Luận văn Một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

R- môđun. Khi đó ta có: 5 i. ( / )E R p là hạng tử trực tiếp của ( )E M khi và chỉ khi As ( )s M∈p . ii. { }As ( ( / ))s E R =p p . Định nghĩa 1.2.6. Cho M là một R-môđun, phép giải nội xạ tối tiểu của M là một phép giải nội xạ của M: 0 10 1 20 .....d dM E E Eε→ → → → → trong đó 0 1 2 1( ), (coker ), (coker ),....E E M E E E E dε= = = Mỗi phép giải nội xạ tối tiểu là duy nhất (sai khác nhau một đẳng cấu). Theo định lý về phân tích môđun nội xạ ta có: ( , ) ( ) ( / ) i Mi Spec R E E R µ ∈ = ⊕ p p p Trong đó ( , )i Mµ p là số bản sao của ( / )E R p trong tổng trực tiếp, ta gọi ( , )i Mµ p là số Bass thứ i của M theo p . Định lý 1.2.7.(Bass) Cho ( )Spec R∈p , ( ) Rk R= p p p p và M là một R-môđun. Khi đó ta có: ( ) ( )( , ) dim Ext ( ( ), ) dim (Ext ( / , )) i i i k R k RM k M R Mµ = =pp p p pp p p 1.3. Dãy chính quy – độ sâu Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R-môđun. Dãy các phần tử 1 2, ,...., nx x x trong R được gọi là dãy M- chính quy nếu 1 2( , ,...., )nx x x M M≠ và ix không là ước của không trong 1 2 1( , ,...., )i M x x x M− với mọi 1, 2,...i n= . Định nghĩa 1.3.2. Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của Rthỏa mãn IM M≠ . Ta định nghĩa độ sâu của M trong I là: 6 { }1depth ( , ) sup | ( ,..., )R nI M n x x M I= laø daõy - chính quy trong Nếu ( , )R m là vành địa phương thì ta ký hiệu: depth : depth ( , )R RM M= m Định lý 1.3.3. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R thỏa mãn IM M≠ . Ta có: depth ( , ) inf{ | Ext ( / , ) 0} inf{depth | ( )} i R R R I M i R I M M V I = ≠ = ∈ p p p Mệnh đề 1.3.4. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R thỏa mãn IM M≠ . Ta có: depth inf{ | ( , ) 0}R iM i Mµ= ≠p p p . 1.4. Số chiều – hệ tham số Định nghĩa 1.4.1. Cho vành R. Số chiều của R, ký hiệu dim(R) chính là supremum của độ dài những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố trong R: 0 1dim sup{ | .... , ( ) 0,1,..., }n iR n Spec R i n= ∃ ⊂ ⊂ ⊂ ∈ ∀ =p p p p Cho M là một R-môđun thì số chiều của M chính là supremum của độ dài những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố trong Supp(M): 0 1dim sup{ | .... , Supp(M), 0,1,..., }n iM n i n= ∃ ⊂ ⊂ ⊂ ∈ ∀ =p p p p Nếu M = 0 ta đặt dim M= –1. Mệnh đề 1.4.2. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh.Ta có dim dim( / Ann( )) dim( ) dim / (Ann( ) Ann( )) M R M M N R M N = ⊗ = + Định nghĩa 1.4.3. Cho ( , )R m là vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn sinh. Đặt 1 2 1d inf{ | , ,...., : ( / ( ,..., ) ) { }},n nn x x x Supp M x x M= ∃ ∈ =m m dãy 7 1 2, ,...., dx x x ngắn nhất các phần tử trong m thỏa 1( / ( ,..., ) ) { }dSupp M x x M = m được gọi là một hệ tham số của M. Mệnh đề 1.4.4. Cho ( , )R m là vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn sinh. Dãy 1 2, ,...., dx x x là một hệ tham số của M khi và chỉ khi nó là dãy ngắn nhất các phần tử trong m thỏa mãn 1 2( , ,...., ) Ann( )dx x x M+ là iđêan m -nguyên sơ. Định lý 1.4.5. Cho ( , )R m là vành địa phương, 0M ≠ là R-môđun hữu hạn sinh, d( )M là độ dài của hệ tham số của M. Khi đó ta có: d( ) dimM M= Mệnh đề 1.4.6. Cho ( , )R m là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh. Một dãy M-chính quy có thể mở rộng thànhmột hệ tham số của M. Từ đây ta suy ra depth dimM M≤ . Mệnh đề 1.4.7. Cho ( , )R m là vành địa phương và 1 2, ,...., nx x x là một dãy trong m , M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có: 1 dim dim( ,.., )n M M nx x M ≥ − . dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2, ,...., nx x x là một bộ phận của hệ tham số của M. 1.5 . Giới hạn thuận Định nghĩa 1.5.1. Cho R là một vành, ( , )I ≤ là một tập được sắp thứ tự bộ phận. Một hệ thuận trong phạm trù các R-môđun là: (( ) , ( ) )ii i I j i jM ψ∈ ≤ , trong đó ( )i i IM ∈ là một họ các R-môđun, ( : )ij i j i jM Mψ ≤→ là họ các R-đồng cấu sao cho Id i i i Mψ = với mọi i I∈ và biểu đồ sau đây là giao hoán với mọi i j k≤ ≤ . 8 i j i j k k i j k M M M ψ ψ ψ → Định nghĩa 1.5.2. Cho (( ) , ( ) )ii i I j i jM ψ∈ ≤ là một hệ thuận trong phạm trù các R- môđun. Khi đó tồn tại một R-môđun lim i i I M ∈  và họ các đồng cấu ( : lim )i i i i I i I M Mα ∈ ∈ →  sao cho: i. ij j iα ψ α= với mọi i j≤ . ii. Cho N là một R-môđun, và họ các đồng cấu :i if M N→ thỏa mãn i j j if fψ = với mọi i j≤ . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu : lim i i I M Nθ ∈ →  sao cho biểu đồ sau là giao hoán với mọi i I∈ : lim i i f i i i I M N M α θ ∈ →  lim i i I M ∈  được gọi là giới hạn thuận của hệ thuận (( ) , ( ) )ii I j i jM ϕ∈ ≤ . Định nghĩa 1.5.3. Tập sắp thứ tự ( , )I ≤ được gọi là tập trực tiếp nếu với mọi ,i j I∈ tồn tại k I∈ sao cho i k≤ và j k≤ . Mệnh đề 1.5.4. Cho (( ) , ( ) )ii i I j i jM ψ∈ ≤ là một hệ thuận trong phạm trù các R- môđun, ( , )I ≤ là tập trực tiếp, :ij i jM Mψ → là các phép nhúng với mọi i j≤ . Nếu ta đặt: ii IM M∈= và xét họ các ánh xạ nhúng ( : )i i i IM Mα ∈→ . Khi đó M chính là giới hạn thuận của (( ) , ( ) )ii I j i jM ψ∈ ≤ . 9 Định lý 1.5.5. Giới hạn thuận là giao hoán với tích tenxơ. Nếu (( ) , ( ) )ii i I j i jM ψ∈ ≤ là một hệ thuận, N là một R-môđun thì ta có đẳng cấu tự nhiên sau: (lim ) lim( )i i i I i I M N M N ∈ ∈ ⊗ ≅ ⊗   Mệnh đề 1.5.6. Giới hạn thuận là bảo toàn tính khớp. Cụ thể, nếu I là tập trực tiếp và { , }ii jL α , { , } i i jM β ,{ , } i i jN γ là các hệ thuận các R-môđun trên I. Xét họ các đồng cấu ( : )i i ir L M→ và ( : )i i is M N→ sao cho với mỗi i I∈ thì dãy sau đây là dãy khớp: 0 0i i iL N M→ → → → Thì ta sẽ có dãy khớp sau đây: 0 lim lim lim 0i i i i I i I i I L N M ∈ ∈ ∈ → → → →    Mệnh đề 1.5.7.Trên vành Nơte, giới hạn thuận của những môđun nội xạ là một môđun nội xạ. 1.6. Hàm tử dẫn xuất phải Định nghĩa 1.6.1. Cho :T →  là hàm tử cộng tính hiệp biến,  và  là hai phạm trù Abel trong đó  là đủ nội xạ. Ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải :nR T →  với mỗi 0n ≥ như sau: Với mỗi vật B ta chọn một phép giải nội xạ ( )B•E : 0 10 1 20 ....d dE E E→ → → → Tác động hàm tử T vào phép giải, sau đó lấy đối đồng điều thứ n: 1 Ker( ) : ( ( ( )) Im n n n n TdR T B H T B Td • −= =E 10 Định nghĩa này là tốt, không phụ thuộc vào cách chọn phép giải nội xạ. Định lý 1.6.2. Cho :T →  là hàm tử cộng tính hiệp biến và khớp trái,  và  là hai phạm trù Abel trong đó  là đủ nội xạ. Dãy 0( )n nR T ≥ là dãy hàm tử dẫn xuất phải của T khi và chỉ khi thỏa mãn: i. Có đẳng cấu tự nhiên giữa hai hàm tử: 0R T T≅ . ii. Với mọi E là vật nội xạ trong  , ta đều có: ( ) 0nR T E = với mọi 1n ≥ . iii. Với mọi dãy khớp trong  : 0 0L M N→ → → → ta có dãy khớp dài với đồng cấu nối tự nhiên: 0 0 0 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .... .... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....n n n n n R T L R T M R T N R T L R T M R T N R T L R T M R T N R T L− + → → → → → → → → → → → → 1.7. Dãy phổ Định nghĩa 1.7.1. Một môđun song phân bậc là một họ các R-môđun: ( ), ( , )p q p qM M ∈ ×=   Nếu M, N là các môđun song phân bậc, một đồng cấu song phân bậc :f M N→ có bậc là (a, b) là một họ các đồng cấu: , , ,( : )p q p q p a q bf f M M + += → . Bậc của f được ký hiệu là: deg( ) ( , )f a b= . Nếu ta có đồng cấu song phân bậc :f M N→ với deg( ) ( , )f a b= thì ta định nghĩa , ,Im (Im ) ( )p a q b p qf f N− −= ⊆ , , ,er ( er ) ( )p q p qK f K f M= ⊆ Cho dãy các đồng cấu song phân bậc f gM N P→ → , dãy này được gọi là khớp nếu Im f Ker g= . Từ đây, nếu loại bỏ q thì ta định nghĩa được môđun phân bậc và đồng cấu phân bậc một cách tương tự. 11 Định nghĩa 1.7.2. Một lọc của một R-môđun M là một họ ( )p pM ∈ các R-môđun con của M thỏa mãn 1p pM M +⊆ với mọi p: 1 1... ...p p pM M M− +⊆ ⊆ ⊆ ⊆ Cho C là một phức, một lọc của Clà họ các phức con ( )p pF ∈C  của C thỏa mãn 1p pF F +⊆C C với mọi p: 1 1... ...p p pF F F− +⊆ ⊆ ⊆ ⊆C C C Định nghĩa 1.7.3. Cho ( , )M d , trong đó M là một môđun song phân bậc, d là một đồng cấu song phân bậc có bậc là (a, b) thỏa mãn . 0d d = . Khi đó ta định nghĩa được đồng điều ( , )H M d là một môđun song phân bậc với: , , , er ( , ) Im p q p q p a q b K d H M d d − − = Định nghĩa 1.7.4. Một dãy phổ là một dãy 1( , )r r rE d ≥ trong đó rE là các môđun song phân bậc, thỏa mãn 0r rd d = và 1 ( )r rE H E+ = với mọi 1r ≥ . Nếu 1( , )r r rE d ≥ là một dãy phổ, ta có 2 1 1 2 2( , ) /E H E d Z B= = trong đó 2Z là chu trình và 2B là bờ với 2 2 1B Z E⊆ ⊆ . Lại có 3 3 2 3 2 2 2 2( / ) / ( / ) ( / , )E Z B B B H Z B d= = (ta có thể xem 3 3 3/E Z B= ) với 2 3 3 2 1B B Z Z E⊆ ⊆ ⊆ ⊆ . Vậy nếu ta quy nạp theo r thì ta có /r r rE Z B= với: 2 3 3 2 1... .....r rB B B Z Z Z E⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ (*) Định nghĩa 1.7.5. Cho 1( , )r r rE d ≥ là một dãy phổ, họ 1( , )r r rZ B ≥ được cho như trên thỏa mãn (*), đặt 1 r r Z Z∞ ≥ =  và 1 r r B B∞ ≥ =  . Ta định nghĩa giới hạn của dãy phổ là môđun song phân bậc E∞ được định nghĩa bởi: , , ,/p q p q p qE Z B ∞ ∞ ∞= 12 Định nghĩa 1.7.6. Cho ( )p pF ∈C  là lọc của phức Cvà họ phép nhúng :p pi F →C . Từ đây cảm sinh ra * : ( ) ( )p pi H F H• •→ C . Ta định nghĩa lọc cảm sinh của ( )nH C : *( ) Im p p nH iΦ =C Nếu với mỗi n tồn tại svà t sao cho {0}s nHΦ = và t n nH HΦ = thì ta nói lọc ( )p nHΦ là bị chặn. Khi đó ta có dây chuyền sau với mỗi n. 1{0}= ......s s tn n n nH H H H +Φ ⊆ Φ ⊆ ⊆ Φ = Định nghĩa 1.7.7. Một dãy phổ 1( , )r r rE d ≥ được gọi là hội tụ đến một môđun phân bậc H: 2 ,p q p qE H +⇒ nếu có một lọc bị chặn ( )p p qH +Φ của H sao cho: 1. p p q pp q p q HE H ∞ + − + Φ ≅ Φ . Định nghĩa 1.7.8. Dãy phổ 1( , )r r rE d ≥ được gọi là suy biến theo trục p nếu 2 , {0}p qE = với mọi 0q ≠ . Dãy phổ 1( , )r r rE d ≥ được gọi là suy biến theo trục q nếu 2, {0}p qE = với mọi 0p ≠ . Định nghĩa 1.7.9: Dãy phổ 1( , )r r rE d ≥ được gọi là dãy phổ góc phần tư thứ ba nếu , {0}p qrE = với mọi 0p > hoặc 0q > . Mệnh đề 1.7.10.Cho dãy phổ 1( , )r r rE d ≥ góc phần tư thứ ba hội tụ ,2p q p qE H +⇒ . i. Nếu dãy phổ suy biến theo trục p, ta có: ,02n nH E≅ . ii. Nếu dãy phổ suy biến theo trục q, ta có: 0,2n nH E≅ . 13 Định nghĩa 1.7.11. Cho  là một phạm trù Abel đủ nội xạ, :F b→  là hàm tử cộng tính. Một vật B của  được gọi là F-tuần hoàn phải nếu ( ) {0}pR F B = với mọi 1p ≥ . Định lý 1.7.12.(Grothendieck) Cho G F→ →   là các hàm tử hiệp biến, cộng tính , ,   là các phạm trù Abel đủ nội xạ. Giả sử F là khớp trái và GE là tuần hoàn phải với mọi vật nội xạ E trong  . Khi đó với mọi vật A trong  , ta có dãy phổ góc phần tư thứ ba sau: , 2 ( )( ) ( ) p q p q p qE R F R G A R FG A+= ⇒ 1.8. Môđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.8.1. Cho R là vành, I là một iđêan của R, M là một R-môđun. Đặt ( ) { | 0, 1}nI M x M I x nΓ = ∈ =  Ta thấy ( )I MΓ là một R-môđun con của M. Mặt khác với mọi R-đồng cấu :f M N→ thì ( ( )) ( )I If M NΓ ⊆ Γ nên ta định nghĩa được ( ) : ( ) ( )I I If M NΓ Γ →Γ là thu hẹp của f lên ( )I MΓ . Với định nghĩa như trên có thể chứng minh được IΓ là một hàm tử cộng tính, R-tuyến tính và khớp trái. Hàm tử IΓ được gọi là hàm tử I-xoắn. R-môđun M được gọi là môđun I-xoắn nếu ( )I M MΓ = . R-môđun M được gọi là môđun I-không xoắn nếu ( ) 0I MΓ = . Bây giờ ta xét các hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử khớp trái IΓ với mọi 0i ≥ và ta gọi đây là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I: :i iI IH R= Γ 14 Môđun ( )iIH M được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I. Mệnh đề 1.8.2. Cho M là một R-môđun. Ta có ( ) Supp( ) ( )I M M M V IΓ = ⇔ ⊆ . Đối đồng điều địa phương có nhiều cách định nghĩa tương đương. Sau đây là định nghĩa theo giới hạn thuận của hàm tử Ext và định nghĩa theo phức Cech. Định lý 1.8.3. Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R. Ta có đẳng cấu tự nhiên sau với mọi 0i ≥ : ( ) lim Ext ( / , )i i nI R n H M R I M ∈ ≅   Định nghĩa 1.8.4. Cho vành R, phần tử a thuộc R. Ta định nghĩa: { | }naS a n= ∈ Ta thấy aS là một tập con nhân của R. Do đó với mỗi R-môđun M ta định nghĩa môđun các thương của M: 1 a aM S M −= Ta định nghĩa phức Cech theo một phần tử a thuộc R là: 1 (0 0)aSa aC R R −• = → → → Với 1,..., na a=a là một dãy các phần tử trong R. Ta định nghĩa phức Cech theo 1,..., na a=a là: 1 1 (0 ( ) ....) i i i j s ai s a a a i i j C C R R R • • = = < = ⊗ = → → → →∏ ∏ a 15 Do vành ta đang xét là vành Nơte, nên mỗi iđêan I của R là hữu hạn sinh. Từ đây ta có định nghĩa đối đồng điều địa phương thông qua phức Cech. Định lý 1.8.5. Cho R là vành, 1 2( ) ( , ,..., )nI a a a= =a là iđêan của R, M là một R- môđun. Ta có đẳng cấu tự nhiên sau với mọi 0i ≥ : ( ) ( )i iIH M H M C •≅ ⊗ a Sau đây là định lý triệt tiêu và không triệt tiêu nổi tiếng của Grothendieck Định lý 1.8.6. (Grothendieck) Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R. Ta có: ( ) 0iIH M = với mọi dimi M> Định lý 1.8.7. (Grothendieck) Cho ( , )R m là một vành địa phương, M là một R- môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Ta có: ( ) 0nH M ≠m với dimn M= Định lý 1.8.8. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Khi đó ta có: inf{ | ( ) 0} depth ( , ) inf{depth | ( )}iI Ri H M I M M V I≠ = = ∈p p 16 Chương 2: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP IĐÊAN Trong chương này ta cũng luôn giả thiết R là vành Nơte giao hoán có đơn vị. 2.1. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan Định nghĩa 2.1.1.Cho M là một R-môđun; I, J là hai iđêan của R, ta định nghĩa tập: { }, ( ) | , 1nI J M x M I x Jx nΓ = ∈ ⊆  ta thấy ( )n nI x Jx I Ann x J⊆ ⇔ ⊆ + do đó { }, ( ) | ( ) , 1nI J M x M I Ann x J nΓ = ∈ ⊆ +  từ đây ta có thể chứng minh được , ( )I J MΓ là một R-môđun con của M. Cho :f M N→ là một đồng cấu R-môđun. Ta có , ,( ( )) ( )I J I Jf M NΓ ⊆ Γ và do đó ta định nghĩa R-đồng cấu , , ,( ) : ( ) ( )I J I J I Jf M NΓ Γ →Γ chính là thu hẹp của f trên , ( )I J MΓ . Từ đây ta định nghĩa được hàm tử , ( )I JΓ − Định nghĩa 2.1.2.Hàm tử , :I J R RMod ModΓ → là một hàm tử hiệp biến cộng tính, ta gọi đây là hàm tử (I,J)-xoắn. Với M là một R-môđun ta định nghĩa , ( )I J MΓ là môđun (I, J)-xoắn của M. Nếu , ( )I J M MΓ = ta nói M là môđun (I, J)-xoắn, nếu , ( ) 0I J MΓ = ta nói M là môđun (I, J)-không xoắn. Nhận xét rằng khi J = 0 thì ,I J IΓ ≡ Γ là hàm tử I-xoắn quen thuộc trong đối đồng điều địa phương. Bổ đề 2.1.3.Hàm tử (I,J)-xoắn , ( )I JΓ − là hàm tử khớp trái. 17 Chứng minh. Cho dãy khớp các R-môđun: 0 0 f g L M N→ → → → ta cần chứng minh dãy: , ,( ) ( ) , , ,0 I J I Jf g I J I J I JL M N Γ Γ → Γ → Γ → Γ là khớp. Do , ( )I J fΓ là thu hẹp của fnên , ( )I J fΓ là đơn cấu. Hơn nữa vì , ( )I J gΓ là thu hẹp của g và . 0g f = ta suy ra , ,( ). ( ) 0I J I Jg fΓ Γ = do đó , ,Im ( ) ( )I J I Jf Ker gΓ ⊆ Γ Ta chỉ cần chứng minh , ,Im ( ) ( )I J I Jf Ker gΓ ⊇ Γ . , ( )I Jx Ker g∀ ∈ Γ , ta có ( ) 0g x = và , ( )I Jx M∈Γ . Do đó có 1n ≥ sao cho ( )nI Ann x J⊆ + và tồn tại : ( )y L f y x∈ = , do f là đơn cấu nên ta có: ( ) ( ( )) ( )nI Ann x J Ann f y J Ann y J⊆ + = + = + Vậy , ,( ) Im ( )I J I Jy L x f∈Γ ⇒ ∈ Γ suy ra , ,Im ( ) ( )I J I Jf Ker gΓ ⊇ Γ ta có điều phải chứng minh.  Định nghĩa 2.1.4. Với i là số tự nhiên, ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ,I JΓ là hàm tử , i I JH : hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan I,J. Với M là một R-môđun ta định nghĩa , ( ) i I JH M là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M theo (I,J). Nhận xét rằng nếu J = 0 thì ,0I IΓ ≡ Γ nên suy ra ,0 i i I IH H≡ , hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan chính là mở rộng của hàm tử đối đồng điều địa phương quen thuộc. 18 Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương theo cặp iđêan (I, J). Mệnh đề 2.1.5.Cho I, I’, J, J’ là các iđêan của vành R; i là số tự nhiên bất kỳ và M là một R-môđun. Ta có: i. , ', ' ', ' ,( ( )) ( ( ))I J I J I J I JM MΓ Γ = Γ Γ . ii. Nếu 'I I⊆ thì , ',( ) ( )I J I JM MΓ ⊇ Γ . iii. Nếu 'J J⊆ thì , , '( ) ( )I J I JM MΓ ⊆ Γ . iv. , ', ',( ( )) ( )I J I J I I JM M+Γ Γ = Γ . v. , , ' , ' , '( ( )) ( ) ( )I J I J I JJ I J JM M M∩Γ Γ = Γ = Γ . vi. , ,( ) ( ) i i I J J I JH M H M+ = . vii. , ,( ) ( ) i i I J I JH M H M= . viii. , ,( ) ( ) i i I J I JH M H M= . Chứng minh. Các tính chất này đều được suy ra từ định nghĩa và chứng minh khá dễ dàng. Sau đây là chứng minh của phần (vii). Đầu tiên ta chứng minh tính chất này cho hàm tử (I, J)-xoắn. ( )⊇ Lấy , ( )i I Jx M∈Γ thì tồn tại n∈ sao cho: ( ) n I Ann x J⊆ + , ta suy ra: ( ) nnI I Ann x J⊆ ⊆ + , từ đây suy ra , ( ) i I Jx M∈Γ . ( )⊆ Ngược lại lấy , ( ) i I Jx M∈Γ thì tồn tại n∈ sao cho: ( ) nI Ann x J⊆ + , do R là vành Nơte nên tồn tại m∈ sao cho m I I⊆ do đó . ( ) m n nI I Ann x J⊆ ⊆ + nên suy ra , ( )i I Jx M∈Γ . 19 Vậy ta có: , ,I J I JΓ ≡ Γ mà do hàm tử dẫn xuất phải là duy nhất nên ta có điều phải chứng minh.  Ta biết rằng tính chất của môđun đối đồng điều địa phương ( )iIH M có liên hệ chặt chẽ đến tập hợp { }( ) ( )V I Spec R I= ∈ ⊆p | p . Và khi ta mở rộng lên thành môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan thì ta có tập hợp sau. Định nghĩa 2.1.6. Cho I, J là hai iđêan của R. Ta định nghĩa tập hợp sau: { }W( , ) ( ) , 1nI J Spec R I J n= ∈ ⊆ p | p+ nhận xét rằng khi J = 0 thì W( , ) ( )I J V I= lại đưa về định nghĩa quen thuộc. Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập W( , )I J . Mệnh đề 2.1.7.Cho I, I’, J, J’ là các iđêan của vành R. Ta có: i. Nếu 'I I⊆ thì W( , ) W( ', )I J I J⊇ . ii. Nếu 'J J⊆ thì W( , ) W( , ')I J I J⊆ . iii. W( ', ) W( , ) W( ', )I I J I J I J+ = ∩ . iv. W( , ') W( , ') W( , ) W( , ')I JJ I J J I J I J= ∩ = ∩ . v. W( , ) W( , ) W( , )I J I J I J= = . vi. Nếu ( , )R m là vành địa phương, I là iđêan thực sự không là m - nguyên sơ thì: { }W( , ) W( , ) ( ) | I J I J Spec R I ⊂   = ∈ ⊄      m m p p vii. ( )\ ( ) ( ) W( , ) W( , ) J J Spec R V I V I I J I J ∈ = =   20 Chứng minh. Từ (i) đến (v) chứng minh dễ dàng, sau đây là chứng minh của phần (vi) và (vii) (vi) Với ∈ ⇔ ∃ ≥ ⊆ + ⇔ +p m m p p m-W( , ) 0 : laø nguyeânsônI n I I hoặc + =p RI . Nếu ⊂I J thì +J m cũng là m - nguyên sơ hoặc + =m RJ nên W( , )∈ Jp m . Mặt khác I không là iđêan m - nguyên sơ nên I⊄p ( nếu ⊆p I thì + =pI I là iđêan m - nguyên sơ (!)). Ngược lại, với mọi { }W( , ) ( ) | ⊂   ∈ ∈ ⊄      I J J Spec R Ip m p p . Đặt = +J I p thì ⊂I J , do đó ta được W( , ) W( , )∈ = +J Ip m m p . Từ đó suy ra +I p là iđêan m - nguyên sơ hoặc + =p RI , ta được điều phải chứng minh. (vii) Dễ dàng thấy rằng ( )\ ( ) ( ) W( , ) W( , ) ∈ ⊆ ⊆  J J Spec R V I V I I J I J , ta cần chứng minh ( )\ ( ) W( , ) ( ) ∈ ⊆  J Spec R V I I J V I . Giả sử ( )∉V Ip , ta có ( ) \ ( )∈Spec R V Ip và W( , )∉ Ip p . Suy ra ( )\ ( ) W( , ) ∈ ∉  J Spec R V I I Jp . Ta có điều phải chứng minh.  Theo mệnh đề (1.8.2) nếu ( ) ( )⊆Supp M V I thì ( )Γ =I M M , sau đây là mở rộng của mệnh đề này trong đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. Mệnh đề 2.1.8. Cho M là một R-môđun, các mệnh đề sau là tương đương. i. M là môđun (I, J)-xoắn. ii. ( ) W( , )⊆Min M I J iii. As ( ) W( , )⊆s M I J iv. ( ) W( , )⊆Supp M I J 21 Chứng minh. Do ( ) As ( ) ( )⊆ ⊆Min M s M Supp M nên ( ) ( ) ( )⇒ ⇒iv iii ii là hiển nhiên. ( ) ( )⇒ii iv : Với ( )∈Supp Mp , tồn tại ( )∈Min Mq sao cho ⊆q p . Vì W( , )∈ I Jq nên tồn tại 0≥n sao cho ⊆ + ⊆ +nI J Jq p . Vậy W( , )∈ I Jp . ( ) ( )⇒i iii : Nếu As ( )∈ s Mp thì tồn tại ∈x M sao cho ( )= Ann xp . Vì M là môđun (I, J)-xoắn nên tồn tại số tự nhiên n sao cho ( )⊆ + ⊆ +nI J Ann x J p . Do đó W( , )∈ I Jp . ( ) ( )⇒iv i : Ta cần chứng minh rằng , ( )Γ ⊇I J M M . Với mọi ∈x M , do Rx là môđun hữu hạn sinh nên tập ( )Min Rx là hữu hạn.Ta đặt tập { }1 2( ) , ...= sMin Rx p p p . Vì ( ) ( ) ( ) W( , )⊆ ⊆ ⊆Min Rx Supp Rx Supp M I J , nên với mỗi 1≤ ≤i s đều tồn tại 0≥in sao cho ⊆ +in iI J p . Chọn 1max( )≤ ≤= ii sn n thì ⊆ + n iI J p với mọi 1≤ ≤i s , suy ra 1 2 1 2( ... ) ...⊆ + ⊆ + ∩ ∩ ∩ns s sI J Jp p p p p p Mặt khác 1 2 Supp(R ) Min(R ) ( ) (R ) ... s x x Ann x Ann x ∈ ∈ = = = ∩ ∩ ∩   p p = p p p p p , mà R là vành Noether nên tồn tại 0≥m sao cho ( )1 2 ... ( )∩ ∩ ∩ ⊆ m s Ann xp p p . Kết hợp với bên trên ta có: ( )⊆ +mnsI J Ann x , từ đây suy ra , ( )∈Γ I Jx M .  Hệ quả 2.1.9. 1. Các mệnh đề sau đây là tương đương cho phần tử ∈x M . i. , ( )∈Γ I Jx M ii. ( ) W( , )⊆Supp Rx I J 22 2. Cho dãy khớp các R-môđun: (*) 0 0→ → → →L M N . Khi đó M là R-môđun (I,J)-xoắn khi và chỉ khi L và N cũng là R-môđun (I, J)-xoắn. Chứng minh. 1. ( ) ( )⇒i ii Với , ( )∈Γ I Jx M thì tồn tại 0≥n sao cho ( ) ( )⊆ + = +nI Ann x J Ann Rx J , do đó , ( )Γ =I J Rx Rx nên theo mệnh đề (2.1.8) ta có ( ) W( , )⊆Supp Rx I J . ( ) ( )⇒ii i Nếu ( ) W( , )⊆Supp Rx I J thì theo mệnh đề (2.1.8) ta có , ( )Γ =I J Rx Rx nên suy ra , ,( ) ( )∈Γ ⊆ ΓI J I Jx Rx M . 2. Do (*) là dãy khớp nên ta có đẳng thức ( ) ( ) ( )= ∪Supp M Supp N Supp L . Do đó theo mệnh đề (2.1.8) ta có: ( ) , , , ( ) ( ) ( ) W( , ) ( ) ( ) W( , ) ( ) W( , ) ( ) W( , ) ( ) ( ) I J I J I J M M Supp M I J Supp N Supp L I J Supp N I J Supp L I J N N L L Γ = ⇔ ⊆ ⇔ ∪ ⊆ ⊆ ⇔  ⊆ Γ =⇔ Γ = Ta có điều phải chứng minh.  Mệnh đề tiếp theo sẽ chỉ ra mối liên hệ giữa môđun (I,J)-xoắn và môđun I- xoắn. Mệnh đề 2.1.10. Nếu M là R-môđun (I,J)-xoắn thì M/JM là I-xoắn. Ta có chiều ngược lại nếu M là môđun hữu hạn sinh. Chứng minh. Theo mệnh đề (2.1.8) ta có M là môđun (I,J)-xoắn khi và chỉ khi ( ) W( , )⊆Supp M I J . 23 Áp dụng mệnh đề (1.8.2) thì ta có M/JM là môđun I-xoắn khi và chỉ khi ( / ) ( )⊆Supp M JM V I ( )⇒ Ta có ( / ) ( / ) ( ) ( ) W( , ) ( )Supp M JM Supp M R J Supp M V J I J V J= ⊗ ⊆ ∩ ⊆ ∩ ⊆ ( )V I , do đó M/JM là môđun I-xoắn. ( )⇐ Nếu M là môđun hữu hạn sinh và M/JM là môđun I-xoắn, ta cần chứng minh M là môđun (I,J)-xoắn. Cho x M∈ . Theo bổ đề Artin-Rees ta có 1n ≥ thỏa 1( )n nJ M Rx J J M Rx−∩ ⊆ ∩ ( )J Rx Jx⊆ ⊆ Mặt khác do M/JM là I-xoắn nên ta có: ( / ) ( / ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) n n n Supp M J M Supp M R J Supp M V J Supp M V J Supp M JM V I = ⊗ = ∩ = ∩ = ⊆ Từ đó suy ra / nM J M cũng là R-môđun I-xoắn. Do đó tồn tại 0m ≥ sao cho: m nI x J M⊆ Suy ra m nI x J M Rx Jx⊆ ∩ ⊆ nên ,I Jx M∈Γ . Ta có điều phải chứng minh.  Mệnh đề 2.1.11.Cho M là một R-môđun, ta có đẳng thức: ,As ( ( )) As ( ) W( , )I Js M s M I JΓ = ∩ Từ đây ta có , ( ) 0 As ( ) W( , )I J M s M I JΓ ≠ ⇔ ∩ ≠∅ . Chứng minh. 24 ( )⊆ Vì ,I J MΓ là môđun (I,J)-xoắn nên theo (2.1.8) ta có ,As ( ) W( , )I Js M I JΓ ⊆ , mà ,I J M MΓ ⊆ nên ,As ( ) As ( )I Js M s MΓ ⊆ . ( )⊇ Với mọi As ( ) W( , )s M I J∈ ∩p . Tồn tại { }\ 0x M∈ sao cho ( )Ann xp= và tồn tại 0 : nn I J≥ ⊆ + p . Do đó ta có ,( ) n I JI J Ann x x M⊆ + ⇒ ∈Γ .Mặt khác ( )Ann xp= nên ta được ,As ( )I Js M∈ Γp .  Mệnh đề 2.1.12.Cho ( )Spec R∈p , khi đó ta có: i. W( , )I J∈p thì ( / )E R p là môđun (I, J)-xoắn ii. W( , )I J∉p thì ( / )E R p là môđun (I, J)-không xoắn Chứng minh. i. Với W( , )I J∈p thì ( ) { }As ( / ) W( , )s E R I J= ⊆p p nên ( / )E R p là môđun (I, J)- xoắn. ii. Với W( , )I J∉p thì ta có: ( ) { }As ( / ) W( , ) W( , )s E R I J I J∩ = ∩ =∅p p Do đó ( ), ( / ) 0I J E RΓ =p . Ta có điều phải chứng minh.  Mệnh đề 2.1.13. Cho M là R-môđun (I, J)-xoắn. Khi đó tồn tại một phép giải nội xạ của M sao cho mỗi phần tử đều là R-môđun (I, J)-xoắn. Chứng minh. Nhận xét rằng 0 ( )E E M= là R-môđun (I, J)-xoắn. Vì 0As ( ) As ( )s E s M= ⊆ W( , )I J nên theo mệnh đề (2.1.8) thì 0E là R-môđun (I, J)-xoắn. 25 Do vậy, một R-môđun (I, J)-xoắn có thể nhúng vào một R-môđun (I, J)-xoắn nội xạ 0E . Ta chứng minh quy nạp, giả sử có dãy khớp các R-môđun: 10 10 ...... ndn nM E E E −−→ → → → → với 0 1, ..., nE E E là các R-môđun (I, J)-xoắn và nội xạ. Đặt 1 1/ Imn n nC Coker d E d− −= = , do đó theo mệnh đề (2.1.9) phần (2) thì C là R-môđun (I, J)-xoắn. Theo phần đầu của chứng minh ta có thể nhúng C vào một R-môđun (I, J)-xoắn nội xạ 1nE + . Do cách đặt C và nhúng C vào 1nE + ta có hai dãy khớp sau: 10 1 1 0 .... 0 ndn n n M E E E C C E −− + → → → → → → → → Vậy ta có dãy khớp: 0 1 10 .... n n nM E E E E− +→ → → → → → Ta được điều phải chứng minh.  Hệ quả 2.1.14. Cho M là một R-môđun. Ta có những điều sau: i. Nếu M là môđun (I, J)-xoắn thì , ( ) 0 i I JH M = , 0i∀ > . ii. , ,( ( )) 0 i I J I JH MΓ = , 0i∀ > . iii. ,/ I JM MΓ là R-môđun (I, J)-không xoắn. iv. , , ,( ) ( / ( )) i i I J I J I JH M H M M≅ Γ , 0i∀ > . v. , ( ) i I JH M là (I, J)-xoắn với mọi 0i ≥ . 26 Chứng minh. i. Theo mệnh đề (2.1.13) ta có phép giải nội xạ của M mà các phần tử đều là R- môđun (I, J)-xoắn và nội xạ. 0 10 .... .... idi iE E E +→ → → → → Do đó ta có , ( ) i i I J d dΓ = , 0i∀ ≥ . Từ đây suy ra: 1 1 , , ,( ) er ( ) / Im ( ) er( ) / Im( ) 0 i i i i i I J I J I JH M K d d K d d − −= Γ Γ = = , 0i∀ > . Chiều ngược lại của mệnh đề này là đúng nếu như M là R-môđun hữu hạn sinh. Ta sẽ chứng minh trong hệ quả (2.4.2). ii. Do ,I J MΓ là R-môđun (I, J)-xoắn nên theo (i) ta có đpcm. iii. Ta có dãy khớp: , ,0 ( ) / ( ) 0I J I JM M M M→Γ → → Γ → (*) Từ đây ta suy ra dãy khớp: ( ) ( ) ( )1, , , , , , ,0 ( ) / ( ) ( )I J I J I J I J I J I J I JM M M M H M→Γ Γ →Γ →Γ Γ → Γ Mà ( )1, , ( ) 0I J I JH MΓ = do (ii) nên ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , ,/ ( ) / ( ) / 0I J I J I J I J I J I J I JM M M M M MΓ Γ ≅ Γ Γ Γ = Γ Γ = (đpcm) iv. Từ dãy khớp (*) ta có dãy khớp dài ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , , , , , , 1 , , , , , , , 0 ( ) / ( ) ( ) .... ( ) / ( ) ( ) .... I J I J I J I J I J I J I J i i i i I J I J I J I J I J I J I J M M M M H M H M H M H M M H M+ → Γ Γ →Γ →Γ Γ → Γ → → Γ → → Γ → Γ → Do ( ), , ( ) 0iI J I JH MΓ = , 0i∀ > do (ii) nên ta có đẳng cấu: 27 , , ,( ) ( / ) i i I J I J I JH M H M M≅ Γ v. Lấy một phép giải nội xạ của M: 0 1 10 ..... .... idi iE E E E +→ → → → → → Với mọi 0i ≥ theo định nghĩa ta có: 1, , ,( ) er ( ) / Im ( ) i i i I J I J I JH M K d d −= Γ Γ mà , ,er ( ) ( ) i i I J I JK d EΓ ⊆ Γ là R-môđun (I, J)-xoắn nên theo mệnh đề (2.1.9) phần (2) ta có điều phải chứng minh.  2.2. Môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và phức Cech. Định nghĩa 2.2.1.Cho R là vành, J là một iđêan của R, với mỗi phần tử a R∈ ta định nghĩa ,a JS là tập con của R chứa tất cả các phần tử có dạng na j+ với n∈ và j J∈ . { }, | ,na JS a j n j J= + ∈ ∈ Nhận xét rằng ,a JS là một tập con nhân của R. Với mỗi R-môđun M, ta ký hiệu ,a JM là môđun các thương của M theo ,a JS : 1 , ,a J a JM S M −= Định nghĩa 2.2.2.Với mỗi phần tử a R∈ , ta định nghĩa phức ,a JC • như sau: ( )1,, ,0 0a JSa J a JC R R−• = → → → trong đó R ở vị trí thứ 0 và ,a JR ở vị trí thứ nhất trong phức. Với một dãy 1,a=a 2 ,... sa a các phần tử trong R, ta định nghĩa phức ,JC • a như sau: 28 ( ) ( )( )1 , ,1 , , ,, ,1 0 ... ... ... 0 i i i j s s J a Ji s s a J a J a Ja J a ji i j C C R R R R • • = = < = ⊗   = → → → → → →    ∏ ∏ a Ta thấy rằng nếu 0J = thì phức ,JC • a sẽ trở thành phức Cech quen thuộc C•a trong định nghĩa (1.8.4) theo 1 2, ,... sa a a=a , nên định nghĩa ở trên chính là phức Cech suy rộng. Sau đây là một vài tính chất cơ bản của phức Cech suy rộng. Tính chất 2.2.3. Cho a R∈ ; I,J là hai iđêan của R,khi đó ta có: i. ,a JS chứa 0 khi và chỉ khi a J∈ . ii. Nếu a J∈ , thì ta có đẳng cấu giữa các phức aC R• ≅ . iii. Một iđêan nguyên tố W( , )I J∈p khi và chỉ khi ,a JS∩ ≠∅p với mọi a I∈ . iv. Nếu a I∈ thì ta có ( ), , 0iI J a JH M = với mọi 0i ≥ . v. Nếu 1 2( , ,...., )sI a a a= thì ta có dãy khớp sau: , , 1 0 ( ) i s I J a J i M M M = → Γ → →∏ Chứng minh. i. Nếu ,0 a JS∈ thì tồn tại 0, : 0 nn j J a j≥ ∈ = + . Ta suy ra na j J a J= − ∈ ⇒ ∈ . Ngược lại nếu a J∈ thì tồn tại ,0 : 0 n n a Jn a j J a j S≥ = ∈ ⇒ = − ∈ . ii. Giả sử rằng a J∈ thì theo (i) ta có ,0 a JS∈ . Từ đây ta suy ra 1 , , 0a J a JR S R −= = nên theo định nghĩa thì ( ), 0 0a JC R R• = → → ≅ . 29 iii. ( )⇒ Với W( , )I J∈p và a I∈ . Khi đó tồn tại 0 : nn I J≥ ⊆ + p . Vì n na I J∈ ⊆ + p nên tồn tại , : nj J c a j c∈ ∈ = +p . Vậy , n a Jc a j S= − ∈ ∩p nên ,a JS∩ ≠∅p . ( )⇐ Giả sử ,a JS∩ ≠∅p với mọi a I∈ . Với mỗi a I∈ ta chọn một phần tử ,( ) a Jc a S∈ ∩p , phần tử này có dạng ( )( ) ( )n ac a a j a= + với ( ) , ( )n a j a J∈ ∈ . Do đó ( ) ( ) ( )n aa j a c a J= − + ∈ + p . Mà do R là vành Nơte nên 1 2( , ,..., )sI a a a= ,như vậy ta chọn được 1 2( ), ( ),.... ( )sn a n a n a sao cho ( )in aia J∈ + p với mọi 1 i s≤ ≤ . Đặt 1 ( ) s i i n n a = =∑ thì ta được W( , )nI J I J⊆ + ⇒ ∈p p . iv. Với a I∈ . Ta chọn E• là một phép giải nội xạ tối tiểu của M, khi đó ( ) ,a J E• là một R-phép giải nội xạ của ,a JM . Do đó ta được ( ) ( ), , , ,( )i iI J a J I J a JH M H E•= Γ . Biểu diễn mỗi iE thành tổng trực tiếp của các môđun nội xạ ( , ) ( ) ( / ) i Mi RSpec RE E R µ ∈ = ⊕ p p p ta có: ( ) ( ) ,( , ) ( , ), ,, ,( ) ( )( / ) ( / )i ia J M Mi R R a J a Ja J a JSpec R Spec R E E R E R Rµ µ ∈ ∈ = ⊕ = ⊕p p p p p p Do đó dựa vào (iii) và giả thiết a I∈ ta được: ( ) ( ), ( , ), , , , ,W( , )( ) ( / ) 0ia J MiI J a J I J R a J a JI JE E R R µ∈Γ = ⊕ Γ =pp p Từ đây ta suy ra ( ), , 0iI J a JH M = với mọi 0i ≥ . v. Ta chỉ cần chứng minh , ( )I Jx M∈Γ khi và chỉ khi , 1 er i s a J i x K M M =   ∈ →    ∏ . 30 ( )⇒ Với , ( )I Jx M∈Γ thì tồn tại số tự nhiên 0n ≥ sao cho nia x Jx∈ với mọi 1 i s≤ ≤ . Do đó với mỗi 1 i s≤ ≤ thì tồn tại ib J∈ sao cho ( ) 0ni ia b x− = và ta cũng dễ thấy rằng ,( ) n i i a Ja b S− ∈ . Vậy ta suy ra , 1 er i s a J i x K M M =   ∈ →    ∏ . ( )⇐ Với , 1 er i s a J i x K M M =   ∈ →    ∏ Thì với mọi i đều tồn tại ,in i a Ja b S+ ∈ sao cho ( ) 0in ia b x+ = từ đây suy ra nia x bx Jx= − ∈ . Do đó tồn tại số n đủ lớn sao cho , ( ) n I JI x Jx x M⊆ ⇒ ∈Γ .  Định lý 2.2.4. Cho M là một R-môđun, và 1 2( ) ( , ,... )sI a a a= =a là một iđêan của R. Khi đó với mọi 0i ≥ ta có đẳng cấu tự nhiên sau: ( ), ,( )i iI J J RH M H C M•≅ ⊗a . Chứng minh. Từ mệnh đề (2.2.3) phần (v) ta đã có đẳng cấu tự nhiên: ( )0 , , ( )J I JH C M M• ⊗ ≅ Γa Với một dãy khớp bất kỳ các R-môđun 0 0L M N→ → → → . Do mỗi phần tử trong phức ,JC • a đều là R-môđun phẳng ( vì 1S M− là phẳng nếu M là môđun phẳng) nên ta có dãy khớp của các phức , , ,0 0J J JC L C M C N • • •→ ⊗ → ⊗ → ⊗ →a a a . Từ đây ta có được dãy khớp dài: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 , , , , 1 1 , , , , , 0 .... ... J J J J i i i i i J J J J J H C L H C M H C N H C L H C N H C L H C M H C N H C L • • • • − • • • • + • → ⊗ → ⊗ → ⊗ → ⊗ → → ⊗ → ⊗ → ⊗ → ⊗ → ⊗ → a a a a a a a a a Vậy ta chỉ cần chứng minh ( ), 0i JH C E• ⊗ =a với mọi R-môđun nội xạ E và với mọi 0i > . Do sự phân tích thành tổng trực tiếp của môđun nội xạ nên ta chỉ 31 cần chứng minh ( ), ( / ) 0i JH C E R⊗ =pa với mỗi p là iđêan nguyên tố của R. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo s là độ dài của a . Nếu 1s = , ta có: ( )1, ,0 ( / ) ( / ) 0J R R a JC E E R E R• ⊗ = → → →p pa trong đó 1 , ( / )R a JE R p đẳng cấu với ( / )RE R p nếu 1W(( ), )a J∉p và bằng 0 nếu 1W(( ), )a J∈p . Trong cả hai trường hợp này thì ta đều có ( )1 , ( / ) 0JH C E R⊗ =pa . Bây giờ ta giả sử 1s > , và đặt 2 3' , ,...., sa a a=a . Khi đó ta có đẳng thức 1, , ,J a J J C C C• • •= ⊗a a' . Do đó theo định lý (1.7.12) ta có dãy phổ góc phần tư thứ ba: ( )( ) ( )1,2 , , ,( / ) ( / )p q p q p qa J J JE H C H C E R H C E R• • + •= ⊗ ⊗ ⇒ ⊗p pa' a Theo giả thiết quy nạp thì ta có ( ), ( / ) 0q JH C E R• ⊗ =pa' với mọi 0q > . Do đó dãy phổ là suy biến theo trục p, và ta có đẳng cấu: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 1 0 , , , , , , , , ( / ) ( / ) ( ( / )) 0 ( ( / )) ( ( / )) 0 n n J a J J n a J J n J J a J H C E R H C H C E R H C E R H E R E R • • • • ⊗ = ⊗ ⊗ = ⊗Γ = →Γ → Γ → p p p p p a a' a' a' a' Từ đây ta thấy rằng ( ), ( / ) 0n JH C E R• ⊗ =pa với mọi 2n ≥ . Theo mệnh đề (2.1.12) thì , ( ( / ))J E RΓ pa' hoặc là bằng 0 hoặc là bằng ( / )E R p . Vậy ta chỉ còn cần chứng minh rằng ( )( ) 1 1 , 0 ( / ) ( / ) 0 0 a J H E R E R→ → → =p p nhưng điều này ta đã chứng minh trong trường hợp 1s = . Vậy ta có điều phải chứng minh.  32 Hệ quả 2.2.5. Cho M là một R-môđun J-xoắn, 1 2 3, , ,...., sa a a a=a là một dãy các phần tử của R và iđêan ( )I = a . Khi đó ta có đẳng cấu tự nhiên ,J R RC M C M • •⊗ ≅ ⊗a a . Từ đó suy ra , ( ) ( ) i i I J IH M H M≅ với mọi số tự nhiên i. Chứng minh.Với a I∈ , ta có đồng cấu tự nhiên ,: a a JM Mϕ → xác định như sau ( / ) /n nz a z aϕ = . Đầu tiên chúng ta sẽ chứng minh ϕ là một đẳng cấu. Giả sử rằng ,( / ) 0 n a Jz a Mϕ = ∈ . Khi đó tồn tại ,m b J∈ ∈ sao cho ( ) 0ma b z− = . Vì 2 2( ) l lma b− chia hết cho ( )ma b− với mọi l∈ nên 2 2( ) 0 l lma b z− = . Mặt khác do M là môđun J-xoắn nên tồn tại số tự nhiênl đủ lớn thì 2 0 l b z = . Từ đây ta suy ra 2 0 l ma z = nên / 0n az a M= ∈ . Vậy ta chứng minh được ϕ là đơn cấu. Để chứng minh ϕ là toàn cấu ta lấy ,w / ( ) n a Jz a b M= − ∈ với z M∈ và b J∈ . Vì Mlà J-xoắn nên tồn tạil đủ lớn sao cho 2 0 l b z = . Ta viết 2 2( ) .( ) l lm ma b c a b− = − với c R∈ , thì 2 ( ) l m ma z c a b z= − trong M. Vậy 2 2w / ( ) / ( / ) l ln m mz a b cz a cz aϕ= − = = nên ϕ là toàn cấu. Do ϕ là một đẳng cấu nên ta có ,a a JM M≅ với mọi a I∈ . Từ đây ta có ,a J R a RC M C M • •⊗ ≅ ⊗ với mọi a I∈ . Và do đó ta có được đẳng cấu giữa các phức: 1 2 1 2 , , , ,.... .... s s J R a J a J a J a a a R C M C C C M C C C M C M • • • • • • • • ⊗ = ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ≅ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ = ⊗ a a Áp dụng định lý (2.2.4) và định lý (1.8.5) ta được: 33 , ,( ) ( ) ( ) ( ) i i i i I J J R R IH M H C M H C M H M • •= ⊗ ≅ ⊗ =a a  Mệnh đề 2.2.6. Hàm tử , ( 0) i I JH i ≥ là giao hoán với giới hạn thuận. Tức là: nếu { }|M Iλ λ ∈ là một hệ thuận thì ta sẽ có đẳng cấu tự nhiên: , ,(lim ) lim( ( )) i i I J I JH M H Mλ λ λ λ ≅   Chứng minh. Gọi 1 2, ,... sa a a=a là một dãy các phần tử trong R sinh ra I . Theo định lý (2.2.4) và tính giao hoán của tích tenxơ và hàm tử đối đồng điều với giới hạn thuận, ta có: ( ) , , , , , (lim ) lim lim( ) lim ( ) lim( ( )) i i i I J J R J R i i J R I J H M H C M H C M H C M H M λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ • • •    ≅ ⊗ ≅ ⊗        ≅ ⊗ ≅      a a a  Định lý 2.2.7. Cho I và J là hai iđêan của R, M’ là một R-môđun, : 'R Rϕ → là một đồng cấu vành thỏa mãn tính chất ( ) . 'J J Rϕ = . Ta có đẳng cấu tự nhiên giữa hai R’-môđun sau: , ', '( ') ( ') i i I J IR JRH M H M≅ với mọi số tự nhiên i . Chứng minh. Đặt 1 2, ,... sa a a=a là dãy các phần tử trong vành R sinh ra iđêan I, đặt 1 2( ) ( ), ( ),... ( )sa a aϕ ϕ ϕ ϕ=a . Từ giả thiết ta có đẳng thức của hai tập con nhân trong R’: , ( ), '( )i ia J a JRS Sϕϕ = với mọi 1 i s≤ ≤ . Do đó ta có: , , ( ), ' ', '( ') ( ') ( ') ( ') i i i i I J J R J R IR JRH M H C M H C M H Mϕ • •≅ ⊗ ≅ ⊗ ≅a a Ta được điều phải chứng minh.  34 2.3. Liên hệ giữa môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và môđun đối đồng điều địa phương Định nghĩa 2.3.1. Ta định nghĩa W( , )I J là tập các iđêan a của R sao cho tồn tại 0 : nn I J≥ ⊆ +a . Sau đó ta trang bị cho W( , )I J một quan hệ thứ tự bộ phận ≤ như sau: ≤ ⇔ ⊇a b a b . Khi đó với mọi R-môđun M ta có ( ) ( )M MΓ ⊆ Γa b . Như vậy ( )W( , ),I J ≤ và các đồng cấu nhúng đi từ ( ) ( )M MΓ →Γa b nếu ≤a b tạo thành một hệ thống thuận (direct system): { } W( , )( ) I JM ∈Γ a a . Định lý 2.3.2. Cho M là một R-môđun, I và J là hai iđêan của vành R. Ta có đẳng cấu tự nhiên sau đây: , W( , ) ( ) lim ( )i iI J I J H M H M ∈ ≅   a a Chứng minh: Trước tiên ta chứng minh cho i = 0, hay: , W( , ) ( ) lim ( )I J I J M M ∈ Γ ≅ Γ   a a Theo mệnh đề (1.5.4) ta có: W( , ) W( , ) ( ) lim ( ) I J I J M M ∈ ∈ Γ ≅ Γ     a aa a nên ta chỉ cần chứng minh , W( , )( ) ( )I J I JM M∈Γ = Γ aa . ( )⊆ Với , ( )I Jx M∈Γ thì tồn tại 0n ≥ sao cho ( ) nI Ann x J⊆ + . Đặt ( )Ann x=a , ta có: W( , )I J∈ a và ( )x M∈Γa nên W( , ) ( )I Jx M∈∈ Γ aa ( )⊇ Với W( , ) ( ) I J x M ∈ ∈ Γ   aa thì ta có W( , )I J∈ a và ( )x M∈Γa . Do đó tồn tại , 0m n ≥ sao cho mI J⊆ +a và 0n x =a . Vì ( ). nm n nI J J⊆ + ⊆ +a a nên suy ra . , ( ) m n I JI x Jx x M⊆ ⇒ ∈Γ Với 0 0L M N→ → → → là một dãy khớp các R-môđun. Ta có dãy khớp dài sau với mỗi W( , )I J∈ a : 35 1 1 10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....L M N H L H M H N→Γ →Γ →Γ → → → →a a a a a a Vì giới hạn thuận là hàm tử khớp, ta có dãy khớp dài sau: 1 W( , ) W( , ) W( , ) W( , ) 1 1 W( , ) W( , ) 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ... (**) I J I J I J I J I J I J L M N H L H M H N ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ → Γ → Γ → Γ → → → →             a a a a a a a a a a a a Mặt khác với E là một R-môđun nội xạ và 0i > ta có ( ) 0iH E =a với mọi a . Do đó: W( , ) lim ( ) 0i I J H E ∈ =   a a (***) Từ (*), (**) và (***) ta chứng minh được W( , ) lim / 0,1,2,3....i I J H i ∈  =     a a là một hệ thống các hàm tử dẫn xuất phải của ,I JΓ nên ta suy ra điều phải chứng minh.  Hệ quả 2.3.3. Cho E là một R-môđun nội xạ; I, J là hai iđêan của R. Khi đó ta có: i. , ( )I J EΓ là R-môđun nội xạ. ii. , ( ) 0 i I JH E = với mọi 1i ≥ . Chứng minh. Ta thấy rằng (ii) là dễ dàng có được do , ( ) i I JH − là hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử , ( )I JΓ − . Vậy ta chỉ cần chứng minh (i). Theo định lý (2.3.2) ta có đẳng cấu sau: , W( , ) ( ) lim ( )I J I J E E ∈ Γ ≅ Γ   a a 36 Theo tính chất của hàm tử đối đồng điều địa phương thì ta có ( )EΓa là R- môđun nội xạ với mọi iđêan a của R. Do đó theo mệnh đề (1.5.7) ta suy ra điều phải chứng minh.  Bổ đề 2.3.4. Cho R là vành địa phương với iđêan tối đại m ,ta có: W( , ) W( , ) ( ) W( , ) W( , ) I J J V J I ∈ ∈ = =   m p m m m p Chứng minh. Với ( )V J∈p , W( , )I J∈  m thì tồn tại 0n ≥ sao cho n I J I⊆ + ⊆ +m p suy ra W( , )I∈p m .Do đó ta có W( , ) ( ) W( , ) I J V J I ∈ ⊆   m m . Mặt khác do W( , ) W( , )J J⊇ m m nên ta có W( , ) W( , ) W( , ) W( , ) I J J I ∈ ∈ ⊆   m p m m m p . Vậy ta chỉ cần chứng minh W( , ) W( , ) ( ) J V J ∈ ⊆ p m m p . Ta chứng minh phản chứng, giả sử tồn tại W( , ) W( , ) J∈ ∈ p m q m p mà ( )V J J∉ ⇒ ⊄q q . Lấy \x J∈ q và ta đặt dim /r R= q .Do x là phần tử /R q -chính quy nên suy ra dim 1( ) R rx = −+q . Do đó tồn tại 1 2 3 1, , ..., ry y y y − ∈m sao cho 1 2 3 1, , ..., ry y y y − là một hệ tham số của của ( ) R x+q . Theo tính chất của hệ tham số thì ta suy ra 1 2 1( , , ..., )rx y y y −+q là m -nguyên sơ còn 1 2 1( , ..., )ry y y −+q thì không phải là iđêan m -nguyên sơ. Do đó ta tìm được ( )Spec R∈p sao cho: 1 2 1( , ..., ) (*)ry y y −+ ⊆ ⊂q p m Mặt khác vì 1 2 1( , , ..., ) ( )rx y y y x J−+ ⊆ + ⊂ +q p p nên J + p cũng là iđêan m - nguyên sơ. Từ đó ta suy ra W( , )J∈p m mà W( , ) W( , ) J∈ ∈ p m q m p nên suy ra W( , )∈q m p , suy ra p= p+q là iđêan m -nguyên sơ! Mâu thuẫn với (*), nên ta 37 có điều phải chứng minh.  Nhớ lại rằng tập W( , )I J là tập sắp thứ tự bộ phận, trong đó ≤ ⇔ ⊇a b a b , để ý rằng nếu ≤a b thì ta suy ra , ,( ) ( )I IM MΓ ⊇ Γa b , từ đây ta có được một hệ thống nghịch { }, W( , )( )I I JM ∈Γ a a . Mệnh đề 2.3.5. Cho vành địa phương ( , )R m , M là R-môđun.Ta có đẳng cấu tự nhiên sau : , W( , ) ( ) lim ( )I J J I M M ∈ Γ = Γ   m m Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh rằng ,W( , )( ) ( )I JJ IM M∈Γ = Γ mm . ( )⊆ Lấy ( )Ix M∈Γ , W( , )J I∈  m thì tồn tại , 0m n ≥ sao cho 0mI x = và n I J⊆ +m . Từ đây ta suy ra . , ( ) m n Jx Jx x M⊆ ⇒ ∈Γmm . Vậy ,W( , ) ( ) ( )I JJ IM M∈Γ ⊆ Γ mm . ( )⊇ Lấy ,W( , ) ( )JJ Ix M∈∈ Γ mm Với mọi W( , )J I∈  m , tồn tại 0n ≥ sao cho ( ) W( , ( ))n Ann x J J Ann x⊆ + ⇒ ∈ m m . Vậy ta có W( , ) W( , ( ))I Ann x⊆ m m . Bây giờ, áp dụng bổ đề (2.3.4) ta có: W( , ( )) W( , ) ( ( )) W( , ) W( , ) ( ) J Ann x J I V Ann x J J V I ∈ ∈ = ⊆ =     m m m m Từ đây suy ra ( ) ( )II Ann x x M⊆ ⇒ ∈Γ , ta có điều phải chứng minh.  38 2.4. Tính chất triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan Định lý 2.4.1. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, đặt { }inf W( , )n depth M I J= ∈p | p thì ta có: i. , ( ) 0 i I JH M = với mọi 0 i n≤ < . ii. , ( ) 0 n I JH M ≠ Chứng minh. Lấy ( )E M• là phép giải nội xạ tối tiểu của M. Thì ( ) ( ) ( ) ( / i Mi Spec R E M E R µ ∈ = ⊕ p, p p) với mọi 0 i≤ trong đó ( )i Mµ p, là số Bass thứ i của M theo p . Áp dụng mệnh đề (2.1.12) ta có: ( ) , , ( ) ( ) ( ) , ,W( , ) W( , ) ( ) , W( , ) ( ) W( , ) ( ( )) ( ( / ) ( ( / ) ( ( / ) ( ( / ) ( / (*) i i i i i Mi I J I J Spec R M M I J I JI J I J M I J I J M I J E M E R E R E R E R E R µ µ µ µ µ ∈ ∈ ∉ ∈ ∈ Γ = Γ ⊕ = Γ ⊕ ⊕Γ ⊕ = Γ ⊕ = ⊕ p, p p, p, p p p, p p, p p) p) p) p) p) Mặt khác nếu W( , )I J∈p thì ta có { }inf | ( ) 0in depth M i Mµ≤ = ≠p p, nên ta được , ,( ( )) 0 ( ) 0, 0 i i I J I JE M H M i nΓ = ⇒ = ∀ ≤ < . Bây giờ ta cần chứng minh , ( ) 0 n I JH M ≠ . Từ (*) ta thấy rằng , ( ( )) 0 n I J E MΓ ≠ , do đó phức ( ), ( )I J E M•Γ chỉ xuất phát từ phần tử thứ n. Ta có biểu đồ giao hoán sau: 1 1 , , , 1 1 0 ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) n n n n n I J I J I J d dn n n H M E M E M E M E M E M − + − + → →Γ →Γ → → trong đó hai dòng là khớp, hai mũi tên cột là phép nhúng tự nhiên. Vì 1er Im ( )n n nK d d E M−= ⊆ là mở rộng thiết yếu, nên ta có: 1 , ,( ) ( ( )) er 0 n i n n I J I JH M E M K d −= Γ ∩ ≠ 39 Vậy ta được điều phải chứng minh.  Nhận thấy rằng định lý (2.4.1) này chính là mở rộng của định lý (1.8.8) quen thuộc trong đối đồng điều địa phương. Hệ quả 2.4.2. Cho ( ,R m) là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương. i. M là môđun (I,J)-xoắn. ii. , ( ) 0 i I JH M = với mọi i>0. Chứng minh. ( ) ( )i ii⇒ đã chứng minh trong phần (i) mệnh đề (2.1.14) ( ) ( )ii i⇒ Vì , ( )I J M MΓ ⊆ nên ta đặt , ( )I J MN M= Γ và ta cần chứng minh N = 0. Giả sử 0N ≠ .Theo phần (iv) của mệnh đề (2.1.15) ta có: , , , , , , , ( ) 0( ) ( ) ( ), 0( ) I J I J I J i i i I J I J I J I J MN M MH N H H M iM   Γ = Γ = Γ    = ≅ ∀ > Γ  Mặt khác W( , )I J∈m nên { }inf / W( , )depth N I J depth N depth N∈ ≤ ≤ < ∞p mp . Theo định lý (2.4.1) thì với số { }inf / W( , )i depth N I J= ∈p p ta có ( ), 0iI JH N ≠ (vô lý) Vậy ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.4.3. Cho ( ,R m) là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh. Giả sử J R≠ khi đó ta có: , ( ) 0, dim i I J MH M i JM= ∀ > Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo dim Mr JM= . 40 Với 1r = − , khi đó 0M JM = nên theo bổ đề Nakayama ta được 0M = suy ra , ( ) 0 i I JH M = với mọi số tự nhiên i. Giả sử 0r ≥ , ta có một lọc hữu hạn sau 0 10 .... sM M M M= ⊂ ⊂ ⊂ = sao cho 1/ /j j jM M R− ≅ p , với ( )j Supp M∈p và 0,1,...j s= Do đó ta có dãy khớp sau với mỗi 0,1,...j s= : 10 / 0j j jM M R−→ → → →p Từ đây ta suy ra dãy khớp với mỗi 0,1,...,j s= : , 1 , ,( ) ( ) ( / ) i i i I J j I J j I J jH M H M H R− → → p Lưu ý rằng: dim / ( ) dim / ( ( ) ) dim /jR J R Ann M J M JM r+ ≤ + = =p Do đó ta có thể giả sử /M R= p với ( )Spec R∈p . Theo định lý (2.2.7) ta có , ( / ), ( / )( / ) ( / ) i i I J I R J RH R H R≅ p pp p . Do đó nếu thay R bởi ( / )R p , ta có thể giả sử rằng R là một miền nguyên và M R= . Bây giờ ta giả sử rằng tồn lại l r> sao cho , ( ) 0 l I JH R ≠ , ta cần chỉ ra điều vô lý. Để ý rằng lúc này ta có ,As ( ( )) l I Js H R ≠ ∅ . Đầu tiên ta giả sử rằng ,As ( ( )) l I Js H R chứa một iđêan nguyên tố (0)≠q . Khi đó chọn một phần tử 0x ≠ thuộc vào q . Dãy khớp 0 0( ) x RR R x→ → → → , cho ta thu được dãy khớp: 1 , , ,( ) ( ) ( )( ) xl l l I J I J I J RH H R H Rx − → → Lưu ý rằng dim 1 1( ) R r lJ x = − < −+ nên theo giả thiết quy nạp ta suy ra được 1 , ( ) 0( ) l I J RH x − = . Điều này chứng tỏ rằngx là , ( ) l I JH R -chính quy. Nhưng x lại nằm trong iđêan nguyên tố liên kết q của , ( ) l I JH R , nên x là ước của không trong , ( ) l I JH R (!). Điều vô lý ở trên dẫn đến { },As ( ( )) (0)lI Js H R = . Dựa theo mệnh đề (2.1.8) và (2.1.14) phần (v) ta có rằng ,As ( ( )) W( , ) l I Js H R I J⊆ , suy ra (0) W( , )I J∈ . Do đó tồn tại 0 : nn I J≥ ⊆ , suy ra rằng với mọi x thuộc R ta đều có 41 ,( ) ( ) n I JI Ann x J x R⊆ + ⇒ ∈Γ . Điều này suy ra R là một R-môđun (I,J)-xoắn do đó , ( ) 0 l I JH R = (mâu thuẫn!). Vậy ta có điều phải chứng minh.  Hệ quả 2.4.4. Cho R là một vành địa phương và M là một R-môđun (không cần thiết phải hữu hạn sinh). Thì ta có , ( ) 0 i I JH M = với mọi dim /i R J> . Chứng minh. Do một R-môđun là giới hạn thuận của những môđun con hữu hạn sinh, ta có thể viết limM M λ λ =  trong đó mỗi M λ là một R-môđun hữu hạn sinh. Để ý rằng dim / dim dim( ( )) MRR J J Ann M JM λ λ λ ≥ =+ . Do đó với dim / dim Mi R J JM λ λ > ≥ thì theo mệnh đề (2.2.6), ta có: , ,( ) lim ( ) 0 i i I J I JH M H M λ λ = =   Định lý 2.4.5. Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương ( , )R m . Giả sử I J+ là iđêan m -nguyên sơ. Khi đó ta có đẳng thức: { },sup | ( ) 0 dim /iI Ji H M M JM≠ = Chứng minh. Nhờ định lý (2.4.3) ta chỉ cần chứng minh rằng , ( ) 0 r I JH M ≠ với dim /r M JM= . Vì I J+ là iđêan m -nguyên sơ nên theo mệnh đề (2.1.5)thì , ,( ) ( ) i i I J JH M H M= m với mọi số tự nhiên i. Do đó ta có thể giả sử I = m . Từ dãy khớp 0 0MJM M JM→ → → → ta suy ra được dãy khớp: 1 , , ,( ) ( ) ( ) r r r J J J MH M H H JMJM +→ →m m m (*) Theo định lý (2.4.3) ta có 1, ( ) 0 r JH JM + =m vì 2 2dim( ) dim( )JM MJ M J M≤ dim( )M rJM= = . Hơn nữa, theo mệnh đề (2.2.5) và định lý không triệt tiêu của Grothendieck (1.8.7) ta có: 42 , ( ) ( ) 0 r r J M MH HJM JM= ≠m m Do đó từ dãy khớp (*) ta suy ra được , ( ) 0 r I JH M ≠ (điều phải chứng minh).  Định lý 2.4.6. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, ta có: i. , ( ) 0 i I JH M = với mọi dimi M> . ii. , ( ) 0 i I JH M = với mọi dim 1Mi JM> + . Chứng minh. i. Theo định lý (2.3.2) và định lý triệt tiêu của Grothendieck (1.8.6) ta có: , W( , ) ( ) lim ( ) 0i iI J I J H M H M ∈ ≅ =   a a với mọi dimi M> . ii. Ta chứng minh bằng quy nạp theo dim( )Mr JM= . Khi 1r = − thì theo bổ đề Nakayama ta có a J∈ sao cho (1 ) 0a M+ = . Do đó với mọi x M∈ thì x ax Jx= − ∈ nên Rx Jx= . Từ đây ta suy ra Mlà R-môđun (I,J)- xoắn. Mệnh đề(2.1.14) cho chúng ta , ( ) 0, 0 1 i I JH M i r= ∀ > = + . Khi 0r ≥ sử dụng kỹ thuật chứng minh tương tự như định lý (2.4.3) ta sẽ có điều phải chứng minh.  43 KẾT LUẬN Trong luận văn này tôi đã làm được những điều sau đây: • Đưa ra định nghĩa môđun , ( )I J MΓ , môđun , ( ) i I JH M và một số tính chất cơ bản (trong phần 2.1), và tập W( , )I J có một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất này. • Đưa ra định nghĩa phức Cech suy rộng tương ứng với môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan, và định lý (2.2.4) chỉ ra đẳng cấu tự nhiên của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan và phức Cech suy rộng. • Môđun , ( ) i I JH M là giới hạn thuận của một hệ thuận các môđun đối đồng điều địa phương, và mệnh đề (2.3.5) ta có , W( , ) ( ) lim ( )I J J I M M ∈ Γ = Γ   m m trong trường hợp (R, )m là vành địa phương. • Một số định lý về tính triệt tiêu và không triệt tiêu trong phần (2.4). Đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan là một vấn đề khá mới mẻ và còn nhiều bài toán mở để nghiên cứu. Chẳng hạn như về tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan, tập các iđêan nguyên tố liên kết, đối ngẫu Matlis hoặc biến đối iđêan 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M. P. Brodman and R. Y. Sharp, Local cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Application, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. [2] R. Takahashi, Y. Yoshino and T. Yoshizawa, Local cohomology based on a nonclosed support define by a pair of ideals, J. Pure Appl. Algebra 213 (2009), 582-600. [3] L. Chu and Q. Wang, Some results on local cohomology modules define by a pair of ideals, J. Math. Kyoto Univ. 49 (2009), no. 1, 59-72. [4] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986. [5] A. Grothendieck, Local cohomology, Lecture Notes in Mathematics 41, Springer, 1967. [6] L. Chu, Top local cohomology modules with respect to a pair of ideals, Proc. Amer. Math. Soc, 139: 777-782, 2011. [7] J. R. Strooker, Homological question in Local Algebra, Cambridge University Press, Cambridge, 1990. [8] D. G. Northcott, An introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, Cambridge, 1960. [9] J. J. Rotman, An introduction to Homological Algebra, Springer Press, 2009. [10] D. Eisenbud, Comutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer Press, 1995.