Luận văn Môđun fp - Xạ ảnh và môđun fp - nội xạ

i chương: Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương 2: MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ 5. Phương pháp nghiên cứu Trên cơ sở các kiến thức đã biết về môđun, môđun xạ ảnh, môđun nội xạ cùng với việc nghiên cứu các tài liệu đặc biệt là các bài báo khoa học liên quan đến môđun FP- xạ ảnh và môđun FP- nội xạ. Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương này chủ yếu trình bày các kiến thức cơ bản cần thiết cho chương sau. Chứng minh các kết quả trong chương này hầu như bỏ qua và có thể tìm thấy trong tài liệu tham khảo. Trong toàn bộ luận văn ta luôn xét R là vành bất kỳ có đơn vị 1. 1.1 Môđun, môđun tự do và đồng cấu môđun Định nghĩa 1.1.1. Nhóm cộng aben (M, +) được gọi là môđun trái trên vành R (R- môđun trái), ký hiệu là RM, nếu trên M ta đã xác định được một tác động trái từ R, tức có ánh xạ μ : R M M× → mà μ(r,m) rm= thỏa mãn:  M1: 1m = m  M2: (rs)m = r(sm)  M3: r(m + n) = rm + rn  M4: (r + s)m = rm + sm với mọi r,s R∈ và với mọi m,n M∈ . Định nghĩa 1.1.2. Nhóm cộng aben (M, +) được gọi là môđun phải trên vành R (R- môđun phải), ký hiệu là MR, nếu trên M ta đã xác định được một tác động phải từ R, tức có ánh xạ φ : M R M× → mà φ(m,r) mr= thỏa mãn:  M1: m1 = m  M2: m(rs) = (mr)s  M3: (m + n)r = mr + nr  M4: m(r + s) =mr + ms với mọi r,s R∈ và với mọi m,n M∈ . Định nghĩa 1.1.3. Cho R và S là các vành, nhóm cộng aben M được gọi là S- R- song môđun, ký hiệu là SMR, nếu M là một S- môđun trái và là một R- môđun phải và các cấu trúc này là tương thích, tức là (sm)r = s(mr) với mọi s ∈ S, r ∈ R, m ∈ M. Từ đây, nếu không cần nhấn mạnh môđun trái hay môđun phải trên R ta chỉ cần nói ngắn gọn là R- môđun. Định nghĩa 1.1.4. Cho M là một R – môđun, tập A ≠ ∅ trong M được gọi là bộ phận ổn định của M nếu: A + A ⊂ A và RA ⊂ A trong đó A + A = {a + ba, b ∈ A} RA= {ra r ∈ R, a ∈ A} Nếu A là bộ phận ổn định của M thì các phép toán trên M khi giới hạn lại chỉ trên các phần tử của A, cảm sinh nên các phép toán trên A. Định lý 1.1.5 ([1], định lý 1, trang 11). Mỗi bộ phận ổn định A của môđun M, cùng với phép toán cảm sinh lập thành một R- môđun. Định nghĩa 1.1.6. A được gọi là môđun con của M, ký hiệu A  M khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ A thì x + y ∈ A và với mọi r ∈ R, với mọi x ∈ A thì rx ∈ A. Định lý 1.1.7 ([1], định lý 3, trang 12). Cho M là R- môđun, giao của họ khác rỗng các môđun con của M là một môđun con của M. Định nghĩa 1.1.8.  Cho M là R- môđun, S ⊂ M, môđun con sinh bởi tập S, ký hiệu 〈S〉 là giao của họ tất cả các môđun con của M và chứa S.  Một tổ hợp tuyến tính của S là một tổng hữu hạn dạng r1m1 + r2m2 ++ rnmn trong đó r1, r2, , rn ∈ R; m1, m2,, mn ∈ S.  Cho M là R- môđun trái, A  M. Tập thương M/A = {m + A: m ∈ M} muốn trở thành R- môđun thì ta xác định trên M/A phép nhân ngoài từ R như sau: với mọi r ∈ R, mọi m + A ∈ M/A thì r(m + A) = rm + A. Phép nhân ngoài này thỏa các tiên đề từ M1 đến M4. Do đó, tập thương M/A đã xác định được cấu trúc R- môđun trái. Ta gọi M/A là môđun thương của môđun M theo môđun con A. Định nghĩa 1.1.9.  Cho môđun M trên vành R. Tập S ⊂ M được gọi là hệ sinh của M nếu 〈S〉 = M tức là với bất kỳ phần tử m ∈ M thì m = r1s1 + r2s2 ++ rnsn với r1, r2, , rn ∈ R; s1, s2,, sn ∈ S.  Tập S ⊂ M được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ r1s1 + r2s2 ++ rnsn = 0 thì r1 = r2 = = rn = 0.  Tập S ⊂ M không độc lập tuyến tính thì được gọi là phụ thuộc tuyến tính.  Tập S ⊂ M được gọi là cơ sở của M nếu S vừa là hệ sinh vừa độc lập tuyến tính.  Môđun M khác môđun không có cơ sở được gọi là môđun tự do. Định nghĩa 1.1.10.  Cho M, N là các R- môđun. Ánh xạ f: M → N được gọi là R- đồng cấu nếu với mọi m, m1, m2 ∈ M và với mọi r ∈ R thì: f (m1 + m2) = f(m1) + f(m2) f(rm) = rf(m)  Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (toàn cấu) nếu f đồng thời là đơn ánh (toàn ánh).  Đồng cấu f được gọi là đẳng cấu nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu. 1.2 Tổng trực tiếp trong Định lý 1.2.1 ([1], định lý 2, trang 24). Cho A, B là các môđun con của môđun M trên vành R thỏa các tính chất: (i) A ∩ B = 0 (ii) A + B = M Khi đó ta có đẳng cấu M ≅ A ⊕ B Thay cho dấu “≅ ” ta có thể viết dấu “ = ”, tức M = A ⊕ B. Khi đó ta nói M là tổng trực tiếp trong của hai môđun con A, B của M. Định nghĩa 1.2.2. Môđun con A của M được gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu có môđun con B của M sao cho M = A ⊕ B. Khi đó, môđun B được gọi là hạng tử bù trực tiếp của môđun con A. 1.3 Dãy khớp Định nghĩa 1.3.1.  Dãy các đồng cấu (hữu hạn hoặc vô hạn) f gA B C⋅ ⋅ ⋅→ → → →⋅⋅⋅ được gọi là khớp tại môđun B nếu Im(f)= Ker(g).  Một môđun trong dãy các đồng cấu được gọi là môđun trung gian nếu tại đó vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra.  Dãy các đồng cấu được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mỗi môđun trung gian.  Dãy khớp các đồng cấu được gọi là dãy khớp ngắn nếu dãy đó có dạng: 0 0A B Cχ σ→ → → → thì χ là đơn cấu, σ là toàn cấu, Im(χ) = Ker(σ).  Dãy khớp các đồng cấu f gA B C⋅ ⋅ ⋅→ → → →⋅⋅⋅ được gọi là chẻ ra tại môđun B nếu Im(f) là một hạng tử trực tiếp của B, tức tồn tại môđun con B1 sao cho B = Im(f) ⊕ B1.  Một dãy khớp được gọi là chẻ, nếu nó chẻ tại mỗi môđun trung gian. 1.4 Hàm tử Hom Định nghĩa 1.4.1.  Cho M, N là các R- môđun, tập hợp tất cả các đồng cấu từ môđun M đến môđun N, ký hiệu là HomR(M, N) hay Hom(M, N). Trên Hom(M, N) ta định nghĩa phép cộng như sau: Với cặp đồng cấu bất kỳ f, g ∈ Hom(M, N), tổng (f + g) là ánh xạ từ M đến N xác định bởi công thức: với mọi m ∈ M thì (f + g)(m) = f(m) + g(m). Rõ ràng Hom(M, N) với phép cộng được xác định như trên lập thành một nhóm cộng aben.  Nếu M là một R- môđun thì ánh xạ R:Hom (R,M) Mϕ → cho bởi (f ) f (1)ϕ = là một R- đẳng cấu môđun.  Cho đồng cấu :A Bα → và M là môđun cố định. Các ánh xạ cảm sinh từ α là ∗α và ∗α được xác định theo các công thức sau: *α :Hom(M,A) Hom(M,B)→ mà *α (f) = αf, f Hom(M,A)∀ ∈ . *α :Hom(B,M) Hom(A,M)→ mà *α (g) = gα, g Hom(B,M)∀ ∈ . Định nghĩa 1.4.2. Xét phạm trù các R- môđun trái, ký hiệu là Mod và môđun M ∈ Mod.  Hàm tử Hom(M, _ ): Mod → Ab được cho như sau:  Đặt mỗi vật A ∈ Mod tương ứng với nhóm Hom(M, A) ∈ Ab.  