Luận văn Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ, logarit cho học sinh THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm

giỏi sẽ nhận thêm những bài tập khác để đào sâu và nâng cao kiến thức. 2.2.3. Tổ chức cho HS phát hiện và nhận dạng quy tắc thuật giải, tựa thuật giải Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải. Từ đó, người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải. Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó. Tuy nhiên trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số quy tắc chưa mang đủ đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ rõ hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán. Đó là những quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó. Trong các tình huống dạy học thì dạy học giải phương trình là tình huống rất tốt để phát triển tư duy thuật giải cho HS. Trong quá trình dạy học giải phương trình, có những dạng phương trình đã có thuật giải, nhưng đa số phương trình chúng ta gặp đều chưa có ngay thuật giải. Để giải những phương trình dạng này, chúng ta phải biến đổi đưa về phương trình đã có thuật giải. Quá trình này có thể thực hiện bằng cách hướng dẫn HS tìm tòi, suy nghĩ và hướng đến xây dựng thuật giải cho bài toán nếu có thể. Theo A.N.Kolmogrov: “Trong mọi trường hợp có thể được, việc đi tìm các Algorit giải là một mục đích thực sự của Toán học”. Algorit thường được hiểu là bản ghi chính xác, tường minh tập hợp những thao tác sơ đẳng, đơn trị Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 44 theo một trình tự nhất định (tùy mỗi trường hợp cụ thể) để giải quyết bất kì vấn đề nào thuộc cùng một loại hay kiểu. Xuất phát từ vai trò của tư duy thuật giải trong giải phương trình nói chung, chúng tôi đưa ra quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải bao gồm các bước: Bước 1: Tập luyện cho HS thói quen phân tích bài toán, nhận dạng phương trình. Nếu phương trình đã có thuật giải thì HS tiến hành theo thuật giải. Nếu không, chuyển sang bước 2. Bước 2: Rèn luyện cho HS biến đổi phương trình về dạng quen thuộc. Trong bước này, GV cần gợi động cơ, hướng đích, lôi cuốn người học tích cực tìm tòi những phương pháp biến đổi phương trình về dạng quen thuộc. Đây là khâu quan trọng và cũng là khâu khó khăn nhất trong hoạt động giải phương trình. GV cần hướng dẫn người học huy động kiến thức tổng hợp để tìm phương pháp biến đổi thích hợp. Bước 3: Cho HS tiến hành giải phương trình nhận được. Sau khi đã biến đổi phương trình về dạng quen thuộc, HS vạch ra chương trình giải và thực hiện chương trình đó. Bài giải phải đảm bảo yêu cầu: Lời giải không chứa sai lầm (về kiến thức toán học, phương pháp suy luận, kỹ năng tính toán, ký hiệu và ngôn ngữ diễn đạt); từng bước biến đổi phải có cơ sở lý luận chính xác. Bước 4: Kiểm tra lời giải, kết quả. Giải phương trình là hoạt động toán học tổng hợp. Trong quá trình tìm tòi lời giải và trình bày HS có thể mắc sai lầm. Do đó, GV cần phải kiểm tra và lường trước để chỉ ra những sai lầm HS thường mắc phải, đồng thời phân tích để tìm ra nguyên nhân sai lầm và biện pháp khắc phục. Bước 5: Rèn luyện cho HS khả năng nghiên cứu lời giải. Nghiên cứu – khai thác – phân tích và tìm tòi lời giải khoa học sẽ giúp HS có thói quen tập dượt nghiên cứu khoa học, nắm được bản chất vấn đề trong giải toán. Hoạt động này góp phần giúp HS phát hiện thuật giải tối ưu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 45 Bước 6: Hướng dẫn HS tìm các bài toán liên quan, mở rộng bài toán bằng cách khái quát hóa, tương tự hóa. Trong bước này, GV cần tập dượt cho HS các thao tác tương tự đơn giản, tìm ra những đặc điểm chung về hình thức, nội dung, phương pháp, từ đó xây dựng thuật giải cho dạng phương trình tổng quát. Trong khi dạy HS xây dựng thuật giải cụ thể cho một dạng phương trình nào đó, GV cần truyền cho HS những kinh nghiệm và nghệ thuật trong phương pháp suy nghĩ, giúp HS tự xây dựng được thuật giải trong những tình huống mới. Quá trình xây dựng một thuật giải cũng là quá trình giải một bài toán chưa có thuật giải. Chúng tôi đề xuất một số kỹ năng cần truyền thụ nhằm giúp HS tự phát hiện và xây dựng thuật giải, tựa thuật giải như sau: - Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc thù, dấu hiệu riêng biệt của bài toán. Từ đó, tìm ra thuật giải cho dạng phương trình. Ví dụ 2.8: Giải phương trình: x x 9 80 4. 9 80 3 Lần đầu tiên gặp phương trình này có lẽ ai cũng ái ngại vì cơ số phức tạp. Nhưng nếu ta xem xét kỹ hai cơ số thì thấy chúng có mối liên hệ đặc biệt: 9 80 . 9 80 1. Từ đặc điểm này, ta thấy có thể biểu diễn: x x 1 9 80 9 80 Đặt x t 9 80 , t 0. Phương trình trở thành: 24t 3 0 t 3t 4 0 t Giải phương trình ẩn t, tìm được t = 4 thỏa mãn điều kiện. Với t = 4, ta có: x 9 80 9 80 4 x log 4 Ta có thuật giải phương trình dạng: A.af(x) + B.bf(x) = C, (a.b = 1). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 46 Bước 1: Kiểm tra a.b = 1. Bước 2: Đặt f (x)t a , t 0 Bước 3: Giải phương trình B A.t C t hay 2A.t C.t B 0 Bước 4: Tìm nghiệm t0 thỏa mãn bước 2 Bước 5: Giải phương trình: f (x) 0 a t Bước 6: Kết luận. Ví dụ 2.9: Giải phương trình x x x 35 21 7. 5 21 2 Viết lại phương trình dưới dạng: x x x5 21 7. 5 21 8.2 Xem xét mối liên hệ đặc biệt giữa các cơ số của lũy thừa, ta thấy: 25 21 . 5 21 2 . Suy ra 5 21 2 2 5 21 Từ nhận xét trên, ta chia 2 vế của phương trình cho x2 , ta được: x x 5 21 5 21 7. 8 2 2 có 5 21 5 21 . 1 2 2 . Đây là phương trình dạng f (x) f (x)A.a B.b C với a.b = 1 đã có thuật giải. Ta có thuật giải phương trình dạng: f (x) f (x) f (x)A.a B.b C.c , ( 2a.b c ). Bước 1: Kiểm tra 2a.b c Bước 2: Chia 2 vế của phương trình cho f (x)c , phương trình trở thành: f (x) f (x) a b A. B. C c c , trong đó a b . 