Luận văn Lý thuyết xoắn tổng quát và mối quan hệ của nó với tôpô tuyến tính và tôpô gabriel

c tại x∈X nếu mọi lân cận V củaf(x) trong Y đều tồn tại lân cận U của x sao cho f(U)⊂V. Hay một cách tương đương,f- 1(V) là một lân cận của x. Ánh xạ fđược gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x∈X. Định nghĩa 1.3.7.Một song ánh f: X→Y gọi là phép đồng phôi nếufvà f-1 đều là ánh xạ liên tục. Khi đó, ta nói X và Y đồng phôi với nhau. Chương 2 - Lý thuyết xoắn tổng quát, lý thuyết xoắn di truyền và các ví dụ Chúng ta đã biết rằng mỗi vành phân số của một vành A có liên kết với một khái niệm xoắn đối với một A-môđun.Điều này cũng đúng khi ta xét các vành các thương tổng quát của A, nhưng ở đây ta sẽ xét chiều ngược lại.Chúng ta bắt đầu bằng việc tiên đề hóa các khái niệm xoắn, và khi đó với mỗi lý thuyết xoắn ta sẽ liên kết với một vành các thương. Kết quả cơ bản sẽ là một khái niệm xoắn đặc biệt được dùng trong lý thuyết vành các thương, có thể được mô tả qua ba cách tương đương: 1) bởi lớp những môđun xoắn; 2) bởi những ideal phải đóng vai trò như những linh hóa tử của những phần tử xoắn; 3) bởi hàm tử tương ứng mỗi môđun với môđun con xoắn của nó. Trong chương này, xét C là một phạm trù môđun phải trên vành A. 2.1. Preradicals Một cách để giới thiệu khái niệm xoắn đối với A-môđun là đưa ra một hàm tử trên Mod-A, tương ứng mỗi môđun với một môđun con xoắn của nó. Định nghĩa 2.1.1.Một preradical rcủa Ctương ứng mỗi vật C với một vật con r(C) sao cho mọi đồng cấu C→D sinh ra đồng cấu r(C)→r(D) bằng cách thu hẹp. Nói cách khác, một preradical là một hàm tử con của một hàm tử đồng nhất trên C.  Lớp tất cả những preradical của C là một dàn đầy đủ, bởi vì có một thứ tự từng phần với r1 ≤ r2, có nghĩa là r1(C)⊂ r2(C) với mọi vật C, và bất kỳ họ (ri) của những preradical có một cận trên nhỏ nhất ∑ 𝑟𝑖 và một cận dưới lớn nhất ⋂ 𝑟𝑖 được định nghĩa một cách hiển nhiên.  Nếu r1 và r2 là những preradical, ta định nghĩa preradical r1.r2 vàr1 : r2 như sau: r1.r2(C) = r1(r2(C))và (r1 : r2)(C) /r1(C) = r2(C/r1(C)).  Một preradical r là lũy đẳng nếu r.r = r.  Một preradical r là một radical nếu r:r = r, nghĩa là r(C/r(C)) = 0,∀C∈Ob(C). Bổ đề 2.1.2.Nếu r là một radical và D ⊂r(C),thì r(C/D) = r(C)/D. Chứng minh.Xét đồng cấu chính tắc π: C→C/D. Đồng cấu này cảm sinh ra đồng cấur(C)→r(C/D) bằng cách thu hẹp, với hạt nhân là r(C)∩D = D. Theo định lý đẳng cấu 1 (mệnh đề 1.2.3), ta có: r(C)/D⊂r(C/D) (1). Mặt khác, xét đồng cấu chính tắc 𝛼 : C/D→C/r(C). Đồng cấu này cảm sinh ra đồng cấu r(C/D)→r(C/r(C)) bằng cách thu hẹp. Vì r là một radical nên r(C/r(C)) = 0. Do đó: r(C/D)⊂ Ker𝛼, mà Ker 𝛼 = r(C)/D(2). Từ (1) và (2) ta có: r(C/D) =r(C)/D.  Nếu r là một preradical của C thì ta có thể định nghĩa preradicalr-1của Cop bằng cách đặt: r-1(M) = M/r(M).  Rõ ràng, r là lũy đẳng (tương ứng radical) của C khi và chỉ khi r-1 là một radical (tương ứng lũy đẳng) của Cop. Thật vậy, chẳng hạnrlũy đẳng, tức là r(r(M)) = r(M), ta có: r-1(M/r-1(M)) = r-1(M/(M/r(M))) = r-1(r(M)) = r(M)/r(r(M)) = r(M)/r(M) = 0. Điều này cho ta nâng lên một nguyên tắc đối ngẫu hữu dụng:  Đối với mỗi preradical r, ta có thể liên kết đến hai lớp của những vật của C, kí hiệu là: Tr = {C | r(C) = C} và Fr= {C | r(C) = 0}. Chú ý rằng,Frtrong Cbằng với T 𝐫−𝟏 trong C op. Mệnh đề 2.1.3.Trđóng dưới những vật thương và đối tích trực tiếp, trong khi Frđóng dưới những vật con và tích trực tiếp. Chứng minh.Dễ thấy rằng Trđóng dưới những vật thương. Thật vậy, giả sử C∈Tr, ta cần chứng minh vật thương C/D của C cũng thuộc Tr. Xét đồng cấu chính tắc C→C/D. Đồng cấu này cảm sinh ra một đồng cấu r(C)→r(C/D). Vì C∈Tr nên r(C) = C, suy ra r(C/D) ⊃C/D (theo định lí đẳng cấu 1). Do đó, r(C/D) = C/D. Lấy (Ci)I là một họ tùy ý của những vật trong Tr.Xét đồng cấu chính tắcCi→⊕ RICi. Đồng cấu này cảm sinh ra đồng cấur(Ci)→r(⊕ RICi).VìCi∈Trnên r(Ci) = Ci, suy ra đồng cấu Ci→⊕ RICicó ảnh nằm trong r(⊕ RICi). Do đó,dựa vào định nghĩa đối tích trực tiếp, ta có: r(⊕ RICi) = ⊕ RICi . Kết quả tương ứng với Frđược suy ra do đối ngẫu. Hệ quả 2.1.4.Nếu C∈Trvà D∈Fr thì Hom(C,D)= 0. Chứng minh.Thật vậy, giả sử 𝛼 ∈Hom(C,D). Đồng cấu 𝛼 cảm sinh ra đồng cấu r(C)→r(D). Vì C∈Trnên r(C) = C,D∈Frnên r(D) = 0, suy ra 𝛼 cảm sinh ra đồng cấu C→0. Do đó, 𝛼 = 0. Định nghĩa 2.1.5.Một lớp C của những vật C được gọi là một lớp tiền xoắn nếu nó đóng dưới những vật thương và đối tích trực tiếp.Một lớp C của những vật C được gọi là một lớp tiền xoắn-tự do nếu nó đóng dưới những vật con và tích trực tiếp. Lấy C là một lớp tiền xoắn. Nếu C là một vật bất kỳ của C, và t(C) kí hiệu cho tổng của tất cả những vật con của C thuộcC .Khi đó, rõ ràng t(C)∈C . Do đó, mỗi vật C chứa một vật con lớn nhất t(C)∈C .Bằng cách nàyC cho ta nâng lên một preradicalt của C và rõ ràng t là lũy đẳng, vì t(t(C)) = t(C). Kết hợp tiến trình này với tương ứng phía trước :r→ Trthu hẹp trên những lũy đẳng r, ta có: Mệnh đề 2.1.6.Có một song ánh tương ứng giữa những preradical lũy đẳng của C và lớp tiền xoắn của những vật của C. Đối ngẫu, có một song ánh tương ứng giữa những radical của Cvà lớp tiền xoắn-tự do của những vật của C. Đặc biệt, nếu r là một preradical tùy ý của C và đặt �̂� kí hiệu cho preradical tương ứng với Tr, nghĩa là �̂�(C) là vật con lớn nhất D của C sao cho r(D) = D. Khi đó, dễ dàng chỉ ra rằng �̂� là một preradical lớn nhất nhỏ hơn r. Do đó, ta có: Mệnh đề 2.1.7.Đối với mỗi preradical r tồn tại một preradical lũy đẳng lớn nhất �̂� nhỏ hơn r, và có một radical 𝑟 nhỏ nhất lớn hơn r. Vế thứ hai của mệnh đề này có được là do đối ngẫu. Chú ý rằng 𝑟(C) là vật con nhỏ nhất D của C sao cho r(C/D) = 0. Có thể xây dựng �̂� và 𝑟 bằng quy nạp vô hạn như sau:  �̂�: nếu𝛽 không phải là chỉ số giới hạn, thì ta đặt 𝑟𝛽= 𝑟 𝑟𝛽−1, và nếu 𝛽 là chỉ số giới hạn, thì ta đặt 𝑟𝛽= ⋂ 𝑟𝛼𝛼<𝛽 . Điều này cho ta nâng lên một dãy giảm những preradical 𝑟𝛽và �̂�= ⋂ 𝑟𝛽𝛽 .  