Luận văn Kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm về đại số lớp 10

nh nhiệm vụ, các kết quả có thể chỉ ra rằng liệu các nhiệm vụ đưa ra đã phù hợp cho loại phân tích này hay chưa. Ở đây độ lệch chuẩn đóng một vai trò quan trọng hơn là điểm số trung bình vì các kết quả trong mô hình cấu trúc có nguồn góc từ sự biến thiên và đồng biến thiên hơn là cụ thể. Các bình luận trong chương này sẽ diễn tả theo hai khía cạnh đó. 4.4.1. Quy trình đồ thị Điểm trung bình của tất cả các học sinh là 11.62 trên 16 (72.6%), chúng dường như phù hợp, nhưng các câu hỏi có vẻ đơn giản và rõ ràng. Trong nhiệm vụ đầu tiên các học sinh được yêu cầu để vẽ đồ thị hàm số bậc nhất. Điều này không mong chờ là có nhiều vấn đề đối với các em. Nhiệm vụ thứ hai là vẽ đồ thị hàm số bậc hai, được mong đợi là học sinh sẽ gặp khó khăn hơn nhiệm vụ thứ nhất. Nhiệm vụ thứ ba là về đồ thị của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối, và sự khác nhau trong câu trả lời giữa các học sinh là lớn hơn so với hai nhiệm vụ đầu tiên. 48 Bảng 4. 3. Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ quy trình đồ thị N Điểm lớn nhất Điểm nhỏ nhất Điểm trung bình Độ lệch chuẩn Nhiệm vụ 1 99 0 4 3.49 1.240 Nhiệm vụ 2 99 0 6 4.70 1.403 Nhiệm vụ 3 99 0 6 3.42 2.592 Quy trình đồ thị 99 0 16 11.62 4.405 Valid N 99 Trong nhiệm vụ thứ 3, một lỗi phổ biến là vẽ cả hai parabol mà không xóa đi phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành. Hình 4. 2. Sai lầm của học sinh khi vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Một khi đồng ý rằng loại lỗi này là nguyên nhân của việc thiếu KTKN, một học sinh nhận thức rằng hàm số đã cho không bao giờ nhận giá trị âm thì đồ thị không thể nằm phía dưới trục hoành, nên sẽ phát hiện được lỗi. Tuy nhiên, chúng ta không nên quan tâm đến điều này, điều thích hợp để tin rằng một học sinh với sự phát triển các kĩ năng về vẽ đồ thị sẽ thành công trong nhiệm vụ này hơn một học sinh có ít kĩ năng. Có một ít ngạc nhiên là sự khác nhau trong kết quả của nhiệm vụ 1 và 2 vì việc vẽ parabol nó thường phức tạp hơn vẽ đường thẳng. 4.4.2. Các quy trình đại số 1 Cũng giống với quy trình đồ thị, với câu hỏi này, điểm số trung bình là khá cao, 7.79 trên 10 (77.9%). Nhiệm vụ đầu có kết quả trung bình tốt hơn nhiệm vụ thứ hai, 49 chúng cũng có độ lệch chuẩn lớn hơn. Trong nhiệm vụ đầu tiên, các thuật toán bao gồm chỉ một ít bước. Trong khi nhiệm vụ thứ 2 có nhiều bước hơn. Vẫn có một số lỗi xảy ra, đó là học sinh quy đồng và khử mẫu Hình 4.3 Hình 4. 3. Sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình Hầu như không có học sinh nào thấy mối quan hệ giữa 10 2 0 4 x x    và tam thức bậc hai tương ứng. Các em chủ yếu giải theo quy trình mà các em đã được học về bất phương trình có chứa ẩn dưới mẫu đó là lập bảng xét dấu và kết luận tập nghiệm. Bảng 4. 4. Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ quy trình đại số 1 N Điểm lớn nhất Điểm nhỏ nhất Điểm trung bình Độ lệch chuẩn Nhiệm vụ 4 99 0 4 3.47 1.043 Nhiệm vụ 5 99 0 6 4.31 2.008 Quy trình đại số 1 99 0 10 7.79 2.569 Valid N 99 4.4.3. Các quy trình đại số 2 Bảng 4. 5. Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ quy trình đại số 2 N Điểm lớn nhất Điểm nhỏ nhất Điểm trung bình Độ lệch chuẩn Nhiệm vụ 6 99 0 4 3.04 1.484 Nhiệm vụ 7 99 0 6 4.29 2.219 Quy trình đại số 2 99 0 10 7.33 3.528 Valid N 99 50 Điểm số trung bình của câu hỏi này là khá cao, 7.33 trên 10 (73.3%). Trong nhiệm vụ đầu, câu hỏi là viết phương trình hàm số bậc nhất, có đồ thị đi qua hai điểm đã cho. Nhiệm vụ thứ 2, học sinh được yêu cầu viết biểu thức của hàm số bậc hai, khi đi qua 3 điểm cho trước. Câu hỏi này dự kiến là học sinh gặp khó khăn hơn nhiệm vụ đầu tiên. Không có lỗi có tính hệ thống nào xảy ra đồng thời giữa các học sinh. 4.4.4. Các mối quan giữa biểu diễn đại số và đồ thị Điểm số trung bình của câu hỏi này là 10.51 trên 20 (52.6%). Lí do có thể do loại câu hỏi này có một chút khác so với các câu hỏi mà các học sinh đã quen thuộc. Hơn nữa điểm số tương đối thấp là vì thực tế KTKN là biểu diễn một loại cao hơn của kiến thức. Nhiệm vụ 10 có điểm số thấp nhất, trong nhiệm vụ này các học sinh được yêu cầu xác định sự thay đổi các hệ số của hàm số bậc hai, khi thay đổi đồ thị từ vị trí này sang vị trí khác. Phần lớn các học sinh sử dụng phép biến đổi đồ thị, kết hợp với biến đổi đại số và sau đó kết luận hệ số b và c thay đổi. Nhìn chung các câu hỏi đã có một sự cân đối giữa câu dễ và câu khó, chúng ta có thể thấy được từ kết quả của nhiệm vụ 10 và 11. Hơn nữa độ lớn của độ lệch chuẩn, điều này chỉ ra rằng câu hỏi bộc lộ sự biến thiên giữa kết quả các học sinh. Bảng 4. 6. Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ mối quan hệ giữa biểu diễn đại số và đồ thị N Điểm lớn nhất Điểm nhỏ nhất Điểm trung bình Độ lệch chuẩn Nhiệm vụ 8 99 0 4 2.42 1.733 Nhiệm vụ 9 99 0 6 3.77 2.474 Nhiệm vụ 10 99 0 6 1.11 1.456 Nhiệm vụ 11 99 0 4 3.20 1.229 Mối quan hệ giữa các biểu diễn 99 0 20 10.51 4.826 Valid N 99 4.4.5. Giải thích đồ thị Nhiệm vụ 13 được xem xét là dễ hơn các nhiệm vụ khác, và nó có điểm số cao nhất. Có một chút ngạc nhiên là nhiệm vụ 14, học sinh cũng có thể tiếp cận bằng cách 51 viết biểu thức hai hàm số, song kết quả đạt được của các em trong nhiệm vụ này là khá thấp. Một bình luận khác từ các kết quả của câu hỏi này là giá trị của độ lệch chuẩn. Nếu chúng ta tập trung vào khía cạnh nhiệm vụ, các kết quả ủng hộ sự phù hợp của các nhiệm vụ trong các phân tích ở đó chúng ta xem xét sự biến thiên giữa kết quả của các học sinh. Cho dù sự biến thiên đã được tìm thấy giữa các học sinh, nhưng dường như các em có vấn đề với việc giải thích đồ thị. Điểm số trung bình là 4.92 trên 12. Bảng 4. 7. Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ giải thích đồ thị N Điểm lớn nhất Điểm nhỏ nhất Điểm trung bình Độ lệch chuẩn Nhiệm vụ 12 99 0 4 .49 1.146 Nhiệm vụ 13 99 0 4 2.60 1.862 Nhiệm vụ 14 99 0 4 1.83 1.985 Giải thích đồ thị 99 0 12 4.92 3.702 Valid N 99 4.4.6. Giải thích đại số Bảng 4. 8. Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ giải thích đại số N Điểm lớn nhất Điểm nhỏ nhất Điểm trung bình Độ lệch chuẩn Nhiệm vụ 15 99 0 4 1.97 1.581 Nhiệm vụ 16 99 0 4 2.35 1.606 Nhiệm vụ 17 99 0 4 1.53 1.380 Giải thích đại số 99 0 12 5.85 3.799 Valid N 99 Bảng 4.7 cho thấy các thống kê về các nhiệm vụ liên quan đến các nhiệm vụ về phương trình và bất phương trình tương đương, 48.75% học sinh trả lời đúng. 52 4.4.7. Giải quyết các bài toán Đối với bài toán 1, điểm số trung bình là 2.48 trên 6 (41.3%), các học sinh gặp khó khăn ở việc hiểu và nêu lên ý nghĩa kinh tế của giao điểm. Một số học sinh chỉ ra được nếu dùng đúng 2500 giờ thì số tiền phải trả cho hai loại máy bơm là như nhau. Rất ít em nêu lên ý nghĩa kinh tế trong trường hợp dùng ít hơn 2500 giờ hoặc nhiều hơn 2500 giờ. Điều này cho thấy các em dường như tập trung vào việc viết phương trình và vẽ đồ thị, ít để ý đến mối liên hệ giữa đồ thị và tình huống thực tế. Bài toán 2, không như mong đợi, điểm số cho câu hỏi này tương đối thấp 2.06 trên 6 (34.3%), nhiều học sinh không thể thực hiện một sự kết nối giữa biểu diễn đại số và đồ thị và đặc biệt không biết cách sử dụng đồ thị để tìm nghiệm hay tập nghiệm của phương trình và bất phương trình. Một số học sinh sử dụng đồ thị để tìm hệ số k, sau đó giải phương trình bằng phương pháp đại số. Điều này cho thấy khả năng thấy mối quan hệ giữa các biểu diễn của các học sinh là thấp, cụ thể ở đây là biểu diễn đại số và đồ thị. Bảng 4. 9. Thống kê điểm số trung bình và độ lệch chuẩn cho các nhiệm vụ giải quyết các bài toán N Điểm lớn nhất Điểm nhỏ nhất Điểm trung bình Độ lệch chuẩn Bài toán 1 99 0 6 2.48 1.865 Bài toán 2 99 0 6 2.06 1.719 Bài toán 3 99 0 6 2.61 1.689 Valid N 99 Bài toán 3, yêu cầu học sinh giải thích các hàm số dưới các dạng biểu diễn khác nhau với các áp dụng trong cuộc sống, chúng được xem như các quá trình ngược lại của mô hình hóa. Việc giải thích đồ thị có lẽ yêu cầu các học sinh tư duy ở một mức độ trừu tượng. Tuy nhiên khi giao phiếu học tập, chúng tôi thấy học sinh lựa chọn câu này để giải đầu tiên, cảm thấy các em có hứng thú với loại bài tập này. Một lỗi phổ biễn xảy ra là học sinh dựa vào điểm cao nhất của đồ thị và kết luận đó là đỉnh đồi, có em còn băn khoăn có hai đỉnh đồi nên không biết chọn đỉnh nào. Có một học sinh còn quay ngược đồ thị để chỉ có một đỉnh đồi. Khi các bài toán có nội dung thực tế, thường kích thích sự hứng thú của học sinh. Tuy nhiên các học sinh với việc chỉ tập trung vào quy trình tính toán mà thiếu đi việc xem xét mối quan hệ 53 thì gặp khó khăn trong việc giải quyết những bài toán này. Điểm số trung bình cho câu hỏi này là 2.61 trên 6 (43.5%). 4.5. Các mô hình Phân tích mô hình thực hiện với hai mục đích. Một mục đích là liên quan đến phần cấu trúc của mô hình giả thuyết ban đầu, sau đó liên quan đến mô hình gốc, và liên quan đến câu hỏi nghiên cứu 2 đề cập đến hai loại kiến thức quan hệ với nhau như thế nào. Mục đích thứ hai được thảo luận về chất lượng của mô hình đo lường. Các tính toán đo lường đã phản ánh về ý nghĩa những gì chúng ta cần đo, và nó đúng với công cụ đo lường hay chưa? Các phân tích về mô hình gốc và mô hình đầy đủ được ước lượng trong AMOS bởi sử dụng ước lượng gần cực đại “Maximum Likelihood” và ma trận hồi quy. 4.5.1. Mô hình giả thuyết ban đầu Hình 4. 4. Kết quả phân tích mô hình cấu trúc ban đầu 4.5.2. Mô hình đầy đủ Mô hình đã được chỉnh sửa và được đặt tên là mô hình đầy đủ, chúng vẫn chứa các nhân tố đo lường ba loại khác nhau của kiến thức, nhưng mối quan hệ trực tiếp giữa KTQT và khả năng giải quyết một số bài toán đã được gỡ bỏ. Hình 4.5 chỉ ra cấu 54 trúc các biến tiềm ẩn trong hai mô hình. Điều này nói lên rằng mối quan hệ trực tiếp giữa KTQT và khả năng giải quyết một số bài toán được điều chỉnh là 0 trong mô hình đầy đủ. Hình 4. 5. Mô hình các biến tiềm ẩn về mô hình giả thuyết Hình 4. 6. Mô hình các biến tiềm ẩn về mô hình đầy đủ Nếu mối quan hệ trực tiếp giữa KTQT và KTKN là yếu, thậm chí là vắng mặt, vai trò của kiến thức khái niệm dường như có tính quyết định hơn. Hình 4.7 cho thấy giá trị các chỉ số CMIN/df 0.9, GFI > 0.9, TLI > 0.95 và RMSEA < 0.08 thể hiện độ phù hợp của mô hình nghiên cứu. Nếu chúng ta xem xét kết quả chuẩn hóa trong Hình 4.7, chúng ta có thể thấy mỗi câu hỏi có nhân tố tải trên mỗi biến tiềm ẩn. Các nhân tố tải trong phạm vi từ 0.74 đến 0.91, chúng có nghĩa rằng tác động của các nhân tố khác nhau là tương ứng với sự phân bố của chúng. Tức là thang đo đạt được giá trị hội tụ. Tuy nhiên, các quy trình đồ thị có tác động về KTQT lớn hơn quy trình đại số 1 và quy trình đại số 2, với nhân tố tải tương ứng là 0.91, 0.76 và 0.74. KTQT KTKN Khả năng giải quyết một số bài toán KTQT KTKN Khả năng giải quyết một số bài toán 55 Hình 4. 7. Kết quả phân tích mô hình cấu trúc đầy đủ Mối quan hệ giữa biểu diễn đại số và đồ thị và giải thích đại số có tác động lớn hơn giải thích đồ thị. Trong khi việc giải các bài toán về phương trình và bài toán áp dụng hàm số có nhân tố tải lớn hơn bài toán giải thích bằng đồ thị về tình huống thực tế. 4.6. Độ tin cậy Mặc dầu không có một quy tắc chính xác nào cho việc chấp nhận các giá trị, một quy tắc về dấu hiệu nói rằng hệ số Cronbach Alpha nên lớn hơn 0.7, nhưng không vượt quá 0.9. Tất cả các đo lường trong Bảng 4.10 là ở trong phạm vi có thể chấp nhận được. Bảng 4. 10. Hệ số tin cậy Cronbach Alpha KTQT KTKN Khả năng giải quyết một số bài toán Hệ số Cronbach Alpha 0.82 0.88 0.88 Độ tin cậy của thang đo liên quan đến tính đúng đắn của các công cụ đo lường. Khi chúng tôi cố gắng đo kiến thức với một tập hợp các nhiệm vụ đo lường và nó hiển 56 nhiên rằng các lỗi đo lường là không thể tránh khỏi và chúng tôi cũng không thể nhận một điểm số chính xác nhất về mức độ kiến thức của học sinh. 4.7. Liên quan giữa kiến thức quy trình và khái niệm Hình 4. 