Đặt mỗi R- đồng cấu : A Bα → tương ứng với đồng cấu nhóm *α :Hom(M,A) Hom(M,B)→ theo quy tắc *α (f) = αf, f Hom(M,A)∀ ∈ .  Phản hàm tử Hom( _ ,M): Mod → Ab được cho như sau:  Đặt mỗi vật A ∈ Mod tương ứng với nhóm Hom(A, M) ∈ Ab.  Đặt mỗi R- đồng cấu : A Bα → tương ứng với đồng cấu nhóm α :Hom(B,M) Hom(A,M)∗ → theo quy tắc *α (g) = gα, g Hom(B,M)∀ ∈ . Như vậy, với mỗi môđun M, ta có thể xác định được một hàm tử Hom(M, _ ) và một phản hàm tử Hom( _, M). Ta gọi chung các hàm tử và phản hàm tử đó là các hàm tử Hom. Định lý 1.4.3 ([1], định lý 1, trang 68). Với mỗi môđun M và với bất kỳ dãy khớp ngắn 0 0A B Cχ σ→ → → → Các dãy sau đây là khớp: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * 0 , , , 0 , , , Hom M A Hom M B Hom M C Hom C M Hom B M Hom A M χ σ σ χ → → → → → → Tức là các hàm tử Hom chỉ bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn. Định lý 1.4.4 ([1], định lý 2, trang 70). Với mỗi môđun M, nếu ta có dãy khớp ngắn chẻ: 0 0A B Cχ σ→ → → → thì các dãy sau cũng là khớp và chẻ: 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 Hom M A Hom M B Hom M C Hom C M Hom B M Hom A M χ σ σ χ ∗ ∗ ∗ ∗ → → → → → → → → Tức là các hàm tử Hom bảo toàn tính khớp và chẻ của các dãy khớp ngắn và chẻ. 1.5 Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ Định nghĩa 1.5.1. Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ : B C→ , mỗi đồng cấu f : P C→ , tồn tại đồng cấu φ : P B→ sao cho f σϕ= . Hay: Môđun P là môđun xạ ảnh nếu hàm tử Hom(P, _ ) là hàm tử khớp. Như vậy, môđun P là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi với bất kỳ dãy khớp ngắn: χ σ0 A B C 0→ → → → dãy các nhóm aben sau là khớp: * *0 Hom(P,A) Hom(P,B) Hom(P,C) 0χ σ→ → → → Định lý 1.5.2 ([1], định lý 1, trang 73). Mỗi môđun tự do M đều là môđun xạ ảnh. Định lý 1.5.3 ([1], định lý 3, trang 75). Đối với mỗi môđun P, ba phát biểu sau là tương đương: (i) P là môđun xạ ảnh. (ii) Mỗi dãy khớp 0 0A B Pχ σ→ → → → là chẻ ra. (iii) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do. Nhận xét. Với M là môđun bất kỳ, ta luôn có dãy khớp 0 N P M 0→ → → → với P là môđun xạ ảnh. Định nghĩa 1.5.4. Môđun J được gọi là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn cấu χ :A B→ , mỗi đồng cấu f :A J→ , tồn tại đồng cấu :B Jφ → sao cho f =φχ . Hay: môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu hàm tử Hom( _ , J) là hàm tử khớp. Như vậy, J là môđun nội xạ khi và chỉ khi hàm tử Hom( _ , J) chuyển mỗi dãy khớp ngắn χ σ0 A B C 0→ → → → thành dãy khớp các nhóm aben sau: ( ) ( ) ( ) * χ0 Hom C,J Hom B,J Hom A,J 0σ ∗ → → → → Định lý 1.5.5 (Định lý Baer) ([1], định lý 5, trang 77). J là R- môđun nội xạ khi và chỉ khi với bất kỳ iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu f: I → J, luôn luôn tồn tại phần tử q ∈ J sao cho với mọi λ ∈ I, ta có f(λ) = λq. Định lý 1.5.6 ([1], định lý 9, trang 82). Mỗi môđun M đều có thể nhúng vào một môđun nội xạ N(M) nào đó, xem như là môđun con của N(M). Định lý 1.5.7 ([1], định lý 10, trang 82). Với bất kỳ môđun J, ba phát biểu sau là tương đương: (i) J là môđun nội xạ. (ii) Mọi dãy khớp 0 0J B Cχ σ→ → → → là chẻ ra. (iii) J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ nào đó. Nhận xét. Với M là môđun bất kỳ, ta luôn có dãy khớp 0 M J N 0→ → → → với J là môđun nội xạ. 1.6 Môđun hữu hạn sinh, môđun biểu diễn hữu hạn Định nghĩa 1.6.1. Cho M là R- môđun phải, M được gọi là môđun hữu hạn sinh nếu nó có tập sinh hữu hạn, tức là: tồn tại a1, a2,, an ∈ M sao cho với mọi m ∈ M thì tồn tại r1, r2,,rn ∈ R để m = a1r1 + a2r2 + + anrn Ta gọi {a1, a2,, an} là tập sinh của M. Định nghĩa 1.6.2. Một R- môđun M được gọi là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại dãy khớp m nR R M 0→ → → với m, n ∈ nào đó. Từ dãy khớp ta có M ≅ Rn/ Im[Rm → Rn]. Do đó M đẳng cấu với môđun thương của môđun hữu hạn sinh. Nhận xét. M là môđun biểu diễn hữu hạn nếu và chỉ nếu tồn tại dãy khớp ngắn 0 K F M 0→ → → → với F là môđun hữu hạn sinh tự do, K là môđun hữu hạn sinh. Bổ đề 1.6.3 ([3], Lemma 2.1, page 50). Cho R là vành và dãy khớp các R- môđun → → → →0 L M N 0 . Khi đó: (i) Nếu L và N là những môđun biểu diễn hữu hạn thì M cũng là môđun biểu diễn hữu hạn. (ii) Nếu L là môđun hữu hạn sinh và M biểu diễn hữu hạn thì N cũng biểu diễn hữu hạn. Định nghĩa 1.6.4. Một vành R được gọi là vành coherent phải (trái) nếu mọi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh của R đều biểu diễn hữu hạn. ∃!f τ 1.7 Hàm tử tenxơ Định nghĩa 1.7.1. Cho MR và RN lần lượt là các R- môđun phải và R- môđun trái, G là nhóm aben. Ánh xạ : M N Gϕ × → được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa: (i) ϕ là song cộng tính, tức là: 1 2 1 2(m m ,n) (m ,n) (m ,n)ϕ + = ϕ + ϕ 1 2 1 2(m,n n ) (m,n ) (m,n )ϕ + = ϕ + ϕ với mọi m, m1, m2 ∈ M; n, n1, n2 ∈ N. (ii) φ là kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trên M và N, tức là: (mr,n) (m,rn)ϕ = ϕ với mọi r ∈ R và mọi m ∈ M, n ∈ N. Định nghĩa 1.7.2. Cho MR và RN lần lượt là các R- môđun phải và R- môđun trái. Tích tenxơ của các môđun M và N, ký hiệu là M ⊗ N là các nhóm aben sao cho ánh xạ song tuyến tính : M N M Nτ × → ⊗ có tính chất phổ dụng đối với bất kỳ ánh xạ song tuyến tính : M N Gϕ × → , tức là với mỗi ánh xạ song tuyến tính ϕ đó, tồn tại và duy nhất đồng cấu f : M N G⊗ → thỏa mãn fϕ = τ . M × N M ⊗ N G Định lý 1.7.3 ([1], định lý 1, trang 86). Cho MR và RN lần lượt là các R- môđun phải và R- môđun trái. Khi đó tích tenxơ M ⊗ N là tồn tại và duy nhất sai khác nhau một đẳng cấu. Định nghĩa 1.7.4. Cho 'R R: M Mf → là đồng cấu R- môđun phải và ' R Rg : N N→ là đồng cấu R- môđun trái. Xét biểu đồ sau: ϕ τ h τ′ ϕ M × N M′ × N′ M ⊗ N M′ ⊗ N′ trong đó τ, τ′ là các ánh xạ tenxơ, ánh xạ ϕ: M × N → M′ × N′ được cho bởi công thức ϕ(m, n) = (f(m), g(n)), với mọi (m, n) ∈ M × N. Khi đó τ′ϕ là ánh xạ song tuyến tính. Từ đó sử dụng tính chất phổ dụng của ánh xạ tenxơ τ, tồn tại và duy nhất đồng cấu h: M ⊗ N → M′ ⊗ N′ thỏa điều kiện hτ = τ′ϕ. Đồng cấu h được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f và g, ký hiệu là h = f ⊗ g. Định lý 1.7.5 ([1], định lý 3, trang 96). Cho f: MR → M′R và g: RN → RN′ là các toàn cấu R- môđun phải và R- môđun trái. Khi đó, tích tenxơ f ⊗ g: M ⊗ N → M’ ⊗ N’ là toàn cấu nhóm, đồng thời hạt nhân Ker(f ⊗ g) là nhóm con của M ⊗ N được sinh bởi các phần tử m ⊗ n trong đó hoặc m ∈ Ker(f) hoặc n∈ Ker(g). Định nghĩa 1.7.6.  