Luận văn Một số dạng phương trình lượng giác và cách giải
Trong luận văn này tôi đã trình bày được những kết quả sau: 1. Một số công thức lượng giác cơ bản, tính chất các hàm số lượng giác và đồ thị của các hàm số lượng giác. Các phương trình lượng giác cơ bản, cách giải và bài tập áp dụng. 2. Giới thiệu các phương trình lượng giác cơ bản và một số dạng phương trình lượng giác khác, phương pháp giải và các bài tập áp dụng. Ứng dụng phương pháp lượng giác hóa vào giải một số phương trình và hệ phương trình trong đại số, phương pháp lượng giác hóa với mục đích thay đổi hình thức từ bài toán đại số sang bài toán lượng giác, vì vậy để giải quyết tốt một bài toán cần nắm vững kiến thức cơ bản của lượng giác.
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Một số dạng phương trình lượng giác và cách giải, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
bậc nhất của sin và cos.
Bài tập 10. Giải phương trình:
3 2 34sin 3sin .cos sin cos 0 (3)x x x x x
Giải
) cos 0 ,
2
x x k k
, không thỏa mãn phương trình (3)
Vì vậy phương trình không nhận ,
2
x k k
làm nghiệm.
) cos 0 , .
2
x x k k
Chia hai vế của phương trình (3) cho 3cos 0x ta được:
3 2 2
3 2
4 tan 3tan 1 tan tan 1 0
3tan 3tan tan 1 0
x x x x
x x x
Đặt tant x . Khi đó phương trình có dạng:
3 2
1
3 3 1 0 1
3
t
t t t
t
Page 30
4tan 1
1
arctan , .1
tan 3
3
1
arctan
3
x k
x
x k k
x
x k
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Chú ý: Trong bài tập 10 ta thấy được cách giải phương trình đẳng cấp
dạng bậc ba sau đây hoàn toàn tương tự như giải phương trình đẳng cấp bậc
hai ở trên
3 2 2 3sin sin cos sin cos cos sin cos 0a x b x x c x x d x e x f x
Bài tập 11. Giải phương trình:
3 sin cos sin cos 3 0.x x x x
Giải
Đặt: sin cosx x t , điều kiện 2 2t . Suy ra
2 1
sin cos .
2
t
x x
Khi đó phương trình đã cho có dạng:
2; 22 16 5 0 1
5
tt
t t t
t
Với 1t ta có:
sin cos 1 2 sin 1
4
1
sin sin sin
4 4 42
2
4 4
, .
5
2
4 4
x x x
x x
x k
k
x k
Thang Long University Library
Page 31
2
, .2
2
x k
k
x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Nhận xét: Từ bài tập 11 cho ta thấy rõ cách giải phương trình dạng
sin cos sin cos 0 1a x x b x x c
Để giải phương trình dạng (1) ta làm như sau:
Đặt: sin cosx x t , điều kiện 2 2.t Suy ra
2 1
sin cos
2
t
x x
Khi đó phương trình trở thành:
2
21 0 2 2 0
2
t
at b c bt at c b
Giải phương trình trên và chọn nghiệm thỏa mãn 2t
Với 0t t ta được:
0
0 0sin cos 2 sin sin
4 4 2
t
x x t x t x
Đây là phương trình cơ bản của hàm số sin.
Chú ý: Phương trình dạng sin cos sin cos 0a x x b x x c cũng
có thể giải tương tự phương trình (1) bằng cách đăt sin cosx x t , với điều
kiện 2.t
Suy ra
21
sin cos
2
t
x x
. Khi đó phương trình trở thành
2
21. 0 2a 2 0.
2
t
at b c bt t b c
Suy ra giải phương trình trên theo t và chọn 0t thỏa mãn điều kiện.
Bài tập 12. Giải phương trình:
2(sin cos ) tan cot .x x x x
Giải
Page 32
Điều kiện:
sin 0
sin 2 0
cos 0 2
x k
x x
x
(*)
Ta có:
2 2sin cos 2(sin cos ) 2
tan cot
cos sin 2sin cos sin 2
x x x x
x x
x x x x x
Đặt: 2sin cos 2 cos 2; 2 sin 2 1.
4
t x x x x t
Từ điều kiện (*) suy ra 1t
2 3
2
2
2
(1) 2 ( 1) 2 2 0
1
( 2)( 2 1) 0 2 cos 1
4
2 , .
4
t t t t t
t
t t t t x
x k k
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*). Vì vậy phương trình đã cho có một họ
nghiệm.
Bài tập 13. Giải phương trình:
2 22cot tan 2tan cot 1 0x x x x (1)
Giải
Điều kiện:
sin 0
, .
cos 0 2
x k
x k
x
Đặt: tan cot ,x x t điều kiện 2t . Suy ra
2 2 2tan cot 2.x x t
Khi đó phương trình (1) trở thành:
( 2)2 12 3 0 3
3
tt
t t t
t
Với 3t ta có:
2
tan cot 3 sin 2
3
x x x
Thang Long University Library
Page 33
1 2
arcsin
2 3
, .
1 2
arcsin
2 2 3
x k
k
x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Nhận xét: Từ bài tập 13 cho ta thấy rõ cách giải phương trình đối xứng
với tan và cot dạng:
2 2tan cot tan cot 0.a x x b x x c
Để giải phương trình (1) ta làm như sau:
Điều kiện:
sin 0
sin 2 0 , .
cos 0 2
x k
x x k
x
Đặt: tan cotx x t , điều kiện 2.t Suy ra
2 2 2tan cot 2.x x t
Khi đó phương trình có dạng:
2 22 0 2a 0a t bt c at bt c
Giải phương trình trên theo t và chon 0t thỏa mãn điều kiện.
Với 0t t ta có:
20 0 0
1
tan cot tan tan tan 1 0
tan
x x t x t x t x
x
Đây là phương trình bậc hai theo tan.
Chú ý: Tương tự như phương trình đối xứng bậc hai trên, từ đó ta thấy
được phương pháp giải của phương trình đối xứng bậc ba đối với tan và cot
dạng
3 3 2 2(tan cot ) (tan cot ) (tan cot ) 0.a x x b x x c x x d
Bài tập 14. Giải phương trình:
3 2 3 2tan tan cot cot 2 tan 2cot 4 (1)x x x x x x
Page 34
Giải
Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 , .
