Luận văn Khảo sát quá trình nén hong - Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha

u thức hệ số nén Hillery bậc 4n + 1 như sau S4n+1 = 2|α|8n+2 { 1− e−2|α|2 − sin[2(4n + 1)ϕ](1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2) } A1(1 + e−|α| 2 cosβ) , (2.5) trong đó β = φ + |α|2, (2.6) A1 = 4n+1∑ q=1 (4n + 1)!(4n + 1)(q) (4n + 1 − q)!q! |α| 8n+2−2q × { 2 − ie−|α|2 [ 2(−i)−qcosβ − [(−i)−q + i−q]eiβ]}. (2.7) 23 Hình 2.1 dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 1 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 0. Từ hình vẽ 2.1 và kết quả tính số, ta nhận thấy vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 1.75, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 4.7 đến 7.85. Hình 2.1: Hệ số nén S4n+1 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. Hình 2.2a dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 1 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = pi/2. Căn cứ hình vẽ 2.2a và kết quả tính số, ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+1 = 0 tương ứng với vùng nén. Vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 0.59. Vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 3.1 đến 6.3. Hình 2.2b mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 1 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 3pi/2. Căn cứ hình vẽ 2.2b và 24 kết quả tính số, ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+1 = 0 tương ứng với vùng nén. Vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 3.2. Vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 6.3 đến 9.4. Hình 2.2: Hệ số nén S4n+1 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = 3pi/2. Từ các hình vẽ 2.1, 2.2a, 2.2b và kết quả tính số, ta đều nhận thấy: với những giá trị nhỏ của n thì vùng nén thể hiện rõ rệt, khi n tăng thì hệ số nén Hillery bậc 4n + 1 sẽ tiến dần về giá trị 0, tức là mức độ nén giảm dần. Khi n > 2 thì mức độ nén rất nhỏ (phần đồ thị gần như phẳng nằm sát mặt phẳng S4n+1 = 0). 2.1.3 Bậc k = 4n + 2 Thay k = 4n + 2 (n là số nguyên) và (2.3) vào (2.1) ta được biểu thức hệ số nén Hillery bậc 4n + 2 như sau: 25 S4n+2 = 4|α|8n+4 { 1− e−2|α|2 + cos[2(4n + 2)ϕ](1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2) } A2(1 + e−|α| 2cosβ) , (2.8) trong đó A2 = 4n−2∑ q=1 (4n + 2)!(4n + 2)(q) (4n + 2 − q)!q! |α| 8n+4−2q × { 2 − e−|α|2 [ 2(−i)−qcosβ + [i−q − (−i)−q]eiβ]}. (2.9) Hình 2.3 dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 2 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 0. Từ hình vẽ 2.3 và kết quả tính số, ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+2 = 0 tương ứng với vùng nén. Vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 1.75. Vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 4.7 đến 7.85. Hình 2.3: Hệ số nén S4n+2 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. Hình 2.4a mô tả giá trị của hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 2 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ 26 thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = pi/2. Từ hình vẽ 2.4a và kết quả tính số, ta nhận thấy: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 0.59, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 3.1 đến 6.3. Hình 2.4b mô tả giá trị của hệ số nén bậc 4n + 2 Hình 2.4: Hệ số nén S4n+2 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = 3pi/2. của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 3pi/2. Căn cứ vào hình vẽ 2.4b và kết quả tính số ta nhận thấy: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 3.2, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 6.3 đến 9.4. Từ các hình vẽ 2.3, 2.4a, 2.4b và kết quả tính số, ta cũng nhận thấy: khi n tăng thì hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 2 tiến dần về giá trị 0, tức là mức độ nén giảm dần. Khi n > 2 thì mức độ nén rất nhỏ (phần đồ thị gần như phẳng nằm sát mặt phẳng S4n+2 = 0). 2.1.4 Bậc k = 4n + 3 27 Thay k = 4n + 3 và (2.3) vào (2.2) ta được biểu thức hệ số nén Hillery bậc 4n + 3 như sau: S4n+3 = |α|8n+6 { 1 − e−2|α|2 + sin[2(4n + 3)ϕ](1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2) } A3(1 + e−|α| 2cosβ) , (2.10) trong đó A3 = 4n+3∑ q=1 (4n + 3)!(4n + 3)(q) (4n + 3− q)!q! |α| 8n+6−2q × { 2 + ie−|α| 2 [ 2(−i)−qcosβ − [(−i)−q + i−q]eiβ]}. (2.11) Hình 2.5 dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén bậc 4n + 3 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 0. Căn cứ vào hình vẽ 2.5 và kết quả tính số, ta nhận thấy: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 1.75, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 4.7 đến 7.85. Hình 2.5: Hệ số nén S4n+3 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. 28 Hình 2.6a mô tả giá trị của hệ số nén bậc 4n + 3 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = pi/2. Phân tích hình vẽ 2.5a và kết quả tính số, ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+3 = 0 tương ứng với vùng nén: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 0.59, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 3.1 đến 6.3. Hình 2.6b mô tả giá trị của hệ số nén bậc 4n + 3 của trạng thái chồng Hình 2.6: Hệ số nén S4n+3 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = 3pi/2. chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 và n ứng với φ = 3pi/2. Phân tích hình vẽ 2.6b ta nhận thấy có 2 vùng nằm dưới mặt phẳng S4n+3 = 0 tương ứng với vùng nén. Vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 3.2. Vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 6.3 đến 9.4. Từ các hình vẽ 2.5, 2.6a, 2.6b và kết quả tính số, ta cũng nhận thấy: khi n tăng thì hệ số nén kiểu Hillery bậc 4n + 3 tiến dần về giá trị 0, tức là mức độ nén giảm dần. Khi n > 2 thì mức độ nén rất nhỏ (phần đồ thị gần như phẳng nằm sát mặt phẳng S4n+3 = 0). 29 Như vậy, sử dụng các biểu thức (2.4), (2.5), (2.8), (2.10) của các hệ số nén kiểu Hillery S4n, S4n+1, S4n+2, S4n+3, ta có thể khảo sát tính chất nén kiểu Hillery của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha đối với bất kỳ giá trị n nào. Kết quả khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông cho thấy: bậc nén càng cao thì mức độ nén càng nhỏ và không có hiệu ứng nén Hillery bậc 4n. Dùng các biểu thức hệ số nén nêu trên, ta cũng dễ dàng suy ra được tính chất nén từ bậc một đến bậc tám mà Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [13] và luận văn của Nguyễn Thị Bích Ngân [3] đã khảo sát. Điều này chứng tỏ rằng kết quả khảo sát mà chúng tôi thu được là tổng quát, còn kết quả khảo sát của các tác giả Ran Zeng, Muhammad Ashfaq, Shutian Liu và Nguyễn Thị Bích Ngân là trường hợp riêng với các giá trị n nhỏ (n = 0, n = 1). 