Luận văn Tích phân Choquet và định lí Choquet

ng hợp của đếm được các tập đóng là tập Fσ . Định nghĩa 1.1.3 Họ C các tập con của X gọi là một nửa đại số nếu i. ∅∈ C . ii. ,E F ∈ C E F⇒ ∩ ∈C . iii. E∈ C thì cE bằng hợp của hữu hạn các tập rời nhau của C . Định lí 1.1.4 Nếu C là một nửa đại số thì họ A các hợp hữu hạn của các tập rời nhau của C là một đại số. Định nghĩa 1.1.5 Cho M là một σ - đại số trên X . Một hàm tập [ ]: 0;µ → +∞M gọi là một độ đo trên M nếu thỏa mãn các điều kiện i. ( ) 0µ ∅ = . ii. { }nE là dãy các tập rời nhau thuộc M thì 11 ( ).n n nn E Eµ µ +∞ +∞ ==   =    ∑ Độ đo µ trên M gọi là hữu hạn nếu ( ) ,E Eµ < +∞ ∀ ∈M . Độ đo µ trên M gọi là độ đo xác suất nếu ( ) 1Xµ = . Độ đo µ trên M gọi là σ - hữu hạn nếu tồn tại dãy { } ( ) ,n nE E nµ⊂ < +∞ ∀M, và 1 n n E X +∞ = =  . Độ đo µ trên M gọi là độ đo đầy đủ nếu mọi ( ) 0E Eµ∈ =M, thì mọi F E⊂ đều có F ∈M . Bộ ba ( , , )X µM trong đó M là một σ - đại số trên X , µ là một độ đo trên M gọi là một không gian độ đo. Định lí 1.1.1 Cho ( , , )X µM là một không gian độ đo. Khi đó a. Mọi ,E F E F∈ ⊂M, đều có ( ) ( )E Fµ µ≤ (tính chất đơn điệu) b. Mọi dãy { }nE ⊂M đều có 11 ( )n n nn E Eµ µ +∞ +∞ ==   ≤    ∑ (tính chất cộng tính dưới) c. Mọi dãy { } 1, ,n n nE E E n+⊂ ⊂ ∀M đều có 1 lim ( )n nn n E Eµ µ +∞ →+∞ =   =     (tính chất liên tục dưới) d. Mọi dãy { } 1 1, , , ( )n n nE E E n Eµ+⊂ ⊃ ∀ < +∞M đều có 1 lim ( )n nn n E Eµ µ +∞ →+∞ =   =     (tính chất liên tục trên) Định nghĩa 1.1.6 Một độ đo trên σ - đại số Borel của không gian tôpô X được gọi là độ đo Borel. Một độ đo Borel µ trên X gọi là chính quy nếu mọi ( )E X∈B ta có ( ) infEµ = { (U) U Eµ ⊃ và U mở} sup= { ( )K K Eµ ⊂ và K compắc} 1.2 Tôpô Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian tôpô X và A X∈ . Một họ G các lân cận của A được gọi là một hệ cơ bản các lân cận của A nếu với mọi lân cận U của A đều tồn tại một lân cận V G∈ sao cho V U⊂ . Định nghĩa 1.2.2 Không gian X được gọi là không gian (LCS) nếu X là không gian tôpô compắc địa phương, Hausdorff và khả li. Định lí 1.2.1 Cho X là không gian (LCS). Khi đó a. Với mọi tập compắc K X⊂ , tồn tại một dãy các tập mở { }nG sao cho 1n nG G +⊃ và 1 n n G K +∞ = =  . b. Với mọi tập mở G X⊂ , tồn tại một dãy tăng các tập mở và compắc tương đối { }nB (nghĩa là với mọi n thì nB là tập mở và nB là tập compắc) sao cho 1n nB B +⊂ và 1 1 1 n n n n G B B +∞ +∞ + = = = =   . Đặc biệt, nếu K G⊂ thì nK B⊂ với n đủ lớn. c. Với mọi tập Borel V , tồn tại một dãy tăng các tập compắc { }nK sao cho 1 n n K V +∞ = =  . Định nghĩa 1.2.3 Cho không gian tôpô X . Một họ các tập { } IFα α∈ được gọi là có tâm nếu mọi tập con hữu hạn 0I của I đều có 0I Fα α∈ ≠ ∅  . Định lí 1.2.2 Không gian tôpô X là compắc nếu và chỉ nếu mọi họ các tập con đóng có tâm { } IFα α∈ đều có giao I Fα α∈ ≠ ∅  . Kể từ đây, trong luận văn này kí hiệu ( ), ( ), ( ), ( )X X X XK F G B lần lượt là họ tất cả các tập compắc, tập đóng, tập mở và tập Borel của không gian tôpô X . Định nghĩa 1.2.4 Cho X là không gian tôpô. Với 1, , ,..., nA K G G X∈ , định nghĩa a. { ( ) : }, { ( ) : }AA F X F A F X F A= ∈ ∩ ≠∅ = ∈ ∩ =∅F FF F 1 2 1 2, ,..., ... n n K K G G G G G G= ∩ ∩ ∩ ∩F F F F F (nếu 0n = thì 1 2, ,..., n K G G GF là KF ) b. ( )B F là σ - đại số sinh bởi họ { }: ( )K K X∈KF và { }: ( )G G X∈GF . Từ định nghĩa, dễ thấy , , ( )G G X ∅ ∅ ∅= =∅ = FF F F F . Định lí 1.2.3 Cho X là không gian (LCS). Nếu ( )K X∈K và { }nG là một hệ cơ bản các lân cận mở của K thì 1 nG K n +∞ = =  F F và 1 nG K n +∞ = =  F F . Định nghĩa 1.2.5 Cho không gian tôpô X .Tôpô miss and hit trong ( )XF là tôpô có cơ sở là họ { }1 2, ,..., 1 2: ( ); , ,..., ( )nKG G G nK X G G G X∈ ∈K GF . Định lí 1.2.4 Cho X là không gian tôpô. Khi đó không gian tôpô miss and hit ( )XF là compắc. Chứng minh: Rõ ràng họ các tập { }: ( ),iK iK X i I∈ ∈KF và { }: ( ),jG jG X j J∈ ∈GF là tiền cơ sở của tôpô miss and hit. Theo định lí Alexandroff, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu { } { }: ( ), : ( ),i jK i G jK X i I G X j J∈ ∈ ∈ ∈F FK G là một phủ của F thì nó có phủ con hữu hạn. Ta có ( ) i j K G i I j J X ∈ ∈    =           F FF Đặt j j J G ∈ Ω =  thì Ω là tập mở. Ta có ( ) ( )( ) ( ) i j j i i i K G i I j J G K i I j J K i I K i I X X ∈ ∈ ∈ ∈ Ω ∈ Ω ∈    ∅ =           =          =     =          F F F F F F F F \ F \ Do đó tồn tại 0i I∈ sao cho 0iK ⊂Ω . Thật vậy, giả sử trái lại ( \ ) ,iK X i I∩ Ω ≠∅ ∀ ∈ . Khi đó \ iK i I X Ω ∈ ∅ ≠ Ω∈  F là điều vô lý. Vì 0i K là tập compắc nên tồn tại tập 1 2{ , ,..., }nj j j J⊂ sao cho { }1 2, ,..., nj j jG G G là một phủ của 0i K . Với F là một tập con đóng tùy ý của X thì 0i F K∩ =∅ hoặc kj F G∩ ≠∅ với một số {1,2,..., }k n∈ . Do đó 0 1 ...i j jn K G GF ∈ ∪ ∪ ∪F F F Định nghĩa 1.2.6 Cho tập Ω . Một lớp A các tập con của Ω được gọi là một lớp compắc nếu với mọi dãy tập compắc { }nK ⊂Ω thỏa 1 n n K +∞ = = ∅  thì tồn tại một số nguyên N sao cho 1 N n n K = = ∅  . 1.3 Dung lượng trong không gian tôpô Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian tôpô Hausdorff. Hàm : ( ) [0, )T X → +∞B được gọi là dung lượng trên X nếu nó thỏa mãn 4 điều kiện sau đây: 1. ( ) 0T ∅ = . 2. T đan dấu cấp vô hạn. Nghĩa là với mọi họ tập Borel , 1,..., , 2iA i k k= ≥ ta có # 1 ( )1 ( 1) k I i i I I ki i I T A T A+ ∈= ∈     ≤ −        ∑  trong đó ( ) { {1,..., }, },# ( )I k I k I I card I= ⊂ ≠∅ = . 3. ( ) sup{ ( ) : ( ), }, ( )T A T C C X C A A X= ∈ ⊂ ∀ ∈K, B . 4. ( ) inf{ ( ) : ( ), }, ( )T C T G G X G C C X= ∈ ⊃ ∀ ∈G K, . Kể từ đây trong luận văn này nếu không chú thích gì thêm, không gian tôpô X ta xét là không gian tôpô Hausdorff. Định lí 1.3.1 Cho T là dung lượng trên X . Khi đó T là hàm không giảm trên ( )XB . Chứng minh: Giả sử , ( ),A B X A B∈ ⊂B Đặt ( ) { : ( ), }A C C X C A= ∈ ⊂K, K, ( ) { : ( ), }B C C X C B= ∈ ⊂K, K, Thế thì ( ) ( )A B⊂K, K, Theo định nghĩa 1.3.1 thì ( ) ( ) ( ) sup { ( )} sup { ( )}= ( ) C A C B T A T C T C T B ∈ ∈ = ≤ K, K, Vậy ( ) ( )T A T B≤ Hệ quả 1.3.1 Cho T là dung lượng trên X . Nếu ( )A X∈B và ( ) 0T A = thì ( ) ( ), ( )T B T B A B X= ∪ ∀ ∈B Chứng minh: Theo định lí 1.3.1 ta có ( ) ( )T B T B A≤ ∪ Vì T là dung lượng trên X nên ( ) ( ) ( ) ( )T B A T B T A T B A∩ ≤ + − ∪ ( ) ( ) ( ) ( )T B A T B T A T B A⇒ ∪ ≤ + − ∩ Mà ( ) 0 ( ) 0T A T B A= ⇒ ∩ = Do đó ( ) ( )T B A T B∪ ≤ Vậy ( ) ( ), ( )T B T B A B X= ∪ ∀ ∈B . Định nghĩa 1.3.2 Hàm : ( ) [0, )T X → +∞B được gọi là cực đại nếu ( ) max{ ( ), ( )}, , ( )T A B T A T B A B X∪ = ∀ ∈B Định lí 1.3.2 Nếu hàm : ( ) [0, )T X → +∞B là cực đại thì với mọi họ tập Borel , 1,..., , 2iA i k k= ≥ ta có # 1 {1,...,k}( ) ( 1) min { ( )}I i iiI I k i I T A T A+ ∈ ∈ ∈   − =    ∑  Chứng minh: Với 2k = ta có 1 2 1 2( ) ( ) ( )T A T A T A A+ − ∪ 1 2 1 2( ) ( ) max{ ( ), ( )}T A T A T A T A= + − 1 2min{ ( ), ( )}T A T A= Giả sử đẳng thức trên đúng với , 2k n n= ≥ , ta chứng minh đẳng thức trên đúng với 1k n= + . Với mọi họ tập Borel , 1,..., 1iA i n= + , không mất tính tổng quát ta có thể giả sử 1 1 1 ( ) min{ ( )}ii nT A T A≤ ≤ += và 1 1 1( ) max{ ( )}n ii nT A T A+ ≤ ≤ += . Ta có # 1 ( 1) # 1 # ' 1 1 ( ) ' ( , 1) ' ( 1) ( 1) ( ) ( 1) n I i I I n i I I I i n i I I n I I ni I i I T A T A T A T A + ∈ + ∈ + + + ∈ ∈ +∈ ∈   −         = − + + −        ∑ ∑ ∑    ( )1 21 1 1( ) ( ) ... ( 1) ( )n nn n n n nT A T A C C C T A+ += + + − + − + − ( )0 1 21 1( ) ... ( 1) ( )n nn n n n nT A C C C C T A += + − + − + − 1( )T A= 1 1 min{ ( )}ii n T A≤ ≤ += với ( , 1) { { 1}: ( )}nI n I n I I n+ = ∪ + ∈ . Định lý 1.3.3 Nếu hàm : ( ) [0, )T X → +∞B là cực đại thì T thỏa điều kiện 2. của định nghĩa 1.3.1 Chứng minh: Với mọi họ tập Borel , 1,..., , 2iA i k k= ≥ ta có # 1 {1,...,k} ( )1 min { ( )}= ( 1) k I i i ii I I ki i I T A T A T A+ ∈ ∈= ∈     ≤ −        ∑  Định nghĩa 1.3.3 Hàm : ( ) [0, )T X → +∞B được gọi là độ đo cực đại nếu T là cực đại và thỏa các điều kiện 1.,3.,4. của định nghĩa 1.3.1. Như vậy, một độ đo cực đại là một dung lượng trên X . Định nghĩa 1.3.4 Hàm : ( ) [0, )T X → +∞B được gọi là có tính liên tục trên nếu mọi dãy { } ( )nC X⊂ B , 0nC C↓ (nghĩa là 1n nC C+ ⊂ và 0 1 n n C C +∞ = =  ) thì 0( ) ( )nT C T C↓ (nghĩa là 1( ) ( )n nT C T C+ ≤ và 0lim ( ) ( )nn T C T C→+∞ = ). Hàm : ( ) [0, )T X → +∞B được gọi là có tính liên tục dưới nếu mọi dãy { } ( )nC X⊂ B , 0nC C↑ (nghĩa là 1n nC C +⊂ và 0 1 n n C C +∞ = =  ) thì 0( ) ( )nT C T C↑ (nghĩa là 1( ) ( )n nT C T C +≤ và 0lim ( ) ( )nn T C T C→+∞ = ). Định nghĩa 1.3.5 Tập S X⊂ được gọi là giá của dung lượng T nếu S là tập đóng nhỏ nhất trong X thỏa ( \ ) 0T X S = . Giá của T được kí hiệu là suppT . Định lí 1.3.4 Nếu T là dung lượng trên X thì (supp ) ( ), ( )T T T A A X≥ ∀ ∈B . Và do đó (supp ) ( )T T T X= . Chứng minh: Với suppS T= và ( )A X∀ ∈B thì ta có ( ) ( )cA A S A S= ∩ ∪ ∩ . Theo định nghĩa 1.3.1 thì ( )0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )c cT A S A S T A S T A S T A= ∩ ∩ ∩ ≤ ∩ + ∩ − ( ) ( ) ( )cT A T A S T A S⇒ ≤ ∩ + ∩ Mà ( ) ( )T A S T A∩ ≤ và ( ) 0cT A S∩ = , do đó ( ) ( )T A T S≤ . Ta có (supp ) ( )T T T X≤ và theo trên thì ( ) (supp )T X T T≤ nên được (supp ) ( )T T T X= . Hệ quả 1.3.2 Nếu T là dung lượng trên X thì supp \ { : ( ), ( ) 0}T X G G X T G= ∈ =  G . Định nghĩa 1.3.6 Dung lượng T được gọi là dung lượng xác suất trên X nếu (supp ) 1T T = . Định lí 1.3.5 Cho X là không gian (LCS) và T là dung lượng trên X . Cho 0, ( )G G X∈G , ( )K X∈K , { } ( )nK X⊂ K là dãy tập compắc sao cho nK G↑ , { } ( )nG X⊂ G là dãy các tập mở sao cho 1 ( )n nG G X+⊃ ∈K và nG K↓ . Khi đó 0 0lim ( ) ( )n nn T G G K T G G K→+∞ ∪ ∪ = ∪ ∪ 1.4 Mối liên hệ giữa dung lượng và độ đo Định lí 1.4.1 Nếu µ là độ đo hữu hạn trên ( )XB thì với mọi họ tập Borel , 1,..., , 2iA i k k= ≥ ta có # 1 ( )1 ( 1) k I i i I I ki i I A Aµ µ+ ∈= ∈     = −        ∑  Chứng minh: Với 2k = , do µ là độ đo hữu hạn nên ta có 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )A A A A A Aµ µ µ µ∩ = + − ∪ Giả sử đẳng thức trên đúng với , 2k n n= ≥ , ta chứng minh đẳng thức trên đúng với 1k n= + . Kí hiệu { }( 1) ( ) {n+1} ( , 1)nI n I n I n+ = ∪ ∪ + , với ( , 1) { { 1}: ( )}nI n I n I I n+ = ∪ + ∈ . Đặt 1 n i i A A = =  Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 # 1 # 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) n i i n n n n n i n i n n i n i n i i I I i n i n I I n I I ni I i I A A A A A A A A A A A A A A A A A A A µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ + = + + + + + = + + = = + + + + ∈ ∈∈ ∈       = ∩ = + − ∪    = + − ∪          = + − ∪          = − + − − ∪    ∑ ∑       # 1 # 1 1 ( ) ( ) ' # 1 # ' 1 1 ( ) ' ( , 1) ' # 1 ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) n I I i n i I I n I I ni I i I I I i n i I I n I I ni I i I I i I I n i I A A A A A A A µ µ µ µ µ µ µ + + + ∈ ∈∈ ∈ + + + ∈ ∈ +∈ ∈ + ∈ + ∈           = − + − −            = − + + −          = −     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑      với ' {n+1}, ( )I I I I n= ∪ ∈ . Hệ quả 1.4.1 Độ đo Borel chính quy hữu hạn trên X là dung lượng trên X . Đặc biệt, với mọi tập con Borel bị chặn A của nR , thu hẹp của độ đo Lebesgue trên ( )AB là dung lượng trên A . Như vậy, lớp các dung lượng trên X chứa lớp các độ đo Borel chính quy hữu hạn và lớp của những độ đo cực đại. 1.5 Một số dung lượng đặc biệt Định lí 1.5.1 Cho x X∈ . Hàm : ( ) [0,+ )xT X → ∞B được xác định như sau 1 ( ), ( ) 0 x khi x A A X T A khi x A ∈ ∀ ∈ =  ∉ B Khi đó xT là dung lượng xác suất trên X . Chứng minh: Ta có ( ) 0xT ∅ = . xT là cực đại. Thật vậy, , ( )A B X∀ ∈B : Nếu x A B∈ ∪ x A⇒ ∈ hoặc x B∈ thì ( ) max{ ( ), ( )}=1x x xT A B T A T B∪ = . Nếu x A B∉ ∪ x A⇒ ∉ và x B∉ thì ( ) max{ ( ), ( )} 0x x xT A B T A T B∪ = = Do đó xT thỏa mãn điều kiện 2. của định nghĩa 1.3.1. Ta có ( ) sup{ ( ) : ( ), }, ( )x xT A T C C X C A A X= ∈ ⊂ ∀ ∈K, B . Thật vậy: Nếu x A∈ thì ( ) 1xT A = . Vì { }x là tập compắc chứa trong A và ( ){ } 1xT x = nên đẳng thức đúng. Nếu x A∉ thì ( ) 0xT A = . Vì ( ),C X C A∀ ∈ ⊂K, ( ) 0xx C T C⇒ ∉ ⇒ = nên đẳng thức cũng đúng. Ta có ( ) inf{ ( ) : ( ), }, ( )x xT C T G G X G C C X= ∈ ⊃ ∀ ∈G K, . Thật vậy: Nếu x C∈ thì ( ) 1xT C = và ( ) 1, ( ),xT G G X G C= ∀ ∈ ⊃G nên đẳng thức đúng. Nếu x C∉ thì ( ) 0xT C = . Ta có \{ }X x là một tập mở chứa C . Mà ( )\{ } 0xT X x = nên đẳng thức cũng đúng. Vậy xT là dung lượng trên X . Hiển nhiên supp { }xT x= và ( ){ } 1xT x = nên xT là dung lượng xác suất trên X . Định lí 1.5.2 Cho ( )C X∈K, . Hàm : ( ) [0,+ )CT X → ∞B được xác định như sau 1 ( ), ( ) 0 C khi A C A X T A khi A C ∩ ≠∅ ∀ ∈ =  ∩ =∅ B Khi đó CT là dung lượng xác suất trên X và supp CT C= . Chứng minh: Ta có ( ) 0CT ∅ = . Ta có CT là cực đại. Thật vậy, , ( )A B X∀ ∈B Nếu ( )A B C∪ ∩ ≠∅ thì ( ) max{ ( ), ( )}=1C C CT A B T A T B∪ = . Nếu ( )A B C∪ ∩ =∅ thì ( ) max{ ( ), ( )}=0C C CT A B T A T B∪ = . Do đó CT thỏa mãn điều kiện 2. của định nghĩa 1.3.1 Ta có ( ) sup{ ( ) : ( ), }, ( )C CT A T K K X K A A X= ∈ ⊂ ∀ ∈K, B . Thật vậy: Nếu A C∩ ≠∅ thì ( ) 1CT A = . Gọi x A C∈ ∩ thì { }x là tập compắc chứa trong A và ( ){ } 1CT x = nên đẳng thức đúng. Nếu A C∩ =∅ thì ( ) 0CT A = . Vì ( ),K X K A K C∀ ∈ ⊂ ⇒ ∩ =∅K, ( ) 0CT K⇒ = nên đẳng thức cũng đúng. Ta có ( ) inf{ ( ) : ( ), }, ( )C CT K T G G X G K K X= ∈ ⊃ ∀ ∈G K, . Thật vậy: Nếu K C∩ ≠∅ thì ( ) 1CT K = và ( ) 1, ( ),CT G G X G K= ∀ ∈ ⊃G nên đẳng thức đúng. Nếu K C∩ =∅ thì ( ) 0CT K = . Ta có \X C là một tập mở chứa K . Mà ( \ ) 0CT X C = nên đẳng thức cũng đúng. Vậy CT là dung lượng trên X . Hiên nhiên supp CT C= và ( ) 1CT C = nên CT là dung lượng xác suất trên X . Định nghĩa 1.5.1 Họ số thực không âm { }i i It ∈ gọi là khả tổng nếu sup : ,#i i J s t J I J ∈   = ⊂ < +∞ < +∞    ∑ , với sup 0∅ = . Nếu họ { }i i It ∈ khả tổng thì ta gọi s là tổng của họ, kí hiệu i i I s t ∈ =∑ . Bổ đề 1.5.1 Nếu i i I t ∈ là tập con đếm được của I . Định nghĩa 1.5.2 Hàm : RXϕ → được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) nếu ( )1 ( , ) ( )a Xϕ− −∞ ∈G với a R∀ ∈ ( ( )1 ( , ) ( )a Xϕ− +∞ ∈G với a R∀ ∈ ). Định lí 1.5.3 Cho : [0,+ )Xϕ → ∞ là hàm nửa liên tục trên, bị chặn. Với ( )A X∀ ∈B , đặt ( ) sup ( )T A Aϕ ϕ∞ = , với sup 0∅ = Khi đó T ϕ∞ là dung lượng trên X . Chứng minh: Hiển nhiên ( ) 0T ϕ∞ ∅ = . Ta có T ϕ∞ là cực đại. Thật vậy, , ( )A B X∀ ∈B thì ( ) sup ( )T A B A Bϕ ϕ∞ ∪ = ∪ { } { }max sup ( ),sup ( ) max ( ), ( )A B T A T Bϕ ϕϕ ϕ ∞ ∞= = Với ( ),A X A∀ ∈ ≠∅B , chọn dãy { }nx A⊂ sao cho lim ( ) sup ( )nn x Aϕ ϕ→∞ = . Đặt 1 2{ , ,..., }n nc x x x= , ta có ( ) sup ( ) sup ( )n n n n T A c T cϕ ϕϕ∞ ∞= = { }sup ( ) : ( ),T C C X C Aϕ∞≤ ∈ ⊂K, sup ( )Aϕ≤ ( )T Aϕ∞= Do đó { }( ) sup ( ) : ( ),T A T C C X C Aϕ ϕ∞ ∞= ∈ ⊂K, . Với ( )A X∀ ∈B , đặt ( ) [0,+ )T Aϕ α∞ = ∈ ∞ . Chọn dãy số { }nα sao cho 1n nα α+ < và lim nn α α→∞ = . Với mọi n , do ϕ nửa liên tục trên nên ( ) 1 ( , )n nG ϕ α −= −∞ là tập mở và nG A⊃ . Ta có ( )( ) inf inf sup ( ) inf ( )n n nn n nT A G T G ϕ ϕα ϕ∞ ∞= = = { }inf ( ) : ( ),T G G X G Aϕ∞≥ ∈ ⊃G ( )T Aϕ∞≥ Do đó { }( ) inf ( ) : ( ),T A T G G X G Aϕ ϕ∞ ∞= ∈ ⊃G . Vậy T ϕ∞ là dung lượng trên X . Định lí 1.5.4 Cho hàm : [0,+ )Xϕ → ∞ liên tục. Với (0, )p∈ +∞ , đặt ( ) ( ) pp A T Aϕ λ ϕ λ ∈ = ∑ , với ( ) 0pT ϕ ∅ = . Nếu ( ) p Xλ ϕ λ ∈ < +∞∑ thì pT ϕ là dung lượng trên X . Chứng minh: Hiển nhiên ( ) 0pT ϕ ∅ = . Với , ( )A B X∀ ∈B , ta có ( ) ( ) pp A B T A Bϕ λ ϕ λ ∈ ∪ ∪ = ∑ ( ) ( ) ( ) p p p A B A Bλ ϕ λ ϕ λ ϕ λ λ λ ∈ ∈ ∈ ∩ = + −∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( )p p pT A T B T A B ϕ ϕ ϕ= + − ∩ Theo định lí 1.4.1 thì pT ϕ thỏa tính chất 2. của định nghĩa 1.3.1 Với ( )A X∀ ∈B , ta có ( ) ( ) sup : ( ),#p pp A T A Aϕ λ ϕ λ λ λ ϕ ∈ ∈∆   = = ∆ ⊂ ∆ < +∞    ∑ ∑ ( ) sup : ,#p I I A I λ ϕ λ ∈   = ⊂ < +∞    ∑ ( ) sup : ( ),p C C X C A λ ϕ λ ∈   ≤ ∈ ⊂    ∑ K, { }sup ( ) : ( ),pT C C X C Aϕ= ∈ ⊂K, ( )pT A ϕ≤ Do đó pT ϕ thỏa tính chất 3. của định nghĩa 1.3.1 Lấy tùy ý ( )A X∈B . Do tập ( )Xϕ đếm được (theo bổ đề 1.5.1) nên có thể đặt 1 2( ) \ ( ) { , ,...}X Aϕ ϕ λ λ= Do ϕ liên tục nên ( )1 1 2 n[0,+ )\{ , ,..., }nG ϕ λ λ λ−= ∞ là tập mở và nG A⊃ . Từ đó { }( ) inf ( ) : ( ),p pT A T G G X G Aϕ ϕ≤ ∈ ⊃G inf ( )p nn T G ϕ≤ ( ) ( )p p A T Aϕ λ ϕ λ ∈ = =∑ Do đó pT ϕ thỏa tính chất 4. của định nghĩa 1.3.1 Vậy pT ϕ là dung lượng trên X . Hệ quả 1.5.1 Nếu A là tập con đóng của X thì mọi (0, ]p∈ +∞ , 1ApT là dung lượng trên X . (Ở đây 1 khi 1 ( ) 0 khi A x A x x A ∈ =  ∉ , là hàm đặc trưng) 1.6 Dung lượng rời rạc Định nghĩa 1.6.1 Dung lượng T trên X gọi là rời rạc nếu ( )supp { : { } 0}T x X T x= ∈ > . Định lí 1.6.1 Cho T là dung lượng rời rạc trên X và ( )sup { } x X T x ∈ < +∞ . Với ( )A X∀ ∈B , đặt ( )( ) sup { } x A T A T x∞ ∈ = và ( ) 0T∞ ∅ = . Khi đó T∞ là dung lượng trên X thỏa mãn ( ) ( )T A T A∞ ≤ với ( )A X∀ ∈B . Chứng minh: Dễ dàng thấy rằng ( )( ) sup { } ( ) x A T A T x T A∞ ∈ = ≤ với ( )A X∀ ∈B . Hiển nhiên ( ) 0T∞ ∅ = . Ta có T∞ là cực đại. Thật vậy, với , ( )A B X∀ ∈B thì ( ) ( ) ( ){ } ( ) sup { } max sup { } ,sup { } x A B x A x B T A B T x T x T x ∞ ∈ ∪ ∈ ∈ ∪ = = { }max ( ), ( )T A T B∞ ∞= Do đó T∞ thỏa điều kiện 2. của định nghĩa 1.3.1. Với ( ),A X A∀ ∈ ≠∅B , đặt ( )T A α∞ = . Chọn dãy { }na A⊂ sao cho 1( ) ( )n nT a T a +≤ và lim ( )nn T a α→∞ = . Khi đó ( ) { } ( ) sup { } sup ( ) : ( ), ( ) n n T A T a T C C X C A T A ∞ ∞ ∞ = ≤ ∈ ⊂ ≤ K, Do đó T∞ thỏa điều kiện 3. của định nghĩa 1.3.1. Với ( )A X∀ ∈B , đặt ( )T A α∞ = . Cho trước 0ε > . Với x A∀ ∈ , theo tính chất 3. của định nghĩa 1.3.1 thì ( ) { }{ } inf ( ) : ( ), { }T x T G G X G x= ∈ ⊃G . Do đó tồn tại tập mở xG chứa x sao cho ( )( ) { } ( )xT G T x T Aε ε∞≤ + ≤ + Đặt x x A G G ∈ =  . Ta có G A⊃ và ( ) sup ( ) sup ( ) ( )x x x A x A T