Luận văn Hệ phương trình hàm: phương pháp lặp cấp hai và khai triển tiệm cận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 1.01.01 Người hướng dẫn: TS. nguyễn thành long Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 Luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ Phạm TP. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy Khoa Toán - Tin học, Đại học Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2: TS. Trần Minh Thuyết Khoa Thống kê Toán - Tin học, Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Đặng Thục Hiền Trƣờng Cao đẳng Giao thông Vận tải 3. Luận văn sẽ đƣợc bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trƣờng tại Trƣờng Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh vào lúc giờ ngày tháng năm 2003. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thƣ viện Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm TP. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin trâm trọng cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư Phạm và trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy cho chúng tôi trong suốt khóa học. Tôi xin trân trọng cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Thành Long, người thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn và đã giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn PGS. Tiến sĩ Nguyễn Bích Huy, khoa Toán - Tin học trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh; Tiến sĩ Trần Minh Tuyết, khoa thống kê Toán học - Tin học, Đại học Kinh tế TP. Hồ Chí Minh đã đọc luận văn và đã cho tôi những nhận xét quý báu. Xin trân trọng cảm ơn phòng Quản lý khoa học - Sau đại học, trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi hoàn thành khóa học. Xin trân trọng cảm ơn Bạn Giám Hiệu trường Cao Đẳng giao thông vận tải 3, gia đình, bạn bè đồng ngiệp và các bạn học lớp Cao học Giải tích khóa 11 đã luôn tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu. MỤC LỤC MỤC LỤC .............................................................................................................................................. 0 CHƢƠNG I TỔNG QUAN .................................................................................................................... 1 CHƢƠNG 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM ...................................................................... 4 CHƢƠNG 3 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ............................................................. 6 Bổ đề 3.1 ............................................................................................................................................. 6 Bổ đề 3.2 ............................................................................................................................................. 8 Định lý 3.1 .......................................................................................................................................... 9 Chú thích 3.1 ..................................................................................................................................... 10 Chú thích 3.2 ..................................................................................................................................... 10 CHƢƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI ......................................................................................... 11 4.1. Thuật giải lặp cấp hai ................................................................................................................. 11 Định lý 4.1 .................................................................................................................................... 12 Định lý 4.2 .................................................................................................................................... 13 4.2. Sự hội tụ của thuật giải lặp cấp hai ............................................................................................ 16 Định lý 4.3 .................................................................................................................................... 16 Chú thích 4.1 ................................................................................................................................. 19 CHƢƠNG 5 KHAI TRIỂN TIÊM CẬN CỦA NGHIỆM .................................................................... 20 Bổ đề 5.1 ....................................................................................................................................... 21 Bổ đề 5.2 ....................................................................................................................................... 22 Bổ đề 5.3 ....................................................................................................................................... 23 Định lý 5.1 .................................................................................................................................... 25 Chú thích 5.1 ................................................................................................................................. 26 Định lý 5.2 .................................................................................................................................... 26 CHƢƠNG 6 MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ ........................................................... 28 6.1 Khảo sát thuật giải cấp hai .......................................................................................................... 28 6.2 Khai triền tiệm cận của nghiệm .................................................................................................. 33 PHẦN KẾT LUẬN ............................................................................................................................... 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................................... 