Luận văn Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG VÕ THỊ CẨM VÂN MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60. 46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐàNẵng–Năm2016 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG Phảnbiện 1: TS. Lê Hải Trung Phảnbiện 2: GS. TS. Lê Văn Thuyết Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016. Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đạihọc Đà Nẵng. - Thư viện trường Đi học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phương trình, bất phương trình mũ và logarit là một trong các chủ đề quan trọng trong chương trình toán bậc phổ thông trung học. Các dạng bài toán trên thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và có mối liên quan mật thiết với nhau. Việc dạy học các chủ đề này đã được đưa vào chương trình bậc trung học phổ thông và đóng vai trò trọng tâm trong việc trang bị kiến thức cho học sinh. Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp của chương trình phổ thông, không nêu được đầy đủ chi tiết tất cả dạng bài toán về phương trình và bất phương trình chứa mũ và logarit. Vì vậy học sinh thường gặp khó khăn khi giải các dạng toán nâng cao về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Mặc dù có nhiều tài liệu tham khảo về các chủ đề nói trên với các nội dung khác nhau nhưng chưa có chuyên đề riêng khảo sát về phương trình, bất phương trình mũ và logarit một cách hệ thống. Đặc biệt, nhiều dạng bài toán đại số về hàm số mũ và logarit có quan hệ chặt chẽ, khăng khít, không thể tách rời nhau và thường cần đến sự trợ giúp của công cụ đại số, giải tích và ngược lại. Do đó, để có điều kiện tìm hiểu thêm về chủ đề này và được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit” làm đề tài 2 cho luận văn của mình nhằm hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình, bất phương trình mũ và logarit kết hợp với các kiến thức về đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc và phân loại các phương trình, bất phương trình mũ và logarit và xây dựng một số bài toán mới. 2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu và tìm hiểu các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình mũ và logarit, vận dụng các phương pháp thích hợp trong đại số, giải tích để giải các bài toán nêu trên trong chương trình phổ thông trung học. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài toán về phương trình, bất phương trình mũ và logarit. Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp giải toán thích hợp trong đại số và giải tích để giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình mũ và logarit 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp các tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn. - Phân tích, nghiên cứu các tài liệu thu thập được để thực hiện đề tài. - Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các kết quả đang nghiên cứu. 3 5. Cấu trúc của luận văn Mở đầu - Chương 1: Các kiến thức cơ sở - Chương 2: Phương pháp giải phương trình mũ và logarrit. - Chương 3: Phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit. CHƢƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ sở về Hàm lũy thừa, hàm mũ và hàm logarit có liên quan đến việc nghiên cứu trong chương tiếp theo. Các nội dung trình bày trong chương chủ yếu được tham khảo trong các tài liệu [3], [5], [9]. 1.1. HÀM MŨ VÀ HÀM LŨY THỪA 1.1.1. Hàm lũy thừa a. Khái niệm hàm lũy thừa b. Đạo hàm của hàm lũy thừa với số mũ tổng quát 1.1.2. Hàm mũ a. Định nghĩa b. Tính chất hàm mũ c. Bảng biến thiên và đồ thị của hàm mũ d. Mệnh đề 1.2. HÀM LOGARIT 4 1.2.1. Định nghĩa 1.2.2. Định nghĩa 1.2.3. Tính chất hàm logarit 1.2.4. Bảng biến thiên và đồ thị hàm logarit 1.2.5. Định nghĩa 1.2.6. Số e và logarit tự nhiên 1.2.7. Tính chất của logarit CHƢƠNG 2 PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Trong chương này, chúng tôi trình bày một số phương pháp giải phương trình mũ và logarit.Các kiến thức trình bày trong chương được tham khảo ở các tài liệu [5], [6], [7] và [9]. 2.1. PHƢƠNG TRÌNH MŨ 2.1.1. Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số *Phƣơng pháp giải: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: f (x) g(x) a 1 a a 0 a 1 f (x) g(x)         hoặc    f (x) g(x) a 0 a a a 1 f (x) g(x) 0        . Sau đây là một số ví dụ minh họa: Ví dụ 2.1. Giải phương trình sau: 2x x 8 1 3x2 4   . 5 Ví dụ 2.2. Giải phương trình sau: 3 2 2x 2x 2 x x 18 4    . Ví dụ 2.3. Giải phương trình sau: 3x x 33x2 . 4 . 0,125 4. 2 . Ví dụ 2.4. Giải phương trình sau: 3x 1 5x 8(2 3) (2 3)    . 2.1.2. Phƣơng pháp logarit hóa *Phƣơng pháp giải : Ta sử dụng các công thức sau Dạng 1. f (x) a g(x) 0 a g(x) (0 a 1) f (x) log g(x)        . Dạng 2.  f (x) g(x)a b 0 a,b 1   f (x) g(x) a a alog a log b f (x) g(x).log b    . Dạng 3. f (x) g(x) a aa .b c f (x) g(x).log b log c    . Sau đây là một số ví dụ minh họa: Ví dụ 2.5. (Đại học kinh tế Quốc Dân 1998) Giải phương trình sau: x 1 x x5 .8 500   . Ví dụ 2.6. Giải phương trình sau: 2x x49.2 16.7 . Ví dụ 2.7. Giải phương trình : 2 x x 2 x x x 12 .3 4 .36  . 2.1.3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ *Phƣơng pháp giải: Phương pháp đặt ẩn phụ là một phương pháp khá phổ biến đối với các bài toán phương trình. Các bài toán giải phương trình mà ta có thể sử dụng phương pháp này, nếu dễ thì sẽ thấy ngay dấu hiệu của một biểu thức chứa biến nào đó lặp đi lặp lại nhiều lần, còn nếu khó hơn, thì ta cần một ít biến đổi khéo léo, chủ yếu đưa về hình dạng sơ khai của bài toán, là một phương trình với các biểu thức chứa biến lặp lại. Cũng có trường hợp bài toán yêu 6 cầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụ khác nhằm tạo ra một phương trình mới dễ dàng giải quyết hơn. Trong phần này, ta có các dạng ẩn phụ chủ yếu sau: Dạng 1. Ta có dạng tổng quát của bài toán trên là:  f (x)F a 0 . Với dạng này ta đặt t= f (x)a , t 0 và chuyển về phương trình F(t)=0, giải tìm nghiệm dương t của phương trình, từ đó ta tìm được x. Ta thường gặp dạng: 2f (x) f (x)m.a n.a p 0   . Dạng 2. f (x) f (x)m.a n.b p 0, a.b 1    . Đặt f (x) f (x) 1t a , t 0 b t     . Dạng 3. 2f (x) f (x) 2f (x)m.a n(a.b) p.b 0   . Chia 2 vế phương trình cho 2f (x)b và đặt f (x) a t ; t 0 b        . Ta có phương trình: 2mt nt p 0   . Dạng 4. Lượng giác hóa. Sau đây là một số ví dụ minh họa: Ví dụ 2.8. Giải phương trình sau: x x2.16 15.4 8 0   . Ví dụ 2.9. (Đại học tổng hợp TP.HCM khối D năm 1994- Đại học quốc gia TP.HCM năm 1996) Giải phương trình sau:     x x 2 3 2 3 4    . Ví dụ 2.10. Giải phương trình sau:        x x x 7 5 2 2 5 3 2 2 3 1 2 1 2 0         . Ví dụ 2.11. (Đại học quốc gia Hà Nội năm 1997) 7 Giải phương trình sau:     x x x 35 21 7 5 21 2     . Ví dụ 2.12. Giải phương trình sau: 1 1 1 x x x2.4 6 9  . Ví dụ 2.13. Giải phương trình sau: x x 1 x x 1 1 x 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2         . Ví dụ 2.14. Giải phương trình sau: 3x x 1 x4.3 3 1 9   . 