Luận văn Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
      
TRẦN THỊ YẾN LY ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2012 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
      
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Gia Định Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 01 tháng 07 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 3 MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải tích. Nó có nguồn gốc từ ñịnh lý Rolle, ñược chứng minh bởi nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) ñối với ña thức vào năm 1691. Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm hiểu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm, hai vấn ñề quan trọng trong chương trình THPT, ñặc biệt là dành cho khối chuyên toán, chúng tôi quyết ñịnh chọn ñề tài với tên gọi: Định lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan ñể tiến hành nghiên cứu. Vấn ñề này vẫn mang tính thời sự trong giải tích. Chúng tôi hy vọng tạo ñược một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt ñầu tìm hiểu về Các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng và trình bày một số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục tiêu của ñề tài nhằm nghiên cứu các ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm xuất phát từ chúng. Có nhiều vấn ñề liên quan ñến ñịnh lý giá trị trung bình, nhưng ở ñây chỉ ñề cập ñến phương trình hàm có liên quan. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu của ñề tài là ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm liên quan. Phạm vi nghiên cứu của ñề tài là các ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange, Cauchy, Pompeiu, một số suy rộng ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1. Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên cứu liên quan ñến các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan ñến chúng. 2. Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn ñể trao ñổi các kết quả ñang nghiên cứu. 5. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI 1. Tổng quan các kết quả của các tác giả ñã nghiên cứu liên quan ñến Định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai muốn nghiên cứu về ñịnh lý giá trị trung bình và phương trình hàm. 2. Chứng minh chi tiết và làm rõ một số ñịnh lý, cũng như ñưa ra một số ví dụ minh hoạ ñặc sắc nhằm làm cho người ñọc dễ dàng tiếp cận vấn ñề ñược ñề cập. 4 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Luận văn gồm phần mở ñầu, 3 chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. - Chương 1: Hàm cộng tính và song cộng tính. - Chương 2: Định lý giá trị trung bình Lagrange và các phương trình hàm liên quan. - Chương 3: Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm liên quan. CHƯƠNG 1 HÀM CỘNG TÍNH VÀ SONG CỘNG TÍNH Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài liêụ [2] , [5], [6]. Mục ñích của chương này là trình bày một số kết quả liên quan ñến hàm cộng tính và song cộng tính. Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M. Legendre, người ñã nỗ lực ñầu tiên xác ñịnh nghiệm của phương trình hàm Cauchy ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + với mọi ,x y ∈
, Cuốn sách của Kuczma (1985) mô tả tuyệt vời về hàm cộng tính. Hàm cộng tính cũng ñã tìm thấy trong cuốn sách của Aczél (1966, 1987), Aczél – Dhombres (1989) và Smital (1988). Nghiệm tổng quát của nhiều phương trình hàm hai hay nhiều biến có thể ñược biểu diễn theo các hàm cộng tính, nhân tính, logarit hoặc hàm mũ. Các phương trình mà chúng ta sẽ trình bày ở ñây chỉ liên quan ñến hàm cộng tính, song cộng tính và những biến dạng của chúng. Nhân tiện, chúng ta sẽ khảo sát nghiệm của một số phương trình khác có liên hệ với phương trình Cauchy cộng tính. 1.1. HÀM CỘNG TÍNH LIÊN TỤC Định nghĩa 1.1.1. Một hàm :f →

, trong ñó
là tập các số thực, ñược gọi là một hàm cộng tính nếu nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy. ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + (1.1) với mọi ,x y ∈
. Phương trình (1.1) ñược ñề cập ñầu tiên bởi A. M. Legendre (1791) và C.F. Gaus(1809), nhưng A.L. Cauchy (1821) là người ñầu tiên tìm ra nghiệm liên tục tổng quát. 5 Định nghĩa 1.1.2. Một hàm :f →

ñược gọi là một hàm tuyến tính nếu nó có dạng ( )( ) ,f x mx x= ∀ ∈
trong ñó m là một hằng số bất kì. Định lý 1.1.1. Cho :f →

là một hàm cộng tính liên tục. Khi ñó f là tuyến tính, nghĩa là, f(x)=mx với m là một hằng số tùy ý. Định nghĩa 1.1.3. Một hàm :f →

ñược gọi là khả tích ñịa phương nếu nó khả tích trên mỗi khoảng hữu hạn . Chú ý 1.1.2. Mọi hàm cộng tính khả tích ñịa phương ñều là tuyến tính Định nghĩa 1.1.4. Một hàm :f →

ñược gọi là thuần nhất hữu tỉ nếu ( ) ( )f rx rf x= , (1.2) với mọi x R∈ và mọi số hữu tỉ r. Định lý 1.1.2. Nếu một hàm cộng tính liên tục tại một ñiểm thì nó liên tục khắp nơi. 1.2. HÀM CỘNG TÍNH GIÁN ĐOẠN Trong phần trước, chúng ta ñã chứng tỏ các hàm cộng tính liên tục là tuyến tính. Thậm chí nếu chúng ta giảm ñiều kiện liên tục về liên tục tại một ñiểm, các hàm cộng tính vẫn còn tuyến tính. Trải qua nhiều năm, sự tồn tại của hàm cộng tính gián ñoạn là một bài toán mở. Các nhà toán học không thể chứng minh mọi hàm cộng tính là liên tục và không ñưa ra ñược một ví dụ về hàm cộng tính gián ñoạn. Nhà toán học người Đức G. Hamel vào năm 1905 là người ñầu tiên thành công trong việc chứng minh sự tồn tại các hàm cộng tính gián ñoạn. Bây giờ chúng ta bắt ñầu nghiên cứu các hàm cộng tính phi tuyến (không tuyến tính). Định nghĩa 1.2.1. Đồ thị của một hàm :f →

là tập hợp ( ) ( ){ }, / ,G x y x y f x= ∈ =
. Dễ dàng thấy rằng ñồ thị G của một hàm :f →

là một tập con của mặt phẳng 2
. Định lý 1.2.1. Đồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến tính :f →

là trù mật khắp nơi trong mặt phẳng 2
. Định nghĩa 1.2.2. Cho S là một tập các số thực và B là một tập con của S. Khi ñó B ñược gọi là một cơ sở Hamel ñối với S nếu mỗi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính hữu tỉ ( hữu hạn) duy nhất của B. Định lý 1.2.2. Cho B là một cơ sở Hamel ñối với
. Nếu hai hàm cộng tính có cùng giá trị tại mỗi phần tử của B thì chúng bằng nhau. 6 Định lý 1.2.3. Cho B là 1 cơ sở Hamel ñối với
. Cho :g B →
là một hàm tùy ý xác ñịnh trên B . Khi ñó tồn tại một hàm cộng tính :f →

sao cho ( ) ( )f b g b= với mọi b B∈ . 1.3. TIÊU CHUẨN KHÁC CHO TÍNH TUYẾN TÍNH Chúng ta ñã thấy rằng ñồ thị của một hàm cộng tính phi tuyến f là trù mật trong mặt phẳng . Nghĩa là mỗi vòng tròn chứa một ñiểm (x,y) sao cho ( )y f x= . Chúng ta cũng ñã nhận thấy rằng một hàm cộng tính f trở thành tuyến tính khi áp ñặt tính liên tục trên f . Chúng ta có thể làm yếu ñiều kiện liên tục về liên tục tại một ñiểm. Trong ñoạn này, chúng ta trình bày một số ñiều kiện chính qui nhẹ khác mà làm cho một hàm cộng tính là tuyến tính. Định lý 1.3.1. Nếu một hàm cộng tính f hoặc bị chặn từ một phía hoặc ñơn ñiệu thì f là tuyến tính Định nghĩa 1.3.1: Một hàm :f →

