Luận văn Tích phân xác định và ứng dụng trong hình học và vật lý

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG


   NGUYỄN THỊ KIM HUYỀN TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ Chuyên nghành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60. 46. 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2011 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn. Phản biện 2: PGS. TS Nguyễn Gia Định Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng. - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài Trong chương trình toán học phổ thông và ñại học vấn ñề về tích phân chiếm một vị trí quan trọng và không thể thiếu ñược trong khối kiến thức của bất kỳ học sinh – sinh viên nào. Với tính ñặc thù và ñộ hay, khó, cùng với sự ñòi hỏi về tư duy trừu tượng cao, các bài toán liên quan ñến tích phân trở thành một trong những chuyên ñề quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và tuyển sinh ñại học, cao ñẳng, trung cấp.... Hơn thế, lý thuyết và các bài toán về tích phân còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn và là công cụ tính toán hữu hiệu khoa học lý thuyết. Vì vậy tôi chọn ñề tài : Tích phân xác ñịnh và ứng dụng trong hình học và vật lý. 2. Mục tiêu nghiên cứu Tìm hiểu, xem xét cụ thể, hệ thống về tích phân xác ñịnh, tích phân suy rộng cùng với một vài ứng dụng trong hình học và vật lý. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu Tích phân xác ñịnh, tích phân suy rộng và ứng dụng trong hình học và vật lý. 3.2. Phạm vi nghiên cứu Thực hiện nghiên cứu tích phân xác ñịnh và ứng dụng của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật lý của các hàm một biến thực. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu các tài liệu, sách tham khảo, chuyên khảo về tích phân và ứng dụng của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật lý. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Luận án có thể sử dụng như là tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy phần tích phân xác ñịnh thuộc môn toán khối phổ thông trung học. 6. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở ñầu và kết luận, luận văn ñược chia làm 02 chương: Chương 1: Các kiến thức cơ sở Trình bày các kiến thức cơ bản về tích phân xác ñịnh: ñịnh nghĩa tích phân xác ñịnh, các tính chất của tích phân xác ñịnh, các ñịnh lý về giá trị trung bình ñối với tích phân xác ñịnh.... Là cơ sở cho 4 chương sau khi áp dụng các phép tính của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật lý. Chương 2: Ứng dụng của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật lý: xác ñịnh diện tích của hình phẳng trong hệ tọa ñộ Đề - các và hệ tọa ñộ cực; thể tích của vật thể nhận ñược khi quay quanh trục Ox, Oy; xác ñịnh ñộ dài của ñường cong; xác ñịnh trọng tâm của ñường cong, trọng tâm của vật thể; moment của vật thể, áp suất của chất lỏng lên bề mặt của phiến mỏng; công cần bỏ ra ñể nâng một vật lên một ñộ cao nào ñó... 5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Bài toán diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) , xác ñịnh liên tục trên khoảng ñóng [a, b] , ngoài ra giả sử f(x) không âm trên [a, b] . Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi ñồ thị của hàm số f(x) trên [a, b] , các ñường thẳng x = a, x = b và trục hoành Ox, ta ñặt vấn ñề ñịnh nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB. Hình 1.1 Ta chia ñoạn [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia: 0 1 2 i-1 i nx a < x < x < ... < x < x < ... < x b.≡ ≡ Các ñiểm chia ix (i = 0, 1, ..., n) ñược chọn tuỳ ý theo thứ tự tăng dần và ñiểm ñầu 0x trùng với a, ñiểm cuối cùng nx trùng với b. Từ các ñiểm chia ix (i = 0, 1, ..., n) ta dựng các ñường thẳng ix = x , như thế ta ñã chia hình thang cong AabB thành n hình thang cong nhỏ i 1 i 1 i iP x x P (i = 1, n)− − (Hình 1.1), mỗi hình thang cong nhỏ ñó có ñáy là i i i 1∆x = x x (i = 1, n)−− . Chọn các ñiểm i i 1 iξ [x , x ]−∈ . Thay mỗi hình thang cong nhỏ i 1 i 1 i iP x x P (i = 1, n)− − bằng một hình chữ nhật có cùng ñáy i∆x và chiều cao là if(ξ ) . Diện tích các hình chữ nhật là: 1 1 2 2 i i n nf(ξ )∆x , f(ξ )∆x ,..., f(ξ )∆x ,..., f(ξ )∆x . 6 Hiển nhiên tổng các diện tích của n hình chữ nhật biểu diễn gần ñúng diện tích cần tìm S của hình thang cong AabB ñã cho. Nói một cách khác, ta có thể viết: n i i i = 1 S f(ξ )∆x≈∑ . Ta nhận thấy nếu số ñoạn chia càng nhiều sao cho ñộ lớn của các ñoạn chia càng nhỏ thì tổng n i i i = 1 f(ξ )∆x∑ càng gần giá trị ñúng S. Từ ñó có thể nói rằng khi chuyển giới hạn n→∞ sao cho i∆x 0 (i = 1, n)→ thì giá trị giới hạn của tổng chính là diện tích S cần tìm của hình thang cong AabB ñã cho: i n i i max∆x 0 i = 1 S = lim f(ξ )∆x → ∑ (1.1) 1.2. Định nghĩa tích phân xác ñịnh Cho hàm số f(x) xác ñịnh và bị chặn trong khoảng ñóng [a, b], chia [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia 0 1 2 i 1 i nx a < x < x <...< x < x <...< x b−≡ ≡ . Đặt i i i 1∆x = x x −− và iiλ = max∆x , i = 1, 2, ..., n. Ta gọi các ñiểm chia iτ = {x } là một phân hoạch của ñoạn [a, b] và λ là ñường kính phân hoạch. Trong mỗi ñoạn nhỏ i 1 i[x , x ]− lấy một ñiểm iξ tuỳ ý: i 1 i ix ξ x , (i = 1, 2, ..., n)− ≤ ≤ , và lập tổng: n i i i = 1 σ = f(ξ )∆x∑ , i i i 1∆x = x x , (i = 1, n)−− . (1.2) Ta thấy tổng n i i i = 1 σ = f(ξ )∆x∑ là một số xác ñịnh, số ñó phụ thuộc vào phân hoạch τ = {x }i và các ñiểm iξ trong i 1 i[x , x ]− . Đại 7 lượng trên ñược gọi là tích phân Riman của hàm số f(x) theo phân hoạch iτ = {x } trên ñoạn [a, b] . Nếu khi n tăng vô hạn (n→∞ ) sao cho i1 i n max = λ, λ 0x ≤ ≤ ∆ → , σ có giới hạn (hữu hạn) I, và giới hạn I này không phụ thuộc vào phân hoạch iτ = {x } trên ñoạn [a, b] và cách chọn ñiểm iξ : n i i λ 0 i = 1(n ) lim f(ξ )∆x = I → →∞ ∑ (1.3) thì I ñược gọi là tích phân xác ñịnh của hàm số f(x) (theo Riman) lấy trên khoảng [a, b] và kí hiệu là b a f(x)dx,∫ như vậy: b a I = f(x)dx.∫ (1.4) 1.3. Các tính chất của tích phân xác ñịnh Định lý 1.3.1. (Tính chất tuyến tính) Nếu f, g là hai hàm khả tích trên [a, b] thì αf + βg cũng khả tích trên [a, b], trong ñó α, β = const và: [ ] b b b a a a αf(x) + βg(x) dx = α f(x)dx + β g(x)dx.