2.1.4. Phƣơng pháp hàm số *Phƣơng pháp giải: Đoán nghiệm. Chứng minh nghiệm duy nhất. Ta thực hiện theo các bước sau: + Chuyển phương trình đã cho về dạng f (x) k . Nhẩm một nghiệm 0x x , ta chứng minh 0x x là nghiệm duy nhất. + Xét hàm số y f (x) . Dùng lập luận khẳng định tính đơn điệu của hàm số (giả sử hàm số đồng biến). + Nhận xét: ● Với 0 0x x f (x) f (x ) k    , suy ra 0x x là nghiệm của phương trình. ● Với 0 0x x f (x) f (x ) k    , suy ra phương trình vô nghiệm. ● Với 0 0 x x f (x) f (x ) k    , suy ra phương trình vô nghiệm. ● Tính chất 2.1. 8 Nếu hàm số y f (x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  a,b thì số nghiệm của phương trình: f (x) k (trên (a;b)) không nhiều hơn một và  f (u) f (v) u v, u,v a,b     . ● Tính chất 2.2. Nếu hàm số y f (x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến); hàm số y g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f (x) g(x) không nhiều hơn một. ● Định lý 2.1. (Định lý Lagrange) Cho hàm số  ( ) : ,f x a b  liên tục trên  ,a b và khả vi trên  ,a b . Khi đó tồn tại một số thực  ,c a b sao cho ( ) ( ) ( ) f b f a f c b a     . ● Định lý 2.2. (Định lý Rolle) Cho hàm số  ( ) : ,f x a b  liên tục trên  ,a b và khả vi trên  ,a b , đồng thời ( ) ( )f a f b . Khi đó tồn tại số thực  ;c a b sao cho ( ) 0f c  . Một số hệ quả thường dùng của các định lý này là: + Nếu hàm số  f (x) : a,b  liên tục trên  a,b và khả vi trên  a,b và phương trình f(x) = 0 có k nghiệm thuộc (a,b) thì f (x) = 0 có ít nhất k 1 nghiệm thuộc (a,b). + Nếu hàm số  f (x) : a,b  liên tục trên  a,b và khả vi trên  a,b , đồng thời đạo hàm cấp k của hàm số f (x) không đổi dấu trên f (x) 0 thì phương trình f (x) 0 có không quá k nghiệm phân biệt thuộc  a,b . Sau đây là một số ví dụ minh họa. 9 Ví dụ 2.15. Giải phương trình sau: x x x4 3 5  . Ví dụ 2.16. Giải phương trình sau:   1 x1 2x 1 2x 3 2x 2x 2x 1 3           . Ví dụ 2.17. Giải phương trình sau:  x x x x x x3 4 6 9 25 2.16    . 2.1.5. Phƣơng pháp đánh giá 2 vế *Phƣơng pháp giải: Nhiều bài toán có thể giải bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các: ● Tính chất của hàm mũ. ● Bất đẳng thức. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 2.18. Giải phương trình sau: x x 1 x x1 4 2 2 2     . Ví dụ 2.19. Giải phương trình sau: x 2 x 2 2x 1 2x 12 3 3 2      . Ví dụ 2.20. Giải phương trình sau: x x x x x x 2 4 1 3 24 1 2 1 2 4       . Ví dụ 2.21. Giải phương trình sau: 2x 2 4 2 x 13 3x 6x 7 1 2.3 .      2.2. PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT 2.2.1. Phƣơng trình đƣa về cùng cơ số *Phƣơng pháp giải: Ta sử dụng công thức: a a 0 a 1 log f (x) log g(x) f (x) g(x) 0        . Lưu ý: Đặt điều kiện cho f (x) 0 hay g(x) 0 tùy thuộc vào 10 độ phức tạp của f (x), g(x) . Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 2.22. (Học viện công nghệ bƣu chính viễn thông năm 2000) Giải phương trình:   2 2 9 33 1 x 1 log x 5x 6 log log x 3 2 2       . Ví dụ 2.23. Giải phương trình: 2 3 4 20log x log x log x log x   . Ví dụ 2.34. Giải phương trình:      2 2 24 5 20log x x 1 .log x x 1 log x x 1 .       2.2.2. Phƣơng pháp mũ hóa *Phƣơng pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản sau ● a b 0 a 1 log f (x) b f (x) a       . ● a blog f (x) log g(x) . Đặt t= alog f (x) . Khi đó: t ta f (x); b g(x)  , từ đó ta thu được phương trình mũ. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 2.25. Giải phương trình: x3 9 1 log log x 9 2x 2         . Ví dụ 2.26. Giải phương trình: 5 2 2 5log log x log log x . Ví dụ 2.27. Giải phương trình:   3 3 23log 1 x x 2log x   . 2.2.3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 11 *Phƣơng pháp giải: Việc giải phương trình logarit bằng phương pháp này cũng tương tự như phương trình mũ. Sau đây, chúng ta hãy cùng nhau xét các ví dụ nhỏ nhằm làm sáng tỏ hơn ý tưởng giải quyết các bài toán dạng này. Ví dụ 2.28. Giải phương trình sau: 0,04 0,21 log x 3 log 1    . Ví dụ 2.29. Giải phương trình sau:      2 2 24 5 20log x x 1 .log x x 1 log x x 1       . Ví dụ 2.30. Giải phương trình sau:   2 2 2 2 2log x. x 1 log x.log (x x) 2 0         . 2.2.4. Phƣơng pháp hàm số *Phƣơng pháp giải:Ta sử dụng các tính chất sau: Tính chất 2.3. Nếu hàm f (x) tăng (hoặc giảm) trong khoảng  a,b thì phương trình f (x) k có không quá một nghiệm trong khoảng  a,b . Tính chất 2.4. Nếu hàm f (x) tăng trong khoảng  a,b và hàm g(x) là hàm hằng hoặc một hàm giảm trong khoảng  a,b thì phương trình f (x) g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng  a,b (do đó nếu tồn tại  0 0 0x a,b : f (x ) g(x )  thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f (x) g(x) ). Tính chất 2.5. 12 Nếu hàm f (x) tăng (hoặc giảm) trong khoảng  a,b thì  f (u) f (v) u v; u, v a,b     . Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 2.31. Giải phương trình sau:  lg x 4 5 x   . Ví dụ 2.32. Giải phương trình sau: 2 2 4 2 x x 2 log 2x 6x 4 2x 4x 4           Ví dụ 2.33. Giải phương trình sau:    2 3 5log x log 2x 1 log 7x 9 3     . 2.2.5. Phƣơng pháp đánh giá *Phƣơng pháp giải: Nhiều bài toán có thể giải bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các: ● Tính chất của hàm logarit. ● Bất đẳng thức. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 2.34. Giải phương trình sau:    23 2log 9 x 1 log x 2x 5     . Ví dụ 2.35. Giải phương trình sau:   2 3 2 2 2 3x x log x 4 log x 2     . Ví dụ 2.36. Giải phương trình sau:    242 43 3 9log x 2 x 1 3log x log x 1     . Ví dụ 2.37. Giải phương trình:  3 2log 4 x x 5 1    . 13 2.3. HỆ PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 2.3.1. Các phép biến đổi tƣơng đƣơng *Phƣơng pháp giải: Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số, mũ hóa hoặc logarit hóa đã biết trong việc giải phương trình mũ và logarit để biến đổi hệ ban đầu về hệ mới dễ dàng giải được. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 2.38. Giải hệ phương trình sau: 2 4 2 y x y x log log x y       . Ví dụ 2.39. Giải hệ phương trình sau: 2 2 x y 6 log x log y 3      . Ví dụ 2.40. ( Đại học Quốc gia khối B năm 95) Giải hệ phương trình sau:     x y y x 3 3 4 32 log x y 1 log x y          . Ví dụ 2.41. (Đại học bách khoa năm 94) Giải hệ phương trình sau:   3 2 x x log y 3 2y y 12 .3 81y       . 2.3.2. Phƣơng pháp hàm số *Phƣơng pháp giải: Áp dụng phương pháp hàm số đối với một phương trình hoặc các phương trình trong hệ. Kết quả cho ta một hệ phương trình đại số mà ta có thể dễ dàng tìm được nghiệm của hệ ban đầu. Sau đây là một số ví dụ minh họa. 14 Ví dụ 2.42. Giải hệ phương trình sau: x y 2 2 1 2 x y e e log x 3log y 2           . Ví dụ 2.43. (Đại học Quốc Gia năm 95) Giải hệ phương trình sau:   x y 2 2 2 2 = y x xy 2 . x +y =2       Ví dụ 2.44. Giải hệ phương trình sau: 2x y 1 2x y 2x y 1 3 2 (1 4 )5 1 2 y 4x 1 ln(y 2x) 0               . 