Luận văn Quan điểm Giải tích về các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn và việc phát huy tính tích cự nhậ thức của học sinh trong dạy học chủ đề Giới hạn ở bậc THPT

lại khi học về Giới hạn của dãy số ta cần làm cho học sinh nắm vững hiểu rõ bản chất qua xét các ví dụ và phân biệt được ''giới hạn hữu hạn '' với ''giới 69 hạn vô hạn” của dãy số bằng ” trực giác hình học'' trên trục số kết hợp với lập luận ''trực giác số”. 2.2.2.2. Sử dụng tư liệu kiến thức lịch sử Toán học dạy khái niệm giới hạn Ngoài ra, nếu có điều kiện ta có thể sử dụng tư liệu lịch sử Toán về khái niệm giới hạn để gợi động cơ, hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm qua đó khơi dậy phát huy TTCNT của học sinh trong các tiết dạy tự chọn, ôn luyện hay ngoại khóa, tùy theo từng đối tượng học sinh mà giáo viên có thể khai thác thêm một số nghịch lý thể hiện qua các ví dụ sau : Ví dụ 22: Nghịch lí “ 0 = 1 “. Xét S = 1 – 1 + 1 – 1 +…+ 1 - 1 +… Ta có, S = ( 1 – 1 ) + ( 1 – 1 ) +…+( 1 – 1) +…= 0 + 0 +…+ 0 + …= 0. (*) Mặt khác, S =1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) +…+ (-1 + 1) +…= 1 + 0 + 0 + …+ 0 +…= 1. (**) Từ (*) và (**) suy ra : 1 = 0 (!?). Ví dụ 23: Nghịch lý “ -2 là số dương “. Cho x = 1 + .... 2 3 ... 2 3 2 3 2 3 132 +      ++      +      + −n (***) Suy ra : 2 3 x = .... 2 3 ... 2 3 2 3 2 3 132 +      ++      +      + −n (****) Từ (***) ta thấy x là tổng của các số dương nên x > 0. Nhưng lấy (***) trừ đi (****) ta có : x - 2 3 x = 1 hay x = -2 . Vậy từ đó ta dẫn đến -2 là một số dương. Các nghịch lý trên cho thấy các phép toán và qui tắc đại số không giải thích được các phép toán liên quan đến quy trình vô hạn. Như vậy, nhu cầu tất yếu là khám phá phép toán mới để giải quyết các vấn đề liên quan đến nghịch lí trên. Đối với cách dạy dạng này phù hợp với tiết dạy tự chọn, ngoại khóa. Qua đây cho học sinh thấy được sự hạn chế của phép toán và qui tắc đại số 70 trong việc giải quyết các vấn đề liên quan tới sự vô hạn. Mặt khác tạo động cơ tiếp thu khái niệm mới, cũng như cho học sinh ý thức đựơc tầm quan trọng của khái niệm giới hạn và có nhu cầu hứng thú học về khái niệm giới hạn. Thực tế, trong dạy học tùy vào từng đối tượng học sinh để có phương pháp dạy học phù hợp, không phải những câu hỏi đặt ra đều được học sịnh trả lời đúng như mong đợi, vì vậy trên đây là những câu hỏi và trả lời định hướng mắt xích của vấn đề, để phát huy được TTCNT của học sinh khi xây dựng về khái niệm Giới hạn dãy số, đòi hỏi bản thân mỗi giáo viên, phải tinh tế, lựa chọn sử lý các tình huống, vận dụng những biện pháp, phương thức sư phạm thích hợp sao cho đạt được kết quả trong quá trình dạy học . 2.2.3. Dạy học bài tập về Giới hạn với chức năng phát huy TTCNT của học sinh. Trong dạy học, bài tập toán được sử dụng với những chức năng khác nhau như: dạy học, phát triển, giáo dục, kiểm tra. Mỗi bài tập toán cụ thể có dụng ý và những chức năng khác nhau, như ở đây với chức năng dạy học bài tập được xây dựng nhằm hình thành ý thức tự cũng cố đào sâu, hệ thống hóa khái niệm và rèn luyện kỹ năng kỹ xảo cho học sinh đối với các kiến thức về khái niệm chủ đề giới hạn đã học, bài tập như thế này là hình thức tốt nhất để phát huy TTCNT của học sinh. 2.2.3.1. Bài tập về Giới hạn là phương tiện phát huy TTCNT của học sinh Trong dạy học Toán ở trường phổ thông, có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học đối với học sinh. Hệ thống bài tập toán là cầu nối gắn liền lí thuyết với thực tiễn, đồng thời bài tập là hình thức tốt nhất để rèn luyện tính tích cực trong hoạt động nhận thức ở học sinh, đây là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo vận dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy, làm bài tập toán nói chung và giải bài tập về chủ đề Giới hạn nói riêng là một phương tiện tốt để phát huy TTCNT của học sinh. 71 2.2.3.2. Ví dụ minh họa dạy học luyện tập về các bài toán tính Giới hạn và xét tính liên tục của hàm số theo hướng phát huy TTCNT của học sinh. i) Ví dụ dạng bài tập về Giới hạn vô cực và dần về vô cực của hàm số Thực tế cho thấy các dạng bài tập về giới hạn của hàm số như: khử các dạng vô định,…nói chung học sinh cũng đã được làm quen và thực hành tương đối nhiều ở các loại sách tham khảo, nhưng đối với dạng bài tập này học sinh thường gặp khó khăn bởi vì căn bản ở SGK chưa phân biệt vô cực rõ ràng ra + ∞ và - ∞ mà thường dùng chung chung là ∞ , nên khi tính giới hạn của hàm số cùng là một cách tiến của x tới điểm giáp ranh x = a nào đó, mà về hai phía khác nhau của điểm x = a đó là −+ →→ axax ; , nhưng kết quả dẫn đến hai giá trị hoàn toàn khác nhau, chẳng hạn là: +∞ và - ∞ . Hoặc khi −∞→+∞→ xx ; , hoàn toàn xa nhau nhưng hàm số dần về hai phía của một giá trị là L+; L − đối với dạng bài tập này sử dụng phương tiện biểu đồ, đồ thị làm chổ dựa trực quan bản chất của vấn đề, cụ thể được minh họa rõ qua các dạng bài tập sau: Bài tập 1: Cho hàm số ( ) x x xf 1 2 + = và đường thẳng y = x (có đồ thị hình 5). a) Quan sát và nêu nhận xét vị trí tương đối của đồ thị trên hệ trục tọa độ, dự đoán giới hạn của hàm số ( ) x x xf 1 2 + = khi x → 0+, x→ 0 - , x → -∞ , x → +∞ ? b) Kiểm tra lại các nhận xét dự đoán giới hạn nêu trên bằng cách tìm : )(lim 0 xf x +→ , )(lim 0 xf x −→ , )(lim xf x −∞→ , )(lim xf x +∞→ , ( )[ ]xxf x − +∞→ lim = 0 ?, ( )[ ]xxf x − −∞→ lim = 0 ? Giải: a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét vị trí tương đối của đồ thị trên hệ trục tọa độ, dự đoán giới hạn của hàm số ( ) x x xf 1 2 + = + Khi x → 0+, thì ( )xf →+∞ và đồ thị của hàm số ( )xf càng đi lên càng sát dần bên phải với trục tung y0 tức : )(lim 0 xf x +→ = +∞ . + Khi x → 0- , thì ( )xf → -∞ và đồ thị của hàm số ( )xf càng đi xuống càng sát dần bên trái với trục tung y0 tức là : )(lim 0 xf x −→ = -∞ . 