Luận văn Cơ sở Wavelet trong không gian L2(R)

1. Trường hợp I = [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Trường hợp I = [α, β] . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3. Cơ sở trực chuẩn trong L2(R) . . . . . . . . . . . 31 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2Mở đầu Trong những năm gần đây nhiều vấn đề về khoa học, công nghệ thông tin, truyền thông và các ngành kỹ thuật khác phát triển mạnh mẽ. Lợi ích của xử lý số trong việc truyền các tín hiệu ngày càng được khẳng định rõ ràng. Nó cũng được ứng dụng ở nhiều dạng khác nhau với những hiệu quả đặc biệt là trong các ngành khoa học chứ không phải chỉ là một môn học. Với mức độ phát triển ngày càng cao về cơ bản, về phương pháp và khả năng ứng dụng nó đã lôi cuốn được nhiều kỹ sư, các nhà toán học cũng như các nhà vật lý quan tâm nghiên cứu. Khái niệm wavelet đã được đưa vào từ những năm 70 của thế kỷ trước và ngày càng có nhiều ứng dụng trong khoa học, truyền thông, công nghệ thông tin và các ngành kỹ thuật khác. Việc nghiên cứu khái niệm cơ sở wavelet trên đường thẳng có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng thực tế. Những hệ cổ điển của các cơ sở trực chuẩn trong không gian L2([0, 1)) bao gồm các hàm mũ { e2piimx : m ∈ Z} và tập hợp các hàm lượng giác thích hợp (xem Định lý 2.2.1 bên dưới). Mô hình của những cơ sở này trong không gian L2([α, β)), −∞ < α < β < +∞, sẽ có được bằng phép tịnh tiến và phép co giãn thích hợp của các hàm số trên. Để tìm ra được cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) chúng ta có thể xét R là hợp của các nửa khoảng liên tiếp sau: [αj, αj+1), j ∈ Z,−∞ < ... < αj < αj+1 < ... < +∞, và xem xét từng cơ sở trên cho mỗi một không gian L2([αj, αj+1)), mở rộng những phần tử của cơ sở bởi các hàm đặc trưng của [αj, αj+1) và sau đó lấy tổng của các hàm có được. Cơ sở trực chuẩn này, tuy nhiên tạo ra "hiệu ứng cạnh không mong muốn" tại điểm cuối αj khi chúng ta cố gắng biểu diễn một hàm theo cơ sở đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3Để khắc phục tình trạng đó, chúng ta cần xét đến các hàm trơn, những hàm này thay thế cho hàm đặc trưng của [αj, αj+1) với j ∈ Z. Trong trường hợp có sự phân chia đơn giản R = ⋃ n∈N [n, n+ 1) thì chúng ta nghiên cứu hệ có dạng:{ gm.n(x) = e 2piimxg(x− n) : m,n ∈ Z} . Đối với mỗi hệ của loại này (thường được gọi là cơ sở Gabor), để trở thành một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) thì g không được "quá trơn" hoặc có giá có kích thước nhỏ (very localized). Điều này được trình bày rõ ràng trong phần 1.2.2 bởi Định lí Balian- Low. Tuy nhiên nếu các cơ sở thích hợp gồm các hàm sin và cosin được sử dụng, thì sẽ có nhiều tập hợp của hàm g trơn một cách tuỳ ý và "very localized", có thể được sử dụng để có được những cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R). Điều này sẽ được thực hiện trong phần 2.1, phần mà chúng ta sẽ trình bày lí thuyết về phép chiếu trơn, được giới thiệu bởi Coifman và Meyer. Lý thuyết này cho phép chúng ta "liên kết" những cơ sở thích hợp với khoảng [αj, αj+1). Một loạt các ví dụ của việc xây dựng này đã được đưa ra, nhưng phần lớn những ví dụ liên quan đến mục đích của chúng ta là những ví dụ tạo ra wavelet trực chuẩn ψ ∈ L2(R) như: ψi,k(x) = 2 j 2ψ(2jx− k), j, k ∈ Z là cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R). Tương tự như vậy, trong phần 2.2 chúng ta sẽ xây dựng nên wavelet Lemanrié và Meyer. Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận, luận văn gồm 2 chương. Chương 1 Cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) Trong chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian L2(R), biến đổi Fourier trong không gian L2(R), khái niệm cơ sở sóng nhỏ trong không gian L2(R) bao gồm định nghĩa, Định lí Balian-Low và các ví dụ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4Chương 2 Một số phương pháp xây dựng cơ sở sóng nhỏ trong không gian L2(R) Trong chương này trình bày hai phương pháp, đó là xây dựng phép chiếu trơn và dùng các hàm sin và cosin. Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [7]. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn-Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ dạy, hướng dẫn tận tình đầy tâm huyết của Thầy. Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, các Cô giảng viên Trường Đại học Khoa học, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3A Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luân văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục & Đào tạo tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám hiệu trường THPT Lương Tài, các đồng nghiệp trường THPT Lương Tài-Bắc Ninh đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và hoàn thành kế hoạch học tập và đặc biệt xin cảm ơn vợ chồng em Hoàng Tuyết Mai-Cử nhân Anh ngữ đã giúp tôi trình bày luận văn này. Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở vịêc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản chắc chắn không thể tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Thầy cô và bạn đọc quan tâm đến luận văn này. Thái Nguyên, ngày 22 tháng 05 năm 2011 Tác giả Lương Duy Tiếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Chương 1 CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN L2(R) 1.1 Không gian L2(R) 1.1.1. Các khái niệm cơ bản Trước hết chúng ta giới thiệu một số kí hiệu. R ký hiệu là "đường thẳng thực", T là vòng tròn đơn vị trong một mặt phẳng phức, mà có thể được xác định bởi khoảng [−pi,pi), mặc dù thỉnh thoảng chúng ta sử dụng khoảng [−12 ,12) hoặc [0,1); và Z sẽ biểu thị tập hợp của các số nguyên. Tích trong của các hàm f và g được xác định là: = ∫ f(x)g(x)d(x), ở đó tích phân được lấy trên R hoặc T, chúng ta có bất đẳng thức Schwarz’s || ≤ ‖f‖2 ‖g‖2 , trong đó ‖f‖2 = ( ∫ |f |2) 12 là chuẩn của f trong L2. Bất đẳng thức Schwarz’s cho phép chúng ta chứng minh bất đẳng thức Minkowski’s: ‖f + g‖2 ≤ ‖f‖2 + ‖g‖2. Chúng ta nói rằng hai hàm f và g là trực giao nếu = 0, kí hiệu f⊥g. Một dãy các hàm số {fn}n∈Z là một dãy trực