Luận văn Một số áp dụng của biến đổi fourier vào biến đổi laplace ngược

hR u d d E E E f x h e ξ ξ τ ξ τ ξ τ ξ ξ ξ τ τ ξ ξ ξ τ τ ξ ξ ξ τ τ ∞ − + =−∞ = − − − − − − − + − − − − − − − − × + ∫ ∫ ∑ Trong (3.2.33), (3.2.34), (3.2.35) các hệ số 3 3 3 3, , ,α β γ δ có các giá trị sau: uhθ = 1 2 4 4 2 3 3 1 1 3 4 2 3 3 11 1( ) os3 sin 3 6 3 12 ( )sin 3 os3 3 h c h c α θ θ θ θ θ θ θ β θ θ θ θ θ θ θ − − − − − − − − − − − − = − + − + = − + − − 1 4 2 2 4 3 3 13 3 3( ) os3 4 sin 3 2 h cγ θ θ θ θ θ θ θ− − − − − −= − + − − 1 3 2 4 3 3 15 3( )sin 3 4 os3 2 (3.2.36)h cδ θ θ θ θ θ θ− − − − −= + − + Ở trên ta cho các công thức tính đạt được với sự giúp đỡ của phép nội suy của hàm f với liên hệ các giá trị của f tại các điểm kx . Ta có thể làm tăng độ chính xác của sự tính toán bởi việc yêu cầu phép nội suy không chỉ liên hệ 41 với các giá trị của hàm f mà còn với các giá trị của các đạo hàm của nó tại các bậc đã biết. Vậy thì phép nội suy sẽ là với các điểm bội. Ở dạng tổng quát nó là phức tạp và để đơn giản hóa ta sẽ kiểm tra trường hợp của các điểm kép, khi phép nội suy được thực hiện với mối liên hệ các giá trị của f và giá trị của đạo hàm bậc nhất /f . Như phần trước, ta xét các điểm cách đều: ( 0,1,...; 0)kx kh k h= = > . Lấy 1n + điểm 1, ,...,k k k nx x x+ + và xây dựng một đa thức 2 1( )nP x+ có bậc 2 1n + thỏa mãn các điều kiện sau: / / 2 1 2 1( ) , ( ) ( 0,1,..., )n nk j k j k j k jP x f P x f j n+ ++ + + += = = Biểu thức chi tiết của đa thức này được biết trong lý thuyết của phép nội suy và ta sẽ không trình bày ở đây. Biểu diễn thích hợp của hàm f là //2 / ( ) 2 / 2 / 0 ( )( )( ) {[1 ( )] ( ) } ( ) ( ) [ ( )] ( ) n k j k nk j k j k j k j j k j k j k j xxf x x x f x x f r x x x x x ωω ω ω + + + + + = + + + = × − − + − + −∑ ( ) ( ) 0 ( ) ( ) (3.2.37) n k k j n j H x r x = = +∑ 1( ) ( )( )...( )k k k nx x x x x x xω + += − − − Nếu ta nhân hai vế của (3.2.37) với cos ux , và lấy tích phân trên khoảng [ , ( ) ]kh k n h+ , và lấy tổng các kết quả trên các giá trị k , với k là các bội của n ( 0, ,2 ,...)k n n= , ta được một biểu diễn của biến đổi Fourier cosine trong đó các số hạng có các giá trị của kf và / kf 0 1 / 1 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) (3.2.38)c ck k k k k u u f u f R uϕ α α ∞ = = + +∑ 42 Các hệ số 0 ( )k uα và 1 ( )k uα có thể biểu thị trong các số hạng của nhân của biến đổi os uxc và các hệ số ( ) ( )kjH x của phép nội suy, phần dư ( )cR u được biểu thị trong các số hạng của os uxc và sai số ( ) ( )knr x trên tất cả các khoảng của phép nội suy [ , ( 1) ]jn j n+ , ( 0,1,...)j = . IV. Phép nội suy bậc ba với hai điểm kép. Lấy khoảng [kh, (k+1)h] và nội suy hàm f trên nó với mối liên hệ với cá giá trị 1,k kf f + , / / 1,k kf f + với sự giúp đỡ của đa thức bậc ba: Từ (3.3.37) cho 1n = ta có: //2 / 2 / 2 / / /2 /1 1 1 1 12 / 2 / 1 1 1 ( )( )( ) .{[1 ( )] ( ) } ( ) [ ( )] ( ) ( )( )+ .{[1 ( )] ( ) } ( ) ( ) [ ( )] ( ) k k k k k k k k k k k k k k k k k xxf x x x f x x f x x x x xx x x f x x f r x x x x x ωω ω ω ωω ω ω + + + + + + + + = − − + − − − − + − + − Trong đó: 2 1 1 1 / 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 ( ) k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ω ω + + + + = − − = − + + = − + / 1 1( ) 2 ( ) ( 1)k k k k k kx x x x x x kh k h hω + += − + = − = − + = − / 1 1 1 1( ) 2 ( ) ( 1)k k k k k kx x x x x x k h kh hω + + + += − + = − = + − = // / / / / 1( ) 2, ( ) 2, ( ) 2k kx x xω ω ω += = = Thế các kết quả vào biểu thức trên ta có: 2 /1 2 2 2 /1 1 1 1 12 2 1 [( )( )] 2( ) {[1 ( )] ( ) } ( ) ( ) [( )( )] 2+ {[1 ( )] ( ) } ( ) ( ) k k k k k k k k k k k k k k k x x x xf x x x f x x f x x h h x x x x x x f x x f r x x x h h + + + + + + + − − = − − + − − − − − − − − + − + − 43 Hay 2 /1 2 2 /1 1 1 12 ( )( ) [(1 2 ) ( ) )] ( ) [(1 2 ) ( ) ] ( ) (3.2.39) k k k k k k k k k k k x x x xf x f x x f h h x x x x f x x f r x h h + + + + + − − = + + − − − + − + − + Để đạt được biểu thức cần tìm cho sai số ( )kr x , xét công thức Taylor: 1 / 2 / / 3 / / / 3 3 3 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 6 6 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 6 k k k x IV k k k k k k k x x IV x f x f x x f x x f x x f f t x t dt P x f t x t E x t dt P x xψ + = + − + − + − + − = + − − = + ∫ ∫ Vì đa thức 3 ( )P x được nội suy chính xác, nên sai số của phép nội suy của f và của 1 31( ) ( )( ) ( ) 6 k k x IV x x f t x t E x t dtψ + = − −∫ là trùng nhau. Và điều này quy việc tìm phần dư cho f về tìm phần dư của hàm 3( ) ( )x t E x t− − . Thay hàm f bởi hàm ψ trong biểu thức (3.2.39) ta có: 2 /1 2 2 /1 1 1 12 ( )( ) [(1 2 ) ( ) ]+ ( ) [(1 2 ) ( ) ] ( ) k k k k k k k k k k k x x x xx x x h h x x x x x x r x h h ψ ψ ψ ψ ψ + + + + + − − = + + − − − + − + − + Ta có: 1 1 / 3 / 21 1( ) ( ( )( ) ( ) ) ( )3.( ) ( ) 6 6 k k k k x x IV IV x x x f t x t E x t dt f t x t E x t dtψ + + = − − = − −∫ ∫ 1 1 3 / 2 1 ( )( ) ( ) 0 6 ( ( ) 0) 1 ( )3.( ) ( ) 0 6 k k k k x IV k k k x kx IV k k k x f t x t E x t dt do E x t f t x t E x t dt ψ ψ + +  = − − =   − = = − − =   ∫ ∫ 44 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 / 2 2 1 1 1 1 1 1( ).( ) . ( ) ( ).( ) . 6 6 ( ( ) 1) 1 1( ).3( ) . ( ) ( ).3( ) . 6 6 k k k k k k k k x x IV IV k k k k x x kx x IV IV k k k k x x f t x t E x t dt f t x t dt do E x t f t x t E x t dt f t x t dt ψ ψ + + + + + + + + + + + + +  = − − = −   − = = − − = −   ∫ ∫ ∫ ∫ Thế vào trên ta có 2 1 2 ( )( ) ( ) [(1 2 ).0 ( ).0]k kk k x x x xr x x x x h h ψ + − − = − + + − 2 /1 1 1 12 ( ) [(1 2 ) ( ) ]k k k k k x x x x x xhh ψ ψ+ + + + − − − − + − 1 12 3 31 12 ( )1 1= ( )( ) ( ) [(1 2 ) ( ).