Luận văn Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến

w B G . Vì f , f là các hàm chỉnh hình,  0( , ) Uf w và  0( , ) Uf w nhận giới hạn góc 0( , )f w tại mỗi điểm của  DA A UÇ Ç ta có   0 0( , ) ( , )  f w f w trên U , suy ra   0 0 0 0( , ) ( , )f z w f z w . Vì  0 0( , )z w WÎ ¢tuỳ ý nên f là duy nhất. Bƣớc 2: Trường hợp tổng quát. Áp dụng cách chứng minh giống như bước 1, để chỉ ra f nhận giới hạn góc f tại mọi điểm của W W ¢Ç P. Pflug và Nguyễn Việt Anh đã chứng minh f nhận giới hạn góc 0 0( , )f a w tại 0 0( , ) a w A GÎ ¢ và f nhận giới hạn góc 0 0( , )f z b tại 0 0( , ) z b D BÎ ¢ . Vậy định lý được chứng minh. 2.2.2. Dạng tổng quát của định lý Gonchar Trước hết ta có một vài định nghĩa sau. +) Với mỗi tập con mở 2 1  nU và mỗi hàm liên tục :  h U đồ thị  ' ' ' '( , ) ( , ) : ( , ) , = ( , ) nn   În n n n nz z z z x iy z x U y h z x được gọi là một siêu mặt tôpô trong n . +) Cho X là một đa tạp phức có số chiều n , một tập con A X được gọi là một siêu mặt tôpô nếu với mỗi điểm Îa A có một bản đồ địa phương ( , : )nU Uf quanh a sao cho ( )A Uf Ç là một siêu mặt tôpô trong n . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 +) Cho D X là một tập con mở và cho A D là một tập con mở (với phương diện tôpô phát sinh trên D ). Giả sử A là siêu mặt tôpô , một điểm Îa A được gọi là kiểu 1(tương ứng với D ) nếu với mỗi lân cận U của a có một lân cận mở V của a sao cho V U và V DÇ là một miền. Nếu a không thoả mãn điều kiện trên thì a được gọi là kiểu 2. Dễ dàng thấy rằng nếu a là kiểu 2 thì với mỗi lân cận U của a có một lân cận mở V của a và hai miền 1 2,V V sao cho 1 2,  V U V D V VÇ È và tất cả các điểm trong A VÇ là kiểu 1 tương ứng với 1V và 2V . P. Pflug và Nguyễn Việt Anh đã chứng minh đã chứng minh được mệnh đề sau: Cho X là một đa tạp phức và D là một tập con mở của X , A D là một tập con mở bị chặn và là siêu mặt tôpô. Với mọi 0 1 < đặt  : : ( , , ) 1 .  D z D z A DÎ <w Khi đó 1) A cũng là một tập mở của D và lim ( , , ) 0   z z A D z w với mọi AÎz . 2) Hơn nữa, ( , , ) ( , , ) , . 1    z A D z A D z DÎ w w 3) (Định lý duy nhất) Nếu ( )Of DÎ sao cho lim ( ) 0   z f z z với mọi AÎz , thì 0.f Từ mệnh đề trên Nguyễn Việt Anh đưa ra mệnh đề sau. Mệnh đề 2.2.2.1 Cho X là một đa tạp phức và D là một tập con mở của X , D được trang bị hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Giả sử A D là tập con mở bị chặn và là siêu mặt tôpô. Khi đó A là đa chính quy địa phương và  A A . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Kết quả chính của phần này là Định lý 2.2.2.2 Cho ,X Y là hai đa tạp phức, ,  D X G Y là hai tập mở khác rỗng. D (tương ứng G ) được trang bị hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Cho A (tương ứng B ) là một tập con mở khác rỗng của D (tương ứng G ) và cũng là một siêu mặt tôpô. Định nghĩa    : ( , ; , ), : ( , ) : , , ) ( , , ) 1     XW A B D G W z w D G z A D w B Gw wÎ ( < Cho :  W¦ thoả mãn (i) 0( , ) ( , )s s ¦ Î ÇC OW W ; (ii) ¦ bị chặn địa phương trên W ; (iii) A B½¦ liên tục. Khi đó tồn tại một hàm duy nhất   ,¦ Î O W sao cho   ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ), ( , ) W      z w f z w f Wz z z . Chứng minh: Phương pháp chứng minh gồm 3 bước. Trong bước 1 ta giả sử G là một miền trong  m và A là một tập con mở của D . Bước thứ 2 bằng phương pháp lát cắt và sử dụng định lý 1.6.5 ta chứng minh định lý trong trường hợp cặp ( , )D A và ( , )G B đủ tốt đối với phương pháp lát cắt. Trong bước cuối cùng chúng ta chuyển tính chỉnh hình từ trường hợp địa phương tới trường hợp tổng quát bằng việc sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình. Bƣớc 1: Giả sử G là một miền trong  m , và A là một tập con mở của D . Trước hết ta chứng minh bổ đề sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Bổ đề 2.2.2.3: Giữ nguyên giả thiết như trong định lý, với 1,2Î { }j , cho ( , )f Î Oj E D là một đĩa chỉnh hình và Îjt E sao cho 1 1 2 2( ) ( )t tf f và 2 , 0 1 1 ( ( )) 1, =1,2. 2 e d     i D A D j jf <\ Khi đó 1)Với 1,2Î { }j , hàm ( , ) ( ( ), ) jt w f t wf thuộc vào 1 0 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , ))s s   j jA E B E G A E B E GC OX XÇ Ç Çf f và liên tục trên 1( ( ) ) j A E Bf Ç trong đó 1( ) : : ( ) j jA t E t A{ Î Î }f f . 2) Với 1,2Î { }j , cho  jf là hàm duy nhất trong  1 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , )) X XC Oj jA E B E G A E B E Gf fÇ Ç Ç o thoả mãn  1( , ) ( ( ), ), ( , ) ( ( ) , ; , ) f fÎ ÇXj j jƒ t w f t w t w A E B E G thì   1 21 2( , ) ( , ),ƒ t w ƒ t w với mọi Îw G sao cho  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXj jt w A E B E G , 1,2Î { }j . Chứng minh bổ đề: Phần 1) được suy ra ngay từ giả thiết. Chứng minh phần 2). Cố định 0 Î Èw G B thoả mãn  1 0 ( , ) ( ( ) , ; , ) fÎ ÇXj jt w A E B E G với 1,2Î { }j . Ta cần chỉ ra rằng   1 21 0 2 0( , ) ( , ).ƒ t w ƒ t w Chú ý cả hai hàm  1 1( , )w f t wGÎ và  2 2( , )w f t wGÎ đều thuộc vào ( )O G , trong đó G là thành phần liên thông chứa 0w của tập mở 1 1,2 : ( , , ) 1 max ( ( ) , )   j j j w G w B G t A E Ew w ,f { } { Î < Ç } . Mặt khác với mỗi 1,2Î { }j và Îw B ,  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXj jt w A E B E G , kết hợp với đẳng thức 1 1 2 2( ) ( )t tf f ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32   1 21 1 1 2 2 2( , ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ), .  f f ΃ t w f t w f t w ƒ t w w B Theo định lý duy nhất suy ra   1 21 2( , ) ( , ), . Î Gƒ t w ƒ t w w Vậy   1 21 0 2 0( , ) ( , ).