ñược gọi là nhân tính nếu ( ) ( ) ( ), ,f xy f x f y x y= ∀ ∈
. Định lý 1.3.2 : Nếu một hàm cộng tính f cũng là nhân tính thì f là tuyến tính 1.4. HÀM CỘNG TÍNH TRÊN MẶT PHẲNG THỰC VÀ PHỨC Trong mục này, ñầu tiên chúng ta trình bày một số kết quả liên quan ñến hàm cộng tính trên mặt phẳng 2
và sau ñó nghiên cứu hàm cộng tính giá trị phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt ñầu mục này với kết quả sau ñây. Định lý 1.4.1. Nếu 2:f →

là cộng tính trên mặt phẳng 2
thì tồn tại các hàm cộng tính 1 2, :A A →

sao cho 1 2 1 1 2 2( , ) ( ) ( )f x x A x A x= + (1.3) với mọi 1 2,x x ∈
. Định lý 1.4.2. Nếu 2:f →

là một hàm cộng tính liên tục trên mặt phẳng 2
thì tồn tại các hằng số 1 2,c c sao cho ( )1 2 1 1 2 2,f x x c x c x= + (1.4) với mọi 1 2,x x ∈
. Bổ ñề 1.4.1. Nếu một hàm cộng tính 2:f →

liên tục theo từng biến thì nó là hàm liên tục. Định lý 1.4.3. Nếu : nf →

là một hàm cộng tính liên tục trên n
thì tồn tại các hằng số 1 2, ,..., nc c c sao cho 7 1 2 1 1 2 2( , ,..., ) ...n n nf x x x c x c x c x= + + + (1.5) với mọi 1 2, ,..., nx x x ∈
. Chú ý 1.4.1. Trong phần còn lại của mục này, chúng ta khảo sát hàm cộng tính có giá trị phức trên mặt phẳng phức. Chúng ta bắt ñầu với một giới thiệu ngắn gọn về hệ số phức. Các số có dạng 1a b+ − , trong ñó a và b là những số thực, ñược gọi là các số phức. Vào ñầu thế kỉ 16, Cardan(1501 – 1576) làm việc với số phức trong việc giải phương trình bậc hai và bậc ba. Vào thế kỉ 18, các hàm liên quan ñến số phức ñược tìm thấy bởi Euler. Trong một thời gian dài, các số phức ít ñược quan tâm và nói chung không ñược xét ñến như các số chính thống cho ñến giữa thế kỉ 19. Descartes loại bỏ các nghiệm phức của phương trình và ñặt tên chúng là ảo. Euler cũng cảm thấy các số phức “tồn tại chỉ trong tưởng tượng” và xem các nghiệm phức của một phương trình chỉ hữu ích trong việc chứng tỏ rằng các phương trình này thực sự vô nghiệm. Gauss ñưa ra một biểu diễn hình học ñối với số phức và nhận ra rằng thật là không ñúng nếu cho rằng “có một bí mật mờ mịt nào ñó trong các số này”. Ngày nay, các số phức ñược chấp nhận rộng rãi theo công trình của Gaus. Định nghĩa hình thức về số phức ñược cho bởi William Hamilton. Hệ số phức
là tập hợp các cặp thứ tự các số thực ( x,y) với phép cộng và phép nhân xác ñịnh bởi ( , ) ( , ) ( , )x y u v x u y v+ = + + ( , )( , ) ( , )x y u v xu yv xv yu= − + với mọi , , ,x y u v ∈
. Đồng nhất số thực x với cặp ( ,0)x và kí hiệu i là số thuần ảo (0,1), ta có thể viết lại biểu thức sau ( , ) ( ,0) (0,1)( ,0)x y x y= + thành ( , )x y x iy= + . Nếu ta kí hiệu vế trái của biểu diễn này là z thì ta có z x iy= + . Số thực x ñược gọi là phần thực của z, kí hiệu là Rez. Tương tự, số thực y ñược gọi là phần ảo của z và kí hiệu là Imz. Nếu z là một số phức có dạng x iy+ thì số phức x iy− ñược gọi là liên hợp của z và kí hiệu là z . Một hàm bất kì :f →

có thể ñược viết thành: ( ) ( ) ( )1 2f z f z if z= + , (1.6) trong ñó 1 :f →

và 2 :f →

ñược cho bởi 1( )f z = Re ( )f z , 2 ( )f z = Im ( ).f z (1.7) 8 Nếu f cộng tính thì theo (1.6) và (1.7), ta có: ( ) ( )1 1 2 1 2f z z Re f z z+ = + = ( ) ( )1 2Re f z f z+   = ( ) ( )1 2Re f z Re f z+ = ( ) ( )1 1 1 2f z f z+ . Tương tự, ( ) ( )2 1 2 1 2f z z Im f z z+ = + = ( ) ( )1 2Im f z f z+   = ( ) ( )1 2Im f z Im f z+ = ( ) ( )2 1 2 2f z f z+ . Định lý 1.4.4. Nếu :f →

là cộng tính thì tồn tại các hàm cộng tính :kjf →

( ), 1,2k j = sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 12 21 22f z f Rez f Im z if Re z if Im z= + + + . Định lý 1.4.5. Nếu :f →

là một hàm cộng tính liên tục thì tồn tại các hằng số phức 1c và 2c sao cho ( ) 1 2f z c z c z= + (1.8) Trong ñó z kí hiệu số phức liên hợp với z . Lưu ý rằng không như các hàm cộng tính liên tục giá trị thực trên
, các hàm cộng tính liên tục giá trị phức trên
là không tuyến tính. Tính tuyến tính có thể ñược khôi phục nếu ta giả sử ñiều kiện chính quy mạnh hơn như là tính giải tích thay vì tính liên tục. Định nghĩa 1. 4.1. Một hàm :f →

ñược gọi là giải tích nếu f khả vi trên
. Định lý 1.4.6. Nếu :f →

là một hàm cộng tính giải tích thì tồn tại một hằng số phức c sao cho ( )f z cz= , nghĩa là f tuyến tính. 1.5. HÀM SONG CỘNG TÍNH Định nghĩa 1.5.1. Một hàm 2:f →