2
k
x x x x k
Vì:
3 3 3
2 2 2
tan cot (tan cot ) 3(tan cot )
tan cot (tan cot ) 2
x x x x x x
x x x x
Khi đó ta biến đổi phương trình (1) về dạng:
3 3 2 2
3 2
(tan cot ) (tan cot ) 2(tan cot ) 4 0
(tan cot ) (tan cot ) (tan cot ) 2 0 (2)
x x x x x x
x x x x x x
Đặt tan cot ,x x t với điều kiện 2t . Khi đó phương trình (2) trở thành:
3 2 22 0 ( 2)( 1) 0 2t t t t t t t
Với: 2t ta có tan cot 2 sin 2 1 ,
4
x x x x k k
. Nghiệm
này thỏa mãn điều kiện của bài toán, vì vậy phương trình đã cho có một họ
nghiệm.
Bài tập 15. Giải phương trình:
6 6 1sin cos
4
x x
Giải
6 6
32 2 2 2 2 2
1
sin cos
4
1
sin cos 3 sin cos sin cos
4
x x
x x x x x x
2
3 1
1 sin 2 sin 2 1 ,
4 4 4
x x x k k
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài tập 16. Giải phương trình:
4 4 6 62 sin cos sin 2 2 sin cosx x x x x
Thang Long University Library
Page 35
Giải
Biến đổi phương trình về dạng:
2 4 2 4
2 4 2 4
2 2 2
2
2(1 sin )sin 2 1 cos cos sin 2
2cos sin 2sin cos sin 2
1
sin cos sin 2 sin 2
2
sin 2 2sin 2 0
sin 2 0 , .
2
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x
k
x x k
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài tập 17. Giải phương trình:
3 3cos 2sin sin 2cos cos2x x x x x
Giải
Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
2 22sin 1 sin 2cos 1 cos cos2
cos 2 0
sin cos 1 cos2 0
sin cos 1
x x x x x
x
x x x
x x
4 22 ,
2
2 ,
1 2
sin
24 2
k
x
x k k
x k k
x
x k
Vậy phương trình đã cho có ba họ nghiệm.
Nhận xét: Bài tập 15, 16, 17 trên đây là phương trình chứa các biểu
thức đối xứng với sin ,cos .n nx x
Để giải được phương trình dạng này ta thực hiện khử biểu thức đối
xứng với sinn x và cosn x dựa vào hai hằng đẳng thức
Page 36
Với *2 ,n k k ta sử dụng
22 2 2aa b a b b và 2 2a b a b a b
Với *3 ,n k k ta sử dụng
33 3 3aa b a b b a b và
33 3 3aa b a b b a b
Chú ý : Nếu bài toán chứa hai biểu thức đối xứng sin cosk kx x và
2 2sin cosk kx x có hệ số đối xứng, ta nên sử dụng phép biến đổi
2 2
2 2
2 2 2 2 2
sin cos sin cos
1 sin sin 1 cos cos
cos sin sin cos sin cos sin 2
4
k k k k
k k
k k k k
A x x A x x
A x x A x x
A
A x x A x x x x x
Nếu bài toán chứa hai biểu thức đối xứng dạng
2 2sin cos , sin cosk k k kA x x B x x mà B = -2A, ta nên sử dụng phép biến
đổi sau
2 2
2 2
sin cos 2 sin cos
1 2sin sin 1 2cos cos
cos2 cos2 cos (sin cos )cos2
k k k k
k k
k k k k
A x x A x x
A x x A x x
A xsin x A x x A x x x
2.2.2 Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu
I. Phương pháp
Bước 1: Đặt điều kiện xác định.
Bước 2: Rút gọn phương trình đã cho rồi giải phương trình cuối cùng.
Bước 3: Đối chiếu điều kiện xác định để chọn nghiệm.
II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải phương trình:
cos sin 1
cot 1 2 tan cot 2
x x
x x x
Thang Long University Library
Page 37
Giải
Xét mẫu thức của phương trình:
2sin cos2 2sin cos2 1
tan cot 2
cos sin 2 sin 2 sin 2
cos cos sin
cot 1 1
sin sin
x x x x
x x
x x x x
x x x
x
x x
Điều kiện:
cos 0
2sin 2 0 , . *
cot 1 0
4
kx x
x k
x kx
Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
*
sin 0
sin 2 2 sin 2sin cos 2 sin 2
cos
2
, 2 , .
4
4
x
x x x x x
x
x k
k x k k
x k
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm là: 2 , .
4
x k k
Bài tập 2. Giải phương trình:
2
2 tan cot 1 .
sin 2
x x
x
Giải
Ta có:
2 2sin cos 2
tan cot .
sin cos sin 2
x x
x x
x x x
Điều kiện sin 2 0 , .
2
k
x x k
Khi đó phương trình đã cho có dạng:
Page 38
2
tan (tan cot ) 1
sin 2
x x x
x
2 2
tan 1
sin 2 sin 2
tan 1 , .
4
x
x x
x x k k
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy phương trình đã cho có một họ
nghiệm.
Bài tập 3. Giải phương trình:
1 1
cos sin 2 .
sin cos
x x
x x
Giải
Điều kiện: sin cos 0 sin 2 0 , .
2
k
x x x x k
(*)
Khi đó phương trình đã cho biến đổi về dạng:
2 2sin cos cos sin 2 sin cos 0
sin cos sin cos 2 0 (1)
x x x x x x
x x x x
Đặt: t sin cos 2 sin
4
x x x
với 2; 2t .
Suy ra
2 1
sin cos
2
t
x x
.
Khi đó phương trình (1) trở thành:
2
2; 221 2 0 5 0 0
2
tt
t t t t
.
Với: 0t ta có sin cos 0 sin 0 , .
4 4
x x x x k k
Nghiệm trên thỏa mãn điều kiện của bài toán. Vì vậy phương trình đã cho có
một họ nghiệm.
Thang Long University Library
Page 39
Bài tập 4. Giải phương trình:
2
1 cos2
1 cot 2 .
sin 2
x
x
x
Giải
Điều kiện xác định: sin 2 0 , . (*)
2
k
x x k
Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:
2
2
sin 2 cos2 sin 2 1 cos2
cos 2 cos2 sin 2 cos2 0
cos2 cos2 sin 2 1 0
cos2 0
cos2 sin 2 1 0
x x x x
x x x x
x x x
x
x x
Ta xét hai trường hợp sau đây:
) cos2 0 , .
4 2
k
x x k
Nghiệm này thỏa mãn điều kiện (*) vì
vậy là nghiệm của phương trình đã cho.
) cos2 sin 2 1 0 2 cos 2 1
4
x x x
(*)
2 2
4 4 ,
2 2
4 4
, .
4
4
x k
k
x k
x k
x k
x k
Hợp các nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện (*), ta được nghiệm của
phương trình là: , .