ƒ t w ƒ t w Vậy bổ đề được chứng minh. Bây giờ ta quay trở lại chứng minh bước 1. Cho W là tập tất cả các cặp điểm ( , ) ( )Î Èz w D G B với các tính chất có một đĩa chỉnh hình ( , )f Î O E D và Ît E sao cho ( ) t zf và  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇX jt w A E B E G Cho f f là hàm duy nhất trong  1 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , )) X XC Oj jA E B E G A E B E Gf fÇ Ç Ç o sao cho  1( , ) ( ( ), ), ( , ) ( ( ) , ; , ).f f fÎ ÇXƒ t w f t w t w A E B E G (2.17) thì hàm thác triển f được cho bởi  ( , ) : ( , ).f z w ƒ t wf (2.18) Từ phần 2) của bổ đề trên suy ra f hoàn toàn xác định trên W . Tiếp theo ta sẽ chứng minh WW= = (2.19) Thật vậy +) Chứng minh WW= = . Cho ( , ) Î Wz w , từ cách định nghĩa W ta có thể tìm thấy một đĩa chỉnh hình ( , )f Î O E D , một điểm Ît E sao cho ( ) t zf và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33  1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXt w A E B E G Từ 1( ( ), , ) ( , ( ) , )t A D t A E Ew f w f Ç ta thấy 1( , , ) ( , , ) ( , ( ) , ) ( , , ) 1  z A D w B G t A E E w B Gw w w f wÇ < Vậy ( , ) Îz w W suy ra WW= = . +) Chứng minh  W= W . Cho ( , ) Îz w W và cố định mỗi 0 > thoả mãn 1 ( , , ) ( , , ).  < w wz A D w B G (2.20) Áp dụng định lý Rosay và bổ đề 1.7.3 có một đĩa chỉnh hình ( , )f Î O E D sao cho (0)  zf và 2 , 0 1 1 ( ( )) ( , , ) . 2 e d      <f w i D A D z A D\ (2.21) Chú ý rằng 2 1 , 0 1 (0, ( ) , ) ( , , ) 1 ( ( )) 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1. D D e d           w f w f w w w i AA E E w B G w B G z A D w B G Ç < < \ trong đó bất đẳng thức đầu tiên suy ra từ việc áp dụng bổ đề 1.7.2, bất đẳng thức thứ hai có được từ (2.21) và bất đẳng thức cuối cùng suy ra từ (2.20). Do đó  1 (0, ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXw A E B E G suy ra ( , ) Î Wz w . Vậy WW= = . Từ ( 2.19) suy ra ƒ hoàn toàn xác định trên =W . Từ (2.17) và (2.19) và sử dụng cách chứng minh như trong bước 2, bước 3 của định lý 2.1 ta có  f f trên W và   ,¦ Î O W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Hoàn thành chứng minh bước 1. Bƣớc 2: Giả sử các cặp ( , )D A và ( , )G B đủ tốt. Không mất tính chất tổng quát giả sử ,   n mD G . Với mọi 1 0 2 < < định nghĩa 2 2 , 2 2 , : ( , ) : ( ) ,( ) ( ) ( 1,1) : ( , ) : ( ) ,( ) ( ) ( 1,1) : : ( , , ) , : : ( , , ) , : int G                     , , , , , , , , , , n n n n n n nz z z z , , m m m m m m mw w w w z E z z z z E z A E z E w w w w E w B E w D z D z A D w G w B G A E { Î , ( , ) < }, Î , { Î , ( , ) < }, Î , { Î < 1- } { Î < 1- } ( w w w w 2 2 2 2 , , ( 1,1) ( 1,1) , : int        , , , n , m w z w B E) ( ). (2.22) Trước hết chúng ta áp dụng phương pháp lát cắt Với mọi 2 2( 1,1)   nz¢ xét hàm ( , ) : ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ). ' ' ' 'n n n nz z z zf z w f z w z w A E B E GXÎ Ç (2.23) Áp dụng định lý của Gonchar ta có được một hàm thác triển    0(( ) , ;( ) , ) (( ) , ;( ) , ) ' ' ' ' ' ' 'z n n n nz z z z z zf A E B E G A E B E GC OX XÎ ( Ç )Ç ( Ç ) sao cho  ( , ) ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ). Î ÇX' ' ' ' 'z n n n n nz z z zf z w f z w z w A E B E G (2.24) Từ (2.22) và (2.24) ta xác định được một hàm mới  f trên ( , ; , ) A B D GX như sau:   ( , ), ( , ) ,( , ) : ( , ), ( , ) .         'z nf z w z w A Gf z w f z w z w D B Î Î (2.25) Áp dụng bước 1 ta có hàm thác triển    0( , ; , ) ( , ; , )    Î ÇX XC Of A B D G A B D G( ) ( ) thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35  ( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )    Î Xf z w f z w z w A B D G (2.26) Mặt khác từ (2.22) ta thấy 0 lim ( , ) ( , )  w wz A ,D z A,D và 0 lim ( , , ) ( , , )  w B G w B Gw w (2.27) Bằng cách dán các ánh xạ  1 0 2  < < ( )f lại với nhau ta có ánh xạ f    0 lim ( ) :        f W D B f f A G o È (2.28) Từ (2.23) và (2.27) ta thấy giới hạn trong (2.28) tồn tại và có tất cả các tính chất cần có trong định lý. Bước 3: Trường hợp tổng quát Tiếp tục xét các hàm sau với mọi 2 2( 1,1)   nz¢ và 2 2( 1,1)   mw¢ ( , ) : ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ). ( , ) : ( , ), ( , ) (( ,( ) ; ,( ) )     ' ' ' ' w' ' ' ' n n n nz z z z m m m mw w w f z w f z w z w A E B E G f z w f z z A B E D E X X Î Ç Î Ç (2.29) Áp dụng kết quả bước 2 ta có hai hàm thác triển tương ứng là       0 0 (( ) , ;( ) , ) (( ) , ;( ) , ) ( ,( ) ; ,( ) ( ,( ) ; ,( )     Î ( Ç )Ç ( Ç ), Î ( Ç )) Ç ( Ç )) X X X X C O C O ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' z n n n nz z z z z z w m m m mw w w w w w f A E B E G A E B E G f A B E D E A B E D E thoả mãn   ( , ) ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( ,( ) ; ,( ) ). B    Î Ç Î Ç X X ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' z n n n n nz z z z w m m m m mw w w w f z w f z w z w A E E G f z w f z w z w A B E D E (2.30) Từ (2.22) -(2.24) và (2.29)- (2.30) có thể kiểm tra được  ( , ) ( , ), ( , ) .  ¢ ¢ Îz n mwf z w f z w z w A B Vì thế ta có thể định nghĩa một hàm mới  f trên ( , ; , )   A B D GX như sau:    ( , ), ( , ) , ( , ) : ( , ), ( , ) .             'z n w n f z w z w A G f z w f z w z w D B¢ (2.31) trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Áp dụng định lý 2.1 suy ra hàm   0( , ; , )    Î XOf A B D G( )sao cho  ( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )      Î Xf z w f z w z w A B D G (2.32) Bằng cách dán các ánh xạ  1 0 2  < < ( )f lại với nhau để có ánh xạ sau    0 lim : .       f W f f W o (2.33) Sử dụng đồng nhất thức đầu tiên trong (2.27) và (2.29)- (2.32) suy ra giới hạn trong (2.33) là tồn tại. Hơn nữa  f f trên W và   ( ) ( )Î ÇC Of W W o. Vậy định lý đã được chứng minh. 2.3. Bài toán 1 trong trƣờng hợp tổng quát. Trong phần 2.1 và 2.2 chúng ta đã giải quyết được bài toán 1 trong một số trường hợp riêng biệt nhưng rất quan trọng. Những kết quả này cho chúng ta hy vọng rằng có thể giải quyết được bài toán 1 trong trường hợp tổng quát. Mục đích chính của phần này là chứng tỏ suy luận trên. Kết quả chính là định lý sau: Định lý 2.3.1 Cho , X Y là hai đa tạp phức, ,  D X G Y là hai tập mở, A (tương ứng B ) là tập con của D (tương ứngG ),D (tương ứngG ) được trang bị với một hệ các miền xấp xỉ , ( )  D I A( ) z a z a z (tương ứng , ( )  G I A( ) h b h b h . Giả sử ( , , ) 1 <w A D trên D và ( , , ) 1 <w B G trên G . Cho Z là không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. Khi đó với mỗi ánh xạ : f W Z thoả mãn các điều kiện sau: • ( , ) ( , )s s oÎ ÇC Of W Z W Z ; • f bị chặn địa phương dọc theo ( , ; , ) Ç ÇA D B G D GX ; • A Bf½ liên tục tại tất cả các điểm của ( ) ( )  Ç ÇA D B G . trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 thì tồn tại một ánh xạ duy nhất   ,Î Of W Z nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î ÇW W . Định ký 2.3.1 có một hệ quả quan trọng, trước khi nói đến hệ quả này ta cần giới thiệu một thuật ngữ. Một đa tạp phức M được gọi là một đa tạp Liouville nếu ( )P SH M không chứa bất kỳ một hàm bị chặn trên khác hằng nào. Ta thấy lớp các đa tạp Liouville chứa lớp các đa tạp compact liên thông. Hệ quả 2.3.2. Chúng ta giữ nguyên giả thiết và ký hiệu như trong định lý 2.3.1. Giả sử rằng G là một đa tạp Liouville. Khi đó với mỗi ánh xạ : f W Z thoả mãn các điều kiện sau: • ( , ) ( , )Î ÇC O oS Sf W Z W Z ; • f bị chặn địa phương dọc theo ( , ; , ) Ç ÇA D B G D GX ; • ½A Bf là hàm liên tục tại tất cả các điểm của ( ) ( )  Ç ÇA D B G , thì tồn tại một ánh xạ duy nhất   ,Î Of D G Z nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î ÇW W. Hệ quả 1 được suy ra từ định lý 2.3.1 khi ( , , ) 0 B Gw . Để chứng mịnh định lý 2.3.1 ta cần đưa ra định nghĩa và chứng minh các mệnh đề sau. Định nghĩa: Cho D là một tập mở bị chặn trong  n , 0,   ÎA D z D và 0 > .Cho A là một hệ các miền xấp xỉ của D . Giả sử A là đa chính quy địa phương (tương đối với A ) và ( , , ) 1 A D <w trên D . Khi đó tồn tại một ánh xạ bị chặn ( , )  nEOf và một tập con đếm được 0 EG với các tính chất sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 1) Mỗi điểm của 0G là một điểm trù mật của 0G , 0(0)  zf , ( )E Df ,  0 : ( ) , z f zG Î ÎE A và 0 0 1 1 .mes( ) ( , , ) . 2  z A DG < w 2) Cho ( , ) ( , ) C OD A D¦ Î È Ç sao cho ( )f D bị chặn, thì tồn tại một hàm bị chặn ( , )Î Og E sao cho  g f f trong một lân cận của 0 EÎ và ( ) ( )( ) g fz f z với mọi 0z Î G . Hơn nữa 0 0 ( , )G½Î GCg . Khi đó mỗi cặp 0( )Gf , được gọi là  - candidate của bộ ba 0( , , ).z A D Mệnh đề 2.3.3. Cho D là một tập mở bị chặn trong  n , 0,   ÎA D z D và 0 > .Cho A là một hệ các miền xấp xỉ của D . Giả sử A là đa chính quy địa phương (tương đối với A ) và ( , , ) 1 A D <w trên D . Khi đó tồn tại một ánh xạ bị chặn ( , )  nEOf và một tập con đếm được 0 EG với các tính chất sau: 1) Mỗi điểm của 0G là một điểm trù mật của 0G , 0(0)  zf , ( )E Df ,  0 : ( ) , z f zG Î ÎE A và 0 0 1 1 .mes( ) ( , , ) . 2  z A DG < w 2) Cho ( , ) ( , ) C OD A D¦ Î È Ç sao cho ( )f D bị chặn, thì tồn tại một hàm bị chặn ( , )Î Og E sao cho  g f f trong một lân cận của 0 EÎ và ( ) ( )( ) g fz f z với mọi 0z Î G . Hơn nữa 0 0 ( , )G½Î GCg . Chứng minh: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 Trước hết ta sẽ xây dựng f , để làm được điều này ta sẽ xây dựng một dãy   1 ( , )   f Ok k E D mà xấp xỉ f khi k . Điều này cho phép xác định ánh xạ : lim   k k f f , việc xây dựng dãy được chia ra làm 3 bước. Với 0 , 1< <r cho   , , , , , , , , : ( , ), . : : ( , ( , ), , , : , A         B B a r a r a r a r r a r a D D a r a A A z D z A a r D a A A A w Ç Î Î Ç < Î (2.34) trong biểu thức thứ hai ,a rD được trang bị hệ phát sinh của các miền xấp xỉ của A trong ,a rD . Không mất tính chất tổng quát giả sử (0,1)D B . Bước 1: Xây dựng 1f . Cho 0 : 3    và 0 : 1r . Cố định 0 10 3  < < và 0 10 3 < < r r Áp dụng bổ đề 1.7.3 ta có 1 ( , )f Î O E D thoả mãn 1 0(0) f z và 1 1 1 1 1 1 , 0 , 0 1 1 .mes( ( )) ( , , ) . 2       r rE A z A Df wÇ Với 1 1 1 0 1 ,( )   rE AfG Ç hàm 1f thoả mãn điều kiện thứ nhất của mệnh đề. Mặt khác sử dụng (2.34) và định nghĩa hàm cực trị tương đối và giả thiết A là đa chính quy địa phương ta có 1 10 , 0 ( , , ) ( , , ). w wrz A D z A D Do đó ta có thể chọn một tập con 1G của 1 1 1 0 1 ,: ( )   rE AfG Ç bao gồm các cung đóng rời nhau hữu hạn 11 ( ) G j j J vì vậy 1 11 0 , 0 0 0 1 1 .mes( ) ( , , ) 2 ( , , ) 2 , 2      G < w wrz A D z A D (2.35) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Và 1 1 1 1 1 1 1 , , sup , sup ( ) ( ) , . t t t t     t t t f f t G G < 2 < 2 Î j j r j J Bước 2: Xây dựng 1f k từ f k với mọi 1k . Bằng quy nạp ta có với 10 3   < < kk , 10 3 < < kk r r và ( , )f Î Ok E D sao cho 0(0) f k z , và tồn tại một tập con đóng Gk của 1 , 1( )   Ç ÇGf k kk r kE A gồm các cung đóng hữu hạn ,( ) G kk j j J sao cho Gk là compact tương đối trong phần trong của 1Gk và 1 1 1 1 1 .mes( ) 1 .mes( ) 2 , 2 2      G < Gk k k (2.36) đồng thời , ,, , sup , sup ( ) ( ) , , t t t t      G G < 2 < 2 t t t f f t k j k j k k k k kr j J và 1 12 .  k k k krf f G < Trong đó ta quy ước rằng bất đẳng thức cuối là rỗng khi 1k . Vì ,( ) Gf k kk k rA , nên từ (2.34) với mỗi ( )z fÎ Gk k có Îa A sao cho ,z Î k ka,rA thì ,( , ( , ), ) Ç <w z kk a r kA a r DB . Sử dụng giả thiết A là đa chính quy địa phương và (2.34) ta thấy , , , ,( , , ) ( , , ), ), 0 , 1. Ç Ç ( < <w wk k kr a r a r k a rz A D D z A a r D rB Suy ra với mỗi ( )z fÎ Gk k có Îa A sao cho , , ,( , , ) , 0 , 1.a a  k kr r r kA D D rw z Ç < < < Sử dụng ước lượng cuối ta có thể chọn 10 3   < < k k , 10 3 < < k k r r và 1 ( , )f Î Ok E D sao cho 1 0(0) k zf và tồn tại một tập con đóng 1Gk của 1 1 1 1 ,( )    Ç ÇGk kk r kE Af gồm các cung đóng hữu hạn 11, ( )   G kk j j J thoả mãn 1Gk là compact tương đối trong phần trong của Gk và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 1 1 1 1 .mes( ) 1 .mes( ) 2 , 2 2    G < Gk k k (2.37) đồng thời 1, 1, 1 1 1 1 1 , , sup , sup ( ) ( ) , ,             G G < 2 < 2 k j k j k k k k k t t t t r j J t t t f f t và 1 1 2 .     < k k k krf f Bƣớc 3: Xây dựng f từ dãy   1  k k f . Tóm lại ta đã xây dựng được một dãy tăng   1  k k G của các tập con đóng của E . Xét tập đóng mới 1 :     k k G từ (2.36) và (2.37) ta có 1 1 1 1 1 1 1 .mes( ) .mes( ) 2 .mes( ) 3 . 2 2 2         G G > Gk k kết hợp với (2.35) ta có tính chất (i) 1 1 0 0 1 0 1 1 1 .mes( ) 1 .mes( ) 3 ( , , ) 2 3 2 2 ( , , ) ,             G < G < z A D z A D w w mặt khác, từ cách xây dựng hàm 1f k ta có các tính chất sau: (ii) ,( ) ( )  G G k kk k k rAf f . (iii) 0 0 1 1, 1, 0 , 0 3 3 3       < < < <k kk k rr r và 1 1 1 2 .        < k k k k k krf f f f (iv) , ,, , sup , sup ( ) ( ) , ,      G G < 2 < 2 k j k j k k k k k t t t t r j J t t t f f t Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 (v) Với mỗi z Î G tồn tại một dãy   1k k j thoả mãn Îk kj J và z là điểm trong của ,G kk j , và 11, , G GÐ k kk j k j và , 1   z G kk j k . Đến đây ta có thể áp dụng định lý Khinchin - Ostrowski cho dãy   1  k k f suy ra dãy này hội tụ đều trên các tập con compact của E tới ánh xạ ( , )f Î O E D hơn nữa f nhận giá trị biên tại mọi điểm của G và , 1 ( )     G k kr k A Af . Vậy tồn tại ánh xạ bị chặn ( , )nf Î O E thoả mãn điều kiện thứ nhất của mệnh đề. Ta chứng minh f thoả mãn điều kiện thứ hai của mệnh đề. Vì 0(0) (0)  k z Df f và ( , ) ( , ) Î È ÇC Of D A D nên dãy   1    k kf f hội tụ đều tới ¦ f trên một lân cận của 0 Î E . Mặt khác ( )f D bị chặn theo giả thiết, theo định lý Montel họ   1 ( , )    Ok kf Ef là thường. Suy ra dãy   1    k kf f hội tụ đều trên các tập con compact của E . Cho g là ánh xạ giới hạn khi đó ( , )Î Og E và  g ¦ f trong một lân cận của 0 Î E . Hơn nữa từ (i) và (iii) và giả thiết ( , )Î ÈCf D A suy ra ( ) ( )( ) g fz f z với mọi z Î G .Từ (iii) và (v) ở trên suy ra ( , )G½Î GCg . Cuối cùng ta có thể chọn một tập con đa chính quy địa phương 0 G G (tương đối với hệ các miền xấp xỉ góc) thoả mãn 0mes ( ) mes ( )G G . Suy ra ( ) ( )( ) g fz z với mọi 0z Î G và 0 0 ( , )G½Î GCg .Vậy mệnh đề được chứng minh. Chú ý rằng ( )E Df nhưng nhìn chung ( )E Df . Mệnh đề 2.3.4. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 Cho , n m  D G là các tập mở liên thông bị chặn. D (tương ứng G ) được trang bị một hệ các miền xấp xỉ   , ( )  D IA zz z (tương ứng , ( ( ))  G IA hh h ). Cho A (tương ứng B ) là một tập con khác rỗng của D (tương ứng G ) sao cho A và B là đa chính quy địa phương. Đặt   : ( , ; , ), : ( , ; , ). : ( , ; , ), : ( , ; , ).     X X X X o o W A B D G W A B D G W A B D G W A B D G Khi đó với mỗi hàm bị chặn : f W thoả mãn ( , ) ( , ) Î ÇC O o S Sf W W và  | A B f liên tục tại mọi điểm của ( ) ( )  Ç ÇA D B G thì tồn tại một hàm bị chặn duy nhất   ,Î Of W nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î W . Chứng minh: Bƣớc 1: Xây dựng hàm   ,Î Of W . Chứng minh bước 1: Ta xác định f tại một điểm tuỳ ý ( , ) Îz w W như sau: Cho 0 > sao cho ( , , ) ( , , ) 2 1  <z A D w B Gw w (2.38) Áp dụng mệnh đề 2.3.3 và định nghĩa ở trên có một  -candidate ( , )Gf ( tương ứng ( , )Dy ) của ( , , )z A D ( tương ứng ( , , )w B G ). Hơn nữa sử dụng giả thiết ta thấy hàm ,ff y định nghĩa bởi , ( , ) : ( ( ), ( )), ( , ) ( , ; , ), Xt t t E Ef y¦ t ¦ f y t t Î G D o (2.39) cũng thoả mãn giả thiết của định lý nên ta có  ,f f y là hàm duy nhất trong  ( , ; , )G D E EX thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44  , ,( lim )( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , ) f y f yt t t Î G DXA f t f t t E E o (2.40) Từ (2.38) và mệnh đề 2.3.3 và bổ đề 1.7.2 ta có (0,0) ( , ; , )Î G DX E E . Khi đó ta có thể xác định giá trị của hàm thác triển f tại ( , )z w như sau   ,( , ) : (0,0)f z w f f y (2.41) Phần còn lại của bước này là chứng minh rằng f hoàn toàn xác định và chỉnh hình trên W . Cố định một điểm tuỳ ý 0 Îw G , một số 0 0 0: 0 1 ( , , )  < < w B Gw và một 0 - candidate 0 0( , )Dy tuỳ ý của 0( , , )w B G . Đặt   0 0( , ) : ( , ) ( , , ) 1  t w w tÎ D <W z D E z A D E, (2.42) Từ (2.41) ta xác định một hàm   00 :  f W như sau   00 , ( , ) : (0, )f z f f yt t (2.43) ở đây ta đã sử dụng một  - candidate ( , )Gf của ( , , )z A D với  được chọn tuỳ ý, vì thế 00 1 ( , , ) ( , , )  < < Dz A D Ew w t. Sử dụng (2.39) - (2.40) và (2.43) và cách chứng minh phần 2 của bổ đề 2.2.2.3 thì  0f hoàn toàn xác định trên  0W . Với mọi 1< <0 cho  : : ( , , ) A z D z A DwÎ < và  0: : ( , , ) E w E w EwÎ D < 1- (2.44) Từ (2.43) suy ra  0 ( , )¦ z chỉnh hình trên E với mỗi Îz A cố định. Ta có thể xác định một hàm mới  f trên ( , ; , ) A B D EX như sau  0 0 0 ( , ) ( , ) , ( , ) : ( , ( )) ( , ) .         f z z A E f z f z z D t t t y t t Î Î D (2.45) sử dụng giả thiết của hàm ¦ suy ra  ( ( , ; , ), )   ¦ Î XOS A B D E o . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 Vì A là một tập mở trong D và áp dụng chứng minh bước 2 của định lý 2.2.2.2 nên có một hàm duy nhất  ( ( , ; , ), )   XOf A B D EÎ thoả mãn  ( , ) ( , ), ( , ) .    Îf z w f z w z w A E Điều này kết hợp với (2.45) ta có  0f chỉnh hình trên  A G . Mặt khác từ (2.42) và (2.44) ta có   0 0 0 1 ( , ; , ) .      < < DW A D E A GX Vậy   00 ( , )Î Of W . Tóm lại ta thấy  0f trong (2.43) hoàn toàn xác định và chỉnh hình trên  0W . Bây giờ chúng ta chứng minh rằng ¦ trong (2.41) hoàn toàn xác định. Cố định một điểm tuỳ ý  0 0( , ) Îz w W , một 0 0 0: 0 1 ( , , )  w< < z D G , và hai 0 - candidate 1 1( , )Dy và 2 2( , )Dy của 0( , , )w B G . Cho     : ( , ) : ( , , ) ( , , ) 1 , 1,2 .    j jW z D E z A D E jt w w t D < Sử dụng đẳng thức (2.43) với  1,2Îj , định nghĩa một hàm  :  jjf W như sau   ,( , ) : (0, )jjf z f f yt t (2.46) (Ở đây ta sử dụng  - candidate ( , )Gf của ( , , )z A D với 0 > phù hợp) Cho t Îj E sao cho  0( ) , 1,2 j j w jy t . Khi đó từ (2.41) và (2.46) và sự xác định của  0f , ¦ ta có   1 21 2( ( ), ) ( ( ), )f t f tf t f t (2.47) với mọi t E và mọi  - candidate ( , )Gf của ( ( ), , )t A Df thoả mãn    1 1 2 2 1,2 ( , , ) : 1 max ( , , ), ( , , ) j    t A E Ew w t w tG < D D . Khi đó f hoàn toàn xác định trên W . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 Như trong (2.44), với mọi 1< <0 đặt         : : ( , , ) , : : ( , , ) , : : ( , , ) , : : ( , , ) .             A z D z A D B w G w B G D z z G w wÎ < Î < Î < 1- Î < 1- Kết hợp với (2.44) suy ra  0f trong (2.43) hoàn toàn xác định và chỉnh hình trên 0W , và f hoàn toàn xác định trên W . Từ đó ta có được ( , ) ( , ), , 0 1.   Î < <Of w D w B từ công thức (2.41), với f là đối xứng với hai biến ( , )z w ta cũng có ( , ) ( , ), , 0 1.A   Î Î < <Of z G z Từ (2.47) ta có  0 1 0 1 ,           < < < < W A G D B Với mọi điểm ( , ) Îz w W có một lân cận mở U của z ( tương ứng V của w ) thoả mãn 0( ( , ; , ), )Î XOSf U V U V . Theo định lý thác triển Hartogs cổ điển thì ( , ) Of U VÎ . Vậy  ( , )Î Of W . Bước 2: Chứng minh ( , )   ½ Î C A B f A B Chứng minh bước 2: Sử dụng giả thiết ta chỉ cần kiểm tra tính liên tục của  ½ A B f tại mỗi điểm 0 0( , ) ( )Î Ça w A G B và tại mỗi điểm 0 0( , ) ( )Î Çz b D A B . Để làm được điều này ta xét dãy 1( )   k ka A và dãy 1( ) ( )    Çk kw G B sao cho 0lim  k k a a và 0lim  k k w w . Ta cần chỉ ra rằng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 0 0lim ( , ) ( )  k k k f a w f a w, (2.48) Do W f½ bị chặn địa phương ta có thể chọn một lân cận mở liên thông V của 0w sao cho 1 sup ( , )   <k V k f a , theo định lý Montel có một dãy 1( )  p pk sao cho ( ( , )) pk f a hội tụ đều trên các tập con compact của V tới một hàm ( )Î Og V . Từ (2.48) suy ra 0( , ) g f a trên V , do ( , )Î CSf W nên 0( , ) f a g trên ÇB V . Mặt khác ÇB V không đa cực địa phương vì B là đa chính quy địa phương và 0 Îw B . Vậy theo nguyên lý duy nhất hì 0( , ) g f a trên V . Bƣớc 3: Chứng minh ƒ nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î W . Chứng minh bước 3: Ta chỉ cần chứng minh rằng  0 0 0 0 0( limsup ( , ) )( , )  f fA <z h z h với một điểm cố định tuỳ ý 0 0( , )z h Î W và một 0 cố định tuỳ ý sao cho 0 10< < . Không mất tính chất tổng quát giả sử 1 2  W f (2.49) Đầu tiên ta xét 0 0( , ) z h Î A B , do ( , ) Î Cf A B nên ta có thể tìm thấy một lân cận mở U của 0z trong  n ( tương ứngV của 0h trong  m ) vì vậy 2 0 0 0 ( ) ( ) ( , ) . 4    Ç Ç < A U B V f f z h Xét các tập mở 1 : : ( , , ) 2        D z D z A U D¢ w Ç < và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 1 : ( , , ) 2        G w G w B V G¢: wÎ Ç < (2.50) Từ (2.49) và (2.50) ta có 2 1 ( , , ) '0 0 0( , ) ( , ) ( ) , , . 4 2    wz z h zÇ Î Ç Îw B V Gf w f A U w G Vậy 0 0 0 ( , ; , ) ( , ) . 2   A U B V D G f f X Ç Ç <¢ ¢z h (2.51) Xét hàm ' ': ( , ; , ) Ç Çg A U B V E GX cho bởi 0 0( , ) ( , ) ( , ) g z w ƒ z w ƒ z h (2.52) Áp dụng kết quả của bước 1 ta có thể xây dựng một hàm  ( ( , ; , ), )¢ ¢Î Ç ÇXOg A U B V D G từ g giống như cách xây dựng hàm  ( , )Î Of W từ f . Hơn nữa kết hợp (2.41) và (2.52) ta có   0 0( , ) g f f z h trên  ' '( , ; , )A U B V D GX Ç Ç (2.53) Mặt khác từ công thức (2.52) và (2.51) ta thấy   ' ' 0 ( , ; , ) . 2   A U B V D G |g | Ç ÇX kết hợp với (2.53) và (2.50) suy ra  0 0 0 0 0limsup ( , ) ( , ) ( , ) 2    f z w fA z h z h( ) . Vậy lim f fA trên A B Bây giờ ta xét 0 0( , ) z h Î A G , sử dụng giới hạn cuối và cách chứng minh bước 2 ta có thể thấy rằng  0 0 0 0lim ( , ) ( , ) f fA z h z h Bƣớc 4: Chứng minh tính duy nhất của f . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 Chứng minh bước 4: Giả sử  ( , )Î Og W là một hàm bị chặn nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )z h Î W . Cố định một điểm tuỳ ý  0 0( , ) Îz w W ta cần chỉ ra rằng g thoả mãn   0 0 0 0( ) ( )f z w g z w, , .Vì cả hai hàm  0( )f z , và  0( , )g z đều bị chặn và chỉnh hình trên tập  - mức của G tương ứng đối với B :  , 0: : ( , , ) 1 ( , , )  BG w G w B G z A Dw wÎ < . Trong đó 0: ( , , )  z A Dw . Mặt khác chúng nhận A - giới hạn 0( , )f z h tại mọi điểm Bh và   0 0( , ) ( , )  f z g z trên , BG suy ra   0 0 0 0( , ) ( , )f z w g z w . Vậy f là hàm duy nhất. Ta có điều phải chứng minh. Chứng minh định lý 2.3.1: Theo giả thiết của ¦ ta thấy ¦ thác triển tới ánh xạ (cũng ký hiệu bởi) ¦ xác định trên ( , ; , ) È ÈA A B B D GX sao cho ¦ là chỉnh hình tách trên 0( , ; , ) È ÈA A B B D GX và ( , ; , ) A B D G f X ½ bị chặn địa phương. Với mỗi ( ), PÎP A U là song chỉnh hình tới một tập mở trong P d . Hơn nữa ánh xạ ( , ; , ) : P P P  B