( ) .6 6 k k k k x x IV IVk k k x x x x x xf t x t E x t dt f t x t dthh + + + + − − − − − − −∫ ∫ 1 2 1 1 1( ) ( ).3( ) . ]6 k k x IV k k x x x f t x t dt + + ++ − −∫ Hay 1 3 2 3 21 1 1 12 1( ) ( ){( ) ( ) 6 ( ) [(1 2 )( ) 3( )( ) ]} k k x IV k x k k k k k r x f t x t E x t x x x x x t x x x t dt h h + + + + + = − − − − − − − + − − ∫ Để đơn giản hóa kí hiệu, đặt , (0 , 1)k kx x h t x hξ τ ξ τ= + = + ≤ ≤ ta được 14 3 2 3 2 0 14 2 2 2 0 ( ) ( ){( ) ( ) [(3 2 )(1 ) 3( 1)(1 ) ]} 6 ( ){( ) ( ) (1 ) [(3 2 ) ]} 6 IV k k IV k hr x f x h E d h f x h E d τ ξ τ ξ τ ξ ξ τ ξ τ τ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ = + − − − − − + − − = + − − + − − − ∫ ∫ Nhân hai vế (3.2.39) với cosux , lấy tích phân trên khoảng [ , ( 1) ]kh k h+ và cộng các kết quả với 0,1,2,...k = , ta có thể xây dựng một biểu diễn của 45 ( )c uϕ , nếu bỏ phần dư sẽ cho một quy tắc tính để tìm ( )c uϕ từ các giá trị của kf và / kf / / / / 1 0 1 0 1 10 ( ) ( )cos 2 osc k k u f x uxdx f f f c kϕ α γ α θ ∞ ∞ = = = − + ∑∫ / / 1 1 2 sin ( ) (3.2.40)ck k f k R uδ θ ∞ = − +∑ Ở đây 1 / 4 3 1 2 / 2 4 3 4 1 2 / 3 4 3 1 12 (1 os ) 6 sin (3.2.41) 6 2 sin 6 os 4 6 sin 2 os uh h c h c h c θ α θ θ θ θ γ θ θ θ θ θ θ δ θ θ θ θ θ − − − − − − − − − − − −        = = − − = − + + = − + Trong biểu diễn của ( )cR u , biến x được thay thế bởi biến chính tắc 1( )kh x xξ −= − , kx x hξ= + : 1 15 3 2 2 0 0 0 ( ) {( ) ( ) (1 ) [(3 2 ) ]} 6 ( ) os ( ) (3.2.42) c IV k k k hR u E f x h c u x h d d ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ ∞ = = − − + − − − × + + ∫ ∫ ∑ Để đánh giá cR , trước tiên ta xác định các tính chất đã biết của nhân trong ngoặc của tích phân kép. Kí hiệu nhân là ( , )K ξ τ : 3 2 2 3 2 2 2 2 ( , ) ( ) ( ) (1 ) [(3 2 ) ] ( ) (1 ) [(3-2 ) - ], 0 1 = (1 ) [(3-2 ) - ] 0 1 K Eξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ ξ τ ξ τ ξ ξ τ = − − + − − −  − + − < < <  − < < < Trước hết ta thấy giá trị của nhân trên biên của hình vuông [0 , 1]ξ τ≤ ≤ đều bằng 0 (hình 2). Thật vậy: 46 Khi 0ξ = : 2 2(0, ) 0 (1 ) [(3-20) -0]=0K τ τ τ= − Khi 1ξ = : 3 2 2(1, ) (1 ) 1 (1 ) [(3-2.1) -1]=0K τ τ τ τ= − + − Khi 0τ = : 3 2 2( ,0) ( 0) (1 0) [(3 2 ).0 ] 0K ξ ξ ξ ξ ξ= − + − − − = Khi 0τ = : 2 2( ,1) (1 1) [(3 2 ).1 ] 0K ξ ξ ξ ξ= − − − = Trên đường chéo OB của hình vuông, nhân có giá trị dương: 3 2 2 3 ( , ) ( ) ( ) (1 ) [(3 2 ) ] 2[ (1 )] 0 (0 1) K Eξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ = − − + − − − = − > < < τ C 0 B (1 2,1 2)D 0 + 0 0 0 A ξ Trong tam giác OBC : 0 1ξ τ≤ ≤ ≤ nên 2 2( , ) (1 ) [(3-2 ) - ]K ξ τ ξ τ ξ τ ξ= − do đó dấu của của ( , )K ξ τ trong tam giác OBC là dấu của đa thức (3 2 )ξ τ ξ− − . Với ξ cố định (0 1)ξ< < , khi τ tăng từ ξ đến 1, giá trị của đa thức tăng từ (3 2 ) 2 (1 ) 0ξ ξ ξ ξ ξ− − = − > đến (3 2 ).1 3(1 ) 0ξ ξ ξ− − = − > . Do đó, ( , ) 0K ξ τ ≥ khi 1,0 1ξ τ ξ≤ ≤ ≤ ≤ . Ngoài ra, trong tam giác OBC , nhân đạt giá trị lớn nhất tại trung điểm của đường chéo, (1 2, 1 2)D , và 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ax ( , ) ( , ) ( ) (1 ) [(3 2 ) ] 2 2 2 2 2 2 2 32 m K K ξ τ ξ τ ≤ ≤ ≤ = = − − − = Trong tam giác OAB : 0 1τ ξ≤ ≤ ≤ , bên dưới đường chéo OB , nhân là đa thức bậc ba theo biến τ : 47 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 ( , ) ( ) (1 ) [(3 2 ) ] 3 3 (1 2 )(3 2 ) 3 3 (3 2 6 4 2 3 2 ) 3 3 3 6 3 3 2 K ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ ξ ξ τ ξτ τ ξ τ τ τ ξτ ξ ξ ξ τ ξτ τ ξ τ ξτ ξ τ ξτ ξτ τ ξτ ξτ ξ ξ τ ξτ τ ξ τ ξ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ = − + − − − = − + − + − + − − = − + − + − − − + + + − − = − + − + − − + + − 2 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 3 6 3 3 2 3 (1 2 ) (1 3 2 ) 3 (1 ) (1 2 2 4 2 ) 3 (1 ) [(1 ) 2 (1 ) ] (1 ) [3 (1 2 ) ] ξτ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ τ ξ ξ ξ τ ξ ξ ξτ ξ τ ξ ξ ξ ξ ξ ξτ ξ τ ξ ξ ξ ξ τ ξ ξ τ = − − + + − = − + − − + = − − − + + − + = − − − + − = − − + vì 2 2(1 ) 0ξ τ− ≥ nên dấu của ( , )K ξ τ trùng với dấu của biểu thức 3 (1 2 )ξ ξ τ− + . Với 1ξ ≤ và τ ξ≤ ta có: 3 (1 2 ) 3 (1 2 ) 2 (1 ) 0ξ ξ τ ξ ξ ξ ξ ξ− + ≥ − + = − ≥ ( 0 1τ ξ≤ ≤ ≤ ) Vì vậy ( , )K ξ τ không âm trong miền 0 1τ ξ≤ ≤ ≤ . Trong tam giác OAB : 0 1τ ξ≤ ≤ ≤ , 2 2( , ) (1 ) [3 (1 2 ) ]K ξ τ ξ τ ξ ξ τ= − − + , nhân ( , )K ξ τ đạt giá trị lớn nhất tại điểm 1 1 ( , ) 2 2 D : 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1ax ( , ) ( , ) (1 ) ( ) [3 (1 2 ) ] 2 2 2 2 2 2 2 32 m K K τ ξ ξ τ ≤ ≤ ≤ = = − − + = Ta tính tích phân kép của nhân: 1 1 1 1 3 2 2 0 0 0 0 1 1 3 2 2 0 0 0 ( , ) {( ) ( ) (1 ) 1{ ( ) (1 ) [(3 2 ) ] } (3.2.43) 120 d d K d d E d d d ξ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ ξ τ τ ξ τ ξ τ ξ τ = − − + − = − + − − − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Các tính chất ở trên của nhân cho phép ước lượng ( )cR u . Nếu trong biểu diễn (3.2.42) của ( )cR u ta thay thế nhân và os ( )kc u x hξ+ bằng các lượng lớn 48 hơn tương ứng là 1 32 và 1, ta được ước lượng sau 1 15 4 4 / / / 000 0 0 1( ) . ( ) ( ) ar ( ) (3.2.44) 6 32 192 192 IV IV c k xk h h hR u d d f x h f x dx V f xξ τ τ ∞∞ ≤ <∞ = ≤ + = =∑∫ ∫ ∫ Bây giờ nếu trong tích phân (3.2.42) ta thay tất cả các số hạng của tổng vô hạn bằng giá trị tuyệt đối của chúng và os ( )kc u x hξ+ bằng 1 , và sử dụng tính dương của nhân, ta áp dụng vào tích phân định lý giá trị trung bình cho trọng lượng, ta được bất đẳng thức sau: 1 15 3 2 2 0 0 0 5 0 ( ) ( ) {( ) ( ) (1 ) [(3 2 ) ]} 6 ( ) , 0 1 (3.2.45) 720 IV c k k IV k k hR u f x h d d E h f x h ϑ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ ϑ ϑ ∞ = ∞ = ≤ + × − − + − − − = + < < ∑ ∫ ∫ ∑ Lý luận tương tự đối với biến đổi Fourier sine và phức cho ta các biểu thức sau trong các số hạng có các giá trị kf và /kf : / / / / 1 0 1 0 1 10 / / 1 1 ( ) ( )sin ux 2 sin 2 os ( ) (3.2.46) s k k k s k u f x dx f f f k f c k R u ϕ β δ α θ δ θ ∞ ∞ − ∞ = = = + + + + ∑∫ ∑ 1 15 3 2 2 0 0 0 ( ) {( ) ( ) (1 ) [(3 2 ) ]} 6 ( )sin ( ) (3.2.47) s k k k hR u d d E f x h u x h ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ ∞ = = − − + − − − × + + ∫ ∫ ∑ 4 4 / / / 0 0 ( ) ( ) ar ( ) 192 192 IV s x h hR u f x dx V f x ∞ ≤ <∞ ≤ =∫ , 5 0 ( ) ( ) , 0 1 720 IV s k k hR u f x hϑ ϑ ∞ = ≤ + < <∑ , 49 iux / / /1 1( ) ( ) 2 2 ( ) (3.2.48)ik ikk ku f x e dx f e i f e R uθ θϕ α δ ∞ ∞ ∞ − − − −∞ −∞−∞ = = − +∑ ∑∫ Các giá trị của / / /1 1 1, , ,α γ δ θ được chỉ ra trong (3.2.41) và 1 / 3 4 3 2 1 6 os 12 sin (6 )h cβ θ θ θ θ θ θ − − − −= − + + 1 1 ( )3 2 2 0 0 ( ) {( ) E( )+ (1- ) [(3 2 ) ] ( )e } 6 (3.2.49) kiu x h k k hR u d d f x h ξξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ∞ − + =−∞ = − − − − +∑∫ ∫ 4 4 / / /( ) ( ) ar ( ) 192 192 IV x h hR u f x dx V f x ∞ −∞< <∞ −∞ ≤ =∫ 5 ( ) ( ) , 0 1 720 IV k hR u f x hϑ ϑ ∞ −∞ ≤ + < <∑ V. Phép nội suy của hàm số với ba điểm kép Lấy các điểm 1 2, ,k k kx x x+ + và nội suy hàm f với các giá trị của / / / 1 1 2 2, , , , ,k k k k k kf f f f f f+ + + + : / /22 2 / 2 / 0 / ( )( )( ) {[1 ( )] ( ) [ ( )] ( ) ( ) } ( ), (3.2.50) k k jk k j k j j k j k k j k j k j k j k xxf x x x f x x x x x x f r x ωω ω ω + + + = + + + + + = × − − − + − + ∑ 1 2( ) ( )( )( )k k k kx x x x x x xω + += − − − Để nghiên cứu sai số phép nội suy, ta bỏ qua biểu diễn tích phân của nó (vì phức tạp) như đã sử dụng trong các trường hợp đã nói ở trên và lợi dụng biểu thức quen thuộc của ( )kr x ở dạng phần dư Lagrange: 2 ( )( ) ( ), 0 2 (3.2.51) 6! VI k k k k xr x f x hω ϑ ϑ= + ≤ ≤ 50 Nhân hai vế (3.2.50) với osuxc , lấy tích phân trên khoảng 2[ , ]k kx x + , và lấy tổng các kết quả theo các giá trị chẵn của ( 0,2,4,...)k k = được biểu thức sau của ( )c uϕ : / / 2 0 2 2 1 00 / / / / / 2 2 0 22 2 1 1 0 / / 2 2 1 ( ) ( ) os ux os(2 1) 2 os2 sin (2 1) 2 sin 2 ( ) (3.2.52) c k k k k k k ck k u f x c dx f f c k f c k f f k f k R u ϕ α γ θ α θ δ η θ ζ θ ∞ ∞ + = ∞ ∞ + = = ∞ = = = + + + − − + − + ∑∫ ∑ ∑ ∑ 27 2 2 2 2 2 2 00 ( ) ( 1) ( 2) ( ) os ( ) (3.2.53) 6! VI c k k k k hR u f x h c u x h dξ ξ ξ ϑ ξ ξ ∞ = = − − + × +∑∫ Ta có ước lượng sau của (cR u ): 27 2 2 2 0 200 7 1 20 ( ) ( 1) ( 2) ax ( ) 6! 1 ax ( ) (3.2.54) 9450 VI c k k VI k k hR u d m f x h h m f x h ϑ ϑ ξ ξ ξ ξ ϑ ϑ ∞ ≤ ≤= ∞ ≤ ≤= ≤ − − + = + ∑∫ ∑ Đối với biến đổi Fourier sine, tương tự trên ta có: / / / 2 0 2 22 1 2 0 10 / / / / / / 2 0 2 22 1 2 0 1 ( ) ( )sin sin(2 1) 2 sin 2 cos(2 1) 2 cos 2 ( ) (3.2.55) s k k k k sk k k k u f x ux dx f f k f k f f k f k R u ϕ β γ θ α θ ζ η θ ζ θ ∞ ∞ ∞ + = = ∞ ∞ + = = = = + + + + + + + + ∑ ∑∫ ∑ ∑ 27 2 2 2 2 2 2 00 ( ) ( 1) ( 2) ( )sin ( ) (3.2.56) 6! VI s k k k k hR u f x h u x h dξ ξ ξ ϑ ξ ξ ∞ = = − − × + +∑∫ 7 20 20 1( ) max ( ) 9450 VI s k k R u h f x h ϑ ϑ ∞ ≤ ≤ = ≤ +∑ 51 Đối với biến đổi Fourier phức tương tự trên ta có: iux / 2 / (2 1) 2 22 2 1 / / 2 / / (2 1) 2 22 2 1 ( ) ( ) 2 2 ( ) (3.2.57) i k i k k k k k i k i k k k k k u f x e dx f e f e i f e i f e R u θ θ θ θ ϕ α γ ζ η ∞ ∞ ∞ − − − + + =−∞ =−∞−∞ ∞ ∞ − − + + =−∞ =−∞ = = + − − + ∑ ∑∫ ∑ ∑ 2 27 ( )2 2 2 2 2 0 ( ) ( 1) ( 2) ( ) (3.2.58) 6! kiu x hVI k k k hR u f x h e dξξ ξ ξ ϑ ξ ∞ − + =−∞ = − − × +∑∫ 7 20 1 1( ) ax ( ) 9450 VI k k R u h m f x h ϑ ϑ ∞ ≤ ≤ =−∞ ≤ +∑ Các tham số / /2 2, ,...,α β θ trong (3.2.52), (3.2.55) và (3.2.57) có giá trị sau: uhθ = , 5 6 / 2 2 2 2 2 (156 7 )sin os 3(60 17 ) os 15(12 5 )h u c cα θ θ θ θ θ θ θ= − + + − − , 5 6 / 4 2 2 2 2 2 ( 8 24) (7 156) os 3(60 17 )sin osh u c cβ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= + − + − + − , 5 6 / 2 2 2 16 (3 )sin 48 osh u cγ θ θ θ θ θ= − − , 4 6 / 2 2 2 4 2 2 2 ( 24)sin os 15( 4) os 27 6h u c cδ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= − + − + + + 4 6 / 2 2 2 2 2 (5 12) 15(4 )sin os 2 ( 24) osh u c cζ θ θ θ θ θ θ θ θ= − + − + − 4 6 / 2 2 2 16 ( 15) os 48(5 2 )sinh u cη θ θ θ θ θ= − + − 3.3. Phép nội suy bởi các hàm hữu tỷ 3.3.1. Chọn phép nội suy và sai số của nó Ở phần mở đầu của chương này ta chú ý rằng mặc dù phép nội suy bởi giá trị trung bình của các đa thức đại số dẫn tới các quy tắc áp dụng cho sự tính toán. Nó đòi hỏi chia nữa trục hoặc cả trục của phép nội suy thành một số vô hạn các khoảng con hữu hạn, phụ thuộc vào tốc độ giảm của hàm f khi 52 x →∞ . Nếu tốc độ giảm của hàm f không đủ nhanh, thì nhiều khoảng con sẽ cần tìm và điều này sẽ làm phức tạp sự tính toán. Để tránh phải chia miền lấy tích phân thành các phần hữu hạn, ta phải chuyển hệ các hàm mà phép nội suy dựa vào. Việc chọn hệ tùy thuộc vào, thứ nhất, miền của phép lấy tích phân, thường là cả trục x hoặc nữa trục 0x ≥ . Chúng ta sẽ chỉ xem xét biến đổi Fourier cosine và sine, và như đã nói, thừa nhận miền lấy tích phân là nữa trục 0x ≥ . Điều này không hạn chế bài toán, vì biến đổi Fourier phức có thể quy về biến đổi cosine và sine. Thứ hai, việc chọn hệ phụ thuộc vào các tính chất của tập hợp các hàm được nội suy. Ở trên, ta đồng ý rằng hàm f thỏa mãn (với giá trị lớn của x ) điều kiện ( ) , 1sf x Ax s−≤ > . Từ đó ta chọn các hàm thường xuyên gặp trong ứng dụng và có thể biểu diễn dưới dạng: ( )( ) , 1 (3.3.1) (1 )s F xf x s x = > + ở đây ( )F x liên tục trên nữa trục [0, )∞ và có giới hạn hữu hạn, lim ( ) ( ) x F x F →∞ = ∞ . Hàm ( )F x với các tính chất như trên được gọi là liên tục trên nữa trục đóng [0, ]∞ và giá trị giới hạn ( )F ∞ được xem như giá trị của hàm tại điểm ở vô cực. Để xấp xỉ hàm F ta có thể lấy nhiều hệ các hàm sơ cấp giới hạn trên nữa trục [0, )∞ . Để đơn giản hóa sự tính toán, lấy hệ các hàm cơ sở của các phân số đơn giản 1 (1 )mx+ ( 0, 1, 2,...)m = và nội suy hàm F với sự giúp đỡ của các 53 đa thức trong đối số 1 1 x+ : 0 ( ) (3.3.2) (1 ) n m n m m aP x x= = +∑ Trong tập hợp các hàm ( )F x liên tục trên nữa trục đóng [0, ]∞ các đa thức ( )nP x tạo thành một hệ đầy đủ trong mê tric C . Phép biến đổi 1 1 z x = + biến nữa trục [0, ]∞ thành khoảng đóng [0,1] của trục z . Hàm ( )F x liên tục trên [0, ]∞ trở thành hàm ( )zψ liên tục trên [0,1] , và các hàm hữu tỷ ( )nP x trở thành các đa thức ( )np z . Trên [0, )∞ lấy 1n + điểm 0 1(0 ... )nkx x x x≤ < < < < ∞ và chọn các hệ số ka của hàm nP sao cho các giá trị của nó tại các điểm kx trùng với các giá trị của hàm F 0 ( ) (1 ) ( ) ( 0,1,2,..., ) (3.3.3) n i n ik k k i P x a x F x k n− = = + = =∑ Những phương trình này cho ta một hệ tuyến tính các phương trình với hệ số ia . Định thức là định thức Vandermonde với đối số 1 ( 0,1,..., ) 1 k k n x = + , định thức này khác không vì tất cả các kx là phân biệt. Hệ có nghiệm duy nhất và do đó tồn tại một