2.2 Khảo sát tính thống kê sub-Poisson bậc cao tổng quát Khái niệm thống kê sub-Poisson bậc cao được giới thiệu trong [5]. Bằng cách sử dụng 〈n̂(k)〉 = 〈n̂(n̂−1)...(n̂−k+1)〉 = 〈â+kâk〉, với 〈n̂〉 = 〈â+â〉, tham số Pk được định nghĩa như sau [16] Pk = 〈â+kâk〉 〈â+â〉k − 1, (2.12) với k là số nguyên dương. + Đối với tất cả các giá trị của k ≥ 2 , Pk = 0 dẫn đến phân bố Poisson. + Với k = 2, tham số Pk > 0 chỉ tính thống kê super-Poisson bậc một và tham số Pk < 0 chỉ tính thống kê sub-Poisson bậc một. 30 + Với k > 2, tham số Pk > 0 chỉ tính thống kê super-Poisson bậc cao và tham số Pk < 0 chỉ tính thống kê sub-Poisson bậc cao. Năm 2009, tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân [3] đã đưa ra được biểu thức tham số Pk = N2[2 + e−|α| 2 (2(−i)kcos(φ + |α|2)− ((−i)k − ik)ei(φ+|α|2))] 2[N2(1 − e−|α|2sin(φ+ |α|2))]k − 1, (2.13) và dùng biểu thức này tác giả khảo sát được tính thống kê sub-Poisson của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha từ bậc một đến bậc mười. Đối với các bậc cao hơn thì dùng biểu thức (2.13) để khảo sát tính thống kê sub-Poisson sẽ gặp nhiều khó khăn. Để khảo sát tính thống kê sub-Poisson của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha tổng quát, chúng tôi chia k thành bốn trường hợp theo n như sau: 2.2.1 Bậc 4n− 1 và 4n Thay k = 4n và k = 4n+1 vào (2.13) ta được tham số P4n và P4n+1 như sau: P4n = P4n+1 = [ 1 + e−|α|2cos(φ+ |α|2) 1 − e−|α|2sin(φ+ |α|2) ]4n − 1, (2.14) trong đó: tham số P4n chỉ tính thống kê sub-Possion bậc 4n−1, tham số P4n+1 chỉ tính thống kê sub-Possion bậc 4n. Dựa vào biểu thức (2.14), ta nhận thấy tính thống kê sub-Possion bậc 4n− 1 và bậc 4n của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha là hoàn toàn giống nhau. Do đó, ta chỉ cần khảo sát tính thống kê sub-Possion một trong hai bậc: bậc 4n − 1 hoặc bậc 4n. Hình 2.7 dưới đây mô tả tham số P4n 31 là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = 0. Căn cứ vào hình 2.7 và kết quả tính số ta nhận thấy: tại φ = 0 tính thống kê sub-Poisson bậc 4n− 1 thể hiện trong khoảng giá trị |α|2 từ 2.35 đến 5.5. Hình 2.7: Tham số P4n là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. Hình 2.8a dưới đây mô tả tham số P4n là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = pi/2. Khi φ = pi/2 tính thống kê sub-Poisson chỉ thể hiện rõ trong khoảng giá trị |α|2 từ 0.78 đến 3.93 và từ 7.1 đến 10.2. Hình 2.8b Hình 2.8: Tham số P4n là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = pi. 32 vẽ tham số P4n là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = pi. Khi φ = pi tính thống kê sub-Poisson chỉ thể hiện rõ trong khoảng giá trị |α|2 từ 0 đến 2.35 và từ 5.5 đến 8.6. Từ các hình vẽ 2.7, 2.8a, 2.8b và kết quả tính số, ta cũng nhận thấy khi giá trị n càng lớn thì mức độ thống kê sub-Poisson càng lớn. 2.2.2 Bậc 4n + 1 Thay k = 4n + 2 vào (2.13) ta được tham số P4n+2 như sau P4n+2 = 1− e−|α|2cos(φ+ |α|2) [1 + e−|α|2cos(φ + |α|2)]B4n+2 − 1, (2.15) với B = 1 − e−|α|2sin(φ+ |α|2) 1 + e−|α|2cos(φ + |α|2) . (2.16) Hình 2.9: Tham số P4n+2 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. Hình 2.9 vẽ tham số P4n+2 là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = 0. Căn cứ vào đồ thị và kết quả tính số, ta thấy khi φ = 0 tính thống kê sub-Poisson bậc 4n+1 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết 33 hợp vuông pha thể hiện rõ ở hai vùng. Vùng thứ nhất chứa các giá trị |α|2 từ 0 đến 0.35 và giá trị n nhỏ. Vùng thứ hai chứa các giá trị |α|2 từ 2.35 đến 5.5 và giá trị n tùy ý. Hình 2.10: Tham số P4n+2 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = pi. Hình 2.10a vẽ tham số P4n+2 là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = pi/2. Tham số P4n+2 < 0 cho ta thấy trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha thể hiện rõ ràng tính thống kê sub-Poisson bậc 4n + 1. Cụ thể, những phần mặt cong dưới mặt P4n+2 = 0 tương ứng với phân bố sub-Poisson bậc 4n + 1. Phân tích hình 2.10a và kết quả tính số ta thấy tại φ = pi/2, có hai vùng thể hiện phân bố sub-Poisson bậc 4n + 1. Vùng thứ nhất chứa các giá trị |α|2 từ 0.85 đến 4.71 và giá trị n nhỏ thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức độ lớn. Vùng thứ hai chứa các giá trị |α|2 từ 7.1 đến 10.1 và giá trị n tùy ý thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức độ rất nhỏ. Hình 2.10b vẽ tham số P4n+2 là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = pi. Tại φ = pi, có hai vùng thể hiện phân bố sub-Poisson bậc 4n + 1. Vùng thứ nhất chứa các giá trị |α|2 từ 0 đến 3.1 và giá trị n nhỏ thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức 34 độ lớn. Vùng thứ hai chứa các giá trị |α|2 từ 5.5 đến 8.6 và giá trị n tùy ý thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức độ rất nhỏ. 2.2.3 Bậc 4n + 2 Thay k = 4n + 3 vào (2.13) ta được tham số P4n+3 như sau P4n+3 = [1 + e−|α| 2 sin(φ+ |α|2)] [1 + e−|α|2cos(φ + |α|2)]B4n+3 − 1. (2.17) Hình 2.11 mô tả tham số P4n+3 là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = 0. Tham số P4n+3 < 0 cho ta thấy trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha thể hiện rõ ràng tính thống kê sub-Poisson bậc 4n + 2. Cụ thể, phần mặt cong dưới mặt P4n+3 = 0 tương ứng với tính thống kê sub-Poisson bậc 4n+2. Từ hình 2.9 và kết quả tính số ta thấy tại φ = 0 tính thống kê sub-Poisson bậc 4n + 2 thể hiện trong khoảng giá trị |α|2 từ 2.4 đến 5.5. Hình 2.11: Tham số P4n+3 là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. 