72 + Khi x → -∞ , thì ( )xf → -∞ nghĩa : −∞→x lim ( )xf = -∞và đồ thị của hàm số ( )xf càng đi xuống càng sát dần phía dưới với đường thẳng y = x tức là : ( )[ ]xxf x − −∞→ lim = 0 . + Khi x →+∞ , thì ( )xf →+ ∞ nghĩa : +∞→x lim ( )xf = +∞ và đồ thị của hàm số ( )xf càng đi lên càng sát dần phía trên với đường thẳng y = x tức là : ( )[ ]xxf x − +∞→ lim = 0 . b) Kết hợp sử dụng kết quả của qui tắc về xét dấu phép toán chia vô cực, ta có: +→0 lim x x x 12 + = +→0 lim x )1( x x + = +∞ ; −→0 lim x x x 12 + = −→0 lim x )1( x x + = -∞ ; −∞→x lim x x 12 + = −∞→x lim x x 1 11 2+ = -∞ ; +∞→x lim x x 12 + = +∞→x lim x x 1 11 2+ = +∞ ; −∞→x lim       − + x x x 12 = −∞→x lim x 1 = −0 ; +∞→x lim       − + x x x 12 = +∞→x lim x 1 = +0 . (hình 5- của bài tập 1 ) (hình 6- của bài tập 2) Bài tập 2 : Cho hàm số ( )xf = 45 12152 2 2 +− +− xx xx (có đồ thị như hình 6) a) Dựa vào đồ thị và nêu nhận xét dự đoán giới hạn của hàm số ( )xf = 45 12152 2 2 +− +− xx xx khi −→1x , +→1x , −→ 4x , +→ 4x , −∞→x , +∞→x ? b ) Kiểm tra lại các nhận xét dự đoán giới hạn nêu trên bằng cách tìm : −→1 lim x ( )xf , +→1 lim x ( )xf , −→4 lim x ( )xf , +→4 lim x ( )xf , ( )xf , +∞→x lim ( )xf ? Giải :a) Dựa vào đồ thị và dự đoán giới hạn của: ( )xf = 45 12152 2 2 +− +− xx xx −→1 lim x ( )xf = -∞ , +→1 lim x ( )xf = +∞ , −→ 4 lim x ( )xf = +∞ , −∞→x lim 1 4 2 0 x y 4 x y ο → − +← 73 +→4 lim x ( )xf = -∞ , −∞→x lim ( )xf = 2 +, −∞→x lim ( )xf = 2 + . a) Kiểm tra lại các nhận xét dự đoán giới hạn nêu trên bằng cách tìm : −→1 lim x ( )xf , +→1 lim x ( )xf , −→4 lim x ( )xf , +→4 lim x ( )xf , ( )xf , +∞→x lim ( )xf Kết hợp sử dụng kết quả của bảng 4 qui tắc phép toán chia vô cực, ta có: *) Vì −→1 lim x (2x2-15x+12) = -1< 0, −→1 lim x (x2-5x+4) = 0+ nên −→1 lim x 45 12152 2 2 +− +− xx xx = - ∞ *)Vì +→1 lim x (2x2-15x+12)= -1< 0, +→1 lim x (x2-5x+4) = −0 nên +→1 lim x 45 12152 2 2 +− +− xx xx = + ∞ *)Vì −→4 lim x (2x2-15x+12)= -16 < 0, −→ 4 lim x (x2-5x+4)= −0 nên −→ 4 lim x 45 12152 2 2 +− +− xx xx = + ∞ *)Vì +→4 lim x (2x2-15x+12)= -16 < 0, +→4 lim x (x2-5x+4)= 0+ nên +→4 lim x 45 12152 2 2 +− +− xx xx = -∞ *) 45 12152 2 2 +− +− xx xx = 2 2 451 12152 xx xx +− +− = 2+. *) 45 12152 2 2 +− +− xx xx = 2 2 451 12152 xx xx +− +− = 2-. Bài tập 3: Cho ba hàm số: ( )xf = 2 23 1 x xx −+ ; ( )xg = x xx 12 −− ; = x x 12 −− Các đường cong C7, C8, C9( h.7, 8, 9) là đồ thị của ba hàm số này, xét trên tập R\{ }0 , (không xếp theo thứ tự). a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét dự đoán giới hạn của các hàm số khi : x → 0+, x → 0 - , x→ -∞ , x → +∞ ? b) Chỉ dùng kết quả tính giới hạn của hàm số ( )xf , ( )xg , khi: x →0 - , x→0+, x → -∞ , x →+ ∞ từ đó hãy xác định đường cong nào là đồ thị của hàm số đã cho ? −∞→x lim −∞→x lim −∞→x lim −∞→x lim −∞→x lim ( )xh ( )xh 74 (Hình 7 ) ( Hình 8) ( Hình 9 ) Giải: a) Nhận xét dự đoán giới hạn của hàm số: *) Đối với đồ thị hình 7 (đường cong C7) Khi x → 0-, thì (nhánh đường cong C7) →+ ∞ và càng sát dần bên trái với y0 . Khi x → 0+ , thì (nhánh đường cong C7) → - ∞ và càng sát dần bên phải với y0 . Khi x → - ∞ , thì (nhánh đường cong C7) →+ ∞ càng sát dần phía trên với đường thẳng y = -x. Khi x→ + ∞ , thì (nhánh đường cong C7) → - ∞ và đồ thị càng sát dần phía dưới với đường thẳng y = - x. *) Đối với đồ thị hình 8 của (đường cong C8) Khi x → 0+, thì (nhánh đường cong C8)→ -∞ và càng sát dần bên phải với y0 . Khi x → 0- , thì (nhánh đường cong C8) → - ∞ và càng sát dần bên trái với y0 . Khi x → - ∞ , thì (nhánh đường cong C8) → -∞ và càng sát dần phía dưới với đường thẳng y = x. Khi x →+ ∞ , thì (nhánh đường cong C8) →+ ∞ và càng sát dần phía dưới với đường thẳng y = x. *) Đối với đồ thị hình 9 của (đường cong C9) Khi x → 0+, thì (nhánh đường cong C9) →+ ∞ và càng sát dần bên phải với y0 . Khi x → 0- , thì (nhánh đường cong C9) → - ∞ và càng sát dần bên trái với y0 . Khi x → - ∞ , thì (nhánh đường cong C9) → - ∞ và đồ thị càng sát dần phía dưới với đường thẳng y = x. y yy xx x 0 00 75 Khi x →+ ∞ , thì (nhánh đường cong C9)→+ ∞ và đồ thị càng sát dần phía trên với đường thẳng y = x. b) Kết quả tính giới hạn của hàm số ( )xf , ( )xg , khi: x →0 - , x →0+, x → -∞ , x →+ ∞ *) Ta có : +→0 lim x 2 23 1 x xx −+ = +∞ ; −→0 lim x 2 23 1 x xx −+ = - ∞ . Từ kết quả này và đồ thị đã cho suy ra đường cong C8 là đồ thị của hàm số ( )xf vì chỉ C8 là có hai nhánh đồ thị dần ra - ∞ khi x→0 - , x→0+. *) Xét : +∞→x lim x xx 12 −− = +∞→x lim x xx 1 111 2−− =+∞ Kết hợp với đồ thị suy ra đường cong C9 là đồ thị của hàm số ( )xg . Vì trong hai đường cong còn lại chỉ có C9 là có nhánh đồ thị dần tới + ∞ khi x → + ∞ . *) Từ hai kết quả trên, suy ra có đồ thị là đường cong C7. ii) Ví dụ minh họa dạy hoc về loại bài tập xét tính liên tục của hàm số Tập cho học sinh thói quen tìm hiểu sâu sắc bản chất của khái niệm về tính liên tục hàm số, chẳng hạn từ nội dung của định lí : “ f(x) liên tục trên [ a ; b] và f(a).f(b) < 0 ( ) ( )cfbac :;∈∃⇒ = 0 “. Cho học sinh khai thác các giả thiết của định lí là: f(x) liên tục trên [ a ; b] và f(a).f(b) < 0 , qua dạng bài tập sau: Bài tập 4 : Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Nếu f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a;b) ? Cho ví dụ minh họa ? Giải : Với hàm số f(x) liên tục trên [a;b]. Nếu f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a;b), chẳng hạn: Xét hàm số f(x) = x2 – 1 liên tục trên [-2;2] và f(-2). f(2) = 9 > 0. Phương trình x2 – 1 = 0 có nghiệm x = ± 1 trong khoảng (-2;2). Xét hàm số (x) = x2 + 1 liên tục trên [-1;1] và f(-1). f(1) = 4 > 0. Phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm trong khoảng (-1;1) mà còn vô nghiện trên R. ( )xh ( )xh 76 Bài tập 5: Cho hàm số f(x) không lên tục trên đoạn [a;b], nhưng f(a).f(b)< 0. phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a;b) ? Hãy minh họa câu trả lời bằng đồ thị ? Giải : Nếu hàm số f(x) không liên tục trên đoạn [a;b] và f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có thể nhiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng (a;b). Chẳng hạn minh họa hình học : (hình 10), f(x) = 0 có nghiệm (a;b) (hình 11), f(x) = 0 vô nghiệm (a;b) Bài tập 6 : Cho hàm số x xf 1)( = . Hãy đánh dấu đúng (sai) tương ứng với khẳng định đúng (sai). a) Thì 0)1().1( <− ff ; (Đúng). b) Phương trình 010)( =⇔= x xf có ít nhất một nghiệm )1;1(−∈x ;(Sai).Vì sao? c) Phương trình 11 2 −= x x có ít nhất một nghiệm ( )2;1∈x . (Đúng). Qua làm các dạng bài tập này, học sinh sẽ thấy rằng ba điều kiện để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = a , cần thoả mãn đồng thời là: i) f(x) xác định tại x = a ; ii) Tồn tại ax→ lim f(x) ; iii) ax→ lim f(x) = f(a). Trong khi dạy học thì phản ví dụ có vai trò rất quan trọng trong việc tránh sai lầm của học sinh khi lĩnh hội khái niệm, chẳng hạn đưa ra phản ví dụ sau để nhận dạng khái niệm hàm số f(x) liên tục tại một điểm: (?) Vậy như thế nào thì hàm số không liên tục tại một điểm ? Cho ví dụ minh a b x y 0 a b x y 0 77 họa ? Ví dụ24: +) Hàm số f(x) = 9 3 − + x x , không liên tục tại x= 9 (không thõa mãn điều kiện i); +) Hàm số g(x) =     ≠ = 0;1 0;1 x x x , không liên tục tại x= 0 ( không thõa mạn ii); +) Hàm số h(x) =      = ≠ − − 1;0 1; 1 12 x x x x , không liên tục tại x = 1 (không thõa mạn iii). Qua các dạng bài tập về xét tính liên tục của hàm số mà bản chất chính là xét tính liên tục tại một điểm của hàm số ta có thể tóm tắt sơ đồ về qui trình các bước đó như sau: (Sơ đồ 4) 78 2− x y2 0 2 Ngoài ra khi xét tính liên tục của hàm số nói chung, xét tính liên tục của hàm số tại một điểm nói riêng ta cần xét đến tập xác định của hàm số đó, chẳng hạn ta xét hai hàm số f(x) và g(x) qua hai ví dụ sau: Ví dụ 25: Cho f(x)=     > ≤≤−− 2;1 22;4 2 x xx Giải: f(x) tập xác định D1 = [-2 ; + ∞ ) Hàm số liên tục trên tập [-2 ; + ∞ )\{2} Là gián đoạn tại điểm x = 2 (minh họa rõ ở hình vẽ 12 ). ∃ f(x0) 0 lim xx→ ∃ f(x) oxx→ lim f(x) = f(x0) f(x) liên tục tại x0 f (x) gián đoạn tại x0 Bắt đầu + + + − − − Kết thúc Lấy bất kỳ x0∈ (a;b) ∃ f(x0) f(x) liên tục tại x0 f(x) liên tục trên (a;b) f(x) không liên tục Kết thúc + + − − Hàm số liên tục trên (a;b) Hàm số liên tục tại ( )bax ,0 ∈ 79 Ví dụ 26 : Cho hàm số g(x) = 24 x− Giải : Hàm số g(x) = có tập xác định D2 = [-2 ;2 ] Nhưng so với ví dụ 25 dễ dàng thấy rằng hàm số này liên tục trên tập [ -2; 2]. Vì vậy khi dạy học cần chú ý tận dụng khai thác các tình huống dễ mắc sai lầm, giúp học sinh phát hiện, khắc phục các khó khăn và sữa chữa các sai lầm thường gặp. 2.2.4. Dự đoán phát hiện nguyên nhân và hướng khắc phục những khó khăn sai lầm của học sinh khi học chủ đề Giới hạn. Khi học chủ đề Giới hạn học sinh sẽ làm quen với đối tượng mới, kiểu tư duy mang tính biện chứng hơn. Do đó học sinh gặp phải rất nhiều khó khăn sai lầm không thể tránh khỏi. Bởi vì, sai lầm có tác dụng tích cực, sai lầm cũng có ích trong việc xây dựng tri thức, đặc biệt khi tạo nên sự xem xét lại các tri thức đã biết trước đây. Vì vậy trong quá trình dạy và học Toán ở tr- ường THPT, việc tìm hiểu những khó khăn, sai lầm và chướng ngại mà học sinh phải vượt qua để chiếm lĩnh một tri thức toán học được đưa ra giảng dạy là bước đầu không thể bỏ qua trong quá trình tìm kiếm những phương pháp dạy học hiệu quả nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức đó. Hơn nữa, việc phát triển và biết khai thác các tình huống sai lầm làm học sinh hay mắc phải trong học tập cũng chính là quá trình phát huy TTCNT của học sinh. + Ở mức độ tri thức khoa học, giáo viên cần hiểu được lý do phát sinh và bản chất của tri thức cần dạy, mặt khác là những trở ngại mà các nhà khoa học đã gặp phải trong quá trình xây dựng và phát triển tri thức này. Đây là cơ sở cho việc xác định nguồn gốc khoa học luận của những khó khăn mà học sinh phải vượt qua để nắm vững tri thức đó. + Ở mức độ tri thức cần dạy, thông qua việc phân tích chương trình và SGK sẽ làm sáng tỏ những đặc trưng của việc dạy một tri thức trong quá trình 80 chuyển hóa sư phạm. Nghiên cứu này sẽ giúp giáo viên xác định nguồn gốc sư phạm của những khó khăn mà học sinh thường gặp. Từ việc phát hiện những khó khăn và chướng ngại của từng tri thức Toán học, giáo viên có thể dự đoán được những sai lầm thường gặp ở học sinh khi lĩnh hội tri thức này. + Ta nói rằng có một chướng ngại nếu vấn đề chỉ được giải quyết sau khi ta đã cấu trúc lại những quan niệm hay thay đổi quan điểm lý thuyết. + Ta nói rằng có một khó khăn nếu vấn đề được giải quyết mà không cần phải xem xét lại những quan điểm của lý thuyết đang xét hay thay đổi quan niệm hiện hành. Như ta đã biết, sai lầm không phải là hậu quả của sự không biết, không chắc chắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia nhưng lại là sai lầm hoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, chúng sẽ được tạo nên từ những chướng ngại. Những sai lầm sinh ra từ một chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và có thể tái xuất hiện ngay cả sau khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm ra khỏi hệ thống nhận thức của mình. Vì vậy giúp học sinh tìm ra các sai lầm, phân tích nguyên nhân dẫn đến các sai lầm và tìm cách khắc phục những khó khăn sai lầm đó trong quá trình lĩnh hội khái niệm là việc làm mang nhiều ý nghĩa quan trọng trong quá trình dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức của học sinh góp phần nâng cao hiệu quả dạy học. Thực tiễn cho thấy trong quá trình học tập học sinh thường gặp phải các khó khăn sai lầm: 2.2.4.1) Khó khăn sai lầm về kiến thức, bao gồm: a) Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm bản chất của khái niệm, định lý 81 Nếu xét Giải tích ở trường THPT nói chung khái niệm Giới hạn nói riêng rất khó hình thành cho học sinh vì học sinh chưa nhận thức hết tầm quan trọng cũng như