ñược gọi là song cộng tính nếu nó cộng tính theo từng biến, nghĩa là ( ) ( ) ( ), , ,f x y z f x z f y z+ = + , ( ) ( ) ( ), , ,f x y z f x y f x z+ = + (1.9) với mọi , ,x y z ∈
. Ví dụ duy nhất về hàm cộng tính dễ dàng thấy ñược là một bội của tích các biến ñộc lập. Vì vậy nếu m là một hằng và ta ñịnh nghĩa f bởi ( ),f x y mxy= , ,x y ∈
thì f là song cộng tính. Định lý 1.1.5. Mỗi hàm song cộng tính liên tục 2:f →

có dạng 9 ( ),f x y mxy= với mọi ,x y ∈
và hằng số m tùy ý nào ñó trong
. Định lý 1.5.2. Mỗi hàm cộng tính 2:f →

có thể ñược biểu diển dưới dạng ( ) 1 1 , n m kj k j k j f x y r sα = = = ∑ ∑ , (1.10) trong ñó 1 n k k k x r b = =∑ , 1 m j j j y s b = =∑ , ,k jr s là hữu tỉ, trong khi jb là các phần tử của một cơ sở Hamel B và kjα tùy ý phụ thuộc vào jb và kb . CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài liệu [1], [2], [3], [5]. Mục ñích của chương này là nhằm trình bày ñịnh lý giá trị trung bình của phép tính vi phân cùng với một số ứng dụng của nó và bàn ñến nhiều phương trình hàm ñược thúc ñẩy việc sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình. Tất cả các phương trình hàm ñề cập trong chương này ñược sử dụng theo ña thức ñặc trưng. Ớ ñây, chúng ta cũng khảo sát ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai phân và ñưa ra một số ứng dụng trong việc xác ñịnh trung bình hàm. Cuối cùng, chúng ta chứng minh ñịnh lý giá trị trung bình của Cauchy và chỉ ra các phương trình hàm khác nhau có thể là ñộng lực sử dụng ñịnh lý tổng quát này. 2.1. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH LAGRANGE Một trong các ñịnh lý quan trọng nhất trong phép tính vi phân là ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange. Định lý này ñược khám phá ñầu tiên bởi Joseph Louis Lagrange (1736-1813) nhưng ý tưởng của việc ứng dụng ñịnh lý Rolle vào một hàm bổ trợ thích hợp ñược cho bởi Ossian Bonnet (1819-1892). Tuy nhiên, phát biểu ñầu tiên của ñịnh lý này xuất hiện trong bài báo của nhà vật lý học nổi tiếng André-Marie Ampère (1775-1836). Như ñã biết nhiều kết quả của giải tích thực cổ ñiển là một hệ quả của ñịnh lý giá trị trung bình. Chứng minh của ñịnh lý Rolle dựa vào hai kết quả ñơn giản sau ñây. 10 Mệnh ñề 2.1.1. Nếu một hàm khả vi : f →

ñạt cực trị tại một ñiểm c thuộc khoảng mở (a,b) thì ( )' 0f c = . Mệnh ñề 2.1.2. Một hàm liên tục : f →

ñạt cực trị trên một khoảng ñóng và bị chặn bất kỳ [ ],a b . Chúng ta bắt ñầu ñịnh lý Rolle như sau: Định lý 2.1.1. Nếu f liên tục trên [ ]1 2,x x , khả vi trên ( )1 2,x x và ( ) ( )1 2f x f x= , thì tồn tại một ñiểm ( )1 2,x xη ∈ mà sao cho ( )' 0f η = . Định lý 2.1.2. Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên khoảng I và với mọi cặp 1 2x x≠ trong I , tồn tại một ñiểm η phụ thuộc 1x và 2x sao cho ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 ' , f x f x f x x x x η− = − . (2.1) 2.2. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Định lý giá trị trung bình có giải thích hình học như sau. Tiếp tuyến với ñồ thị của hàm f tại 1 2( , )x xη song song với cát tuyến nối các ñiểm ( )( )1 1,x f x và ( )( )2 2,x f x . Trong mục này, chúng ta thiết lập một số kết quả về phép tính vi phân và tích phân sử dụng ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange. Bổ ñề 2.2.1. Nếu ( )' 0f x = với mọi x trong khoảng ( ),a b thì f là hằng trên [ ],a b . Bồ ñề 2.2.2. Nếu ( ) ( )' 'f x g x= với mọi ( ),x a b∈ thì àf v g sai khác một hằng số trên [ ],a b . Bồ ñề 2.2.3. Nếu ( )' 0f x > (< 0) , với mọi ( ),x a b∈ thì hàm f tăng ( giảm ) thực sự trên [ ],a b . Bồ ñề 2.2.4. Nếu ( )'' 0f x > , với mọi ( ),x a b∈ thì f là lõm trên khoảng [ ],a b . Định lý cơ bản của phép tính phát biểu rằng nếu f là một hàm liên tục trên [ ],a b và F là một nguyên hàm của f trên [ ],a b thì ( ) ( ) ( ) b a f t dt F b F a= −∫ . (2.2) 11 Định lý này cũng có thể ñược thiết lập bằng cách ñưa vào ñịnh lý giá trị trung bình Ngoài những ứng dụng lý thuyết, ñịnh lý giá trị trung bình còn có những ứng dụng khác. Các ví dụ sau ñây minh họa một số ứng dụng khác của ñịnh lý giá trị trung bình. Ví dụ 2.2.1. Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng ñể chứng minh bất ñẳng thức Bernoullis: Nếu 1x > − thì ( )1 1nx nx+ ≥ + , với mọi n∈
. Ví dụ 2.2.2. Định giá trị trung bình có thể ñược sử dụng trong việc chứng minh bất ñẳng thức 1 lnx x≥ + , 0x > (2.3) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1x = . Ví dụ 2.2.3. Định lý giá trị trung bình có thể ñược sử dụng trong việc thiết lập bất ñẳng thức sau ñây ( ) 11a a b bα αα α −< + −   , (2.5) với 0 1α< < và a,b là hai số thực dương . Ví dụ 2.2.4 . Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng ñể chứng tỏ ( )11 xx+ là hàm tăng, trong khi ( ) 111 xx ++ là một hàm giảm với 0x > Ví dụ 2.2.5. Định lý giá trị trung bình có thể ñược dùng trong việc ñể thiết lập công thức 1 0 1 b b x dx α α α + = +∫ (2.6) với 0 à 0v bα ≥ > Ví dụ 2.2.6. Cho f là một hàm xác ñịnh trên ( ),a b và giả sử ( )'f c tồn tại với ( ),c a b∈ nào ñó. Cho g khả vi trên khoảng chứa ( )f c h+ với h ñủ nhỏ và giả sử 'g liên tục tại ( )f c . Khi ñó g fo khả vi tại c và ( ) ( ) ( )( ) ( )' ' 'g f c g f c f c=o . Ví dụ 2.2.7. Định lý giá trị trung bình cũng có thể ñược dùng trong việc giới thiệu một họ vô hạn các trung bình, như là trung bình Stolarsky. 12 Định nghĩa ( )f x xα= , trong ñó α là một tham số thực. Áp dụng ñịnh lý giá trị trung bình ñối với f trên khoảng [ ],x y . Tồn tại một ñiểm η với x yη< < ( phụ thuộc vào , àx y v α ) sao cho ( )( ) ( ) ( )' , f x f yf x y x yα η −= − ( )( ) 1 1 , ( ) x y x y x y α α α αη α −  − ⇔ =   −  . Lưu ý rằng ta sử dụng ( ),x yαη thay vì η ñể nhấn mạnh sự phụ thuộc của η vào x, y và α .Từ ñiều này, ta có ñược một họ vô hạn các trung bình bằng cách thay ñổi tham số α .Các trung bình này ñược biết là trung bình Stolarsky . Nếu 1α = − , thì ta có trung bình hình học: 1( , ) ;x y x yη− = Nếu 2α = thì ta có trung bình số học : ( )2 , 2 x y x yη += ; Nếu 0α → , thì ta có trung bình lôgarit : ( ) 0 lim , ln ln x y x y x yαα η → − = − ; Nếu 1α → , thì ta có trung bình identric : ( )( ) 1 1 1lim , y y x x y x y e x α α η − →   =     . Dể dàng mở rộng ñịnh nghĩa về trung bình số học và trung bình hình học ñối với n số thực dương, lần lượt là ( ) 1 21 2 ..., ,... nn x x xA x x x n + + + = , ( )1 2 1 2, ,... , ,...nn nG x x x x x x= . 2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Trong mục này, chúng ta minh họa một phương trình hàm xuất hiện từ ñịnh lý giá trị trung bình và trình bày một nghiên cứu có hệ thống về phương trình hàm này và các suy rộng khác nhau của nó. Định nghĩa 2.3.1. Với các số thực phân biệt 1 2, ,..., nx x x , tỉ sai phân của hàm :f →