35 Hình 2.12a vẽ tham số P4n+3 là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = pi/2. Tại φ = pi/2, có hai vùng thể hiện phân bố sub-Poisson bậc 4n + 2. Vùng thứ nhất chứa các giá trị |α|2 từ 0.85 đến 4.4 và giá trị n nhỏ thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức độ lớn. Vùng thứ hai chứa các giá trị |α|2 từ 7.1 đến 10.2 thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức độ rất nhỏ. Hình 2.12: Tham số P4n+3 là hàm của |α|2 và n khi (a) φ = pi/2 và (b) φ = pi. Hình 2.12b vẽ tham số P4n+3 là hàm của hai biến |α|2 và n với φ = pi. 36 Tại φ = pi, có hai vùng thể hiện phân bố sub-Poisson bậc 4n + 2. Vùng thứ nhất chứa các giá trị |α|2 từ 0 đến 2.68 và giá trị n nhỏ thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức độ lớn. Vùng thứ hai chứa các giá trị |α|2 từ 5.5 đến 8.64 thể hiện tính thống kê sub-Poisson với mức độ rất nhỏ. Từ ba hình vẽ 2.11, 2.12a, 2.12b ta đều nhận thấy khi n càng lớn thì mức độ thống kê sub-Poisson càng lớn (đáy của mặt lõm trên đồ thị càng tiến về gần mặt phẳng P4n+3 = −1). Như vậy, sử dụng các biểu thức (2.14), (2.15), (2.17) của các tham số P4n, P4n+1, P4n+2, P4n+3, ta khảo sát được tính thống kê sub-Poisson của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha với bất kỳ bậc nào. Kết quả khảo sát tính thống kê sub-Poisson tổng quát của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha cho thấy: đối với các bậc càng cao thì tính thống kê sub-Poisson thể hiện càng rõ. 2.3 Khảo sát tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát Glauber định nghĩa hàm tương quan bậc cao như sau [2] g(k) = 〈â+kâk〉 〈â+â〉k . (2.18) Tính chất phản kết chùm của một trạng thái nào đó được thể hiện thông qua hàm tương quan. Cụ thể, khi g(k) < 1 thì trạng thái đó thể hiện tính chất phản kết chùm và mức độ phản kết chùm càng lớn nếu hàm tương quan càng nhỏ hơn so với 1. Đối với trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha, ta có hàm tương quan như sau [3] 37 g(k) = N2[2 + e−|α| 2 (2(−i)kcos(φ+ |α|2)− ((−i)k − ik)ei(φ+|α|2))] 2[N2(1− e−|α|2sin(φ+ |α|2))]k . (2.19) Từ (2.13) và (2.19) ta suy ra Pk = g (k) − 1. (2.20) Từ biểu thức (2.20) ta thấy rằng nếu Pk < 0 thì g (k) < 1 và ngược lại. Như vậy, tính thống kê sub-Poisson bậc cao và tính chất phản kết chùm bậc cao có mối liên quan với nhau và sẽ xuất hiện đồng thời hoặc không có cả hai ở cùng một trạng thái nào đó, nghĩa là một trạng thái tuân theo thống kê sub-Poisson thì nó sẽ thể hiện tính chất phản kết chùm và ngược lại. Trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha đã thể hiện tính thống kê sub-Poisson bậc cao nên nó cũng sẽ thể hiện tính chất phản kết chùm bậc cao. Trong mục 2.2 ta đã khảo sát tính thống kê sub-Poisson nên ta suy ra tính phản kết chùm cũng có những tính chất tương tự. Trong chương này, chúng tôi đã khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát bằng cách đưa ra biểu thức hệ số nén tổng quát theo n đó là S4n, S4n+1, S4n+2, S4n+3. Từ biểu thức hệ số nén tổng quát theo n ta có thể vẽ đồ thị với bất kỳ giá trị n nào. Qua khảo sát chúng tôi nhận thấy độ rộng các vùng nén không phụ thuộc vào n mà nằm trong các khoảng giá trị |α|2 xác định, còn mức độ nén Hillery càng giảm khi bậc nén càng tăng. Tính chất phản kết chùm và tính thống kê sub-Poisson cũng được khảo sát tổng quát trong chương này. Từ kết quả khảo sát chúng tôi cũng nhận thấy mức độ phản kết chùm và tính thống kê sub-Poisson càng lớn khi bậc k càng lớn. 38 CHƯƠNG 3 KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA Trong chương 2, ta đã trình bày một cách tổng quát về các tính chất phi cổ điển của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha đó là hiệu ứng nén Hillery, tính phản kết chùm và tính thống kê sub-Poisson. Một tính chất phi cổ điển khác của trạng thái này mà chưa có tác giả nào đề cập tới, đó là hiệu ứng nén Hong-Mandel. Bây giờ để tìm hiểu xem ở trạng thái này thì hiệu ứng nén Hong-Mandel xảy ra như thế nào và có gì khác với hiệu ứng nén Hillery, ta bắt đầu khảo sát quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha. 3.1 Khảo sát Xét hai toán tử biên độ trực giao Xˆ1(ϕ) = 1 2 (aˆ+eiϕ + aˆe−iϕ), (3.1) Xˆ2(ϕ) = i 2 (aˆ+eiϕ − aˆe−iϕ), (3.2) có giao hoán tử [Xˆ1(ϕ), Xˆ2(ϕ)] = 2iC, với C là một số thực bất kỳ. 39 Từ (1.37) và (1.38), ta định nghĩa tham số nén kiểu Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 khi bậc nén N chẵn như sau: SN = 〈Ψ|(∆Xˆ1)N |Ψ〉 − (N − 1)!!CN/2 (N − 1)!!CN/2 . (3.3) Hay SN = ∑N−1 j=0 (N )2j j! ( C 2 )j 〈Ψ| : (∆Xˆ1)N−2j : |Ψ〉 (N − 1)!!CN/2 . (3.4) Rõ ràng là hiệu ứng nén theo Xˆ1 xuất hiện khi ta có −1 ≤ SN < 0 và nén đạt cực đại khi SN = −1. Tương tự như vậy đối với Xˆ2. Có thể khai triển (3.4) cho trường hợp nén bậc 2, bậc 4, bậc 6, bậc 8 như sau: S2 = 〈Ψ| : (∆Xˆ1)2 : |Ψ〉 C , (3.5) S4 = 〈Ψ| : (∆Xˆ1)4 : |Ψ〉 3C2 + 2〈Ψ| : (∆Xˆ1)2 : |Ψ〉 C , (3.6) S6 = 〈Ψ| : (∆Xˆ1)6 : |Ψ〉 15C3 + 〈Ψ| : (∆Xˆ1)4 : |Ψ〉 C2 + 3〈Ψ| : (∆Xˆ1)2 : |Ψ〉 C , (3.7) S8 = 〈Ψ| : (∆Xˆ1)8 : |Ψ〉 105C4 + 28C〈Ψ| : (∆Xˆ1)6 : |Ψ〉 105C3 + 2〈Ψ| : (∆Xˆ1)4 : |Ψ〉 C2 + 4〈Ψ| : (∆Xˆ1)2 : |Ψ〉 C , (3.8) trong đó |Ψ〉 = [1 + e −|α|2cos(φ+ |α|2)]−12√ 2 e− |α|2 2 ∞∑ n=0 αn + eiφ(iα)n√ n! |n〉, (3.9) C = 1 2i 〈Ψ|[Xˆ1(ϕ), Xˆ2(ϕ)]|Ψ〉 = 1 2i 〈Ψ| i 2 [aˆ, aˆ+]|Ψ〉 = 1 4 . Bây giờ ta lần lượt tìm biểu thức cụ thể của các tham số nén và vẽ đồ thị của chúng. 40 3.1.1 Nén bậc 2 Ta có 〈Ψ| : (∆Xˆ1)2 : |Ψ〉 = 〈Ψ| : (Xˆ1)2 : |Ψ〉 − 〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉2. (3.10) Giá trị 〈Ψ| : (Xˆ1)2 : |Ψ〉 được tính theo biểu thức 〈Ψ| : (Xˆ1)2 : |Ψ〉 = 1 4 [ 〈Ψ|(aˆ2e−2iϕ + aˆ+2e2iϕ) + 2aˆ+aˆ|Ψ〉 ] = 1 2 [ <〈Ψ|(aˆ2e−2iϕ|Ψ〉+ 〈Ψ|aˆ+aˆ|Ψ〉 ] . (3.11) Tính các kỳ vọng trong (3.11) và lấy phần thực của nó ta thu được kết quả <〈Ψ|aˆ2e−2iϕ|Ψ〉 = −N2|α|2e−|α|2sinβsin2ϕ, (3.12) 〈Ψ|aˆ+aˆ|Ψ〉 = N2|α|2(1− e−|α|2sinβ). (3.13) Thay (3.12), (3.13) vào (3.11) ta được 〈Ψ| : (Xˆ1)2 : |Ψ〉 = N 2|α|2 2 ( 1 − e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ ) . (3.14) Tính 〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉 ta thu được kết quả 〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉 = 1 2 〈Ψ|(aˆe−iϕ + aˆ+eiϕ)|Ψ〉 = <〈Ψ|aˆe−iϕ|Ψ〉 = N2 2 |α| [ 1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ) ] (cosϕ + sinϕ). (3.15) Thay (3.14), (3.15) vào (3.10), rồi sau đó thay vào (3.5), ta được S2 = |α|2[1 − e−2|α|2 − sin(2ϕ)(1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2)] (1 + e−|α|2cosβ)2 . (3.16) Hình 3.1 dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén Hong-Mandel bậc hai của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 với các giá trị khác nhau của pha tương đối φ. Giá trị 41 −1 < S2 < 0 cho ta thấy hiệu ứng nén, cụ thể, những phần đường cong dưới đường S2 = 0 tương ứng với vùng nén. Tại φ = 0, từ |α|2 = 0 đến |α|2 = 1.7 chứa giá trị của hệ số nén bậc một nhỏ hơn nhiều so với 0, nghĩa là mức độ nén rộng. Các vùng nén khác xuất hiện từ |α|2 = 4.7 đến |α|2 = 7.8 chứa S2 nhỏ hơn nhưng rất gần đến 0. Các đường cong đối với giá trị φ nào đó cũng có đặc điểm tương tự, nhưng độ rộng vùng nén khác nhau được biểu diễn trên đồ thị. Hình 3.1 hoàn toàn tương tự với hình 2 trong bài báo do Ran Zeng, Muhammad Ashfaq, Shutian Liu [13] đã đưa ra năm 2007 và hoàn toàn trùng khớp với hình vẽ 2.1 trong luận văn của Nguyễn Thị Bích Ngân [3]. Như vậy hiệu ứng nén Hong-Mandel và bậc hai hiệu ứng nén Hillery bậc một của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha hoàn toàn giống nhau. Hình 3.1: Hệ số nén Hong-Mandel bậc 2 là hàm của |α|2 với các giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = pi/2 (đường gạch gạch), φ = 3pi/2 (đường nét liền). 3.1.2 Nén bậc 4 42 Ta có 〈Ψ| : (∆Xˆ1)4 : |Ψ〉 = 〈Ψ| : (Xˆ1)4 : |Ψ〉 − 4〈Ψ| : (Xˆ1)3 : |Ψ〉〈Ψ| : Xˆ1 : |Ψ〉+ + 6〈Ψ| : (Xˆ1)2 : |Ψ〉〈Ψ| : Xˆ1 : |Ψ〉2 − 3〈Ψ| : Xˆ1 : |Ψ〉4. (3.17) Bây giờ ta lần lượt tính 〈Ψ| : (Xˆ1)4 : |Ψ〉 và 〈Ψ| : (Xˆ1)3 : |Ψ〉 〈Ψ| : (Xˆ1)4 : |Ψ〉 = 1 16 [ 〈Ψ|(aˆ4e−4iϕ + aˆ+4e4iϕ) + 4(aˆ+3ae2iϕ + aˆ+aˆ3e−2iϕ) + 6aˆ+2aˆ2|Ψ〉 ] = 1 16 [ 2<〈Ψ|aˆ4e−4iϕ|Ψ〉+ + 8<〈Ψ|aˆ+aˆ3e−2iϕ|Ψ〉+ 6〈Ψ|aˆ+2aˆ2|Ψ〉 ] . (3.18) Tìm các giá trị kỳ vọng trong (3.18) và lấy phần thực của nó, ta thu được các kết quả <〈Ψ|aˆ4e−4iϕ|Ψ〉 = N2|α|4(1 + e−|α|2cosβ)cos4ϕ, (3.19) <〈Ψ|aˆ+aˆ3e−2iϕ|Ψ〉 = −N2|α|4e−|α|2cosβsin2ϕ, (3.20) 〈Ψ|aˆ+2aˆ2|Ψ〉 = N2|α|4(1 − e−|α|2cosβ). (3.21) Thay (3.19), (3.20),(3.21) vào (3.18) ta được 〈Ψ| : (Xˆ1)4 : |Ψ〉 = N 2|α|4 16 [ 2(1 + e−|α| 2 cosβ)cos4ϕ − 8e−|α|2cosβsin2ϕ + 6(1 − e−|α|2cosβ) ] . (3.22) Tương tự như trên, ta tìm 〈Ψ| : (Xˆ1)3 : |Ψ〉 〈Ψ| : (Xˆ1)3 : |Ψ〉 = 1 8 [ 〈Ψ|(aˆ3e−3iϕ + aˆ+3e3iϕ) + 3(aˆ+2aˆeiϕ + aˆ+aˆ2e−iϕ)|Ψ〉 ] = 1 8 [ 2<〈Ψ|aˆ3e−3iϕ|Ψ〉+ 6Re〈Ψ|aˆ+aˆ2e−iϕ|Ψ〉 ] . (3.23) 43 Tìm các giá trị kỳ vọng trong (3.23) và lấy phần thực của nó, ta thu được các kết quả <〈Ψ|aˆ3e−3iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|3 [ 1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ) ] (cos3ϕ − sin3ϕ), (3.24) <〈Ψ|aˆ+aˆ2e−iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|3 [ 1− e−|α|2(cosβ + sinβ) ] (cosϕ + sinϕ). (3.25) Thay (3.24), (3.25) vào (3.23) ta được 〈Ψ| : (Xˆ1)3 : |Ψ〉 = N 2|α|3 8 { [1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ)](cos3ϕ− sin3ϕ) + 3[1 − e−|α|2(cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ) } . (3.26) Thay (3.14), (3.15) (3.22), (3.26) vào (3.17) rồi thay vào (3.6) ta tìm được tham số nén Hong-Mandel bậc 4 như sau S4 = 2N2|α|4 3 [ (1 + e−|α| 2 cosβ)cos4ϕ − 4e−|α|2cosβsin2ϕ + 3(1 − e−|α|2cosβ)] − 4N 4|α|4 3 { [1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ)](cos3ϕ− sin3ϕ) + 3[1 − e−|α|2(cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ) } M + 4N6|α|4(1− e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ)M2 −N8|α|4M4 + 4N2|α|2(1− e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ)− 2N4|α|2M2, (3.27) trong đó M = [1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ). Hình 3.2 mô tả giá trị của hệ số nén Hong-Mandel bậc 4 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 ứng với các giá trị khác nhau của φ. Phân tích hình vẽ 3.2 ta nhận thấy 44 có những đường cong nằm dưới đường S4 = 0 tương ứng với vùng nén. Tại φ = 0 vùng nén chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 1.34 và 3.03 đến 4.6. Tại φ = pi/2 vùng nén chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 0.41 và 6.3 đến 9.4. Tại φ = 3pi/2 vùng nén chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 2.5 và 3.6 đến 6.3. Hình 3.2: Hệ số nén Hong-Mandel bậc 4 là hàm của |α|2 với các giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = pi/2 (đường gạch gạch), φ = 3pi/2 (đường nét liền). 3.1.3 Nén bậc 6 Ta có 〈Ψ| : (∆Xˆ1)6 : |Ψ〉 = 〈Ψ| : (Xˆ1)6 : |Ψ〉 − 6〈Ψ| : (Xˆ1)5 : |Ψ〉〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉+ + 15〈Ψ| : (Xˆ1)4 : |Ψ〉〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉2 − 20〈Ψ| : (Xˆ1)3 : |Ψ〉〈Ψ| : Xˆ1 : |Ψ〉3+ + 15〈Ψ| : (Xˆ1)2 : |Ψ〉〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉4 − 5〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉6. (3.28) 45 Bây giờ ta tìm 〈Ψ| : (Xˆ1)6 : |Ψ〉 〈Ψ| : (Xˆ1)6 : |Ψ〉 = 1 64 [ 〈Ψ|(aˆ6e−6iϕ + aˆ+6e6iϕ) + 15(aˆ+4aˆ2e2iϕ + aˆ+2aˆ4e−2iϕ) + 20aˆ+3aˆ3 + 6(aˆ+5aˆe4iϕ + aˆ+aˆ5e−4iϕ)|Ψ〉 ] = 1 64 [ 2<〈Ψ|a6e−6iϕ|Ψ〉+ 30<〈Ψ|a+2a4e−2iϕ|Ψ〉 + 20〈Ψ|aˆ+3aˆ3|Ψ〉+ 12<〈Ψ|aˆ+aˆ5e−4iϕ|Ψ〉 ] . (3.29) Tìm các giá trị kỳ vọng trong (3.29) và lấy phần thực của nó, ta thu được các kết quả <〈Ψ|aˆ6e−6iϕ|Ψ〉 = −N2|α|6e−|α|2sinβsin6ϕ, (3.30) <〈Ψ|aˆ+2aˆ4e−2iϕ|Ψ〉 = N2|α|6e−|α|2sinβsin2ϕ, (3.31) 〈Ψ|aˆ+3aˆ3|Ψ〉 = N2|α|6(1 + e−|α|2sinβ), (3.32) <〈Ψ|aˆ+aˆ5e−4iϕ|Ψ〉 = N2|α|6(1− e−|α|2sinβ)cos4ϕ. (3.33) Thay (3.30), (3.31), (3.32), (3.33) vào (3.29) ta được 〈Ψ| : (Xˆ1)6 : |Ψ〉 = N 2|α|6 64 [ 30e−|α| 2 sinβsin2ϕ− 2e−|α|2sinβsin6ϕ + 20(1 + e−|α| 2 sinβ) + 12(1− e−|α|2sinβ)cos4ϕ ] . (3.34) Bây giờ ta khai triển 〈Ψ| : (Xˆ1)5 : |Ψ〉 theo biểu thức 〈Ψ| : (Xˆ1)5 : |Ψ〉 = 1 32 [ 〈Ψ|(a5e−5iϕ + aˆ+5e5iϕ) + 10(a+3aˆ2eiϕ + aˆ+2aˆ3e−iϕ) + 5(a+4aˆe3iϕ + aˆ+aˆ4e−3iϕ)|Ψ〉 ] = 1 64 [ 2<〈Ψ|aˆ5e−5iϕ|Ψ〉+ 20<〈Ψ|aˆ+2aˆ3e−iϕ|Ψ〉 + 10<〈Ψ|aˆ+aˆ4e−3iϕ|Ψ〉 ] . (3.35) 46 Tìm các giá trị kỳ vọng trong (3.35) và lấy phần thực của nó, ta thu được các kết quả <〈Ψ|aˆ5e−5iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|5 [ 1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ) ] (cos5ϕ + sin5ϕ), (3.36) <〈Ψ|aˆ+aˆ4e−3iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|5 [ 1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ) ] (cos3ϕ − sin3ϕ), (3.37) <〈Ψ|aˆ+2aˆ3e−iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|5 [ 1− e−|α|2(cosβ − sinβ) ] (cosϕ + sinϕ). (3.38) Thay (3.36), (3.37), (3.38) vào (3.35) ta được 〈Ψ| : (X1)5 : |Ψ〉 = N 2|α|5 64 { [1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ) + 20[1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) + 10[1 − e−|α|2(cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ) } . (3.39) Thay (3.14), (3.15), (3.22), (3.26), (3.34), (3.39) vào (3.28) ta được 〈Ψ| : (∆Xˆ1) 6 : |Ψ〉, sau đó ta thay 〈Ψ| : (∆Xˆ1)2 : |Ψ〉, 〈Ψ| : (∆Xˆ1)4 : |Ψ〉, 〈Ψ| : (∆Xˆ1)6 : |Ψ〉 vào (3.7) ta được tham số nén bậc 6 như sau S6 = 2N2|α|6 15 [ 15e−|α| 2 sinβsin2ϕ− e−|α|2sinβsin6ϕ + 10(1 + e−|α| 2 sinβ) + 6(1 − e−|α|2sinβ)cos4ϕ] − 6N 4|α|6 5 { [1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ) + 20[1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) + 10[1 − e−|α|2(cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ) } M + N6|α|6[(1 + e−|α|2cosβ)cos4ϕ− 8e−|α|2cosβsin2ϕ + 6(1 − e−|α|2cosβ)]M2 47 − 4N 8|α|6 3 { [1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)](cos3ϕ− sin3ϕ) + 3[1 − e−|α|2(cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ } M3 + 2N10|α|6[1 − e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ]M4 − N12|α|6 3 M6 + N2|α|4[(1 + e−|α|2cosβ)cos4ϕ − 8e−|α|2cosβsin2ϕ + 6(1− e−|α|2cosβ)] − 4N4|α|4 { [1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) + 