Luận văn Khảo sát sự hội tụ của phương pháp toán tử FK cho bài toán exciton 2D trong từ trường đều theo tham số tự do

43 0.425152609890 0.9 -0.112369233125 2.550632989012 3.067077810558 Như vậy, phương pháp toán tử cho phép ta thu được nghiệm số chính xác cho bài toán exciton 2D trong từ trường với cường độ bất kỳ, không những cho trạng thái cơ bản mà còn cho các trạng thái kích thích. Cần chú ý rằng khi tính các mức năng lượng chúng ta không nhất thiết phải chọn ω như ở điều kiện (1.12) hoặc (2.14) mà đơn giản có thể chọn bằng phương pháp thử sao cho quá trình tính toán có tốc độ hội tụ cao nhất. 36 Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO ĐỐI VỚI SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ Điểm đặc biệt trong phương pháp toán tử là có đưa vào một tham số tự do ω thông các toán tử sinh, hủy. Chúng ta gọi là tham số tự do vì thực chất Hamiltonian của hệ không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này. Tuy nhiên, ω lại có mặt cả trong thành phần chính 0Hˆ và phần nhiễu loạn Vˆ . Vì vậy, bằng cách thay đổi ω ta có thể điều chỉnh 0Hˆ và Vˆ sao cho luôn thỏa điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn 0ˆ ˆV H trong toàn miền thay đổi của từ trường. Do đó, việc chọn lựa ω có thể hiệu chỉnh được tốc độ hội tụ của bài toán về nghiệm số chính xác. Trong chương này ta sẽ phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối ưu hóa quá trình tính toán. Đầu tiên, chúng ta tìm hiểu về vai trò tham số ω đối với phương pháp toán tử. Tiếp đến, chúng tôi sẽ giới thiệu sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ theo tham số ω với bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn khi áp dụng phương pháp toán tử FK [6]. Cuối cùng, chúng ta đi vào nội dung chính của luận văn là khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài toán exciton 2D trong từ trường đều. Trong phần này, chúng tôi tiến hành khảo sát lần lượt tốc độ hội tụ của bài toán ở trạng thái cơ bản và một số trạng thái kích thích với trường hợp độ lớn cường độ từ trường nhỏ, trung bình và lớn, sau đó tiến hành thử nghiệm một số điều kiện chọn ω và đưa ra kết luận. 3.1 Vai trò tham số tự do ω đối với sự hội tụ của phương pháp toán tử Một trong các vấn đề quan trọng khi áp dụng phương pháp toán tử là vai trò của tham số tự do ω . Tham số ω được gọi là tham số tự do vì Hamiltonian của hệ không phụ thuộc vào sự chọn lựa tham số này. Như đã giới thiệu ở chương 1, việc đưa vào một tham số tự do ω có vai trò đặc biệt quan trọng vì độ chính xác của nghiệm gần đúng phụ thuộc vào việc chọn lựa giá trị của tham số này. Ngoài ra, 37 tham số tự do ω còn có vai trò hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của chuỗi bổ chính cho năng lượng và hàm sóng. Tùy vào giá trị ω mà tốc độ hội tụ của bài toán là khác nhau và khi chọn ω tối ưu thì bài toán hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác. Việc tìm được điều kiện xác định giá trị ω sao cho bài toán hội tụ nhanh về nghiệm chính xác rất có ý nghĩa vì cho phép ta tiết kiệm được nhiều tài nguyên tính toán. Vậy làm thế nào để chọn lựa được giá trị ω tối ưu? Trong các bài toán cụ thể, tham số ω thường được chọn bằng điều kiện nghiệm chính xác không phụ thuộc của vào tham số tự do, tuy nhiên, chúng ta chỉ có thể xác định thông qua điều kiện gần đúng như ở phương trình (1.12). Trong các công trình [7, 11, 12] đã sử dụng cách chọn ω theo điều kiện này, nhưng quá trình áp dụng thực tế đã chỉ ra rằng ở những trạng thái kích thích thì cách chọn lựa này tỏ ra hạn thế. Do đó, trong các công trình [13, 14] đưa ra phương pháp chọn lựa tham số ω một cách ngẫu nhiên từ một số khoảng giá trị của nó và thử nghiệm sao cho kết quả bài toán có được tốc độ hội tụ cao về nghiệm chính xác. Tuy nhiên với các bài toán hệ nguyên tử, khi xét các trạng thái kích thích miền chọn lựa tham số rất hẹp, khó sử dụng phương pháp chọn lựa ngẫu nhiên. Tiếp đó, công trình [9] đưa ra cách chọn lựa tối ưu tham số sau mỗi vòng lặp khi tính bổ chính bậc cao vào năng lượng, mặc dù cho tốc độ hội tụ cao hơn nhưng với cách chọn này khối lượng tính toán tăng lên đáng kể và gặp khó khăn khi phát triển cho các hệ nhiều bậc tự do. Những phương pháp chọn lựa nêu trên tuy còn hạn chế nhưng vẫn được áp dụng cho đến bây giờ. Qua những phân tích trên ta nhận thấy vai trò đặc biệt quan trọng của tham số tự do ω trong phương pháp toán tử; tuy nhiên, cách chọn tham số ω vẫn chưa được nghiên cứu tương xứng. Chính vì vậy, việc tìm quy tắc xác định miền tham số tự do sao cho khi áp dụng phương pháp FK chúng ta có được chuỗi hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác bằng số là rất có ý nghĩa và cần thiết, phải được tiến hành khảo sát, nghiên cứu thêm. 38 3.2 Sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ vào tham số tự do với bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn. Công trình [6] đã khảo sát để đưa ra điều kiện phổ quát để chọn lựa ω thông qua bài toán cụ thể là bài toán dao động tử điều hòa. Tham số tự do ω có thể được chọn từ điều kiện (1.12), tuy nhiên, trong công trình này, ω được chọn thử nghiệm khảo sát sao cho nghiệm thu được theo từng vòng lặp 0 1( ), ( ),..., ( ),...sn n nE E Eω ω ω (3.1) hội tụ nhanh về nghiệm chính xác TE . Với các giá trị ω khác nhau thì chuỗi (3.1) sẽ khác nhau nhưng hội tụ về cùng một giá trị không phụ thuộc vào giá trị tham số đã chọn. Kết quả thử nghiệm cho thấy tồn tại một miền giá trị tối ưu cho tốc độ hội tụ nhanh nhất, điều này được minh họa rõ hơn qua hình vẽ 3.1 biểu diễn tốc độ hội tụ của bài toán. 0.5 1.0 1.5 8 10 12 14 n=4 n=0 Free parameter ω Or de r o f c on ve rg en ce (s ) λ = 0.01 Hình 3.1: Tốc độ hội tụ của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho một số trạng thái [6]. 