8. Điểm số kiến thức quy trình và khái niệm Đối với mỗi học sinh, điểm số về KTQT và KTKN đã được ước lượng. Hình 4.8 cho thấy có nhiều học sinh có điểm số quy trình cao và điểm số khái niệm thấp, trong khi rất ít học sinh có điểm khái niệm cao nhưng điểm quy trình thấp. Kết quả này ủng hộ quan điểm kế thừa (Haapasalo & Kadijevich, 2000) đó là KTQT là điều kiện cần nhưng không là điều kiện đủ cho KTKN, ít nhất là cho các học sinh trong nội dung mà chúng tôi đang nghiên cứu. Một vài học sinh có điểm số trên đường chéo cũng phù hợp với quan điểm đồng hoạt hóa. Do vậy kết luận được giả thiết mối quan hệ trực tiếp giữa KTQT và KTKN được hỗ trợ và sẽ duy trì. Tóm lại, các đánh giá, phân tích và giải thích sẽ dựa vào mô hình đầy đủ. 4.8. Phỏng vấn Chúng tôi tiến hành phỏng vấn ba học sinh Thảo, Quang và Lịch, tất cả các em là học sinh trường THPT Trần Hưng Đạo nhưng có bối cảnh giáo dục khác nhau ở trường trung học cơ sở. Khi chúng tôi hỏi Thảo quan điểm của em về môn toán, Thảo cho rằng em không nghĩ toán học sẽ quan trọng cho nghề nghiệp của em. Thảo thực sự không thích môn toán nhưng vẫn có động cơ khi giải toán. Động cơ chính của Thảo là hoàn thành các bài kiểm tra để được lên lớp. Thảo cảm thấy khó để diễn tả việc hiểu toán có nghĩa là gì. Điểm số quy trình Đ iể m s ố k h ái n iệ m 57 Khi chúng tôi đặt câu hỏi đề cập ở trên về lĩnh vực cụ thể là phương trình, Thảo trả lời: - Các quy tắc Quang diễn tả lí do của việc học là vì nó cần thiết cho các kì thi. Quang nói rằng em thấy khó để liên hệ toán học với các vấn đề thực tế, thậm chí em nhận ra toán học liên quan đến vật lí và hóa học. Khi hỏi về ý nghĩa của việc học toán, Quang không thể trả lời, vì vậy câu hỏi được điều chỉnh lại là ý nghĩa của việc học phương trình? Quang trả lời: - Để giải các phương trình Khi hỏi toán học có thể được sử dụng để biểu diễn một số thứ hoặc mô hình cho một số thứ của thế giới thực hay không, Quang nói rằng em ấy không có câu trả lời. Lịch nghĩ toán học là thú vị và quyến rũ bởi các áp dụng của chúng. Lịch đã đề cập các ví dụ từ vật lí và các lĩnh vực khác, ở đó toán học có thể được sử dụng để nghiên cứu nhiều hiện tượng. Khi chúng tôi hỏi hiểu một vấn đề toán học có nghĩa là gì? Lịch trả lời: - Khi chúng ta có thể sử dụng nó. Khi chúng ta có thể thấy một bài toán, chúng ta có thể giải nó như thế nào? Tiếp đó chúng ta có thể tìm cách khác nhau để giải quyết bài toán đó. Để đánh giá các phỏng vấn tập trung vào trọng tâm, tất cả ba học sinh được hỏi để bình luận quan điểm của các em khi học môn toán về bốn điểm được liệt kê dưới đây: 1. Bài toán được giải quyết như thế nào? 2. Tại sao nó quan trọng? 3. Em có thể liên hệ với các kiến thức khác không, chẳng hạn như môn học khác? 4. Việc nhớ các quy tắc. Câu trả lời của Thảo - Đối với em là cái đầu tiên và sau cùng. Dứt khoát không phải là số 3. Em không có điều đó. Chúng tôi hỏi Thảo, em có nghĩ học toán sẽ dễ hơn nếu liên hệ đến các môn học khác trước khi học các quy tắc. Thảo nói rằng, em sẽ thích hơn nếu học toán trước khi tìm kiếm các mối quan hệ đến các môn học khác. Quang cũng có câu trả lời khi đề cập về bốn điểm nêu trên. 58 - Dạ, đối với em sẽ là cái đầu tiên và cái sau cùng. Quang đề cập các kì thi là lí do tại sao em ấy nghĩ nó là quan trọng để học toán. Quang để lại cho chúng tôi một ấn tương khi hỏi về mối quan hệ giữa toán học và các môn học khác. - Chúng phụ thuộc vào cách mà chúng ta đề cập đến mối quan hệ. Nếu chúng ta học về mối quan hệ trước, chúng ta phải có một số tính chất sơ bộ. Tiếp đó chúng ta bắt đầu tính toán và sau đó có lẽ hiểu nhiều hơn ở điểm tiếp theo. Lịch cũng được hỏi và em ấy đưa ra một sự phản ánh trên bốn điểm. - Bài toán được giải quyết như thế nào là khi bạn muốn kết thúc. Mối quan hệ giúp em nhớ tốt hơn. Vì vậy em không bao giờ ngồi xuống và học vẹt các công thức. Chúng ta nên chỉ ra các công thức mà ta sử dụng. Cách đó, em đã lặp lại các công thức em đã học ở trên lớp nhiều lần. Tất cả ba học sinh được giao các nhiệm vụ trong đề kiểm tra chính thức và trình bày cách giải của mình. Các nhiệm vụ sử dụng trong phỏng vấn là nhiệm vụ 2, 4, 11, 12 của đề kiểm tra chính thức và bổ sung nhiệm vụ 21 Khi Thảo được yêu cầu giải quyết các nhiệm vụ về KTQT trong đề kiểm tra chính thức, Thảo cảm thấy khó khăn cho dù là nhiệm vụ dễ nhất. Thảo không có ý tưởng nào về vẽ đồ thị. Mặc dầu gặp khó khăn trong các nhiệm vụ về kiến thức quy trình, nhưng Thảo ngay lập tức đưa ra câu trả lời đúng một nhiệm vụ KTKN, nhiệm vụ 21. - Có phải là f(x)=4 không? Mặc dầu đưa ra kết quả nhưng Thảo vẫn không chắc chắn và tìm cách tiếp cận quy trình để giải quyết chúng. Quang không gặp vấn đề với các tính toán và giải bất phương trình. Quang ngập ngừng một lát trước khi đề nghị lời giải cho nhiệm vụ 21. Quang trả lời - Em nghĩ nó là 4 Tôi hỏi Quang: có phải nhiệm vụ 21 dễ hơn nhiệm vụ 4 không? - Dạ, tất nhiên. Nó thực sự dễ. Nhiệm vụ thứ 12 về tổng của hai hàm số được biểu diễn đồ thị. Phương án ngay lập tức của Quang là tiếp cận quy trình để giải chúng. Quang tìm biểu thức đại số cho mỗi hàm số, cộng chúng và vẽ đồ thị hàm số, em đã làm đúng. 59 y x 2 1 y x 2 1 Câu hỏi Nhiệm vụ Nội dung QT1 2 Vẽ đồ thị hàm số   2 4 3g x x x   QT2 4 Giải bất phương trình 22 8 6 0x x   KN2 21 Hàm số f(x) có đồ thị dưới đây, hãy viết biểu thức của f(x). KN2 11 Đồ thị hàm số  y f x được cho dưới đây. Vẽ đồ thị hàm số  y f x  KN2 12 Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đồ thị dưới đây, vẽ đồ thị hàm số f(x) + g(x). Hình 4. 9. Các nhiệm vụ sử dụng trong phỏng vấn Lịch không gặp vấn đề với việc trả lời các nhiệm vụ quy trình đồ thị và không có vấn đề với biểu thức đại số. Lịch trả lời nhiệm vụ 19 đúng không có chút ngập y x 60 ngừng. Khi chúng tôi hỏi về nhiệm vụ 11, Lịch vẽ đồ thị đúng nhưng vẫn không chắc chắn là nó đúng. Tóm lại, Thảo là học sinh gặp khó khăn nhất, cho rằng mình đang tìm kiếm các công thức để giải quyết các nhiệm vụ. Nhiệm vụ duy nhất em ấy có thể giải mà không có chút ngập ngừng là nhiệm vụ 21. Quang trả lời trong nhiệm vụ 4 và bình luận của em ấy về nhiệm vụ 11 là “Em cảm thấy thích tính toán” gợi ý là một người học định hướng quy trình. Tuy nhiên, em ấy giải quyết nhiệm vụ 12, chúng yêu cầu KTKN. Thảo và Quang dường như tìm kiếm các quy trình nhưng kết quả chỉ ra các hướng khác nhau ở một mức độ nào đó. Lịch xuất hiện là một học sinh với kĩ năng đại số, nhưng đã gây ấn tượng ở việc tìm kiếm mối quan hệ và các áp dụng. Cho dù Lịch nhận ra rằng các giáo