Luận văn Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Dương Thị Thu Thuý MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC THỰC VÀ ÁP DỤNG Luận văn thạc sỹ toán học Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu Quy Nhơn, năm 2008 0Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 4 1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các định lý dạng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . . . . . . . . . 8 2 Tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm 15 2.1 Nhận xét về nguyên hàm của một số đa thức dạng đặc biệt . . . . . . . 15 2.2 Một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm . . . 19 2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên hàm cấp hai . . . . . . . . 20 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1Lời nói đầu Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số (do Gauss chứng minh) khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức (khác hằng số) luôn có ít nhất một nghiệm thực hoặc phức, thì bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với hệ số thực là vấn đề được quan tâm hàng đầu của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những kết quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu (thường được gọi là quy tắc dấu Descartes) để xác định số nghiệm dương của một đa thức thực dựa vào sự phân bố dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho. Tiếp theo là các khảo sát khác nhau về số nghiệm của đa thức trong một khoảng cho trước và các công thức biểu diễn đa thức theo các tính chất của chúng. Nhờ công cụ giải tích, đặc biệt là định lý Lagrange và bổ đề Rolle, việc khảo sát số nghiệm thực của các đa thức đạo hàm (đạo hàm của một đa thức thực) được tiến hành dễ dàng hơn. Đó là, khi đa thức P (x) ∈ R[x] có k nghiệm thực thì đa thức P ′(x) sẽ có ít nhất k − 1 nghiệm thực. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm (gọi là đa thức nguyên hàm) F1(x) = x∫ x1 P (t)dt (1) có đủ k + 1 nghiệm thực? Tương tự, khi nào thì một đa thức P (x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ cho một nguyên hàm cấp s (s > 1) (gọi là đa thức nguyên hàm cấp s) dạng Fs(x) = x∫ xs Fs−1(x)dt (2) có đủ k + s nghiệm thực? 2Luận văn nhằm tập trung giải quyết các câu hỏi trên. Đó chính là các định lý đảo của định lý Lagrange đối với lớp các đa thức thực. Đặc biệt, đối với những lớp đa thức không thỏa mãn các điều kiện (1) và (2), ta sẽ xét bài toán "nắn lại" đồ thị của đa thức đó bằng cách thêm một số nút nội suy để các điều kiện (1) và (2) được thoả mãn. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 2 chương Chương 1 bao gồm ba phần, trong phần đầu tác giả khái quát lại một số kiến thức bổ trợ về đa thức, đạo hàm của đa thức và quy tắc dấu Descartes. Phần thứ hai là các định lý dạng Viète, nêu cách biểu diễn đa thức qua hệ nghiệm của nguyên hàm kết hợp với phương pháp nội suy đa thức theo các yếu tố hình học. Phần tiếp theo, tác giả nêu lên định lý về số nghiệm của đa thức nguyên hàm. Định lý 1.11; 1.13 chỉ ra điều kiện cần và đủ để một đa thức với các nghiệm đều thực sẽ cho một nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực. Trên cơ sở đó trình bày điều kiện để tồn tại đa thức nguyên hàm tới cấp tuỳ ý cho trước sao cho số nghiệm thực của các nguyên hàm đó tăng lên theo từng cấp của nguyên hàm (Định lý 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.18 1.19 ). Chương 2 bao gồm ba phần, phần đầu cũng chính là phần trọng tâm của chương này. Tác giả đưa ra nhận xét về tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm có dạng đặc biệt và đưa ra cách "nắn lại" đồ thị của các đa thức đó để các đa thức nhận được thoả mãn điều kiện (1) và (2) (Định lý 2.1, 2.2). Phần tiếp theo, luận văn trình bày một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm. Phần cuối cùng, tác giả dựa vào các tính chất của hàm lồi, lõm để bước đầu xây dựng một số dạng bất đẳng thức đối với đa thức nguyên hàm. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tâm và nghiêm khắc của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Nhân dịp này, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với Giáo sư - người thầy đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu cũng như những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian tác giả theo học và nghiên cứu đề tài. Đồng thời, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Đại học và Sau Đại học, các anh chị, bạn bè lớp cao học Toán K8-Đại học Quy Nhơn và gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập, công tác và thực hiện đề tài luận văn này. 3Hệ thống các ký hiệu sử dụng trong luận văn - deg f(x) là bậc của đa thức f(x). - F0(x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x) ứng với hằng số c = 0, tức là F0(x) thoả mãn điều kiện F0(0) = 0. - Fc(x) là nguyên hàm (cấp 1) của đa thức f(x) ứng với hằng số c, tức là Fc(x) = F0(x) + c với c ∈ R. - F0,k(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c = 0, tức là F0,k(x) thoả mãn điều kiện F0,k(0) = 0. - Fc,k(x) là nguyên hàm cấp k của đa thức f(x) ứng với hằng số c, tức là Fc,k(x) = F0,k(x) + c với c ∈ R. - Hn là tập hợp đa thức với hệ số thực Pn(x) bậc n (n > 0) với hệ số tự do bằng 1 (Pn(0) = 1) và có các nghiệm đều thực. - Mk(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f(x). - R[x] là tập hợp đa thức với hệ số thực. - sign a là dấu của số thực a, tức là sign a :=  + khi a > 0 0 khi a = 0 − khi a < 0. 4Chương 1 Định lý dạng Viète và các tính chất liên quan 1.1 Một số tính chất cơ bản của đa thức Định nghĩa 1.1. Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng Pn(x) = anx n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0, trong đó các hệ số an, an−1, . . . , a0 là những số thực (hoặc phức) và an 6= 0, n ∈ N. Ta kí hiệu i.Bậc của đa thức Pn(x) là degPn(x). Do vậy deg Pn(x) = n. ii. an - hệ số bậc cao nhất (chính) của đa thức. Chú ý 1.1. Trong luận văn này ta chỉ xét các đa thức Pn(x) với các hệ số của nó đều là thực và gọi tắt là đa thức thực. Ký hiệu tập hợp các đa thức với hệ số thực là R[x]. Định nghĩa 1.2. Cho đa thức Pn(x) = anx n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 (an 6= 0), số α ∈ C được gọi là nghiệm của đa thức Pn(x) nếu Pn(α) = 0. Nếu tồn tại k ∈ N, k > 1, sao cho Pn(x) ...(x − α)k nhưng Pn(x) không chia hết cho (x − α)k+1 thì α được gọi là nghiệm bội bậc k của đa thức f(x). 5Đặc biệt, khi k = 1 thì α được gọi là nghiệm đơn, k = 2 thì α được gọi là nghiệm kép. Chú ý 1.2. Nghiệm của đa thức thực còn được gọi là không điểm của đa thức đó. Định lý 1.1 (Gauss). Mọi đa thức bậc n > 1 trên trường C đều có đúng n nghiệm nếu mỗi nghiệm được tính một số lần bằng bội của nó. Định lý 1.2. Mọi đa thức f(x) ∈ R[x] bậc n, với hệ số chính an 6= 0, đều có thể phân tích thành nhân tử dạng f(x) = an m∏ j=1 (x− di) s∏ k=1 (x2 + bkx + ck) với di, bk, ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0,m, n ∈ N∗. Hệ quả 1.1. (1) Số nghiệm phức của một đa thức với hệ số thực (nếu có) luôn luôn là số chẵn. (2) Nếu đa thức f(x) với hệ số thực chỉ có nghiệm phức thì f(x) là một đa thức bậc chẵn. (3) Nếu đa thức bậc n có k nghiệm thực k 6 n thì n và k cùng tính chẵn lẻ. (4) Đa thức bậc lẻ với hệ số thực luôn có ít nhất một nghiệm thực. Định lý 1.3. Mỗi đa thức thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực. Định lý 1.4 (Tính chất hàm của đa thức). Mọi đa thức P (x) ∈ R[x] đều xác định và liên tục trên R. Ngoài ra, khi Pn(x) = anx n + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0, an 6= 0, và x → +∞ thì P (x) → sign (an)∞. Khi x →−∞ thì P (x) → (−1)n sign (an)∞. Tiếp theo, ta xét một số tính chất của đa thức đạo hàm. Định lý 1.8. Nếu x0 là nghiệm bội bậc s (s ∈ N, s > 1) của đa thức f(x) ∈ R[x] và x0 cũng là nghiệm của nguyên hàm F (x) của f(x) thì x0 là nghiệm bội bậc s+ 1 của đa thức nguyên hàm F (x). 6Ta chuyển sang xét quy tắc dấu Descartes . Xét dãy số thực a0, a1, a2, . . .. Định nghĩa 1.3. Chỉ số m (m ∈ N,m > 1) được gọi là vị trí (chỗ) đổi dấu của dãy nếu có am−1am < 0 hoặc là am−1 = am−2 = · · · = am−(k−1) = 0 trong đó am−kam k > 2). Trong trường hợp thứ nhất thì am−1 và am, còn trong trường hợp thứ 2 thì am−k và am lập thành vị trí đổi dấu. Số lần đổi dấu (bằng số vị trí đổi dấu) của một dãy nào đó vẫn không thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn lại vẫn bảo toàn vị trí tương đối của chúng. Định nghĩa 1.4. Ta coi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa thức P (x) = anx n + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 chính là sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của dãy hệ số tuỳ ý an, an−1, . . . , a1, a0. Tính chất 1.7 (Quy tắc dấu Descartes). Giả sử N là số không điểm dương của đa thức f(x) = a0 + a1x+ a2x 2 + · · ·+ anxn và W là số lần đổi dấu trong dãy các hệ số của nó. Ta có W > N và W −N là một số chẵn. Tính chất 1.8. Cho đa thức f(x) = a0 + a1x + a2x 2 + · · · + anxn (an 6= 0) có các nghiệm đều thực, gọi W là số vị trí đổi dấu của dãy hệ số a0, a1, . . . , an và N là số không điểm dương của đa thức f(x) thì W = N. 1.2 Các định lý dạng Viète Định lý Rolle đã cho ta một thuật toán dựng các đa thức có các nghiệm đều thực từ các đa thức có các nghiệm đều thực cho trước bằng phép lấy đạo hàm. Ta đã biết rằng, mọi đa thức có các nghiệm đều thực đều được biểu diễn một cách duy 7nhất qua hệ nghiệm của nó. Đó chính là nội dung của định lý Viète quen thuộc trong chương trình toán của bậc phổ thông. Nhận xét rằng, định lý Viète đã chỉ ra mối quan hệ giữa bộ các nghiệm của đa thức với tất cả các hệ số trong đa thức đó. Tuy nhiên, ta cũng có thể phát biểu kết quả tương tự trong trường hợp khi ta còn chưa tường minh các nghiệm của một đa thức. Điều này rất có ý nghĩa khi xét các điều kiện để một đa thức có tất cả các nghiệm đều thực. Trước hết, ta xét một số dạng đa thức có bậc thấp. Bổ đề 1.2 (Định lý dạng Viète đối với tam thức bậc hai). Tam thức bậc hai với hệ số thực f(x) = 3x2 − 2bx + c có nghiệm thực khi và chỉ khi các hệ số b, c có dạng b = α + β + γc = αβ + βγ + γα. (1.1) trong đó α, β, γ ∈ R. Bổ đề 1.3 (Định lý dạng Viète đối với đa thức bậc 3). Đa thức bậc 3 với hệ số thực f(x) = −4x3 + 3ax2 − 2bx + c có các nghiệm đều thực khi và chỉ khi các hệ số a, b, c có dạng a = α + β + γ + δ b = αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ c = αβγ + αβδ + αγδ + βγδ (1.2) trong đó α, β, γ, δ ∈ R. Ví dụ 1.1. Cho α = 1, β = −1, γ = 2, δ = 4 thay vào công thức (1.2) ta thu được a = −5, b = 5, c = −5. Khi đó đa thức f(x) = −4x3 + 15x2 − 10x− 5 có 3 nghiệm thực là x1 ≈ −0, 33; x2 ≈ 1, 47; x3 ≈ 2, 61. Nhận xét rằng, nếu ta chọn m = −6(= αβγδ) thì đa thức nguyên hàm F (x) = −x4 + 5x3 − 5x2 − 5x + 6 có bốn nghiệm thực (x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3). Đối với các nhị thức bậc nhất ta luôn chọn được nguyên hàm là các tam thức bậc hai có nghiệm thực, kết hợp với bổ đề 1.2 và bổ đề 1.3, ta có hệ quả sau đây. 8Hệ quả 1.3. Mọi đa thức bậc nhỏ hơn 4 có các nghiệm đều thực luôn tồn tại nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực. Đối với các đa thức có bậc n (n > 4) thì điều kiện cần để ứng với một đa thức có các nghiệm đều thực cho ta ít nhất một nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực sẽ được trình bày ở mục sau. Tuy nhiên, từ hệ quả (1.2), ta có ngay điều kiện đủ cho các đa thức có bậc tuỳ ý. Định lý 1.10 (Định lý dạng Viète tổng quát). Đa thức f(x) = (n + 1)xn + (−1)na1xn−1 + (−1)2(n− 1)a2xn−2 + · · ·+ (−1)nan với các hệ số a1, a2, . . . , an có dạng ak = Ek(x¯), k = 1, 2, . . . , n (1.3) luôn luôn có các nghiệm đều thực, trong đó Ek(x¯) là các hàm đối xứng Viète bậc k theo các biến thực x1, x2, . . . , xn+1, 1.3 Định lý về số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm Nhận xét rằng, ứng với mỗi đa thức f(x) ∈ R[x] cho trước luôn tồn tại vô số nguyên hàm, chúng sai khác nhau một hằng số thực. Vì vậy, tuy đa thức đã cho có các nghiệm đều thực nhưng nhìn chung các nguyên hàm của nó không có tính chất đó. Về sau, để ngắn gọn trong cách trình bày, ta gọi mỗi nguyên hàm của một đa thức là đa thức nguyên hàm. Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Với những điều kiện nào thì đa thức f(x) = m∏ k=1 (x− xk)rk , x1 6 x2 6 · · · 6 xm, r1 + · · ·+ rm = n sẽ có ít nhất một nguyên hàm (đa thức nguyên hàm) của nó có các nghiệm đều thực? Đối với đa thức có bậc tuỳ ý, định lý 1.10 đã cho ta câu trả lời của điều kiện đủ. Ta dễ dàng chỉ ra điều kiện cần (bổ đề 1.2 và bổ đề 1.3) cho các đa thức có bậc không 9vượt quá 3. Tuy nhiên đối với các đa thức có bậc lớn hơn 3 thì bài toán trở nên phức tạp hơn nhiều. Chẳng hạn, ta xét đa thức bậc 4 f(x) = x4 − 2x3 + x2 có bốn nghiệm thực (x1 = x2 = 0, x3 = x4 = 1) nhưng nguyên hàm Fc(x) = 1 5 x5 − 1 2 x4 + 1 3 x3 − c có số nghiệm thực không vượt quá 3 với mọi c ∈ R. Thật vậy, do hàm số f(x) = x2(x− 1)2 > 0,∀x nên nguyên hàm F (x) luôn đồng biến, vì thế với mọi c ∈ R thì đường thẳng y = c cắt đồ thị của hàm số F0(x) = 1 5 x5 − 1 2 x4 + 1 3 x3 tại duy nhất một điểm. Đặc biệt, nếu chọn c = 0 thì giao điểm trên là điểm bội 3. Tiếp theo ta xét đa thức f(x) = 5x4 + 5x3 − 65x2 − 5x + 60 có bốn nghiệm phân biệt x1 = −4, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 3. Suy ra nguyên hàm F0(x) = x 5 + 5 4 x4 − 65 3 x3 − 5 2 x2 + 60x đạt cực đại tại các nút x1 = −4, x3 = 1 và đạt cực tiểu tại các nút x2 = −1, x4 = 3. Sau đây là đồ thị của nguyên hàm F0(x). 10 Quan sát đồ thị ta thấy số nghiệm của nguyên hàm Fc(x) = F0(x)− c phụ thuộc vào giá trị của hằng số c như sau: - Nếu c F0(x3) thì đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số F0(x) tại không quá ba điểm. Khi đó, nguyên hàm Fc(x) có không quá ba nghiệm thực. - Nếu F0(x2) 6 c 6 F0(x3) thì đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số F0(x) tại 5 điểm (kể cả điểm bội). Suy ra nguyên hàm Fc(x) có tất cả các nghiệm đều thực. Vậy với điều kiện nào thì một đa thức bậc 4 có các nghiệm đều thực sẽ cho một nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực? Ta có câu trả lời dưới dạng bổ đề sau đây. Bổ đề 1.4. Giả sử đa thức f(x) = 5(x− x1)(x− x2)(x− x3)(x− x4), x1 6 x2 6 x3 6 x4 có nguyên hàm F0(x) là đa thức bậc 5 với hệ số thực F0(x) = x 5 − a1x4 + a2x3 − a3x2 + a4x. Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại hằng số thực c sao cho nguyên hàm Fc(x) = F0(x)− c có các nghiệm đều thực là F0(x1) > F0(x4). (1.4) Sau đây là điều kiện để một đa thức bậc cao có các nghiệm đều thực cho một nguyên hàm cũng có các nghiệm đều thực. Định lý 1.11. Giả sử f(x) là đa thức bậc n (n > 4) có các nghiệm đều thực f(x) = (−1)n(n + 1)(x− x1)(x− x2)(x− x3) · · · (x− xn), x1 6 x2 6 x3 6 · · · 6 xn; F0(x) là một nguyên hàm của f(x) thoả mãn điều kiện F0(0) = 0. Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại số thực c sao cho nguyên hàm Fc(x) = F0(x)− c có các nghiệm đều thực là max 1≤i≤[n2 ] F0(x2i) 6 min 0≤j≤[n−12 ] F0(x2j+1). 11 Nhận xét rằng, định lý 1.11 đã chỉ ra điều kiện cần và đủ để các đa thức có các nghiệm đều thực tồn tại nguyên hàm bậc 1 cũng có các nghiệm đều thực. Vấn đề tiếp theo được đặt ra: Với điều kiện nào thì đa thức có các nghiệm đều thực có số nghiệm thực tăng lên theo mỗi cấp của nguyên hàm? Dễ dàng nhận thấy, đối với các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, tính chất trên hiển nhiên đúng. Sau đây ta khảo sát các đa thức bậc cao hơn. Định lý 1.12. Giả sử f(x) ∈ R[x] là đa thức bậc n (n > 4) có n nghiệm thực f(x) = (−1)n(x− x0,1)(x− x0,2) . . . (x− x0,n), x0,1 6 x0,2 6 · · · 6 x0,n. Gọi Mk(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f(x). Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại đa thức Fc,k(x) ∈ Mk(f) có n + k nghiệm thực là max 1≤i≤[n+k−12 ] { (−1)k+1F0,k(xk−1,2i) } 6 min 0≤j≤[n+k−22 ] { (−1)k+1F0,k(xk−1,2j+1) } (1.6) trong đó xk−1,i là nghiệm thứ i của nguyên hàm cấp k − 1, F0,k(x) là nguyên hàm cấp k của f(x) thoả mãn điều kiện F0,k(0) = 0 và F0,0(x) = f(x). Sau đây ta mở rộng định lý 1.11 cho các đa thức có số nghiệm thực nhỏ thua hoặc bằng bậc của đa thức đó. Trước hết ta xét một số trường hợp đặc biệt ứng với các đa thức có số nghiệm thực khá nhỏ. Bổ đề 1.5. ứng với mọi đa thức f(x) ∈ R[x] có một nghiệm thực cho trước đều tồn tại nguyên hàm có ít nhất hai nghiệm thực. Bổ đề 1.6. ứng với mọi đa thức f(x) ∈ R[x] có hai nghiệm thực cho trước đều tồn tại nguyên hàm có ít nhất ba nghiệm thực. Bổ đề 1.7. ứng với mọi đa thức f(x) ∈ R[x] có ba nghiệm thực cho trước đều tồn tại nguyên hàm có ít nhất bốn nghiệm thực. Các bổ đề nêu trên khẳng định rằng mọi đa thức có không quá ba nghiệm thực cho trước luôn tồn tại nguyên hàm có nhiều hơn đa thức đó ít nhất một nghiệm thực. Tuy nhiên, đối với các đa thức có số nghiệm thực lớn hơn ba tính chất đó không còn đúng nữa. 12 Chẳng hạn, xét đa thức f(x) = x6 − x4 − x2 + 1 có bốn nghiệm thực x1 = x2 = −1, x3 = x4 = 1 nhưng nguyên hàm Fc(x) = 1 7 x7− 1 5 x5− 1 3 x3 +x− c có không quá 3 nghiệm thực với mọi c ∈ R. Sau đây, ta khảo sát tiếp các điều kiện để mọi đa thức có bốn nghiệm thực thoả mãn các điều kiện đó đều tồn tại nguyên hàm có ít nhất năm nghiệm thực. Bổ đề 1.8. Giả sử đa thức f(x) = (x− x1)(x− x2)(x− x3)(x− x4)g(x), x1 6 x2 6 x3 6 x4, trong đó g(x) > 0 ∀x ∈ R. Giả sử F0(x) là một nguyên hàm của đa thức f(x) thoả mãn điều kiện F0(0) = 0. Khi đó, điều kiện cần và đủ để tồn tại số thực c sao cho nguyên hàm Fc(x) = F0(x)− c có ít nhất 5 nghiệm thực là F0(x1) > F0(x4). (1.5) Ta phát biểu kết quả mở rộng định lí 1.11 và bổ đề 1.8 dưới dạng định lý sau đây. Định lý 1.13. Giả sử đa thức f(x) bậc n (n > 5) có s (5 6 s 6 n) nghiệm thực có dạng f(x) = (−1)n(x− x1)(x− x2)(x− x3) · · · (x− xs)g(x), x1 6 x2 6 x3 6 · · · 6 xs, trong đó g(x) 6= 0, ∀x ∈ R. Giả sử F0(x) là một nguyên hàm của f(x) thoả mãn điều kiện F0(0) = 0. Khi đó điều kiện cần và đủ để tồn tại c ∈ R sao cho nguyên hàm Fc(x) = F0(x)− c có ít nhất s + 1 nghiệm thực là max 1≤i≤[ s2 ] F0(x2i) 6 c 6 min 0≤j≤[ s−12 ] F0(x2j+1). (1.12) 13 Định lý 1.13 đã chỉ ra tiêu chuẩn để nhận biết sự tồn tại nguyên hàm cấp 1 của đa thức f(x) sao cho nguyên hàm đó nhiều hơn đa thức f(x) một nghiệm thực. Nhưng khi cấp của nguyên hàm tăng lên thì có tồn tại hay không dãy nguyên hàm có số nghiệm thực cũng tăng lên theo cấp của nó? Trước hết ta xét các đa thức có số nghiệm thực nhỏ hơn 4. Định lý 1.14. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có 1 nghiệm thực. Gọi Ms(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức Fs(x) ∈ Ms(f) có ít nhất s + 1 nghiệm thực. Sau đây ta xét các đa thức có hai nghiệm thực theo phương pháp tương tự như trên. Định lý 1.15. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có hai nghiệm thực. Gọi Ms(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức Fs(x) ∈ Ms(f) có (s + 2) nghiệm thực. Định lý 1.16. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có ba nghiệm thực. Gọi Ms(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức Fs(x) ∈ Ms(f) có s + 3 nghiệm thực. Các định lý 1.14, 1.15, 1.16 đã khẳng định rằng các đa thức có số nghiệm thực ít hơn 4 luôn tồn tại dãy các nguyên hàm có số nghiệm thực tăng lên theo mỗi bậc của nguyên hàm. Tuy nhiên, việc mở rộng các định lý trên cho các đa thức bậc n có k nghiệm thực tuỳ ý (k < n) chỉ đúng trong các trường hợp đặc biệt. Cụ thể, ta có: Định lý 1.17. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m < n) nghiệm thực bội m. Gọi Ms(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, ứng với mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức Fs(x) ∈ Ms(f) có s + m nghiệm thực. Định lý 1.18. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m < n) nghiệm thực phân biệt. Gọi Ms(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp s của đa thức f(x). Khi đó, để ứng với mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức Fs(x) ∈ Ms(f) có s + m nghiệm thực thì F0,i(xj)F0,i(xj+1) < 0.(j ∈ {1, 2 . . . s + k − 1}; i ∈ {1, 2, . . . , s}) Trong đó xj, xj+1 là hai nghiệm liên tiếp nhau của đa thức nguyên hàm cấp i F0,i(x) 14 Bổ đề 1.9. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m < n) nghiệm thực x1 < x2 < · · · < xα−1 < xα = xα+1 = · · · = xβ < xβ+1 < < · · · < xγ−1 < xγ = xγ+1 = · · · = xδ < xδ+1 < · · · < xm Gọi M2(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp 2 của đa thức f(x). Khi đó, tồn tại đa thức F2(x) ∈ M2(f) có 2 + m nghiệm thực thì c2 ∈ ( maxF0,2(x 1 CT ),minF0,2(x 1 CD) ) , trong đó c2 = F0,2(x 1 α) = · · · = F0,2(x1β) = · · · = F0,2(x1γ) = · · · = F0,2(x1δ) (1.13) với x1i là nghiệm thứ i của nguyên hàm cấp 1, x 1 CT (x 1 CD) là nghiệm của đa thức F0,1(x) = 0 sao cho F0,1(x) chuyển dấu từ (-) sang (+) ( tương tự F0,1(x) chuyển dấu từ (+) sang (-) ) F0,2(x) là nguyên hàm cấp 2 của f(x) thỏa mãn F0,2(0) = 0, F0,0(x) = f(x) và 2 ≤ γ − β. (1.14) Nhận xét 1.1. Tương tự cách chứng minh bổ đề (1.9) chúng ta khái quát được kết quả tổng quát sau đây : Định lý 1.19. Giả sử đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m(m < n) nghiệm thực x1 < x2 < · · · < xα−1 < xα = xα+1 = · · · = xβ < xβ+1 < < · · · < xγ−1 < xγ = xγ+1 = · · · = xδ < xδ+1 < · · · < xm Gọi Mk(f) là tập hợp các nguyên hàm cấp k của đa thức f(x). Khi đó, để ứng với mọi số nguyên dương s đều tồn tại đa thức Fs(x) ∈ Mk(f) có k + m nghiệm thực thì ck = F0,k(x k−1 α ) = · · · = F0,k(xk−1β ) = · · · = F0,k(xk−1γ ) = · · · = F0,k(xk−1δ ) ∈ ( maxF0,k(x k−1 CT ),minF0,k(x k−1 CD ) ) , trong đó xk−1i là nghiệm thứ i của nguyên hàm cấp k − 1, xk−1CT (xk−1CD ) là nghiệm của đa thức F0,k−1(x) = 0 sao cho F0,k−1(x) chuyển dấu từ (-) sang (+) ( tương tự F0,k−1(x) chuyển dấu từ (+) sang (-) ) F0,k(x) là nguyên hàm cấp k của f(x) thỏa mãn F0,k(0) = 0, F0,0(x) = f(x) và k ≤ γ − β. (1.17) 15 Chương 2 Tính chất nghiệm của các đa thức nguyên hàm 2.1 Nhận xét về nguyên hàm của một số đa thức dạng đặc biệt Nhận xét 2.1. Cho đa thức f(x) với hệ số thực (đa thức thực) bậc n có n nghiệm thực. Khi đó luôn tìm được điều kiện cần và đủ để tồn tại đa thức nguyên hàm F (x) của nó có các nghiệm điều thực Vậy vấn đề đặt ra là: Không phải lúc nào nguyên hàm F (x) cũng có đủ n + 1 nghiệm thực, điều đó còn phụ thuộc vào sự phân bố nghiệm của đa thức đã cho f(x). Ta xét đa thức g(x) bằng cách thêm vào đa thức f(x) các 0-điểm (nghiệm) để khi đó x∫ x1 g(t)dt có nhiều hơn đa thức g(x) một nghiệm. Trước tiên ta sẽ xem xét các đa thức có dạng f(x) = xk0(x + λ1) k1(x + λ2) k2 · · · (x + λn)kn , trong đó λ1 1 k0 + k1 + k2 + · · ·+ kn = N. 16 Định lý 2.1. Cho đa thức f(x) = xk0(x + λ1) k1(x + λ2) k2 · · · (x + λn)kn , trong đó λ1 6= λ2 6= · · · 6= λn, k0, k1, . . . , kn ∈ N∗ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · ·+ kn = N. Đặt g(x) = f(x)(xn +Bn−1x2 +Bn−2x+ · · ·+B1x+B0), ta có deg g(x) = N +n. Khi đó điều kiện cần và đủ để tồn tại một đa thức nguyên hàm G(x) của g(x) có N +n+1 nghiệm là Bn−1 = n∑ i=1 λi ( N + n− ki ) N + n + 1 Bn−2 = N + n − 1 N + n + 1 [ n∑ i=0 ( 2 ki + 1 ) λ2 + n∑ i=1 i 6=j ( 1 ki + 1 )( 1 kj + 1 ) λiλj ] − −Bn−1 n∑ i=0 ( 1 ki ) λi − [ n∑ i=0 ( 2 ki ) λ2 + n∑ j=0i 6=j ( 1 ki )( 1 kj )] · · · B1 = n∑ i=0 k0 + 2 N + n + 1 n∏ j=1 λj(ki + 1) −B0ki λi B0 = k0 + 1 N + n + 1 n∏ i=1 λi Ví dụ 2.1. Cho đa thức f(x) = x2(x+ 1)3(x− 1)3. Đa thức này có một nguyên hàm tương ứng F0(x) có tối đa bốn nghiệm thực khi đường thẳng y = 0 đi qua F0(1) hoặc đi qua F0(1). Theo bổ đề (2.2), ta có k = 2, l = 3; λ1 = −1, h = 3; λ2 = 1. Do đó đa thức cần thêm (x2− 3 11 ), tức là cần thêm vào hai 0−điểm x1 = √ 3 11 ;x2 = − √ 3 11 , khi đó ta sẽ xét đa thức g(x) = f(x)(x2 − 3 11 ) = ( x10 − 36 11 x8 + 42 11 x6 − 20 11 x4 − 3 11 x2)(x2 − 3 11 ) có một nguyên hàm tương ứng là G0(x) = x3 11 [ x8 − 4x6 + 6x4 − 4x2 + 1 ] = x3 11 (x− 1)4(x + 1)4 có 11 nghiệm thực. 17 Ví dụ 2.2. Cho đa thức f(x) = x2(x+1)3(x−1)3(x+2)2. Đa thức này có một nguyên hàm tương ứng F0(x) có tối đa bốn nghiệm thực khi đường thẳng y = 0 đi qua F0(1) hoặc đi qua F0(1). Khi đó ta xét đa thức g(x) =f(x)(x3 + 22 14 x2 − 6 14 x− 6 14 ) có một nguyên hàm tương ứng là G0(x) = x3 14 (x + 1)4(x− 1)4(x + 2)3 có 14 nghiệm thực. Ta tiếp tục xét các đa thức có dạng f(x) = xk0(x+ λ1) k1(x + λ2) k2 · · · (x+ λn)kn(x + β1)(x + β2) · · · (x+ βm), trong đó λ1 6= λ2 6= · · · 6= λn, k0, k1, . . . , kn ∈ N∗ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · ·+ kn = N. Định lý 2.2. Cho đa thức f(x) = xk0(x+ λ1) k1(x + λ2) k2 · · · (x+ λn)kn(x + β1)(x + β2) · · · (x+ βm), trong đó λ1 6= λ2 6= · · · 6= λn, k0, k1, . . . , kn ∈ N∗ki ≥ 2, k0 + k1 + k2 + · · ·+ kn = N. Đặt g(x) = f(x)(xn0 + Bn0−1x 2 + Bn0−2x+ · · · + B1x + B0), n0 = n + m− 1. Ta được deg g(x) = N + 2m + n− 1, đặt deg g(x) = h− 1. Khi đó điều kiện cần và đủ để tồn tại một đa thức nguyên hàm G0(x) của g(x) có 18 N + n + 2m = h nghiệm là Bn0−1 = (h− 2)E1(β) + h n∑ i=1 λi − n∑ i=1 (ki + 1)λi h Bn0−2 = h− 2 h [ E21(β) + 2E1(β) n∑ i=1 (ki + 1)λi + 2E2(β) + n∑ i=1 ( 2 ki+1 ) λ2i + n∑ i=1i 6=j ( 1 ki+1 )( 1 kj+1 ) λiλj ] −Bn0−1 [ n∑ i=1 kiλi + E1(β) ] − n∑ i=1 ( 2 ki ) λ2i − n∑ i=1 ( 1 ki )( 1 kj ) λiλj −E1(β) n∑ i=1 kiλi −E2(β) · · · B1 = k0 + 2 h Em−1(β) Em(β) n∏ i=1 λi + n∏ j=1 λj h [ n∑ i=1 ki λi Em(β) + Em−1(β) ] B0 = k0 + 1 h n∏ i=1 λiEm(β). Ví dụ 2.3. Cho đa thức f(x) = x2(x + 1)2(x− 2). Đa thức này có một nguyên hàm tương ứng F0(x) có tối đa 3 nghiệm thực khi đường thẳng y = 0 đi qua F0(0) hoặc đi qua F0(−1). Ta xét đa thức g(x) = f(x)(x2 − 7 8 x− 6 8 ) có một nguyên hàm tương ứng là G0(x) = x3 8 [ x5 − x4 + 5x3 + x2 + x+ 4 ] = x3 8 (x + 1)3(x− 2)2. Đa thức G0(x) = 0 có 8 nghiệm thực. Ví dụ 2.4. Cho đa thức f(x) = x2(x+1)2(x− 2)(x− 1). Đa thức này có một nguyên hàm tương ứng F0(x) có tối đa 3 nghiệm thực khi đường thẳng y = 0 đi qua F0(0) hoặc đi qua F0(−1). Ta xét đa thức g(x) =f(x)(x3 − 17 10 x2 − 3 10 x + 6 10 ) có một nguyên hàm tương ứng là G0(x) = x3 10 [ x7 − 3x6 − 2x5 + x4 − 11x2 + 4 ] = x3 10 (x + 1)3(x− 2)2(x− 1)2. 19 Đa thức G0(x) = 0 có 10 nghiệm thực. 2.2 Một số bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức nguyên hàm Các định lý 1.11 và 1.13 đã chỉ ra tiêu chuẩn để nhận biết một đa thức có nghiệm thực cho trước có tồn tại hay không một nguyên hàm có số nghiệm thực nhiều hơn đa thức đã cho và phương pháp xác định nguyên hàm đó. Nhận xét rằng, phép tích phân không làm thay đổi dấu của các hạng tử trong đa thức.Như vậy khi hằng số c ∈ R của nguyên hàm Fc(x) = F0(x) − c xác định, ta có thể đánh giá được số nghiệm dương, số nghiệm âm của đa thức Fc(x) dựa vào quy tắc dấu Descartes. Bài toán 2.3. Cho đa thức f(x) = 5x(x − 1)(x − 2)(x − 3). Xác định hằng số c để nguyên hàm Fc(x) của đa thức f(x) có các nghiệm đều thực. Hãy cho biết số nghiệm dương của đa thức Fc(x) trong trường hợp đó. Bài toán 2.4. Cho đa thức f(x) = (−1)n(n+1)(x− x1)(x−x2)(x−x3) · · · (x−xn), (x1 6 x2 6 x3 6 · · · 6 xn) có n nghiệm thực. Giả sử nguyên hàm F0(x) của f(x) thoả mãn điều kiện max 1≤i≤[n2 ] F0(x2i) 6 min 0≤j≤[ n−12 ] F0(x2j+1). Chứng minh rằng với mọi α ∈ R luôn tồn tại c ∈ R sao cho đa thức F0(x)− c+αf(x) có các nghiệm đều thực. Bài toán 2.5. Cho đa thức x2 + αx + β có nghiệm thực với α, β ∈ R và đa thức f(x) ∈ R[x] có các nghiệm đều thực. Giả sử tồn tại F1(x), F2(x) lần lượt là các nguyên hàm cấp 1, cấp 2 của đa thức f(x) và có các nghiệm đều thực. Chứng minh rằng đa thức F2(x) + αF1(x) + βf(x) có các nghiệm đều thực. Bài toán 2.6. Cho đa thức x3 + αx2 + βx + γ có nghiệm thực với α, β, γ ∈ R và đa thức f(x) ∈ R[x] có các nghiệm đều thực. Giả sử tồn tại F1(x), F2(x), F3(x) lần lượt là các nguyên hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3 của đa thức f(x) chỉ có các nghiệm thực. Chứng minh rằng đa thức F3(x) + αF2(x) + βF1(x) + f(x) 20 có các nghiệm đều thực. Bài toán 2.7. Cho đa thức P (x) ∈ R[x] sao cho P (x) + P ′(x) = (x + 2)(x + 1)x(x− 1)(x− 2). Chứng minh rằng tồn tại hằng số c ∈ R để hàm số P (x)− ce−x có 6 nghiệm thực. Bài toán 2.8. Giả sử đa thức bậc lẻ P (x) có hệ số cao nhất bằng 1 và degP (x) = n, (n > 4), α ∈ R, α 6= 0 cho trước sao cho đa thức P (x) + αP ′(x) có k (k 6 n) nghiệm thực phân biệt là x1, x2, . . . , xk, (x1 < x2 < · · · < xk). Chứng minh rằng điều kiện để tồn tại c ∈ R sao cho hàm số P (x)− ce− xα có ít nhất k nghiệm thực là min 1≤i≤[ k−12 ] F0(x2i) > max 0≤j≤[ k2 ] F0(x2j+1), trong đó F0(x) = e x αP (x). 2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến nguyên hàm cấp hai Định lý 2.3. Nếu f(x) khả vi bậc hai và lồi trên I(a, b) thì với mọi cặp x0, x ∈ I(a, b), ta đều có f(x) = min u∈I(a,b) [f(u) + f ′(u)(x− u)]. Tương tự, ta cũng có biểu diễn đối với hàm lõm. Khi hàm số f(x) lõm và khả vi trên I(a, b) thì đồ thị của nó thuộc nửa mặt phẳng dưới tạo bởi tiếp tuyến tại mỗi điểm tuỳ ý thuộc đồ thị, tức là với mỗi cặp x0, x ∈ I(a, b), ta đều có f(x) 6 f(x0) + f ′(x0)(x− x0). (2.11) Dễ nhận thấy rằng (2.3) xảy ra đẳng thức khi x0 = x. Vậy ta có thể viết (2.3) dưới dạng f(x) = max u∈I(a,b) [f(u) + f ′(u)(x− u)]. (2.15) Vậy, chúng ta đã có một dạng biểu diễn hàm lồi và hàm lõm thông qua cực trị của các hàm số bậc nhất phụ thuộc tham biến. Phép biểu diễn này được gọi là (theo Bellman) 21 biểu diễn á tuyến tính và nó đóng vai trò quan trọng như là một công cụ hữu hiệu trong nhiều bài toán cực trị và tối ưu. Lớp hàm đơn điệu liên tiếp bậc (1,2) là lớp hàm đồng thời có đạo hàm bậc nhất và bậc hai không đổi dấu trên I(a, b). Định lý 2.4. Cho hai dãy số {xk, yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, . . . , n}, thoả mãn các điều kiện x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · ·+ yn. Khi đó, ứng với mọi hàm f1(t), f2(t), . . . , fn(t) đồng biến hoặc nghịch biến liên tiếp bậc (1,2) trên I(a, b), ta đều có f1(x1) f ′1(y1) + f2(x2) f ′2(y2) + · · · + fn(xn) f ′n(yn) > f1(y1) f ′1(y1) + f2(y2) f ′2(y2) + · · ·+ fn(yn) f ′n(yn) . (2.16) Tiếp theo, xét một số bất đẳng thức liên quan đến đa thức nguyên hàm cấp hai. Cho hàm số f(t) có F0,1(t);F0,2(t) không đổi dấu trênI(a, b), tức là trong định lý (2.4),(2.5),(2.6) ta thay hàm f(t) bằng F0,2(t) khi đó các định lý trên vẫn đúng. Vấn đề đặt ra là chúng ta phải tìm ra các lớp hàm f(t) và khoảng I(a, b) tương ứng sao cho F0,2(t) là hàm đơn điệu bậc (1,2). Định lý 2.5. Cho đa thức f(x) = (x − x0)n > 0, ∀x ∈ (x0; +∞) và hai dãy số {xk, yk ∈ (x0; +∞), k = 1, 2, . . . , n}, thoả mãn điều kiện x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · ·+ yn. Khi đó, F0,2(x1) F0,1(y1) + F0,2(x2) F0,1(y2) + · · ·+ F0,2(xn) F0,1(yn) > F0,2(y1) F0,1(y1) + F0,2(y2) F0,1(y2) + · · ·+ F0,2(yn) F0,1(yn) . (2.17) Định lý 2.6. Cho đa thức f(x) = (x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)g(x) x1 0. và hai dãy số {xk, yk ∈ (xn+2; +∞), k = 1, 2, . . . , n}, thoả mãn điều kiện x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · ·+ yn. Khi đó, F0,2(x1) F0,1(y1) + F0,2(x2) F0,1(y2) + · · ·+ F0,2(xn) F0,1(yn) > F0,2(y1) F0,1(y1) + F0,2(y2) F0,1(y2) + · · ·+ F0,2(yn) F0,1(yn) . (2.18) (với xn+2 là nghiệm lớn nhất của phương trình F0,2(x) = 0.) 22 Nhận xét 2.2. Đối với các đa thức f(x) ∈ R[x] có bậc bằng n và có m (m < n) nghiệm thực, trong đó có một số bộ nghiệm kép và khoảng cách giữa hai nghiệm kép lớn hơn hoặc bằng hai thì nội dung định lý 2.6 vẫn đúng. Nhận xét 2.3. Ta có thể dựa vào định lý (2.5) và (2.6) để đưa ra các bất đẳng thức tương tự. 23 Kết luận Các kết quả chính của luận văn "Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng " đã tập trung nghiên cứu, trình bày một số vấn đề sau: 1. Luận văn đã chứng minh điều kiện cần và đủ cho những lớp đa thức f(x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ cho ta một nguyên hàm (gọi là đa thức nguyên hàm) có đủ k + 1 nghiệm thực Tương tự, cho một đa thức f(x) ∈ R[x] với k nghiệm thực cho trước sẽ cho một nguyên hàm cấp s s > 1 (gọi là đa thức nguyên hàm cấp s) dạng Fs(x) = x∫ xs Fs−1(x)dt có đủ k + s nghiệm thực. 2. Đối với các lớp đa thức dạng đặc biệt f(x) với deg f(x) = k nhưng F1(x) = x∫ 0 f(t)dt không có đủ k + 1 nghiệm thực, thì luôn tồn tại cách bổ sung thêm vào các 0−điểm để đa thức mới g(x) có deg = n sao cho G1(x) = x∫ 0 g(t)dt có đủ n + 1 nghiệm thực. 3. Dựa các tính chất của hàm lồi, lõm để bước đầu xây dựng một số bất đẳng thức xuất phát từ nguyên hàm của một số lớp đa thức đặc biệt. 4. Luận văn trình bày một số dạng bài toán khảo sát tổng quát số nghiệm của đa thức nguyên hàm, từ đó chúng ta có thể áp dụng vào một số hàm cụ thễ để tạo ra một lớp bài tập cho học sinh về đa thức nguyên hàm. 24 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo Dục. [2] Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận, Nguyễn Thuỷ Thanh, 2000, Phép tính vi phân và tích phân hàm một biến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thuỷ Thanh, 2002, Giới hạn dãy số và hàm số, NXB Giáo Dục. [4] Nguyễn Văn Mậu, 2004,Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ,NXB Giáo Dục. [5] Nguyễn Văn Mậu, 2006,Bất đẳng thức, định lý và áp dụng,NXB Giáo Dục. [6] Nguyễn Văn Mậu, 2007, Nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục.