Luận văn Nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên trường

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG HỮU DŨNG NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN TRƯỜNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG HỮU DŨNG NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRÊN TRƯỜNG Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI XUÂN HẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2011 Mục lục Mục lục ............................................................................................. i Lời cảm ơn .................................................................................... iii Bảng kí hiệu ................................................................................... iv Lời mở đầu ...................................................................................... v Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị ..................................................... 1 1.1.Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường ............................................ 1 1.2. Phép co sơ cấp ..................................................................................... 2 Chương 2 : Nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên một trường ....................................................................................................... 4 2.1. Lưới và nhóm con lưới ....................................................................... 4 2.2. Lưới đồng dạng ................................................................................... 6 2.3. Lưới tối đại ........................................................................................10 2.4. Lưới trên vành đơn ...........................................................................13 2.5. Ma trận chứa trong chuẩn hóa tử ...................................................17 2.6. Các bổ đề về phép co sơ cấp ............................................................18 2.7. Nhóm con chứa nhóm các ma trận đường chéo ............................28 2.8. Chuẩn hóa tử của nhóm con D-lưới trên một trường ...................31 Kết luận ......................................................................................... 36 Tài liệu tham khảo ........................................................................ 38 Chỉ mục .......................................................................................... 39 Lời cảm ơn Trước tiên, tôi xin gửi lời cám ơn đến tất cả các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, nhất là các thầy cô trong tổ bộ môn Toán, những người đã tận tình dạy dỗ chúng tôi trong suốt quá trình học đại học cũng như cao học. Chính những kiến thức mà chúng tôi học được từ các thầy cô trong suốt những năm qua là nền tảng quan trọng để tôi có hoàn thành được luận văn này trong hiện tại và có thể là một quá trình nghiên cứu khoa học lâu dài sau này. Hơn hết, tôi xin chân thành cám ơn thầy PGS.TS Bùi Xuân Hải là người đã trực tiếp hướng dẫn và khích lệ tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Thầy đã giúp tôi tự tin hơn trong quá trình tìm hiểu cũng như đi sâu nghiên cứu về Toán học. Tôi cũng không quên sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn cùng khóa đã giúp đỡ, cho tôi những lời khuyên và các tài liệu bổ ích trong việc học Toán. Xin gởi lời cám ơn đến người thân và gia đình, nhất là người mẹ - là người đã luôn động viên, tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn và người vợ - là người bạn đã hỗ trợ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Bảng kí hiệu R là một vành có đơn vị 1 GL(n,R)- nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên vành R K- là một trường GL(n,K)- nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên trường K D(n,K)- nhóm con các ma trận đường chéo T(n,K)- nhóm con các ma trận tam giác trên ijδ - kí hiệu Kronecker e=ek- ma trận đơn vị có cấp k ije - đơn vị ma trận, có 1 ở vị trí (i,j) và 0 ở các vị trí khác ij ij( )t e eα α= + - phép co sơ cấp (transvection) 1[ ,..., ]nε ε - ma trận đường chéo có iε nằm ở vị trí (i,i) ij( )d ε - ma trận đường chéo với ε ở vị trí (i,i), 1ε − ở vị trí (j,j) và 1 ở các vị trí còn lại trên đường chéo chính dr(ε )- ma trận đường chéo có ε ở vị trí (r,r) và 1 ở các vị trí (i,i)khác 1 1[a,b]=a b ab− − -giao hoán tử của a và b NG(H) - chuẩn hóa tử của H trong G ij( )σ σ= - lưới các ideal của vành R ( )M σ - tập các ma trận vuông a=(aij) với aij ijσ∈ ( )G σ - nhóm con lưới của GL(n,R) ( )N σ - chuẩn hóa tử của ( )G σ trong GL(n,R) Lời mở đầu Năm 1976, Z.I. Borevich đã nghiên cứu dàn các nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, K) trên trường K chứa nhóm con D(n, K) các ma trận đường chéo. Một điều rất thú vị là đối với mọi trường K thỏa |K| ≥ 7, dàn này hữu hạn và không phụ thuộc vào trường K. Hơn nữa, trong tất cả những trường hợp này các nhóm con T(n, K), D(n, K) đều thỏa một tính chất chung là: mỗi một nhóm con của nhóm GL(n, K) đều nằm giữa một nhóm con nào đó và chuẩn hóa tử của nó. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày lại một cách chi tiết một bài báo của Borevich (xem [4]). Đây là bài báo đầu tiên, đặt nền móng cho hướng nghiên cứu về cấu trúc các nhóm con trong nhóm tuyến tính trên vành chứa nhóm con các ma trận đường chéo. Cụ thể là trên vành nửa địa phương (semilocal ring), vành chính qui Von Newman. Từ việc trình bày chi tiết lại bài báo, chúng tôi mong muốn sẽ có thêm tài liệu tham khảo chi tiết hơn cho vấn đề này, giúp cho việc hiểu rõ hơn bài báo nhằm mục đích có hướng giải quyết cho bài toán mở của bài báo gốc. Nội dung Luận văn gồm 3 chương: Chương 1. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về nhóm tuyến tính tổng quát trên trường, định nghĩa phép co sơ cấp và các tính chất của nó. Chương 2. Đây là nội dung chính của luận văn. Chúng tôi đưa ra khái niệm lưới và nhóm con lưới, chứng minh đẳng thức ( )( ) ( , ) ( )G GL n K e Mσ σ= ∩ + trên trường K, tiếp theo là những khái niệm lưới đồng dạng, lưới tối đại, lưới trên vành đơn. Các khái niệm này giúp cho việc chứng minh Định lý 2.8.1 về việc mô tả chuẩn hóa tử của nhóm con D-lưới trên một trường. Sau đó, chúng tôi sẽ mô tả ma trận chứa trong chuẩn hóa tử qua Mệnh đề 2.5.1 và mô tả các phép co sơ cấp trong nhóm con trung gian H qua các Bổ đề 2.6.1 đến 2.6.5. Các mệnh đề và các bổ đề này làm cơ sở cho việc chứng minh Định lý 2.7.1: Cho K là trường | | 7, ( , ), ( , ),K G GL n K D D n K H≥ = = là nhóm con bất kỳ của D H G≤ ≤ . Khi đó tồn tại duy nhất D-lưới σ các ideal trong K sao cho ( ) ( )G H Nσ σ≤ ≤ , trong đó ( ) ( ( ))GN N Gσ σ= . Cuối cùng là phần Kết luận và đề nghị bài toán mở. Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị 1.1.Nhóm tuyến tính tổng quát trên trường Cho K là trường. K* = K \{0}. M(n,K) là vành các ma trận vuông cấp n. a = (aij) ∈M(n,K). E là ma trận đơn vị. GL(n,K) được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên trường K, gồm tất cả các ma trận vuông khả nghịch hệ số trên K. Với mọi i,j = 1, , n, eij là ma trận có 1 ở vị trí (i,j) và 0 ở tất cả các vị trí khác, eij được gọi là đơn vị ma trận. Kiểm tra trực tiếp ta được ij 0 . il kl e neáu j k e e neáu j k  ==  ≠ Với mọi a = (aij), ta có , 0 0, , .ij ij ij i j a a e a i j= = ⇔ = ∀∑ Suy ra M(n,K) là không gian vectơ trên K với cơ sở là {eij}. 1.2. Phép co sơ cấp Với mọi Kα ∈ và i j≠ , ta đặt ij ij( )t e eα α= + gọi là phép co sơ cấp (transvection). Với Kβ ∈ , ta có ij ij ij ij ij ij ij ij ij ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ji t t e e e e e e e e e e e t α β α β α β αβ α β α β = + + = + + + = + + = + Lấy β α= − , ta được 1 ij ij ij ij ij( ) ( ) (0) ( ( )) ( )t t t e t tα α α α −− = = ⇒ = − Suy ra ij( ) ( , )t GL n Kα ∈ . Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có được các mối quan hệ sau: 1 ij ij ij 2 ij kl 3 ij jk ik 1 * 1 4 ji ij ij ji ij ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) [ ( ), ( )] neáu , . ( ) [ ( ), ( )] ( ) neáu i, , , laø nhöõng chæ soá khaùc nhau. ( ) ( ) ( ), vôùi , ( ) ( ) ( ). E t t t E t t e j k i l E t t t j k i E t t R t t t α β α β α β α β αβ σ α σ εαε ε σ ε ε ε− − = + = ≠ ≠ = = − ∈ = − Nếu 3n ≥ thì (E4) có thể được suy ra từ (E1)-(E3). Với các phần tử *1,..., n Rε ε ∈ , ký hiệu 1[ ,..., ]nε ε là ma trận đường chéo có iε nằm ở vị trí (i,i). Ta thấy 1[ ,..., ]nε ε là một phần tử của GL(n,R). Với i j≠ , ký hiệu ( )ijd ε là ma trận đường chéo có ε nằm ở vị trí (i,i), 1ε − nằm ở vị trí (j,j), và 1 ở các vị trí khác. Kiểm tra trực tiếp ta được các công thức sau: 1 5 ji ij ji ij ij ji ij 1 6 1 1 7 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) (1) ( 1). ( ) [ ,..., ]t ( ) ( )[ ,..., ]. ( ) [ ,..., ][ ,..., ] [ ,..., ]. n ij ij i j n n n n n E d t t t t t t E t E ε ε ε ε ε ε α ε αε ε ε η η ε ε η ε η ε − − = − − − = = Cho ( ) ( , )ija a M n K= ∈ . Việc nhân ma trận a về bên trái với một phép co sơ cấp ( )ijt α tương đương với việc áp dụng phép biến đổi sau đây đối với a: (E) Thay dòng thứ i của ma trận a bởi dòng thứ i cộng với α "lần" dòng thứ j (α được nhân về bên trái). Tương tự, việc nhân ma trận a về bên phải với một phép co sơ cấp ( )ijt α tương đương với việc áp dụng phép biến đổi sau đây đối với ma trận a: (E') Thay cột thứ j của ma trận a bởi cột thứ j cộng với α "lần" cột thứ i (α được nhân từ bên phải). Chương 2 : Nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên một trường 2.1. Lưới và nhóm con lưới Cho R là vành bất kỳ với đơn vị 1 và n∈ . Xét bảng ij( ),1 ,i j nσ σ= ≤ ≤ , gồm n2 các ideal hai phía ijσ của R. Bảng này được gọi là lưới các ideal của R có bậc n nếu ir ij, , , .rj i j rσ σ σ⊆ ∀ (2.1) Lưới σ được gọi là D-lưới nếu ij , .R iσ = ∀ Cho σ là lưới, ta kí hiệu ij ij ij( ) {a = (a ) M(n,R): a , i,j}M σ σ= ∈ ∈ ∀ Do (2.1) nên ( )M σ là vành con của M(n,R). Ma trận đơn vị ( )e M σ σ∈ ⇔ là D-lưới. Tập hợp ( ) {e+ a: a M( )}e M σ σ+ = ∈ là hệ nhân. Nếu σ là D-lưới thì M( ) ( )e Mσ σ= + . Trên tập tất cả các lưới bậc n các ideal của R ta định nghĩa quan hệ sau, cho các lưới σ và τ , ta viết σ τ≤ nếu ij ij, , .i jσ τ⊆ ∀ Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận. Nếu lưới σ và τ là hai lưới thì ij ij( )σ τ σ τ∩ = ∩ cũng là một lưới. Định nghĩa 2.1.Cho σ là lưới bất kỳ các ideal của R có bậc n. Nhóm con lớn nhất của G = GL(n,R) nằm trong ( )e M σ+ được gọi là nhóm con lưới của G ứng với lưới σ , và được kí hiệu là ( )G σ . Nếu σ là D-lưới thì ( )G σ được gọi là nhóm con D-lưới. Theo định nghĩa, 1( ) , ( )a G a a e Mσ σ−∈ ⇔ ∈ + . Mệnh đề 2.1. Cho K là trường. Khi đó ( ) ( ( )) vôùi moïi löôùi G G e Mσ σ σ= ∩ + , trong đó G = GL(n,K). Chứng minh. Với mọi ( ( )) a G e M σ∈ ∩ + , ta cần chứng minh 1 ( ( )) a G e M σ− ∈ ∩ + hay 1 ( )a e M σ− − ∈ . Do a khả nghịch nên theo Định lý Cayley – Hamilton, ta có Pa (a) = 0, (2.2) trong đó 1 0 0( ) ( 1) ... vôùi a det 0. n n aP t t a t a a= − + + + = ≠ Ta có ( )a e M σ− ∈ . Mặt khác, từ (2.2) ta có 1 0( ) ( 1) ... e =0. n n aP a a a a a= − + + + Suy ra 1 0(( 1) ... ) e , n na a a e a− + + = − nên 1 1 0 1 (( 1) ... ).n na a a e a − = − − + + Do đó 1 1 1 2 0 0 1 1(( 1) ... ) (( 1) ( ) ... ( )).n n na a e a e a a e a a − −= − − + + − − − + + − Đặt 1 1 2 0 0 1 1(( 1) ... ), (( 1) ( ) ... ( )).n n na b a e a a e a a α −= − − + + = − − − + + − Ta có , ( )K b Mα σ∈ ∈ . Khi đó, 1 , , ( )a e b K b Mα α σ− = + ∈ ∈ . Từ đó suy ra 1 1( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ). a e a e a e b e a e a b e a M α α σ − −− = − = + − = − + − ∈ Vậy 1 ( ( )) a G e M σ− ∈ ∩ + . 2.2. Lưới đồng dạng Cho R là vành, 2n ≥ . Giả sử σ là một lưới các ideal bậc n trong vành R và nSπ ∈ .. Với mọi 1 , ,i j n≤ ≤ ta định nghĩa ij ( ), ( ).i jπ πτ σ= Khi đó ij( )τ τ= cũng là một lưới bậc n và ta kí hiệu . πτ σ= Ta nói σ và τ là hai lưới đồng dạng nếu tồn tại nSπ ∈ sao . πτ σ= Với nSπ ∈ xét ma trận ( )( )i jPπ πδ= , trong đó klδ là ký hiệu Kronecker. Nhận xét 2.2. 1. Tương ứng Pππ → xác định một đơn cấu từ Sn vào GL(n, R). Chứng minh. Xét ánh xạ ( ) : ( , ) ( ) n i j S GL n R Pπ π ϕ π δ → = Ta sẽ chứng minh ϕ là đồng cấu. Ta có ( ) ( ) ( ) ij ( ) , ( ) ( ) . 1 ( )( ) ( )( ) ( ) i j i j i j k l kl i j kl n i j j l il kl j P P e e e π τ π τ π τ π τ δ δ δ δ δ δ = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ Nếu 0 0( ) , 1,...,l j j nτ = = thì 0( ) , .l j j jτ ≠ ∀ ≠ Suy ra ( ) ( ) 00 1 vaø 0, .j l j l j jτ τδ δ= = ∀ ≠ Do đó ( ) .0, ( ( )) . , , ( ) . , i j il i l i l il i l i l il i l P P e e e P π τ π π τ πτ πτ δ δ δ = = = = ∑ ∑ ∑ Từ đó ta có ( ) ( ) ( ).P P Pπτ π τϕ πτ ϕ π ϕ τ= = = Suy ra ϕ là đồng cấu. Tiếp theo ta sẽ chứng minh ϕ là đơn cấu. Giả sử ( ) ( )ϕ π ϕ τ= , suy ra ,P Pπ τ= hay ( ) ( )( ) ( ) .i j i jπ τδ δ= Do đó ( ) ( ), 1,..., .j j j nπ τ= ∀ = Suy ra π τ= Vậy ϕ là đơn cấu. Nhận xét 2.2.2 1( ) ( )G P G Pπ π πσ σ −= đối với mọi lưới σ và mọi .nSπ ∈ Chứng minh. Theo chứng minh trên ta có P P Pπτ π τ= Thay 1τ π −= , ta được 1 1 ij( ) .idP P P P eπ π ππ δ− −= = = = Suy ra 1 1.P Pπ π − −= Với mọi ( )a G σ∈ , vì ( ) ( ( ))G e Mσ σ= + nên ij ij ij, ( ) ( ), .a e b b b M bσ σ= + = ∈ ∈ Ta có 1 1 1 ( )P aP P e b P e P bPπ π π π π π − − − = + = + Đặt 1 .B P bPπ π − = Ta có ij 1 11 1 1 1 ( ) 1 1 1 ( )(1) ( ) (1) ( ) ( ... ) ... ( ... ) .n j n nn n ji i n i i n B b b b bπ ππ π π π δ δ δ δ δ δ− − − −= + + + + + + Giả sử ( ) ,1 .j k k nπ = ≤ ≤ Khi đó ij 1 1 1(1) ( ) ( ... ).k nki i n B b b π π δ δ− −= + + Giả sử 1( ),1 .i p p nπ −= ≤ ≤ Khi đó ij ( ) ( ) ( ) ( ) ij( ) .pk i j i jB b b π π π π πσ σ= = ∈ = Từ đó 1 ( ( )) ( ), ( ).P aP e B e M G G a Gπ ππ π σ σ σ − = + ∈ + ∩ = ∀ ∈ Suy ra 1 ( ) ( ).P G P G ππ πσ σ − ⊆ Tương tự ta chứng minh được 1( ) ( ).P G P Gππ πσ σ − ⊆ Hay 1( ) ( ) .G P G Pπ π πσ σ −⊆ Vậy 1( ) ( ) .G P G Pπ π πσ σ −= đối với mọi lưới σ và mọi .nSπ ∈ Ký hiệu ( )N σ là chuẩn hóa tử của ( )G σ trong GL(n,R). Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2. Cho σ là một D-lưới bậc n trong R và .nSπ ∈ Khi đó ma trận Pπ nằm trong ( )N σ nếu và chỉ nếu .πσ σ= Đặt ( ) {P | , }.nP S π πσ π σ σ= ∈ = Khi đó ta có ( ) ( ) ( ).P G Nσ σ σ⊆ Chứng minh. Nếu πσ σ= thì 1( ) ( ) .G P G Pπ πσ σ −= Suy ra ( ).P Nπ σ∈ Ngược lại, nếu ( )P Nπ σ∈ thì 1 ( ) ( ).P G P Gπ πσ σ − = Do chứng minh trên ta đã có 1( ) ( )G P G Pπ π πσ σ −= nên ( ) ( )G G πσ σ= Phản chứng, giả sử πσ σ≠ . Khi đó, tồn tại i,j sao cho ij ij( ) . πσ σ≠ Do đó tồn tại ij ij, ( ) πα σ α σ∈ ∉ . Xét ma trận ij( ).a t α= Ta có ( )a G σ∈ và ( )a G πσ∉ (mâu thuẫn với ( ) ( )G G πσ σ= ). Vậy .πσ σ= Nhận xét 2.2.4 i) ( ) .π τ πτσ σ= Thật vậy, ij ( ) ( ) ( ), ( ) ij(( ) ) ( ) ( )i j i j π τ π πτ τ τ πτ πτσ σ σ σ= = = ii) 1 ( ) ( ).P P P P ππ πσ σ − = Thật vậy, 1 1 1 1 1 1 000 ( ) {P aP | a P( )} ={P aP | a = P , S , } ={P P P | S , } {P | S ,( ) } ={P | S ,( ) } ( ). n n n n P P P P π π π π τ π π τ τπ π π τ π π π τπ π π τπ τπ π τ π σ σ τ σ σ τ σ σ τ σ σ τ σ σ σ − − − − − − = ∈ ∈ = ∈ = = ∈ = ∈ = = iii) 1 ( ) ( ).P N P N ππ πσ σ − = Thật vậy, 1 1 1 1 ( ) {P aP |a N( )} ={P aP | )a=G( )} =N( ). P N P a G π π π π π π π σ σ σ σ σ − − − − = ∈ ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ).] Vì P aP G P aP P a P P G P P aP P a G aP P G P G π π π π π π π π π π π π π π π σ σ σ σ σ − − − − − − − − − − = = = = iv) Cho nSπ ∈ bất kỳ, từ i), ii), iii) ta có hai đẳng thức ( ) ( ) ( )N P Gσ σ σ= và ( ) ( ) ( )N P Gπ π πσ σ σ= tương đương với nhau. 2.3. Lưới tối đại Ký hiệu I là lưới đơn vị, nghĩa là lưới mà trong đó mọi phần tử đều bằng R. Trên tập tất cả các lưới bậc n các ideal của R ta định nghĩa quan hệ sau, cho các lưới σ vàτ , ta viết σ τ≤ nếu ij ij, , .i jσ τ⊆ ∀ Quan hệ này là quan hệ thứ tự bộ phận. Ta nói lưới σ là một lưới tối đại nếu Iσ ≠ và không tồn tại một lưới τ nào thỏa mãn .Iσ τ< < Giả sử µ là một ideal cho trước và 1 1.r n≤ ≤ − . Định nghĩa ( )ijτ τ= như sau: ijτ µ= nếu i > r và j r≤ còn kl Rτ = tại mọi vị trí khác. Khi đó, τ là một D-lưới và ký hiệu nó là ( , )rτ µ . Thật vậy, ta sẽ chứng minh ijik kjτ τ τ⊆ với mọi i, j, k. • Giả sử i > r và j ≤ r thì ijτ µ= . Nếu k ≤ r thì vaø .ik kj Rτ µ τ= = Suy ra ij.ik kj Rτ τ µ µ τ= = = Nếu k > r thì vaø .kj ik Rτ µ τ= = Suy ra ij.ik kj Rτ τ µ µ τ= = = • Trường hợp còn lại ij .Rτ = Suy ra ij.ik kj Rτ τ τ⊆ = Vậy trong mọi trường hợp ta đều có ijik kjτ τ τ⊆ với mọi i, j, k hay τ là lưới. Do đó, theo cách xác định τ ta có τ là D-lưới. Mệnh đề 2.3. Nếu µ là một ideal tối đại của R và 1 1r n≤ ≤ − thì ( , )rτ µ là lưới tối đại. Chứng minh. Giả sử ( , )r Iτ µ σ≤ ≤ và ( , )rτ µ σ≠ ta chứng minh .Iσ = Ta chỉ cần chứng minh ij Rσ = với mọi i > r và j ≤ r. Thật vậy, ta có ij ijτ µ σ= ⊂ và ij ij.τ σ≠ Do µ tối đại nên ij .Rσ = Còn lại kl klR τ σ= ⊆ nên .kl Rσ = Vậy .Iσ = Định lý 1. Lưới σ là tối đại khi và chỉ khi σ đồng dạng với một lưới ( , )rτ µ trong đó 1 1r n≤ ≤ − và µ là một ideal tối đại nào đó. Chứng minh. Nếu σ đồng dạng với một lưới ( , ),1 1,r r nτ µ µ≤ ≤ − là một ideal tối đại nào đó thì σ tối đại. Giả sử σ là lưới tối đại. Vì Iσ ≠ nên tồn tại ideal tối đại µ chứa ideal ijσ nào đó của lưới σ . Xét ( )ijσ µ+ là lưới khác I và ij ij( ) ( )σ σ σ µ= ≤ + . Do σ là lưới tối đại nên ij ij( ) ( ).σ σ σ µ= = + Nếu ijσ µ⊆ thì ta có ij ij .µ σ µ σ µ⊆ + = ⊆ Suy ra ij .σ µ= Nếu ijσ µ⊄ thì ta có ij ij vaø .µ σ µ µ σ µ⊆ + ≠ + Do µ tối đại nên ij .Rσ µ+ = Suy ra ij ij .Rσ σ µ= + = Vậy mỗi ideal ijσ của lưới σ hoặc bằng R hoặc bằng µ . Vì Iσ ≠ nên tồn tại ideal bên ngoài đường chéo chính của σ không phải là ideal đơn vị R. Do đó khi thay các ideal iiσ trên đường chéo chính bởi R, ta được một D-lưới khácđơn vị và chứa σ . Do σ tối đại nên D-lưới này bằng σ . Như vậy, mọi lướitối đại đều là D- lưới. Trong lướiσ , ideal tối đại µ có mặt trong cột thứ nhất [vì nếu trong cột thứ nhất không có µ , mà cột thứ l có µ , ta sẽ dùng phép thế (1 l) để chuyển µ về cột thứ nhất] và ideal đơn vị R cũng có mặt trong cột thứ nhất 11 Rσ = . Ta ký hiệu i1 = 1, i2, , ir là chỉ số của các dòng i sao cho 1i Rσ = và 1kσ µ= nếu 1,..., .rk i i≠ Ta có 1 1,r n≤ ≤ − ta chọn một phép hoán vị nSπ ∈ sao cho 1(1) ,..., ( ) .ri r iπ π= = Đặt ' .πσ σ= Vì (1) 1,π = nên ta có '1 (1)1.i πσ σ= Điều này có nghĩa là trong lưới 'σ có r ideal đầu tiên trong cột 1 là R và tất cả các ideal trong cột 1 là µ . '1 neáu 1 i r, neáu i > r.i R σ µ  ≤ ≤ =   Nếu 1r i n+ ≤ ≤ và 1 j r≤ ≤ thì ' ' ' ' '1 1 .ij j ij ij iRσ σ σ σ σ µ= = ⊆ = Suy ra ' .ijσ µ= Do đó ' ( , ).rσ τ µ≤ Do σ tối đại nên 'σ tối đại. Do đó ' ( , )rσ τ µ= . Vậy ( , )rπσ τ µ= hay lưới σ đồng dạng với lưới ( , ).rτ τ µ= 2.4. Lưới trên vành đơn Định lý 2. Mọi D-lưới các ideal bậc 2n ≥ trong một vành đơn R là giao của các lưới tối đại. Chứng minh. Lấy σ là một D-lưới khác đơn vị bất kì trong R, và cho 1 (0)( 1).k kσ = ≠ Để chứng minh định lí ta chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một lưới tối đại ω sao cho 1, (0).kσ ω ω≤ = Ta kí hiệu 1 21, ,..., ri i i= là chỉ số của các dòng i sao cho 1 .i Rσ = Hơn thế, xét phép thế nSπ ∈ với 1(1) 1,..., ( ) , ( 1) .ri r i r kπ π π= = = + = Khi đó như trong chứng minh Định lí 1 ta có ( ,(0)).rπσ τ τ≤ = Dễ thấy rằng lưới tối đại 1πω τ − = thỏa hai điều kiện (2.3), định lí được chứng minh. Giả sử 2n ≥ được biểu diễn thành tổng 1 ... ( 1)mn k k m= + + ≥ của các số tự nhiên k1,,km và giữ nguyên thứ tự của các số hạng này. Nếu σ là lưới bậc n, ta có thể liên kết sự phân tích (2.4) với một biểu diễn của lưới này ở dạng ma trận khối 11 12 1 21 22 2 1 2 ...... ...... ..... ..... .... .... ... m m m m mm σ σ σ σ σ σσ σ σ σ       =          trong đó ijσ là mảng chữ nhật các ideal gồm ki dòng và kj cột. Hệ có thứ tự k1,,km của các số hạng trong (2.4) được gọi là kiểu của biểu diễn. Một lưới σ bậc n được gọi là D-lưới dạng ma trận khối kiểu k1,,km nếu trong biểu diễn dạng ma trận khối (2.5) của nó ứng với biểu diễn (2.4) tất cả các khối trên đường chéo là đơn vị (khối gồm tất cả các ideal đơn vị). Ta gọi một D-lưới dạng ma trận khối (2.5) là một D-lưới bậc thang kiểu k1,,km nếu tất cả các khối ij( )i jσ > nằm bên dưới đường chéo chính là khối 0 (khối gồm tất cả các ideal 0). Bổ đề 2.4. Trong một D-lưới dạng ma trận khối (2.5), tất cả các ideal trong cùng một khối đều bằng nhau. Chứng minh. Lấy các ideal krσ và ksσ cùng nằm trên khối ij( ).i jσ ≠ Khi đó ideal rsσ nằm trong khối jjσ và do đó rs Rσ = . Từ điều kiện kr rs ksσ σ σ⊆ ta suy ra kr ksσ σ⊆ . Nhờ tính đối xứng ta cũng có bao hàm thức ngược lại kr ksσ σ⊇ , do đó tất cả các ideal trong cùng một dòng của khối ijσ đều bằng nhau. Tương tự ta cũng có các ideal trong cùng một cột của khối ijσ đều bằng nhau. Hệ quả. Cho R là một vành đơn, σ là D-lưới dạng ma trận khối (2.5). Khi đó mỗi khối ijσ với i j≠ sẽ hoặc gồm tất cả ideal đơn vị hoặc gồm tất cả ideal 0. Định lý 3. Mỗi D-lưới các ideal trên một vành đơn đồng dạng với D-lưới bậc thang nào đó. Chứng minh. Giả sử σ là một D-lưới bất kì trên vành đơn R. Nếu σ là một lưới đơn vị thì σ có dạng ma trận khối (2.5) với m=1 (trong trường hợp này sự phân tích (2.4) trở thành dạng đơn), do đó lưới đơn vị là D-lưới bậc thang. Giả sử σ không là D-lưới đơn vị. Ta chọn trong σ một cột có số ideal 0 nhiều nhất, và đặt là cột 1. Nếu i1=1,i2, , ir là chỉ số của tất cả các dòng thứ i sao cho 1i Rσ = và π là một phép thế bậc n với 1(1) ,..., ( ) ri r iπ π= = thì trong lưới ' πσ σ= tất cả hình chữ nhật phía dưới có cấp (n-r) × r gồm các ideal 0 [ ijσ =0 khi i >r và j ≤ r xem chứng minh của Định lí 1]. Nói cách khác, σ đồng dạng với một lưới dạng 11 (1) * ' 0 σ σ σ    =     trong đó 11σ và (1)σ là các khối vuông có cấp là r và n-r (với 1 1r n≤ ≤ − ). Do cách chọn cột 1 là cột có nhiều ideal 0 nhất nên mỗi cột của lưới (2.6) chứa nhiều nhất n-r ideal 0. Suy ra khối 11σ gồm các ideal đơn vị. Ta xét mảng (1)σ các ideal như là khối đường chéo trong (2.6). Ta có (1)σ là một D-lưới cấp n-r trong R. Nếu (1)σ là lưới đơn vị thì định lí được chứng minh. Nếu (1)σ không là lưới đơn vị, ta sẽ làm tương tự như trên. Cụ thể là, áp dụng cho (1)σ một phép thế thích hợp của các số r+1, , n ta sẽ đưa lưới (1)σ về dạng 22 (2) * ' 0 σ σ σ    =     trong đó 22σ là khối gồm những ideal đơn vị. Tiếp theo, tồn tại một phép thế 'π của các phần tử 1, , n mà 'π không tác động lên các phần tử 1, , r sao cho 22 ' 22 (2) * * '' ( ') 0 * 0 0 π σ σ σ σ σ      = =        . Tiếp tục quá trình trên, ta đến bước thứ k ta được D-lưới bậc thang. Định lý được chứng minh Định lý 4. Cho σ và 'σ là hai D-lưới bậc thang kiểu (k1, , km) và (k'1, , k'm) trên vành đơn R. Nếu lưới σ và 'σ đồng dạng với nhau thì kiểu của chúng bằng nhau sai khác thứ tự của các thành phần, đặc biệt m'=m. Chứng minh. Nếu trong vành phép nhân của các ideal có tính giao hoán thì mỗi lưới σ có thể được đặt tương ứng với lưới 0σ với 0 ij ij( ) jiσ σ σ= . Đối với hai lưới đồng dạng σ và τ các lưới 0σ và 0τ cũng đồng dạng với nhau. Cho R là vành đơn và σ là D-lưới bậc thang kiểu (k1,, km) trong R. Trong lưới 0σ , trên đường chéo chính sẽ chứa các khối đơn vị có cấp là k1,,km và tất cả các ideal ở các vị trí khác là (0). Số các khối trên đường chéo chính có cấp k được xác định nhờ số các cột chứa n-k ideal (0). 2.5. Ma trận chứa trong chuẩn hóa tử Mệnh đề 2.6. Cho R là vành giao hoán, trong đó tồn tại *Rθ ∈ sao cho 1 – *Rθ ∈ . Cho σ là D-lưới bậc ij2, ( ) ( , ).n a a G GL n R≥ = ∈ = Điều kiện cần và đủ để ( )a N σ∈ là các điều kiện sau thỏa mãn ir ij ir ij ) ' , ) ' , rj rs sj i a a ii a a σ σ σ ∈ ⊆ với mọi i,j,r,s, i ≠ j, r ≠ s, trong đó a'ij là phần tử nằm ở vị trí thứ (i,j) của ma trận a-1. Chứng minh. Giả sử ( )a N σ∈ . Xét 1ad ( ) ( )rb a Gθ σ −= ∈ .Với mọi i ≠ j, ta có ij 1 1 ir 1 1 ir ir ir ij ' ... ' ... ' ' ... ' ... ' ( 1) ' ( 1) ' . i j rj in nj i j rj in nj rj rj b a a a a a a a a a a a a a a a a θ θ θ σ = + + + + = + + + + + − = − ∈ Suy ra ir ij' .rja a σ∈ Với r ≠ s. Chọn rsξ σ∈ tùy ý, ta có ( ) ( ).rst Gξ σ∈ Xét 1( ) ( ) ( ( ))rsat a G G e Mξ σ σ − ∈ = ∩ + . Ta có 1 ir ij ij ( ) ' .rs sjat a e a a eξ ξ − = +∑ Suy ra ir ij'sja aξ σ∈ Hay ir ij'rs sja aσ σ⊆ . Ngược lại, từ i) và ii) suy ra 1ax ( ), ( ).a G x Gσ σ− ∈ ∀ ∈ Do đó ( ).a N σ∈  2.6. Các bổ đề về phép co sơ cấp Cho K là một trường, |K| ≥ 7, G = GL(n,K) là nhóm tuyến tính tổng quát trên trường K, và D = D(n,K) là nhóm con các ma trận đường chéo của nó. Cho H là nhóm con cố định của G chứa D. Trong phần này, chúng tôi sẽ đưa ra các bổ đề nhằm có thêm thông tin về các phép co sơ cấp chứa trong H. Trong các bổ đề bên dưới, a = ( ija ) được hiểu là ma trận trong H và a= ( ij'a ) là ma trận nghịch đảo của ma trận a. Trước khi qua các bổ đề, ta có chú ý sau: Chú ý. Nếu tồn tại *Kα ∈ sao cho ij( )t Hα ∈ thì ij( )t Hξ ∈ với mọi *Kξ ∈ . Thật vậy, do K Kα = (vì *Kα ∈ ) nên với mọi *Kξ ∈ , ta có ξ αβ= với Kβ ∈ . Trong (E6), lấy , 1i kε β ε= = với mọi k ≠ i, ta được 1 ij ij 1 ij 1( ) ( ) [ ,..., ]t ( )[ ,..., ]n nt t Hξ αβ ε ε α ε ε −= = ∈ . Bổ đề 2.6.1. i) Nếu arj = 0 với mọi j≠ r thì tir(air) ∈ H với mọi i ≠ r. ii) Nếu air = 0 với mọi i ≠ r thì trj(arj) ∈ H với mọi j≠ r. Chứng minh. Giả sử arj = 0 với mọi j ≠ r. Khi đó, ma trận a-1 = (a'ij) với a'rj = 0 với mọi j ≠ r. Ta có [adra-1,di] ∈H. Ta tính được [adra-1,di] = 1 2( 1) ' (*)rr ir ire a a eθ θ −− − trong đó , ( ), ( ), 0, 1.i i r rd d d dθ θ θ θ= = ≠ ≠ Nghĩa là 1 2( ( 1) ' ) .ij rr irt a a Hθ θ −− − ∈ Suy ra ( ) .ir irt a H∈ Dưới đây ta sẽ trình bày sự tính toán cụ thể công thức (*). Ta có [adra-1,di] = adra-1diadr-1a-1di-1. 1 1 1 1 1 ( ( 1) ) ( ( 1) ) ( ( 1) )( ( 1) ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) . r i rr ii rr ii ii rr rr ii ad a d a e e a e e e a e a e e e e a e a a e a e θ θ θ θ θ θ θ θ − − − − − = + − + − = + − + − = + − + − + − − ( )1 , , 1 , , 1 ( 1) 1 ' ( 1) ' ( 1) ' ( 1) ' (vì ' 0, ). n n rr ts ts rr hk hk t s h k n n tr tr hk hk t h k n tr rk tk t k n tr rr tk rk t a e a a e e a e a e a e a a e a a e a k r θ θ θ θ θ − = =        − = −              = −       = − = − = ∀ ≠ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ' ( 1) 0 (vì ) n rr ii tr rr tr ii t a e a e a a e e i rθ θ θ θ− =    − − = − − = ≠     ∑ . Suy ra 1 1 1 ( 1) ( 1) ' ( 1) ' . n n r i ii tr rr tr i tr rr tr t t ad a d e e a a e d a a eθ θ θ− = = = + − + − = + −∑ ∑ Tương tự ta tính được 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) ' . n r i i tr rr tr t ad a d d a a eθ θ− − − − − = = + −∑ Do đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ , ] ( ) ( 1) ' ( ) ( 1) ' ( 1) ' ( 1) ' ( ) ( 1) ' ( 1) ' n n r i i tr rr tr i tr rr tr t t n n i tr rr tr tr rr tr i t t n tr rr tr tr rr t t ad a d d a a e d a a e e d a a e a a e d a a e a a e θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − − = = − − = = − =      = + − + −              = + − + −            + − −     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 ir ir ( 1) ( 1) ' ( 1) ' ( 1) ( 1) ' ( 1) ' ( 1) ' ( 1) ( 1) ' ( 1) ' ( n r t n n ii tr rr tr tr rr tr ii t t n tr rr rr rr tr t tr rr tr rr tr rr tr tr t e e e a a e a a e e e a a a a e e a a e a a e a a e a θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ = − = = − = − −                = + + − − + − + −         + − − = + − + − − + − + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 1 1 1 ir ir 1 2 ir ir 1)( 1) ' ( 1)( 1) ' ' (( 1) ( 1) ( 1)( 1)) ( 1) ' . rr tr rr tr rr tr t rr a e e a a e a a e e a a e θ θ θ θ θ θ θ θ θ − − − − − − − = + − − + − + − + − − = − − ∑ Vậy ta đã tính được [adra-1,di] = 1 2 ir ir( 1) ' .rre a a eθ θ −− − Bổ đề 2.6.2. Nếu arr=0 và ' 0rra ≠ thì ir ir(a ) vaø ( )rj rjt H t a H∈ ∈ với mọi ,i j r≠ . Chứng minh. Xét b = adra-1 ∈H. Ta có 1 1 1 ij ij ij ij , , ir rj ij , ( ( 1) ) ( 1) ( 1) ' ( 1) ' . r rr rr rr i j i j i j ad a a e e a e a e a e a e e a e e a a e θ θ θ θ − − − = + − = + − = + − = + − ∑ ∑ ∑ Do đó ij ij ir( 1) 'rjb a aδ θ= + − . Suy ra, với mọi j r≠ ta có ( 1) ' 0rj rr rjb a aθ= − = . Từ đó áp dụng Bổ đề 2.6.1 ta được ir ir( )t b H∈ hay ir ir(( 1) ' )rrt a a Hθ − ∈ . Suy ra ir ir( ) .t a H∈ Tương tự xét b = a-1dra ∈H ta sẽ chứng minh được ( )rj rjt a H∈ . Bổ đề 2.6.3. Đặt arra'rr =α .Nếu 0, 1,2 1α α α≠ ≠ ≠ thì trj (arj), tir(aỉr) ∈H với mọi , .i r j r≠ ≠ Chứng minh. Giả sử 1ξ ≠ − . Khi đó, với 1(1 )rb ad a Hξ −= + ∈ ta có ij ij ir ' ,rjb a aδ ξ= + ij ij ir' ' ,1 rj b a aξδ ξ = − + Thật vậy, ( ) ( ) 1 1 1 ij ij ij ij ir ij , (1 ) ( (1 1) ) ' ' . r rr rr rr rj i j b ad a a e e a e a e a e a e e a e e a a e ξ ξ ξ ξ ξ − − − = + = + + − = + = + = + ∑ ∑ ∑ 1 1 1 1 1 1 1 ij ij ij ij ir ij , (1 ) 1 1 1 1 1 1 ' 1 ' . 1 r r rr rr rr n rj i j b ad a ad a a e e a e a e a e a e e a a e e a a e ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − − − − − − − = +   =  +     = + −  +    − = +  +   − = +  +   − = +  +  ∑ ∑ ∑ Chọn 1ξ α−= − thì brr = 0, 2 1' 0 1rr b α α − = ≠ − . Áp dụng Bổ đề 2.6.2 ta được ir ir( ) , .t b H i r∈ ∀ ≠ hay 1 ir ir( ' ) .rrt a a Hα −− ∈ Suy ra ir ir( ) , .t a H i r∈ ∀ ≠ Tương tự xét 1 (1 )ra d a Hξ − + ∈ ta được ( ) , .rj rjt a H j r∈ ∀ ≠ Cho 1 1,..., ; ,...,n n Kα α β β ∈ thỏa 1 1 ... 1.n nα β α β+ + = Với mỗi Kξ ∈ , đặt ( ) ( ).ij ij i ja a δ ξα β= = + Ta có det 1 .a ξ= + Do đó nếu 1ξ ≠ − thì .a G∈ Khi đó a-1 = (a'ij), trong đó ' . 1ij ij i j a ξδ α β ξ = − + Thật vậy, 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ... 1 ... det : . . .... .... ... .... ... 1 n n n n n n n a D ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β + + = = + Tính deta bằng phương pháp qui nạp. Tách định thức theo cột n ta có 1 1 1 2 11 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 ...1 ... 0 1 ... 0 1 ... . .... .... ... 0 . .... .... ... .... ... 1 ... 1 ... 1 ... . .... .... ... .... n n n n n n n n n n n n D D ξα β ξα β ξα βξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β ξα ξα β ξα β ξα β ξα − ++ + + = + + + = + 1 2 ...n nβ ξα β ξα Nhậ cột n của định thức hai lần lượt với ( ) iξ β− rồi cộng vào cột thứ i (với i = 1, 2, , n – 1), ta được 1 2 1 1 1 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... . 0 0 ... 1 0 0 ... 0 n n n n n n n D D D n ξα ξα β ξα β ξα ξα − − − = + = + Vậy ta có công thức truy hồi 1 .n n n nD D ξα β−= + Vì công thức đúng với mọi n nên ta có 1 2 1 1 1 2 2 ( ) ... . n n n n n n n n n n n D D D D ξα β ξα β ξα β ξα β ξα β − − − − = + = + + = + + + Vì 1 1 1 1D ξα β= + nên ta có 1 1 2 2 1 1 1 ... 1 ( ... ) 1 . n n n n n D ξα β ξα β ξα β ξ α β α β ξ = + + + + = + + + = + Vậy det 1 .a ξ= + Tiếp theo ta sẽ tính a-1. Ta có ij ij( ) ( ).i ja a δ ξα β= = + Do 1 1 ... 1n nα β α β+ + = nên ta có thể đặt 1 1, ' , 1,..., ,i i i ib b i nα β= = ∀ = trong đó 1 ij ij( , ), ( ), ( ' ).b G GL n K b b b b −∈ = = = Khi đó 1 1(1 ) .a bd bξ −= + Từ đó, suy ra 1 1 1 1 1 1 ij ( (1 )) 1 1 . 1 i j a b d b bd b ξ ξ ξδ α β ξ − − − − = +   =  +    = − +  Bổ đề 2.6.4. Nếu với mọi \ {-1},a HKξ ∈ ∈ thì ( ) , . (1)rs r st H r sα β ∈ ∀ ≠ Chứng minh. Nếu 0 ( 0s r sα β α= = hay 0)rβ = thì (1) được suy ra từ Bổ đề2.6.1. Thật vậy,do 0sα = nên ij( )i ja δ ξα β= + thỏa 0, .sj s ja j sξα β= = ∀ ≠ Theo Bổ đề 2.6.1 ta có ( ) ,rs rst a H r s∈ ∀ ≠ hay ( ) ,rs r st H r sα β ∈ ∀ ≠ Nếu 0r sα β = thì (1) hiển nhiên. Vậy ta có thể giả sử 0.r s r sα α β β ≠ Xét 2 trường hợp có thể xảy ra Trường hợp 1. 1.r rα β ≠ Ta có 2 ' 1 (1 ) : . 1rr rr r r r r a a ξ α β α β α ξ = + − = + Vì | | 7K ≥ nên tồn tại *Kξ ∈ sao cho α thỏa điều kiện Bổ đề 2.6.3, nghĩa là 0, 1,2 1.α α α≠ ≠ ≠ Suy ra ( ) ,rs rst a H r s∈ ∀ ≠ hay ( ) , 1.rs r st Hξα β ξ∈ ∀ ≠ Do đó ( ) .rs r st Hα β ∈ Trường hợp 2. 1.r r s sα β α β= = Ta có 1 ij (1 ) , , 1, ( ) ( ), r ij i j b ad a H K b b η η η δ ηα β −= + ∈ ∀ ∈ ≠ = = + trong đó , ' . 1 i ir ir i r j rj ij r j a a α δ ξα β ξβ δ α β ξ = = + = = − + Ta suy ra 2 . 1s s ξα β ξ = − + Chọn 20, 1, 1 0ξ ξ ξ ξ≠ ≠ − + + ≠ thì {0,1}s sα β ∉ Và 1 1 1 1... ' ... ' 1.n n r r nr rna a a aα β α β+ + = + + = Theo chứng minh trên ta suy ra ( ) ,rs r st H r sα β ∈ ∀ ≠ Hay ( ) .rs r st Hξα β− ∈ Suy ra ( ) .rs r st Hα β ∈ Cho 1 1,..., ; ,...,n n Kα α β β ∈ thỏa 1 1 ... 0.n nα β α β+ + = Với mỗi Kξ ∈ , đặt ( ) ( ).ij ij i ja a δ ξα β= = + Ta có det 1a = và a-1 = (a'ij), trong đó ij ij' .ia δ ξα β= − Thật vậy, như trên ta đã tính được 1 1det 1 ( ... ).n na ξ α β α β= + + + Suy ra deta =1. Tiếp theo ta sẽ tính a-1. Ta có ij ij( ) ( ).i ja a δ ξα β= = + Do 1 1 ... 0n nα β α β+ + = nên ta có thể đặt 1 2, ' , 1,..., ,i i i ib b i nα β= = ∀ = trong đó 1 ij ij( , ), ( ), ( ' ).b G GL n K b b b b −∈ = = = Khi đó 1 12( ) .a bt bξ −= Từ đó, suy ra 1 1 1 12 1 12 ij ( ( )) ( ) ( ).i j a b t b bt b ξ ξ δ ξα β − − − − = = − = − Bổ đề 2.6.5. Nếu với mọi ,K a Hξ ∈ ∈ thì ( ) , .rs r st H r sα β ∈ ∀ ≠ Chứng minh. Nếu 0r rα β = thì tương tự trong phần chứng minh Bổ đề 2.6.4 ( ) .rs r st Hα β ∈ Giả sử 0r rα β ≠ . Khi đó, từ đẳng thức 2 2' 1 ( ) : .rr rr r ra a ξ α β α= − = Vì | | 7K ≥ nên ta có thể chọn Kξ ∈ sao cho α thỏa điều kiện Bổ để 2.6.3, suy ra ( )rs rst a H∈ Hay ( ) .rs r st Hξα β ∈ Do đó ( ) .rs r st Hα β ∈ 2.7. Nhóm con chứa nhóm các ma trận đường chéo Định lý 2.7.1. Cho K là một trường, | | 7K ≥ ,G=GL(n,K), D=D(n,K), H là nhóm con bất kì của G, .D H G≤ ≤ Khi đó tồn tại duy nhất một D-lưới σ các ideal trong K sao cho ( ) ( ),G H Nσ σ≤ ≤ trong đó ( ) ( ( )).GN N Gσ σ= Chứng minh. Cho ij( )σ σ= xác định như sau: với mọi i=1,,n, ii Kσ = , với mọi i j≠ , ij , neáu toàn taïi K* sao cho t ( ) 0, . ijK H ngöôïc laïi α α σ  ∈ ∈=   Ta sẽ chứng minh σ là D-lưới. Nếu ir Kσ = thì *Kα∃ ∈ sao cho ir ( ) .t Hα ∈ Nếu rj Kσ = thì *Kβ∃ ∈ sao cho ( ) .rjt Hβ ∈ Khi đó, ta có ij ir( ) [ ( ),t ( )] H.rjt tαβ α β= ∈ Suy ra ij .Kσ = Do đó ir ij.rjσ σ σ⊆ Vậy σ là D-lưới. Ta sẽ chứng minh ( ) .G Hσ ≤ Lấy ij ij ij( ), ( ), ,a G a a aσ σ∈ = ∈ ta có ij ij ij ij( ) ( ( )) ( ).t a e a e G e M Gσ σ= + ∈ ∩ + = Giả sử tồn tại ar1, r > 1. Sử dụng phép biến đổi: thay d1 bởi d1 + (1 – a11) 11ra − dr ta sẽ làm cho vị trí (1,1) bằng 1. Với mọi 2 ,k n≤ ≤ ta làm phép biến đổi loại (E) sau: Thay dòng k bởi dòng k trừ ak1 lần dòng 1. Khi đó ta sẽ nhận được một ma trận mới mà trên cột thứ nhất chỉ toàn là 0 ngoại trừ 1 ở vị trí (1,1).Giả sử với mọi r > 1, ar1 = 0 11 0.a⇒ ≠ Sử dụng phép biến đổi sau: 1 11 1 * ... *0 ... 0 0 * ... *0 1 ... 0 . ... ... ... ...... ... ... ... 0 * ... *0 0 ... 1 a a −           →             Với các phép biến đổi vừa áp dụng thì tính độc lập tuyến tính của các dòng của ma trận vẫn được bảo toàn, do đó các dòng của ma trận mới nhận được độc lập tuyến tính với nhau. Từ đó suy ra, ma trận vuông cấp n – 1 nhận được bằng cách xóa đi dòng thứ nhất và cột thứ nhất của ma trận cuối cùng cũng là một ma trận khả nghịch. Do đó ta có thể áp dụng các phép biến đổi loại (E) để làm cho tất cả các vị trí ở cột thứ hai đều là 0, ngoại trừ 1 ở vị trí (2,2). Tiếp tục quá trình như vậy, ở bước thứ n – 1 ta nhận được ma trận dạng 1 * . 0 nI µ −      Từ đó dùng các phép biến đổi loại (E) để đưa ma trận về dạng 1 0 , 0 nI µ −      là ma trận chỉ khác ma trận đơn vị ở chỗ, tại vị trí (n,n) của nó không phải là 1, mà là µ . Suy ra ( ) .G Hσ ≤ Tiếp theo ta sẽ chứng minh ( ).H N σ≤ Cho ij( ) .a a H= ∈ Ta chứng minh a thỏa hai điều kiện của Mệnh đề 2.5.1. 1) ir ij' , , .rja a i j rσ∈ ∀ ≠ ∀ Chọn \ {-1}.Kξ ∈ Xét 1 ij ir(1 ) ( ' ) .r rjb ad a a a Hξ δ ξ −= + = + ∈ Áp dụng Bổ đề 2.6.4 (với ir , ' )i j rja aα β= = ta được ij ir( ' ) , .rjt a a H i j∈ ∀ ≠ Suy ra ir ij' .rja a σ∈ 2) ir ij' , , .rs sja a i j r sσ σ⊆ ∀ ≠ ≠ Nếu 0rsσ = hiển nhiên. Nếu , , ( ) ( ) .rs rsK K t G Hσ ξ ξ σ= ∀ ∈ ∈ ⊂ Do đó 1 ij ir ij( ) ( ' ) .rs sjat a a a Hξ δ ξ − = + ∈ Áp dụng Bổ đề 2.6.5 (với ir , 'i j sja aα β= = ) ta được ij ir( ' ) .sjt a a H∈ Suy ra ir ij' .sja a σ∈ Để chứng minh tính duy nhất của lưới σ ta có chú ý sau: Chú ý. Cho R là một vành bất kì có chứa một phần tử khả nghịch θ sao cho 1θ − khả nghịch và σ là một D-lưới các ideal của R. Khi đó mọi phép co sơ cấp của ( )N σ đều thuộc ( )G σ . Thật vậy, giả sử ij( ) ( ),t N i jξ σ∈ ≠ ta có ij ij( ) ( ) ( ) ( ).jt d t Gξ θ ξ σ− ∈ Mặt khác, tính toán trực tiếp ta được ij ij ij( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) .j jt d t d eξ θ ξ θ ξ θ− = − + − Suy ra ij( 1)ξ θ σ− ∈ nên ij.ξ σ∈ Vậy ij( ) ( ).t Gξ σ∈ Bây giờ, ta sẽ chứng minh tính duy nhất của lưới σ . Giả sử tồn tại D-lưới τ sao cho ( ) ( ),G H Nτ τ≤ ≤ ta sẽ chứng minh .τ σ= Giả sử ( ),rs K r sτ = ≠ ta sẽ chứng minh .rs Kσ = Vì rs Kτ = nên tồn tại , 0.rsξ τ ξ∈ ≠ Xét ( ),rst ξ ta có ( ) ( ) ,rst G Hξ τ∈ ≤ suy ra rs Kσ = (do cách xác định σ ). Ngược lại, giả sử ( )rs K r sσ = ≠ ta sẽ chứng minh .rs Kτ = Vì rs Kσ = nên tồn tại *Kξ ∈ sao cho ( ) ( ).rst H Nξ τ∈ ≤ Theo chú ý trên ta có ( ) ( )rst Gξ τ∈ nên rsξ τ∈ . Do đó .rs Kτ = Vậy .τ σ= 2.8. Chuẩn hóa tử của nhóm con D-lưới trên một trường Định lý 2.8.1.Cho K là một trường nhiều hơn hai phần tử và σ là một D-lưới bậc n bất kì trong K. Khi đó ( ) ( ) ( ).N P Gσ σ σ= Chứng minh. Từ Nhận xét 2.2.4 iv) đối với một phép thế bất kì nSπ ∈ hai đẳng thức ( ) ( ) ( )N P Gσ σ σ= và ( ) ( ) ( )N P Gπ π πσ σ σ= là tương đương. Do đó, để chứng minh định lý, ta có thể lấy một lưới bất kì tương đương với lưới σ . Tiếp theo, ta có thể giả sử σ là D-lưới bậc thang. Kí hiệu (k1,,km) là kiểu của lưới σ , ta có thể viết lưới σ về dạng ma trận khối. Trong dạng này, tất cả các khối ij( )i jσ > nằm phía dưới đường chéo chính là khối 0. Do biểu diễn bậc n của lưới σ có dạng tổng n = k1 ++km một ma trận bất kì ( , )x GL n K∈ sẽ được xem như ma trận dạng ma trận khối 11 12 1 21 22 2 ij 1 , 1 2 ... ... ( ) , ...... ...... ... ...... ... m m i j m m m mm x x x x x x x x x x x ≤ ≤      = =         trong đó ijx là ma trận chữ nhật ki dòng và kj cột. Đối với một ma trận không suy biến x, ta có ( )x G σ∈ nếu và chỉ nếu với bất kì khối ij 0σ = trong lưới σ khối tương ứng trong x là khối ij 0x = . Đặc biệt, trong một ma trận bất kì ( )x G σ∈ tất cả các khối nằm bên dưới đường chéo chính là khối 0. Hơn thế, vì trong một D-lưới bậc thang σ , khối đường chéo iiσ gồm các ideal đơn vị, nên ta có thể lấy các khối đường chéo x11,,xm của ma trận ( )x G σ∈ là các ma trận không suy biến cấp k1,,km. Cho a là một ma trận bất kì trong ( )N σ ta có ( ) ( )aG G aσ σ= . (2.7) Ta chỉ cần chứng minh tồn tại một ma trận thích hợp ( )b G σ∈ sao cho ab là ma trận dạng Pπ với phép thế nSπ ∈ . Khi đó ( )P ab Nπ σ= ∈ , theo Mệnh đề 2.2.3 kéo theo πσ σ= tức là ( ).P Pπ σ∈ Suy ra 1 ( ) ( ).a P b P Gπ σ σ −= ∈ Sơ đồ chứng minh định lý là như sau: bắt đầu từ ma trận a, ta sẽ nhân nó về bên phải liên tiếp với những ma trận trong ( )G σ cho đến khi thu được ma trận dạng .Pπ Từ (2.7), với một ma trận bất kì ( )x G σ∈ tồn tại một ma trận duy nhất ( )y G σ∈ sao cho ax ya= . (2.8) Đồng thời, trong (2.8) ta có thể xem y như là một ma trận bất kì trong ( )G σ (khi đó x sẽ phụ thuộc vào y). Ta sẽ viết các ma trận a, x,y trong (2.8) về dạng ma trận khối kiểu (k1,,km). Tức là a=(aij) và y=(yij) trong đó aij và yij là các khối gồm ki dòng và kj cột. Ta giả sử rằng với t (1 ),t m≤ ≤ t – 1 cột khối đầu tiên của ma trận a chỉ chứa một khối khác 0, tất cả các khối khác 0 này là những ma trận đơn vị cấp thích hợp. Đó là các vị trí 1 1( ,1),...,( , 1)ti i t− − . Các chỉ số i1,,it-1 khác nhau. Ta sẽ chứng minh rằng bằng cách nhân vế bên phải ma trận a một ma trận thích hợp trong ( )G σ , có thể đưa cột khối thứ t về cùng dạng của t – 1 cột đầu tiên, tức là cột khối thứ t chỉ có một khối khác 0 và khối này là khối đơn vị. Trước tiên ta sẽ chứng minh rằng nếu r = is (1 1s t≤ ≤ − ) và khối 0stσ ≠ thì trong ma trận a ta có thể dễ dàng thay art bằng khối 0 và giữ nguyên tất cả các khối khác không đổi. Với mục đích như vậy, ta nhân a về bên phải bởi một “phép co dạng ma trận khối” b=(bij) kiểu (k1,,km), trong đó các khối bij=0 khi i j≠ và ( , ) ( , ).i j s t≠ Ta thấy tích ab khác ma trận a chỉ tại khối ở vị trí (r,t). Cụ thể, trong ab vị trí này là ma trận 0 thay vì art. Ma trận ( )b G σ∈ , vì theo giả thiết, khối 0stσ ≠ và do đó theo Hệ quả 2.4.3, nó gồm tất cả các ideal đơn vị. Vì vậy, ta có thể giả sử rằng ait=0 khi i=is (1 1s t≤ ≤ − ) và 0.stσ ≠ Bây giờ ta sẽ chọn chỉ số r (1 r m≤ ≤ ) sao cho khối 0rta ≠ và tất cả các khối bên dưới nó ar+1,t,,amt là 0. Khi đó theo (2.8) ta có hoặc ,rt tt rr rta x y a= (2.9) nếu 1 1,..., ,tr i i −≠ hoặc arsxst + artxtt = yrrart, (2.10) nếu r=is(1 1s t≤ ≤ − ). Nhưng trong trường hợp thứ hai, vì 0rta ≠ nên khối stσ phải là 0 (do chứng minh trên) và vì thế xst = 0 đối với mọi ma trận ( )x G σ∈ . Vì thế (2.10) trở thành (2.9) nghĩa là trong mọi trường hợp ta đều có (2.9). Trong sự bằng nhau này ta có thể chọn tùy ý hoặc ma trận vuông không suy biến xtt hoặc yrr. Việc chọn một trong hai ma trận này sẽ xác định ma trận còn lại qua sự bằng nhau ở (2.8). Tiếp theo, từ (2.9) ta thu được art là ma trận không suy biến cấp kr = kt. Bây giờ ta chuyển khối art sang ma trận đơn vị bằng cách nhân a về bên phải với một ma trận khối đường chéo [b11,,bmm] kiểu (k1,,km) trong đó btt = 1rta − và bii là ma trận đơn vị khi .i t≠ Phép nhân b có thể chấp nhận được vì ( ).b G σ∈ Ta được xác định thêm giả thiết rằng ngoài giả thiết liên quan đến ma trận a, khối art là ma trận đơn vị. Ta quay lại vơi sự bằng nhau (2.8), trong đó ta chọn ma trận y là ma trận khối đường chéo [y11,,ymm]. Từ sự bằng nhau trong (2.8) các khối của cột thứ t, ta thu được hệ phương trình aitxtt=yiiait (i = 1,,r), (2.11) [Ở đây cần chú ý rằng phương trình aisxst + aitxtt =yiiait với i = is và 1 1s t≤ ≤ − không gì khác ngoài (2.11) vì xst = 0 khi 0stσ = và ait=0 khi 0stσ ≠ ]. Trong hệ phương trình (2.11) yii là những ma trận không suy biến. Lấy θ là phần tử trong K khác 0 và 1. Ta lấy ma trận yrr là ma trận vô hướng với phần tử θ trên đường chéo chính yrr=[θ ,,θ ] và yii là ma trận đơn vị với i<r. Vì art là ma trận đơn vị nên từ (2.9) suy ra xtt=yrr, từ (2.10) suy ra θ ait=ait (i = 1,,r – 1), kéo theo ait =θ với mọi i < r. Như vậy sau những phép tính được thực hiện trên ma trận a, ma trận a có khối cột thứ t với một ma trận khác 0 duy nhất và khối này là ma trận đơn vị. Tóm lại, bắt đầu từ ma trận ( ),a N σ∈ quá trình tính toán trên ma trận a, với t = 1, , n ta đến được ma trận có mỗi dòng và mỗi cột có đúng một ma trận khác 0 đó là ma trận đơn vị. Nói cách khác tồn tại một ma trận ( )b G σ∈ sao cho ab= Pπ với .nSπ ∈ Do chú ý trên nên ta có định lý được chứng minh. Kết luận Bài toán được thực hiện trong luận văn là mô tả các nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên trường chứa nhóm con các ma trận đường chéo. Các kết quả chính của luận văn như sau: 1. Trình bày khái niệm về lưới và nhóm con lưới, mô tả lưới và nhóm con lưới trên trường. 2. Đưa ra tính chất của ma trận chứa trong chuẩn hóa tử của nhóm con lưới, mô tả các phép co sơ cấp nằm trong nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát chứa nhóm con các ma trận đường chéo. 3. Từ đó, mô tả các nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát trên trường chứa nhóm con các ma trận đường chéo. Các Định lý 2.7.1 và 2.8.1cho ta cái nhìn tổng quát về tất cả các nhóm con H trong nhóm tuyến tính tổng quát G = GL(n,K) chứa nhóm con các ma trận đường chéo D=D(n,K) (với giả thiết |K| ≥ 7). Với mỗi nhóm con H, D H G≤ ≤ tồn tại duy nhất một D-lưới σ bậc n sao cho ( ) ( )G H Nσ σ≤ ≤ . Hơn nữa, ( ) ( ) ( )N P Gσ σ σ= , khi đó, ta đặt ( ) ( ) ( )Q P Gσ σ σ= . Theo Định lý đẳng cấu 2, các nhóm con thành phần ( ) / ( )N Gσ σ đẳng cấu với các nhóm con thành phần ( ) / ( )P Qσ σ . Bây giờ, giả sử m < n ta sẽ nhúng GL(m,K) vào GL(n,K) bằng cách sau: ( , ) ( , ) 0 . 0 GL m K GL n K a a e →        Đồng nhất a với ảnh của nó qua phép nhúng này, ta có thể xem GL(m,K) là nhóm con của nhóm GL(n,K). Ta sẽ có bài toán mở rộng sau: Bài toán mở. Mô tả các nhóm con của nhóm GL(n,K), n ≥ 2, K là trường |K| ≥ 7, chứa nhóm con các ma trận đường chéo D(m,K) với 2 m n≤ ≤ Hướng giải quyết. Nếu m = n bài toán đã được giải quyết. Bước tiếp theo ta sẽ tìm cách giải của bài toán với m = n - 1. Tài liệu tham khảo [1] Bùi Xuân Hải, Nhóm tuyến tính, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. HCM, 2007. [2] Bui Xuan Hai and Tran Ngoc Hoi, On subgroups of the general linear group over commutative von Neumann regular ring, Acta Mathematica Vietnamica, V. 19(1994), No 2, pp 19-30. [3] Borevich Z.I. and Vavilov N.A, Subgroups of the general linear group over a semilocal ring that the contain the subgoups of diagonal matrices, Trud. Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 148 (1978), 43-57. [4] Z.I. Borevich, Description of subgroups in the general linear group that contain the group of diagonal matrices, Zap. Nauch Sem. Leningr. Otd. Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 64 (1976), 12-29, English translation in J. Soviet Math, 17 (1981), No 2. Chỉ mục D-lưới bậc thang,14 D-lưới dạng ma trận khối,14 đơn vị ma trận,1 D-lưới,4 chuẩn hóa tử,9 kiểu của biểu diễn, 14 lưới đồng dạng, 6 lưới đơn vị, 10 lưới các ideal, 4 lưới tối đại, 10 ma trận đường chéo, 2 nhóm con D-lưới, 5 nhóm con lưới, 5 nhóm tuyến tính tổng quát, 1 phép biến đổi, 3 phép co sơ cấp, 2