U G f f X ½ thoả mãn giả thiết của mệnh đề 2.3.4 Khi đó ta xác định được duy nhất ánh xạ   0( ( , ; , ), )P PÎ XOf P B U G Z thoả mãn  ( lim )( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )  Î ÇXA P Pf z w f z w z w P B B U G. (2.54) Cho 1 0 2  < sử dụng (2.54) ta có thể tập hợp họ   , ( )U G A    ½ PP P f( ) để được ánh xạ  ( , )A  Î Of A G Z. Tương tự với mỗi ( )ÎQ B có duy nhất ánh xạ   0( ( , ; , ), )Î XOQ Qf A Q D V Z thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50  ( lim )( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )  Î ÇXA Q Qf z w f z w z w A A Q D V . (2.55) Hơn nữa ta có thể tập hợp họ   , ( )   ( ½ QQ D V Q Bf ) để được ánh xạ  ( , )  Î OBf D B Z. Tiếp theo Nguyễn Việt Anh chứng minh     A B f f trên  A B . (2.56) Thực vậy từ (2.54) và (2.55) rõ ràng với mỗi ( )ÎP A và ( )ÎQ B và mỗi 1 0 2  < ta có   , ,( , ) ( , ), ( , ) U V  ÎP Q P Qf z w f z w z w . Mặt khác từ (2.54) và (2.55) thì  ( lim )( , ) ( lim )( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , )    Î XA AP Q P Qf z w f z w f z w z w P Q U V . Vì PU (tương ứng QV ) là song chỉnh hình tới một miền trong  Pd (tương ứng  Qd ) nên áp dụng tính duy nhất của mệnh đề 2.3.4 ta có   ( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , ) P Q P Qf z w f z w z w P Q U VX . suy ra (2.56) được chứng minh. Từ (2.56) chúng ta có thể định nghĩa một ánh xạ mới  0: ( , ; , )     f A B D G ZX như sau    , , : , .              A B f A G f f D B (2.57) Sử dụng công thức (2.57) ta có thể kiểm tra  0 ( ( , ; , ), )s    Î XOf A B D G Z Do A (tương ứng B ) là một tập con mở của D (tương ứng G ) nên ta có thể áp dụng định lý 2.1 cho  f với mọi 1 0 2  < . Từ đó ta có ánh xạ duy nhất   ( ( , ; , ), )    Î XOf A B D G Z sao cho trên trên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51    f f trên 0( , ; , )   A B D GX (2.58) Từ (2.54)-(2.55) và (2.57)-(2.58) ta có lim  A f f trên  ( , ; , ) Ç ÇA A B B D GX . Với mỗi 0 1 0 2   < và mỗi ( )  Îz w A B, có ( )ÎP A sao cho 0, Î Pz U vì thế ta xây dựng được ánh xạ   A f trong (2.57) và (2.58) như sau    0 ( , ) ( , ) ( , )  Pf z w f z w f z w Suy ra   0  f f trên  A B với 0 1 0 2   < . Khi đó   0  f f trên 0 0 ( , ; , )   A B D GX , 0 1 0 2   < . Vậy   1: lim   k k f f trên W . 2.4. Bài toán 2 Bài toán 2 khái quát hoá bài toán 1 đối với trường hợp ta thêm một tập các điểm kỳ dị M đối với chữ thập. Jarnicki - Pflug đã giải quyết được bài toán 2 trong trường hợp ,X Y là các miền Riemann-Stein, , D X G Y là các miền con. Định lý 2.4.1(Jarnicki-Pflug). Cho ,X Y là các miền Riemann-Stein, , D X G Y là các miền con và ,  A D B G là các tập con không đa cực. Giả sử ( , )D ZO ( tương ứng ( , )GO ) tách các điểm trong D (tương ứng trong G ). Cho M W là một tập con đóng tương đối mà là đa cực (tương ứng mỏng) trong các thớ trên A và B . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 Khi đó tồn tại một tập đa cực đóng tương đối ( tương ứng tập giải tích đóng tương đối ) M  W sao cho (i)   M W W MÇ Ç (ii) Với mỗi hàm f như trong giả thiết của bài toán 2 với  Z thì tồn tại một hàm duy nhất   ( \ , )f W MOÎ sao cho  f f trên ( ) \W W MÇ . Một trong các hướng nghiên cứu các định lý chữ thập với tập giải tích hoặc các điểm kỳ dị đa cực là các chữ thập trong trường hợp ,  A D B G (xem ví dụ [14,15,16,18]). Câu hỏi nảy sinh một cách tự nhiên rằng liệu có tồn tại một định lý chữ thập tổng quát với các điểm kỳ dị không? Tức là tồn tại dạng tổng quát của định lý 2.4.1 trong tinh thần của định lý 2.3.1. Một số kết quả gần đây trong công trình chung của Nguyễn Việt Anh và P.Pflug (xem [23, 24]) đã đưa ra một lời giải hợp lý cho vấn đề này. Từ đó Nguyễn Việt Anh đã nảy sinh ý tưởng là nghiên cứu như trong trường hợp không kỳ dị. Tức là, trước hết chúng ta nghiên cứu trường hợp cụ thể mà các chữ thập biên được định nghĩa trên song đĩa, sau đó sẽ mở rộng trường hợp này tới trường hợp tổng quát. Bằng cách sử dụng ý tưởng Jarnicki và Pflug trong [15, 17], áp dụng kỹ thuật các ánh xạ bảo giác, kỹ thuật các tập mức và các kết quả của Chirka (xem [6]), Imomkulov- Khujamov( xem [10]) và Imomkulov (xem [11]) Nguyễn Việt Anh đã chứng minh được phiên bản "đo được" với các điểm kỳ dị của định lý 1.6.5 như sau. Định lý 2.4.2. Cho  D G E và ,    A D B G là các tập con đếm được sao cho mes( ) 0, mes( ) 0A B> > . Giả sử D và G được trang bị với hệ các miền xấp xỉ góc. Xét chữ thập : ( , ; , )W A B D GX , M là tập con đóng tương đối của W thoả mãn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 • aM là đối cực ( tương ứng rời rạc) trong G với mọi a AÎ và bM là đối cực ( tương ứng rời rạc) trong D với mọi b BÎ . • ( ) M A BÇ Khi đó tồn tại một tập con đa cực đóng tương đối ( tuơng ứng tập con giải tích) M của W với hai tính chất sau: (i) Tập các điểm cuối của  \W M chứa ' '(( ) ( )) \ A G D B MÈ trong đó 'A (tương ứng 'B ) là ký hiệu tập các điểm trù mật của A ( tương ứng B ). (ii) Cho : f W M\ là hàm bị chặn địa phương thoả mãn • Với mọi a AÎ , ( , ) aG M f a ½\ chỉnh hình và nhận giới hạn góc ( , )f a b tại mọi điểm b BÎ . • Với mọi b BÎ , ( , ) bD Mf b ½\ chỉnh hình và nhận giới hạn góc ( , )f a b tại mọi điểm a AÎ . • A Bf½ là đo được. thì có một hàm duy nhất   ( , ) Of W M\ sao cho f nhận giới hạn góc f tại mọi điểm của '' ''(( ) ( )) \ A G D B MÈ , trong đó ''A (tương ứng ''B ) là tập con của 'A (tươngứng 'B )với ' ''mes( ) 0A A\ (tươngứng ' ''mes( ) 0B B\ ). Hơn nữa nếu M thì  M . Hành trình đi từ định lý 2.4.2 tới dạng tổng quát của nó khó hơn nhiều trong trường hợp không có điểm kỳ dị. Khó khăn xuất hiện khi chúng ta muốn chỉ ra f nhận A - giới hạn muốn có. Trong trường hợp không có điểm kỳ dị ta có thể chứng minh định lý tổng quát dựa trên định lý hai hằng số nhưng trong trường hợp với các điểm kỳ dị thì không được. Nguyễn Việt Anh đã tìm ra một cách khắc phục khó khăn này là sử dụng một số định lý chữ thập hỗn hợp đặc biệt với các điểm kỳ dị (xem [24]). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 Ta nhớ rằng một tập con S của một đa tạp phức M được gọi là mỏng nếu với mọi Mx Î có một lân cận liên thông ( MU U x) và một hàm chỉnh hình f trên U không đồng nhất không sao cho 1(0)U S fÇ . Sau đây là kết quả chính của Nguyễn Việt Anh là. Định lý 2.4.3. Cho ,X Y là hai đa tạp phức, cho , D X G Y là hai tập mở, A (tương ứng B ) là một tập con củaD (tương ứngG ),D (tương ứngG ) được trang bị một hệ các miền xấp xỉ   , ( )   A D I z a z a z (tương ứng   , ( )  A G I h b h b h Î ). Giả sử A A và B B và ( , , ) 1 A Dw < trênD và ( , , ) 1 B Gw < trênG . Cho Z là một không gian giải tích phức có tính chất thác triển Hartogs. M là một tập con đóng tương đối của W với các tính chất sau: • M là mỏng trong các thớ (tương ứng là đa cực địa phương trong các thớ) trên A và trên B . • (( ) ) (( ( )) .     M A D B M A B GÇ Ç Ç Ç Khi đó tồn tại một tập giải tích đóng tương đối (tương ứng một tập con đa cực địa phương đóng tương đố) M của W sao cho   M W MÇ và   End( )W \ M W \ M và với mọi ánh xạ : f W M Z\ thoả mãn các điều kiện sau: (i) 0( , ) ( , )s sC Of W \ M Z W \ M ZÇ (ii) f bị chặn địa phương dọc theo ( , ; , ) X A D B G D G \ MÇ Ç ; (iii) ( )A B \ Mf½ là liên tục tại tất cả các điểm của ( ) ( )  A D B GÇ Ç thì tồn tại ánh xạ duy nhất    ,Of W \ M Z nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm ( , )W \ Mz h . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 2.5. Một số ứng dụng Trong phần này chúng tôi chỉ giới thiệu một số áp dụng của định lý 2.4.3 với hệ các miền xấp xỉ nón. Cho X là một đa tạp phức tuỳ ý và D X là một tập con mở. + Ta nói rằng một tập A D là chứa được địa phương trong một đa tạp tổng quát nếu tồn tại một tập chỉ ( ít nhất đếm được) J , một họ các tập con mở ( ) j j JU của X và một họ các đa tạp tổng quát ( ) j j JM sao cho ,j jA U j JMÇ Î và  jj JA UÎ . Số chiều của jM có thể khác nhau với j JÎ . + Giả sử A D là chứa được trong một đa tạp tổng quát. Khi đó ta nói rằng A có cỡ dương nếu mes ( ) 0 J j jj A UM Ç > trong đó mes jM là ký hiệu của độ đo Lebesgue trên jM . + Một điểm a AÎ được gọi là điểm trù mật tương đối với A nếu nó là điểm trù mật tương đối với jA UÇ trên jM với j JÎ . Ký hiệu A' là tập tất cả các điểm trù mật tương đối với A . Giả sử A D có cỡ dương, ta trang bị cho D hệ các miền xấp xỉ nón giá trên A . Sử dụng các kết quả nghiên cứu của B. Coupet và B.Joricke (xem [7,19]) ta có thể thấy rằng A là đa chính qui địa phương tại tất cả các điểm trù mật tương đối với A và A ' A . Do đó từ định nghĩa độ đo đa điều hoà dưới ta có  '( , , ) ( , , ),  z A D z A D z Dw w . ước lượng này kết hợp với định lý 2.4.3 ta có hệ quả sau. Hệ quả 2.5.1. Cho ,X Y là hai đa tạp phức, cho , D X G Y là hai tập mở liên thông,A (tương ứng B ) là một tập con của D (tương ứng G ). D (tương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 ứng G ) được trang bị một hệ các miền xấp xỉ nón   , ( )  D I za z a zA (tương ứng   , ( ) G I h b h b hA ) giá trên A (tương ứng B ). Giả sử A và B có cỡ dương. Định nghĩa    ' ' ' ' : ( , ; , ), : ( , ) : , , ) ( , , ) 1      W A B D G W z w D G z A D w B G ¢ ¢ w w( < X trong đóA ¢ (tương ứngB ¢ ) là tập các điểm trù mật tương đối với A (tương ứng B ) . Cho M là mộ tập con đóng tương đối của W với các tính chất sau:  M là mỏng trong các thớ (tương ứng đa cực địa phương trong các thớ) trên A và trên B .  ( ) M A BÇ . Khi đó tồn tại một tập con giải tích đóng tương đối (tương ứng một tập con đa cực địa phương đóng tương đối) M của  'W sao cho với mọi ánh xạ : \ f W M Z thoả mãn các điều kiện sau: (i) 0( , ) ( , )s sf W \ M Z W \ M ZÇC O (ii) f bị chặn địa phương dọc theo ( , ; , )A B D G \ MX ; (iii) ( )A B \ Mf½ là liên tục thì tồn tại duy nhất ánh xạ    ' ,f W \ M ZO nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm '( , ) ( ) W W \ Mz h Ç . Áp dụng thứ hai là một định lý chữ thập hỗn hợp rất tổng quát sau. Hệ quả 2.5.2: Cho ,X Y là hai đa tạp phức, cho , D X G Y là các tập mở liên thông, A là một tập con của D và B là một tập con của G ,D được trang bị một hệ các miền xấp xỉ nón   , ( )  D I za z a zA giá trên A vàG được trang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 bị một hệ các miền xấp xỉ nón   , ( )  G I h b h b hA . Giả sử A có cỡ dương và  B B . Định nghĩa    ' ' ' ' : ( , ; , ), : ( , ) : , , ) ( , , ) 1      W A B D G W z w D G z A D w B G ¢ ¢ w w( < X trong đó A ¢ là tập các điểm trù mật tương đối với A . Cho M là tập con đóng tương đối của W với các tính chất sau:  M là mỏng trong các thớ ( tương ứng đa cực địa phương trong các thớ) trên A và trên B .  ( ) M A BÇ . Khi đó tồn tại một tập con giải tích đóng tương đối ( tương ứng một tập con đa cực địa phương đóng tương đối )M của  'W sao cho  ' '\ End( \W M W M ) và với mọi ánh xạ : \ f W M Z thoả mãn các điều kiện sau: (i) 0( , ) ( , )s sf W \ M Z W \ M ZÇC O (ii) f bị chặn địa phương dọc theo ( )A G \ M thì tồn tại duy nhất ánh xạ    ' ,f W \ M ZO nhận A - giới hạn ( , )f z h tại mọi điểm '( , )W \ Mz h . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 KẾT LUẬN Bài toán nghiên cứu về các ánh xạ chỉnh hình tách biến luôn là một bài toán mở với những người nghiên cứu. Với mục đích bước đầu tìm hiểu về hướng nghiên cứu này, luận văn trình bày một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến mà cụ thể là các kết quả nghiên cứu gần đây của NguyễnViệt Anh. Với mục đích đó, luận văn đã đạt được các kết quả sau đây: + Hệ thống kiến thức cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu. + Trình bày lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay trên các đĩa chỉnh hình. + Trình bày một cách hệ thống chi tiết một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách biến. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Hàm biến phức, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội. 2. O. Alehyane et J. M. Hecart (2004), Propriete de stabilite de la fonction extremale relative, Potential Anal., 21, no. 363-373. 3. O. Alehyane et A. Zeriahi (2001), Une nouvelle version du theoreme d'extension de Hartogs pour les applications separement holomorphes entre espaces analytiques, Ann. Polon. Math., 76, 245-278. 4. E. Bedford (1982), The operator ( )c ndd on complex spaces, Semin. P. Lelong - H. Skoda, Analyse,Annees 1980/81, Lect. Notes Math., 47, 1-4. 5. E. Bedford, B. A. Taylor (1982), A new capacity for plurisubharmonic function, Acta Math., 149, 1-40. 6. E. M. Chirka (1993), The extension of pluripolar singularity sets, Proc. Steklov Inst. Math. 200, 369-373. 7. B. Coupet (1992), Construction de disques analytiques et regularite de fonctions holomorphes au bord, Math. Z. 209, no. 2, 179-204. 8. A. A. Gonchar (2000), On Bogolyubov's "edge-of-the-wedge" theorem, Proc. Steklov Inst. Math., 228,18-24. 9. F. Hartogs (1906), Zur Theorie der analytischen Funktionen mehrer unabhangiger Veranderlichen, insbesondere uber die Darstellung derselben durch Reihen, welche nach Potenzen einer Veranderlichen fortschreiten, Math. Ann., 62, 1-88. 10. S. A. Imomkulov, J. U. Khujamov (2005), On holomorphic continuation of functions along boundary sections, Math. Bohem., 130, no. 3, 309- 322. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 11. S. A. Imomkulov (2005), On the holomorphic continuation of functions defined on a boundary pencil of complex lines, (Russian) Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat., 69, no. 2, 125-144; translation in Izv. Math. 69, no. 2, 345-363. 12. S. M. Ivashkovich (1987), The Hartogs phenomenon for holomorphically convex Kahler manifold, Math. USSR-Izv., 29, 225- 232. 13. M. Jarnicki and P. Pflug (2000), Extention of Holomorphic Function, de Gruyter Expositions in Mathematics 34, Walter de Gruyter. 14. M. Jarnicki and P. Pflug (2003), An extension theorem for separately holomorphic functions with analytic singularities, Ann. Pol. Math., 80, 143-161. 15. M. Jarnicki and P. Pflug (2003), An extension theorem for separately holomorphic functions with pluripolar singularities, Trans. Amer. Math. Soc., 355, No. 3, 1251-1267. 16. M. Jarnicki and P. Pflug (2003), An extension theorem for separately meromorphic functions with pluripolar singularities, Kyushu J. Math., 57, No. 2, 291-302. 17. M. Jarnicki and P. Pflug (2006), A remark on separate holomorphy, Studia Math., 174 (3), 309-317. 18. M. Jarnicki and P. Pflug (2007), A general cross theorem with singularities, Analysis (Munich), 27, no. 2-3, 181-212. 19. B. Joricke (1982), The two - constants theorem for functions of several complex variables, (Russian), Math. Nachr. 107, 17-52. 20. B. Josefson (1978), On the equivalênc between polar and globally polar sets for plurisubharmonic functions on n , Ark. Mat. 16, 109-115. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 21. N. V. Anh (2005), A general version of the Hartogs extension theorem for separately holomorphic mappings between complex analytic spaces, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., serie V, Vol. IV(2), 219-254. 22. N. V. Anh (2008), A unified approach to the theory of separately holomorphic mappings, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., serie V, Vol. VII(2), 181-240. 23. N. V. Anh and P. Pflug, Boundary cross theorem in dimension 1 with singularities, Indiana Univ. Math. J. 24.N.V. Anh and P. Pflug, Cross theorems with singularities, arXiv:math.CV.0901. 25. O. Oktem (1998), Extension of separately analytic functions and applications to range characterization of exponential Radon transform, Ann. Polon. Math., 195-214. 26. O. Oktem (1999), Extension of separately analytic functions in n m with singularities, Extension of separately analytic functions and applications to mathematical tomography ( Thesis), Dep. Math. Stockholm Univ. 27. P. Pflug and V-A. Nguyên (2004), A boundary cross theorem for separately holomorphic functions, Ann. Polon. Math., 84, 237-271. 28. P. Pflug and V-A. Nguyên (2007), Boundary cross theorem in dimension 1, Ann. Polon. Math., 90(2),149-192. 29. P. Pflug and V-A. Nguyên (2007), Generalization of a theorem of Gonchar, Ark. Mat., 105-122. 30. E. A. Poletsky (1991), Plurisubharmonic functions as solutions of variational problems, Several complex variables and complex geometry, Proc. Summer Res. Inst., Santa Cruz/CA (USA) 1998, Proc. Symp. Pure Math. 52, Part 1, 163-171. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 31. E. A. Poletsky (1993), Holomorphic currents, Indiana Univ. Math. J., 42, No.1, 85-144. 32. J. P. Rosay (2003), Poletsky theory of disks on holomorphic manifolds, Indiana Univ. Math. J., 52, No.1, 157-169. 33. B. Shiffman (1971), Extension of holomorphic maps into Hermitian manifolds, Math. Ann., 194, 249-258.