Luận văn Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan hệ đồng chất trên các P - Nhóm

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ NGỌC HUYỀN LỚP LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG VÀO QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN CÁC p-NHÓM Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2011 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 1: TS. Lê HoàngTrí Phản biện 2: PGS. TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài Bài toán tổng quát của nhóm hữu hạn, là xác ñịnh các nhóm có cấp cho trước, ñã ñược ñề ra bởi A.Cayley năm 1878. Đây là bài toán khó và cho ñến nay vẫn chưa có lời giải ñầy ñủ. Năm 1939, P.Hall ñã ñề xuất một quan ñiểm phân loại nhóm, thô hơn phân loại ñẳng cấu, như sau: Hai nhóm G và H ñược gọi là ñồng chất nếu tồn tại hai ñẳng cấu )(/)(/: HZHGZG →ϕ và [ ] [ ]HHGG ,,: →ψ sao cho biểu ñồ sau giao hoán ϕϕ × )(/)(/ GZGGZG × )(/)(/ HZHHZH × G∂ H∂ [ ]GG, [ ]HH , ψ trong ñó Z(G) và [ ]GG, lần lượt là nhóm con tâm và nhóm con giao hoán tử của G ; G∂ hoặc H∂ là hai ánh xạ ñược cho bởi ( ) [ ]yxyx ,, a ; với x, y thuộc G hoặc H. Cho a, b là hai phần tử của một nhóm G. Ta nói phần tử b liên hợp với phần tử a nếu Gx ∈∃ sao cho 1−= xaxb . Quan hệ liên hợp này là một quan hệ tương ñương trên nhóm G, và có vai trò nhất ñịnh ñối với bài toán phân loại ñồng chất các nhóm hữu hạn. 4 Nhằm tìm hiểu quan hệ liên hợp trong một nhóm và ứng dụng của nó vào quan hệ ñồng chất giữa các nhóm, tôi chọn ñề tài luận văn thạc sỹ của mình là “Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan hệ ñồng chất trên các p - nhóm”. 2. Mục ñích nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm và quan hệ liên hợp trên một nhóm. - Nghiên cứu quan hệ ñồng chất giữa các nhóm và ứng dụng của quan hệ liên hợp vào quan hệ ñồng chất. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Nhóm và p - nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp trong một nhóm - Quan hệ ñồng chất giữa các nhóm - Lớp liên hợp của những nhóm quen biết - Ứng dụng của quan hệ liên hợp vào quan hệ ñồng chất giữa một vài lớp p – nhóm. 4. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan ñến nội dung luận văn, ñặc biệt là quan hệ liên hợp và quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm. - Nghiên cứu tính bất biến của số lớp liên hợp có cùng ñộ dài ñối với quan hệ ñồng chất, từ ñó sẽ ñưa ra ứng dụng cụ thể của lớp liên hợp. - Trao ñổi, thảo luận với người hướng dẫn. 5 5. Cấu trúc luận văn Mở ñầu Chương 1. Cấu trúc nhóm và quan hệ liên hợp trong một nhóm Chương 2. Quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm và ứng dụng của lớp liên hợp vào quan hệ ñồng chất Kết luận. 6 Chương