𝑟: nếu 𝛽 không phải là chỉ số giới hạn, thì ta đặt 𝑟𝛽 = 𝑟𝛽−1: 𝑟 , nghĩa là 𝑟𝛽 được cho bởi công thức : 𝑟𝛽(𝐶)/𝑟𝛽−1(𝐶) = r(C/𝑟𝛽−1(𝐶)) , và nếu 𝛽 là chỉ số giới hạn, thì ta đặt 𝑟𝛽 = ∑ 𝑟𝛼𝛼<𝛽 . Điều này cho ta nâng lên một dãy tăng những preradical 𝑟𝛽 và𝑟 = ∑ 𝑟𝛽𝛽 . Tương ứng r→𝑟 là một phép toán đóng trên dàn những preradical của C, và r→�̂� là một phép toán đóng trên dàn đối. Do đó, những radical và những preradical lũy đẳng tạo thành một dàn đầy đủ. Mệnh đề 2.1.8.(i). Nếu r là một lũy đẳng thì 𝑟 cũng lũy đẳng. (ii). Nếu r là một radical thì 𝑟 �cũng là một radical. Chứng minh.Do tính đối ngẫu, ta chỉ cần chứng minh (ii) là đủ. Do đó, ta phải chứng minh rằng nếu r là một radical thì 𝑟 � cũng là một radical, nghĩa là 𝑟 �(C/𝑟 �(C)) = 0, với mọi vật C. Điều này đồng nghĩa với việc chứng minh C/ 𝑟 �(C) không có vật con khác 0 trong Tr. Thật vậy, giả sử D⊃𝑟 �(C) là một vật con của C sao cho r(D/𝑟 �(C)) = D/𝑟 �(C) (1). Ta có: 𝑟 �(C)⊂ D, suy ra r(𝑟 �(C)) = 𝑟 �(C)⊂r(D). Áp dụng bổ đề 2.1.2, ta có: r(D/𝑟 �(C)) = r(D)/𝑟 �(C) (2). Từ (1) và (2), ta có: D = r(D). Điều này chứng tỏ D là vật con của C và nằm trong Tr, từ đó suy ra D⊂ 𝑟 �(C), do tính lớn nhất của 𝑟 �(C). Do đó, D/𝑟 �(C) = 0. Mệnh đề 2.1.9.Những khẳng định sau là tương đương đối với một preradical r: (a).r là một hàm tử khớp trái; (b).Nếu D⊂C, thì r(D) = r(C)∩D; (c).r là lũy đẳng và Tr đóng dưới những vật con. Chứng minh.(a)⇔ (b): Xét dãy khớp ngắn: 0→D 𝑖 → 𝐶 π → 𝐶/𝐷 →0. Do r là một hàm tử khớp trái nên dãy sau khớp: 0→ 𝑟(D) 𝑖→ 𝑟(𝐶) 𝛼→ 𝑟(𝐶/𝐷) (1) . Đồng cấu𝐶 π → 𝐶/𝐷 cảm sinh đống cấu 𝑟(𝐶) 𝛼→ 𝑟(𝐶/𝐷), với hạt nhân là r(C)∩D. Mặt khác, dãy (1) khớp nênKer 𝛼 = r(D). Do đó, r(D) = r(C)∩D. Tính khớp trái của dãy (1) là hiển nhiên do (b). (b)⇒(c): Áp dụng (b) với D = r(C)⊂C, ta có: r(r(C)) = r(C)∩r(C) = r(C), nên r là lũy đẳng, Trđóng dưới những vật con là hiển nhiên. Thật vậy, giả sử D⊂C, C∈Tr, ta có: r(D) = D∩r(C) = D∩C = D. (c)⇒ (b): Ta có: r(D)⊂r(C)∩D⊂D (*) là những bao hàm hiển nhiên. Mặt khác, r(C)∩D thuộc Trnhư một vật con của r(C), và do r lũy đẳng ta có: r(r(D)) = r(D). Do đó, từ (*) ta có: r(r(D)) = r(D)⊂r(r(C)∩D)⊂ r(D). Suy ra, r(C)∩D = r(D). Định nghĩa 2.1.10.Lớp tiền xoắn được gọi là di truyền nếu nó đóng dưới những vật con. Hệ quả 2.1.11.Có một song ánh tương ứng giữa preradical khớp trái và những lớp tiền xoắn di truyền. Ví dụ : 1.Socle và radical Jacobson. Lấy C là một phạm trù A- môđun phải. Đối với mỗi vật C, ta đặt s(C) kí hiệu cho socle của C, nghĩa là tổng của tất cả vật con đơn của C, và lấy r(C) kí hiệu cho radical Jacobson của C, nghĩa là giao của tất cả vật con tối đại của C. Khi đó, s là một preradical khớp trái, trong khi r là một radical. Thật vậy:  s là preradical khớp trái. o s là một preradical. Đặts(C) = ∑ 𝐶𝑖𝐼 , Ci là môđun con đơn của C. Giả sử α: C→D là một đồng cấu A-môđun. Khi đó, ta cần chứng minh α |s(C):s(C)→s(D) cũng là một đồng cấu A- môđun, tức làα(s(C))⊂s(D).Thật vậy, vì Ci là môđun con đơn của C nên α(Ci) cũng là môđun con đơn của D. Bởi vì, giả sửα(Ci) không đơn, suy ra tồn tại 0 ≠ Di⊂ D sao cho Di⊂α(Ci)và Di ≠α(Ci). Khi đó, 𝛼−1(Di) là một môđun con của C sao cho0 ≠ 𝛼−1(Di)⊂ Ci và 𝛼−1(Di) ≠ Ci, suy ra Ci không đơn (mâu thuẫn). Suy ra ∑ 𝛼 (𝐶𝑖𝐼 )⊂s(D)⇒α(s(C))= ∑ 𝛼 (𝐶𝑖𝐼 )⊂ s(D), do đós là một preradical của C. o s là một preradical lũy đẳng và Ts đóng dưới những vật con. Thật vậy, ta có: s(s(C)) = s (∑ 𝐶𝑖𝐼 ) = ∑ 𝐶𝑖𝐼 = s(C). Ts = {C | s(C) = C} = {C | ∑ 𝐶𝑖𝐼 = C, Ci là môđun con đơn của C}. Giả sử D⊂C∈Ts ⇒ D = ∑ 𝐶𝑖𝐽 , với J⊂ I ⇒s(D) = s (∑ 𝐶𝑖𝐽 ) = ∑ 𝐶𝑖𝐽 = D ⇒ D∈Ts.  r là một radical. o r là một preradical của C. Đặtr(C)= ⋂ 𝐶𝑖 𝐼 , Ci là môđun con tối đại thực sự của C. Giả sử α: C→D là một đồng cấu A-môđun. Ta chứng minh α(r(C))⊂r(D).Thật vậy, ta có :α(r(C)) = α(⋂ 𝐶𝑖𝐼 )⊂⋂ 𝛼(𝐶𝑖𝐼 )⊂ r(D). o r là một radical. Thật vậy, r(C/r(C)) = r(C/⋂ 𝐶𝑖𝐼 ) = D/⋂ 𝐶𝑖𝐼 , trong đóD/⋂ 𝐶𝑖𝐼 là giao của tất cả các môđun con tối đại thực sự của C /⋂ 𝐶𝑖𝐼 . Suy ra, D là giao của tất cả các môđun con tối đại thực sự của C, nên D = ⋂ 𝐶𝑖𝐼 . Do đó, r(C/r(C)) = 0. 2.S-xoắn và S- chia được. Lấy S là một tập mẫu số phải của một vành A. Đối với mỗi môđun M ta đặt t(M) là môđun con S-xoắn của M, trong khi d(M) kí hiệu cho môđun con S- chia được lớn nhất của M(dễ dàng chỉ ra sự tồn tại). Cả t và d đều là những radical lũy đẳng. Hơn nữa, t khớp trái, nhưng điều này không phải luôn đúng vớid. Thật vậy: o t là một preradical. Giả sử α: C→ D là một đồng cấu A-môđun, ta chứng minh α(t(C))⊂ t(D). Ta có: t(C) = {x∈C | ∃s∈S, x.s = 0}⇒∀x∈t(C),∃s∈S,α(x).s = 0⇒α(x)∈t(D). o t là một radical. Ta có: t(C/t(C)) = {x + t(C)|∃s∈S,(x + t(C)).S∈t(C)} = {x + t(C)|∃s∈S,x.s∈t(C)} = {x + t(C)| ∃r∈S,(x.s).r = 0, s∈S} = {x + t(C) | ∃t = s.r∈S, x.t = 0}= 0. o t là một lũy đẳng. Thật vậy, ta có: t(t(C)) ={x∈t(C)| ∃s∈S,x.s = 0}= t(C). o d là một preradical. Đặtd(C)=∑ 𝐶𝑖𝐼 ,Ci là môđun con S-chia được của C. Giả sử α: C→D là một đồng cấu A- môđun. Khi đó,α(d (C)) = α (∑ 𝐶𝑖𝐼 ) = {α(x)|x∈∑ 𝐶𝑖𝐼 },Ci là môđun S-chia được của C.Ta có: x∈∑ 𝐶𝑖𝐼 ⇒ x =∑ 𝑥𝑖𝐼 , với xi ∈𝐶𝑖⇒∀s∈S,∃yi∈𝐶𝑖sao cho xi=yis. Suy ra, α (x) = ∑ 𝛼(𝑦𝑖) 𝑠𝐼 . Do đó, α (∑ 𝐶𝑖𝐼 ) là một môđun con S-chia được của D, nên d là một preradical của C. o d là một radical. Ta chứng minh: d (C/d (C)) = 0. Giả sử d (C/d (C)) = D/d (C), trong đó D là vật con của C và D/d (C) là vật con S-chia được lớn nhất của C/d (C). Suy ra, D là vật con chia được lớn nhất của C. Bởi vì,∀𝑥∈D/d (C),∀s∈S,∃𝑦∈D/d (C),𝑥= 𝑦.s⇒(x + d (C)) = (y + d (C)).s ⇒x = y.s⇒ D là môđun con S-chia được của C. Do đó, D/d (C) = 0. o d lũy đẳng. Thật vậy, ta có: d (d (C)) = d (C) vì d (d (C)) là vật con S-chia được lớn nhất của d (C). Rõ ràng, d (C) là một vật con S-chia được nên d (d (C)) = d (C). o t khớp trái. Ttđóng dưới những môđun con. Giả sử C∈Tt={C | t(C) = C}. Ta có: C∈Tt⇒ C = t(C)⇒∀ x∈C,∃s∈S, x.s = 0. Điều này chứng tỏ x.s = 0 với mọi x∈D, với D⊂C.Do đó, D∈Tt,∀ D⊂C. o d không khớp trái. Tdkhông đóng dưới những môđun con. Thật vậy, Td= {C | d (C) = C} C∈Td⇒∀x∈C,∀s∈S,∃y∈C: x = ys. D⊂C∈Td⇒∀x∈D,∀s∈S,∃y∈C: x = ys. Trong đó, lưu ý rằng y có thể không thuộc D. Do đó, không thể khẳng định được D∈Td . 