∫ ∫ ∫ (1.5) Định lý 1.3.2. Cho 3 khoảng ñóng [a, b], [a, c] , [c, b], nếu f(x) khả tích trên khoảng có ñộ dài dài nhất thì cũng khả tích trên hai khoảng còn lại và: b c b a a c f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.∫ ∫ ∫ (1.6) Định lý 1.3.3. Nếu f(x) khả tích trên [a, b], f(x) 0 x [a, b],≥ ∀ ∈ a < b thì b a f(x)dx 0.≥∫ Định lý 1.3.4. Nếu f(x) g(x) x [a, b]≤ ∀ ∈ thì b b a a f(x)dx g(x)dx.≤∫ ∫ 8 Định lý 1.3.5. Nếu m và M lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) trên [a, b] thì: b a m(b a) f(x)dx M(b a).− ≤ ≤ −∫ (1.8) 1.4. Các ñịnh lý về giá trị trung bình Định lý 1.4.1. Giả sử f(x) khả tích trên [a, b] , (a < b) và x [a, b] m = inf f(x); ∈ x [a, b] M = sup f(x). ∈ Khi ñó tồn tại µ [m, M]∈ thỏa mãn: b f(x)dx = µ(b a). a −∫ (1.9) Định lý 1.4.2. Giả sử: a) f(x) và f(x)g(x) khả tích trên [a, b] ; b) m f(x) M, x [a, b];≤ ≤ ∀ ∈ c) g(x) không ñổi dấu trên [a, b] . Khi ñó với m µ M≤ ≤ ta có: b b g(x)f(x)dx = µ g(x)dx. a a ∫ ∫ (1.10) 1.5. Nguyên hàm và tích phân xác ñịnh Định nghĩa 1.5.1. Cho hàm số f:[a, b] R→ . Hàm số khả vi F:[a, b] R→ ñược gọi là nguyên hàm của hàm f nếu F'(x) = f(x) x [a,b]∀ ∈ . Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) ñược kí hiệu là f(x)dx∫ và ñược gọi là tích phân không xác ñịnh của f(x). Định nghĩa 1.5.2. Cho hàm f(x) khả tích trên [a, b] . Khi ñó với mọi x [a, b]∈ hàm f(x) khả tích trên [a, x] . Xét hàm : [a, b] RΦ → cho bởi: x Φ(x) = f(t)dt. a ∫ (1.12) Hàm Φ(x) ñược xác ñịnh như trên ñược gọi là tích phân xác ñịnh như hàm của cận trên. Định lý 1.5.1. Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì Φ(x) là một nguyên hàm của f(x), tức là: Φ'(x) = f(x) x [a, b].∀ ∈ (1.13) 9 Định lý 1.5.2. Nếu f(x) khả tích trên [a, b] thì Φ(x) liên tục trên [a, b] . Định lý 1.5.3. Giả sử f(x) liên tục trên [a, b] và Φ(x) là một nguyên hàm của f(x). Khi ñó: b b f(x)dx = Φ(b) Φ(a) = Φ(x) .aa −∫ (1.14) 1.6. Một vài phương pháp tính tích phân xác ñịnh 1.6.1. Phương pháp ñổi biến số 1.6.2. Phương pháp tích phân từng phần 1.7. Tích phân suy rộng 1.7.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn) 1.7.2. Tích phân suy rộng loại 2 (Trường hợp hàm số lấy tích phân không bị chặn) 10 CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ 2.1. Sơ ñồ áp dụng tích phân xác ñịnh Giả sử ta cần xác ñịnh giá trị của một ñại lượng hình học hoặc vật lý A nào ñó (diện tích của mảnh, thể tích của khối, áp suất của chất lỏng lên bề mặt phiến), với việc thay ñổi trên ñoạn [a, b] ñược mô tả bởi biến ñộc lập x. Giả sử ñại lượng A là cộng tính, khi ñó ñể xác ñịnh ñược ñại lượng A ta tiến hành như sau: - Các ñiểm 0 1 nx = a, x ,..., x = b chia ñoạn [a, b] thành n phần tương ứng với việc ñại lượng A ñược phân thành n “số hạng thành phần” i∆A , i = 1, 2,..., n . Như vậy: 1 2 nA = ∆A + ∆A + ... + ∆A . (2.1) - Biểu diễn mỗi một số hạng thành phần dưới dạng tích của một vài hàm nào ñó (phụ thuộc vào ñiều kiện bài toán), sau ñó tính toán tại một ñiểm bất kỳ tương ứng với ñoạn ñó và giá trị của hàm: i i i∆A f(ξ )∆x .