ñược ñịnh nghĩa là [ ] ( )1 2f x f x= , [ ] [ ] [ ]1 2 1 2 31 2 1 , ,..., , ,..., , ,..., n n n n f x x x f x x xf x x x x x − − = − , với 2n ≥ . Định lý 2.3.1. Các hàm f , :h →

thỏa mãn phương trình hàm 13 [ ] ( ),f x y h x y= + , x y≠ , (2.7) khi và chỉ khi ( ) 2f x ax bx c= + + và ( )h x ax b= + trong ñó a, b, c là các số thực tùy ý. Hệ quả 2.3.1. Hàm :f →

thỏa mãn phương trình hàm ( ) ( ) ( ) ' 2 x yf x f y x y f + − = −     , x y≠ , khi và chỉ khi ( ) 2f x ax bx c= + + , với , ,a b c là các hằng số thực tùy ý. Định lý 2.3.2. Nếu ña thức bậc hai ( ) 2f x ax bx c= + + , với 0a ≠ , là một nghiệm của phương trình hàm ( ) ( ) ( )'f x h f x h f x hθ+ − = + ( )0 1θ< < (2.8) ñược giả sử với mọi , \{0}x h∈ ∈

thì 12θ = . Đảo lại, nếu một hàm f thỏa mãn phương trình hàm ở trên với 12θ = thì nghiệm duy nhất là một ña thức có bậc nhiều nhất bằng hai. Định lý 2.3.3. Với các tham số thực ,s t các hàm , , :f g h →

thỏa mãn ( ) ( ) ( )f x g y h sx ty x y − = + − (2.9) với mọi , ,x y x y∈ ≠
khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 2 2 0 0 , 0 0 , 0 0 0 ax b s t ax b s t ax b s t f x tx ax b s t A tx b s t t x b s t α β + = =  + = ≠  + ≠ =  = + + = ≠   + = − ≠   + ≠ nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu ( 2.10) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 , 0 0 , 0 0 0 ay b s t ay b s t ay b s t g y ty ay b s t A ty c s t t y b s t α β + = =  + = ≠  + ≠ =  = + + = ≠   + = − ≠   + ≠ nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu (2.11) 14 ( ) ( ) 2 2 (0) 0 0 , 0 0 , 0 0 ( ) 0 , tùy ý h a s t a s t a s t y a s th y A y c b t s t y y y s t α β = = =  = ≠  ≠ =  + = ≠=   − + = − ≠   ≠ víi nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu (2.12) trong ñó :A →

là một hàm cộng tính và , , , ,a b c α β là các hằng số thực tùy ý. Định lý 2.3.4. Nếu f là một hàm khả vi thỏa mãn phương trình hàm [ , , ] ( )f x y z h x y z= + + (2.13) thì f là một ña thức có bậc nhiều nhất là ba. Năm 1992 Bailey ñặt ra câu hỏi có hay không mỗi hàm liên tục ( hoặc khả vi) f thỏa mãn phương trình hàm [ ]1 2 1 2, ,... ( ... )n nf x x x g x x x= + + + (2.14) là một ña thức có bậc nhiều nhất n . Sử dụng một số kỹ thuật sơ cấp, Kannappan và Sahoo (1995) ñã giải bài toán Bailey. Định lý sau ñây là lời giải với 3n = . Định lý 2.3.5. Cho f thỏa mãn phương trình hàm [ ]1 2 3 1 2 3, , ( )f x x x g x x x= + + (2.15) với mọi 1 2 3 1 2 2 3, , à ,x x x m x x x x∈ ≠ ≠
và 1 3x x≠ . Khi ñó f là một ña thức có bậc nhiều nhất ba và g là tuyến tính. Bổ ñề 2.3.1. Cho S là tập con hữu hạn của
và ñối xứng qua 0 ( nghĩa là, S S− = ) và cho , :f g →

là các hàm thỏa mãn phương trình hàm ( ) ( ) ( ) ( )f x f y x y g x y− = − + (2.16) với mọi , \x y S∈
. Khi ñó 2( ) , ( )f x ax bx c g y ay b= + + = + (2.17) với mọi , \ àx y S v y∈ ∈