40 1 CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm sau đây (1.1) x ∈, I = 1,,n, trong đó, Ω = [a,b] hoặc Ω là một khoảng không bị chặn của IR, aijk, bijk là các hằng số thực cho trƣớc; và là các hàm số liên tục cho trƣớc thỏa một số điều kiện nào đó mà ta sẽ đặt sau. Các hàm là các ẩn hàm, là một tham số bé. Trong trƣờng hợp riêng hệ (1.1) đƣợc nghiên cứu bởi các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa, T.N. Diễm [6]; L.T. Vân [11]. Trong [12], các tác giả C.Q. Wu, Q.w. Xuan, D.Y. Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với Ω = [-b,b], m = n = 2, aijk = 0 và Sijk là các nhị thức bậc nhất (1.2) với mọi x ∈ Ω = [-b,b] trong đó, các hằng số aij , bij , cij , b cho trƣớc thỏa các điều kiện (1.3) các hàm số g1, g2 liên tục cho trƣớc và f1, f2 là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng đƣợc xấp xỉ bởi một dãy quy nạp hội tụ đều và ổn định đối với các gi. Trong [9], các tác giả N.H. Nghĩa, N.K. Khôi đã xét hệ phƣơng trình hàm cụ thể sau đây để làm kiểm tra một thuật toán số 2 (1.4) với mọi x∈[-1,1], trong đó g1, g2 đƣợc chọn sao cho hệ (1.4) có nghiệm chính xác biết trƣớc. Trong [3], các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa, Đ.V. Ruy, N.K. Khôi đã nghiên cứu một trƣờng hợp riêng của (1.1) với aijk = 0 và Ω = [-b,b] hay Ω là khoảng không bị chặn của IR. Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, trong [3] đã thu đƣợc kt quả vê sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm gi. Trong trƣờng hợp aijk = 0 và Sijk là các nhị thức bậc nhất, g ∈ C r (Ω;IRn)và Ω = [-b,b], trong [3] đã thu đƣợc một khai triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp r. Hơn nữa, nêu gi là các đa thức bậc r thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r. Kế đó, nếu gi là các hàm liên tục, nghiệm f của (1.1) đƣợc xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã đƣợc nới rộng bởi các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa [4] cho miền Ω⊂IRp nhiều chiều và Sijk là các hàm affine. Hơn nữa, trong [4] cũng cho một điều kiện đủ về sự hội tụ cấp hai. Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé ɛ cũng đƣợc xem xét trong bài báo của N.T. Long, N.H. Nghĩa, T.N. Diễm [6] và N.T. Long [8]. Gần đây, N.T. Long, P.H. Danh, N.K. Khôi [5] đã nghiên cứu hệ phƣơng trình tích phân-hàm (1.5) Sau đó P.H. Danh, H.T.H. Dung, N.T. Long [1] đã xét hệ (1.6) i = l,2,...,n, x ∈ Ω = [-b, b], trong đó gi Ω IR là các hàm liên tục cho trƣớc, aijk, bijk, cijk, αijk, βijk, γijk ∈ IR là các hằng số thực cho trƣớc thỏa thêm một số điều 3 kiện phụ. Các tác giả trong [1, 5] đã thiết lập nghiệm f = (f1,...,fn) bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Luận văn này đƣợc trình bày trong 6 chƣơng, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. Trong chƣơng 1, là phần tổng quan về hệ phƣơng trình hàm, một số kết quả đã có trƣớc đó và một số nội dung cần trình bày trong các chƣơng của luận văn. Trong chƣơng 2, là phần trình bày công cụ chủ yếu để sử dụng cho các chƣơng sau. Trong chƣơng 3, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ (1.1). Trong chƣơng 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu đƣợc thuật giải lặp hội tụ cấp hai cho hệ (1.1). Điều này cho phép gia tăng tốc độ hội tụ của thuật giải lặp so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp của ánh xạ co. Trong chƣơng 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi tham số bé ɛ. Chúng tôi thu đƣợc trong chƣơng này một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N + 1 theo ɛ, với ɛ đủ nhỏ theo nghĩa tức là trong đó c là một hằng số độc lập với . Trong chƣơng 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phƣơng trình hàm cụ thể thuộc dạng (1.1) ứng với ở đó một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ đƣợc khảo sát. Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu đƣợc trong luận văn và một số chú ý kèm theo. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. 4 CHƢƠNG 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM Trong chƣơng 2, là phân giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản đƣợc sử dụng trong luận văn. 2.1 Các ký hiệu Ta ký hiệu Ω = [a, b] hay Ω là khoảng không bị chặn trong IR . Với Ω = [a,b], ta ký hiệu X = C(Ω;IRn) là không gian Banach của các hàm số f = (f1,...,fn): Ω → IR n liên tục trên Ω đối với chuẩn (2.1) Khi Ω là khoảng không bị chặn, ta ký hiệu X = Cb(Ω; IR n ) là không gian Banach của các hàm số f:Ω→IRn liên tục, bị chặn trên Ω đối với chuẩn (2.1). Tƣơng tự, với số nguyên không âm m, ta đặt Với Ω là khoảng không bị chặn, ta ký hiệu Mặt khác, Cm (Ω; IRn) và (Ω; IRn) cũng là các không gian Banach đối với chuẩn (2.2) 2.2 Định lý điểm bất động Banach Định lý điểm bất động sau đây đƣợc sử dụng nhiều lần trong các chƣơng sau. Định lý 2.1 (Định lý điểm bất động Banach) Cho X là không gian Banach với chuẩn ||.||, K⊂ X là tập đóng. Cho T: K → K là ánh xạ thỏa mãn: tồn tại số thực σ, 0 ≤ σ < 1 sao cho 5 (2.3) Khi đó ta có (i) Tồn tại duy nhất f ∈ K sao cho f = Tf. (ii) Với mỗi f(0) ∈ K, xét dãy f(v) cho bởi f(v) = Tf(v-1), v = 1,2,, ta có (j) (jj) (jjj) Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong các sách về nhập môn giải tích. 6 CHƢƠNG 3 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chƣơng này, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng ta chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (1.1). Ta viêt hệ (1.1) theo dạng của một phƣơng trình toán tử trong X = C (Ω,IRn) (hoặc trong X = Cb (Q,IR n)) nhƣ sau f = Af + Bf + g (3.1) trong đó với Ta ký hiệu Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.1 Giả sử ||[bijk]|| < 1 và Sijk: Ω Ω liên tục. Khi đó (ii) Toán tử tuyến tính I-B: X→X là khả đảo và Chứng minh (i) Ta có 7 (ii) Trƣớc hết, ta nghiệm lại rằng ||B|| < 1. Thật vậy, do (i) và ||[bijk]|| < 1, ta chú ý rằng Tiếp theo, ta chứng minh rằng I - B khả đảo, tức