2.3.3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ *Phƣơng pháp giải: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về hệ đại số đã biết( hệ đối xứng, hệ đẳng cấp..). Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 2.45. Giải hệ phương trình sau:         3 22 loglog xy 2 2 9 3 2 xy x 1 y 1 1          . Ví dụ 2.46. Giải hệ phương trình sau: 8 8log y log x 4 4 x y 4 log x log y 1       . Ví dụ 2.47. (ĐH Quốc gia TP HCM 97) Giải hệ phương trình sau:         2 2 1 x 1 y 1 x 1 y log 1 2y y log 1 2x x 4 log 1 2y log 1 2x 2                 . 2.3.4. Phƣơng pháp đánh giá *Phƣơng pháp giải: Đối với nhiều bài toán ta có thể giải bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên: 15 + Tam thức bậc hai. + Tính chất hàm mũ và logarit. + Bất đẳng thức .. Ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của hệ hoặc biến đổi hệ về dạng đơn giản hơn. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 2.48. (ĐH Thái Nguyên khối A-1997) Giải hệ phương trình sau:   x y 2 2 2 2 e e log y log x xy 1 x y 1         . Ví dụ 2.49. (Đại học kinh tế TP.HCM năm 99) Giải hệ phương trình sau:   2 2 3 3 x y log y log x 2 xy x y 16         . Ví dụ 2.50. Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 x y 1 x x y 1 x y 1 2 .3 2 2 .3 2 .3 1          . CHƢƠNG 3 PHƢƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT Trong chương này, chúng tôi trình bày một số phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit, các bài toán tổng hợp. Các kiến thức 16 trình bày trong chương được tham khảo ở các tài liệu [5], [6], [7] và [9]. 3.1. BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ 3.1.1. Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số *Phƣơng pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản sau f (x) g(x) a 1 f (x) g(x) a a     . f (x) g(x) 0 a 1 f (x) g(x) a a      . Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 3.1. Giải bất phương trình: x 2x x 1 1 3 9       . Ví dụ 3.2. (Đại học Giao Thông Vận Tải năm 1998- Cao đẳng Sƣ phạm Nha Trang năm 2002) Giải bất phương trình:     x 3 x 1 x 1 x 310 3 10 3       . Ví dụ 3.3. (Đại học Bách khoa Hà Nội năm 1997) Giải bất phương trình: 2 x x 1 x 2x 13 3          . 3.1.2. Phƣơng pháp logarit hóa *Phƣơng pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản sau ● f (x) a a a 1 f (x) log ba b 0 a 1b 0 f (x) log b             . 17 ● f (x) a a b 0 f(x) coù nghóa b 0,a 1 a b f(x) log b b 0,0 a 1 f(x) log b                    . ● f (x) g(x) f (x) g(x)a b lga lgb f (x).lga f (x).lgb     hoặc có thể sử dụng logarit theo cơ số a hay b. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 3.4. Giải bất phương trình: x 1 x 2 x 2 x 13 5 3 5      . Ví dụ 3.5. (Đại học Sƣ phạm Hà Nội khối B, M, T năm 2001) Giải bất phương trình: x x 2 x x 2.3 2 1 3 2    . Ví dụ 3.6. Giải bất phương trình: 2x x49.2 16.7 . 3.1.3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ *Phƣơng pháp giải: Các bài toán giải bất phương trình mà ta có thể sử dụng phương pháp này, nếu dễ thì sẽ thấy ngay dấu hiệu của một biểu thức chứa biến nào đó lặp đi lặp lại nhiều lần, còn nếu khó hơn, thì ta cần một ít biến đổi khéo léo, chủ yếu đưa về hình dạng sơ khai của bài toán, là một bất phương trình với các biểu thức chứa biến lặp lại. Cũng có trường hợp bài toán yêu cầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụ khác nhằm tạo ra một bất phương trình mới dễ dàng giải quyết hơn. Sau đây, chúng ta hãy cùng nhau xét các ví dụ nhỏ nhằm làm sáng tỏ hơn ý tưởng giải quyết các bài toán dạng này. 18 Ví dụ 3.7. (Đại học sƣ phạm Hà Nội khối B, D năm 2000) Giải bất phương trình: 2x x x 4 x 43 8.3 9.9 0     . Ví dụ 3.8. Giải bất phương trình:     2 x x x log 55 21 5 21 2 .    