4 2
k
x k
Page 40
Bài tập 5. Giải phương trình:
2 2cot tan
16(1 cos4 ) 1
cos2
x x
x
x
Giải
Điều kiện của phương trình:
sin 0
cos 0 , *
2 4
cos2 0
4 2
x m
x
n
x x m x n
x
m
x
Ta có:
2 24 42 2
2 2 2 2
4 cos sincos sin 4cos2
cot tan .
sin cos sin 2 sin 2
x xx x x
x x
x x x x
Với điều kiện (*) ta biến đổi phương trình (1) về dạng:
2
2
2
2
4
16(1 cos4 )
sin 2
4sin 2 (1 cos4 ) 1
2(1 cos4 )(1 cos4 ) 1
2 2cos 4 1
2cos 4 1 0
cos8 0
8 , .
2
(2 1) , .
16 8 16
x
x
x x
x x
x
x
x
x k k
k
x k k
Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện xác định vì:
(2 1) 2 1 4
16 4
k n k n
(đúng với mọi ,k n ).
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm.
Thang Long University Library
Page 41
Bài tập 6. Giải phương trình:
2 1 costan .
1 sin
x
x
x
Giải
Điêu kiện:
cos 0
, .
sin 1 2
x
x k k
x
(*)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2
2
2
2
sin 1 cos
cos 1 sin
1 cos 1 cos
1 sin 1 sin
1 cos 1 cos 1 cos 1 sin
1 cos cos sin 0
cos 1
1 cos 0
2 sin 0cos sin 0
4
2
, .
4
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x
x
x
xx x
x k
k
x k
Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn phương trình (*). Vậy phương trình đã cho
có hai họ nghiệm.
2.2.3 Phương trình lượng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. Phương pháp giải
Bước 1 : Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
Bước 2 : Lựa chọn phương pháp thực hiện. Ta có thể chọn các phương pháp.
Sử dụng định nghĩa, các tính chất giá trị tuyệt đối, đặt ẩn phụ
Bước 3 : Kiểm tra điều kiện nghiệm của phương trình.
Ta xét hai dạng cơ bản sau:
Page 42
+) Dạng 1: 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x
+) Dạng 2:
2 2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x
f x g x
f x
f x g x
Chú ý: Các phương trình được giải bằng phương pháp sử dụng các tính
chất giá trị tuyệt đối ở dạng ban đầu có thể không xuất hiện dấu trị tuyệt đối,
nó thường xuất hiện sau phép biến đổi .
Để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong phương trình ta có thể lựa chọn
việc đặt ẩn phụ cho biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ví dụ trong phương
trình chứa các biểu thức
2sin , sin kx x và ta lựa chọn phép đổi biến
sin , t cost x x , điều kiện 0 1t
2tan , tan kx x và 2cot , cot kx x ta lựa chọn phép đổi biến
tan , cott x t x , điều kiện 0t
sin cosx x và
sin cos ,x x ta lựa chọ phép đổi biến
điều kiện 0 2t
II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải phương trình:
3cos sin 1x x (1)
Giải
Ta đưa phương trình đã cho về dạng:
2A A
2cos , cos kx x
sin cos ,t x x
Thang Long University Library
Page 43
2 2
1
cos
33cos 1 sin
3cos 1 sin
x
x x
x x
2 2
1
cos
3
9cos 6cos 1 1 cos
x
x x x
2
1
cos
3
10cos 6cos 0
1
cos
3
3
coscos 0
5
3
cos
5
3
cos cos 2 , .
5
x
x x
x
xx
x
x x k k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài tập 2. Giải phương trình sau:
1 6sin 2 sin cos .x x x
Giải
Đặt: sin cost x x , với điều kiện 0 2.t
Ta có: 2 21 sin 2 sin 2 1t x x t
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2 2
0 2
1 6 1 6 5 0
1
15
6
t
t t t t
t
t
t
Với 1t ta có:
Page 44
sin cos 1 sin 2 0
, .
2
x x x
k
x k
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm.
Bài tập 3. Giải phương trình:
1
tan cot .
sin
x x
x
(1)
Giải
Điều kiện:
sin 0
, *
cos 0 2
x k
x k
x
Đưa phương trình đã cho về dạng:
2
2
1
tan 0 (**)
sin
(1)
1
cot tan 2
sin
x
x
x x
x
Ta đi giải phương trình (2)
Kiểm tra điều kiện (**)
Với
2
2 ,
3
x k
ta được:
2 2
2
2 2 2
2
2 1
cot tan
cos sin
1 1 2 1
1 1
sin cos cos sin
1 2 1
0 2 0
cos cos cos
2
2
1 3
cos ,
22
2
3
x x
x x
x x x x
x x x
x k
x k
x k
Thang Long University Library
Page 45
1 2 1 1 1
tan tan 2 3 0
2sin 3 3 3sin 2
3 2
x k
x
k
Suy ra họ nghiệm này không thỏa mãn (*) và (**). Vì vậy không là nghiệm
của phương trình đã cho.
Với
2
2 ,
3
x k
ta được:
1 2 1 1 1
tan tan 2 3 0
2sin 3 3 3sin 2
3 2
x k
x
k
Suy ra họ nghiệm này thỏa mãn (*) và (**). Vì vậy là nghiệm của phương
trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm
2
2 , k .
3
x k
Bài tập 4. Giải phương trình:
cos 2 sin 1.x x (1)
Giải
Biến đổi phương trình (1) về dạng:
21 2sin sin 1.x x
Đặt sin , 0 1.t x t Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2 2
(0 1)4 2
1 2 1 1 2 1
0
0
1
4 5 2 0 1
2
2
1 17
4
t
t t t t
t
t
t t t t
t
t
Page 46
Với:
0
1
2
t
t
ta được
sin 0
, .1
sin
62
x x k
k
x kx
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Bài tập 5. Giải phương trình:
cos sin sin cos 2.x x x x (1)
Giải
(1) 2 cos 2 sin 2
4 4
cos sin 2
4 4
1 2 sin . cos 2
4 4
sin 2 1 cos2 1
2
cos2 1 2 , .
, .
2
x x
x x
x x
x x
x x k k
k
x k
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm.
Bài tập 6. Giải phương trình:
cos 2sin 2 cos3 1 2sin cos2 1x x x x x
Giải
Biến đổi phương trình (1) đã cho trở thành:
22sin 2 sin 2sin 2 2sin 2sin
sin 2 1 sin sin 1 sin
1 sin sin 2 sin 0 (2)
x x x x x
x x x x
x x x
Nếu sin 2 0 .
2
x k x k
Khi đó phương trình (2) trở thành:
Thang Long University Library
Page 47
2
sin 1
1 sin sin 2 sin 0 sin 0
1
cos
2
2 2
2 2
2 2
3 3
k x k
x
x x x x
x
x k x k
x k x k
x k x k
Nếu sin 2 0 .