, trong ñó , ,a b c là các hằng số nào ñó. Định lý 2.3.6. Cho , :f g →

thỏa mãn phương trình hàm (2.14) với 1 2, , ..., nx x x phân biệt. Khi ñó f là một ña thức có bậc nhiều nhất àn v g là tuyến tính . 15 2.4. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI TỈ SAI PHÂN Trong mục này, chúng ta chứng minh ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai phân và sau ñó trình bày một số ứng dụng hướng về nghiên cứu các trung bình. Chúng ta bắt ñầu mục này với một biểu diễn tích phân của tỉ sai phân.Trong mục này f ( )n ký hiệu ñạo hàm cấp n của hàm f ,trong khi 'f sẽ biểu diễn ñạo hàm cấp một của f . Định lý 2.4.1. Giả sử :f →

có một ñạo hàm cấp n liên tục trong khoảng { } { }0 1 0 1min , ,..., ax , ,..., .n nx x x x m x x x≤ ≤ nếu tất cả các ñiểm 0 1, ,..., nx x x là phân biệt thì 111 ( ) 1 2 0 1 10 0 0 ... ( ) ntt n n k k k n k d t d t f x t x x d t − − =   + −    ∑∫ ∫ ∫ (2.18) [ ]0 1, , ..., nf x x x= , với 1.n ≥ Định lý 2.4.2. Cho [ ]: ,f a b →
là một hàm giá trị thực với ñạo hàm cấp n liên tục và 0 1, , ..., nx x x trong [ ],a b . Khi ñó tồn tại một ñiểm η trong khoảng { } { }0 1 0 1min , ,..., , ax , ,...,n nx x x m x x x   sao cho [ ] ( ) 0 1 ( ) , ,..., ! n n ff x x x n η = . 2.5. DÁNG ĐIỆU GIỚI HẠN CỦA GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Nếu x là một số thực trong khoảng (a,b) thì áp dụng ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange ñối với khoảng [ ],a x , có thể chọn một số xη trong ( ,a x ) như là một hàm của x sao cho [ ], '( )xf a x f η= . (2.19) Trong mục này, chúng ta khảo sát dáng ñiệu của giá trị trung bình xη khi x tiến ñến ñiểm mút trái a của khoảng [ ],a x . Kiểu dáng ñiệu của giá trị trung bình tích phân này ñầu tiên ñược nghiên cứu bởi Jacobson (1982) và sau ñó bởi Bao- Lin (1997). Dáng ñiệu của giá trị trung bình vi phân ñược nghiên cứu bởi Powers, Riedel và Sahoo (1988). Đầu tiên, chúng ta chứng minh hai kết quả mang tính biểu diễn khác ñối với tỉ sai phân n -ñiểm [ ]0 1, ,..., nf x x x của f . Định lý 2.5.1. Tỉ sai phân n-ñiểm của f có thể ñược biểu diễn thành 16 [ ]0 1, ,..., nf x x x = ( )1 1 ( )n j n j j k k j k f x x x= ≠ = − ∑ ∏ (2.20) với mọi số nguyên dương n Định lý 2.5.2. Giả sử ( ) lf x x= với số nguyên không âm l nào ñó, khi ñó [ ]1 1 0 1, , ..., 1 1, , ..., . n n l n f x x l n x x l n < <  = = −  = nÕu nÕu nÕu với mọi số nguyên dương n . Định lý 2.5.3. Giả sử hàm f khả vi liên tục trên [ ],a b và có ñạo hàm cấp hai tại a với ( )' ' 0f a ≠ . Nếu xη ký hiệu giá trị trung bình trong (2.19) thì 1l i m 2 x x a a x a η +→ − = − . Chú ý 2.5.1. Ý tưởng chính của chứng minh ñịnh lý trên xuất phát từ một bài báo của Jacobson(1982). Chúng ta sẽ ñưa ra một ñịnh lý tổng quát hơn mà ñịnh lý trên như là một trường hợp ñặc biệt. Như ta ñã biết ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai phân n-ñiểm phát biểu là nếu [ ]: ,f a b →
khả vi liên tục cấp 1n − và 1 , . . . , nx x là n ñiểm phân biệt trong [ ],a b thì tồn tại { } { }1 1min ,..., , ax ,...,n nx x m x xη  ∈   sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1,..., ; 1 ! n n f x x f x n η− =   − . (2.21) Ở ñây chúng ta sử dụng kí hiệu ( )1,..., ;nx x f x   ñể chỉ tỉ phân n −ñiểm [ ]1,..., nf x x của f . Ngoài ra, nếu α ∈
và n∈
thì hệ số nhị thức suy rộng a kC ñược ñịnh nghĩa là ( ) ( ) ( )1 0 1 ... 1 1 ! ! k k i k C i k kα α α α α − = − − + = = −∏ . Trong trường hợp 0k = , tích ( )1 0 k i iα − = −∏ ñược hiểu là 1. Định lý 2.5.4. Cho [ ]: ,f a b →
khả vi liên tục cấp 1n − trên [ ],a b sao cho ( ) ( ) ( ) ( )f t p t t a g tα= + − (2.22) 17 Trong ñó ( )p t là một ña thức có bậc nhiều nhất 1n − , ( ) ( )1ng t− bị chặn trên [ ],a b và ( ) 0g a ≠ và { }\ 0 ,1 . . . , 1nα ∈ −
. Khi ñó 1 1 1 ,.. . , 10 ; l im n nx n x m m xa x C α α α η + − + −→    −       (2.23) trong ñó 10 ... 1,n xm m η≤ < < ≤ là giá trị trung bình ñược cho trong (2.21) ñối với ( )1 , .. . , ;na m x a m x f x+ +   và 0 x b a< < − . Định lý 2.5.5. Giả sử f khả vi cấp n tại a . Khi ñó tồn tại hàm ( )xε sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , ! kn k n k f af a x x x x k ε = + +∑ (2.24) trong ñó ( ) 0 lim 0 x xε → = . Định lí 2.5.6. Giả sử: [ ]: ,f a b →
có ñạo hàm cấp 1n − liên tục và khả vi cấp k n≥ tại a với ( ) ( ) 0if a = với ( ), ..., 1i n k= − và ( ) ( ) 0kf a ≠ . Khi ñó 1 1 1 ,. . . , ; 10 lim k k n nx n x k m m xa x C η + + − − →    −   =    (2.25) trong ñó 10 ... 1,n xm m η≤ < < ≤ là giá trị trung bình ñược cho trong (2.21) ñối với ( )1 ,..., ;na m x a m x f x+ +   và 0 .x b a< < − 2.6. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CAUCHY VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Augustine – Louis Cauchy (1789 – 1857) ñưa ra một suy rộng sau ñây của ñịnh lý giá trị trung trung bình mà hiện nay mang tên ông ta. Định lý 2.6.1. Với mọi giá trị thực f và g khả vi trên một khoảng số thực I và với mọi cặp 1 2x x≠ trong I , tồn tại một ñiểm η phụ thuộc vào 1 2àx v x sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2' 'f x f x g g x g x fη η− = −       . (2.26) Định lý 2.6.1. Với mọi giá trị thực f và g khả vi trên một khoảng số thực I và với mọi cặp 1 2x x≠ trong I , tồn tại một ñiểm η phụ thuộc vào 1 2àx v x sao cho 18 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2' 'f x f x g g x g x fη η− = −       . (2.27) Chú ý 2.6.1. Định lý giá trị trung bình Cauchy ñược dùng trong việc chứng minh một phương pháp thông dụng ñể tính giới hạn của tỉ nào ñó các hàm. Phương pháp này là của Guillaume Francois Marquis de l’Hospital (1661- 1704) và ñược biết là qui tắc l’Hospital. Năm 1696 Marquis de l’Hospital biên tập bài giảng của thầy ông ta là Johann Bernoulli (1667- 1748), quy tắc gọi là l’Hospital ñầu tiên xuất hiện. Có lẽ chính xác hơn nên gọi quy tắc này là quy tắc Bernoulli- l’Hospital. Định lý 2.6.2. Cho [ ], : ,f g a b →
là các hàm giá trị thực có ñạo hàm cấp n liên tục và ( )( ) 0ng t ≠ trên [ ],a b . Hơn nữa, cho 0 1, , . . . , nx x x trong [ ],a b . Khi ñó tồn tại một ñiểm { } { }0 1 0 1min , ,..., ,max , ,...,n nx x x x x xη  ∈   sao cho [ ] ( ) [ ] ( )0 1 0 1, ,..., , ,...,n nn nf x x x g g x x x fη η= . (2.28) CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN Các khái niệm và kết quả trong chương này có thể tìm thấy trong các tài liệu [2], [3], [5]. Trong chương này, chúng ta khảo sát một ñịnh lý giá trị trung bình của Pompeiu (1946). Chúng ta cũng xét một suy rộng của ñịnh lý giá trị trung bình pompeiu ñược ñề xuất bởi Boggio (1947 – 1948). Trong Chương 2, chúng ta ñã gặp nhiều phương trình hàm dẫn xuất từ ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange. Các phương trình hàm tương tự xuất hiện từ ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu. Các phương trình hàm này ñược biết ñến là kiểu Stamate. Mục 2 bàn ñến một số phương trình hàm kiểu Stamate và các suy rộng của chúng. Mục 3 gồm suy rộng của ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu của Boggio. Trong mục này, chúng ta sẽ có một phương trình hàm nghiên cứu bởi Kuczma (1991). Trong Mục 4, chúng ta khảo sát một suy rộng của phương trình hàm kiểu Stamate và sau ñó giải một số phương trình hàm liên quan xuất hiện từ quy tắc Simpson về ước lượng số tích phân xác ñịnh. 19 3.1. ĐỊNH LÍ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU Năm 1946, Pompeiu giới thiệu một biến thể của ñịnh lý giá trị trung bình Lagrange mà ngày nay gọi là ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu. Định lý 3.1.1. Với mỗi hàm f giá trị thực khả vi trên một khoảng [a,b] không chứa 0 và với mọi cặp 1 2x x≠ trong [ a , b ] , tồn tại ñiểm 1 2( , )x xξ∈ sao cho ( ) ( )1 2 2 1 1 2 ( ) '( ).x f x x f x f f x x ξ ξ ξ− = − − 3.2. PHƯƠNG TRÌNH KIỂU STAMATE Chú ý 3.2.1. Biểu thức ñại số (3.1) cho một phương trình hàm. Ở ñây dạng chính xác của vế phải là không cần thiết. Điều có liên quan là vế phải của (3.1) chỉ phụ thuộc vào ξ mà không trực tiếp vào 1x và 2x . Vì vậy, ta có phương trình hàm ( ) ( ) ( ( , )), ,x f y y f x h x y x y x y ξ− = ∀ ∈ −
với .x y≠ (3.1) Tương tự như tỉ sai phân, một biến thể của nó ñược ñịnh nghĩa trong công trình của Chung và Sahoo (1993) bằng ñệ quy là 1 2{ } ( ),f x f x= 1 2 1 1 2 3 1 2 1 { , ,..., } { , ,..., }{ , ,..., } = .n n nn n x f x x x x f x x xf x x x x x − − − Một tính toán dễ dàng chứng tỏ rằng ( ) ( )2 1 1 2 1 2 2 1 { , } = ,x f x x f xf x x x x − − 1 2 1 { , ,..., } = ( ). nn j n i i j i i j xf x x x f x x x = ≠      −  ∑ ∏ Kết quả sau ñây ñược trình bày trong công trình của Aczél và Kuczma (1989). Định lý 3.2.1. Các hàm , :f h →