các khía cạnh tinh vi trong lập luận xung quanh vấn đề này, nếu như muốn nắm vững được bản chất đích thực vấn đề này. Còn mấy lâu nay khi tìm Giới hạn hay xét tính liên tục, học sinh vẫn đang còn nặng về thuật toán, nói cách khác là thiên về cú pháp mà còn coi nhẹ ngữ nghĩa, chẳng hạn ngay sau khi học xong khái niệm giới hạn hàm số ( mà chưa học đến các định lý về giới hạn và hàm số f(x) liên tục) thì học sinh cho rằng việc tìm giới hạn của f(x) khi x →a rất đơn giản: chỉ việc thay x = a và tính f(a). Khi đó ax→ lim f(x) =f(a) điều này phản ánh rằng học sinh chưa hiểu bản chất kí hiệu: lim. Ví dụ27: Tính 9 lim →x 9 81182 − +− x xx với cách nghĩ như vậy nên việc tìm giới hạn chỉ là thay x = 9 vào 9 81182 − +− x xx để cho kết quả, suy nghĩ kiểu như vậy dẫn đến cho rằng 9 lim →x 9 81182 − +− x xx không tồn tại. Để cho học sinh xem xét đồng thời những đối tượng thõa mãn các định nghĩa khái niệm và định lí (qua các ví dụ) và các đối tương không thõa mãn một trong các khái niệm định nghĩa, định lí (xét phản ví dụ ) qua đó làm sáng tỏ cho học sinh hiểu và nắm vững bản chất của một khái niệm hay định lí, chẳng hạn: Ví dụ28: Tính 9 lim →x ( )981 2 −+− xx (?) : Học sinh cho rằng : 9 lim →x ( )981 2 −+− xx = f(9) = ( )99981 2 −+− = 0 vậy 9 lim →x ( )981 2 −+− xx = 0 (!) : Thực ra thì hàm số f(x) = ( )981 2 −+− xx không có giới hạn tại x = 9 vì tập xác của hàm số f(x) : 9 09 081 2 =⇔     ≥− ≥− x x x , tức tập xác định là K ={ }9 . Do đó không thể áp dụng định nghĩa 9 lim →x f(x) được vì không thể lấy bất kỳ dãy { }nx nào cả để thõa mãn điều kiện của định nghĩa đó là: ∀ xn ∈ K , xn ≠ 9 mà { }nx → 9 , nên hàm số đã cho không có giới hạn tại x = 9. 82 b) Khó khăn sai lầm về hình thức (như hiểu sai công thức, kí hiệu…) Với SGK ở phổ thông của nước ta là chỉ sử dụng có kí hiệu là ∞ để viết Giới hạn vô cực của dãy số. Nên tùy vào từng trường hợp mà kí hiệu ∞ này, có thể được hiểu theo các cách khác nhau như + ∞ hoặc - ∞ hay hỗn hợp cả hai + ∞ và - ∞ , chẳng hạn xét: Ví dụ 29: Với lim n2 = ∞ , kí hiệu ∞ được hiểu là + ∞ . Với lim (-n) = ∞ , kí hiệu ∞ này được hiểu là -∞ . Với lim (-1)nn = ∞ , kí hiệu ∞ ở đây được hiểu là cả -∞ và +∞ . Vì vậy, nên khi xét giới hạn vô cực của dãy số phải xét cụ thể chỉ rõ ràng, giới hạn +∞ hay giới hạn - ∞ tức là +∞→n lim un = + ∞ hoặc +∞→n lim un = - ∞ . Do R là một tập hợp sắp thứ tự nên không thể kết luận chung chung giới hạn là ∞ hay viết +∞→n lim un= ∞ . Cụ thể, (trở lại ví dụ 21) xét giới hạn vô cực của dãy un = (-1)n theo như phân tích này thì: +∞→n lim (-1)nn không tồn tại. Bản chất của + ∞ và - ∞ không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng ra nói đến lân cận của +∞ tức là khoảng ( a , +∞ ) và lân cận của - ∞ là khoảng (-∞ ; a) với ∈∀a R, do đó không thể thực hiện các qui tắc hay phép toán đại số trên chúng. Chẳng hạn: ( )( ) 0lim =→ xg xf ax nếu ax→ lim ( )xf = L và ax→ lim ( )xg = +∞ nhưng không thể viết ( )( ) ( ) ( ) 0lim lim lim = ∞+ == → → → L xg xf xg xf ax ax ax . Nhưng kết quả giới hạn ( nếu có) của dãy số un có thể là: Giới hạn hữu hạn ( 0, hằng số L ≠ 0 ) hoặc Giới hạn vô cực ( ∞± ), nên ta có thể xem kí hiệu +∞ và - ∞ như là giới hạn của dãy số. Như vậy, khi thực hành trong giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, giữa hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' và ''giới hạn vô hạn vô cực'', trong việc biến đổi các phép toán về giới hạn và dẫn đến sai lầm trong kí hiệu như : ( +∞ ) - ( + ∞ ) = 0 ? ; 0 .∞ = 0 ?... 83 Ví dụ 30: Tính ( )nn n −+ +∞→ 1lim 2 Học sinh A: ( )nn n −+ +∞→ 1lim 2 = ( ) 0)()(lim1lim 2 =+∞−+∞=−+ +∞→+∞→ nn nn ; Học sinh B: ( )nn n −+ +∞→ 1lim 2 = 00111lim =⋅∞=       −+ +∞→ n n n ; Học sinh C : ( )nn n −+ +∞→ 1lim 2 = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0lim1lim1lim 22 =∞−+∞+=−++=−++ +∞→+∞→+∞→ nnnn nnn . c) Khó khăn sai lầm liên quan đến thao tác tư duy Học sinh hay sai lầm khi nghiễm nhiên áp dụng một công thức, một khái niệm cho trường hợp suy biến. Trong lịch sử điển hình về sai lầm khi vận dụng phép tương tự: Ví dụ 31: Tính tổng: S = 1- 1 + 1 – 1 + ... Cách 1: S = (1 - 1) + (1 - 1) + … = 0 Cách 2: S = 1 – (-1 + 1) – (1 - 1) + … = 1 Cách 3 : S = - 1 + 1 – 1 + 1 - 1... = -1 + (1 -1) + (1 -1) + ... = -1 Cách 4: Nhà Toán học Gơviđơ - Gơzanđi người Italia nêu ra cách tính tổng như sau : S = 1 - 1 + 1 – 1 + ... ⇒ S – 1 = -1 + 1 – 1 + ... ⇒ - S = S - 1⇒ S = 1 2 . Với ba cách giải đầu đã áp dụng tính chất kết hợp của tổng hữu hạn các số hạng cho tổng vô hạn của các số hạng. Một tổng hữu hạn các số hạng không phụ thuộc vào thứ tự các số hạng. Với ba cách giải đầu đã áp dụng tính chất kết hợp của tổng hữu hạn các số hạng cho tổng vô hạn của các số hạng. Một tổng hữu hạn các số hạng không phụ thuộc vào thứ tự các số hạng. 2.2.4.2. Khó khăn sai lầm về kĩ năng, bao gồm: 84 Hiện nay ở trường THPT, nhìn chung tính tích cực, sánh tạo, của học sinh còn yếu. Học sinh ở các trường chuyên lớp chọn còn có ý thức tự học tự độc lập suy nghĩ để sáng tạo tự tìm tòi lời giải cho các bài toán, tự mình giải quyết các nhiệm vụ học tập, còn đại đa số học sinh thì ỷ lại thầy cô, sách giải bài tập, thiếu tính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác các định lý dạng bài tập cơ bản, dẫn đến học tập một cách máy móc, rập khuôn, không phát huy kỹ năng sáng tạo và không rèn được kỹ năng kỹ xảo giải bài toán cho nên khi giải toán thừơng gặp các khó khăn sai lầm . a) Khó khăn sai lầm khi vận dụng: định nghĩa, định lý, công thức Ví dụ 32: Tính 1 1lim 1 − → xx (?) : Học sinh cho ngay kết quả : 1 1lim 1 − → xx = ∞ (!) : Nhưng đúng ra kết quả này không tồn tại mà lúc này ta phải phân biệt ra: 1 1lim 1 − −→ xx = - ∞ và 1 1lim 1 − +→ xx = + ∞ , vậy 1 1lim 1 − → xx không tồn tại. Ở ví dụ này thì ta thấy: + Điểm a = 1 là điểm “giáp ranh’’ cho nên khi x→ −1 tức là các dãy (xn – 1) mang giá trị âm; còn khi x → +1 tức là các dãy ( xn -1) mang giá trị dương + Điểm a ≠ 1 các dãy xn →a, (a ≠ 1) thì ta thấy rằng dù cho x →a+ hay x →a- thì các dãy (xn -1) không đổi dấu. Ví dụ 33 : Tính +∞→n lim 2 ...21 2 + +++ n n (?) : +∞→n lim 2 ...21 2 + +++ n n = 2 lim... 2 2lim 2 1lim 222 + ++ + + + +∞→+∞→+∞→ n n nn nnn = 0+0+... +0 = 0 (!) : Các định lý về phép toán Giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng. Trong lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫn đến sai lầm. Lời giải đúng là: Ta có: 1+2+….+n = ( ) 2 1+nn do đó : 85 +∞→n lim 2 ...21 2 + +++ n n = +∞→n lim ( )( )22 1 2 + + n nn = +∞→n lim 42 2 2 + + n nn = +∞→n lim 2 42 11 n n + + = 2 1 (!) : Nhận xét: Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn 0 (tức là các phép toán giới hạn tổng, hiệu, tích , thương chỉ phát biểu và được sử dụng cho hữu hạn các số hạng ). Vì vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa và phép biến đổi phân tích để tính toán các tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0. Ví dụ 34 : Tính +∞→n lim ( ) n n12 −+ (?) : Không tồn tại Giới hạn vì dãy số đang xét có: u1 = 1 , u2 = 2 3 , u3 = 3 1 , … không tăng cũng không giảm. (!) : Lời giải đưa ra không đúng, vì định lý về dãy đơn điệu bị chặn thì có giới hạn chỉ là nêu lên điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần để dãy số có giới hạn. Mặt khác cũng cần lưu ý rằng: Những số hạng đầu tiên của dãy số không ảnh hưởng tới sự tồn tại giới hạn của dãy số. Chẳng hạn, kể từ số hạng thứ 200710 dãy số bắt đầu tiến và bị chặn trên thì dãy số vẫn có giới hạn, còn các số hạng từ ( 200710 -1) trở về trước không cần quan tâm. Sự quan tâm tới những số hạng đầu tiên của dãy chỉ giúp cho sự phán đoán mà thôi, lời giải đúng như sau: Vì ( ) ( )*3120 Nn nn n ∈∀≤−+≤ và nn 3lim +∞→ = 0 nên +∞→n lim ( ) n n12 −+ = 0. Ví dụ 35: Tính ( ) 1 1lim 2 + − +∞→ n n n (?): Học sinh đã áp dụng sai, nhầm lẫn tính chất: Nếu +∞→n lim un= L và +∞→n lim vn= ∞± thì 0lim = +∞→ n n n v u Tức: Với un = (-1)n , vn = 12 +n thì ( ) 0 1 1lim 2 = + − +∞→ n n n . (!) : Kết quả thì vẫn đúng nhưng nhầm lẫn ở đây là +∞→n lim (-1)n không có giới hạn, do un = (-1)n là dãy bị chặn nhưng không có giới hạn. 86 Vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa hai đai lượng có cùng giới hạn đó là: ( ) nnnnnnn n 1 1 1 1 1 1 11 2 1 22222 ≤ + ≤ + −≤ + −≤ + −≤− do nn 2 1lim − +∞→ = nn 1lim +∞→ = 0 nên ( ) 1 1lim 2 + − +∞→ n n n = 0. Khái niệm giới hạn của hàm số là một khái niệm khó hiểu đối với học sinh (thậm chí đối với cả giáo viên), khi dạy khái niệm giới hạn giáo viên không quan tâm tới giải thích tập xác định của hàm số có vai trò trong tính giới hạn như thế nào? Ví dụ 36: Tính ( )2 x 1 lim 1 x x 1 → − + − Có học sinh lập luận: Ta có 2 x 1 lim 1 x 0 → − = và x 1 lim x 1 0 → − = . Vậy theo định lí về giới hạn của tổng hai hàm số thì: ( ) → − + −2 x 1 lim 1 x x 1 = 0. Thực ra nhưng hàm số f(x) = 21 x x 1− + − không có giới hạn tại x = 1 bởi lẽ biểu thức 21 x x 1− + − chỉ có nghĩa duy nhất tại điểm x = 1 nên tập xác định của f(x) là K={ }1 . Do đó không thể định nghĩa x 1 limf(x) → được, vì không thể lấy bất kì dãy { }nx nào với nx K∈ , nx 1≠ mà { }nx dần tới 1 được. Học sinh áp dụng định lí nhưng không hiểu rõ phạm vi áp dụng của định lí. Ví dụ 37: Tìm giới hạn I = ( ) n n 11 2 lim sin sin ... sin n n n n→∞  − ΠΠ Π + + +     (?): Ta có n sin nlim 0 n→∞ Π = , ..., n 2 sin nlim 0, ..., n→∞ Π = ( ) n n 1 sin nlim 0 n→∞ − Π = . Nên I = 0 + 0 + ...+ 0 = 0 87 (!): Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát biểu cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh đã áp dụng cho tổng vô hạn. Lời giải đúng là: Đặt ( ) n n 11 2 A sin sin ... sin n n n n  − ΠΠ Π = + + +     , ta có: 2nAnsin 2n Π = ( )n 12 2sin sin 2sin .sin ... 2sin .sin 2n n 2n n 2n n  − ΠΠ Π Π Π Π + + +    = ( ) ( )2n 3 2n 13 3 5 cos cos cos cos ... cos cos 2n 2n 2n 2n 2n 2n  − Π − ΠΠ Π Π Π    − + − + + −           = 2sin ( )− Πn 1 2n Nên ( ) ( ) n n n n n 1 2sin n 12 2 22n 2nA limA lim . .sin .1.sin 2n 2 2n.sin sin 2n 2n →∞ →∞ − Π Π − Π Π = ⇒ = = =Π ΠΠ Π Π , chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh. Nhiều ví dụ khác xung quanh chủ đề giới hạn, xét tính liên tục, khả vi của hàm số cho bởi nhiều công thức, tập xác định chia thành nhiều khoảng, Ví dụ 38 : Tìm giới của hàm số f(x) = g(x) khi x a h(x) khi a x b (x) khi x b ≤  < < ϕ ≥ Rất nhiều học sinh suy nghĩ rằng do ( ]∈ −∞x ; a do đó x a limg(x) g(a) → = . Thực ra lời giải đúng phải xét giới hạn bên phải, bên trái tại x = a. b) Khó khăn sai lầm về kĩ năng biến đổi Ví dụ 39 : Tìm 1 1lim 2 1 − − → x x x (?) : Học sinh giải : 88 1 12 − − x x = x+1⇒ 1 1lim 2 1 − − → x x x = ( )1lim 1 + → x x = 2, kết quả trên là đúng nhưng thật sai lầm khi biến đổi đồng nhất 1 12 − − x x = x+1 dấu bằng không thể xảy ra, vì chúng có tập xác định hoàn toàn khác nhau (!) : Ta hiểu bản chất là chọn dãy xn →1, xn ≠ 1 ( )*, Nn ∈∀ ⇒ 11 2 − − n n x x = xn+1 Khi đó 1 1lim 2 1 − − → x x x = ( )1lim 1 + → x x = 2. Ví dụ 40 : Tìm 1116 32lim 2 2 +++ +++ ∞→ xx xxx x (?) : Học sinh biến đổi là: 1116 32lim 2 2 +++ +++ ∞→ xx xxx x =         +++         +++ ∞→ xx x xx x x 11116 3211 lim 2 2 = xx xx x 11116 3211 lim 2 2 +++ +++ ∞→ = 5 4 (!) : Thực ra ở đây học sinh thường hay nhầm lẫn khi đưa biểu thức ra khỏi dấu căn dạng xx =2 , kết quả trên chỉ đúng khi x →+ ∞ nên phải biến đổi, Ta có : 22 2112 xx xxx ++=++ và 22 116116 x xx +=+ khi đó 1116 32lim 2 2 +++ +++ ∞→ xx xxx x =         +++         +++ ∞→ xx x x x x x xx x x 1116 3211 lim 2 2 =             − = −−+ −++ = +++ +++ −∞→ +∞→ 3 2 11116 3211 lim 5 4 11116 3211 lim 2 2 2 2 xx xx xx xx x x Một sai lầm mà học sinh hay mắc phải là khi đã định hướng phân chia ra hai trường hợp x +∞→ và x −∞→ rồi nhưng khi biến đổi chỉ xét có một trong hai trường hợp thường là với x +∞→ ra đến kết quả, lấy kết quả này thay đổi dấu và kết luận là của trường hợp x −∞→ , nhưng qua ví dụ này kết quả lại 89 không như vậy. Mặt khác nếu không dùng kí hiệu dạng chung chung ∞ mà phân ra hai loại rõ ràng x +∞→ hoặc x −∞→ thì chắc chắn học sinh sẽ đỡ gặp những khó khăn sai lầm như trên. c) Khó khăn sai lầm về định hướng kĩ năng tính toán Ví dụ 41: Tính nnn nn n −−+ −−+ +∞→ 14 1214lim 2 2 (?): Thực hiện: nnn nn n −−+ −−+ +∞→ 14 1214lim 2 2 =         −−+         −−+ +∞→ 1141 1214 lim 2 2 nn n nn n n =         −−+         −−+ +∞→ 1141 1214 lim 2 2 nn nn n đến đây gặp dạng vô định 0 0 và học sinh tính toán tiếp để khử dạng vô định này bằng cách cùng nhân và chia cả tử và mẫu với cặp biểu thức liên hợp có dạng phân thức và sẽ rất phức tạp, khó khăn trong tính toán, khi đó dễ gì đi đến kết quả đúng. (!) : Khi tìm giới hạn, một số học sinh không có thói quen định hướng và xác định dạng, trước khi biến đổi tính toán đại số, nếu ngay từ đầu xác định được khi n → ∞+ thì tử số và mẫu số đều có dạng vô định (∞ -∞ ) thì ta phải khử dạng vô định này trước, cụ thể: Tính : nnn nn n −−+ −−+ +∞→ 14 1214lim 2 2 = ( )[ ] ( )[ ] [ ][ ] ( ) 211214 1141 14 4lim 1214 14 14 1214lim 2 2 2 2 2 2 22 22 −=         +++         +++ ×       + − = +++ +++ × −++ +−+ +∞→+∞→ nn nn n n n nn nnn nnn nn nn Khi tìm giới hạn, một số học sinh không có thói quen xác định đúng dạng thuộc lọai vô định nào trước khi định hướng biến đổi tính toán đại số, do đó xem các dạng: (-∞ ) + (- ∞ ), (+∞ ) + (+∞ ), (+∞ ) - (-∞ ), (-∞ ) - (+∞ ) đều thuộc dạng vô định là (∞ ) - (∞ ), nên hay áp dụng các kỷ thuật tính toán khử dạng vô định này để giải. Đôi khi việc áp dụng cho phép tính được kết quả giới hạn, nhưng đa số các trường hợp khác chỉ dẫn tới các dạng vô định loại 90 khác nữa, chẳng hạn: Ví dụ 42: Tìm −∞→x lim (x2 – x) = −∞→x lim xx xx + − 2 24 = −∞→x lim 32 2 11 11 xx x + − = + ∞ ; Ví dụ 43 : Tìm ( )xx x −+ −∞→ 1lim 2 nếu cứ thực hiện biến đổi ( ) 111 1 lim 111 1lim 1 1lim1 22 2 2 ++− =         −+− = ++ =−+ −∞→−∞→−∞→ x x x x xx xx xxx (dạng 0 0 ) Nên đối với những dạng đó nếu hiểu được bản chất và kết hợp với các bảng kết quả phép toán vô cực đã lập (ở mục 2.1.4.3.e ) thì sẽ có ngay đáp số: Ví dụ 42 : −∞→x lim (x2 – x) = −∞→x lim x2 - −∞→x lim x = +∞ Ví dụ 43 : ( )xx x −+ −∞→ 1lim 2 = −∞→x lim ( )−+12x −∞→x lim x = + ∞ Hoặc có thể xét như sau, cụ thể: Ví dụ 42 : −∞→x lim (x2 – x) = −∞→x lim +∞=      − x x 112 Ví dụ 43 : ( )xx x −+ −∞→ 1lim 2 = −∞→x lim +∞=       ++−=        −+ −∞→ 111lim11 2 x x x x x x x 91 2.3. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 Chương 2 của luận văn làm sáng tỏ thực trạng về dạy học chủ đề các khái niệm giới hạn bằng việc mô tả những khó khăn, sai lầm của học sinh khi giải Toán về chủ đề này mà nguyên nhân chủ yếu của những khó khăn, sai lầm là những chướng ngại về nhận thức khi học các khái niệm giới hạn. Đặc biệt trong việc mở rộng khái niệm giới hạn của dãy và hàm số sẽ kéo theo một số vấn đề khi dạy học về các khái niệm này . Chương 2 này cũng phần nào làm sáng tỏ nhận định các quan điểm giải tích từ đó đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được những cách tiếp cận khái niệm chủ đề giới hạn để thiết kế cách thức, ví dụ minh hoạ dạy học khái niệm và bài tập về chủ đề giới hạn theo hướng phát huy TTCNT của học sinh. Điều này cho thấy phương pháp dạy học này huy động được học sinh tham gia vào quá trình nhận thức. Nếu được rèn luyện bởi phương pháp dạy học phát huy TTCNT của học sinh thì bản thân các em dần dần có những phẩm chất và năng lực thích ứng với thời đại. Ý thức được mục đích việc học, tự nguyện tự giác học tập có ý thức và trách nhiệm cao trong học tập, biết học mọi lúc, mọi nơi, tiến tới biết tự học, tự đánh giá. Phương pháp dạy học phát huy TTCNT học sinh không phải là một phương pháp riêng lẽ mà là một hệ thống các phương pháp tác động liên tục của giáo viên nhằm phát huy TTCNT của học sinh, tư duy độc lập, bao gồm cả trong đó những pha đầu tiên của phương pháp dạy học sáng tạo, để có được phong cách học tập có hiệu quả đòi hỏi học sinh phải thực sự tự giác, chủ động có ý thức học tập cao . 92 Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của việc dạy học chủ đề khái niệm Giới hạn lớp 11- THPT theo hướng phát huy TTCNT của học sinh ; kiểm nghiệm tính đúng đắn của Giả thuyết khoa học. 3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.2.1. Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Nguyễn Công Trứ, Nghi xuân, Hà tĩnh. Lớp thực nghiệm: 11A có 51 học sinh, giáo viên dạy Đào Thị Thu Hà ; Lớp đối chứng : 11B có 57 học sinh , giáo viên dạy Phan Thị Hằng. Với chất lượng khảo sát đầu năm của hai lớp là tương đối đều nhau. Thời gian thực nghiệm sư phạm được tiến hành trong 3 tháng theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo ở bộ sách Giải tích- Đại số lớp 11, với nội dung chủ đề Giới hạn. Tác giả chọn một số chủ đề dạy thực nhiệm : + Giới hạn dãy số ; + Luyện tập về bài tập Giới hạn của hàm số. Với sự phong phú của bài tập nội dung chủ đề này nên một số bài tập dạng củng cố, nâng cao, khắc sâu được giảng dạy cho học sinh trong các tiết học tự chọn ngoại khóa, phụ đạo bồi dưỡng. 3.2.2 . Nội dung thực nghiệm 93 Tổ chức thực hiện dạy học Chương Giới hạn *) Tại lớp thực nghiệm + ) Giáo viên thực hành theo tiến trình dạy học theo hướng phát huy TTTNT của học sinh. +) Quan sát hoạt động học tập của học sinh, đánh giá trên hai mặt định tính và định lượng để nhận định kết quả về TTCNT của học sinh. *) Tại lớp đối chứng +) Giáo viên vẫn dạy học bình thường không tiến hành như đối với lớp thực nghiệm và quan sát điều tra kết quả học tập của học sinh ở lớp đối chứng. Thực nghiệm được tiến hành trong 19 tiết Chương Giới hạn . Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm cùng một đề đối với bài kiểm tra 1 tiết. Cụ thể nội dung bài kiểm tra là: Đề kiểm tra (45 phút ) : Câu 1: Tìm các số hạng của dãy un = 9+n n sao cho khoảng cách của chúng đến số 1 là : a) nhỏ hơn 1 ; b) nhỏ hơn 910 1 Câu 2: Hãy cho biết dãy số nào có giới hạn ? Nếu dãy số có giới hạn chỉ ra giới hạn của dãy số ? Kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì nz nhỏ hơn 0,00001 ? a ) un = (-1)nn ; b) vn = (-1)n ; c) wn = n ; d) zn = ( ) n n1− . Câu 3 : Cho ba hàm số: ( )xf = 2 23 1 x xx −+ ; ( )xg = x xx 12 −− ; = x x 12 −− Các đường cong C1, C2, C3( h.1,2,3) là đồ thị của ba hàm số này, xét trên tập R\{ }0 , (không xếp theo thứ tự). a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét dự đoán giới hạn của các hàm số khi x → 0+, x → 0 - , x → - ∞ , x → +∞ ? b) Chỉ dùng kết quả tính giới hạn của hàm số ( )xf , ( )xg , khi: x →0 - , x →0+, x→ -∞ , x →+∞ từ đó hãy xác định đường cong nào là đồ thị của hàm số đã cho ? ( )xh ( )xh 94 (Hình 1 ) ( Hình 2) ( Hình 3 ) * Dụng ý sư phạm của đề kiểm tra (45 phút) : Câu 1: Cũng nhằm kiểm tra học sinh có nắm được bản chất khái niệm dãy số có giới hạn L ≠ 0 qua vận dụng định nghĩa, bằng cách chỉ ra cụ thể tương ứng với từng số dương (ở đây ngầm hiểu là số ε ) tương ứng cụ thể; Câu 2: Kiểm tra học sinh nắm vững khái niệm định nghĩa dãy có giới hạn, không phải mọi dãy số đều là hoặc có giới hạn hữu hạn ( L≠ 0 ) hoặc có giới hạn vô cực ( ∞± ), nếu dãy số nào có giới hạn hãy chỉ ra giới hạn của dãy số bằng cách vận dụng định nghĩa và áp dụng với dãy số nz nhỏ hơn 0,00001; Câu 3 : Nhằm kiểm tra học sinh bằng nhận định trực quan dựa vào đồ thị nêu nhận xét dự đoán giới hạn của các hàm số, rồi từ đó xác định được đồ thị nào là của hàm số tương ứng . 3.3. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 3.3.1. Đánh giá định tính Chủ đề khái niệm giới hạn của hàm số là một nội dung khó trong chương trình toán THPT. Thông qua quá trình thực nghiệm, kiểm tra chất lượng trả lời câu hỏi, cũng như, bài kiểm tra của học sinh, có thể rút ra một số nhận xét sau: a) Đối với lớp dạy thực nghiệm Nhìn chung trong lớp các em tích cực hoạt động, lớp học sôi nổi không khí thoãi mái giờ học đã phát huy được TTCNT , tính độc lập sáng tạo vì phương pháp dạy học này huy động được học sinh tham gia vào quá trình nhận thức phù hợp với trình độ tiếp thu của học sinh. Nhưng cũng có mặt hạn chế là một số xx x 0 00 y yy 95 học sinh trong lớp còn quá bở ngỡ , qua tìm hiểu thực trạng học tập của các em còn yếu và thực tế các em chưa thực sự ý thức tham gia vào hoạt động học tập một cách tích cực. Như vậy với hình thức dạy học này sẽ phù hợp hơn với tất cả các đối tượng học sinh nếu như trong lớp học sinh chất lượng tương đương nhau. b) Đối với lớp học đối chứng Hoạt động học tập của học sinh còn ít, chủ yếu tiếp thu kiến thức một cách thụ động nên khi mở rộng hay làm bài tập tổng hợp hay nâng cao đòi hỏi phải tư duy thì các em chưa tự mình phát hiện, phát huy tính độc lập sáng tạo mặc dù các kiến thức cơ bản đó các em nắm được đây là đIểm khác biệt của lớp đối chứng so với lớp được dạy thực nghiệm . Vậy thực tế cho thấy học sinh ở lớp được dạy thực nghiệm đã phát huy được tính tích cực độc lập sáng tạo có khả năng tiếp thu kiến thức mới một cách chủ động hơn nhiều so với lớp đối chứng . 3.3.2. Đánh giá định lượng Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh 11A lớp thực nghiệm (TN) và học sinh 11B lớp đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua 2 Bảng thống kê sau đây; Bảng 1 Lớp TN: Số học sinh và (tỷ lệ%) ĐC: Số học sinh và (tỷ lệ%) Điểm 0 0 (0%) 0 (0%) 1 0 (0%) 0 (0%) 2 2 (3,9%) 0 (0%) 3 0 (0%) 3 (5,3%) 4 6 (11,8%) 13(22,8% ) 5 7 (13,7%) 7 (12,3%) 6 7 (13,7%) 17 (29,8%) 7 10 (19,6%) 9 (15,8%) 8 9 (17,6%) 4(7%) 96 9 9 (17,6%) 4 (7%) 10 1 (2%) 0 (0%) Lớp TN ĐC Trung bình 6,6 điểm 5,8 điểm Tỷ lệ đạt yêu cầu 84,3% 71,9% Tỷ lệ điểm kém 15,7% 28,1% Tỷ lệ điểm trung bình 27,4% 42,1% Tỷ lệ điểm khá 37,2% 28,8% Tỷ lệ điểm giỏi 19,6% 7% Bảng 1 cho thấy: điểm trung bình cộng; tỷ lệ đạt yêu cầu; tỷ lệ đạt điểm khá, giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. Câu hỏi đặt ra là: Có phải phương pháp dạy ở lớp thực nghiệm tốt hơn phương pháp dạy ở lớp đối chứng không, hay chỉ do ngẫu nhiên mà có ? Chúng ta đề ra Giả thuyết thống kê H0: “Không có sự khác nhau giữa hai phương pháp” và sử dụng Phương pháp U[23, tr. 58] nhằm bác bỏ H0 (xem bảng) Bảng 2 Điểm số Xếp hạng TN ĐC TN ĐC 2 2 1,5 1,5 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 36,5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 55,5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 77 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 93 97 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 106 10 113 n1 = 51 n2 = 57 R1 = 3411 R2 = 2696 2 )1n(nRU 1111 + −= = 3411 - 2 5251× = 3411 – 1326 = 2085 2 )1n(nRU 2222 + −= = 2696 - 2 5857 × = 2696 – 1653 = 1043 2 nn 21 × =µ = 2 5751× = 1453,5 ; 12 )1nn(nn 2121 ++ =σ = 161 u = σ µ−1U = 2318 1350 153,7 − = 3,92 Với mức ý nghĩa α = 0,05 thì giá trị tới hạn αU = 1,64. Vì u = 3,92 > 1,64 = αU nên Giả thuyết H0 bị bác bỏ. Vậy phương pháp dạy ở lớp thực nghiệm tốt hơn so với phương pháp dạy ở lớp đối chứng. 3.4. KẾT LUẬN CHUNG VỀ THỰC NGHIỆM Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho thấy: mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi và hiệu quả của các quan điểm đã được khẳng định. Thực hiện các phương thức đó sẽ góp phần phát huy TTCNT của học sinh, đồng thời góp phần quan trọng vào việc nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THPT. 98 KẾT LUẬN Luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây: 1. Đã hệ thống hóa các quan điểm của nhiều nhà khoa học về cách phát huy TTTCN của học sinh trong dạy học nói chung, cũng như trong dạy học đặc thù của bộ môn Toán nói riêng ; 2. Luận văn làm sáng tỏ nhận định các quan điểm giải tích từ đó đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được những cách tiếp cận chủ đề khái niệm giới hạn ; 3. Đã đề xuất được xu hướng dạy học phù hợp với việc tập luyện cho học sinh phát huy được TTCNT cụ thể là xây dựng được năm phương thức sư phạm thông qua dạy học chủ đề các khái niệm giới hạn của giải tích ở bậc THPT; 4. Đã phần nào làm sáng tỏ thực trạng về dạy học chủ đề các khái niệm giới hạn bằng việc mô tả những khó khăn, sai lầm của học sinh khi giải Toán về chủ đề này mà nguyên nhân chủ yếu của những khó khăn, sai lầm này là sự chướng ngại về nhận thức khi học các khái niệm giới hạn. Đặc biệt trong việc mở rộng khái niệm giới hạn của dãy và hàm số sẽ kéo theo một số vấn đề cần quan tâm khi dạy học về các khái niệm này ; 5. Thiết kế cách thức, ví dụ minh hoạ dạy học theo hướng nhằm phát huy TTCNT của học sinh thông qua dạy học khái niệm và dạy học bài tập về chủ đề giới hạn; 6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của những giải pháp phương thức đã đề xuất xây dựng; Như vậy, có thể khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, Nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành và Giả thuyết khoa học là chấp nhận được. 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Quang Anh, (1995) Giới hạn dãy số, Nxb Đồng Nai. [2] Nguyễn Ngọc Bảo, (1995) Phát triển tính tích cực, tính tự lực của học sinh trong quá trình dạy học, Nxb Giáo dục. [3] Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thành Quang, (1996) Sai lầm phổ biến khi giải toán, Nxb Giáo dục. [4] Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, (1996) Bộ sách Đại số và Giải tích 11, Nxb Giáo dục. [5] Phan Đức Chính, Ngô Hữu Dũng, Hàn Liên Hải, Trần Văn Hạo, (1995) Bộ sách Đại số và Giải tích 11 Ban TN, Nxb Giáo dục. [6] Phan Đức Chính, Trần Văn Hạo, Ngô Xuân Sơn, (1996) Bộ sách Đại số và Giải tích 11 Ban KHTN, Nxb Giáo dục. [7] Vũ Cao Đàm, (2005) Phương pháp luận nghiên cứu khoa học, Nxb- KHKT. [8] Võ Giang Giai, Nguyễn Ngọc Thu, (2006) Một số bài toán về dãy số các đề thi OLYMPIC 30-4, Nxb ĐHQG HN. [9] Trần Văn Hạo (Chủ biên phần I), Cam Duy Lễ Ngô Thúc Lanh (Chủ biên phần II) Ngô Xuân Sơn, Vũ Tuấn, (2000) Bộ sách Đại số và Giải tích11 (Sách chỉnh lý hợp nhất 2000), Nxb Giáo dục. [10] Trần Văn Hạo, cùng cộng sự, (2004) Bộ 2, bộ sách Đại số và Giải tích 11, Nxb Giáo dục. [11] Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình, (1981) 100 Giáo dục học môn toán , Nxb Giáo dục, Hà Nội. [12] Trần Bá Hoành cùng, cộng sự, (2002) Áp dụng dạy và học tích cực trong môn toán, Nxb ĐHSP. [13] Nguyễn Thái Hòe, (1989) Tìm tòi lời giải các bài toán và ứng dụng vào việc dạy toán, học toán, Nxb Giáo dục. [14] Nguyễn Phụ Hy, (2003) Ứng dụng giới hạn để giải toán THPT, Nxb Giáo dục. [15] Phan Huy Khải, (1998) Toán nâng cao Đại số và Giải tích lớp 11, Nxb ĐH QG Hà Nội. [16] Phan Huy Khải, (2001) Giới thiệu các dạng toán luyện thi đại học (tập III), Nxb Hà Nội. [17] Phan Huy Khải, (2000) Toán bồi dưỡng học sinh THPT, Nxb Hà nội. [18] Kharlamop I. F, (1987) Phát huy tính tích cực của học sinh như thế nào? (tập I), Nxb Giáo dục. [19] Kharlamop I. F, (1987) Phát huy tính tích cực của học sinh như thế nào? (tập II), Nxb Giáo dục. [20] Nguyễn Bá Kim, (1999) Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, Nxb Giáo dục. [21] Nguyễn Bá Kim, (2006) Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Giáo dục. [22] Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, (1997) Phương pháp dạy học Môn Toán, Nxb Giáo dục. [23] Nguyễn Bá Kim,Vũ Dương Thụy, Phạm Văn Kiều, (1997) Phát triển lý luận dạy học môn Toán ( tập 1)-NCKHGD, Nxb Giáo dục. [24] Ngô Thúc Lanh, cùng cộng sự, (1992) Bộ sách Đại số và Giải tích 11 , Nxb Giáo dục. 101 [25] Ngô Thúc Lanh, (1997) Tìm hiểu giải tích phổ thông, Nxb Giáo dục. [26] Lê Quang Long, (1999) Thử đi tìm những PPDH hiệu quả, Nxb Giáo dục. [27] Nguyễn Văn Mậu, (2001) Giới hạn dãy số và hàm số, Nxb Giáo dục. [28] Trần Thành Minh, (2000) Giải toán Đại số và Giải tích lớp 11, Nxb Giáo dục. [29] Bùi Văn Nghị, cùng cộng sự, (2005) Tài liệu BD TX cho giáo viên THPT chu kỳ III, Viện nghiên cứu SP. [30] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định, Lê Văn Hạp, Nguyễn Hoàng, (1998) Toán cao cấp Giải tích-hàm một biến(tập hai), Nxb Giáo dục, Hà Nội. [31] Phạm Quốc Phong, (2004) Chuyên đề nâng cao toán THPT Đại số và Giải tích, Nxb ĐH QG. [32] Nguyễn Lan Phương, (2000) Cải tiến phương pháp dạy học toán với yêu cầu tích cực hóa hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua phần giảng dạy ''quan hệ vuông góc trong không gian'' lớp 11 THPT. Luận án tiến sĩ . [33] Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn, (2004) Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, Nxb Hà Nội . [34] Polia.G, (1997) Giải bài toán như thế nào?, Nxb Giáo dục. [35] Polia.G, (1995) Sáng tạo toán học, Nxb Giáo dục. [36] Polia.G, (1995) Toán học và những suy luận có lý, Nxb Giáo dục. [37] Đoàn Quỳnh, cùng cộng sự, (2004) Bộ 1, bộ sách Đại số và Giải tích 11, Nxb Giáo dục. 102 [38] Đoàn Quỳnh, cùng cộng sự, (2006) Tài liệu bồi dưỡng –giáo viên- môn Toán, Nxb Giáo dục. [39] Trần Quyết Thắng, cùng cộng sự, (1995) Kỷ yếu hội nghị chuyên đề đổi mới phương pháp DH môn toán ở PT,Vinh. [40] Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, (1995) Phương pháp giải toán Đại số và Giải tích lớp 11, Nxb Giáo dục. [41] Đặng Thị Dạ Thủy, (1999) Phát huy tính tích cực của học sinh trong làm việc với SGK - NC GD. [42] Lê Văn Tiến, (2000) Một số quan điểm khác nhau về giảng dạy giải tích ở trường phổ thông, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, số 338 và số 339. [43] Nguyễn Cảnh Toàn, (2006) Nên học toán thế nào cho tốt? , Nxb Giáo dục. [44] Trần Thúc Trình, (1998) Cơ sở lý luận dạy học nâng cao, Nxb Hà Nội. [45] Thái Duy Tuyên, ( 2001) Giáo dục học hiện đại, Nxb ĐH QG. 103