3.Ideal tiền xoắn. Nếu r là một preradical của Mod-A, thì r(A) là một ideal hai phía, bởi vì nó không phân biệt dưới tất cả các tự đồng cấu của A. Thật vậy, giả sử r là một preradical lũy đẳng của Mod-A. Khi đó, với a cố định trong A, xét tự đồng cấu của A- môđun AA (A xem như A- môđun phải) α: A→A x→x.a Đồng cấu này cảm sinh ra đồng cấu α|r(A): r(A)→r(A), nên với mọi x∈r(A)⇒ x.a∈r(A),∀a∈A. Do đó, r(A) là một ideal phải của A. Tương tự, tự đồng cấu của A- môđun AA (A xem như một A- môđun trái) α: A→A x→a.x cảm sinh ra đồng cấu α|r(A) : r(A)→r(A), nên với mọi x∈r(A)⇒ a.x∈r(A),∀a∈A. Do đó, r(A) là một ideal trái của A. 2.2. Lý thuyết xoắn Định nghĩa 2.2.1.Một lý thuyết xoắn đối với C là một cặp (T,F) của những lớp của những vật của C sao cho: (i).Hom(T,F) = 0,∀T∈T, F∈F; (ii).NếuHom(C,F) = 0,∀F∈F, thì C∈T; (iii).NếuHom(T,C) = 0,∀T∈T,thì C∈F.  Tđược gọi là một lớp xoắn và nó chứa những vật xoắn.  Fđược gọi là một lớp xoắn-tự do và nó chứa những vật xoắn-tự do.  Cho trước lớp C của những vật, C sẽ sinh ra lý thuyết xoắn theo cách sau: F ={F | Hom(C,F) = 0,∀C∈C }. T={T | Hom(T,F) = 0,∀F∈F}. Rõ ràng, cặp (T,F) là một lý thuyết xoắn và Tlà lớp xoắn nhỏ nhất chứa C . Đối ngẫu, lớp C đối sinh ra lý thuyết xoắn (T,F) sao cho F là lớp xoắn tự do nhỏ nhất chứaC. Mệnh đề 2.2.2.Những tính chất sau của một lớpTcủa những vật là tương đương:(a).T là một lớp xoắn đối với một lý thuyết xoắn. (b).T đóng dưới những vật thương, đối tích trực tiếp và mở rộng. Chứng minh.Một lớp C được gọi là đóng dưới những mở rộng nếu đối với mỗi dãy khớp0→C’→C→C’’→0, với C’ và C’’trong C thì C∈C . Giả sử (T,F) là một lý thuyết xoắn.T dĩ nhiên đóng dưới những vật thương, và nó đóng dưới đối tích trực tiếp bởi vì Hom(⊕ RITi,F)≅ ∏IHom(Ti,F). Lấy 0→C’→C→C’’→0 là một dãy khớp với C’ và C’’ trong T , ta cần chứng minh C∈T .Nếu F là một môđun xoắn tự do và có một đồng cấu : C→F, thì 𝛼 = 0 trên C’, vì thế 𝛼được xác định trên C’’. Nhưng ta cũng có Hom(C’’,F) = 0, vì thế 𝛼 = 0. Do đó,C∈T. Ngược lại, giả sử rằngTđóng dưới những vật thương, đối tích trực tiếp và mở rộng. Lấy (T’,F) là một lý thuyết xoắn được sinh bởi lớp xoắn T. Chúng ta sẽchỉ ra rằng T= T’. Giả sử Hom(C,F) = 0,∀F∈F, ta phải chứng minh C∈T. Bởi vì Tlà một lớp tiền xoắn, nên có một vật con lớn nhất T của C sao cho T∈T . Ta sẽ chứng minh rằng C = T, điều này sẽ có được nếu ta chứng minh được C/T∈F(vìgiả sử C ≠ Tsuy raC/T ≠ 0mà C/T hiển nhiên thuộc T’ do T’ đóng dưới những vật thương và nếu có thêm C/T∈Fthì rõ ràng có T’ = C/T∈T’, F= C/T∈Fmà 1C/T∈Hom(T’,F)≠0(mâu thuẫn) , do đó C = T). Bây giờ ta chứng minh C/T∈F. Giả sử ta có : T’’→C/T, với T’’∈T. Ảnh của 𝛼 cũng thuộcT, bởi vì Im 𝛼 ≅ T’’/Ker 𝛼, và nếu 𝛼 ≠0 thì ta có một vật con C’của C chứa nghiêm ngặt T và thuộc T, bởi vì Tđóng dưới mở rộng (C’/T và T đều thuộc Tnên C’ cũng thuộc T ). Điều này mâu thuẫn với tính lớn nhất của T, vì thế ta phải có 𝛼 = 0, suy raC/T∈F. Dựa vào tính đối ngẫu ta cũng có: Mệnh đề 2.2.3.Những tính chất sau của một lớpFcủa những vật là tương đương:(a).Flà một lớp xoắn tự do đối với một lý thuyết xoắn. (b).Fđóng dưới những vật con, tích trực tiếp và mở rộng.  Nếu (T,F) là một lý thuyết xoắn, thì Ttrong trường hợp này là một lớp tiền xoắn đặc biệt, vì thế mọi vật C chứa một vật con lớn nhất t(C) thuộcT, được gọi là vật con xoắn của C.  Một vật C được gọi là vật xoắn-tự do khi và chỉ khi t(C) = 0, bởi vì C∈Fkhi và chỉ khi Hom(T,C) = 0,∀T∈T.  Preradical lũy đẳng t thật sự là một radical, điều này dễ dàng thấy được từ sự kiện Tđóng dưới mở rộng. Thật vậy, giả sử t(C/t(C)) ≠ 0, tức là tồn tại vật con C’ của C sao cho C’ chứa thật sự t(C) và C’/t(C)∈T.Khi đó, C’∈T(vì C’/t(C)∈T và t(C)∈T) (mâu thuẫn với tính lớn nhất của t(C)).  Ngược lại, nếu t là một radical lũy đẳng của C thì ta có một lý thuyết xoắn (Tt ,Ft ) với : Tt= {C | t(C) = C} và Ft= {C | t(C) = 0}. Mệnh đề 2.1.6.bây giờ trở thành: Mệnh đề 2.2.4.Có một song ánh tương ứng giữa những lý thuyết xoắn và những radical lũy đẳng. Hệ quả 2.2.5.Nếu r là một preradical lũy đẳng, thì 𝑟 là một radical lũy đẳng tương ứng với lớp xoắn nhỏ nhất chứa Tr . Chứng minh.Bởi vì𝑟 là một radical lũy đẳng nhỏ nhất chứa r, nó phải tương ứng với lớp xoắn nhỏ nhất chứa Tr . Mệnh đề 2.2.6.Lấy C là một lớp của những vật đóng dưới những vật thương. Lớp xoắn sinh ra bởiC chứa tất cả những vật C sao cho mỗi vật thương khác 0 của C có một vật con khác 0 trong C . Chứng minh.Lấy (T,F) là một lý thuyết xoắn sinh ra bởi C . Bởi vì C đóng dưới những vật thương, một vật thuộc Fkhi và chỉ khi nó không có vật con khác 0 trongC .Thật vậy, một vật thuộc Fthì dĩ nhiên là không có vật con khác 0 trong C , bây giờ ta giả sử một vật F không có vật con khác 0 trong C , ta sẽ chứng minh rằng F thuộc F. Giả sử ngược lại F không thuộc Fkhi đó, tồn tại 0 ≠ 𝛼 :T→F, với Tthuộc C , hiển nhiên 0 ≠ 𝛼(T) là một vật con của F và ta cũng có 𝛼(T) ≅T/Ker𝛼∈C (do C đóng dưới những vật thương) (mâu thuẫn). Do đó, khẳng định trên tương đương với điều sau: một vật C thuộc T khi và chỉ khi C không có vật thương khác 0 trongF, và đây là một tính chất hiển nhiên của một lý thuyết xoắn (T,F). Ví dụ : 1.Lý thuyết xoắn chẻ. Một lý thuyết xoắn là chẻ nếu vật con xoắn của C là một hạng tử trực tiếp của C, đối với mọi vật C. Chẳng hạn, nếu e là một lũy đẳng tâm của một vành A, ta đặt t(M) = M.e , đối với mọi môđun M, thì ta có một lý thuyết xoắn chẻ (T,F) đối với Mod-A với T= {M | M.e = M} và F= {M | M.e = 0}. Một lý thuyết xoắn có được bằng cách này từ một lũy đẳngtâm ecủa một vành được gọi là tâm hóa chẻ. Giả sử t(M) = Me.Đặt Tt={M | t(M) = M},Ft= {M | t(M) = 0}. Khi đó, (Tt ,Ft ) lập thành một lý thuyết xoắn. Thật vậy,t là một radical lũy đẳng. o t là một preradical. Bởi vì, giả sử α: C→D là một đồng cấu thì α(t(C))⊂ t(D). Thật vậy, ta có: ∀x∈t(C),∃y∈C sao cho x = ye, suy ra: α(x) = α(y)e. Do đó, α(x)∈ t(D). o t là một lũy đẳng, vì t(t(C)) = {x∈t(C) | x = y.e, vớiy∈t(C)} = t(C). o t là một radical, vì t(C/t(C)) = {𝑥∈C/t(C) | 𝑥 = 𝑦.e, với 𝑦∈C/t(C)} ={x + t(C)∈ C/t(C) | x = y.e, với y∈C} = 0. 2.Những vật chia. Lấy K là một vật của C. Lý thuyết xoắn (D,R) được sinh bởi K có thể được mô tả theo nghĩa của mệnh đề 2.2.6 như sau: D={C | Hom (K,C’) ≠ 0 với mọi vật thương khác-không C’ của C} R={C | Hom (K,C) = 0}.  