thỏa mãn phương trình hàm { }, ( ), ,f x y h x y x y= + ∀ ∈
với x y≠ , (3.2) khi và chỉ khi ( )f x ax b= + và ( ) ,h x b= (3.3) trong ñó a, b là các hằng số tùy ý. Bổ ñề 3.2.1. Nếu , , :f g h →

thỏa mãn phương trình hàm ( ) ( ) ( )xf y yg x h x y x y − = + − 20 ∀ ,x y ∈
, x y≠ thì ( ) ( ), .f x g x x= ∈
Định lý 3.2.2. Cho ,s t là các tham số thực. Các hàm , :f h →

thỏa mãn ( ) ( ) ( )xf y yf x h sx ty x y − = + − (3.4) với mọi ,x y ∈
, x y≠ khi và chỉ khi ( ) ,f x ax b= + ( )h x (0)b h s t b s x b =  − ≠   tïy ý víi nÕu = 0 = = nÕu = t, 0 trong tr−êng hîp cßn l¹i, (3.5) trong ñó a,b là các hằng số tùy ý. 3.3. MỘT PHƯƠNG TRÌNH CỦA KUCZMA Định lý 3.3.1. Với mọi hàm giá trị thực f và g khả vi trên một khoảng [ ],a b không chứa 0 và với mọi cặp 1 2x x≠ trong [ ],a b , tồn tại một ñiểm ( )1 2,x xξ ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 ' . ' g x f x g x f x gf f g x g x g ξξ ξξ − = − − (3.6) Ở ñây giả sử g(x) và g’(x) là khác không trong [ ],a b . Định lý 3.3.2. Cho :g →

là một hàm liên tục và tăng chặt mà ( ) 0g κ = với κ∈
nào ñó. Các hàm , , :f g h →