≈ Trong việc xác ñịnh giá trị gần ñúng i∆A ta chấp nhận một vài ñiểm ước lượng sau: cung trên một phần ñủ nhỏ ñược thay bằng dây mà nối hai ñầu mút của nó; vận tốc biến thiên trên một ñoạn ñủ nhỏ coi như là hằng số. Ta nhận ñược giá trị gần ñúng của ñại lượng A dưới dạng tổng: 1 1 2 2 n nA f(ξ )∆x + f(ξ )∆x + ... + f(ξ )∆x .≈ (2.2) - Chuyển qua giới hạn ta nhận ñược giá trị của ñại lượng A: bn i i n i = 1 a A = lim f(ξ )∆x = f(x)dx. →∞ ∑ ∫ (2.3) 2.2. Tính diện tích hình phẳng 2.2.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên ñoạn [a, b] (f(x) nằm trên trục Ox), hai ñường thẳng x = a, x = b và trục Ox từ bài toán xác ñịnh diện tích hình thang cong ta có ngay: b S = f(x)dx. a ∫ (2.4) 11 Như vậy ta có nội dung của ñịnh lý sau ñây: Định lý 2.2.1. Nếu y = f(x) 0≥ và liên tục trên ñoạn [a, b] thì diện tích của hình thang cong tạo bởi ñồ thị của hàm số y = f(x)và trục Ox ñược xác ñịnh bởi công thức (2.4). Hệ quả 2.2.1. Chú ý rằng nếu như hình thang cong D nằm dưới trục Ox: D = {(x, y): a x b, y = f(x) < 0},≤ ≤ thì khi ñó diện tích DS của hình thang cong D bằng diện tích của hình thang *D ñối xứng với D qua trục Ox: ( )*D D b b S = S = f(x) dx = f(x)dx. a a − −∫ ∫ (2.5) Như vậy gộp cả hai trường hợp trên ta viết công thức xác ñịnh diện tích hình phẳng ñược viết dưới dạng: b S = f(x) dx a ∫ (2.6) Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số x = φ(y) liên tục trên ñoạn [c, d], hai ñường thẳng y = c và y = d và trục Oy” (Hình 2.1). Hình 2.1 Khi ñó, công thức tính diện tích là: d c S = φ(y) dy∫ (2.7) 2.2.2. Nếu hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số 1 2y = f (x), y = f (x) liên tục trên ñoạn [a, b] , hai ñường thẳng x = a, x = b, (a < b) (Hình 2.4) thì diện tích của nó ñược xác ñịnh bằng: b 1 2 a S = f (x) f (x) dx−∫ (2.8) 12 Hình 2.4 2.2.3. Giả sử miền xác ñịnh ñược cho trong tọa ñộ cực. Gọi miền D hình quạt cong, ñược giới hạn bởi các tia φ = α, φ = β và ñường cong r = r(φ) (Hình 2.6) Hình 2.6 Định lý 2.2.2. Nếu hàm r = r(φ) 0≥ và liên tục trên [α, β] thì diện tích của hình quạt cong ñược tính bởi công thức: β 2 α 1S = r (φ)dφ. 2 ∫ 2.2.4 Nếu diện tích của miền cần tính ñược giới hạn bởi các ñường cong ñược cho dưới dạng tham số: x = φ(t) y = ψ(t)    ở ñây 1 2t t t ,≤ ≤ thì bằng phép ñổi biến ta ñưa ñược tích phân cần tính về dạng: 2 1 φ(t )b a φ(t ) S = f(x)dx = ψ(t)φ'(t)dt.∫ ∫ (2.11) 2.3. Tính ñộ dài ñường cong Giả sử ta có ñường cong AB ñược cho bởi ñồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên ñoạn [a, b] (Hình 2.12). Ta chia ñoạn [a, b] thành n mảnh nhỏ bởi các ñiểm chia: i 0 1 i i+1 nx : a = x < x <...< x < x <...< x = b. 13 Hình 2.12 Ta dựng các ñường thẳng ix = x , i = 1, 2, ..., n-1. Như thế cung AB sẽ bị chia thành n cung nhỏ bởi các ñiểm 0 1 i nA = M , M ,..., M ,..., M = B theo hướng từ A ñến B. Nối các ñiểm trên với nhau bằng các ñường thẳng ta nhận ñược một ñường gấp khúc 0 1 nM M ...M . Kí hiệu nL là ñộ dài của ñường gấp khúc nhận ñược, ñộ dài của mỗi mẩu nhỏ là i i1 i n ∆l , λ = max∆l . ≤ ≤ Định nghĩa 2.3.1. Đường cong AB ñược gọi là cầu trường (nắn thẳng) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của các ñường gấp khúc mô tả ñường cong AB khi λ 0.