Những vật trong D được gọi là K- chia được.  Những vật trong R được gọi là K- rút gọn. Mỗi vật C chứa một vật con K-chia được lớn nhấtd (C). Ta cũng có thể xác định một preradical qbởi q(C) = ∑ Im𝛼, 𝛼 chạy khắp Hom(K,C). Rõ ràng, q lũy đẳng và d= 𝑞.Trường hợp đặc biệt thú vị ta chọn K = E(A) trong Mod-A. Mọi môđun nội xạ là E(A)-chia được. Thật vậy, những môđun E(A)-chia được chính là lớp xoắn được sinh bởi lớp những môđun nội xạ. Bây giờ ta sẽ chứng minh (D,R)đượcmô tả ở trênlà một lý thuyết xoắn. o Hom(D,R) = 0, ∀D∈D , R∈R . Giả sử α: D→R,α≠0 ⇒ 0 ≠ α(D)⊂R ⇒Hom(K, α(D)) = 0. Mặt khác, α(D)≅D/Kerα⇒ Hom(K, α(D)) ≠ 0(mâu thuẫn). o Giả sử Hom(D,C) = 0 với D∈D , chứng minh C∈R. Thật vậy, giả sử C∉R, tức là Hom(K,C) ≠ 0 ⇒∃α : K→C,α≠0. Ta có: α(K)≅K/Ker α∈D , vì Hom(K,K’ )≠0 với K’là vật thương khác -không củaK/Kerα. Do đó,Hom(α(K),C) = 0. Điều này chứng tỏα=0(mâu thuẫn ). o Giả sử Hom(C,R) = 0 với R∈R , chứng minh C∈D . Thật vậy, giả sử C∉D .Khi đó, Hom(K,C’) = 0, với C’ là vật thương khác - không của C, nói riêng Hom(K,C) = 0. Do đó, C∈Rvì thế nên Hom(C,R) ≠ 0, với R∈R(mâu thuẫn). 2.3. Lý thuyết xoắn di truyền Định nghĩa 2.3.1.Một lý thuyết xoắn (T,F) được gọi là di truyền nếu Tlà di truyền, có nghĩa là Tđóng dưới những vật con.Từ mệnh đề 2.1.9 ta nhớ lại rằng, điều này xảy ra khi và chỉ khi radical liên kết t là khớp trái. Kết hợp hệ quả 2.1.11 và mệnh đề 2.2.4, ta có: Mệnh đề 2.3.2.Có một song ánh tương ứng giữa lý thuyết xoắn di truyền và những radical khớp trái. Mệnh đề 2.3.3.Một lý thuyết xoắn (T,F) là di truyền khi và chỉ khi F đóng dưới những bao nội xạ. Chứng minh.Nếu t khớp trái và F∈F, thì t(E(F))∩F = t(F) = 0. Điều này chỉ ra t(E(F)) =0(bởi vì F cốt yếu trong E(F)), nên E(F)∈F. Giả sử ngược lại Fđóng dưới những bao nội xạ. Nếu T∈Tvà C⊂T, thì có một đồng cấu 𝛽:T→E(C/t(C)) sao cho biểu đồ sau giao hoán: CT αβ C/t(C)E(C/t(C)) Nhưng E(C/t(C)) là xoắn tự do, nên 𝛽 = 0. Điều này chỉ ra 𝛼 = 0, và do đó C=t(C)∈T. Mệnh đề 2.3.4.Lấy C là một lớp của những môđun đóng dưới những môđun con và môđun thương. Lý thuyết xoắn sinh bởiC là di truyền. Chứng minh.Chúng ta sẽ chỉ ra rằng lớp của những môđun xoắn tự do là đóng dưới những bao nội xạ. Giả sử F là một môđun xoắn tự do và tồn tại một đồng cấu khác - không 𝛼 : C→E(F) với C∈C. Khi đó, Im 𝛼 ∈C , bởi vì Im𝛼 ≅C/Ker𝛼∈C, và F∩Im 𝛼 là một môđun con của F thuộc C (mâu thuẫn). Hệ quả 2.3.5.Nếu r là một preradical khớp trái, thì𝑟 cũng khớp trái. Chứng minh.Trlà một lớp tiền xoắn di truyền, vì thế theo mệnh đề 2.3.4 và hệ quả 2.2.5 chỉ ra 𝑟 khớp trái. Hệ quả 2.3.6.Nếu r là một preradical khớp trái và M là một môđun, thì r(M) là một môđun con cốt yếu của 𝑟(M). Chứng minh.Giả sử L⊂ 𝑟(M) và L∩r(M) = 0. Khi đó, r(L) = 0, điều này chỉ ra rằng 𝑟(L) = 0(theo định nghĩa của 𝑟). Nhưng ta có 𝑟(L) = 𝑟(M)∩L = L, vì thế L = 0. Mệnh đề 2.3.7.Một lý thuyết xoắn di truyền được sinh bởi họ những môđun cyclic A/a, là những môđun xoắn. Chứng minh.Một môđun M là môđun xoắn khi và chỉ khi mọi môđun con cyclic là một môđun xoắn. Từ nhận xét này, phát biểu trên được suy ra dễ dàng.  Một lý thuyết xoắn di truyền do đó được xác định duy nhất bởi họ những ideal phải a sao cho A/a là một môđun xoắn. Họ những ideal phải này sẽ được tìm hiểu ở chương sau. Một kiểu phát biểu đối ngẫu của mệnh đề 2.3.7 là: Mệnh đề 2.3.8.Một lý thuyết xoắn là di truyền khi và chỉ khi nó được đối sinh bởi một môđun nội xạ. Chứng minh.Lấy E là một môđun nội xạ và đặt T= {M | Hom(M,E) = 0}. Nếu M∈Tvà L là một môđun con của M với một đồng cấu khác-không 𝛼: L→E, thì có thể mở rộng đến một đồng cấu M→E. Vì thế:L∈T,và do đó lý thuyết xoắn đối sinh bởi E là di truyền. Ngược lại, giả sử (T,F) là một lý thuyết xoắn di truyền. Đặt E = ∏ E(A/a) với tích lấy trên tất cả các ideal phải a của A sao cho A/a∈F. Khi đó, E là môđun xoắn-tự do, vì thếHom(M,E) = 0 với mọi môđunM∈T. Mặt khác, nếu M không thuộcT, thì tồn tại một môđun con cyclic C của M và một đồng cấu khác - không 𝛼: C→F với F thuộc F. Ảnh của 𝛼 là môđun cyclic xoắn tự do, vì thế cảm sinh một đồng cấu C→E, đồng cấu này có thể mở rộng đến một đồng cấu khác- không M→E. Do đó ta đã chỉ ra M thuộc Tkhi và chỉ khi Hom(M,E) = 0, và điều này có nghĩa là E đối sinh ra một lý thuyết xoắn. Khi áp dụng kết quả này vào một môđun nội xạ có dạng E(M), ta có sẵn điều sau: Bổ đề 2.3.9.Nếu L và M là những môđunthì Hom(L,E(M))= 0 khi và chỉ khi Hom(C,M) = 0 với mọi môđun con cyclic C của L. Mệnh đề 2.3.10.Xét một lý thuyết xoắn di truyền đối sinh bởi một môđun nội xạ E. Một môđun M là xoắn-tự do khi và chỉ khi nó là một môđun con của tích trực tiếp của những bản sao của E. Chứng minh.Mọi môđun con của tích trực tiếp EI dĩ nhiên là một môđun xoắn-tự do. Ngược lại, nếu M là một môđun xoắn-tự do và 0≠x∈M, thìxA không là môđun xoắn, vì thế Hom(xA,E) ≠0. Bởi vì E là một môđun nội xạ, điều này có nghĩa là mọi phần tử 0 ≠x∈M tồn tại 𝜇: M→E sao cho 𝜇(x) ≠ 0. Nếu ta định nghĩa η: M→EI, trong đó I = Hom(M,E), bởi η(x) = (𝜇(x))μ∈I thì η là một đơn cấu. Ví dụ : 1.Vật đối sinh nội xạ. Một vật đối sinh nội xạ đối với Mod-A giống như một môđun nội xạ đối sinh ra lý thuyết xoắn (0,F ) với Fchứa tất cả các A-môđun. Thật vậy, giả sử E là một vật đối sinh nội xạ đối với Mod-A, khi đó Hom(M, E) ≠ 0 với mọi môđun M ≠ 0. Do đó, nếu đặt T = {M | Hom(M, E) = 0} thì T= 0. Khi đó, hiển nhiên F = {F | Hom(T, F) = 0,∀ T∈T } = {F | Hom(0, F) = 0} sẽ chứa tất cả các A- môđun. Ngược lại, giả sử E là một môđun nội xạ đối sinh ra lý thuyết xoắn (0,F) với F chứa tất cả các A-môđun. Khi đó, nếu Hom(M, E) = 0 thì M = 0, nghĩa là Hom(M, E) ≠ 0với mọi môđun M ≠ 0. 