3[1 − e−|α|2(cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ } M + 12N6|α|4[1− e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ]M2 − 3N8|α|4M4 + 6N2|α|2[1− e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ]− 3N4|α|2M2. (3.40) Hình 3.3: Hệ số nén Hong-Mandel bậc 6 là hàm của |α|2 với các giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = pi/2 (đường gạch gạch), φ = 3pi/2 (đường nét liền). Hình 3.3 mô tả giá trị của hệ số nén Hong-Mandel bậc 6 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 ứng với các giá trị khác nhau của φ. Phân tích hình vẽ 3.3 ta nhận thấy có những đường cong nằm dưới đường S6 = 0 tương ứng với vùng nén. Tại φ = 0 vùng nén chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 48 đến 1.07 và 2.5 đến 4.7. Tại φ = pi/2 vùng nén chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 0.306 và 5.4 đến 6.31. Tại φ = 3pi/2 vùng nén chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 1.95 và 3.4 đến 5.45.. 3.1.4 Nén bậc 8 Ta có 〈Ψ| : (∆Xˆ1)8 : |Ψ〉 = 〈Ψ| : (Xˆ1)8 : |Ψ〉 − 8〈Ψ| : (Xˆ1)7 : |Ψ〉〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉 + 28〈Ψ| : (Xˆ1)6 : |Ψ〉〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉2 − 56〈Ψ| : (Xˆ1)5 : |Ψ〉〈Ψ| : Xˆ1 : |Ψ〉3 + 70〈Ψ| : (Xˆ1)4 : |Ψ〉〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉4 − 56〈Ψ| : (Xˆ1)3 : |Ψ〉〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉5 + 28〈Ψ| : (Xˆ1)2 : |Ψ〉〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉6 − 7〈Ψ| : (Xˆ1) : |Ψ〉8. (3.41) Bây giờ ta tìm 〈Ψ| : (Xˆ1)8 : |Ψ〉 〈Ψ| : (Xˆ1)8 : |Ψ〉 = 1 256 [ 〈Ψ|(aˆ8e−8iϕ + aˆ+8e8iϕ) + 28(aˆ+6a2e4iϕ + aˆ+2aˆ6e−4iϕ) + 56(a+3aˆ5e−2iϕ + aˆ+5aˆ3e2iϕ) + 8(aˆ+7aˆe6iϕ + aˆ+aˆ7e−6iϕ) + 70a+4a4|Ψ〉 ] = 1 256 [ 2<〈Ψ|aˆ8e−8iϕ|Ψ〉+ 16<〈Ψaˆ+aˆ7e−6iϕ|Ψ〉+ + 56<〈Ψ|aˆ+2aˆ6e−4iϕ|Ψ〉+ 112<〈Ψ|aˆ+3aˆ5e−2iϕ|Ψ〉 + 70〈Ψ|aˆ+4aˆ4|Ψ〉|Ψ〉 ] . (3.42) Tìm các giá trị kỳ vọng trong (3.42) và lấy phần thực của nó, ta thu được các kết quả <〈Ψ|aˆ8e−8iϕ|Ψ〉 = N2|α|8(1− e−|α|2cosβ)cos8ϕ, (3.43) 49 <〈Ψ|aˆ+aˆ7e−6iϕ|Ψ〉 = −N2|α|8e−|α|2cosβsin6ϕ, (3.44) <〈Ψ|aˆ+2aˆ6e−4iϕ|Ψ〉 = N2|α|8(1− e−|α|2cosβ)cos4ϕ, (3.45) <〈Ψ|aˆ+3aˆ5e−2iϕ|Ψ〉 = N2|α|8e−|α|2cosβsin2ϕ, (3.46) 〈Ψ|aˆ+4aˆ4|Ψ〉 = N2|α|8(1 + e−|α|2cosβ). (3.47) Thay (3.43 ), (3.44 ), (3.45 ), (3.46 ), (3.47) vào (3.42) ta được 〈Ψ| : (Xˆ1)8 : |Ψ〉 = N 2|α|8 256 [ 2(1 − e−|α|2cosβ)cos8ϕ− 16e−|α|2cosβsin6ϕ+ + 56(1 − e−|α|2cosβ)cos4ϕ + 112e−|α|2cosβsin2ϕ + 70(1 + e−|α| 2 cosβ) ] . (3.48) Bây giờ ta tìm 〈Ψ| : (Xˆ1)7 : |Ψ〉 〈Ψ| : (Xˆ1)7 : |Ψ〉 = 1 128 [ 〈Ψ|(aˆ7e−7iϕ + aˆ+7e7iϕ) + 7(aˆ+6aˆe5iϕ + aˆ+aˆ6e−5iϕ) + 21(aˆ+2aˆ5e−3iϕ + aˆ+5aˆ2e3iϕ) + 35(aˆ+4aˆ3eiϕ + aˆ+3aˆ4e−iϕ)|Ψ〉 ] = 1 128 [ 2<〈Ψ|aˆ7e−7iϕ|Ψ〉+ 14<〈Ψ|aˆ+aˆ6e−5iϕ|Ψ〉+ + 42<〈Ψ|aˆ+2aˆ5e−3iϕ|Ψ〉+ 70〈Ψ|aˆ+3aˆ4e−iϕ|Ψ〉|Ψ〉 ] . (3.49) Tìm các giá trị kỳ vọng trong (3.49) và lấy phần thực của nó, ta thu được các kết quả <〈Ψ|aˆ7e−7iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|7 [ 1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ) ] (cos7ϕ − sin7ϕ), (3.50) <〈Ψ|aˆ+aˆ6e−5iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|7 [ 1− e−|α|2(cosβ + sinβ) ] (cos5ϕ + sin5ϕ), (3.51) 50 <〈Ψ|aˆ+2aˆ5e−3iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|7 [ 1− e−|α|2(cosβ + sinβ) ] (cos3ϕ− sin3ϕ), (3.52) <〈Ψ|aˆ+3aˆ4e−iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|7 [ 1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ) ] (cosϕ + sinϕ). (3.53) Thay (3.50 ), (3.51 ), (3.52 ), (3.53 ) vào (3.49) ta được 〈Ψ| : (Xˆ1)7 : |Ψ〉 =N 2|α|7 128 { [1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ)](cos7ϕ− sin7ϕ) + 7[1 − e−|α|2(cosβ + sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ) + 21[1 − e−|α|2(cosβ + sinβ)](cos3ϕ− sin3ϕ) + 35[1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ) } . (3.54) Thay (3.14), (3.15), (3.22), (3.26), (3.34), (3.39), (3.48), (3.54) vào (3.41) ta được 〈Ψ| : (∆Xˆ1)8 : |Ψ〉 rồi sau đó thay 〈Ψ| : (∆Xˆ1)2 : |Ψ〉, 〈Ψ| : (∆Xˆ1) 4 : |Ψ〉, 〈Ψ| : (∆Xˆ1)6 : |Ψ〉, 〈Ψ| : (∆Xˆ1)8 : |Ψ〉 vào (3.8), ta được tham số nén Hong-Mandel bậc 8 như sau S8 = 2N2|α|8 105 [ (1− e−|α|2cosβ)cos8ϕ − 8e−|α|2cosβsin6ϕ + 28(1− e−|α|2cosβ)cos4ϕ + 56e−|α|2cosβsin2ϕ + 35(1 + e−|α|2cosβ)] − 8N 4|α|8 105 { [1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ)](cos7ϕ− sin7ϕ) + 7[1 − e−|α|2(cosβ + sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ) + 21[1 − e−|α|2(cosβ + sinβ)](cos3ϕ− sin3ϕ) + 35[1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ) } M + 8N6|α|8 15 [ 15e−|α| 2 sinβsin2ϕ− e−|α|2sinβsin6ϕ + 10(1 + e−|α| 2 sinβ) + 6(1− e−|α|2sinβ)cos4ϕ]M2 − 8N 8|α|8 15 { [1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ)+ 51 + 5|α|5[1 + e−|α|2(cosβ − sinβ)](cos3ϕ− sin3ϕ) + 10|α|5[1 − e−|α|2(cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ) } M3 + 4N10|α|8 3 [ (1 + e−|α| 2 cosβ)cos4ϕ − 4e−|α|2cosβsin2ϕ + 3(1− e−|α|2cosβ) ] M4 − 8N 12|α|8 15 { [1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)] × (cos3ϕ− sin3ϕ) + 3[1 − e−|α|2(cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ } M5 + 8N14|α|8 15 [ 1 − e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ]M6 − N16|α|8 15 M8 + 8N2|α|6 15 [ 15e−|α| 2 sinβsin2ϕ− e−|α|2sinβsin6ϕ + 10(1 + e−|α| 2 sinβ) + 6(1− e−|α|2sinβ)cos4ϕ] − 8N 4|α|6 5 { [1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)](cos5ϕ + sin5ϕ) + 5[1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)](cos3ϕ − sin3ϕ) + 10[1 − e−|α|2(cosβ − sinβ)](cosϕ + sinϕ) } M + 8N6|α|6[(1 + e−|α|2cosβ)cos4ϕ − 4e−|α|2cosβsin2ϕ + 3(1− e−|α|2cosβ)]M2 − 16N8|α|6 3 { [1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)] × (cos3ϕ− sin3ϕ) + 3[1 − e−|α|2(cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ } M3 + 8N10|α|6[1 − e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ]M4 − 4N 12|α|6 3 M6 + 4N2|α|4[(1 + e−|α|2cosβ)cos4ϕ − 4e−|α|2cosβsin2ϕ + 3(1 − e−|α|2cosβ)] − 8N4|α|4 { [1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ)](cos3ϕ− sin3ϕ) + 3[1 − e−|α|2(cosβ + sinβ)](cosϕ + sinϕ } M + 24N6|α|4[1− e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ]M2 − 6N8|α|4M4 + 8N2|α|2[1 − e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ]− 4N4|α|2M2. (3.55) 52 Hình 3.4 dưới đây mô tả giá trị của hệ số nén Hong-Mandel bậc 8 của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 ứng với các giá trị khác nhau của φ. Dựa vào hình vẽ 3.4 và kết Hình 3.4: Hệ số nén Hong-Mandel bậc 8 là hàm của |α|2 với các giá trị φ khác nhau: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = pi/2 (đường gạch gạch), φ = 3pi/2 (đường nét liền).. quả tính số, ta nhận thấy có những đường cong nằm dưới đường S8 = 0 tương ứng với các vùng nén. Tại φ = 0 vùng nén chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 0.9 và 2.48 đến 2.92 và 4.7 đến 7.85. Tại φ = pi/2 vùng nén chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 0.245 và 3.25 đến 6.3. Tại φ = 3pi/2 vùng nén chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 1.7 và 6.3 đến 9.4. 