viên của em ở trung học tập trung chủ yếu vào các công thức. Mặc dầu Lịch là một người học tìm kiếm các áp dụng và mối quan hệ, em vẫn gặp khó khăn khi giải các bài toán chỉ cho ở dạng biểu diễn đồ thị. 4.9. Tóm tắt chƣơng 4 Trong chương này chúng tôi đã trình bày các kết quả của nghiên cứu. Phần đầu của chương là các kết quả trong đề kiểm tra thử và một số phân tích. Phần tiếp theo của chương là các kết quả trong đề kiểm tra chính thức, bao gồm các thống kê cho từng nhiệm vụ và các mô hình. Chúng tôi cũng đã giới thiệu kết quả phỏng vấn về ba học sinh đến từ các lớp học khác nhau. 61 Chƣơng 5 THẢO LUẬN VÀ KẾT LUẬN Phân tích thống kê chỉ ra rằng các nhiệm vụ cung cấp một công cụ đo lường thích hợp và tin cậy. Phân tích này khẳng định mối quan hệ mạnh mẽ giữa KTQT và KTKN về đại số và ủng hộ quan điểm KTQT là điều kiện cần nhưng không là điều kiện đủ cho KTKN. Các ước lượng về mô hình bộc lộ ảnh hưởng trực tiếp không đáng kể từ KTQT đến khả năng giải quyết các bài toán, nhưng khi KTKN về đại số làm trung gian thì tác động là có ý nghĩa. Một mặt khác, chỉ KTQT dường như không đủ để có thể giải quyết một số bài toán ít quen thuộc. Phân tích kết luận ủng hộ quan điểm kế thừa và quan điểm đồng hoạt hóa về các nghiên cứu phổ biến liên quan đến kiến thức về đại số. Như được chỉ ra bởi Haapasalo và Kadijevich (2000), sự phân biệt giữa KTQT và KTKN phụ thuộc vào bối cảnh, nội dung và cá nhân và các kết quả nên được đánh giá từ quan điểm này. Hơn nữa các phân tích bộc lộ các kết quả khác nhau giữa các học sinh cho chúng ta thấy có sự phụ thuộc vào cá nhân. Các nhân tố liên quan có thể niềm tin toán học của học sinh và bối cảnh giáo dục của các em. Các nhân tố khác có thể là tiếp cận học và tiếp cận dạy từ các giáo viên trước đó trong môn toán. Các nhân tố giống như việc sử dụng đánh giá và sử dụng các tính toán có thể góp phần vào kết quả. Cho dù các kết quả của nghiên cứu có thể khái quát đến các khái niệm bên ngoài các lĩnh vực mà chúng tôi nghiên cứu là khó để chứng minh. Trong bất kì trường hợp nào, đại số là trọng tâm của toán học và kết luận là quan trọng, thậm chí nếu chúng chỉ giới hạn đến khái niệm các hàm số bậc nhất, bậc hai và các bài toán tương đương. Các kết quả của nghiên cứu cũng nên được lý giải trong mối quan hệ với các ứng dụng sư phạm có thể. Vì có bằng chứng cho quan điểm kế thừa và quan điểm đồng hoạt hóa của các nhóm nghiên cứu, một khi có thể nói rằng các kết quả là đồng thuận với tiếp cận phát triển (Haapasalo & Kadijevich, 2000). Tiếp cận phát triển là một sự phản ánh của quan điểm kế thừa và quan điểm đồng hoạt hóa trong trường hợp KTQT kích hoạt KTKN. Cả hai quan điểm này xem như KTQT là điều kiện cần cho KTKN. Các câu hỏi đặt ra là làm thế nào để chúng ta lập kế hoạch dạy học cho phép chuyển đổi từ KTQT sang KTKN. Phần đầu của chương này là một thảo luận về các câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu dựa vào phân tích thống kê. Thứ hai, các nhân tố có thể có ảnh hưởng đến kết 62 quả dựa vào phỏng vấn, chẳng hạn như niềm tin về toán học của học sinh được thảo luận. Thảo luận cuối cùng liên quan đến các ứng dụng sư phạm dựa vào các kết quả. 5.1. Kết luận từ mô hình thống kê Chương này bình luận về các kết luận chính trong các câu hỏi nghiên cứu dựa vào các phân tích thống kê. Thật khó và không mong chờ để vạch ra một kết luận chắc chắn dựa vào phân tích này. Tuy nhiên, các kết luận được hỗ trợ bởi dữ liệu thu thập và cung cấp các kết quả có ý nghĩa về các kiểu kiến thức khác nhau cũng như khả năng giải quyết các bài toán không quen thuộc. Các câu hỏi nghiên cứu là: (a) Chúng ta đo KTQT và KTKN của học sinh lớp 10 như thế nào khi học đại số? (b) Các KTQT và KTKN khi học đại số của học sinh lớp 10 quan hệ với nhau như thế nào? (c) Khả năng kết hợp KTQT và KTKN về đại số của học sinh lớp 10 được thể hiện qua việc giải quyết các bài toán được kiểm tra như thế nào? Câu hỏi đầu tiên liên quan đến phần đo lường của mô hình, trong khi hai câu hỏi còn lại được thảo luận dựa vào mô hình biến tiềm ẩn. 5.1.1.Mô hình đo lƣờng Chúng tôi tiếp cận đo lường bằng việc phát triển một công cụ kiểm tra dựa vào các lý giải và quan sát. Tất nhiên không phải luôn luôn là cách đúng cho việc đo lường, chẳng hạn các hiện tượng, nhưng nó cần được thảo luận để liệu tiếp cận lựa chọn là tốt hay xấu. Các câu hỏi liên quan ở đây là liệu tập hợp các nhiệm vụ được phát triển cung cấp một đo lường cho KTQT và KTKN, cũng như khả năng giải quyết một số bài toán hay chưa. Dường như có một sự nhất trí chung về các đặc trưng đặc biệt nhất của KTQT và KTKN nên được đánh giá khi tính hợp lí được xem xét. Tính hợp lí là một hiện tượng phức tạp, nhưng trong nghiên cứu này điều quan trọng là liệu các câu hỏi có đo lường những gì chúng dự định được đo. Để nhận được tính hợp lí nội dung tốt nhất có thể, mỗi nhiệm vụ được phát triển để thấy các tiêu chí cho KTQT và KTKN cũng như khả năng áp dụng kiến thức để giải quyết một số bài toán. Vì tính hợp lí của nội dung là không thể để đo, dữ liệu không đưa thêm những thông tin bổ sung, ngoại trừ các tiêu chí liên quan đến tính hợp lí được thảo luận trong các kết luận của đề kiểm tra chính thức. Vì thảo luận về các câu hỏi nghiên cứu là liên quan mật thiết với sự hoàn thành các nhiệm vụ, một vài kết quả thống kê được đưa ra cùng với các bình luận. 63 5.1.1.1. Câu hỏi nghiên cứu số 1 Chúng ta đo kiến thức quy trình và khái niệm của học sinh về đại số như thế nào? KTQT về đại số được chia thành ba loại nhiệm vụ, các quy trình đồ thị, quy trình trình đại số 1 (các bài toán giải bất phương trình bậc hai và bất phương trình có ẩn ở mẫu) và các quy trình đại số 2 (các bài toán viết biểu thức hàm số bậc nhất và bậc hai). Chúng ta có thể thấy rằng đây là các dạng biểu diễn phổ biến trong các nội dung toán học truyền thống và các học sinh thực hiện thành công với 72.3% , 77.9% và 73.3% về các câu hỏi tương ứng trên điểm số trung bình. Phân tích thống kê mô tả chỉ ra rằng các nhiệm vụ được mong chờ là khó có điểm số thấp và các nhiệm vụ được mong chờ là dễ có điểm số cao. Nếu chúng ta quan sát các câu hỏi về quy trình đồ thị, nhiệm