Luận văn Một số định lý thác triển hội tụ trong lý thuyết hàm hình học

bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 *( )f CH H tại mỗi điểm của 1( ).f K Giả sử ngược lại, suy ra tồn tại dãy { } ( , )nf Hol X , tồn tại 1( )n nz f K sao cho ( )n ndf z . Vì là thuần nhất đối với nhóm Aut( ), nên ta có thể giả thiết 0nz , tức là (0) khi .ndf n Do K compact, ta có thể giả sử (0) .nf y K Lấy U là lân cận mở của y trong Y, có thể đồng nhất U với một không gian con đóng của m r . Khi đó, với mỗi k  , có kz và kn  sao cho 1 kz k và ( ) . kn k f z U (*) Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại 1r sao cho ( )n rf U với mọi 0( ).n n r Theo định lý Ascoli, do (0)nf y , tồn tại dãy con của { } rn f hội tụ đều trên mỗi tập con compact của r . Điều này mâu thuẫn với (0)ndf . Vậy (*) được chứng minh. Đặt (0), ( ). k kk n k n k y f x f z Ta có thể lấy kz sao cho kx nằm trong một tập con compact chứa U. Từ đó, bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết , .kx x x y Khi đó X( , ) (0, ) 0 khi .k k kd x y d z k Điều này mâu thuẫn với HI3. Bây giờ giả sử 1 2 ...K K là dãy các tập con compact của Y thỏa mãn 1 i i K Y và ,i iK U Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 trong đó iU mở và 1.i iU U Theo chứng minh trên, với mỗi iK , tồn tại hằng số 0iC thỏa mãn *( ) .if C H H Do đó, có hàm liên tục, dương trên Y thỏa mãn iC trên iK . Vậy, *( )f H H với mọi hàm độ dài H trên Y. HI4 HI5. Hiển nhiên khi ta lấy hàm độ dài chính là H . HI5 HI1. Giả sử ,x y X và x y . Lấy B ( , ), B ( , )H HU x s V y s là các hình cầu bán kính s ứng với khoảng cách sinh bởi hàm độ dài H. Do H là hàm độ dài và x y , nên ta có thể lấy 0s đủ nhỏ sao cho B ( ,2 ) B ( ,2 )H Hx s y s . Lấy x U X và y V Y ta có ( , ) ( , ) 0.X Hd x y d x y s Thật vậy, từ HI5 suy ra Hd có tính chất giảm khoảng cách với mọi ( , )f Hol X , theo tính chất lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi ta có .X Hd d Từ đó suy ra X là nhúng hyperbolic trong Y. Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn. , 1.2.5. Nhận xét i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng hyperbolic trong chính nó. ii) Nếu các không gian con phức 1X là nhúng hyperbolic trong 1Y và 2X là nhúng hyperbolic trong 2Y thì 1 2X X là nhúng hyperbolic trong 1 2Y Y . iii) Nếu có hàm khoảng cách trên X thỏa mãn ( , ) ( , ) ,Xd p q p q p q X thì X là nhúng hyperbolic trong Y. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 1.3. Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình 1.3.1. Định lý. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong không gian phức Y. Khi đó, nếu X là nhúng hyperbolic trong Y thì mọi ánh xạ chỉnh hình : *f X đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình :F Y . Để chứng minh định lý, trước hết ta xét các điều kiện sau, với : *f X là ánh xạ chỉnh hình, KW1. X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy { }kz trong Δ* thỏa mãn 0kz và { ( )}kf z hội tụ tới một điểm y X . Chú ý. Điều kiện về sự tồn tại của dãy { }kz ở trên luôn thỏa mãn nếu X là compact tương đối trong Y. KW2. X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy các số dương { } 0kr  thỏa mãn ( ( ))kf S r y X , trong đó ( ) (0, )k kS r S r là đường tròn bán kính kr . KW3. Ánh xạ chỉnh hình : *f X thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình :F Y . Khi đó, định lý 1.3.1 là trường hợp riêng của định lý sau. 1.3.2. Định lý. Ta có KW1 KW2 KW3. Chứng minh. KW1 KW2. Đặt k kr z , và lấy U là một lân cận hyperbolic, compact tương đối của y (một lân cận U như vậy luôn có thể lấy được, vì về mặt địa phương Y là một không gian con đóng của một đa đĩa trong N ). Để chứng minh KW2, ta chỉ cần chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 ( ( ))kf S r U với k đủ lớn. Giả sử ngược lại, với k lớn tùy ý, tồn tại điểm ( )k kz S r sao cho ( )kf z U . Vì tính liên tục của khoảng cách Yd xác định tô pô trên Y, ta có thể giả thiết ( )kf z U . Mà U là tập compact, bỏ qua việc lấy dãy con, ta có thể giả sử rằng ( )kf z hội tụ tới một điểm y X . Khi đó ta có y y vì ( )kf z U . Mặt khác ta có *( ( ), ( )) ( , ) 0 khi X k k k kd f z f z d z z k . Mà X nhúng hyperbolic trong Y, theo định lý 1.2.4. HI3, ta nhận được y y . Điều này mâu thuẫn với trên. KW2 KW3. Giả sử U là một lân cận của y, mà ta đồng nhất với một không gian con của một đa đĩa trong N , sao cho bao đóng U của U trong Y là compact và được chứa trong đa đĩa. Theo định lý thác triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh tồn tại số 0c sao cho *( )cf U , vì từ đó ta suy ra các hàm tọa độ của f là bị chặn gần 0 do đó f thác triển chỉnh hình được qua điểm thủng 0. Giả sử không tồn tại số c như vậy, tức là với 0kr  , *( ) kr f U . Theo KW2, sau khi đánh số lại dãy, ta có thể giả thiết ( ( ))kf S r U với mọi k. Gọi ka , kb là các số dương, k k ka r b , sao cho { * }k k kA z a z b Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 là vành khuyên lớn nhất có ảnh ( )kf A nằm hoàn toàn trong U. Ta đặt 2( ) itk kt a e và 2( ) itk kt b e , 0 1t là hai đường tròn biên của vành khuyên mở kA . Khi đó ta có ( )kf và ( )kf nằm trong U . Nhưng do tính lớn nhất của vành khuyên kA nên ( )kf và ( )kf không nằm trong U, vì vậy ( )kf và ( )kf nằm trong U . Vì các độ dài hyperbolic của các đường tròn bán kính ka và kb dần đến 0 khi k và f là giảm khoảng cách từ *d tới Xd , nên ta có Xd -đường kính của ( )kf và ( )kf dần tới 0. Theo định lý 1.2.4. HI5, ta có *f H H nên ( ( ), ( )) ( , ) ,Hd f p f q d p q p q . Từ đó do tính lớn nhất của giả khoảng cách Kobayashi ta có H Xd d . Vì vậy Hd -đường kính của ( )kf và ( )kf cũng dần tới 0. Vì U là compact, bằng cách lấy dãy con ta có thể giả thiết rằng ( ) , ( )k kf y f y với ,y y U . Khi đó ta có y y và y y . Nếu lấy kz là một điểm trên ( )kS r , thì ( )kf z y khi k . Ta viết 1( ,..., ) : N Nf f f U  . Không mất tính chất tổng quát ta có thể giả thiết 1 1 1 1 1 1 lim ( ) 0, lim ( ) 0, lim ( ) 0. k k k k k k f y f y f z y Từ đó, với mọi 0k k ta có 1 1 1( ) ( ) ( ).k k kf z f f Nói cách khác, 1( )kf z không nằm trong ảnh của hai đường tròn ,k k qua các ánh xạ f. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Vì vậy ta có thể tìm được một lân cận đơn liên của 1 1( ) ( )k kf f mà không giao với một đĩa tâm 0, bán kính đủ nhỏ trong  . Giả sử 1( ,..., )N là các hàm tọa độ trong N , khi đó 1 1f f . Với cách chọn các lân cận ở trên, với k đủ lớn ta có 1 1 1 1 1 ( ) log( ( )) 0 log( ( )) k k k k f d f z d f f z , 1 1 1 1 1 ( ) log( ( )) 0 log( ( )) k k k k f d f z d f f z . Do đó, 1 1log( ( )) 0 k k kd f f z . (*) Mặt khác, theo định lý Rouche [11], ta có 1 1 1 log( ( )) 2 k k kd f f z N P i  , trong đó N là số các không điểm và P là số các cực điểm của 1 1( )kf f z trong vành khuyên kA . Rõ ràng 0P , và 1N vì có ít nhất một không điểm tại kz . Do đó, 1N P . Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy định lý được chứng minh. , Với các kết quả của Kwack và Kobayashi, năm 1972 Kiernan ([6]) đã mở rộng được định lý Picard lớn lên trường hợp nhiều chiều bởi 3K -định lý. Để trình bày 3K -định lý ta cần một số khái niệm và kết quả sau. 1.3.3. Bổ đề. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y. Giả sử { : * }kf X là dãy các ánh xạ chỉnh hình và { },{ }k kz z là các dãy trong Δ* hội tụ tới 0 trong thỏa mãn ( )k kf z y Y . Khi đó (i) ( )k kf z y khi k ; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 (ii) (0)kf y khi k . Chứng minh. Theo tính chất của giả khoảng cách Kobayashi, ta có mỗi ánh xạ chỉnh hình : *kf X đều có thác triển chỉnh hình qua điểm 0. Do đó (0)kf cũng xác định. Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh. , 1.3.4. Định nghĩa. Giả sử M là một đa tạp phức và A là một divisor. Ta nói A có giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức 1,..., mz z trong M sao cho về địa phương *\ r sM A với r s m . Từ đó, về địa phương A được xác định bởi phương trình 1... 0rz z . Ta nói rằng A có giao chuẩn tắc đơn nếu sau khi biểu diễn jA A như là tổng các thành phần bất khả quy, tất cả các jA không có kỳ dị và A có giao chuẩn tắc. 1.3.5. Định lý ( 3K -định lý). Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa tạp phức M. Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y. Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh hình : \f M A X thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình :f M Y . Chứng minh. Theo giả thiết ta có thể giả sử mM và *\ r sM A với r s m . Ta chứng minh quy nạp theo dimm M . Ta chia thành 3 bước 1. Nếu \ *M A thì kết quả là định lý 1.3.2. 2. Giả sử ta có thể thác triển f với *\ nM A với n nào đó. Ta sẽ chứng minh f có thác triển với *\ n sM A với mọi s. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Ta viết 1 1( , ) ( ,..., , ,..., )n st t t là các biến trong n s . Giả sử *: n sf X là ánh xạ chỉnh hình. Với mỗi t ta đặt ( ) ( , )tf f t . Theo giả thiết quy nạp, ta có thể thác triển tf thành ánh xạ chỉnh hình trên n với mỗi t. Theo hệ quả của định lý thác triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh ánh xạ ( , ) ( , )t f t là liên tục. Giả sử ngược lại, f không liên tục tại một điểm nào đó, giả sử là ( ,0) . Khi đó, tồn tại dãy các điểm * k{( , )} n s kt hội tụ về ( ,0) mà ( , ) ( ,0)k kf t y f . Ta chỉ cần chỉ ra mâu thuẫn trong trường hợp 1s . Định nghĩa ánh xạ : * ; ( ) ( , )k k kf X f z f z . Vì 0kt và ( ) ( , )k k k kf t f t y , theo bổ đề 1.3.3, ta có (0) ( ,0)k kf f y . Nhưng tf liên tục với mỗi t, nên (0) ( ,0) ( ,0)k kf f f y . Điều này là vô lý. Vậy f liên tục. 3. Giả sử f có thác triển nếu *\ n sM A với mọi s. Ta chứng minh f thác triển được nếu * 1\ nM A . Theo giả thiết quy nạp, f thác triển được trên 1 \{(0,...,0)}n . Do đó ánh xạ : *g X , xác định bởi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 ( ) ( ,...,z)g z f z thác triển được lên toàn bộ . Ta định nghĩa (0,...,0) (0)f g . Theo định lý thác triển Riemann ta chỉ cần chứng minh f liên tục trên 1n . Giả sử f không liên tục. Khi đó tồn tại dãy 1 * 1( , ) ( ,..., , )n nk k k k kt t thỏa mãn ( , ) (0,0)k kt và ( , ) (0,...,0)k kf t y f . Áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy hàm số ( ) ( , )kk k k z f z f t và dãy điểm k kz ta có ( ) ( , )k k k kf z f t y khi k . Do đó (0) (0, )k kf f t y khi k . (*) Mặt khác, lại áp dụng bổ đề 1.3.3 cho dãy ( ) ( ,..., , )k kk k k k zt zt f z f t t t và dãy điểm k kz t ta có ( ) ( ,..., ) (0,...,0)k k k kf z f t t f khi k . Do đó (0) (0, ) (0,...,0)k kf f t f y khi k . Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy f liên tục. , Chú ý. Định lý được chứng minh đầu tiên bởi Kwack khi X Y là compact và A là tùy ý (không có điều kiện gì về kỳ dị). Sau khi đưa ra khái niệm nhúng hyperbolic, Kobayashi đã chứng minh trong trường hợp X là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 nhúng hyperbolic trong Y và A không có kỳ dị. Kết quả trên của Kiernan chứng minh trong trường hợp A có giao chuẩn tắc. Ví dụ sau là của Kiernan chứng tỏ rằng nếu X không là compact thì các điều kiện về kỳ dị là cần thiết. 1.3.6. Ví dụ Xét 1 1( \{1, 1}) P ( ) P ( )X    . Vì và \ {1, 1} đều là nhúng hyperbolic trong 1P ( ) , nên X là nhúng hyperbolic trong 1 1P ( ) P ( )  . Đặt M và {( , ) 0A z z hoặc }z . Ta có A không phải là có giao chuẩn tắc. Xét ánh xạ : \f M A X bởi ( , ) ( , / )f z z z . Khi đó f không thác triển được lên toàn bộ M vì (0,0)f không xác định. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Chương 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ Trong chương này trước tiên chúng tôi trình bày chứng minh định lý thác triển hội tụ của Noguchi bằng ngôn ngữ họ chuẩn tắc đều. Tiếp theo là một số kết quả gần đây của Đỗ Đức Thái về việc chứng minh định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các siêu mặt không nhất thiết có giao chuẩn tắc. 2.1. Định lý thác triển hội tụ Noguchi 2.1.1. Định lý (Noguchi [9]). Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa tạp phức m chiều M. X là không gian con compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y. Giả sử : \nf M A X là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập con compact của \M A tới ánh xạ chỉnh hình : \f M A X . Giả sử ,nf f   là các thác triển chỉnh hình của ,nf f tương ứng, từ M vào Y. Khi đó ( , )nf f Hol M Y   trong ( , )Hol M Y . Để chứng minh trước hết ta cần một số khái niệm và kết quả sau 2.1.2. Định nghĩa. Giả sử X, Y là các không gian phức. Họ Hol( , )X YF được gọi là họ chuẩn tắc đều nếu Hol( , )M XF là compact tương đối trong ( , )C M Y với mỗi đa tạp phức M, trong đó { }Y Y là compact hóa một điểm của Y. Nếu 0X , 0Y là các không gian con của các không gian tô pô X, Y tương ứng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 và 0 0( , )C X YF . Ta ký hiệu [ , , ]C X Y F là tập các ánh xạ ( , )g C X Y mà là thác triển của các phần tử của F . 2.1.3. Định lý. Nếu X, Y là các không gian phức thì họ ( , )Hol X YF là chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu ( , )Hol XF là compact tương đối trong ( , )C Y . Chứng minh. ( ) Hiển nhiên, do là đa tạp phức. ( ) Nếu F không là chuẩn tắc đều thì có đa tạp phức M sao cho Hol( , )M XF không là compact tương đối trong ( , )C M Y . Theo định lý Ascoli, do Y là không gian compact nên Hol( , )M XF không là liên tục đồng đều. Vì tính liên tục đồng đều là tính chất địa phương, ta có thể giả thiết { ; 1}mM p p với m nào đó, và Hol( , )M XF không liên tục đồng đều từ 0 M tới q Y . Chọn các dãy { } ;{ } \{0}n nf p MF và { } Hol( , )n M X sao cho 0; (0)n n np f q và ( )n n nf p q ½ . Ta định nghĩa hàm Hol( , )n X , ( ) nn n n zp z p . Khi đó (0) (0)n n n nf f q  và ( ) ( )n n n n n nf p f p q  ½ . Suy ra Hol( , )XF không liên tục đồng đều, do đó không là compact tương đối trong ( , )C Y . Điều này trái giả thiết. , 2.1.4. Định lý ([5]). Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong không gian phức Y. Khi đó các điều kiện sau là tương đương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 i) X là nhúng hyperbolic trong Y; ii) ( , )Hol X là compact tương đối trong ( , )C Y ; iii) ( , )Hol X là họ con chuẩn tắc đều của ( , )Hol Y . 2.1.5. Bổ đề. Giả sử ( * , )mHol YF là họ chuẩn tắc đều. Nếu { } *mn , { }nf F sao cho 0 m n và ( )n nf p Y thì với mỗi lân cận U của p, tồn tại lân cận W của 0 trong m sao cho ( * )mnf W U . Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo m. + 1m chính là định lý 2.1. [5]. + Ta giả sử khẳng định trên đúng với k nhưng không đúng với 1k . Lấy 1Hol( * , )k YF là họ chuẩn tắc đều. Chọn các dãy k+1 1 n n n 0 n 0{ },{ } * ; , ;{ } k nf F sao cho ( )n nf p và ( )n nf p½ . Giả sử U, V là các lân cận compact tương đối của p sao cho V U và giả sử rằng ( )n nf V , ( ) \n nf Y U . (*) Đặt ( , ), ( , )n n n n n ns t s t và 0 0 0( , ) * Δ* ks t . Gọi 1 1 t{ Hol( * , * ); *, ( ) ( , )} k k tt s s tF , 1 2 s{ Hol( *, * ); * , ( ) ( , )} k k ss t s tF . Khi đó Hol( * , )k Y 1F F và Hol( *, )Y 2F F đều là các họ chuẩn tắc đều. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Khi đó ta có: 0{ } ,nn t nf s s  1F F và ( ) ( , ) ( ) nn t n n n n n n f s f s t f p . Theo giả thiết quy nạp, tồn tại lân cận 1N của 0s sao cho 1( * )n k n tf N V và ( ) nn t n f s V . Từ đó, tồn tại dãy con của { ( )} nn t n f s mà cũng ký hiệu là { ( )} nn t n f s sao cho ( ) nn t n f s q V . Ta có ( ) ( , ) ( ) 1 n nn t n n n n n s n f s f s t f t  , với 0nt t . Do đó, tồn tại lân cận 2N của 0t trong sao cho 2( *)nn sf N U . Vậy với n đủ lớn, 2 *nt N , ta có ( ) nn s n f t U . Tức là ( , ) ( )n n n n nf s t f U . Điều này mâu thuẫn với (*). Vậy định lý được chứng minh. , Sử dụng các kết quả trên ta có thể mở rộng 3K -định lý và định lý thác triển hội tụ Noguchi như sau 2.1.6. Định lý. Giả sử M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trong M. Giả sử ( \ , )Hol M A YF là họ chuẩn tắc đều và F là bao đóng của F trong ( \ , )C M A Y . Khi đó i) Mỗi f F đều thác triển được thành ( , )f C M Y . ii) [ , , ]C M Y F là compact trong ( , )C M Y . iii) Nếu { }nf F và nf f thì nf f   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Chứng minh. Để chứng minh i) và ii) trước hết ta chứng minh với mỗi f F đều thác triển được thành ( , )f C M Y và [ , , ]C M Y F là compact tương đối trong ( , )C M Y . Vì bài toán là địa phương nên ta có thể giả thiết rằng mM và Hol( * , )m YF . Do đó ta chỉ cần chứng minh mỗi f F có thác triển ( , )mf C Y và [ , , ]mC Y F là compact tương đối trong ( , )mC Y . Theo định lý Ascoli, ta chỉ cần chứng minh [ , , ]mC Y F là liên tục đồng đều trong ( , )mC Y . Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại 0 m , các dãy n n{ },{ } trong *m cùng hội tụ tới 0 và có dãy { }nf F mà ( )n nf p  và ( )n nf q p  . Điều này mâu thuẫn với bổ đề 2.1.5. Vậy ta có [ , , ] ( , )m mC Y C YÐF . Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại thác triển của ánh xạ f. Giả sử 0 ,M p Y và 0{ } \ ;n nM A và ( )nf p . Khi đó p xác định duy nhất, do đó với 0 và p ở trên ta định nghĩa 0( )f p  . Rõ ràng f f trên \M A , vì nếu ta chọn dãy \n M A với mọi n, thì ( ) ( )f f với mọi \M A . Vậy theo định lý thác triển Riemann, để chứng minh f là thác triển chỉnh hình của f ta chỉ cần chứng minh f là liên tục. Nếu 0( )f p Y  và U là lân cận mở của p thì gọi V là lân cận compact tương đối của p sao cho V U . Theo bổ đề 2.1.5, tồn tại lân cận mở W của 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 trong M sao cho ( \ )f W A V . Khi đó ( )f W V U . Nếu 0( )f  , theo bổ đề 2.1.5, tồn tại lân cận mở W của 0 trong M sao cho ( \ )f W A U , tức là tồn tại lân cận mở W của 0 trong M sao cho ( )f W U . Từ đó ta có f liên tục. Để kết thúc chứng minh i) ta lấy f F . Khi đó tồn tại dãy { }nf trong F sao cho nf f khi n . Do [ , , ]C M Y F là compact tương đối trong ( , )C M Y nên tồn tại dãy con { } { } kn n f f sao cho ( , ) kn f g C M Y . Rõ ràng g f (vì chúng bằng nhau trên \M A ). Vậy i) được chứng minh. Để chứng minh ii) ta chứng minh [ , , ]= [ , , ]C M Y C M YF F . Với g F ta chọn dãy { }nf F sao cho nf g . Do tính compact tương đối của [ , , ]C M Y F trong ( , )C M Y và sự tồn tại thác triển trong i), suy ra có dãy con { } { } kn n f f  sao cho kn f g  , vì vậy [ , , ]g C M Y F . Do đó [ , , ] [ , , ]C M Y C M YF F . Ngược lại, với [ , , ]g C M Y F , tồn tại dãy { } [ , , ]nf C M Y  F mà nf g   . Suy ra nf g trên \M A với { }nf F . Từ đó, g F . Vậy [ , , ]g C M Y F . Hay ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 [ , , ] [ , , ]C M Y C M YF F Vậy ii) được chứng minh. iii) Giả sử { }nf F và nf f . Ta chứng minh nf f   khi n . Theo i) thì các nf  và f luôn tồn tại. Theo ii), vì { } [ , , ]nf C M Y  F compact trong ( , )C M Y , nên mọi dãy con { } kn f của { }nf  đều có dãy con hội tụ tới f . Do đó nf f   khi n . Vậy iii) được chứng minh. , 2.1.7. Nhận xét. Theo hệ quả 3 và hệ quả 7 ([4]) khẳng định rằng: Nếu X là không gian con phức, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y và A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa tạp phức M thì mỗi ( \ , )f Hol M A X đều thác triển được thành ( , )f C M Y và nếu X là compact tương đối trong Y thì ( , )f Hol M Y . Từ đó theo định lý 2.1.4 và định lý 2.1.6 ở trên ta suy ra kết quả của định lý thác triển hội tụ Noguchi 2.1.1. 2.2. Một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt 2.2.1. Định nghĩa. Một không gian phức X được gọi là siêu lồi nếu X là Stein và tồn tại một hàm đa điều hòa dưới liên tục : ( ,0)X sao cho { ; ( ) }cX x X x c là compact với mỗi 0c . Một cách trực giác, điều này có nghĩa là tiến đến 0 tại “biên” của X. 2.2.2. Định lý. Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z. Giả sử M là một miền hyperbolic compact tương đối trong không gian phức Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 X. Giả sử có một lân cận U của M trong X sao cho U M là siêu lồi. Khi đó bất kỳ ánh xạ chỉnh hình : \f Z H M đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình từ Z vào trong M. Hơn nữa, nếu 1{ : \ }j jf Z H M là dãy các ánh xạ chỉnh hình mà hội tụ đều trên các tập con compact của \Z H tới ánh xạ chỉnh hình : \f Z H M , thì 1{ }j jf cũng hội tụ đều trên các tập con compact của Z tới f , ở đó :jf Z M và :f Z M là các thác triển chỉnh hình của jf và f trên Z. Chứng minh. (i) Trước hết ta xét trường hợp khi Z và {0}H . Theo định lý 1.3.2, ta chỉ cần chứng minh có một dãy { } *nz hội tụ đến 0 sao cho dãy { ( )}nf z hội tụ đến một điểm của M. Giả sử khẳng định trên là sai. Khi đó ta có thể giả thiết với mỗi dãy { } *nz với 0nz , dãy { ( )}nf z hội tụ đến một điểm trong M . Do đó, ta có thể tìm được 0 đủ nhỏ sao cho *( )f U . Gọi là hàm đa điều hòa dưới vét cạn của U. Đặt h f trên * . Khi đó h là hàm điều hòa dưới trên * , và với mỗi dãy *{ }nz với 0, ( ) 0n nz h z . Điều này kéo theo h thác triển liên tục được đến hàm h trên . Theo định lý về khử kỳ dị của các hàm điều hòa, ta có h là điều hòa dưới trên . Ta có ( ) 0h z nếu *z và (0) 0h , vì vậy h đạt cực đại tại gốc. Điều này vô lý. (ii) Bây giờ ta chứng minh rằng mỗi ánh xạ chỉnh hình : \f Z H M đều thác triển chỉnh hình được trên Z. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Ta có thể giả thiết H không có kỳ dị, tức là, ta thác triển f lên \ ( )Z S H sau đó lên \ ( ( ))Z S S H và cứ tiếp tục như vậy, trong đó ( )S Y là tập các kỳ dị của không gian phức Y. Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f, ta có thể giả thiết rằng 1m mZ và 1 {0}mH . Với mỗi 1mz , xét ánh xạ chỉnh hình : *zf M được cho bởi ( ) ( , )zf z f z z với mỗi *z . Theo (i), tồn tại thác triển chỉnh hình :zf M của zf với mỗi 1mz . Định nghĩa ánh xạ 1: mf M bởi ( , ) ( )zf z z f z với mọi 1( , ) mz z . Ta chỉ cần chứng minh rằng f là liên tục tại 1 0( ,0) mz . Thật vậy, giả sử 1{( , )} mk kz z sao cho 0{( , )} ( ,0)k kz z z . Lấy dãy { } *kz sao cho lim ( , ) 0k k k d z z . Ta có 0( ( , ), ( ,0))M k kd f z z f z 0 0 0( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( ,0))M k k k k M k k k M kd f z z f z z d f z z f z z d f z z f z    0 00 ( ( ), ( )) ( ( , ), ( , )) ( ( ), (0)) k kM z k z k M k k k M z k z d f z f z d f z z f z z d f z f    -1 0( , ) ( , ) ( ,0)mk k k kd z z d z z d z  với mọi 1k . Từ đó 0lim ( ( , ), ( ,0)) 0M k k k d f z z f z , tức là, 0{ ( , )} ( ,0)k kf z z f z khi k . Điều này kết thúc bước 2 của chứng minh. (iii) Giả sử { } Hol( \ , )jf Z H M thỏa mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 { } Hol( \ , ) trong Hol( \ , )jf f Z H M Z H M . Ta sẽ chứng tỏ rằng { } trong Hol( , ).jf f Z M Trước hết ta có thể giả thiết H không có kỳ dị vì khẳng định của ta đúng trên \ ( )Z S H sau đó trên \ ( ( ))Z S S H và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử 0 là điểm tùy ý của H. Ta có thể giả thiết mZ và 1 {0}mH và 0 (0,0) . Đặt 0 0( )a f . Với điểm y M và số thực dương r, ta đặt B , : ,M My r y M d y y r . Tương tự, với điểm Z và 0r , ta đặt B , : ,Z Zr Z d r . Trước hết ta chứng tỏ rằng với một số 0 bất kỳ, tồn tại lân cận 0V của 0 trong Z sao cho 0 0B ,Mf V a