2.S-xoắn. Nếu S là một tập mẫu số phải của vành A thì môđun S- xoắn và môđun S-xoắn tự do tạo thành một lý thuyết xoắn di truyền. Thật vậy, gọi Tlà lớp các môđun S- xoắn và F là lớp các môđun S- xoắn tự do, tức là: T = {M | ∀x∈M, ∃s∈S, xs = 0} và F = {M|∀ 0 ≠ x∈M, xs ≠ 0,∀s∈S} Ta có : o Hom(T, F) = 0,∀T∈T,F∈F. Thật vậy, giả sử0 ≠ 𝛼 : T→F, suy ra 𝛼(T)⊂Fnên 𝛼(T) cũng thuộc F. Với mọi x∈T,∃s∈S, xs = 0⇒𝛼(x). s = 0, suy ra𝛼(T) = 0(do 𝛼(T)∈F) (mâu thuẫn).Do đó, 𝛼 = 0. o Nếu Hom(C, F) = 0,∀F∈Fthì C∈T, bởi vì nếu C∉Tthì ∃0 ≠ x∈C,xs ≠ 0,∀s∈S, suy ra xA∈Fvà do đó, tồn tại một đồng cấu 0 ≠ 𝛼 : xA→F , với F∈F, đồng cấu này có thể mở rộng đến một đồng cấu khác - không C→F,nên Hom(C, F) ≠ 0 (mâu thuẫn). Vậy C∈T. o Tương tự như vậy ta có được nếu Hom(T,C) = 0,∀T∈T, thì C∈F.Bởi vì, nếu C∉Fthì tồn tại 0 ≠ x∈C sao cho xA∈T và do đó, tồn tại một đồng cấu 0 ≠𝛼 : T→xA, với T∈T đồng cấu này sinh ra một đồng cấukhác - không T→C, nênHom(T,C) ≠ 0 (mâu thuẫn). Vậy C∈F. o Hiển nhiên, T đóng với các vật con. 3.Giao hoán địa phương (Commutative localization). Lấy A là một vành giao hoán và p là một ideal nguyên tố của A. Nếu S = {a∈A | a∉p}, thì lý thuyết S-xoắn được đối sinh bởi E(A/p). Ta cần chứng minh M là môđun S- xoắn khi và chỉ khi Hom(M,E(A/p)) = 0. o Thật vậy, 0 ≠x∈A/pchỉ ra Ann(x) =p, vì thế A/p là môđun S- xoắn tự do, và khi đó E(A/p) cũng là môđun S- xoắn tự do ( vì lý thuyết S- xoắn là di truyền nên lớp S- xoắn tự do đóng dưới bao nội xạ). Do đó, Hom(M,E(A/p)) = 0 với M là một môđun S- xoắn. o Mặt khác, nếu Hom(M, E(A/p)) = 0, thì Ann(x)⊄p với mọi phần tử khác - khôngx∈M, nghĩa là ∀x∈M, ∃s∈S, xs = 0vì thế M là môđun S-xoắn. Chương 3 - Mối quan hệ giữa lý thuyết xoắn tổng quát và tôpô tuyến tính, tôpô Gabriel và một số ví dụ Chúng ta chú ý rằng một lý thuyết xoắn di truyền được đặc trưng bởi họ những ideal phải a sao cho A/a là một môđun xoắn. Điều này sẽ dẫn đến họ những ideal phải như vậy là một họ của những lân cận của 0 đối với một tôpô nhất định trên A. Bởi vì lí do này, ta sẽ bắt đầu một thảo luận về những vành tôpô. Chú ý rằng những khía cạnh tôpô này không phải là thiết yếu đối với sự phát triển của lý thuyết xoắn, nhưng bằng cách này chúng làm cho bức tranh thêm đầy đủ hơn. Chương này cho ta những hình ảnh cụ thể hơn về khả năng áp dụng cũng như mối quan hệ của lý thuyết xoắn tổng quát mà ta đã xét ở chương trước với các tôpô tuyến tính trên vành A và tôpô Gabriel trên vành A. 3.1. Tôpô tuyến tính Định nghĩa 3.1.1.Một nhóm aben G là một nhóm tôpô nếu nó được trang bị một tôpô sao cho phép toán nhóm (a,b) → a + bvà a → - a là những ánh xạ liên tục từ G×G → G và G → G.  Đối với một phần tử cố định a∈G, ánh xạ biến đổi x → a + x là một phép đồng phôi, vì thế U là một lân cận của a khi và chỉ khi U - a là một lân cận của 0. Do đó, tôpô của G hoàn toàn được xác định bởi bộ lọc(filter) N của những lân cận của 0. Bộ lọc này thỏa mãn: (N1). Đối với mỗi U∈N, tồn tại V∈Nsao cho V + V⊂U; (N2).U∈Nchỉ ra - U∈N .  Ngược lại, nếu G là một nhóm aben với bộ lọc Ncủa những tập con, tất cả đều chứa 0, và nếu Nthỏa mãn (N1), (N2), thì có duy nhất một tôpô trên G sao cho G là một nhóm tôpô và N là một hệ lân cận của 0.  Chú ý rằng, nếu H là một nhóm con của một nhóm tôpô aben G, thì H là mở khi và chỉ khi nó chứa một điểm trong (khi đó, tất cả các điểm đều là điểm trong do ánh xạ biến đổi). Vì thế những nhóm con mở tạo thành một bộ lọctôpô trong tập tất cả những nhóm con. Định nghĩa 3.1.2.Một vành tôpô là một vành A cùng với một tôpô làm thành một nhóm tôpô, sao cho phép nhân (a,b) → a.b là một ánh xạ liên tục từA×A → A. Bởi vì ta có thể viết:ab - a0b0 = (a - a0)(b - b0) + (a - a0)b0+ a0(b - b0) nên tính liên tục của phép nhân có được nếu chỉ cần: 1). Với mỗi a∈A, ánh xạx → axvà x → xaliên tục tại 0; 2). Ánh xạ (a,b) → a.b liên tục tại (0,0). Dĩ nhiên, A phải là một nhóm tôpô. Do đó, nếu A là một vành tôpô, họ Ncủa những lân cận của 0 thỏa mãn ngoài (N1),(N2) còn có: (N3). Với mỗi a∈A và U∈N, thì tồn tại V∈Nsao cho aV⊂U và Va⊂U; (N4). Với mỗi U∈Nthì tồn tại V∈Nsao cho V.V⊂U. Ngược lại, nếu A là một vành với một bộ lọc Ncủa những tập con tất cả đều chứa 0 và nếu Nthỏa mãn (N1), (N2), (N3), (N4) thì có duy nhất một tôpô trên A, biến A thành một vành tôpô với Nlà một hệ lân cận của 0. Định nghĩa 3.1.3.Giả sử A là một vành tôpô. Một A-môđun phải tôpôlà một A- môđun phải M, được trang bị một tôpô sao cho M là một nhóm tôpô và ánh xạ M×A → M, cho bởi (x,a) → x.a là liên tục. Việc xem xét đối với vành tôpô có thể được lặp lại đối với môđun, vì thế họ Mcủa những lân cận của 0 được đặc trưng bởi ngoài (N1), (N2) còn có những tính chất sau: (Lấy N kí hiệu cho họ lân cận của 0 trong A) (NM3). Đối với mỗi x∈M và U∈M, tồn tại V∈N sao cho xV⊂U; (NM4). Đối với mỗi U∈Mvà a∈A, tồn tại V∈M sao cho Va⊂U; (NM5). Đối với mỗi U∈M, tồn tại V∈Mvà W∈Nsao cho V.W⊂U. Chú ý:Luận văn này chỉ đề cập đặc biệt đến những tôpô được xác định bởi những ideal và những môđun con. Định nghĩa 3.1.4.Một vành tôpôA là tôpô tuyến tính phải nếu nó có một hệ nềntảng những lân cận của 0 chứa những ideal phải. Tập Fcủa tất cả những ideal phải mở khi đó thỏa mãn: (T1). Nếu a∈F và a⊂b thì b∈F ; (T2). Nếu a và b thuộc F thì a∩b∈F ; (T3).Nếu a∈Fvà a∈A, thì (a : a)∈F. Hai tính chất đầu tiên chỉ phát biểu rằng Flà một bộ lọc tôpô trong khi (T3) đến từ (N3). Ngược lại, nếu Flà một tập của những ideal phải của A, thỏa mãn (T1),(T2),(T3) thì có duy nhất một tôpô tuyến tính phải trên A với Flà một hệ nền tảng nhữnglân cận của 0. Thật vậy, những tính chất (N1),(N2),(N4)cũng như một nửa (N3) là tự động thỏa mãn khi F chứa những ideal phải,và nửa còn lại của (N3) có được là do (T3). Định nghĩa 3.1.5.Giả sử A là một vành tôpô tuyến tính phải với F là tập của tất cả những ideal phải mở. Một A-môđun phảitôpôM được gọi là môđun tôpôtuyến tính nếu nó có một hệ nền tảng những lân cận của 0 chứa những môđun con. Những môđun con mở của M thỏa mãn: (TM1). Nếu L⊂L’ là những môđun con của M và L mở thì L’ mở; (TM2). Nếu Lvà L’ là những môđun con của M và L, L’mở thì L∩L’ mở; (TM3). Nếu L là một môđun con mở của M và x∈M thì (L:x)∈F. Ngược lại những tính chất này xác định duy nhất một tôpô tuyến tính trên M, tương tự trường hợp vành. Đặc biệt, đối với một A-môđun phải bất kỳ có một tôpô tuyến tính mạnh nhất trên M, kí hiệu cho tập những môđun con mở này là :F(M) = {L⊂M | (L:x)∈F,∀x∈M}.Thật vậy, F(M) thỏa mãn (TM1), (TM2) như trường hợp (T1), (T2) đối với F, trong khi (TM3) là hiển nhiên. Tôpô này được gọi là F -tôpô trên M. (F-tôpô trên A chính là tôpô đã cho). Định nghĩa 3.1.6.F -tôpô của M là biệt lậpkhi và chỉ khi những ideal linh hóa tử phải Ann(x)∈F với mọi x∈M. Ta sẽ gọi môđun M là F - biệt lập nếu F- tôpôcủa M là biệt lập. Bổ đề 3.1.7.Lớp của những môđun F-biệt lập là một lớp tiền xoắn di truyền. Chứng minh.Bởi vì một môđun M là F -biệt lập khi và chỉ khi Ann(x)∈F,∀x∈M. Rõ ràng, lớp môđun F-biệt lập là đóng dưới những môđun con. Tính đóng dưới những môđun thương được suy ra từ (T1) và đóng dưới tổng trực tiếp là do (T2). Do hệ quả 2.1.11 có sự tương ứng giữa Fvới một preradical khớp trái t và ta có t(M) = {x∈M|Ann(x)∈F}. Thật tiện lợi nếu gọi t(M) là một môđun con F - tiền xoắn của M. Chúng ta cũng sẽ dùng luân phiên cụm từ “môđun F -biệt lập” và “môđun F -tiền xoắn”. Hệ quả 2.1.11 bây giờ có thể hoàn chỉnh như sau: Mệnh đề 3.1.8.Có một song ánh tương ứng giữa: (1).Tôpô tuyến tính phải trên A; (2).Lớp tiền xoắn di truyền của những A-môđun; (3).Preradical khớp trái của Mod -A. Chứng minh.Đối với mỗi tôpô tuyến tính Fchúng ta liên kết với một lớp tiền xoắn C= {M|Ann(x)∈F,∀x∈M}.Ngược lại, nếu C là một lớp tiền xoắn di truyền, thì ta đặtF là họ những ideal phải a sao cho A/a∈C . Họ F này thỏa mãn (T1) bởi vì C đóng dưới những môđun thương, thỏa mãn (T2) bởi vì A/(a∩b) là môđun con của A/a ⊕A/b,và thỏa mãn (T3) bởi vì nếu a∈F và a∈A, thì nhân bên trái bởiata được dãy khớp: 0→(a:a)→A→A/a.Điều này chỉ ra rằng A/(a:a)⊂A/a. Do đó, F xác định một tôpô tuyến tính phải trên A. Bây giờ ta thiết lập một song ánh (1)↔(2).Bắt đầu với một tôpô tuyến tính với tập F của những ideal phải mở, ta có C ={M | Ann(x)∈F,∀x∈M} và khi đó ta có {a | A/a∈C } = {a | (a:a)∈F,∀a∈A}= F bởi (T1). Mặt khác, nếu ta bắt đầu với một lớp tiền xoắnC , trước tiên ta có F= {a | A/a∈C } và khi đó ta có {M | Ann(x)∈F,∀x∈M} = {M | mỗi môđun con cyclic của M thuộc C } = C , bởi vì C đóng dưới tổng trực tiếp.  Nếu A là một vành tùy ý và F là một tập những ideal phải của A thỏa mãn (T1), (T2), (T3) thì ta sẽ lạm dụng ngôn ngữ gọi Flà một tôpô(phải). Tôpô tuyến tính tương ứng trên A được gọi là F - tôpô trên A, đã nói ở phần trên.  Một cơ sở đối với tôpôF ta hiểu là một tập con B của F sao cho mỗi ideal phải trong F chứa trong các ideal b∈B. Ví dụ : • Tôpôa-adic. Lấy a là một ideal hai phía trong vành A. Những lũy thừa an tạo thành một cơ sở đối với một tôpô tuyến tính trên vành A, cái mà thường được gọi là “tôpôa-adic”. 3.2. Tôpô Gabriel Một lý thuyết xoắn di truyền tương ứng với một tôpô tuyến tính sao cho lớp của những môđun biệt lập là đóng dưới những mở rộng. Để đặc trưng cho những tôpô này ta sẽ đưa thêm một tính chất nữa: (T4).Nếu a là một ideal phải và tồn tại b∈Fsao cho (a:b)∈F,∀b∈b, thì a∈F. Định nghĩa 3.2.1.Một họ F của những ideal phải của A thỏa mãn những tính chất (T1), (T2), (T3), (T4) là một tôpô Gabriel(phải) trên A. Bây giờ ta có thể phát biểu kết quả chính của chương này: Định lí 3.2.2.Có một song ánh tương ứng giữa: (1).Tôpô Gabriel phải trên A. (2).Những lý thuyết xoắn di truyền đối với Mod-A. (3).Những radical khớp trái của Mod-A. Chứng minh.Ta đã thiết lập song ánh tương ứng (2)↔(3) trong mệnh đề 2.3.2. Giả sử Flà một tôpô Gabriel, lấy 0→L→M→N→0 là một dãy khớp của những môđun sao cho L và N là F -biệt lập, ta cần chứng minh M cũng là môđun F -biệt lập. Thật vậy, với mỗi x∈M, ta đặt b = Ann(�̅�), trong đó �̅� là ảnh của x trong N. Khi đó, b∈F và đối với mỗi b∈b ta có xb∈L, vì thế Ann(xb)∈F. Bởi vì,Ann(xb) = (Ann(x) : b) nên theo tính chất (T4) chỉ ra rằng Ann(x)∈F, suy ra M là một môđun F-biệt lập. Do đó, lớp những môđun F-biệt lập là đóng dưới những mở rộng, vì thế nó là một lớp xoắn di truyền. Mặt khác, nếu Tlà một lớp xoắn di truyền thì tôpô tương ứng F = {a| A/a∈T} thỏa mãn (T4). Bởi vì, nếu a là một ideal phải sao cho (a:b)∈F,∀b∈b,b∈F, thì ta xét dãy khớp sau:0→b/a∩b→A/a→A/a+b→0. Trong đó, A/a+b∈T bởi vì nó là môđun thương của A/b∈T và ta cũng có b/a∩b∈T. Thật vậy, bởi vì b∈b chỉ ra rằng ((a∩b):b) = (a:b)∈F.Nhân bên trái bởi b ta được một dãy khớp sau : 0→((a∩b):b)→A→/(a∩b)→0, trong đó = b.A là một môđun con cyclic của b.Do đó, A/((a∩b):b)≅/(a∩b)∈T, suy ra b/a∩b∈T(do b là tổng trực tiếp của các môđun con cyclic và Tlà đóng dưới tổng trực tiếp). Bởi vì T đóng dưới những mở rộng nên suy ra A/a∈Tvà do đó a∈F.  Do đó, nếu F là một tôpô Gabriel trên A thì lớp xoắn di truyền tương ứng chứa tất cả những môđun biệt lập trong F - tôpô của chúng, hoặc một cách tương đương, sao cho tất cả những phần tử được linh hóa bởi những ideal phải trong F. Những môđun này được gọi là những môđun F - xoắn. Công việc kiểm tra các tính chất (T1), (T2), (T3), (T4) được thực hiện đơn giản hơn do (T1), (T2) thật sự được suy ra từ (T3), (T4). Bổ đề 3.2.3.Nếu Flà một tập khác rỗng của những ideal phải của A thỏa mãn (T3) và (T4) thì F cũng thỏa mãn (T1) và (T2). Chứng minh.(T1). Chúng ta chú ý rằng (T3) cùng với sự kiện Fkhác rỗng chỉ ra A∈F. Khi đó, giả sử a∈Fvà b ⊃a, đối với mỗi a∈a, ta có (b:a) = A∈F, vì thế b∈F, do (T4). (T2). Giả sử a và b thuộc F. Nếu b∈b thì ((a∩b):b) = (a:b)∩(b:b) = (a:b)∈F, do (T3), vì thế a∩b∈F, do (T4). Ta cũng chú ý rằng tôpô Gabriel đóng dưới tích. Bổ đề 3.2.4.Lấy Flà một tôpô Gabriel.Nếu a và b thuộc Fthì a.b cũng thuộc F. Chứng minh.Đối với mỗi a∈a ta có: (a.b :a) ⊃b, vì thế a.b∈F, do (T1) và (T4).  Nếu F1 và F2là những tôpô trên A, thì ta nói F1 yếu hơn F2 (hay F2 mạnh hơn F1 ) nếu F1⊂F2 . Bởi vì rõ ràng giao của bất kỳ những tôpô tuyến tính là một tôpô, nên những tôpô tuyến tính trên A tạo thành một dàn đầy đủ Top(A). Cũng vậy, bởi vì giao của những tôpô Gabriel là một tôpô Gabriel nên có một phép toán đóng J trên Top(A) sao cho mỗi tôpôE liên kết với một tôpôGabriel yếu nhất J(E) mạnh hơn E. Mệnh đề 3.1.8 thiết lập nên một đẳng cấu dàn giữa Top(A) và dàn của những lớp tiền xoắn của những A- môđun. Nó chỉ ra rằng nếu E là một tôpô thì J(E) là một tôpô Gabriel tương ứng với lý thuyết xoắn di truyền được sinh ra bởi lớp những môđun E- biệt lập. Mệnh đề 3.2.5.Nếu E là một tôpô thì J(E) = {a | với mỗi b ⊃a, b≠ A, thì tồn tại a∉b sao cho (b:a)∈E}. Chứng minh.