Với mỗi R- môđun phải A, ta xây dựng một hàm tử 1A RA _ : Mod Abτ = ⊗ → như sau:  Đặt mỗi vật M ∈ R Mod tương ứng với nhóm (A ⊗ M) ∈ Ab.  Đặt mỗi đồng cấu : M Nα → tương ứng với đồng cấu nhóm A1 : A M A N⊗α ⊗ → ⊗  Với mỗi R- môđun trái B, ta xây dựng một hàm tử 2B R_ B : Mod Abτ = ⊗ → như sau:  Đặt mỗi vật M ∈ RMod tương ứng với nhóm (M ⊗ B) ∈ Ab.  Đặt mỗi đồng cấu : M Nα → tương ứng với đồng cấu nhóm B1 : M B N Bα⊗ ⊗ → ⊗ Định lý 1.7.7 ([1], định lý 4, trang 100). Các hàm tử (A ⊗ _ ) và (_ ⊗ B) là các hàm tử khớp về bên phải. Tức là: Nếu ta có dãy khớp ngắn ' ''0 0M M Mχ σ→ → → → thì các dãy sau là khớp: 1 1' '' 0A AA M A M A Mχ σ⊗ ⊗⊗ → ⊗ → ⊗ → 1 1' '' 0B BM B M B M Bχ σ⊗ ⊗⊗ → ⊗ → ⊗ → Định lý 1.7.8 ([1], định lý 5, trang 101). Các hàm tử tenxơ (A ⊗ _ ) và (_ ⊗ B) bảo toàn tính khớp và chẻ của các dãy khớp ngắn và chẻ. Định nghĩa 1.7.9.  Cho M là R- môđun phải, M được gọi là môđun dẹt phải nếu hàm tử (M ⊗ _ ) là hàm tử khớp. Tức là: nếu có dãy khớp các R- môđun trái 0 A B C 0χ σ→ → → → thì dãy sau là khớp: M M1 10 M A M B M C 0⊗χ ⊗σ→ ⊗ → ⊗ → ⊗ →  Cho M là R- môđun trái, M được gọi là môđun dẹt trái nếu hàm tử ( _ ⊗ M) là hàm tử khớp. Tức là: nếu có dãy khớp các R- môđun phải 0 A B C 0χ σ→ → → → thì dãy sau là khớp: M M1 10 A M B M C M 0χ⊗ σ⊗→ ⊗ → ⊗ → ⊗ → Tính chất 1.7.10.  Với mọi R- môđun phải M ta có MR ⊗ R ≅ M.  Với mọi R- môđun trái N ta có R ⊗ RN ≅ N. 1.8 Phức và đồng điều Định nghĩa 1.8.1. Dãy các đồng cấu f gX Y Z⋅ ⋅ ⋅→ → → →⋅⋅⋅ được gọi là dãy nửa khớp nếu tại mỗi môđun trung gian của dãy, ảnh của đồng cấu vào được chứa trong hạt nhân của đồng cấu ra. Tức là, một dãy các đồng cấu là nửa khớp nếu tích của hai đồng cấu liên tiếp của dãy luôn luôn là đồng cấu 0. Định nghĩa 1.8.2. Một phức các đồng cấu là một dãy nửa khớp đánh số theo tập tất cả các số nguyên. Có hai loại phức: phức tiến và phức lùi.  Một phức được gọi là phức tiến nếu chiều tăng của các chỉ số trong phức cùng chiều với các mũi tên đồng cấu trong phức. Phức tiến có dạng: n 1 nn 1 n n 1K : K K K− ∂ ∂ − +⋅ ⋅ ⋅→ → → →⋅⋅⋅  Một phức được gọi là phức lùi nếu chiều tăng của các chỉ số trong phức ngược chiều với các mũi tên đồng cấu trong phức. Phức lùi có dạng: n n 1n 1 n n 1X : X X X+ ∂ ∂ − +⋅ ⋅ ⋅← ← ← ←⋅⋅⋅ Tuy nhiên, ta chỉ cần thực hiện một phép biến đổi về chỉ số thay n bởi (-n) ta có thể chuyển một phức lùi thành một phức tiến và ngược lại. Định nghĩa 1.8.3. Xét phức n n 1n 1 n n 1X : X X X+ ∂ ∂ − +⋅ ⋅ ⋅← ← ← ←⋅⋅⋅ Với mọi n ∈  , vì n n 1 0+∂ ∂ = nên ta có ( ) ( )n 1 nIm Ker+∂ ⊂ ∂ . Ta có môđun thương ( ) ( ) ( )n n n 1H X Ker / Im += ∂ ∂ . Môđun thương ( )nH X được gọi là môđun đồng điều thứ n của phức X. Định nghĩa 1.8.4.  Phức X = {Xn, ∂n} được gọi là phức dương nếu Xn = 0 khi n < 0.  Phức X = {Xn, ∂n} được gọi là phức âm nếu Xn = 0 khi n > 0. Giả sử ta có phức âm với chỉ số thường dùng n n 1 n 1 n n 1X : X X X− − + ∂ ∂ − − − − +⋅ ⋅ ⋅← ← ← ←⋅⋅⋅ được viết lại thành phức chỉ số trên theo phép đổi biến (-n) thay bởi n. Khi đó, X- n được viết Xn, ∂-n: X- n → X- n -1 được viết là δn: Xn → Xn+1. Lúc này phức âm được chuyển thành phức dương theo chỉ số trên như sau: 0 n 1 nδ0 1 n 1 n n 1X : 0 X X X X X −δ δ− +→ → →⋅⋅⋅→ → → →⋅⋅⋅ Môđun đồng điều của phức theo chỉ số trên X = {Xn, δn} được xác định theo công thức Hn (X) = Ker(δn) / Im(δn-1)  Cho phức X = {Xn, ∂n} các R- môđun và G là một R- môđun. Tác động hàm tử phản biến Hom( _ , G) lên phức X ta thu được phức chỉ số trên, gồm các nhóm aben: n 1 n n 1 n n 1Hom(X ,G) Hom(X ,G) Hom(X ,G) −δ δ − +⋅ ⋅ ⋅→ → → →⋅⋅⋅ trong đó đồng cấu n n n+1δ : Hom(X ,G) Hom(X ,G)→ được xác định bởi công thức: ( ) ( ) ( ) ( )n 1 n 1n n 1 n 1δ f 1 f 1 f + +∗ + += − ∂ = − ∂ Phức thu được theo cách trên ký hiệu là Hom(X, G) và các nhóm Hom(Xn, G) có thể được viết là Homn(X, G).  Đồng điều của phức Hom(X, G) được gọi là đối đồng điều của phức X với hệ số trong G. Đó là các nhóm aben được đánh số theo chỉ số trên: Hn(X, G) = Hn(Hom(X,G)) = Ker(δn) / Im(δn-1) 1.9 Phép giải và tích mở rộng Định nghĩa 1.9.1.  Cho M là một R- môđun phải, ta gọi phép giải của M là một dãy khớp các R- môđun và các đồng cấu: n 1 n n-1 1 0X : X X X X M 0o ∂∂ ∂⋅ ⋅ ⋅→ → →⋅⋅⋅→ → → →  Nếu Xn là môđun tự do (tương ứng môđun xạ ảnh) trên R với mọi n ≥ 0 thì phép giải ở trên được gọi là phép giải tự do (tương ứng phép giải xạ ảnh) của môđun M. Định lý 1.9.2 ([1], định lý 1, trang 147). Mọi môđun M trên R đều có một phép giải tự do. Định nghĩa 1.9.3. Cho M và N là các R- môđun trái và n 1 n n 1 n n-1 0X : X X X X M 0o+ ∂∂ ∂ +⋅ ⋅ ⋅→ → → ⋅⋅⋅→ → → là phép giải xạ ảnh của M. Phức thu gọn tương ứng với X là n 1 nn+1 n n-1 0X : X X X X 0+ ∂ ∂⋅ ⋅ ⋅→ → → →⋅⋅⋅→ → Xét dãy nửa khớp: 0 nδ δ 0 1 n n+1 Hom(X, N) : 0 Hom(X , N) Hom(X , N) Hom(X , N) Hom(X , N) → → →⋅⋅⋅→ → → →⋅⋅⋅ Trong đó các đồng cấu δn-1 = Hom(∂n, i), với i là tự đồng cấu đồng nhất của môđun N. Với mỗi số nguyên dương n, nhóm đối đồng điều ( )nH Hom(X, N) được gọi là tích mở rộng n – chiều trên R của các môđun M và N đã cho. Ký hiệu là ( )nRExt M, N hay ( )nExt M, N . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n n n-1Ext M, N H Hom(X, N) H X, N Ker δ / Im δ= = =  Khi n = 1, ta dùng ký hiệu ( )Ext M, N và gọi là tích mở rộng của môđun M và N.  Khi n = 0 thì ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0Ext M, N H Hom(X, N) Ker δ Hom M, N= = ≅ Nhận xét. Dãy khớp ngắn 0 M N P 0→ → → → là chẻ khi và chỉ khi Ext(P, M) = 0. Định lý 1.9.4 ([1], định lý 1, 2, trang 163).  Nếu R- môđun trái (phải) P là xạ ảnh thì ( )nExt P,N = 0, n > 0∀ và mọi R- môđun trái (phải) N.  Nếu R- môđun trái (phải) J là nội xạ thì ( )nExt M,J = 0, n > 0∀ và với mọi R- môđun trái (phải) M. 1.10 Bao, phủ và lý thuyết đối xoắn Định nghĩa 1.10.1.  Cho C là lớp các R- môđun nào đó. Ta gọi ⊥C là lớp các R- môđun F sao cho ( )1RExt F,C = 0, C∀ ∈C, ⊥C là lớp các R- môđun G sao cho ( )1RExt C,G = 0, C∀ ∈C. Khi đó ⊥C và ⊥C được gọi là những lớp trực giao của C.  Nhận xét. Đối với mọi lớp C, ta có ( )⊥ ⊥⊂C C và ( )⊥⊥⊂C C . Định nghĩa 1.10.2.  