hàm hữu tỷ duy nhất ( )nP x có dạng (3.3.2) thỏa (3.3.3) . Khi giải hệ (3.3.3) , các hệ số ia tìm được là các hàm tuyến tính của ( ) ( 0,1,..., )kF x k n= . Thế chúng vào (3.3.2) ta thấy rằng nP cũng là một hàm tuyến tính của ( )kF x : 54 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) (3.3.4)n n nP x l x F x l x F x l x F x= + + + Ở đây ( )kl x là các đa thức bậc n theo biến 1 1 x+ . Chúng là các hàm tác dụng của phép nội suy các điểm kx và thỏa mãn các điều kiện sau: 0 ( ) 1i k khi i k l x khi i k ≠ =  = Ta có 11 1 1 1( ) ( )[ ( )] (3.3.5) 1 1 1 1 m m k j o j o j jkj k j k l x x x x x − = = ≠ ≠ = Π − Π − + + + + Do đó 1 / 1 1 0 (1 ) ( )( ) (1 ) ( ) ( ) (3.3.6) ( ) ( ) n k n k n k n k n n jj x xl x x x x x x x x ω ω ω + + + = + = + −  = Π −  Ta tìm khai triển của ( )nP x theo các lũy thừa của 1 1 x+ . Ta xây dựng như sau, khai triển đa thức 1( )n k x x x ω + − theo các lũy thừa của 1 x+ : ( )1 0 ( ) (1 ) n k ln l lk x c x x x ω + = = + − ∑ và thế khai triển này vào (3.3.6) và (3.3.4) ta được: 55 1 / 0 0 1 ( ) / 0 01 ( ) / 0 0 1 (1 ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) 1( ) (1 ) (1 ) ( ) (1 ) 1( ) (3.3.7) ( ) (1 ) nn n k n n k k k n k k nk k nn n k lk k ln k ln k nn n k k k l n l k l n k x xP x F x l x F x x x x x xF x c x x x xF x c x x ω ω ω ω + = = + = =+ − = = + + = = + − + = + + + = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Các thừa số ( ) / 1 (1 ) ( ) n k k l n k xc xω + + chỉ phụ thuộc vào các điểm ( 0,1,..., )kx k n= , chúng có thể tính sẵn, và được tìm bằng cách tra bảng. Bây giờ ta sẽ kiểm tra sai số của phép nội suy ( ) ( ) ( )n nr x F x P x= − . Ta sẽ đạt được biểu diễn cần thiết bằng cách lợi dụng mối liên hệ giữa bài toán này và phép nội suy dựa vào các đa thức đại số. Nhắc lại rằng nếu ta thế 1 1 z x = + , 1 1x z = − , vậy thì nữa trục 0 x≤ ≤ ∞ trở thành khoảng đơn vị 1 0z≥ ≥ của trục z , khi đó đa thức 0 ( ) (1 ) n m n m m aP x x= = +∑ trở thành đa thức đại số bậc n của biến z : 0 1( ) ( 1) ( ) (3.3.8) n k n n k n k P x P a z p z z = = − = =∑ Hàm ( )F x biến đổi thành một hàm đã biết theo đối số z : 1( ) ( 1) ( )F x F z z ψ= − = Các điểm nội suy kx chuyển thành các điểm 1(1 )k kz x −= + 0 1(1 ... 0)nz z z≥ > > > > 56 Và trên trục z ta thu được bài toán nội suy hàm ( )zψ bởi đa thức ( )np z ở (3.3.8) . Sai số của phép nội suy trong bài toán mới này trùng với sai số ( )nr x : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nz z p z F x P x r xρ ψ= − = − = Ta lợi dụng công thức Taylor cho ( )zψ , giả sử trên [0,1] hàm ( )zψ có đạo hàm cấp 1n + liên tục: / ( ) ( 1) 1 11 ( 1) 11 ( 1) 0 1 1( ) (1) ( 1) (1) ... ( 1) (1) ( )( ) ! ! ( 1)( ) ( )( ) ! ( 1)( ) ( )( ) ( ) ! z n n n n n n n n z n n n n z z z z d n n z z d n z z E z d n ψ ψ ψ ψ ψ τ τ τ ψ τ τ τ ψ τ τ τ τ + + + + + = + − + + − + − − = Π + − − = Π + − − ∫ ∫ ∫ Đa thức nΠ nội suy chính xác, do đó sai số nội suy ( )n zρ của ( )zψ trùng với sai số của phép nội suy của 11 ( 1) 0 ( 1) ( )( ) ( ) ! n n nz E z d n ψ τ τ τ τ + +− − −∫ . Ta có 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( 1). ( 1) n n n k k k k k k P x l x F x l F z z= = = = − −∑ ∑ theo (3.3.5) 1 /0 0 1 ( )( 1) ( )[ ( )] ( ) ( ). ( ) n n j jk k kj j k kj k j k zl z z z z z z z z z − = = ≠ ≠ Ω− = Π − Π − = = Λ − Ω với 0 ( ) ( ) n jj z z z = Ω = Π − và 1( 1) ( )k k F z z ψ− = nên 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n k k k z z p z z P x z z z ρ ψ ψ ψ ψ = = − = − = − Λ∑ Do đó 57 1 11 1 ( 1) ( 1) 00 0 11 ( 1) 00 ( 1) ( 1)( ) ( )( ) ( ) ( ). ( )( ) ( ) ! ! ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (3.3.9) ! n nn n n n n n k k k k n n n n n k k k k z z E z d z z E z d n n z E z z z E z d n ρ ψ τ τ τ τ ψ τ τ τ τ ψ τ τ τ τ τ τ + + + + = + + =       − −= − − − Λ − − −= − − − Λ − − ∑∫ ∫ ∑∫ Đặt 1 1, 1 1 t t τ τ = = − + Vì 2 1 (1 ) d dt t τ = − + , nên 2(1 ) (3.3.10)d dt d dtτ = − + Áp dụng (3.3.10) 1n+ lần cho phương trình ( ) ( )F tψ τ = , ta được quy tắc sau để tính đạo hàm: / 2( ) ( ) (1 ) ( )d dt F t d dt ψ τ ψ τ τ = = − + / / / 2 2 2 2 2( ) ( ) (1 ) [ (1 ) ( )] ( 1) (1 ) (1 ) ( )d d d d dt t F t t t F t d dt dt dt dt ψ τ ψ τ τ = = − + − + = − + + . . . ( 1) 1 2 2 2( ) ( 1) (1 ) (1 ) . . . (1 ) ( )n n d d dt t t F t dt dt dt ψ τ+ += − + + + Ta thấy rằng sau khi tính các đạo hàm, ta được một phương trình có dạng cho dưới đây mà ta sẽ không tính các hệ số 1,..., na a : ( 1) 1 1 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) 1 2( ) ( 1) (1 ) [(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) n n n n n n n n nt t F t a t F t a t F tψ τ+ + + + + − −= − + + + + + + 2 // / 1. . . (1 ) ( ) (1 ) ( )]nna t F t a t F t−+ + + + + 1 1 1( 1) (1 ) ( ) (3.3.11) n n nt L F + + += − + Ta chứng minh đẳng thức trên bằng phương pháp quy nạp: 58 Khi 0n = : (0 1) / 2 1 /( ) ( ) (1 ) ( ) ( 1) (1 )[(1 ) ( )]dt F t t t F t dt ψ τ ψ τ+ = = − + = − + + Giả sử đẳng thức đúng đến n k= , ta chứng minh nó cũng đúng với 1n k= + : ( 1 1) ( 1) 2 1 1 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) 2 / / / 1 2 1 ( ) ( ( )) (1 ) {( 1) (1 ) [(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) . . . (1 ) ( ) (1 ) ( )]} k k k k k k k k k k k k d dt t t F t d dt a t F t a t F t a t F t a t F t ψ τ ψ τ τ + + + + + + + − − − = = − + − + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 ( 1) 2 1 ( ) 1 2 ( 1) 3 / / 2 / 2 1 ( 1) (1 ) {(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) . . . (1 ) ( ) (1 ) ( )} k k k k k k k k k k k dt t F t a t F t dt a t F t a t F t a t F t + + + + − + + − = − + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 ( 2) 2 1 ( 1) 2 1 ( 1) 2 ( ) 1 1 3 / / / 2 / / 1 1 2 / / 1 / ( 1) (1 ) {[(1+t) ( ) (2 1)(1 ) ( )] [ (1 ) ( ) (2 1)(1 ) ( )] . . . [ (1 ) ( ) ( 3)(1 ) ( )] +[ (1 ) ( ) ( 2)(1 ) ( )] k k k k k k k k k k k k k k k k k t F t k t F t a t F t a k t F t a t F t a k t F t a t F t a k t F t + + + + + + + + + − − + + = − + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 2 2 ( 2) 1 ( 1) 1 2 / / / 1 ( 1) (1 ) [(1 ) ( ) (2 1 )(1 ) ( ) . . . ( ( 3) )(1 ) ( ) ( 2)(1 ) ( )] k k k k k k k k k t t F t k a t F t a k a t F t a k t F t + + + + + + − = − + + + + + + + + + + + + + + Suy ra điều phải chứng minh. Xét phương trình vi phân ( 1) ( ) 0nψ τ+ = . Nghiệm tổng quát là đa thức ( )ψ τ bậc n với hệ số bất kỳ, ta có thể lấy hệ đầy đủ các nghiệm độc lập của phương trình này là 21, , ,..., nτ τ τ . Phương trình tương đương với ( 1) ( ) 0nψ τ+ = là 59 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) 1 1 2 2 / / / 1 ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) . . . (1 ) ( ) (1 ) ( ) 0 (3.3.12) n n n n n n n n n L F t F t a t F t a t F t a t F t a t F t + + − − + − = + + + + + + + + + + = Đây là phương trình Euler với các điểm kì dị là 1t = − và t = ∞ . Do ( ) ( )F tψ τ = biến đổi 1(1 )tτ −= + thay vào các nghiệm 21, , ,..., nτ τ τ ta có hệ đầy đủ 1n + nghiệm ( )F t độc lập tuyến tính của phương trình (3.3.12) là 11,(1 )t −+ 2(1 ) ,...,(1 ) nt t− −+ + . Các nghiệm này cho ta một phương pháp đơn giản để tính các hệ số ( 1, 2,. . ., )ja j n= . Với 1( ) (1 ) ,F t t −= + / 1 2 // 2 3( ) ( 1) .(1 ) , ( ) ( 1) .2!(1 ) ,. . .F t t F t t− −= − + = − + ( 1) 1 ( ) ( 1) ( 1) 1 ( 2) ( ) ( 1) ( 1)!(1 ) ( ) ( 1) !(1 ) ( ) ( 1) ( 1)!(1 ) n n n n n n n n n F t n t F t n t F t n t − − − − + + + − + = − − + = − + = − + + Thế vào phương trình (3.3.12) ta được 1 1 1 1 1 1 2 1 1 ( 1) .( 1)!(1 ) .( 1) . !(1 ) .( 1) ( 1)!(1 ) . . . .( 1) .1!(1 ) 0 n n n n n t a n t a n t a t + − − − − − − + + + − + + − − + + + − + = Nhân hai vế của phương trình với 1( 1)n−− và đặt 1(1 )t −+ làm thừa số chung ta có 1 1 2(1 ) [( 1)! . ! .( 1)! . . . ( 1) . .1!] 0 n nt n a n a n a−+ + − + − + + − = Suy ra 1 2( 1)! . ! .( 1)! . . . ( 1) . .1! 0 n nn a n a n a+ − + − + + − = Với nghiệm 2( ) (1 ) ,F t t −= + / 1 32!( ) ( 1) . .(1 ) 1! F t t −= − + / / 2 43!( ) ( 1) . .(1 ) 1! . . . F t t −= − + 60 ( 1) 1 ( 1)!( ) ( 1) . .(1 ) 1! n n nnF t t− − − += − + ( ) ( 2)( 1)!( ) ( 1) . .(1 ) 1! n n nnF t t − ++= − + ( 1) 1 ( 3)( 2)!( ) ( 1) . .(1 ) 1! n n nnF t t+ + − ++= − + Thế vào phương trình (3.3.12) ta có 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( 2)! ( 1)! !( 1) . .(1 ) .( 1) . .(1 ) .( 1) . .(1 ) 1! 1! 1! 2!. . . .( 1) . .(1 ) 0 1! n n n n n n nt a t a t a t + − − − − − + +− + + − + + − + + + − + = Nhân hai vế với 1( 1)n−− và đặt 2(1 ) 1! t −+ làm thừa số chung ta có 2 1 2 (1 ) [( 2)! ( 1)! ! . . . ( 1) . .2!] 0 1! n n t n a n a n a −+ + − + + − + − = Suy ra 1 2( 2)! ( 1)! ! . . . ( 1) . .2! 0 n nn a n a n a+ − + + − + − = Với nghiệm ( ) (1 ) ,nF t t −= + / 1 ( 1) 1 ( 1)!( ) ( 1) . .(1 ) ( 1) . (1 ) ( 1)! n nnF t n t t n − + − += − + = − + − / / 2 ( 2)( 1)!( ) ( 1) . .(1 ) ( 1)! nnF t t n − ++= − + − ( 1) 1 (2 1)(2 2)!( ) ( 1) . .(1 ) ( 1)! n n nnF t t n − − − −−= − + − ( ) 2(2 1)!( ) ( 1) . .(1 ) ( 1)! n n nnF t t n −−= − + − ( 1) 1 (2 1)(2 )!( ) ( 1) . .(1 ) ( 1)! n n nnF t t n + + − += − + − Thế vào phương trình (3.3.12) : 61 1 1 1 2 1 (2 )! (2 1)! (2 2)!( 1) . .(1 ) ( 1) . .(1 ) .( 1) . .(1 ) ( 1)! ( 1)! ( 1)! !. . . .( 1) . .(1 ) 0 ( 1)! n n n n n n n n n n nt a t a t n n n na t n + − − − − − − − − + + − + + − + − − − + + − + = − Nhân hai vế với 1( 1)n−− và đặt (1 ) ( 1)! nt n −+ − làm thừa số chung ta có 1 2 (1 ) .[(2 )! .(2 1)! (2 2)! . . . ( 1) . !] 0 ( 1)! n n n t n a n a n a n n −+ − − + − − + − = − Suy ra 1 2(2 )! .(2 1)! (2 2)! . . . ( 1) . ! 0 n nn a n a n a n− − + − − + − = Ta có một hệ gồm 1n + phương trình sau: 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) / 1 2 1 2 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) . . . (1 ) 0, ( 1)! ! ( 1)! . . . ( 1) 1! 0, ( 2)! ( 1)! ! . . . ( 1) 2! 0, ................................................................. n n n n n n n n n n n t F a t F a t F a t F n a n a n a n a n a n a + + − −+ + + + + + + + = + − + + − + − = + − + + − + − = 1 2 ... (2 )! (2 1)! (2 2)! . . . ( 1) ! 0n nn a n a n a n− − + − − + − = Ta có thể xem hệ các phương trình thuần nhất tuyến tính, các số 1 21, , ,. . ., na a a là một nghiệm khác 0 của hệ. Định thức của hệ phải triệt tiêu, do đó cho phép ta viết (3.3.12) theo cách khác: 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) /(1 ) (1 ) (1 ) . . . (1 ) ( 1)! ! ( 1)! . . . ( 1) 1! ( 1)! ( 1)! ! . . . ( 1) 2! 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2 )! (2 1)! (2 2)! . . . ( 1) ! n n n n n n n n n t F t F t F t F n n n n n n n n n n + + − −+ + + + + − − − + − + − = − − − − Nếu ta khai triển định thức theo các phần tử của hàng thứ nhất, ta được một phương trình với các hệ số là hằng số. Do đó các hệ số 1 2, ,. . ., na a a tương ứng bằng các tỉ số của các phần phụ đại số của các phần tử ( ) 1 ( 1) /(1 ) (1 ) . . . (1 )n n n nt F t F t F− −+ + + chia cho phần phụ đại số của ( 1)1(1 ) nnt F +++ . 62 Bây giờ ta trở lại biến đổi tích phân (3.3.9) theo các biến cũ ,x t ; đặt 1 1 t τ = + , 1 1 z x = + . Khi đó ( 1) 1 1 1( ) ( 1) (1 ) ( ) n n n nt L Fψ τ + + + += − + . Đưa nhân tử 1( !)n − vào trong tích phân ở (3.3.9) ta được: 1 1 ( 1) 00 1 1( ) ( 1) ( ){ ( ) ( ) ( )( ) ( )} ! ! n n n n n n k k k k z z E z z z E z d n n ρ ψ τ τ τ τ τ τ+ + = = − − − − Λ − −∑∫ Xét hàm số 1 ( ) ( ) ! nz E z n τ τ− − , ta xem z như biến độc lập và τ như một tham số. Với z τ< . Khi đó ( ) 1E zτ − = , hàm số trở thành 1 ( ) ! nz n τ − , hàm số này là một nghiệm của phương trình 1 1 0 n n d y dz + + = , tại z τ= nghiệm này thỏa các điều kiện: / ( 1)( ) ( ) . . . ( ) 0ny y yτ τ τ−= = = = và ( ) ( ) 1ny τ = . Với z τ> , khi đó ( ) 0E zτ − = , hàm số 1 ( ) ( ) 0 ! nz E z n τ τ− − = . Và nhân 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) n n n k k k k z E z z z E zτ τ τ τ = − − − Λ − −∑ chính là sai số của phép nội suy của hàm 1 ( ) ( ) ! nz E z n τ τ− − bởi một đa thức bậc n là 0 ( )( ) ( ) n n k k k k z z E zτ τ = Λ − −∑ . Các phần riêng rẽ theo các biến ,x t của nhân có dạng sau: 1 1 ( )( ) ( ) , 1 1 (1 ) (1 ) n n n n n x tz t x t x τ −− = − = + + + + ( ) [ ]= E( x - t), (1 )(1 ) x tE z E t x τ −− = + + 0 1 1 / 0 1 1 ( ). . . ( )( ) . . . ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) . . . ( )( ) . . . ( ) k k n k k k k k k k k k n z z z z z z z zzz z z z z z z z z z z z − + − + − − − −Ω Λ = = − Ω − − − − 63 11 1 1 1( ).[ ( )] 1 1 1 1j k j kj k jx x x x − ≠ ≠ = Π − Π − + + + + 1( ).[ ( )] (1 )(1 ) (1 )(1 ) j j k j k j k j k j x x x x x x x x − ≠ ≠ − − = Π Π + + + + (1 ) . (1 ) n jk n j k k j x xx x x x≠ −+ = Π + − 1 / 1 (1 ) ( ). , (1 ) ( ). ( ) n k n n k n k x x x x x x ω ω + + + = + − 1 20 1( ) ( ), ( ) 1 (1 ) n n jj dtx x x d d t t ω τ+ == Π − = = −+ + Thế các biểu thức trên vào (3.3.9) cho ta sai số của phép nội suy ( )nr x : 11 ( 1) 00 01 1 1 1 1 / 1 ( 1)( ) ( ) ( ){( ) ( ) ( )( ) ( )} ! ( 1) ( )( 1) (1 ) ( ).{ ( ) ! (1 ) (1 ) (1 ) ( ) ( ). . ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) n n n n n n n k k k k n n n n n n n n n k n k kn n n k n k r x z z E z z z E z d n x tt L F E x t n t x x x x t E x t x x x x t x ρ ψ τ τ τ τ τ τ ω ω + + = + + + + ∞ + + − = = − − − Λ − − − − = − + − − + + + − − − + − + + ∑∫ ∫ 2 0 } (1 ) n k dt t= − +∑ 1 1 / 0 10 ( )1( ). {( ) ( ) .( ) ( )} !(1 ) ( ) ( ) 1 (3.3.14) n n nn n k kn k k n k x dtL F x t E x t x t E x t n x x x x t ω ω ∞ + + = + = − − − − − + − +∑∫ Ta có 1 / 0 1 ( )( , ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( ) ( ) n n nn k k k k n k xK x t x t E x t x t E x t x x x ω ω + = + = − − − − − −∑ là sai số của phép nội suy theo biến x của hàm ( ) ( )nx t E x t− − với các giá trị của hàm này tại các điểm kx . 3.3.2. Công thức cầu phương nội suy tổng quát. Xét biểu thức iux 0 ( ) ( ) (3.3.15)e u e f x dxϕ ∞ = ∫ Ta có 0 0 0 ( ) (cos isin ) ( ) cos ( ) sin ( )e u ux ux f x dx ux f x dx i ux f x dxϕ ∞ ∞ ∞ = + = +∫ ∫ ∫ 64 Nếu f là một hàm số có giá trị thực thì 0 cos ( )ux f x dx ∞ ∫ và 0 sin ( )ux f x dx ∞ ∫ tương ứng là phần thực và phần ảo của ( )e uϕ . Ta giả sử ở trên ( ) ( )(1 ) sf x F x x −= + , ( 1)s > và ( )F x là một hàm liên tục và đủ trơn trên nữa trục 0 x≤ ≤ ∞ . Nội suy hàm F với sự giúp đỡ của đa thức ( )nP x bậc n theo biến 1(1 )x −+ và viết ( )nP x theo dạng (3.3.7) : ( ) / 0 0 1 (1 ) 1( ) ( ) . ( ) (1 ) nn n k k n k l n l k l n k xP x F x c x xω −= = + + = +∑ ∑ Trong (3.3.15) ta thay hàm ( ) (1 ) ( ) (1 ) [P ( ) ( )]s s n nf x x F x x x r x − −= + = + + ta được iux iux 0 0 ( ) iux / 0 0 10 ( ) / 0 0 1 0 ( ) ( ) (1 ) [ ( ) ( )] (1 ) 1(1 ) [ ( ) . ( )] ( ) (1 ) (1 )( ) . (1 ) ( ) (3.3.16) ( ) s e n n k nn n s l k k nn l k l n k k nn n iux n l sl k k n k l n k u e f x dx e x P x r x dx c xe x F x r x dx x x c xF x e x dx R u x ϕ ω ω ∞ ∞ − ∞ − − = = + ∞ − + − = = + = = + + + = + + + + = + + ∫ ∫ ∑ ∑∫ ∑ ∑ ∫ Với iux 0 ( ) (1 ) ( )sn nR u e x r x dx ∞ −= +∫ . Các hệ số ( ) / 1 (1 ) ( ) k n l k kl n k c xA xω + + = chỉ phụ thuộc vào kx và có thể tra bảng. Cách tính tích phân 0 (1 )iux n l se x dx ∞ − + −+∫ được trình bày ở mục 3.3.e. Ta có ước lượng : iux iux 0 0 0 ( )( ) ( )( ) . (3.3.17) (1 ) (1 ) (1 ) nn n n s s s r xr x r xR u e dx e dx dx x x x ∞ ∞ ∞ = ≤ ≤ + + +∫ ∫ ∫ Nếu thay ( )nr x bởi biểu thức ở dạng (3.3.14) vào ( )nR x ta có 65 iux 0 1( ) ( ) (1 )n ns R u e r x dx x ∞ = +∫ iux 1 0 0 1 1( ). {( ) ( ) (1 ) !(1 ) n ns ne L F x t E x tx n x ∞ ∞ += − −+ +∫ ∫ 1 / 0 1 ( ) .( ) ( )} ( ) ( ) 1 n nn k k k k n k x dtx t E x t dx x x x t ω ω + = + − − − − +∑ iux 1 1 / 1 10 0 ( )1 ( ){( ) ( ) !(1 ) ( ) ( ) n n n nn s k k n k xdxe L F x t E x t n x x x x ω ω ∞ ∞ + ++ = + = − − − + −∑∫ ∫ ( ) ( )} (3.3.19) (1 ) n k k dtx t E x t t × − − + Xét nhân trong tích phân kép * 1 / 0 1 ( )1( , ) {( ) ( ) ( ) ( )} !(1 ) (1 ) ( ) ( ) 1 ( , ) !(1 ) (1 ) n n nn k kn s k k n k n s xK x t x t E x t x t E x t n x t x x x K x t n x t ω ω + + = + + = − − − − − + + − = + + ∑ Dấu của *( , )K x t trùng với dấu của ( , )K x t . Biểu thức ( , )K x t đã gặp ở (3.3.9) . ( , )K x t là nhân trong biểu diễn tích phân của sai số trong bài toán sau về phép nội suy đại số: lấy các điểm ( 0,1,..., )kx k n= và điểm nội suy x nằm trên [ , ]a b và giả sử hàm ( )g x được nội suy theo các giá trị của nó ( )kg x và bởi đa thức ( )nP x bậc n . Nếu ( )g x có một đạo hàm cấp 1n + liên tục trên [ , ]a b , vậy thì sai số nội suy ( ) ( ) ( )n nx g x P xρ = − được miêu tả theo đạo hàm cấp 1n + của g có dạng: 1 ( 1) 1 / 0 1 ( )( 1)( ) ( ){( ) ( ) ( ) ( )} ! ( ) ( ) bn n n n nn n k k k k n ka xx g t x E t x t x E t x dt n x x x ωρ τ ω + + + = + − = − − − − − −∑∫ 66 1 ( 1) 1 1 / 0 1 ( 1) ( )( 1) ( )( 1) {( ) ( ) ( ) ( )} ! ( ) ( ) 1 ( ). ( , ) (3.3.20) ! bn n n n n nn k k k k n ka b n a xg t x t E x t x t E x t dt n x x x g t K x t dt n ω ω + + + + = + + − = − − − − − − − = ∑∫ ∫ 3.3.3. Phép nội suy với các điểm cách đều Ta lấy các điểm cách đều ( 0,1,2, ...; 0)kx kh k h= = > cho các điểm nội suy. Trong trường hợp này 1( ) ( ). . .( )n x x x h x nhω + = − − và các hệ số ( )k lc được xác định bởi: ( )1 0 ( ) ( ). . .[ ( 1) ].[ ( 1) ] . . .( ) (1 ) ( 0,1,..., ) n k ln l lk x x x h x k h x k h x nh c x x x k n ω + = = − − − − + − = + − = ∑ / 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )( ) lim lim lim ( ). . .[ ( 1) ].[ ( 1) ] . . .( ) ( ). . .[ ( 1) ].[ ( 1) ] . . .( ) ( 1) . . . ( )( 2 ). . .( 1)( ) .( 1) !( k k k n n k n n k x x x x k k x x k k k k k n n k x x xx x x x x x x h x k h x k h x nh x x h x k h x k h x nh kh k h h h h n k h h k n k ω ω ωω + + ++ → → → − − = = − − = − − − − + − = − − − − + − = − − − − − = − − )! ( ) ( ) / 1 .(1 ) .(1 ) (3.3.22) ( ) ( 1) !( )! k n k n l k l kl n k n n k c x c khA x h k n kω −+ + + = = − − klA được tra bằng bảng. Quy tắc tính trong (3.3.16) trường hợp nội suy với các điểm cách đều có dạng: iux iux 0 00 0 ( )( ) ( ) (1 ) ( ) (3.3.23) (1 ) n n n s l e kl ns k l F xu e dx F kh A e x dx R u x ϕ ∞ ∞ − − + = = = = + + + ∑ ∑∫ ∫ Sự hội tụ của quy tắc tính xảy ra khi ( ) 0,( )nR u n→ →∞ . 