chuẩn nếu = δm,n, trong đó δm,n = { 1, khi n = m , 0, khi n 6= m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6Một ví dụ tiêu biểu của dãy trực chuẩn trên T = [−pi, pi) là { 1√ 2pi en } n∈Z khi en(x) = e inx. Cho một hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} và một hàm f , chúng ta xác định hệ số Fourier của f với {fn : n ∈ Z} sẽ là ck =, k ∈ Z. Một câu hỏi cơ bản mà chúng ta sẽ nghiên cứu để xác định khi nào và trong tình huống nào, điều này đúng với f = ∑ k∈Z ckfk. (1.1) Khi fk(x) = e ikx, k ∈ Z, f ∈ L2(T), phép biểu diễn (1.1) là hợp lí trong L2 định chuẩn. Nhìn chung, đây là một trường hợp mà chúng ta nói rằng {fk : k ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong L2(T). Đẳng thức (1.1) là một công thức được xây dựng lại và nó là cơ sở cho nhiều ứng dụng của lí thuyết về wavelet. Cho một hàm f (một tín hiệu hoặc một âm thanh) chúng ta có thể lập mã cho nó bằng các hệ số {ck}k∈Z. Đẳng thức (1.1) cho phép ta xây dựng lại tín hiệu đó từ những hệ số ck và cơ sở đã sử dụng khi lập mã. Những cơ sở đặc biệt là cơ sở của wavelet, tái tạo lại một cách hiệu quả hơn so với những cơ sở khác. Với mỗi hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} , chúng ta có bất đẳng thức Bessel’s∑ k∈Z |ck|2 ≤ ‖f‖22. Hơn thế nữa, nếu hệ đó là một hệ cơ sở thì chúng ta có đẳng thức. Ngược lại, nếu một hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} thỏa mãn∑ k∈Z |ck|2 = ‖f‖22 (1.2) với mọi f ∈ L2(T), thì hệ đó là một cở sở trong L2(T). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 71.1.2. Biến đổi Fourier Trong R chúng ta có một lý thuyết "tương tự". Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1(R) ∩ L2(R) được xác định bởi f̂(ξ) = +∞∫ −∞ f(x)e−iξxdx Chúng ta sẽ nói rằng x là biến thời gian có thể thay đổi được và ξ được xem như là biến tần số của sự thay đổi. Biến đổi ngược Fourier là ∨ g(x) = 1 2pi +∞∫ −∞ g(ξ)eiξxdξ và nếu chúng ta áp dụng nó cho g = f̂ , thì chúng ta có được f ; đó là (f̂)∨ = f . Với các định nghĩa này, Định lý Plancherel khẳng định rằng = 1 2pi 〈f̂ , ĝ〉. (1.3) Biến đổi Fourier mở rộng đến mọi hàm f ∈ L2(R) và toán tử f 7→ 1√ 2pi f̂ là unita. Khi f ′ tồn tại trong L2 thì f̂ ′(ξ) = iξf̂(ξ). (1.4) Phép tính tích phân này có thể được chứng minh bằng những công thức +∞∫ −∞ f ′(x)g(x)dx = − +∞∫ −∞ f(x)g′(x)dx. (1.5) là hợp lí khi f, g ∈ L2(R) và f ′g, fg′ ∈ L1(R). Trong trường hợp f, g, f ′, g′ ∈ L2(R), điều đó có thể chứng minh được bằng sử dụng (1.3) và (1.4). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8Khái niệm mà sẽ được sử dụng trong nhiều chứng minh là điểm Lebesgue. Giả sử f là một hàm đo được và là hàm khả tích, thì điểm x0 được gọi là điểm Lebesgue của f khi và chỉ khi lim δ→0+ 1 2δ x0+δ∫ x0−δ |f(x)− f(x0)|dx = 0. Theo định lí về phép tìm đạo hàm Lebesgue thì hầu hết mọi điểm x0 là điểm Lebesgue. Chúng ta có thể tra cứu [Rud] về định lí đặc biệt này cũng như những kết quả khác trong định lí về độ đo Lebesgue. Ba toán tử đơn giản sau trên các hàm số được xác định trên R đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết: Phép tịnh tiến bởi h, τh, được xác định bởi (τhf)(x) = f(x− h), phép co giãn bởi r>0, ρr, được xác định bởi (ρrf)(x) = f(rx) và phép nhân bởi eimx. (Đôi khi chúng ta xét chúng như là một toán tử biến điệu). 1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L2(R) Một trong những mục đích chính của chúng ta là xây dựng các cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) bằng cách áp dụng những toán tử trên vào một hàm nào đó trong không gian L2(R). Điều quan tâm của chúng ta chính là những cơ sở wavelet. 1.2.1. Định nghĩa Hai toán tử đầu tiên được áp dụng cho những cơ sở wavelet được sinh bởi một hàm thích hợp. Nói một cách chính xác hơn, một wavelet trực chuẩn trên R là một hàm ψ ∈ L2(R) sao cho {ψj,k : j, k ∈ Z} là cơ sở trực chuẩn của L2(R), trong đó ψj,k(x) = 2 j 2ψ(2jx− k), j, k ∈ Z. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9Ta thấy ψj,k đã được chuẩn hóa, vì thế ‖ψj,k‖2 = ‖ψ‖2 = 1 với mọi j, k ∈ Z Ví dụ 1: Giả sử ψ(x) =  1, nếu 0 ≤ x < 12 , −1, nếu 12 ≤ x < 1, 0, trường hợp còn lại. Khi đó ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L2(R). Nó được gọi là wavelet Haar. Rất đơn giản để chứng minh rằng {ψj,k : j, k ∈ Z} là một hệ trực chuẩn trong không gian L2(R). Ví dụ 2: Ta chọn ψ sao cho ψ̂(ξ) = χI(ξ), với: I = [−2pi,−pi] ∪ [pi, 2pi], trong đó χI là hàm đặc trưng của tập hợp I, tức là χI(x) = { 1 nếu x ∈ I 0 nếu x /∈ I. Chúng ta sẽ chỉ ra ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L2(R). Một phép tính đơn giản cho chúng ta thấy (ψj,k) ∧ (ξ) = 2− j 2 ψ̂(2−jξ)e−i2 −jkξ. Với j 6= l, đẳng thức này chỉ ra rằng phần giao của giá (ψj,k)∧ và (ψl,m)∧ có độ đo là 0; do đó = 1 2pi < (ψj,k) ∧, (ψl,m) ∧ >= 0, với j 6= l. Khi j = l ta có thể viết: = 1 2pi 2−j ∫ R ∣∣∣ψ̂(2−jξ)∣∣∣2ei2−j(m−k)ξdξ = 1 2pi {∫ −pi −2pi ei(m−k)ηdη + ∫ 2pi pi ei(m−k)ηdη } = δk,m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Để chứng minh hệ này là một cơ sở thì ta cần chứng minh (1.2). Theo Định lý Plancherel và sự thay đổi biến số cho phép chúng ta viết ∑∑ j,k∈Z |〈f, ψj,k〉|2 = ∑∑ j,k∈Z 2j 4pi2 ∣∣∣∣∫ R f̂(ξ)ψ̂(2−jξ)ei2 −jkξ dξ ∣∣∣∣2 = ∑ j∈Z 2j 2pi ∑ k∈Z ∣∣∣∣∫ I f̂(2jµ) eikµ√ 2pi dµ ∣∣∣∣2. Bây giờ chúng ta dùng hệ { 1√ 2pi eikµ : k ∈ Z } là một cơ sở trực chuẩn của không gian L2(R) (thực tế là tương đương với tính trực chuẩn của hệ tương tự trên đoạn [0, 2pi]). Ta viết: ∑∑ j,k∈Z |〈f, ψj,k〉|2 = ∑ j∈Z 2j 2pi ∣∣∣∣∫ I fˆ(2jµ) ∣∣∣∣2dµ = 1 2pi ∑ j∈Z ∫ R χI(2 −jξ) ∣∣∣fˆ(ξ)∣∣∣2dξ = 1 2pi ∥∥∥fˆ∥∥∥2 2 = ‖f‖22 , do ∑ j∈Z χI(2 −jξ) = 1, với hầu hết ξ ∈ R. Điều này chỉ ra rằng ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L2(R). 