Cặp (F, C) của những lớp các R- môđun được gọi là lý thuyết đối xoắn nếu ⊥ =F C và ⊥ =C F .  Ví dụ. Nếu F là lớp các R- môđun xạ ảnh và C là lớp chứa tất cả các R- môđun thì (F, C) tạo thành một lý thuyết đối xoắn. Chứng minh. (i) Chứng minh F⊥ = C Với F ∈ F⊥ thì Ext(M, F) = 0, ∀M ∈ F, suy ra F ∈ C, suy ra F⊥ ⊂ C Với C ∈ C suy ra Ext(F, C) = 0, ∀F ∈ F (do F là lớp các R- môđun xạ ảnh), suy ra C ⊂ F⊥. Do đó F⊥ = C. (ii) Chứng minh ⊥C = F Với F ∈ F suy ra Ext(F, C) = 0, ∀C ∈ C hay F ∈ ⊥C, suy ra F ⊂ ⊥C. Với M ∈ ⊥C suy ra Ext(M, B) = 0, ∀B ∈ C, suy ra M là môđun xạ ảnh hay M ∈ F, suy ra ⊥C ⊂ F. Do đó ⊥C = F. Vậy (F, C) tạo thành một lý thuyết đối xoắn. Định nghĩa 1.10.3.  Một lý thuyết đối xoắn (F, C) được gọi là có đủ đơn cấu nếu với mọi môđun M có dãy khớp 0 M C F 0→ → → → với C∈C và F∈F .  Một lý thuyết đối xoắn (F, C) được gọi là có đủ toàn cấu nếu với mọi môđun M có dãy khớp 0 C F M 0→ → → → với C∈C và F∈F . Định nghĩa 1.10.4.  Cho R là vành và F là lớp các R- môđun. Với một R- môđun M, một đồng cấu : C Mϕ → với C ∈ F được gọi là một F- tiền phủ của M nếu đối với bất kỳ đồng cấu 'f : C M→ với C′ ∈ F, tồn tại đồng cấu 'g : C C→ sao cho f = gϕ .  Một F – tiền phủ : C Mϕ → của M gọi là F - phủ nếu mỗi tự đồng cấu g : C C→ sao cho g = φϕ thì g là đẳng cấu.  Đồng cấu : C Mϕ → được gọi là F - tiền phủ có tính chất ánh xạ duy nhất nếu đối với bất kỳ đồng cấu 'f : C M→ với C′ ∈ F, tồn tại duy nhất đồng cấu 'g : C C→ sao cho f = gϕ . g α’ θ  Một toàn cấu : F Mϕ → với F∈F được gọi là một F- tiền phủ đặc biệt của M nếu Ker( )ϕ ∈F⊥ . Hay M được gọi là có F- tiền phủ đặc biệt nếu có một dãy khớp 0 C F M 0→ → → → với F∈F và C∈F⊥ .  Nếu F là lớp của những môđun xạ ảnh thì một F- phủ (tiền phủ) được gọi là phủ (tiền phủ) xạ ảnh. Định nghĩa 1.10.6.  Cho R là vành và C là lớp các R- môđun. Với một R- môđun M, một đồng cấu : M Fφ → với F ∈ C được gọi là một C- tiền bao của M nếu đối với bất kỳ đồng cấu 'f : M F→ với F′ ∈ C, tồn tại đồng cấu 'g : F F→ sao cho f = gφ .  Một C- tiền bao : M Fφ → của M gọi là C- bao nếu mỗi tự đồng cấu g : F F→ sao cho gφ = φ thì g là đẳng cấu.  Đồng cấu : M Fφ → được gọi là C- tiền bao có tính chất ánh xạ duy nhất nếu đối với bất kỳ đồng cấu 'f : M F→ với F′ ∈ C, tồn tại duy nhất đồng cấu 'g : F F→ sao cho f = gφ .  Một đơn cấu : M Cα → với C∈C được gọi là một C- tiền bao đặc biệt của M nếu CoKer(α)∈ C⊥ . Hay M được gọi là có C- tiền bao đặc biệt nếu có một dãy khớp 0 M C F 0→ → → → với C∈C và F∈ C⊥ .  Nếu C là lớp của những môđun nội xạ thì một C- bao (tiền bao) được gọi là bao (tiền bao) nội xạ. 1.11 Cái kéo lại, cái đẩy đi Định nghĩa 1.11.1. Trong phạm trù các môđun, cho hai đồng cấu f: B → A, g: C → A, cái kéo lại (pullback) là bộ ba (D, α, β) thỏa gα = fβ và nếu có bộ ba (X, α’, β’) thỏa gα’ = fβ’ thì tồn tại duy nhất θ: X → D sao cho biểu đồ sau giao hoán. C X f β’ α β g f g f g f α β β’ α’ θ B A D C B A Định nghĩa 1.11.2. Trong phạm trù các môđun, cho hai đồng cấu f: A → B, g: A → C, cái đẩy đi (pushout) là bộ ba (D, α, β) thỏa βg = αf và nếu có bộ ba (Y, α’, β’) thỏa β’g = α’f thì tồn tại duy nhất θ: D → Y sao cho biểu đồ sau giao hoán. A C A C B B D Y Chương 2 MÔĐUN FP- XẠ ẢNH VÀ MÔĐUN FP- NỘI XẠ 2.1 Khái niệm và các tính chất của môđun FP- xạ ảnh và môđun FP- nội xạ Định nghĩa 2.1.1. Cho M là R- môđun phải.  M được gọi là môđun FP- nội xạ nếu ( )1RExt N,M 0= với mọi R- môđun phải biểu diễn hữu hạn N.  M được gọi là môđun FP- xạ ảnh nếu ( )1RExt M, N 0= với mọi R- môđun phải FP- nội xạ N. Ví dụ. (1) J là R- môđun nội xạ thì J là R- môđun FP- nội xạ. (2) P là R- môđun xạ ảnh thì P là R- môđun FP- xạ ảnh. Ta ký hiệu FPR (FIR) là lớp của những R- môđun FP- xạ ảnh (FP- nội xạ). Như vậy, những FPR- tiền phủ (phủ) đặc biệt sẽ được gọi là những tiền phủ (phủ) FP- xạ ảnh đặc biệt. Tương tự, FIR- tiền bao (bao) đặc biệt sẽ được gọi là những tiền bao (bao) FP- nội xạ đặc biệt. Hơn nữa:  Mọi R- môđun phải M có một tiền bao FP- nội xạ đặc biệt nếu có dãy khớp 0 M F L 0→ → → → trong đó F ∈ FIR và L ∈ FPR.  Mọi R- môđun phải M có một tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt nếu có dãy khớp 0 K F M 0→ → → → trong đó F ∈ FPR và K ∈ FIR.  Nếu α: M → F là một bao FP- nội xạ của M thì CoKer(α) là FP- xạ ảnh.  Nếu β: F → M là một phủ FP- xạ ảnh của M thì Ker(β) là FP- nội xạ. Định nghĩa 2.1.2. Một vành S được gọi là một mở rộng tốt của vành R nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) S là mở rộng chuẩn hóa hữu hạn của vành R, có nghĩa là: R và S có cùng đơn vị và có những phần tử s1, s2, , sn ∈ S sao cho S = Rs1 + Rs2 + + Rsn và Rsi = siR, với mọi i = 1, 2,, n. (ii) RS là dẹt, SR là xạ ảnh. (iii) S là R- projective phải, tức là: nếu MS là môđun con của NS và MR là hạng tử trực tiếp của NR thì MS là hạng tử trực tiếp của NS. Định nghĩa 2.1.3. Một vành S được gọi là mở rộng rất tốt của R nếu S là mở rộng tốt của R và S xem như một R- môđun phải và trái tự do với cơ sở s1, s2, , sn trong đó s1 = 1R. Bổ đề 2.1.4 ([8], Lemma 2.1, page 792). Cho S là mở rộng tốt của R và MS là S- môđun phải. Khi đó: (i) MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của S- môđun phải M ⊗R S. (ii) MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của S- môđun phải HomR(S, M). Bổ đề 2.1.5 ([4], Lemma 3.18, page 1165). Cho R và S là các vành. Giả sử SLR là S- R- song môđun, LR là dẹt và SL là xạ ảnh hữu hạn sinh. Khi đó: (i) Nếu M là R- môđun trái biểu diễn hữu hạn thì SL ⊗R M là một S- môđun trái biểu diễn hữu hạn. (ii) Nếu M là R- môđun trái FP- xạ ảnh thì SL ⊗R M là một S- môđun trái FP- xạ ảnh. Bổ đề 2.1.6 ([6], Exercise 9.21, page 258). Cho R và S là các vành, cho bộ ba các môđun (RN, SPR, SM) trong đó P là R- xạ ảnh. Khi đó ta có đẳng cấu: ( ) ( )( )n nS R R SExt P N,M Ext N,Hom P,M⊗ ≅ Định lý 2.1.7 ([6], Theorem 11.65, page 364).  Nếu ϕ: R → S là đồng cấu vành với S là R- môđun phải dẹt, N là R- môđun trái, M là S- môđun trái. Khi đó, ta có đẳng cấu: ( ) ( ), ,⊗ ≅n nS R RExt S N M Ext N M  Nếu ϕ: R → S là đồng cấu vành với S là R- môđun trái dẹt, N là R- môđun phải, M là S- môđun phải. Khi đó, ta có đẳng cấu: ( ) ( ), ,⊗ ≅n nS R RExt N S M Ext N M Định lý 2.1.8 ([6], Theorem 11.66, page 365).  Nếu ϕ: R → S là đồng cấu vành với S là R- môđun trái xạ ảnh, N là R- môđun trái, M là S- môđun trái. Khi đó, ta có đẳng cấu: ( )( ) ( ), , ,≅n nS R RExt M Hom S N Ext M N  Nếu ϕ: R → S là đồng cấu vành với S là R- môđun phải xạ ảnh, N là R- môđun phải, M là S- môđun phải. Khi đó, ta có đẳng cấu: ( )( ) ( ), , ,≅n nS R RExt M Hom S N Ext M N Bổ đề 2.1.9. Cho ϕ: R → S là một toàn cấu vành với SR là xạ ảnh, RS là dẹt và MS là S- môđun phải. (i) Nếu MS biểu diễn hữu hạn thì MR biểu diễn hữu hạn. (ii) Nếu MS là FP- nội xạ thì MR là FP- nội xạ. (iii) Nếu MS là FP- xạ ảnh thì MR là FP- xạ ảnh. Chứng minh. (i) Vì MS biểu diễn hữu hạn nên có dãy khớp 0 K P M 0→ → → → của các S- môđun phải, trong đó K là hữu hạn sinh và P là xạ ảnh hữu hạn sinh. Vì ϕ: R → S là toàn cấu vành nên K cũng là R- môđun phải hữu hạn sinh và P là R- môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh. Do đó M là R- môđun phải biểu diễn hữu hạn. (ii) Giả sử MS là FP- nội xạ. Nếu N là một R- môđun phải biểu diễn hữu hạn thì có dãy khớp các R- môđun phải có dạng 0 K P N 0→ → → → trong đó K là môđun hữu hạn sinh và P là môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. Vì RS là dẹt nên có dãy khớp các S- môđun phải sau: R R R0 K S P S N S 0→ ⊗ → ⊗ → ⊗ → Theo Bổ đề 2.1.5 ta có K ⊗R S là S- môđun phải hữu hạn sinh, P ⊗R S là một S- môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh, suy ra N ⊗R S là S- môđun phải biểu diễn hữu hạn. Vì MS là FP- nội xạ nên ( )1S RExt N S,M 0⊗ = . Do đó ( )1RExt N,M 0= (theo Định lý 2.1.7). Vậy MR là FP- nội xạ. (iii) Giả sử MS là FP- xạ ảnh. Gọi NR là FP- nội xạ, cho LS là môđun biểu diễn hữu hạn. Khi đó, theo (i) thì LR là môđun biểu diễn hữu hạn nên ( )1RExt L, N 0= . Mặt khác theo Định lý 2.1.7 thì ( ) ( )1 1S R RExt L S, N Ext L, N 0⊗ ≅ = . Suy ra ( )1S RExt L S, N 0⊗ = . Theo chứng minh ở (i) thì L ⊗R S biểu diễn hữu hạn nên NS là FP- nội xạ. Mà theo Định lý 2.1.8 ta có đẳng cấu ( )( ) ( )1 1S R RExt M,Hom S, N Ext M, N≅ . Vì ϕ là toàn cấu nên NS ≅ HomR(S, N). Suy ra ( )( ) ( )1 1S R SExt M,Hom S, N Ext M, N 0≅ = . Do đó ( )1RExt M, N 0= . Vậy MR là FP- xạ ảnh. Bổ đề 2.1.10. Cho S là mở rộng tốt của vành R và MS là một S- môđun phải. Khi đó: (i) MS biểu diễn hữu hạn khi và chỉ khi MR biểu diễn hữu hạn. (ii) MS là FP- nội xạ khi và chỉ khi MR là FP- nội xạ khi và chỉ khi HomR(S, M) là một S- môđun phải FP- nội xạ. (iii) MS là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi MR là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi M ⊗R S là S- môđun phải FP- xạ ảnh. Chứng minh. (i) (⇒) Vì MS biểu diễn hữu hạn nên tồn tại dãy khớp ngắn các S- môđun phải 0 K P M 0→ → → → trong đó K là hữu hạn sinh và P là xạ ảnh hữu hạn sinh. Giả sử KS = a1S + a2S ++ amS, mà S = s1R + s2R ++ snR. Suy ra {aisj: 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là tập sinh của KR. Do đó KR là hữu hạn sinh, tương tự PR hữu hạn sinh. Mặt khác, PR là xạ ảnh vì PS và SR là xạ ảnh. Vậy MR biểu diễn hữu hạn. (⇐) Nếu MR biểu diễn hữu hạn thì tồn tại dãy khớp ngắn các R- môđun phải 0 K P M 0→ → → → trong đó K hữu hạn sinh và P là xạ ảnh hữu hạn sinh. Vì RS là dẹt nên ta có dãy khớp các S- môđun phải: R R R0 K S P S M S 0→ ⊗ → ⊗ → ⊗ → Theo Bổ đề 2.1.5 thì RK S⊗ là hữu hạn sinh và RP S⊗ là xạ ảnh hữu hạn sinh, suy ra RM S⊗ biểu diễn hữu hạn. Theo Bổ đề 2.1.4 ta được MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của RM S⊗ nên MS biểu diễn hữu hạn. (ii)  Giả sử MS là FP- nội xạ. Cho L là một R- môđun phải biểu diễn hữu hạn. Vì RS là dẹt nên theo Định lý 2.1.7 ta có đẳng cấu ( ) ( )1 1R S RExt L,M Ext L S,M≅ ⊗ Theo chứng minh ở (i) thì RL S⊗ là S- môđun phải biểu diễn hữu hạn nên ( )1S RExt L S,M⊗ = 0, suy ra ( )1RExt L,M = 0. Do đó MR là FP- nội xạ.  Giả sử MR là FP- nội xạ. Cho NS là S- môđun phải biểu diễn hữu hạn thì theo (i) NR là R- môđun phải biểu diễn hữu hạn nên ( )1RExt N,M = 0. Vì ( ) ( )1 1S R RExt N S,M Ext N,M⊗ ≅ nên ( )1S RExt N S,M⊗ = 0. Do đó ( )1SExt N,M 0= . Suy ra MS là FP- nội xạ.  Mặt khác, theo Bổ đề 2.1.6 ta có đẳng cấu: ( ) ( )( )1 1R S S RExt N S,M Ext N,Hom S,M⊗ ≅ Mà MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, M) (theo Bổ đề 2.1.4 (ii)). Vậy MS là FP- nội xạ khi và chỉ khi MR là FP- nội xạ khi và chỉ khi HomR(S, M) là S- môđun phải FP- nội xạ. (iii)  Giả sử M là một S- môđun phải FP- xạ ảnh. Cho N là một R- môđun phải FP- nội xạ. Theo (ii) thì HomR(S, N) là một S- môđun phải FP- nội xạ, suy ra ( )( )1S RExt M,Hom S, N 0= . Mà theo Định lý 2.1.8 thì ( ) ( )( )1 1R S RExt M, N Ext M,Hom S, N≅ . Do đó ( )1RExt M, N 0= . Vậy M là một R- môđun phải FP- xạ ảnh.  Giả sử M là một R- môđun phải FP- xạ ảnh. Cho N là một S- môđun phải FP- nội xạ. Theo (ii) thì N là một R- môđun phải FP- nội xạ. Mà theo Định lý 2.1.7 thì ( ) ( )1 1S R RExt M S, N Ext M, N⊗ ≅ =0, suy ra ( )1S RExt M S, N 0⊗ = . Do đó RM S⊗ là một S- môđun phải FP- xạ ảnh. Mà MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của RM S⊗ nên MS là một S- môđun FP- xạ ảnh. Vậy MS là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi MR là FP- xạ ảnh khi và chỉ khi M ⊗R S là S- môđun phải FP- xạ ảnh. 2.2 Chiều FP- xạ ảnh và chiều FP- nội xạ Định nghĩa 2.2.1. Cho M là R- môđun phải.  Chiều FP- xạ ảnh của M, ký hiệu là fpdR(M) hay fpd(M) là số nguyên nhỏ nhất n ≥ 0 sao cho ( )n+1RExt M, N 0= với bất kỳ R- môđun phải FP- nội xạ N. Nếu n không tồn tại thì fpdR (M) = ∞.  Chiều FP- nội xạ của M, ký hiệu là FP- id(M) là số nguyên nhỏ nhất n ≥ 0 sao cho ( )n+1RExt F,M 0= với tất cả R- môđun phải biểu diễn hữu hạn F. Nếu n không tồn tại thì FP- id(M) = ∞. Nhận xét. (1) Nếu M là môđun FP- xạ ảnh thì fpd(M) = 0 (2) Nếu M là môđun FP- nội xạ thì FP- id(M) = 0 Định nghĩa 2.2.2.  Chiều FP- xạ ảnh phải của R, ký hiệu là rfpD(R) được định nghĩa là: rfpD(R) = sup{fpdR(M): M là một R- môđun phải hữu hạn sinh}.  