là, với mỗi g ∈ X, phƣơng trình f = Bf + g có nghiệm duy nhất f ∈ X. Thật vậy, xét ánh xạ Khi đó, δ là ánh xạ co. Theo định lý điểm bất động Banach, phƣơng trình f = Bf + g có nghiệm duy nhất f ∈X. Mặt khác, ta có hay Vì f = (I – B)-1g nên Suy ra và bổ đề 3.1 đƣợc chính minh. Do bổ đề 3.1, ta viết lại hệ (3.1) nhƣ sau f = (I – B)-1 ( Af + g) = Tf. (3.2) Ta thành lập các giả thiết sau (H1) Rijk, Sijk,: Ω Ω liên tục; 8 (H2) g = (g1,gn) ∈ X; (H3) ||[bijk]|| < 1 (H4) Φ: R → R thỏa điều kiện Với mỗi M > 0, ta đặt KM = {f ∈ X : ||f||X ≤ M} Khi đó, ta có bổ đề sau đây Bổ đề 3.2 Giả sử (H1) - (H4) đúng. Khi đó ta có Chứng minh (i) f ∈ KM, Bất đẳng thức thứ 3 có đƣợc là do Vậy ta có 9 Vậy Khi đó, ta có định lý sau đây Định lý 3.1 : Giả sử (H1) - (H5) đúng. Khi đó, với mỗi , với | | 0, hệ (3.2) có một nghiệm duy nhất f ∈ KM Chứng minh Hiển nhiên rằng Tf ∈X, với mọi f ∈ X. Xét f, ̃ ∈ KM, ta dễ dàng nghiệm lại do 3.1 và 3.2 rằng (3.3) (3.4) Chú ý rằng, từ (H5) ta có 10 Do đó: Từ đây suy ra và (3.5) Ta suy ra từ (3.3), (3.4), (3.5) rằng T: KM KM là một ánh xạ co. Khi đó, sử dụng định lý điểm bất động Banach, ta có duy nhất một hàm f ∈ KM sao cho f = Tf. Chú thích 3.1 Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiệm f của hệ (3.2) đƣợc xấp xỉ bởi giải thuật sau : (3.6) f (0) ∈ KM cho trƣớc Khi đó: f (v) f trong X khi v +∞ (3.7) và (3.8) với Chú thích 3.2 Trong trƣờng hợp riêng Φ (y) = y2 , RiJk = SiJk, hệ (1.1) đƣợc chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm bởi các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa, T.N. Diễm [6]; L.T. Vân [11]. 11 CHƢƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong định lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên tắc ánh xạ co, đó cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1. Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1). Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau. 4.1. Thuật giải lặp cấp hai Xét hệ phƣơng trình hàm (1.1) Ta giả sử rằng Φ ∈ (IR; IR). Dựa vào xấp xỉ sau đây (4.1) Ta thu đƣợc thuật giải sau đây cho hệ (1.1) i) Cho trƣớc ii) Giả sử biết ta xác định bởi (4.2) Ta viết lại (4.2) dƣới dạng (4.3) x ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n, v = 1,2, trong đó , phụ thuộc vào f(v-1) cho bởi: 12 (4.4) (4.5) Khi ta có định lý sau: Định lý 4.1: Giả sử (H1) - (H3) là đúng. Nếu f (v-1) ∈ X thỏa (4.6) Khi đó tồn tại duy nhất f(v)∈ X là nghiệm của (4.3) - (4.5). Chứng minh Hệ (4.3) đƣợc viết lại nhƣ sau (4.7) với (4.8) Hiển nhiên rằng Tv: X X. Ta chỉ cần nghiệm lại rằng (4.9) Thật vậy, với f, h ∈ X, đặt ̃ = f –h ta có 13 Vậy Sử dụng định lý điểm bất động Banach, định lý 4.1 đƣợc chứng minh Định lý 4.2: Giả sử (H1)-(H3) đúng, cho aijk ∈ IR. Khi đó, tồn tại hai hằng số M, ɛ sao cho: Với f (0) ∈ KM cho trước, hệ (4.3)-(4.5) tồn tại duy nhất nghiệm f(v) thỏa điều kiện f (v) ∈ KM v = 01,2, (4.10) Chứng minh Giả sử f(0) ∈ KM, với hai hằng số M, ɛ mà ta sẽ chọn sau . Bằng quy nạp ta giả sử rằng f (v-1)∈ KM (4.11) Ta sẽ chứng minh f(v-1)∈ KM Với mọi x∈ Ω, ta có từ (4.3) rằng: 14 (4.12) Do đó (4.13) Mặt khác, với mọi x∈ Ω ta có từ (4.4) và (4.11) rằng (4.14) trong đó Từ (4.14), ta có (4.15) Mặt khác, ta cũng có đƣợc từ (4.5) rằng Chú ý rằng số hạng trong dấu móc [...] đƣợc đánh giá nhƣ sau trong đó số thực , 0 < < 1 xuất hiện do việc áp dụng định lý Lagrange cho hàm Do đó, ta suy ra từ giả thiết (4.11) rằng 15 Vậy (4.16) Từ (4.13), (4.15) và (4.16) ta đƣợc hay (4.17) Với M > 0 đã chọn nhƣ trong (H5), ta chọn ɛ sao cho hai điều kiện sau đây đƣợc thỏa (4.18) (4.19) Ta suy từ (4.17), (4.18) và (4.19) rằng (4.20) Điều này khẳng định (4.10) tức là f(v)∈ KM Chú ý rằng (4.19) tƣơng đƣơng với (4.21) Do đó từ (4.19) ta suy ra đƣợc (4.18). Vì thế, ta chỉ cần chọn ɛ thỏa (4.19). 16 Định lý 4.2 đã đƣợc chứng minh xong. 4.2. Sự hội tụ của thuật giải lặp cấp hai Định lý 4.1 và 4.2 đã khẳng định sự tồn tại của một dãy lặp trong KM xác định bởi (4.3) - (4.5). Kết quả sau đây cho ta kết luận dãy này là dãy lặp cấp 2 và cho một điều kiện đủ để thuật giải này hội tụ. Định lý 4.3 Giả sử (H1), (H2), (H3) đúng. Cho aijk ∈ IR. Khi đó, tồn tại hai hằng Số M> 0 và ɛ, sao cho i) Với f(0) ∈ KM cho trước, dãy {f (v)} xác định bởi hệ (4.3) – (4.5) là dãy lặp cấp hai. Chính xác hơn, ta có (4.22) trong đó (4.23) và f là nghiệm của hệ (1.1). ii) Nếu f(0) được chọn đủ gần f sao cho (4.24) thì dãy {f (v) } hội tụ cấp 2 về f và thỏa một đánh giả sai số (4.25) Chứng minh (i) Ta có 17 Do đó (4.26) Mặt khác ta có với Suy ra Vậy (4.27) 18 Với mọi X ∈ Ω, ta có từ (4.27) rằng Điều này dẫn đến (4.28) Suy ra hay (4.29) với (ii) Từ (4.29) ta suy ra (4.30) 19 Bất đẳng thức này chứng tỏ (4.25). Nó cũng cho phép ta kết luận dãy tụ cấp 2 {f(v)} hội đến nghiệm f của hệ (1.1) nếu f(0) đƣợc chọn thỏa (4.24). Chú thích 4.1 Về việc chọn bƣớc lặp ban đầu f(0) ∈ KM thỏa (4.24) ta cần qua một công đoạn phụ nhƣ sau - Trƣớc hết ta lấy z(0)∈ X. - Xây dựng dãy lặp đơn {z(η)} liên kết với ánh xạ co T : KM → KM (nhƣ trong định lý 3.2, chƣơng 3) (4.31) - Khi đó, dãy {z(η)} hội tụ trong X về nghiệm f của (1.1) và ta có một đánh giá sai số (4.32) với (4.33) - Từ (4.32), (4.33) ta chọn η0 ∈ N đủ lớn sao cho (4.34) Vậy ta chọn bƣớc lặp ban đầu f(0) = z(η0) 20 CHƢƠNG 5 KHAI TRIỂN TIÊM CẬN CỦA NGHIỆM Trong chƣơng này, chúng tôi nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé và thu đƣợc một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N+1 theo , với đủ nhỏ. Trong phân này, ta giả sử răng các hàm Rijk,Sijk,g và các số thực aijk, bijk , 0,M lần lƣợt thỏa các giả thiết (H1) - (H5). Giả thiết (H6) : Φ∈C N (IR, IR) Ta xét hệ bị nhiều (3.2), trong đó ɛ là một tham số bé, \ \ < 0 Đặt L = I - B. Xét dãy hàm {f[r]},r = 0,1,2,...,N, f[r]∈KM (với hằng số M > 0) đƣợc xác định bởi các hệ sau Lf [0] = g ≡ P[0] (5.1) Lf [1] =P [1] =Af [0] , (5.2) Lf [r] =P [r] , r = 2,3,...,N, (5.3) trong đó (5.4) (5.5) với p = 3,4,,N (5.6) Ở trên ta đã sử dụng các ký hiệu sau: Với một đa chỉ số γ = γ1 ,-,γN ) ∈ , ta đặt 21 (5.7) Đặt (5.8) Khi đó thỏa hệ (5.9) với (5.10) Trƣớc tiên, ta cần chứng minh các bổ đề sau đây Bổ đề 5.1 Ta có (5.11) Chứng minh Trƣờng hợp N = 2 Trƣờng hợp N = 3 Trƣờng hợp N tùy ý (5.12) 22 Áp dụng (5.12) với xi thay bởi ɛ i xi, ta có Vậy bổ đề 5. 