39 Hình 3.1 biểu diễn kết quả việc khảo sát thực nghiệm tốc độ hội tụ của bài toán dao động tử phi điều hòa khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản 0n = và trạng thái kích thích 4n = . Trên đồ thị này, trục hoành là giá trị ω trong khi trục tung chỉ bậc vòng lặp (s), kết quả năng lượng thu được chính xác đến 15 chữ số sau dấu phẩy [6]. Từ đồ thị, rõ ràng ta nhận thấy rằng có một vùng giá trị của tham số tự do sẽ cho tốc độ hội tụ cao về nghiệm số chính xác. Điều này tái khẳng định kết luận của công trình [9] là tồn tại miền giá trị tham số sao cho tốc độ hội tụ của dãy (3.1) rất cao. Vấn đề đặt ra là có điều kiện nào giúp chọn lựa ω trong miền tham số tự do tối ưu một cách dễ dàng. Xuất phát từ điều kiện lý thuyết nhiễu loạn 0 1 OM OMV H  , công trình [6] đã đưa ra điều kiện phổ quát để chọn tham số tự do tối ưu bằng cách định nghĩa hàm số: 1/2 ( ) 0 ( ) . OM OM s OM V V H ψ ψ β ω ψ ψ = (3.2) Hàm (3.2) được vẽ cho các bậc (s) khác nhau tăng dần từ 0, từ đó ta nhận xét: hàm ( )β ω luôn có miền giá trị cực tiểu theo biến ω với ( ) 1β ω << , và đến một bậc gần đúng maxs max(s 4)≤ nào đó thì miền cực trị của hàm ( )β ω thay đổi không đáng kể nên ta có thể không kí hiệu bậc gần đúng (s) trên hàm số ( )β ω . 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 5 10 15 20 0.5 1.0 1.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 (a) Fu nc tio n β( ω) n=0, λ = 0.01 Or de r o f c on ve rg en ce s Free parameter ω 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 8 10 12 14 16 0.1 0.2 0.3 0.4 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 (b) n=4, λ = 0.01 Free parameter ω 40 Hình 3.2: So sánh vùng thử nghiệm tối ưu và vùng giá trị nhỏ của hàm ( )β ω cho trạng thái cơ bản n=0 và trạng thái kích thích n=4 [6]. Kết quả thu được như trên hình cho thấy miền tham số ω tối ưu phù hợp với miền cực tiểu của hàm ( )β ω theo điều kiện ( ) 1β ω << . Kết quả này rất có ý nghĩa thực tiễn vì đã đưa ra một điều kiện phổ quát để chọn lựa tham số tự do tối ưu thay vì mò mẫm thử nghiệm. Với kết quả khả quan thu được qua bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn này, trong phần tiếp theo, chúng tôi tiến hành khảo sát tốc độ hội tụ của phương pháp toán tử FK với bài toán exciton 2D trong từ trường để có thể đưa ra nguyên tắc cho việc chọn lựa vùng tham số tối ưu để việc chọn lựa tham số ngẫu nhiên trở nên hiệu quả hơn. 3.3 Khảo sát bài toán exciton 2D trong từ trường đều 3.3.1 Khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán theo các giá trị ω khác nhau Chúng tôi tiến hành khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán exciton 2D trong từ trường đều theo các giá trị ω khác nhau. Ta sử dụng điều kiện (1.12) để có giá trị 0ω đầu tiên, sau đó lần lượt thử nghiệm các giá trị quanh giá trị 0ω để tìm ra giá trị tham số tối ưu sao cho nghiệm thu được theo từng vòng lặp hội tụ nhanh nhất về nghiệm chính xác. Với các giá trị ω khác nhau thì chuỗi (3.1) sẽ khác nhau nhưng hội tụ về cùng một giá trị không phụ thuộc vào giá trị tham số đã chọn. Chúng tôi khảo sát các trạng thái: −1s, 2 p và −5 f với ba trường hợp điển hình: ' 0.05γ = (từ trường nhỏ), ' 0.5γ = (từ trường trung bình) và ' 0.95γ = (từ trường lớn). Kết quả khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán theo tham số tự do được minh họa bằng bảng 3.1 và hình vẽ 3.3 – 3.5. Ta thấy rằng với giá trị tham số tự do ω khác nhau sẽ cho tốc độ hội tụ khác nhau. Bảng 3.1 đưa ra các số liệu minh họa cho cho trạng thái −5 f với 41 ' 0.5γ = , ta có kết quả tương tự với các trạng thái kích thích khác cũng như trạng thái cơ bản với các giá trị 'γ khác nhau. Tiến hành khảo sát với các giá trị ω lần lượt quanh giá trị 0ω cho thấy tồn tại một miền giá trị tối ưu cho tốc độ hội tụ nhanh về nghiệm chính xác như trong công trình [6, 9] đã khẳng định. Hình 3.3 biểu diễn tốc độ hội tụ phụ thuộc vào tham số tự do của trạng thái cơ bản 1s ứng với trường hợp ' 0.05γ = (từ trường nhỏ), ' 0.5γ = (từ trường trung bình) và ' 0.95γ = (từ trường lớn). Trục hoành là giá trị ω còn trục tung chỉ bậc vòng lặp (s) khi năng lượng thu được chính xác đến 2 chữ số sau dấu phẩy. Hình 3.4, 3.5 biểu diễn sự phụ thuộc tốc độ hội tụ vào tham số tự do cho trạng thái kích thích −2 p và −5 f khi năng lượng thu được chính xác đến 4 chữ số sau dấu phẩy. Giá trị (smin) càng nhỏ, tốc độ hội tụ càng cao. Điều đặc biệt là với các mức năng lượng kích thích thì mức kích thích càng cao thì tốc độ hội tụ càng nhanh. Ví dụ với trạng thái kích thích −5 f để thu được nghiệm năng lượng chính xác đến 4 chữ số sau dấu phẩy ta chỉ cần ít nhất 8 vòng lặp ( =mins 8 ) với trường hợp ' 0.5γ = , còn ở trạng thái cơ bản 1s cũng với ' 0.5γ = để thu được nghiệm số chính xác chỉ 2 chữ số sau dấu phẩy phải cần ít 103 vòng lặp ( =mins 103 ). 42 Bảng 3.1: Năng lượng ( )sE cho trạng thái −5 f và ' 0.5=γ thu được bằng phương pháp toán tử FK theo sơ đồ vòng lặp ứng với các giá trị khác nhau của tham số tự do. Cột đầu tiên ứng với ω lấy bất kì và năng lượng hội tụ khi =s 20 , cột thứ hai ω chọn theo điều kiện (1.12) cho hội tụ ở =s 9 , cột 3 với ω chọn tối ưu cho hội tụ ở =s 8 . s = 0.8ω ( =s 20 ) = 0.532576ω ( =s 9 ) = 0.6ω ( =s 8 ) 0 1.3730476006 1.1270232481 1.147772421 1 1.1515127060 1.1278589138 1.129121197 2 1.2222631057 1.1258458224 1.125735761 3 1.1187514788 1.1252688894 1.125086127 4 1.1643996306 1.1250225462 1.124949470 5 1.1191182493 1.1249062441 1.124845380 6 1.1411466019 1.1248457523 1.124803539 7 1.1214933801 1.1248116318 1.124784417 8 1.1316944086 1.1247912045 1.124773068 9 1.1230805625 1.1247783803 1.124765634 10 1.1277094450 1.1247700027 1.124760838 11 1.1239335619 1.1247643435 1.124757610 12 1.1260195547 1.1247604099 1.124755352 13 1.1243599804 1.1247576072 1.124753733 14 1.1252962196 1.1247555669 1.124752551 15 1.1245659927 1.1247540531 1.124751670 16 1.1249853086 1.1247529109 1.124751004 17 1.1246636027 1.1247520360 1.124750491 18 1.1248511206 1.1247513567 1.124750093 19 1.1247092674 1.1247508228 1.124749778 20 1.1247930327 1.1247503985 1.124749528 43 Bảng 3.2: Bậc hội tụ nhỏ nhất và miền tham số hội tụ tối ưu cho các trạng thái −1s, 2 p và −5 f ứng với các giá trị 'γ là 0.05, 0.5 và 0.95. (Chọn miền tham số hội tụ tối ưu thỏa điều kiện ≤s 150 ) 'γ 1s −2 p −5 f Smin Miền hội tụ Smin Miền hội tụ Smin Miền hội tụ 0.05 