→ Giới hạn trên ta gọi là ñộ dài cung AB của ñường cong và kí hiệu là ABL . Như vậy: AB nλ 0 L = limL . → (2.12) Định lý 2.3.1. Nếu ñường cong AB cho bởi ñồ thị của hàm số y = f(x) , ở ñây f(x) và f '(x) liên tục trên ñoạn [a, b], khi ñó AB là cầu trường và: b 2 AB a L = 1+[f '(x)] dx.∫ (2.13) Hệ quả 2.3.1. Nếu như AB ñược cho dưới dạng tham số: x = x(t) y = y(t)    ở ñây α t β; A(x(α),y(α)), B(x(β),y(β)).≤ ≤ Giả sử x = x(t); y = y(t) là các hàm khả vi liên tục trên [α, β]. Khi ñó công thức (2.13) viết ñược dưới dạng: b 2 AB a L = 1 + [y '(x)] dx.∫ Ta tiến hành ñổi biến trong tích phân nhận ñược: x = x(t) , khi ñó: 14 dy y'(t) y'(x) = = ; dx = x'(t)dt. dx x'(t) Từ ñây ta suy ra: ( ) ( ) 2 β β 2 2 AB α α y'(t) L = 1 + x'(t)dt = x'(t) + y'(t) dt. x'(t) ∫ ∫       (2.14) Hệ quả 2.3.2. Nếu như AB ñược cho trong tọa ñộ cực r = r(φ), φ [α, β].∈ Khi ñó ta có thể tham số hóa phương trình của ñường cong bằng cách: {x = r(φ)cosφy = r(φ)sinφ với φ [α, β].∈ Khi ñó từ công thức (2.14) ta nhận ñược: ( ) ( ) β 2 2 AB α L = r(φ) + r'(φ) dφ.∫ (2.15) 2.4. Tính thể tích vật thể 2.4.1. Tính thể tích vật thể khi biết diện tích thiết diện ngang: Cho một vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các ñiểm x = a, x = b, a < b (Hình 2.15) Hình 2.15 Giả sử ta biết diện tích S của thiết diện của vật thể trên một mặt phẳng vuông góc với trục Ox là S = S(x), trong ñó x là hoành ñộ của giao ñiểm của mặt phẳng cắt trục Ox, giả sử S(x) là một hàm số liên tục trong khoảng ñóng [a, b] . Ta sẽ ñịnh nghĩa thể tích vật thể nói trên. Chia [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia: 0 1 i 1 i na = x < x <...< x < x <...< x = b.− 15 Qua mỗi ñiểm chia ix , i = 0, n ta dựng một mặt phẳng vuông góc với trục Ox, các mặt phẳng ñó chia vật thể thành n vật thể nhỏ. Trên mỗi ñoạn [ ]i 1 ix , x− lấy một ñiểm iξ tuỳ ý, dựng hình trụ ñứng giới hạn bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các ñiểm i 1 ix = x , x = x− và mặt trụ có ñường sinh song song với trục Ox, ñi qua biên của thiết diện vật thể ñã cho bởi mặt phẳng ix = ξ , thể tích của hình trụ ñó là i i i i i 1S(ξ )∆x , ∆x = x x .−− Thể tích của tất cả các hình trụ ñó ứng với mọi i, i = 1, 2, ..., n là: n i i i = 1 S(ξ )∆x∑ . Khi ñó giới hạn của tổng n i i i = 1 S(ξ )∆x∑ khi n→∞ sao cho imax∆x 0→ ñược gọi là thể tích vật thể ñã cho. Theo ñịnh nghĩa tích phân xác ñịnh, giới hạn ñó chính là b a S(x)dx∫ , tích phân này tồn tại vì S(x) ñược giả thiết liên tục trong [a, b] . Vậy, nếu gọi V là thể tích vật thể nói trên ta ñược: b a V = S(x)dx.∫ (2.16) 2.4.2. Thể tích vật thể tròn xoay: Giả sử phải tìm thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi hình thang cong AabB giới hạn bởi ñường [ ]y = f(x), x a, b∈ , trục Ox, các ñường thẳng x = a, x = b khi quay nó quanh trục Ox (Hình 2.18). Hình 2.18 16 Giả sử f(x) liên tục trong [a, b] , khi ñó mọi thiết diện vuông góc với trục Ox ñều là mặt tròn có tâm nằm trên Ox và có bán kính là y = f(x) nên diện tích S(x) của thiết diện ứng với hoành ñộ x là: 2S(x) = πy . Do ñó, từ công thức b a V = S(x)dx∫ ta suy ra công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox là: b 2 a V = π f (x)dx.