1 đƣợc chứng minh. Bổ đề 5.2 Ta có trong đó ,Crp ∈ IR,1≤ r≤ N - 1,1≤ p ≤ N(N-1),N=2,3... Chứng minh Trƣớc hết, ta chứng minh đẳng thức Ta có Nhƣ vậy 23 Vậy bổ đề 5.2 đƣợc chứng minh. Bổ đề 5.3 Giả sử (H1 - (H5) đúng. Khi đó ta có (5.14) trong đó là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N, ||[aijk]||, ||f [r]||x, r = 0,1,,N. Chứng minh Trƣờng hợp N = 1, chứng minh (5.14) dễ dàng, ta chỉ cần chứng minh với N ≥ 2. Để cho gọn, ta bỏ qua Rijk(x), Sijk(x) trong các cách viết. Ta có Bằng cách khai triển Maclaurin của hàm xung quanh điểm đến cấp N sau đó tiến hành sắp xếp lại theo bậc của ɛ, ta thu đƣợc (do bổ để 5.1) 24 (5.15) Áp dụng bổ đề 5.2 với ta viết (5.16) Thay vào biểu thức A(f[0] + U)i – A(f [0] )i ta thu đƣợc 25 với (5.18) Ta suy ra từ (5.4), (5.5), (5.10), (5.18) rằng (5.19) Mặt khác do đó ta suy ra rằng (5.20) Bổ đề 5.3 đƣợc chứng minh. Định lý sau đây cho một kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm theo ɛ. Định lý 5.1 Giả sử (H1) - (H6) đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số x > 0 sao cho, với mỗi thỏa | | ≤ 1, hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm f ∈ KM thỏa một đánh giả tiệm cận đến cấp N+1 như sau (5.21) các hàm f [r] , r = 0,1,2,..., N lần lượt là các nghiệm của các hệ (5.1) - (5.5). Chứng minh Đặt Ta có (5.22) Do đó, ta suy ra từ bổ đề 5.3 rằng 26 (5.23) Mặt khác (5.24) nên (5.25) Từ (5.23) và (5.25) cho ta (5.26) Chọn 0 < 1 < 0 sao cho (5.27) Khi đó, từ (5.26) và (5.27) ta có hay Định lý 5.1 đã đƣợc chứng minh xong. Chú thích 5.1 Với aijk ∈ IR và g = (g1,...,gn) ∈ X cho trƣớc, giả thiêt ||[bijk] < 1 dẫn đến sự tồn tại của hai số dƣơng 0, M lần lƣợt thỏa các giả thiết (H4) và (H5). Khi đó ta có kết quả sau Định lý 5.2 Giả sử (H1) — (H3) đúng, cho trước aịjk ∈ IR. Khi đó, tồn tại hai hằng số M > 0, 1 > 0 sao cho, với mỗi thỏa \ \ ≤ 1 hệ (3.2) có duy nhất một 27 nghiệm fɛ ∈ KM có một khai triển tiệm cận đến cấp N+1 như (5.21), trong đó các hàm f [r] , r = 0,1,.:,N lần lượt là các nghiệm của các hệ (5.1) - (5.6). 28 CHƢƠNG 6 MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ Trong phần này, chúng tôi xem xét qua một số ví dụ dựa trên một số hệ phƣơng trình hàm cụ thể. Qua đó, chúng tôi xét sự hội tụ của dãy lặp cấp 2 liên kết với hệ phƣơng trình hàm này. Vân trong phần này, chúng tôi cũng tính toán một số khai triên tiệm cận đến một cấp cho trƣớc của nghiệm theo một tham số bé 6.1 Khảo sát thuật giải cấp hai Xét hệ (1 .1) ứng với m = 1,n = 2,Ω = [-1,1],Φ (y) = \y\p ,p ≥ 2 (6.1) trong đó (6.2) và aij, bij, rij, sij là các số thực cho trƣớc thỏa (6.3) các hàm Rij(x) = rijx, s,ij(x) = sijx, gi(x) thỏa các giả thiết (H1), (H2). Nghiệm chính xác của hệ (6. 1) là fi(x) = x i , i = 1,2 (6.4) Nhƣ trong chƣơng 4, dựa vào xấp xỉ sau đây (6.5) ta cụ thể lại thuật giải cấp hai cho hệ (6.1) nhƣ sau 29 hay (6.6) với (6.7) Giả sử ở bƣớc lặp ban đầu đƣợc chọn sao cho ||f(0)||X ≤ M và giả sử ở bƣớc v-1 ta tính đƣợc từ thuật giải (6.6) sao cho ||f(v-1)||X ≤ M. Khi đó, với mọi x ∈ Ω, i = 1, 2 ta có (6.8) Vậy Mặt khác 30 Vậy (6.9) hay (6.10) Chọn M > 0 sau đó chọn ∈ IR (đủ nhỏ) sao cho (6.11) Khi đó Ta thấy điều kiện chọn thứ hai của (6.11) tƣơng đƣơng với hay Vậy, ta thành lập các giả thiết sau (H3) ||[bij]|| < 1; (H6) Chọn M>0 sao cho \\g\\x < (1- ||[bij]||)M; (H7) Chọn ɛ ∈ IR (đủ nhỏ) sao cho ||ɛ|p 2 M p ||[aij]||+||g||x ≤ (1-||[bij]||)M. 31 Nếu ta chọn bƣớc lặp ban đầu sao ||f (0) ||X ≤ M, thì dãy lặp {f (v) } xác định bởi thuật giải (6.6) thỏa ||f(0)||X ≤ M v = 1,2, Tiếp theo ta đánh giá e(v) = f – f(v). ở đây ta bỏ qua rijx trong các cách viết và ký hiệu fi (.) hoặc fj thay cho Fj(rijx). Chú ý rằng: với Do đó Vậy 32 Suy ra hay với (6.12) và khi đó ta có (6.13) Chọn f(0): Ta xây dựng dãy lặp {z(η)} ⊂ KM xác định bởi (6.14) x ∈ Ω , i = 1,2,..., trong đó Khi đó dãy {z(η)} hội tụ trong X về nghiệm f của (6.1) và có một đánh giá sai số (6.15) với (6.16) Từ (6.15), (6.16), ta chọn (η)0 ∈ N khá lớn sao cho : 33 (6.17) Vậy ta chọn f(0) = z(η0). 6.2 Khai triền tiệm cận của nghiệm Ta vẫn xét hệ (6.1) (6.1) trong đó aij, bij, rij, sij là các số thực cho trƣớc thỏa (6.3). Do đó, các hàm Rij(x) = rijx, Sij(x) = sijx, gi(x) độc lập với ɛ, thỏa các giả thiết (H1),(H2). A. Khảo sát nghiệm của hệ (6.1) trong trường hợp ɛ = 0. Trƣờng hợp ɛ = 0, hệ (6.1) chính là hệ tuyên tính sau (6.18) A1. Giả sử gi(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng r (6.19) Theo một kết quả trong [3], nghiệm của hệ (6.18) cũng là các đa thức. Ta tìm nghiệm của (6.18) theo dạng: (6.20) Thay fi(x) vào (6.18) ta thu đƣợc ciγ là nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính (6.21) Giải hệ (6.21), ta đƣợc (6.22) 34 A2. Giả sử g = (g1, g2)∈C q(Ω,R2). Gọi ̃ ̃ ̃ là nghiệm đa thức của hệ (6.18) tương ứng với ̃ ̃ ̃ , trong đó (6.23) Theo kết quả trong [3], cũng đã khẳng định rằng sai lệch giữa hai nghiệm f, ̃ của hệ (6.18) lần lƣợt, tƣơng ứng với g, ̃, đƣợc cho bởi đánh giá (6.24) (6.25) trong đó (6.26) A3. Ta xét một ví dụ với hàm g = (g1,g2) cụ thể nhƣ sau (6.27) Ta viết lại gi(x)nhƣ sau (6.28) Đặt (6.29) Ta có 35 (6.30) Do đó (6.31) khi q → +∞ Ta gọi là nghiệm đa thức của hệ (6.18) tƣơng ứng với Vậy (6.32) trong đó, các hệ số (c1 γ, c2 γ) đƣợc tính theo công thức (6.26) với (6.33) tức là (6.34) Mặt khác, từ các hệ ta suy ra rằng (6.35) Suy ra 36 (6.36) khi q → +∞, do (6.31). B. Khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (6.1) theo Trong phần này chúng ta sẽ sử dụng các công thức (5.1)-(5.5) trong chƣơng 5 để xác định các thành phần trong khai triển tiệm cận. Ta giả sử rằng p = 2, và aij, bij rij