1 c c Bước 3: Đặt f (x) a t , t 0 c Bước 4: Giải phương trình B A.t C t hay 2A.t C.t B 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 47 Bước 5: Tìm nghiệm t0 thỏa mãn bước 2 Bước 6: Giải phương trình: f (x) 0 a t Bước 7: Kết luận. Như vậy, một số phương trình nếu xem xét kỹ để phát hiện ra những đặc điểm riêng biệt của chúng thì ta sẽ tìm được thuật giải. - Rèn luyện kỹ năng “Quy lạ về quen” Khi chữa bài tập, GV cần nhấn mạnh cho HS 2 vấn đề chính: Thứ 1: Hướng giải quyết bài toán. Thứ 2: Biến đổi như thế nào (dùng các công thức nào để biến đổi). Việc nêu ý tưởng cho lời giải cần phải mạch lạc, có đường lối rõ ràng để HS dễ nắm bắt. Qua đó, HS có thể làm được các bài tập tương tự và khó hơn, tránh tình trạng “Làm bài nào, biết bài ấy”, “Thấy cây mà chẳng thấy rừng”. GV cũng cần rèn luyện cho HS có thói quen xem xét một lời giải dưới nhiều góc độ, khai thác, tìm tòi cách này, cách kia để HS được luyện tập nhiều, khắc sâu kiến thức, tránh dập khuôn máy móc và còn để HS có thể liên hệ với những bài toán khó hơn. Làm được việc này là GV đã giúp cho HS “học một” mà “biết mười”. Việc làm này cần được thực hiện ngay cả với những bài toán cơ bản nhất để HS hiểu rằng các bài toán phức tạp cũng bắt đầu từ những bài toán hết sức đơn giản. Ví dụ 2.10: Giải phương trình 2x 4x 54 16 Lời giải đúng: Phương trình tương đương: 2 4 x 4x 5 log 16 2x 4x 5 2 2x 4x 3 0 x 1 x 3 Sau khi giải phương trình này, ta có nhận xét như sau: Nhận xét 1: Phương trình đã cho ở dạng cơ bản: f (x)a b a 0, a 1 nên ta có: a f (x) log b (với b 0). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 48 Nhận xét 2: Cũng có thể hiểu là: Ta đã lấy logarit cơ số 4 để được phương trình trên. Hơn nữa, việc lấy logarit cơ số a a 0, a 1 bất kì ta vẫn tìm được lời giải của bài toán. Cụ thể, phương trình tương đương: 2x 4x 5 a a log 4 log 16 2 a a x 4x 5 log 4 log 16 2 4 x 4x 5 log 16 Với nhận xét 2, ta có thể giải được lớp phương trình phức tạp hơn có dạng: f (x) g(x)a b 0 a 1, 0 b 1 bằng cách lấy logarit cơ số nào đó (thường lấy logarit cơ số a hoặc b). Chẳng hạn lấy logrit cơ số a, ta có: f (x) g(x) a a b f (x) g(x).log b . Nhận xét 3: Lớp phương trình có dạng f (x) g(x)k.a h.b cũng được làm tương tự. Trường hợp đặc biệt của dạng này là phương trình có dạng: f (x) f(x)k.a h.b , 0 a 1, 0 b 1; k,h  . Ta biến đổi về dạng cơ bản như sau: f (x) f (x) f(x) a hk.a h.b b k . Phần lớn các phương trình đều chưa ở dạng quen thuộc để có thể sử dụng ngay các thuật giải. Đối với các phương trình này, trong quá trình dạy học GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng huy động các thuật giải đã biết. Để đạt được mục đích này, có thể sử dụng phương pháp quen thuộc là xây dựng hệ thống bài toán gốc cho từng dạng phương trình. Thông qua việc phân tích, biến đổi, nhận ra một số đặc điểm đặc biệt của phương trình để đưa về bài toán gốc đã có thuật giải. Chúng tôi xin dẫn ra dưới đây một số bài toán gốc với phương pháp giải tương ứng có thể tham khảo: Bài toán 1: Phương trình có dạng: 2f (x) f (x) 1 2 3 .a .a 0 Bước 1: Đặt f (x)t a , t 0 Bước 2: Phương trình đã cho trở thành: 2 1 2 3 .t .t 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 49 Bước 3: Giải phương trình bậc 2, ẩn t (đã biết thuật giải). Giả sử tìm được t0 thỏa mãn bước 1. Bước 4: Giải phương trình f (x) 0 a 0 a t f (x) log t Bài toán 2: Phương trình có dạng: f (x)2f (x) 2f (x) 1 2 3 .a . ab .b 0 Bước 1: Chia 2 vế của phương trình cho 2f (x)b 0 (hoặc 2f (x)a , hoặc f (x) ab ). Ta được: 2f (x) f (x) 1 2 3 a a . . 0 b b Bước 2: Đặt f (x) a t , t 0 b . Ta được: 2 1 2 3 t t 0 Bước 3: Giải phương trình bậc 2, ẩn t. Giả sử tìm được t0 thỏa mãn bước 2. Bước 4: Giải phương trình f (x) 0 a 0 b a t f (x) log t b Bài toán 3: Phương trình có dạng f (u) f (v) Bước 1: Xét hàm số y f (x) . Dùng lập khẳng định hàm số đơn điệu. Bước 2: Khi đó: f (u) f (v) u v Ví dụ 2.11: Giải phương trình: 2 2 2 1 x 1 2x x x 1 1 2 2 2 x Trước hết, ta lấy điều kiện x 0 . Đây là phương trình chưa có thuật giải nhưng chúng ta có thể chuyển về phương trình quen thuộc đã biết cách giải bằng cách biến đổi: 2 2 2 2 2 1 2x 1 x x 2x 2 1 1 1 2 x 2 xx x x Từ đó, phương trình trở thành: 2 2 2 1 x 1 2x 2 x x 2 2 1 1 2x 1 x 2 2 2 x x 2 2 2 1 x 1 2x2 x x 2 2 1 1 x 1 1 2x 2 . 2 . * 2 2x x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 50 Khi viết phương trình dưới dạng (*), ít nhiều HS cũng dễ dàng liên hệ được phương pháp chung để giải bài toán dạng này đó là dùng phương pháp hàm số. Ta tiến hành như sau: Xét hàm số t t f (t) 2 2 . Có t 1 f '(t) 2 .ln2 0 2 nên hàm số luôn đồng biến trên  . Do đó, từ 2 2 2 1 x 1 2x f f x x , ta suy ra 2 2 2 1 x 1 2x x x . Từ đây, dễ dang tìm được x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. - Kiểm tra và nghiên cứu lời giải, tìm cách giải hợp lí hơn bằng cách khắc phục điều chưa hợp lí ở lời giải cũ hoặc thay đổi cách nhìn đối với bài toán; tìm lời giải tối ưu hơn. Ví dụ 2.12: Giải phương trình: 2 2 3 3 log x log x 1 3 0 Có nhiều HS làm như sau: Đặt 2 3 t log x , điều kiện t 0 Phương trình trở thành t t 1 3 0 t 1 3 t Cách đặt ẩn phụ như trên đưa đến giải phương trình vô tỷ. Nếu không nắm vững dạng phương trình này thì HS có thể mắc sai lầm. Nếu GV gợi ý: Hãy biến đổi biểu thức ngoài căn giống biểu thức trong căn? Phương trình 2 2 3 3 log x 1 log x 1 4 0. Đặt 2 3 t log x 1, t 1, phương trình trở thành 2t t 4 0 Đối với dạng phương trình giải được bằng cách đặt ẩn phụ để đưa về phương trình cơ bản, GV cần làm cho HS luôn có ý thức kiểm tra điều kiện đối với ẩn mới. Vì khi đặt ẩn phụ có thể thu hẹp hoặc mở rộng tập xác định của phương trình mới, nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện xem có thỏa mãn không. Dạng toán này đòi hỏi HS phải có sự tích lũy vốn kiến thức nhất định. Do đó, trong quá trình dạy giải bài tập GV hướng dẫn cho HS nhận dạng phương trình để có thể đặt ẩn phụ một cách thích hợp, từ đó đưa đến cách giải tối ưu hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 51 - Trong SGK, HS được giới thiệu một số dạng phương trình và cách giải chúng. Tuy nhiên trong SGK chưa nêu cách giải các dạng đó dưới