2
x k x k
Khi đó phương trình (2) trở thành:
2
1 sin sin 2 sin 0
sin 1
1
1 sin 2sin cos 0 sin 0
2
1
cos
2
2
2
2
2 , .
3
2
2
3
k x k
x x x
x
x x x x
x
x k
x k x k k
x k
Vậy phương trình đã cho có bốn họ nghiệm.
2.2.4 Phương trình lượng giác chứa căn
I. Phương pháp giải
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.
Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện sao cho phù hợp.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện nghiệm của phương trình.
Biến đổi tương đương
Ta sử dụng các phép biến đổi cơ bản sau:
Page 48
2
2
) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( )
f x g x f x g x
g x
f x g x
f x g x
f x
f x g x h x g x
f x g x h x
Chú ý: Đối với các phương trình lượng giác chứa căn dạng trên ta thường
không giải bất phương trình, mà ta đi giải phương trình. Sau đó kiểm tra lại
nghiệm x cho điều kiện của bất phương trình.
II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải phương trình:
1 cos sin 0.x x
Giải
Ta đưa phương trình đã cho về dạng:
2
2
sin 0
1 cos sin 0
1 cos sin
sin 0
sin 0 sin 1
cos 0
cos 1cos cos 0
cos 1
2
, .2
2
x
x x
x x
x
x x
x
xx x
x
x k
k
x k
Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm.
Bài tập 2. Giải phương trình:
sin 3cos sin 3cos 2.x x x x
Giải
Thang Long University Library
Page 49
Ta biến đổi biểu thức:
1 3
sin 3 cos 2( sin cos ) 2sin( ).
2 2 3
x x x x x
Đặt: sin 3 cos 2sin ,
3
t x x x
với điều kiện 0 2.t
Phương trình đã cho trở thành:
2
2 0
2 2
4 4
t
t t t t
t t t
2
2
2
11
5 4 0
4
t
t
tt
t t
t
Với 1t ta có:
1
2sin 1 2sin
3 3 2
2
6 , .
2
2
x x
x k
k
x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài tập 3. Giải phương trình:
2cos 2cos 2 2cos 1x x x (*)
Giải
Ta có: Vế trái = 2 2cos 2cos 2 (cos 1) 1 1x x x ,
Vế phải = 2cos 1 1x
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:
Vế trái = Vế phải = 1 cos 1 2 , .x x k k
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
Bài tập 4. (ĐH Quốc gia Tp.HCM, năm 1996)
Page 50
Tìm các số (0;2 )x thỏa mãn phương trình:
sin3 sin
cos2 sin 2 .
1 cos2
x x
x x
x
(1)
Giải
Ta biến đổi mẫu: 21 cos2 2sin 2 sinx x x . Do đó điều kiện xác định
của phương trình là: 0;2sin 0 .xx x
(1) sin3 sin 2 2 sin (cos2 sin 2 )
cos2 sin sin cos 2 (2)
4
x x x x x
x x x x
) 0 sin 0 sin sin .x x x x Do sin 0x nên ta có:
(2) cos2 cos 2
4
2 2 2 , .
4
,
16 2
x x
x x k k
k
x k
Trên khoảng 0; , ta được:
16
x
và
9
16
x
) 2 sin 0 sin sin .x x x x Do đó
5
(2) cos2 cos 2 cos 2
4 4
5
2 2 2 ,
4
5
, .
16 2
x x x
x x k k
k
x k
Trên khoảng ;2 , ta được:
21
16
x
và
29
.
4
x
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:
Thang Long University Library
Page 51
9 21 29
, , , .
16 16 16 16
S
Bài tập 5. Giải phương trình:
2
2
4
cos cos
3 0.
1 tan
x
x
x
Giải
Ta xét mẫu thức:
2
2
2 2
sin cos2
1 tan 1
cos cos
x x
x
x x
Do đó điều kiện xác định của phương trình là: 21 tan 0 cos2 0x x (*)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2
4 4
cos cos 2cos 1 cos2
3 3
x x
x x (1)
Đặt:
2
2 3 .
3
x
t x t
Khi đó phương trình (1) trở thành:
2 3
3 2
2
2
2cos2 1 cos3 2(2cos 1) 1 4cos 3cos
4cos 4cos 3cos 3 0
4cos (cos 1) 3(cos 1) 0
(cos 1)(4cos 3) 0 (2)
t t t t t
t t t
t t t
t t
Mặt khác vì 3 2cos 2 cos3 4cos 3cos cos (4cos 3)x t t t t t
Do đó điều kiện xác định (*) cos2 0x trở thành:
2cos (4cos 3) 0t t (**)
Ta có (2) (**)
2
cos 1
cos 1 2 , .
4cos 3 0
t
t t k k
t
Với: 2t k ta có
2
2 3 , .
3
x
k x k k
Page 52
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm.
2.2.5 Phương trình lượng giác chứa tham số
I. Phương pháp
Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng: ( ), 0 (1).f x m Trong đó
( )x là một hàm số hoặc một biểu thức lượng giác của , .x x D Ta
cũng có thể dùng ẩn phụ trong từng trường hợp cụ thể riêng.
Đặt: ( ).t x Gọi E là miền giá trị của hàm số ( ), .x x D t E Từ
(1) ta có phương trình: ( , ) 0 (2).f t m
Bước 2: Khi đó bài toán giải và biện luận phương trình (1) trở thành giải và
biện luận hệ:
( , ) 0f t m
t E
II. Bài tập minh họa
Bài tập 1. Giải và biện luận phương trình sau:
(5 1)sin 1 sin 3m x m x
Giải
Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
(4 1)sin 2m x (1)
Nếu:
1
4
m thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu:
1
4
m thì từ phương trình (1) ta có
2
sin
4 1
x
m
. Nghiệm này
phải thỏa mãn điều kiện 1 sin 1x . Điều này tương đương với điều kiện:
2 4 1
1 0 0
2 4 1 4 1
1 1
2 4 34 1
1 0 0
4 1 4 1
m
m m
mm
m m
Thang Long University Library
Page 53
1
4
1 1
4 4
31
44
3
4
m
m m
mm
m
Kết luận:
1
4)
3
4
m
m
thì
22
sin sin , .
24 1
x k
x k
x km
Khi đó
phương trình đã cho có hai họ nghiệm.
1 3
)
4 4
m
thì phương trình (1) vô nghiệm suy ra phương trình đã cho
cũng vô nghiệm.
Bài tập 2. Giải và biện luận phương trình:
( 2)cos 3 2 cos 5( 1).m x m x m
Giải
Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
(2 )cos 2 5 .m x m (*)
Nếu 2m thì phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra phương trình đã cho
cũng vô nhiệm.
Nếu 2m thì từ (*) ta có
2 5
cos
2
m
x
m
nghiệm này phải thỏa mãn
điều kiện sau:
2 5
1 cos 1 1 1
2
m
x
m
Page 54
2 5 6 4
1 0 0
2 5 2 2
1 1
2 5 42
1 0 0
2 2
2
3 2
0 .
2 3
0 2
m m
m m m
m mm
m m
m
m
m
m
Kết luận:
2
) 0
3
m thì
2 5
cos cos 2 , .
2
m
x x k k
m
Khi đó phương
trình đã cho có hai họ nghiệm.
) 0m hoặc
2
3
m thì phương trình (*) vô nghiệm, suy ra phương trình đã
cho vô nghiệm.
Bài tập 3. Giải và biện luận theo m phương trình:
2sin cos 1x m x m (*)
Giải
Ta có: cos 0
2
x
không thỏa mãn phương trình (*). Vì vậy bị loại.
Đặt tan
2
x
t . Suy ra
2
2
sin
1
t
x
t
và
2
2
1
cos ,
1
t
x
t
khi đó:
2
2 2
2 2
2
2 1
(*) 2. . 1
1 1
4 (1 ) (1 )(1 )
4 1 2 0 (**)
t t
m m
t t
t m t m t
t t m
Ta có: ' 2 3m
Nếu
3
2
m
thì (**) vô nghiệm từ đó suy ra (*) cũng vô nghiệm.
Thang Long University Library
Page 55
Nếu
3
2
m
thì (**) có nghiệm kép 2t vậy ta có :
tan 2 tan 2 2 ,
2
x
x k k
Nếu
3
2
m
thì (**) có hai nghiệm
tan tan
2 3 2 tan 2 22 ,
2 22 3 2 tan tan tan
2
x
t m x k
k
x x kt m
Vậy ta có kết luận sau đây:
3
)
2
m
thì phương trình (*) vô nghiệm.
3
)
2
m
thì phương trình (*) có một nghiệm.
3
)
2
m
thì phương trình (*) có hai nghiệm.
Bài tập 4. Cho phương trình:
2sin 2 2 sin 2 3 0.x m x )
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi m thỏa mãn 1m phương trình luôn có
nghiệm.
Giải
Đặt sin 2t x với điều kiện 1.t Khi đó phương trình có dạng :
2 2 3 0.t mt (*)
a) Với 1m , ta có phương trình:
( 1)2 12 3 0 1.
3
tt
t t t
t
Page 56
Với 1t ta có: sin 2 1 , .
4
x x k k
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
b) Ta có: 21 1 1 2 3 1 2 3 4 4f f m m m
Để phương trình (*) luôn có nghiệm thuộc 1;1 khi:
21 1 0 4 4 0 1f f m m . Vậy với mọi 1m
phương trình đề bài ra luôn có nghiệm.
Bài tập 5. Giải và biện luận theo m phương trình:
2 2cos sin cos 2sin 0x x x x m (*)
Giải
Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
1 cos2 1
(*) sin 2 (1 cos2 ) 0
2 2
3cos2 sin 2 2 1
3 1 2 1
cos2 sin 2
10 10 10
x
x x m
x x m
m
x x
Đặt
3 1
cos , sin
10 10
ta được:
2 1
cos cos 2 sin sin 2
10
2 1
cos(2 ) (**)
10
m
x x
m
x
1 10
2 1 2) 1
10 1 10
2
m
m
m
thì (**) vô nghiệm, suy ra (*) cũng vô
nghiệm.
Thang Long University Library
Page 57
2 1 1 10 1 10
) 1
2 210
m
m
, ta đặt
2 1
cos
10
m
(**) cos(2 ) cos ,
2
x x k k
.
Nghiệm trên đây cũng là nghiệm của phương trình (*) đã cho.
Bài tập 6. Cho phương trình:
2sin 2 5 sin cos 1 6 0.x m x x m
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Xác định m để phương trình có nghiệm.
Giải
a) Khi m = 1, ta có phương trình:
sin 2 5 sin cos 5 0x x x (*)
Đặt: với 2; 2t . Suy ra
2sin 2 1.x t
Khi đó phương trình trở thành:
2; 22 15 6 0 1
6
tt
t t t
t
Với: 1t ta có
22
4 4 , , .
2
2 2
4 4
x kx k
k k
x k
x k
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
b) Đặt với 2; 2t . Phương trình đã cho trở thành:
2 25 6 0t mt m (**)
Ta có: 229m
cos sin ,x x t
1
sin cos 1 sin
4 2
x x x
cos sin ,x x t
Page 58
Nếu 0.m Thì phương trình (**) có nghiệm 0t . Khi đó ta có:
cos sin 0 2 sin( ) 0 , .
4 4
x x x x k k
Nếu 0m phương trình (**) có hai nghiệm là:
. Hai nghiệm này phải thỏa mãn.
Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm là:
2 2
29 5 29 5
m
Bài tập 7. Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:
2 2cot tan cot tan 2 .x x m x x m
Giải
Điều kiện:
sin 0
sin 2 0 , .
cos 0 2
x k
x x k
x
Đặt: cot tan ,x x t điều kiện 2.t Suy ra
2 2 2cot tan 2.x x t
Khi đó phương trình đã cho có dạng:
2 2 2 0. 1t mt m
Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi (1) vô nghiệm hoặc (1) có hai
nghiệm thuộc khoảng 2;2
Trường hợp 1: Phương trình (1) vô nghiệm khi
20 8 8 0 4 2 2 4 2 2.m m m
Trường hợp 2: Có hai nghiệm thuộc khoảng 2;2 khi và chỉ khi
1 25 29, 5 29t m m t m m
2 2
2 5 29 2 .
5 29 5 29
2 2
2 5 29 2
29 5 29 5
m m
m m
Thang Long University Library
Page 59
20 8 8 0
( 2) 0 2 0
(2) 0 4 2 0
2 2 2 2
2 2
m m
af
af m
S S
Kết hợp với điều kiện ta được:
1
4 2 2.
2
m
Bài tập 8. Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm thuộc 0;
2
(4)
Giải
Điều kiện cần:
Giả sử (4) có nghiệm 0x x . Khi đó:
0 0
0 0
sin cos 2
cos sin 2
2 2
x m x m
x m x m
Suy ra 0
2
x
cũng là nghiệm của phương trình (4).
Vậy (4) có nghiệm duy nhất khi 0 0
2
x x
hay 0 .