66 3-12 65 0.15-0.5 34 0.03-0.08 0.5 103 5-13 29 0.2-3 8 0.4-0.9 0.95 39 10-80 20 5-45 7 7-15 Với độ lớn từ trường khác nhau thì tốc độ hội tụ của bài toán cũng khác nhau. Bảng 3.2 đưa ra các số liệu minh họa về bậc hội tụ nhỏ nhất và miền tham số hội tụ tối ưu cho các trạng thái −1s, 2 p và −5 f ứng với các giá trị 'γ là 0.05, 0.5 và 0.95. Kết quả thu được cho thấy ứng với cường độ từ trường lớn (ứng với 'γ lớn) thì tốc độ hội tụ bài toán nhanh hơn và miền hội tụ cũng rộng hơn rất nhiều so với trường hợp từ trường nhỏ và từ trường trung bình, ví dụ ở trường hợp cơ bản, năng lượng chính xác đến 2 chữ số sau dấu phẩy ứng với ' 0.95γ = thì =mins 39 , ' 0.5γ = thì =mins 103 và với ' 0.05γ = thì =mins 66 . Nếu chọn 150s ≤ là ω nằm ở miền hội tụ tối ưu thì ở trạng thái cơ bản, ' 0.95γ = miền hội tụ tối ưu của ω là từ 10 đến 80, rộng hơn nhiều so với trường hợp ' 0.5γ = miền hội tụ tối ưu của ω là từ 5 đến 13 và ' 0.05γ = là 3 đến 12; những trạng thái kích thích khác cũng thu được kết quả tương tự. Điều này ta có thể dự đoán là vì khi sử dụng phép biến đổi Laplace thì tương tác Coulomb được tách nằm chủ yếu ở phần nhiễu loạn ˆ OMV , phần chính 0ˆ OMH chứa chủ yếu là phần từ trường, chính vì vậy dẫn đến việc tìm nghiệm số chính xác của bài toán khi sử dụng phép biến đổi Laplace với từ trường lớn hiệu quả hơn so với từ trường nhỏ và trung bình. 44 5 10 15 20 50 100 150 200 250 300 4 6 8 10 12 14 16 18 20 100 150 200 250 300 350 20 40 60 80 1000 50 100 150 200 250 ω0ω0 Tham soá töï do ω Ba äc h oäi tu ï s Tham soá töï do ω (a) γ'=0.05 ω0 (b) γ'=0.5 Ba äc h oäi tu ï s (c) γ'=0.95 Tham soá töï do ω Ba äc h oäi tu ï s Hình 3.3: Tốc độ hội tụ của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho trạng thái cơ bản = =1s( k 0,m 0 ) ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = . 45 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 50 100 150 200 250 300 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00 50 100 150 200 250 300 10 20 30 40 50 60 0 50 100 150 200 250 300 (a) γ'=0.05 Ba äc h oäi tu ï s Tham soá töï do ω ω0 (b) γ'=0.5 ω0 Tham soá töï do ω Ba äc h oäi tu ï s (c) γ'=0.95 ω0 Tham soá töï do ω Ba äc h oäi tu ï s Hình 3.4: Tốc độ hội tụ của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho trạng thái − = = −2 p ( k 0,m 1) ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = . 46 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 30 40 50 60 70 80 90 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90 10 20 30 40 50 60 70 80 90 8 10 12 140 10 20 30 40 50 60 70 80 (a) γ'=0.05 Ba äc h oäi tu ï s Tham soá töï do ω ω0 (b) γ'=0.5 ω0 Tham soá töï do ω Ba äc h oäi tu ï s (c) γ'=0.95 ω0Tham soá töï do ω Ba äc h oäi tu ï s Hình 3.5: Tốc độ hội tụ của bài toán khi giải bằng phương pháp toán tử FK cho trạng thái − = = −5 f ( k 1,m 3 ) ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = . 47 50 100 150 200 250 300 5 10 15 20 -2 -1 0 1 2 Ba äc h oäi tu ï s (a) γ'=0.05 s ω0 Na êng lö ôïn g E (s) (ω ) Tham soá töï do ω E(0) E(3) E(1) E(4) E(2) E(5) 100 150 200 250 300 350 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 -1 0 1 2 (b) γ'=0.5 S Ba äc h oäi tu ï s ω0 E(0) E(3) E(1) E(4) E(2) E(5) Tham soá töï do ω Na êng lö ôïn g E (s) (ω ) 0 50 100 150 200 250 20 40 60 80 100 0 5 10 15 20 25 30 35 Ba äc h oäi tu ï s (c) γ'=0.95 s ω0 E(0) E(3) E(1) E(4) E(2) E(5) Tham soá töï do ω Na êng lö ôïn g E (s) (ω ) Hình 3.6: So sánh kết quả khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán và 5 bậc vòng lặp đầu tiên của năng lượng E(s) cho trạng thái cơ bản ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = . 48 50 100 150 200 250 300 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.2 -0.1 0.0 (a) γ'=0.05 s Ba äc h oäi tu ï s ω0 Tham soá töï do ω Na êng lö ôïn g E (s) (ω ) E(0) E(3) E(1) E(4) E(2) E(5) 0 50 100 150 200 250 300 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2. (b) γ'=0.5 s Ba äc h oäi tu ï s ω0 Tham soá töï do ω Na êng lö ôïn g E (s) (ω ) E(0) E(3) E(1) E(4) E(2) E(5) 0 75 150 225 300 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 (c) γ'=0.95 s Ba äc h oäi tu ï s ω0 E(0) E(3) E(1) E(4) E(2) E(5) Tham soá töï do ω Na êng lö ôïn g E (s) (ω ) Hình 3.7: So sánh kết quả khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán và 5 bậc vòng lặp đầu tiên của năng lượng E(s) cho trạng thái 2 −p ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = . 49 30 40 50 60 70 80 90 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 -0.02 0.00 0.02 0.04 (a) γ'=0.05 s Ba äc h oäi tu ï s ω0 Na êng lö ôïn g E (s) (ω ) Tham soá töï do ω E(0) E(3) E(1) E(4) E(2) E(5) 0 20 40 60 80 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 (b) γ'=0.5 s Ba äc h oäi tuï s ω0 Tham soá töï do ω Na êng lö ôïn g E (s) (ω ) E(0) E(3) E(1) E(4) E(2) E(5) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 8 10 12 14 26 27 28 29 30 31 32 33 (c) γ'=0.95 s Ba äc h oäi tu ï s ω0 Tham soá töï do ω Na êng lö ôïn g E (s) (ω ) E(0) E(3) E(1) E(4) E(2) E(5) Hình 3.8 : So sánh kết quả khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán và 5 bậc vòng lặp đầu tiên của năng lượng E(s) cho trạng thái 5 −f ứng với (a) ' 0.05=γ , (b) ' 0.5γ = và (c) ' 0.95γ = . 