Sij là các số thực cho trƣớc thỏa (6.3). Các hàm tƣơng ứng Rij(x)= rijx, Sij(x)=sijx, gi(x) độc lập với s cũng thỏa các giả thiết (H1), (H2). Giả sử gi(x) là đa thức bậc r cho trƣớc độc lập với ɛ nhƣ sau (6.37) Áp dụng công thức (6.19), (6.20), (6.22), nghiệm của hệ (6.1) ứng với ɛ = 0 (tức là hệ (6.18)) cũng là các đa thức: f[0] = (f[0],f[0]) = L-1g, với (6.38) trong đó (c1γ,c2γ) cho bởi (6.39) Gọi f[1] là nghiệm của hệ (6.18) ứng với g = Af[0], tức là (6.40) mà (6.41) với (6.42) 37 Ta có công thức (6.43) trong đó, ta đặt (6.44) Từ (6.20) ta có biểu thức của cho bởi công thức (6.45) trong đó ( ) cho bởi công thức (6.22), với (c1 γ, c2 γ) và (d1 γ, d2 γ) lần lƣợt thay bởi ( ) và ( ), với 0 ≤ γ ≤ 2r, nhƣ sau (6.46) Theo kết quả của định lý 5.2, chƣơng 5, ta có một đánh giá một khai triển tiệm cận cấp 2 theo ɛ đủ nhỏ nhƣ sau (6.47) 38 với mọi X ∈ Ω, i = 1,2, và với đủ nhỏ, C > 0 là hằng số độc lập với, x và . 39 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới việc khảo sát sự tồn tại duy nhất nghiệm, thuật giải lặp cấp hai, khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé cho hệ phƣơng trình hàm phi tuyến trong Ω = [a,b] hay Ω là khoảng không bị chặn trong IR. Nội dung chính của luận văn nằm ở các chƣơng 3, 4, 5 và 6. Trong chƣơng 3, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ phƣơng trình hàm trong một quả cầu đóng trong C(Ω,IR"). Kết quả thu đƣợc ở đây chứa đựng kết quả của C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu đã khảo sát trong trƣờng hợp Ω = [-b,b], m = n = 2, aijk = 0 và Sijk là các nhị thức bậc nhất nhƣ là một trƣờng hợp riêng. Trong chƣơng 4, chúng tôi thiết lập thuật giải lặp cấp hai của hệ phƣơng trình hàm và chỉ ra một điều kiện đủ để thuật giải hội tụ. Chƣơng 5 là phần nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm bị nhiễu bởi một tham số bé ɛ. Khi đó, chúng tôi cho một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ này đến cấp N+1 theo ɛ với ɛ đủ nhỏ. Trong chƣơng 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phƣơng trình hàm cụ thể với Φ(y) = |y|p, p ≥ 2, ở đó chúng tôi sẽ khảo sát một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ. Các kết quả trình bày trong các chƣơng 3, 4, 5, 6 chứa đựng kết quả của các tác giả trƣớc đó đã khảo sát trong trƣờng hợp Φ(y) = y2. 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Hồng Danh, Huỳnh Thị Hoàng Dung, Nguyễn Thành Long, Xấp xỉ đa thức của nghiệm một hệ tuyến tính các phƣơng trình tích phân-hàm, Hội Nghị Khoa học, Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm Tp.HCM, 21/12/2002. [2] Nguyễn Kim Khôi, Nguyễn Hội Nghĩa, Giải số của hệ phƣơng tình hàm, Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Vol. 3, No. 7&8, (2000), 25-31. [3] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghĩa, Nguyễn Kim Khôi, Đinh Văn Ruy, On a system of functional equations, Demonstration Math. 31 (1998), 313-324. [4] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghĩa, On a system of functional equations in a multi-dimensional domain, Z. Anal. Anw. 19 (2000), 1017- 1034. [5] Nguyễn Thành Long, Phạm Hồng Danh, Nguyễn Kim Khôi, Xấp xỉ nghiệm của một hệ phƣơng trình tích phân bởi một dãy các đa thức hội tụ đều, Tạp chí Khoa học Đại học Sư Phạm Tp. HCM, tập 30, No.2 (2002), 36-43. [6] Nguyen Thanh Long, Nguyen Hoi Nghia, Tran Ngoc Diem, Asymptotic expansion of the solution for system of functional equations, Aequationes mathematicae, (2003) (to appear). [7] Nguyen Thanh Long, Solution approximation of a system of integral equations by a uniformly convergent polynomials sequence, Demonstratio Math. 37, (2004) (to appear). [8] Nguyen Thanh Long, Linear approximation and asymptotic expansion a ssociated with the system of functional equations, Demonstratio Math. 37, (2004) (to appear). [9] Nguyễn Hội Nghĩa, Nguyễn Kim Khôi, Về một hệ phƣơng trình hàm tuyến tính, Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Vol. 3, No. 7&8, (2000), 18 -24. [10] Nguyễn Hội Nghĩa, Xấp xỉ nghiệm của hệ phƣơng trình hàm trong miền hai chiều, Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Vol. 5, No. 1&2, (2002), 56-65. [11] Lê Thu Vân, Xấp xỉ và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phƣơng trình hàm, Luận văn Thạc sỹ Toán học, (2001), Trường Đại học KHTNTp.HCM, 41 trang. [12] C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu, The system of the functional equations and the fourth problem of the hyperbolic system, SEA. Bull. Math. 15 (1991), 109 - 115. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẶNG THỤC HIỀN HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM: PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 1.01.01 Người hướng dẫn: TS. nguyễn thành long Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 Luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ Phạm TP. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1: PGS. TS. Nguyễn Bích Huy Khoa Toán - Tin học, Đại học Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh. Người nhận xét 2: TS. Trần Minh Thuyết Khoa Thống kê Toán - Tin học, Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh. Học viên cao học: Đặng Thục Hiền Trƣờng Cao đẳng Giao thông Vận tải 3. Luận văn sẽ đƣợc bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trƣờng tại Trƣờng Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh vào lúc giờ ngày tháng năm 2003. Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thƣ viện Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm TP. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2003 MỤC LỤC MỤC LỤC ......................................................................................................... 0 CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN .............................................................................. 1 CHƢƠNG 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM ................................ 