Luận văn Phổ nguyên tố của vành phổ nguyên tố của đồng cấu vành

có không gian tôpô X=Spec(A) là T0-không gian. Chứng minh: Với mọi x,y∈X ,x ≠ y ,ta có Từ đó do mệnh đề 1.16 ta suy ra đƣợc Vậy có ít nhất một lân cận của y không chứa x hoặc có ít nhất một lân cận của X không chứa y. Vậy X = Spec(A) là T0 -không gian Mệnh đề 1.18 : Cho A là một vành ,X = Spec(A) .Với mọi x ∈ X ta có tập {x} là tập đóng trong X khi và chỉ khi αx là Ideal tối đại trong A. Chứng minh : ( => ) {x} đóng trong X , ta chứng minh Ta có {x} đóng trong X , suy ra Do mệnh đề 1.16, ta đƣợc : {x} = V(α x) Giả sử αx không là ldeal tối đại trong A. Do nên αx ≠ Trang | 22 Từ đó suy ra tồn tại sao cho : Tƣơng đƣơng : và Mâu thuẫn vì Vậy ,ta chứng minh tập {x} là tập đóng trong X. Ta có Suy ra Ta chứng minh Thật vậy , giả sử có β≠ αx mà Suy ra Mâu thuẫn vì Vậy Suy ra {x} đóng trong X. Một không gian tôpô được gọi là T1 -không gian khi và chỉ khi các tập gồm một điểm là tập đóng. Từ đó mệnh đề 1.18 cho ta hệ quả sau: Hệ quả 1.19 : Cho A là một vành , X = Spec(A). Ta có X là một T1 -không gian khi và chỉ khi mọi Ideal nguyên tố của A đều là Ideal tối đại. Trang | 23 CHƢƠNG II: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA MỘT SỐ VÀNH ĐẶC BIỆT Trong chƣơng I , ta đã xét một số tính chất chung của phổ nguyên tố của một vành giao hoán có đơn vị tùy ý , trong chƣơng nầy ta sẽ xét tính chất của phổ nguyên tố xác định trên một số vành giao hoán có đơn vị đặc biệt mà cụ thể là phổ nguyên tố của vành chính , vành Bull, vành Noëther , vành Artin , vành tích trực tiếp . I.Phổ nguyên tố của vành chính 1-Một số kiến thức cơ bản . + Cho A là một vành , một phần tử a∈ A đƣợc gọi là phần tử bất khả quy nếu a khác 0 không khả nghịch và không có ƣớc thực sự + Một Ideal α của vành A đƣợc gọi là Ideal chính nếu tồn tại phần tử a ∈ A sao cho α = + Một vành A đƣợc gọi là vành chính nếu A là miền nguyên và mọi Ideal của A đều là Ideal chính . 2- Phổ nguyên tố của vành chính. Mệnh đề 2.1 : Cho A là vành chính . Khi đó ta có : ta có : a là bất khả quy trong A . Trang | 24 Chứng Minh. Hiển nhiên vì A là vành chính nên A là một miền nguyên . b- (=>) Do A là vành chính ta suy ra : α ∆ A => ∃a∈A:α = Ta chứng minh nếu ≠ , thì a là phần tử khả quy trong A . Ta có : Do đó a không khả nghịch . Giả sử a không bất khả quy trong A . Suy ra tồn tại b,c ∈ A sao cho bc=a và b,c là các ƣớc thực sự của a Do bc = a , ta đƣợc : bc ∈. Mà Suy ra: Mâu thuẫn vì b,c là các ƣớc thực sự của a . Vậy a là phần tử bất khả quy trong A . ( là Ideal nguyên tố của A ∀ b,c ∈ A , bc ∈ bc a Do a bất khả quy trong A , ta đƣợc : Trang | 25 Suy ra Vậy Ta có nên theo chứng minh trên,tồn tại a∈A ,a bất khả quy sao cho α = . Giả sử không phải là Ideal tối đại. Khi đó : Do suy ra ≠ A Suy ra tồn tại ,sao cho Suy ra: không liên kết t Mặt khác : Do đó b không khả nghịch Vậy b là ƣớc thật sự của a. Mâu thuẫn vì a là bất khả quy trong A Vậy Từ mệnh đề 2.1 ta suy ra đƣợc kết quả sau : Định lý 2.2 : Cho A là vành chính,X = Spec(A) .Ta có các khẳng định sau: a. X = { , / a bất khả quy trong A } b. Với mọi tập F⊂X, F là tập đóng khi và chỉ khi F= hoặc F = X hoặc F là tập gồm hữu hạn điểm của X. c. Không gian con X' = X \ { } là T1 không gian . Trang | 26 Chứng minh : a. và b. Hiển nhiên do mệnh đề 2.1 . b. (=> ) F là tập đóng trong X,ta chứng minh F = hoặc F = X hoặc F là tập gồm hữu hạn điểm của X. Ta có : F là tập đóng trong X nên tồn tại E ⊂ A sao cho F = V(E) = { ∈ X/⊃E}. Từ đó : + Nếu E = hoặc E ={0} thì F = X . + Nếu tồn tại b khả nghịch trong A sao cho b∈E thì F= . Thật vậy ,do b khả nghịch trong A nên tồn tại b'∈ A sao cho bb' =1 . Do đó : ∀α ∆ A ,α ⊃ E ta có b∈α Từ đó ta đƣợc 1∈α . Suy ra α = A. Vậy không tồn tại sao cho α ⊃ E Suy ra F = . +Nếu E ≠ ,E ≠ {0} và E không chứa phần tử khả nghịch của A . Ta có : Từ đó suy ra a là ƣớc bất khả quy của mọi b thuộc E. Mà tập các ƣớc bất khả quy của mỗi phần tử là hữu hạn Suy ra F là tập có hữu hạn phần tử. (<=) Nếu F = hoặc F = X thì hiển nhiên F là tập đóng trong X. Xét trƣờng hợp F là tập gồm hữu hạn điểm trong X . Giả sử F = { ∈ X, i ∈ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ } Ta có : Trang | 27 Do mệnh đề 2.lc ta suy ra đƣợc { } là tập đóng với mọi i ∈ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . Mà : Vậy F là tập đóng trong X . Nhận xét: Từ định lý 2.2 ta suy ra đƣợc tập mở trong không gian X=Spec(A) với A là vành chính là các tập ,X hoặc tập là phần bù trong X của một tập hữu hạn . Ví dụ : Vành các số nguyên Z là vành chính . Ta có : là số nguyên tố} Các tập đóng trong Spec(Z) là ,X hay tập gồm hữu hạn các Ideal của Z mà mỗi Ideal đƣợc sinh ra bởi một số nguyên tố. Các tập mở trong Spec(Z) là phần bù trong X của các tập đã nêu trên. Ta cũng đƣợc không gian con X’ ={ / p là số nguyên tố} là T1 không gian. II. Phổ nguyên tố của vành Bull Vành A đƣợc gọc là vành Bull nếu với mọi phần tử a∈A , ta có a2=a. Mệnh đề sau xác định một số tính chất đặc biệt của vành Bull. Trang | 28 Mệnh đề 2.3 : Cho A là vành Bull, ta có : c. Với mọi A nếu α hữu hạn sinh thí α là Ideal chình. Chứng minh : Với mọi phần tử a thuộc A,ta có : a + a ∈ A Từ đó b. Với mọi Ideal nguyên tố α của A,ta chứng minh α là Ideal tối đại của A. Giả sử α không phải là Ideal tối đại của vành A , ta có : Do đó tồn tại sao cho : Ta lại có Suy ra Do và a ∈ α, nên : Từ đó suy ra : a-1 ∈ Mà a ∈ suy ra 1 ∈ Mâu thuẫn với giả thiết Trang | 29 Vậy c. Xét Ta có : Ta chứng minh Thật vậy Hiển nhiên ta có : (1) Ngƣợc lại ta có : Mà Do mệnh đề 2.3a ta suy ra : Vậy Suy ra Tƣơng tự ta cũng chứng minh đƣợc : Từ đó suy ra : (2) Từ (l) và (2) suy ra : Vậy α là Ideal chình. Bằng phƣơng pháp quy nạp , ta có kết luận mọi Ideal hữu hạn sinh đều là Ideal chính . Từ mệnh đề 2.3b và hệ quả 1.19 ta suy ra đƣợc hệ quả sau: Hệ quả 2.4 : Cho A là vành Bull , ta có không gian tôpô X=Spec(A) là T1 -không gian. Trang | 30 Các mệnh đề và hệ quả sau xác định một số tính chất của các tập mở, tập đóng trong không gian X = Spec(A) với A là vành Bull. Mệnh đề 2.5 : Cho A là vành Bull , X= Spec(A). Với mọi phần tử f ∈ A ,ta có tập Xf vừa mở vừa đóng trong X. Chứng minh : Ta chỉ cần chứng minh với mọi f ∈ A ,tập Xf là tập đóng trong X. Ta có : Ta lại có : f2 = f Do và f , ta suy ra đƣợc : f - 1 ∈ . Suy ra 1 ∈ Mâu thuẫn vì Vậy f Suy ra ∈ Xf Vậy V (f - 1) ⊂ Xr (2) Từ (1), (2) suy ra Xf = V ( f -1). Trang | 31 Suy ra Xf là tập đóng trong X. Vậy với mọi f thuộc A , tập Xf vừa mở vừa đóng trong X. Hệ quả 2.6 : Cho A là vành Bull ,X = Spec(A). Ta có : a.Với mọi phần tử f ∈ A,ta có tập V(f) vừa mở vừa đóng trong X . b.Với mọi ,nếu α hữu hạn sinh thí V(α) là tập vừa đóng vừa mở trong X. Chứng minh : a. Với mọi f ∈ A ta có : V(f) = X \ Xr Mà Xf là tập vừa mở vừa đóng trong X nên V(f) là tập vừa đóng vừa mở trong X. b. A là vành Bull ,α là Ideal hữu hạn sinh của A.Do mệnh đề 2.3c suy ra tồn tại f ∈ A sao cho α = . Từ đó ta có : V(α) = V ( ) = V (f) Do hệ quả 2.6a ta suy ra đƣợc tập V(α) là tập vừa đóng vừa mở trong X. Mệnh đề 2.7: Cho A là vành Bull ,X = Spec(A). Với các phần tử tùy ý f1, f2,....fn thuộc A ,luôn tồn tại phần tử f thuộc A sao cho : Chứng minh : Ta chỉ cần chứng minh với các phần tử f1 , f2 tùy ý thuộc A , luôn tồn tại phần tử f thuộc A sao cho Trang | 32 Ta có : Vậy với mọi f1 ,f2 thuộc A ,tồn tại phần tử thuộc A thỏa : Từ đó bằng phƣơng pháp quy nạp ta có kết luận ,với các phần tử tùy ý f1, f2,...fn thuộc A, tồn tại phần tử f thuộc A sao cho Mệnh đề 2.8 : Cho A là vành Bull ,X = Spec(A). Mọi tập con vừa mở vừa đóng của X đều có dạng Xf với f thuộc A. Chứng minh : Với mọi tập con U vừa mở vừa đóng trong X,ta có : U là tập mở nên : U là tập đóng mà không gian X = Spec(A) là compac nên U là tập compac . Suy ra tổn tại hữu hạn sao cho : Từ đó ,do mệnh đề 2.7 tồn tại phần tử f thuộc A sao cho : U = Xf Mệnh đề sau xác định tính chất tách của phổ nguyên tố trên vành Bull. Trang | 33 Mệnh đề 2.9 Cho A là vành Bull ,ta có không gian X= Spec(A) là không gian Hausdorff. Chứng minh : Với mọi x ,y thuộc X mà x ≠ y ,ta có : Do mệnh đề 2.3b ,suy ra : Từ đó : Do V(a) là tập vừa đóng vừa mở nên V(a) , Xa lần lƣợt là hai lân cận của x và y. Hiển nhiên Vậy với mọi x , y ∈ X ,tồn tại hai lân cận lần lƣợt của x , y có giao bằng Suy ra X là không gian Hausdorff. III.Phổ nguyên tố của vành Noëther Vành A đƣợc gọi là vành Noëther nếu A thỏa mãn các điều kiện tƣơng đƣơng sau đây: 1- Mọi tập con khác các Ideal trong A đều có phần tử tối đại. 2- Mọi dãy tăng các Ideal trong A đều dừng . 3- Mọi Ideal trong A là hữu hạn sinh . Để xét phổ nguyên tố của vành Noëther ta xét các không gian tôpô đặc biệt sau . Trang | 34 1- Không gian Tôpô bất khả quy . Định nghĩa 2.10 : Không gian tôpô X đƣợc gọi là bất khả quy nếu X và bất kỳ hai tập con mở khác trong X đều có giao khác Nhận Xét: Trong định nghĩa trên có thể thay thế điều kiện bất kỳ hai tập con mở khác trong X đều có giao khác bởi điều kiện tƣơng đƣơng là mọi tập mở khác trong X đều trù mật trong X. Mệnh đề 2.11 : Cho X là không gian tôpô . Ta có : a- Nếu Y là không gian con bất khả quy của X thí bao đóng của Y trong X bất khả quy . b- Bất kỳ không gian con bất khả quy của X đều nằm trong một không gian con bất khả quy tối đại. c. Các không gian con bất khả quy tối đại trong X là đóng và phủ X , đƣợc gọi là các thành phần bất khả quy của X. Chứng minh: a- Y là không gian con bất khả quy, ta chứng minh ̅ là không gian con bất khả quy . Với mọi E1 , E2 mở khác trong ̅. Ta có: Với U1 , U2 là hai tập mở khác trong X . Khi đó ta có : là các tập mở khác trong Y Thật vậy : mở trong Y là hiển nhiên . Ta lại có , suy ra tồn tại ít nhất X ∈ X sao cho ,suy ra tồn tại lân cận Vx của x sao cho Vx ∈ U1 Trang | 35 x ∈ ̅ suy ra mọi lân cận của x giao Y khác Từ đó ta có Tƣơng tự cho mở khác trong Y Do Y bài khả quy , ta đƣợc : Suy ra: Vậy Suy ra ̅ bất khả quy . b- Xét Y1 là không gian con bất khả quy tùy ý trong X . Nếu không tồn tại không gian con bất khả quy Y2 trong X sao cho Ta đƣợc Y1 là không gian con bất khả quy tối đại chứa Y1 Ngƣợc lại nếu có không gian con bất khả quy Y2 trong X sao cho: Tiếp tục lý luận nhƣ trên . Giả sử có : Với các Y1 là các không gian con bất khả quy trong X . Ta đƣợc dãy (I) thỏa điều kiện của bổ đề zorn Thật vậy , với tập con tùy ý , các Yi trong dãy ( I ) . Đặt Nếu I hữu hạn , đặt n = max Ta đƣợc Y = Yn Suy ra Y là một cận trên của Nếu I vô hạn , ta chứng minh Y bất khả quy. Xét các tập mở tùy ý trong Y Ta chứng minh Giả sử Trang | 36 Suy ra : Do Yi bất khả quy với mọi i∈ I , suy ra với mọi i∈ I , ta có : Đặt Ta đƣợc Do I vô hạn suy ra tồn tại j ∈ 1,2 sao cho Kj vô hạn Giả sử K1 vô hạn . Ta có : Mà k ∈ k1 suy ra Do i < k nên Yi ⊂ Yk Từ đó suy ra: Vậy với mọi Suy ra Vậy Tƣơng tự , nếu K2 vô hạn ta suy ra đƣợc .Mâu thuẫn vì Vậy Suy ra Y bất khả quy . Vậy Y là một cận trên của Từ đó suy ra tồn tại không gian con bất khả quy tối đại trong dãy I Vậy có không gian con bất khả quy tối đại Y thỏa c- Xét Y không gian con bất khả quy tối đại tùy ý trong X . Giả sử Y không đóng Suy ra Trang | 37 Mặt khác Y bất khả quy nên ̅ bất khả quy . Mâu thuẫn vì Y không gian con bất khả quy tối đại. Vậy Y đóng. Ta lại có : Với mọi x ∈ X, {x} là không gian con bất khả quy trong X . Do mệnh đề 2.1 lb tồn tại không gian con bất khả quy tối đại Yx sao cho : {x} ⊂ Yx Từ đó suy ra: Ngƣợc lại , hiển nhiên Vậy với Yx là không gian con bất khả quy tối đại trong X . Nhận xét: Nếu X là không gian Hausdorff, ta có : Với mọi x ∈ X, {x} là không gian con bất khả quy của X. Với mọi không gian con Y của X thỏa : Suy ra Do X là không gian Hausdorff , suy ra tồn tại Vx , Vy lần lƣợt là lân cận của x,y trong X sao cho Vx Vy = Từ đó ta có : Suy ra Y không phải là không gian con bất khả quy của X . Vậy với mọi x ∈ X, {x} là không gian con bất khả quy tối đại của X . Các mệnh đề , hệ quả sau đây xác định tính bất khả quy trong không gian phổ nguyên tố cua một vành . Trang | 38 Mệnh đề 2.12 : Cho A là một vành A, X = Spec (A). Khi đó ta có: a- Nếu V(α) là không gian con bất khả quy của X thì b- Nếu thí V(α) là không gian con đóng bất khả quy của X . Chứng Minh : a- V(α) là không gian con bất khả quy của X, ta chứng minh Ta có r(α) ∆A hiển nhiên . Giả sử r(α) không phải là ideal nguyên tố của vành A . Suy ra tồn tại a,b ∈ A , sao cho : Do ab ∈ r (α ) Suy ra Từ đó với mọi , ta có : Nếu a ∈ , với mọi ∈ V(α) suy ra a ∈ r (α) . Mâu thuẫn . Tƣơng đƣơng cho b ∈ , với mọi ∈ V(α) suy ra b ∈ r (α) Mâu thuẫn . Từ đó suy ra: Mâu thuẫn ví V (α) là không gian con bất khả quy của X Vậy r (α) là ideal nguyên tố của A . Trang | 39 ta chứng minh V (α) là không gian con đóng bất khả Ta có V (α) đóng . Hiển nhiên . Mặt khác Với mọi E mở trong V ( α ), E , , tồn tại U mở trong X, U sao cho: Do U mở trong X suy ra tồn tại tập con F ⊂ A sao cho : Từ đó : do Ta đƣợc a ∈ U. Mặt khác ta cũng có α ∈ U (α) Suy ra Vậy với mọi E mở khác trong V (α) ta có α ∈ E. Từ đó suy ra , với mọi E1,E2 mở khác trong V(α) ta có Vậy V ( α ) bất khả quy . Hệ quả 2.13 : Cho A là một vành , X = spec(A), F là tập đóng tùy ý trong X . Khi đó ta có : F là không gian con đóng bất khả quy của X khi và chỉ khi tồn tại sao cho F= V(α) Chứng minh: (=>) F là tập đóng trong X Suy ra tồn tại A sao cho Trang | 40 F= V ( ). F là không gian con bất khả quy của X . Do mệnh đề 2.12a suy ra Mà V ( ) = V(r ( ) ) Vậy tổn tại thỏa F= V ( ). ( )Hiển nhiên do mệnh đề 2. 12b Hệ quả 2.14: Cho A là một vành . Ta có không gian X = Spec (A) bất khả quy khi và chỉ khi radA là Ideal nguyên tố của A . Chứng minh : ( )Không gian X = spec ( A ) bất khả quy , ta chứng minh rad A là Ideal nguyên tố của A . Ta có : X = V ( rad A ) . Do X - bất khả quy nên theo mệnh đề 2.12a Suy ra : r ( rad A ) Mà r ( rad A ) = rad A Vậy rad ( ) rad ,do mệnh đề 2.12b suy ra V ( rad A ) bất khả quy. Vậy X bất khả quy . Mênh đề 2.15 . Cho A là một vành , X = Spec ( A ) các thành phần bất khả quy của X là các tập đóng dạng V ( α ) , với α là ideal nguyên tố tối tiểu của A . Trang | 41 Chứng minh : Xét Y là không gian con bất khả quy tối đại tùy ý của X . Ta có Y - đóng , bất khả quy . Suy ra có sao cho Y = V ( ) Giả sử α không phải là ideal nguyên tố tối tiểu của A . Suy ra tồn tại sao cho β Từ đó V ( ) V ( ). Do mệnh đề 2.12b ta cũng có V ( β ) bất khả quy . Mâu thuẫn vì Y là không gian con bất khả quy tối đại . Vậy α là ideal nguyên tố tối tiểu của A . Trang | 42 2.Không gian Tôpô noëther Định nghĩa 2.16 : Không gian tôpô X đƣợc gọi là không gian Noëther nếu mọi dãy tăng các tập mở đều dừng. Nghĩa là : Với mọi dãy : U1 ⊂ U2⊂...⊂ Ui ⊂ ... ,các Ui mở trong X . Tồn tại n ∈ N, n 1 sao cho: Un = Un+1 =... Nhận xét: Trong định nghĩa 2.16 có thể thay điều kiện mọi dãy tăng các tập mở trong X đều dừng bởi điều kiện tƣơng đƣơng là mọi lớp khác các tập mở trong X đều có phần tử tối đại. Trong không gian tôpô X,mỗi tập đóng là phần bì trong X của một tập mở .Từ đó định nghĩa 2.16 còn đƣợc phát biểu nhƣ sau : Không gian tôpô X đƣợc gọi là không gian Noëther nếu mọi dãy giảm các tập đóng trong X đều dừng.Nghĩa là : Với mọi dãy các Fi đóng trong X. Tồn tại n ∈ N, n ≥ 1 sao cho: Fn = Fn+1 = ... Trong định nghĩa trên cũng có thể thay thế điều kiện mọi dãy giảm các tập đóng trong X đều dừng bởi điều kiện tƣơng đƣơng là mọi lớp khác các tập đó g tro g X đều có phần tử tối tiểu. Trang | 43 Mệ h đề 2.17. Nếu X là không gian tôpô Noëther thì : a. X là không gian compac . b. Mọi không gian con của X cũng Noëther . Chứng minh : a.Với mọi phủ mở ( Xi)i∈ I của X. Ta có : mở trong X. Đặt : Ta đƣợc , Yi , i∈ I mở trong X , thỏa và Y1 ⊂ Y2⊂...⊂ Yi ⊂ ... Do X là không gian tôpô Noëther ,suy ra tồn tại n ∈ N, n ≥ 1 Sao cho : Yn = Yn+1 =... Từ đó ta đƣợc : Suy ra Vậy mọi phủ mở của X đều tồn tại phủ con hữu hạn phủ X. Suy ra X là không gian compac. b. Xét không gian con Y tùy ý trong X. Với Y1,Y2 mở trong Y, ta có: Với X1 ,X2 mở trong X Nếu Y1 ⊂ Y2 ta có thể nói X1⊂ X2 Trang | 44 Thật vậy nếu X1 X2 Đặt X2’ = X1 ∪ X2 Ta đƣợc : Từ đó với mọi dãy tăng các tập mở trong Y Tồn tại dãy tăng các tập mở trong X. Sao cho Do X là không gian tôpô Noëther nên tồn tại n ∈ N, n ≥ 1 sao cho : Xn = Xn+1 = ... Từ đó suy ra : Yn = Yn+1 = ... Vậy với mọi dãy tăng các tập mở trong Y Tồn tại n ∈ N, n ≥ 1 sao cho : Yn = Yn+1 = ... Suy ra Y là không gian Noëther. Mệnh đề 2.18 : Cho không gian tôpô X ,ta có các điều kiện sau là tƣơng đƣơng : a. X là không gian Noëther. b. Mọi không gian con trong X là conipac. c. Mọi không gian con mở trong X là compac. Chứng minh : a => b. X là không gian Noëther ,ta chứng minh mọi không gian con trong X là compac. mở trong X Trang | 45 Ta có X là không gian Noëther Với mọi không gian con Y của X . Do mệnh đề 2.17b ta có Y là không gian Noëther. Từ đó do mệnh đề 2.17a suy ra Y là compac . b => b. Hiển nhiên. c => a. Mọi không gian con mở trong X là compac , ta chứng minh X là không gian Noëther. Với mọi dãy ( Xi)i∈ I thỏa Xi, i∈ I mở trong X và : Đặt Ta đƣợc Y là không gian con mở trong X . Suy ra Y compac và ( Xi)i∈ I là một phủ mở của Y . Từ đó tồn tại n ∈ N sao cho: Do quan hệ bao hàm , ta suy ra đƣợc Xn = Xn+1 = ... Vậy với mọi dãy tăng các tập mở trong X Tồn tại n ∈ N sao cho : Xn = Xn+1 = ... Suy ra X là không gian Noëther . Mệnh đề 2.19: Mỗi không gian Noëther là hợp của hữu hạn các không gian con đóng bất khả quy . Chứng minh Xét không gian tôpô Noëther X. Ký hiệu là lớp tất cả các tập con đóng của X mà không là hợp của hữu hạn các tập con đóng bất khả quy của X .Ta cần chứng ∑ = . Trang | 46 Giả sử ∑ . Do X là không gian Noëther nên lớp ∑ tồn tại phần tử tối tiểu . Gọi Y là phần tử tối tiểu của lớp ∑ Ta đƣợc Y là tập con đóng và không bất khả quy của X . Từ đó tồn tại hai tập Y1 ,Y2 mở trong Y sao cho : Y1 ≠ , Y2 mà Y1 Y2 ≠ . Đặt: = Y\Y1 = Y\Y2 Ta đƣợc , là hai tập đóng khác rổng trong Y thỏa: Y = ∪ (1) Do Y là tập đóng của X nên , là hai tập con đóng của X Khi đó từ (1) ta suy ra đƣợc : { Vậy , là hợp của hữu hạn các tập con đóng bất khả quy của X . Do đó,từ (1) ta cũng suy ra đƣợc Y là hợp của hữu hạn các tập con đóng bất khả quy của X. Mâu thuẫn vì Y ∈ Vậy lớp ∑ ≠ . Từ đó ta suy ra đƣợc X là hợp của hữu hạn các không gian con đóng bất khả quy. Hệ quả 2.20 . Tập hợp các thành phần bất khả quy của không gian tôpô Noëther là hữu hạn . Trang | 47 3. Phổ Nguyên Tố Của Vành Noëther Trong phần tiếp theo đây , ta xét mối liên hệ giữa không gian phổ nguyên tố của một vành với không gian tôpô Noëther. Mệnh đề 2.21: Nếu A là một vành sao cho không gian X= Spec(A) là không gian Noëther thì mọi dãy tăng các Ideal nguyên tố của A đều dừng . Chứng minh . Với mọi dãy tăng các Ideal nguyên tố của A : Ta có dãy giảm các tập đóng : Do X= Spec(A) là không gian Noëther. Suy ra tồn tại n ≥ 1 sao cho : Do các αi là Ideal nguyên tố của A ,nên ta có : Suy ra Tƣơng tự ta cũng chứng minh đƣợc (2) Từ (1), (2) suy ra Bằng phƣơng pháp chứng minh tƣơng tự , ta suy ra đƣợc : Vậy với mọi dãy tăng các Ideal nguyên tố của A : Tồn tại n ≥ 1 sao cho : Trang | 48 Định lý 2.22 . Nếu A là vành Noëther thì không gian X = Spec(A) là không gian tôpô Noether . Chứng minh. Với mọi tập F đóng trong X, tồn tại α ∆A sao cho F = V(α) Do mệnh đề 1.3a , suy ra : F= V(r(α)) Từ đó với mọi dãy (Fi = V(r(αi ))i∈l các tập đóng trong X sao cho Hay Ta có : Do A là vành Noëther nên tồn tại n ≥ 1 sao cho : Từ đó suy ra : Hay : Fn =Fn+1 = ... Vậy với mọi giảm các tập đóng Tồn tại n ≥ 1 sao cho : Fn =Fn+1 = ... Suy ra không gian X = Spec(A) là không gian tôpô Noëther Trang | 49 Nhận xét: Chiều ngƣợc lại của định lý 2.22 không luôn luôn đúng nghĩa là với không gian X = Spec(A) là không gian tôpô Noëther không luôn có vành A là vành Noëlher . Ví dụ: Xét vành A = K [x1,x2,...,xn,...] là vành đa thức theo vô số các biến X1 , x2, ... ,xn, ... xác định trên một trƣờng K . Mỗi phần tử f ∈ A , f là một đa thức lấy hệ tử trong K có hữu hạn các hạng tử khác () theo một số hữu hạn các biến trong các biến x1 , x2 , ...,xn , ... Đặt α = Xét vành thƣơng B = A / α . Đặt: Ta có ̅ là ideal của B bao gồm tất cả các đa thức ̅∈ B sao cho ̅có hạng tử tự do ̅ . Hiển nhiên ̅ B. Từ đó , với mọi , tồn tại có hạng tử tự do là ̅ ̅ với a ∈ K sao cho ̅ ∈ ̅. Do ̅ ̅ nên : Suy ra Mà K là một trƣờng nên tồn tại ̅ B sao cho ̅ . ̅ = ̅ Suy ra ̅ ∈ ̅. ̅ = B Vậy Mặt khác trong vành B ta có Do đó , với mọi , ta có Trang | 50 vì Nên Suy ra : Do và Suy ra Vậy trong vành B chỉ có duy nhất một Ideal nguyên tố là ̅. Từ đó ta có không gian X = Spec(B) là không gian tôpô Noëther nhƣng vành B không phải là vành Noëther vì Ideal không hữu hạn sinh . Định lý 2.22 đã khẳng định phổ nguyên tố của vành Noëther có đầy đủ các tính chất của không gian tôpô Noëther . Từ tính Noëther của phổ nguyên tố của vành Noëther ta suy ra đƣợc hệ quả sau : Hệ quả 2.23 . Tập hợp các ideal nguyên tố tối thiểu của vành Noëther là hữu hạn . Chứng minh : Giả sử A là vành Noëther . Do định lý 2.22 ta có không gian X = Spec(A) là không gian tôpô Noëther. Từ đó do hệ quả 2.20 tập các thành phần bất khả quy của X là hữu hạn . Gọi Y là tập tất cả các thành phần bất khả quy của X . Giả sử: thành phần bất khả quy trong X } Với mọi Xi ∈ Y , ta có : Trang | 51 Xi = V(αi) Với αi là Ideal nguyên tố tối tiểu của A . Ngƣợc lại, với mọi ideal nguyên tố tối tiểu α của vành A , ta có V (αi ) là thành phần bất khả quy của X . Thật vậy : Do nên V(α) là bất khả quy trong X Giả sử V (α) không là thành phần bất khả quy của X . Suy ra tồn tại V(β) là thành phần bất khả quy của X với β là Ideal nguyên tố của A sao cho : Mâu thuẫn ví α là Jdeal nguyên tố tối tiểu của A . Vậy V (a ) là thành phần bất khả quy của X . Suy ra : Từ đó , tồn tại i ∈ ̅̅ ̅̅̅ sao cho: Ta suy ra đƣợc Vậy tập các Ideal nguyên tố tối tiểu của A là hữu hạn . IV.Phổ nguyên tố của vành ARTIN Vành A đƣợc gọi là vành Artin nếu A thỏa mãn các điều kiện tƣơng đƣơng sau : 1. Mọi tập con khác các Ideal trong A đều có phần tử tối tiểu. 2. Mọi dãy giảm các Ideal của A đều dừng . 1- Một số kiến thức cơ bản : + Chiều của một vành Cho vành A,xét chuổi tăng các Ideal nguyên tố của A : Ta gọi n là chiều dài của chuổi . Trang | 52 Đinh nghĩa chiều của vành : Cho vành A,ta gọi cận trên của tập gồm chiều dài của mọi chuổi Ideal nguyên tố của vành A là chiều của vành A . Ký hiệu : Dim A . + Định lý a : Lớp các vành Artin trùng với lớp các vành Noëther có số chiều bằng 0 . + Hệ quả b : Trong vành Artin mọi Ideal nguyên tố đều là Ideal tối đại . + Hê quả c : Cho A là vành Noëlher .Nếu mọi Ideal nguyên tố của A đều là Ideal tối đại thì A là vành Artin . 2- Phổ nguyên tố của vành Artin : Từ định lý a ta có mọi vành Artin đều là vành Noëther . Do đó từ định lý 2.22 ta suy ra dƣợc mệnh đề sau : Mệnh đề 2.24 : Nếu A là vành Artin thì không gian X = Spec(A) là không gian tôpô Noëther . Mệnh đề trên xác định phổ nguyên tố cửu vành Artin có đầy đủ các tính chất của không gian tôpô Noëther. Định lý 2.25 : Nếu A là vành Artin thì không gian X = Spec(A) là không gian tôpô hữu hạn và rời rạc . Trang | 53 Chứng minh. X = Spec(A) hữu hạn . Hệ quả b cho ta mọi ldeal nguyên tố của A đều là Ideal nguyên tố tối tiểu .Từ đó định lý a và hệ quả 2.23 ta suy ra đƣợc tập các Ideal nguyên tố của A là hữu hạn .Vậy X = Spec(A) hữu hạn . X = Spec(A) là không gian tôpô rời rạc . Do X - Spec(A) hữu hạn , giả sử . Với mọi α1 ∈ X,ta có : Mà do hệ quả b ta có : Từ đó do I hữu hạn , ta đƣợc : là tập đóng trong X Vậy với mọi αi∈X ta có {αi} là tập mở. Suy ra mọi tập con của X đều là tập mở. Vậy X là không gian tôpô rời rạc . Từ định lý 2.25 ta suy ra đƣợc hệ quả sau : Hệ quả 2.26 : Nếu A là vành Artin thì không gian X= Spec(A) là không gian Hausdorff. Trang | 54 Mệnh đề 2.27. Cho A là vành Noëther. Nếu không gian X = Spec(A) là không gian tôpô rời rạc thì A là vành Artin . Chứng minh : Do X = Spec(A) là không gian tôpô rời rạc Suy ra : là lập mở trong X { } là tập đóng trong X Mà A là vành Noëther nên do hệ quả c suy ra A là vành Artin . V. Phổ nguyên tố của vành tích trực tiếp Giả sử ( Ai)i∈ I là một họ khác những vành đã cho . Xét tìch Descartes : Trong A ta định nghĩa hai phép toán nhƣ sau : Ta đƣợc A là một vành có đơn vị là ( 1i)i∈ I vành nầy đƣợc gọi là tích trực tiếp của họ vành ( Ai)i∈ I Định lý 2.28 : Nếu vành A = A1 x A2 ,A1 ,A2 là hai vành thì Spec(A) = Trang | 55 Chứng minh: Xét vành A = A1 x A2 ,A1 ,A2 là hai vành. Với mọi , ta cần chứng minh α = α1 x A2 hoặc α = A1 x α2 với Ta có : (1,0).(0,1) = (0,0) ∈ α Do ,ta có : Trƣờng hợp (1,0) ∈α Với mọi a1 ∈ A1 ,ta có : (a1 ,0) = (a1 ,0).(1,0) ∈α. Đặt α2 ={a2 ∈ A2 / (0,a2) ∈ α} Ta đƣợc : Thật vậy : ∀a1 ,a2 ∈α2 (0,a1), (0,a2)∈α (0,a1 - a2)∈α a1 - a2 ∈α2. Mặt khác : ∀a1 ∈α2 ,a2∈A2 ,ta có : (0,a1,a2) = (0,a1).(0,a2) ∈α Suy ra a1 a2 ∈α2. Vậy α2 ∆ A2. Ta lại có : ∀a1,a2 ∈A2 ,a1 a2∈α2 => (0,a1 a2) ∈ α => (0,a1 ).(0,a2) ∈α Do nên ta có : Trang | 56 Vậy Ta chứng minh α = A1 x α2. Ta có : ∀(a1 , a2) ∈ A1 xα2 ,(a1 ,a2 ) = (a1 ,0) + (0,a2) Mà do chứng minh trên ta có (a1 ,0),(0,a2) ∈ α . Suy ra (a1 ,a2) ∈ α. Vậy A1 xα2 ⊂ α (1) Ngƣợc lại : ∀(a1 ,a2) ∈ α , ta có : (0,a2) = (a1 ,a2) - (a1 ,0) Mà (a1 ,a2), (a1 ,0) ∈ α nên (0,a2) ∈ α Từ đó ta có a2 ∈ α2 Suy ra :(a1 ,a2) ∈ A1 x α2 Vậy α ⊂ A1 x α2 (2) Từ (l),(2) ta có α = A1 x α2 Trƣờng hợp (0, 1) ∈ α . Chứng minh tƣơng tự với : α1 = {a1 ∈ A1 /(a1 ,0) ∈ α} Ta có và α = α1 x A2 Vậy với mọi ,ta có a có dạng α = α1 x A2 hoặc α = A1 x α2 với Do đó Spec(A) = Hệ quả 2.29: Nếu vành A = - vành với i ̅̅ ̅̅ ̅ Thì: Spec(A) = Trang | 57 Định lý 2.30 Cho vành A = A1 x A2 ,A1 ,A2 là hai vành.Ta có không gian X = Spec(A) là hợp không giao nhau của các không gian con vừa đóng vừa mở Xi đồng phôi chính tắc với không gian Spec(Ai) ,i = 1,2 . Chứng minh : Do định lý 2.28 ,ta có : X = Đặt X1= X2 = Ta đƣợc : (1) Mặt khác ta có : Vậy X1 ,X2 là các tập đóng trong X. Khi đó ,do (I) ta cũng suy ra đƣợc X1 ,X2 là các tập mỏ trong X . Ta chứng minh Xi đồng phôi chính tắc Spec(Ai) ,i=1,2 Xét ánh xạ chính tắc : Ta có là song ánh Ta lại có: Từ đó suy ra là một phép đồng phôi. VậyX1 đồng phôi chính tắc Spec(A1). Trang | 58 Chứng minh tƣơng tự , ta cũng đƣợc ánh xạ chính tắc → Spec(A2) là phép đồng phôi . a1 x → Đo đó X2 đồng phôi chính tắc Spec(A2). Hệ quả 2.31 : Cho A = với Ai là vành với i ∈ ̅̅ ̅̅ ̅ Ta có không gian X = Spec(A) là hợp không giao nhau của các không gian con vừa đóng vừa mở Xi đồng phôi chính tắc với không gian Spec(Ai), i ∈ ̅̅ ̅̅ ̅ Hệ quả 2.32 : Cho A = với Ai là vành khác 0 với i ∈ ̅̅ ̅̅ ̅ Ta có không gian X = Spec(A) là không gian không liên thông. Nhận xét: Cho vành , xét X = Spec(A) Ta có : Với là các không gian con vừa đóng vừa mở trong X . Do Xi đồng phôi chính tắc với Spec(Ai), i ∈ ̅̅ ̅̅̅ Ta đƣợc với mọi i ∈ ̅̅ ̅̅̅ , mỗi tập đóng Fi trong Xi tƣơng ứng với một tập đóng V(βi ) trong Spec(Ai). Từ đó với mỗi i ∈ ̅̅ ̅̅̅, tập đóng trong Xi là tập Fi có dạng : Trang | 59 Với V (βi) là tập đóng trong Spec(Ai) tƣơng ứng với Fi . Ta lại có Xi, i ∈ ̅̅ ̅̅̅, là các không gian vừa đóng vừa mở trong X nên với mọi i ∈ ̅̅ ̅̅̅, ,tập đóng Fi trong Xi cũng là lập đóng trong x. Từ đó : Với Fi đóng trong Xi, i ∈ ̅̅ ̅̅̅ Ta có : đóng trong X . Mặt khác , với mọi Fi đóng trong Xi, i ∈ ̅̅ ̅̅̅ Ta có : Fi = Fi Vậy mọi tập đóng F trong X , F có dạng Với Fi - đóng trong Xi, i ∈ ̅̅ ̅̅̅ Từ đó ta đƣợc tập mở trong X là tập có dạng phần bù trong X của các tập nêu trên . Mệnh đề 2.33 : Cho A là một vành .Ta có các điều kiện sau là tƣơng đƣơng. a- Không gian X = Spec (A) không liên thông b- A chứa phần tủ lũy đẳng khác 0,1 c- A ≅ A1 x A2 với A1, A2 là hai vành khác 0 Chứng minh : a =>b Do X là không liên thông suy ra tồn tại các tập con E1, E2 trong A sao cho : Với Trang | 60 Từ đó hiển nhiên V(E1) ≠ X , V(E2) ≠ X Ta có : V(E1) ∩ V(E2) = => V ( ∪ ) = => 1 ∈ ∪ Suy ra ∃ a ∈ , b ∈ sao cho 1 = a + b => b = 1- a Ta lại có : a∈ E1 =>V()⊃V(E1) 1-a ∈ E2 => V(l-a)⊃V( E2) Từ đó suy ra : V(a)∪ V(l-a) = X. Hiển nhiên V(a) ≠ , V(l- a)≠ Ta cũng có V(a) ∩ V (l - a) = Thật vậy giả sử có α ∈ V(a) ∩ V (1 - a ) Suy ra : Mâu thuẫn Vậy V(a)∩ V(l-a) = . Suy ra V(a) ≠ X ,V(1-a) ≠ X Do V(a)∪ V(1- a) = X ,ta có : V(a(1- a)) = X => a(l-a) lũy linh . =>∃n∈N,n≥ l : [a(l-a)]n = 0 Mà (1- a ) n = 1- ax ,x ∈ A. Suy ra : a n (l-ax) = 0 (1) => a n x n (l-ax) = 0 => (ax) n (l-(ax) n ) = 0 => [(ax) n ]2 = (ax) n Đặt e = (ax)n Ta đƣợc e lũy linh. Nếu (ax)n = 0 suy ra ax lũy linh Trang | 61 Do đó l- ax khả nghịch Khi đó (1) cho ta : a n = 0 => a lũy linh => V(a) = X Mâu thuẫn Vậy (ax)n ≠ 0 Nếu (ax)n = 1 thì 1 - ax = 0 => ax = 1 => a khả nghịch => V(a) = Mâu thuẫn. Vậy (ax)n ≠ 1 Ta đƣợc trong A có phần tử e=(ax)n là phần tử lũy đẳng khác 0,1 b => c . Giả sử e ∈ A , e ≠ 0 ,e ≠ 1 ,e2 = e Khi đó ta có : (l-e) 2 = 1 - 2e + e 2 = 1 - e Suy ra 1 - e là phần tử lũy đẳng Ta cũng đƣợc 1 - e khác 0,1. Từ đó ta có eA , (1 - e )A là hai vành khác 0 lần lƣợt có đơn vị là e và 1 - e. Ta có : eA + (l-e)A = A Thật vậy Hiển nhiên eA + (l-e)A ⊂ A (2) Ngƣợc lại ∀ a ∈ A ,ta có a = ea + a -ea => a ∈ eA + (l-e)A Suy ra A ⊂ eA + (l-e)A (3) Từ (2),(3) => eA + (l-e)A = A (*) Ta lại có : eA∩(l-e)A ={0} Thật vậy : Trang | 62 Hiển nhiên 0 Mặt khác Tồn lại a1 ,a2 ∈ A sao cho : Từ đó Suy ra a = 0 Vậy Từ Suy ra c a. là hai vành khác {0} Suy ra : Spec(A) đồng phôi Spec(A1 x A2) Theo hệ quả 2.32,ta có Spec(A1 x A2) không liên thông. Vậy Spec(A) không liên thông. Từ mệnh đề 2.33 ta suy ra hệ quả xác định điều kiện để không gian tôpô X = Spec(A)là không gian liên thông . Hệ quả 2.34 : Cho A là một vành .Không gian tôpô X = Spec(A) là không gian liên thông khi và chỉ khi vành A không có phần tử lũy đẳng khác 0,1 . Trang | 63 Ví dụ : Nếu A là vành địa phƣơng thí không gian X = Spec(A) là không gian liên thông ví A không có phần tử lũy đẳng khác 0,1 . Thật vậy , giả sử có e ∈ A , e ≠ 0 ,e ≠ 1 và e2 = e Suy ra e(e-1) = 0. Nếu e khả nghịch suy ra tồn tại a ∈ A sao cho ae = 1. Khi đó ta có : Mâu thuẫn. Vậy e không khả nghịch. Chứng minh tƣơng tự ta cũng đƣợc e-1 không khả nghịch. Từ đó suy ra tồn tại , Sao cho : Mà A là vành địa phƣơng nên trong A có duy nhất một Ideal tối đại. Từ đó ta có α = β Suy ra : Mâu thuẫn vì Vậy trong vành địa phƣơng không có phần tử lũy đẳng khác 0,1. Trang | 64 CHƢƠNG III: PHỔ NGUYÊN TỐ CỦA ĐỒNG CẤU VÀNH Cho A ,B là hai vành ,mỗi đồng cấu φ từ vành A vào vành B cảm sinh một ánh xạ φ* từ không gian tôpô Spec(B) vào không gian tôpô Spec(A).Trong chƣơng nay chúng ta sẻ nghiên cứu một số tính chất của ánh xạ cảm sinh φ* nói trên. I.Định nghĩa phổ nguyên tố của đồng cấu vành Cho B là một vành ,trong không gian tôpô Y = Spec(B) mỗi điểm y là một Ideal nguyên tố của vành B , ta ký hiệu .Khi đó ta có mệnh đề sau : Mệnh đề 3.1 : Cho A , B là hai vành tùy ý, φ :A B là đồng cấu vành, đặt X = Spec(A) ,Y = Spec(B). Ta có đồng cấu φ cảm sinh ánh xạ : Chứng minh : Với mọi Mà do tính chất của đồng cấu vành,ta có : Trang | 65 Suy ra φ-1(py) ∈ X. Mặt khác với mọi ,ta có φ-1(βy) là duy nhất trong X. Từ đó suy ra qui tắc φ* . Y → X biến mỗi phần tử y ∈ Y thành phần tử φ-1(βy) ∈ X là một ánh xạ từ Y vào X. Định nghĩa 3.2 : Cho A , B là hai vành tùy ý ,φ :A → B là đồng cấu vành Khi đó ánh xạ : φ* : Spec(B) → Spec(A) Cảm sinh từ đồng cấu φ đƣợc gọi là phổ nguyên tố của đồng cấu φ . II.Tính chất của phổ nguyên tố của đồng cấu vành Các mệnh đề sau đây xác định cho ta các tính chất của ánh xạ phổ nguyên tố của một đồng cấu vành. Mệnh đề 3.3 : Cho A,B là hai vành tùy ý ,φ :A → B là đồng cấu vành , X = Spec(A) ,Y = Spec(B), φ* : Y → X là phổ nguyên tố của đồng cấu φ .Khi đó ta có : a. φ*-1 (Xf) = Yφ(f ) ,f ∈ A . b. φ*-1 V((α)) = V(αe), α ∆ A. Trang | 66 Chứng minh : a.φ*-1 (Xf) = Yφ(f),f∈A: Lấy y tùy ý thuộc Y,ta có : y ∈ φ*-1 (Xf) ⟺φ* (Y) ∈ Xf ⟺ f φ-1(βy) ⟺ φ (f) βy ⟺ y ∈ Yφ(f) Vậyφ*-1 (Xf) = Yφ(f) ,f ∈A. Lấy y tùy ý thuộc Y , ta có : Vậy Họ các tập Xf,f ∈ A là một cơ sở gồm các tập mở của không gian tôpô X = Spec(A) .Do đó ,mệnh đề 3.3 cho ta kết quả sau : Định lý 3.4 : Cho A,B là hai vành tùy ý ,φ : A → B là đồng cấu vành. Ta có phổ nguyên tố φ* : Spec(B) → Spec(A) cuả đồng cấu φ là ánh xạ liên tục . Chứng minh : Đặt Y = Spec(B) , X = Spec(A) . Với mọi y ∈ Y ,xét φ*(y) ∈ X, ta có : ∀ w -lận cận của φ*(y) trong X. Ta có : Trang | 67 Từ đó : mở trong Y. Ta lại có : Ta đƣợc là một lân cận của y và : Vậy với mọi lân cận W của φ* (y) tồn tại lân cận V của y thỏa φ*(V) ⊂ W. Suy ra φ* liên tục. Mệnh đề 3.5 : Cho A,B là hai vành tùy ý,φ : A → B là đồng cấu vành, là phổ nguyên tố của đồng cấu φ .Khi đó với mọi Ideal β của B ta có : Chứng minh : Ta có : Mà y ∈ V( ) Suy ra y ⊃ (2) Từ(l),(2) suy ra : Ta đƣợc Ta lại có : Ngƣợc lại : Trang | 68 Mà : Suy ra : Từ đó với mọi V(v ),v A ,nếu Thì Tƣơng đƣơng : (mệnh đề 1.5b ) Vậy là tập đóng nhỏ nhất trong X chứa φ*(V(β)) Ta đƣợc : Định, lý 3.6 : Cho A,B,C là ba vành tùy ý, : A B , : B → C là các đồng cấu vành : lần lƣợt là phổ nguyên tố của các đồng cấu φ, , , φ Ta có Trang | 69 Chứng minh : Lấy α tùy ý thuộc Spec(C), ta có : Vậy Mệnh đề 3.7 : Cho A,B là hai vành tùy ý,φ : A → B là đồng cấu vành, ,φ*: Y= Spec (B) → X = Spec(A) là phổ nguyên tố của đồng cấu φ. Ta có : Nếu φ là toàn cấu thí φ* là đơn ánh . Chứng minh : Với mọi β1, β2 thuộc Y, β1 ≠ β2 ,ta chứng minh : Giả sử Suy ra Do φ là toàn cấu ta đƣợc : = . Thật vậy : φ là toàn cấu suy ra với mọi b ∈ ,ta có φ 1 (b) ≠ Mà : Suy ra Từ đó : Mặt khác : Suy ra : b’ =b Trang | 70 Vậy b ∈ β2. Suy ra β1 ⊂ β2. Chứng minh tƣơng tự ta cũng đƣợc : β2⊂ β1 . Vậy β1 = β2 . Mâu thuẫn với giả thiết β1 ≠ β2 . Vậy φ*(β1) ≠φ*(β2) Suy ra φ* là đơn ánh . Mệnh đề 3.8 : Cho A,B là hai vành .Nếu φ:A→ B là toàn cấu thì ta có: với mọi Chứng Minh : a. Hiển nhiên (φ(α) , +) là nhóm con của nhóm ( B, + ) Mặt khác ta có : toàn cấu nên tồn tại sao cho Do α ∆ A, ta suy ra đƣợc a1 .a2 ∈α. Suy ra Tƣơng đƣơng Vậy Do a. Ta đƣợc Ta lại có : Trang | 71 Mặt Khác do φ toàn cấu suy ra tồn tại a1 , a2 ∈ A sao cho Từ đó Mà α ⊃ ker φ và α ∈ α suy ra a1 a2 ∈α. Do nên : Suy ra Vậy Hiển nhiên Ngƣợc Lại Suy ra tồn tại a' ∈α sao cho φ(a') = φ(a). Mà α ⊂ ker φ và a'∈α suy ra a e α . Suy ra Vậy Định lý 3.9 : Cho A,B là hai vành , φ : A B là đồng cấu vành là phổ nguyên tố của đồng cấu φ .Khi đó nếu φ là toàn cấu thì là phép đồng phôi. Trang | 72 Chứng minh : Với mọi Suy Từ đó ta có : Do mệnh đề 3.7 ta đƣợc φ* là đơn ánh Do mệnh đề 3.8 ta suy ra đƣợc φ* là toàn ánh Vậy : φ*:Y → V(ker φ) là song ánh Ta chứng minh φ* là ánh xạ đóng . Với mọi Hiển nhiên Ngƣợc lại : Hiển nhiên Do φ là toàn cấu ta suy ra đƣợc : Do mệnh đề 3.8 , ta suy ra đƣợc: Do mệnh đề 3.8 , ta suy ra đƣợc Suy ra Vậy Từ (1), (2) suy ra: Vậy là ánh xạ đóng Từ đó suy ra là phép đồng phôi. Trang | 73 Nhận xét: + Trong chứng minh mệnh đề 3.8 ta suy ra đƣợc Nếu đồng cấu vành φ:A→ B là một toàn cấu thì với mọi ,ta có Từ đó mệnh đề 3.8 và định lý 3.9 cho ta kết qua sau : Cho A,B là hai vành , nếu đồng cấu φ: A → B là một toàn cấu thì có tƣơng ứng 1-1 giữa các tập ideal của vành B và tập các ideal của vành A mà chứa ker φ và hơn nửa tƣơng ứng nầy bảo toàn tính nguyên tố và tính tối đại của ideal . Thật vậy : Với mọi B, ta có (β) ∆ A và (β) chứa ker φ, mặt khác sự tồn tại của (β) là duy nhất. Từ đó nếu đặt: Ta có ánh xạ : Ta chứng minh f là một song ánh . Ta có : Do đó : Vậy với mọi α ∈ F tồn tại ( ) ∈E sao cho f(φ(α))= α Suy ra f là toàn ánh (1) Mặt khác: Trang | 74 Thật vậy, giả sử Suy ra: Do φ là toàn cấu , ta đƣợc : Mâu thuẫn vì Vậy Suy ra f là đơn ánh (2) Vậy có I là lƣơng ứng l-l giữa tập các ideal của vành B với tập các ideal của vành A mà chứa ker φ Định lý 3.9 cho ta khẳng định tƣơng ứng f bảo toàn tính nguyên tố của ideal. Ta chứng minh tƣơng ứng f bảo toàn tính tối đại của ideal. Ta có Với φ* là phổ nguyên tố của toàn cấu φ . Từ đó , sử dụng định lý 3.9 , ta có : φ* là ánh xạ đóng . Suy ra : Mà : Từ đó ta suy ra đƣợc : Suy ra + Với mọi đồng cấu vành φ: A → B , hiển nhiên ta có φ : A → φ(A) là toàn cấu. Do đó nhận xét trên có thể mở rộng nhƣ.sau Trang | 75 Với mọi đồng cấu vành φ: A → B. Có tƣơng ứng 1-1 giữa tập các ideal của φ(A) và tập các ideal của vành A bảo toàn tính nguyên tố,tính tối đại của ideal. Từ định lý 3.9 ta suy ra đƣợc các hệ quả sau : Hệ quả 3.10 : Cho A là một vành , B A, p là toàn cấu chính tắc : P* là phổ nguyên tố của toàn cấu P . Khi đó ta có P*:Spec(A/B) → V(B) là phép đồng phôi. Nhận xét: Trƣờng hợp riêng , cho A là một vành, rad A ∆ A, P là toàn cấu chính tắc: Ta có Spec ( A / rad A ) đồng phôi với Spec (A) qua phổ nguyên tố P* của toàn cấu P. Hệ quả 3.11 : Cho A.B là hai vành . Nếu φ: A → B là toàn cấu sao cho ker φ ⊂ rad A thì phổ nguyên tố là phép đồng phôi Trang | 76 Hệ quả 3.12 : Cho A,B là hai vành . Nếu φ: A → B là một đẳng cấu thì phổ nguyên tố φ*: Spec (B) → Spec (A) là phép đồng phôi Nhận xét: Cần lƣu ý là có những đồng cấu vành φ: A → B mà phổ nguyên tố φ* của đồng cấu φ là một song ánh từ không gian Spec (B) vào không gian Spec (A) nhƣng không phải là ánh xạ đồng phôi . Ví dụ : Giả sử A là miền nguyên có duy nhất ideal nguyên tố a {0}. Gọi K là trƣờng các thƣơng của A . Đặt ,khi đó ta có : Với đồng cấu Phổ nguyên tố là một song ánh nhƣng không phải là ánh xạ đồng phôi . Thật vậy : Do A là miền nguyên có duy nhất ideal nguyên tố a ≠{0} Suy ra : Ta cũng đƣợc Suy ra A/a là một trƣờng . Do K cũng là trƣờng nên theo định lý 2.28 ta suy ra đƣợc: Xét đồng cấu : Với mọi a ∈ , ta có : Trang | 77 Mặt khác với mọi a ∈ A , a a , ta có : (a) = ( ̅, a) ≠ ( ̅, a) Suy ra : φ(a) { ̅} x K Từ đó suy r ({ ̅}x K)= Ta cũng có : φ(0) = ( ̅,0) ∈ A/ x {0} ∀a ∈ A, a 0, φ(a) = ( ̅,a) ( ̅,0) Suy ra φ(a) A/ x {0} Vậy ( A/ α x {0})= {0} Từ đó ta có : φ* : Spec(B) → Spec (A) {0} x K α A/ αx {0} {0} Vậy φ* là một song ánh . Mặt khác ta lại có : Trong Spec (B) . V (A/ αx{0})={A/ α x{0}} Mà theo chứng minh liên la suy ra đƣợc : φ *(V(A/ α x{0})={{0}} Trong Spec (A) ta lại có : {0} ⊂ α Suy ra {0} không phải là ideal tối đại của A . Từ dó suy ra tập {{0}} không phải là tập đóng Suy ra ánh xạ ngƣợc không liên lục Vậy ánh xạ φ* không phải là ánh xạ đồng phôi. Trang | 78 Mệnh đề 3.13 : Cho A,B là hai vành tùy ý. φ :A → B là đồng cấu vành là phổ nguyên tố của đồng cấu φ .Khi đó ta có φ*(Y) trù mật trong X khi và chỉ khi Chứng minh : Ta có : φ* (Y) trù mật trong ( mệnh đề 3.5 ) ( hệ quả 1.6 ) Từ mệnh đề 3.13 ta suy ra đƣợc hệ quả: Hệ Quả 3.14 : Nếu đồng cấu vành φ :A → B là đơn cấu thí φ* (Spec(B)) trù mật trong Spec(A). Định nghĩa 3.15 : Cho A,B là hai vành tùy ý, f: A → B là đồng cấu vành ,f đƣợc gọi là có tính chất tăng nếu f(A) và B thỏa mản điều kiện sau : Với mọi sao cho có thỏa ( ) thì với mọi thỏa tồn tại thỏa sao cho v = f(A) γ. Trang | 79 Mệnh đề 3.16 : Cho A,B là hai vành tùy ý, f:A B là đồng cấu vành ,f*: Y= Spec (B) → X= Spec (A) là phổ nguyên tố của đồng cấu f . Khi đó nếu f* là ánh xạ đóng thí f có tình chất tăng . Chứng minh : Với mọi sao cho có thỏa = f(A) ∩ β, xét thỏa v Ta có : Mặt khác : Từ đó suy ra f1 (v) = f1 (α). Ta lại có Do đó f-1 (β) = f-1 (α) Suy ra V (f -1 (β)) = V (f-1 (α)). Ta đƣợc f-1 (v) ∈ V (f-1 (β)) Mà f* là ánh xạ đóng nên do mệnh đề 3.5, ta đƣợc : V (f -1 (β)) = f* (V(β)). Từ đó ta có : Suy ra tồn tại , sao cho : Tƣơng đƣơng Ta chứng minh Thật vậy : Hiển nhiên v ⊂ Mặt khác,nếu có b ∈ γ f (A) mà b Ta có : b ∈ f(A) ∃a ∈ A :b = f(a) Do b v suy ra a f-1 (v). Mâu thuẫn vì b ∈ γ suy ra a ∈ f-1 (γ) Mà f -1(γ) = f-1 (v) Trang | 80 Vậy v = f(A) ∩ γ. Suy ra với mọi thỏa v tồn tại thỏa và f(A) ∩ γ = v. Vậy đồng cấu f có tính chất tăng . Cho A,B là hai vành tùy ý, f: A B là đồng cấu vành, với mọi q B, đặt v = f-1(q), ta đƣợc v ∆ A. Khi đó đồng cấu f cảm sinh đồng cấu: Thật vậy,với mọi Ta có : Từ đó f(a) + q = f(a’) +q. Vậy: f : A/v B/q a +v f(a) +q là ánh xạ Mặt khác ánh xạ f : A/v → B/q xác định nhƣ trên là đồng cấu hiển nhiên do f: A → B là đồng cấu. Đặt f*: Spec(B/q) → Spec (A/v) là phổ nguyên tố của đồng cấu f: A/v → B/q, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.17 Cho A,B là hai vành tùy ý ,f: A → B là đồng cấu vành . Khi đó ta có : f có tính chất tăng khi và chỉ khi với mọi ,ánh xạ f* : Spec (B/ q) → Spec (A/v) là toàn ánh. Trang | 81 Chứng minh : ( )Với mọi đặt Ta đƣợc : và Khi dó : Do đó ⊃ ( ) Suy ra ker f ⊂ α. Từ đó suy ra Ta cũng đƣợc Do f* có tính chất tăng Suy ra tồn tại sao cho ⊃ q và f(A) = f(α). Từ đó suy ra : f -1 (γ) = f-1(f(α)) Do mệnh đề 3.8 ta đƣợc : Suy ra với mọi α ∈ V(v), tồn tại γ ∈ V(q) sao cho f 1 (γ) = α. Nghĩa là f* (γ) = α Mặt khác , với mọi γ ∈ V(q), ta đƣợc: γ ⊃ q f1(γ) ⊃ f1 (q) = v Suy ra f1(γ) ∈ V(v) Vậy f* : V(q) → V(v) là toàn ánh. Do hệ quả 3.10 ta có các đồng phôi sau: p1* : Spec (B/q) → V(q) p2* : Spec ( A/v) → V(v) Trang | 82 Từ đó ta có sơ đồ sau : Cho ta : f*0 p1* = p2* f* Do p1*, p2* song ánh và f* : V(q) → V(v) toàn ánh, suy ra: f* : Spec (B/q) → Spec (A/v) là toàn ánh ( ) Với mọi ánh xạ f* : Spec (B/q) → Spec (A/v) là toàn ánh. Tƣơng tự chứng minh trên,sơ đồ giao hoán nêu trên cho ta ánh xạ f* : V(q) → V(v) là toàn ánh Ta chứng minh đồng cấu f có tính chất tăng Với mọi sao cho có thỏa ( ) q. Đặt v= f-1 (q), ta đƣợc f-1 ( ) = v Xét . Ta đƣợc: Suy ra f -1 ( ) ∈ V(v) Trang | 83 Do chứng minh trên ta có : f* : V(q) → V(v) là toàn ánh . Nên tồn tại γ ∈ V(q) sao cho f* (γ) = f-1 (β) Ta đƣợc f-1 (γ) = f-1(β) Ta chứng minh γ f (A) = β Với mọi b ∈ β ta có b ∈ f (A), do đó tồn tại a ∈ f(A) sao cho b = f(a) Mà b ∈ β nên a ∈ f-1 (β). Từ đó a ∈ f-1 (γ). Suy ra b = f(a) ∈ γ Vậy b ∈ f(A) ∩ γ Ta đƣợc β ⊂ f(A) ∩ γ (1) Ngƣợc lại, với b ∈ f(A) ∩ γ Ta có b ∈ f(A) , nên tồn tại a ∈ A sao cho f(a) = b Ta lại có b ∈ γ do đó a ∈ f-1 (γ) Suy ra a ∈ f-1 (β) Vậy b ∈ Ta đƣợc (2) Từ (1),(2) suy ra Vậy với mọi thỏa , tồn tại thỏa q γ và f(A) γ = β. Suy ra f có tính chất tăng . Từ các mệnh đề 3.16 ,3.17 ta suy ra đƣợc hệ quả sau : Hệ quả 3.18 : Cho A,B là hai vành f :A→ B là đồng cấu vành , f* : Spec (B) → Spec (A) là phổ nguyên tố của đồng cấu f. Khi đó ta có: Nếu f* là ánh xạ đóng thí với mọi ánh xạ: f*: Spec (B\q) → Spec (A/v) là toàn ánh. Trang | 84 Mệnh đề 3.19 : Cho A,B là hai vành sao cho không gian Spec (B) là không gian Noëther , f :A→B là đồng cấu vành , f* : Spec (B) → Spec (A) là phổ nguyên tố của đồng cấu f. Khi đó : f* là ánh xạ đóng khi và chỉ khi f có tính chất tăng Chứng minh : ( ) Hiển nhiên do mệnh đề 3.16 ( ). Với mọi tập đóng V (β) Đặt T tập các ideal nguyên tố của B tối tiểu trong V(β ) . Ta có không gian Spec(B) là không gian Noëther nên theo mệnh đề 2.17 ta đƣợc không gian con V ( β ) là Noëther . Từ đó do hệ quả 2.20 suy ra T là tập hữu hạn . Ta lại có : Mặt khác , do f có tính chất tăng , suy ra : Với mọi q ∈ T , ánh xạ : f* : V(q) → V(qc). Là toàn ánh. Từ đó: Suy ra : Do T là tập hữu hạn nên là tập đóng trong Spec (A) . Vậy với mọi tập đóng V (β) trong Spec ( B), f * ( V(β)) là tập đóng trong Spec (A). Ta đƣợc f* là ám xạ đóng. Trang | 85 III.Phổ nguyên tố của vành các thƣơng Cho A là một vành giao hoán có đơn vị , một tập con S⊂ A đƣợc gọi là một tập con có tính nhân của A nếu s chứa 1 và ổn định đối với phép nhân của A . Khi đó trên tập tích A X s ta xác định quan hệ tƣơng đƣơng ~ nhƣ sau: , ta có : Ta ký hiệu a/s là lớp tƣơng đƣơng của ( a,s ) và S-1 A là tập thƣơng (A x S)/ ~. Cần chú ý rằng nếu 0 ∈ S thì S-1 (A) chứa chỉ một phần tử , cụ thể 0/1. Trên tập thƣơng S-1 A ta định nghĩa phép cộng và phép nhân nhƣ sau : Khi đó ta đƣợc S-1 A là một vành giao hoán có đơn vị là 1/s đƣợc gọi là vành các thƣơng của vành A trên tập con có tính nhân S. Xét vành A và vành các thƣơng S-1 A , ta có mối quan hệ sau : Có tƣơng ứng 1-1 giữa tập các ideal nguyên tố S-1 α của vành S-1 A với tập các ideal nguyên tố của vành A . Trang | 86 Mệnh đề 3.20 : Cho A là một vành , s là tập con có tính nhân của A, Với đồng cấu: Đặt φ* là phổ nguyên tố của φ . Khi đó ta có φ*: Spec (S-1A) → X’ là phép đồng phôi. Chứng minh : Ta có ánh xạ Do tƣơng ứng 1-1 giữa Y với X' , ta có : là một song ánh . Ta chứng minh φ* là ánh xạ mở . Với mọi tập mở chính , ta có : Với mọi ,ta có : a/s S-1 suy ra a α Vậy α ∈ Xa. Mặt khác do là một song ánh , ta cũng có α ∈ X’ Suy ra α ∈ (X’ Xa). Ta đƣợc Ngƣợc lại: Với mọi Do là một song ánh , nên α ∈ X’ suy ra S-1 α ∈ Y Ta chứng minh a/s S-1 ,s ∈ S Trang | 87 Giả sử tồn tại b ∈ α sao cho : Từ đó suy ra : Do Ta đƣợc : at - bs ∈ α Mà b ∈ α nên bs ∈ α Từ đó ta có: at ∈ α Do t ∈ S Suy ra a ∈ α Mâu thuẫn vì a α Vậy a/s S-1 α Suy ra S -1 α ∈ Ya/s Vậy α ∈ φ* (Ya/s ) Suy ra ( X’ Xa) ⊂ φ* (Ya/s ) (2) Từ (1) , (2) suy ra : mở trong X’ Do các tập Ya/s là cơ sở của không gian Y = Spec (S -1 A) ta suy ra φ* là ánh xạ mở từ Y vào X’ Vậy φ*: Spec (S-1A) → X’ là phép đồng phôi Nhận xét : Từ mệnh đề 3.20 , xét không gian Y = Spec (S-1 A) ta có: Mỗi tập đóng F trong Y , F có dạng Trang | 88 Ta có : Mỗi tập mở chính Ya/s của Y , ta có : Cho A là một vành , với mọi phần tử f ∈ A , đặt ta đƣợc s là tập con có tính nhân của A . Ta ký hiệu : Af = S -1 A Mệnh đề 3.20 cho ta hệ quả sau . Hệ quả 3.21 : Cho A là một vành , với mỗi phần tử f ∈ A qua đồng cấu Ta có ảnh đồng phôi của Spec (Af ) trong X=Spec (A) qua phổ nguyên tố φ* của đồng cấu φ là tập con mỏ chính Xf . Chứng minh : Với mọi phần tử f ∈ A . Đặt Ta chỉ cần chứng minh Ta có : Trang | 89 Ngƣợc lại : Suy ra Do suy ra f α. Vậy α ∈ Xfp. Suy ra Do mệnh đề 3.20 ta suy ra đƣợc Spec (Af) đồng phôi Xf qua φ * Cho A,B là hai vành ,f:A → B là đồng cấu vành , là phổ nguyên tố của đồng cấu f. Gọi S là tập con có tính nhân của A , ta có f(S) là tập con có tính nhân của B . Ta có đồng cấu f: A → B cảm sinh đồng cấu Thật vậy : Với mọi , ta có : Suy ra f ( a/s - b/s) = 0 Trang | 90 Suy ra Tình đồng cấu của S-1 f là hiển nhiên do f là đồng cấu . Gọi S-1 f* : pec (f(S)-1 B) → Spec (S-1 A) là phổ nguyên tố của đồng cấu S-1 f: Đặt: Do mệnh đề 3.20 ta có : Spec ( S -1 A ) đồng phôi X qua phổ nguyên tố φ*1 của đồng cấu : Spec f(S) -1 B) đồng phôi Y qua phổ nguyên tố φ*2 của đồng cầu: Khi đó nếu đồng nhất Spec (S1 A ) với ảnh đồng phôi X' trong Spec (A), Spec (f(S)-1 B) với ảnh đổng phôi Y’ trong Spec (B) ta có mệnh đề sau: Trang | 91 Mệnh đề 3.22 : Ánh xạ S-1 f* : Spec (f(S-1) B) → Spec (S-1 A) trùng với ánh xạ f* : Y’ → X’ và f*-1 (X’) = Y’ Chứng minh : Với mọi sao cho Ta có f -1 (f(S) -1 𝛽) = S-1 f-1 (𝛽) Thật vậy : ta có : Suy ra a/s ∈ S-1 f-1 (𝛽) Vậy (1) Ngƣợc lại : ta có : Suy ra với mọi s ∈ f(S), Từ đó ta đƣợc Suy ra a/s ∈ f-1 (f(S)-1 β ) Vậy S-1 f-1 (𝛽) ⊂ f-1 (f (S)-1 𝛽 ) (2) Từ (1),(2) ta đƣợc: Mặt khác : Với mọi sao cho Ta có f -1 (𝛽) = Thật vậy , nếu f-1 (𝛽) ∩ S thì ∃ s ∈ S : s ∈ f-1 (𝛽) Từ đó suy ra f(s) ∈ 𝛽. Suy ra 𝛽 ∩ f(S) ≠ Trang | 92 Mâu thuẫn vì Vậy Suy ra Từ đó ta đƣợc sơ đồ sau giao hoán : Do đó nếu đồng nhất Spec (S-1 A) với X' và Spec (f(S)-1 B) với Y' thì S-1 f* trùng với f * trên Y . Ta cũng có : Mặt khác , nếu có sao cho β Y’ mà f-1 (β) ∈ X’ ta có β Y’ Từ đó ∃ s ∈ S : f(s) ∈ Suy ra s ∈ f-1 (β). Mâu thuẫn nên f-1 (β) ∩ S ≠ Vậy với mọi thì f-1 (β) X’ (4) Từ (3) (4) suy ra : f*-1 (X’) = Y’. Trang | 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. M.F. Atiyah - frs, I.G. Macdonald, Introduction to commutative Algebra, Addison - Wesley Publishing Company, Reading, Massachsetts, 1969. 2. Hoàng Xuân Sình, Đại số cao cấp - Đại số đại cƣơng - Nhà xuất bản giáo dục, 1977. 3. Sze - Tsen. Hu - Cơ sở Giải Tích toán học - Nhà Xuất Bản Đại Học và Trung học chuyên nghiệp - 1978. 4. Ngô Thúc Lanh - Đại số (giáo trính sau đại học) - Nhà xuất bản giao dục, 1985.