dạng một thuật giải. Do đó, sau khi dạy cho HS thuật giải, cần phải tổ chức cho HS thực hành trên những bài toán cụ thể nhằm giúp HS nắm vững phương pháp giải các dạng phương trình này. GV cũng cần chỉ rõ cho HS vấn đề: cần phải ghi nhớ và vận dụng thành thạo các quy trình, thuật giải đã có sẵn. Bên cạnh đó phải luôn có ý thức huy động tích cực vốn tri thức và năng lực để tìm ra những phương pháp khác nhau hoặc phương pháp tối ưu hơn khi đứng trước các vấn đề cần giải quyết. Điều đó cũng góp phần phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo cho HS. - Trên cơ sở bài toán đã có thuật giải, việc đề xuất bài toán mới sẽ giúp HS nắm vững thuật giải, biết biến đổi linh hoạt trong khi thực hiện thuật giải. Do đó, ngay sau khi dạy một thuật giải nào đó (có thể là một quy tắc, một công thức), GV có thể giao cho HS một số bài toán mới được suy ra từ thuật giải đã biết hoặc hướng dẫn HS tự đề xuất bài toán mới. Đây là một biện pháp tốt để phát triển tư duy thuật giải cho HS. Ví dụ 2.13: Sau khi xây dựng thuật giải phương trình: f (x) f (x)A.a B.b C (trong ví dụ 2.8), GV hướng dẫn HS đề xuất bài toán mới như sau. Ta có nhận xét: xx x 2 2 2 2A A 1 . A A 1 A A 1 . A A 1 x 2 2 xA A 1 1 1 Với nhận xét trên, HS dễ dàng đề xuất các bài toán sau: x x 1) 7 48 7 48 14 x 1 x 1 2) 10 3 10 3 5 Việc tiến hành giải một bài toán theo thuật giải, tựa thuật giải sẽ giúp HS có được lời giải chính xác, tránh được những sai lầm thường gặp của bản thân. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 52 2.2.4. Rèn luyện kỹ năng giải phƣơng trình mũ và logarit dựa vào các tƣ tƣởng chủ đạo của tƣ duy hàm a) Rèn luyện kĩ năng vận dụng các dạng phương trình mẫu Dựa trên quan điểm vận dụng các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, chúng tôi nhấn mạnh đến việc thiết lập sự tương ứng giữa tình huống được đưa ra trong mỗi bài toán với tập hợp các dạng phương trình mẫu HS đã học. Đối với đa số bài toán có thuật giải được đưa ra trong SGK thì việc thiết lập sự tương ứng này được thực hiện trực tiếp thông qua hoạt động nhận dạng. Việc HS nhận dạng đúng bài toán cần giải là họ đã thiết lập được sự tương ứng giữa bài toán đó với bài toán tổng quát đã có thuật giải. Các yêu cầu cơ bản khi tiến hành rèn luyện cho HS kỹ năng vận dụng phương trình mẫu: - Nắm vững quy tắc giải - Nhận dạng đúng bài toán có quy tắc giải xác định - Tiến hành giải bài toán theo quy tắc đã học b) Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình Khi tiến hành giải phương trình, ta thường tìm cách biến đổi phương trình đó về dạng đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến phương trình đã biết cách giải. Xét theo quan điểm khai thác các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, chúng tôi cho rằng quá trình biến đổi phương trình là quá trình mang tính “động”. Trong quá trình “động” đó, ta khai thác các yếu tố “tĩnh” để đạt được mục đích (tìm được nghiệm). Cái thay đổi trong biến đổi phương trình là hình thức, là dạng, là loại phương trình. Mục đích của việc biến đổi là làm giảm nhẹ khó khăn, quy lạ về quen và giữ bất biến tập nghiệm hay kiểm soát được được sự thay đổi tập nghiệm sao cho sự thay đổi nếu có đều có thể kiểm tra để loại bỏ nghiệm ngoại lai hay vớt lại được các nghiệm đã bị gạt bỏ trong quá trình biến đổi. Ví dụ 2.14: Giải phương trình 3 x x 3 2 2x 5x 7 x 5x 7 (1) Ta phân tích quá trình biến đổi sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 53 Biến đổi phương trình (1) thành: 3 x x 3 (2) Bình phương hai vế của (2) ta được: 2 3 x x 3 (3) Thực hiện biến đổi đồng nhất, ta được: 29 6x x x 3 (4) Đưa (4) về phương trình bậc hai dạng chính tắc: 2x 7x 12 0 (5) Giải (5), ta được nghiệm của phương trình là: 3; 4 Câu hỏi đặt ra là: Mối quan hệ giữa các phương trình trong quá trình biến đổi? Diễn biến của các tập nghiệm của phương trình đó thay đổi như thế nào? Để trả lời được câu hỏi này, HS phải xác định được các phép biến đổi được sử dụng, nắm vững các phép biến đổi hệ quả, các kiến thức đã học (dù không liên quan trực tiếp đến biến đổi phương trình). Chẳng hạn: Với 0 a 1 thì x ya a x y , còn nếu a 1 thì x ya a với mọi giá trị của x và y. Từ đó, ta thấy được mối quan hệ giữa các phương trình là: 1 2 3 4 5 Dựa vào sơ đồ trên, HS có thể biết được diễn biến của các tập nghiệm qua từng bước biến đổi, do đó kết luận được: Nếu thay (1) bởi (5) thì có thể vừa thiếu nghiệm, vừa thừa nghiệm. Vậy, khắc phục điều đó thế nào? - Thử các giá trị 3 và 4 vào phương trình (1) để loại bỏ nghiệm ngoại lai (nếu có). Ta thấy chỉ có giá trị 3 thỏa mãn (khắc phục thừa nghiệm). - Thử các giá trị của x làm cho cơ số của lũy thừa nhận giá trị 1 (khắc phục thiếu nghiệm do biến đổi từ (1) sang (2)). Ta được x 2 thỏa mãn phương trình (1). Muốn nâng cao kỹ năng biến đổi phương trình nói chung, đầu tiên GV phải giúp HS nắm chắc các khái niệm cơ bản, hiểu rõ điều cốt lõi của khái niệm, hiểu được cách vận dụng để làm bài tập và luôn đề phòng những sai lầm thường gặp. Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình là khâu rất quan trọng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 54 trong quá trình giải phương trình. Biến đổi sai sẽ dẫn đến bài toán giải sai, nhưng không dễ dàng gì để HS nhận ra bước biến đổi sai lầm của mình. Ví dụ 2.15: Giải phương trình 2 x 9x 3 log x log x 0 (1) Lời giải của HS: Tập xác định 1 1 D 0; \ ; 9 3 . Phương trình trở thành: x 9x 3 x x 1 2 log x 2.log x 0 0 (2) 1 log 9x log .x 3 x x 1 2 0 1 log 3 1 2.log 3 x 1 log 3 4 x 81 GV cần phải có hoạt động giúp đỡ HS tìm ra sai lầm. GV hỏi: x 81 có phải là nghiệm duy nhất của bài toán không? Thực tế thìx 1 cũng là một nghiệm của bài toán. GV hỏi: Bước biến đổi nào đã làm mất nghiệm? Với câu hỏi này buộc HS phải phân tích từng bước trong quá trình giải để tìm ra vấn đề. HS hiểu rõ từng bước biến đổi dựa vào định nghĩa, định lí, hệ quả nào. Bước 1: Dựa vào hệ quả a b 1 log b log a . Bước 2: Áp dụng: a a alog (b.c) log b log c và a alog x log x Bước 3: Dựa vào định nghĩa hàm số logarit và lũy thừa 2 vế. Tuy nhiên, HS vẫn khó khăn trong việc chỉ ra sai lầm. GV cần có những hoạt động để giúp HS xem xét, kiểm tra sự biến đổi từng bước. Trong bài toán này, khi đưa về phương trình (2), ta đã thu hẹp tập xác định của phương trình, mà phạm vi thu nhỏ vừa đúng nghiệm của phương trình ban đầu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 55 Cần phải khắc phục sai lầm này như thế nào? Hướng 1: Thử giá trị làm thu hẹp tập xác định vào phương trình ban đầu để tìm lại nghiệm bị mất (nếu có). Thay x 1 vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn. Hướng 2: Tìm cách biến đổi khác không làm thay đổi tập xác định của phương trình. Có thể biến đổi phương trình đã cho tương đương với: logx 2.logx 0 x log(9x) log 3 1 2 logx 0 logx log3 2log3 logx) logx 0 1 2 0 logx log3 2log3 logx) logx 0 logx 4log3 x 1 x 81 Kiểm tra thấy x 1 và x 81 thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 1 và x 81. c) Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá các giá trị biểu thức thành phần Có nhiều bài toán giải phương trình bằng cách đánh giá giá trị các biểu thức thành phần sẽ cho ta kết quả nhanh chóng trong khi các cách làm khác có thể phức tạp, khó khăn hơn, thậm chí là bế tắc không thể tìm ra đáp số. Ở đây đây, chúng tôi muốn đề cập đến kỹ năng đánh giá giá trị biểu thức thành phần dựa trên đặc điểm, tính chất của các hàm số thành phần có mặt trong phương trình. Phải khẳng định rằng không phải bài toán nào cũng có thể giải được bằng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 56 phương pháp đánh giá. Cần phải rèn luyện cho HS có “con mắt nhìn toán học” nhạy bén, tinh tế khi đứng trước một bài toán. Ví dụ 2.16: Giải phương trình: 2 2 x x2.sin x x 1 1 3 3 HS thường không khỏi hoang mang khi nhìn thấy hình thức của phương trình quá rắc rối như thế này. Vế trái là hàm lượng giác phức tạp, vế phải lại là tổng hai hàm số mũ. GV cần giúp HS nghiên cứu đặc điểm của từng biểu thức thành phần, tìm tập giá trị của chúng trên tập xác định. GV có thể đặt câu hỏi: Câu hỏi 1: Tìm điều kiện của phương trình? Câu hỏi 2: Hãy tìm tập giá trị của hàm x xf (x) 3 3 ? Ta có: x x x x x x 1 1 3 3 3 2. 3 . 2 3 3 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x3 1 x 0 Câu hỏi 3: Hãy tìm tập giá trị của vế trái? Ta có: 2 20 2.sin x x 1 1 2 (Do 20 sin 1) Nhận thấy, với x 0 thì 2 22.sin x x 1 1 2 . Vậy x 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. GV có thể chỉ cho HS thấy: với những phương trình cực kỳ phức tạp, sau khi đã huy động tất cả những phương pháp quen thuộc mà vẫn không đem lại kết quả thì hãy thử nghĩ đến phương pháp đánh giá giá trị các biểu thức thành phần. Cơ sở để nghĩ đến phương pháp này là: nhận thấy hai vế của phương trình rất khác biệt về tính chất, chúng có chứa các phép toán phức tạp và dường như giá trị của từng vế có xu hướng không vượt quá, không bé hơn một giá trị nào đó. Ví dụ 2.17: Giải phương trình 2x 1 3 2x 2 3 8 2 2 1 log 4x 4x 4 Ta có: 224x 4x 4 2x 1 3 3, x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 57 2 3 log 4x 4x 4 1, x 2 3 8 8, x 2 log 4x 4x 4 Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x2 2 2. 2 2x 1 3 2x2 2 8, x 3 Từ (2) và (3) suy ra đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi: 2 3 2x 1 3 2x 8 8 log 4x 4x 4 2 2 8 2 3 2x 1 3 2x log 4x 4x 4 1 2 2 8 Biến đổi và rút gọn, ta được: 2 2 2x 2x 1 0 2 2 0 1 x 2 Vậy 1 x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. d) Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán Để giải phương trình, nguyên tắc chung là ta biến đổi đưa về những phương trình đơn giản hơn và cuối cùng đưa về phương trình quen thuộc đã biết cách giải. Tuy nhiên nếu hiểu từ “biến đổi” theo nghĩa thông thường thì không phải sự biến đổi nào cũng dẫn đến kết quả. Với cách hiểu theo nghĩa rộng thì “biến đổi” là phát biểu lại bài toán mà với cách phát biểu này thì bài toán mới hoàn toàn tương đương với bài toán ban đầu nhưng ở dạng dễ hiểu hơn và cho ta cách giải tự nhiên, đơn giản hơn. Ở đây, chúng tôi quan tâm nhiều đến việc chuyển đổi bài toán ban đầu sang bài toán mới tương đương với nó bằng cách đặt ẩn phụ. Cần rèn cho HS thói quen đặt điều kiện cho ẩn phụ có lập luận, có căn cứ chặt chẽ, tránh đưa ra những nhận định về điều kiện của ẩn phụ một cách cảm tính nhằm tránh những sai lầm trong giải toán (như ví dụ 1.9 đã nêu). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 58 1 x 0 0 0 1 - - 0 y’ y 3 + 2 + e) Rèn luyện kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của hàm số Ví dụ 2.18: Cho phương trình 2x 4x 3 4 21 m m 1 5 . Với giá trị nào của m thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Lời giải đúng: Vì 4 2m m 1 0 với mọi m. Do đó, phương trình tương đương với: 2 4 2 1 5 x 4x 3 log m m 1 . Đặt 4 2 1 5 log m m 1 t . Khi đó, phương trình trở thành: 2x 4x 3 t Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y t cắt đồ thì hàm số 2y x 4x 3 tại 4 điểm phân biệt. Xét hàm số 2 2 2 x 4x 3 khi x 1 hoaëc x 3 y x 4x 3 x 4x 3 khi 1 x 3 Đạo hàm: 2x 4 khi x 1hoaëc x 3 y' 2x 4 khi 1 x 3 Lập bảng biến thiên của hàm số, ta được: Từ đó, đường thẳng y t cắt đồ thì hàm số 2y x 4x 3 tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 59 0 t 1 4 2 1 5 0 log m m 1 1 4 2 1 m m 1 1 5 0 m 1 Vậy với 0 m 1 thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Rõ ràng nếu sử dụng công cụ đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số xác định được từ phương trình đã cho đem lại kết quả nhanh chóng, gọn gàng. Đặc biệt là các bài toán phương trình chứa tham số. Vậy câu hỏi đặt ra là: Khi nào giải phương trình thì ta lựa chọn công cụ đạo hàm và cần rèn luyện cho HS những kỹ năng gì? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi đưa ra 2 chú ý sau: - Rèn luyện cho HS kỹ năng xác định hàm số từ phương trình đã cho. - Rèn luyện kỹ năng thực hiện các bước của một bài toán khảo sát sự biến thiên của hàm số. 2.3. Kết luận chƣơng 2 Để phát triển cho HS kỹ năng giải phương trình nói chung đạt hiệu quả cao đòi hỏi người GV phải có kỹ năng sư phạm, có nghệ thuật biến quá trình dạy học thành một hệ thống làm việc có định hình, có tổ chức, kiểm soát chặt chẽ các hoạt động Toán học của HS. Trong chương 2 của Luận văn, chúng tôi đã đưa ra các định hướng dạy học nhằm tăng cường rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logairt. Từ đó đề ra một số biện pháp sư phạm rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logarit cho HS THPT thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm. Những kết quả nghiên cứu ở chương 2 nhằm góp phần thực hiện các mục đích, yêu cầu của việc dạy học chủ đề phương trình mũ và logarit; giúp HS nắm vững các kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ năng, tính linh hoạt, khả năng tìm tòi sáng tạo; nhằm thực hiện hóa những biện pháp sư phạm trong điều kiện thực tế của quá trình dạy học, đạt được mục đích mà giáo dục và yêu cầu của xã hội đặt ra. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 60 Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất ở chương 2 trong luận văn. 3.2. Nội dung thực nghiệm Căn cứ vào phân phối chương trình môn toán ở trường THPT, quá trình thực nghiệm được thực hiện linh hoạt vào trong quá trình dạy học một số tiết cụ thể như sau: Tiết Tên bài dạy Mục đích, yêu cầu 1 Lũy thừa với số mũ thực Giúp HS nắm được đầy đủ, chính xác kiến thức “nền”. Qua đó, phát triển kỹ năng biến đổi biểu thức mũ và logarit. 2 Logarit 3, 4 Phương trình mũ và logarit Nắm được một số phương pháp giải phương trình mũ và logarit. Bước đầu nhận dạng, giải thành thạo những phương trình mẫu mực. 5, 6 Luyện tập giải phương trình mũ và logarit Nắm vững lý thuyết và một số phương pháp giải đã đề cập trong tiết lý thuyết. Có khả năng vận dụng linh hoạt, chính xác kiến thức vào giải quyết những bài toán mới. Hệ thống kiến thức, phân dạng bài tập là một yêu cầu cần đạt được sau khi luyện tập. 3.3. Tổ chức thực nghiệm 3.3.1. Đối tượng thực nghiệm Được sự đồng ý của Ban Giám hiệu trường THPT Cao Lộc, tỉnh Lạng Sơn, chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu của luận văn. Chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu về kết quả học tập các lớp khối 12 của trường và nhận thấy: Lớp 12A1 (42 HS) và lớp 12A2 (41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 61 HS) có số lượng HS gần bằng nhau và có kết quả học tập toán tương đương nhau (xem bảng 3.1). Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lƣợng đầu năm học (Thực hiện tháng 8 năm 2014) Điểm kiểm tra xi ( 1,10i ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x Số HS đạt điểm xi của lớp 12A1 1 2 6 6 8 9 6 4 7,11 Số HS đạt điểm xi của lớp 12A2 1 2 5 7 9 8 6 3 7,04 Trên cơ sở đó, chúng tôi đã đề xuất chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm và lớp 12A2 làm lớp đối chứng. GV giảng dạy lớp thực nghiệm và đối chứng là cô Nguyễn Thị Hương. Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm trong tháng 11 và tháng 12 năm 2014. 3.3.2. Phương pháp thực nghiệm * Tại lớp thực nghiệm - GV dạy theo hướng tăng cường luyện tập các dạng hoạt động tương ứng với nội dung bài học như đã đề xuất ở chương 2. - Quan sát hoạt động học tập của HS, đánh giá trên hai mặt định tính và định lượng để nhận định hiệu quả học tập của HS. * Tại lớp đối chứng GV dạy học bình thường, không tiến hành như đối với lớp thực nghiệm và quan sát, đánh giá kết quả học tập của HS ở lớp đối chứng. 3.4. Đánh giá thực nghiệm sƣ phạm Sau thời gian thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành phân tích, đánh giá kết quả thu được trên hai phương diện: Đánh giá về mặt định lượng và đánh giá về mặt định tính. 3.4.1. Phân tích định lượng a) Đề kiểm tra (45 phút): Giải các phƣơng trình sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 62 1) x 6 3x 2 4 1,25 5 2) x x 7 4 3 3 2 3 2 0 3) 2 42 2 2 log x 1 2log x 1 4 0 4) 2 3 3log x log x3 9 2.x 0 Việc ra đề kiểm tra như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm. Trong số đó, có câu chứa đựng những tình huống dễ dẫn tới sai lầm (tuy nhiên chúng tôi không thiên về “đánh đố” học trò) nhằm khảo sát một số kỹ năng của HS. Chúng tôi xin phân tích thêm để làm rõ hơn điều này. Câu 1: Kỹ năng cần thiết để HS làm được câu này là việc phát hiện ra cơ số thích hợp. Câu này dành cho HS trung bình. Câu 2. HS cần phải có kỹ năng phân tích, đánh giá tinh tế đối với các toán tử của phương trình, để từ đó vận dụng thuật giải đã biết. Câu này nhằm kiểm tra khả năng phát hiện và thực hành quy tắc thuật giải của HS. Câu 3. Trong câu này, HS có thể dễ dàng tìm được phương pháp giải (phương pháp đặt ẩn phụ). Tuy nhiên trong quá trình biến đổi có không ít HS cho rằng: 22 2 2 2log x 1 2.log x 1 hay 22 2 2 2log x 1 4.log x 1 . Câu này rèn luyện cho HS kỹ năng biến đổi thông tin, diễn đạt lại thông tin của đề bài, luôn đề cao tính chính xác của ngôn ngữ, công thức, kí hiệu toán học. Đồng thời, khảo sát ý thức phòng tránh và sửa chữa sai lầm của HS khi giải toán. Phải khẳng định rằng: Cả 3 câu trên đều không quá phức tạp về mặt tính toán. Nếu HS xác định đúng hướng giải và có sự phân tích hợp lí thì sẽ dẫn đến kết quả. Cả 3 câu trên dành cho HS cả lớp. Câu 4 (Dành cho HS khá, giỏi). Trong câu này có 2 tình huống mà HS có thể mắc sai lầm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 63 Thứ nhất: Khi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, HS không biết chia trường hợp. Thứ hai: Do HS biến đổi: 2 3 3 2 log x log x 23 3 x nên dẫn đến bế tắc, không thể giải được phương trình: 3log x2x 9 2.x 0 . Câu này nhằm kiểm tra độ vững vàng về kiến thức của HS (kỹ năng giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, kỹ năng biến đổi biểu thức mũ, logarit); kiểm tra ý thức phòng tránh chủ động các sai lầm khi giải toán của HS. Qua những phân tích sơ bộ trên có thể thấy rằng, đề kiểm tra thể hiện được dụng ý: khảo sát sự phòng tránh và sửa chữa sai lầm khi HS giải toán; khảo sát kỹ năng giải phương trình mũ và logarit nói riêng và kỹ năng giải phương trình nói chung. Đáp án: Câu Nội dung đáp án Điểm 1 x 6 3x 2 4 1,25 5 3x 2 x 6 5 4 4 5 3x 2 6 x 5 5 4 4 3x 2 6 x x 1 Vậy phương trình có nghiệm là x 1. 2đ 2 x x 7 4 3 3 2 3 2 0 Ta có: 2 7 4 3 2 3 Đặt x t 2 3 , t 0 . Khi đó, phương trình trở thành: 2t 3t 2 0 t 1 t 2 1,5đ Với t 1, suy ra: x 2 3 1 x 0 Với t 2 , suy ra: x 2 3 2 3 2 x log 2 1,5đ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 64 Câu Nội dung đáp án Điểm Vậy phương trình có 2 nghiệm x 0 và 2 3 x log 2 . 3 2 42 2 2 log x 1 2log x 1 4 0 . Điều kiện x 1 2 2 2 4log x 1 8log x 1 4 0 Đặt 2 t log x 1 , ta được: 24t 8t 4 0 t 1 1,5đ Với t 1, ta có: 2 log x 1 1 x 1 2 x 1 x 3 So sánh với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là x 1 và x 3. 1,5đ 4 23 3log x log x3 9 2.x 0 Điều kiện: x 0 Phương trình tương đương: 2 3 3log x log x3 9 2.x 2 3 3 2 3 3 log x log x log x log x 3 9 2.x (1) 3 9 2.x (2) 1đ Nhận xét: 2 3 3 3 3 3 3 log x log x log x.log x log x log x 3 3 3 x . Khi đó: (1) 3 3 log x log x x 9 2.x 3 log x x 9 Phương trình này vô nghiệm. (2) 3 3 3 log x log x log x x 9 2.x x 3 . Lấy logarit cơ số 3 cả 2 vế của phương trình, ta được: 2 3log x 1 2 3log x 1 1 x 3 x 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm là: 1 x 3 và x 3. 1đ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 65 b) Kết quả bài kiểm tra Kết quả bài kiểm tra là cơ sở dữ liệu để chúng tôi tiến hành đánh giá và được thể hiện thông qua bảng phân bố tần số sau: Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số về điểm Điểm kiểm tra xi ( 1,10i ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x Số HS đạt điểm xi của lớp 12A1 5 6 10 11 7 3 7,4 Số HS đạt điểm xi của lớp 12A2 3 5 10 8 9 5 1 6,8 Quan sát trực quan kết quả trên thông qua biểu đồ 3.1 sau: Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần số về điểm Chúng tôi so sánh kết quả bài kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng dựa trên các số liệu số HS đạt điểm theo các mức điểm: yếu, kém; trung bình; khá; giỏi và được thể hiện trong bảng sau: Bảng 3.3. Bảng thống kê kết quả Kết quả Lớp thực nghiệm Lớp 12A1 Lớp đối chứng Lớp 12A2 Yếu, Kém (< 4 điểm) 0 0% 3 7,3% Trung bình (5 – 6 điểm) 11 26,2% 15 36,6% Khá (7 – 8 điểm) 21 50% 17 41,5% Giỏi (9 – 10 điểm) 10 23,8% 6 14,6% Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 66 Có thể quan sát trực quan kết quả trên thông qua biểu đồ: Biểu đồ 3.2. Biểu đồ thống kê kết quả Từ kết quả trên, ta có nhận xét: - Tỉ lệ HS đạt điểm khá và giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng, chênh lệch 17,7%. - Lớp thực nghiệm không có HS bị điểm yếu kém, trong khi đó, tỉ lệ này ở lớp đối chứng chiếm 7,3%. Chúng tôi cũng tiến hành xử lý số liệu để đánh giá mức độ phân tán của các điểm đạt được xung quanh điểm trung bình theo từng lớp. Nội dung Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng Điểm trung bình 10 i i i 1 x .n x N 7,4 6,8 Phương sai 210 2 i i i 1 1 s x x .n N 2,008 2,289 Độ lệch chuẩn 2s s 1,42 1,51 Như vậy, điểm trung bình chung của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng; phương sai và độ lệch chuẩn ở lớp thực nghiệm nhỏ hơn so với lớp đối chứng. Điều đó chứng tỏ rằng, kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm ít chênh lệch hơn, chất lượng học tập đồng đều hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 67 Sử dụng phép thử t – Student để xem xét, kiểm tra tính hiệu quả của việc thực nghiệm sư phạm, ta có kết quả: TN TN x t 1,92 s Tra bảng phân phối t – Student với bậc tự do F 42 và với mức ý nghĩa 0,05 ta được t 1,68 . Ta có t t . Như vậy thực nghiệm sư phạm đạt kết quả. Tiến hành kiểm định phương sai của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng với giả thuyết E0: “Sự khác nhau giữa các phương sai ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là không có ý nghĩa”. Ta có kết quả: 2 TN 2 ÑC s F 0,77 s Giá trị tới hạn F tra trong bảng phân phối F ứng với mức ý nghĩa 0,05, với các bậc tự do TN F 42 và ÑC F 41 là F 1,68. Ta thấy F F nên chấp nhận E0, tức là sự khác nhau giữa phương sai ở nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng là không có ý nghĩa. Để so sánh kết quả thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành kiểm định giả thuyết H0: “Sự khác nhau giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa với phương sai như nhau”. Với mức ý nghĩa 0,05, tra bảng phân phối t – Student với bậc tự do TN ÑC N N 2 81 ta được t 1,67. Ta có giá trị kiểm định: TN ÑC TN ÑC x x t 1,865 1 1 s. N N với 2 2 TN TN ÑC ÑC TN ÑC N 1 .s N 1 .s s N N 2 Ta có t t . Như vậy, giả thuyết H0 bị bác bỏ. Điều đó chứng tỏ sự khác nhau giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là có ý nghĩa. Kết quả kiểm định chứng tỏ chất lượng học tập của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Đồng thời thể hiện tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 68 3.4.2. Phân tích định tính Khi quá trình thực nghiệm mới bắt đầu, thông qua việc quan sát cũng như kiểm tra sơ bộ về kỹ năng biến đổi các biểu thức mũ và logarit, kỹ năng giải phương trình mũ và logarit đối với HS ở cả lớp thực nghiệm và đối chứng, chúng tôi nhận thấy: Sự tự phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của HS khi giải toán ở cả hai lớp còn có phần hạn chế. GV chưa chú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa sai lầm cho HS ngay trong các giờ học Toán, dẫn đến HS rơi vào tình trạng “sai lầm nối tiếp sai lầm”. Sau khi nghiên cứu kỹ và vận dụng các quan điểm dạy học được xây dựng ở chương 2, chúng tôi đã có cuộc trao đổi với GV dạy thực nghiệm: Câu hỏi: Thưa cô, Việc áp dụng các quan điểm dạy học mà chúng tôi đã đề xuất có gây khó khăn, trở ngại gì cho cô trong quá trình thực hiện không? Trả lời: Đối với tôi thì không có gì trở ngại trong việc vận dụng các quan điểm này. Cách dẫn dắt vấn đề bằng cách đặt HS vào trong các tình huống chứa sai lầm để họ tự thảo luận, tự tìm ra lời giải đúng vừa kích thích được tính tích cực, độc lập của HS, vừa kiểm soát và ngăn chặn được những khó khăn, sai lầm có thể nảy sinh. Câu hỏi 2: Theo cô, việc vận dụng các quan điểm này trong thực tiễn dạy học có khả thi hay không? Trả lời: Theo tôi, không khó khả thi trong việc vận dụng các quan điểm này. Trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi đã theo dõi sự chuyển biến trong hoạt động học tập của HS ở cả hai lớp thực nghiệm và đối chứng, đặc biệt là sự hoàn thiện về các kỹ năng giải phương trình mũ và logarit. Chúng tôi nhận thấy lớp thực nghiệm có chuyển biến tích cực so với trước khi thực nghiệm. Cụ thể: - HS được trang bị chính xác các khái niệm, định lí, quy tắc, thuật giải,, lựa chọn hợp lí các kiến thức vào giải toán. - Không khí học tập sôi nổi, tích cực thông qua hoạt động thảo luận tìm sai lầm. HS học tập một cách tích cực hơn, những khó khăn và sai lầm của HS được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 69 chỉ ra trong chương 1 cũng đã giảm đi rất nhiều. Đặc biệt là đã hình thành được cho HS ý chí học tập, tạo cho họ niềm tin khi đứng trước những dạng toán mà trước đây họ rất “ngại” vì luôn gặp phải những thiếu sót và sai lầm. - HS có ý thức phòng tránh những sai lầm thường gặp, hình thành được thói quen tự kiểm tra lời giải. - Kỹ năng giải phương trình nói chung, giải phương trình mũ và logarit nói riêng một lần nữa được rèn luyện, củng cố và hoàn thiện hơn. 3.5. Kết luận chƣơng 3 Quá trình thực nghiệm cùng những kết quả được rút ra từ thực nghiệm cho phép khẳng định: mục đích thực nghiệm đã được hoàn thành, tính khả thi của các quan điểm đã được khẳng định. Thực hiện các quan điểm đó sẽ góp phần rèn luyện kỹ năng giải phương trình nói chung, giải phương trình mũ và logarit nói riêng; góp phần phòng tránh, hạn chế và tiến tới chấm dứt sai lầm cho HS khi học chủ đề này. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 70 KẾT LUẬN Qua quá trình nghiên cứu đề tài, dưới sự chỉ bảo nhiệt tình của thầy giáo hướng dẫn TS.Trần Việt Cường cùng với sự cố gắng của bản thân, luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây: 1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS; hệ thống hóa quan điểm của nhiều nhà khoa học về sai lầm và sửa chữa sai lầm cho HS khi giải toán; phân tích một số khó khăn và sai lầm thường gặp khi học nội dung giải phương trình mũ và logarit. 2. Đề xuất 4 biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logarit cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm. Trong mỗi biện pháp, ngoài trình bày nội dung, chúng tôi còn minh họa bằng các ví dụ cụ thể. 3. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất. Như vậy, có thể khẳng định: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 71 CÔNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 1. Trần Việt Cường, Lăng Thị Thành (2015), Rèn luyện kỹ năng giải phương trình mũ và logarit cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm, Tạp chí Thiết bị giáo dục số 116 tháng 4. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 72 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. A.A.Stoliar (1969), Giáo dục học Toán học, Nxb Giáo dục, Minsk (Tiếng Nga). 2. Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang (2002), Sai lầm phổ biến khi giải toán, Nxb Giáo dục. 3. Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học Toán ở trường THPT, Nxb Giáo dục. 4. Crutexki V.A (1980), Những cơ sở của Tâm lý học sư phạm, Nxb Giáo dục. 5. Đỗ Ngọc Đạt (2000), Bài giảng lí luận dạy học, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội. 6. Nguyễn Huy Đoàn (Chủ biên) (2010), Bài tập giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam. 7. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán mũ, logarit, Nxb Hà Nội. 8. Nguyễn Viết Hiếu (2013), “Vấn đề dạy học logarit trong chương trình toán phổ thông và những điều cần biết về logarit”, Tạp chí Khoa học ĐHSP TPHCM, 50 (84), tr. 55 – 67. 9. Nguyễn Thái Hòe (1996), Các Phương pháp giải toán, Nxb Giáo dục. 10. Nguyễn Thái Hòe (2001), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, Nxb Giáo dục. 11. IREM GRENOBLE (1997), Một số kinh nghiệm giảng dạy Toán ở Pháp, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 12. Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Hưởng (1994), Phương pháp dạy học môn Toán (phần 2) – Dạy học những nội dung cơ bản, Nxb Giáo dục. 13. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. 14. Luật Giáo dục (2005), Nxb chính trị Quốc gia, Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 73 15. Vương Dương Minh (1996), Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông, Luận án PTS khoa học sư phạm – tâm lý. 16. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm. 17. Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải toán, Luận án PTS khoa học sư phạm – tâm lý, Trường Đại học Sư phạm Vinh, Vinh. 18. Pêtrôvxki.A.V (1982), Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, Tập 2, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 19. Hoàng Phê (2009), Từ điển Tiếng Việt, Nxb Đà Nẵng, Đà Nẵng. 20. Trần Hữu Phúc, Nguyễn Cảnh Nam (2002), Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội. 21. Trần Phương, Lê Hồng Đức (2002), Tuyển tập các chuyên đề luyện thi Đại học môn toán Đại số sơ cấp, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. 22. Trần Phương, Lê Hồng Đức (2004), Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải Toán, Nxb Hà Nội, Hà Nội. 23. Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, Nxb Hà Nội. 24. Pôlya G (1995), Toán học và những suy luận có lý, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 25. Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), Nxb Giáo dục, Hà Nội. 26. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2013), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam. 27. Lê Đình Thịnh, Trần Hữu Phúc, Nguyễn Cảnh Nam (1992), Mẹo và bẫy trong các đề thi môn toán tập 1, 2, Nxb Đại học và Giáo dục chuyên nghiệp, Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 74 28. Lê Văn Tiến (2006), "Sai lầm của học sinh nhìn từ góc độ lý thuyết học tập", Tạp chí giáo dục (137), tr. 12 – 14. 29. Trần Thúc Trình (2003), Rèn luyện tư duy trong dạy học môn Toán, Viện khoa học Giáo dục. 30. Nguyễn Anh Tuấn (2003), “Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh THCS trong dạy học khái niệm Toán học (thể hiện qua một số khái niệm Đại số ở Trung học cơ sở)”, Luận án Tiến sĩ, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN PHỤ LỤC Phụ lục 1 PHIẾU XIN Ý KIẾN GIÁO VIÊN PHỔ THÔNG A. Thông tin cá nhân Họ và tên giáo viên (GV): .................................................................... Đơn vị công tác: ................................................................................... B. Nội dung thăm dò ý kiến GV Sau khi dạy học nội dung phương trình mũ và logarit, xin các Thầy (cô) vui lòng đưa ra những nhận xét của mình theo các tiêu chí chỉ ra dưới đây (Với các ô trống: chọn 1 đáp án ứng với các câu 1, 3, 4 và 5; chọn nhiều hơn 1 đáp án ứng với các câu 2 và 8). Những thông tin thu được từ phiếu thăm dò này chỉ phục vụ cho mục đích nghiên cứu khoa học, không vì một mục đích nào khác. Câu 1. Theo Thầy (cô), nội dung phƣơng trình mũ và logarit là nội dung dễ dạy hay khó dạy?  Dễ dạy  Bình thường  Khó dạy Câu 2. Đứng trƣớc một bài toán, những vấn đề Thầy (cô) quan tâm là:  Cách giải bài toán  Các dạng bài tập tương tự  Phát triển bài toán theo hướng mở rộng, nâng cao  Rút ra những kỹ năng cơ bản học sinh (HS) cần đạt được Ý kiến khác: .......................................................................................... ............................................................................................................... Câu 3. HS A lên bảng trình bày lời giải một bài toán. Sau khi nhận thấy lời giải của HS A là sai, Thầy (cô) thƣờng khắc phục bằng cách:  Gọi HS khác lên trình bày với lời giải khác  Đưa ra lời giải chính xác  Phân tích lời giải, tìm ra sai lầm và cùng nhau chính xác hóa lời giải Ý kiến khác: .......................................................................................... ............................................................................................................... Câu 4. Trong quá trình soạn giáo án, Thầy (cô) có quan tâm tạo ra những tình huống có chứa sai lầm để thử thách HS?  Luôn luôn  Thỉnh thoảng  Rất ít  Không bao giờ Câu 5. Thái độ học tập của HS nhƣ thế nào sau khi đƣợc nghe phân tích và chỉ ra sai lầm mà mình mắc phải?  Có hứng thú học tập, tiếp thu tích cực và không bao giờ tái phạm những sai lầm đó nữa  Tiếp thu nhưng vẫn tái phạm những sai lầm đó  Thờ ơ, không có hứng thú với những bài toán chứa sai lầm Câu 6. Thầy (cô) thƣờng gặp những khó khăn gì khi dạy học nội dung phƣơng trình mũ và logarit? ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... Câu 7. Theo Thầy (cô), khi học chủ đề phƣơng trình mũ và logarit, HS thƣờng mắc phải những sai lầm gì? ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... Câu 8. Theo Thầy (cô), nguyên nhân dẫn đến sai lầm của HS khi giải toán chủ đề phƣơng trình mũ và logarit là:  Không hiểu đúng khái niệm  Áp dụng quy tắc, công thức, định lý một cách máy móc  Lập luận thiếu logic  Phân chia trường hợp riêng Ý kiến khác: .......................................................................................... ............................................................................................................... Xin chân thành cám ơn quý Thầy (cô)! Phụ lục 2 PHIẾU HỎI HỌC SINH PHỔ THÔNG A. Thông tin cá nhân Họ và tên học sinh: ............................................................................... Lớp: ....................................................................................................... Trường: ................................................................................................. B. Nội dung thăm dò ý kiến học sinh Để góp phần nâng cao hiệu quả hoạt động dạy và học, các em vui lòng trả lời những câu hỏi trong phiếu này (Với các ô trống: chọn 1 đáp án ứng với các câu 1, 4, 5 và 6; chọn nhiều hơn 1 đáp án ứng với các câu 2 và 3). Những thông tin thu được từ phiếu thăm dò này chỉ phục vụ cho mục đích nghiên cứu khoa học, không vì một mục đích nào khác. Câu 1: Sự hứng thú của em đối với chủ đề phƣơng trình mũ và logarit ở mức nào dƣới đây?  Thích  Bình thường  Không thích Câu 2: Những khó khăn mà em gặp phải khi học chủ đề phƣơng trình mũ và logarit là gì?  Không có khó khăn gì, luôn chính xác  Không thể vận dụng lý thuyết vào làm bài tập  Có nhiều công thức gần giống nhau, rất dễ nhầm  Không biết cách trình bày  Tính toán sai  Không thể định hướng được cách giải Ý kiến khác: .......................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... Câu 3: Khi học chủ đề phƣơng trình mũ và logarit, em thƣờng tham khảo những tài liệu nào dƣới đây?  Sách giáo khoa, Sách bài tập  Bài giảng của giáo viên  Các Sách chuyên đề về phương trình mũ và logarit  Video các bài giảng, chương trình luyện thi trên internet Ý kiến khác: .......................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... Câu 4: Khi giải các dạng Toán thuộc chủ đề phƣơng trình mũ và logarit, em có mắc phải những sai lầm mà thầy cô đã nhắc không?  Có  Không Câu 5: Sau khi đƣợc cảnh báo, sửa chữa những sai lầm thƣờng xuyên mắc phải, em thấy:  Ghi nhớ, không bao giờ tái phạm  Thỉnh thoảng tái phạm  Luôn tái phạm Câu 6: Trong các nội dung của môn Toán, em đánh giá những bài toán thuộc chủ đề phƣơng trình mũ và logarit nhƣ thế nào?  Dễ  Bình thường  Khó Xin chân thành cám ơn các em!