Chiều FP- nội xạ phải của R, ký hiệu là r.FP-dim(R) được định nghĩa là: r.FP-dim(R) = sup{FP-id(M): M là R- môđun phải}. Tính chất 2.2.3 ([4], proposition 3.1, page 1157). Cho R là vành coherent phải, M là R- môđun phải bất kỳ và số nguyên n ≥ 0. Các phát biểu sau là tương đương: (i) fpd(M) ≤ n. (ii) ( ), 0n+1RExt M N = với bất kỳ R- môđun phải FP- nội xạ N. (iii) ( ), 0n+ jRExt M N = với bất kỳ R- môđun phải FP- nội xạ N và j ≥ 1. (iv) Tồn tại dãy khớp → → →⋅⋅⋅→ → → →n n-1 1 00 P P P P M 0 trong đó các Pi , i = 0,1,,n là các FP- xạ ảnh. Tính chất 2.2.4 ([Đối ngẫu của Tính chất 2.2.3]). Cho R là vành coherent phải, M là R- môđun phải bất kỳ và số nguyên n ≥ 0. Các phát biểu sau là tương đương: (i) FP - id(M) ≤ n. (ii) ( ), 0n+1RExt N M = với bất kỳ R- môđun phải biểu diễn hữu hạn N. (iii) ( ), 0n+ jRExt N M = với bất kỳ R- môđun phải biểu diễn hữu hạn N và j ≥ 1. (iv) Tồn tại dãy khớp 0 1 -10 0n nM J J J J→ → → →⋅⋅⋅→ → → trong đó các Ji, i = 0,1,,n là các FP- nội xạ. Tính chất 2.2.5 ([4], Proposition 3.2, page 1158). Cho R là vành coherent phải, và dãy khớp các R- môđun phải 0 A B C 0→ → → → . Nếu hai trong số ba môđun A, B, C có chiều FP- xạ ảnh là hữu hạn thì chiều FP- xạ ảnh của môđun còn lại cũng hữu hạn. Hơn nữa: (i) fpd(B) ≤ sup{fpd(A), fpd(C)}. (ii) fpd(A) ≤ sup{fpd(B), fpd(C) - 1}. (iii) fpd(C) ≤ sup{fpd(B), fpd(A) + 1}. Tính chất 2.2.6. Cho R và S là những vành coherent phải. Nếu ϕ: R → S là một toàn cấu vành với S là một R- môđun dẹt trái và S là một R- môđun phải xạ ảnh. Khi đó: (i) fpdS(M) = fpdR(M) với bất kỳ S- môđun phải MS. (ii) rfpD(S) ≤ rfpD(R). Chứng minh. (i)  Chứng minh fpdS(M) ≤ fpdR(M) Giả sử fpdR(M) = n < ∞, cho FS là một S- môđun phải FP- nội xạ, theo Bổ đề 2.1.9 ta có FR cũng là một R- môđun phải FP- nội xạ. Mặt khác theo Định lý 2.1.8 ta có đẳng cấu ( )( ) ( )n+1 n+1S R RExt M,Hom S,F Ext M,F 0≅ = . Vì ϕ là toàn cấu nên ( )S RF Hom S,F≅ , suy ra ( )n+1SExt M,F 0= , do đó fpdS(M) ≤ n hay fpdS(M) ≤ fpdR(M) (1)  Chứng minh fpdR(M) ≤ fpdS(M) Giả sử fpdS(M) = n < ∞, theo Tính chất 2.2.3 thì tồn tại dãy khớp các S- môđun phải sau: n n-1 1 00 P P P P M 0→ → →⋅⋅⋅→ → → → trong đó các Pi , i = 0,1,,n là các S- môđun phải FP- xạ ảnh. Theo Bổ đề 2.1.9 (iii) thì các Pi , i = 0,1,,n cũng là các R- môđun phải FP- xạ ảnh. Do đó theo Tính chất 2.2.3 thì fpdR(M) ≤ n hay fpdR(M) ≤ fpdS(M) (2) Từ (1) và (2) suy ra fpdR(M) = fpdS(M). (ii) Theo chứng minh ở câu (i) ta có fpdS(M) ≤ fpdR(M) ≤ rfpD(R). Vậy rfpD(S) ≤ rfpD(R). Định lý 2.2.7. Cho R và S là vành coherent phải và S là mở rộng tốt của R. Khi đó, với bất kỳ S- môđun phải MS thì fpdR(M) = fpdS(M) = fpdS(M ⊗R S). Chứng minh.  Chứng minh fpdR(M) ≤ fpdS(M) Không mất tính tổng quát ta giả sử fpdS(M) = n < ∞. Khi đó, theo Tính chất 2.2.3 thì tồn tại dãy khớp n n-1 1 00 P P P P M 0→ → →⋅⋅⋅→ → → → trong đó các Pi , i = 0,1,,n là các S- môđun phải FP- xạ ảnh. Theo Bổ đề 2.1.10 (iii) mỗi Pi, i = 0,1,,n cũng là các R- môđun phải FP- xạ ảnh nên fpdR(M) ≤ n hay fpdR(M) ≤ fpdS(M) (1).  Chứng minh fpdS(M ⊗R S) ≤ fpdR(M) Nếu fpdR(M) = n < ∞ thì tồn tại dãy khớp của những R- môđun phải n n-1 1 00 P P P P M 0→ → →⋅⋅⋅→ → → → trong đó các Pi , i = 0,1,,n là các R- môđun phải FP- xạ ảnh. Vì RS là dẹt nên ta có dãy khớp của những S- môđun phải sau: n R n-1 R 1 R 0 R R0 P S P S P S P S M S 0→ ⊗ → ⊗ →⋅⋅⋅→ ⊗ → ⊗ → ⊗ → mà theo Bổ đề 2.1.10 (iii) thì các Pi ⊗R S, i = 0,1,,n là các S- môđun phải FP- xạ ảnh. Suy ra fpdS(M ⊗R S) ≤ n hay fpdS(M ⊗R S) ≤ fpdR(M) (2)  Mặt khác, vì MS là đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của M ⊗R S nên fpdS(M) ≤ fpdS(M ⊗R S) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra fpdR(M) = fpdS(M) = fpdS(M ⊗R S). Định lý 2.2.8. Cho R và S là vành coherent phải và S là mở rộng tốt của R. Khi đó, với bất kỳ S- môđun phải MS thì FP- idR(M) = FP- idS(M) = FP- idS(HomR(S, M)). Chứng minh.  Chứng minh FP- idR(M) ≤ FP- idS(M). Giả sử FP- idS(M) = n < ∞. Khi đó, theo Tính chất 2.2.4 thì tồn tại dãy khớp 0 n0 M J J 0→ → →⋅⋅⋅→ → trong đó các Ji, i = 0,1,,n là các S- môđun phải FP- nội xạ. Theo Bổ đề 2.1.10 (ii) mỗi J i, i = 0,1,,n cũng là các R- môđun phải FP- nội xạ nên FP- idR(M) ≤ n hay FP- idR(M) ≤ FP- idS(M). (1)  Chứng minh FP- idS(HomR(S, M)) ≤ FP- idR(M). Nếu FP- idR(M) = n < ∞ thì tồn tại dãy khớp của những R- môđun phải 0 n0 M J J 0→ → →⋅⋅⋅→ → trong đó các Ji, i = 0,1,,n là các R- môđun phải FP- nội xạ. Vì SR là xạ ảnh nên ta có dãy khớp của những S- môđun phải sau: ( ) ( ) ( )R R 0 R n0 Hom S, M Hom S, J Hom S, J 0→ → →⋅⋅⋅→ → mà theo Bổ đề 2.1.10 (ii) thì các HomR(S, Ji), i = 0,1,,n là các S- môđun phải FP- nội xạ. Suy ra FP- idS(HomR(S, M)) ≤ n hay FP- idS(HomR(S, M)) ≤ FP- idR(M) (2)  Mặt khác, MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, M) nên FP- idS(M) ≤ FP- idS(HomR(S, M)). (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra FP- idR(M) = FP- idS(M) = FP- idS(HomR(S, M)). Hệ quả 2.2.9. Cho R và S là những vành coherent phải. Khi đó: (i) Nếu S là mở rộng tốt của R thì rfpD(S) ≤ rfpD(R). (ii) Nếu S là mở rộng rất tốt của R thì rfpD(S) = rfpD(R). Chứng minh. (i) Theo chứng minh Định lý 2.2.7 ta có fpdS(M ⊗R S) ≤ fpdR(M) ≤ rfpD(R). Suy ra rfpD(S) ≤ rfpD(R). (ii) Ta chỉ cần chứng minh rfpD(R) ≤ rfpD(S) Vì S là mở rộng rất tốt của R, R là hạng tử trực tiếp của R- song môđun S. Cho RSR = R ⊕ T và MR là R- môđun phải bất kỳ, ta có M ⊗R S ≅ MR ⊕ (M ⊗R T). Do đó theo Định lý 2.2.7, ta có fpdR(M) ≤ fpdR(M ⊗R S) = fpdS(M ⊗R S) ≤ rfpD(S) suy ra rfpD(R) ≤ rfpD(S). Kết hợp với (i) ta được rfpD(S) = rfpD(R). Định lý 2.2.10. Cho S là mở rộng tốt của R. Nếu R và S là những vành coherent phải và rfpD(R) < ∞ thì rfpD(S) = rfpD(R). Chứng minh.  Theo Hệ quả 2.2.9 (i) ta đã có rfpD(S) ≤ rfpD(R).  Ta cần chứng minh rfpD(R) ≤ rfpD(S) Cho rfpD(R) = n < ∞, khi đó tồn tại một R- môđun phải M sao cho fpdR(M) = n. Định nghĩa một R- đồng cấu phải α: M → M ⊗R S cho bởi α(m) = m ⊗ 1 với m ∈ M. Từ tính khớp của dãy 0 → Ker(α) → M và RS là dẹt nên cho ta tính khớp của dãy 0 → Ker(α) ⊗R S → M ⊗R S. Vì vậy Ker(α) ⊗R S = 0 suy ra Ker(α) = 0, do đó α là đơn cấu và khi đó ta có dãy khớp các R- môđun phải: R0 M M S L 0→ → ⊗ → → Theo Tính chất 2.2.5 (ii), ta có: n = fpdR(M) ≤ sup{fpdR(M ⊗R S), fpdR(L) -1} ≤ rfpD(R) = n do fpdR(L) - 1 ≤ n – 1, fpdR(M ⊗R S) = n Mặt khác, theo Định lý 2.2.7 thì fpdR(M ⊗R S) = fpdS(M ⊗R S) ≤ rfpD(S). Suy ra rfpD(R) ≤ rfpD(S). Vậy rfpD(R) = rfpD(S). 