Luận văn Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua bài tập chương “giới hạn” - Đại số và giải tích lớp 11 trung học phổ thông (ban nâng cao)

  3 3 ! 1 0 , 2 2 2 n n n n n n n n . Mà lim  3 1 2 2 n n n =0 nên suy ra: 3 ! lim 2 n n n n = 0. - Học sinh xem lại bài chuẩn bị ở nhà, nêu cách giải đối với câu a) và b). HS ở dưới suy nghĩ cách giải câu c) và phát biểu bổ sung các - Gọi 2 học sinh bất kỳ lên bảng. - Yêu cầu học sinh làm bằng hai cách. - Nếu học sinh chỉ giải được 1 cách, giáo viên cho học sinh ở dưới bổ sung hoặc Bài 2: Tính các giới hạn sau: ( Giải bằng hai cách) a) (Bài 18c.SGK.Tr 143) L1=  2lim 2 1n n n    Cách 1: L1= 2 2 1 2 1 1 lim 1n n n n n             Cách2:Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp rồi chia cả tử và mẫu cho n bậc cao nhất. b) (Bài 18e.SGK.Tr 143) 108 cách giải mới. - Nhận xét để rút ra cách giải tối ưu. gợi ý để làm cách 2 . L2=  lim 1n n n  Cách 1: L2= lim 1 n n n  = 2 1 lim 1 1 1 n n n     Cách 2: L2= lim 1 n n n  1 lim 1 1 1 n n      c) L3= 2 1 lim 2 n n n n    Cách 1: Nhân liên hợp. Cách 2: Đánh giá tử, dùng định lí so sánh. Học sinh làm việc theo nhóm. - Đại diện các nhóm đứng tại chỗ trình bày câu a) - Các nhóm cử đại diện nhận xét bài của nhau. - Câu b) các nhóm làm ra bảng phụ. - Ý cuối cùng của câu b) là dạng mở nên các em tích cực đưa ra ý kiến của mình. - Hướng dẫn học sinh làm việc theo nhóm. - Căn cứ vào kết quả phát biểu câu a) của các nhóm, gọi một đến 2 đại diện của 2 nhóm lên bảng trình bày câu a). - Treo bảng phụ kết quả làm việc của các nhóm và tổng hợp ý kiến từ các nhóm. - Chính xác lại cách giải bài toán bằng cách chiếu lên Slide. Bài 3: Cho dãy (un) xác định bởi:       1 1 1 4 6 n n n u u u u a) Chứng minh  4 n u với mọi n. b) Gọi (vn) là dãy số xác định bởi:    1 4 n n n u v u . Em có nhận xét gì về dãy (vn) và có thể thu được kết quả gì từ nhận xét đó? Giải: a) Ta có:    1 1 4u . Giả sử  4. n u Ta chứng minh   1 4nu . Thật vậy: Nếu   1 4nu             64 4 6 4 4( 6) nn n n n uu u u u   4 n u .Điều này trái với giả thiết quy nạp (suy ra đpcm). b)               1 1 1 4 1 1 6 2 2 44 5 20 4 6 n n n n n nn n n u u u u v uu u u     12 2 . 5 4 5 n n n u v u với n . Vậy (vn) là cấp số nhân có công bộ  2 5 q * Kết quả có thể thu được 109 +               1 1 2 2 . 5 5 n n n v v . + (vn) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội  2 5 q và  1 2 5 v , có tổng : S =     1 2 25 21 3 1 5 u q . + lim 0 n v . Từ đẳng thức:   4 1 1 n n v v . Do đó  lim 1. n u - Học sinh làm việc cá nhân. Suy nghĩ nêu định hướng cách làm. Cách 1: Dựa vào quy luật để tìm số hạng tổng quát un sau đó tính giới hạn lim un. Cách2: Sử dụng định lý về sự tồn tại giới hạn. - Gọi học sinh đứng tại chỗ nêu định hướng. - Hỏi học sinh còn cách giải nào khác không? - Gọi 2 học sinh trình bày theo 2 cách. - Yêu cầu học sinh suy nghĩ và phát hiện thêm những cách giải mới. Nếu học sinh chưa có ý tưởng thì giáo viên gợi ý. Cách 3: Sử dụng cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát Cách 4: Đưa về dạng un+1 = f(un) và sử dụng nhận xét : Nếu tồn tại limun = a thì do tính liên tục của hàm số f(x) thì a là nghiệm của phương trình:   2 a a a Bài 4: Cho dãy số (un) xác định bởi: 1 1 1 , ( 1) 2 n n n u u u n u        Dãy số (un) có giới hạn hữu hạn hay không khi n ? Nếu có hãy tìm giới hạn đó. Giải: Cách1 : Ta có: 1 2 32 3 1 1 1 1 1; ; 3 2 1 7 2 1 u u u       Từ đó ta dự đoán 1 2 1 n n u   và c/m bằng quy nạp. Từ đó ta có 1 lim lim 0 2 1 n n u    . Cách 2: Ta chứng minh dãy (un) là dãy giảm bị chặn dưới. Bằng quy nạp ta c/m: *0,nu n   Ta lại có: 0 2 2 2 2 n n n n n n u u u u u u         * 1 ,n nu u n    tức là dãy (un) là dãy giảm. Vậy dãy (un) là dãy giảm bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Đặt limun = a. Tacó 1lim lim 2 2 n n n u a u a u a       . Vì *0,nu n   nên 0 0a a   Vậy limun = a = 0. 110 *Hoạt động 3 : Củng cố và hướng dẫn về nhà. - Giáo viên khắc sâu lại những kiến thức trong bài. - Giao bài tập( phát phiếu) và hướng dẫn về nhà. - Yêu cầu học sinh xem kỹ lại các bài tập đã làm trong tiết này và làm tiếp cách 3, cách 4 của bài 4. Hãy khai thác các cách giải của bài tập này và tự sáng tạo ra các bài toán mới. Giáo viên sẽ kiểm tra kết quả và giải đáp vào tiết tự chọn tuần sau. * Đề bài kiểm tra học sinh: Đề 1 (Thời gian làm bài 45 phút) Câu 1: (3 điểm) Tính các giới hạn sau: (giải theo hai cách) a) 2 1 lim n n n   b) 1 lim 1n n  Câu 2 (3 điểm) a) 1 3 2.5 lim 5 4 n n n   b) ( 1) lim(3 ) 2 1 n n    c) ( 1) . lim 2 1 n n n   Câu 3:(4 điểm) Cho dãy số xác định bởi: 1 1 3 1 1, 1 2 n n u u u n         a) Chứng minh 2,nu n   . b) Dãy (un) đã cho có giới hạn hữu hạn không? Tìm giới hạn đó (nếu có). c) Cho (vn) là dãy xác định bởi vn = un -2. Chứng minh (vn) là cấp số nhân, tính limvn ? d) Có những cách nào để tìm số hạng tổng quát của dãy ( un) ( nêu 2 cách) *Thang điểm cụ thể: Câu 1: Mỗi ý làm đúng theo một cách được 1điểm, thêm cách nữa được 0.5 đ. Câu 2: Mỗi ý làm đúng được 1 điểm. Câu 3: Ý a) được 1 điểm. Ý b) 1 điểm. Ý c) Chứng minh (vn) là cấp số nhân ( 0.5 đ), tính được limvn ( 0.5 đ) Ý d) được 1 điểm ( mỗi cách được 0.5 đ) 111 *Dụng ý sư phạm của đề: Câu 1 và câu 2 nhằm kiểm tra kỹ năng vận dụng các quy tắc, định lý vào tìm giới hạn của dãy có giới hạn 0, dãy có giới hạn vô cực, dãy có giới hạn hữu hạn. Ngoài ra: Câu 1: yêu cầu học sinh làm theo 2 cách để kiểm tra tính nhuần nhuyễn, tính mềm dẻo và tính độc đáo của tư duy. Câu 2: Đưa ra bài toán có nội dung biến đổi, với các kiến thức đã học, các em có thể dễ dàng làm được câu a) và b) nhưng để làm được câu c) đòi hỏi các em phải có tính sáng tạo, phát hiện được vấn đề và chứng minh nó không có giới hạn. Câu 3: a) Kiểm tra kiến thức về việc sử dụng phương pháp qui nạp để chứng minh bất đẳng thức. b) Kiểm tra học sinh khả năng vận dụng kiến thức vào tìm giới hạn của dãy có dạng công thức truy hồi (khả năng nhậy bén của học sinh khi biết sử dụng gợi ý của ý a) để làm ý b). Khả năng tìm phương án tối ưu) c) Kiểm tra kiến thức về cấp số nhân. d) Đây là câu dạng “mở” nhằm phát hiện khả năng suy luận, khái quát hóa vấn đề từ lời giải của ý c). Đề 2: (Thời gian làm bài 45 phút) Câu1: (3điểm) Tìm những khoảng trên trục số mà hàm số sau liên tục:       2 2 1 víi 1 4 - víi 1 x x x x x x Câu 2:(2điểm) Tìm m để hàm số :          3 2 víi 1 ( ) 1 víi = 1 x x f x x x m x liên tục tại x = 1 Câu 3: (3 điểm)Xác định 1 hàm số  y f x thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a) Hàm số xác định trên  . b) Hàm số liên tục trên ( ;0] và trên (0; + ) nhưng gián đoạn tại x = 0. 112 Câu 4: (2 điểm)Cho hàm số  y f x liên tục trên đoạn [a; b]. Em có nhận xét gì về sự tồn tại nghiệm thuộc khoảng  ;a b của phương trình  f x = 0 nếu    . 0f a f b  . Cho ví dụ minh họa. *Thang điểm cụ thể: Câu 1: Chứng minh hàm gián đoạn tại x = 1 được 1 điểm. Gián đoạn tại x = 0, liên tục trên ( ;0) , trên (0;1) và (1; ) mỗi ý được 0.5 điểm. Câu 2: Tính được 1 lim ( ) x f x  (1 điểm); Tính f (1) ( 0,5 điểm), kết luận (0,5 điểm) Câu 3: Xác định đúng (1 điểm), chứng minh thỏa mãn điều kiện (2 điểm). Câu 4: Nhận xét đúng (1 điểm), cho ví dụ minh họa đúng (1 điểm). *Dụng ý sư phạm của đề: Câu 1: Nhằm kiểm tra kiến thức về hàm số liên tục trên một khoảng, các bước xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng. Tuy nhiên, đề bài đã thay đổi cách hỏi khác với các cách hỏi quen thuộc trong SGK là: “ Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó” nhằm tránh suy nghĩ dập khuôn của học sinh. Hơn nữa đề còn ra dưới dạng mở, không cho sẵn các khoảng cần xét tính liên tục nhằm đánh giá tính mềm dẻo của tư duy. Câu 2: Nhằm kiểm tra kiến thức về hàm số liên tục tại một điểm, trong bài có tham số chưa biết, đòi hỏi học sinh phải có tư duy nhuần nhuyễn. Câu 3: Đề bài cho dưới dạng mở, học sinh phải suy đoán và tìm kết quả. Mặt khác thường quen làm dạng toán cho một hàm trước và chứng minh nó thỏa mãn các điều kiện nào đó còn bài này thì ngược lại. Bài kiểm tra tính thuận nghịch của tư duy. Câu 4: Đây cũng là bài toán xuất phát từ định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng trong SGK nhưng đã được thay đổi một phần giả thiết ( ở định lý cho    . 0f a f b  còn ở đây thì    . 0f a f b  ). Qua bài toán này muốn đánh giá tính nhuần nhuyễn của tư duy, khả năng lật ngược vấn đề, tìm tòi phát hiện kiến thức mới. 113 3.2.3 Tổ chức thực nghiệm: 3.2.3.1. Chọn lớp thực nghiệm: Việc thực nghiệm sư phạm được thực hiện tại trường THPT Hoàng Văn Thụ- TP Hải Dương. Lớp thực nghiệm: Lớp 11A2 có 42 học sinh Lớp đối chứng: Lớp 11A3 có 40 học sinh Giáo viên dạy hai lớp này là cô giáo Nguyễn Hoàng Oanh. Dựa vào kết quả khảo sát chất lượng đầu năm của trường thì chất lượng của hai lớp này tương đối đều nhau. 3.2.3.2. Tiến trình thực nghiệm: Đợt thực nghiệm được tiến hành vào học kỳ 2 năm học 2009-2010 trong vòng 7 tuần. Trước khi tiến hành thực nghiệm, chúng tôi trao đổi kỹ với giáo viên dạy thực nghiệm về mục đích, nội dung, kế hoạch cụ thể cho giáo viên dạy thực nghiệm để đi tới việc thống nhất mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy các tiết thực nghiệm. Đối với lớp đối chứng vẫn dạy như những giờ bình thường. Việc dạy học thực nghiệm và đối chứng được tiến hành song song theo lịch trình dạy của nhà trường. Chúng tôi dự tất cả các tiết dạy thực nghiệm, trao đổi, rút kinh nghiệm kịp thời để giáo viên chuẩn bị tốt hơn cho tiết sau. Đồng thời cũng dự các tiết đối chứng để có thể so sánh, rút ra kết luận. Kết thúc chương trình dạy thực nghiệm chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra cùng đề bài với lớp đối chứng, do cùng một giáo viên chấm và cùng một biểu điểm. 3.2.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm. 3.2.4.1. Đánh giá định tính: * Căn cứ vào các nhận xét, ý kiến đóng góp của giáo viên dự giờ và dựa vào quan sát của cá nhân về hoạt động dạy và học ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ta có được kết quả sau: 114 - Ở lớp thực nghiệm, học sinh tích cực hoạt động, chịu khó suy nghĩ, tìm tòi và phát huy tư duy độc lập, sáng tạo hơn ở lớp đối chứng. Hơn nữa, tâm lý học sinh ở lớp thực nghiệm thoải mái, tạo mối quan hệ thân thiết, cởi mở giữa thầy và trò. - Khả năng tiếp thu kiến thức mới, giải các bài tập toán cao hơn hẳn so với bài đối chứng. Các em biết huy động kiến thức cơ bản, các tri thức liên quan để giải các bài tập toán. Có ý thức tìm nhiều lời giải cho 1 bài toán, xem xét bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau... trình bày lời giải bài toán một cách chặt chẽ, ngắn gọn và rõ ràng hơn. * Căn cứ vào kết quả giao đề tài cho học sinh: - Thông qua kết quả của việc giao đề tài theo nhóm, một đề tài cho nhóm học sinh khá giỏi lớp 12( kết quả được trình bày trong biện pháp 3), một đề tài cho đối tượng đại trà ( kết quả được trình bày trong phụ lục-4) thì ta thấy các nhóm học sinh làm việc rất nghiêm túc, tích cực đặc biệt trong buổi báo cáo tổng kết các em rất sôi nổi và hứng thú. Các em đã tự mình khái quát hóa kiến thức, tạo ra được các bài toán mới, đưa ra nhiều ý tưởng mới. Qua đó học sinh được rèn luyện tính độc lập, khả năng tự học, tự tìm tòi và tập dượt nghiên cứu khoa học. Như vậy, việc sử dụng biện pháp 3 bước đầu đã đem lại hiệu quả nhất định trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. * Căn cứ vào cách trình bày trong bài kiểm tra: - Nhìn chung, cả hai lớp học sinh đều nắm được kiến thức cơ bản. Tuy nhiên, ở lớp thực nghiệm học sinh biết lập luận có căn cứ, chặt chẽ, chính xác hơn, các em làm tốt hơn ở những câu đòi hỏi tính sáng tạo: đã biết suy luận, dự đoán để làm được những bài toán mở, khai thác kết quả bài toán để đưa ra những nhận xét, đã thể hiện được tính nhuần nhuyễn và tính mềm dẻo của tư duy trong việc tìm nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán, có em đưa ra cách giải lạ, đặc sắc, bước đầu thể hiện tính độc đáo của tư duy. 3.2.4.2. Đánh giá định lượng: Sau khi cho học sinh ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng làm hai bài kiểm tra, chúng tôi thu được kết quả cụ thể như sau: 115 Bảng 3.1: Kết quả kiểm tra đề 1: Kết quả Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu Tổng số bài Thực nghiệm 23.8% 28.6% 33.3% 14.3% 42 Đối chứng 17.5% 25% 37.5% 20% 40 - Lớp thực nghiệm có 36/42 (85.7%) đạt trung bình trở lên.Trong đó có 52.4% khá giỏi. Có 4 em đạt điểm 9. Không có em nào đạt điểm tuyệt đối. - Lớp đối chứng có 32/40 (80%) đạt trung bình trở lên. Trong đó có 42.5% khá giỏi. Có 1 em đạt điểm 9. Không có em nào đạt điểm tuyệt đối. Biểu đồ 3.1 : Kết quả kiểm tra đề 1: 23.8 17.5 28.6 25 33.3 37.5 14.3 20 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Giái Kh¸ T.b×nh YÕu Thùc nghiÖm §èi chøng Bảng 3.2: Kết quả kiểm tra đề 2: Kết quả Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu Tổng số bài Thực nghiệm 33.3% 35.7% 26.2% 4.8% 42 Đối chứng 22.5% 27.5% 40% 10% 40 - Lớp thực nghiệm có 40/42 (95,2%) đạt trung bình trở lên.Trong đó có 69% khá giỏi. Có 4 em đạt điểm 9. Có 2 em đạt điểm tuyệt đối. - Lớp đối chứng có 36/40 (90%) đạt trung bình trở lên. Trong đó có 50% khá giỏi. Có 2 em đạt điểm 9. Không có em nào đạt điểm tuyệt đối. 116 Biểu đồ 3.2 : Kết quả kiểm tra đề 2: 33.3 22.5 35.7 27.5 26.2 40 4.8 10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Giái Kh¸ T.b×nh YÕu Thùc nghiÖm §èi chøng * Căn cứ kết quả bài kiểm tra ta thấy: - Cả hai bài kiểm tra đều cho thấy kết quả đạt được của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng, đặc biệt là loại bài đạt khá, giỏi cao hơn hẳn. Nguyên nhân rõ ràng là do ở lớp thực nghiệm, học sinh thường xuyên được luyện tập các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh,..., được bồi dưỡng phát triển tư duy sáng tạo thông qua việc sử dụng các biện pháp nêu trong luận văn. 3.3. Kết luận chƣơng 3. Mục đích và nội dung của chương 3 bao gồm: - Đưa ra 3 biện pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông mà chủ yếu là bồi dưỡng những yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo thông qua việc khai thác và xây dựng hệ thống bài tập chương “ Giới hạn” Đại số và Giải tích lớp 11 (ban nâng cao), bước đầu đề xuất các phương pháp dạy học thích hợp để sử dụng hiệu quả hệ thống bài tập đó. Trong mỗi giải pháp, luận văn cũng đã nêu những lưu ý và những hạn chế khi sử dụng nhằm đem lại hiệu quả cao nhất trong dạy học nói chung cũng như trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm và kết quả thu được từ đợt thực nghiệm cho phép kết luận rằng: Việc sử dụng 3 biện pháp nói trên nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong các tiết dạy là có thể thực hiện được. Nếu có phương pháp sử dụng thích hợp thì 3 biện pháp này có tác dụng tốt trong việc gây hứng thú cho học sinh, lôi cuốn các em vào hoạt động toán học một cách tự giác, tích cực, chủ động, thiết thực trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán trong trường THPT. Do vậy, mục đích thực nghiệm sư phạm đã đạt được, giả thuyết khoa học nêu ra đã được kiểm nghiệm. 117 KẾT LUẬN Sáng tạo là một phẩm chất rất cần thiết của con người mới trong xã hội hiện đại. Việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là khả thi và cần thiết tiến hành ngay trong nhà trường phổ thông, điều này đã được nhận thức thành một nhiệm vụ đặt ra cho ngành giáo dục. Dạy học môn toán nói chung và dạy chương “ Giới hạn” – Đại số và Giải tích lớp 11 nói riêng có điều kiện thuận lợi để thực hiện nhiệm vụ này. Qua quá trình nghiên cứu của đề tài, đã thu được các kết quả sau: 1. Hệ thống lại và làm sâu sắc thêm các vấn đề lý luận có liên quan tới khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo, đặc biệt là một số yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo. 2. Điều tra thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở một số trường THPT tại Hải Dương. 3. Đề xuất được 3 biện pháp để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Các biện pháp này đã được kiểm nghiệm thông qua thực nghiệm sư phạm và kiểm tra đối chứng. Hy vọng rằng, trong thời gian tiếp theo, những tư tưởng và những biện pháp đã được đề xuất sẽ tiếp tục được phát triển, tiếp tục được thử nghiệm và được khẳng định tính khả thi cũng như tính hiệu quả trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong nhà trường phổ thông. 118 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT: 1. Bộ Giáo dục và Đào tạo. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình SGK lớp 11 THPT môn Toán học. Nxb Giáo dục, 2006. 2. Bộ Giáo dục và Đào tạo, Hội Toán học Việt Nam. Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ. Nxb Giáo dục, 1997. 3. Nguyễn Hữu Châu. Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình dạy học. NXB Giáo dục, Hà Nội, 2005. 4. Hoàng Chúng. Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông. Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1969. 5. V.A. Crutexki. Những cơ sở tâm lý học sư phạm( người dịch Thế Long). Nxb Giáo dục, Hà Nội, Tập1( 1980), Tập 2(1981). 6. V.A. Crutexki.Tâm lý năng lực toán học của học sinh. Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1973. 7. Nguyễn Bá Đô( chủ biên), Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Đăng Khôn. Các câu chuyện toán học tập 4. Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2002. 8. Phạm Gia Đức, Phạm Văn Hoàn. Rèn luyện kỹ năng công tác độc lập cho học sinh qua môn toán. Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1967. 8. Lê Hồng Đức. Phương pháp giải toán giới hạn của hàm số. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội, 2004. 10. Trần Bá Hoành. Phát triển trí sáng tạo của học sinh và vai trò của giáo viên. Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, số 9/1999. 11. Nguyễn Thái Hoè. Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán. Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2001. 12. Đào Viết Huệ. Về bồi dưỡng học sinh giỏi nhìn từ góc độ quản lý. Nghiên cứu Giáo dục, Hà Nội, 1994. 13. Phan Huy Khải. Trọng tâm kiến thức và bài tập Đại số và Giải tích 11. Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2008. 14. Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Minh, Tôn Thân. Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán ở trường THCS. Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1998. 119 15. Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn toán. Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội, 2008. 16. Nguyễn Bá Kim ( chủ biên), Vƣơng Dƣơng Thụy. Phương pháp dạy học môn toán. Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2000. 17. I.I Lecne. Dạy học nêu vấn đề. ( Người dịch: Phan Tất Đắc). NXB Giáo dục, 1997. 18. Trần Luận. Dạy học sáng tạo môn toán ở trường phổ thông. Nghiên cứu giáo dục, 1995. 19. Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thuỷ Thanh. Giới hạn dãy số và hàm số. Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2008. 20. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành TW Đảng Cộng sản Việt Nam (khoá VII,1993). 21. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành TW Đảng Cộng sản Việt Nam (khoá VIII,1997). 22. Trần Phƣơng. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán. Nxb Đại học Quốc Gia, Hà Nội,2006. 23. G.Polia. Giải bài toán như thế nào ( Người dịch: Hồ Thuần, Bùi Tường). Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1997. 24. G.Polia. Toán học và các suy luận có lý ( Người dịch: Hoàng Chúng, Lê Đình Phi, Nguyễn Hữu Chương). Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1997. 25. G.Polia. Sáng tạo toán học ( người dịch: Phan Tất Đắc, Nguyễn Giản, Hồ Thuần). Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1997. 26. Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng. Bài tập Đại số và Giải tích 11( nâng cao). Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2006. 27. Sở GD&ĐT TP. Hồ Chí Minh, Trƣờng THPT chuyên Lê Hồng Phong. Tuyển tập 10 năm đề thi Olympic 30/4 toán 11. Nxb Giáo dục, 2006. 28. Minh Tân, Thanh Nghi, Xuân Lãm.Từ điển tiếng Việt. Nxb Thanh Hoá,1998. 29. Tôn Thân. Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi toán ở trường THCS Việt Nam. Luận án phó tiến sĩ khoa học Sư phạm-Tâm Lý, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội, 1995. 120 30. Thái Duy Tuyên. Một số vấn đề hiện đại lý luận dạy học. Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội, 1992. 31. Nguyễn Cảnh Toàn.Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học. Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1998. 32. N. Moixeiev. Toán học là đòn bẩy của những phát minh. Nxb Khoa học kỹ thuật. Hà Nội, 1988. 33. Nguyễn Cảnh Toàn. Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học. Nxb Giáo dục, 1998. TIẾNG ANH: 34. Eric Jensen. Teaching with the brain in mind. ASCD book, 2005. 121 PHỤ LỤC Phụ lục 1: Phiếu dự giờ giáo viên. Phụ lục 2: Mẫu phiếu điều tra học sinh. Phụ lục 3: Mẫu phiếu điều tra giáo viên. Phụ lục 4: Kết quả giao đề tài. Phụ lục 5: Các phiếu hỗ trợ hoạt động nhóm. 122 PHỤ LỤC 1: Phiếu số 1: PHIẾU DỰ GIỜ GIÁO VIÊN Họ và tên giáo viên: Bùi Việt Đức. Trình độ đào tạo: Đại học Môn dạy: Đại số 11 Lớp: 11A1- THPT Hoàng Văn Thụ Tên bài dạy: Tự chọn (về hàm liên tục- ban nâng cao) I. DIỄN BIẾN CỦA GIỜ DẠY *Hoạt động 1 : Luyện tập loại bài tập chứng minh hàm số lên tục hay gián đoạn tại 1 điểm, liên tục trên tập xác định của nó. Hoạt động của HS Hoạt động của GV Nội dung ghi bảng - Học sinh đứng tại chỗ trả lời. - GV yêu cầu học sinh nhắc lại các bước chứng minh hàm số liên tục hay gián đoạn tại 1điểm. Tóm tắt lý thuyết: ( thông qua các slide) Cho học sinh làm bài theo nhóm. 4 Hs đại diện cho 4 nhóm lên bảng trình bày * Các nhóm quan sát đánh giá bài giải lẫn nhau. Hướng dẫn học sinh làm việc theo nhóm. * GV tổng kết đánh giá Bài 1 Xét tính liên tục của hàm số sau: a) f(x) = 24 x khi x 2 x 2 2x khi x 2       tại x0 = 2 b) f(x) =      2x -3x+2 khi x 1 x-1 2x +1 khi x 1 tại xo = 1. c) f(x) = 2 2 x 3x 2 khi x 1 x 1 x khi x 1 2          tại xo = 1 d) g(x) = x -3 tại x = 3 Giải: a) TXĐ D =  ; 2D * f(2) = -4 *        2 x 2 x 2 4 x limf(x) lim 4 x 2 123 - HS thảo luận theo nhóm và nêu nhân xét khái quát. Yêu cầu học sinh nhận xét về sự khác nhau giữa 4 câu trên từ đó nêu các trường hợp có thể dẫn đến hàm số gián đoạn tại một điểm. Vậy hàm số liên tục tại x = 2. b) D =  ; x = 1D * 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x     nên hàm số gián đoạn tại x = 1 c) x = 1 không thuộc TXĐcủa hàm số nên hàm số gián đoạn tại x = 1 d) không tồn tại 3 lim ( ) x f x  nên hàm số gián đoạn tại x = 3. * Hai học sinh TB lên bảng trình bày lời giải. Cả lớp theo dõi, nhận xét, đánh giá, bổ sung, ... HS nêu cách làm chung. *Hãy tìm tập xác định của hàm số ? * g(x) có liên tục trên [3;+) hay không ? Hãy chứng minh cụ thể ? * Yêu cầu học sinh tổng kết lại các bước làm dạng này. * GV chính xác lại. Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó: a) g(x)= x-3 * TXĐ : [3; +) * Với mọi x0 thuộc (3; +) ta có : 0x x lim x 3   = 0x 3 = g(x0) . Tại x = 3, x 3 lim g(x) 0 g(3)    Kết luận : g(x) liên tục trên [3.+) b) ) f(x) = 1 2x 3 khi x 2 2 x 1 khi x 2         HS nêu định hướng cách giải. GV yêu cầu học sinh đứng tại chỗ nêu định hướng. GV chính xác lại các bước làm. Bài 3: Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0 a) f(x) =      1 xkhi a2x 1 x khi 1x2x3 2 tại x0 = 1 b) f(x) =          1 xkhi a 1 x khi 1x 3x2x 2 3 tại x0 = 1 *Hoạt động 2: Chứng minh phương trình có nghiệm. Hoạt động của HS Hoạt động của GV Ghi bảng (hoặc trình chiếu) Học sinh các nhóm đứng tại chỗ trả lời. -GV yêu cầu học sinh nhắc lại định lý về sự tồn tại nghiệm trên một khoảng, các tính chất liên quan. Tóm tắt lý thuyết: ( thông qua các slide) 124 Cho 1 hs khá lên bảng trình bày. Cả lớp theo cùng làm sau đó nhận xét. * Ta đặt f(x) là hàm số như thế nào ? *Nghiệm âm lớn hơn -1 có nghĩa là nghiệm đó nằm trong khoảng nào ? Bài 4: Chứng minh rằng PT: x 3+x+1 = 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. Giải: Đặt f(x) = x3+x+1, rõ ràng f(x) liên tục trên IR nên liên tục trên đoạn [- 1;0] * f(-1) = -1 0 Do đó : f(-1).f(0) < 0 . Suy ra có c thuộc (-1;0) sao cho f(c) = 0 hay phương trình trên có ít nhất 1 nghiệm âm lớn hơn -1 Cả lớp suy nghĩ, làm giấy nháp. Gọi một số học sinh phát biểu ý kiến, nêu định hướng cách làm. Giáo viên và học sinh cùng làm. Bài 5: Cho hàm số: f(x) = 1 x 0 x 1 x 0 khi khi      a) Chứng tỏ rằng f(-1).f(2) < 0. b) Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 2). c) Điều khẳng định trong b) có mâu thuẫn với định lý về giá trị trung bình không? Hoạt động 3: Củng cố và hướng dẫn về nhà. Cách chứng minh hàm số liên tục tại 1 điểm ? trên 1 khoảng ? Cách chứng minh PT f(x) = 0 có nghiệm trên khoảng (a;b) ? II. NHẬN XÉT VÀ RÚT KINH NGHIỆM GIỜ DẠY: III. CHO ĐIỂM VÀ XẾP LOẠI: 125 Phiếu số 2: PHIẾU DỰ GIỜ GIÁO VIÊN Họ và tên giáo viên: Nguyễn Văn Chiều. Trình độ đào tạo: Đại học Môn dạy: Đại số 11 Lớp: 11A2- THPT Hoàng Văn Thụ Tên bài dạy: Ôn tập chương IV(tiết 1) (ban nâng cao) I. DIỄN BIẾN CỦA GIỜ DẠY: * Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ. Hoạt động của HS Hoạt động của GV Tóm tắt ghi bảng- trình chiếu HS chuẩn bị trong vòng 5 phút để đưa ra đáp án cũng như những nhận xét khi giáo viên yêu cầu. -GV đưa ra các câu hỏi trắc nghiệm trên slide - Gọi học sinh bất kỳ trong lớp trả lời. Chiếu các câu hỏi trắc nghiệm. * Hoạt động2: Hệ thống lại lý thuyết về giới hạn dãy số. Hoạt động của HS Hoạt động của GV Tóm tắt ghi bảng- trình chiếu - Học sinh trả lời câu hỏi của Gv - Nhận xét câu trả lời của bạn. - Yêu cầu học sinh đứng tại chỗ trả lời các câu hỏi về lý thuyết. - GV chính xác lại và chiếu lên màn hình. Hệ thống lại kiến thức trên các slide * Hoạt động 3 : Thực hành giải các BT về dãy số, cấp số. Hoạt động của HS Hoạt động của GV Tóm tắt ghi bảng HS xem lại bài tập đã chuẩn bị ở nhà và trả lời câu hỏi mà giáo viên nêu ra. Yêu cầu học sinh làm bài 55 GSK trang 117 các câu a); b); d). Gọi 3 học sinh bất kỳ lên nhận dạng giới hạn và tính. Bài 55:a) 3 2 3 2 3 2 3 lim lim 5 1 1 3 2 lim 5 1 n n n u n n n n n           (Vì giới hạn của tử bằng 2>0, giới hạn của mẫu bằng 0 và mẫu dương với mọi n nguyên dương) b) 32 32 limlim 2 4    n nn un 1 2   126 d) 3 97 33 29 78178 nn nnn  Kết quả : nulim Nêu định hướng cách giải: nhân liên hợp để khử dạng vô định. * Gv yêu cầu học sinh nhận dạng và nêu định hướng cách giải. 56a)Biến đổi 1213  nnun 3 1 2 1 n n n     22 1213 1 nnnn   = Do đó : nulim (tử bằng 1>0, mẫu có giới hạn bằng 0 và mẫu dương ) Trả lời câu hỏi của GV * Bằng 0 * Chia tử và mẫu cho cùng 5 n * Nếu q có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 thì lim qn = ? *Ta nên biến đổi như thế nào cho hợp lí ? 56b) Hướng dẫn : 3) 5 2 ( 1) 5 4 (    n n nu Kết quả : 3 1 lim nu - Nghe và hiểu nhiệm vụ. - Làm việc theo nhóm. - Cử đại diện trình bày. - Nhận xét câu trả lời của bạn và bổ sung (nếu có). - Giao nhiệm vụ cho các nhóm. Nhóm 1,2 làm câu a). Nhóm 3,4 làm câu b) 57a)234u8 = 32u3  243u1.q 7 = 32u1.q 2  q5 = 32/243 (do u1 khác 0 )  q= 2/3 b) 81 3 2 1 3 1 1 151      u u q u S *Theo hướng dẫn của SGK ta biến đổi cụ thể như thế nào ? -Một học sinh lên bảng làm. Ở dưới theo dõi, nhận xét. 1 1 1 1 ( ) ( ) ... 1 2 2 3 1 1 1 n u n n         58) )1( 1 ... 3.2 1 2.1 1   nn un ) 1 11 (...) 3 1 2 1 () 2 1 1 1 (   nn 1 1 1   n . Vậy 1) 1 1 1lim(lim    n un HS thảo luận theo nhóm. HS đại diện các GV đưa ra một số bài tập mở rộng. Bài tập mở rộng: Bài 1: Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi: 127 nhóm nêu định hướng. Hs các nhóm nêu dự đoán. HS suy nghĩ tìm hướng giải quyết. Các nhóm trình bày ra bảng phu. - Các nhóm tự đánh giá lẫn nhau. Hướng dẫn các nhóm làm việc. GV và học sinh cùng giải. -Y/c học sinh suy nghĩ, nêu định hướng cách giải. - Cho các nhóm trình bày cụ thể ra bảng phụ. -Đánh giá bài làm của các nhóm và khen thưởng. 1 1 2 1 víi 1 2 n n u u u n        Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn khi n  . Tìm giới hạn đó. Giải: Ta có: 1 2 3 4 5 3 5 9 17 2; ; ; ; ... 2 4 8 16 u u u u u     Dự đoán: 1 * 1 2 1 víi n 2 n n n u       Chứng minh bằng quy nạp dự đoán trên. Từ đó: 1 1 2 1 1 lim lim lim 1 2 2 2 1 nn n n u                 Bài 2: Cho dãy (un) xác định bởi u1 = 1 ; un+1 = 1 nu a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên và là dãy số tăng. b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó. *Hoạt động 4 : Củng cố - Giáo viên khắc sâu lại những kiến thức trong bài. - Giao bài tập và hướng dẫn về nhà ( phát phiếu) * Dặn dò : Xem lại các bài tập đã giải, làm một số bài còn lại, làm bài tập trắc nghiệm khách quan (trang 179). Chuẩn bị kiểm tra 1 tiết . II. NHẬN XÉT VÀ RÚT KINH NGHIỆM GIỜ DẠY: .................................................................................................................................. .................................................................................................................................. ................................................................................................................................. III. CHO ĐIỂM VÀ XẾP LOẠI: 128 PHỤ LỤC 2: PHIẾU ĐIỀU TRA HỌC SINH Họ và tên học sinh:.. Lớp:Trường: Lĩnh vực điều tra Câu hỏi phỏng vấn Trả lời bằng cách đánh dấu x vào ô vuông Học sinh học lý thuyết chƣơng “ Giới hạn” Có thể hiểu được các định nghĩa về giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục ngay trong những tiết học đầu? Có Không Tìm được mối liên hệ giữa các khái niệm giới hạn? Có Không Nắm được các quy tắc, định lý ngay trên lớp? Có Không Được giáo viên tổ chức các hoạt động và hướng dẫn để tự chiếm lĩnh tri thức? Có Không Đánh giá mức độ khó của lý thuyết chương “ Giới hạn”? Dễ Hơi trừu tượng Rất trừu tượng Làm bài tập chƣơng “Giới hạn” Vận dụng được thành thạo các quy tắc tính giới hạn? Có Không Có khả năng phân loại được các dạng bài tập và rút ra được cách giải tương ứng? Có Không Tự rút ra được kinh nghiệm và phương pháp khi làm bài? Có Không Đánh giá mức độ khó của bài tập trong SGK và sách tham khảo?    Rất khó Không quá khó Dễ Gặp khó khăn khi làm bài tập không có sự gợi ý của giáo viên?   Có Không 129 Làm bài tập chƣơng “Giới hạn” Lúng túng khi giáo viên thay đổi một số yếu tố của một bài toán đã biết? Thường xuyên Ít khi Không Gặp khó khăn khi chuyển từ dạng bài tập này sang dạng bài tập khác?   Có Không Khi giải bài tập còn mắc sai lầm do áp dụng sai quy tắc, định lý? Có Không Khi giải bài tập còn mắc sai lầm do không hiểu đúng định nghĩa, khái niệm? Có Không Khi giải bài tập còn mắc sai lầm về kỹ năng biến đổi hoặc định hướng tính toán? Có Không Sau khi giải xong một bài toán có kiểm tra lời giải hay không? ( Kiểm tra tính đúng đắn của lời giải, tìm nhiều lời giải, tìm lời giải hay nhất ) Thường xuyên Ít khi Không bao giờ Sau khi giải xong một bài toán khai thác lời giải hay không?(Tìm bài tập tổng quát, bài tập tương tự, đặt ra vấn đề ngược lại nếu có thể) Thường xuyên Ít khi Không bao giờ Khi gặp bài toán chưa biết cách giải em có xem xét trường hợp riêng để mò mẫm, dự đoán kết quả từ đó tìm lời giải hay đợi sự gợi ý của giáo viên? Tự mò mẫm tìm lời giải Đợi giáo viên gợi ý. 130 Có khả năng tự ra được đề toán mới theo con đường: - Lập bài toán tương tự với các bài tập trong SGK, theo một dạng nhất định? - Lập bài toán đảo? - Đặc biệt hóa hoặc khái quát hóa bài toán? - Thay đổi một vài yếu tố của bài toán ban đầu? Có Không Được làm quen, tập dượt tự nghiên cứu thông qua thực hiện những đề tài nhỏ do giáo viên giao cho? Có Không Thái độ và phƣơng pháp học của học sinh Có hứng thú với kiến thức chương “ Giới hạn” không? Có Không Tích cực chiếm lĩnh trí thức dưới sự hướng dẫn của giáo viên? Có Không Tự học, tự đọc sách để nâng cao trình độ?    Thường xuyên Ít khi Không bao giờ Có ý thức tự đào sâu suy nghĩ, mở rộng bài toán sau khi giải xong? Có Không Có thói quen tự ra đề toán mới? Có Không 131 PHỤ LỤC 3: PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN Họ và tên giáo viên: Đơn vị công tác:. Lĩnh vực điều tra Câu hỏi phỏng vấn Trả lời bằng cách đánh dấu x vào ô vuông Dạy lý thuyết chƣơng “ Giới hạn” So với dạy các nội dung toán học khác thì dạy lý thuyết chương “ Giới hạn” khó hơn do tính trừu tượng?   Có Không Tổ chức được các hoạt động học tập trên lớp để học sinh tự khám phá tri thức?   Dễ dàng Khó khăn Tìm được tài liệu tham khảo và các ứng dụng thực tế để bài giảng sinh động, có chiều sâu.  Dễ dàng Khó khăn Lôi cuốn được học sinh trong suốt một tiết học lý thuyết?   Dễ dàng Khó khăn Dạy bài tập chƣơng “Giới hạn” Mất nhiều công sức để tổng hợp lại hệ thống bài tập từ cơ bản đến nâng cao?   Có Không Tập trung luyện cho học sinh các thủ thuật tính giới hạn, khử dạng vô định hay xét tính liên tục của hàm số? Có Không Chú ý rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, khả năng nhận ra đối tượng mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết? Thường xuyên Ít khi Không bao giờ 132 Dạy bài tập chƣơng “Giới hạn” Coi trọng những bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tìm tòi phát hiện và giải quyết vấn đề?   Có Không Khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán?   Thường xuyên Ít khi Không bao giờ Thường xuyên hướng dẫn học sinh tìm tòi, khai thác mở rộng bài toán?   Có Không Dành thời gian để tìm hiểu, giải thích sai lầm của học sinh?   Có Không Trong những đề kiểm tra đã chú ý sử dụng câu hỏi, bài tập phát huy được tư duy sáng tạo của học sinh? Có Không Có xây dựng kế hoạch dạy phân hóa học sinh?   Có Không Hướng dẫn học sinh tự học, khuyến khích học sinh tự tìm lấy ví dụ, bài tập vừa sức?   Có Không Thường xuyên giao đề tài cho học sinh?   Có Không Có thể bồi dưỡng và phát tiển tư duy sáng tạo thông qua dạy học chương “ Giới hạn”? Có Không 133 PHỤ LỤC 4: KẾT QUẢ GIAO ĐỀ TÀI Học sinh lớp: 11A2- trường THPT Hoàng Văn Thụ- TP Hải Dương. Nhiệm vụ đƣợc giao: “Tìm những sai lầm có thể mắc phải khi giải bài tập chương “ Giới hạn”, giải thích nguyên nhân từ đó rút ra hướng khắc phục”. Kết quả: Sau khi các nhóm báo cáo, kết quả đã được tổng hợp lại thành hệ thống để cả lớp tham khảo. Sau đây là một số ví dụ được lấy trong bản tổng hợp: Ví dụ 1: Tính  2lim 1 n n n    Sai lầm mắc phải: Học sinh A:  2lim 1 n n n    =  2lim 1 lim ( ) ( ) 0 n n n n          ; Học sinh B:  2lim 1 n n n    = 1 lim 1 1 0 0 n n n           ; Học sinh C :  2lim 1 n n n    =       2 2lim 1 lim 1 lim n n n n n n n                  = 0 Lời giải đúng: Có:   2 2 2 2 2 ( 1 )( 1 ) 1 lim 1 lim lim 0 ( 1 ) ( 1 )n n n n n n n n n n n n n                Nguyên nhân: Do hiểu sai kí hiệu. V í d ụ 2:Tính lim n 2 1 2 ... 2 n n     Sai lầm mắc phải: Ta có: lim n 2 1 2 ... 2 n n     = 2 2 2 1 2 lim lim ... lim 2 2 2n n n n n n n         = 0+0+... +0 = 0 Lời giải đúng là: Ta có: 1+2+.+n =  1 2 n n  do đó : lim n 2 1 2 ... 2 n n     = lim n    2 1 2 2 n n n   = lim n 2 22 4 n n n   = lim n 2 1 1 4 2 n n   = 1 2 134 Ví dụ 3: Tìm giới hạn I =              n n 11 2 lim sin sin ... sin n n n n Sai lầm mắc phải : Ta có n sin nlim 0 n   , ..., n 2 sin nlim 0, ..., n     n n 1 sin nlim 0 n    . Nên I = 0 + 0 + ...+ 0 = 0 Lời giải đúng là: Đặt   n n 11 2 A sin sin ... sin n n n n            , ta có: 2nAn sin 2n    n 12 2sin sin 2sin .sin ... 2sin .sin 2n n 2n n 2n n              =    2n 3 2n 13 3 5 cos cos cos cos ... cos cos 2n 2n 2n 2n 2n 2n                            = 2sin  n 1 2n   Nên     n n n n n 1 2sin n 12 2 22n 2nA limA lim . .sin .1.sin 2n 2 2n.sin sin 2n 2n                  Nguyên nhân: Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát biểu cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng ở đây đã áp dụng cho tổng vô hạn. Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn 0 (tức là các phép toán giới hạn tổng, hiệu, tích , thương chỉ phát biểu và được sử dụng cho hữu hạn các số hạng ). Ví dụ 3 : Tính lim n  2 1 n n   Sai lầm mắc phải: Không tồn tại lim  2 1 n n   vì dãy số đang xét (un) với  2 1 n nu n    có: u1 = 1 , u2 = 3 2 , u3 = 1 3 , là dãy không tăng cũng không giảm. 135 Nhận xét : Lời giải đưa ra không đúng, vì định lý về dãy đơn điệu bị chặn thì có giới hạn chỉ là nêu lên điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần để dãy số có giới hạn. Mặt khác cũng cần lưu ý rằng: Những số hạng đầu tiên của dãy số không ảnh hưởng tới sự tồn tại giới hạn của dãy số. Chẳng hạn, kể từ số hạng thứ 201010 dãy số bắt đầu tiến và bị chặn trên thì dãy số vẫn có giới hạn, còn các số hạng từ ( 201010 -1) trở về trước không cần quan tâm. Sự quan tâm tới những số hạng đầu tiên của dãy chỉ giúp cho sự phán đoán mà thôi, lời giải đúng như sau: Vì    * 2 1 3 0 n n N n n       và 3 lim n = 0 nên  2 1 lim n n   = 0. Nguyên nhân : vận dụng sai định lý. Ví dụ 4: Tính   2 1 lim 1 n n n   Sai lầm mắc phải: Áp dụng tính chất: Nếu lim n un= L và lim n vn=  thì lim 0 n n n u v  Tức: Với un = (-1) n , vn = 2 1n  thì   2 1 lim 0 1 n n n    . Nhận xét : Kết quả thì vẫn đúng nhưng nhầm lẫn ở đây là lim n (-1) n không có giới hạn, do un = (-1) n là dãy bị chặn nhưng không có giới hạn. Vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa hai đại lượng có cùng giới hạn. Lời giải đúng : Ta có :   2 2 2 2 2 11 1 1 1 1 2 1 1 1 n n nn n n n n             do 1 lim 2n n  = 1 lim n n = 0 nên   2 1 lim 1 n n n   = 0 Nguyên nhân : Vận dụng sai quy tắc. Ví dụ 5: Tính 2 2 4 1 2 1 lim 4 1      n n n n n n 136 Sai lầm mắc phải: 2 2 4 1 2 1 lim 4 1      n n n n n n = 2 2 1 1 4 2 lim 4 1 1 1                  n n n n n n n = 2 2 1 1 4 2 lim 4 1 1 1                  n n n n n Đến đây gặp dạng vô định 0 0 và học sinh tính toán tiếp để khử dạng vô định này bằng cách cùng nhân và chia cả tử và mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng phân thức và sẽ rất phức tạp, khó khăn trong tính toán, khi đó dễ gì đi đến kết quả đúng. Lời giải đúng: Ta có: 2 2 4 1 2 1 lim 4 1      n n n n n n     22 2 2 2 2 4 1 2 1 4 1 lim . 4 1 4 1 2 1n n n n n n n n n n n                    22 2 2 4 1 1 1 4 1 lim . 1 21 14 4 2 n n nn n n n n                            Nguyên nhân : Khi tìm giới hạn, một số học sinh không có thói quen định hướng và xác định dạng, trước khi biến đổi tính toán đại số nên gặp phải sai lầm khi định hướng tính toán dẫn đến lúng túng khi làm bài. Ví dụ 6 : Tìm 2 1 1 lim 1x x x   Sai lầm mắc phải: Ta có: 2 1 1 x x   = x+1 2 1 1 lim 1x x x   =   1 lim 1 x x   = 2, Nhận xét: Kết quả trên là đúng nhưng thật sai lầm khi biến đổi đồng nhất 2 1 1 x x   = x+1 vì hai vế là hai hàm số có tập xác định hoàn toàn khác nhau .Ta hiểu bản chất là chọn dãy xn 1, xn 1  *, Nn  2 1 1 n n x x   = xn+1 Lời giải đúng: Ta có: 2 1 1 lim 1x x x   =   1 lim 1 x x   = 2. Nguyên nhân : Sai lầm về kỹ năng biến đổi. 137 Ví dụ 7 : Tìm 2 2 2 3 lim 16 1 1x x x x x x       Sai lầm mắc phải: 2 2 2 3 lim 16 1 1x x x x x x       = 2 2 1 2 1 3 lim 1 1 16 1 x x x x x x x                  = 2 2 1 2 1 3 lim 1 1 16 1 x x x x x        = 5 4 Nhận xét: Thực ra ở đây đã có nhầm lẫn khi đưa biểu thức ra khỏi dấu căn dạng xx 2 , kết quả này chỉ đúng khi x > 0 ( tức trong trường hợp x  ) Lời giải đúng: Ta có : 2 2 1 2 2 1x x x x x      và 2 2 1 16 1 16x x x    Nên 2 2 2 3 lim 16 1 1x x x x x x       = 2 2 1 2 3 1 lim 1 1 16 x x x x x x x x x x x                  = 2 2 1 2 1 3 lim 1 1 16 1 x x x x x        2 3   Nguyên nhân : Sai lầm về kỹ năng biến đổi. Ví dụ 8 Tính các giới hạn sau: a) lim x (x 2 – x) b)  2lim 1 x x x    Sai lầm mắc phải: a) lim x (x 2 – x) = lim x 4 2 2 x x x x   = lim x 2 2 3 1 1 1 1 x x x   = + ; b)  2lim 1 x x x    = 2 2 1 1 lim lim 11 1 1 x xx x x x             2 1 lim 1 1 1 x x x      (dạng 0 0 ) ( Không tính tiếp được nữa) Lời giải đúng: 138 a) lim x (x 2 – x) = lim x 2 11x x         b)  2lim 1 x x x    = lim x 2 1 1 1 lim ( ) 1 1 x x x x x x x                    . Nguyên nhân : Sai lầm về định hướng kĩ năng tính toán. Ví dụ 9: Xét tính liên tục của hàm số: 1 1 0 ( ) 1 3 0 0 x x f x x        nÕu nÕu tại điểm x = 0. Sai lầm mắc phải: Ta có: 1 0 0 1 lim ( ) lim 1 3 x x x f x     . Khi x 0 thì 1 1 1 3x x    nên 1 0 1 lim 1 3 x x   =0 mà  0f = 0 nên suy ra hàm số đã cho liên tục tại x = 0. Lời giải đúng là: Ta có : 1 0 0 1 lim ( ) lim 0 1 3 x x x f x       (do khi x 0 thì 1 1 1 3x x    ) 1 0 0 1 1 lim ( ) lim 1 1 0 1 3 x x x f x         (do khi x 0 thì 1 1 3 0x x   ) Như vậy 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x f x     nên hàm số đã cho dán đoạn tại x = 0. Nguyên nhân: Sai lầm khi vận dụng định nghĩa. Ví dụ 10: Tìm những khoảng trên trục số mà hàm số sau liên tục:       2 2 1 víi 1 4 - víi 1 x x x x x x Sai lầm mắc phải: 139 Ta có: 2 2 1 1 1 1 1 lim ( ) lim lim 2 x x x x x f x x x x           . 1 1 lim ( ) lim(4 ) 3 x x f x x       . Thấy: 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x     nên hàm số liên tục trên ( ;1) và (1; ) . Lời giải đúng là : \D   {0 }. Ta có: 2 2 1 1 1 1 1 lim ( ) lim lim 2 x x x x x f x x x x           . 1 1 lim ( ) lim(4 ) 3 x x f x x       . Thấy: 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x     nên hàm số gián đoạn tại x = 1. Với x > 1: hàm số liên tục. Với 0 <x <1: hàm số liên tục. Với x < 0: hàm số liên tục. Vậy hàm số liên tục trên khoảng: ( ;0) ; (0;1); và (1; ) . 140 PHỤ LỤC 5: CÁC PHIẾU HỖ TRỢ LÀM VIỆC NHÓM Phiếu 1: Biên bản làm việc nhóm 1.Môn học:.....................................................................Lớp: .................................................. 2.Thành viên của nhóm: .................................................................................................................................................. .......................................................................................................................................... 3. Nội dung công việc: .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 4. Nhiệm vụ cụ thể của từng thành viên: ................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 5. Tiến trình làm việc:............................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. 6. Kết quả, sản phẩm: .................................................................................................................................................. 7. Thái độ, tinh thần làm việc:................................................................................................ .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 8. Đánh giá chung:................................................................................................................... .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. 9. Kiến nghị, đề xuất:.............................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. Thư ký Nhóm trưởng (Họ và tên, chữ kí) (Họ và tên, chữ kí) NhËn xÐt cña gi¸o viªn: 141 Phiếu 2: Đánh giá làm việc nhóm Tiêu chí Mô tả mức đánh giá Điểm Hạn chế Khá Tốt Xuất sắc Sự giúp đỡ lẫn nhau trong nhóm làm ____ Kỹ năng lắng nghe lẫn nhau ____ Sự tham gia của các thành viên trong nhóm ____ Khả năng tranh biện và thuyết phục ____ Kỹ năng đặt câu hỏi, phát hiện và nêu vấn đề ____ Sự tôn trọng lẫn nhau trong nhóm ____ Sự chia sẻ trong nhóm ____ Kết quả đạt đƣợc Tổng điểm _ 142 Phiếu 3: Tự đánh giá tham gia làm việc nhóm Luôn luôn Thỉnh thoảng Không bao giờ Nhận xét Em đặt ra các mục tiêu rõ Em xác định các nhiệm vụ Em vạch ra các phương pháp Em gợi ý các ý tưởng và phương hướng mới Em tình nguyện giải quyết những nhiệm vụ khó. Em đặt ra các câu hỏi Em tìm kiếm các sự kiện Em yêu cầu phải làm rõ Em tìm và chia sẻ các nguồn tài nguyên Em đóng góp các thông tin và các quan điểm Em đáp lại các ý kiến khác một cách nhiệt tình Em mời tất cả mọi người tham gia Em khiến các bạn có cảm giác tốt về những gì các bạn đã đóng góp cho nhóm Em tóm tắt lại những điểm chính của cuộc thảo luận Em đơn giản hóa các ý kiến phức tạp Em xem xét vấn đề dưới nhiều quan điểm khác nhau Em giữ cuộc thảo luận đúng tiến độ và nội dung Em giúp nhóm tạo một thời gian biểu và đăt thứ tự các ưu tiên. Em giúp nhóm điều khiển phân chia các nhiệm vụ. Em chấp nhận,tôn trọng các quan điểm khác nhau của nhóm Em tìm kiếm các giải pháp thay thế. Em giúp nhóm đạt được các quyết định công bằng và hợp lí. 143