và 0 0B ,j Mf V a với mọi 0j j . Thật vậy, lấy điểm 1 0B ( , ) \ 3 Z H . Ta có 1 0( ) B ( , ) 3 Mf a . Có số nguyên 0j sao cho 1 0 2 ( ) B ( , ) 3 j Mf a với mọi 0j j . Vì vậy ta có 1 0(B ( , )) B ( , ) 3 j Z Mf a . Đặt 0 0 1B ( , ) B ( , ) 3 3 Z ZV . Khi đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 0 0V , 0 0( ) B ( , )Mf V a và 0 0( ) B ( , )j Mf V a với mọi 0j j . Lấy 0 đủ nhỏ sao cho 0B ( , )M a được chứa trong một lân cận tọa độ địa phương của 0a trong M. Chọn 0 đủ bé sao cho 0 m V . Vì ( ) { }mjf hội tụ đều đến ( )m f , từ nguyên lý mô đun cực đại suy ra sự hội tụ đều của 1{ }mj jf với giới hạn mf . Định lý được chứng minh. , 2.2.3. Định nghĩa. Giả sử M là một miền trong không gian phức X, tức là, M là một tập con khác rỗng, mở và liên thông của X. (i) Một hàm được gọi là đa điều hòa dưới peak địa phương tại một điểm p trong M nếu tồn tại một lân cận U của p sao cho là đa điều hòa dưới trên U M , tức là liên tục trên U M và thỏa mãn ( ) 0 ( ) 0, ( ) \{ }. p z z U M p (ii) Một hàm được gọi là đa điều hòa dưới antipeak địa phương tại một điểm p trong M nếu có một lân cận U của p sao cho là đa điều hòa dưới trên U M , tức là liên tục trên U M và thỏa mãn ( ) ( ) , ( ) \{ }. p z z U M p 2.2.4. Bổ đề. Giả sử p là một điểm thuộc M . Giả sử có các hàm đa điều hòa dưới peak và antipeak địa phương và tại p xác định trên một lân cận pV của p. Khi đó với mỗi lân cận U của p, tồn tại một lân cận U của p sao cho mỗi ánh xạ chỉnh hình :f M thỏa mãn 1/ 2(0) ( ) .f U f U Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Chứng minh. Vì là hàm đa điều hòa dưới peak địa phương tại p, tồn tại hai lân cận U và V của p ( )pU V V và hai hằng số dương c và c ( )c c sao cho inf{ ( ) : } , sup{ ( ) : } . z z M U c z z M V c Khi đó hàm  xác định trên M bởi ˆ( ) ( ) ne u , ˆ( ) sup( ( ), ( )) ne u ( \ ), 2 ˆ( ) ( ) ne u \ . 2 z z z M U c c z z z M V U c c z z M V    là hàm đa điều hòa dưới peak toàn thể tại p. Lấy f là một đĩa giải tích trong M, tức là :f M là một ánh xạ chỉnh hình. Giả sử rằng là một số âm tùy ý sao cho ( )(0).f  Ký hiệu mes( )E là độ đo của tập hợp { [0,2 ]: ( )( ) 2 }.iE f e  Vì hàm f  là điều hòa dưới, bất đẳng thức giá trị trung bình kéo theo 2 0 1 ( )(0) ( )( ) 2 mes([0,2 ] \ ) (2 mes( )). if f e d E E    Do đó mes( ) .E (1) Lấy 0 đủ nhỏ sao cho 1 2 1 inf{( )( ) : } 0, sup{( )( ) : } . z z M U c z z M V c c Hàm định nghĩa trên M bởi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 1 2 1 2 ˆ( ) ( )( ) ne u , ˆ( ) sup(( )( ), ( )) ne u ( \ ), 2 ˆ( ) ( ) ne u \ . 2 z z z M U c c z z z M V U c c z z M V là một hàm đa điều hòa dưới liên tục, âm trên M và thỏa mãn 1( ) .p Dùng tích phân Poisson, với bất kỳ điểm trên 1/ 2 ta có 2 0 1 ( )( ) Re( )( )( ) . 2 i i i e f f e d e   Theo nguyên lý cực đại, ta có 1/ 2 1 1 2 2 2 21 1 2 2 2 2 2 min Re( ) min Re( ) 1 2min Re( ) 1 1 2min Re( ) 1 2min Re( ) 4 1 11 1 2min Re( ) 1 2min Re( ) 1 1 2Re i i i i i ii z z e e e e e ee z z z z 2 Re 1 1 1 1 2min ( ) 1 2( ) . 5 2Re 3 3z z z Từ đó, ta nhận được 2 0 1 ( )( ) ( )( ) 6 if f e d  với mọi 1/2 . (2) Vì  là hàm peak tại p và q thỏa mãn ( )p nên với mỗi 1n tồn tại một hằng số âm n sao cho với bất kỳ điểm z trong M bất đẳng thức ( ) 2 nz kéo theo ( )z n . Từ 1( ) { }p , ta có họ 1 1 { : ( ) } 6 n n U z M z n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 là một cơ sở lân cận của p trong M . Gọi nU là lân cận của p trong M định nghĩa bởi { : ( ) }n nU z M z . Gọi :f M là một đĩa giải tích trong M sao cho (0) nf U . Khi đó ( (0)) nf và do vậy, theo (1), ta có mes( )E . Từ (2) và là hàm âm nên với mỗi 1/2 , ta có [0,2 ]\ 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 6 1 1 1 ( ) . mes( ) . 6 6 6 n n n n i i E E E f f e d f e d n d n E n    Vì vậy 1/ 2( ) nf U . Bổ đề được chứng minh. , 2.2.5. Mệnh đề. Giả sử M là một miền hyperbolic trong không gian phức X. Giả sử với mỗi p M , có các hàm peak địa phương và antipeak đa điều hòa dưới tại p, cả hai cùng định nghĩa trên một lân cận của p trong X. Khi đó M là nhúng hyperbolic trong X. Chứng minh. Lấy cả hai điểm ,p q M sao cho p q . Gọi H là hàm độ dài trên X. Theo định lý 1.1.4, tồn tại một lân cận U của p trong X và một hằng số dương 0C sao cho q U và ( , ) . ( , )UF z C H z . Với mỗi z U và zT M . Theo bổ đề 2.2.4, có một lân cận U của p trong X thỏa mãn: U UÐ , Với mỗi đĩa giải tích f trong M 1/ 2(0) ( ) .f U f U Đặc biệt, với mỗi z U M và zT M ta có 1 ( , ) ( , ). 2 M UF z F z Do đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 ( , ) ( , ) 2 M C F z H z với mỗi z U M và zT M . Lấy các lân cận ,U W của p,q trong X, tương ứng, sao cho U UÐ và W U= . Lấy U M và W M là các điểm tùy ý. Gọi ( )t là đường cong liên tục, giải tích thực từng khúc bất kỳ trên M thỏa mãn (0) và (1) . Khi đó tồn tại các số cực tiểu 0 1r s sao cho ( )r U và ( )s U . Ta có 1 1 1 1 1 0 ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) s s M M M r r K t j t dt K t j t dt F t t dt 1( ( )) dist( , ) 0. 2 2 s r C C H t dt U U C Do đó 1 1 0 sup ( ( ), ( )) .kM k k K t j t dt C Theo 1.1.5, ta nhận được 1 , 1 01 ( , ) inf sup ( ( ), ( )) :kM M k k d K t j t dt C . Điều này kéo theo 1( , ) 0Md U M W M C và vì vậy M là nhúng hyperbolic trong X. Mệnh đề được chứng minh. , 2.2.6. Định lý. Giả sử M là một miền hyperbolic trong không gian phức X thỏa mãn với mỗi điểm p M , có các hàm peak địa phương và antipeak đa điều hòa dưới tại p, cả hai cùng xác định trên một lân cận của p trong X. Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z và : \f Z H M là một ánh xạ chỉnh hình. Giả sử rằng với mỗi z H tồn tại một dãy { } \nz Z H hội tụ đến z sao cho dãy { ( )}nf z hội tụ đến zx X . Khi đó f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình : .f Z M Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Chứng minh. (i) Trước hết ta xét trường hợp Z và {0}.H Theo mệnh đề 2.2.5, M là nhúng hyperbolic trong X. Theo nhận xét 2.1.7, ta có f thác triển được thành ánh xạ liên tục : ,f X trong đó { }X X là compact hóa một điểm của X. Mặt khác, theo giả thiết, có dãy { } *nz với lim 0n n z sao cho 0lim ( ) .n n f z x X Từ đó f ánh xạ vào trong X và do đó f là chỉnh hình. Giả sử rằng (0)f M . Gọi U là một lân cận của (0)f trong X và là một hàm đa điều hòa dưới peak địa phương tại (0)f , tức là, là đa điều hòa dưới trên U M , liên tục trên U M và thỏa mãn ( (0)) 0 ( ) 0 ( ) \ { (0)}. f x x U M f Vì f liên tục, ta có thể tìm được 0 đủ nhỏ sao cho ( ) .f U Đặt h f trên . Khi đó h là hàm điều hòa dưới trên * và liên tục trên . Theo định lý khử kỳ dị của các hàm điều hòa dưới, h là điều hòa dưới trên . Ta có ( ) 0h z nếu *z và (0) 0h , do đó h đạt cực đại tại gốc. Điều này là vô lý. (ii) Giả sử H không chứa điểm kỳ dị. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 1m mZ và 1 {0}mH . Với mỗi 1m , xét ánh xạ chỉnh hình : *f M cho bởi ( ) ( , )f f với mỗi * . Vì ( ,0)z H , tồn tại 1 n{( , )} * m n , n{( , )} ( ,0)n sao cho { ( , )}n n zf x X . Theo nguyên lý giảm khoảng cách đối với ánh xạ chỉnh hình 1: *mf M của giả khoảng cách Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 Kobayashi, ta có 1 * ( ( , ), ( , )) (( , ),( , ))mM n n n n n nd f f d 1 = ( , ) 0 khi .m nd n Vì M là nhúng hyperbolic trong X, ta nhận được { ( , )}n zf x X . Theo (i), f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình : .f M Định nghĩa ánh xạ 1: mf M bởi ( , ) ( )f f với mỗi 1( , ) .m Ta chỉ cần chứng tỏ f là liên tục. Lấy ( ,0) H và 1 n{( , )} m n sao cho n{( , )} ( ,0)n . Chọn n{ } *  sao cho n{ } 0  . Ta có ( ( , ), ( ,0))M n nd f f ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( ,0))M n n n n M n n n M nd f f d f f d f f     ( ( ), ( )) ( ( , ), ( , )) ( ( ), (0)) n nM n n M n n n M n d f f d f f d f f    1( , ) ( , ) ( ,0) 0 khi .mn n n nd d d n   Do đó f là thác triển chỉnh hình của f. (iii) Giả sử H là siêu mặt phức bất kỳ của Z. Theo (ii) f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình 1 : \ ( ) .f Z S H M Dễ dàng thấy rằng với mỗi 0 ( )z S H , tồn tại { } \ ( )nz Z S H hội tụ đến 0z sao cho 1{ ( )}nf z hội tụ đến 0z x X . Từ đó, theo (ii), f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình 2 : \ ( ( )) .f Z S S H M Lặp lại quá trình này ta nhận được f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình :f Z M . Định lý được chứng minh. , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 2.2.7. Định nghĩa. Một không gian phức X được gọi là lồi đĩa yếu nếu mỗi dãy { } Hol( , )nf X hội tụ trong Hol( , )X chỉ khi dãy * { } Hol( *, )nf X hội tụ trong Hol( *, )X . Các định lý của Montel và Kiernan (xem [12]) khẳng định rằng Hyperbolic đầy taut lồi đĩa yếu. Các khẳng định ngược lại nói chung không đúng (xem [12]). 2.2.8. Định nghĩa. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y và * \{0} . Khi đó X có tính chất * EP đối với Y nếu mỗi ánh xạ chỉnh hình : *f X đều có ánh xạ chỉnh hình :f Y là thác triển chỉnh hình của f. 2.2.9. Định lý. Cho X là không gian phức giả lồi có tính chất * EP . Giả sử A là siêu mặt giải tích tùy ý của một đa tạp phức M. Cho 1{ : \ }j jf M A X là dãy các ánh xạ chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của \M A tới ánh xạ chỉnh hình : \f M A X . Khi đó có duy nhất các thác triển chỉnh hình :jf M X và :f M X của jf và f trên M , và 1{ }j jf hội tụ đều trên các tập con compact của M tới f . Chứng minh. i) Trước hết ta chứng minh X là lồi đĩa yếu. Thật vậy, giả sử { } Hol( , )kf X là dãy sao cho *{ }kf hội tụ đều trên tập con compact tới ánh xạ Hol( *, )f X . Giả sử { } jk f là dãy con tùy ý của dãy { }kf . Đặt 1 ( ) jk s j K f , trong đó 0 1s . Theo giả thiết và theo nguyên lý mô đun cực đại, suy ra ( ) PSH X K là compact Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 và 1 ( ) ( ) jk s PSH X j f K . Vì X có tính chất * EP , nên X không chứa đường thẳng phức (xem [13]). Do đó, theo định lý Brody [3], Urata [15], và Zaidenberg [17], tồn tại lân cận hyperbolic W của ( ) PSH X K trong X. Điều này kéo theo họ *{ }jkf đồng liên tục. Mặt khác, do { ( )} jk f là compact tương đối với mỗi s , theo định lý Ascoli họ { : 1} jk f j là compact tương đối trong Hol( , )s X . Do đó tồn tại một dãy con { } j l kf của { } jk f hội tụ đều trên các tập con compact đến ánh xạ F trong Hol( , )X . Theo đẳng thức *F f thì hạn chế F là duy nhất, do đó không phụ thuộc vào cách chọn các dãy con { } jk f của dãy { }kf . Suy ra dãy { }kf hội tụ đều trên các tập compact đến ánh xạ F trong Hol( , )X . ii) Ta phải chứng minh mỗi ánh xạ chỉnh hình : \f M A X đều thác triển chỉnh hình được trên M. Đầu tiên ta có thể giả sử rằng A không có kỳ dị, tức là, ta thác triển f lên \ ( )M S A sau đó lên \ ( ( ))M S S A và cứ tiếp tục như vậy, trong đó ( )S Z là tập các kỳ dị của Z. Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta có thể giả sử rằng 1m mM và 1 {0}mA . Với mỗi 1mz , xét ánh xạ chỉnh hình : *zf X xác định bởi ( ) ( , )zf z f z z với mỗi *z . Theo giả thiết trên, tồn tại thác triển chỉnh hình :zf X của zf với mỗi 1mz . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 Định nghĩa ánh xạ 1: mf X xác định bởi ( , ) ( )zf z z f z với mọi 1( , ) mz z . Ta chỉ cần chứng minh f là liên tục tại 1( ,0) mz . Thật vậy, giả sử 1{( , )} mk kz z sao cho 0{( , )} ( ,0)k kz z z . Đặt kk z f với mỗi 1k và 00 z f . Khi đó dãy *{ }k hội tụ đều tới ánh xạ 0 *{ } trong Hol( *, )X . Do X là lồi đĩa yếu, nên dãy { }k hội tụ đều đến ánh xạ 0 trong Hol( , )X . Bởi vậy, 0 0{ ( ) ( , )} (0) ( ,0)k k k kz f z z f z , và do đó f liên tục tại 0( ,0)z . iii) Giả sử { } Hol( \ , )kf M A X sao cho 0kf f trong Hol( \ , )M A X . Ta sẽ chứng minh 0{ }kf f trong Hol( , )M X . Như trên, ta có thể giả sử rằng A không có kỳ dị và bằng cách địa phương hóa các ánh xạ, ta có thể giả sử rằng 1m mM và 1 {0}mA . Giả sử 1{( , )} mk kz z là dãy tùy ý hội tụ tới 1 0 0( , ) mz z . Ta phải chứng minh dãy ( , )k k kf z z hội tụ tới 0 0 0( , )f z z . Thật vậy, với mỗi 0k xét ánh xạ chỉnh hình :k X xác định bởi ( ) ( , )k k kz f z z với mọi z . Khi đó * 0 *{ }k trong Hol( *, )X . Do X là lồi đĩa yếu, ta có 0{ }k trong Hol( , )X . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 Hơn nữa, 0 0 0 0 0{ ( ) ( , )} ( ) ( , )k k k k kz f z z z f z z . Định lý được chứng minh. , 2.2.10. Định lý. Giả sử X là không gian con phức của không gian phức hyperbolic Y sao cho X có tính chất * EP đối với Y. Cho A là siêu mặt giải tích tùy ý của đa tạp phức M. Giả sử 1{ : \ }j jf M A X là dãy các ánh xạ chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của \M A tới ánh xạ chỉnh hình : \f M A X . Khi đó có duy nhất các thác triển chỉnh hình :jf M Y và :f M Y của jf và f trên M , và 1{ }j jf hội tụ đều trên các tập con compact của M tới f . Chứng minh. a) Trước hết ta chứng minh mỗi ánh xạ chỉnh hình : \f M A X đều thác triển được thành một ánh xạ chỉnh hình :F M Y . Ta xét hai trường hợp. Trường hợp 1. Kỳ dị của A có giao chuẩn tắc. Theo giả thiết, ta có thể giả sử n lM và \ ( *)n lM A . Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n. Ta chứng minh nó theo ba bước. (i) Nếu \ *M A thì khẳng định là kết quả trực tiếp từ định nghĩa 2.2.8. (ii) Giả sử có thể thác triển f với \ ( *)nM A với n bất kỳ. Ta sẽ chứng minh f có thác triển với \ ( *)n lM A với l tùy ý. Giả sử : *n lf X là ánh xạ chỉnh hình. Với mỗi u giả sử ( ) ( , )uf t f t u . Theo giả thiết quy nạp, ta có thể thác triển uf thành ánh xạ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 chỉnh hình : nuf Y  với mỗi u. Định nghĩa ánh xạ chỉnh hình : n lF Y như sau ( , ) ( )uF t u f t  , ( , ) n lt u . Theo định lý thác triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh F là liên tục. Thật vậy, giả sử dãy {( , )}k k n lt u hội tụ tới điểm 0(0, )u . Lấy một vài dãy { } Δ*k nt thỏa mãn lim ( , ) 0n k k n d t t . Ta có 0( ( , ), (0, )k kYd F t u F u 0 0 0( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) ( ( , ), (0, ))k k k k k k k kY Y Yd F t u F t u d F t u F t u d F t u F u    0 0 0( ( ), ( )) ( ( , ), ( , )) ( ( ), (0))k k k k k k k k Y Y Yu u u u d f t f t d f t u f t u d f t f       0( , ) ( , ) ( ,0)n l n k k k kd t t d u u d t  với mọi 1k . Từ đó 0lim ( ( , ), (0, )) 0k kY n d F t u F u , tức là, 0{ ( , )} (0, )k kF t u F u khi k . Điều này kết thúc bước 2 của chứng minh. (iii) Giả sử có thể thác triển f với \ ( *)n lM A với l tùy ý. Ta phải chứng minh f thác triển với 1\ *nM A . Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình 1 1 : \{(0,0,...,0)} nf Y . Ánh xạ chỉnh hình : *g X , xác định bởi ( ) ( ,..., )g z f z z với *z , thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình :g Y . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Định nghĩa ánh xạ 1: nF Y xác định bởi (0,0,...,0) (0)F g và 1 1\{(0,0,...,0)}n F f . Theo trên, ta cần phải chứng minh F là liên tục. Giả sử dãy 1 1 2 1{( , ,... )} k k k n nt t t hội tụ tới (0,0,...,0) . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử 1 0 kt với mọi 1k . Khi đó 1 2 1( ( , ,..., ), (0,0,...,0)) k k k Y nd F t t t F 1 2 1 1 1 1 1 1 1( ( , ,..., ), ( , ,..., )) ( ( , ,..., ), (0,0,...,0)) k k k k k k k k k Y n Yd F t t t F t t t d F t t t F 1 1 2 1 1 1 1 1 1( ( , ,..., ), ( , ,..., )) ( ( ), (0)) k k k k k k k Y n Yd f t t t f t t t d g t g  * 1 2 1 1 1 1 1(( , ,..., ),( , ,..., )) ( ( ), (0)) k k k k k k k n Yd t t t t t t d g t g  1 1 j=2,n+1 ax ( , ) ( ,0)k k kjm d t t d t 1 1 j=2,n+1 ax ( ( ,0) ( ,0)) ( ,0)k k kjm d t d t d t 1 j=2,n+1 ax ( ,0) 2 ( ,0)k kjm d t d t với mọi 1k . Do mỗi dãy con của dãy chứa một dãy con hội tụ tới (0,0,...,0)F . Vậy dãy 1 2 1{ ( , ,..., )} k k k nF t t t hội tụ đến (0,0,...,0)F . Trường hợp 2. A là tập con giải tích đóng tùy ý của M. Theo định lý khử kỳ dị Hironaka, tồn tại bộ ( , , )Z B với B là tập con giải tích có giao chuẩn tắc của đa tạp phức Z và là một ánh xạ chỉnh hình riêng lên M sao cho 1( )B A . Ta định nghĩa : \g Z B X bởi g f  . Theo trường hợp 1, g có thác triển chỉnh hình :G Z Y . Khi đó f được thác triển phân hình lên toàn bộ M bằng cách định nghĩa 1F G  trên M. Theo định lý Kodama [8] (xem [7, Định lý 6.3.19, tr. 288]), F là chỉnh hình. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 b) Giả sử { } Hol( \ , )jf M A X sao cho { } Hol( \ , )jf f M A X trong Hol( \ , )M A X . Ta sẽ chứng minh rằng { }jf f trong Hol( , )M Y . Trước hết ta có thể giả sử rằng A không có kỳ dị, tức là, ta thác triển f lên \ ( )M S A sau đó lên \ ( ( ))M S S A và cứ tiếp tục như vậy, trong đó ( )S Z là tập các kỳ dị của Z. Giả sử 0z là một điểm tùy ý trong A. Ta có thể giả sử rằng mM và 1 {0}mA và 0 (0,0)z . Đặt 0 0( )a f z . Với mỗi điểm y Y và một số thực dương r, ta đặt B ( , ) { : ( , ) }Y Yy r y Y d y y r . Tương tự, với điểm z M và một số thực dương r, ta đặt B ( , ) { : ( , ) }M Mz r z M d z z r . Trước hết ta chứng minh rằng với một số 0 tùy ý, tồn tại lân cận 0V của 0z trong M sao cho 0 0( ) B ( , )Yf V a và 0 0( ) B ( , )j Yf V a với mọi 0j j . Thật vậy, lấy một điểm 1 0B ( , /3) \Mz z A . Khi đó 1 0( ) B ( , /3)Yf z a . Do đó có số nguyên 0j sao cho 1 0( ) ( ,2 /3)j Yf z B a với mọi 0j j . Từ đó ta có 1 0(B ( , /3)) B ( , )j M Yf z a . Đặt 0 0 1B ( , /3) B ( , /3).M MV z z Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 Khi đó 0 0z V và 0 0( ) B ( , )Yf V a , 0 0( ) B ( , )j Yf V a với mọi 0j j . Lấy 0 đủ nhỏ sao cho 0B ( , )Y a được chứa trong một lân cận tọa độ địa phương của 0a trong Y. Chọn 0 đủ nhỏ sao cho 0 m V . Vì 1( ) { }mj jf hội tụ đều tới ( )m f , theo nguyên lý mô đun cực đại kéo theo sự hội tụ đều của 1{ }mj jf tới giới hạn mf . Định lý được chứng minh. , 2.2.11. Định lý. Cho X là không gian phức lồi đĩa yếu. Giả sử M là đa tạp phức với số chiều m, và A là tập con không đâu trù mật trong không gian con phức B M với số chiều 1m . Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh hình : \f M A X đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình :F M X . Chứng minh. Đầu tiên ta có thể giả sử rằng B không có kỳ dị. Lấy một điểm tùy ý a A . Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta có thể giả sử rằng 1m mM , {0}A A , trong đó A là tập con không đâu trù mật của 1m , và 0( ,0) {0}a t A . Với mỗi điểm mz , ký hiệu ( , )z t u với 1mt và u . Giả sử dãy 1{ ( , )} ( \ )mj j ja t u A hội tụ tới điể a. Xét các ánh xạ chỉnh hình : , ( ) ( , )j j jf X u f u f t u với mỗi 1j , và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 0 0 0 : * , ( ) ( , )t tf X u f u f t u . Dễ dàng thấy rằng 0* { }j tf f trong Hol( *, )X . Vì X là lồi đĩa yếu, nên dãy { }jf hội tụ đều tới ánh xạ chỉnh hình Hol( , )g X , trong đó 0* t g f . Đặt (0)g p . Khi đó { ( )} (0)j jf u g , tức là, { ( )}jf a p . Do vậy, dãy { ( )}jf a hội tụ đến p với bất kỳ dãy 1{ } ( \ )mja A hội tụ đến a. (*) Chọn một lân cận compact tương đối pV của p trong X sao cho pV được chứa trong một lân cận tọa độ chỉnh hình của p trong Y. Theo (*) tồn tại một lân cận mở 0 0T U của 0( ,0)a t trong 1m thỏa mãn 0 0(( \ ) ) pf T A U V . Với mỗi điểm 0 \{0}u U , xét ánh xạ chỉnh hình 1: , ( ) ( , )mu uf X t f t f t u . Vì 0( \ )u pf T A V kéo theo 0 0( \ ) ( )u u pf T A f T V . Do đó 0 0( ( \{0})) pf T U V . Theo định lý thác triển Riemann, ánh xạ f thác triển chỉnh hình được trên 0 0T U . Định lý được chứng minh. , 2.2.12. Hệ quả. ([7, Định lý 6.2.3, tr. 281]) Giả sử X là không gian phức hyperbolic đầy. Giả sử M là đa tạp phức với số chiều là m, và A là tập con không đâu trù mật trong không gian con phức B M với số chiều 1m . Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh hình : \f M A X đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình :F M X . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 2.2.13. Hệ quả. ([10, Định lý 1.6.28, tr. 35]) Giả sử X là không gian phức hyperbolic đầy, M là đa tạp phức và A M là tập con giải tích bất kỳ với đối chiều 2 . Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình từ \M A vào trong X đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình trên toàn bộ M. Hơn nữa, nếu 1{ }j jf f trong ( \ , )Hol M A X , thì 1{ }j jf f trong ( , )Hol M X , trong đó jf và f là các thác triển chỉnh hình từ M vào trong X của jf và f tương ứng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu về một số định lý thác triển hội tụ trong lý thuyết hàm hình học và đã đạt được một số kết quả sau: 1. Trình bày các định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình của M. Kwack, S. Kobayashi và K 3 -định lý. 2. Trình bày chứng minh định lý thác triển hội tụ Noguchi bằng ngôn ngữ họ chuẩn tắc đều. 3. Trình bày một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các siêu mặt giải tích (không nhất thiết có giao chuẩn tắc) của các đa tạp phức. Đó là các định lý 2.2.2, 2.2.6, 2.2.9, 2.2.10 và 2.2.11. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu về lý thuyết các không gian phức hyperbolic, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm, Hà Nội. [2] T. J. Barth (1970), Taut and tight complex manifolds, Proc. Amer. Math. Soc., 24, pp. 429-431. [3] R. Brody (1978), Compact manifolds and hyperbolicity, Trans. Amer. Math. J., 235, pp. 213-219. [4] J. E. Joseph and M. H. Kwack (1994), Hyperbolic imbedding and spaces of continuous extensions of holomorphic maps, The journal of Geometric Analysis, 4, pp. 361-378. [5] J. E. Joseph and M. H. Kwack (1997), Extension and convergence theorems for families of normal maps in several variables, Proc. Amer. Math. Soc., 125, pp. 1675-1684. [6] P. Kiernan (1972), Extensions of holomorphic maps, Trans. Amer. Math. Soc., 172, pp. 347-355. [7] S. Kobayashi (1998), Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 318. [8] A. Kodama (1979), On bimeromorphic automorphisms of hyperbolic complex spaces, Nagoya Math. J., pp. 1-5. [9] J. Noguchi (1985), Moduli spaces of holomorphic mappings into hyperbolically imbedded complex spaces and locally symmetric spaces, Invent. Math., 93, pp. 15-34. [10] J. Noguchi and T. Ochiai (1990), Geometric Function Theory in Several Complex Variables, Translation of Math. Monographs, Amer. Math. Soc., 80. [11] B. Shabat (1979), Introduction to Complex Analysis, Part I: Functions of Several Variables, Transl. Math. Monogr. Amer. Math. Soc., Providence. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 [12] B. Shabat (1992), Introduction to Complex Analysis, Part II: Functions of Several Variables, Transl. Math. Monogr. Amer. Math. Soc., Providence. [13] D. D. Thai (1991), On the D*-extension and the Hartogs extension, Ann. della Scuo. Nor. Super. di Pisa, Sci. Fisi. e Mate., Ser. 4, 18, pp. 13-38. [14] D. D. Thai and P. N. Mai (2003), Convergence and extension theorems in geometric function theory, Kodai Math. J., 26, pp. 179-198. [15] T. Urata (1982), The hyperbolicity of complex analytic spaces, Bull. Aichi Univ. Educ. 31 (Natural Sci.), pp. 65-75. [16] S. Venturini (1996), The Kobayashi metric on complex spaces, Math. Ann., 305, pp. 25-44. [17] M. G. Zaidenberg (1983), Picard’s theorem and hyperbolicity, Siberian Math. J., pp. 858-867.