50 3.3.2 Điều kiện để chọn tham số tự do tối ưu Cách chọn ω dựa vào điều kiện nghiệm chính xác không phụ thuộc vào tham số tự do như ở phương trình (1.12) đã được áp dụng ngay từ đầu khi phương pháp toán tử FK được xây dựng và hiện nay vẫn phổ biến. Thông qua việc khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán, chúng tôi cũng đồng thời thử nghiệm điều kiện trên để xem xét tính hiệu quả của nó. Giá trị 0ω xác định từ điều kiện (1.12) được thể hiện trên các hình (3.3) - (3.5) ứng với bậc hội tụ tương ứng. Kết quả cho thấy ngay ở trạng thái cơ bản thì điều kiện (1.12) đã áp dụng không tốt, 0ω không phải là giá trị tham số tối ưu của bài toán. Kết quả thu được tương tự ở những trạng thái kích thích khác, chỉ riêng trường hợp trạng thái 5 f − với ' 0.95γ = thì 0ω chính là giá trị tham số tối ưu của bài toán. Chúng tôi cũng tiến hành so sánh năng lượng gần đúng bậc zero với năng lượng chính xác của bài toán cho trạng thái cơ bản và một vài trạng thái kích thích, kết quả được minh họa ở hình vẽ 3.9. Ta nhận xét rằng với giá trị tham số tự do 0ω xác định từ điều kiện (1.12) thì năng lượng gần đúng bậc zero E(0) có giá trị gần với nghiệm chính xác ET hơn so với giá trị tham số tối ưu *ω khảo sát được, và với cùng giá trị ω thì từ trường có độ lớn càng lớn ( 'γ càng lớn) thì E(0) càng gần với ET hơn. Ta thấy rằng mặc dù với 0ω thì nghiệm gần đúng bậc zero gần với nghiệm chính xác, tuy nhiên do bổ chính sau mỗi vòng lặp rất ít nên tốc độ hội tụ của bài toán về nghiệm chính xác không nhanh. Rõ ràng, điều kiện (1.12) không phổ quát và tỏ ra hạn chế khi áp dụng cho bài toán đang khảo sát. 51 0.2 0.4 0.6 0.8 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 (b) Na êng lö ôïn g E(0)(ω0) E(T) γ' (a) E(0)(ω*) E(T) γ' Na êng lö ôïn g Hình 3.9: So sánh năng lượng gần đúng bậc zero và nghiệm chính xác ở trạng thái cơ bản với tham số tự do 0ω xác định từ điều kiện (1.12) ở hình (a) và tham số tối ưu *ω ở hình (b). Dựa vào điều kiện lý thuyết nhiễu loạn 0 1 OM OMV H  , công trình [6] đã đưa ra điều kiện phổ quát để chọn lựa miền ω tối ưu bằng cách tìm miền cực tiểu của hàm ( )β ω theo điều kiện ( ) 1β ω << . Điều kiện này đã chứng tỏ tính hiệu quả khi áp dụng tốt đối với bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn. Về nguyên tắc, ta hoàn toàn có thể áp dụng điều kiện phổ quát này đối với bài toán exciton 2D trong từ trường để chọn được miền tham số tối ưu. Tuy nhiên, do bài toán đang khảo sát phức tạp hơn nên khối lượng tính toán hàm ( )β ω tương đối lớn dẫn đến gặp khó khăn trong việc lập trình hàm ( )β ω ; vì thế, trong luận văn này chúng tôi không sử dụng điều kiện phổ quát đã nêu như trong công trình [6]. Tiếp theo, chúng tôi tiến hành thử nghiệm điều kiện đơn giản và dễ áp dụng để chọn được miền tham số tối ưu. Cũng dựa vào điều kiện nghiệm chính xác không phụ thuộc của vào tham số tự do, chúng tôi khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng ( )sE vào tham số tự do, sau đó so sánh miền cực trị của ( )sE với miền tham 52 số tối ưu từ đường khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán thực tế. Hình 3.6 biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng ( )sE vào tham số tự do cho trạng thái cơ bản, ứng với trường hợp ' 0.05γ = (từ trường nhỏ), ' 0.5γ = (từ trường trung bình) và ' 0.95γ = (từ trường lớn). Trục hoành là giá trị ω trong khi trục tung chỉ năng lượng ở bậc vòng lặp s là ( )sE . Hình 3.7, 3.8 biểu diễn sự phụ thuộc năng lượng ( )sE vào tham số tự do cho trạng thái kích thích 2 −p và 5 −f . Ta thấy rằng ở trạng thái cơ bản, khi khảo sát năng lượng ở 5 bậc vòng lặp đầu tiên thì miền cực tiểu của năng lượng ( )sE vẫn chưa phù hợp với miền tham số ω tối ưu. Ở trạng thái kích thích, ví dụ như ở trạng thái 2 −p và 5 −f , kết quả cho thấy miền cực tiểu của năng lượng ở vòng lặp thứ 2 phù hợp tốt với miền giá trị tối ưu của ω trong cả 3 trường hợp ' 0.05γ = , ' 0.5γ = và ' 0.95γ = . Từ đây, ta có thể kết luận, cách chọn ω từ điều kiện trên với ít nhất năng lượng ở vòng lặp thứ 2 tương đối hiệu quả đối với trạng thái kích thích nhưng không phù hợp khi áp dụng ở trạng thái cơ bản. Tuy nhiên, chúng ta cần tiến hành những nghiên cứu tiếp theo để tìm ra điều kiện phổ quát để chọn ra ω tối ưu đối với mọi trạng thái của exciton trong từ trường đều và ứng với cường độ từ trường bất kì. 53 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI Các kết quả mà luận văn đã đạt được có thể được liệt kê như sau: • Tìm hiểu được về phương pháp toán tử, về exciton và bài toán exction 2D trong từ trường đều. • Giải bài toán exciton 2D trong từ trường đều bằng phương pháp toán tử ở trạng thái cơ bản và một vài trạng thái kích thích. • Khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán theo tham số tự do ω với trường hợp cường độ từ trường nhỏ, trung bình và lớn cho trạng thái cơ bản cũng như một số trạng thái kích thích. • Thử nghiệm điều kiện gần đúng chọn ω như ở phương trình (1.12). • Đề xuất và thử nghiệm điều kiện đơn giản để chọn miền tham số tối ưu bằng cách khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng ( )sE vào tham số tự do với s từ 1 - 5, sau đó so sánh miền cực trị của ( )sE với miền tham số tối ưu từ đường khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán. • So sánh tốc độ hội tụ cũng như miền hội tụ của bài toán trong trường hợp từ trường lớn với trường hợp từ trường nhỏ và trung bình; đưa ra kết luận khi sử dụng phép biến đổi Laplace thì việc tìm nghiệm số chính xác trong trường hợp từ trường lớn hiệu quả hơn. Hướng phát triển tiếp theo của đề tài là tiếp tục khảo sát và xác định miền ω tối ưu mà bài toán có tốc độ hội tụ nhanh về nghiệm chính xác ở nhiều trạng thái và trong cường độ từ trường bất kì với độ chính xác tăng; nghiên cứu đưa ra điều kiện phổ quát để chọn giá trị ω tối ưu cho bài toán exciton trung hòa cũng như exciton âm 2D trong từ trường đều. 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Vũ Thị Lan Anh (2012), “Trạng thái liên kết giữa electron và lỗ trống trong bán dẫn hai chiều”, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. [2] Lê Văn Hoàng (2003), “Phương pháp đại số cho tính toán các hệ nguyên tử”, Tạp chí khoa học, ĐH Sư phạm Tp. HCM, Phần khoa học tự nhiên, số 2, tr. 115-125. [3] Phan Thị Cẩm Nhung (2006), “Bài toán exciton hai chiều trong bán dẫn nhiều lớp GaAs/AlGaAs đặt trong từ trường”, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. [4] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Ngô Đình Nguyên Thạch, Lê Thị Ngọc Anh, Lê Trần Thế Duy, Lê Văn Hoàng (2004), “Phương pháp toán tử cho bài toán tương tác điện tử – lỗ trống của khí điện tử hai chiều với sự có mặt của từ trường và thế màn chắn”, Tạp chí khoa học ĐH Sư phạm Tp. HCM, Phần khoa học tự nhiên, số 4, tr. 60-73. [5] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kì”, Luận văn Thạc sĩ ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán, Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học quốc gia Tp. HCM. [6] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Lê Văn Hoàng (2012), “Tham số tự do với sự hội tụ của phương pháp toán tử FK”, Tạp chí khoa học ĐH Sư phạm Tp. HCM, số 33 (Khoa học Tự nhiên), trang 94 – 106. [7] Trương Mạnh Tuấn (2010), “Phương pháp toán tử cho bài toán exciton hai chiều”, Luận văn tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. 