vụ đầu tiên là vẽ đồ thị hàm số bậc nhất được mong chờ là dễ. Điểm số trung bình là 3.49 trên 4 (87.3%). Nhiệm vụ thứ ba vẽ đồ thị hàm số được cho dưới dạng tương tự, nhưng là hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối, nó được mong đợi là khó hơn hai nhiệm vụ đầu. Điều này được khẳng định bởi dữ liệu là điểm số trung bình 3.42 trên 6 (57.0%), nhưng sự khác biệt được mong đợi là lớn. Độ lệch chuẩn là 4.40 trên phạm vi từ 0 đến 16, chúng là 27.5% của phạm vi. Điều này cho chúng ta thấy rằng các nhiệm vụ là phù hợp để phát hiện ra sự khác nhau giữa các học sinh, một tính chất quan trọng cho một công cụ đo lường. Một ước lượng về hệ số tin cậy Cronbach Alpha là 0.83, chúng là phù hợp. Việc chỉ ra một độ tin cậy hợp lí, có nghĩa là có sự khác nhau giữa kết quả về quy trình đồ thị, quy trình đại số 1 và quy trình đại số 2. Điểm số khác nhau đủ để nói rằng chúng đo những tính chất khác nhau, nhưng chúng đủ liên quan để cho rằng chúng đo các khía cạnh khác nhau của cùng một hiện tượng giống nhau, trong trường hợp này là KTQT về đại số. Việc chỉ có hai dạng biểu diễn, tất cả các khía cạnh không thể bao quát hết trong bài kiểm tra. Một khi có thể cho rằng các bài kiểm tra nên có các nhiệm vụ để đo KTQT về đại số khi biểu diễn bằng lời văn và bảng. Tuy nhiên, dạng lời văn hoặc bảng được sử dụng như một phần của quá trình toán học, nó thường ở trong một nội dung mà ở đó cần có sự chuyển đổi từ dạng lời văn thành biểu thức đại số hoặc đồ thị. Ngoài ra, nó thường được sử dụng để giải thích các tính chất cho một hàm số hơn là thực hiện các phép tính. Cả hai trường hợp, điều này có nhiều KTKN để làm hơn là KTQT. 64 Từ Hình 4.7 một khi có thể thấy rằng các nhân tố tải trên các quy trình đại số 1 và 2 là 0.74 và 0.76 chúng thấp hơn nhân tố tải 0.91 trên quy trình đồ thị. Điều này có nghĩa là trong mô hình đo lường được thiết lập, các quy trình đồ thị dường như tác động mạnh hơn đến KTQT hơn là quy trình đại số. Tất nhiên các tác động của biểu diễn đại số và biểu diễn đồ thị là phụ thuộc vào tập hợp các nhiệm vụ sử dụng trong mô hình đo lường. KTKN được đo với ba câu hỏi: các mối quan hệ giữa biểu diễn đại số và biểu diễn đồ thị, giải thích đồ thị, giải thích đại số. Trái với các nhiệm vụ được cho trong các câu hỏi trước, các loại câu hỏi này là ít quen thuộc với học sinh. Điều này dễ dàng nhận thấy điểm số thấp của các câu hỏi. Điểm số trung bình về các câu hỏi tương ứng là 10.51, 52.6% , 4.92, 41% và 5.85, 58.8 %. Nhắc lại, khi chúng ta xem câu hỏi đo mối quan hệ giữa các biểu diễn đại số và đồ thị, rõ ràng các nhiệm vụ này được mong chờ là dễ và có phần trăm đúng cao. Về nhiệm vụ 12, ở đó câu hỏi liên quan đến hàm số bậc hai, điểm số trung bình là 3.20 trên 4 là (80%), trong khi điểm số các nhiệm vụ khác khoảng 50%. Với mục đích phát hiện sự biến thiên, điều này là thích hợp. Điểm số trong giải thích đồ thị là thấp nhất, 4,2 trên 12 điểm (41%). Điều này không như mong đợi, các câu hỏi được tiến hành theo cách mà nó hạn chế sự bộc lộ bất kì chi tiết nào về quy trình. Thậm chí, các nhiệm vụ thể hiện sự khác nhau về độ khó từ điểm số trung bình 0.49, 12.3% của nhiệm vụ 11 đến 2.60, 65 % về nhiệm vụ 12. Mặc dầu điểm số thấp, nhưng chúng ta có thể phát hiện sự biến thiên giữa các học sinh dựa vào các kết quả của bài làm. Điểm số trung bình về giải thích đại số là 5.85, 48.75%. Các nhiệm vụ khác tương tự và có một xu hướng mà các em đã nhận một trong chúng trước đó đúng để nhận cái khác đúng. Điều này nó không làm yếu đi trong quan điểm chúng phụ thuộc vào các câu hỏi giống nhau và được sử dụng để đo các khía cạnh khác nhau của KTKN về các nhiệm vụ xem xét tập nghiệm của phương trình, bất phương trình. Nhắc lại, sự khác nhau của các câu hỏi bao quát các khía cạnh khác nhau. Câu hỏi đầu tiên phải thực hiện sự chuyển đổi giữa các biểu diễn, trong khi câu hỏi thứ hai đề cập đến các mức độ khác nhau của đồ vật hóa (Sfard, 1991). Khi các nhiệm vụ được phát triển, bao gồm các khía cạnh khác nhau của cùng một khái niệm được dự định và phân biệt giữa các vấn đề đồ thị và đại số. Một ước lượng giá trị Cronbach Alpha bằng 0.88 đề nghị sự thích hợp bên trong là thỏa mãn. Các nhân tố tải là 0.79, 65 0.88, 0.91. Sự khác nhau tương đối nhỏ, mặc dầu giải thích mối quan hệ giữa biểu diễn đại số và đồ thị dường như có hệ số tải thấp hơn. Khả năng áp dụng kiến thức vào giải quyết các tình huống thực tế ít được đề cập đến trong sách giáo khoa. Dường như không có một sự nhất trí nào về ý nghĩa của khái niệm này, đây là trường hợp khác với KTQT và KTKN. Các nhiệm vụ đo lường khả năng sử dụng hai loại kiến thức để giải quyết một số bài toán bao gồm các vấn đề mô hình hóa toán học, giải thích đồ thị và tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình. Tất cả các câu hỏi dường như chứa các nhiệm vụ ở các mức độ khó dễ khác nhau. Trong nhiệm vụ đo mô hình hóa toán học, nhiệm vụ 17 có điểm trung bình là 2.48 trên 6 (41.3%). Câu hỏi trong nhiệm vụ này được đưa ra cho học sinh trong các bài toán hàm số được cho dưới dạng văn bản, các điểm số tương ứng là được mong đợi. Một mặt khác nhiệm vụ 18 chứng tỏ nguyên nhân có nhiều vấn đề, cũng như dự định trước với điểm số trung bình chỉ là 2.06 trên 6 (34.3%). Ở đây có vấn đề là dường như học sinh không thấy được việc giải phương trình bằng đồ thị. Câu hỏi về sử dụng đồ thị để giải thích các tình huống trong thực tế với điểm số trung bình là 2.61 trên 4 (65.5%). Tóm lại dữ liệu xác nhận sự mong chờ của chúng tôi về sự biến thiên về độ khó. Nhân tố tải tương ứng là 0. 