I CẤU TRÚC NHÓM VÀ QUAN HỆ LIÊN HỢP TRONG MỘT NHÓM Phần ñầu chương này nhắc lại một cách sơ lược những kiến thức cơ bản về về cấu trúc nhóm. Phần thứ hai của chương trình bày quan hệ liên hợp trong một nhóm cùng những tính chất của nó. 1.1. CẤU TRÚC NHÓM 1.1.1. Định nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm thương 1.1.1.1. Định nghĩa phép toán hai ngôi Cho một tập X ≠ ∅ . Một phép toán hai ngôi trên tập X là một ánh xạ từ bình phương Đềcác X x X ñến tập X f : X x X → X ( x, y ) a f( x, y ) Phần tử f( x, y ) ñược gọi là hợp thành của phần tử x với phần tử y của phép toán ñó, và ñược kí hiệu bằng cách viết x, y theo thứ tự này và ñặt vào giữa x, y một dấu ñặc trưng cho phép toán, chẳng hạn xTy, x ⊥ y, x 0 y 1.1.1.2. Một số tính chất của phép toán hai ngôi i) Tính kết hợp. Một phép toán hai ngôi, kí hiệu * , trên tập X gọi là có tính kết hợp nếu bất kì ba phần tử x, y, z ∈ X, (x * y) * z = x * (y * z). ii) Tính giao hoán. Một phép toán hai ngôi * trên X ñược gọi là có tính giao hoán nếu với mọi x, y ∈ X, x * y = y * x . iii) Phần tử trung lập. 7 Giả sử trên tập X có một phép toán hai ngôi ký hiệu *. Một phần tử của X, kí hiệu e, gọi là phần tử trung lập bên trái (tương ứng trung lập bên phải) ñối với phép toán * nếu ∀ x ∈ X, e * x = x ( tương ứng x * e = x ). Nếu e vừa là trung lập bên trái, vừa là trung lập bên phải thì ta nói e là phần tử trung lập ñối với phép toán *. Nếu phép toán trên X ñược ký hiệu là phép nhân (tương ứng phép toán cộng) thì phần tử trung lập ñược gọi là phần tử ñơn vị (tương ứng phần tử không) và ñược ký hiệu là 1X hay 1 (tương ứng 0X hay 0). iv) Phần tử ñối xứng. Giả sử trên tập X có phép toán * với phần tử trung lập e và x là một phần tử của X. Phần tử x’ ∈ X ñược gọi là phần tử ñối xứng bên trái (tương ứng bên phải) của phần tử x ñối với phép toán * nếu x’ * x = e (tương ứng x * x’ = e). Nếu phần tử x’ vừa là phần tử ñối xứng bên trái, vừa là phần tử ñối xứng bên phải của phần tử x thì ta nói x’ là phần tử ñối xứng của x ñối với phép toán *. Từ ñịnh nghĩa trên ta thấy nếu x’ là phần tử ñối xứng của x ñối với phép toán * thì x cũng là phần tử ñối xứng của x’ ñối với phép toán ñó, do ñó ta cũng nói x và x’ ñối xứng với nhau ñối với phép toán *. Nếu phép toán trên X ñược ký hiệu là phép nhân (tương ứng phép cộng) thì phần tử ñối xứng của x ñược gọi là phần tử nghịch ñảo (tương ứng phần tử ñối) và ñược ký hiệu là x - 1 (tương ứng –x ). 8 Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập hợp trên ñó có xác ñịnh một phép toán hai ngôi ký hiệu * ; cặp ( X, * ) ñược gọi là một nhóm nếu: i) Phép toán * có tính kết hợp . ii) Phép toán * có phần tử trung lập. iii) Mọi phần tử thuộc X ñều có phần tử ñối xứng ñối với phép toán *. Nếu X là tập vô hạn ta nói X là nhóm vô hạn, nếu tập X là hữu hạn thì ta nói X là nhóm hữu hạn. Số phần tử của tập X ký hiệu là: X và gọi là cấp của nhóm X. Nếu phép toán hai ngôi trong nhóm X có tính giao hoán thi ta nói X là một nhóm giao hoán hay nhóm aben. Mệnh ñề 1.1. Giả sử ( X,
) là một nhóm. Khi ñó: i) Phần tử trung lập cúa X là duy nhất. ii) Với mỗi x thuộc X, phần tử nghịch ñảo của x là duy nhất. Định lý 1.1. Trong một nhóm, ta có: i) xy = xz ( yx = zx ) ⇒ y = z. ii) Phương trình ax = b ( hay xa = b ) có nghiệm duy nhất x = a -1b ( hay x = ba-1 ). iii) ( xy )-1 = y-1x-1 , với x, y là hai phần tử bất kỳ của nhóm. Định nghĩa 1.2. Giả sử p là một số nguyên tố. Một nhóm có cấp là một lũy thừa của p ñược gọi là một p – nhóm. 9 1.1.1.3. Tập con ổn ñịnh Giả sử trên tập X có phép toán hai ngôi ký hiệu * , và A là một tập con của X. Tập A gọi là tập con ổn ñịnh của X ñối với phép toán * nếu : ∀ a, b ∈ A, a * b ∈ A. Khi A là một tập con ổn ñịnh của X thì trên A có phép toán ∀ a, b ∈ A, a * b ∈ A; gọi là phép toán cảm sinh từ phép toán trong X. Định nghĩa 1.3. Một tập con ổn ñịnh A của một nhóm X ñược gọi là một nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm, và ký hiệu A ≤ X. Định lý 1.2. Giả sử A là một tập con khác rỗng của một nhóm X. Các ñiều kiện sau tương ñương: i) A là một nhóm con của X. ii) ∀ x, y ∈ A; xy ∈ A và x-1∈ A . iii) ∀ x, y ∈ A; xy-1 ∈ A. Định lý 1.3. Giao của một họ bất kỳ những nhóm con của một nhóm X là một nhóm con của X . Định nghĩa 1.4. Giả sử U là một tập con của một nhóm X. Nhóm con bé nhất của X chứa U gọi là nhóm con sinh bởi U. Ký hiệu . Nếu U = { a1, a2,, an-1, an } thì nhóm sinh ra bởi U và ñược ký hiệu . 10 Nếu = X, thì U ñược gọi là một hệ sinh của X , hay còn nói X ñược sinh ra bởi U. Định nghĩa 1.5. Một nhóm X gọi là nhóm xyclic nếu X ñược sinh ra bởi chỉ một phần tử a ∈ X. Phần tử a gọi là một phần tử sinh của X. Nhóm xyclic cấp n ñược ký hiệu là Cn. 1.1.1.4. Cấp của một phần tử trong một nhóm Giả sử a là một phần tử bất kỳ của nhóm X và A là nhóm con của X sinh bởi a. Phần tử a có cấp vô hạn nếu A vô hạn, trong trường hợp này không có một số nguyên dương n nào sao cho an = e. Phần tử a có cấp m , nếu m là số nguyên dương bé nhất sao cho am = e. Ta ký hiệu cấp của phần tử a là ord ( a ). Nếu ord ( a ) = m, thì = { a0 = 1, a1, a2, , am-1 }, và ta còn viết , ord ( a ) = 1 khi và chỉ khi a = e. 1.1.1.5. Định lý Lagrange Cấp của một nhóm X hữu hạn là bội của cấp của mọi nhóm con của nó. Hệ quả 1.1. Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn X là ước của cấp của nhóm X. Mệnh ñề 1.2. Mọi nhóm xyclic ñều là nhóm giao hoán. Mệnh ñề 1.3. Giả sử X là nhóm xyclic cấp n sinh bởi phần tử a và 11 b = ak ∈ X. Khi ñó cấp của phần tử b bằng n d , trong ñó d là ước chung lớn nhất của k và n. Định nghĩa 1.6. Giả sử S là một nhóm con của X. Với mỗi a thuộc X, các tập hợp aS = { as : s ∈ S } , Sa = { sa : s ∈ S } lần lượt ñược gọi là lớp kề trái, và lớp kề phải của nhóm con S. Tập gồm tất cả các lớp kề trái của S trong nhóm X, ñược ký hiệu X/S và gọi là tập thương của X trên nhóm con S. Định nghĩa 1.7. Số các lớp kề trái của S trong X ñược gọi là chỉ số của S trong X , ký hiệu [ X : S ] SX /= Nhận xét: Nếu X là nhóm hữu hạn, S ≤ X, thì [ ]. . :XX S S X SS= = . Định nghĩa 1.8. Cho ( X,
) là một nhóm, một nhóm con S của X ñược gọi là nhóm con chuẩn tắc của X nếu aS = Sa, với mọi a ∈ X, ký hiệu S < X. Định lý 1.4. Giả sử S là một nhóm con của X. Các ñiều kiện sau tương ñương i) S là chuẩn tắc. ii) x-1 sx ∈ S với mọi x ∈ X và s ∈ S. 1.1.1.6. Nhóm con tâm Giả sử X là một nhóm, ký hiệu 12 Z(X) = { x ∈ X / xg = gx, ∀ g ∈ X }. Khi ñó Z(X) là một nhóm con chuẩn tắc của X. Ta gọi Z ( X ) là nhóm con tâm hay là tâm của nhóm X. Rõ ràng Z( X ) là nhóm con giao hoán của X và mọi nhóm con của Z( X ) ñều là nhóm con chuẩn tắc của X. Định lý 1.5. Nếu S < X thì i) Quy tắc cho tương ứng cặp ( aS, bS ) với lớp kề trái abS là một ánh xạ từ X/S × X/S ñến X/S ii) X/S cùng với phép toán hai ngôi ( aS, bS ) a abS là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên S. 1.1.1.7. Nhóm tâm hóa Cho một nhóm X và a ∈ X. Khi ñó tập con 1( ) { / , }XC a x X x ax a a X−= ∀ ∈ = ∀ ∈ là một nhóm con của nhóm X và ñược gọi là nhóm tâm hóa của phần tử a trong nhóm X. Rõ ràng ( ) ( )XZ X C a≤ . Định nghĩa 1.9. Cho X là một nhóm. Với mọi x, y ∈ X , phần tử [ x, y ] = x-1y-1xy ñược gọi là giao hoán tử của cặp phần tử x, y. Nhóm con của X ñược sinh ra bởi tất cả các giao hoán tử [x, y], ∀ x, y ∈ X ñược gọi là nhóm con giao hoán tử (hay nhóm dẫn xuất ) của X, ký hiệu [ X, X ]. Mệnh ñề 1.4. Cho nhóm X. Ta có: [ X, X ] < X. Định lý 1.6. Giả sử X là một nhóm và ( )A Z X≤ . Nếu X/A là nhóm 13 cyclic thì X là một nhóm Aben. Chứng minh Vì X/A là nhóm cyclic nên a X∃ ∈ sao cho X/A = [aA] Lúc ñó, , : mXx X xA m Z xA a AA∀ ∈ ∈ ⇒ ∃ ∈ = . Suy ra tồn tại 1 1: mh A x a h∈ = , : kXy X yA k Z yA a AA∀ ∈ ∈ ⇒ ∃ ∈ = . Suy ra tồn tại 2 2: kh A y a h∈ = Vì ( )A Z X≤ = { x ∈ X / xg = gx, ∀ g ∈ X } do ñó 1 2 1 2 2 1 m k m k k mxy a h a h a h h a h a h yx+= = = = Vậy X là một nhóm Aben. 1.1.2. Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.10. Giả sử X và Y là hai nhóm. Một ánh xạ f : X Y→ ñược gọi là một ñồng cấu nhóm nếu f ( xy ) = f( x )f( y ), ∀ x, y ∈ X. Nếu X = Y thì ñồng cấu f gọi là một tự ñồng cấu của nhóm X. Một ñồng cấu nhóm f với f là một ñơn ánh, (tương ứng toàn ánh, song ánh) thì ñược gọi là một ñơn cấu, (tương ứng toàn cấu, ñẳng cấu). Một tự ñồng cấu mà song ánh gọi là một tự ñẳng cấu. Nếu có một ñẳng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y thì ta nói hai nhóm X và Y ñẳng cấu nhau, ký hiệu X ≅ Y. Định nghĩa 1.11. Giả sử f : X Y→ là một ñồng cấu từ nhóm X ñến nhóm Y, các phần tử trung lập của X và Y ñược kí hiệu theo thứ tự là eX và eY . Ta kí hiệu 14 { } 1 Im ( ) / ( ) ( )Y Y f f X Kerf x X f x e f e− = = ∈ = = và gọi Imf là ảnh của ñồng cấu f, Kerf là hạt nhân của ñồng cấu f. Định lí 1.7. Giả sử X, Y, Z là những nhóm và f : X Y→ và g : Y X→ là những ñồng cấu. Thế thì ánh xạ tích :gf X Z→ cũng là một ñồng cấu. Định lý 1.8. Nếu f : X Y→ là một ñồng cấu nhóm, ta có: i) f( eX ) = eY ii) f( x-1 ) = [ f( x ) ]-1 , với mọi x ∈ X. 1.2. QUAN HỆ LIÊN HỢP 1.2.1. Định nghĩa quan hệ liên hợp trong một nhóm Cho nhóm X và a, x thuộc X. Phần tử xax-1 ∈ X, ñược gọi là liên hợp của a bởi phần tử x, và ký hiệu ax = xax-1 . Trong nhóm X ta xác ñịnh một quan hệ hai ngôi R như sau: a, b ∈ X, a R b nếu ∃ x ∈ X sao cho b = ax. 1.2.2. Những tính chất của quan hệ liên hợp Mệnh ñề 1.5. Quan hệ liên hợp ñược xác ñịnh như trên là một quan hệ tương ñương trên nhóm X. Mệnh ñề 1.6. Cho một nhóm X, a X∈ . Lớp tương ñương chứa phần tử a , theo quan hệ liên hợp, ký hiệu aC . Ta có a ∈ Z ( X ) ⇔ Ca = {a}. 15 Bổ ñề Cho X là một nhóm, và a ∈ X khi ñó i) Tồn tại một song ánh X/CX( a ) → Ca ii) Z( X ) ≤ CX( a ). Nếu X là nhóm không giao hoán thì Z( X ) ≤ CX( a ) Mệnh ñề 1.7. Cho một nhóm X hữu hạn. Với mọi a ∈ X, ta có: i) [ : ( )]a XC X C a= ii) [ ],aC X X≤ iii) a C ≤ X / Z( X ) . Nếu nhóm X không giao hoán thì / ( )aC X Z X< . Hệ quả 1.2. Giả sử X là p – nhóm hữu hạn, a X∈ , a C = p k , X / Z( X ) = ph , [ ]X,X = pt . Lúc ñó, ta có k h k t ≤  ≤ . Khi X là một p – nhóm hữu hạn không giao hoán, ta ký hiệu jk là số lớp liên hợp gồm pk phần tử. Nếu / ( )X Z X = ph và [X, X] = pt , ta có k < h, k ≤ t và 0 ( )j Z X= . 1.2.3. Lớp liên hợp của một số nhóm quen biết Như một ví dụ minh họa, phần này sẽ tính lớp liên hợp của một số nhóm quen biết. 1/ 2D n = < x, y / 12nx − = y2 = 1 , y-1xy = x-1 > ; n ≥ 4 2/ 2nQ = < x, y / 22nx − = y2 ; y-1xy = 1x− > ; n ≥ 4 3/ 2 M n = < x, y / 12nx − = y2 = 1 ; y-1xy = 21 2nx −+ > ; n ≥ 4 16 4/ 2nS = < x, y / 12n x − = y2 = 1 ; y-1xy = 22 1nx − − > ; n ≥ 4 5/ (C1) = = { xs yt  0 ≤ s, t < 4 } 6/ (C2 ) = < x, u, v  x2 = v2 = u4 = [ x, v ] = [ u, v ] = 1, ux = uv > = { xs vtuh  0 ≤ s, t ≤ 1, 0 ≤ h < 4 } Bốn nhóm 2 2 2 2D , , ,n n n nQ M S là nhóm không giao hoán có cấp 2n, hai nhóm (C1) và (C2) là nhóm không giao hoán cấp 16. Mệnh ñề 1.8. Nhóm 2D n , n ≥ 4, ñược chia thành 2 n-2 + 3 lớp liên hợp như sau • Ce = { e } , n-2 n-22 2 x C { x }= • { }2k n-2yC x / 0; 2 1 y k= = − • { }2k + 1 n-2xyC x / 0; 2 1y k= = − • j x C = 12 -2{ , } ; 1; 2 1 nj j nx x j− − = − • 2 0 1 22 ; 2 1 ; 2 n nj j j− −= = − = Mệnh ñề 1.9. Nhóm 2Q n , n ≥ 4 ñược chia thành 2 n-2 + 3 lớp liên hợp như sau • Ce = { e } , n-2 n-22 2 x C { x }= • 1 j j 2 n-2 x C { x , }, j = 1; 2 1n jx − −= − • 2k n-2 yC { x / 0; 2 1 } y k= = − • 2k + 1 n-2 xyC { x / 0; 2 1 } y k= = − 17 • 2 0 1 22 ; 2 1 ; 2 n nj j j− −= = − = Mệnh ñề 1.10. Nhóm 2 M n , n ≥ 4 có 22Z ( M ) xn = và ñược chia thành 5.2n-3 lớp liên hợp như sau • 2t 2t n-2 x C { x }, t 0, 2 1= = − • { }-22k + 1 2 1 2 1 2 -3xC , / 0, 2 1nk k nx x k+ + += = − • 2 k k 2 n-2 x y C {x , y / k = 0; 2 1} nky x −+= − • 2 2 3 3 0 12 ; 2 2 3.2 n n n nj j− − − −= = + = Mệnh ñề 1.11. Nhóm 2n S , n ≥ 4 ñược chia thành 2n-2 + 3 lớp liên hợp như sau • Ce = { e } , n-2n-22 2xC { x }= • 2kx C = { }12 2 2 - 3, , 1; 2 1nk k nx x y k− − = − • { }22k+1 2 1 2 (2 1) -3xC , , 0; 2 1nk k nx x k−+ − += = − • { }-2 1-22 2 1 2 2 1 2 (2 1) -4, , 0; 2 1n nn k k k nxC x x k−+ + + + − += = − • { }2 -2yC / 0; 2 1k nx y k= = − . • { }2 1 -2xyC / 0; 2 1 k nx y k+= = − • 2 0 1 22 ; 2 1 ; 2 n n j j j− − = = − = 18 Mệnh ñề 1.12. Nhóm (C1) = = { xs yt  0 ≤ s, t < 4 } , ñược chia thành 10 lớp liên hợp như sau • 2 2{ }; { }; e x C e C x= = 2 2 2 2 2 2{ }; { } y x y C y C x y= = • 3 3 3 2 3 3{ , }; { , }; { , }x xyyC x x C y x y C xy x y= = = 2 3 2 3 2 3 3 3 2{ , }; { , }; { , }yxy xyC xy x y C xy x y C y x y= = = • j0 = 4, j1 = 6 . Mệnh ñề 1.13. Nhóm (C2 ) = < x, u, v  x2 = v2 = u4 = [ x, v ] = [ u, v ] = 1, ux = uv > = { xs vtuh  0 ≤ s, t ≤ 1, 0 ≤ h < 4 }, có 10 lớp liên hợp trong ñó • 2 2 2 2{ }; { }; { }; { } e vu vu C e C u C v C vu= = = = • 3 3 3{ , } ; { , } ; { , }x u uC x xv C u vu C u vu= = = 2 3 2 2 3 3{ , }; { , }; { , }xu xu xuC xv xvu C xu xvu C xu xvu= = = • j0 = 4, j1 = 6 19 Chương II QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN TẬP CÁC NHÓM VÀ ỨNG DỤNG CỦA LỚP LIÊN HỢP VÀO QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT Chương này trình bày quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm, tính bất biến của số lớp liên hợp có cùng ñộ dài ñối với quan hệ ñồng chất. Phần cuối của chương minh họa một ứng dụng của lớp liên hợp vào quan hệ ñồng chất. 2.1. QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN TẬP CÁC NHÓM Định nghĩa quan hệ ñồng chất Cho X là một nhóm, ký hiệu X’ = [ X, X ], X = X/Z( X ) Định nghĩa ánh xạ ∂X: X × X → [ X, X ] ( x , y ) a [ x, y ] Hai nhóm X và Y ñược gọi là ñồng chất nếu tồn tại hai ñẳng cấu: ϕ: X → Y , ψ: X’ → Y’ sao cho biểu ñồ sau giao hoán ϕ ϕ× X × X Y ×Y ∂X ∂Y [ X, X ] [ Y, Y ] ψ 20 nghĩa là ( )Y Xϕ ϕ ψ∂ × = ∂o o . Mệnh ñề 2.1. Quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm là một quan hệ tương ñương Xét ba nhóm không giao hoán sau (xem 1.2.3) D16 = = { xs yt  0 ≤ s ≤ 7, 0 ≤ t ≤ 1 } S16 = = { xs yt  0 ≤ s ≤ 7, 0 ≤ t ≤ 1 } Q16 = = { xs yt  0 ≤ s < 8, 0 ≤ t ≤ 1 } Mệnh ñề 2.2. Ba nhóm S16 , Q16 , D16 quan hệ ñồng chất với nhau. Chứng minh Từ quan hệ cơ bản trong 3 nhóm S16, Q16, D16 . Ta tính ñược, ( ) ( ) ( ) 416 16 16 2 Z S Z Q Z D x C≅ ≅ = ≅ S16 /Z( S16 ) ≅ Q16 /Z( Q16 ) ≅ D16 / Z( D16 ) 4 2 , | [ , ] 1 x y x y x y= 8 D≅ [ S16, S16 ] = = ≅ C4 [ D16, D16 ] = = ≅ C4 [ Q16, Q16 ] = = ≅ C4 Với X và Y là hai trong ba nhóm trên ta dễ dàng kiểm chứng ñược biểu ñồ sau giao hoán ϕ ϕ× X X× Y Y× X∂ Y∂ [ X, X ] ψ [ Y, Y ] 21 nghĩa là ( )Y Xϕ ϕ ψ∂ × = ∂o o . Chẳng hạn, ta xét X = D16 = = { xs yt  0 ≤ s ≤ 7, 0 ≤ t ≤ 1 } , và Y = Q16 = = { as bt  0 ≤ s < 8, 0 ≤ t ≤ 1 } Ta có: ( ) ( )16 16 16 16 8Q /Z Q D / Z D D≅ ≅ và [D16, D16] ≅ [Q16, Q16] Ta xét hai ñẳng cấu như sau 16 16 16 16: / ( ) / ( )D Z D Q Z Q x a y b ϕ → a a [ ] [ ] [ ] [ ] 16 16 16 16: D , D Q , Q , ,x y a b ψ → a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ], , , ,x y x y a b a bϕ ϕ ϕ ϕ ∂ × = ∂ × = ∂ =    o ( )( ) ( ) [ ]( ) [ ], , , ,x y x y x y a bψ ψ ψ ∂ = ∂ = = o ( )ϕ ϕ ψ⇒ ∂ × = ∂o o nghĩa là biểu ñồ sau giao hoán ϕ ϕ× 16 16 16 16( ) ( )D Z D D Z D× 16 16 16 16( ) ( )Q Z Q Q Z Q× ∂ ∂ [ D16, D16 ] [ Q16, Q16] ψ 22 Vậy hai nhóm D16 và Q16 ñồng chất với nhau. Định lý (Tính bất biến của số lớp liên hợp ñối với quan hệ ñồng chất) Giả sử X và Y là hai p-nhóm hữu hạn có cùng cấp, và ñồng chất với nhau. Kí hiệu jk (X) là số lớp liên hợp có pk phần tử của nhóm X. Khi ñó jk( X ) = jk( Y ), k = 0, 1, 2, Chứng minh Giả sử X và Y là hai p-nhóm hữu hạn ñồng chất với nhau, khi ñó tồn tại hai ñẳng cấu : , : ' 'X Y X Yϕ ψ→ → sao cho ϕ ϕ× X X× Y Y× ∂X ∂Y X’ Y’ ψ x X∀ ∈ , ký hiệu ( )( ) ( )XX C xC x Z X= , ta có ( )XC x X≤ a X∈ , ñặt ( ) ,b a Y b Yϕ= ∈ ∈ . ( ) , ( )Xx C a y xϕ∀ ∈ = . Do X và Y ñồng chất nên [ ] [ ] ( ), 1 , 1 ( ) ( ) ( )X Y X Yx a y b y C b C a C bϕ= ⇒ = ⇒ ∈ ⇒ ⊂ . Ngược lại, với ( )Yv C b∈ . Khi ñó ( ) ( )1 Xu v u C aϕ−∀ ∈ ⇒ ∈ sao cho ( )u vϕ = 23 Suy ra ( ) ( ( ))Y XC b C aϕ⊂ . Vậy ( )( ) ( )X YC a C bϕ = ( ) ( )X YC a C b⇒ = vì X, Y hữu hạn và ϕ là song ánh ( ) ( )X YC a C b⇒ = vì ( ) ( )Z X Z Y= a bC C⇒ = Do X và Y là p-nhóm hữu hạn nên jk( X ) = jk( Y ), k = 0,1,2, 2.2. ỨNG DỤNG CỦA CÁC LỚP LIÊN HỢP ĐỐI VỚI QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT TRÊN TẬP CÁC p-NHÓM HỮU HẠN Xét hai nhóm không giao hoán cấp 26 sau ñây ( xem [4] ) X1 = < x1, x2, x3 , x4 / xi2 = 1, 1, 4i = , [ x1, x2 ] = a, [ x3, x4 ] = b, a2 = b2 = 1, [ b, xi ] = [ a, xi ] = 1, 1, 4i = , [ xi, xj ] = 1, ( , ) (1, 2), (3, 4)i j∀ ≠ > = { as bt x1i x2j x3k x4h / 0 ≤ s, t, i, j, k, h ≤ 1 } X2 = < x1, x2, x3 , x4 / xi2 = 1, 1, 4i = , [ x1, x2 ] = a, [ x1, x3 ] = [ x2, x4 ] = b, a2 = b2 = 1, [ b, xi ] = [a, xi] = 1, 1, 4i = , [ xi, xj ] = 1, ( , ) (1, 2), (1,3), (2, 4)i j∀ ≠ > = { as bt x1i x2j x3k x4h / 0 ≤ s, t, i, j, k, h ≤ 1 }. Mệnh ñề 2.4. i) Nhóm X1 ñược chia thành 25 lớp liên hợp như sau • Ce = { e }, Ca = { a }, Cb = { b }, Cab = { ab } • { , }, 1, 2 mx m m C x ax m= = , { , }, 3, 4 nx n n C x bx n= = , 1 2 1 2 1 2 { , }x xC x x ax x= , 3 4 3 4 3 4{ , }x xC x x bx x= , 3 4 3 4 3 4 { , }ax xC ax x abx x= , 1 2 1 2 1 2{ , }bx xC bx x abx x= , 24 { , } nax n n C ax abx= , { , } mbx m m C bx abx= • { , , , } m nx x m n m n m n m n C x x ax x bx x abx x= , ( , ) (1, 2), (3, 4)m n∀ ≠ { , , , }; 1 , , 4, . u v jx x x u v j u v j u v j u v jC x x x ax x x bx x x abx x x u v j u v j = ≤ ≤ ≠ ≠ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 { , , , } x x x x C x x x x ax x x x bx x x x abx x x x= • 0 1 24, 12 , 9j j j= = = ii) Nhóm X2 ñược chia thành 22 lớp liên hợp như sau • Ce = { e }, Ca = { a }, Cb = { b }, Cab = { ab } • { , }, 3, 4 nx n n C x bx n= = , 3 4 3 4 3 4 { , }x xC x x bx x= , 3 4 3 4 3 4 { , } ax x C ax x abx x= , { , } nax n n C ax abx= • { , , , }, 1, 2 mx m m m m C x ax bx abx m= = • { , , , } 1,2 , 2, 4 , u vx x u v u v u v u v C x x ax x bx x abx x u v u v= = = ≠ { , , , }, 1 , , 4, u v jx x x u v j u v j u v j u v jC x x x ax x x bx x x abx x x u v j u v j = ≤ ≤ ≠ ≠ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 { , , , } x x x x C x x x x ax x x x bx x x x abx x x x= • 0 1 24, 6, 12j j j= = = Từ Mệnh ñề trên ta thấy j0(X1) = j0(X2) = 4, j1(X1) = 12 ≠ j1(X2) = 6 , j2(X1) = 9 ≠ j2(X2) = 12 do ñó theo Định lý 2.1.2 ta có hệ quả sau Hệ quả Hai nhóm X1 và X2 không ñồng chất với nhau. 25 KẾT LUẬN ----
---- Luận văn “Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan hệ ñồng chất trên các p - nhóm” ñã thực hiện ñược các nội dung sau: 1. Khảo sát các tính chất của quan hệ liên hợp trong một nhóm, và xác ñịnh ñược lớp liên hợp của một số p-nhóm, cụ thể là các nhóm: 2 2 2 2D , , M ,n n n nQ S , ( C1 ) và ( C2 ) 2. Khảo sát quan hệ ñồng chất trên tập các nhóm, và cho một số ví dụ minh họa. 3. Chứng minh tính bất biến của số lớp liên hợp có cùng ñộ dài ñối với quan hệ ñồng chất trên tập các p-nhóm hữu hạn. 4. Đưa ra một ví dụ thể hiện ứng dụng của quan hệ liên hợp ñối với quan hệ ñồng chất trên tập các p-nhóm hữu hạn. Hy vọng rằng nội dung của ñề tài còn tiếp tục ñược hoàn thiện và mở rộng nhiều hơn nữa, nhằm giải quyết bài toán phân loại ñồng chất các p-nhóm hữu hạn.