3 CHƢƠNG 3 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM ...................... 5 Bổ đề 3.1 ................................................................................................. 5 Bổ đề 3.2 ................................................................................................. 6 Định lý 3.1 .............................................................................................. 6 Chú thích 3.1 ........................................................................................... 6 Chú thích 3.2 ........................................................................................... 7 CHƢƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI ..................................................... 7 4.1. Thuật giải lặp cấp hai ......................................................................... 7 Định lý 4.1 .............................................................................................. 8 Định lý 4.2 .............................................................................................. 8 4.2. Sự hội tụ của thuật giải lặp cấp hai .................................................... 8 Định lý 4.3 .............................................................................................. 8 Chú thích 4.1 ........................................................................................... 9 CHƢƠNG 5 KHAI TRIỂN TIÊM CẬN CỦA NGHIỆM ................................ 9 Bổ đề 5.1 ................................................................................................. 11 Bổ đề 5.2 ................................................................................................. 11 Bổ đề 5.3 ................................................................................................. 11 Định lý 5.1 .............................................................................................. 11 Chú thích 5.1 ........................................................................................... 11 Định lý 5.2 .............................................................................................. 12 CHƢƠNG 6 MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ ....................... 12 6.1 Khảo sát thuật giải cấp hai .................................................................. 12 6.2 Khai triền tiệm cận của nghiệm .......................................................... 14 PHẦN KẾT LUẬN ........................................................................................... 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 19 1 CHƢƠNG 1 TỒNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm sau đây (1.1) x ∈, I = 1,,n, trong đó, Ω = [a,b] hoặc Ω là một khoảng không bị chặn của IR, aijk, bijk là các hằng số thực cho trƣớc; và là các hàm số liên tục cho trƣớc thỏa một số điều kiện nào đó mà ta sẽ đặt sau. Các hàm là các ẩn hàm, ɛ là một tham số bé. Trong trƣờng hợp riêng hệ (1.1) đƣợc nghiên cứu bởi các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa, T.N. Diễm [6]; L.T. Vân [11]. Trong [12], các tác giả C.Q. Wu, Q.w. Xuan, D.Y. Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với Ω = [-b,b], m = n = 2, aijk = 0 và Sijk là các nhị thức bậc nhất (1.2) với mọi x ∈ Ω = [-b,b] trong đó, các hằng số aij , bij , cij , b cho trƣớc thỏa các điều kiện (1.3) 2 các hàm số g1, g2 liên tục cho trƣớc và f1, f2 là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng đƣợc xấp xỉ bởi một dãy quy nạp hội tụ đều và ổn định đối với các gi. Trong [9], các tác giả N.H. Nghĩa, N.K. Khôi đã xét hệ phƣơng trình hàm cụ thể sau đây để làm kiểm tra một thuật toán số (1.4) với mọi x∈[-1,1], trong đó g1, g2 đƣợc chọn sao cho hệ (1.4) có nghiệm chính xác biết trƣớc. Trong [3], các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa, Đ.V. Ruy, N.K. Khôi đã nghiên cứu một trƣờng hợp riêng của (1.1) với aijk = 0 và Ω = [-b,b] hay Ω là khoảng không bị chặn của IR. Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, trong [3] đã thu đƣợc kt quả vê sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm gi. Trong trƣờng hợp aijk = 0 và Sijk là các nhị thức bậc nhất, g ∈ C r (Ω;IRn)và Ω = [-b,b], trong [3] đã thu đƣợc một khai triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp r. Hơn nữa, nêu gi là các đa thức bậc r thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r. Kế đó, nếu gi là các hàm liên tục, nghiệm f của (1.1) đƣợc xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã đƣợc nới rộng bởi các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa [4] cho miền Ω⊂IRp nhiều chiều và Sijk là các hàm affine. Hơn nữa, trong [4] cũng cho một điều kiện đủ về sự hội tụ cấp hai. Một 3 số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé ɛ cũng đƣợc xem xét trong bài báo của N.T. Long, N.H. Nghĩa, T.N. Diễm [6] và N.T. Long [8]. Gần đây, N.T. Long, P.H. Danh, N.K. Khôi [5] đã nghiên cứu hệ phƣơng trình tích phân-hàm (1.5) Sau đó P.H. Danh, H.T.H. Dung, N.T. Long [1] đã xét hệ (1.6) i = l,2,...,n, x ∈ Ω = [-b, b], trong đó gi Ω IR là các hàm liên tục cho trƣớc, aijk, bijk, cijk, αijk, βijk, γijk ∈ IR là các hằng số thực cho trƣớc thỏa thêm một số điều kiện phụ. Các tác giả trong [1, 5] đã thiết lập nghiệm f = (f1,...,fn) bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Ngoài phần tổng quan, luận văn đƣợc trình bày trong 5 chƣơng (từ chƣơng 2 đến chƣơng 6); phần kết luận và phần tài liệu tham khảo. CHƢƠNG 2: CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM Trong chƣơng 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản đƣợc sử dụng trong luận văn. 2.1. Các ký hiệu Ta ký hiệu Ω = [a,b] hay Ω là khoảng không bị chặn trong IR. 4 Với Ω = [a,b], ta ký hiệu X = C(Ω;IRn) là không gian Banach của các hàm số f = (f1,...,fn): Ω → IR n liên tục trên Ω đối với chuẩn (2.1) Khi Ω là khoảng không bị chặn, ta ký hiệu X = Cb(Ω; IR n ) là không gian Banach của các hàm số f:Ω→IRn liên tục, bị chặn trên Ω đối với chuẩn (2.1). Tƣơng tự, với số nguyên không âm m, ta đặt Với Ω là khoảng không bị chặn, ta ký hiệu Mặt khác, Cm (Ω; IRn) và (Ω; IRn) cũng là các không gian Banach đối với chuẩn (2.2) 2.2 Định lý điểm bất động Banach Định lý điểm bất động sau đây đƣợc sử dụng nhiều lần trong các chƣơng sau. Định lý 2.1 (Định lý điểm bất động Banach) Cho X là không gian Banach với chuẩn ||.||, K⊂ X là tập đóng. Cho T: K → K là ánh xạ thỏa mãn: tồn tại số thực σ, 0 ≤ σ < 1 sao cho (2.3) Khi đó ta có (i) Tồn tại duy nhất f ∈ K sao cho f = Tf. (ii) Với mỗi f(0) ∈ K, xét dãy f(v) cho bởi f(v) = Tf(v-1), v = 1,2,, ta có (i) 5 (jj) (jjj) Chứng minh định lý 2.1 có thể tìm thấy trong các sách về nhập môn giải tích. CHƢƠNG 3: ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chƣơng này, dựa vào định lý điểm bất động Banach, chúng ta chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ (1.1). Ta viêt hệ (1.1) theo dạng của một phƣơng trình toán tử trong X = C (Ω,IRn) (hoặc trong X = Cb (Q,IR n)) nhƣ sau f = ɛ Af + Bf + g (3.1) trong đó với Ta ký hiệu: Đầu tiên, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.1. Giả sử ||[bijk]|| < 1 và Sijk: Ω Ω liên tục. Khi đó 6 (ii) Toán tử tuyến tính I-B: X→X là khả đảo và Do bổ đề 3.1, ta viết lại hệ (3.1) nhƣ sau f = (I – B)-1 (ɛ Af + g) = Tf. (3.2) Ta thành lập các giả thiết sau (H1) Rijk, Sijk,: Ω Ω liên tục; (H2) g = (g1,gn) ∈ X; (H3) ||[bijk]|| < 1 (H4) Φ: R → R thỏa điều kiện Với mỗi M > 0, ta đặt KM = {f ∈ X : ||f||X ≤ M} Khi đó, ta có các kết quả sau đây Bổ đề 3.2 Giả sử (H1) - (H4) đúng. Khi đó ta có Định lý 3.1 : Giả sử (H1) - (H5) đúng. Khi đó, với mỗi , với | | 0, hệ (3.2) có một nghiệm duy nhất f ∈ KM Chú thích 3.1 Nhờ định lý điểm bất động Banach, nghiệm f của hệ (3.2) đƣợc xấp xỉ bởi giải thuật sau 7 f (0) ∈ KM cho trƣớc Khi đó: f (v) f trong X khi v +∞ và với Chú thích 3.2 Trong trƣờng hợp riêng Φ (y) = y2 , RiJk = SiJk, hệ (1.1) đƣợc chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm bởi các tác giả N.T. Long, N.H. Nghĩa, T.N. Diễm [6]; L.T. Vân [11]. CHƢƠNG 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong định lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên tắc ánh xạ co, đó cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1. Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1). Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau. 4.1. Thuật giải lặp cấp hai Xét hệ phƣơng trình hàm (1.1) với Φ ∈ C1 (IR; IR). Dựa vào xấp xỉ (4.1) Ta thu đƣợc thuật giải sau đây cho hệ (1.1) i) Cho trƣớc ii) Giả sử biết ta xác định bởi 8 (4.2) trong đó , phụ thuộc vào f(v-1) cho bởi: (4.3) (4.4) Khi đó ta có các định lý sau Định lý 4.1: Giả sử (H1) - (H3) là đúng. Nếu f (v-1) ∈ X thỏa Khi đó tồn tại duy nhất f(v)∈ X là nghiệm của (4.2) - (4.4). Định lý 4.2: Giả sử (H1)-(H3) đúng, cho aijk ∈ IR. Khi đó, tồn tại hai hằng số M, sao cho: Với f(0) ∈ KM cho trước, hệ (4.3)-(4.5) tồn tại duy nhất nghiệm f (v) thỏa điều kiện f (v) ∈ KM v = 01,2, 4.2. Sự hội tụ của thuật giải lặp cấp hai Định lý 4.3: Giả sử (H1), (H2), (H3) đúng. Cho aijk ∈ IR. Khi đó, tồn tại hai hằng Số M> 0 và , sao cho (i) Với f(0) ∈ KM cho trước, dãy {f (v)} xác định bởi hệ (4.3) – (4.5) là dãy lặp cấp hai. Chính xác hơn, ta có 9 trong đó và f là nghiệm của hệ (1.1). ii) Nếu f(0) được chọn đủ gần f sao cho (*) thì dãy {f (v) } hội tụ cấp 2 về f và thỏa một đánh giả sai số Chú thích 4.1 Về việc chọn bƣớc lặp ban đầu f(0) ∈ KM thỏa (4.24) ta cần qua một công đoạn phụ nhƣ sau - Trƣớc hết ta lấy z(0)∈ X. - Xây dựng dãy lặp đơn {z(η)} liên kết với ánh xạ co T : KM → KM (nhƣ trong định lý 3.2, chƣơng 3) - Chọn η0 ∈ N đủ lớn sao cho với Khi đó, chọn bƣớc lặp ban đầu f(0) = z(η0) CHƢƠNG 5: KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Trong chƣơng này, chúng tôi nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm (1.1) bị nhiễu bởi một tham số bé . Giả sử (H1) - (H5) đúng. 10 Giả thiết (H6) : Φ∈C N (IR, IR) Ta xét hệ bị nhiều (3.2), trong đó là một tham số bé, \ \ < 0 Đặt L = I - B. Xét dãy hàm {f[r]},r = 0,1,2,...,N, f[r]∈KM (với hằng số M > 0) đƣợc xác định bởi các hệ sau Lf [0] = g ≡ P[0] (5.1) Lf [1] =P [1] =Af [0] , (5.2) Lf [r] =P [r] , r = 2,3,...,N, (5.3) trong đó (5.4) (5.5) với p = 3,4,,N (5.6) ở trên ta đã sử dụng các ký hiệu sau Với một đa chỉ số γ = γ1 ,-,γN ) ∈ , ta đặt (5.7) Đặt 11 thì thỏa hệ Khi đó ta có các kết quả sau đây Bổ đề 5.1: Ta có Bổ đề 5.2: trong đó ,Crp ∈ IR,1≤ r≤ N - 1,1≤ p ≤ N(N-1),N=2,3... Bổ đề 5.3: Giả sử (H1 - (H5) đúng. Khi đó ta có trong đó là một hằng số chỉ phụ thuộc vào N, ||[aijk]||, ||f [r]||x, r = 0,1,,N. Định lý 5.1: Giả sử (H1) - (H6) đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số x > 0 sao cho, với mỗi thỏa | | ≤ 1, hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm f ∈ KM thỏa một đánh giả tiệm cận đến cấp N+1 như sau các hàm f [r] , r = 0,1,2,..., N lần lượt là các nghiệm của các hệ (5.1) - (5.5). Chú thích 5.1 Với aijk ∈ IR và g = (g1,...,gn) ∈ X cho trƣớc, giả thiêt ||[bijk] < 1 dẫn đến sự tồn tại của hai số dƣơng 0, M lần lƣợt thỏa các giả thiết (H4) và (H5). Khi đó ta có kết quả sau 12 Định lý 5.2: Giả sử (H1) — (H3) đúng, cho trước aịjk ∈ IR. Khi đó, tồn tại hai hằng số M > 0, 1 > 0 sao cho, với mỗi thỏa \ \ ≤ 1 hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm f ∈ KM có một khai triển tiệm cận đến cấp N+1 như (5.21), trong đó các hàm f[r], r = 0,1,.:,N lần lượt là các nghiệm của các hệ (5.1) - (5.6). CHƢƠNG 6 MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ Trong phần này, chúng tôi xem xét qua một số ví dụ dựa trên một số hệ phƣơng trình hàm cụ thể. Qua đó, chúng tôi xét sự hội tụ của dãy lặp cấp 2 liên kết với hệ phƣơng trình hàm này. Vân trong phần này, chúng tôi cũng tính toán một số khai triên tiệm cận đến một cấp cho trƣớc của nghiệm theo một tham số bé 6.1 Khảo sát thuật giải cấp hai Chúng tôi xét hệ (1.1) ứng với m = 1,n = 2,Ω = [-1,1],Φ (y) = \y\p ,p ≥ 2 (6.1) trong đó (6.2) và aij, bij, rij, sij là các số thực cho trƣớc thỏa (6.3) các hàm Rij(x) = rijx, s,ij(x) = sijx, gi(x) thỏa các giả thiết (H1), (H2). Ta thành lập các giả thiết sau 13 (H3) ||[bij]|| < 1; (H6) Chọn M > 0 sao cho ||g||x < (1 - ||[bij]||)M; (H7) Chọn ∈ IR (đủ nhỏ) sao cho Nhƣ trong chƣơng 4, thuật giải cấp hai cho hệ (6.1) nhƣ sau: (6.4) với và nếu ta ||f(0)||X ≤ M v = 1,2,... Hơn nữa, nếu ta chọn bƣớc lặp ban đầu thỏa thêm điều kiện với thì ta có đánh giá sai số Để chọn f(0): Ta xây dựng dãy lặp {z(η)} ⊂ KM xác định bởi x ∈ Ω , i = 1,2,..., trong đó 14 Khi đó, {z(η)} → f trong X. Chọn (η)0 ∈ N khá lớn sao cho với Chọn f(0) = z(η0). 6.2 Khai triền tiệm cận của nghiệm Ta vẫn xét hệ (6.1), trong đó aij, bij, rij, sij là các số thực cho trƣớc thỏa (6.3). Do đó, các hàm Rij(x) = rijx, Sij(x) = sijx, gi(x) độc lập với , thỏa các giả thiết (H1),(H2). A. Khảo sát nghiệm của hệ (6.1) trong trường hợp = 0. Trƣờng hợp = 0, hệ (6.1) chính là hệ tuyên tính sau (6.5) A1. Giả sử gi(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng r (6.6) Nghiệm của (6.5) là (6.7) trong đó (6.8) 15 A2. Giả sử g = (g1, g2)∈C q(Ω,R2). Gọi ̃ ̃ ̃ là nghiệm đa thức của hệ (6.18) tương ứng với ̃ ̃ ̃ , trong đó (6.9) Sai lệch giữa hai nghiệm f, ̃ của hệ (6.18) lần lƣợt, tƣơng ứng với g, ̃, đƣợc cho bởi đánh giá trong đó (6.10) (6.11) A3. Xét hàm g = (g1,g2) cụ thể nhƣ sau (6.12) Đặt 16 Ta có khi q → +∞ (6.13) Ta gọi là nghiệm đa thức của hệ (6.18) tƣơng ứng với thì (6.14) trong đó, các hệ số (c1 γ, c2 γ) đƣợc tính theo công thức (6.15) Mặt khác, từ các hệ ta suy ra rằng (6.16) khi q → +∞, do (6.31). B. Khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (6.1) theo 17 Ta giả sử rằng p = 2, và aij, bij rij Sij là các số thực cho trƣớc thỏa (6.3). Các hàm tƣơng ứng Rij(x)= rijx, Sij(x)=sijx, gi(x) độc lập với s cũng thỏa các giả thiết (H1), (H2). Giả sử gi(x) là đa thức bậc r cho trƣớc độc lập với nhƣ sau (6.17) Áp dụng công thức (6.19), (6.20), (6.22), nghiệm của hệ (6.1) ứng với = 0 (tức là hệ (6.18)) cũng là các đa thức: f[0] = (f[0],f[0]) = L-1g, với (6.18) trong đó (c1γ,c2γ) cho bởi (6.19) Gọi f[1] là nghiệm của hệ (6.18) ứng với g = Af[0], tức là (6.20) mà (6.21) với (6.22) Theo kết quả định lý 5.2, chƣơng 5 ta có một đánh giá một khai triển tiệm cận cấp 2 theo đủ nhỏ nhƣ sau 18 (6.23) với mọi X ∈ Ω, i = 1,2, và với đủ nhỏ, C > 0 là hằng số độc lập với, x và , trong đó (6.24) với (6.25) KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới việc khảo sát sự tồn tại duy nhất nghiệm, thuật giải lặp cấp hai, khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé cho hệ phƣơng trình hàm phi tuyến trong Ω = [a,b] hay Ω là khoảng không bị chặn trong IR. Nội dung chính của luận văn nằm ở các chƣơng 3, 4, 5 và 6. Trong chƣơng 3, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ phƣơng trình hàm trong một quả cầu đóng trong C(Ω;IRn).Kết quả thu đƣợc ở đây chứa đựng kết quả của C.Q. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu đã khảo sát trong trƣờng hợp Ω = [-b,b], m = n = 2, ank = 0 và Sijk là các nhị thức bậc nhất, nhƣ là một trƣờng hợp riêng. Trong chƣơng 4, chúng tôi thiết lập thuật giải cấp hai của hệ phƣơng trình hàm và chỉ ra một điều kiện đủ để thuật giải hội tụ. 19 Chƣơng 5 là phần nghiên cứu hệ phƣơng trình hàm bị nhiễu bởi một tham số bé . Khi đố chúng tôi cho một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ này đến cấp N +1 theo , với đủ nhỏ. Trong chƣơng 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phƣơng trình hàm cụ thể với Φ(y) = |y|p, p ≥ 2, ở đó chúng tôi sẽ khảo sát một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ. Các kết quả trình bày trong các chƣơng 3, 4, 5, 6 chứa đựng kết quả của các tác giả trƣớc đó đã khảo sát trong trƣờng hợp Φ(y) = y2. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Hồng Danh, Huỳnh Thị Hoàng Dung, Nguyễn Thành Long, Xấp xỉ đa thức cùa nghiệm một hệ tuyến tính các phƣơng trình tích phân-hàm, Hội Nghị Khoa học, Khoa. Toán-Tin học. Đại học Su Phạm Tp.HCM, 21/12/2002. [2] Nguyễn Kim Khôi, Nguyễn Hội Nghĩa. Giải số của hệ phƣơng trình hàm, Tạp Chi Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Vol. 3, No. 7&8 (2000), 25-31. [3] Nguyen Thanh Long, Nguyen Hoi Nghia, Nguyen Kim Kho, Dinh Van Ruy, On a system of functional equations, Demonstratio Math. 31 (1998), 313-324. {4] Nguyen Thanh Long, Nguyen Hoi Nghia, On a system of functional equations in a multi-dimensional domain, z Anal. Anw. 19 (2000), 1017- 1034. [5] Nguyễn Thành Long, Phạm Hồng Danh, Nguyễn Kìm Khôi, xấp xỉ nghiệm của một hệ phƣơng trình tích phân bởi một dãy các đa thức hội tụ đều, Tạp chí Khoa học Đại học Sư Phạm Tp. HCM tập 30, No.2 (2002), 36-43. 20 [6] Nguyen Thanh Long. Nguyen Hoi Nghia, Tran Ngoc Diem. Asymptotic expansion of the solution for system of functional equations. Aequationes Mathematicae, (2003} (to appear). [7] Nguyen Thanh Long. Solution approximation of a system of integral equations by a uniformly convergent polynomials sequence. Demonstratio Math. 37. (2004) (to appear). [8] Nguyen Thanh Long. Linear approximation and asymptotic expansion a ssociated with the system of functional equations. Demonsrratio Math. 37. (2004) (to appear). [9] Nguyễn Hội Nghĩa. Nguyễn Kim Khôi. Về một hệ phƣơng trình hàm tuyến tính. Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ. Vol. 3, No. 7&8.(2000), 18-24. [10] Nguyễn Hội Nghĩa, Xấp xỉ nghiệm của hệ phƣơng trình hàm trong miền hai chiều. Tạp Chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ. Vol. 5, No. 1&2, (2002), 56-65. [11] Lê Thu Vân, Xấp xỉ và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phƣơng trình hàm, Luận văn Thạc sỹ Toán học, (2001), Trƣờng Đại học KHTN Tp.HCM.,41 trang. [12] CQ. Wu, Q.W. Xuan, D.Y. Zhu, The system 'of the functional equations and the fourth problem of the hyperbolic system, SEA. Bull. Math. 15(1991), 109-115.