90, 0.91, 0.75. Tác động của sử dụng đồ thị giải thích các tình huống thực tế thấp hơn hai nhân tố khác, nhưng nếu chúng ta quan tâm tới các câu hỏi khác liên quan đến sử dụng đồ thị tìm nghiệm của phương trình, điều này là hợp lí. Hệ số Cronbach Alpha được ước lượng là 0.88, chúng chỉ ra rằng sự thỏa mãn bên trong là hợp lí giữa các thuật ngữ. 5.1.2. Mô hình cấu trúc Mô hình giả thuyết được điều chỉnh, mối quan hệ trực tiếp giữa KTQT và khả năng sử dụng kiến thức để giải quyết một số bài toán dường như yếu và được gỡ bỏ. Các câu hỏi nghiên cứu ảnh hưởng bởi sự điều chỉnh của mô hình là câu hỏi nghiên cứu số 3. Tuy nhiên, không một kết luận nào liên quan đến mô hình cuối cùng mà mâu thuẫn với các ước lượng của mô hình giả thuyết ban đầu. Mô hình đã cho được xác định và dữ liệu yêu cầu các điều kiện, câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu số 2 và số 3 có thể được minh họa bởi mô hình các biến tiềm ẩn. Nhớ rằng tác động được tiêu chuẩn hóa tương tự với sự biến thiên, một khi có thể thấy rằng các tác động này là mạnh. Vì vậy chúng xác nhận sự cần thiết của KTQT và KTKN. 66 5.1.2.1. Câu hỏi nghiên cứu số 2 Các kiến thức quy trình và khái niệm của học sinh lớp 10 về đại số liên quan với nhau như thế nào? Để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai, chúng tôi xem KTQT và KTKN như là các biến tiềm ẩn và tìm hiểu mối quan hệ giữa chúng. Mối quan hệ giữa KTQT và KTKN về đại số, như mong đợi, là khá mạnh. Chúng được giả thuyết rằng KTQT là điều kiện cần cho KTKN. Điều này không có nghĩa rằng sự phát triển của KTKN sẽ diễn ra đồng thời nhưng sự chiếm ưu thế khi nói về sự phát triển KTKN cho một khái niệm toán học với sự đồng ý của lí thuyết (Sfard, 2001). Phân tích hồi quy các biến 0.71 là hợp lí. Thậm chí một khi nghi ngờ rằng các học sinh có định hướng tính toán nhiều hơn hướng đến các định nghĩa và các tính chất và các em tập trung vào nhớ các quy trình, điều này chứng tỏ rằng học sinh với các kĩ năng tốt có khả năng tốt hơn về sự phát triển KTKN. Để tiếp thu một khái niệm toán học, KTQT ban đầu dễ được học sinh tiếp nhận, và đây sẽ là nền tảng để phát triển KTKN, từ đó hoàn thiện kiến thức về các khái niệm toán cho học sinh. Mặt khác, Hình 4.8 cho thấy có nhiều học sinh có điểm số quy trình cao và điểm số khái niệm thấp, trong khi rất ít học sinh có điểm khái niệm cao nhưng điểm quy trình thấp. Kết quả này ủng hộ quan điểm kế thừa (Haapasalo & Kadijevich, 2000) đó là KTQT là điều kiện cần nhưng không là điều kiện đủ cho KTKN, ít nhất là cho các học sinh trong nội dung mà chúng tôi đang nghiên cứu. Một vài học sinh có điểm số trên đường chéo cũng phù hợp với quan điểm đồng hoạt hóa. Do vậy kết luận được giả thiết mối quan hệ trực tiếp giữa KTQT và KTKN được hỗ trợ và sẽ duy trì. Nếu chúng ta chấp nhận mô hình đo lường và giả thiết các hướng nhân quả là phù hợp với quan điểm kế thừa (Kadjevech & Haapasalo, 2001), kết luận rất rõ ràng cho câu hỏi nghiên cứu này. Một mặt khác, khi chúng ta nói về các khái niệm trong đại số, chúng tôi có thể giả sử rằng chúng ta cần KTQT để phát triển KTKN. 5.1.2.2. Câu hỏi nghiên cứu số 3 Khả năng kết hợp kiến thức quy trình và khái niệm của học sinh lớp 10 về đại số được thể hiện qua việc giải quyết các bài toán được kiểm tra như thế nào? Vài chủ đề được diễn tả trong câu hỏi nghiên cứu này. Một là liệu KTKN có là điều kiện cần để có thể áp dụng kiến thức khi giải quyết các tình huống, câu hỏi này chúng là rõ ràng khẳng định bởi các phân tích. Phân tích rõ ràng đề nghị có mối 67 quan hệ mạnh giữa KTKN về đại số và khả năng áp dụng kiến thức để giải quyết một số tình huống. Một vấn đề bổ sung khác trong câu hỏi nghiên cứu này là liệu KTQT có là một điều kiện cần để áp dụng kiến thức khi giải quyết một số bài toán, một câu hỏi mà dễ dàng được thảo luận nếu chúng ta phân tích nó trong hai câu hỏi. Nếu chúng ta xem quan hệ trực tiếp giữa KTQT và khả năng áp dụng và khi KTKN làm trung gian. Phân tích từ mô hình ban đầu nó không hỗ trợ kết luận rằng mối quan hệ này có ý nghĩa. Như thảo luận trong chương 5, mối quan hệ có thể bị gỡ bở từ mô hình. Điều này không có nghĩa rằng một mối quan hệ không tồn tại, nhưng trong phân tích liên kết này dường như là yếu. Một mặt khác, dường như là chỉ một mình KTQT nó không đủ để có thể giải quyết một số tình huống. Câu hỏi khác là những gì liên quan đến ảnh hưởng gián tiếp của KTQT về khả năng giải quyết một số bài toán ít quen thuộc. KTQT có tác động dán tiếp đến khả năng giải quyết các bài toán. Việc giải thích điều này, KTQT về đại số có tác động lên khả năng giải quyết một số bài toán, nhưng thông qua trung gian là KTKN về đại số. Một khi nói rằng mô hình ban đầu và mô hình cuối cùng chỉ ra cùng một hướng, nhưng kết quả mà mối quan hệ trực tiếp giữa KTQT và khả năng giải quyết một số bài toán không được chứng minh có ý nghĩa. Tóm lại phân tích của đề kiểm tra chính thức, KTQT về đại số là quan trọng, nhưng trước tất cả là để phát triển KTKN về đại số. KTKN về đại số lần lượt là một điều kiện cho khả năng giải quyết một số tình huống. Mối quan hệ trực tiếp giữa KTQT về đại số và khả năng giải quyết một số tình huống thực tế ít quen thuộc dường như yếu. Có lẽ phần quan tâm nhất của kết luận là tầm quan trọng của KTKN. Điều thích hợp để diễn tả cẩn thận hơn sự phân biệt giữa các câu hỏi kiểm KTQT và KTKN có thể được tạo ra bởi các giáo viên, những người bắt đầu và lập kế hoạch điều khiển bài học cho các học sinh cụ thể. Các tiếp cận dạy học, các khả năng của học sinh, các chủ đề toán học khác nhau. Điều thích hợp nhấn mạnh rằng bốn quan điểm này không là bằng chứng cho bất kì kết luận tổng quát nào về mối quan hệ giữa KTQT và KTKN. Vì vậy thay cho việc tìm kiếm các kết luận này chúng ta nên thực hiện vài nhận thức về kết quả thực nghiệm khác nhau và chú ý liên kết giữa KTQT và KTKN và kiểm tra chúng dưới các thuật ngữ giáo dục thích hợp. 68 5.2. Các phản ánh từ phỏng vấn Trong phần này chúng tôi sẽ thảo luận về các nhân tố có thể tác động đến các kết quả, chúng được phân biệt với các kết luận từ phân tích thống kê. Các kết quả ủng hộ quan điểm kế thừa và chỉ ra rằng nhiều học sinh dường như chỉ giới hạn bởi KTQT và tập trung chính vào các quy trình. Lí do nào mà học sinh chỉ giới hạn ở quy trình? Một vài nhân tố có thể ảnh hưởng, chẳng hạn như mức độ kiến thức toán học của giáo viên, hiểu biết của giáo viên về cách dạy khái niệm, bối cảnh giáo dục của học sinh hoặc niềm tin của các em về môn toán. Vì nhiều học sinh được định hướng trước các phương án và có động cơ học tập bởi các kì thi, nội dung các bài kiểm tra dường như là một nhân tố quan trọng. Các phỏng vấn cung cấp thông tin cho các thảo luận, chúng dựa