2.3 Bao và phủ Định lý 2.3.1. Cho R là vành coherent phải, các phát biểu sau là tương đương: (i) Mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ duy nhất. (ii) rfpD(R) ≤ 2 và mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một bao FP- xạ ảnh. Chứng minh. (i) ⇒ (ii)  Cho M là R- môđun phải (FP- nội xạ). Khi đó, ta có các dãy khớp: γ θ δ ψ ϕ α β f 0 i α00 C F M 0→ → → → ψ β2 10 F F C 0→ → → → trong đó 0α : F M→ và 1β : F C→ là những tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt, suy ra C và F2 là FP- nội xạ. Do đó ta có dãy khớp ψ φ=iβ α2 1 00 F F F M 0→ → → → → .  Cho 2θ : F H→ là bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ duy nhất. Khi đó, tồn tại duy nhất 1δ : H F→ sao cho ψ = δθ. Suy ra ϕδθ = ϕψ = 0 nên ϕδ = 0, suy ra Im(δ) ⊆ Ker(ϕ) = Im(ψ). Vì vậy tồn tại 2γ : H F→ sao cho ψγ = δ, ta có biểu đồ sau giao hoán: H 0 F2 F1 F0 M 0 Ta có ψγθ = δθ = ψ, suy ra γθ = 2F1 (vì ψ là đơn cấu), do đó F2 đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của H, suy ra F2 là FP- xạ ảnh. Do đó, theo Tính chất 2.2.3 thì fpdR(M) ≤ 2. Vậy rfpD(R) ≤ 2. (ii) ⇒ (i) Cho M là R- môđun phải (FP- nội xạ) bất kỳ. Theo (ii) thì M có một bao FP- xạ ảnh f: M → F. Ta chỉ cần chứng minh với bất kỳ R- môđun phải FP- xạ ảnh G và bất kỳ đồng cấu g: F → G sao cho gf = 0 thì suy ra được g = 0. Thật vậy, tồn tại β: M → Ker (g) sao cho iβ = f vì Im(f) ⊆ Ker(g) với i: Ker(g) → F là phép nhúng. Theo Tính chất 2.2.3 thì Ker(g) là FP- xạ ảnh vì fpdR(G/Im(g)) ≤ 2. Do đó tồn tại α: F → Ker(g) sao cho β = αf. Khi đó ta có biểu đồ sau giao hoán và khớp: M α i g π α ϕ=βπ ψ δ θ γ 0 Ker(g) F G G/Im(g) 0 Ta có (iα)f = i(αf) = iβ = f. Suy ra iα là đẳng cấu vì f là một bao, do đó i là toàn cấu, hay i là đẳng cấu, suy ra g=0. Tính chất 2.3.2 ([Đối ngẫu của Định lý 2.3.1]). Cho R là vành coherent phải, các phát biểu sau là tương đương: (i) Mọi R- môđun phải (FP- xạ ảnh) có một phủ FP- nội xạ với tính chất ánh xạ duy nhất. (ii) r.FP-dim(R) ≤ 2 và mọi R- môđun phải (FP- xạ ảnh) có một phủ FP- nội xạ. Chứng minh. (i) ⇒ (ii)  Cho M là R- môđun phải (FP- xạ ảnh). Khi đó, ta có các dãy khớp: α π00 M F C 0→ → → → β ψ1 20 C F F 0→ → → → trong đó 0α : M F→ và 1β : C F→ là những tiền bao FP- nội xạ đặc biệt, suy ra C và F2 là FP- xạ ảnh. Do đó ta có dãy khớp α φ βπ ψ0 1 20 M F F F 0 =→ → → → →  Cho 2θ : H F→ là phủ FP- nội xạ với tính chất ánh xạ duy nhất. Khi đó, tồn tại duy nhất 1δ : F H→ sao cho ψ = θδ, suy ra θδϕ = ψϕ = 0 nên δϕ = 0, do đó Im(ϕ) ⊆ Ker(δ) hay Ker(ψ) ⊆ Ker(δ), vì vậy tồn tại 2γ : F H→ sao cho γψ = δ, ta có biểu đồ sau giao hoán H 0 M F0 F1 F2 0 0 f β i g α π Ta có θγψ = θδ = ψ nên θγ = 2F1 (do ψ là toàn cấu), do đó F2 đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của H, suy ra F2 là FP- nội xạ. Theo Tính chất 2.2.4 thì FP-id(M) ≤ 2. Vậy r.FP-dim(R) ≤ 2. (ii) ⇒ (i) Cho M là R- môđun phải (FP- xạ ảnh) bất kỳ. Theo (ii) thì M có một phủ FP- nội xạ f : F M→ . Ta chỉ cần chứng minh với bất kỳ R- môđun phải FP- nội xạ G và bất kỳ đồng cấu g : G F→ sao cho fg = 0 thì suy ra được g = 0. Thật vậy, tồn tại β : F / Im(g) M→ sao cho βπ = f với π : F F / Im(g)→ là phép chiếu. Theo Tính chất 2.2.4 thì F/Im(g) là FP- nội xạ vì FP-id(Ker(g)) ≤ 2. Do đó tồn tại α : F / Im(g) F→ sao cho β = fα. Khi đó ta có biểu đồ sau giao hoán và khớp: 0 Ker(g) G F F/Im(g) 0 M Ta có f(απ) = (fα)π = βπ = f. Vì f là phủ nên απ là đẳng cấu, do đó π là đơn cấu, hay π là đẳng cấu, suy ra g = 0. Định lý 2.3.3. Cho R là vành coherent phải. Nếu M là R- môđun phải có một phủ FP- xạ ảnh thì M có một tiền bao FP- nội xạ đặc biệt α: M → N sao cho N có phủ FP- xạ ảnh. Chứng minh. Cho θ: Q → M là phủ FP- xạ ảnh của M. Khi đó tồn tại dãy khớp θ0 K Q M 0→ → → → trong đó K là FP- nội xạ và Q là FP- xạ ảnh. Vì Q có tiền bao FP- nội xạ đặc biệt nên tồn tại dãy khớp: f g0 Q D L 0→ → → → , trong đó D là FP- nội xạ và L là FP- xạ ảnh. Do đó ta có biểu đồ cái kéo lại sau: f g θ α β ` 0 0 0 K Q M 0 0 K D N 0 L L 0 0 Vì R là vành coherent phải nên N là FP- nội xạ vì K và D là FP- nội xạ, dòng là khớp, suy ra α là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của M. Mặt khác, D là FP- xạ ảnh vì Q và L là FP- xạ ảnh, do đó, β là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của N. Bây giờ, cho γ là tự đồng cấu của D với βγ = β. Khi đó β(γf) = (βγ)f = βf = αθ. Theo tính chất cái kéo lại thì tồn tại h: Q → Q sao cho θh = θ và fh = γf. Do đó, h là đẳng cấu vì θ là phủ FP- xạ ảnh. Cho γ(d) = 0 với d ∈ D thì β(d) = βγ(d) = 0, suy ra d ∈ Kerβ = Imf nên tồn tại q ∈ Q để d = f(q), suy ra fh(q) = γf(q) = γ(d) = 0 hay q = 0 vì fh là đơn cấu nên d = 0, suy ra γ là đơn cấu. Mặt khác, với bất kỳ t ∈ D thì βγ(t) = β(t) suy ra γ(t) – t ∈ Kerβ = Imf nên tồn tại s ∈ Q để γ(t) – t = f(s) suy ra t = γ(t) – f(s) = γ(t – fh-1(s)) (vì f(s) = fhh-1(s) = γfh-1(s)), mà t – fh-1(s) ∈ D. Do đó γ là toàn cấu, suy ra γ là đẳng cấu. Vậy β là phủ FP- xạ ảnh của N. Định lý 2.3.4. Cho S là mở rộng tốt của vành R và θ: NS → MS là một S- toàn cấu. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: θ θ* (i) θ: NR → MR là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MR. (ii) θ: NS → MS là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MS. Hơn nữa, nếu S là mở rộng rất tốt của R thì những điều kiện trên tương đương với: (iii) θ*: HomR(S, N) → HomR(S, M) là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của HomR(S,M). (iv) θ ⊗ iS: N ⊗R S → M ⊗R S là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của M ⊗R S. Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Giả sử θ: NR → MR là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MR. Khi đó, tồn tại dãy khớp các R- môđun phải θ0 K N M 0→ → → → với K ∈ FIR và N ∈ FPR. Vì SR là xạ ảnh nên có dãy khớp các S- môđun phải: ( ) ( ) ( )θR R R0 Hom S,K Hom S, N Hom S,M 0∗→ → → → Ta có MS (NS) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, M) (HomR(S, N)). Do đó, ta có biểu đồ sau giao hoán: 0 LS NS MS 0 0 HomR(S, K) HomR(S, N) HomR(S, M) 0 trong đó LS = Ker(θ). Vì K ∈ FIR nên theo Bổ đề 2.1.10 (ii) ta có HomR(S, K) ∈ FIS. Mặt khác LS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, K), suy ra LS là FP- nội xạ. Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10 (iii) thì NS là FP- xạ ảnh. Do đó θ: NS → MS là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MS. (ii) ⇒ (i) Giả sử θ:NS → MS là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MS. Khi đó, tồn tại dãy khớp các S- môđun phải θ0 K N M 0→ → → → với K ∈ FIS và N ∈ FPS. Theo Bổ đề 2.1.10 ta có K ∈ FIR và N ∈ FPR. Vậy θ: NR → MR là tiền phủ FP-xạ ảnh đặc biệt của MR. θ θ ⊗ 1S (i) ⇒ (iii) Theo cách chứng minh ở trên thì HomR(S, K) ∈ FIS. Vì NR là FP- xạ ảnh, SR và RS là hữu hạn sinh tự do nên HomR(S, N) ∈ FPR, theo Bổ đề 2.1.10 (iii) thì HomR(S, N) ∈ FPS suy ra θ*: HomR(S, N) → HomR(S, M) là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của HomR(S,M). (iii) ⇒ (ii) Giả sử θ*: HomR(S, N) → HomR(S, M) là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của HomR(S,M). Khi đó, tồn tại dãy khớp các S- môđun phải sau: ( ) ( )θS R R0 Q Hom S, N Hom S,M 0∗→ → → → với QS ∈ FIS và HomR(S, N) ∈ FPS. Vì NS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, N) ∈ FPS nên NS ∈ FPS, do đó ta được điều phải chứng minh. (i) ⇔ (iv) Giả sử θ: NR → MR là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MR. Khi đó, tồn tại dãy khớp các R- môđun phải θ0 K N M 0→ → → → với K ∈ FIR và N ∈ FPR. Vì RS là dẹt nên ta có dãy khớp của các S- môđun phải: Sθ 1R R R0 K S N S M S 0 ⊗→ ⊗ → ⊗ → ⊗ → Ta có MS (NS) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của ( )R RM S N S⊗ ⊗ , do đó, ta có biểu đồ sau giao hoán: 0 LS NS MS 0 0 K ⊗R S N ⊗R S M ⊗R S 0 trong đó LS = Ker (θ). Vì θ: NR → MR là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của MR nên Ker(θ) là R- môđun FP- nội xạ. Theo Bổ đề 2.1.10 (ii) thì Ker(θ) là S- môđun FP- nội xạ hay LS là FP- nội xạ. Mà LS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của K ⊗R S nên K ⊗R S là FP- nội xạ. Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10 (iii) thì N ⊗R S là FP- xạ ảnh. Do đó θ ⊗ iS: N ⊗R S → M ⊗R S là tiền phủ FP- xạ ảnh đặc biệt của M ⊗R S. Hệ quả 2.3.5. Cho S là mở rộng tốt của R và θ: NS → MS là S- toàn cấu. Khi đó, θ là phủ FP- xạ ảnh của MS nếu θ là phủ FP- xạ ảnh của MR. θ θ ⊗ 1S Chứng minh. Nếu θ: MR → NR là phủ FP- xạ ảnh của MR. Giả sử θα = θ, trong đó α: N → N là tự đồng cấu S- môđun của NS. Khi đó dấu “=” vẫn đúng khi α và θ được xem như các R- đồng cấu. Do đó α là một R- đẳng cấu của NR vì θ là phủ FP- xạ ảnh của MR. Do vậy α*: HomR(S, N) → HomR(S, N) là S- đẳng cấu vì SR là xạ ảnh. Mà ta lại có NS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, N) nên ta được α là S- đẳng cấu của NS. Vậy θ: MS → NS là phủ FP- xạ ảnh của MS. Tính chất 2.3.6 (Đối ngẫu của Định lý 2.3.4 và Hệ quả 2.3.5). Cho S là mở rộng tốt của R và θ: MS → NS là S- đơn cấu. Khi đó: (i) θ: MR → NR là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của MR khi và chỉ khi θ: MS → NS là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của MS. (ii) θ: MS → NS là bao FP- nội xạ của MS nếu θ: MR → NR là bao FP- nội xạ của MR. Chứng minh. (i) (⇒) Giả sử θ: MR → NR là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của MR. Khi đó, tồn tại dãy khớp các R- môđun phải θ φ0 M N P 0→ → → → trong đó N ∈ FIR và P ∈ FPR. Mặt khác, do RS là dẹt nên ta có dãy khớp các S- môđun phải: S Sθ 1 φ 1R R R0 M S N S P S 0 ⊗ ⊗→ ⊗ → ⊗ → ⊗ → Ta có MS (NS) đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của ( )R RM S N S⊗ ⊗ , do đó, ta có biểu đồ sau giao hoán: 0 MS NS LS 0 0 M ⊗R S N ⊗R S P ⊗R S 0 trong đó LS = CoKer (θ). Vì P ∈ FPR nên theo Bổ đề 2.1.10 (iii) ta có P ⊗R S ∈ FPS. Mặt khác, LS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của P ⊗R S, suy ra LS là FP- xạ ảnh. Hơn nữa, theo Bổ đề 2.1.10 (ii) thì NS là FP- nội xạ. Do đó θ: MS → NS là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của MS. (⇐) Giả sử θ: MS → NS là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của MS. Khi đó, tồn tại dãy khớp các S- môđun phải sau: θ φ0 M N P 0→ → → → trong đó N ∈ FIS và P ∈ FPS Theo Bổ đề 2.1.10 thì N ∈ FIR và P ∈ FPR. Vậy θ: MR → NR là tiền bao FP- nội xạ đặc biệt của MR. (ii) Nếu θ: MR → NR là bao FP- nội xạ của MR. Giả sử αθ = θ, trong đó α: N → N là tự đồng cấu S- môđun của NS. Khi đó, dấu “=” vẫn đúng khi α và θ được xem là các R- đồng cấu. Do đó, α là một R- đẳng cấu của NR vì θ là bao FP- nội xạ của MR. Do vậy ( ) ( )R Rα : Hom S, N Hom S, N∗ → là S- đẳng cấu vì SR là xạ ảnh. Mà NS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, N) nên ta được α là S- đẳng cấu của NS. Vậy θ: MS → NS là bao FP- nội xạ của MS. KẾT LUẬN ĐỀ TÀI Qua quá trình nghiên cứu, đề tài đã nhận được một số kết quả như sau: - Số chiều FP- xạ ảnh của các môđun dưới những thay đổi của những vành. Cho R và S là những vành coherent phải và ϕ: R → S là toàn cấu vành thì với S là R- môđun xạ ảnh phải và là R- môđun dẹt trái thì fpdR(M)= fpdS(M) đối với M là S- môđun phải bất kỳ và do đó rfpD(S) ≤ rfpD(R). - Cho R và S là những vành coherent phải và S là mở rộng tốt của R thì fpdR(M)= fpdS(M) đối với bất kỳ S- môđun phải MS và rfpD(S) ≤ rfpD(R), dấu “ = ” xảy ra khi rfpD(R) < ∞. - Đối với một vành coherent phải R, rfpD(R) ≤ 2 và mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một bao FP- xạ ảnh khi và chỉ khi mọi R- môđun phải (FP- nội xạ) có một bao FP- xạ ảnh với tính chất ánh xạ duy nhất. - Cuối cùng, chúng ta đã xét những tiền phủ FP- xạ ảnh dưới mở rộng tốt của những vành. TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: 1. Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh. Tiếng Anh: 2. E. E. Enochs and O. M. G. Jenda (2000), Relative Homological Algebra; Walter de Gruyter: Berlin – New York. 3. A. Madanshekaf (2008), Quasi – Exact Sequence and Finitely Presented Modules, Iranian Journal of Mathematical Sciences and Informatics, Vol. 3, No. 2, 49 – 53. 4. Lixin Mao, Nanqing Ding (2005), FP- Projective Dimensions, Communications in Algebra, 33: 1153 – 1170. 5. Lixin Mao, Nanqing Ding (2005), Relative FP- Projective Modules, Communications in Algebra, 33: 1587 – 1602. 6. J. J. Rotman (1979), An Introduction to Homological Algebra; Academic Press; New York. 7. J. Trlifaj (2000), Covers, Envelopes, and Cotorsion Theories; Lecture notes for the workshop, “Homological Methods in Modules Theory”, Cortona, September 10 – 16. 8. Shang Wenliang (2010), Almost Excellent Extensions and the FP- Homological Property, International Journal of Algebra, Vol. 4, no. 16, 791 – 798.