Định lý 4.3.7. Cho s ≥ −1 là một số nguyên, R là thương của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Giả sử P ∈ Spec(R̂) và p = P ∩ R. Đặt rP = dim(R̂P/pR̂P). Khi đó (a) nCM>s(Mp) 6= ∅ nếu và chỉ nếu dim nCM>s(M̂P) ≥ rP, (b) Nếu nCM>s(Mp) 6= ∅, thì dim nCM>s(M̂P) = dim nCM>s(Mp) + rP. Chứng minh. (a) Giả sử rằng nCM>s(Mp) 6= ∅. Khi đó ta có thể chọn qRp ∈ nCM>s(Mp) sao cho dim nCM>s(Mp) = dim(Rp/qRp). Suy ra Mq không là Cohen-Macaulay theo chiều > s. Lấy Q ∈ min Var(qR̂) sao cho Q ⊆ P. Khi đó rQ = dim R̂Q/qR̂Q = dim R̂Q/QR̂Q = 0. Theo Định lý 4.3.4(b) ta có M̂Q không là Cohen-Macaulay theo chiều > s. Suy ra QR̂P ∈ nCM>s(M̂P). Do đó dim nCM>s(M̂P) ≥ dim(R̂P/QR̂P) = dim(R̂/Q)− dim(R̂/P) = dim(R/q)− dim(R/p) + rP = dim(Rp/qRp) + rP = dim nCM>s(Mp) + rP ≥ rP. Ngược lại, giả sử dim nCM>s(M̂P) ≥ rP. Vì rP ≥ 0 nên nCM>s(M̂P) 6= ∅. Suy ra tồn tại QR̂P ∈ nCM>s(M̂P) sao cho dim(R̂P/QR̂P) ≥ rP. Chú ý rằng M̂Q không là Cohen-Macaulay theo chiều > s. Do đó theo Bổ đề 4.3.2, ta thấy chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp sau: 75 Trường hợp 1: Tồn tại iđêan nguyên tố Q1R̂Q ∈ min AssR̂Q(M̂Q) sao cho s < dim ( R̂Q/Q1R̂Q ) < dim M̂Q; Trường hợp 2: Tồn tại iđêan nguyên tố Q1R̂Q ∈ SuppR̂Q(M̂Q) sao cho dim ( R̂Q/Q1R̂Q ) > s và M̂Q1 không là Cohen-Macaulay. Giả sử trường hợp 1 xảy ra. Khi đó Q1R̂P ∈ min AssR̂P(M̂P). Vì dim(R̂P/QR̂P) ≥ rP, nên ta có s+ rP ≤ s+ dim(R̂P/QR̂P) < dim ( R̂P/Q1R̂P ) < dim M̂Q + dim(R̂P/QR̂P) ≤ dim M̂P. Suy ra M̂P không là Cohen-Macaulay theo chiều > s + rP (theo Bổ đề 4.3.2). Theo Định lý 4.3.4(b), ta có Mp không là Cohen-Macaulay theo chiều > s. Do đó, nCM>s(Mp) 6= ∅. Giả sử trường hợp 2 xảy ra. Khi đó Q1R̂P ∈ SuppR̂P(M̂P) sao cho dim ( R̂P/Q1R̂P ) > s+ dim(R̂P/QR̂P) ≥ s+ rP và M̂Q1 không là Cohen-Macaulay. Suy ra theo Bổ đề 4.3.2, M̂P không là Cohen-Macaulay theo chiều > s + rP. Theo chứng minh trên, ta có nCM>s(Mp) 6= ∅. (b) Từ giả thiết nCM>s(Mp) 6= ∅, chứng minh tương tự ý (a) ta suy ra được dim nCM>s(M̂P) ≥ dim nCM>s(Mp) + rP. Ngược lại, vì nCM>s(Mp) 6= ∅ nên theo (a), tồn tại iđêan nguyên tố QR̂P ∈ nCM>s(M̂P) sao cho dim nCM>s(M̂P) = dim(R̂P/QR̂P) ≥ rP. Vì M̂Q không là Cohen-Macaulay theo chiều > s, nên M̂Q không là Cohen- Macaulay. Đặt q = Q ∩ R. Theo Định lý 4.3.4(a) ta suy ra Mq không là Cohen-Macaulay. Đặt k := maxi<dimMq dimRqH i qRq (Mq) thì k ≥ 0. Theo Bổ đề 4.3.3,Mq là Cohen-Macaulay theo chiều > k vàMq không là Cohen- Macaulay theo chiều > k − 1. Từ Định lý 4.3.4(b) suy ra rằng M̂Q là 76 Cohen-Macaulay theo chiều > k + rQ. Do đó s ≤ k + rQ − 1. Dễ dàng kiểm tra được rằng dim(Rp/qRp) = dim(R/q)− dim(R/p) = ( dim(R̂/Q) + rQ )− ( dim(R̂/P) + rP) = dim(R̂P/QR̂P)− rP + rQ = ( dim nCM>s(M̂P)− rP ) + rQ. Vì dim nCM>s(M̂P)− rP ≥ 0 nên tồn tại iđêan nguyên tố p1 của R nằm giữa q và p sao cho dim(Rp/p1Rp) = dim nCM>s(M̂P)− rP và ht(p1/q) = rQ. Do Mq không là Cohen-Macaulay theo chiều > k − 1 nên theo Bổ đề 4.3.2 ta suy ra rằngMp1 không là Cohen-Macaulay theo chiều > k−1+rQ. Vì s ≤ k− 1 + rQ nên Mp1 không là Cohen-Macaulay theo chiều > s. Suy ra p1Rp ∈ nCM>s(Mp). Do đó, dim ( nCM>s(Mp) ) ≥ dim (Rp/p1Rp) = dim ( nCM>s(M̂P))− rP. Kết luận Chương 4 Trong chương này, chúng tôi đã thu được các kết quả sau đây. • Chỉ ra mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết của các môđun đối đồng điều địa phương Artin H i+rP PR̂P (M̂P) và H i pRp (Mp). • Đưa ra công thức tính chiều và số bội của H i+rP PR̂P (M̂P) tương ứng thông qua chiều và số bội của H ipRp(Mp). • Nghiên cứu tính Cohen-Macaulay và tính Cohen-Macaulay theo chiều > s qua đồng cấu phẳng ϕ : Rp → R̂P. • Đưa ra công thức liên hệ giữa chiều của các quỹ tích không Cohen- Macaulay theo chiều > s qua đồng cấu phẳng ϕ : Rp → R̂P. 77 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN Trong luận án này chúng tôi đã thu được những kết quả sau. 1. Giới thiệu hệ tham số chính tắc và chỉ ra mối quan hệ giữa hệ tham số chuẩn tắc với hệ tham số chính tắc của một môđunM. Thiết lập đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc qua hệ tham số f-dãy chặt và đặc biệt là đặc trưng qua sự tồn tại hệ tham số chính tắc hoán vị được (Định lý 2.2.4). 2. Đưa ra mối liên hệ giữa chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM . Đặc biệt hơn, chúng tôi chỉ ra rằng, ngoài mối quan hệ bao hàm nCM(KM) ⊆ nCM(M) thì hai quỹ tích này hầu như là độc lập với nhau (Định lý 3.2.1). 3. Làm rõ mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và số bội của các môđun đối đồng điều địa phương Artin H ipRp(Mp) và H i+rP PR̂P (M̂P) (Định lý 4.1.3, Định lý 4.2.1, Định lý 4.2.3). 4. Nghiên cứu tính Cohen-Macaulay và tính Cohen-Macaulay theo chiều > s, đồng thời đưa ra công thức liên hệ về chiều của các quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s qua chuyển phẳng (Định lý 4.3.4, Định lý 4.3.7). 78 Danh sách các công trình liên quan đến luận án 1. T. N. An, L. T. Nhan and L. P. Thao, "Non Cohen-Macaulay locus of canonical modules" J. Algebra, 525 (2019), 435-453. 2. L. T. Nhan, L. P. Thao and T. N. An, "Local cohomology modules via certain flat extension rings", J. Algebra, 503 (2018), 340-355. 3. L. P. Thao, "Non Cohen-Macaulay in dimension > s locus", Journal of Science and Technology - TNU, 192(16) (2018), 23-28. Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và thảo luận tại - Seminar Đại số và Lý thuyết số hàng tuần của Đại học Thái Nguyên. - Hội thảo liên kết Việt - Nhật, Thái Nguyên, 01/2017. - Hội nghị Quốc tế về Đại số giao hoán, Thành phố Hồ Chí Minh, 9/2017. - Hội thảo "Một số vấn đề chọn lọc trong Đại số địa phương", Hạ Long - Quảng Ninh, 12/2017. - Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ IX, Nha Trang - Khánh Hòa, 8/2018. - Hội nghị NCS chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, 01/2019. - Hội thảo "Môđun trên vành giao hoán và áp dụng", Tuần Châu - Quảng Ninh, 5/2019. Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] T. N. An, L. T. Nhan and L. P. Thao, "Non Cohen-Macaulay locus of canonical modules", J. Algebra, 525 (2019), 435-453. [2] D. D. Anderson and M. Winders, "Idealization of a module", J. Com- mutative Algebra, 1 (2009), 1-55. [3] Y. Aoyama, "On the depth and the projective dimension of the canon- ical module", Japan. J. Math., 6 (1980), 61-66. [4] Y. Aoyama and S. Goto, "On the endomorphism ring of the canonical module", J. Math. Kyoto Univ., 25 (1985), 21-30. [5] M. Brodmann and L. T. Nhan, "On canonical Cohen-Macaulay mod- ules", J. Algebra, 371 (2012), 480-491. [6] M. Brodmann and L. T. Nhan, "A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules", Comm. Algebra, 36 (2008), 1527- 1536. [7] M. Brodmann and C. Rotthaus, "A peculiar unmixed domain", Proc. Amer. Math. Soc., (4)87 (1983), 596-600. [8] M. Brodmann and R. Y. Sharp, Local cohomology: an algebraic in- troduction with geometric applications, Cambridge University Press, 1998. [9] M. Brodmann and R. Y. Sharp, "On the dimension and multiplicity of local cohomology modules", Nagoya Math. J., 167 (2002), 217-233. [10] W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univer- sity Press, 1993. 81 [11] D. A. Buchsbaum, Complexes in local ring theory, In: Some aspects of ring theory, C. I. M.E., Rome, 1965. [12] N. T. Cuong, "On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain systems of parameters in local rings", Nagoya Math. J., 125 (1992), 105-114. [13] N. T. Cuong, D. T. Cuong and H. L. Truong, "On a new invariant of finitely generated modules over local rings", Journal of Algebra and Its Applications, 9 (2010), 959-976. [14] N. T. Cuong, M. Morales and L. T. Nhan, "On the length of general- ized fractions", J. Algebra, 265 (2003), 100-113. [15] N. T. Cuong, M. Morales and L. T. Nhan, "The finiteness of certain sets of attached prime ideals and the length of generalized fractions", J. Pure Appl. Algebra, 189 (2004), 109-121. [16] N. T. Cuong and L. T. Nhan, "On the Noetherian dimension of Ar- tinian modules", Vietnam J. Math., 30 (2002), 121-130. [17] N. T. Cuong, L. T. Nhan and N. T. K. Nga, "On pseudo supports and non Cohen-Macaulay locus of a finitely generated module", J. Algebra, 323 (2010), 3029-3038. [18] T. D. Dung and L. T. Nhan, "A uniform bound of reducibility index of good parameter ideals for certain class of modules", J. Pure Appl. Algebra, To appear. [19] S. Goto, "On Buchsbaum ring", J. Algebra, 67 (1980), 272-279. [20] S. Goto and L. T. Nhan, "On the sequentially polynomial type of modules", J. Math. Soc. Japan, 70 (2018), 363-383. [21] R. Hartshorne, Residues and duality, Lect. Notes in Math., 20, Berlin Heidelberg New York, Springer-Verllo, 1966. [22] T. Kawasaki, "On arithmetic Macaulayfication of Noetherian rings", Trans. AMS., 354 (2002), 123-149. [23] D. Kirby, "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart. J. Math. Oxford, (2)24 (1973), 47-57. 82 [24] D. Kirby, "Dimension and length of Artinian modules", Quart. J. Math. Oxford, (2)41 (1990), 419-429. [25] N. T. H. Loan, "On canonical modules of idealizations", Journal of Commutative Algebra, 9 (2017), 107-117. [26] N. T. H. Loan and L. T. Nhan, "On generalized Cohen-Macaulay canonical modules", Comm. Algebra, 41 (2013), 4453-4462. [27] I. G. Macdonald, "Secondary representation of modules over a com- mutative ring", Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43. [28] I. G. Macdonald and R. Y. Sharp, "An elementary proof of the non- vanishing of certain local cohomology modules", Quart. J. Math. Ox- ford, (2)23 (1972), 197-204. [29] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986. [30] M. Nagata, Local rings, Interscience, New York, 1962. [31] L. T. Nhan, L. P. Thao and T. N. An, "Local cohomology modules via certain flat extension rings", J. Algebra, 503 (2018), 340-355. [32] L. T. Nhan and T. D. M. Chau, "Noetherian dimension and colo- calization of Artinian modules over local rings", Algebra Colloquium, (4)21 (2014), 663-670. [33] L. T. Nhan, "A remark on the monomial conjecture and Cohen- Macaulay canonical modules", Proc. Amer. Math. Soc., 134 (2006), 2785-2794. [34] L. T. Nhan, N. T. K. Nga and P. H. Khanh, "Non Cohen-Macaulay locus and non generalized Cohen-Macaulay locus", Comm. Algebra, 42 (2014), 4414-4425. [35] L. T. Nhan and P. H. Quy, "Attached primes of local cohomology modules under localization and completion", J. Algebra, 420 (2014), 475-485. [36] R. N. Roberts, "Krull dimension for Artinian modules over quasi local commutative rings", Quart. J. Math. Oxford, (2)26 (1975), 269-273. 83 [37] P. Schenzel, "Standard systems of parameters and their blowing-up rings", Journal f .. ur die reine und angewandte Mathematik, 344 (1983) 201-220. [38] P. Schenzel, "On Birational Macaulayfications and Cohen-Macaulay canonical modules", J. Algebra, 275 (2004), 751-770. [39] R. Y. Sharp, "Some results on the vanishing of local cohomology mod- ules", Proc. London Math. Soc., 30 (1975), 177-195. [40] R. Y. Sharp, "On the attached prime ideals of certain Artinian local cohomology modules", Proc. Eidinburgh Math. Soc., 24 (1981), 9-14. [41] R. Y. Sharp and M. A. Hamieh, "Lengths of certain generalized frac- tions", J. Pure Appl. Algebra, 38 (1985), 323-336. [42] J. Stu¨ckrad and W. Vogel, Buchsbaum rings and applications, Spinger- Verlag, 1986. [43] L. P. Thao, "Non Cohen-Macaulay in dimension > s locus", Journal of Science and Technology - TNU, 192(16) (2018), 23-28. [44] N. V. Trung, "Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay mod- ules", Nagoya Math. J., 102 (1986), 1-49. [45] N. Zamani, "Cohen-Macaulay modules in dimension > s and results on local cohomology", Comm. Algebra, 37 (2009), 1297-1307. Tiếng Pháp [46] A. Grothendieck, Ele´ments de ge´ome´trie alge´brique, Publ. Math. IHES, 1965. [47] J. P. Serre, "Faisceaux alge´briques cohe´rents", Ann. Math., 61 (1955), 197-278. Tiếng Đức [48] N. T. Cuong, P. Schenzel, N. V. Trung, "Verallgemeinerte Cohen- Macaulay moduln", Math. Nachr., 85 (1978), 57-73. 84 [49] P. Schenzel, Dualisierende Komplexe in der lokalen Algebra und Buchsbaum-Ringe, Lecture notes in Mathematics, 907, Springer- Verlag, 1982. [50] P. Schenzel, "Einige Anwendungen der lokalen dualit .. at und verallge- meinerte Cohen-Macaulay moduln", Math. Nachr., 69 (1975), 227- 242. [51] J. Stu¨ckrad and W. Vogel, "Eine Verallgemeinerung der Multiplicitats theorie", J. Math. Kyoto Univ., 13 (1973), 513-528.