thỏa mãn phương trình hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 2 x yg x f y g y f x g x g y h x y+ − =  −  ∈    
(3.7) khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x h x g x tùy ý, α β β = +  =  = (3.8) trong ñó ,α β là các hằng số tùy ý. 3.4. PHƯƠNG TRÌNH XUẤT PHÁT TỪ QUY TẮC SIMPSON Chú ý 3.4.1. Quy tắc Simpson là một phương pháp số sơ cấp ñể ước lượng tích phân xác ñịnh ( )b a f t dt∫ . Phương pháp này bao gồm việc phân hoạch khoảng [ ],a b thành các khoảng con có ñộ dài bằng nhau và rồi xấp xỉ ñồ thị của f trên mỗi khoảng con với một hàm bậc hai. Nếu 0 1 2 2... na x x x x b= < < < < = là một phân 21 hoạch của [ ],a b thành 2n khoảng con, mỗi khoảng có ñộ dài 2 b a n − thì 0 1 2 2 2 1 2( ) [ ( ) 4 ( ) ... 2 ( ) 4 ( ) ( )].6 b n n n a b af t dt f x f x f x f x f x n − − − + + + + +∫
Công thức xấp xỉ này gọi là quy tắc Simpson. Sai số ñối với quy tắc này cho bởi ( ) 0 1 2 2 2 1 2 5 4 ( ) [ ( ) 4 ( ) ... 2 ( ) 4 ( ) ( )] 6 180 b n n n a b af t dt f x f x f x f x f x n K b a n − − − − + + + + + − ≤ ∫ trong ñó [ ]{ }(4)sup ( ) | ,K f x x a b= ∈ . Dễ dàng lưu ý từ bất ñẳng thức này là nếu f khả vi liên tục ñến cấp 4 và (4)( ) 0f x = thì 0 1 2 2 2 1 2( ) [ ( ) 4 ( ) ... 2 ( ) 4 ( ) ( )].6 b n n n a b af t dt f x f x f x f x f x n − − − = + + + + +∫ Rõ ràng ñúng khi 1n= và nó thu về : 0 1 2( ) [ ( ) 4 ( ) ( )].6 b a b af t dt f x f x f x−= + +∫ Cho ,a x b y= = , 1 2 x y x + = trong công thức trên, ta có ñược ( ) [ ( ) 4 ( ) ( )]. 6 2 y x y x x yf t dt f x f f y− += + +∫ (3.9) Phương trình tích phân (3.9) ñúng với mọi ,x y ∈
nếu f là một ña thức có bậc nhiều nhất ba. Tuy nhiên, không hiển nhiên nếu (3.9) ñúng với mọi ,x y ∈
thì nghiệm duy nhất f là một ña thức bậc ba. Phương trình tích phân (3.9) dẫn ñến phương trình hàm ( ) ( ) [ ( ) 4 ( ) ( )] 6 2 y x x yg y g x f x f f y− +− = + + (3.10) trong ñó g là một nguyên hàm của f . Phương trình trên là một trường hợp ñặc biệt của phương trình hàm [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g y x y h x y x yψ φ− = − + + + (3.11) với mọi ,x y ∈
. Trong mục này, chúng ta ñịnh nghĩa nghiệm tổng quát của phương trình hàm (3.11). Hai phương trình hàm sau ñây là công cụ trong việc giải phương trình hàm (3.11) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . g x g y x y f x y x y f x y xf y yf x x y g x y g x g y − = − + + + − − = − + − − (3.12) 22 Phương trình ñầu của (3.12) có thể xem như là một biến thể của ( ) ( )f x f y x y − − ( )h x y= + và phương trình thứ hai của (3.12) là một biến thể khác của ( )xf y − ( ) ( ) ( )yf x x y g x y= − + . Định lý 3.4.1. Các hàm , :f g →

thỏa mãn phương trình hàm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,g x g y x y f x y x y f x y x y− = − + + + − ∀ ∈
(3.13) khi và chỉ khi 3( ) ( )f x ax A x= + và 4( ) 2 2 ( ) ,g x ax xA x b= + + (3.14) trong ñó :A →

là cộng tính, a và b là các hằng số tùy ý. Định lý 3.4.2. Các hàm , :f g →

thỏa mãn phương trình hàm [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xf y yf x x y g x y g x g y− = − + − − (3.15) với mọi ,x y∈
khi và chỉ khi 3 2 3 2( ) 3 2 , ( ) ( ) ,f x ax bx cx d g x ax bx A x d= + + + = − − − − (3.16) trong ñó :A →

là hàm cộng tính và , , ,a b c d là các hằng số tùy ý. Định lý 3.4.3. Các hàm , , , :f g h k →

thỏa mãn phương trình hàm [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g y x y h x y k x k y− = − + + + (3.17) với mọi ,x y ∈
khi và chỉ khi 4 3 2 4 3 2 3 2 3 2 ( ) 3 2 ( ) 3 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) , f x ax bx cx dx g y ay by cy dy h x ax bx A x d k x ax bx cx A x α α β β  = + + + +  = + + + +  = + + + −  = + + − + (3.18) trong ñó :A →

là hàm cộng tính và , , , , ,a b c d α β là các hằng số tùy ý. Định lý 3.4.4. Các hàm , , , , :f g h φ ψ →

thỏa mãn phương trình hàm [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g y x y h x y x yφ ψ− = − + + + (3.19) với mọi ,x y∈
khi và chỉ khi 4 3 2 4 3 2 3 2 3 2 3 2 ( ) 3 2 ( ) 3 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) , f x ax bx cx dx g y ay by cy dy h x ax bx A x d x ax bx cx A x y ay by cy A y α α β φ β γ ψ β γ  = + + + +  = + + + +  = + + + −  = + + − + +  = + + − + − trong ñó :A →

là hàm cộng tính và , , , , , ,a b c d α β γ là các hằng số tùy ý. 23 3.5. MỘT SỐ SUY RỘNG Chú ý 3.5.1. Trong mục này, chúng ta xét một số suy rộng của phương trình hàm (3.10). Số hạng 4 f ( )2x y+ của (3.10) phụ thuộc vào phân hoạch một khoảng thành các khoảng con có ñộ dài bằng nhau trong quy tắc Simpson. Tuy nhiên, không có lý do tại sao ta phải hạn chế một phân hoạch bằng nhau như thế. Nếu cho phép phân hoạch không bằng nhau thì số hạng giữa không có dạng 4 f ( )2x y+ , nhưng nó có thể có dạng ( )f sx tyα + , trong ñó , ,s tα là các hằng số. Từ ñó chúng ta có một suy rộng của (3.10) là [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f y x y h sx ty g x g y− = − + + + (3.20) với mọi ,x y ∈
với s và t là các tham số ñược chọn ưu tiên. Kế ñến, chúng ta xác ñịnh nghiệm tổng quát của phương trình hàm (3.20) mà không có giả thiết chính qui nào (tính khả vi, tính liên tục, tính ño ñược, ) gán cho các hàm ẩn. Hơn nữa, sử dụng nghiệm của phương trình này, chúng ta xác ñịnh nghiệm tổng quát của phương trình hàm [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g y x y h sx ty x yψ φ− = − + + + (3.21) với mọi ,x y ∈
với s và t là các tham số ñược chọn ưu tiên. Lưu ý rằng phương trình hàm (3.21) bao gồm phương trình hàm ( ) ( ) ( ) ( )f x g y x y h x y− = − + mà ñược nghiên cứu bởi Haruki (1979) và Aczél (1985) và phương trình hàm ( ) ( ) ( ) ( )f x g y x y h sx ty− = − + mà nghiệm của nó ñược xác ñịnh bởi Kannappan, Sahoo và Jacobson (1995). Kết quả sau ñây là của Haruki (1979) và sẽ ñược dung trong việc xác ñịnh nghiệm tổng quát của phương trình hàm (3.20). Bổ ñề 3.5.1. Các hàm , :f g →

thỏa mãn phương trình hàm ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 g x g yf x f y x y + − = −     (3.22) với mọi ,x y∈
khi và chỉ khi 2( )f x ax bx c= + + và ( ) 2g x ax b= + (3.23) trong ñó , ,a b c là các hằng số tùy ý. Định lý 3.5.1. Cho s và t là các tham số thực. Các hàm giá trị thực , , :f g h →

thỏa mãn phương trình hàm (3.20) với mọi ,x y ∈
khi và chỉ khi 24 2 2 2 4 3 2 3 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) 0, 0 ( ) 0, 0( ) 3 2 ( 2 ) 0 2 2 ( ) 0 ( ) 0 0 0 2 0, 0 2 ( ) ax b d x c s t ax b d x c s t ax b d x c s tf x ax bx cx d x s t ax cx x A x s t ax b d x c s t b ax s t b ax s t b axg x β α β α  + + + = =  + + + = ≠  + + + ≠ = =  + + + + + = ≠  + + − + = − ≠   + + + ≠ ≠ ≠ + = = + = ≠ += nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu 3 2 2 2 2 3 2 2 0, 0 2 2 ( ) 0 3 0 0 0 2 (0) 0 0, 0 0, 0 0( ) s t ax bx cx A x s t ax cx s t b ax s t tùy ý h d s t d s t d s t x x x a b A d s th x t t t x t x a A t x t β β        ≠ =  + + − + = ≠  + + = − ≠  + ≠ ≠ ≠  = = = = ≠ ≠ =       + + + = ≠=                 − −        nÕu nÕu nÕu nÕu víi nÕu nÕu nÕu nÕu 2 2 , 0 0 0 0 x s t d s t           ≠ = − ≠   ≠ ≠ ≠ nÕu nÕu trong ñó :A →

là hàm cộng tính và , , , , ,a b c d α β là các hằng số tùy ý. Bổ ñề 3.5.2. Cho α là một hằng số thực khác không. Các hàm , :f g →

thỏa mãn phương trình hàm ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )f x f y x y xy g x g yα− = − + + (3.24) với mọi ,x y∈
khi và chỉ khi 3 2 2 ( ) 2 ( ) , f x ax x x g x x x β γ δ α β γ  = + + +  = + + (3.25) 25 trong ñó , ,β γ δ là các hằng số tùy ý. Định lý 3.5.2. Cho s và t là các tham số thực. Các hàm giá trị thực , , , , :f g h φ ψ →

thỏa mãn phương trình hàm (3.21) với mọi ,x y∈
khi và chỉ khi ( ) ( )g x f x= và 2 2 2 4 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 ( ) 0 0, 0 0, 0( ) 3 2 ( 2 ) 0 2 (2 ) ( ) 0 2 (2 ) 0 0 0 ( ) b b ax b d x c s t ax bx c s t ax bx c s tf x ax bx cx d x s t ax cx d x A x s t bstx x d x s t ax s t ax x δ δ β α β α β γ α δ φ − +  + + + = =  + + = ≠  + + ≠ = =  + + + + + = ≠  + + − − + = − ≠   − + + + − + ≠ ≠ ≠ + = = + = nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu 2 3 2 2 2 1 02 2 2 2 2 2 2 3 2 0, 0 0, 0 2 ( ) 0 3 ( ) 0 ( 2 ) ( ) 0 0 0 ( ) 0, 0 ( ) 0, 0 ( ) 2 b b b b s t ax s t ax bx cx A x s t ax cx A x s t bs s t x x A sx s t ax s t ax h tx s t ax h sx s t x ax bx δ δ δ δ δ β β β γ α ψ + + − −   = ≠  + ≠ =  + + − + + = ≠  + − + = − ≠   − + + + + ≠ ≠ ≠ + = = + − = ≠ + − ≠ = = + + nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 02 2 2 2 3 2 2 1 02 ( ) 0 3 ( ) 0 ( 2 ) ( ) 0 0 (0) 0 0, 0 0, 0 ( ) 0 , 0 x x x t t t x t x x t x t t cx A x s t ax cx A x s t bs t s x x A tx s t tùy ý h d s t tùy ý s t tùy ý s t h x a b A d s t a A A x s δβ β δ β γ       − + − = ≠  + + + − = − ≠   − + + + ≠ ≠ ≠ = = = = ≠ ≠ = = + + + = ≠ − − + ≠ = − nÕu nÕu nÕu víi nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu 2 2 2 0 ( ) 0 0 t bx A x d s t         ≠   − − − ≠ ≠ ≠ nÕu trong ñó 0, :A A →

là các hàm cộng tính và , , , , , , ,a b c d α β γ δ là các hằng số tùy ý. 26 KẾT LUẬN Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu về các ñịnh lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan, luận văn ñã hoàn thành và ñạt ñược mục tiêu nghiên cứu của ñề tài với những kết quả cụ thể sau 1. Tổng quan và hệ thống một cách ñầy ñủ các hàm cộng tính liên tục, gián ñoạn, hàm cộng tính trên mặt phẳng thực và phức, hàm song cộng tính. Việc nghiên cứu hàm cộng tính có từ A.M. Legendre, người ñã có nỗ lực ñầu tiên xác ñịnh nghiệm của phương trình hàm Cauchy. Nghiệm tổng quát của nhiều phương trình hàm hai hoặc nhiều biến có thể ñược biểu diễn theo các hàm cộng tính, nhân tính, logarit hoặc hàm mũ. 2. Trình bày một cách ñầy ñủ và chi tiết • Định lý giá trị trung bình Lagrange cùng các kết quả dẫn xuất và ứng dụng của chúng qua các ví dụ minh họa ñặc sắc ; • Khảo sát ñịnh lý giá trị trung bình ñối với tỉ sai phân và ñưa ra một số ứng dụng trong việc xác ñịnh trung bình hàm, ñồng thời giới thiệu một số phương trình hàm dẫn xuất và tìm nghiệm của chúng ; • Định lý giá trị trung bình Cauchy và chỉ ra các phương trình hàm khác nhau có thể là ñộng lực sử dụng ñịnh lý suy rộng này. 3. Khảo sát một cách chi tiết và có hệ thống • Định lý giá trị trung bình Pompeiu cùng các phương trình hàm kiểu Stamate và chỉ ra các nghiệm của chúng ; • Suy rộng của Boggio về ñịnh lý giá trị trung bình Pompeiu và phương trình hàm nghiên cứu bởi Kuczma ; • Các phương trình hàm liên quan xuất hiện từ quy tắc Simpson và nghiên cứu các nghiệm tổng quát của chúng. Với những gì ñã khảo sát ñược, luận văn sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích cho bản thân khi tiếp tục ñi sâu nghiên cứu sau này và hy vọng cũng là nguồn tư liệu tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu về phương trình hàm và ứng dụng các ñinh lý giá trị trung bình. Trong ñiều kiện về thời gian và khuôn khổ của luận văn nên chúng tôi chưa ñi nghiên cứu sâu về ñịnh lý giá trị trung bình theo nhiều biến và các phương trình hàm liên quan. Đó là hướng phát triển của luận văn.