4
x
Thay 0
4
x
vào (4),
ta được:
sin cos 2
4 4
2 2
2
2 2
02 2
2 2 2
m m
m m
m
m
m
sin cos 2x m x m
Page 60
Điều kiện đủ:
Với 0m , phương trình (4) tương đương với phương trình sau:
Với 2m , phương trình (4) tương đương với phương trình sau:
sin 2 cos 2 2x x
Do 0;
4
x
nên ta có:
sin 2 2 sin
cos 2 2 cos
x x
x x
Khi đó:
sin 2 cos 2 2
sin cos 2 2 ,
4
(0; )
4 2
x x
x x x k k
x do x
Vậy với 0m hoặc 2m , phương trình có đúng một nghiệm thuộc
sin cos 2
sin cos 2 (0; )
2
sin 1 2 ,
4 4 2
2 , (0; ) .
4 4 2
x x
x x do x
x x k k
x k k x do x
0;
2
Thang Long University Library
Page 61
Bài tập 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất thuộc (0; )
2
tan cot 2x m x m (*)
Giải
Điều kiện cần:
Giả sử (*) có nghiệm là 0x x , tức là:
0 0
0 0
tan cot 2
cot tan 2
2 2
x m x m
x m x m
Suy ra 0
2
x
cũng là nghiệm của (*)
Vậy (*) có nghiệm duy nhất khi 0 0 0
2 4
x x x
Thay 0
4
x
vào (*), ta có:
tan cot 2 2 1 2 0
4 4
m m m m
Điều kiện đủ:
Với m = 0, khi đó (*) có dạng:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
tan cot 2 tan cot 2VT x x x x
Do đó phương trình (**) tương đương với:
tan cot 1 (0; )
4 2
x x x do x
Vậy với m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất:
4
x
tan cot 2 (**)x x
Page 62
Chú ý đặc biệt: Người ta có thể dùng lượng giác để giải các phương
trình và hệ phương trình trong đại số.
I. Phương pháp giải chung
Ta có thể khái quát nội dung của phương pháp sử dụng hàm số lượng
giác là tìm cách đổi biến lượng giác phù hợp với yêu cầu và giả thiết của bài
toán để đưa một phương trình đại số hay một hệ phương trình đại số phức tạp
về một biểu thức lượng giác tương đối đơn giản và từ đó sử dụng các công
thức biến đổi lượng giác quen thuộc để tìm ra lời giải cho bài toán mới.
Bước 1: Chọn một hoặc nhiều hàm số lượng giác phù hợp để thay biến
của bài toán bằng các biến lượng giác đó.
Việc chọn biến lượng giác để thay cho biến cũ thông qua các dấu hiệu
đặc biệt của các biến trong bài toán và sự nắm bắt các dấu hiêu đó thông qua
miền giá trị và hình thức các công thức lượng giác thông dụng.
Chẳng hạn:
Đặt sinx hoặc cosx khi 1;1x .
Đặt tanx hoặc cotx khi .x
Chú ý: Khi sử dụng các hàm số lượng giác làm biến ta lưu ý đến điều kiện.
Sử dụng tập giá trị sin 1; cos 1x x
Nếu x m , đặt:
sin , ;
2 2
cos , 0;
x m
x m
Sử dụng công thức: 2 2
2 2
1 1
1 tan tan 1
cos cos
.
Nếu x và có biểu thức 2 2x m thì đặt: tanx m với ; .
2 2
Thang Long University Library
Page 63
Khi nhận thấy các biến tạo thành một công thức lượng giác ta cũng có
thể chọn hàm số lượng giác tương ứng để có thể áp dụng được những công
thức lượng giác đó.
Một số biểu thức thường gặp
Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác tương tự Công thức lượng giác
1 + x2 21 tan
2
2
1
1 tan
cos
4x3 – 3x 34cos 3cos 34cos 3cos cos3
2
2x
1 x
2
2 tan
1 tan
2
2 tan
tan 2
1 tan
2
2x
1 x
2
2 tan
1 tan
2
2 tan
sin 2
1 tan
x y
1 xy
tan tan
1 tan tan
tan tan
tan
1 tan tan
x y
1 xy
tan tan
1 tan tan
tan tan
tan
1 tan tan
2
2
1 x
1 x
2
2
1 tan
1 tan
2
2
1 tan
cos 2
1 tan
Bước 2: Sau khi đã chọn được các hàm số lượng giác phù hợp với bài
toán thì ta thay biến cũ bằng các hàm số lượng giác vừa chọn được một bài
toán mới với ẩn là các hàm số lượng giác. Giải bài toán mới bằng cách sử
dụng các công thức biến đổi lượng giác đã học.
Trước khi đưa các hàm số lượng giác vào, chúng ta có thể biến đổi
chúng nếu bài toán quá “cồng kềnh”.
Bước 3: Cuối cùng, ta thực hiện bước trả lại biến với những bài giải
phương trình rồi kết luận bài toán.
Page 64
Khi kết luận chúng ta cần lưu ý đề bài hỏi gì để tránh kết luận nhầm
hay sai theo bài toán mới khi đã thay các hàm số lượng giác.
II. Áp dụng vào giải phương trình và hệ phương trình trong đại số
Giải phương trình
Nhận xét: Có nhiều phương trình trong đại số mà ta không dễ dàng giải
được bằng những phương pháp của đại số. Nhưng khi lượng giác hóa đưa về
những công thức của lượng giác thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. Sau
đây ta đi giải một số bài tập tiêu biểu của phương trình trong đại số bằng
phương pháp lượng giác hóa.
Bài tập 1. Giải phương trình:
3x 18 3 2 3 2 1 9x x
Giải
Điều kiện: 1 9 0 0x x
Biến đổi phương trình đã cho về dạng: 3x 2x4 3 3 3 1 3x
Từ điều kiện suy ra 0 3 1x , đặt: 3 cosx t với 0;
2
t
Khi đó phương trình có dạng:
3 2
, .
4cos 3cos 1 cos
cos3 sin cos( )
2
3 2
8 22
3 2
2 4
k
t t t
t t t
k
tt t k
t t k t k
0;
2
8
2 2
3 cos
8 2
t
x
t
Thang Long University Library
Page 65
3
2 2
log
2
x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: 3
2 2
log
2
x
Bài tập 2. Giải phương trình:
2
1
2
2 2 1
x
x
x
Giải
Điều kiện: 2 1 0 1x x
Biến đổi phương trình ban đầu về dạng:
2
1
1 2 2
1
x
x
Từ đó dễ dàng có được 0x , kết hợp điều kiện suy ra 1x .
Đặt:
.