Ví dụ 3.9. Giải bất phương trình: x 2x 12 2x 1 2 4x 2     . 3.1.4. Phƣơng pháp hàm số *Phƣơng pháp giải: Hướng 1: Thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Chuyển bất phương trình về dạng : f (x) k . + Bước 2: Xét hàm số y f (x) . Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu. + Bước 3: Nhận xét ● Với 0x x 0f (x) f (x ) k   , do đó bất phương trình vô nghiệm. ● Với 0x x 0f (x) f (x ) k   , do đó bất phương trình nghiệm đúng . Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là :  0T x ;  . Hướng 2: Thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Chuyển bất phương trình về dạng f (u) f (v) . + Bước 2: Xét hàm số y f (t) . Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu. + Bước 3: Khi đó f (u) f (v) u v   . 19 Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 3.10. ( Đại học Y Hà Nội năm 1999 ) Giải bất phương trình: x x x2.2 3.3 6 1   . Ví dụ 3.11. (Đại học Văn Lang năm 96) Giải bất phương trình: 2 x x 3 3 2x 0 4 2      . Ví dụ 3.12. Giải bất phương trình: x x 1 1 x 1e e x 1      . 3.1.5. Phƣơng pháp đánh giá *Phƣơng pháp giải: Đối với nhiều bất phương trình, ta có thể giải bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên: ● Tam thức bậc hai. ● Tính chất hàm mũ. ● Các bất đẳng thức cơ bản như: côsi, bunhiacopxki ● Tính chất giá trị tuyệt đối. Ta có thể nhanh chóng chỉ ra nghiệm của bất phương trình. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 3.13. Giải bất phương trình:   2x 1 2 x 15 x 1 .5 1    . Ví dụ 3.14. Giải bất phương trình:   2 2sin x cos x2 2 2 sin x+cosx  . Ví dụ 3.15. Giải bất phương trình: 2x x 1 x4 2 4 0   . 3.2. BẤT PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT 3.2.1. Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số và mũ hóa *Phƣơng pháp giải: Ta có các công thức cơ bản sau 20 a a a 1 0 f (x) g(x) log f (x) log g(x) 0 a 1 f (x) g(x) 0                 0 a 1 f (x) 0 g(x) 0 a 1 f (x) g(x) 0            . b a b a 1 0 f (x) a log f (x) b 0 a 1 f (x) a              b a b a 1 f (x) a log f (x) b 0 a 1 0 f (x) a              . Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 3.16. (Đại học khối B năm 2008) Giải bất phương trình: 2 0,7 6 x x log log 0 x 4       . Ví dụ 3.17. (Cao đẳng sƣ phạm Bắc Ninh năm 2004) Giải bất phương trình:     2 3 1 1 2 3 log x 3 log x 3 0 x 1      . Ví dụ 3.18. (Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1998) Giải bất phương trình: 21  23 1 1 3 3 1 log x 5x 6 log x 2 log x 3 2       . 3.2.2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ *Phƣơng pháp giải: Việc giải bất phương trình logarit bằng phương pháp này cũng tương như bất phương trình mũ. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 3.19. (Đại học ngoại thƣơng khối D năm 1998) Giải bất phương trình: 2 3 2 3log x log x 1 log x.log x   . Ví dụ 3.20. Giải bất phương trình:  2 33 2 3 2log x log 8x .log x log x 0   . Ví dụ 3.21. Giải bất phương trình: 3 2 3 2 x log x.log x 2log x log 4   . 