3.3.4. Quy tắc tính kết hợp với nghiệm của đa thức trực giao. Sự hội tụ của phương pháp cầu phương nội suy (3.3.23) : 67 iux iux 0 00 0 ( )( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) n n n s l e kl ns k l F xu e dx F kh A e x dx R u x ϕ ∞ ∞ − − + = = = = + + + ∑ ∑∫ ∫ với các điểm cách đều cho một lớp rất hẹp các hàm. Do đó cần xây dựng các quy tắc tính khác thuận tiện hơn, có quan hệ với miền hội tụ và sự tính toán đơn giản. Từ lý thuyết của xấp xỉ phép cầu phương ta biết rằng khi tính một tích phân với một hàm trọng lượng, theo công thức tính sau: 1 ( ) ( ) ( ) (3.3.27) b n k k ka P z z dz A zϕ ϕ = ≈∑∫ Phép chứng minh cho rằng nếu hàm trọng lượng ( )p z không đổi dấu, vậy thì do một sự chọn lựa của kz và kA thì (3.3.27) có thể đúng khi ( )zϕ là một đa thức tùy ý bậc 2 1n − ; ở đây kz và kA được xác định duy nhất: kz phải là nghiệm của một đa thức ( )nP z bậc n lấy từ hệ các đa thức trực giao tương ứng với trọng lượng ( )p z , và / ( )( ) ( ) ( ) b n k k n ka P zA p z dz z z P z = −∫ Điều này có nghĩa là quy tắc cầu phương (3.3.27) phải là phép nội suy. Công thức (3.3.27) hội tụ trên một tập hợp các hàm rất rộng: nếu [ , ]a b là hữu hạn, và hàm trọng lượng ( )p z không đổi dấu trên [ , ]a b và khác 0 , vậy thì sự hội tụ của 1 ( ) ( ) ( ) ( ) bn k k k a A z p z z dz nϕ ϕ = → →∞∑ ∫ Điều này đủ để ( )zϕ bị chặn và tập hợp các điểm gián đoạn có độ đo 0 . Bây giờ lấy tích phân ( ) (3.3.15)e uϕ theo dạng iux 0 ( ) ( ) ( 1) (3.3.28) (1 )e s dxu e F x s x ϕ ∞ = > +∫ 68 Ta xét hàm ( )F x liên tục và đủ trơn trên nữa trục đóng [0, ]∞ . Thừa số (1 ) sx −+ có một điểm kì dị đơn là x = ∞ . Ta nối (1 ) sx −+ ở dưới với hàm trọng lượng. iuxe = cos isinux ux+ xác định sự dao động của biểu thức dưới dấu tích phân; iuxe là một lượng phức và phần thực và phần ảo của nó là đổi dấu. Tất cả điều này làm cho khó để quy iuxe về trọng lượng theo cách thông thường mà không biến đổi sơ bộ. Biến đổi (3.3.28) về một tích phân với một hàm trọng lượng cổ điển, thực hiện phép thế 1 1 tx t − = + hoặc 1 1 xt x − = + . Nửa trục 0 x≤ ≤ ∞ sẽ trở thành [-1,1] và tích phân (3.3.28) có dạng iux 0 11 1iux iux 1 1 2 0 1 1 1iux1 21 1 ( ) ( ) ( 1) (1 ) 1 1 1 1 (1 ) 2( )(1 ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 (1 ) 12 ( )(1 ) (3.3.29) 1 e s t t s st t s t s st dxu e F x s x t t t t te F d e F dt t t t t t te F t dt t ϕ ∞ ∞ − − −+ + − − − −+ − = > + − − − − + − = + = + + + + + − = + + ∫ ∫ ∫ ∫ 2(1 )st −+ có thể xem như hàm trọng lượng 2( ) (1 )sp t t −= + , đây là một trường hợp đặc biệt của trọng lượng Jacobi (1 ) (1 )t tα β− + với 0, 2sα β= = − . Ta lấy phần còn lại 1 1 1( ) ( ) 1 tiu t tt e F t ψ − + −= + cho hàm được lấy tích phân . Khi đó tích phân (3.3.29) có thể được tính bởi quy tắc cho phép lấy tích phân với trọng lượng Jacobi: 1 1 2 1 11 ( ) 2 ( )(1 ) 2 ( ) (3.3.30) n s s s e k k k u t t dt A tϕ ψ ψ− − − =− = + ≈ ∑∫ Ở đây kt là nghiệm của đa thức Jacobi (0, 2) ( )snJ t − bậc n và kA là các hệ số cầu phương tương ứng với các nghiệm này. Giá trị của kt và kA có thể tra bảng. 69 Vì ta giả sử rằng 1( ) ( ) 1 tF x F t − = + liên tục trên nữa trục 0 x≤ ≤ ∞ , 1 1 1 tiu te − + ≤ và 1 1 tiu te − + liên tục với 1 1t− < ≤ , nên hàm 1 1 1( ) ( ) 1 tiu t tt e F t ψ − + −= + bị chặn và liên tục với 1 1t− < ≤ . Vậy khi n tăng vô hạn , với u bất kỳ, ta có sự hội tụ của phương pháp tính (3.3.30) : 1 1 1 2 1 1 lim 2 ( ) 2 ( )(1 ) ( ) n s s s k k en k A t t t dt uψ ψ ϕ− − − →∞ = − = + =∑ ∫ Phương pháp tính nói trên chỉ là chuyển tích phân (3.3.29) về tích phân có độ chính xác cao nhất với trọng lượng Jacobi. Ta giả sử 1( ) 1 tF t − + là đủ trơn, khi 1t →− , dao động của 1 1 tiu te − + tăng vô hạn và điểm 1t = − là một điểm gián đoạn của 1 1 tiu te − + . Vì lý do này, gần 1t = − hàm ( )tψ sẽ không được xấp xỉ chính xác bởi các đa thức đại số. Các điểm kt trong (3.3.30) được xem như là nghiệm của đa thức (0, 2) ( )snJ t − . Ta đưa thừa số 1 1 tiu te − + vào trọng lượng và đặt 1 * 2 *1 1( ) (1 ) , ( ) ( ) 1 tiu st tp t e t t F t ψ − −+ −= + = + Bây giờ ta nội suy *( )tψ với các giá trị của *( )tψ tại các điểm nội suy kt : * * * * 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (3.3.31) n k k n k t l t t r tψ ψ = = +∑ * * */ ( )( ) ( ) ( )k k k tl t t t t Ω = − Ω , * (0, 2)1 1( ) ( ). . .( ) ( )sn n n t t t t t J t q −Ω = − − = ở đây nq là hệ số của nt trong đa thức (0, 2) ( )snJ t − . 70 Thay các giá trị của *( )tψ và *( )p t vào (3.3.29) ta được: 1 11 1 2 1 * *1 1 1 1 1 * * * * 11 1 1 1 * * * * * 1 1 1 * * * 1 1( ) 2 (1 ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 ( )[ ( ) ( ) ( )] 2 [ ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ] ( ) (3.3.32) tius s st e n s k k n k n s k k n k n k k n k tu e t F dt p t t dt t p t l t t r t dt t p t l t dt p t r t dt A t R ϕ ψ ψ ψ ψ − − − −+ − − − =− − = − − = − = + = + = + = + = + ∫ ∫ ∑∫ ∑ ∫ ∫ ∑ Với 1 1 * 1 * * * 1 * * 1 1 2 ( ). ( ) , 2 ( ). ( )s sk k n nA p t l t dt R p t r t dt − − − − = =∫ ∫ Sau khi bỏ *nR , biểu thức (3.3.32) cho ta một quy tắc tính xấp xỉ cho ( )e xϕ . Sau đây là ví dụ khác của việc chọn các điểm kt .Trong tích phân (3.3.29) ta lấy 1 * 21( ) (1 ) tiu stp t e t − −+= + cho hàm trọng lượng và * 1( ) ( ) 1 tt F t ψ −= + cho hàm được lấy tích phân. Lấy một đa thức Jacobi tùy ý ( , ) ( )nJ x α β có bậc n với các số mũ , 1α β > − . Ta lấy các nghiệm của ( , ) ( )nJ x α β cho các điểm nội suy của hàm *( )tψ và ta kí hiệu các nghiệm này bởi ( 1,2,. . ., )kt k n= . Công thức nội suy sẽ có cùng dạng (3.3.31) như ở trên nhưng với ý nghĩa khác của kt * * * * 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n k k n k t L t t r tψ ψ = = +∑ * * */ ( )( ) ( ) ( )k k k tL t t t t Ω = − Ω * ( , ) ( , )1 1( ) ( ) ( ) n k nk n t t t J t q α β α β− Ω = Π − = 71 /* ( , ) ( , ) 11( ) ( ).[ ( )] (3.3.33)k n n k k L t J t J t t t α β α β −= − ( , ) nq α β là hệ số của nt trong đa thức ( , ) ( )nJ x α β . Để thu được các công thức tính toán cần thiết, ta trở lại biến cũ và đặt 1 1 tx t − = + , ứng với kt t= thì 1 1 k k k tx t − = + . Ta có: * 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 )1( ) ( ) ( ) 1 1 (1 )(1 ) 2( ) ( )2 2( ) . (1 )(1 ) (1 ) 1 (1 ) ( 1) n n n j j j j j jj j j j j n nn n j j n n nj j j j n x x x xx x x xxxt t t x x x x x x x x x x x x x x ω ω = = = = = − + − − − − + −− Ω = Π − = Π − = Π + + + + − − = Π = Π = + + + − − + − Với 1 ( ) ( ) n n jj x x xω = = Π − /* /1 1 1 2 2 1 1 (1 ) (1 )1( ) ( ) ( ) 1 1 (1 )(1 ) ( )2( ) ( )2 .