∫ (2.17) Nếu như cần tính thể tích của vật thể nhận ñược khi quay AabB quanh trục Oy (Hình 2.19) ta lập luận như sau: Hình 2.19 Ta chia vật thể thành các hình trụ với bán kính 0 1 i 1 i na = x < x <...< x < x <...< x = b− , chiều cao if(x ) . Thể tích của khối ñược tạo bởi hai hình trụ liền kề nhau bằng: 2 2 i i i 1 i 1πx f(x ) πx f(x ).− −− (2.18) Gọi i i 1 iξ [x , x ] (i = 1, n).−∈ Nếu phép chia cho ta các phần bán kính rất nhỏ, nhỏ ñến mức mà các ñiểm i 1 i i i 1 ix , x , ξ [x , x ]− −∈ rất gần nhau, do ñó ta có thể thay thế i 1 ix , x− bằng iξ , khi ñó biểu thức (2.18) viết ñược dưới dạng: 2 2 i i i 1 i 1 i i iπx f(x ) πx f(x ) 2πξ f(ξ )∆x .− −− ≅ Lập tổng của các thể tích và chuyển qua giới hạn khi n→∞ tương ứng với imax∆x 0→ . Ta nhận ñược: b y a V = 2π xf(x)dx.∫ (2.19) 17 2.5. Diện tích mặt tròn xoay Tiến hành xem xét mặt nhận ñược khi quay ñường cong y = f(x) (hàm y = f(x) ñược giả thiết là không âm và khả vi liên tục trên [ ]a, b ) quanh trục Ox. Ta cần xác ñịnh diện tích của mặt tròn xoay nhận ñược. Trước tiên ta sẽ làm sáng tỏ câu hỏi, hiểu thế nào là diện tích của mặt ñược hình thành khi quay một ñường cong quanh trục Ox? Ta chia ñoạn [a, b] một cách tùy ý thành n phần: i 0 1 i i+1 nx : a = x < x <...< x < x <...< x = b. Tại ñây mỗi một ñiểm ix xác ñịnh một ñiểm ( )i i iM x , f(x ) trên ñường cong. Nối tất cả các ñiểm iM ta nhận ñược ñường gấp khúc mô tả ñường cong ñã cho. Xét trường hợp ñơn giản nhất, trên một mẩu i 1 iM M− của ñường gấp khúc. Khi quay ñường ñã cho quanh trục Ox ta nhận ñược một hình nón cụt mà diện tích bề mặt của nó bằng i 1 i iπ(y + y )∆l ,− ở ñây i∆l là ñộ dài của ñoạn i 1 iM M− . Kí hiệu n P là tổng diện tích bề mặt của tất cả các hình nón trên: n n i 1 i i i = 1 P = π(y + y )∆l . − ∑ Định nghĩa 2.5.1. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn n P khi i1 i n λ = max∆x 0, ≤ ≤ → thì ta sẽ gọi nó là diện tích bề mặt của vật thể tròn xoay và kí hiệu là P: nλ 0 P = limP . → (2.21) Định lý 2.5.1 Nếu hàm số y = f(x)khả vi liên tục trên [a, b] thì diện tích bề mặt P của vật thể tròn xoay ñược xác ñịnh theo công thức: ( )b 2 a P = 2π f(x) 1 + f '(x) dx.∫ (2.22) 2.6. Khối lượng, moment và tọa ñộ trọng tâm của ñường cong Giả sử ñường cong L ñược cho dưới dạng: y = y(x), x [a, b],∈ (2.25) hoặc dưới dạng tham số: 18 {x = x(t)y = y(t) với 1 2t [t , t ].∈ Các hàm y(x), x = x(t), y = y(t) ñược xác ñịnh như trên ñược giả thiết là khả vi liên tục. Chúng ta sẽ xem xét ñường cong trên như là một sợi dây vật chất (có khối lượng). Giả sử khối lượng ñược phân bổ dọc theo sợi dây với mật ñộ bằng ñơn vị, tức là khối lượng của mỗi một mẩu của ñoạn dây trên bằng với ñộ dài của nó. Khi ñó moment của ñường cong tương ứng với trục Ox, kí hiệu là x M ñược xác ñịnh bởi công thức: b 2 x a M = y(x) 1 + y'(x) dx,∫ (2.26) và trong trường hợp tham số: 2 1 t 2 2 x t M = y(t) x'(t) + y'(t) dt.∫ (2.27) Moment của ñường cong tương ứng với trục Oy, kí hiệu là yM ñược xác ñịnh bởi công thức: b 2 a xM = 1 + y'(x) dx,y ∫ (2.28) và trong trường hợp tham số: 2 1 t 2 2 y t M = x(t) x'(t) + y'(t) dt.