1
, (0; )
cos 2
x
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
2
1
1 cos 2 2
cos 1
1
cos
1 1
2 2
cos cos tan
1 1
2 2
cos sin
sin cos 2 2 sin cos (1)
Đặt: sin cos , (1 2)u u
Dễ dàng nhận thấy:
2 2 2 2(sin cos ) (sin cos ) 1
sin cos
2 2
u
Page 66
Phương trình (1) có dạng:
1 22 2 2
2
2( 1) 2 2 0 1
2
u u
u
u u u u
u
Với 2u ta có: sin cos 2
(0; )
2
sin( ) 1 2 ,
4 4
2
4
k k
x
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: = √2.
Bài tập 3. Giải phương trình:
2
6 2 3 5 3 1(1 )
8
xx x
Giải
Điều kiện: 1x
Đặt: cosx t với 0;t
Phương trình đã cho được đưa về dạng:
6 6
2 2
2
5 3sin 8(cos sin )
5 3sin 8(1 3cos sin )
3sin 3 6sin 2
sin cos 4
cos4 cos( )
2
t t t
t t t
t t
t t
t t
2
10 5
, .
2
6 3
k
t
k
k
t
0; 9 5; ; ; ;
10 6 2 10 6
t
Thang Long University Library
Page 67
Từ đó ta tìm được nghiệm:
cos
10
9
cos cos
10 10
3
cos
6 2
5 3
cos
6 2
0
x
x
x
x
x
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:
3 3
cos ; cos ; ; ;0 .
10 10 2 2
S
Bài tập 4. Tìm các nghiệm của phương trình sau trên đoạn 1;1
3 4 2 2(8 6 )(8 8 1) 2 (2 1)x x x x x x (*)
Giải
Phương trình (*) 2 3 4 2(2 1) (4 3 )(8 8 1)x x x x x x
Xét phương trình với 1;1x
Đặt cos ,x t với 0; .t
Phương trình trở thành:
4 2cos cos2 cos3 (8cos 8cos 1)t t t t t
2
2
cos cos2 cos3 2(1 cos2 ) 4(1 cos2 ) 1
cos cos2 cos3 (2cos 2 1)
cos cos2 cos3 cos4
t t t t t
t t t t
t t t t
cos cos3 cos cos7t t t t
Page 68
0;
,
.
3 7 2 2 .
3 7 2
5
2 3 4
0; ; ; ; ; ;
5 5 5 5 2
t
k
tt t k
k
kt t k
t
t
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:
.
2 3 4
0; 1;cos ;cos ;cos ;cos
5 5 5 5
S
Bài tập 5. Giải phương trình:
2 13 2 3( 1 )x x x x
Giải
Điều kiện:
2 0
0 0 1.
1 0
x x
x x
x
(*)
Phương trình (1) tương đương với phương trình sau:
2 221 1 .
3
x x x x
Với điều kiện (*) để khử dấu căn ta đặt: 2cosx với 0;
2
Khi đó phương trình được biến đổi về dạng:
2 4 2 2
2
1 cos cos cos 1 cos
3
3 2 sin cos 3(cos sin )
3 2sin cos 3(cos sin )
Đặt: sin cos ,1 2u u
Ta suy ra:
2 1
sin cos
2
u
Phương trình có dạng:
Thang Long University Library
Page 69
1 2
2 2
1.
3 1 3 3 2 0
1
2
u
u
u u u u
u
u
sin cos 1
1
sin( )
4 2
02 1
02
22
k x
xk
Vậy phương trình có nghiệm là 1x hoặc 0x
Bài tập 6. Giải phương trình:
2 3 3 21 1 (1 ) (1 ) 2 2(1 )x x x x x
Giải
Điều kiện: 1 1.x
Nếu 1 0 0x VT VP
Nếu 0 1.x Đặt cosx t , với 0;
2
t
Phương trình được đưa về dạng:
3 31 sin (2 2 cos 2 2 sin ) 2 2 sin cos
2 2
t t
t t t
1
2 2(sin cos )(cos sin )(1 sin ) 2 2 sin cos
2 2 2 2 2
1
2 2 cos (1 sin ) 2 2 sin cos
2
1
2 2 cos 2 cos
2
t t t t
t t t
t t t t
t t
Vậy
1
2
x là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài tập 7. Giải phương trình:
3 2 3x x x
Page 70
Giải
Điều kiện: 2x
Phương trình đã cho tương đương với: 3 3 2x x x
Nếu 22 ( 4) 2 2x VT x x x x x x VP
Nếu 2 2x
Đặt: 2cos , 0;x t t
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
38cos 6cos 2cos 2t t t
32(4cos 3cos ) 2cos
2
cos3 cos
2
t
t t
t
t
0;
0
3 2
42
5
3 2
42
7
t
tt
t k
t
t
t k
t
Vậy nghiệm của phương trình là:
2cos0
4
2cos
5
4
2cos
7
x
x
x
Bài tập 8. Giải phương trình:
3 31 3 3 1x x
Giải
Đặt: 3 33 3 1 3 1 1 3u x u x u x
Khi đó:
3
3 3
3
1 3
3( )
1 3
x u
x u u x
u x
Thang Long University Library
Page 71
2 2( )( 3) 0x u x ux u
x u (vì 2 2 3 0x ux u )
Phương trình đã cho tương đương: 3 3 1 0x x (*)
Xét phương trình trên 2;2 , ta đặt 2cos , 0x t t
Phương trình (*) được đưa về dạng:
32(4cos 3cos ) 1 0t t
0
1
cos3
2
2 2
,
9 3
2 4 8
; ;
9 9 9
t
t
k
t k
t
Vậy nghiệm của phương ttrình là:
2
2cos
9
4
2cos
9
8
2cos
9
x
x
x
Bài tập 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
21 0x x m
Giải
Điều kiện:
Đặt: sinx với ;
2 2
Phương trình đã cho trở thành:
2sin 1 sin sin cosm m
2 sin
4
m
có nghiệm khi và chỉ khi 2; 2m
21 0 1 1x x
Page 72
Giải hệ phương trình
Nhận xét: Có nhiều hệ phương trình trong đại số mà ta không dễ dàng
giải được bằng những phương pháp của đại số. Nhưng khi lượng giác hóa đưa
về những công thức cơ bản của lượng giác thì bài toán trở nên đơn giản hơn
nhiều. Sau đây ta đi giải một số bài tập tiêu biểu của hệ phương trình trong
đại số bằng phương pháp lượng giác hóa.