( 1) 2. . (1 )(1 ) (1 ) .( 1) (1 ) ( 1)( 1 ) j j k k j j k k jk k k jj k j k j k k j k j n n nk jj k j k n k nn n nj k k j k k n jj x x x x x x x x xxt t t x x x x x xx x x x x x xx ω ω ≠ ≠ ≠ − − − ≠ − −≠ = − + − − − − + −− Ω = Π − = Π − = Π + + + + Π −− − = Π = = − + + + − + −Π − − 1 (1 ) (1 ) 2( )1 1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) k k k k k k k k k k x x x xx x x xx x xxt t x x x x x x − + − − − − + − −− − = − = = − + + + + + + . / / * * ( , ) ( , ) 1 * 2 1 / 1 / 1 1 ( )( ) ( ).[ ( )] . ( ) (1 )(1 ) 2 . ( ) (1 ) . ( 1). . 2( ) (1 ) . ( 1) 2 . ( ) 1 ( )( ) . ( ) (3.3.34) 1 ( ). ( ) k n n k k k k n n k n k n n n k n n k nk n k k n k tL t J t J t t t t t t x x x x x x x x x x l x x x x x α β α β ω ω ω ω ω ω − − − − Ω = = − − Ω + + − + − = − − + − + = = + − * 2 1 2( ) ( ), ( ) ( ) 1 (1 )k k tt F x d x d dt t t ψ −= = = − + + 72 Nếu thay thế hàm * 1( ) ( ) ( ) 1 tt F F x t ψ −= = + và thay biểu diễn nội suy của *( )tψ vào (3.3.29) ta được phương trình sau cho ( )e uϕ : 1 1 1 21 1 1( ) 2 ( )(1 ) 1 tius st e tu e F t dt t ϕ − − −+ − −= + +∫ 1 1 1 * 21 1 2 . ( ).(1 ) tius ste t t dtψ − − −+ − = +∫ 1 1 1 * * * 21 11 2 [ ( ) ( ) ( )](1 ) t nius st k k n k e L t t r t t dtψ − − −+ =− = + +∑∫ 1 1 1 * * 21 11 2 [ ( ) ( ) ( )](1 ) t nius st k k n k e L t F x r t t dt − − −+ =− = + +∑∫ 1 1 1 * 2 *1 1 1 2 ( ) ( )(1 ) ( ) (3.3.35) tn ius st k k n k F x e L t t dt R u − − −+ = − = + +∑ ∫ Với 1 1 * 1 * 21 1 ( ) 2 ( )(1 ) tius st n nR u e r t t dt − − −+ − = +∫ * ( )kL t là đa thức bậc 1n − theo biến t . Ta khai triển * ( )kL t theo lũy thừa của 1t + : 1 * ( ) 0 ( ) ( 1) n k l k l l L t a t − = = +∑ Thế vào (3.3.35) ta được: 1 1 1 1 ( ) 2 *1 1 01 1 11 ( ) 1 2 *1 1 0 1 ( ) 2 ( ) [ ( 1) )](1 ) ( ) ( ) 2 (1 ) ( ) (3.3.36) tn nius k l st e k l n k l tn n iuk s s lt k l n k l u F x e a t t dt R u F x a e t dt R u ϕ − − − −+ = =− −− − + −+ = = − = + + + = + + ∑ ∑∫ ∑ ∑ ∫ Từ (3.3.35) ta trở lại biến 1 1, 1 1 t xx t t x − − = = + + : 73 1 1 1 * 2 *1 1 1 1 1 iux 2 * 1 1 ( ) 2 ( ) ( )(1 ) ( ) 1 12 ( ) ( )(1 ) ( ) ( ) 1 1 tn ius st e k k n k n s s k k n k u F x e L t t dt R u x xF x e l x d R u x x ϕ − − −+ = − − − = − = + + − − = + + + + ∑ ∫ ∑ ∫ 0 2 1 iux * 2 2 1 2 2( )2 ( ). . ( ) (1 ) (1 ) sn s k k ns k F x e l x dx R u x x − − − = ∞ − = + + +∑ ∫ iux 1 0 ( ) ( ) ( ) (3.3.37) (1 ) n k k ns k dxF x e l x R u x ∞ = = + +∑ ∫ ở đây *( ) ( )n nR u R u= . Ta khai triển ( )kl x theo lũy thừa của 1 1 x+ : 1 1 ( ) / 0 1 ( )( ) ( ) . (1 ) 1 ( ). ( ) n n k lk n k l lk n k x xl x b x x x x x ω ω − − − = + = = + + − ∑ Thế vào (3.3.37) ta có : 1 iux ( ) 1 00 1 ( ) iux 1 0 0 ( ) ( ) [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) (3.3.38) n n k l e k l ns k l n n k s l k l n k l dxu F x e b x R u x F x b e x dx R u ϕ ∞ − − = = ∞− − − = = = + + + = + + ∑ ∑∫ ∑ ∑ ∫ Ta sẽ đánh giá tích phân iux 0 (1 ) s le x dx ∞ − −+∫ trong phần 3.3.5 3.3.5. Cách tính tích phân iux 0 (1 ) mm aJ e x dx α ∞ − − + = +∫ Ở đây m là số nguyên không âm và 0 1α≤ < . Bằng cách tính tích phân từng phần: iux 0 (1 ) mm aJ e x dx α ∞ − − + = +∫ Đặt 74 iux iux 1 , . 1(1 ) , .(1 ) 1 m m u e du iu e dv x dx v x m α α α − − − + − = = − = + = + − + iux iux iux 1 1 0 00 iux 1 0 (1 ) (1 ) ( 1 )(1 ) 1 1 (1 ) 1 1 x m m m a m x m e iuJ e x dx e x m x m iu e x m m α α α α α α α α →∞∞ ∞ − − − + + − + = ∞ − + = + = − + + − + + − + = + + − + − + ∫ ∫ ∫ 1 1 (3.3.39) 1 1m a m a iuJ J m mα α+ − + = + − + − + Áp dụng (3.3.39) ta có: 1 2 1 2 2m a m a iuJ J m mα α− + − + = + − + − + Quá trình trên cứ lặp lại, tính được các tích phân 2 3, , . . .m a m aJ J− + − + cuối cùng ta chỉ còn phải tính (0 1)aJ α< ≤ . iux 0 (1 ) dxJ e xα α ∞ = +∫ Đổi biến 1 ,t x dt dx= + = . Khi đó: iux ( 1) 0 1 1(1 ) iu t iu iutdx dt dtJ e e e e x t tα α α α ∞ ∞ ∞ − −= = = +∫ ∫ ∫ Khi 1α = , ta được phương trình 1 1 1 1 1 (cos isin ) cos sin[ ] [ ( ) iS ( )] (3.3.40) iu iut iu iu iu dt dtJ e e e ut ut t t ut ute dt i dt e Ci u i u t t ∞ ∞ − − ∞ ∞ − − = = + = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ( )Ci u và ( )Si u được tra bảng. Khi 0 1α< < ta có 1 iut iut iut 1 0 0 dt dt dte e e t t tα α α ∞ ∞ = −∫ ∫ ∫ (1 )iut 1 2 0 (1 ) , 0 idte u e u t π αα α α ∞ −−= Γ − >∫ 75 1 1 1 iut 0 0 00 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 ! ! ! 1 k k k k k k k dt iut dt iu iue t dt t k t k k k α α α α ∞ ∞ ∞ − = = = = = = + −∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ Vậy [ (1 ) ]iux 1 2 00 ( )(1 ) (3.3.42) (1 ) !( 1 ) ki u iu k dx iuJ e u e e x k k π αα α α α α ∞ ∞− −− − = = = Γ − + + + −∑∫ 76 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tôi đã trình bày được việc tính tích phân Mêllin quy về tính tích phân Fourier. Khảo sát các phép nội suy để tích các tích phân Fourier, xét các sai số tương ứng. Phép nội suy với bậc càng cao thì sai số càng nhỏ, và độ chính xác của quy tắc tính tích phân Fourier càng tăng nhưng sự tính toán càng phức tạp. Do đó đối với các phép nội suy bậc cao tôi chưa thể trình bày rõ việc tính toán mà chỉ đưa ra kết quả, về sau tôi tiếp tục nghiên cứu làm rõ thêm. Trong luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu xót, rất mong quý Thầy – Cô và các bạn góp ý giúp tôi hoàn thiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Biến Đổi Tích Phân, NXB Giáo Dục (2001). [2] Krylov V.I., Skoblya N.S, A handbook of Methods of Approximate Fourier Transfomation and Inversion of The Laplace Transformation, Mir publishers, Moscow (1985). [3] Krylov V.I., Skoblya N.S, Handbook of Numerical Inversion of Laplace Transforms, IPST Press, Jerusalem (1977). [4] Sveshnikov A.G., Tikhonov N.A, The Theory of Functions of a Complex Variable, Nauka, Moscow (1978).