Áp dụng mệnh đề 2.2.6 với C = {A/a | a∈E}, là một lớp tiền xoắn di truyền. Chú ý rằng lý thuyết xoắn được sinh bởi C là di truyền theo mệnh đề 2.3.4. Do đó, tôpôJ(E)sẽ tương ứng với lý thuyết xoắn được sinh bởi C . Lớp xoắn di truyền được sinhbởi C sẽ chứa tất cả các vật A/a sao cho với mỗi vật thương khác - khôngA/b (tức là b ⊃a, b≠ A) có một vật con khác - không A/(b:a) trong C (tức là có a∉b sao cho (b:a)∈E). Chúng ta nhớ lại rằng mỗi lý thuyết xoắn di truyền có thể được đối sinh bởi một môđun nội xạ (mệnh đề 2.3.8). Nếu môđun nội xạ này được cho là bao nội xạ của môđun M, thì tôpô Gabriel tương ứng có thể được mô tả như sau: Mệnh đề 3.2.6.Lấy Flà một tôpô Gabriel tương ứng với lý thuyết xoắn đối sinh bởi E(M). Khi đó,a∈Fkhi và chỉ khi x.(a:a) ≠ 0, với mỗi a∈A và 0 ≠ x∈M. Chứng minh.Theo bổ đề 2.3.9 ta có a∈Fkhi và chỉ khi Hom(C,M) = 0 với mọi môđun con cyclic C của A/a. Nhưng môđun con cyclic của A/acó dạngA/(a:a), ∀a∈A, vì thế suy ra kết quả của mệnh đề 3.2.6. Ta cũng dễ dàng chỉ ra mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2.7.Tôpô Gabriel E tương ứng với lý thuyết xoắn đối sinh bởi E(M) là tôpô Gabriel mạnh nhất đối với các tôpô Gabriel Ftương ứng với lý thuyết xoắn có M là môđun xoắn tự do. Chứng minh. Thật vậy, giả sử a∈Fsuy ra Hom(A/a,M) = 0 (do M là môđun xoắn tự do). Vì A/(a:a)là môđun con cyclic của A/a nên Hom(A/(a:a),M) = 0,∀a∈A. Do đó, ta có a∈E. 3.3. Một số ví dụ 1.1-tôpô. Một 1- tôpô trên A là một tôpô Gabriel với một cơ sở chứa những ideal chính (phải). Một 1- tôpôFđược sinh bởi tập ∑(F) = {s∈A | s A∈F}. Mệnh đề 3.3.1.Ánh xạ F →∑(F) xác định một song ánh tương ứng giữa 1- tôpôFtrên A và những tập con đóng nhân S của A sao cho: (S0).Nếu ab∈S, thì a∈S; (S1).Nếu s∈S và a∈A, thì tồn tại t∈S và b∈A sao cho sb = at. Chứng minh.Giả sử Flà 1-tôpô. Khi đó, ∑(F) là một tập đóng nhân, bởi vì nếus và t thuộc ∑(F), thì (stA: sa) ⊃ (tA: a),∀a∈A, và (tA: a)∈Fdo (T3), vì thế stA∈F, do (T4). Tính chất (S0) của ∑(F) là lập tức có được từ (T1) và (S1) cũng rõ ràng, bởi vì (T3) chỉ ra rằng (sA:a) ⊃tA, ∀tA∈F. Ngược lại, lấy S là một tập đóng nhân thỏa mãn (S1), và ta đặtF = {a | a∩S≠∅}. Khi đó, dễ dàng chỉ ra tính chất (T3) và (T4) đối với F.Thật vậy, (T3) : Lấy a∈F⇒a∩S≠∅⇒∃s0∈S và s0∈a. Do ( S1), ta có với mọi a∈A, s0∈S thì tồn tại t∈S, b∈A sao cho at = s0 b∈a⇒t∈(a: a) ⇒ (a: a)∩S≠∅⇒ (a: a)∈F. (T4) : Nếu a là một ideal phải và tồn tại b∈Fsao cho (a:b)∈F,∀b∈b thì ta có (a: b)∩S≠∅ , nói riêng (a: b0)∩S≠∅ (với b0∈b∩S) ⇒∃s0∈S và s0∈(a: b0) ⇒ ∃s0∈S và b0s0∈a⇒a∩S≠∅ (vì b0 s0∈S, là một tập đóng nhân)⇒a∈F. Do đó,F là 1-tôpô. (S0) là một tính chất kèm theo làm cho tương ứng F↔ S là một song ánh. Đối với một 1-tôpôF, những môđun F-xoắn M được đặc trưng bởi tính chất:∀x∈M, tồn tại s∈∑(F) sao chox s = 0. 2.Lý thuyết xoắn Goldie. Họ E của những ideal phải cốt yếu của A là một tôpô, nhưng nó không phải luôn thỏa mãn (T4). Preradical khớp trái tương ứng thường được kí hiệu là: Z, và ta gọi Z(M) là môđun con đơn của M. Tôpô Gabriel J(E) được gọi là tôpôGoldie của A. Radical xoắn tương ứng G là radical nhỏ nhất chứa Z. Tiến trình biến đổi từ Z đến G (Mệnh đề 2.1.7) sẽ kết thúc sớm. Thật vậy ta có (sử dụng lại kí hiệu của Mệnh đề 2.1.7) : Mệnh đề 3.3.2.G = Z2. Chứng minh.Trước tiên ta nhận xét rằng Z(M) là một môđun con cốt yếu của G(M), với mọi môđun M. Bởi vì, nếu L⊂G(M) và L∩Z(M) = 0, thì Z(L) = L∩Z(M) = 0 và do đó L là môđun xoắn tự do, điều này chỉ ra L = 0. Bây giờ, ta có:Z2(M)/Z(M) = Z(M/Z(M)) ⊃G(M)/Z(M),vì thế Z2(M) = G(M). Mệnh đề 3.3.3.NếuElà một họ những ideal phải cốt yếu, thìJ(E) = {a | tồn tại b∈Esao cho a⊂b và (a:b)∈E,∀b∈b}. Chứng minh.Nếu a thỏa mãn điều kiện trên thì a∈J(E) do (T4).Nếu a∈J(E), thì A/a là một môđun xoắn Goldie, vì thế A/a = Z2(A/a). Ta viết Z(A/a) = b/a. Công thức xác định Z2 cho ta A/b = Z(A/b) và do đó b∈E. Chúng ta cũng có: Z(b/a) = Z2(A/a) = Z(A/a) = b/a, vì thế (a:b)∈E,∀b∈b. Một mô tả khác của J(E) có được trong mệnh đề 3.2.5. Chú ý rằng một môđun là Goldie xoắn tự do khi và chỉ khi nó không đơn, nghĩa là môđun con đơn của nó là 0. 3. Tôpô dày đặc. Một lý thuyết xoắn di truyền đối sinh bởi môđun nội xạ phải E(A) là một trường hợp đặc biệt quan trọng. Những ideal phải thuộc tôpô Gabriel tương ứng D được gọi là dày đặc. Theo mệnh đề 3.2.6 chúng có thể được mô tả như sau: Mệnh đề 3.3.4.Một ideal phải a là dày đặc khi và chỉ khi (a:a) không có những linh hóa tử trái khác 0 đối với a∈A. Hệ quả 3.3.5.Mỗi ideal phải dày đặc là cốt yếu trong A. Chứng minh.Thật vậy, nếu a là ideal không cốt yếu trong A thì A/a là một môđun không đơn. Do đó, A/a có những môđun con khác - không A/(a: a) (với a∈A), suy ra (a: a) có những linh hóa tử trái khác 0 đối với a∈A (mâu thuẫn). Hệ quả 3.3.6.Một ideal phải hai phía alà dày đặc như một ideal phải khi và chỉ khi akhông có những linh hóa tử trái khác 0. Chứng minh.Bởi vì a là ideal hai phía nên (a:a) ⊃a,∀a∈A, và khi đó hiển nhiênnếu a không có những linh hóa tử trái khác 0 thì a là một ideal dày đặc.Ngược lại, nếu adày đặc ta sẽ chứng minh rằng a không có những linh hóa tử trái khác 0.Thật vậy, giả sử tồn tại x ≠ 0 mà x linh hóa được a, ta chứng minh tồn tại một phần tử khác - không linh hóa được (a: a). Với mọi b∈(a: a), ta có a.b∈a, suy ra tồn tại x ≠ 0 sao chox.(a.b) = 0⇒ (x.a).b = 0. Vậy (a: a) bị linh hóa bởi một phần tử khác - không y = x.a. D là một tôpô Gabriel mạnh nhất sao cho A là môđun xoắn tự do (mệnh đề 3.2.7). Trong trường hợp tổng quát nó yếu hơn tôpô Goldie, nhưng thông thường hai tôpô này trùng nhau. Mệnh đề 3.3.7.Vành A là không đơn khi và chỉ khi mọi ideal phải cốt yếu là dày đặc. Chứng minh.Nếu a là một ideal phải cốt yếu, thì (a:a) cũng cốt yếu, với mọi a∈A. Do đó, tính không đơn chỉ ra rằng (a:a) không thể có những lũy linh trái. Chiều ngươc lại là hiển nhiên. Hệ quả 3.3.8.Khi A là một vành không đơn phải, thì tôpô Goldie và tôpô dày đặc là trùng nhau. 4. Tôpô bị chặn. Một tôpô được gọi là bị chặn nếu nó có một cơ sở chứa những ideal hai phía. Mệnh đề 3.3.9.Giả sử B là một tập của những ideal hai phía, hữu hạn sinh như những ideal phải.Tập hợp của tích hữu hạn của những ideal thuộc B là một cơ sở đối với một tôpô Gabriel bị chặn. Chứng minh.Lấy B’ là tập của tất cả những tích hữu hạn của những ideal trong B. Giả sử a là một ideal phải sao cho a ⊃b với b∈B’. Với mỗi a∈A ta có: ab ⊂b⊂a, vì thế (a:a) ⊃b, và do đó (T3) thỏa mãn, bởi họ F của những ideal phải chứa những ideal trongB’. Tiếp theo ta chỉ rằng Fthỏa mãn (T4). Giả sử a là một ideal phải và tồn tại b∈F sao cho (a:b)∈F,∀b∈b. Ta có thể giả sử b∈B’ (mà không mất tính tổng quát). Lấy b1,b2,,bn là những phần tử sinh của b như một ideal phải. Khi đó, tồn tại b1,b2,bn trong B’ sao cho bi.bi⊂a,∀i=1,2,,n. Điều này chỉ ra rằng b1.b2bn⊂b(b1∩b2∩∩bn)⊂a, vì thế a∈F. Kết quả này được áp dụng trong trường hợp đặc biệt B chỉ chứa một ideal hai phía b, và khi đó ta có tôpôb-adic (ví dụ sau mệnh đề 3.1.8).Nếu b là một lũy đẳng, tức b2 = b, thì ta không cần phải giả thiết là b phải hữu hạn sinh trong chứng minh trên. Do đó: Mệnh đề 3.3.10.Nếu b là một ideal lũy đẳng hai phía, thì tập hợp những ideal phải chứa b là một tôpô Gabriel. Những tôpô bị chặn kiểu này có những đặc trưng sau: Mệnh đề 3.3.11.Những tính chất sau của một tôpôFlà tương đương: (a).Lớp của những môđun F-xoắn đóng dưới những tích trực tiếp. (b).Có một ideal hai phíab sao cho M là một môđun F-xoắn khi và chỉ khiM.b=0. (c).F có một cơ sở chứa một ideal phải b. (d).Fcó một cơ sở chứa một ideal hai phía lũy đẳngb. Chứng minh.(a) ⇒(c): Xét đồng cấu chính tắc 𝛼: A→∏A/a với tích diễn ra với mọi a∈F. Ảnh của 𝛼 theo giả thiết là một môđun F-xoắn vì thế Ker 𝛼 = ∩a⊂F. Điều này có nghĩa là F có một thành viên nhỏ nhất là b = ∩a. (c) ⇒(d): Ideal phải nhỏ nhất b phải là ideal hai phía bởi vì (T3) cho ta được (b:a)⊃b,∀a∈A. Tính lũy đẳng của b là do bổ đề 3.2.4. Dãy (d) ⇒ (b) ⇒ (a) là hiển nhiên. 5. Vành giao hoán. Lấy A là một vành giao hoán. Kí hiệu Spec(A) là tập hợp tất cả những ideal nguyên tố của A. Với mỗi ideal a, ta đặt V(a) = {p∈Spec(A) | a⊂p}. Nếu p là một ideal nguyên tố, phần bù của nó(xem như là một tập con của A) là một tập đóng nhân S. Đối với một môđun M, kí hiệu môđun phân số M[S-1] là Mp. Cho p là một ideal nguyên tố, có một tôpô Gabriel tương ứng Fp = {a | p∉V(a)}. Những môđun Fp-xoắn M được đặc trưng bởi tính chất Mp = 0. Tổng quát hơn, lấy Plà một tập con của Spec(A). Đối với P ta liên kết một tôpô Gabriel FP=∩p∈PFp={a | V(a)∩P = ∅ }. Lớp xoắn tương ứng chứa tất cả những môđun Msao cho Mp = 0, với mọi p∈P. Ngược lại, đối với mỗi tôpô Gabriel Ftrên A ta liên kết D(F)= {p∈Spec(A) | p∉F}⊂Spec(A). Khi đó:FD(F)= {a | V(a)∩D(F) = ∅}={a | V(a)⊂F}. Từ điều này ta dễ dàng có: Mệnh đề 3.3.12.Những tính chất sau của một tôpô Gabriel Ftrên một vành giao hoán A là tương đương: (a).Fbằng với FP đối với P⊂Spec(A). (b).F =FD(F ) (c).Đối với mỗi ideal phải a mà a∉F, tồn tại p∈V(a) sao cho p∉F. Bổ đề 3.3.13.Lấy Flà một tôpô Gabriel trên A. Khi đó: (i). Nếu a là một ideal tối đại với a∉F, thì a là một ideal nguyên tố. (ii). Nếu Fcó một cơ sở chứa những ideal phải hữu hạn sinh và a∉F, thì tồn tại p∈V(a) sao cho p∉F. Chứng minh.(i). Giả sử a và b là những phần tử của Akhông thuộc về a. Khi đó: a+Aa và a+Ab phải thuộc F, và cũng có (a+Aa)(a+Ab)∈F, theo bổ đề3.2.4. Nhưng (a+Aa)(a+Ab)⊂a+Aab, và do đó ab∉a. (ii). Bởi vì a∉F,dùng bổ đề Zorn ta tìm thấy một ideal b⊃a là ideal tối đại với b∉F(điều này cần đến giả thiết đề cập đến những ideal hữu hạn sinh trong F),b là ideal nguyên tố do (i). Kết hợp 3.3.12(c) và 3.3.13(ii), ta có: Hệ quả 3.3.14.Nếu Flà một tôpô Gabriel có một cơ sở là những ideal hữu hạn sinh, thì F=FPvới P⊂Spec(A). Vì thế đối với một vành Nơ-te giao hoán A, tất cả những tôpô Gabriel có dạng FPvới P⊂Spec(A). Kết luận Luận văn đãtrình bày những khái niệm cơ bản về lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền của một phạm trù Mod - A,tôpô tuyến tính trên một vành A, tôpô Gabriel trên một vành A, mối quan hệ giữa lý thuyết xoắn, lý thuyết xoắn di truyền của một phạm trùMod - Avớitôpô tuyến tính trên một vành A, tôpô Gabriel trên một vành A. Đồng thời, luận văn cũng đã đưa ra một số ví dụ minh họa để làm rõ hơn các khái niệm này cũng như các mối quan hệ giữa chúng. Sau đây là một số kết quả chính của luận văn: Kết quả thứ nhất:Những tính chất sau của một lớpTcủa các vật là tương đương : (a). T là một lớp xoắn đối với một lý thuyết xoắn. (b). T đóng dưới những vật thương, đối tích trực tiếp và mở rộng. Kết quả thứ hai :Lấy C là một lớp của những môđun đóng dưới những môđun con và môđun thương. Lý thuyết xoắn sinh bởiC là di truyền. Kết quả thứ ba :Một lý thuyết xoắn di truyền được sinh bởi họ những môđun cyclic A/a, là những môđun xoắn. Kết quả thứ tư:Một lý thuyết xoắn là di truyền khi và chỉ khi nó được đối sinh bởi một môđun nội xạ. Kết quả thứ năm:Có một song ánh tương ứng giữa : (1). Tôpô tuyến tính phải trên A ; (2). Lớp tiền xoắn di truyền của những A- môđun ; (3). Preradical khớp trái của Mod - A. Kết quả thứ sáu:Có một song ánh tương ứng giữa: (1). Tôpô Gabriel phải trên A. (2). Những lý thuyết xoắn di truyền đối với Mod- A. (3). Những radical khớp trái của Mod- A. Kết quả thứ bảy:Lấy F là một tôpô Gabriel tương ứng với lý thuyết xoắn đối sinh bởi E(M). Khi đó, a∈Fkhi và chỉ khi x.(a: a) ≠ 0,∀a∈A,0 ≠ x∈M. Kết quả thứ tám:Nếu b là một ideal lũy đẳng hai phía, thì tập hợp những ideal phải chứa b là một tôpô Gabriel. Kết quả thứ chín:Nếu Flà một tôpô Gabriel có một cơ sở là những ideal hữu hạn sinh, thì F= FP= ∩p∈PF p={a | V(a)∩P = ∅ }, trong đóV(a) = {p∈Spec(A) | a⊂p} với P⊂ Spec (A).Vì thế, đối với một vành Nơ-te giao hoán A, tất cả những tôpô Gabriel có dạng FP với P ⊂ Spec (A). Tài liệu tham khảo 1. Đậu Thế Cấp, Tôpô Đại Cương, NXB GD TP.Hồ Chí Minh (2008). 2. Nguyễn Viết Đông-Trần Huyên, Đại số đồng điều, NXB ĐHQG TP. Hồ Chí Minh (2006). 3. N. Hersein (1968), Noncommutative Rings, The Mathematical Association of America, USA. 4. Nathan Jacobson (1975), PI-Algebra an Introduction, Springerverlag, Berlin, Heidelberg, New York. 5. Bo Stenstrom,Rings of Quotients, An Introduction to Methods of Ring Thoery, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, New York (1975).