vào niềm tin và trải nghiệm học toán của các học sinh. Niềm tin của học sinh về toán học dường như ảnh hưởng bởi suy nghĩ và hành động của các em (Pehkone & Safuanov, 1996). Niềm tin của một học sinh được hiểu là kiến thức chủ quan và động cơ đối với môn toán chúng được định hình bởi trải nghiệm của các em (Pehkonen, 2003), vì vậy nó hợp lí để giả sử rằng niềm tin trong trường hợp này là liên quan đến cá nhân. Để hiểu rõ các trải nghiệm, một phỏng vấn bán cấu trúc được áp dụng để điều tra niềm tin về bản chất của kiến thức toán học đồng thời với các trải nghiệm như là người học. Sự phức tạp của niềm tin về toán học và giáo dục, các cuộc phỏng vấn là phù hợp để bộc lộ các suy nghĩ mà chúng không được diễn tả trong phần nghiên cứu định lượng. Phần đầu tiên của câu hỏi diễn tả niềm tin có nghĩa là hiểu biết toán học trong khi phần thứ hai liên qua đến tình huống học tập. Tiếp cận dạy học áp dụng ở nhà trường là một nhân tố mà dường như đã ảnh hưởng đến niềm tin của học sinh. Thảo, Quang, Lịch góp phần với ba câu chuyện khác nhau. Có thể thấy rằng các môi trường học mà Thảo, Quang đã trải nghiệm ít có các hoạt động khuyến khích KTKN. Các hoạt động chủ yếu mà các em diễn tả là giáo viên chứng minh các quy trình, nêu phương pháp giải và yêu cầu các học sinh lặp lại chúng với các bài tập tương tự. Nó dường như khó để dạy và học KTKN nếu giáo viên không có một phương án rõ ràng về cách đẩy mạnh mối quan hệ giữa KTQT và KTKN. Thảo là học sinh thực sự gặp khó khăn về môn toán với một định hướng quy trình thuần túy. Lí do mà Thảo tập trung vào việc nhớ các quy trình là vì Thảo nghĩ toán học là khó. Nếu một cá nhân với kiến thức toán học thấp nhìn chung có thể tìm một 69 tiếp cận quy trình như là một phương án duy nhất có thể, các lí do tương tự có thể từ giáo viên của các em. Các giáo viên với KTKN thấp không thể đưa ra một kế hoạch dạy học để phát triển sự hiểu biết sâu sắc mà chỉ dừng lại việc chứng minh các điều quen thuộc. Điều này nó phù hợp với các kết quả của (Ma, 1999) là các giáo viên ở Mỹ những người dự định để dạy hiểu biết thường không thành công bởi vì họ không có sự hiểu biết sâu sắc về KTKN. Giống như Thảo, Quang diễn tả em ấy là một học sinh tập trung vào cách để giải quyết các bài toán và có các trải nghiệm tương tự từ trường trung học. Khi cho các bài tập khái niệm, Quang diễn tả rằng em thấy dễ hơn nếu em có thể tính toán. Lí do cho niềm tin của Quang có thể là Quang thấy vấn đề khái niệm là khó. Một giải thích khác là các nhiệm vụ khái niệm thường đòi hỏi sự hiểu biết và cần một nền tảng về kiến thức quy trình điều này phù hợp với tiếp cận giáo dục của (Haapasalo & Kadijevich, 2000). Phần đầu tiên của phỏng vấn với Lịch, Lịch gây ấn tượng là một học sinh có định hướng khái niệm, Lịch tìm kiếm mối quan hệ một bên là toán học và một bên là các môn học khác chẳng hạn như vật lí. Lịch được xem xét như là một người học tập trung vào các quy tắc và cách mà các bài toán được giải quyết và tại sao chúng là quan trọng cũng như các vấn đề liên quan. Tuy nhiên Lịch đã gặp nhiều vấn đề với các bài tập có định hướng khái niệm hơn là các bài tập quy trình. Một giải thích có thể là giáo viên của Lịch tập trung chứng minh cách giải các vấn đề, hơn là khuyến khích phản ánh để có sự hiểu biết sâu sắc. Tóm lại, tất cả ba học sinh có định hướng quy trình và không một ai trong các em thực hiện tốt nhiệm vụ khái niệm hơn nhiệm vụ quy trình. Mặc dầu sự tương tự giữa ba câu chuyện, các phỏng vấn là một điều nhắc nhở rằng kết quả kiến thức học sinh dưới dạng KTQT và KTKN là phụ thuộc cá nhân. Các phỏng vấn này không có mục đích là minh chứng cho phân tích thống kê, nhưng chúng không đối lập với kết quả của phân tích, KTKN không vượt trội KTQT cho bất kì học sinh nào được phỏng vấn. 5.3. Tóm tắt chƣơng 5 Trong chương này chúng tôi đã đưa ra các thảo luận và kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu, chúng cho thấy tầm quan trọng của kiến thức khái niệm trong quá trình giải quyết các vấn đề. Chúng tôi cũng đưa ra hướng đề xuất cần cân đối giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm trong chương trình đại số 10. 70 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tôi đã phát triển các nhiệm vụ đo lường: kiến thức quy trình, kiến thức khái niệm về đại số và khả năng giải quyết một số bài toán ít quen thuộc. Kĩ thuật mô hình phương trình cấu trúc được sử dụng để phát triển một công cụ đo lường, chúng dường như là hợp lí và tin cậy. Chúng tôi cho rằng mô hình phương cấu trúc là một cách thích hợp để nghiên cứu các khái niệm toán học, chẳng hạn các khái niệm chúng tôi đang nghiên cứu thường mập mờ và khó để phân tích bằng kĩ thuật mô hình truyền thống. Sơ đồ đường cung cấp một công cụ giao tiếp giữa các khía cạnh của kiến thức. Nghiên cứu này chỉ ra rằng, chúng ta có thể phát triển các nhiệm vụ hợp lí và tin cậy để đo lường kiến thức quy trình và khái niệm của một khái niệm toán học. Kết quả của nghiên cứu cho thấy điểm số về kiến thức quy trình cao hơn kiến thức khái niệm. Điều này có thể do sự quan tâm của học sinh và sự quen thuộc của các em về các bài toán trong các đề kiểm tra truyền thống, các bài tập sách giáo khoa cũng như các điều được học ở lớp. Dường như là hợp lí khi cho rằng việc dạy học truyền thống nhấn mạnh ưu thế của các kĩ năng quy trình mà thiếu vai trò của kiến thức khái niệm. Nhưng phần lớn các điều tra nghiên cứu ảnh hưởng của kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình chỉ ra rằng việc phát triển kiến thức khái niệm dẫn đến phát triển kiến thức quy trình (Baki & Kartal 2004; Hiebert & Waerne, 1996; Perry, 1991; Rittle- Johnson & Alibali, 1999). Kiến thức khái niệm hỗ trợ kiến thức quy trình nhằm sử dụng quy trình một cách đúng đắn và thành công. Việc nhận thức rõ kiến thức khái niệm là một mục đích chính của giáo dục toán, chúng ta không nên bỏ qua vai trò của các kĩ năng quy trình để đạt mục đích này. Thay vào đó có thể nói rằng chúng ta không nên chỉ tập trung vào kiến thức quy trình hay khái niệm mà cần tập trung đồng thời cả hai. Một cách đảm bảo điều này xảy ra là kết nối hai loại kiến thức này thông qua các hoạt động trên lớp học. Việc làm của học sinh trong giải phương trình nên được kết nối đến các tình huống thực tế, các bảng biểu và đồ thị. Không chỉ kiến thức quy trình trở nên mạnh hơn mà việc hiểu biết của học sinh về hàm số cũng được phát triển. Nghiên cứu này chỉ giới hạn kiến thức về hàm số, hàm số bậc nhất , hàm số bậc hai và một số bài toán tương đương của phương trình và bất phương trình, một vài áp dụng trong đại số và các tình huống thực tế. Dữ liệu trong nghiên cứu được tập hợp từ các học sinh ở các lớp của một trường trung học phổ thông và các kết luận từ 71 phân tích vì vậy được giải thích chủ yếu với các đối tượng này. Các nghiên cứu tương lai nên xem xét về kết luận này đối với các khái niệm toán học khác và các lĩnh vực áp dụng khác. Việc hiểu biết một khái niệm toán học bao gồm khả năng thấy được mối quan hệ giữa các biểu diễn khác nhau, chẳng hạn như biểu diễn đại số và đồ thị của một khái niệm toán học. Tính hai mặt của kiến thức toán học được tiếp cận theo hai quan điểm trong luận văn này. Tiếp cận lí thuyết bằng việc xem xét các liên quan đến các nghiên cứu trước về bản chất và tính chất của các loại kiến thức. Trong kết luận cuối cùng, mối quan hệ đến các khía cạnh khác, chẳng hạn như niềm tin của học sinh được thảo luận. Một quan điểm khác là phân tích thống kê cho một mẫu kích thước có thể kết hợp với một tiếp cận thực hành. Nếu chúng ta hiểu mối quan hệ giữa các tiếp cận này và không tập trung vào một cái, chúng ta có thể hiểu tính hai mặt của kiến thức toán học tốt hơn. Tóm lại năng lực toán học dựa vào sự phát triển của cả kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm. Song chương trình dạy học chúng ta hiện nay tập trung chủ yếu và việc rèn luyện các kĩ năng và thực hành các thuật giải. Việc thực hành các thuật toán chưa đủ để giúp học sinh áp dụng các kiến thức vào thực tế hoặc giải quyết các bài toán ít quen thuộc. Do đó chúng ta cần chú trọng hơn nữa đến việc phát triển kiến thức khái niệm, cần cho học sinh tiếp cận một khái niệm dưới dạng các biểu diễn khác nhau, khuyến khích các em tự giải thích, khám phá trước khi dạy học. Cần có một sự cân đối giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm (hình 5.1) là kết luận quan trọng cho nghiên cứu này. Hình 5. 1. Một hướng đề xuất cho chương trình hiện hành Kiến thức khái niệm K iế n t h ứ c q u y t rì n h Chương trình toán Giảm Tăng 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Tiếng Việt Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, Trần Văn Vuông(2006), Sách giáo khoa Đại số 10 (nâng cao), Nhà xuất bản giáo dục. Trần Vui (2014), Giải quyết vấn đề thực tế trong dạy học toán, ISBN 978 – 604 – 912 – 271 – 2, NXB Đại học Huế. 2. Tiếng Anh Bethany Rittle-Johnson and Kenneth Koedinger, (2009). Iterating between lessons on concepts and procedures can improve mathematics knowledge. British Journal of Educational Psychology (2009), 79, 483–500 Bethany Rittle-Johnson, and Michael Schneider (2012). Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics, The Oxford Handbook of Numerical Cognition, Oxford University Press. Bollen, K.A. (1990), "Overall Fit in Covariance Structure Models: Two Types of Sample Size Effects," Psychological Bulletin, 107 (2), 256-59 Byrnes, J. P. & Wasik, B. A. (1991). Role of conceptual knowledge in mathematical procedural learning. Developmental Psychology, 27, 777–786. doi: 10.1037//0012-1649.27.5.777. Djordje Kadijevich (2007). Towards relating procedural and conceptual knowledge by CAS. Megatrend University & Mathematical Institute of the Serbian Academy of Sciences and Arts, Belgrade, SERBIA Haapasalo, L., & Kadijevich, D. (2000). Two Types of Mathematical Knowledge and Their Relation. Journal für Mathematik-Didaktik 21(2), 139-157. Harskamp, E., Suhre, C., & Van Streun, A. (2000). The graphics calculator and students‟ solution strategies, Mathematics Education Research Journal, 12, 37– 52. Kadijevic, D. (1999). Conceptual Tasks in Mathematics Education. The Teaching of Mathematics, 2(1), 59-64. Kadijevich, D., & Haapasalo, L. (2001). Linking procedural and conceptual mathematical knowledge through CAL. Journal of Computer Assisted Learning, 17(2), 156-165. Lenni Haapasalo, (2012). Two pedagogical approaches linking conceptual and procedural knowledge. University of Eastern Finland, Finland Lenni Haapasalo, Djordje Kadijevich, (2000). Two Types of Mathematical Knowledge and Their Relation, Journal for Mathematics Teaching, Volume 21, Issue 2 , pp 139-157 . Newsom, J. T. (2002). A multilevel structural equation model for dyadic data. Structural Equation Modeling, 9, 431– 447. doi:10.1207/ S15328007SEM0903_7 73 PÅL Lauritzen, (2012). Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematical Functions, Dissertations in Education, Humanities, and Theology, University of Eastern Finland. Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., & Alibali, M. W. (2001). Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: an iterative process. Journal of Educational Psychology, 93, 346–362. doi: 10.1037//0022–0663.93.2.346. Rittle-Johnson, B., Star, J. R., & Durkin, K. (2011). Developing procedural flexibility: are novices prepared to learn from comparing procedures? British Journal of Educational Psychology, 82 (3), 436–455.doi: 10.1111/j.2044– 8279.2011.02037.x. Ruthven, K. (1990). The influence of graphic calculator use on translation from graphic to symbolic forms, Educational Studies in Mathematics, 21, 431-450. Schneider, M. & Stern, E. (2010). The developmental relations between conceptual and procedural knowledge: a multimethod approach. Developmental Psychology, 46, 178–192. doi: 10.1037/a0016701. Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Theoretical Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36. Skemp, R. R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding Mathematics Teaching, 77, 20-26. Thomas, M. O. J. & Gray, E. (2001) Quadratic Equation Representations and Graphic Calculators: Procedural and Conceptual Interactions, 24th Annual MERGA Conference, Sydney, July 2001