Bài tập 1. Giải hệ phương trình:
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x
Giải
Đặt:
tan
tan
x
y
với , ;
2 2
Khi đó hệ được chuyển về dạng:
2
2
2 tan
tan
sin 2 tan1 tan
sin 2 tan2 tan
tan
1 tan
Ta đi xét 2 trường hợp sau:
) sin 0 sin 0 và ngược lại, suy ra 0x y là nghiệm của hệ.
sin 0
)
sin 0
Nhân theo hai vế phương trình của hệ, ta được:
sin 2 sin 2 tan tan
1
4cos cos
cos cos
1
cos cos (1)
2
Ta biến đổi phương trình đầu của hệ về dạng:
2sin cos cos sin
Thang Long University Library
Page 73
(*) sin sin
, ;
2 2 (2)
Thay (2) vào (1), ta được:
2
1 1 1
cos (1 cos 2 )
2 2 2
cos2 0
,
4 2
k
k
Khi đó nghiệm của hệ là:
Vậy hệ có ba cặp nghiệm.
Bài tập 2. Giải hệ phương trình:
2
2
2 2 1 2
1 1
x y
y x
Giải
Điều kiện: , 1.x y
Đặt:
sin
sin
x
y
, với , ; .
2 2
Ta biến đổi hệ phương trình về dạng:
2
2
2
sin cos 1sin cos 1
sin cos 1 sin cos 1
sin cos 1 sin cos 1
sin( ) 02 2 sin cos cos sin 2
sin cos 1
sin cos( ) 1
0
2
1
tan( ), k
4 2 1
x yk
x y
x y
Page 74
0
0
1
2
x y
x y
Vậy hệ phương trình có hai cặp nghiệm là: (0;0), (1;1).
Bài tập 3. Giải hệ phương trình sau:
2
2
1
2 1
2
1
1
4
x y
y x
Giải
Điều kiện: 0 , 1.x y
Đặt: cos , cosx y với 0 , 2
.
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
1
1cos sin
sin cos sin cos4
2
1
sin cos sin cos 0cos sin
4
1 1
sin( ) sin( )
2 2
sin( ) 0
2
1 12 2
sin(2 )
5 22
12 2
k
k
k n k
k
n k
Do 0
2
nên:
6 2
cos
12 12 4
5 5 6 2
cos
12 12 4
x y
x y
Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm.
Thang Long University Library
Page 75
Bài tập 4. Giải hệ phương trình:
2
2
4
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x
Giải
Điều kiện: , y 1.x
Đặt:
tan
( , ; \ )
tan 2 2 4
x
y
Khi đó hệ đã cho được chuyển về dạng:
2
2
2 tan
tan
tan 2 tan1 tan
tan 2 tan2 tan
tan
1 tan
2
2 3
, , .
2 2
3
k l
k
k l
l k l
2 0tan
3
3, 3
2
tan 3, 33
k l x yx
x y
k l
y x y
Vậy hệ đã cho có 3 cặp nghiệm.
Bài tập 5. Giải hệ phương trình:
3
3
(2 6 ) 16
2 ( 1) 12
x y
x y
Giải
Hệ đã cho tương đương với hệ sau:
3
3
1 3 8
1 6
x y
x y
Page 76
Với điều kiện: ≠ 0. Biến đổi hệ trên về dạng:
3
3
8
3 1
2
3. 1
y
x
y
x
Đặt
2
,t
x
khi đó hệ đã cho trở thành:
3
3
3 3
2 2
3
3 1
3 1
3( ) 0
( )( 3) 0
3 1 (*)
t y
y t
t y t y
t y t ty y
t y y y
Xét phương trình (*) trên 2;2 . Đặt 2cosy , với 0 .
Khi đó từ (*) ta được:
3
0
1 1
(4cos 3cos ) cos3
2 2
2
, .
9 9
5 7
; ; .
9 9 9
k
k
Phương trình trên có bậc là ba nên ngoài 2;2 , phương trình không còn
nghiệm nào.
Vậy hệ phương trình đã cho có ba cặp nghiệm là:
Bài tập 6. Giải hệ phương trình:
2 21 1 1
2(1 ) 4
x y y x
y x xy
Giải
1 1 5 1 7
( ,2cos ),( ;2cos ), ( ;2cos ).
5 79 9 9cos cos cos
9 9 9
Thang Long University Library
Page 77
Điều kiện:
2 2
2 2
1 0 1 1 1
1 11 0 1
x x x
yy y
Đặt:
cos
,
cos
x
y
với , 0; .
Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:
cos sin cos sin 1 sin( ) 1
1 cos cos cos cos 2 (1 cos )(1 cos ) 2
2 2
1 cos cos cos cos 2 1 cos sin sin cos 2
2
sin cos sin cos 1 0
Đặt: sin cos , 2; 2t t . Suy ra
21
sin cos .
2
t
Khi đó ta có:
2
2; 22 11 1 0 2 3 0 1.
32
ttt
t t t t
t
Với 1t thì ta có:
0;
sin cos 1 2 sin 1
4
2
2 2
2
x k
x k
Với:
, 0;
0
cos 0
2 2 2
0 cos0 12
x
y
Vậy hệ phương trình đã cho có một cặp nghiệm ; 0;1 .x y
Page 78
KẾT LUẬN
Trong luận văn này tôi đã trình bày được những kết quả sau:
1. Một số công thức lượng giác cơ bản, tính chất các hàm số lượng giác và đồ
thị của các hàm số lượng giác. Các phương trình lượng giác cơ bản, cách
giải và bài tập áp dụng.
2. Giới thiệu các phương trình lượng giác cơ bản và một số dạng phương trình
lượng giác khác, phương pháp giải và các bài tập áp dụng. Ứng dụng
phương pháp lượng giác hóa vào giải một số phương trình và hệ phương
trình trong đại số, phương pháp lượng giác hóa với mục đích thay đổi hình
thức từ bài toán đại số sang bài toán lượng giác, vì vậy để giải quyết tốt
một bài toán cần nắm vững kiến thức cơ bản của lượng giác.
Thang Long University Library
Page 79
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Vũ Quốc Anh, (2000), Tuyển tập 450 bài toán lượng giác chọn lọc, NXB
Quốc Gia Hà Nội.
[2] Võ Đại Mau, (1996), Phương trình bất phương trình lượng giác, NXB
Trẻ.
[3] Trần Văn Hạo, (2001), Chuyên đề luyện thi vào đại học lượng giác, NXB
Giáo Dục.
[4] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, (2006), Đại số và giải tích 11, NXB Giáo Dục.
[5] Trần Phương, (2008), Phương trình lượng giác, NXB Hà Nội.
[6] Nguyễn Vũ Thanh, (2003), 225 Bài toán chọn lọc, NXB Trẻ.
Thang Long University Library
Các file đính kèm theo tài liệu này:
c00230_6695_4986.pdf