3.2 So sánh quá trình nén Hillery và quá trình nén Hong-Mandel của trạng chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha 53 Hình vẽ 3.5 mô tả hệ số nén Sk kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 và hệ số nén SN kiểu Hong-Mandel bậc 2,4,6,8 là hàm của |α|2 khi φ = 0, nó thể hiện rất rõ sự giống nhau và khác nhau giữa kiểu nén Hong-Mandel và kiểu nén Hillery ở bốn bậc nhỏ nhất. Căn cứ vào đồ thị và kết quả Hình 3.5: Hệ số nén Sk kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 (a) và hệ số nén SN kiểu Hong-Mandel bậc 2,4,6,8 (b) là hàm của |α|2 khi φ = 0. tính số ta nhận thấy, tính chất nén Hillery bậc một và tính chất nén Hong-Mandel bậc hai của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha hoàn toàn giống nhau. Đối với các bậc nén khác thì hai kiểu nén này hoàn toàn khác nhau. Điểm khác nhau thứ nhất giữa kiểu nén Hillery và kiểu nén Hong-Mandel của trạng thái này là mức độ nén theo kiểu Hong-Mandel càng lớn khi bậc nén càng lớn, còn mức độ nén theo kiểu Hillery càng nhỏ khi bậc nén càng lớn và không có nén kiểu Hillery bậc 4n. Điểm khác nhau thứ hai giữa kiểu nén Hillery và kiểu nén Hong- Mandel của trạng thái này là độ rộng vùng nén theo kiểu Hillery thay đổi không đáng kể khi bậc nén tăng, còn độ rộng vùng nén theo kiểu 54 Hong-Mandel giảm dần khi bậc nén tăng dần. Như vậy, chúng tôi đã nghiên cứu các tính chất của quá trình nén Hong-Mandel từ bậc hai đến bậc tám của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha. Chúng tôi đã chỉ ra rằng trong trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha thì mức độ nén theo kiểu Hong-Mandel càng lớn khi bậc nén càng lớn, còn mức độ nén theo kiểu Hillery càng nhỏ khi bậc nén càng lớn và không có nén kiểu Hillery bậc 4n. Kết quả tính số và vẽ đồ thị cho thấy độ rộng của vùng nén kiểu Hong-Mandel giảm dần còn độ rộng của vùng nén kiểu Hillery không thay đổi khi bậc nén tăng dần. Kiểu nén Hong-Mandel bậc 2 trùng với kiểu nén Hillery bậc một và trùng với kiểu nén thông thường. 55 KẾT LUẬN Trong Luận văn này, chúng tôi đã trình bày cách khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát, tính thống kê sub-Poisson bậc cao và tính chất phản kết chùm bậc cao tổng quát của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha. Chúng tôi đã khảo sát quá trình nén Hong- Mandel một cách chi tiết từ bậc hai đến bậc tám. Kết quả chính của đề tài Luận văn: "Khảo sát quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha" bằng phương pháp nghiên cứu lý thuyết thể hiện rõ nhất ở chương II và chương III, có thể được tóm tắt như sau: - Đưa ra được biểu thức hệ số nén Hillery bậc cao tổng quát trong trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha theo n, cụ thể ở chương II chúng tôi đã chỉ ra rằng mức độ nén Hillery càng nhỏ khi bậc nén càng lớn. Riêng trường hợp bậc nén là bội số của 4 thì trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha không có hiệu ứng nén kiểu Hillery. - Đưa ra biểu thức tổng quát của tham số P4n, P4n+1, P4n+2, P4n+3 và hàm tương quan g(k) trong trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha. Chúng tôi đã chỉ ra rằng tính chất phản kết chùm và tính thống kê sub-Poisson càng tăng khi bậc k càng tăng. - Đưa ra các biểu thức hệ số nén Hong-Mandel bậc 2, bậc 4, bậc 6, bậc 8 trong trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha và khảo sát sự biến thiên của các hệ số nén đó theo |α|2. Chúng tôi chỉ ra rằng trong trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha 56 mức độ nén Hong-Mandel càng lớn khi bậc nén càng lớn. Tính chất này là trái ngược với kiểu nén Hillery. Với những kết quả đạt được như trên, chúng tôi hy vọng các tính chất phi cổ điển của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha có thể được áp dụng vào việc nghiên cứu trong lĩnh vực thông tin lượng tử và máy tính lượng tử, một lĩnh vực rất mới được xem có tính cách mạng trong khoa học trong những năm gần đây. 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Võ Quốc Đạt (2007), Khảo sát các tính chất của trạng thái kết hợp chẵn lẻ phụ thuộc tham số biến dạng, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Trường ĐHSP Huế - ĐH Huế. 2. Nguyễn Thị Xuân Hoài (2006), Các tính chất phi cổ điển của trạng thái kết hợp chẵn và lẻ, Khóa luận tốt nghiệp, Trường ĐHSP Huế - ĐH Huế. 3. Nguyễn Thị Bích Ngân (2009), Một số tính chất phi cổ điển của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha, Luận văn Thạc sĩ Vật lý, Trường ĐHSP Huế - ĐH Huế. 4. Ngô Tứ Thành, Lê Minh Thanh (2007), Thông tin lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. Tiếng Anh 5. Daniel E., Vyas R. and Surendra S. (2001), "Higher-order sub- Poissonian photon statistics in terms of factorial moments", Optical Society of America, 19 (6), pp. 1471. 6. Dodonov V. V. (2002), "Nonclassical states in quantum optics: a squeezed review of the first 75 years", Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics, 4, pp. R1-R33. 7. Glauber R. J. (1963), "Coherent and Incoherent States of the Ra- diation Field", Physical Review B, 131 (6), pp. 2766-2788. 58 8. Glauber R. J. (1963), "Photon correlation", Physical Review Letters 10, pp. 84-86. 9. Hestrom C. W. (1980), "Nonclassical states in optical communi- cation to a remote recceiver", IEEE Trans. Inf. Theory, 26, pp. 378-382. 10. Hillery M. (1963), "Conservation laws and nonclassical states in nonlinear optical systems", Physical Review A, 31, pp. 338-342. 11. Hong C. K. and Mandel L. (1985), "Higher - order Squeezing of a quantum field", Physical Review Letters, 54(4), pp. 323-325. 12. Mandel L. (1986), "Nonclassical sates of the electromagnetic field", Physica Scripta T, 12, pp. 34-42. 13. Rang Z., Ahmad M. A. and Liu S. (2007), "Nonclassical state via superposition of two coherent states (pi/2 out of phase) and related entangled states", Optics Communications, 271, pp. 162-168. 14. Sudarshan E. C. G. (1963), "Equivalence of semiclassical anh quan- tum mechanical descriptions of statistical light beams", Physical Review Letters, 10, pp. 277-279. 