3.2.3. Phƣơng pháp đánh giá *Phƣơng pháp giải: Đối với nhiều bất phương trình, ta có thể giải bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên: ● Tam thức bậc hai. ● Tính chất hàm logarit. ● Các bất đẳng thức cơ bản như: côsi, bunhiacopxki ● Tính chất giá trị tuyệt đối. Ta có thể nhanh chóng chỉ ra nghiệm của nó. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 3.22. Giải bất phương trình:  2 3 1 log x 2 4 log 8 x 1          . 22 Ví dụ 3.23. (Đại học Sƣ phạm I-91) Giải bất phương trình:    21 3 1 3 3 log 1 cos2x log 2 log sin x 1    . Ví dụ 3.24. Giải bất phương trình:     2 3 2 2 2 5 112 5x 3x log x 4x 11 log x 4x 11 0             . 3.2.4. Phƣơng pháp hàm số *Phƣơng pháp giải: ● Dạng 1: f (x) f (k) với k là hằng số. Xét hàm số y f (x) . Dùng lập luận để khẳng định hàm số f đơn điệu. + Nếu hàm số f đồng biến trên D thì f (x) f (k) x k   . + Nếu hàm số f nghịch biến trên D thì f (x) f (k) x k   . ● Dạng 2: f (u) f (v) . Xét hàm số y f (x) . Dùng lập luận để khẳng định hàm số f đơn điệu. + Nếu hàm số f đồng biến trên D thì f (u) f (v) u v   . + Nếu hàm số f nghịch biến trên D thì f (u) f (v) u v   . Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 3.25. Giải bất phương trình:    x x2 3log 2 1 log 4 2 2    . Ví dụ 3.26. Giải bất phương trình :  x x 1 x 22 22 .log x 40.2 4 x 1 .log x 40      . 23 Ví dụ 3.27. Giải phương trình:   2 2 2 2x 1 log 2x 6x 2 x 1      . 3.3. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP Trong mục này, ta sẽ tìm hiêu một số ví dụ tổng hợp về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarit liên quan đến các dạng toán đã nêu. Ví dụ 3.28. Giải phương trình sau: x 22 4 .log x 0  . Ví dụ 3.29. (Tuyển tập 45 năm tạp chí Toán học tuổi trẻ) Cho a,b 1 . Chứng minh rằng phương trình: 4 4 2 2 a b b a a blog y log x 3log x.log y 8log y.log    2 2a b16 log y log x 80 0    có 2 nghiệm và đặt là    1 1 2 2x ;y , x ;y thì 1 2 1 2x x y y 4    . Ví dụ 3.30. Tìm tất cả các bộ số thực  x;y thỏa mãn đồng thời   2 3x 2x 3 log 5 y 4 3 5       và   2 4 y y 1 y 3 8     . Ví dụ 3.31. Chứng minh phương trình   x x 1x 1 x   có đúng một nghiệm dương. Ví dụ 3.32. Giải phương trình: 2 2 1 3 log x log x 2 22x 2 . Ví dụ 3.33. Tìm tất cả các giá trị a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:  x x 2a.9 a 1 3 a 1 0     . Ví dụ 3.34. (Học sinh giỏi TP.Hà Nội 2005) Giải phương trình: 2 2 2 x x 3 9 4 cos x sin x3 2 2 2                 . Ví dụ 3.35. Giải phương trình sau: 2 2 22x 4 3x 9 5x 25 log 2 log log 5      24      2 2 23 2 3 5 3 1 log x 2 .log x 3 log x 5      . KẾT LUẬN Luận văn “Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit” đã thực hiện được mục tiêu và nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đã đạt được các nội dung sau: 1. Hệ thống một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit. 2. Đối với mỗi phương pháp, đều giới thiệu phương pháp giải chung và kèm theo nhiều ví dụ minh họa. 3. Dựa vào các phương pháp giải phương trình mũ và logarit đi giải một số hệ phương trình mũ và logarit tương ứng. Các kết quả đạt được trong luận văn tuy còn khá khiêm tốn nhưng đã góp phần giúp bản thân tìm hiểu và làm rõ hơn một số vấn đề liên quan của bài toán giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit. Mặc dù bản thân đã cố gắng rất nhiều trong quá trình làm luận văn, tuy nhiên do thời gian và năng lực còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót trong luận văn này. Rất mong quý thầy cô và các bạn đọc góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn.