Luận văn Một số tính chất của nón phân thớ

trộn tối tiểu. 3 Chương 1 SỐ BỘI HILBERT-SAMUEL VÀ SỐ BỘI TRỘN Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm về số bội Hilbert-Samuel, số bội trộn, số bội trộn tối tiểu và các tính chất cần thiết cho chứng minh các định lý chính ở Chương 2 và Chương 3. 1.1 Số bội Hilbert-Samuel Cho A là vành Noether N-phân bậc chuẩn trên vành Artin A0 và E là Z-môđun phân bậc hữu hạn sinh trên A. Khi đó `A0(En) < ∞ và hàm số HE(−) : Z → N được xác định bởi HE(n) = `A0(En), với mọi n ∈ Z được gọi là hàm Hilbert của E. Định lý 1.1.1. (Hilbert-Serre) Cho A là vành Noether N-phân bậc chuẩn trên vành Artin A0 và E là A-môđun phân bậc hữu hạn sinh chiều d. Khi đó, tồn tại một đa thức pE(x) ∈ Q[X] có bậc d− 1 gọi là đa thức Hilbert của E sao cho HE(n) = pE(n), với mọi n đủ lớn. Hơn nữa, pE(x) luôn 4 viết được duy nhất dưới dạng pE(x) = d−1∑ i=0 (−1)iei(E)  x+ d− i− 1 d− i− 1  với e0(E), ..., ed−1(E) là các số nguyên và e0(E) > 0. Khi đó số bội của môđun E được định nghĩa là e(E) :=  e0(E) nếu d > 0, `(E) nếu d = 0. Từ đây cho đến hết Mục 1.1, nếu không nói gì ta luôn giả thiết (A,m) là vành địa phương Noether chiều d, E là A-môđun hữu hạn sinh và a là iđêan m-nguyên sơ của A. Định nghĩa 1.1.2. Hàm Ha,E(−) : Z→ N được xác định bởi Ha,E(n) = `(E/an+1E) <∞, với mọi n ∈ Z được gọi là hàm Hilbert-Samuel của E đối với a. Định nghĩa 1.1.3. Cho (A,m) là vành địa phương Noether, E là A- môđun hữu hạn sinh và a là một iđêan của A. Khi đó, Ga(E) := ⊕ n≥0 anE/an+1E được gọi là môđun phân bậc liên kết của E đối với a. Trong trường hợp E = A, ta kí hiệu Ga(A) bởi G(a) và được gọi là vành phân bậc liên kết của A đối với a. Bây giờ giả sử a là iđêan m-nguyên sơ. Khi đó G(a) là vành phân bậc chuẩn có G0 = A/a là vành Artin. Hơn nữa, Ga(E) là môđun phân 5 bậc hữu hạn sinh trên G(a). Theo Định lý Hilbert-Serre tồn tại đa thức pGa(E)(x) và số s sao cho `(Ga(E)n) = `(a nE/an+1E) = pGa(E)(n),∀n ≥ s. Do đó với mọi n ≥ s, ta có Ha,E(n) = `(E/a n+1E) = s−1∑ j=0 `(ajE/aj+1E) + n∑ j=s `(ajE/aj+1E) = α + n∑ j=s pGa(E)(j), trong đó α là hằng số. Từ đó suy ra Ha,E(n) bằng một đa thức có bậc bằng dimE với mọi n đủ lớn. Do đó ta có hệ quả sau Hệ quả 1.1.4. Tồn tại một đa thức Pa,E(x) ∈ Q[X] có bậc bằng dimE gọi là đa thức Hilbert-Samuel sao cho Ha,E(n) = Pa,E(n), với mọi n đủ lớn. Vì dimE ≤ d nên ta luôn viết được Pa,E(n) duy nhất dưới dạng Pa,E(n) = e.nd d! + g(n), trong đó g(n) có bậc nhỏ hơn d, e ∈ Z và e > 0. Định nghĩa 1.1.5. e(a, E) := e được gọi là số bội Hilbert-Samuel của E đối với a. Trong trường hợp E = A, khi đó ta đặt e(a, A) = e(a) và định nghĩa là số bội của a. Nói riêng e(m) := e(A). 6 Từ nhận xét trước Hệ quả 1.1.4 ta có e(a, E) = e0(Ga(E)). Tiếp theo chúng ta nêu một số tính chất cơ bản của số bội Hilbert- Samuel. Những tính chất này được trích từ [10], từ trang 107 đến trang 112. Từ định nghĩa dễ dàng suy ra bổ đề sau Bổ đề 1.1.6. Với a và E như trên ta có (i) e(a, E) = lim n→∞ d!`(E/an+1E) nd . Nói riêng nếu d = 0 thì e(a, E) = `(E). (ii) e(as, E) = sde(a, E),∀s ≥ 1. (iii) e(a, E) > 0 nếu dimE = d và e(a, E) = 0 nếu dimE < d. (iv) Nếu a và a ′ là hai iđêan m-nguyên sơ của A và a ⊆ a′ thì e(a, E) ≥ e(a ′ , E) . Tiếp theo chúng tôi nêu một số tính chất được dùng trong tính toán số bội Hilbert-Samuel Bổ đề 1.1.7. Cho 0 −→ E ′ −→ E −→ E ′′ −→ 0 là dãy khớp các A-môđun hữu hạn sinh. Khi đó, e(a, E) = e(a, E ′ ) + e(a, E ′′ ). Định lý 1.1.8. (Công thức bội liên kết) Cho {p1, · · · , pr} là tất cả các iđêan nguyên tố tối tiểu của A mà dimA/pi = d. Khi đó e(a, E) = r∑ i=1 e(ai, A/pi)` (Epi), trong đó ai là ảnh của a trong A/pi và ` (Epi) là độ dài của Epi như Api−môđun. 7 Ví dụ 1.1.9. Cho A = k[[X1, · · · , Xn]] với k là một trường. a = (Xn)∩ (X21 , X23)∩ (X2, X33) là phân tích nguyên sơ tối tiểu của a. B = A/a = k[[X1, · · · , Xn]]/(Xn) ∩ (X21 , X23) ∩ (X2, X33). Ta có Ass(A/a) = {(Xn), (X1, X3), (X2, X3)} = {p1, p2, p3}, trong đó p1 = (Xn), p2 = (X1, X3), p3 = (X2, X3). Đặt p ′ 1 = (xn), p ′ 2 = (x1, x3), p ′ 3 = (x2, x3) lần lượt là ảnh của p1, p2, p3 trong B. Khi đó p ′ 1, p ′ 2, p ′ 3 là các iđêan nguyên tố tối tiểu của B. Mặt khác dimB = max { dimA/p1, dimA/p2, dimA/p3} = dimA/p1 = n− 1. Áp dụng Định lý 1.1.8 trong vành B = A/a ta được, e(B) = e(A/p1)`(Bp1) = 1. Định nghĩa 1.1.10. Iđêan b ⊆ a của A được gọi là một rút gọn của a nếu có một số nguyên không âm r sao cho ar+1 = bar. Một rút gọn của a được gọi là tối tiểu của a nếu nó không thực sự chứa một rút gọn nào khác của a. Northcott và Rees đã chứng minh rằng rút gọn tối tiểu của một iđêan luôn tồn tại. Nếu b là một rút gọn của a và ar+1 = bar thì với mọi n > r ta có an = ban−1. 8 Định nghĩa 1.1.11. Nếu b là một rút gọn của a thì số mũ rút gọn của a đối với b được định nghĩa là rb(a) = min { n ≥ 0|an+1 = ban} . Số mũ rút gọn r(a) của a được định nghĩa là r(a) = min{ rb(a) | b là rút gọn tối tiểu của a }. Bổ đề 1.1.12. Giả sử b là một rút gọn của a. Khi đó b cũng là m-nguyên sơ và với bất kì A-môđun hữu hạn sinh E ta có e(b, E) = e(a, E). Hệ quả 1.1.13. Giả sử trường thặng dư của A vô hạn. Khi đó tồn tại một hệ tham số x của A mà (x) là một rút gọn tối tiểu của a và e(a, E) = e((x), E). Từ bổ đề trên suy ra nếu A/m vô hạn thì mọi iđêan rút gọn tối tiểu của a đều là iđêan tham số. Bổ đề 1.1.14. Cho (A,m) là vành địa phương Noether chiều d, a là iđêan m-nguyên sơ của A và x1, · · · , xd là một hệ tham số của A được chứa trong a. Giả sử xi ∈ ari,∀i = 1, · · · , d. Khi đó với mọi s = 1, · · · , d ta có e(a/(x1, · · · , xs), E/(x1, · · · , xs)E) ≥ r1 · · · rse(a, E). Nói riêng, nếu s = d chúng ta có `(E/(x1, · · · , xd)E) ≥ r1 · · · rde(a, E). Hệ quả 1.1.15. Cho (A,m) là một vành địa phương Noether chiều d và E là A-môđun hữu hạn sinh. Giả sử x1, · · · , xd là một hệ tham số của 9 E. Đặt q = (x1, · · · , xd). Khi đó, `(E/qE) ≥ e(q, E). Định nghĩa 1.1.16. Cho (A,m) là vành địa phương Noether. Một A- môđun hữu hạn sinh E được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu E = 0 hoặc nếu E 6= 0 và `(E/qE) = e(q, E), trong đó q là một iđêan tham số của E. Nếu bản thân A là môđun Cohen-Macaulay như A-môđun thì ta gọi A là vành Cohen-Macaulay. Ví dụ 1.1.17. (i) k là một trường. Khi đó k là vành Cohen-Macaulay. (ii) k[[X1, · · · , Xn]], với k là một trường, là vành Cohen-Macaulay. Ví dụ 1.1.18. Cho vành A = k[[t4, t5, t6, t7]] với t là phần tử bất định và m = (t4, t5, t6, t7). Ta có m = {∑ n≥4 αnt n|αn ∈ k } , suy ra mp = { ∑ n≥4p αnt n|αn ∈ k } . Do đó ` (A/mp) = 4p− 3. Vậy e(A) = e(m) = 4. Ta có m2 = (t8, t9, t10, t11, t12, t13, t14), (t4)m = (t8, t9, t10, t11). Suy ra m2 = (t4)m. Do đó (t4) là rút gọn tối tiểu của m. Theo nhận xét ở Hệ quả 1.1.13 ta được q = (t4) là iđêan tham số của A. 10 Theo Hệ quả 1.1.13, e(q) = e(m) = 4. Mặt khác, q = { t4 + ∑ n≥8 αnt n|αn ∈ k } , suy ra ` (A/q) = 4. Từ đó nhận được e(q) = ` (A/q). Vậy A là vành Cohen-Macaulay. Sau đây là một vài tính chất đặc biệt của vành và môđun Cohen- Macaulay. Bổ đề 1.1.19. E là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi `(E/qE) = e(q, E) với mọi hệ tham số q của E. Bổ đề 1.1.20. [7, Lemma 1.7] Giả sử q là iđêan tham số của E và n là số nguyên không âm. Khi đó, `(E/qn+1E) ≤ ( n+ d d ) `(E/qE). Dấu đẳng thức với mọi n xảy ra khi và chỉ khi E là Cohen-Macaulay. Tiếp theo ta nêu một số ví dụ tính toán cụ thể số bội Hilbert-Samuel. Ví dụ 1.1.21. Cho (A,m, k) là vành địa phương chính quy chiều d. Khi đó, Gm(A) ∼= A′ = k[X1, · · · , Xd]. Vì HA′(n) = ( n+ d− 1 d− 1 ) , nên e(A) = e0(Gm(A)) = e0(A ′ ) = 1. Vì A là chính quy nên m được sinh bởi một hệ tham số của A, tức m = (x1, · · · , xd). 11 Kí hiệu (x) := (x1, · · · , xd), ta có ` (A/ (x)) = `(A/m) = 1. Mặt khác, e((x)) = e(m) = e(A) = 1. Từ đó suy ra e((x)) = ` (A/ (x)). Vậy A là vành Cohen-Macaulay. Từ đó suy ra một vành địa phương chính quy là vành Cohen-Macaulay. Ví dụ 1.1.22. Cho A = k[X1, · · · , Xd], với d ≥ 2 và B = A/(f), f là đa thức thuần nhất bậc s. Xét B như vành phân bậc, tính e0(B) (xem Định lý 1.1.1). Ta có dãy khớp 0 −→ A(−s) ·f−→ A −→ A/fA −→ 0. Từ đó suy ra dãy khớp 0 −→ A(−s)n ·f−→ An −→ (A/fA)n −→ 0. Vì A(−s)n = An−s nên HB(n) = ` ((A/fA)n) = ` (An)− ` (An−s) = ( n+ d− 1 d− 1 ) − ( n− s+ d− 1 d− 1 ) Từ đó ta được pB(x) = ( x+ d− 1 d− 1 ) − ( x− s+ d− 1 d− 1 ) = s (d− 2)!x d−2 + g(x), trong đó g(x) có bậc nhỏ hơn d− 2. 12 Vậy e0(B) = s. Từ đó suy ra nếu C = k[[X1, · · · , Xd]]/(f) thì e(C) = s. 1.2 Số bội trộn Cho (A,m) là vành địa phương chiều d, a là iđêan m-nguyên sơ. Theo Hệ quả 1.1.4, `(A/an) là một đa thức bậc d ẩn r, với mọi r đủ lớn. Giả sử b là một iđêan m-nguyên sơ khác. Khi đó `(A/arbs) < ∞. Một câu hỏi tự nhiên là có gì tương tự khi xét hàm số `(A/arbs), với r và s là các số nguyên dương. Câu hỏi này đã được Bhattacharya trong [2] trả lời. Định nghĩa 1.2.1. Cho a và b là hai iđêan m-nguyên sơ. Hàm số Bhat- tacharya của a và b là hàm Ba,b(−) : N∗ × N∗ → N được xác định bởi Ba,b(r, s) = `(A/a rbs) <∞, với mọi r, s ∈ N∗. Bhattacharya đã chứng minh được trong [2] định lý sau. Định lý 1.2.2. Tồn tại một đa thức pa,b(x, y) ∈ Q[X, Y ] bậc d sao cho Ba,b(r, s) = pa,b(r, s), với mọi r, s đủ lớn. Hơn nữa, các thành phần có bậc tổng là d với hai biến r, s trong pa,b(r, s) có dạng 1 d! e0(a|b)rd + · · ·+  d i  ei(a|b)rd−isi + · · ·+ ed(a|b)sd  , với e0(a|b), · · · , ei(a|b), · · · , ed(a|b) là các số nguyên dương. Các số e0(a|b), · · · , ei(a|b), · · · , ed(a|b) được gọi là các số bội trộn của a và b. Khái niệm này được đưa ra bởi Teissier trong [14]. 13 Bhattacharya cũng nghiên cứu về hàm số B ′ a,b(−) : N∗×N∗ → N được xác định bởi: B ′ a,b(r, s) = `(a rbs/ar+1bs) <∞, (1.1) với mọi r, s ∈ N∗. Bhattacharya đã chứng minh trong [2] tồn tại một đa thức p ′ a,b(x, y) ∈ Q[X, Y ] bậc d− 1 sao cho B ′ a,b(r, s) = p ′ a,b(r, s), với mọi r, s đủ lớn. Hơn nữa, các thành phần có bậc tổng là d − 1 với hai biến r, s trong p ′ a,b(r, s) có dạng 1 (d− 1)! { e0(a|b)rd−1 + · · ·+ ( d− 1 i ) ei(a|b)rd−1−isi + · · ·+ ed−1(a|b)sd−1 } . Từ đó dễ dàng xác định được mối liên hệ giữa số bội Hilbert-Samuel e(arbs) và các số bội trộn e0(a|b), · · · , ei(a|b), · · · , ed(a|b). Bổ đề 1.2.3. Với mọi r, s nguyên dương ta có e(arbs) = e0(a|b)rd + · · ·+  d i  ei(a|b)rd−isi + · · ·+ ed(a|b)sd. (1.2) Chứng minh. Xét hàm số, `(A/(arbs)n) = `(A/arnbsn). Nếu xem đây là hàm Bhattacharya của a và b thì với mọi rn và sn đủ lớn các thành phần có bậc tổng là d với hai biến rn, sn trong đa thức tương ứng là 1 d! e0(a|b)(rn)d + · · ·+  d i  ei(a|b)(rn)d−i(sn)i + · · ·+ ed(a|b)(sn)d  hay nd d! e0(a|b)rd + · · ·+  d i  ei(a|b)rd−isi + · · ·+ ed(a|b)sd  . 14 Cố định r và s, n thay đổi thì với mọi n đủ lớn ta có thể xem hệ số của nd trong đa thức trên là 1 d! e0(a|b)rd + · · ·+  d i  ei(a|b)rd−isi + · · ·+ ed(a|b)sd  . Nếu xem `(A/(arbs)n), với r, s cố định, n thay đổi là hàm Hilbert- Samuel của iđêan arbs thì với mọi n đủ lớn hệ số của nd trong đa thức tương ứng là e(arbs) d! . Từ đó suy ra đẳng thức sau với mọi r, s nguyên dương e(arbs) = e0(a|b)rd + · · ·+  d i  ei(a|b)rd−isi + · · ·+ ed(a|b)sd. Trong một số trường hợp đặc biệt, Rees trong [11] đưa ra mối liên hệ sau. Bổ đề 1.2.4. ([11]) Cho (A,m) là vành địa phương Noether chiều d, a, b là hai iđêan m-nguyên sơ của A. Khi đó, (i) ei(a|a) = e(a),∀i = 1, · · · , d, (ii) e0(a|b) = e(a), (iii) ed(a|b) = e(b). Chứng minh. (i) Hiển nhiên. (ii) Giả sử B ′ a,b(r, s) = p ′ a,b(r, s), với mọi r ≥ r0 và s ≥ s0. Ta xem bs như một A-môđun và coi e(a, bs) như số bội của a trên A-môđun bs. Cố 15 định một s ≥ s0. Khi đó ta có e(a, bs) = lim r→∞ (d− 1)!`(arbs/ar+1bs) rd−1 = lim r→∞ (d− 1)!B ′a,b(r, s) rd−1 = e0(a|b) Vì b là m-nguyên sơ nên iđêan (0 : bs) = {r ∈ A/rbs = (0)} là lũy linh. Vì vậy dim bs = dimA/(0 : bs) = d và dimA/bs < d. Suy ra e(a, A/bs) = 0. Ta có dãy khớp 0 −→ bs −→ A −→ A/bs −→ 0. Theo Bổ đề 1.1.7, e(a, bs) = e(a, A)− e(a, A/bs). Vậy e(a, bs) = e(a, A) = e(a). (iii) Tương tự (ii) ta được ed(a|b) = e(b). Rees trong [12] đã giới thiệu về rút gọn chung của một tập các iđêan và từ đó chứng minh được công thức tính các số bội trộn ei(a|b), với i = 0, ..., d thông qua số bội Hilbert-Samuel của một hệ tham số. Định nghĩa 1.2.5. [12, Section 1] Cho U = (a1, · · · , at) là một tập các iđêan của A, không cần thiết phải khác nhau. Kí hiệu R = (r1, · · · , rt) là tập các số nguyên dương nào đó, Ri = (r1, · · · , ri− 1, · · · , rt). Khi đó ta nói một tập các phần tử xi, i = 1, · · · , t là một rút gọn chung của a1, · · · , at nếu xi ∈ ai, với mỗi i = 1, · · · , t và ta có UR = t∑ i=1 xiU Ri, trong đó UR = a1 r1 · · · atrt. 16 Một cách phát biểu tương đương là, nếu c = t∑ i=1 xia1 · · · ai−1ai+1 · · · at thì c là rút gọn của a1 · · · at. Trong trường hợp các iđêan a1, · · · , at có thể lặp lại, ta kí hiệu tập gồm k1 iđêan a1,· · · , kt iđêan at là (a1, · · · , a1, · · · , at, · · · , at) := (a1[k1]| · · · |at[kt]) và được gọi là tập bội của k1 iđêan a1,· · · , kt iđêan at. Rees chứng minh được rằng nếu A/m vô hạn thì rút gọn chung luôn tồn tại. Khi đó ta có thể tính được các số bội trộn theo số bội Hilbert- Samuel như sau. Bổ đề 1.2.6. [12, Theorem 2.4] Cho (A,m) là vành địa phương Noether chiều d và s1, · · · , sd−i, t1, · · · , ti là một rút gọn chung của (a[d−i]|b[i]), với mọi i = 0, · · · , d. Kí hiệu qi = (s1, · · · , sd−i, t1, · · · , ti). Khi đó, với mọi i = 0, · · · , d ta có ei(a|b) = e(qi). Chú ý rằng, kết hợp bổ đề này với Hệ quả 1.1.13 ta cũng nhận được Bổ đề 1.2.4 ở trên. Nhận xét 1.2.7. Giả thiết và kí hiệu như ở Bổ đề 1.2.6. Vì s1, · · · , sd−i, t1, · · · , ti là một rút gọn chung của (a[d−i]|b[i]) nên qi là iđêan tham số của A, với mọi i = 0, · · · , d. Do đó, từ Bổ đề 1.2.6 ta có bổ đề sau nêu công thức tính các số bội trộn ei(a|b), với i = 0, · · · , d đối với vành địa phương Cohen-Macaulay. Bổ đề 1.2.8. Cho (A,m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều d và s1, · · · , sd−i, t1, · · · , ti là một rút gọn chung của (a[d−i]|b[i]). Kí hiệu qi = (s1, · · · , sd−i, t1, · · · , ti). Khi đó,với mọi i = 0, · · · , d ta có ei(a|b) = ` ( A qi ) . 17 Dựa vào kết quả của Bổ đề 1.2.8 ta có thể tính được các số bội trộn của m và a trong vành địa phương (A,m) Cohen-Macaulay chiều d , với a là iđêan m-nguyên sơ. Ví dụ 1.2.9. [5, Example 3.11] Cho vành A = k[[x, y, z]] với k là một trường, m = (x, y, z) và a = (x3, y3, z3, xy, xz, yz). Ta nhận thấy yz ∈ a, xy + xz ∈ a và x+ y + z ∈ m thỏa mãn ma = yzm+ (xy + xz)m+ (x+ y + z)a. Suy ra ma2 = yzma+ (xy + xz)ma+ (x+ y + z)a2. Do đó, (x+ y + z)a+ (yz, xy + xz)m là một rút gọn của ma. Vì vậy (x+ y + z, yz, xy + xz) là một rút gọn chung của (m|a[2]). Mặt khác dimA = 3 nên theo Bổ đề 1.2.8 ta được e2(m|a) = ` ( A (x+ y + z, yz, xy + xz) ) = 4. Ta có yz ∈ a, y + z ∈ m và x ∈ m thỏa mãn m2a = yzm2 + (y + z)ma+ xma. Do đó (y + z, x, yz) là rút gọn chung của (m[2]|a). Theo Bổ đề 1.2.8 ta được e1(m|a) = ` ( A (y + z, x, yz) ) = 2. Vậy e2(m|a) = 4; e1(m|a) = 2. Ngoài ra, xét trường hợp (A,m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều 2 với trường thặng dư vô hạn, a và b là hai iđêan m-nguyên sơ của A. Khi đó chúng ta có công thức tính số bội trộn e1(a|b) như sau. 18 Bổ đề 1.2.10. [16, Theorem 3.2] Cho (A,m) là vành địa phương Cohen- Macaulay chiều 2 với trường thặng dư vô hạn, a và b là hai iđêan m- nguyên sơ của A. Khi đó hai phát biểu sau là tương đương (i) Tồn tại x ∈ a và y ∈ b thỏa mãn xb+ ya = ab. (ii) e1(a|b) = ` (A/ab)− `(A/a)− `(A/b). Trong bổ đề trên, cho a = b, ta suy ra công thức tính số bội của a trong trường hợp số mũ rút gọn r(a) ≤ 1. Hệ quả 1.2.11. Cho (A,m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều 2 với trường thặng dư vô hạn và a là iđêan m-nguyên sơ của A. Khi đó, r(a) ≤ 1 khi và chỉ khi e(a) = ` ( A a2 ) − 2` ( A a ) . Dựa vào kết quả của Bổ đề 1.2.10 ta có thể tính được số bội trộn e1(m|a) trong vành địa phương (A,m) Cohen-Macaulay chiều 2, với a là iđêan m-nguyên sơ. Ví dụ 1.2.12. ChoA = k[[x, y]] với k là một trường, a = (x3, x2y4, xy5, y7) và b = (x3, y7). Ta có ma = (x4, x3y, x2y5, xy6, y8). Vì y ∈ m và x3 ∈ a thỏa mãn ya+ x3m = ma nên theo Bổ đề 1.2.10, e1(m|a) = ` (A/ma)− `(A/a)− `(A/m). Mặt khác, ` ( A ma ) = 20, ` ( A m ) = 1, ` ( A a ) = 16. Từ đó suy ra, e1(m|a) = 3. 19 Bên cạnh đó, theo (1.1) cho trường hợp m và iđêan m-nguyên sơ a, ta có phương pháp khác để tính các số bội trộn của m và a. Ta có thể xem mras/mr+1as là không gian véc tơ trên trường A/m. Do vậy `(mras/mr+1as) = µ(mras), với mọi r, s nguyên dương, trong đó µ(a) kí hiệu số phần tử sinh tối tiểu của a. Khi đó ed−1(m|a) (d− 1)! chính là hệ số của sd−1 trong biểu thức của µ(mras). Nếu tính được cụ thể biểu thức của µ(mras) thì ta có thể suy ra tất cả các số bội trộn ei(m|a), với mọi i = 0, · · · , d − 1. Từ đó minh họa đẳng thức (1.2) trong trường hợp r = s = 1. Ví dụ 1.2.13. Cho vành A = k[[x, y]] với k là một trường, m = (x, y) và a = (x4, x3y, xy3, y4). Ta có, an = m4n, với mọi n ≥ 2. Từ đó suy ra, với mọi r, s nguyên dương và s ≥ 2, `(mras/mr+1as) = µ(mras) = µ(mr+4s) = ( r + 4s+ 1 1 ) = r + 4s+ 1. Do đó, e0(m|a) = 1 và e1(m|a) = 4. Mặt khác, với mọi n ≥ 2, ` ( A an ) = ` ( A m4n ) = ( 4n+ 1 2 ) = 4n(4n+ 1) 2 . Từ đó nhận được e(a) = 16. Lại có, với mọi n ≥ 2, ` ( A (ma)n ) = ` ( A m5n ) = ( 5n+ 1 2 ) = 5n(5n+ 1) 2 . Suy ra, e(ma) = 25. 20 Vì vậy e(ma) = e0(m|a) + ( 2 1 ) e1(m|a) + e2(m|a), trong đó, e0(m|a) = e(m) = 1 và e2(m|a) = e(a) = 16. Vậy đẳng thức (1.2) đúng với r = s = 1. Ví dụ 1.2.14. Cho vành A = k[[x, y, z]] với k là một trường, m = (x, y, z) và a = m3. Với mọi r, s nguyên dương ta có `(mras/mr+1as) = `(mr+3s/mr+3s+1) = µ(mr+3s) = ( r + 3s+ 2 2 ) = (r + 3s+ 2)(r + 3s+ 1) 2 = 1 2 (r2 + 6rs+ 9s2) + · · · Suy ra e0(m|a) = 1; e1(m|a) = 3; e2(m|a) = 9. Ví dụ 1.2.15. Cho vành A = k[[t4, t5, t6, t7]] với t là phần tử bất định, m = (t4, t5, t6, t7) và a = (t4, t5, t6). Theo Ví dụ 1.1.18 ta được ed−1(m|a) = e0(m|a) = e(m) = e(A) = 4. 1.3 Số bội trộn tối tiểu Trong mục này chúng tôi giới thiệu khái niệm iđêan có số bội trộn tối tiểu và đặc trưng để nhận biết iđêan có số bội trộn tối tiểu. Trong vành địa phương (A,m) Cohen-Macaulay chiều d, Abhyankar trong [1] đã chứng minh rằng µ(m)−d+1 ≤ e(A). Cruz-Raghavan-Verma mở rộng điều này cho số bội trộn. 21 Định lý 1.3.1. [5, Lemma 3.1] Cho (A,m) là vành địa phương Cohen- Macaulay chiều d và a là iđêan m-ngyên sơ. Khi đó, ed−1(m|a) ≥ µ(a)− d+ 1. Chứng minh. Nếu cần thiết ta thay A bằng vành A(X) = A[X]mA[X] nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử A/m vô hạn. Cho (x, y1, · · · , yd−1) là một rút gọn chung của (m|a[d−1]). Khi đó theo Bổ đề 1.2.8, ed−1(m|a) = ` ( A (x, y1, · · · , yd−1) ) . Xét ánh xạ f : A a ⊕ ( A m )d−1 → (x, y1, · · · , yd−1) xa+ (y1, · · · , yd−1)m (z ′ , t ′ 1, ..., t ′ d−1) 7→ (zx+ d−1∑ i=1 tiyi) ′ , trong đó dấu phẩy là kí hiệu modulo. Rõ ràng f là toàn cấu. Vì vậy ` ( A a ) + ` (( A m )d−1) − ` (ker f) = ` ( (x, y1, · · · , yd−1) xa+ (y1, · · · , yd−1)m ) . Hay ` ( A a ) + d− 1− ` (ker f) = ` ( A xa+ (y1, · · · , yd−1)m ) − ed−1(m|a). Suy ra ed−1(m|a) = ` (ker f)− d+ 1 + ` ( A xa+ (y1, · · · , yd−1)m ) − − ` ( A ma ) + ` ( A ma ) − ` ( A a ) = ` (ker f)− d+ 1 + µ(a) + ` ( ma xa+ (y1, · · · , yd−1)m ) . 22 Vì vậy ed−1(m|a) ≥ µ(a)− d+ 1. Định nghĩa 1.3.2. Cho (A,m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều d và a là iđêan m-ngyên sơ. Ta nói a có số bội trộn tối tiểu nếu ed−1(m|a) = µ(a)− d+ 1 (1.3) J. Chuai trong ([4]) đã chứng minh rằng với một iđêan m-ngyên sơ a trong một vành địa phương (A,m) Cohen-Macaulay chiều d, e(a) ≥ µ(a)−d+ ` (A/a). S. Goto trong ([8]) định nghĩa một iđêan có số bội tối tiểu nếu e(a) = µ(a)− d+ ` (A/a). Từ đó, S. Goto đã nghiên cứu nhiều đặc trưng của vành phân bậc liên kết, nón phân thớ và đại số Rees của các iđêan có số bội tối tiểu. Trong trường hợp iđêan không có số bội tối tiểu nhưng có số bội trộn tối tiểu, một số tác giả cũng đưa ra được nhiều tính chất đẹp được áp dụng trong nghiên cứu vành phân bậc liên kết, nón phân thớ và đại số Rees của các iđêan có số bội trộn tối tiểu. Sử dụng đẳng thức (1.3) trong định nghĩa trên ta có thể nhận biết iđêan có số bội trộn tối tiểu. Ví dụ 1.3.3. ChoA = k[[x, y]] với k là một trường, a = (x3, x2y4, xy5, y7) và b = (x3, y7). Theo Ví dụ 1.2.12, e1(m|a) = 3. Từ đó suy ra, ed−1(m|a) = µ(a)− d+ 1. Vậy a có số bội trộn tối tiểu. Ta có a2 = (x6, x2y10, y14, x5y4, x4y5, x3y7, xy12). a3 = (x9, x8y4, x7y5, x6y7, x5y10, x4y12, x3y14, x2y17, xy19, y21). 23 ba2 = (x9, x8y4, x7y5, x6y7, x5y10, x4y12, x3y14, x2y17, xy19, y21). Suy ra, a3 = ba2. Vậy b = (x3, y7) là một rút gọn tối tiểu của a. Từ đó nhận được e(a) = e(b) = ` ( A (x3, y7) ) = 21. Mà `(A/a) = 16 nên e(a) > µ(a)− d+ ` (A/a). Vậy a không có số bội tối tiểu. Ví dụ 1.3.4. Cho vành A = k[[x, y, z]] với k là một trường, m = (x, y, z) và a = (x3, y3, z3, xy, xz, yz). Theo Ví dụ 1.2.9, e2(m|a) = 4. Suy ra ed−1(m|a) = µ(a)− d+ 1. Vậy a có số bội trộn tối tiểu. Tiếp theo ta nêu đặc trưng của iđêan có số bội trộn tối tiểu. Trước hết ta nhắc lại khái niệm dãy chính quy. Định nghĩa 1.3.5. Cho (A,m) là vành địa phương Noether và E là A-môđun hữu hạn sinh. Một dãy các phần tử x1, · · · , xn trong A được gọi là một E-dãy chính quy nếu các điều kiện sau thỏa mãn (i) E 6= (x1, · · · , xn)E, (ii) xi không là ước của không trên E/(x1, · · · , xi−1)E, với mọi i = 1, · · · , n. Bổ đề 1.3.6. [3, Theorem 4.7.10] Giả sử x là một hệ tham số của E. Khi đó x là một E-dãy chính quy khi và chỉ khi E là Cohen-Macaulay. 24 Từ chứng minh của Cruz-Raghavan-Verma trong [5, Theorem 3.6] ta suy ra đặc trưng của iđêan có số bội trộn tối tiểu. Bổ đề 1.3.7. Cho (A,m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều d và a là iđêan m-ngyên sơ. Giả sử (x, y1, · · · , yd−1) là một rút gọn chung của (m|a[d−1]). Khi đó a có số bội trộn tối tiểu khi và chỉ khi ma = xa+ (y1, · · · , yd−1)m. (1.4) Chứng minh. Nếu cần thiết ta thay A bằng vành A(X) = A[X]mA[X] nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử A/m vô hạn. Vì (x, y1, · · · , yd−1) là rút gọn chung của (m|a[d−1]) nên theo Bổ đề 1.2.8, ed−1(m|a) = ` ( A (x, y1, · · · , yd−1) ) . Kí hiệu số đơn thức bậc n với d − 1 biến y1, · · · , yd−1 là r = ( n+d−2 d−2 ) , E1, · · · , Er là các đơn thức bậc n với d− 1 biến y1, · · · , yd−1. Xét ánh xạ f : A an ⊕ ( A m )r → (x, (y1, · · · , yd−1) n) xan + (y1, · · · , yd−1)nm (z ′ , t ′ 1, · · · , t ′ r) 7→ (zx+ r∑ i=1 tiEi) ′ , trong đó dấu phẩy là kí hiệu modulo. Ta chứng minh f là đơn cấu. Thật vậy, nếu f(z ′ , t ′ 1, · · · , t′r) = 0 thì zx+ r∑ i=1 tiEi ∈ xan + (y1, · · · , yd−1)nm. 25 Vì vậy tồn tại b ∈ an, c1, · · · , cr ∈ m sao cho zx+ r∑ i=1 tiEi = xb+ r∑ i=1 ciEi (1.5) Do đó x(z − b) = r∑ i=1 (ci − ti)Ei. Theo Bổ đề 1.3.6, vì (x, y1, · · · , yd−1) là iđêan tham số của A và A là Cohen-Macaulay nên x, y1, · · · , yd−1 là A-dãy chính quy. Suy ra (z−b) ∈ (E1, · · · , Er). Từ đó ta được z = b+ r∑ i=1 diEi, di ∈ A. (1.6) Thay (1.6) vào (1.5) ta có r∑ i=1 (ti − ci + xdi)Ei = 0. Vì y1, · · · , yd−1 là một dãy chính quy nên ti−ci+xdi ∈ (y1, · · · , yd−1), với mọi i = 1, · · · , r. Suy ra ti − ci + xdi ∈ m. Do đó ti ∈ m, với mọi i = 1, · · · , r. Mặt khác theo (1.6), z ∈ an nên (z′, t′1, · · · , t′r) = (0′, · · · , 0′). Vậy f là đơn cấu. Hiển nhiên f là toàn cấu. Vậy f là đẳng cấu. Từ đó ta được ` ( (x, (y1, · · · , yd−1)n) xan + (y1, · · · , yd−1)nm ) = ` (( A m )r) + ` ( A an ) . Hay ` ( A xan + (y1, · · · , yd−1)nm ) − ` ( A (x, (y1, · · · , yd−1)n) ) = ` ( A an ) + r (1.7) 26 Thay n = 1 vào (1.7) ta được ` ( A xa+ (y1, · · · , yd−1)m ) − ` ( A (x, y1, · · · , yd−1) ) = ` ( A a ) + r. Do đó ` ( A xa+ (y1, · · · , yd−1)m ) − ` ( A a ) = d− 1 + ed−1(m|a) (1.8) với r = d− 1. Giả sử a có số bội trộn tối tiểu. Theo định nghĩa ta có ed−1(m|a) = µ(a)− d+ 1. Từ đó suy ra d− 1 + ed−1(m|a) = µ(a) = ` ( a ma ) = ` ( A ma ) − ` ( A a ) . Do đó ` ( A xa+ (y1, · · · , yd−1)m ) = ` ( A ma ) . Vậy ma = xa+ (y1, · · · , yd−1)m. Ngược lại, nếu ma = xa+ (y1, · · · , yd−1)m thì ` ( A xa+ (y1, · · · , yd−1)m ) = ` ( A ma ) . Kết hợp với (1.8) ta được, ed−1(m|a) = µ(a)− d+ 1 hay a có số bội trộn tối tiểu. Vậy a có số bội trộn tối tiểu khi và chỉ khi ma = xa+(y1, · · · , yd−1)m. 27 Từ Bổ đề 1.3.7, ta có cách khác để nhận biết iđêan có số bội trộn tối tiểu là kiểm tra đẳng thức (1.4). Ví dụ 1.3.8. Cho vành A = k[[x, y, z]] với k là một trường, m = (x, y, z) và a = (x3, y3, z3, xy, xz, yz). Theo Ví dụ 1.2.9 ta có (x+ y + z, yz, xy + xz) là một rút gọn chung của (m|a[2]) và thỏa mãn ma = yzm+ (xy + xz)m+ (x+ y + z)a. Theo Bổ đề 1.3.7, a có số bội trộn tối tiểu. Từ đó suy ra e2(m|a) = µ(a)− d+ 1 = 4. Ví dụ 1.3.9. Cho vành A = k[[t4, t5, t6, t7]] với t là phần tử bất định, m = (t4, t5, t6, t7) và a = (t4, t5, t6). Ta có dimA = 1. Vì (t4) là iđêan rút gọn tối tiểu của m nên nó là rút gọn chung của (m|a[0]). Mặt khác ma = (t8, t9, t10, t11, t12, t13), (t4)a = (t8, t9, t10). Vì t11 ∈ ma nhưng t11 /∈ (t4)a nên suy ra ma 6= (t4)a. Theo Bổ đề 1.3.7, a không có số bội trộn tối tiểu. 28 Chương 2 CHUỖI HILBERT CỦA NÓN PHÂN THỚ Kết quả chính của chương này là trình bày công thức tính chuỗi Hilbert của nón phân thớ trong trường hợp iđêan m-nguyên sơ bất kì và trường hợp iđêan có số bội trộn tối tiểu. Trong toàn bộ chương này, nếu không nói gì ta luôn giả sử (A,m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều d với trường thặng dư vô hạn và a là iđêan m-ngyên sơ. 2.1 Chuỗi Hilbert Định nghĩa 2.1.1. Cho A là vành Noether N-phân bậc, A0 là vành Artin, E là Z-môđun phân bậc hữu hạn sinh trên A. Khi đó chuỗi HPE(λ) = +∞∑ n=−∞ HE(n)λ n được gọi là chuỗi Hilbert-Poincare (hay chuỗi Hilbert) của E. Ta nhận thấy hàm Hilbert, đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert của một A-môđun phân bậc hữu hạn sinh E trên vành Noether N-phân bậc A có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Từ việc tính hàm Hilbert của E ta suy 29 ra đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert của nó. Ví dụ 2.1.2. Cho A = k[X1, · · · , Xd] là vành đa thức d biến trên trường k có dạng phân bậc chuẩn A = ⊕ n≥0 An, với An là tập các đa thức thuần nhất bậc n. Vì An là không gian véc tơ trên trường k có cơ sở là các đơn thức bậc n nên HA(n) = `(An) = dimkAn = ( n+ d− 1 n ) . Vậy pA(x) = ( x+ d− 1 d− 1 ) , HPA(λ) = +∞∑ n=0 HA(n)λ n = +∞∑ n=0 ( n+ d− 1 n ) λn = 1 (1− λ)d . Ngược lại, nếu ta biết được công thức tường minh của chuỗi Hilbert của E thì bằng cách khai triển giải tích ta sẽ nhận được hàm Hilbert của E và tính được đa thức Hilbert của nó. Trước hết theo Hilbert-Serre ta có công thức chuỗi Hilbert của E được viết dưới dạng sau. Định lý 2.1.3. (Hilbert-Serre) Cho A là vành Noether phân bậc chuẩn trên vành Artin A0 và E 6= 0 là A-môđun phân bậc không âm hữu hạn sinh chiều d. Khi đó tồn tại duy nhất đa thức fE(λ) ∈ Z[λ] sao cho HPE(λ) = fE(λ) (1− λ)d . Từ công thức trên, ta có thể tính được các hệ số Hilbert của E. Bổ đề 2.1.4. [3, Proposition 4.1.9] Cho A là vành Noether phân bậc chuẩn trên vành Artin A0 và E 6= 0 là A-môđun phân bậc không âm hữu 30 hạn sinh chiều d.Giả sử pE(x) = e0 ( x+ d− 1 d− 1 ) − e1 ( x+ d− 2 d− 2 ) + · · ·+ (−1)d−1ed−1. Khi đó ei = f (i) E (1) i! , với mọi i = 0, · · · , d− 1. Hơn nữa e(E) = fE(1). Ví dụ 2.1.5. Cho A = k[X1, · · · , Xd] là vành đa thức d biến trên trường k có dạng phân bậc chuẩn A = ⊕ n≥0 An, với An là tập các đa thức thuần nhất bậc n. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo d đẳng thức HPA(λ) = 1 (1− λ)d (2.1) +) Với d = 1, khi đó A = k[X1]. Vì HA(n) = 1,∀n nên HPA(λ) = 1 + λ+ λ2 + · · · = 1 1− λ . Vậy (2.1) đúng với d = 1. +) Giả sử (2.1) đúng với d− 1, ta chứng minh (2.1) cũng đúng với d. Xét dãy khớp 0 −→ k[X1, · · · , Xd](−1) ·Xd−→ k[X1, · · · , Xd] −→ k[X1, · · · , Xd−1] −→ 0. Hay ta có dãy khớp 0 −→ An−1 ·Xd−→ An −→ Sn −→ 0, trong đó S = k[X1, · · · , Xd−1] = ⊕ n≥0 Sn. Suy ra `(An)− `(An−1) = `(Sn),∀n ≥ 1. Mặt khác HPA(λ) = +∞∑ n=0 HA(n)λ n = 1 + +∞∑ n=1 `(An)λ n. 31 λHPA(λ) = +∞∑ n=0 HA(n)λ n+1 = +∞∑ n=1 `(An−1)λn. Do đó (1− λ)HPA(λ) = 1 + +∞∑ n=0 (`(An)−`(An−1))λn = 1 + +∞∑ n=1 `(Sn)λ n = +∞∑ n=0 `(Sn)λ n = HPS(λ). Theo giả thiết quy nạp, HPS(λ) = 1 (1− λ)d−1 . Vậy HPA(λ) = 1 (1− λ)d . Vậy (2.1) đúng với mọi d. Theo Bổ đề 2.1.4, ta có e0 = 1; ei = 0,∀i = 1, · · · , d− 1. Do đó pA(x) = ( x+d−1 d−1 ) . +) Tính HA(n) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo d đẳng thức 1 (1− λ)d = +∞∑ n=0 ( n+ d− 1 n ) λn (2.2) +) Với d = 1, (2.2) đúng. +) Giả sử (2.2) đúng với d− 1, ta chứng minh (2.2) cũng đúng với d. 32 Thật vậy 1 (1− λ)d = 1 (1− λ)d−1 . 1 1− λ = [ +∞∑ n=0 ( n+ d− 2 n ) λn]. ( +∞∑ r=0 λr ) = (1 + C1d−1λ+ C 2 dλ 2 + C3d+1λ 3 + · · · )(1 + λ+ λ2 + λ3 + · · · ) = 1 + (C1d−1 + 1)λ+ (1 + C 1 d−1 + C 2 d)λ 2 + + (1 + C1d−1 + C 2 d + C 3 d+1)λ 3 + · · · = 1 + C1dλ+ C 2 d+1λ 2 + C3d+2λ 3 + · · · = +∞∑ n=0 ( n+ d− 1 n ) λn. Vậy (2.2) đúng với mọi d. Từ đó ta được HA(n) = ( n+d−1 n ) ,∀n ≥ 0. Ngoài ra ta có thể biết được khi nào hàm Hilbert trở thành đa thức và biết được đa thức Hilbert của một A-môđun phân bậc hữu hạn sinh E thông qua chuỗi Hilbert của nó. Bổ đề 2.1.6. [3, Proposition 4.1.12] Giả thiết và kí hiệu như ở Định lý 2.1.3. Giả sử fE(λ) = s∑ i=r hiλ i, với hs 6= 0. Khi đó HE(s−d) 6= pE(s−d) và HE(i) = pE(i),∀i ≥ s− d+ 1. Số ri(E) := min{n0|HE(i) = pE(i),∀i ≥ n0} được gọi là chỉ số chính quy của hàm Hilbert. Ví dụ 2.1.7. ChoA = k[x, y]/(x2, xy3). TínhHA(n), HPA(λ), ri(A), pA(x). Ta có A = k[x, y]/(x2, xy3) = k⊕(kx⊕ky)⊕(kxy⊕ky2)⊕(kxy2⊕ky3)⊕(ky4)⊕(ky5)⊕· · · . 33 Do đó HA(n) =  1 nếu n = 0, 2 nếu n = 1, 2, 3, 1 nếu n ≥ 4. (2.3) Suy ra HPA(λ) = +∞∑ n=0 HA(n)λ n = 1 + 2λ+ 2λ2 + 2λ3 + λ4 + λ5 + · · · = (λ+ λ2 + λ3) + (1 + λ+ λ2 + λ3 + λ4 + λ5 + · · · ) = (λ+ λ2 + λ3) + 1 1− λ = −λ4 + λ+ 1 1− λ Theo bổ đề 2.1.6, ri(A) = 4− 1 + 1 = 4. Vậy pA(x) = 1. 2.2 Chuỗi Hilbert của nón phân thớ Trước hết ta nhắc lại định nghĩa nón phân thớ. Định nghĩa 2.2.1. Cho (A,m) là vành địa phương chiều d và a là iđêan m-ngyên sơ của A. Nón phân thớ của a, kí hiệu F (a), được định nghĩa là vành phân bậc F (a) := ⊕ n≥0 an/man. Nhận xét 2.2.2. Nếu a là iđêan m-ngyên sơ thì dimF (a) = dimA = d. Theo Định nghĩa 2.1.1, ta suy ra chuỗi Hilbert của nón phân thớ F (a), kí hiệuH(F (a), λ), được tính theo công thứcH(F (a), λ) = ∞∑ n=0 ` ( an man ) λn. Kí hiệu µ(an) là số phần tử sinh tối tiểu của an. Suy ra µ(an) = ` ( an man ) , 34 với mọi n ≥ 1. Do đó ta còn có thể tính chuỗi Hilbert của F (a) theo công thức: H(F (a), λ) := ∞∑ n=0 µ(an)λn (2.4) Ví dụ 2.2.3. ChoA = k[[x, y]] với k là một trường và a = (x4, x3y, xy3, y4). Ta có, an = m4n, với mọi n ≥ 2. Từ đó suy ra, µ(an) = µ(m4n) = 4n+ 1, với mọi n ≥ 2. Vậy theo công thức (2.4), ta có H(F (a), λ) = ∞∑ n=0 µ(an)λn = 1 + 4λ+ ∞∑ n=2 (4n+ 1)λn = 1 + 4λ+ 4 ∞∑ n=2 nλn + ∞∑ n=2 λn = 1 + 4λ+ 4 ( λ (1− λ)2 − λ ) + ( λ 1− λ − λ ) = 1 + 2λ+ 2λ2 − λ3 (1− λ)2 . Bài toán tính chuỗi Hilbert của nón phân thớ là một bài toán khó. Người ta chỉ tính được nó trong một số trường hợp. Chẳng hạn khi F (a) là vành Cohen-Macaulay. Kết quả trong trường hợp này sẽ được trình bày ở chương sau (xem Định lý 3.1.9). Ở đây chúng tôi sẽ trình bày kết quả của Cruz-Raghavan-Verma đối với trường hợp iđêan có số bội trộn tối tiểu. Trước hết chúng tôi nêu công thức tính µ(an) trong trường hợp này. Bổ đề 2.2.4. (Xem [5, Theorem 3.6]) Cho (A,m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều d ≥ 2, a là iđêan m-ngyên sơ có số bội trộn tối 35 tiểu. Khi đó với mọi n ≥ 1, ta có µ(an) = ( n+ d− 2 d− 2 ) + ( n+ d− 2 d− 1 ) ed−1(m|a). Chứng minh. Giả sử (x, y1, · · · , yd−1) là một rút gọn chung của (m|a[d−1]). Theo Bổ đề 1.3.7, vì a có số bội trộn tối tiểu nên ma = xa+ (y1, · · · , yd−1)m. Từ đó suy ra man = xan + (y1, · · · , yd−1)nm, với mọi n ≥ 1. Từ đẳng thức (1.7) và theo trên ta có ` ( A man ) − ` ( A (x, (y1, · · · , yd−1)n) ) = ` ( A an ) + r. Hay ` ( A man ) − ` ( A an ) = r + ` ( A (x, (y1, · · · , yd−1)n) ) . Suy ra µ(an) = r + ` ( A (x, (y1, · · · , yd−1)n) ) . Tiếp theo ta cần chứng minh ` ( A (x, (y1, · · · , yd−1)n) ) = ( n+ d− 2 d− 1 ) ed−1(m|a). Thật vậy Vì x, y1, · · · , yd−1 là một rút gọn chung của (m|a[d−1]) nên (x, y1, · · · , yd−1) là iđêan tham số của A. Đặt A = A/(x), suy ra A cũng là vành Cohen-Macaulay và có chiều d− 1. Vì (y1, · · · , yd−1) là iđêan tham số của A nên theo Bổ đề 1.1.20 ta có ` ( A (y1, · · · , yd−1)n ) = ( n+ d− 2 d− 1 ) ` ( A (y1, · · · , yd−1) ) = ( n+ d− 2 d− 1 ) ` ( A (x, y1, · · · , yd−1) ) 36 Theo Bổ đề 1.2.8, ed−1(m|a) = ` ( A (x, y1, · · · , yd−1) ) . Từ đó ta được ` ( A (x, (y1, · · · , yd−1)n) ) = ( n+ d− 2 d− 1 ) ed−1(m|a). Vậy với mọi n ≥ 1, µ(an) = ( n+ d− 2 d− 2 ) + ( n+ d− 2 d− 1 ) ed−1(m|a). Từ đó ta có thể dễ dàng tính được chuỗi Hilbert của nón phân thớ trong trường hợp iđêan có số bội trộn tối tiểu. Định lý 2.2.5. [5, Proposition 3.5 và Theorem 3.6] Cho (A,m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều d, a có số bội trộn tối tiểu. Khi đó H(F (a), λ) = 1 + (µ(a)− d)λ (1− λ)d . Chứng minh. +) Nếu d = 1, Gọi xA là iđêan rút gọn tối tiểu của m, suy ra x chính quy trong A. Theo Bổ đề 1.2.8, e(A) = e(m) = ` ( A xA ) . Khi đó ` ( xA xan ) = ` ( A an ) , với mọi n ≥ 0. Ta có µ(an) = ` ( an man ) = ` ( A xA ) + ` ( xA xan ) − ` ( man xan ) − ` ( A an ) = e(A)− ` ( man xan ) , Vì a có số bội trộn tối tiểu nên theo Bổ đề 1.3.7, ta có ma = xa. Do đó ` ( man xan ) = 0,∀n ≥ 1. 37 Suy ra µ(an) = e(A),∀n ≥ 1. Vậy H(F (a), λ) = ∞∑ n=0 µ(an)λn = 1 + ∞∑ n=1 µ(an)λn = 1 + ∞∑ n=0 e(A)λn = 1− e(A) + ∞∑ n=0 e(A)λn = 1− e(A) + e(A) 1− λ = 1 + (e(A)− 1)λ 1− λ = 1 + (µ(a)− 1)λ 1− λ . +) Nếu d ≥ 2, theo Bổ đề 2.2.4, với mọi n ≥ 0, µ(an) = ( n+ d− 2 d− 2 ) + ( n+ d− 2 d− 1 ) ed−1(m|a). Mặt khác, theo (2.2) ta có 1 (1− λ)d = +∞∑ n=0 ( n+ d− 1 n ) λn. Từ đó ta được H(F (a), λ) = ∞∑ n=0 [ ( n+ d− 2 d− 2 ) + ( n+ d− 2 d− 1 ) ed−1(m|a)]λn = ∞∑ n=0 { ( n+ d− 2 d− 2 ) + [ ( n+ d− 1 d− 1 ) − ( n+ d− 2 d− 2 ) ]ed−1(m|a)}λn = ∞∑ n=0 [ ( n+ d− 2 d− 2 ) (1− ed−1(m|a)) + ( n+ d− 1 d− 1 ) ed−1(m|a)]λn = 1− ed−1(m|a) (1− λ)d−1 + ed−1(m|a) (1− λ)d = 1 + (ed−1(m|a)− 1)λ (1− λ)d . Vì a có số bội trộn tối tiểu nên ed−1(m|a) = µ(a)− d+ 1 38 hay ed−1(m|a)− 1 = µ(a)− d. Vậy H(F (a), λ) = 1 + (µ(a)− d)λ (1− λ)d . Ví dụ 2.2.6. Cho A = k[[x, y, z]] với k là một trường, m = (x, y, z) và a = (x3, y3, z3, xy, xz, yz). Theo Ví dụ 1.3.4, a có số bội trộn tối tiểu. Vậy chuỗi Hilbert của F (a) là H(F (a), λ) = 1 + 3λ (1− λ)3 . Ví dụ 2.2.7. ChoA = k[[x, y]] với k là một trường và a = (x3, x2y4, xy5, y7). Theo Ví dụ 1.3.3, a có số bội trộn tối tiểu. Vậy chuỗi Hilbert của F (a) là H(F (a), λ) = 1 + 2λ (1− λ)2 . 39 Chương 3 ĐẶC TRƯNG COHEN-MACAULAY CỦA NÓN PHÂN THỚ Nội dung chính của chương này là trình bày các kết quả chung liên quan đến số bội và tính Cohen-Macaulay của nón phân thớ, đồng thời nêu đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ trong trường hợp iđêan có số bội trộn tối tiểu. Trong chương này nếu không nói gì ta luôn giả sử (A,m) là vành địa phương Cohen-Macaulay chiều d với trường thặng dư vô hạn và a là iđêan m-nguyên sơ. 3.1 Các kết quả chung liên quan đến số bội và tính Cohen-Macaulay của nón phân thớ Một hệ quả trực tiếp từ Bổ đề 2.1.4 đó là ta có thể tính được số bội của nón phân thớ khi biết chuỗi Hilbert của nó. Bổ đề 3.1.1. Số bội của nón phân thớ F (a) được tính theo công thức 40 e(F (a)) = h(1), trong đó h(λ) là tử số của chuỗi Hilbert của F (a). Ngoài ra, theo Bổ đề 1.1.19, ta suy ra một đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ qua số bội của nó. Bổ đề 3.1.2. Giả sử b là rút gọn tối tiểu của a. Khi đó F (a) là Cohen- Macaulay khi và chỉ khi e(F (a)) = ` ( F (a) bF (a) ) . Bổ đề 3.1.3. (Xem [3, Corollary 4.1.10]) Giả sử h(λ) = ∑ i hiλ i là tử số của chuỗi Hilbert của F (a). Khi đó, nếu F (a) là Cohen-Macaulay thì hi ≥ 0,∀i. Ví dụ 3.1.4. Cho A = k[x, y] với k là trường vô hạn, m = (x, y) và a = (x4, x3y, xy3, y4). Theo Ví dụ 2.2.3 chuỗi Hilbert của F (a) là H(F (a), λ) = 1 + 2λ+ 2λ2 − λ3 (1− λ)2 . Ta có e(F (a)) = h(1) = 4, trong đó h(λ) = 1 + 2λ+ 2λ2 − λ3. Vì tử số của H(F (a), λ) có một hệ số âm nên F (a) không là Cohen- Macaulay. Ngoài ra ta cũng có thể nghiên cứu đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ thông qua chuỗi Hilbert của nó. Bây giờ ta nhắc lại khái niệm phần tử E-lọc chính quy. Định nghĩa 3.1.5. (Xem [15]) Cho A là vành Noether phân bậc chuẩn trên vành địa phương A0 và E là A-môđun phân bậc hữu hạn sinh. Phần tử thuần nhất z trong A được gọi là phần tử E-lọc chính quy nếu (0E : z)n = 0 với n 0. 41 Đặc biệt nếu (0E : z) = 0 thì z chính là phần tử E-chính quy. Giả sử x ∈ a\ma, kí hiệu x∗ và x0 lần lượt là dạng khởi đầu của x trong F (a) và G(a). Bổ đề 3.1.6. (Tiêu chuẩn Valabrega-Valla) Cho (A,m) là vành địa phương Noether và a là một iđêan của A. Giả sử x1, · · · , xr là một họ các phần tử trong a. Khi đó, x01, · · · , x0r là một dãy chính quy trong G(a) khi và chỉ khi (i) x1, · · · , xr là một dãy chính quy trong A. (ii) (x1, · · · , xr) ∩ an = (x1, · · · , xr)an−1, với mọi n ≥ 0. Bổ đề 3.1.7. [6, Lemma 5.2 và Lemma 5.3] Cho (A,m) là vành địa phương Noether và a là một iđêan của A. Giả sử x ∈ a mà x∗ là phần tử F (a)-chính quy và x0 là phần tử G(a)-chính quy. Khi đó, (i) F (a)/x∗F (a) ∼= F (a/xa), (ii) H(F (a), λ) = 1 1− λH(F (a/xa), λ). Chứng minh. Ta có (i) F (a) = A/m⊕ a/ma⊕ a2/ma2 ⊕ · · · x∗F (a) = (xA+ma)/ma⊕ (xa+ma2)/ma2 ⊕ · · · . Suy ra F (a)/x∗F (a) = A/m⊕ ( ⊕ n≥1 an/(xan−1 +man)). Mặt khác F (a/xA) ∼= A/m⊕ ( ⊕ n≥1 (an + xA)/(man + xA)). 42 Theo Bổ đề 3.1.6, vì x0 là phần tử G(a)-chính quy nên an∩xA = xan−1, với mọi n ≥ 1. Do đó (an + xA)/(man + xA) = (an +man + xA)/(man + xA) = an/(an ∩ (man + xA)) = an/(man + (an ∩ xA)) = an/(man + xan−1). Từ đó ta được F (a)/x∗F (a) ∼= F (a/xa). (ii) Vì x∗ là phần tử F (a)-chính quy nên ta có dãy khớp 0 −→ F (a)(−1) ·x∗−→ F (a) −→ F (a)/x∗F (a) −→ 0. Từ đó ta có dãy khớp sau với mọi n ≥ 1 0 −→ F (a)n−1 ·x ∗−→ F (a)n −→ (F (a)/x∗F (a))n −→ 0. Suy ra ` (( F (a) x∗F (a) ) n ) = ` (F (a)n)− ` ( F (a)n−1 ) . Hay ta có đẳng thức sau với mọi n ≥ 1 ` ( an man + xan−1 ) = ` ( an man ) − ` ( an−1 man−1 ) . Mặt khác, do đẳng cấu ở (i) nên H(F (a/xA), λ) = H( F (a) x∗F (a) , λ) = 1 + ∞∑ i=1 ` ( ai xai−1 +mai ) λi. Lại có (1− λ)H(F (a), λ) = 1 + ∞∑ i=1 [µ(ai)− µ(ai−1)]λi = 1 + ∞∑ i=1 [` ( ai mai ) − ` ( ai−1 mai−1 ) ]λi. 43 Vậy (1− λ)H(F (a), λ) = H(F (a/xa), λ). Hay H(F (a), λ) = 1 1− λH(F (a/xa), λ). Bằng quy nạp ta có hệ quả sau Hệ quả 3.1.8. Cho (A,m) là vành địa phương Noether và a là một iđêan của A. Giả sử x1, · · · , xr là một họ các phần tử trong a mà x∗1, · · · , x∗r và x01, · · · , x0r lần lượt là các dãy chính quy trong F (a) và G(a). Khi đó, H(F (a), λ) = 1 (1− λ)rH ( F (a) (x∗1, · · · , x∗r)F (a) , λ ) . Định lý 3.1.9. [5, Theorem 2.1] Cho (A,m) là vành địa phương, a là iđêan bất kì của A, b là iđêan rút gọn tối tiểu bất kì của a với số mũ rút gọn r. Khi đó các phát biểu sau là tương đương (i) F (a) là Cohen-Macaulay (ii) H(F (a), λ) = 1 (1− λ)l r∑ i=0 ` ( ai bai−1 +mai ) λi, trong đó dimF (a) = l. (iii) e(F (a)) = r∑ i=0 ` ( ai bai−1 +mai ) . Chứng minh. Thật vậy (i)⇒ (ii) Giả sử F (a) là Cohen-Macaulay. Vì bF (a) được sinh bởi một hệ tham số thuần nhất nên nó được sinh bởi một dãy chính quy. Theo Hệ quả 3.1.8, H(F (a), λ) = 1 (1− λ)lH ( F (a) bF (a) , λ ) . Mặt khác F (a) = A/m⊕ a/ma⊕ a2/ma2 ⊕ · · · 44 bF (a) = (b+ma)/ma⊕ (ba+ma2)/ma2 ⊕ · · · Suy ra F (a) bF (a) = A/m⊕a/b+ma⊕a2/ba+ma2⊕· · · = A/m⊕ [⊕ i≥1 ai bai−1 +mai ]. Vậy H ( F (a) bF (a) , λ ) = ∞∑ i=0 ` ( ai bai−1 +mai ) λi. Vì rb(a) = r nên ba r = ar+1. Từ đó suy ra ` ( ai bai−1 +mai ) = 0,∀i > r. Do đó H ( F (a) bF (a) , λ ) = r∑ i=0 ` ( ai bai−1 +mai ) λi Vậy H(F (a), λ) = 1 (1− λ)l r∑ i=0 ` ( ai bai−1 +mai ) λi. (ii)⇒ (iii) Gọi h(λ) là tử số của chuỗi Hilbert của F (a). Khi đó, e(F (a)) = h(1) = r∑ i=0 ` ( ai bai−1 +mai ) . (iii)⇒ (i) Gọi M là iđêan thuần nhất cực đại của F (a), F (a)M là vành địa phương hóa. Vì một vành địa phương chính quy là Cohen-Macaulay nên F (a)M là vành Cohen-Macaulay. Theo Bổ đề 3.1.2, e(F (a)M) = ` ( F (a)M bF (a)M ) . Mặt khác vì F (a) là vành phân bậc thuần nhất nên vành phân bậc liên kết GMF (a)M (F (a)M) ∼= F (a). 45 Từ đó suy ra e(F (a)) = e(F (a)M). Mà ` ( F (a) bF (a) ) = ` ( F (a)M bF (a)M ) nên e(F (a)) = ` ( F (a) bF (a) ) . Theo Bổ đề 3.1.2 ta có F (a) là Cohen-Macaulay. Định lý trên cho chúng ta một cách để nhận biết tính Cohen-Macaulay của nón phân thớ khi biết công thức chuỗi Hilbert của nó. Ví dụ 3.1.10. Cho A = k[[x, y, z]], a = (x3, y3, z3, xy, xz, yz) và b = (x3 + yz, y3 + z3 + zx, xy + xz). Theo Ví dụ 2.2.6, H(F (a), λ) = 1 + 3λ (1− λ)3 . Mặt khác ba = a2, suy ra b là rút gọn tối tiểu của a và r(a) = 1. Theo Định lý 3.1.9, F (a) là Cohen-Macaulay. Ngược lại, từ Định lý 3.1.9 nếu biết được F (a) là Cohen-Macaulay ta có thể tính được chuỗi Hilbert của nó mà việc tính toán trực tiếp chuỗi Hilbert gặp khó khăn. ta xét ví dụ sau Ví dụ 3.1.11. Cho A = k[[x, y]] với k là một trường, a = (x4, xy3, y4) và b = (x4, y4). Vì a được sinh bởi các đơn thức thuần nhất có bậc bằng nhau trong A nên F (a) ∼= k[x4, xy3, y4]. Mặt khác k[x4, xy3, y4] ∼= k[X, Y, Z]/(Y 4 −XZ3). Vì vậy F (a) là Cohen-Macaulay. Ta có a2 = (x8, x5y3, x4y4, x2y6, xy7, y8). a3 = (x12, x9y3, x8y4, x6y6, x5y7, x4y8, x3y9, x2y10, xy11, y12). 46 a4 = (x16, x13y3, x12y4, x10y6, x9y7, x8y8, x7y9, x6y10, x5y11, x4y12, x3y13, x2y14, xy15, y16). ba3 = (x16, x13y3, x12y4, x10y6, x9y7, x8y8, x7y9, x6y10, x5y11, x4y12, x3y13, x2y14, xy15, y16). Suy ra, a4 = ba3. Do đó b là rút gọn tối tiểu của a với số mũ rút gọn r(a) = 3. Mặt khác, vì F (a) là Cohen-Macaulay nên theo Định lý 3.1.9 chuỗi Hilbert của nón phân thớ là H(F (a), λ) = 1 (1− λ)2 3∑ i=0 ` ( ai bai−1 +mai ) λi. Ta có a2 = (x8, x5y3, x4y4, x2y6, xy7, y8). ma2 = (x9, x8y, x6y3, x5y4, x4y5, x3y6, x2y7, xy8, y9). ba = (x8, x5y3, x4y4, xy7, y8). Suy ra ma2 + ba = (x8, x5y3, x3y6, x4y4, xy7, y8). Do đó a2 = ma2 + ba+ (x2y6), và m(x2y6) ⊆ ma2 + ba. Từ đó nhận được ` ( a2/ma2 + ba ) = 1. 47 Mặt khác a3 = (x12, x9y3, x8y4, x6y6, x5y7, x4y8, x3y9, x2y10, xy11, y12). ma3 = (x13, x12y, x10y3, x9y4, x8y5, x7y6, x6y7, x5y8, x4y9, x3y10, xy12, y13). ba2 = (x12, x9y3, x8y4, x6y6, x5y7, x4y8, x2y10, xy11, y12). Suy ra ma3 + ba2 = ba2. Ta có a3 = ba2 + (x3y9), và m(x3y9) ⊆ ba2. Từ đó nhận được ` ( a3/ma3 + ba2 ) = ` ( a3/ba2 ) = 1. Lại có, `(A/m) = 1, ` ( a b+ma ) = l ( a ma ) − l ( b+ma ma ) = µ(a)− l ( b ma ∩ b ) = µ(a)− l ( b mb ) = µ(a)− µ(b) = µ(a)− d = 1. Từ đó nhận được chuỗi Hilbert của F (a) là H(F (a), λ) = 1 + λ+ λ2 + λ3 (1− λ)2 . 48 3.2 Đặc trưng trong trường hợp iđêan có số bội trộn tối tiểu Theo Định lý 3.1.9, chúng ta có thể nhận biết tính Cohen-Macaulay của nón phân thớ thông qua chuỗi Hilbert của nó trong trường hợp iđêan bất kì. Dựa trên mối quan hệ đó ở mục này chúng tôi trình bày một đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ trong trường hợp iđêan có số bội trộn tối tiểu. Định lý 3.2.1. (Xem [5, Theorem 3.7]) Giả sử a có số bội trộn tối tiểu. Khi đó F (a) là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi r(a) ≤ 1. Chứng minh. Theo Định lý 2.2.5, H(F (a), λ) = 1 + (µ(a)− d)λ (1− λ)d . Từ đó suy ra e(F (a)) = h(1) = µ(a)− d+ 1, trong đó h(λ) là tử số của chuỗi Hilbert của F (a). Theo Bổ đề 3.1.2, F (a) là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi e(F (a)) = ` ( F (a) bF (a) ) (3.1) Từ chứng minh ở Định lý 3.1.9, F (a) bF (a) = A/m⊕ a(b+ma)⊕ [⊕ i≥2 ai bai−1 +mai ]. Suy ra `( F (a) bF (a) ) = `(A/m) + ` ( a b+ma ) + ∞∑ i=2 ` ( ai bai−1 +mai ) . Vì `(A/m) = 1, 49 `( a b+ma ) = l ( a ma ) − l ( b+ma ma ) = µ(a)− l ( b ma ∩ b ) = µ(a)− l ( b mb ) = µ(a)− µ(b) = µ(a)− d. Nên `( F (a) bF (a) ) = 1 + µ(a)− d+ ∞∑ i=2 ` ( ai bai−1 +mai ) . Vậy từ (3.1) suy ra F (a) là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi e(F (a)) = 1 + µ(a)− d+ ∞∑ i=2 ` ( ai bai−1 +mai ) ⇔ 0 = ∞∑ i=2 ` ( ai bai−1 +mai ) ⇔ ` ( ai bai−1 +mai ) = 0,∀i ≥ 2 ⇔ a2 = ba ⇔ r(a) ≤ 1. Ví dụ 3.2.2. [5, Example 3.11] ChoA = k[[x, y, z]], a = (x3, y3, z3, xy, xz, yz) và b = (x3 + yz, y3 + z3 + zx, xy + xz). Theo Ví dụ 1.3.4, a có số bội trộn tối tiểu. Mặt khác ba = a2, suy ra b là rút gọn tối tiểu của a và r(a) = 1. Theo Định lý 3.2.1 F (a) là Cohen-Macaulay. Từ Định lý 3.2.1, để nhận biết tính Cohen-Macaulay của nón phân thớ F (a) việc quan trọng là so sánh số rút gọn r(a) và 1. Ta có thể tính cụ thể r(a) như ở Ví dụ 3.2.2, tuy nhiên theo Hệ quả 1.2.11 ta có thể đánh giá r(a) mà không cần chỉ ra cụ thể r(a). 50 Ví dụ 3.2.3. ChoA = k[[x, y]] với k là một trường và a = (x4, x3y, xy3, y4). Theo Ví dụ 1.2.13, e(a) = 16. Mặt khác a2 = (x8, x7y, x6y2, x5y3, x4y4, x3y5, x2y6, xy7, y8). Do đó, ` ( A a2 ) = 36 và ` ( A a ) = 11. Từ đó suy ra ` ( A a2 ) − 2` ( A a ) = 14 < e(a). Vậy theo Hệ quả 1.2.11, r(a) > 1. Ví dụ 3.2.4. ChoA = k[[x, y]] với k là một trường và a = (x3, x2y4, xy5, y7). Theo Ví dụ 1.3.3, a có số bội trộn tối tiểu. Theo Định lý 3.2.1, F (a) là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi r(a) ≤ 1. Bây giờ ta chứng minh r(a) > 1. Ta có a2 = (x6, x2y10, y14, x5y4, x4y5, x3y7, xy12). Do đó, ` ( A a2 ) = 52 và ` ( A a ) = 16. Mặt khác b = (x3, y7) là một rút gọn tối tiểu của a nên e(a) = e(b) = ` ( A (x3, y7) ) = 21. Từ đó suy ra e(a) > ` ( A a2 ) − 2` ( A a ) . Theo Hệ quả 1.2.11, r(a) > 1. Vậy F (a) không là Cohen-Macaulay. 51 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số tính chất của nón phân thớ thông qua số bội trộn ed−1(m|a) với cách tiếp cận theo hướng khai thác mối quan hệ giữa đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ và chuỗi Hilbert của nó. Chương 1 giới thiệu khái niệm và các tính chất của số bội Hilbert-Samuel, số bội trộn và số bội trộn tối tiểu. Đây là những kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu hai chương tiếp theo. Nội dung chính của Chương 2 trình bày công thức tính chuỗi Hilbert của nón phân thớ trong trường hợp đêan có số bội trộn tối tiểu. Từ đó dùng công thức này để nghiên cứu đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ trong trường hợp iđêan có số bội trộn tối tiểu ở Chương 3. Ngược lại, từ việc biết được đặc trưng Cohen-Macaulay của nón phân thớ trong nhiều trường hợp ta có thể tính được chuỗi Hilbert của nó mà việc tính toán trực tiếp gặp khó khăn. Luận văn đưa ra nhiều ví dụ được tính toán cụ thể để minh họa cho các kết quả được phát biểu. 52 Tài liệu tham khảo [1] Abhyankar (1967), "Local rings of high embedding dimension", Amer. J. Math. 89, 1073-1077. [2] P. B. Bhattacharya (1957), "The Hilbert function of two ideals", Proc.Cambridge Philos. Soc. 53, 568-575. [3] W. Bruns and J. Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press. [4] J. Chuai (1996), "Generalized parameter ideals in local Cohen- Macaulay rings", Algebra Colloq. 3, no.3, 213-216. [5] C. D’Cruz, K. N. Raghavan and J. K. Verma (1999), "Cohen- Macaulay fiber cones", Commutative Algebra, Algebraic Geometry and computational methods (Ha Noi, 1996), Springer-Verlag Singa- pore, 233-246. [6] C. D’Cruz and J. K. Verma (2002), "Hilbert series of fiber cones of ideals with almost minimal mixed multiplicity", J. Algebra. 251, 98-109. 53 [7] L. X. Dung and L. T. Hoa, "Castelnuovo-Mumford regularity of associated graded modules and fiber cones of filtered modules", Comm. Algebra (to appear). [8] S. Goto (2000), "Cohen-Macaulayness and negativity of a-invariants in Rees algebras associated to m-primary ideals of minimal multi- plicity", J. Pure Appl. Algebra. 152, 93-107. [9] D. Katz and J. K. Verma (1989), "Extended Rees Algebras and mixed multiplicities", Math. Zeitschrift. 202, 111-128. [10] H. Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge Uni- versity Press. [11] D. Rees (1961), "A-Transforms of local rings and a theorem on mul- tiplicities of ideals", Proc. Cambridge Philos. Soc. 57, 8-17. [12] D. Rees (1984), "Generalizations of reductions and mixed multiplic- ities", J. London Math. Soc.(2). 29, 397-414. [13] R. Y. Sharp (1990), Steps in commutative Algebra, Cambridge Uni- versity Press. [14] B. Teissier (1973), "Cycles èvanescents, sections planes, et condi- tions de whitney, singularityés à cargése", singularityés à cargése, 1972. Astérisque 7-8, 285-362. [15] N. V. Trung (1987), "Reduction exponent and degree bound for the defining equations of graded rings", Proc. Amer. Math. Soc. 101, 229-236. 54 [16] J. K. Verma (1990), "Joint reductions of complete ideals", Nagoya Math. J. 118, 155-163. 55