15. Truong M. D. and Nguyen B. A.(2004), "Hillery-Type Squeezing in Fan States", Journal of the Korean Physical Society, 44, pp. 1421- 1426. 16. Truong M. D. and Noh J. (2008), "Higher-order properties of photon- added coherent states", Optics Communications, 281, pp.2842-2848. 59 PHỤ LỤC Chứng minh (2.4) Thay k = 4n vào (2.1) ta được S4n = |α|8n∑4n q=1 (4n)!(4n)(q) (4n−q)!q! 〈(â+)4n−qâ4n−q〉[1 + e−|α|2cos(φ + |α|2)]2 × { [2 + 2e−|α| 2 cos(φ+ |α|2)][1 + e−|α|2cos(φ + |α|2)] + 2[1 + e−|α| 2 cos(φ+ |α|2)]cos(8nϕ)[1 + e−|α|2cos(φ + |α|2)] − 4[1 + e−|α|2cos(φ+ |α|2)]2cos2(4nϕ) } = |α|8n∑4n q=1 (4n)!(4n)(q) (4n−q)!q! 〈(â+)4n−qâ4n−q〉[1 + e−|α|2cos(φ + |α|2)]2 × { 2[1 + e−|α| 2 cos(φ+ |α|2)]2 + 2[1 + e−|α|2cos(φ + |α|2)]2cos(8nϕ) − 4[1 + e−|α|2cos(φ+ |α|2)]2 [ 1 + cos(8nϕ) 2 ]} = |α|8n∑4n q=1 (4n)!(4n)(q) (4n−q)!q! 〈(â+)4n−qâ4n−q〉[1 + e−|α|2cos(φ + |α|2)]2 × { 2[1 + e−|α| 2 cos(φ+ |α|2)]2[2 + 2cos(8nϕ) − 2 − 2cos(8nϕ)] } = 0 (A.1) Chứng minh (2.5) Thay k = 4n + 1 vào (2.2) và đặt β = φ + |α|2 ta được S4n+1 = |α|8n+2∑4n+1 q=1 (4n+1)!(4n+1)(q) (4n+1−q)!q! 〈(â+)4n+1−qâ4n+1−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 × {[2 − 2ie−|α|2cosβ + 2ie−|α|2cosβ − 2e−|α|2sinβ][1 + e−|α|2cosβ] − 2e−|α|2sinβsin[2(4n + 1)ϕ][1 + e−|α|2cosβ] − [(1 + e−|α|2cosβ − e−|α|2sinβ)cos(4n + 1)ϕ + (1 + e−|α| 2 cosβ − e−|α|2sinβ)sin(4n+ 1)ϕ]2 P.1 × {2[1 − e−|α|2sinβ][1 + e−|α|2cosβ] − 2e−|α|2sinβsin[2(4n + 1)ϕ + 2e−|α| 2 sinβcosβsin[2(4n + 1)ϕ] − [1 + e−|α|2cosβ − e−|α|2sinβ]2 × [cos(4n + 1)ϕ + sin(4n+ 1)ϕ]2 = |α|8n+2∑4n+1 q=1 (4n+1)!(4n+1)(q) (4n+1−q)!q! 〈(â+)4n+1−qâ4n+1−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 × { 2 + 2e−|α| 2 cosβ − 2e−|α|2sinβ − 2e−|α|2cosβsinβ − 2e−|α|2sinβsin[(8n + 2)ϕ] + 2e−|α|2sinβcosβsin[(8n + 2)ϕ] − 1− 2e−|α|2cosβ + 2e−|α|2sinβ − e−2|α|2 + 2e−2|α|2sinβcosβ − sin[(8n− 2)ϕ] − 2e−|α|2cosβsin[(8n + 2)ϕ] + 2e−|α| 2 sinβsin[(8n + 2)ϕ] − e−2|α|2sin[(8n + 2)ϕ]+ + 2e−2|α| 2 sinβcosβsin[(8n + 2)ϕ] = |α|8n+2∑4n+1 q=1 (4n+1)!(4n+1)(q) (4n+1−q)!q! 〈(â+)4n+1−qâ4n+1−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 × { 1− e−2|α|2 − sin[2(4n + 1)ϕ] [ 1 + 2e−|α| 2 cosβ + e−2|α| 2 ]} (A.2) Theo [3], ta có 〈(â+)kâk〉 = N 2 2 |α|2k { 2 + e−|α| 2[ 2(−i)kcos(φ+ |α|2) − ((−i)k − ik)ei(φ+|α|2)]} (A.3) =⇒ 〈(â+)4n+1−qâ4n+1−q〉 = N 2 2 |α|2k { 2− e−|α|2[2(−i)−qcosβ + [ i−q − (−i)−q]eiβ]}, (A.4) trong đó N = (1 + e−|α| 2 cosβ)−1/2. (A.5) P.2 Thay (A.5) vào (A.4) rồi lấy kết quả đó thay vào (A.2) và đặt A1 = 4n+1∑ q=1 (4n + 1)!(4n + 1)(q) (4n + 1− q)!q! |α| 8n+2−2q × { 2 − ie−|α|2 [ 2(−i)−qcosβ − [(−i)−q + i−q]eiβ]} (A.6) S4n+1 = 2|α|8n+2 { 1− e−2|α|2 − sin[2(4n + 1)ϕ](1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2) } A3(1 + e−|α| 2cosβ) (A.7) Chứng minh (2.8) Thay k = 4n + 2 vào (2.1) ta được S4n+2 = |α|8n+4∑4n+2 q=1 (4n+2)!(4n+2)(q) (4n+2−q)!q! 〈(â+)4n+2−qâ4n+2−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 × { [2 − 2e−|α|2cosβ][1 + e−|α|2cosβ] + 2[1 + e−|α| 2 cosβ]cos2(4n + 2)ϕ[1 + e−|α| 2 cosβ] − 4e−2|α|2sin2βsin2(4n + 2)ϕ } = |α|8n+4∑4n+2 q=1 (4n+2)!(4n+2)(q) (4n+2−q)!q! 〈(â+)4n+2−qâ4n+2−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 × { [2 − 2e−|α|2cosβ][1 + e−|α|2cosβ] + 2[1 + e−|α| 2 cosβ]cos2(4n + 2)ϕ[1 + e−|α| 2 cosβ] − 2e−2|α|2sin2β [1− cos[2(4n + 2)ϕ]] } = |α|8n+4∑4n+2 q=1 (4n+2)!(4n+2)(q) (4n+2−q)!q! 〈(â+)4n+2−qâ4n+2−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 × { 2− 2e−|α|2cos2β + 2[1 + e−|α|2cosβ]2cos[2(4n + 2)ϕ] − 2e−2|α|2sin2β + 2e−2|α|2sin2βcos[2(4n + 2)ϕ] } = 2|α|8n+4∑4n+2 q=1 (4n+2)!(4n+2)(q) (4n+2−q)!q! 〈(â+)4n+2−qâ4n+2−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 P.3 × { 1− e−2|α|2cos2β − e−2|α|2sin2β + cos[2(4n + 2)ϕ] × [1 + e−2|α|2cos2β + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2sin2β]} = 2|α|8n+4∑4n+2 q=1 (4n+2)!(4n+2)(q) (4n+2−q)!q! 〈(â+)4n+2−qâ4n+2−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 × { 1− e−2|α|2 + cos[2(4n + 2)ϕ](1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2)} (A.8) Từ (A.3) ta có 〈(â+)4n+2−qâ4n+2−q〉 = N 2 2 |α|8n+4) { 2 + ie−|α| 2 [ 2(−i)−qcosβ − [(−i)−q + i−q]eiβ]}. (A.9) Thay (A.5) vào (A.9) rồi lấy kết quả đó thay vào (A.8) và đặt A2 = 4n−2∑ q=1 (4n + 2)!(4n + 2)(q) (4n + 2 − q)!q! |α| 8n+4−2q × { 2 − e−|α|2 [ 2(−i)−qcosβ + [i−q − (−i)−q]eiβ]}, (A.10) ta được S4n+2 = 4|α|8n+4 { 1− e−2|α|2 + cos[2(4n + 2)ϕ](1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2) } A1(1 + e−|α| 2cosβ) (A.11) Chứng minh (2.10) Thay k = 4n + 3 vào (2.2) và đặt β = φ + |α|2 ta được S4n+3 = |α|8n+6∑4n+3 q=1 (4n+3)!(4n+3)(q) (4n+3−q)!q! 〈(â+)4n+3−qâ4n+3−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 × { [2 + 2ie−|α| 2 cosβ − 2ie−|α|2cosβ + 2e−|α|2sinβ][1 + e−|α|2cosβ] − 2e−|α|2sinβsin[2(4n + 3)ϕ][1 + e−|α|2cosβ] P.4 − [(1 + e−|α|2cosβ + e−|α|2sinβ)cos(4n + 3)ϕ − (1 + e−|α|2cosβ + e−|α|2sinβ)sin(4n+ 3)ϕ]2 } = |α|8n+6∑4n+3 q=1 (4n+3)!(4n+3)(q) (4n+3−q)!q! 〈(â+)4n+3−qâ4n+3−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 × { 2(1 + e−|α| 2 sinβ)(1 + e−|α| 2 cosβ)− 2e−|α|2sinβsin[2(4n + 3)ϕ] + 2e−|α| 2 sinβcosβsin[2(4n + 3)ϕ] − [1 + e−|α|2cosβ + e−|α|2sinβ]2 × [cos(4n + 3)ϕ− sin(4n + 3)ϕ]2 } = |α|8n+6∑4n+3 q=1 (4n+3)!(4n+3)(q) (4n+3−q)!q! 〈(â+)4n+3−qâ4n+3−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 × { 2 + 2e−|α| 2 cosβ + 2e−|α| 2 sinβ + 2e−|α| 2 cosβsinβ − 2e−|α|2sinβsin[(8n+ 6)ϕ] − 2e−|α|2sinβcosβsin[(8n + 6)ϕ] − [1 + 2e−|α|2cosβ + 2e−|α|2sinβ + e−2|α|2 + 2e−2|α|2sinβcosβ] × [1 − sin[(8n + 6)ϕ]]} = |α|8n+6∑4n+3 q=1 (4n+3)!(4n+3)(q) (4n+3−q)!q! 〈(â+)4n+3−qâ4n+3−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 × { 2 + 2e−|α| 2 cosβ + 2e−|α| 2 sinβ + 2e−|α| 2 cosβsinβ − 2e−|α|2sinβsin[(8n+ 6)ϕ] − 2e−|α|2sinβcosβsin[(8n + 6)ϕ] − 1 − 2e−|α|2cosβ − 2e−|α|2sinβ − e−2|α|2 − 2e−2|α|2sinβcosβ + sin[(8n + 6)ϕ] + 2e−|α| 2 cosβsin[(8n + 6)ϕ] + 2e−|α| 2 sinβsin[(8n+ 6)ϕ] + e−2|α| 2 sin[(8n + 6)ϕ] + 2e−2|α| 2 sinβcosβsin[(8n + 6)ϕ] = |α|8n+6 { 1− e−2|α|2 + sin[(8n + 6)ϕ](1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2)}∑4n+3 q=1 (4n+3)!(4n+3)(q) (4n+3−q)!q! 〈(â+)4n+3−qâ4n+3−q〉[1 + e−|α|2cosβ]2 (A.12) P.5 Từ (A.3) ta có 〈(â+)4n+3−qâ4n+3−q〉 = N 2 2 |α|8n+6 { 2 + ie−|α| 2 [ 2(−i)−qcosβ − [(−i)−q + i−q]eiβ]}. (A.13) Thay (A.5) vào (A.13) rồi lấy kết quả đó thay vào (A.12) và đặt A3 = 4n+3∑ q=1 (4n + 3)!