G T G T G T A ε∞ ∞ ∞ ∈ ∈ = ≤ ≤ + . Do 0ε > tùy ý nên { }( ) inf ( ) : ( ),T A T G G X G A∞ ∞= ∈ ⊃G Do đó T∞ thỏa điều kiện 4. của định nghĩa 1.3.1. Vậy T∞ là dung lượng trên X . Định lí 1.6.2 Cho T là dung lượng rời rạc trên X và (0, )p∈ +∞ . Với ( )A X∀ ∈B , đặt ( )( ) { } pp x A T A T x ∈ =∑ . Nếu ( ){ } p x X T x ∈ < +∞∑ thì pT là dung lượng trên X . Chứng minh: Hiển nhiên ( ) 0pT ∅ = . Với , ( )A B X∀ ∈B ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } { } { } { } ( ) ( ) ( ) p p x A B p p p x A x B x A B p p p T A B T x T x T x T x T A T B T A B ∈ ∪ ∈ ∈ ∈ ∩ ∪ = = + − = + − ∩ ∑ ∑ ∑ ∑ Theo định lí 1.4.1 thì pT thỏa tính chất 2. của định nghĩa 1.3.1. Với ( )A X∀ ∈B ta có ( ) ( ) { } ( ) sup { } : ,# sup { } : ( ), sup ( ) : ( ), ( ) p p x I p x C p p T A T x I A I T x C X C A T C C X C A T A ∈ ∈   = ⊂ < +∞      ≤ ∈ ⊂    = ∈ ⊂ ≤ ∑ ∑ K, K, Do đó pT thỏa điều kiện 3. của định nghĩa 1.3.1. Giả sử ( )C X∈K, và với 0ε > tùy ý. Do ( ){ } p x X T x ∈ < +∞∑ nên theo bổ đề 1.5.1, suppT là tập đếm được. Suy ra suppC T∩ là tập compắc, đếm được. Đặt 1 2supp { , ,...}C T d d∩ = Với mỗi j, ta chọn được tập mở jG chứa jd sao cho ( )( ) { } + 2p j j jT G T d ε ≤ Thật vậy, chọn tập hữu hạn supp \{ }j jH T d⊂ sao cho ( ) ( ) ( ) y { } { } { } 2 j pp p j j H y X T y T y T d ε ∈ ∈ > − −∑ ∑ Đặt \j jG X H= . Ta có jG mở, chứa jd và ( ) ( ) ( ) ( ) y y ( ) { } { } { } { } 2 j j pp pp p j j j G y X H T G T y T y T y T d ε ∈ ∈ ∈ = = − − <∑ ∑ ∑ Chọn hữu hạn tập 1 2 , ,..., nj j j G G G sao cho hợp của chúng chứa suppC T∩ . Đặt ( ) 1 \ supp i n j i G G X T =   = ∪     . Ta có G C⊃ và ( ) 1 1 ( ) i i n p p j i n p j i T G T G T G = =   =     ≤∑  ( ) 1 { } 2i i n p j j i T d ε =  ≤ +    ∑ ( ) 1 1 { } 2 p j j j j T d ε ∞ ∞ = = ≤ +∑ ∑ ( )pT C ε= + Do 0ε > tùy ý nên { }( ) inf ( ) : ( ),p pT C T G G X G C= ∈ ⊃G . Vậy pT là dung lượng trên X . Hệ quả 1.6.1 Cho T là dung lượng rời rạc trên X và ( ){ } x X T x ∈ < +∞∑ . Khi đó 1T là dung lượng trên X thỏa mãn 1( ) ( )T A T A≤ với ( )A X∀ ∈B . Chứng minh: Xét trường hợp ( )C X∈K, . Đặt 1 2supp { , ,...}C T d d∩ = Cho 0ε > tùy ý. Với mỗi j, do tính chất 4. của định nghĩa 1.3.1 nên chọn được tập mở jG chứa jd sao cho ( )( ) { } + 2j j jT G T d ε ≤ Phủ suppC T∩ bởi 1 2 , ,..., nj j j G G G . Đặt 1 i n j i G G = =  , ta có suppC T G∩ ⊂ . Ta có ( ) ( ) 11 1 1 1 1 ( ) ( supp ) ( ) { } { } ( ) 2 i i i i n n j j ii n n j jj i i j T C T C T T G T G T d T d T Cε ε ε == ∞ = = =   = ∩ ≤ ≤    ≤ + ≤ + = + ∑ ∑ ∑ ∑  Do 0ε > tùy ý nên 1( ) ( )T C T C≤ với ( )C X∀ ∈K, . Với mọi ( )A X∀ ∈B , ta có { } { }1 1 ( ) sup ( ) : ( ), sup ( ) : ( ), ( ) T A T C C X C A T C C X C A T A = ∈ ⊂ ≤ ∈ ⊂ = K, K, Hệ quả 1.6.2 Cho T là dung lượng rời rạc trên X và ( ){ } x X T x ∈ < +∞∑ . Khi đó T∞ và 1T là các dung lượng trên X thỏa mãn 1T T T∞ ≤ ≤ trên ( )XB . Chương 2: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG 2.1 Định nghĩa Cho T là dung lượng trên X và :f X R+→ là hàm đo được Borel. Cho ( ),A X∈B xét hàm :Af R R→ xác định bởi ( )( ) { : ( ) } ,Af t T x A f x t t R= ∈ ≥ ∀ ∈ Thế thì Af là hàm giảm theo t , không âm và do đó Af là hàm đo được Borel trên R . Từ đó, với mọi hàm :f X R+→ đo được Borel, ta định nghĩa tích phân Choquet của f theo dung lượng T trên tập ( )A X∈B như sau ( ) 0 0 ( ) { : ( ) }A A fdT f t dt T x A f x t dt +∞ +∞ = = ∈ ≥∫ ∫ ∫ Nếu A fdT < +∞∫ thì ta nói f khả tích Choquet. Đặc biệt nếu A X= ta viết X fdT fdT=∫ ∫ . Trong trường hợp tổng quát, cho :f X R→ là hàm đo được Borel. Kí hiệu ( ) max{ ( ),0}f x f x+ = và ( ) max{ ( ),0}f x f x− = − . Nếu f + hoặc f − khả tích Choquet thì ta định nghĩa tích phân Choquet của f theo dung lượng T trên tập ( )A X∈B như sau A A A fdT f dT f dT+ −= −∫ ∫ ∫ 2.2 Tính chất Định lí 2.2.1 Cho T là dung lượng trên X , :f X R+→ là hàm đo được Borel và ( )A X∈B . Khi đó: a. Nếu ( ) 0T A = thì 0 A fdT =∫ . b. Nếu sup{ ( ) : }<+f x x Aα = ∈ ∞ thì ( ) 0 { : ( ) } A fdT T x A f x t dt α = ∈ ≥∫ ∫ . Chứng minh: a. Ta có { : ( ) }x A f x t A∈ ≥ ⊂ nên ( ){ : ( ) } ( )T x A f x t T A∈ ≥ ≤ . Do đó ( ) 0 0 { : ( ) } ( ) 0 A fdT T x A f x t dt T A dt +∞ +∞ = ∈ ≥ ≤ =∫ ∫ ∫ . Vậy 0 A fdT =∫ . b. Ta có { : ( ) } ,x A f x t t α∈ ≥ =∅ ∀ > nên ( ){ : ( ) } 0,T x A f x t t α∈ ≥ = ∀ > . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 { : ( ) } { : ( ) } { : ( ) } { : ( ) } A fdT T x A f x t dt T x A f x t dt T x A f x t dt T x A f x t dt α α α +∞ +∞ = ∈ ≥ = ∈ ≥ + ∈ ≥ = ∈ ≥ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Định lí 2.2.2 Cho T là dung lượng trên X và ( )A X∈B . Hàm đặc trưng 1 :A X R +→ , xác định bởi 1 khi ,1 ( ) 0 khi A x A x X x x A ∈ ∀ ∈ =  ∉ . Khi đó 1 ( )A dT T A=∫ . Chứng minh: Ta có sup{1 ( ) : }=1A x x X∈ nên theo định lí 2.2.1 ( ) 1 0 1 { :1 ( ) }A AdT T x X x t dt= ∈ ≥∫ ∫ (0,1]t∀ ∈ thì { :1 ( ) }Ax X x t A∈ ≥ = . Do đó 1 0 1 ( ) ( )A dT T A dt T A= =∫ ∫ . Định lí 2.2.3 Cho T là dung lượng trên X , :f X R+→ là hàm đo được Borel. Khi đó với 0c∀ ≥ thì .c f dT c fdT=∫ ∫ . Chứng minh: Với 0c = thì định lí hiển nhiên đúng. Với 0c ≠ , ta có ( ) 0 0 . { : . ( ) } { : ( ) } c f dT T x X c f x t dt t tc T x X f x d c fdT c c +∞ +∞ = ∈ ≥    = ∈ ≥ =        ∫ ∫ ∫ ∫ Định lí 2.2.4 Cho T là dung lượng trên X , :f X R+→ là hàm đo được Borel và 0c ≥ . Khi đó nếu ( )T X < +∞ thì ( ) . ( )c f dT c T X fdT+ = +∫ ∫ Chứng minh: Với 0c = thì định lý hiển nhiên đúng. Với 0c ≠ , ta có ( ) ( ) 0 0 ( ) { : ( )( ) } { : ( ) } ( ) c f dT T x X c f x t dt T x X f x t c d t c +∞ +∞ + = ∈ + ≥ = ∈ ≥ − − ∫ ∫ ∫ ( ){ : ( ) } c T x X f x t dt +∞ − = ∈ ≥∫ ( ) ( ) 0 0 { : ( ) } { : ( ) } c T x X f x t dt T x X f x t dt +∞ − = ∈ ≥ + ∈ ≥∫ ∫ 0 ( ) c T X dt fdT − = +∫ ∫ . ( )c T X fdT= + ∫ Định lí 2.2.5 Cho T là dung lượng trên X và , :f g X R+→ là các hàm đo được Borel. Khi đó nếu f g≥ thì fdT gdT≥∫ ∫ . Chứng minh: Ta có { : ( ) } { : ( ) }x X f x t x X g x t∈ ≥ ⊃ ∈ ≥ ( ) ( ){ : ( ) } { : ( ) }T x X f x t T x X g x t⇒ ∈ ≥ ≥ ∈ ≥ Do đó ( ) ( ) 0 0 { : ( ) } { : ( ) }T x X f x t dt T x X g x t dt +∞ +∞ ∈ ≥ ≥ ∈ ≥∫ ∫ Vậy fdT gdT≥∫ ∫ . Định lí 2.2.6 Cho T là dung lượng trên X , :f X R+→ là hàm đo được Borel. Khi đó với 0c∀ > ta có .c T cũng là dung lượng trên X và ( . ) .fd c T c fdT=∫ ∫ . Chứng minh: Hiển nhiên .c T là dung lượng trên X . Ta có ( ) ( ) 0 0 ( . ) . { : ( ) } . { : ( ) } . fd c T c T x X f x t dt c T x X f x t dt c fdT +∞ +∞ = ∈ ≥ = ∈ ≥ = ∫ ∫ ∫ ∫ Định lí 2.2.7 Cho ,T K là hai dung lượng trên X , :f X R+→ là hàm đo được Borel. Nếu T K≥ (nghĩa là ( ) ( ), ( )T A K A A X≥ ∀ ∈B ) thì fdT fdK≥∫ ∫ . Chứng minh: Ta có ( ) ( ){ : ( ) } { : ( ) } ,T x X f x t K x X f x t t R∈ ≥ ≥ ∈ ≥ ∀ ∈ ( ) ( ) 0 0 { : ( ) } { : ( ) }T x X f x t dt K x X f x t dt +∞ +∞ ⇒ ∈ ≥ ≥ ∈ ≥∫ ∫ Do đó fdT fdK≥∫ ∫ . Định lí 2.2.8 Cho T là dung lượng trên X , :f X R+→ là hàm đo được Borel. Nếu 0fdT =∫ và không tồn tại tập ,A X A⊂ ≠∅ sao cho ( ) 0T A = thì 0Xf ≡ . Chứng minh: Phản chứng, giả sử 0Xf ≠ 0 0: ( ) 0x X f x c⇒∃ ∈ = > Theo giả thiết ta có ( )0{ } 0T x > . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 { : ( ) } { : ( ) } { : ( ) } { : ( ) } c c c fdT T x X f x t dt T x X f x t dt T x X f x t dt T x X f x t dt +∞ +∞ = ∈ ≥ = ∈ ≥ + ∈ ≥ ≥ ∈ ≥ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Mặt khác 0 0(0, ],{ : ( ) } { { }: ( ) } { }t c x X f x t x x f x t x∀ ∈ ∈ ≥ ⊃ ∈ ≥ = Do đó ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 { : ( ) } { } . { } 0 c c fdT T x X f x t dt T x dt c T x = ≥ ∈ ≥ ≥ = > ∫ ∫ ∫ Ta gặp mâu thuẫn. Vậy 0Xf ≡ . Định lí 2.2.9 Cho T là dung lượng trên X và là hàm liên tục dưới. : , 1nf X R n +→ ≥ là dãy hàm đo được Borel. Khi đó nếu nf f↑ thì nf dT fdT↑∫ ∫ . Chứng minh: Ta có f cũng là hàm đo được Borel. Đặt { : ( ) }n nG x X f x t= ∈ ≥ { : ( ) }G x X f x t= ∈ ≥ Do nf f↑ nên nG G↑ ( ) ( )nT G T G⇒ ↑ (do T là hàm liên tục dưới) Suy ra 1( ) ( )n nT G T G +≤ 1 0 0 ( ) ( )n nT G dt T G dt +∞ +∞ +⇒ ≤∫ ∫ 1n nf dT f dT+⇒ ≤∫ ∫ Mặt khác ( ) ( )nT G T G↑ 0 0 lim ( ) lim ( )n nn nT G dt T G dt +∞ +∞ →∞ →∞ ⇒ =∫ ∫ (định lí hội tụ đơn điệu) 0 ( )T G dt fdT +∞ = = ∫ ∫ Do đó lim nn f dT fdT→∞ =∫ ∫ Vậy nf dT fdT↑∫ ∫ . Định lí 2.2.10 Tích phân Choquet không có tính chất cộng tính. Nghĩa là với T là dung lượng trên X , tồn tại các hàm , :f g X R+→ đo được Borel sao cho ( )f g dT fdT gdT+ ≠ +∫ ∫ ∫ . Chứng minh: Lấy ,A B X⊂ sao cho A B∩ ≠∅ và ( \ ) ( )T B A T B< . Chọn 1 1.1 , .1 4 2A B f g= = thì ,f g là các hàm đo được Borel trên X . Ta có 1 1( ) ( ) 4 2 fdT gdT T A T B+ = +∫ ∫ Đặt 1 1{ : .1 ( ) .1 ( ) } 4 2A B G x X x x t= ∈ + ≥ Ta có 0 1 1( ) { : .1 ( ) .1 ( ) } 4 2A B f g dT T x X x x t dt +∞  + = ∈ + ≥   ∫ ∫ 0 31 1 4 2 4 1 1 30 4 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T G dt T G dt T G dt T G dt T G dt +∞ +∞ = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Với ( 10, 4t ∀ ∈  thì G A B= ∪ . ( 1 1,4 2t ∀ ∈  thì \G B A= . ( 31 ,2 4t ∀ ∈  thì G A B= ∩ . ( )3 ,4t∀ ∈ +∞ thì G =∅ . Do đó 31 1 4 2 4 1 1 30 4 2 4 ( ) ( ) ( \ ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( \ ) ( ) 4 4 4 f g dT T A B dt T B A dt T A B dt T dt T A B T B A T A B +∞ + = ∪ + + ∩ + ∅ = ∪ + + ∩ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )1 1 1( ) ( ) ( ) ( \ ) ( ) 4 4 4 T A T B T A B T B A T A B≤ + − ∩ + + ∩ 1 1 1( ) ( ) ( \ ) 4 4 4 T A T B T B A= + + 1 1( ) ( ) 4 2 T A T B< + Vậy ( )f g dT fdT gdT+ < +∫ ∫ ∫ hay ( )f g dT fdT gdT+ ≠ +∫ ∫ ∫ . Định nghĩa 2.2.1 Tập con D X⊂ được gọi là tập rời rạc (trong X ) nếu x D∀ ∈ tồn tại lân cận xU của x sao cho { }xU D x∩ = . Hàm :f X R→ đo được Borel được gọi là hàm rời rạc nếu ( )f X là tập rời rạc và đóng trong R . Định nghĩa 2.2.2 Cho :f X R→ là hàm rời rạc và ( )f Xλ∈ . 'λ được gọi là phần tử kề sau λ nếu inf{ ( ) : } khi ( ) ' khi ( ) f X Max f X Max f X µ µ λ λ λ λ λ ∈ > ≠ =  = Định lí 2.2.11 Cho T là dung lượng trên X và :f X R+→ là hàm rời rạc, đo được Borel. Nếu 0x X∃ ∈ sao cho 0( ) 0f x = thì ( ) { }( ) ( ) = ' : ( ) ' f X fdT T x X f x λ λ λ λ ∈ − ∈ ≥∑∫ . ( 'λ là phần tử kề sau λ ) Chứng minh: Nếu ( ) 0,f x x X= ∀ ∈ : thì định lí hiển nhiên đúng. Ngược lại, đặt { }1 2( ) , ,...f X λ λ= với 1 0λ = . Ta sẽ chứng minh: ( ) { }( ) 1 = ' : ( ) 'j j j j fdT T x X f xλ λ λ +∞ = − ∈ ≥∑∫ Đặt ( , '1 j j n n T j h f λ λ = =∑ . Ta có:0 n Th f≤ ≤ và ( ) ( )n Th t f t↑ ( ( ) { }( ) , ' 1 10 ( ) ( ) ' : ( ) ' j j n n n T j j j j j h t dt f t dt T x X f x λ λ λ λ λ   +∞ = = = = − ∈ ≥∑ ∑∫ ∫ Do đó theo định lý hội tụ đơn điệu ta có: ( ) { }( ) 10 0 ( ) lim ( ) ' : ( ) ' n T n j j jn j fdT f t dt h t dt T x X f xλ λ λ +∞ +∞ →+∞ = = = = − ∈ ≥∑∫ ∫ ∫ Định lí 2.2.12 Cho T là dung lượng trên X và :f X R+→ là hàm rời rạc, đo được Borel. Khi đó a. Nếu sup ({ }) x X T x ∈ < +∞ và 0 0, ( ) 0x X f x∃ ∈ = thì ( ) { } ( ) = ' sup ({ }) : ( ) ' f X fdT T x f x λ λ λ λ∞ ∈ − ≥∑∫ . b. Nếu ({ }) x X T x ∈ < +∞∑ và 0 0, ( ) 0x X f x∃ ∈ = thì 1 ( ) ( , ) f X fdT T f λ λ λ ∈ = ∑∫ , trong đó ( ) ( , ) ({ }) f x T f T x λ λ = = ∑ . Chứng minh: a. Theo định lí 2.2.11 ta có ( ) { }( ) ( ) { } ( ) ( ) = ' : ( ) ' ' sup ({ }) : ( ) ' f X f X fdT T x X f x T x f x λ λ λ λ λ λ λ λ ∞ ∞ ∈ ∈ − ∈ ≥ = − ≥ ∑∫ ∑ b. Theo định lí 2.2.11 ta có ( ) { }( )1 1 ( ) ' : ( ) ' f X fdT T x X f x λ λ λ λ ∈ = − ∈ ≥∑∫ ( ) ( ) ( ) ' ' ({ }) f X f x T x λ λ λ λ ∈ ≥   = −    ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ' ( ) '' ' ({ }) '' ' ({ }) f x f x T x T x λ λ λ λ λ λ ≥ ≥ = − + −∑ ∑ ( ) ( ) ''' ''' '' ({ }) ... f x T x λ λ λ ≥ + − +∑ ( , ) ' ( , ') '' ( , '') ...T f T f T fλ λ λ λ λ λ= + + + (với 0λ = ) ( ) ( , ) f X T f λ λ λ ∈ = ∑ Định lí 2.2.12 Cho T là dung lượng rời rạc trên X . Khi đó a. Nếu sup ({ }) x X T x ∈ < +∞ và mọi hàm :f X R+→ rời rạc, đo được Borel trên X đều có ( ) { } ( ) = ' sup ({ }) : ( ) ' f X fdT T x f x λ λ λ λ ∈ − ≥∑∫ , thì T T∞= . b. Nếu ({ }) x X T x ∈ < +∞∑ và mọi hàm :f X R+→ rời rạc, đo được Borel trên X đều có ( ) ( , ) f X fdT T f λ λ λ ∈ = ∑∫ , thì 1T T= . Chứng minh: a. ( )A X∀ ∈B ta có ( ) { } {0,1} ( ) 1 ' sup ({ }) :1 ( ) ' A A T A dT T x x λ λ λ λ ∈ = = − ≥ ∫ ∑ { }sup ({ }) :1 ( ) 1AT x x= ≥ { }sup ({ }) :T x x A= ∈ ( )T A∞= b. ( )A X∀ ∈B ta có {0,1} 1 1 ( ) 1 ( ) 1 (1 , ) (1 ,1) = ({ }) ({ }) ( ) A A A A x x A T A dT T T T x T x T A λ λ λ ∈ = ∈ = = = = = ∑∫ ∑ ∑ Chương 3: ĐỊNH LÍ CHOQUET 3.1 Hàm dung lượng Định nghĩa Cho không gian tôpô X . Một hàm tập : ( )T X R→K được gọi là hàm dung lượng nếu thỏa i. 0 1, ( ) 0T T≤ ≤ ∅ = ii. T đan dấu cấp vô hạn. iii. T là hàm liên tục trên. Định lí 3.1.1 Cho 1T là dung lượng rời rạc tương ứng như trong hệ quả 1.6.1. Khi đó hàm tập * : ( )T X R→K , * 1 ( )XT T= K với điều kiện 1 1T ≤ là một hàm dung lượng. Chứng minh: Hiển nhiên ta có * *0 1, ( ) 0T T≤ ≤ ∅ = và *T đan dấu cấp vô hạn. Với mọi dãy { } ( )nK X∈K sao cho 1 1 ,n n n n K K K K +∞ + = ⊂ =  . Ta có 1 1( ) inf{ ( ) : ( ), }T K T G G X G K= ∈ ⊃G Với 0ε > cho trước, tồn tại ( ),G X G K∈ ⊃G sao cho 1 1( ) ( )T G T K ε< + ({ }) ({ }) x G x K T x T x ε ∈ ∈ ⇒ − <∑ ∑ \ ({ }) x G K T x ε ∈ ⇒ <∑ 1( \ )T G K ε⇒ < Vì 1 n n K K +∞ = =  compắc và G là một tập mở chứa K nên tồn tại 0n N∈ sao cho 0,nK G n n⊂ ∀ ≥ . Suy ra 1( \ )nT K K ε< , 0n n∀ ≥ 1 1( ) ( )nT K T K ε⇒ < + , 0n n∀ ≥ Mặt khác 1 1( ) ( )nT K T K≥ , 0n n∀ ≥ (do 1T là hàm không giảm). Do đó 1 1lim ( ) ( )nn T K T K→+∞ = . Vậy * *lim ( ) ( )nn T K T K→+∞ = . 3.2 Định lí Choquet Trong phần này không gian X là không gian (LCS). Cho không gian X . Nếu : ( )T X R→K là một hàm dung lượng thì tồn tại duy nhất một độ đo xác suất P trên ( )B F thỏa ( ) ( ), ( )KP T K K X= ∀ ∈KF . Ta sẽ chứng minh định lí trong trường hợp hàm dung lượng *T tương ứng trong định lí 3.1.1. Trước hết ta cần một số kết quả sau: Bổ đề 3.2.1 (Định lí Caratheodory về sự mở rộng độ đo xác suất) Cho A là một đại số các tập con của không gian X . Cho hàm : [0,1]P →A thỏa i. ( ) 1P X = . ii. Với , 1nA n∀ ∈ ∀ ≥A đôi một rời nhau và 1 n n A +∞ = ∈  A thì 11 ( )n n nn P A P A +∞ +∞ ==   =    ∑ Khi đó P được mở rộng duy nhất đến một độ đo xác suất trên ( )σ A ( ( )σ A là σ - đại số sinh bởi A ). Bổ đề 3.2.2 Cho K là một lớp compắc của một đại số A các tập con của không gian X . Cho : [0,1]P →A là hàm cộng tính và ( ) 1P X = . Nếu , ( ) sup{ ( ) : , }A P A P K K K A∀ ∈ = ∈ ⊂A K thì P là hàm σ - cộng tính trên A . Định lí 3.2.1 Đặt C là lớp các tập con của không gian X có dạng { : ( ), ( )}V K G K X G X= ∪ ∈ ∈K G Và A là lớp các tập con của ( )XF dạng 1 2, ,..., 1 { : , ,..., } n V V V V nV V V ∈F C ( 0n = thì có dạng ,V V ∈F C ). Thì a. A là nửa đại số các tập con của ( )XF . b. ( ) ( )σ = FA B . Chứng minh: a. Chứng minh A là nửa đại số các tập con của ( )XF Ta có V∅∅ = ∈F A Lấy bất kì ' ' ' '1 2 1 2 , ,..., , ,..., , n k V V V V V V V V ∈F F A . Ta có ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' ' '1 2 1 21 2 1 2 ' ' ' '1 2 1 2 ' ' ' 1 2 1 2 , ,..., , ,...,, ,..., , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., , , ,... = = n nk k n k n V V V V V V V V V VV V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V ∪ ∩ = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩  F F F F F F F F F F F F ' ' ' ' ' 1 2 1 2 , , ,..., , , ,..., = k n k V V V V V V V V V ∪ ∈F A Lấy bất kì 1 2, ,..., n V V V V ∈F A . Ta sẽ chứng minh 1 2 1 2 1 1 2 1, ,..., , ,..., ( ) \ ... n n n V VV V V VV V V V V V V V VX − ∪∪ ∪= ∪ ∪ ∪ ∪F F F F FF Thật vậy Với 1 2, ,..., ( ) \ ( ) n V V V VF X F X∀ ∈ ⇒ ∈FF F và 1 2, ,..., n V V V VF ∉F . Ta có 1 2, ,..., n V V V VF ∉F VF⇒ ∉F hoặc 1 i n V i F = ∉  F VF⇒ ∈F hoặc 1 i n V i F = ∉  F {1,2,..., }i n⇒∃ ∈ sao cho iV F ∉F . Không mất tính tổng quát, giả sử 1 1 V VF F∉ ⇒ ∈F F Suy ra VF ∈F hoặc 1V VF ∪∈F Suy ra 1 2 1 1 2 1, ,..., ... n n V VV V V V V V V V VF − ∪∪ ∪∈ ∪ ∪ ∪ ∪F F F F Do đó 1 2 1 2 1 1 2 1, ,..., , ,..., ( ) \ ... n n n V VV V V VV V V V V V V V VX − ∪∪ ∪⊂ ∪ ∪ ∪ ∪F F F F FF . Với 1 2 1 1 2 1, ,..., ... n n V VV V V V V V V V VF − ∪∪ ∪∀ ∈ ∪ ∪ ∪ ∪F F F F VF⇒ ∈F hoặc 1 2 1, ,..., k k V V V V VF − ∪∈F , với {1,2,..., }k n∈ . Nếu VF ∈F 1 2, ,..., n V V V V VF F⇒ ∉ ⇒ ∉F F Suy ra 1 2, ,..., ( ) \ n V V V VF X∈ FF Nếu 1 2 1, ,..., , {1,2,..., }k k V V V V VF k n− ∪∈ ∈F , {1,2,..., } , {1,2,..., }k k V V VF k n F k n ∪⇒ ∈ ∈ ⇒ ∉ ∈F F 1 2 1 2, ,..., , ,..., ( ) \ n n V V V V V V V VF F X⇒ ∉ ⇒ ∈F FF Do đó 1 2 1 1 2 1 1 2, ,..., , ,..., ... ( ) \n n n V VV V V V V V V V V V V V VX− ∪∪ ∪∪ ∪ ∪ ∪ ⊂F F F F FF Vậy 1 2 1 2 1 1 2 1, ,..., , ,..., ( ) \ ... n n n V VV V V VV V V V V V V V VX − ∪∪ ∪= ∪ ∪ ∪ ∪F F F F FF b. Chứng minh ( ) ( )σ = FA B 1 2, ,..., n V V V V ∈∀F A với , i i iV K G V K G= ∪ = ∪ , {1,2,..., }i n∀ ∈ và , ( ); , ( ), {1,2,..., }i iG G X K K X i n∈ ∈ ∀ ∈G K Ta có 1 2 1 1 1 1 , ,..., ,..., ( ) ... n n n n n V K G V V V K G K G K G K G K G ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ = = ∩ ∩ ∩ F F F F F 1 1 ( ) ( ) ... ( ) n n K G K G K G= ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪F F F F F F (3.1) Với ( )G X∈G , theo định lí 1.2.1 b. tồn tại dãy tăng các tập mở và tiền compắc { }nB sao cho 1 1 n n G B +∞ + = =  . Do đó 1 1 1 1 n n n B BG n +∞ + = + +∞ = = =   F F F (3.2) Với ( ), {1,2,..., }iK X i n∈ ∀ ∈K , theo định lí 1.2.3 tồn tại một hệ cơ bản các lân cận mở { } mi U của K sao cho 1 i imK U m +∞ = =  F F (3.3) Từ (3.1), (3.2), (3.3) suy ra 1 2, ,..., ( ) n V V V V ∈F FB (do ( )FB làσ - đại số sinh bởi họ { }: ( )K K X∈KF và { }: ( )G G X∈GF ) Suy ra ( )⊂ FA B Do đó ( ) ( )σ ⊂ FA B Ta có ( ), ( )K KK X σ∪∅∀ ∈ = ∈ ⊂F FK A A ( ), ( )G GG X σ∅∪∀ ∈ = ∈ ⊂F FG A A Do đó ( ) ( )σ⊂FB A Vậy ( ) ( )σ = FA B . Định lí 3.2.2 Cho 1T là dung lượng rời rạc tương ứng như trong hệ quả 1.6.1 và A là lớp các tập con của ( )XF tương ứng như trong định lí 3.2.1. Định nghĩa : [0,1]P →A , ( )1 2 1 1, ,..., 1 khi 1 1 ( ) khi 0 \ n n iV iV V V T V V n P T V n =    ≥  =     − = F Thì a. P được định nghĩa tốt và ( )( ) 1P X =F . b. P là hàm cộng tính. Chứng minh: a. Chứng minh P được định nghĩa tốt và ( )( ) 1P X =F . Với 0n = , giả sử 'V V=F F , ta sẽ chứng minh ' ( ) ( )V VP P=F F . Giả sử '\x V V∃ ∈ { }x V⇒ ∩ ≠∅ và '{ }x V∩ =∅ { } Vx⇒ ∉F và ' { } Vx ∈F . Ta gặp mâu thuẫn. Suy ra '\V V =∅ . Lập luận tương tự ta cũng có: ' \V V =∅ Suy ra: 'V V= '1 11 ( ) 1 ( )T V T V⇒ − = − Do đó ' ( ) ( )V VP P=F F . Với 1n ≥ , giả sử ' ' ' '1 2 1 2 , ,..., , ,...,n k V V V V V V V V = ≠ ∅F F . Ta sẽ chứng minh ( ) ( )'' ' '1 2 1 2, ,..., , ,...,n kV VV V V V V VP P=F F . Trước hết ta chứng minh ' ' ' 1 1 , , \ \ n k i j i j V V n k V V V V = = = = =   . Do ' ' ' ' 1 2, ,..., k V V V V ≠ ∅F nên ' '\ , {1,2,..., }jV V j k≠ ∅ ∀ ∈ . Tồn tại 1 2, ,..., kx x x sao cho ' '\ , {1,2,..., }j jx V V j k∈ ∀ ∈ và ' ' ' ' 1 2 1 2 , ,..., { , ,..., } k V k V V V x x x ∈F . Không mất tính tổng quát, giả sử tồn tại ' \x V V∈ . Vì x V∉ nên 1 21 2 , ,..., { , , ,..., } n V k V V Vx x x x ∈F . Mặt khác 'x V∈ nên ' ' ' ' 1 2 1 2 , ,..., { , , ,..., } k V k V V V x x x x ∉F . Ta gặp mâu thuẫn. Suy ra ' \V V =∅ Lập luận tương tự ta cũng có: '\V V =∅ Do đó 'V V= Với , {1,2,..., },i j n i j∀ ∈ ≠ , giả sử i jV V V⊄ ∪ (ta giả sử được vì ngược lại nếu : i ji V V V∃ ⊂ ∪ thì tập 1 2, ,..., n V V V VF không thay đổi nếu ta bỏ đi jV ). Lấy \ny V V∈ và \ ( ), {1,2,..., 1}i i ny V V V i n∈ ∪ ∀ ∈ − . Vì 1 21 1 , ,..., { ,..., } n V n V V Vy y − ∉F và 1 21 1 , ,...,{ , ,..., } n V n V V Vy y y − ∈F nên {1,2,..., }nj k∃ ∈ sao cho ' 1 1{ ,..., } nn jy y V− ∩ =∅ hay ' , {1,2,..., 1} ni j y V i n∉ ∀ ∈ − . Hiển nhiên ' nj y V∈ Với bất kì ' \ny V V∈ , hoàn toàn tương tự ta cũng có '' nj y V∈ . Do đó '\ nn j V V V⊂ hay ' nn j V V V⊂ ∪ . Bằng cách làm tương tự, {1,2,..., }ni n∃ ∈ sao cho ' \ n nj i V V V⊂ . Nếu ni n≠ thì nn iV V V⊂ ∪ . Ta gặp mâu thuẫn với điều giả sử ở trên. Suy ra ni n= và '\ \ nn j V V V V= . Chứng minh tương tự cho các iV , {1,2,..., 1}i n∀ ∈ − khác ta cũng có ' ' '\ \ \ i ii j j V V V V V V= = ' ' 1 1 \ \ n k i j i j V V V V = = ⇒ =   Cuối cùng ( ) ( )'' ' '1 2 1 2' ', ,..., 1 1 , ,..., 1 1 \ \ n k n k V V V V V i j V V V i j P T V V T V V P = =    = = =         F F Vậy P được định nghĩa tốt và ( ) 1( ) ( ) 1 ( ) 1P X P T∅= = − ∅ =FF . b. Chứng minh P là hàm cộng tính. Giả sử ' ' ' '1 2 1 2 , ,..., , ,...,n k V V V V V V V V ∈,F F A là hai tập không rỗng, rời nhau và ' ' ' '1 2 1 2 , ,..., , ,...,n k V V V V V V V V ∪ ∈F F A . Ta sẽ chứng minh ( ) ( ) ( )' '' ' ' ' ' '1 2 1 21 2 1 2, ,..., , ,...,, ,..., , ,...,n nk kV V V VV V V V V VV V V V V VP P P∪ = +F F F F Vì ' ' ' ' ' ' '1 2 1 2 1 1 , ,..., , ,..., ,..., , ,...,n k n k V V V V V V V V V V V V V V ∪∩ = =∅F F F nên không mất tính tổng quát, giả sử ' nV V V⊂ ∪ . Vì ' ' ' '1 2 1 2 , ,..., , ,...,n k V V V V V V V V ∪ ∈F F A nên giả sử '' ' '' '' '' ' ' '1 21 2 1 2 , ,...,, ,..., , ,...,nm k V V V V V VV V V V V V = ∪F F F . Với x V∀ ∉ . Lấy \ , {1,2,..., }i ix V V i n∈ ∀ ∈ thì '' '' '' ''1 2 1 2 1 2 , ,..., , ,..., { , , ,..., } n m V V n V V V V V V x x x x ∈ ⊂F F . '' 1 2{ , , ,..., }nx x x x V⇒ ∩ =∅ hay ''x V∉ . Suy ra ''V V⊂ Tương tự ta cũng có '' 'V V⊂ Do đó '' 'V V V⊂ ∩ Ta sẽ chứng minh: ''V V= Giả sử tồn tại ''\x V V∈ và ' ' ''\x V V∈ . Lấy '' '' ''\ , {1,2,..., }i ix V V i m∈ ∀ ∈ thì ' ' ' '1 2 1 2 ' '' '' 1 , ,..., , ,..., { , , ,..., } n k V V m V V V V V V x x x x ∈ ∪F F '{ , } Vx x⇒ ∩ =∅ hoặc ' '{ , } Vx x ∩ =∅ . Ta gặp mâu thuẫn. Do đó ''V V= hoặc ' ''V V= . Giả sử ' ''V V= . Vì ' ''nV V V V V V⊂ ∪ = ∪ = nên 1 2, ,..., n V V V V =∅F . Ta gặp mâu thuẫn. Do đó ''V V= , 'V V⊂ và 'nV V⊂ . Với mỗi ' ' ' '1 2 1 2 , ,..., , ,...,n k V V V V V V V V F ∈ ∪F F , nếu nF V∩ ≠∅ thì ' ' ' ' 1 2, ,..., k V V V V F ∉F ; nếu nF V∩ =∅ thì ' ' ' ' 1 2, ,..., k V V V V F ∈F . Do đó, dễ dàng chứng minh được ( )'' ' ' '' '' ''1 2 1 2 1 2 1 2, ,..., , ,..., , ,..., , ,..., ,n n nk m nV V V VV V V V V V VV V V V V V V= ∪ ∩ =F F F F F ( )' '' ' ' ' ' ' '' '' ''1 21 2 1 2 1 2, ,...,, ,..., , ,..., , ,...,n nnk k mV V VV V VV V VV V V V V V V V V∪= ∪ ∩ =F F F F F Ta có ( ) ( )'' '' ''1 2 1 2 '', ,..., 1, ,..., , 1 \ n m n m V V V V V i nV V V V i P P T V V V =    = = ∩       F F ( ) ( )'' ' ' '' '' '' 1 2 1 2 '' 1, ,..., , ,..., 1 '' '' 1 1 1 1 \ ( ) \ \ n k m m V VV i nV V V V V V i m m i i n i i P P T V V V T V V T V V V ∪ = = =   = = ∪         = − ∩             F F Suy ra ( ) ( ) ( ) ' ' ' '1 2 1 2 '' '' '' '' 1 2 '' , ,..., 1, ,..., 1 '' '' 1 1 , ,..., \ \ n k m m V V V V V iV V V i m i i V V V V P P T V V T V V P = =   + =       =     =   F F F ( )'' ' '1 2 1 2, ,..., , ,..., n kV VV V V V V VP= ∪F F Vậy P là hàm cộng tính. Chứng minh định lí Choquet Đặt C là lớp các tập con của không gian X có dạng { : ( ), ( )}V K G K X G X= ∪ ∈ ∈K G Và A là lớp các tập con của ( )XF dạng 1 2, ,..., 1 { : , ,..., } n V V V V nV V V ∈F C ( 0n = thì có dạng ,V V ∈F C ). Thì A là nửa đại số các tập con của ( )XF và ( ) ( )σ = FA B . Định nghĩa : [0,1]P →A ( )1 2 1 1, ,..., 1 khi 1 1 ( ) khi 0 \ n n iV iV V V T V V n P T V n =    ≥  =     − = F Thì P là hàm cộng tính và ( )( ) 1P X =F . Nếu P là hàm σ - cộng tính thì theo bổ đề 3.2.1, P được mở rộng duy nhất đến một độ đo xác suất trên ( )σ A . Hơn nữa *1( ) ( ) ( ), ( )KP T K T K K X= = ∀ ∈F K . Nghĩa là định lí được chứng minh. Ta sẽ chứng minh P là σ - cộng tính. Đặt D là lớp các tập con của A dạng { }1 2, ,..., 1 2: ( ); , ,..., ( ); 0nGK K K nG X K K K X n∈ ∈ ≥F G K Ta có Dđóng với phép giao và mỗi phần tử của D là tập compắc trong ( )XF . Vì vậy D là một lớp compắc (suy ra từ định lí 1.2.2). Theo bổ đề 3.2.2, ta chỉ cần chứng minh : ( ) sup{ ( ) : , }A P A P C C C A∀ ∈ = ∈ ⊂A D (3.4) Thật vậy Lấy bất kì 1 2, ,..., k V V V V ∈F A với 0 0 0 0, ( ), ( )V K G K X G X= ∪ ∈ ∈K G . Tồn tại một dãy { } ( )nG X⊂ G sao cho 1 ( )n nG G X+⊃ ∈K và 0nG K↓ . Theo định lí 1.2.3, ta có: 0nG K↑F F và 0nG G V∪ ↑F F . Với {1,2,.... }i k∀ ∈ thì i i iV K G= ∪ , ( ), ( )i iK X G X∈ ∈K G . Theo định lí 1.2.1 c., tồn tại dãy { ( )} ( )nK i X⊂ K thỏa ( )n iK i V↑ . ( )n iK i V ⇒ ↑F F Dễ thấy: 0(1), (2),..., ( ) n n n n G G K K K k ∪ ∈F D và 0 1 2(1), (2),..., ( ) , ,..., n n n n k G G V K K K k V V V ∪ ↑F F . Để chứng minh (3.4), ta chỉ cần chứng minh: ( ) ( )0 1 2(1), (2),..., ( ) , ,...,nn n n kG G VK K K k V V VP P∪ ↑F F Ta có ( )1 2 1 2 1 2 1 2 , ,..., 1 1 1 {1,.., } , {1,.., } ( ) ( ) ( ) k i i V V V V i i i i k i i k P T V T V V T V V V < ∈ ∈ = − + ∪ − ∪ ∪∑ ∑F 1 2 1 ...1 2 1 1 ,.., {1,.., } ... ( 1) ( ... ) k k i i ik k i i i i i k T V V V V < < < + ∈ + + − ∪ ∪ ∪ ∪∑ (3.5) Thật vậy, ta chứng minh (3.5) bằng quy nạp. Với 1k = , ta có 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 ( ) ( \ ) ({ }) ({ }) ({ }) ( ) ( ) V V x V V x V V x V P T V V T x T x T x T V T V V ∈ ∈ ∪ ∈ = = = − = − + ∪ ∑ ∑ ∑ F ⇒ (3.5) thỏa. Giả sử (3.5) đúng đến k n= , nghĩa là ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ...1 2 , ,..., 1 1 1 {1,.., } , {1,.., } 1 1 ,.., {1,.., } ( ) ( ) ( ) ... ( 1) ( ... ) n i i n n i i in V V V V i i i i n i i n n i i i i i n P T V T V V T V V V T V V V V < < < < ∈ ∈ + ∈ = − + ∪ − ∪ ∪ + + − ∪ ∪ ∪ ∪ ∑ ∑ ∑ F Với 1k n= + , ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 1 2 , ,..., 1 1 1 1 1 1 1 1 , ,..., , ,..., \ \ \ ( ) n n n n V V V V n i i n n i i n i i V VV V V V V V V P T V V T V V T V V V P P + + + = + = = ∪   =         = − ∪        = −    F F F 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ...1 2 1 1 1 {1,.., } , {1,.., } 1 1 ,.., {1,.., } ( ) ( ) ( ) ... ( 1) ( ... ) i i n n i i in i i i i n i i n n i i i i i n T V T V V T V V V T V V V V < < < < ∈ ∈ + ∈ = − + ∪ − ∪ ∪ + + − ∪ ∪ ∪ ∪ ∑ ∑ ∑ 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 {1,.., } 1 1 , {1,.., } ( ) ( ) ( ) i i n n i i n n i i i i n T V V T V V V T V V V V < + + ∈ + ∈  − − ∪ + ∪ ∪  − ∪ ∪ ∪ ∑ ∑ 1 2 1 ...1 2 1 1 1 ,.., {1,.., } ... ( 1) ( ... ) n n i i in n n i i i i i n T V V V V V < < < + + ∈  + + − ∪ ∪ ∪ ∪ ∪   ∑ 1 2 1 2 1 2 1 1 1 {1,.., 1} , {1,.., 1} ( ) ( ) ( ) i i i i i i n i i n T V T V V T V V V < ∈ + ∈ + = − + ∪ − ∪ ∪∑ ∑ 1 2 1 1 1 ...1 2 1 2 1 ,.., {1,.., 1} ... ( 1) ( ... ) n n i i in n i i i i i n T V V V V + + < < < + + ∈ + + + − ∪ ∪ ∪ ∪∑ Vậy (3.5) đúng. Tương tự ta cũng có ( )0 1 2 1 2 1 ...1 2 (1), (2),..., ( ) 1 0 1 0 {1,.., } 1 0 1 2 , {1,.., } 1 1 0 1 2 ,.., {1,.., } ( ) ( ( )) ( ( ) ( )) ... ( 1) ( ( ) ( ) ... ( )) n n n n i i k i i ik G G K K K k n n n i k n n n i i k k n n n n k i i k P T G G T G G K i T G G K i K i T G G K i K i K i < < < < ∪ ∈ ∈ + ∈ = − ∪ + ∪ ∪ − ∪ ∪ ∪ + + − ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∑ ∑ ∑ F (3.6) Do các tổng trong (3.5), (3.6) là hữu hạn và 1 2 1 0 1 1 0 1 2 1 lim ( ) ( ) lim ( ( ) ( ) ... ( ) ( ... ), {1,.., } m nn n n n n mn i i i T G G T V T G G K i K i K i T V V V V m k →+∞ →+∞ ∪ = ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ = ∪ ∪ ∪ ∪ ∀ ∈ (theo định lí 1.3.5) Do đó ( ) ( )0 1 2(1), (2),..., ( ) , ,...,nn n n kG G VK K K k V V VP P∪ ↑F F Vậy (3.4) thỏa và định lí Choquet được chứng minh hoàn toàn. KẾT LUẬN Trong luận văn, chúng tôi đã đưa ra định nghĩa dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff, chứng minh các tính chất cơ bản, đưa ra một số dung lượng đặc biệt. Chúng tôi cũng đã xây dựng hai dung lượng rời rạc 1,T T∞ , chứng minh một số tính chất về mối quan hệ giữa các dung lượng rời rạc đó. Các kết quả đó cũng đã được chúng tôi giới thiệu tại hội thảo Quốc tế về Giải tích và ứng dụng tại Đại học Sài Gòn vào tháng 3 năm 2011. Trong chương 2, chúng tôi đã trình bày định nghĩa tích phân Choquet theo các dung lượng, đưa ra và chứng minh một số tính chất cơ bản của tích phân Choquet trong trường hợp dung lượng tổng quát. Một số tính chất của tích phân Choquet trong trường hợp dung lượng rời rạc 1,T T∞ cũng được chúng tôi đưa ra, chứng minh chi tiết và cũng đã được giới thiệu tại hội thảo nêu trên. Trong chương 3, chúng tôi đã đưa ra khái niệm hàm dung lượng trong không gian tôpô, xây dựng hàm dung lượng *T trong không gian (LCS) từ dung lượng rời rạc 1T ở chương 1. Chúng tôi cũng đã phát biểu định lí Choquet trong không gian (LCS) và đưa ra một chứng minh định lí trong trường hợp hàm dung lượng *T . Cuối cùng, tôi kính mong sự nhận xét góp ý và sự chỉ bảo tận tình của quý thầy cô để tôi có thêm kiến thức cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đậu Thế Cấp, Tô pô đại cương, Nhà xuất bản giáo dục, 2008. 2. Đậu Thế Cấp, Độ đo và tích phân, Nhà xuất bản giáo dục, 2006. 3. Le Xuan Son, Vu Hong Thanh and Nguyen Nhuy, Choquet theorem for the space of continuous real-valued functions, East-West J. of Mathematics: Vol. 6, No 2 (2004) pp. 185- 193. 4. Hung T. Nguyen, An introduction to Random Sets, Chapman & Hall/CRC, 2006. 5. G. Choquet, Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier 5 (1953-1954), 131-295. 6. David R. Adams, Choquet integrals in potential theory, Publicacions Maternatiques, Vol 42 (1998), 3-66. 7. Bosko Zivaljevic, Uniqueness of unbounded loeb measure using choquet’s theorem, Proceedings of the American Mathematical society, Vol 116, Number 2, Oct 1992. 8. Yukio Ogura, On a Choquet theorem for random upper semicontinuous functions, Grant-in- Aid for Scientific research 17540123. 9. P.Billingsley, Convergence of Probability Measures, John Wiley & Sons, 1968. 10. Dau The Cap, Tran Huu Manh and Bui Dinh Thang, On the capacities and the Choquet integral of discrete measurable functions, International conference on analysis and applied mathematics, SaiGon university, March 2011, 368-374.