∫ (2.29) Ta biết rằng moment của một chất ñiểm bất kỳ với khối lượng m tương ứng với trục (tọa ñộ) nào ñó bằng tích khối lượng của nó với ñộ dài từ chất ñiểm ñến trục. Trong trường hợp hệ có k chất ñiểm thì moment sẽ bằng tổng các moment của các ñiểm riêng biệt. Nếu như các khối lượng không tập trung tại các ñiểm riêng biệt mà phân bổ một cách trù mật (liên tục) thì ñể mô tả moment ta cần ñưa vào tích phân xác ñịnh. Giả sử ñường cong L cho bởi phương trình (2.25). Ta chia ñoạn [ ]a, b thành các mảnh nhỏ bởi các ñiểm chia 0 1 2 nx = a < x < x <...< x = b. 19 Phép chia ñoạn trên sẽ tương ứng với phép chia ñường cong thành những mảnh nhỏ. Tại mỗi phần nhỏ ñó ta lấy tùy ý các ñiểm iM với tọa ñộ i i(ξ , y(ξ )). Khi ñó khối lượng của mảnh thứ i bằng với ñộ dài của nó và bằng i i 1 x 2 x 1 + y'(x) dx. − ∫ Theo ñịnh lý về giá trị trung bình ta có: i i 1 x 2 2 i i x 1 + y'(x) dx = 1 + y'(ξ ) ∆x , − ∫ ở ñây i i iM (ξ , y(ξ )) là một ñiểm nào ñó trên ñoạn thứ i của ñường cong, còn i i i 1∆x = x x .−− Ta sẽ giả ñịnh rằng khối lượng của mảnh thứ i là trù mật tại ñiểm iM . Khi ñó moment của mảnh thứ i tương ứng với trục Ox bằng tích của khối lượng mảnh này với khoảng cách từ ñiểm iM ñến trục Ox, hay 2i i iy(ξ ) 1 + y'(ξ ) ∆x . Để nhận ñược moment của cả ñường cong ta cần lấy tổng của tất cả các moment của các mảnh nhỏ. Như thế ta nhận ñược tổng tích phân của tích phân xác ñịnh: b 2 a y(x) 1 + y'(x) dx.∫ Chuyển qua giới hạn ta nhận ñược công thức (2.26). Lý luận tương tự cho ta các công thức (2.27) và (2.28). Như vậy ta phát biểu ñược ñịnh lý sau ñây: Định lý 2.6.1. Giả sử ñường cong L ñược cho dưới dạng y = y(x), x [a, b],∈ khả vi liên tục trên [a, b]. Khi ñó moment của L theo trục Ox, kí hiệu là x M ñược xác ñịnh theo công thức (2.26) và moment của L theo trục Oy, kí hiệu là yM ñược xác ñịnh theo công thức (2.28). Bây giờ ta giả sử trọng tâm của ñường cong có tọa ñộ là 0 0(x , y ) . Nếu cho rằng m là khối lượng của cả ñường cong ñược phân bổ một cách trù mật tại một ñiểm, là trọng tâm của ñường cong, thì moment của chất ñiểm trên có khối lượng m tương ứng với trục Ox bằng 20 0my . Mặt khác, ñây cũng chính là moment xM của cả ñường cong tương ứng với trục Ox, suy ra: x 0M = my , từ ñó: x 0 M y = . m (2.30) Một cách tương tự ta tính ñược: y 0 M x = , m (2.31) ở ñây khối lượng m của ñường cong L chính bằng ñộ dài của ñường cong ñó: b 2 a m = 1 + y'(x) dx,∫ và trong trường hợp ñường cong ñược cho dưới dạng tham số: 2 1 t 2 2 t m = x'(t) + y'(t) dt.∫ Ta phát biểu ñược ñịnh lý sau: Định lý 2.6.2. Trọng tâm của ñường cong L, kí hiệu là 0 0M(x , y ) , ñược xác ñịnh theo công thức (2.30) – (2.31). Chú ý: Nếu trong trường hợp khối lượng phân bổ dọc theo ñường cong với hàm mật ñộ ρ(x) thì trong các công thức ñối với x ym, M , M dưới dấu tích phân ta thêm vào hàm ρ(x) . Từ công thức ñối với tọa ñộ trọng tâm của ñường cong ta nhận ñược hệ quả hình học có ý nghĩa sau ñây: nếu ta nhân cả hai vế của ñẳng thức x 0M = my với 2π ta nhận ñược: x 02πM = 2πmy , Hay: b 2 0 a 2π y(x) 1 + y'(x) dx = 2πmy .