(4n + 3)(q) (4n + 3− q)!q! |α| 8n+6−2q × { 2 + ie−|α| 2 [ 2(−i)−qcosβ − [(−i)−q + i−q]eiβ]}, (A.14) ta được S4n+3 = |α|8n+6 { 1 − e−2|α|2 + sin[2(4n + 3)ϕ](1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2) } A2(1 + e−|α| 2cosβ) (A.15) Chứng minh (3.13), (3.20), (3.25), (3.33), (3.37), (3.44), (3.51) Ta có 〈Ψ|aˆ+aˆk|Ψ〉 = N 2 2 e−|α| 2 ∞∑ n,m=0 (α∗n + e−iφ(iα)∗n)(αm + eiφ(iα)m)√ n! √ m! 〈n|aˆ+aˆk|m〉 = N2 2 e−|α| 2 ∞∑ n,m=0 √ n √ m √ m− 1... √ m− (k − 1) × [α∗nαm + e−iφ(iα)∗nαm√ n! √ m! 〈n − 1|m− k〉 + eiφ(iα)mα∗n + (iα)∗n(iα)m√ n! √ m! 〈n− 1|m− k〉 ] = N2 2 e−|α| 2 ∞∑ n,m=0 √ n √ m √ m− 1... √ m− (k − 1) × [α∗nαm + e−iφ(iα)∗nαm√ n! √ m! δn−1,m−k + eiφ(iα)mα∗n + (iα)∗n(iα)m√ n! √ m! δn−1,m−k ] P.6 = N2 2 e−|α| 2 αk−1 ∞∑ n=0 [|α|2n + e−iφ(−i|α|2)n (n− 1)! + ik−1eiφ(i|α|2)n + ik−1|α|2n (n− 1)! ] = N2 2 e−|α| 2 αk−1 [ |α|2e|α|2 − i|α|2e−iφe−i|α|2 + ik|α|2eiφei|α|2 + |α|2ik−1e|α|2 ] = N2 2 αkα∗ { (1 + ik−1) + e−|α| 2[ ike−i(φ+|α| 2) − ie−i(φ+|α|2)]} (A.16) Nhân 2 vế (A.16) cho e−i(k−1)ϕ rồi lần lượt thay các giá trị k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 và đặt β = φ + |α|2 ta thu được các kết quả 〈Ψ|aˆ+aˆ|Ψ〉 = N 2 2 |α|2(1− e−|α|2sinβ) (A.17) 〈Ψ|aˆ+aˆ2|Ψ〉e−iϕ = N 2 2 |α|2α∗[(1 + i)− e−|α|2(eiβ + ie−iβ)]e−iϕ (A.18) 〈Ψ|aˆ+aˆ3|Ψ〉e−2iϕ = −iN2|α|3α∗e−|α|2cosβe−2iϕ (A.19) 〈Ψ|aˆ+aˆ4|Ψ〉e−3iϕ = N 2 2 |α|4α∗[(1 − i) + e−|α|2(eiβ − ie−iβ)]e−3iϕ (A.20) 〈Ψ|aˆ+aˆ5|Ψ〉e−4iϕ = N2|α|5α∗(1 − e−|α|2sinβ)e−4iϕ (A.21) 〈Ψ|aˆ+aˆ6|Ψ〉e−5iϕ = N 2 2 |α|6α∗[(1 + i)− e−|α|2(eiβ + ie−iβ)]e−5iϕ (A.22) 〈Ψ|aˆ+aˆ7|Ψ〉e−6iϕ = −iN2|α|7α∗e−|α|2cosβe−6iϕ (A.23) Lấy phần thực các biểu thức (A.18), (A.19), (A.20), (A.21), (A.22) và (A.23) ta được <〈Ψ|aˆ+aˆ2e−iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|3 [ 1− e−|α|2(cosβ + sinβ) ] (cosϕ + sinϕ). (A.24) <〈Ψ|aˆ+aˆ3e−2iϕ|Ψ〉 = −N2|α|4e−|α|2cosβsin2ϕ, <〈Ψ|aˆ+aˆ4e−3iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|5 [ 1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ) ] (cos3ϕ− sin3ϕ) (A.25) P.7 <〈Ψ|aˆ+aˆ5e−4iϕ|Ψ〉 = N2|α|6(1 − e−|α|2sinβ)cos4ϕ. (A.26) <〈Ψ|aˆ+aˆ6e−5iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|7 [ 1 − e−|α|2(cosβ + sinβ) ] (cos5ϕ + sin5ϕ) (A.27) <〈Ψ|aˆ+aˆ7e−6iϕ|Ψ〉 = −N2|α|8e−|α|2cosβsin6ϕ, (A.28) Chứng minh (3.31), (3.38), (3.45), (3.52) Ta có 〈Ψ|aˆ+2aˆk|Ψ〉 = N 2 2 e−|α| 2 ∞∑ n,m=0 (α∗n + e−iφ(iα)∗n)(αm + eiφ(iα)m)√ n! √ m! 〈n|aˆ+2aˆk|m〉 = N2 2 e−|α| 2 ∞∑ n,m=0 √ n √ n− 1√m√m− 1... √ m− (k − 1) × [α∗nαm + e−iφ(iα)∗nαm√ n! √ m! 〈n− 2|m − k〉 + eiφ(iα)mα∗n + (iα)∗n(iα)m√ n! √ m! 〈n− 2|m− k〉 ] = N2 2 e−|α| 2 ∞∑ n,m=0 √ n √ n− 1√m√m− 1... √ m− (k − 1) × [α∗nαm + e−iφ(iα)∗nαm√ n! √ m! δn−2,m−k + eiφ(iα)mα∗n + (iα)∗n(iα)m√ n! √ m! δn−2,m−k ] = N2 2 e−|α| 2 αk−2 ∞∑ n=0 [|α|2n + e−iφ(−i|α|2)n (n− 2)! + ik−2eiφ(i|α|2)n + ik−2|α|2n (n− 2)! ] = N2 2 e−|α| 2 αk−2 [ |α|4e|α|2 − |α|4e−iφe−i|α|2 − ik−2|α|4eiφei|α|2 + |α|4ik−2e|α|2 ] = N2 2 αkα∗2 { (1 + ik−2)− e−|α|2[ik−2ei(φ+|α|2) + e−i(φ+|α|2)]} (A.29) P.8 Nhân 2 vế (A.29 ) cho e−i(k−2)ϕ rồi lần lượt thay các giá trị k = 3, 4, 5, 6 và đặt β = φ + |α|2 ta thu được các kết quả 〈Ψ|aˆ+2aˆ3e−iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|3α∗2[(1 + i)− e−|α|2(ieiβ + e−iβ)]e−iϕ, (A.30) 〈Ψ|aˆ+2aˆ4|Ψ〉e−2iϕ = iN2|α|4α∗2e−|α|2sinβe−2iϕ (A.31) 〈Ψ|aˆ+2aˆ5e−3iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|5α∗2[(1− i)− e−|α|2(−ieiβ + e−iβ)]e−3iϕ, (A.32) 〈Ψ|aˆ+2aˆ6|Ψ〉e−4iϕ = N2|α|6α∗2e−|α|2cosβe−4iϕ (A.33) Lấy phần thực các biểu thức (A.30), (A.31), (A.32), (A.33) ta được <〈Ψ|aˆ+2aˆ4e−2iϕ|Ψ〉 = N2|α|6e−|α|2sinβsin2ϕ, (A.34) <〈Ψ|aˆ+2aˆ3e−iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|5 [ 1− e−|α|2(cosβ − sinβ) ] (cosϕ + sinϕ) (A.35) <〈Ψ|aˆ+2aˆ5e−3iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|7 [ 1− e−|α|2(cosβ + sinβ) ] (cos3ϕ − sin3ϕ) (A.36) <〈Ψ|aˆ+2aˆ6e−4iϕ|Ψ〉 = N2|α|8(1 − e−|α|2cosβ)cos4ϕ, (A.37) Chứng minh (3.46), (3.53) Ta có 〈Ψ|aˆ+3aˆk|Ψ〉 = N 2 2 e−|α| 2 ∞∑ n,m=0 (α∗n + e−iφ(iα)∗n)(αm + eiφ(iα)m)√ n! √ m! 〈n|aˆ+3aˆk|m〉 = N2 2 e−|α| 2 ∞∑ n,m=0 √ n √ n− 1√n− 2√m√m− 1... √ m− (k − 1) × [α∗nαm + e−iφ(iα)∗nαm√ n! √ m! 〈n− 3|m − k〉 + eiφ(iα)mα∗n + (iα)∗n(iα)m√ n! √ m! 〈n− 3|m− k〉 ] = N2 2 e−|α| 2 ∞∑ n,m=0 √ n √ n− 1√n− 2√m√m− 1... √ m− (k − 1) P.9 × [α∗nαm + e−iφ(iα)∗nαm√ n! √ m! δn−3,m−k + eiφ(iα)mα∗n + (iα)∗n(iα)m√ n! √ m! δn−3,m−k ] = N2 2 e−|α| 2 αk−3 ∞∑ n=0 [ |α|2n + e−iφ(−i|α|2)n (n− 3)! + ik−3eiφ(i|α|2)n + ik−3|α|2n (n− 3)! ] = N2 2 e−|α| 2 αk−3 [ |α|6e|α|2 + i|α|6e−iφe−i|α|2 − ik−2|α|6eiφei|α|2 + |α|6ik−3e|α|2 ] = N2 2 αkα∗3 { (1 + ik−3)− e−|α|2[ik−2ei(φ+|α|2) − ie−i(φ+|α|2)]} (A.38) Nhân 2 vế (A.38 ) cho e−i(k−3)ϕ rồi lần lượt thay các giá trị k = 4, k = 5 và đặt β = φ + |α|2 ta thu được các kết quả 〈Ψ|aˆ+3aˆ4|Ψ〉e−iϕ = N 2 2 α2|α|6[(1 + i) + e−|α|2(eiβ + ie−iβ)]e−iϕ (A.39) 〈Ψ|aˆ+3aˆ5|Ψ〉e−2iϕ = iN2α2|α|6e−|α|2cosβe−2iϕ (A.40) Lấy phần thực các biểu thức (A.39), (A.40) ta được <〈Ψ|aˆ+3aˆ4e−iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|7 [ 1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ) ] (cosϕ + sinϕ) (A.41) <〈Ψ|aˆ+3aˆ5|Ψ〉e−2iϕ = N2|α|6e−|α|2cosβsin2ϕ (A.42) Chứng minh (3.21), (3.32), (3.47) Lần lượt thay k = 2, k = 3, k = 4 vào (A.3) ta được 〈Ψ|aˆ+2aˆ2|Ψ〉 = N2|α|4(1 − e−|α|2cosβ), (A.43) 〈Ψ|aˆ+3aˆ3|Ψ〉 = N2|α|6(1 + e−|α|2sinβ), (A.44) 〈Ψ|aˆ+4aˆ4|Ψ〉 = N2|α|8(1 + e−|α|2cosβ). (A.45) P.10 Chứng minh (3.12), (3.15), (3.19), (3.24), (3.30), (3.36), (3.43), (3.50) Theo [3], ta có <[e−ikϕ〈âk〉] khi k chẵn là <[e−ikϕ〈âk〉] = N 2 2 |α|2k[(1 + ik)(1 + e−|α|2cos(φ+ |α|2))cos(kϕ) − (1− ik)e−|α|2sin(φ+ |α|2)sin(kϕ)]. (A.46) Lần lượt thay các giá trị k = 2, 4, 6, 8 vào (A.46) và đặt β = φ + |α|2 ta được <〈Ψ|aˆ2e−2iϕ|Ψ〉 = −N2|α|2e−|α|2sinβsin2ϕ, (A.47) <〈Ψ|aˆ4e−4iϕ|Ψ〉 = N2|α|4(1 + e−|α|2cosβ)cos4ϕ, (A.48) <〈Ψ|aˆ6e−6iϕ|Ψ〉 = −N2|α|6e−|α|2sinβsin6ϕ, (A.49) <〈Ψ|aˆ8e−8iϕ|Ψ〉 = N2|α|8(1− e−|α|2cosβ)cos8ϕ, (A.50) Theo [3], ta có <[e−ikϕ〈âk〉] khi k lẽ là <[e−ikϕ〈âk〉] = N 2 2 |α|2k[(1 + e−|α|2cos(φ+ |α|2) + i(k+1)e−|α| 2 sin(φ + |α|2))cos(kϕ) − (i(k+1)(1 + e−|α|2cos(φ + |α|2)) + e−|α| 2 sin(φ+ |α|2))sin(kϕ)]. (A.51) Lần lượt thay các giá trị k = 1, 3, 5, 7 vào (A.51) và đặt β = φ + |α|2 ta được <〈Ψ|aˆe−iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α| [ 1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ) ] (cosϕ+sinϕ). (A.52) <〈Ψ|aˆ3e−3iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|3 [ 1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ) ] (cos3ϕ − sin3ϕ), (A.53) <〈Ψ|aˆ5e−5iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|5 [ 1 + e−|α| 2 (cosβ − sinβ) ] (cos5ϕ + sin5ϕ) (A.54) <〈Ψ|aˆ7e−7iϕ|Ψ〉 = N 2 2 |α|7 [ 1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ) ] (cos7ϕ− sin7ϕ) (A.55) P.11