55 Tiếng Anh [8] Ashkinadze M., Linker E., Cohen E., Dzyubenko A. and Feiffer L. (2004), “Photoluminescence of a two dimensional electron gas in a modulation- doped x 1-xGaAs/Al Ga As quantum well at filling factors 1ν < ”, Phys. Rev. B 69, 115303-7. [9] Chan Za An, Feranchuk I. D., Komarov L. I. and Nakhamchik L. S. (1986), “Optimal choice of a parameter for the operator method of the solution of the Schrödinger equation”, J. Phys. A 19, p. 1583-1587. [10] Davies J. H. (1998), “The Physics of low dimensional semiconductors – An introduction”, Cambridge University Press. [11] Feranchuk I. D., Komarov L. I. (1982), “The operator method of approximate solution of the Schrödinger equation”, Phys. Lett. A 88, p. 212-214. [12] Feranchuk I. D., Ivanov A. A., (2004), “Operator Method for nonperturbative description of quantum systems”, In Etude on Theor. Phys. Ed. Feranchuk I. et al, World Scientific, Singapore, p. 171-188. [13] Fernandez F. M., Meson A. M. and Castro E. A. (1984), “On the convergence of the operator method perturbation series”, Phys. Lett. A 104, p. 401-404. [14] Fernandez F. M., Meson A. M. and Castro E. A. (1985), “A simple iterative solution of the Schrödinger equation in matrix representation form”, J. Phys. A 18, p. 1389-1398. [15] Finkelstein G., Shtrikman H. and I. Bar-Joseph (1996), “Negatively and positively charged excitons in x 1-xGaAs/Al Ga As quantum wells”, Phys. Rev. B 53, R1709-R1712. 56 [16] Gross E., Permogorov S., Travnikov V. and Selkin A. (1970), “Hot excitons and exciton excitation spectra”, J. Phys. Chem. Solids 3, p. 2595- 2606. [17] Lampert M. A. (1958), “Mobile and immobile effective-mass-particle complexes in nonmetallic solids”, Phys. Rev. Lett. 1, p. 450-453. [18] Ma Y.-Z., Valkunas L., Bachilo S. M. and Fleming G. R. (2005), “Exciton binding energy in semiconducting single-walled carbon nanotubes”, J. Phys. Chem. Lett. B 109, p. 15671-15674. [19] Rashba E. I. (1984), “The prediction of excitons: on the 90th birthday of Ya. I. Frenkel”, Usp. Fiz. Nauk 144, p. 347-357. [20] Shik A. (1997), “Quantum wells: Physics and electronics of two- dimensional system”, World Scientific, Singapore. [21] Villalba V. M., Pino R. (2002), “Energy spectrum of a two-dimensional screened donor in a constant magnetic field of arbitrary strength”, Physica B 315, p. 289-296. [22] Zakharchenya B. P. (1994), “Discovery of excitons”, Usp. Fiz. Nauk 164, p. 345 – 356. [23] Zhu J.-L., Cheng Y. and Xiong J.-J. (1990), “Quantum levels and Zeeman splitting for two-dimensional hydrogenic donor states in a magnetic field”, Phys. Rev. B 41, 10792-10798. 57 Phụ lục 1: Các toán tử sinh – hủy một chiều  Một số công thức toán tử thông dụng: 1. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,AB C ABC CAB ABC ACB ACB CAB A B C A C B     = − = − + − = +      . 2. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,A BC ABC BCA ABC BAC BAC BCA A B C B A C     = − = − + − = +      . 3. ˆ ˆ 1 1 2! 3! ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA Ae B e = B+ A,B + A, A,B + A, A, A,B +...−                    . Chứng minh: Xét hàm ( ) ˆ ˆˆtA tAf t e Be−= , đạo hàm theo t ta được: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,tA tA tA tA tA tAdf Ae Be e BAe e A B e dt − − − = − =   . Tiếp tục tính tương tự ta có đạo hàm bậc k của ( )f t như sau: ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,... , , k tA tA k d f e A A A A B e dt −    =        , trong đó giao hoán tử lấy k lần. Mặt khác, khai triển Taylor hàm ( )f t tại điểm 0 0t = ta có: ( ) 0 0 00 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,... , , ! ! k k k k k kt t d f tf t A A A A B k kdt ∞ ∞ = ==       = =          ∑ ∑ . Cho giá trị 1t = ta có công thức cần chứng minh.  Toán tử sinh-hủy: Định nghĩa toán tử sinh, hủy một chiều: 1 1ˆ ˆ; 2 2 d da x a x dx dx +   = + = −        ω ω ω ω . 58 1. Chứng minh ˆ ˆ, 1a a+  =  Ta có 2 2 2 2 1 1 1 1ˆ ˆ , 2 2 d d daa x x x dx dx dx ω ω ω ω ω ω +    = + − = + −         và 2 2 2 2 1 1 1 1ˆ ˆ , 2 2 d d da a x x x dx dx dx ω ω ω ω ω ω +    = − + = − −         từ đây suy ra 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 1 2 a a aa a a+ + +  = − = =  ω ω . 2. Chứng minh ˆ ˆa a n n n+ = Định nghĩa: ( )1 ˆ 0 ! n n a n += Xét trường hợp 0n = công thức trên đúng: ˆ ˆ 0 0 0 0a a+ = = . Giả sử ta có ˆ ˆ 1 ( 1) 1a a n n n+ − = − − ta sẽ chứng minh ˆ ˆa a n n n+ = . Thật vậy: ( ) ( )( ) ( ) 11 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 ! ! 1 ˆ ˆ ˆ 1 1 . n n a a n a a a a aa a n n a a a n n −+ + + + + + + + = = = + − Với ( ) 11 ˆ1 0 ( 1)! n n a n −+− = − ; Từ đây ta có: ( ) ( ) 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1 1ˆ ˆ 0 . ( 1)! n a a n a a a n n a n n n n a a n n n n + + + + −+ + = + − = − = = − 59 3. Chứng minh ˆ 1a n n n= − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 0 ! ! ! 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 0 1 1 ! ! 1 11 ( 1) 1 1 . n n n n n a n a a aa a a a a n n n a a a a n a a n n n n n n n n n n n n − −+ + + + + − −+ + + + = = = + = + = − + − = − + − − = − Ta thấy rằng mỗi toán tử hủy có tác dụng giảm đi một bậc của vector trạng thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử hủy tác dụng lên vector trạng thái thì sẽ hủy đi bấy nhiêu bậc của nó. 4. Chứng minh ˆ 1 1a n n n+ = + + ( ) ( ) ( )1 11 1ˆ ˆ ˆ0 1 0 1 1 ! 1 ! n n a n a n a n n n n + ++ + +    = = + = + +  +  . Tương tự, ta cũng thấy rằng mỗi toán tử sinh có tác dụng “sinh” (tăng) lên một bậc của vector trạng thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử sinh tác dụng lên vector trạng thái thì sẽ sinh thêm bấy nhiêu bậc của nó. 5. Chứng minh sự liên hợp của ˆ ˆ+a,a , 1 , 1 ˆ 1 , ˆ 1 , n j n j n a j j n j j j a n j j n j − + − = − = = − = δ δ ˆ ˆn a j j a n+⇒ = . Nhận xét: Từ các tính chất (3, 4, 5) ở trên ta thấy rằng: nếu như tác dụng một toán tử chứa cùng số toán tử sinh và toán tử hủy lên một vector trạng thái, thì sẽ không làm vector này thay đổi bậc, và ta gọi các toán tử như thế là toán tử “trung hòa”; ngược lại nếu toán tử chứa số toán tử sinh – hủy khác nhau thì sẽ làm thay đổi bậc của vector trạng thái. 60 Phụ lục 2: Dạng chuẩn của toán tử  Dạng chuẩn (normal) của một biểu thức toán tử được định nghĩa là dạng đã được biến đổi sao cho toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu thức, toán tử sinh luôn về phía bên trái của biểu thức.  Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dạng chuẩn là giúp cho việc tính toán trong các bài toán chứa nhiều loại toán tử được dễ dàng hơn rất nhiều. Thực vậy, khi biểu biễn tất cả trạng thái qua trạng thái cơ bản 0( )ω thì lợi dụng tính chất ˆ 0( ) 0a =ω và ˆ 0( ) 0b ω = , chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng thái còn lại qua biểu thức chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng.  Trường hợp các toán tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa: Trường hợp này ta chỉ cần áp dụng các tính chất của giao hoán tử trên là có thể đưa về dạng chuẩn. Ví dụ: Đưa toán tử ( )22ˆ ˆa a+ về dạng chuẩn ta thực hiện như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 3 ˆ ˆ ˆ ˆ2 4 . a a a aa a a a a a aa aa aa a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = = + = + = + + + + = + + + + = + + + = + + + = + + Các phép biến đổi trên thường được áp dụng khi các biểu thức toán tử có dạng như các đa thức. 61  Trường hợp hàm e mũ của các toán tử sinh, hủy: Đối với dạng hàm e mũ thì khi vận dụng phép biến đổi như trên sẽ gặp khó khăn. Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về dạng chuẩn sẽ có bậc lũy thừa rất cao. Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đổi khác như dưới đây. Ví dụ: ( )ˆ ˆt a ae + + Vì ta có hệ thức giao hoán ˆ ˆ, 1a a+  =  nên từ đây các toán tử ˆ ˆ,a a + và số 1 tạo thành một đại số kín. Như vậy ta có thể viết: ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )t a a f t a g t a h te e e e F t + ++ = = . (A2.1) và tiến hành tìm các hàm số ( ), ( ), ( )f t g t h t theo các bước sau: Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (A2.1) theo biến số t như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ' ' 't a a f t a g t a h ta a e f t a F t g t a h t F te e e + +++ ++ = + + . (A2.2) Định nghĩa hàm nghịch đảo của ( )F t là ( )1F t− sao cho ( ) ( )1. 1F t F t− = ta có: ( ) ˆ ˆ1 ( ) ( ) ( )h t g t a f t aF t e e e +− − − −= . (A2.3) Nhân hai vế (A2.2) cho ( )1F t− và thu gọn các số hạng ta được: ( ) ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ' ' 'f t a f t aa a f t a g t e ae h t+ ++ + −+ = + + (A2.4) Bước hai: Sử dụng công thức quen thuộc : ˆ ˆ 1 1 2! 3! ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆA Ae B e = B+ A,B + A, A,B + A, A, A,B +...−                    cùng với hệ thức giao hoán của ˆ ˆ,a a+ ta có: 62 ( ) ( )ˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ...f t a f t ae ae a f t a a a f t+ +− + = + + = −  . Thay vào (A2.4), ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ' ' ' ˆ ˆ' ' ' ' . a a f t a g t a f t h t f t a g t a h t g t f t + + + + = + − + = + + − (A2.5) Bước ba: Đồng nhất hai vế của (A2.5) và chọn điều kiện biên Đồng nhất hai vế, ta có hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 1, ' 1, ' ' 0. f t g t h t g t f t =  =  − = Giải hệ này ta có: ( )( ) ( ) 1 2 2 1 3 , , . 2 f t t c g t t c th t c t c        = + = + = + + Dựa vào biểu thức (A2.1), ta có điều kiện khi t = 0 thì: f(t) = g(t) = h(t)= 0. Suy ra: c1= c2 = c3 = 0. Như vậy dạng chuẩn của ( ) ˆ ˆt a ae + + là: ( ) 2ˆ ˆ ˆ ˆ / 2t a a ta ta te e e e + ++ = . (A2.6) 63 Phụ lục 3: Đưa Hamiltonian về dạng không thứ nguyên Ta có toán tử Hamilton dưới dạng: 22 2 2ˆ 1ˆ ˆ , 2 2 2 2 c r z p eB ZeH r L c r µ µ µ ε Ω = + + −    (A3.1) Thay c eB cµ Ω = vào biểu thức trên, ta được: 22 2 2ˆ 1ˆ ˆ 2 2 2 2r z p eB eB ZeH r L c c r µ µ µ µ ε   = + + −    (A3.2) Đầu tiên, ta biến đổi ˆ ˆ( ) ( )H B H γ→ ,với: 2 3 3 2 B ce εγ µ =  là độ mạnh của từ trường so với trường Coulomb. Thay 3 2 2 3 ceB µ γ ε =  vào phương trình ta được: 22 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 8 3 2 4 2 2 2 2 2 4 6 2 2 1ˆ ˆ( ) 2 2 2 2 1 ( ) 2 8 2 z e ce e ce ZeH x y L x y c c r e i e Zex y x y x y y x r µ γ µ γµ µ µ ε µ ε ε µ γ µ γ µ ε ε ε    ∂ ∂ = − + + + + −   ∂ ∂         ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + + − − −     ∂ ∂ ∂ ∂           (A3.3) Đặt: , ,x yax ay bEρ ρ ξ= = = , Ta có : 2 2 2 2 2 , , x x x x a x x a x ρ ρ ρ ρ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = (A3.4) Tương tự ta có: 64 2 2 2 2 2 y a y ρ ∂ ∂ ∂ ∂ = . 2 2 2 21 x y r r x y a a ρρ ρ= + = + = (A3.5) Suy ra: ( ) ( ) 2 2 2 8 4 2 2 2 2 2 8 4 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 8 4 2 2 2 2 2 8 4 4 2 4 2 4 2 2 2 1 2 8 2 1 1 2 8 2 x y x y x y y x x y x y x y y x a e a i e a Ze r b e a i e Ze a a ρ µ γ ρ ρ ρ ρ ε µ µ µ ξγ ρ ρ ψ ψ ε ρ ρ ε µ γ ρ ρ ρ ρ ε µ µγ ρ ρ ε ρ ρ   ∂ ∂ − + + +   ∂ ∂    ∂ ∂ − − − =  ∂ ∂      ∂ ∂ − + + +   ∂ ∂    ∂ ∂ − − −  ∂ ∂         2 2 ,r a bρ µ ξψ ψ ε  =   (A3.6) Chọn 2 4 2 4 2 2 2 0 11e ea a r µ µ ε ε = ⇒ = =   và 2 2 2 2 4 0 1 11 ,b a b e E   µ ε µ = ⇒ = = ta suy ra phương trình Schrodinger không thứ nguyên: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 8x y x yx y y x i Z rρ γ γρ ρ ρ ρ ψ ξψ ρ ρ ρ ρ     ∂ ∂ ∂ ∂ − + − − + + − =       ∂ ∂ ∂ ∂      . Hay một cách hình thức, trong hệ đơn vị nguyên tử, ta có: 1,c e µ ε= = = = = ta cũng thu được biểu thức Hamitonian dạng không thứ nguyên: 2 2 2 2 2 2 2 1ˆ ( ) . 2 2 8 i ZH x y x y x y y x r γ γ   ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − − + + −   ∂ ∂ ∂ ∂   Khi đó, đơn vị năng lượng sẽ là hằng số Rydberg hiệu dụng * 4 2 2* / 2R m e ε=  , đơn vị độ dài là bán kính Bohr hiệu dụng * 2 2 */a e mε=  . 