1.2.2. Định lí Balian-Low Ta sẽ xét việc tạo ra cơ sở trực chuẩn từ một hàm số nào đó bằng phép tịnh tiến và phép nhân với một hàm số. Ví dụ, một cơ sở trong không gian L2(R) là như sau: Giả sử g = χ[0,1] và gm,n(x) = e 2piimxg(x− n) với m,n ∈ Z. Không quá khó để nhân ra rằng {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn của không gian L2(R). Tiến sĩ D. Gabor ([Gab]) đã xem xét kiểu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 hệ này vào năm 1946 và ông đề xuất việc sử dụng nó (g ∈ L2(R)) cho mục đích truyền thông. Đối với một hàm g tổng quát thì định lí sau đây sẽ đưa ra các điều kiện mà g phải thỏa mãn để hệ {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn. Định lý 1.2.1. (Balian-Low) Giả sử g ∈ L2(R) và gm,n(x) = e2piimxg(x− n), m, n ∈ Z. Nếu {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) thì +∞∫ −∞ x2|g(x)|2dx = +∞ hoặc +∞∫ −∞ ξ2|ĝ(ξ)|2dξ = +∞. Chứng minh. Chúng ta đưa ra các toán tử Q và P , được xác định trên không gian S ′ gồm các hàm suy rộng tăng chậm với (Qf)(x) = xf(x) và (Pf)(x) = −if ′(x). Sự liên quan của các toán tử đối với định lí này là +∞∫ −∞ |Qg(x)|2dx = +∞∫ −∞ x2|g(x)|2dx +∞∫ −∞ |Pg(x)|2dx = 1 2pi +∞∫ −∞ ξ2|ĝ(ξ)|2dξ, Các công thức cuối là hệ quả của (1.3) và (1.4). Vì thế chúng ta cần phải thấy rằng cả (Qg) và (Pg) không thể cùng thuộc L2(R). Giả sử cả (Qg) và (Pg) đều thuộc L2(R). Chúng ta sẽ thấy rằng điều này dẫn đến mâu thuẫn, và từ điều này định lí được chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Ta có: = ∑ m,n∈Z , (1.6) = với mọi m,n ∈ Z (1.7) và = với mọi m,n ∈ Z. (1.8) Từ đẳng thức (1.6),(1.7) và (1.8) suy ra = (1.9) Nhưng (1.9) là không đúng nếu Pg và Qg thuộc L2(R). Thật vậy, chúng ta có thể áp dụng tích phân từng phần công thức (1.5) để có được = ∫ +∞ −∞ xg(x) { −ig′(x) } dx = −i ∫ +∞ −∞ {g(x) + xg′(x)}g(x)dx = −i + . Từ 〈g, g〉 = ‖g‖22 = ‖g0,0‖22 = 1, chúng ta có được = −i+ , điều này trái ngược với (1.9). Vì thế định lí được chứng minh nếu chúng ta thiết lập (1.6), (1.7) và (1.8). Từ Qg, Pg ∈ L2(R) và {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn chúng ta có: =< ∑∑ m,n∈Z gm,n, Pg > = ∑∑ m,n∈Z , điều này chứng minh (1.6). Để chứng minh (1.7) thì hãy quan sát n = 0 với mọi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 m,n ∈ Z. Điều này rõ ràng đúng với n = 0, còn nếu n 6= 0, thì g = g0,0 là trực giao với gm,n. Do đó, = −n = ∫ +∞ −∞ g(x)(x− n)g(x− n)e−2piimxdx = ∫ +∞ −∞ g(y + n)(y)g(y)e−2piim(y+n)dy =, chúng ta đã có (1.7). Để chứng minh (1.8) chúng ta sử dụng tích phân từng phần công thức (1.5) để có được = −i ∫ +∞ −∞ g′(x)g(x− n)e−2piimxdx = i ∫ +∞ −∞ g(x){ − 2piimg(x− n) + g′(x− n)}e−2piimxdx = 2pimδm,0δ0,n + ∫ +∞ −∞ g(y + n){−ig′(y)}e−2piimydy = . 1.2.3. Các ví dụ Ví dụ 1.2.1. Cho g = χ[0,1) khi đó {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R); trong trường hợp này tích phân đầu tiên theo định lí Balian-Low là hữu hạn, nhưng tích phân thứ hai là vô hạn, vì ξ2 ∣∣(χ[0,1))∧(ξ)∣∣2 = [2 sin(ξ 2 ) ]2 Ví dụ 1.2.2. Cho g(x) = sin(pix)pix ≡ sinc(x), khi đó {gm,n : m,n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R), ta thấy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 (χ[0,1)) ∧(ξ) = e−i ξ 2 sin(ξ2) ξ 2 = e− ξ 2 sin c( ξ 2pi ). Trong trường hợp này, tích phân đầu tiên theo định lí Balian-Low sẽ là vô hạn. Ví dụ 1.2.3. Nếu g ∈ L2(R) và gm,n(x) = e imw0xg(x− nt0) (1.10) với w0t0 = 2pi, thì định lí Balian-Low vẫn đúng. Để thấy được thì toán tử U được xác định bởi Ug(x) = (2piw−10 ) 1 2 .g(2piw−10 x) là unita trong L2(R) và Ugm,n(x) = e 2piimxUg(x− n) khi 2piw−10 = t0. Định lí này cho chúng ta biết nếu w0t0 = 2pi, thì cơ sở được đưa ra bởi (1.10) không đồng thời có giá compact và định vị tốt về thời gian và tần số. Ví dụ 1.2.4. Nếu b(x) là đủ trơn và có giá compact thì Định lí Balian- Low chỉ ra cho ta thấy rằng hệ {bm(x)}m∈Z = { e2piimxb(x) } m∈Z sẽ không tạo ra một cơ sở trực chuẩn bằng cách tịnh tiến các phần tử của hệ bởi các số nguyên. Điều này dễ dàng nhận thấy do sự giảm ở vô cực của biến đổi Fourier của b, đó là một hệ quả của độ trơn của b. Nếu chúng ta xét một trường hợp cục bộ hơn, chúng ta có thể tìm thấy một "hàm hình chuông" b(x) trơn và có giá compact mà {bm(x)}m∈Z = { e2piimxb(x) } m∈Z là một hệ trực chuẩn, chẳng hạn trong L2(0, 1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Ví dụ giả sử b là một hàm số xác định trên R với supp(b) ⊆ [−ε, 1 + ε′], khi ε + ε′ ≤ 1, ε, ε′ > 0 và b(x) ≥ 0. Thật dễ để tìm thấy các điều về b để {bm : m ∈ Z} là một hệ trực chuẩn. Ý tưởng này là sử dụng một "đối số gập" để thu được các mối quan hệ trực giao = δm,n trên đoạn [0, 1] : δm,n =< e 2piim(.)b, e2piin(.)b > = ∫ 1+ε′ −ε b2(x)e2pii(m−n)xdx = ( ∫ 0 −ε + ∫ ε′ 0 + ∫ 1−ε ε′ + ∫ 1 1−ε + ∫ 1+ε′ 1 ){b2(x)e2pii(m−n)x}dx. Trong tích phân đầu tiên chúng ta thực hiện thay đổi các biến số y = 1+ x; Trong tích phân cuối cùng, chúng ta sử dụng sự thay đổi của các biến y = x− 1. Do đó chúng ta có được δm,n = ∫ ε′ 0 [ b2(x) + b2(1 + x) ] e2pii(m−n)xdx + ∫ 1−ε ε′ b2(x)e2pii(m−n)xdx + ∫ 1 1−ε [ b2(x) + b2(x− 1)] e2pii(m−n)xdx. Đó là hàm f có giá trị b2(x) + b2(1 + x) trên đoạn [0, ε′], b2(x) trên [ε′, 1− ε] và b2(x) + b2(x− 1) trên [1− ε, 1] có hệ số Fourier là f̂(k) = 0 nếu k 6= 0 và f̂(0) = 1. Bây giờ thì đã trở nên dễ dàng hơn, nếu các mối quan hệ trực giao được thiết lập, thì b phải thỏa mãn: b2(x) + b2(1 + x) = 1 nếu x ∈ [0, ε′] b2(x) = 1 nếu x ∈ [ε′, 1− ε] b2(x) + b2(x− 1) = 1 nếu x ∈ [1− ε, 1]  (1.11) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Điều này có nghĩa là (1.11) là điều kiện cần và đủ để{ e2piimxb(x) } m∈Z trở thành một hệ trực chuẩn trong không gian L2(0, 1). Định lí Balian- Low cho chúng ta thấy rằng nếu chúng ta chọn hàm g(x) như "hàm hình chuông trơn" thì phép tịnh tiến bởi số nguyên sẽ không tạo ra được một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R). Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ thấy rằng nếu thay thế các hàm mũ e2piimx bằng các hàm sin và cosin thích hợp thì chúng ta có thể có được những cơ sở như vậy. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRONG KHÔNG GIAN L2(R) 2.1 Xây dựng phép chiếu trơn Chúng ta sẽ thấy rằng chúng ta có thể xây dựng một hàm số trơn liên kết với đoạn [0, 1], theo cách mà hệ √ 2b(x− k) sin(2j + 1 2 pi(x− k)), k, j ∈ Z là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R). Trong thực tế, chúng ta sẽ thấy rằng đối với mỗi số k cố định (k ∈ Z), thì tập hợp { √ 2b(x− k) sin(2j + 1 2 pi(x− k)) : j ∈ Z} là một cơ sở trong một không gian con đóng Hk của không gian L 2(R), và L2(R) sẽ là tổng trực giao của Hk. Nói chung, chúng ta có thể xây dựng được "hàm hình chuông" trơn thích hợp, phù hợp với khoảng hữu hạn I = [α, β), nó có thể nhân lên bởi các hàm sin và cosin thích hợp để có được một cơ sở trực chuẩn của một không gian con Hk của không gian L2(R). Theo cách này nếu chúng ta có: −∞ < · · · < αk−1 < αk < αk+1 < · · · < +∞, thì cơ sở của các không gian HIk(Ik = [αk, βk)) tạo ra một hệ đầy đủ các không gian con trực giao của L2(R). Hệ được xây dựng như vậy không phải là một hệ wavelet, nhưng nó có thể được dùng để phân tích một hàm tổng quát trong không gian L2 và hơn thế nữa chúng ta sẽ thấy nó có thể được sử dụng để xây dựng nên wavelet như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 2.1.1. Phép chiếu trong I = [0,+∞) Chúng ta bắt đầu với trường hợp đặc biệt I = [0,+∞) và mục đích của chúng ta là xây dựng nên một "hàm hình chuông" trơn mà "xấp xỉ" χ[0,+∞). Vì phép chiếu bất kì là lũy đẳng (không thay đổi sau khi nó được lũy thừa lên) thì phép nhân bởi một số sẽ đưa ra một phép chiếu chỉ khi hàm số đó có các giá trị 0 hoặc 1 hầu như ở khắp mọi nơi trên R; Điều này chỉ ra rằng phép chiếu mà chúng ta đang tìm kiếm không thể được đưa ra một cách đơn giản bằng phép nhân bởi một hàm trơn. Ta sẽ tìm một hàm cộng tính không âm ρ ∈ C+∞, như vậy sup p(ρ) ⊆ [− ε,+∞) với ε > 0 và giống như χ[0,+∞) thỏa mãn ρ(x) + ρ(−x) = 1, x 6= 0 và một hàm lấy giá trị thực t(x) sao cho: (Pf)(x) = ρ(x)f(x) + t(x)f(−x) là một phép chiếu. Một phép tính đơn giản, dựa theo tính chất P là lũy đẳng và tự liên hợp, cho chúng ta đẳng thức t(x) = ± √ ρ(x)ρ(−x). Viết s = √ ρ, ta có công thức (Pf)(x) = s(x)[s(x)f(x)± s(−x)f(−x)]. Thực tế, s sẽ không còn là giá trị thực nữa, nếu chúng ta đưa ra toán tử P =P0,ε, được xác định bởi: (Pf)(x) ≡ (P0,εf)(x) = s(x)[s(x)f(x)± s(−x)f(−x)] (2.1) với |s(x)|2 + |s(−x)|2 = 1. (2.2) Rất dễ dàng để nhận thấy rằng đó là một phép chiếu trực giao. Để thấy được điều này chúng ta cần chỉ ra rằng P là lũy đẳng (P 2 = P ) và tự liên hợp (P ∗ = P ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Trên thực tế, (P 2f)(x) = s(x)[s(x)(Pf)(x)± s(−x)(Pf)(−x)] = s(x)[|s(x)|2s(x)f(x)± |s(x)|2s(−x)f(−x) ± |s(−x)|2s(−x)f(−x) + |s(−x)|2s(x)f(x)] = s(x)[s(x)f(x)± s(−x)f(−x)] = (Pf)(x), và = = ∫ +∞ −∞ f(x)s(x)[s(x)g(x)± s(−x)g(−x)]dx = ∫ +∞ −∞ (f(x)s(x)s(x)g(x)± f(−x)s(−x)s(x)g(x))dx = ∫ +∞ −∞ s(x)[s(x)f(x)± s(−x)f(−x)]g(x)dx =. Chúng ta sẽ giả sử s là hàm lấy giá trị thực. Chúng ta hãy xây dựng một hàm trơn s(x) thỏa mãn (2.2). Chọn ψ là một hàm chẵn C+∞ trên R và có giá trên [−ε, ε], ε > 0, sao cho∫ ε −ε ψ(x)dx = pi 2 . Giả sử θ(x) = ∫ x −∞ ψ(t)dt và hãy chú ý: θ(x) + θ(−x) = ∫ x −∞ ψ(t)dt+ ∫ −x −∞ ψ(t)dt = ∫ x −∞ ψ(t)dt+ ∫ +∞ x ψ(−t)dt = ∫ x −∞ ψ(t)dt+ ∫ +∞ x ψ(t)dt = pi 2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Đặt s(x) ≡ sε(x) = sin(θ(x)) và c(x) ≡ cε(x) = cos(θ(x)), chúng ta có: s(−x) = sin(θ(−x)) = sin(pi 2 − θ(x)) = cos(θ(x)) = c(x). Do đó s2(x) + s2(−x) = sin2(θ(x)) + cos2(θ(x)) = 1, và (2.2) thỏa mãn Hình 2.1 : Đồ thị hàm số sε và cε Như vậy chúng ta đã có được phép chiếu, P+0,ε và P − 0,ε, phù hợp với khoảng [0,+∞) và tương ứng với sự lựa chọn + hoặc − trong (2.1). Chúng ta đồng thời cũng có những phép chiếu tương tự (P 0,ε ′ +,−f)(x) = cε′(x)[f(x)± cε′(−x)f(−x)] phù hợp với khoảng (−∞, 0], khi ε′ > 0. 2.1.2. Phép chiếu trên đoạn I = [α, β] Bây giờ chúng ta muốn xây dựng những hình chiếu trơn trên một đoạn tổng quát I = [α, β],−∞<α < β < +∞ Chúng ta làm điều này bằng phép tịnh tiến τhf(x) = f(x− h) đã được giới thiệu ở phần đầu và đặt Pα = ταP0τ−α và P β = τβP 0τ−β, trong đó chúng ta tam bỏ các chỉ số phụ và chỉ số mũ ε, ε′,+,−. Mỗi một toán tử này sẽ là lũy đẳng và tự liên hợp khi P0 và P 0 là những hình Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 chiếu trực giao. Do đó Pα và P β cũng là những hình chiếu trực giao. Sử dụng (2.1), chúng ta có công thức: (Pαf)(x) = (ταP0τ−αf)(x) = (P0τ−αf)(x− α) = sε(x− α)[sε(x− α)f(x)± sε(α− x)f(2α− x)]. (2.3) Tương tự như vậy ta có: (P βf)(x) = (τβP 0τ−βf)(x) = (P 0τ−βf)(x− β) = cε′(x− β)[cε′(x− α)f(x)± cε′(β − x)f(2β − x)]. (2.4) Ta thấy 2α− x và x là đối xứng đối với α (tức là, chúng nằm ở phía đối diện và cách đều α). Chúng ta nói rằng một hàm số g là chẵn, đối với γ ∈ R nếu g(x) = g(2γ − x) với mọi x ∈ R. Nếu g là một hàm chẵn đối với α, thật dễ dàng để nhận thấy rằng Pα(gf) = g(Pαf) khi g ∈ L+∞(R) và f ∈ L2(R); đó chính là phép nhân bởi g giao hoán với Pα. Tương tự như vậy, nếu g là chẵn đối với β, từ (2.4) ta suy ra P β(gf) = g(P βf). Đối với một đoạn tổng quát I = [α, β] ta chọn ε, ε′ > 0 sao cho α+ ε ≤ β − ε′ và ta nhận thấy PαP βf = χ[α−ε,α+ε]Pαf + χ[α+ε,β−ε′]f + χ[β−ε′,β+ε′]P βf. = P βPαf. (2.5) Để có được nó, ta có Pαf = Pαχ[α−ε,α+ε]f + Pαχ[α+ε,+∞]f. = χ[α−ε,α+ε]Pαf + χ[α+ε,+∞]f. (2.6) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Chúng ta sử dụng χ[α−ε,α+ε] là chẵn đối với α và giao hoán với Pα. Tương tự, ta có P βf = P βχ[−∞,β−ε′]f + P βχ[β−ε,β+ε′]f. = χ[−∞,β−ε′]f + χ[β−ε′,β+ε′]P βf. (2.7) Bây giờ áp dụng P β vào đẳng thức đầu tiên và Pα vào đẳng thức thứ hai để có được kết quả mong muốn. Khi Pα giao hoán với P β thì toán tử PIf ≡ P[α,β]f = PαP βf = P βPαf. (2.8) là một phép chiếu trực giao bị chặn trên L2(R). Ta nhận thấy PI ≡ P[α,β] phụ thuộc vào α, β, ε, ε′ và các dấu mà ta chọn tại α, β. Vì vậy, nếu α, β, ε và ε′ là cố định thì việc chọn các dấu cho ta 4 phép chiếu. Cho biểu thức PI ≡ P[α,β], cái mà khác với cái đã nêu trong (2.8) đã thu được bằng cách đưa ra hàm số b(x) = sε(x− α)cε′(x− β). Chúng ta coi b = bI như là một "hàm hình chuông" và phù hợp với đoạn [α, β]. Quan sát thấy b phụ thuộc vào α, β, ε và ε′. Bằng cách tịnh tiến đồ thị của bε và bε′ ở Hình vẽ 2.1 chúng ta thu được đồ thị của hàm "hàm hình chuông" và phù hợp với đoạn [α, β]: Hình 2.2 : Đồ thị của "hàm hình chuông" b trên đoạn [α, β] Thật dễ dàng để chứng minh những tính chất cơ bản sau đây của Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 b(x) i)supp(b) ⊆ [α− ε, β + ε′] ; Trên [α− ε, α+ ε] ii) b(x) = sε(x− α), iii) b(2α− x) = sε(α− x) = cε(x− α), iv) b2(x) + b2(2α− x) = 1; v) supp(b(.)b(2α− .)) ⊆ [α− ε, α+ ε] ; vi) Trên [α + ε, β − ε′] , b(x) = 1; Trên [β − ε′, β + ε′] vii) b(x) = cε′(x− β), viii) b(2β − x) = cε′(β − x) = sε′(x− β), ix) b2(x) + b2(2β − x) = 1; x) supp(b(.)b(2β − .) ⊆ [α− ε, α+ ε] ; xi) b2(x) + b2(2α− x) + b2(2β − x) = 1 trên supp(b).  (2.9) Không phải tất cả những tính chất trên là độc lập. Ví dụ như iv) được suy ra từ ii) và iii). Có thể so sánh những điều kiện này với (1.11). Dựa vào (2.5), định nghĩa Pα và P β đã nêu ra trong (2.3) và (2.4), những tính chất này chúng ta dễ dàng có được công thức mới sau đây cho PI đối với "hàm hình chuông" b (PIf)(x) = b(x){b(x)f(x)± b(2α− x)f(2α− x) ±b(2β − x)f(2β − x)} (2.10) Quan sát công thức này ta thấy chúng ta có 4 cách chọn cho mỗi phép chiếu. Cách chọn I phù hợp với α được gọi là sự phân cực của P[α,β] tại α, và sự lựa chọn ± phù hợp với β được gọi là phân cực của P[α,β] tại β. Vì vậy nếu chúng ta chọn + trước số hạng thứ hai trong phần ngoặc đơn của (2.10), chúng ta nói rằng phép chiếu có tính phân cực dương tại α. Định nghĩa 2.1.1. Giả sử I = [α, β] và J = [β, γ] là kề nhau; chúng ta nói rằng chúng có "hàm hình chuông" tương thích bI và bJ nếu: α− ε < α < α + ε ≤ β − ε′ < β < β + ε′ ≤ γ − ε′′ < γ < γ + ε′ và bI = sε(x− α)cε′(x− β); bJ = sε′(x− β)cε′(x− γ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 Nếu I = [α, β] và J = [β, γ] là những khoảng tương thích của "hàm hình chuông" thì chúng ta có: bI(x) = bJ(2β − x), nếu x ∈ [β − ε′, β + ε′] ; (2.11) b2I(x) + b 2 J(x) = 1 nếu x ∈ [β − ε′, β + ε′] ; (2.12) b2I(x) + b 2 J(x) = b 2 I∪J(x) với mọi x ∈ R. (2.13) Hình 2.3 : Đồ thị "hàm hình chuông" tương thích trên I = [α, β] và J = [β, γ] Những thuộc tính này được suy ra một cách dễ dàng từ (2.9). Kết quả tiếp theo sẽ thiết lập các thuộc tính chính của những phép chiếu này. Điều đó sẽ cho chúng ta phân tích L2(R) như là tổng trực giao của những không gian con trực giao. Định lý 2.1.1. Giả sử I = [α, β] và J = [β, γ] là, những đoạn kề nhau với "hàm hình chuông" tương thích và giả sử PI và PJ có phân cực đối nhau tại β. Khi đó PI + PJ = PI∪J , (2.14) PIPJ = 0 = PJPI , (2.15) Chứng minh. Theo (2.5), nếu ta ký hiệu Id là toán tử đồng nhất thì + χ[γ−ε′′,γ+ε′′]P γ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 với P β và Pβ được chọn với sự đối cực nhau tại β. Tính chất cuối cùng này cho phép chúng ta chứng minh rằng hai số hạng giữa của công thức đã thêm χ[β−ε′,β+ε′]I và do đó kết quả sẽ bằng PI∪J theo (2.5). Do đó PI + PJ = PI∪J . Công thức (2.15) là một hệ quả của một kết quả tổng quát về phép chiếu. Trên thực tế, nếu P và Q là những phép chiếu trực giao trên không gian Hilbert, như vậy P + Q là một phép chiếu trực giao, do đó PQ = QP = 0. Để thấy được điều này, quan sát (P +Q)2 = P +Q hàm ý PQ = −QP ; từ đó chúng ta rút ra được PQ = P 2Q = P (PQ) = −P (QP ) = QP 2 = QP ; từ hai vế rút ra PQ = QP = 0. Nếu H là một không gian Hilbert và {Hk : k ∈ Z} là dãy không gian con đóng và đôi một trực giao với nhau, chúng ta giả sử V = +∞⊕ k=−∞ Hk kí hiệu cho không gian con đóng bao gồm tất cả f = ∑ k∈Z fk với fk ∈ Hk và ∑ k∈Z ‖fk‖2 < +∞. Chúng ta gọi V là tổng trực tiếp của không gian Hk. Nếu tập hợp gồm hai không gianH1 vàH2, thì chúng ta viếtH1⊕H2. Định lí trên cho phép chúng ta phân tích L2(R) như là một tổng trực tiếp: L2(R) = +∞⊕ k=−∞ Hk, (2.16) Trong đó: Hk = Pk(L 2(R)), Pk = P[αk,αk+1] với −∞ < · · · < αk−1 < αk < αk+1 < · · · < +∞; Hơn thế nữa đoạn kề nhau [αk, αk+1] và [αk+1, αk+2] có "hàm hình chuông" tương thích và Pk, Pk+1 có phân cực đối nhau tại αk+1. Tính trực giao của Hk′ được suy ra từ (2.15); Công thức (2.14) cho chúng ta sự phân hoạch của L2(R). Sự phân hoạch trực giao khác của L2(R), cái mà chúng ta sẽ thấy là thích đáng với wavelet, có thể đạt được như sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 Giả sử I = [pi, 2pi] và J = −I = [−2pi,−pi]. Chọn ε > 0 sao cho 0 < ε ≤ pi3 và ε′ = 2ε; để Ik = 2kI, Jk = 2kJ với k ∈ Z. Sau đó gắn εk = 2 kε, εk+1 = 2εk với Ik, đoạn kề nhau Ik và Ik+1 có "hàm hình chuông" tương thích (Tương tự cho Jk và Jk+1) và chúng ta có: L2(R) = { +∞⊕ k=−∞ HJk} ⊕ { +∞⊕ k=−∞ HIk}. (2.17) Nếu chúng ta chọn sự phân cực thích hợp cho PIk và PJk và biểu thị ảnh PIk(L 2(R)) và PJk(L2(R)) bởi HIk và HJk. Giả sử bây giờ chúng ta mô tả không gian con HI = PI(L 2(R)). Chúng ta nói rằng f là chẵn đối với α trên đoạn [α− ε, α+ ε] nếu f(2α − x) = f(x) trên đoạn này. Tương tự như vậy một hàm g được gọi là lẻ đối với α trên đoạn [α− ε, α+ ε] nếu g(2α− x) = −g(x) trên đoạn này. Từ (2.10) ta có thể viết: (PIf)(x) = bI(x)S(x), Khi đó S(x) = bI(x)f(x)± bI(2α− x)f(2α− x)± bI(2β − x)f(2β − x). Ta thấy có bốn sự lựa chọn cho S(x) phụ thuộc vào các dấu đã được xem xét, nó cho chúng ta bốn hàm S++(x); S + −(x); S − +(x); S − −(x). S++(x) là chẵn đối với α trên đoạn [α− ε, α+ ε] và là chẵn đối với β trên đoạn [β − ε′, β + ε′]; S+−(x) là lẻ đối với α trên đoạn [α− ε, α+ ε] và là chẵn đối với β trên đoạn [β − ε′, β + ε′]. Tương tự như vậy đối với S−+(x) và S−−(x). Định lý 2.1.2. Giả sử I = [α, β]. Khi đó f ∈ HI = PI(L2(R)) khi và chỉ khi f = bIS ở đó S ∈ L2(R) , bI là "hàm hình chuông" kết hợp với I và S là hàm chẵn hoặc hàm lẻ trên đoạn [α− ε, α+ ε] tùy thuộc vào sự lựa chọn của phân cực tại α, và là hàm chẵn hoặc hàm lẻ trên đoạn [β − ε′, β + ε′] tùy thuộc vào sự lựa chọn của phân cực tại β. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Chứng minh. Nếu f ∈ HI thì tồn tại g ∈ L2(R), như vậy f = PIg; sau đó f = PIg = bIS theo (2.10). Rõ ràng là S có chung đối cực tại α và β là PI . Quan sát thấy S ∈ L2(R). Giả sử f = bS với S ∈ L2(R), là hàm chẵn tại α và là hàm lẻ tại β. (Những trường hợp khác được suy luận tương tự). Điều này đủ để chỉ ra rằng PI có cùng chung đối cực là S, nên PI(bS) = bS, từ đó PI(f) = PI(bS) = f . Để chỉ ra PI(bS) = bS chúng ta sử dụng (2.10), và tính chất của bI đã nêu ra trong iv), vi) và ix) của (2.9) 2.2 Dùng các hàm sin và cosin Trong phần này, chúng ta giới thiệu những cơ sở trực chuẩn cho không gian con HI = PI(L 2(R)), ở đó PI là toán tử chiếu được xác định trong phần trước. Như chúng ta đã thấy, những cơ sở này liên kết chặt chẽ với các hệ lượng giác và phù hợp với sự phân cực của PI . Nếu PI được chọn với đối cực âm tại điểm cuối bên trái của của đoạn I và với đối cực dương tại điểm cuối bên phải của I thì các phần tử của cơ sở là lẻ tại điểm cuối bên trái và là chẵn tại điểm cuối bên phải. Thêm vào đó, những cơ sở của những không gian con này sẽ được biểu diễn theo hàm lượng giác và "hàm hình chuông" thích hợp. 2.2.1. Trường hợp I = [0, 1] Đầu tiên chúng ta hãy xem xét I trong đoạn [0, 1] và giả sử PI có đối cực − và + tại 0 và 1. (Ta ngầm hiểu rằng PI được kết hợp với ε dương và ε′ như vậy ε + ε′ ≤ 1. Như chúng ta đã làm nhiều lần trong phần trước, chúng ta không chỉ ra sự phụ thuộc của PI trên ε và ε ′). Cho f ∈ L2([0, 1]) và mở rộng f tới một hàm F trên [−2, 2] sao cho F là hàm chẵn tại 1 và là hàm lẻ tại 0. Điều này phù hợp với sự lựa chọn của các đối cực đối với PI .(Xem hình 2.4) Trên đoạn [−2, 2] chúng ta có cơ sở thông thường sin và cosin {1 2 , 1√ 2 sin pikx 2 , 1√ 2 cos pilx 2 } với k, l = 1, 2, 3 · · · Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Hình 2.4 : Sự mở rộng F của f trên đoạn [-2, 2] Khi F là lẻ trên [−2, 2], các cosin không bao gồm trong khai triển Fourier của F . Hơn thế nữa, các hàm sin(2k+12 pix) với k = 0, 1, 2, · · · là hàm chẵn tại 1 và các hàm sin(kpix) với k = 1, 2, 3, · · · là lẻ tại 1. Vì thế chúng ta chỉ cần hàm sin(2k+12 pix) với k = 0, 1, 2, · · · để biểu diễn cho F , đó là F (x) = +∞∑ k=0 ck sin( 2k + 1 2 pix) trong đó ck = 1 2 ∫ 2 −2 F (x) sin( 2k + 1 2 pix)dx và các chuỗi trên hội tụ trong tiêu chuẩn của L2([−2, 2]). Quan sát thấy sự hội tụ này cũng đúng theo từng điểm ở hầu hết khắp mọi nơi bằng một định lí sâu sắc của L. Carleson liên quan đến sự hội tụ ở khắp mọi nơi của chuỗi Fourier. (Xem [Car1] .) Nếu chúng ta giới hạn trong [0, 1], và dùng chuẩn hóa thích hợp chúng ta thấy {√2 sin(2k+12 pix)} với k = 0, 1, 2 · · · là một cơ sở trực chuẩn của L2 [0, 1] với các đối cực của các phần tử tại 0 và 1 là phù hợp với những cái có trongPI . Điều này cung cấp cho chúng ta những chứng minh cho phần đầu tiên của kết quả sau: Định lý 2.2.1. Mỗi hệ i) { √ 2 sin( 2k + 1 2 pix)}, k = 0, 1, 2, · · · ii) { √ 2 sin(kpix)}, k = 0, 1, 2, · · · iii) { √ 2 cos( 2k + 1 2 pix)}, k = 0, 1, 2, · · · iv) {1, √ 2 cos(kpix)}, k = 1, 2, 3, · · · Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 là một cơ sở trực chuẩn của L2 [0, 1] và có các phân cực là (−,+) cho i), (−,−) cho ii), (+,−) cho iii) và (+,+) cho iv). Chúng ta đã thấy làm thế nào để có được i); ba mệnh đề còn lại có được bằng cách tương tự. Chúng ta dùng kết quả này để có được những cơ sở trực chuẩn như mong muốn cho HI = PI(L 2(R)) khi I = [0, 1]. Cho ε,ε′ > 0 với ε+ε′ ≤ 1 và xét "hàm hình chuông" b(x) = sε(x)cε′(x − 1). Giả sử như trước kia các đối cực của PI là − tại 0 và là + tại 1. Do đó (2.10) trong trường hợp này trở thành: PIf(x) = b(x){b(x)f(x)− b(−x)f(−x) + b(2− x)f(2− x) = b(x)S(x). Hàm số S(x) là hàm lẻ tại 0 và là hàm chẵn tại 1 bởi vì các đối cực của b (xem(2.9)); Vì thế S có đối cực phải được biểu diễn bằng cơ sở trực chuẩn i) trong Định lí 2.2.1. Vì vậy chúng ta có thể viết: S(x) = √ 2 +∞∑ k=0 ck sin( 2k + 1 2 pix), trong đó ck = √ 2 ∫ 1 0 S(x) sin( 2k + 1 2 pix)dx. Sự hội tụ ở trong L2([0, 1]) sẽ có cả ở hầu hết khắp nơi (theo định lí của L. Carleson). Khi S và các hàm sin mà chúng ta đang sử dụng có chung đối cực tại 0 và 1, sự mở rộng này là hợp lí, có cơ sở trên [−ε, 1 + ε′] theo nghĩa L2 và gần như ở khắp mọi nơi. Thực hiện phép nhân với b(x) chúng ta có được (PIf)(x) = b(x)S(x) = +∞∑ k=0 ck √ 2b(x) sin( 2k + 1 2 pix) và sự hội tụ có hiệu lực trong L2([−ε, 1+ε′]) và hầu như có ở mọi nơi, kể từ khi b bị chặn. Điều này cho ta thấy rằng hệ: { √ 2b(x) sin( 2k + 1 2 pix)}, k = 0, 1, 2, · · · (2.18) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 là đầy đủ trong HI = PI(L 2(R)) khi PI có các đối cực (-,+). Để chỉ ra hệ trên là một cơ sở trực chuẩn thì chúng ta cần phải chứng minh được các mối quan hệ trực chuẩn; nếu ek = sin( 2k + 1 2 pix), k = 0, 1, 2, · · · Chúng ta phải chỉ ra: 2 ∫ 1+ε −ε b2(x)ek(x)el(x)dx = δkl, k, l = 0, 1, 2, · · · kể từ khi ek là lẻ cục bộ tại 0, sự thay đổi của các biến số cùng với tính chất ix) của (2.9) cùng với sự thay đổi của các biến số cho ta:∫ 1+ε 1−ε′ b2(x)ek(x)el(x)dx = ∫ 1 1−ε′ ek(x)el(x)dx. Cuối cùng, khi b ≡ 1 trên [ε, 1− ε′], thì chuẩn của (2.18) trên [−ε, 1 + ε′] là tương đương với chuẩn của hệ i) trên đoạn [0, 1] đã nêu trong Định lí 2.2.1. Kể từ khi ta biết điều này là đúng, thì chúng ta chứng minh được cái kết quả mà ta mong muốn. 2.2.2. Trường hợp I = [α, β] Thực hiện các phép tịnh tiến, phép co giãn hợp lí và có tính đến các loại đối cực khác nhau chúng ta có được kết quả sau: Giả sử HI = PI(L 2(R)) khi I = [α, β] là một đoạn hữu hạn tùy ý. Định lý 2.2.2. Nếu PI = P[α,β] có đối cực âm tại α và đối cực dương tại β thì i) {√ 2 |I|bI(x) sin( 2k+1 2 . pi |I|(x− α)) } , k = 0, 1, 2, · · · là một cơ sở trực chuẩn trong không gian HI = PI(L 2(R)). Nếu các phân cực là (−,−), (+,−) và (+,+) tại (α, β) thì điều tương tự cũng đúng, tương ứng, cho ii) {√ 2 |I|bI(x) sin(k pi |I|(x− α)) } , k = 1, 2, 3, · · · iii) {√ 2 |I|bI(x) cos( 2k+1 2 pi |I|(x− α)) } , k = 0, 1, 2, · · · Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 iv) {√ 1 |I|bI(x), √ 1 |I|bI(x) cos(k pi |I|(x− α)) } , k = 1, 2, 3, · · · 2.2.3. Cơ sở trực chuẩn trong L2(R) Định lí 2.2.2 cùng với sự phân hoạch trực giao (2.16) có thể sử dụng để có được những cơ sở trong không gian L2(R). Chọn dãy số thực tăng chặt {αj}j∈Z sao cho limj→+∞αj = +∞ và limj→−∞αj = −∞; Cho {αj}j∈Z là dãy số thực dương, như vậy: εj + εj+1 ≤ αj+1 − αj ≡ lj,∀j ∈ Z. Nếu chúng ta chọn các phân cực (−,+) cho mỗi Pj = P[αj ,αj+1] thì chúng ta có được hệ θk,j = √ 2 lj b[αj ,α+1](x) sin( 2k + 1 2 . pi lj (x− αj)), k = 0, 1, 2, · · · , j ∈ Z. (2.19) là cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R)). Sự hội tụ của chuỗi khai triển của một hàm số f ∈ L2(R) với những cơ sở đã đưa ra trong (2.19) là có cơ sở trong L2(R). Một kết quả sâu sắc hơn chính là sự hội tụ hầu khắp mọi nơi, đó chính là hệ quả của một định lí nổi tiếng của L. Carleson. Chính xác hơn chúng ta có được lim N→+∞ ∑ |j|≤N +∞∑ k=0 θk,j(x) = f(x) Đối với mọi x ∈ R, ở tổng thứ hai cho thấy sự hội tụ hầu khắp nơi của các tổng tùng M∑ k=0 θk,j(x) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 khi M → +∞, với mỗi j ∈ Z Kết hợp một cách hợp lí các phân cực cho các đoạn [αj, αj+1] chúng ta có thể có được, tương tự như những cơ sở khác trong không gian L2(R). Bằng cách sử dụng những hàm sin và cosin thích hợp, chúng ta đạt được kết quả, nói chung kết quả này không đúng nếu chúng ta dựng biến điệu, đó chính là các phép nhân của hàm mũ (xem định lí Balian-Low). Sự phân hoạch của L2(R) nêu trong (2.17) có thể được dùng để có được một cơ sở mới trực chuẩn của không gian này. Phần tử của cơ sở này chính là những biến đổi Fourier của cơ sở wavelet được giới thiệu bởi Lemarié và Meyer trong [LM ]. Định lý 2.2.3. Hệ γj,k = 2 j 2√ 2pi b(2jξ)ei 2k+1 2 2 jξ, j, k ∈ Z. là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R), ở đó b khi bị giới hạn trên [0,+∞) là "hàm hình chuông" trong [pi, 2pi] kết hợp với 0 <ε ≤ pi 3 , ε′ = 2ε và b là hàm chẵn trên R. Chứng minh. Giả sử Cj,k(ξ) = 2 j 2√ 2pi b(2jξ) cos( 2k + 1 2 2jξ), k ≥ 0, j ∈ Z Sj,k(ξ) = 2 j 2√ 2pi b(2jξ) sin( 2k + 1 2 2jξ), k ≥ 0, j ∈ Z Vì thế γj,k = Cj,k(ξ) + iSj,k(ξ), k ≥ 0, j ∈ Z. Quan sát thấy Cj,k là hàm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 chẵn trên R và Sj,k là hàm số lẻ trên R. Hình 2.5 : Đồ thị của hàm b với ε = pi 3 Chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác: i) sin(2k+12 (ξ − pi)) = (−1)k+1 cos(2k+12 ξ), ii) cos(2k+12 (ξ + 2pi)) = − cos(2k+12 ξ), iii) cos(2k+12 (ξ − pi)) = (−1)k sin(2k+12 ξ), iv) sin(2k+12 (ξ + 2pi) = − sin(2k+12 ξ). (2.20) Giả sử b−(ξ) = χ(−∞,0](ξ)b(ξ) và b+(ξ) = χ[0,+∞)(ξ)b(ξ) và xác định C+j,k, C − j,k, S + j,k và S − j,k như phần đầu của chứng minh, thay thế b bởi b + và b−. Ta thấy Cj,k = C + j,k + C − j,k và Sj,k = S + j,k + S − j,k Sử dụng công thức i) trong (2.20) và cơ sở i) của Định lí 2.2.2 chúng ta rút ra {2C+j,k : k ≥ 0} là cơ sở trực chuẩn trong những không gian hình chiếu P−,+Ij (L 2(R)), với Ij = 2−j[pi, 2pi]. Trên thực tế sử dụng i) của (2.20) chúng ta có được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 2C+j,k(ξ) = √ 2 |Ij|b +(2jξ) cos( 2k + 1 2 2jξ) = (−1)k+1 √ 2 |Ij|b +(2jξ) sin( 2k + 1 2 (2jξ − pi)) = (−1)k+1 √ 2 |Ij|b +(2jξ) sin( 2k + 1 2 pi |Ij|(ξ − 2 −jpi)); Đó chính là cơ sở thứ i) của Định lí 2.2.2, ngoại trừ nhân tố (−1)k+1, nhân tố này không ảnh hưởng đến tính trực chuẩn. Sử dụng công thức iii) của (2.20) và cơ sở iii) của Định lí 2.2.2, lập luận tương tự chỉ ra rằng {2S+j,k : k ≥ 0} là một cơ sở trực chuẩn trong các không gian hình chiếu P+,−Ij (L 2(R)). Tương tự như vậy, chúng ta có thể chứng minh rằng {2C−j,k : k ≥ 0} và {2S−j,k : k ≥ 0} là những cơ sở trực chuẩn trong không gian hình chiếu P+,−−Ij (L 2(R)) và P−,+−Ij (L 2(R)), một cách tương tự , với −Ij2−j[−2pi,−pi]. Hơn nữa mỗi phần tử của hệ {2C+j,k : k ≥ 0, j ∈ Z} và {2S+j,k : k ≥ 0, j ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2((0,+∞)), và mỗi phần tử của {2C−j,k : k ≥ 0, j ∈ Z} và {2S−j,k : k ≥ 0, j ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2((−∞, 0)). Với k ≥ 0 và j ∈ Z, xác định được αj,k(ξ) = Cj,k(ξ) + iSj,k(ξ) = 2 j 2√ 2pi b(2jξ)ei 2k+1 2 2 jξ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 và βj,k(ξ) = Cj,k(ξ)− iSj,k(ξ) = 2 j 2√ 2pi b(2jξ)e−i 2k+1 2 2 jξ. Nếu m ≤ −1, βj,−(m+1)(ξ) = γj,m(ξ) và nếuk ≥ 0, , αj,k(ξ) = γj,m(ξ). Do đó định lí này được chứng minh nếu chúng ta chỉ ra hệ {αj,k : j ∈ Z, k ≥ 0} ∪ {βj,k : j ∈ Z, k ≥ 0} là một cơ sở trực chuẩn của L2(R). Chúng ta bắt đầu bằng việc chỉ ra sự trực chuẩn của hệ. 4 = 4 + =< 2C+j,n, 2C + k,l > + < 2C − j,n, 2C − k,l > + < 2S+j,n, 2S + k,l > + < 2S − j,n, 2S − k,l > = 4δj,kδn,l Tương tự như vậy, = δj,kδn,l. Cuối cùng sử dụng tính chẵn của Cj,n và tính lẻ của Sk,l chúng ta có được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 4 = 4 +4i + 4i −4 =< 2C+j,n, 2C + k,l > + < 2C − j,n, 2C − k,l > − − = 2δj,kδn,l − 2δj,kδn,l = 0 Bây giờ chúng ta phải chỉ ra tính đầy đủ. Cho f ∈ L2(R) giả sử f (e) là hàm chẵn [f(x) + f(−x)] /2 và f (0) là hàm lẻ [f(x)− f(−x)] /2 vì thế f = f (e) + f (0). Sử dụng tính chẵn của Cj,n và tính lẻ của Sk,l chúng ta có được∑ j∈Z ∑ k≥0 αj,k+ βj,k = 2 ∑ j∈Z ∑ k≥0 Cj,k+ < f (0), Sj,k > Sj,k = 4 ∑ j∈Z ∑ k≥0 { C+j,k+ C−j,k + S + j,k+ < f (0), S−j,k > S − j,k} = f (e)χ(0,+∞) + f (e)χ(−∞,0) + f (0)χ(0,+∞) + f (0)χ(−∞,0) = f, Chúng ta sử dụng thực tế đã được quan sát thấy rằng các hệ {2C+,−j,k } và {2S+,−j,k } , k ≥ 0, j ∈ Z tạo thành một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2((0,+∞)) và L2((−∞, 0)) đối với sự lựa chọn thích hợp + và − Định lý 2.2.4. Giả sử γ(ξ) = 1√ 2pi ei ξ 2b(ξ) là hàm γ0,0 của Định lí 2.2.3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 và xác định ψ bởi ψ̂(ξ) = √ 2piγ(ξ) = ei ξ 2b(ξ). Khi đó, ψ là một wavelet trực chuẩn . Chứng minh. Theo định lí Plancherel ta có: ‖ψ‖22 = 1 2pi ∥∥∥ψ̂∥∥∥2 2 = ‖γ‖22 = 1. Hơn thế nữa ta có: (ψj,k) ∧(ξ) = 2 −j 2 e−i2 −jkξψ̂(2−jξ) = 2 −j 2 e−i2 −jkξb(2−jξ)ei2 −j ξ 2 = 2 −j 2 b(2−jξ)ei2 −j 1−2k 2 ξ = √ 2piγ−j,−k(ξ). Theo Định lí 2.2.3 thì {ψj,k : j, k ∈ Z} là một hệ trực chuẩn trong không gian L2(R). Những wavelet trực chuẩn có được trong Hệ quả 2.2.1 là những cái đã được mô tả bởi P.G. Lemarié và Y. Meyer trong [LM] và chúng được gọi là wavelet Lemarié-Meyer. Trong Hình vẽ 2.6 chúng ta đưa ra đồ thị của một wavelet ψ có biến đổi Fourier dạng: ψ̂(ξ) = b(ξ)ei ξ 2 với b(ξ) =  sin[34(|ξ| − 23pi)], nếu 23pi < |ξ| ≤ 43pi, sin[38( 8pi 3 − |ξ|)], nếu 43pi < |ξ| ≤ 83pi, 0 cho những trường hợp còn lại. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 Hình 2.6 : Đồ thị của wavelet Lemarié-Meyer Định lí 2.2.2 cùng với sự phân hoạch trực giao (2.16) có thể được dùng để có những cơ sở khác trong không gian L2(R). Giả sử αj = j2 , Ij = [αj, αj+1] và lj = |Ij| = αj+1−αj = 12 , với j ∈ Z và chọn 0 < ε ≤ 14 . Giả sử b là "hàm hình chuông" kết hợp với [0, 12 ] và ε tại mỗi điểm cuối. Ta thấy bj ≡ bIj = b(x− j2) nếu chúng ta dùng ε tương tự tại mỗi điểm cuối của đoạn Ij. Đối với đoạn Ij = [ j 2 , j+1 2 ] chúng ta chọn các đối cực đã được chỉ ra. Bây giờ chúng ta xây dựng một cơ sở trực chuẩn trong trong không gian L2(R). Nếu j là chẵn chúng ta sử dụng cơ sở cosin cục bộ đã đưa ra trong trong iv) của Định lí 2.2.2 để có được √ 2b(x− j2), 2b(x− j2) cos(2pik(x− j2)), k = 1, 2, 3 · · ·  (2.21) Nếu j là lẻ chúng ta có 2b(x− j 2 ) sin(2pik(x− j 2 )), k = 1, 2, 3, · · · (2.22) Cho j chẵn chúng ta có cos(2pik(x− j 2 )) = cos(2pikx) cos(2pik j 2 ) + sin(2pikx) sin(2pikx j 2 ) = cos(2pikx); Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 và với j lẻ ta có sin(2pik(x− j 2 )) = sin(2pikx) cos(2pik j 2 )− cos(2pikx) sin(2pikxj 2 ) = (−1)k sin(2pikx). Do đó √ 2b(x− j2) nếu j ∈ 2Z 2b(x− j2) cos(2pikx) nếu j ∈ 2Z, k = 1, 2, 3, · · · (−1)k2b(x− j2) sin(2pikx) nếu j ∈ 2Z+ 1, k = 1, 2, 3, · · ·  (2.23) là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R). Như vậy chúng ta đã khắc phục hiện tượng Balian-Low bằng cách sử dụng hàm sin và hàm cosin thay thế cho hàm mũ, nhưng kết quả của "bước tịnh tiến" và "bước tần số" thì vẫn là 2pi. Hãy quan sát: Nếu gm,n(x) = e 2piimxg(x− n2 ) thì tập hợp √ 2g0,j nếu j ∈ 2Z[ gk,j + (−1)jg−k,j ] nếu j ∈ Z, k = 1, 2, 3, · · ·  (2.24) trùng với (2.23) khi g = b, ngoại trừ việc thừa số (−1)k trong tập hợp của (2.23) được thay thế bởi 2i. Một cơ sở tương tự như cơ sở đã mô tả trong (2.23) phát sinh trong nghiên cứu của K. Wilson trong cơ học lượng tử ([Wil]). Ông quan sát thấy rằng trong quá trình nghiên cứu toán tử của mình, một hàm số không cần cơ sở để phân biệt giữa tần số dương và tần số âm của cùng một thứ tự. Thay vì dùng một hàm "nhọn" được xác định xung quanh x = pi 2 , thì ông sử dụng những hàm được phát sinh từ sự kết hợp của hai hàm "nhọn" được phân bố đối xứng về gốc, điều này tạo ra một hệ tương tự như hệ trong (2.24). Chúng ta gọi cơ sở mà ông sử dụng là cơ sở Wilson, một cách rõ ràng hơn việc sử dụng các kí hiệu của (2.24), chúng ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 √ 2g0,j nếu j ∈ 2Z [gk,j + (−1)k+jg−k,j] nếu j ∈ Z, k = 1, 2, 3 · · ·  (2.25) (Quan sát sự khác nhau giữa lũy thừa của −1) trong (2.24) và lũy thừa của −1 trong (2.25)). Tập hợp này có thể được viết theo cách sau đây: √ 2g(x− j) nếu k = 0, j ∈ Z 2g(x− j2) cos(2pikx) nếu k > 0, k + j chẵn 2g(x− j2) sin(2pikx) nếu k > 0, k + j lẻ  (2.26) Việc chứng minh (2.26) là một cơ sở trực chuẩn đối với một vài hàm số g đã được đơn giản hóa trong [DJJ]. Ở đây chúng ta đưa ra một chứng minh rất đơn giản như là một hệ quả của kết quả về những phép chiếu trơn và cơ sở sin và cosin cục bộ. Điều này đã quan sát được một cách độc lập bởi P. Auscher ([Au1]) và E. Laeng ([Lae]). Những gì cần thiết là một sự thay đổi đơn giản của sơ đồ khai triển để có được (2.23). Lấy αj = dfrac2j − 14 với j ∈ Z và 0 < ε < dfrac14, ε′ = ε và sử dụng đối cực. Bằng cách sử dụng các đồng nhất thức lượng giác đơn giản thì không khó để chỉ ra hệ: √ 2b(x− j2) nếu j là chẵn và k = 0 2b(x− j2) cos(2pik(x+ 14)) nếu j là chẵn và k > 0 2b(x− j2) sin(2pik(x− 14)) nếu j là lẻ và k > 0  (2.27) Trùng với (2.26) khi b = g, ngoại trừ một vài thừa số của −1 nó không thay đổi tính trực chuẩn của hệ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Kết luận Luận văn đã trình bày và đạt được một số kết quả sau 1. Trình bày khái niệm cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R). Trong định lý Balian-Low đã mô tả điều kiện cần để có được cơ sở trực chuẩn khi xuất phát từ một hàm cho trước bằng phép tịnh tiến và phép nhân với một hàm số. 2. Trình bày phép chiếu trực giao trong không gian L2(R) và phân hoạch trực giao không gian này bằng cách chọn các hàm hình chuông và phân cực thích hợp. 3. Xây dựng cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) bằng phép tịnh tiến và phép nhân với các hàm sin và cosin. Trên cơ sở đó chỉ ra cách xây dựng một cơ sở wavelet trực chuẩn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 Tài liệu tham khảo [1] [Au1] P. Auscher, Remarks on local Fourier bases, in Wavelets: Mathematics and Applications (J.J. Benedetto and M. W. Frazier, Ed.) CRC Press, (1994), 203-218. [2] [Car1] L. Carleson, On convergence and growth of partial sums of Fourier serie, Acta Mat., 116, (1966), 135-157. [3] [Coi] R. Coifman, A real variable characterization of Hp, Studia Math., 51, (1974), 269-274. [4] [DJJ] I. Daubechies, S. Jaffard, J.L. Journé, Asimple Wilson or- thonormal basis with exponential decay, SIAM J. Math. Anal., 22,(1991), 554-572. [5] [Gar] D. Gabor, theory of communicatioan, J.Inst. Electr. Eng., Lon- don, 93 (III), (1946), 429-457. [6] [Haa] A. Haar, Zur theorie der orthogonalen funktionen systems, Math. Ann., 69, (1910), 331-371. [7] Eugenio Hernández and Guido Weiss, A First Course on wavelets, CRS Press, Boca Raton, New York, (1996). [8] [LM] P.G. Lemarié, Y. Meyer, Ondelettes et bases hilbertiannes, Rev. Math. Iberoamericana, 2, (1986), 1-18. [9] Yves Meyer, Wavelet, Algorithms and Applications SIAM, (1993). [10] [Rud] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, (1966). [11] [Wil] K.G. Wilson, Generalized Wannier Functions, Preprint, Cor- nell University, (1987). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 Luận văn đã được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn ngày 28 tháng 8 năm 2011 và đã được chỉnh sửa với các ý kiến đóng góp của các Thầy trong hội đồng. Thái Nguyên, ngày 06 tháng 9 năm 2011 Xác nhận của người hướng dẫn khoa học PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên