Luận văn Phương pháp bình phương nhỏ nhất và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM LÊ KIM THANH PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60. 46. 01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng –Năm 2016 Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí Phản biện 2: TS.Trịnh Đào Tiến Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016. Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng. - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong khoa học kỹ thuật chúng ta thường gặp rất nhiều bài toán tối ưu hóa được quy về tìm cực trị của dạng bình phương ví dụ như tìm cực tiểu của năng lượng hay tìm cực đại của entropy. Trong toán học cũng như trong thực tế ta thường gặp các bài toán liên quan đến khảo sát và tính giá trị của hàm ( )y f x nào đó. Tuy nhiên trong thực tế không phải lúc nào ta cũng xác định được sẵn hàm số mà chỉ nhận được các dữ liệu rời rạc ix tương ứng với giá trị .iy Vấn đề đặt ra là xây dựng một hàm số biểu diễn cho các giá trị ( , )i ix y đã cho. Có rất nhiều lớp các bài toán thực tế mà qua khảo sát người ta xác định được nó có dạng tuyến tính như . ,y a x b  hoặc 2. ,y a x bx c   hoặc các mô hình phức tạp hơn. Có nhiều phương pháp để xác định được các hàm đã nêu ví dụ như: Phương pháp nội suy, Phương pháp bình phương nhỏ nhất, Phương pháp Picard Để tìm hiểu về phương pháp xây dựng hàm số nêu trên và được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn nên tôi đã lựa chọn đề tài « Phương pháp bình phương nhỏ nhất và ứng dụng » cho luận văn thạc sĩ của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài Mục tiêu của đề tài này là nghiên cứu về phương pháp bình phương nhỏ nhất. Đồng thời, nghiên cứu ứng dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất vào các bài toán. 2 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu xây dựng mô hình tuyến tính bằng phương pháp xấp xỉ bình phương nhỏ nhất. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu từ các tài liệu, các giáo trình về phương pháp bình phương nhỏ nhất của các tác giả liên quan. Xây dựng các mô hình một biến, nhiều biến và đánh giá sự tương hợp của mô hình. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu các tài liệu tham khảo liên quan đến đề tài, nắm vững cơ sở lý thuyết, từ đó ứng dụng phần mềm Mathematica để mô tả nghiệm (gần đúng) và tìm nghiệm gần đúng của bài toán. Trong luận văn, các phương pháp sử dụng nằm trong các lĩnh vực sau đây: Toán học giải tích, Giải tích hàm, Giải tích số, Quy hoạch thực nghiệm, Thống kê toán học. 5. Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn có 3 chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số khái niệm, định lý về sự liên tục của hàm nhiều biến; sơ lược phép tính vi phân hàm nhiều biến; điều kiện đạt cực trị của hàm nhiều biến. Chương 2. Phương pháp bình phương nhỏ nhất và ứng dụng. Chương này trình bày về nội dung của phương pháp bình phương 3 nhỏ nhất; bài toán phương pháp bình phương nhỏ nhất để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm; ưu điểm và hạn chế của phương pháp bình phương nhỏ nhất trong mô hình tuyến tính và một số tiêu chuẩn đánh giá mô hình tuyến tính. Ứng dụng của phương pháp bình phương nhỏ nhất. 6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu Nghiên cứu từ các tài liệu liên quan đến Toán học giải tích, Giải tích hàm, Giải tích số, Quy hoạch thực nghiệm, Thống kê toán học và các tài liệu liệu về phần mềm Mathematica của tác giả trong và ngoài nước. 7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Đề tài góp phần nghiên cứu phương pháp bình phương nhỏ nhất và ứng dụng phù hợp với chuyên nghành Phương pháp toán sơ cấp. Sau khi cho phép bảo vệ, được sự góp ý của các thầy cô trong hội đồng, luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, giáo viên, học sinh phổ thông và những đối tượng quan tâm lĩnh vực này. Do thời gian nghiên cứu không nhiều nên có thể còn một số nội dung mà luận văn chưa đề cập đến. Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung thường xuyên để nội dung luận văn được phong phú, và có giá trị thực tiễn hơn. 4 CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.1.1. Rn và các tập con 1.1.2. Biểu diễn hình học của hàm hai biến số 1.1.3. Giới hạn của hàm nhiều biến số Z = f(x, y) 1.1.4. Sự liên tục của hàm số Z = f(x, y) 1.2. SƠ LƢỢC PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.2.1. Khái niệm mở đầu a. Không gian nR b. Khoảng cách, chuẩn trong nR c. Lân cận, điểm tụ 1.2.2. Đạo hàm riêng Định lý 1.1. (Định lý Schawartz). Nếu f(x, y) liên tục trên miền mở 2E R có đạo hàm cấp hai '' ( , ), '' ( , )xy yxf x y f x y liên tục tại điểm 0 0 0( , )P x y thì '' ( , ) '' ( , ).xy yxf x y f x y 1.3. ĐIỀU KIỆN ĐẠT CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.3.1. Cực trị tự do a. Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị Định lý 1.2. Nếu ( , )f x y đạt cực trị tại M0 và có các đạo hàm riêng tại đó thì các đạo hàm riêng bằng 0. 5 b. Điều kiện đủ của cực trị Định lý 1.3. Giả sử ( , )f x y có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại lân cận của điểm dừng 0 0( , )x y và gọi: 2 2 0 0 0 02 2 2 0 02 ( , ), ( , ), ( , ), . f f A x y B x y C x x y f x y B AC y             Khi đó: - Nếu  > 0 thì hàm số không đạt cực trị tại 0 0( , ).x y - Nếu  = 0 thì chưa kết luận gì được về 0 0( , ).x y - Nếu  < 0 thì hàm số đạt cực trị tại 0 0( , ).x y Cụ thể đạt cực đại nếu A 0. 1.3.2. Cực trị có điều kiện a. Định nghĩa và điều kiện cần b. Điều kiện đủ 1.4. MA TRẬN VÀ PHÉP TÍNH LIÊN QUAN 1.4.1. Ma trận 1.5. DẪN NHẬP VỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.5.1. Khái niệm chung 1.5.2. Hệ Cramer 1.5.3. Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát 1.5.4. Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất 6 CHƢƠNG 2 PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT VÀ ỨNG DỤNG 2.1. NỘI DUNG PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT 2.1.1. Khái niệm Phương pháp bình phương nhỏ nhất (tối thiểu) là kĩ thuật ước lượng thống kê được sử dụng phổ biến nhất trong các mô hình hồi quy tuyến tính. Mục đích của phương pháp là từ các mẫu rời rạc quan sát được trên thực nghiệm xác định một hàm biểu diễn gần đúng sự phân phối của các mẫu đó, từ đó có thể ước lượng được các giá trị chưa thể đo được trên thực tế. Giả sử đã đo được các mẫu ( , )i ix y với i = 1,2,.,n. Mục đích là xác định hàm ( )f x thỏa mãn : ( ) .i if x y 7 Giải sử hàm f có thể thay đổi hình dạng phụ thuộc vào một hàm jp với j = 0,1,2,m, ( ) ( , ).jf x f p x Sai số giữa giá trị thực và giá trị ước lượng theo hàm ( , )jf p x tại .ix x Xác định các giá trị jp sao cho biểu thức sau đạt giá trị cực tiểu: 2 2 1 ( ( )) min. n i i i x y f x     Điều này giải thích tại sao tên của phương pháp là bình phương tối thiểu. Đôi khi thay vì tìm giá trị n của tổng bình phương, người ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của bình phương trung bình. 2 2 1 1 ( ( )) , n i i i x y f x n    điều này dẫn đến tên gọi bình phương trung bình tối thiểu. 2.1.2. Lập công thức hồi quy dạng y a x b  Giả sử biết được n giá trị thực nghiệm ( 0,1,2,..., )iy i n của hàm f(x) tại các điểm ix tương ứng. Tìm hàm xấp xỉ f(x) là một đa thức cấp m có dạng ( ) .mp x a x b  Theo định nghĩa ta có. 2 2 1 1 ( ) n n i i i i i i S v a x b y         min. Coi S là hàm số 2 biến a và b, như vậy S đạt cực tiểu tại điểm mà đạo hàm của S theo a và b đồng thời bằng 0: 8 1 1 2 ( ) 0, 2 ( ) 0. n i i i i i n i i i i i S a x b y x a S a x b y x b                  Rút gọn và chuyển vế ta có: 2 1 1 1 1 1 , . n n n i i i i i i i n n i i i i a x b x x y a x b y                    Giải ra ta được: 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ; ( ) . ( ) n n n i i i i i i i n n i i i i n n n n i i i i i i i i i n n i i i i n x y x y a n x x n x x x x y b n x x                             2.1.3. Hàm nhiều biến số Giả sử rằng mối tương quan đại lượng ra y phụ thuộc tuyến tính vào nhiều yếu tố đầu vào, như mòn dụng cụ cắt, phụ thuộc vào vận tốc, áp lực, vật liệu cắt các chế độ khác Giả thuyết rằng chúng có quan hệ tuyến tính với các thông số vào ix , hàm số tương ứng sẽ là: 0 1 1 2 2 .... ... .i i k ky a a x a x a x a x       (2.1) Sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất các giá trị ia 9 sao cho: 2 0 1 0 1 1 1 ( , ,..., ) ( ... ) n k i k ik i S a a a y a a x a x       (2.2) nhận giá trị nhỏ nhất. Ta có hệ phương trình: 21 0 1 1 ( , ,..., ) 2 ( ... ) , n o k il i k ik il S a a a x y a a a x a           (2.3) hay viết dưới dạng ma trận như sau. 10 20 1 1 1 2 0 1 0 1 ... ... . . . . . . . . . . . ... ... ; . , . . . . . . . . . . . . ... ... i k m m mi mk n n ni nk n x x x x y y X x x x x Y x x x x y                                              trong đó: coi 0 1, 1, ,mx m n  tức là coi a0 là hệ số của x0 luôn bằng 1. Gọi XT là ma trận chuyển vị của ma trận X, nghĩa là ij ( 1)( ) T T k nX x  là ma trận cấp  1 :k n  sao cho: ij . T jix x (2.4) Sử dụng (2.3) vào ta có: . . . .T TX X a X Y (2.5) Phương trình này là phương trình cơ bản của phương pháp bình phương nhỏ nhất, nó giúp ta xác định được các giá trị của ma trận thông số .ia 10 0 1 . k a a a a             (2.6) Đặt XT.X = M, (2.7) với M là ma trận vuông cấp k+1. Nếu det (M)  0 thì M là ma trận khả nghịch, từ (2.3) ta có: 1 . 1, . , T T M a X T a M X Y   (2.8) 0 0 . k n jl j jl i l i a m x y    (2.9) 2 0 1 ij 1 0 ( ) ( , ..., ) ( ) ( ) ( ) , n k T k i j i j S a S a a a Y Xa Y Xa y x a          (2.10) trong đó: 1 ij 1 0 nj 0 . k j k n n j y x a Y Xa y x a                      (2.11)  Áp dụng cho hàm một biến Giả thiết có mối tương quan bậc nhất: 0 1 .y a a x  Từ n thí nghiệm ta có bảng sau: 11 0 1 1 2 2 1 1 2 1 1 n n n x x y x y x y n x y Tương ứng ta có ma trận: 1 1 2 2 1 1 ; . 1 n n x y x y X Y x y                          Ma trận M là: 1 12 1 2 2 1 1 2 1 11 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ... 1 1 , 1 1 ( ) , ( ) 1 1 ... 1 n i iT n n n i i i in n n i i i iT n n n i i i i i i T n n x n x x M X X x x x x x x x x M X X n x x x n y y y X Y x x x y                                                                             1 1 . n i i n i i i x y                 Từ: 1 1 ( . ) .( . ), .( . ), T T T a M X X Y a M M Y     có 12 2 1 1 1 1 0 2 2 1 1 , n n n n i i i i i i i i i n n i i i i y x x x y a n x x                      (2.12) 1 1 1 1 2 2 1 1 . n n n i i i i i i i n n i i i i n x y x y a n x x                    Đặt: 2 2 2 2 1 1 ( ). ; ( ) , n n i i i i i n x x n x nx            (2.13) 1 1 1 ; . , n n n i i i ix y nxy x y nx ny    trong đó các giá trị 2 2; , , . , ( )x y x x y x là các giá trị trung bình cộng. Ta có: 2 2 2 2 0 2 2 1 2 2 .1 , .( ( ) , ( ) . . ( ) x y x xy a xy x yn x x y x x xy a x x xy x y a x x                (2.14)  Đôi khi ta còn thực hiện tuyến tính hóa hàm phi tuyến nhiều biến dạng: 31 2 20 1 2 3 ... . aa a a ny a x x x x Logarit hai vế : 0 1 1 2 2ln ln ln ln ... lnn ny a a x a x a x    bằng cách biến đổi 13 mới, ta được hàm tuyến tính nhiều biến số: 0 1 1 2 2 .... .n nY A a X a X a X     Sau khi tính toán, ta được 00 A a e , còn tham số 1 2, ,... na a a vẫn giữ nguyên với dạng đa thức: 2 0 1 2 ... , n ny a a t a t a t     ta biến đổi mới 2 3 1 2 3 0 1 1 2 2 ; ; ....; ... . n n n n x t x t x t x t y a a x a x a x           Từ đó ta sử dụng hàm hồi quy nhiều biến tuyến tính để xác định các tham số ai. 2.1.4. Công thức hồi quy tổng quát dạng đa thức bậc m Giả sử biết được n giá trị thực nghiệm ( 0,1,2,...., )iy i n của f(x) tại các điểm tương ứng. Tìm hàm xấp xỉ của f(x) là một đa thức cấp m có dạng: 0 1( ) ... . m m mP x a a x a x    Khi đó các hệ số ( 0,1,2,..., )ia i n sẽ là nghiệm của phương trình có dạng: 2 0 1 2 1 1 1 1 2 3 1 0 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 2 1 1 1 1 1 ... , ... , .... ... . n n n n m i i m i i i i i i n n n n n m i i i m i i i i i i i i n n n n n m m m m m i i i m i i i i i i i a n a x a x a x y a x a x a x a x x y a x a x a x a x x y                                                       14   2 2 1 1 0 1 1 1 ( ) . n n m n j n i m i i j i i i i i y P x y a y x n n               2.1.5. Bình phƣơng tối thiểu tuyến tính 2.2. BÀI TOÁN PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT ĐỂ XẤP XỈ HÀM TRONG THỰC NGHIỆM 2.2.1. Đặt vấn đề Bài toán 2.1. (Tìm hàm xấp xỉ) Giả sử đã biết các giá trị ( 1,2,..., )iy i n của hàm ( )y f x tại các điểm tương ứng .ix x Tìm hàm ( )m x xấp xỉ với hàm ( )f x trong đó: 1 0 ( ) ( ), m m i i x a x    với ( )i x là những hàm đã biết, ia là những hệ số hằng số. Trong khi giải quyết bài toán này cần chọn hàm ( )m x sao cho quá trình tính toán đơn giản đồng thời những sai số i có tính chất ngẫu nhiên (xuất hiện khi thu được các số liệu iy ) cần phải được chỉnh lí trong quá trình tính toán. Trong bài toán tìm hàm xấp xỉ trên việc chọn dạng của hàm xấp xỉ ( )m x là tùy thuộc vào ý nghĩa thực tiễn của hàm ( ).f x Bài toán 2.2. (Tìm các tham số của hàm có dạng đã biết) Giả sử đã biết dạng tổng quát của hàm. 0 1( , , ,..., ).my f x a a a (2.15) trong đó ( 0,1,..., )ia i m là những hằng số. 15 Giả sử qua thực nghiệm ta thu được n giá trị của hàm ( 1,2,..., )iy y i n  ứng với các giá trị ix x của đối số. Vấn đề là từ những số liệu thực nghiệm thu được cần xác định các giá trị của tham số 0 1, ,..., ma a a để tìm được dạng cụ thể của biểu thức (2.15) ( )y f x về sự phụ thuộc giữa y và x. 2.2.2. Sai số trung bình bình phƣơng và phƣơng pháp bình phƣơng tối thiểu tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm a. Sai số trung bình bình phương Những hàm trong thực nghiệm thu được thường mắc phải những sai số có tính chất ngẫu nhiên. Những sai số này xuất hiện do sự tác động của những yếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu được các giá trị của hàm. Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai số khác nhau giữa hai hàm trong thực nghiệm ta cần đưa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó chấp nhận được trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên (nghĩa là gạt bỏ được những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của thực nghiệm). Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta đưa ra phải khá bé. Khái niệm về sai số nói trên không chú ý tới kết quả có tính chất cá biệt nên được gọi là sai số trung bình bình phương. b. Định nghĩa Theo định nghĩa ta sẽ gọi n là sai số (hoặc độ lệch) trung bình bình phương của hai hàm ( )f x và ( )x trên tập  1 2, ,..., nX x x x , và được xác định bởi: 16   2 1 1 ( ) ( ) . n n i i i f x x n      (2.16) c. Ý nghĩa của sai số trung bình bình phương Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình bình phương ta giả thiết ( )f x và ( )x là những hàm liên tục trên đoạn  ,a b và  1 2, ,..., nX x x x là tập hợp các điểm cách đều trên đoạn  ,a b : 1 2 ... .na x x x b     Theo định nghĩa tích phân xác định ta có: lim n  , (2.17) trong đó:   22 1 ( ) ( ) b a f x x dx b a      (2.18) Giả sử ( ) ( )f x x có trên đoạn  ,a b một số hữu hạn cực trị và  là một số dương nào đó cho trước. Khi đó trên  ,a b sẽ có k đoạn riêng biệt  ,i ia b ( 1,2,..., )i k sao cho: ( ) ( )f x x  ( với  , , 1,2,...,i ix a b i k  ). Gọi  là tổng các độ dài của k đoạn nói trên. Với n đủ lớn và n đủ bé, từ (2.17) ta suy ra (   bé tùy ý). Từ (2.18) ta có:     2 22 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , i i bb k ia a b a f x x dx f x x dx             do đó: 17 2 ( ) ,b a            nghĩa là tổng độ dài  của các đoạn sẽ bé tùy ý. Tóm lại với n đủ bé (n khá lớn) thì trên đoạn ,a b (trừ tại những điểm của đoạn  ,i ia b mà tổng độ dài  bé tùy ý), ta có   ( )f x x   trong đó  là một số dương tùy ý cho trước. Từ nhận xét trên ta rút ra nhận ý nghĩa thực tiễn của sai số trung bình bình phương như sau: Nếu sai số trung bình bình phương n của hai hàm f(x) và ( )x trên tập hợp n điểm  ,X a b (n đủ lớn) mà khá bé thì với tuyệt đối đa số giá trị của x trên  ,a b cho sai số tuyệt đối giữa f(x) và ( )x khá bé. 2.2.3. Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phƣơng 2.3. ƢU ĐIỂM VÀ HẠN CHẾ CỦA PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG NHỎ NHẤT TRONG MÔ HÌNH TUYẾN 2.3.1. Ƣu điểm 2.3.2. Hạn chế 2.4. MỘT SỐ TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH 2.4.1. Các tiêu chuẩn đánh giá a. Mức ý nghĩa  b. Phân phối Student Định lý 2.1. (Xem [1]) Cho t tuân theo luật phân phối Student 18 với n bậc tự do  1 .n  Khi đó: (i) Hàm mật độ t là: 1 1 2 02 1 12 ( ) . , ( , ), ( ) . . 12 n x n n f t t n x e dx n n t n                               (ii) Với 1: ( ) 0( ( )n E t f t  là hàm chẵn). Với 2 : ( ) 2 n n D t n    . Định lý 2.2. (Xem [1]) Cho X tuân theo luật phân phối chuẩn 2 1 2( , ) , ( , ,..., ) ( 1)nN x x x n   là mẫu của X. Khi đó đại lượng thống kê . x t n s   có phân phối Student với n-1 bậc tự do, trong đó 2 2 1 1 ( ) . 1 n k k s x x n      c. Phân phối Fisher Định lý 2.3. (Xem [1]) Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối 1 2, .n nF Khi đó: (i) Hàm mật độ của X là 1 1 2 1 2 1 2 1 21 2 12 1 2 2 2 . 1 , 0.( ) 2 2 0 , 0. n n n n n n n n n t t tf t n n n t                                     19 2 2 2 1 2 2 22 2 1 2 2 2. .( 2) ( ) 2; ( ) , 4. 2 .( 4).( 2) n n n n E X n D X n n n n n            Bây giờ ta cho   11 2 , ,..., nx x x là mẫu của X,  21 2, ,..., ny y y là mẫu của Y và     1 1 2 1 2 2 1 1 11 1 2 2 2 1 12 2 1 1 ; , 1 1 1 ; . 1 n n i k i k n n i k i k x x S x x n n y y S y y n n                 Định lý 2.4. (Xem [1]) Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn cùng phương sai (D(X) = D(Y)). Khi đó đại lượng thống kê 2 1 2 2 s F s  có phân phối Fisher 1 1, 2 2.n nF   d. Chuẩn Cochran ( ,lt Pf nZ G ) Định lý 2.5. (Xem [6]) Phương sai mẫu của loạt dữ liệu j được coi là một giá trị ở mức ý nghĩa α nếu Ct vượt quá giới hạn trên giá trị quan trọng CUL. CUL phụ thuộc vào α mức ý nghĩa mong muốn, số lượng được coi là hàng loạt dữ liệu N, và số lượng các điểm dữ liệu (n) mỗi chuỗi dữ liệu. Lựa chọn các giá trị cho CUL đã được lập bảng ở mức ý nghĩa α = 0.01, α = 0.025, và α = 0.05. CUL cũng có thể được tính toán từ: 1 1 ( , , ) 1 . ( ,( 1),( 1)( 1)c N CUL n N F n N n N                 Trong đó 20 CUL : giới hạn trên giá trị quan trọng cho thử nghiệm một chiều trên một thiết kế cân bằng. α : mức ý nghĩa. n : số điểm dữ liệu mỗi chuỗi dữ liệu. Fc : giá trị quan trọng của tỷ lệ F Fisher; Fc có thể thu được từ các bảng phân phối F hoặc sử dụng phần mềm máy tính cho chức năng này. 2.4.2. Đánh giá kết quả nhận đƣợc bằng phƣơng pháp bình phƣơng nhỏ nhất a. Kiểm định các tham số aj và khoảng xác định sai lệch của chúng Khi hệ số ˆ ja nào đó quá nhỏ, ta có quyền nghi ngờ ˆ ja có thể bằng không, tức là không tồn tại số hạng 1( ... )j kf x x trong hàm hồi quy thu được. Tức là ˆ ja khác không do sai số ngẫu nhiên gây ra. Ta cần kiểm định xem ˆ 0ja  hay ˆ 0.ja  Nếu biểu thức sau tồn tại, tức là ˆ ja thực sự khác 0. ˆ ( 1,1 ), 2 j jj du a t n m S m      trong đó: Sdu là phương sai dư, tính theo S( ˆ ja ): 2 ˆ( ) , 1 du S a s n m    ở đây n là số thử nghiệm; m là số các thông số cần xác định, trừ thông số 0 ,a 21 và ( 1,1 ) 2 t n m     là phân vị 1 2  của luật phân bố Student với ( 1)n m  bậc tự do. Đồng thời ta có khoảng sai lệch của ˆ ja với độ tin cậy (1 ) là: 1 1 ˆ ˆ( 1; ) . ( 1; ). 2 2 jj jj j du j j dua S m t n m a a S m x n m            với jjm là số hạng thứ jj của ma trận 1M  ma trận nghịch đảo của ma trận TM F F . b. Kiểm tra bằng nhau của phương sai 2 ( )iD y  Các ước lượng 2 thường dùng chưa dựa vào một giả thiết nào về dạng của mối quan hệ giữa biến ra y và biến vào xi. Khi thí nghiệm được lặp lại r lần, phương sai của y khi đó gọi là phương sai tái sinh, kí hiệu (Sts): 2 2 ( ).tsS D y  Nếu mỗi thí nghiệm i, xác định tại điểm thí nghiệm xi lặp lại r lần giá trị đầu ra 1 ir... .iy y Tính 2 2 ij 1 1 ( ) 1 r i i j S y y r      trong đó ij 1 1 . r i j y y r    Phương sai tái sinh của biến ra y với số lần lặp lại r được định nghĩa: 2 2 2 1 ij 1 1 1 1 1 ( ) . ( 1) n n r ts i i j S S y y n n r         22 Phương sai Sts có bậc tự do là n(r-1) được coi là một ước lượng của 2 ( )D y  nếu phương sai của y tại điểm thí nghiệm xi được coi là như nhau. Cần kiểm định giả thuyết đó theo tiêu chuẩn Cochran. Giả sử biến ngẫu nhiên  có 2 2 1 .i tn i max S C S     So sánh Ct với ( 1; ;1 )C r n   bằng bảng phân vị Cochran. Nếu ( 1; ;1 )tC C r n    công nhận giả thiết Ho, có nghĩa là phương sai của y gần đúng bằng 2. Nếu ( 1; ;1 )tC C r n    thì bác bỏ giả Ho, hay 2 của y khác nhau. c. Kiểm tra sự tương hợp của hàm hồi quy Giả sử rằng : 2 2du tsS S thì ta có: 2 2 du t ts S F S  tuân theo phân phối Fisher – Snedekor. Nếu 2 2 ( 1; ( 1);1 ),du ts S F n m n r S      thì bác bỏ sự tương hợp của hàm hồi quy với mức ý nhĩa . Ngược lại nếu: 2 2 ( 1; ( 1);1 )du ts S F n m n r S      23 thì coi như thực nghiệm chấp nhận hàm số hồi quy với mức ý nghĩa . Sự chênh lệch của Ft và F nhiều hay ít, có sự tương hợp mạnh hay yếu; cùng kết quả thực nghiệm cùng hồi quy, nhưng thay đổi mức ý nghĩa  có thể từ công nhận tương hợp sang không tương hợp. d. Tìm khoảng sai lệch yi 0 ( ... ). m j j i ik j y a f x x   Ta có 2 2 2( ) , iy i ii du ii S D y u S u   trong đó uii là số hạng thứ ii của ma trận U, với: 1 ij ij 0 0 . . ( ) . ( ) ( ). T n n m m ii j i j i i j U F M F u u f x m f x        Tính tỷ số: ,i it du ii y y t S u   so sánh tt với t(n-m-1) bậc tự do theo phân phối Student, suy ra khoảng sai lệch của y sẽ là: 1 1 ( 1; ) ( 1; ). 2 2 i du ii i i du iiy S u t n m y y S u t n m            24 KẾT LUẬN Sau một thời gian nghiên cứu thực hiện, luận văn đã hoàn thành được những mục đích và nhiệm vụ như sau: * Trình bày một số khái niệm, định lý về sự liên tục của hàm nhiều biến; sơ lược phép tính vi phân hàm nhiều biến; điều kiện đạt cực trị của hàm nhiều biến; ma trận và các tính chất liên quan; dẫn nhập về hệ phương trình tuyến tính. * Trình bày về nội dung của phương pháp bình phương nhỏ nhất; bài toán phương pháp bình phương nhỏ nhất để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm; ưu điểm và hạn chế của phương pháp bình phương nhỏ nhất trong mô hình tuyến tính và một số tiêu chuẩn đánh giá mô hình tuyến tính. Ứng dụng của phương pháp bình phương nhỏ nhất. * Luận văn là một tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn đọc yêu thích tìm hiểu về nội dung phương pháp bình phương nhỏ nhất và ứng dụng. * Trong thời gian thực hiện luận văn không thể tránh khỏi những sai sót, kính mong các thầy đóng góp ý kiến để luận văn thêm hoàn thiện.