65 Phụ lục 4: Các toán sinh – hủy hai chiều  Định nghĩa toán tử sinh, huỷ 2 chiều: 1 1ˆ ˆ( ) ; ( ) ; 2 2 1 1ˆ ˆ( ) ; ( ) ; 2 2 x x x x x x y y y y y y a x a x x x b y b y y y ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω + +    ∂ ∂ = + = −   ∂ ∂       ∂ ∂ = + = −      ∂ ∂    (A4.1) Suy ra: 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 22 xx a a a ax x ωω + ++ + = ⇒ = ; ˆ ˆ( ); 2 x a a x ω +∂ = − ∂ 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 22 yy b b b by y ωω + ++ + = ⇒ = ; ˆ ˆ( ); 2 y b b y ω +∂ = − ∂ (A4.2) ˆ ˆˆ ˆ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ), 2 22 2 y x x y a a b bx y b b a a y x ω ω ω ω + + + +∂ ∂ + +− = − − − ∂ ∂ Khi ,x yω ω ω= = ta có: 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )( ) ( )( ) ; 2 x y a a b b b b a a ab a b y x + + + + + +∂ ∂  − = + − − + − = − + ∂ ∂ Từ đó, ta có: ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆzL i x y i a b ab i ab a by x + + + + ∂ ∂= − − = − − = − ∂ ∂  ; Vậy: ( )ˆ ˆˆ ˆ ˆzL i ab a b+ += − (A4.3) Tính: 2 22 2 2 22 2 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 1ˆ ˆ( ) ; 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 1ˆ ˆ( ) ; 2 2 x x y x a a a aa ax b b b bb by ω ω ω ω + ++ + ++  + + ++  = =  + + ++  = = 66 2 22 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 1 ; 2 2x x b b b ba a a a x y ω ω + ++ +  + + + + + +   + = + Khi ,x yω ω ω= = ta có: 2 2 2 2 2 2 2 21 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 2( 1) ( ) ; 2 2 x y a b a b a a b b M M N ω ω + + + + +   + = + + + + + + = + +   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 1 ( ) ; 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 1 ( ) ; 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 2 x x yx yx a a a a a a x b b b b b b y a a a a b b b b x y ω ω ωω ωω + + + + + + + + + + ∂  = − = − − + ∂ ∂  = − = − − + ∂ ∂ ∂   ⇒ + = − − + + − − +   ∂ ∂ (A4.4) Khi ,x yω ω ω= = ta có: 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ( ) 2 M M N x y ω +∂ ∂  + = + − ∂ ∂ (A4.5) 1. Chứng minh được các hệ thức giao hoán: ˆ ˆˆ ˆ[ , ] 1, [ , ] 1;a a b b+ += = 1 1 1 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ , ] . 1; 2 2 2 x x x x x x x x a a aa a a x x x x x x x x ω ω ω ω ω ω ω ω + + +      ∂ ∂ ∂ ∂= − = + − − − + = =     ∂ ∂ ∂ ∂      Chứng minh tương tự, ta được: ˆ ˆ[ , ] 1;b b+ = 2. Với:   2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) , ( ) ( ) , 2 1 ,M a b M a b N a a b b           Chứng minh các giao hoán tử: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 , , 4 , , 4 .M M N M N M N M M                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 4 2 ( ) ( ) ( ) 4 2 ( M M MM M M a b a b a b a b a a a a b b b b a a a a a a b b b b b                                                              2 ˆ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ4 4 4 2.2( 1) 2 . b a a b b a a b b N            67    2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) ( ) 1 2 1 ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) ( ) ˆˆ4( ) 4 M N MN NM a b a a b b a a b b a b a a a b b b a a b b a a a a b b b b a a b b a b                                                         ˆ .M    2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2( ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ˆ ˆˆ2.2 ( ) ( ) 4 . N M NM M N a a b b a b a b a a b b a a a a b b b b a a b b a b M                                                             3. Chứng minh Hˆ giao hoán với ˆ zL : ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) ( ) ( ) zL M i a b ab a b a b i a b ab i a b b a a b a ab a b b i a b b a b a ab a b a b a ab a b b + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +      = − − + + + −       = − − + −  = − + − − − + − 0; = ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) 0; zL M i a b ab a b a b i a b ab i a a b ab b a a b a b b i a a b ab b a a b ab ab ab b ab ab + + + + + + + + + + + +      = − − + + + −       = − − − +   = − − − − − + + + =  ( ) ( ) 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, 2 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 0; zL N i a b ab a a b b i a a b b a b ab i a ab a bb b aa ab a b b a aa b a a b a b b ab bb i a b ab a b ab + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +      = − − + + + + + −       = − + − − − + − +   = − − − + =  68 Phụ lục 5: Dạng chuẩn của toán tử { }ˆ ˆ ˆ ˆexp ( )+= − + +S M M Nτ Do các toán tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ tạo thành một đại số kín, ta có thể sử dụng công thức quen thuộc cho hai toán tử không giao hoán bất kỳ ˆ ˆ,X Y : ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1exp exp [ , ] exp exp2X Y X Y X Y+ = − , ( A5.1) ta có thể đưa toán tử Sˆ về dưới dạng chuẩn như sau: ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) ( ).M M N f M g N h M Fτ τ τ τ τ + +− + + = = (A5.2) Ở đây chúng ta cần xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ với điều kiện biên: (0) 0, (0) 0, (0) 0f g h= = = . (A5.3) Ngoài cách sử dụng trực tiếp công thức ( A5.1) ta có thể xác định các hàm số trên theo các bước sau : Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (A5.2) theo τ sau đó nhân với toán tử ngược 1Sˆ − : Lấy đạo hàm hai vế của (A5.2) theo τ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) exp ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) M M N M M N f M F g f M N g N h M h f M g N M h M τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ + + + + + − + + − + + ′ ′= + ′+ (A5.4) Sau đó nhân với toán tử ngược 1Sˆ − : ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆ ˆexp ( ) exp ( ) exp ( )S h M g N f M− += − τ − τ − τ Ta được: 69 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) exp ( ) exp ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) exp ( ) M M N f M g f M N f M h f M g N M g N f M τ τ τ τ τ τ τ τ τ + + + + + + ′ ′− + + = + − ′+ − − (A5.5) Bước hai: Ta sử dụng công thức quen thuộc: ( ) ( ) 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆexp exp , , , , , ,2! 3!X Y X Y X Y X X Y X X X Y          − = + + + +           cùng với các giao hoán tử, thay vào biểu thức (3), ta được: ( ) ( )4 ( ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ˆ ˆ ˆ( ) 2 ( ) 4 ( )g M M N f M g N f M e h M f N f Mτ τ τ τ τ τ τ + + + − + ′ ′− + + = + − ′+ − + (A5.6) Bước ba: Đồng nhất các hệ số trước các toán tử ˆ ˆ ˆ, ,M M N+ , thu gọn ta được hệ phương trình vi phân để xác định các hàm số ( ), ( ), ( )f g hτ τ τ : [ ]2 4 ( ) 4 ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) g g f f g e h f h e τ τ τ τ τ τ τ τ −  ′ = − +  ′ ′= − +  ′ = − (A5.7) [ ]2( ) 2 ( ) 1f fτ τ′ = − + 1 2 1( ) . 2 2 Cf C ττ τ − + − ⇒ = + ; Điều kiện tại biên: 1(0) 0 0 1 ( ) 2 2 1 Cf C f C − −τ = ⇒ = ⇒ = ⇒ τ = τ + Thay vào hệ phương trình, ta được: 1( ) ln 2 1 ' 2 g Cτ = − τ + + , ( ) 1( ) '' 2 2 1 h Cτ = + τ + Áp dụng điều kiện tại biên (0) 0, (0) 0g h= = 1( ) ln 2 1 2 g⇒ τ = − τ + ; ( ) 2 1 h −ττ = τ + Vậy: 1ˆ ˆ ˆ ˆexp exp ln 2 1 exp 2 1 2 2 1 S M N Mτ ττ τ τ +− −     = − +     + +      (A5.8) 70 Phụ lục 6:Các thành phần ma trận cho bài toán exciton 2D trong từ trường  Bộ hàm sóng cơ sở được chuẩn hoá cho nguyên tử Hydro như sau: ( ) ( )1 ˆˆ ˆ, 0 ; 2 2 !( )! mk mk k m M a ib k m k + + += ± + (A6.1) Với: ( )ˆ , 2 2 1 , ;N k m k m k m= + + ( )ˆ , 2 1, ;M k m k k m k m= + − ( ) ( ) ! !ˆ , 2 , ; ( )! ! j j k k mM k m k j m k j k m j + = − − + − (A6.2) ( )( )ˆ , 2 1 1 1, ;M k m k k m k m+ = + + + + ( ) ( ) ( )( ) ! !ˆ , 2 , ; ! ! i i k i k m iM k m k i m k k m + + + + = + +  Tính thành phần ma trận của toán tử Sˆ : Toán tử Sˆ được tách làm 2 thành phần: 1 2ˆ ˆ,S S . Sử dụng các công thức ở (A6.2), ta lần lượt tính được các thành phần ma trận của 1 2ˆ ˆ,S S như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 ˆ2 2 0 2 2 2 1 0 1 1ˆ ˆ ˆ, , 1 2! 1 2 ! !1 12 , ; ( )! !! 1 2 i i i N i k i k m i S k m M M k m i k k m k m k i k m ii τ τ τ τ τ ∞ + = + + = − =  +  +  +  = −  − + −+  ∑ ∑ (A6.3) 71 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 ˆ 2 0 0 0 0 2 1 1 1ˆ ˆ ˆ, , ! ! 1 2 1 2 ! ! ! !1 2 ! ! ( )! ! 1 , ; 1 2 i j i j N i j i j k i j i j i j k j i m S k m M M k m i j k k m k i j k m i j i j k j k m j k i j m τ τ τ τ τ +∞ ∞ + = = ≠ ∞ + = = ≠ − + + + − =  +  + + + − + + − = − − + − × + − + ∑ ∑ ∑ ∑ (A6.4) Khi đó, ta tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ˆ2 2 0 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0 1 2 2 0 1 1ˆ ˆ ˆ, , , , 1 2! 1 2 ! !1 1, 2 , ( )! !! 1 2 ! !1 12 , , ( )! !! 1 2 ! !2 (! i i i N i k i k m i k i k m i ik i m k S k m m k M M k m i k k m m k k m k i k m ii k k m m k m k k i k m ii k k m ki τ τ τ τ τ τ τ τ ∞ + = + + = + + = = =  −  =  +   +   +  = −  − + −+  + = − − + −+ +− = − ∑ ∑ ∑ ∑  ( ) ( )( )2 1 1 ; )! ! 1 2 k mi k m i τ + ++ − + (A6.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ˆ 2 0 0 0 0 ,2 2 1 2 ˆ, , 1 1ˆ ˆ, , ! ! 1 2 1 2 ! ! ! !1 2 ! ! 1 2 ( )! ! 1 1 2 ! ! !2 ! ! i j i j N i j i j i jk s k i j i j s i jk j m i sk s i s m k s S k m m k s M M k m i j k k m k i j k m i j i j k j k m j k k m k s k i i s τ τ τ τ τ δ τ τ +∞ ∞ + = = ≠ ++ = = ≠ −− + + −+ = +   −  = +   +  +   + + − + + −− =  + − + −  × + + +− = − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( )( )2 1 ! 1 ; ( )! ! 1 2 k s m m s k i s k m i s τ + + + + + − + + − + + (A6.6) 72  Tính các phần tử ma trận: Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 0 ˆ2 2 00 2 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ; 4 16 2 1 2! 1 2 i i iOM N i m dH N Z M M i ω γ γ ω τ τ ω π ττ τ +∞ ∞ + =   − = + + −   +   + ∑∫ Tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , 0 2 1 0 2 2 2 2 1 0 0 2 2 0 ˆ, , 2 ˆˆ, , 4 16 2 (2 1) 2 8 2 ! ! 22 1 ( )! !! 1 2 (2 1) 2 8 2 ! !2 1 ( )!! OM km km ik k m i k i H m k H k m m dm k N Z S k m mk m k k m dZ k i k m ii mk m k k m Z k i ki ω γ γ ω τ ω π τ ω γ γ ω τω τ π ττ ω γ γ ω ω π +∞ +∞ + + = = =    = + + −        = + + + +    + − − − + − +   = + + + +    + − − + ∫ ∑ ∫ ∑ ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 0 2 2 2 ! 1 2 i k m d m i τ τ τ +∞ + + − − + ∫ Đặt 2t τ= ; 2 ddt τ τ ⇒ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 22 2 2 120 0 2 2 2 12 0 (2 1) 2 8 2 ! !12 ( )! !! 1 ! !1(2 1) ; 2 8 2 ( )! !! kk km km i k k m i k i k m i mH H k m tk k m Z dt k i k m ii t k k mmk m Z I k i k m ii ω γ γ ω ω π ω γ γ ω ω +∞ + + = + + =   = = + + + +    −+ − − + − + +  = + + + + −  − + −  ∑ ∫ ∑ (A6.7) 73 Với: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 120 0 , ( 1) (2 2 3)!! 2 1 !!2 2 1 !1 q q q p p p p q p q Z t p q q I dt pt π π +∞ − > ≥ ∈ − − − − − = = −+ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ˆ 2 0 00 ˆ ˆ ˆ 4 16 2 1 1ˆ ˆ ; ! ! 1 2 1 2 OM i j i j N i j i j V M M dZ M M i j ω γ ω ω τ τ π ττ τ + ++∞ ∞ ∞ + = = ≠   = − + +    − −  +  + ∑ ∑∫ (A6.8) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , , , , 2 2 0 2 ,1 , 1 22 2 120 ˆ, , 2 ˆˆ ˆ, , 4 16 2 1 1 2 4 16 ! ! ! !12 ! ! ( )! ! 1 OM km k s m k s m km s s i s k s k s m i s H H m k s V k m dm k s M M Z S k m k k m k k m k k m k s k m s t Z dt i i s k i s k m i s t ω γ ω τ ω π τ ω γ δ δ ω ω π + + +∞ + − − +∞+ + + + = = = +    = + − + + −        = − + + + + + +    + + + + − − − − + + − + + = ∫ ∑ ∫ ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ,1 , 1 2 2 1 2 1 1 2 4 16 ! ! ! !1 ; ! ! ( )! ! s s k s i s k s m i s k k m k k m k k m k s k m s Z I i i s k i s k m i s ω γ δ δ ω ω − + − + + + =   − + + + + + +    + + + + − − − + + − +∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1, , , , , , , , , ( );k m k s m k s m k m k m k s mH H H k k s− − += = = − ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 4 16 ! ! 1 ! 1 !1 ! 1 ! ( 1)! 1 ! k k k i k m i H k k m k k m k k m Z I i i k i k m i ω γ ω ω + + − + + =   = − + + + +    + + + + − − − + + − +∑ (A6.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , 2 1 ( 1) ! ! ! !1 ! ! ( )! ! k s i s k k s k m s s i s k k m k s k m s H Z I i i s k i s k m i s ω + − + + + + > = + + + + = − − − + + − +∑