∫ Khi ñó vế trái của biểu thức nhận ñược chính là diện tích của bề mặt tròn xoay, nhận ñược khi ta quay ñường cong 21 y = y(x), x [a, b], y(x) 0∈ ≥ quanh trục Ox, còn vế phải chính là ñộ dài (chu vi) của vòng tròn với tâm trùng với trọng tâm của ñường cong nhân với khối lượng của ñường cong hay cũng chính là ñộ dài của ñường cong. Kết quả ñó cho ta nội dung của ñịnh lý Guldin thứ nhất sau ñây: Định lý 2.6.3. Diện tích của mặt tròn xoay nhận ñược khi quay ñường cong L theo một trục, bằng tích chu vi của vòng tròn, nhận ñược khi quay ñường cong ñó quanh trục, với tâm trùng với trọng tâm nhân với ñộ dài của ñường cong ñó. 2.7. Khối lượng, moment và tọa ñộ trọng tâm của một vật thể Giả sử ta có một vật thể nhẵn, phẳng Q ñược giới hạn bởi: i i 1 i 1 i 2 iP = {(x, y): x x x , y (ξ ) y y (ξ )}.− ≤ ≤ ≤ ≤ 1 2y (x) y y (x);≤ ≤ a x b,≤ ≤ ở ñây 1 2y (x), y (x) là các hàm liên tục trên ñoạn [ ]a, b . Giả sử trên Q khối lượng ñược phân bổ theo hàm mật ñộ ρ(x) . Khi ñó khối lượng của vật thể Q cho bởi: ( )b 2 1 a m = y (x) y (x) ρ(x)dx.−∫ (2.32) Trong trường hợp riêng nếu ρ(x) = 1 thì khối lượng của vật thể trùng với diện tích của nó. Để tính ñược moment ta tiến hành chia [ ]a, b thành bởi các ñiểm 0 1 2 nx = a< x < x <...< x = b, và giả sử i i 1 iξ [x , x ]−∈ . Ta sắp xếp vật thể ñã cho bởi các hình chữ nhật nhỏ iP ñược xác ñịnh bởi: i i 1 i 1 i 2 iP ={(x, y): x x x , y (ξ ) y y (ξ )}.− ≤ ≤ ≤ ≤ Hiển nhiên trọng tâm của hình chữ nhật nằm tại tâm của nó. Khoảng cách từ tâm của mỗi hình chữ nhật nhỏ iP theo cách xác ñịnh như trên ñến trục Ox bằng ( )1 i 2 i1 y (ξ ) + y (ξ ) .2 Moment của mỗi hình chữ nhật iP tương ứng với trục Ox bằng tích của khoảng cách từ trọng tâm ñến trục Ox với khối lượng ( )2 i 1 i i iy (ξ ) y (ξ ) ρ(ξ )∆x− của nó. 22 Như vậy moment ñược xác ñịnh bằng: ( )2 22 i 1 i i i1 y (ξ ) y (ξ ) ρ(ξ )∆x .2 − Cộng tất cả các thành phần nhận ñược cho ta tổng tích phân xác ñịnh: ( )b 2 22 1 a 1 y (x) y (x) ρ(x)dx. 2 −∫ Như vậy moment xM của vật thể Q tương ứng với trục Ox ñược xác ñịnh bởi: ( )b 2 2x 2 1 a 1 M = y (x) y (x) ρ(x)dx. 2 −∫ (2.33) Tương tự như thế, moment của mỗi mảnh iP tương ứng với trục Oy bằng tích của khoảng cách từ trọng tâm ñến trục Oy với khối lượng của nó: ( )i 1 i 2 i 1 i i i1 (x + x ) y (ξ ) y (ξ ) ρ(ξ )∆x .2 − − Nếu phép chia cho ta các mảnh rất nhỏ, nhỏ ñến mức mà các ñiểm i 1 i i i 1 ix , x , ξ [x , x ]− −∈ rất gần nhau, do ñó ta có thể thay thế i 1 ix , x− bằng i ξ , khi ñó i 1 i i 1 (x + x ) = ξ . 2 − Cộng tất cả các thành phần nhận ñược cho ta tổng tích phân xác ñịnh: ( )b 2 1 a x y (x) y (x) ρ(x)dx.−∫ Như vậy moment yM của vật thể Q tương ứng với trục Oy ñược xác ñịnh bởi: ( )by 2 1 a M = x y (x) y (x) ρ(x)dx.−∫ (2.34) Tọa ñộ trọng tâm của Q bằng: y 0 M x = , m (2.35) và: x0 M y = . m (2.36) Như vậy ta nhận ñược nội dung của ñịnh lý sau ñây: 23 Định lý 2.7.1. Moment của một vật theo Ox và Oy ñược xác ñịnh theo công thức (2.33) – (2.34), trọng tâm tương ứng của nó ñược xác ñịnh bởi công thức (2.35) – (2.36). Nhân cả hai vế trong công thức x 0M = my với 2π (với ρ = 1) ta nhận ñược: ( )b 2 22 1 0 a π y (x) y (x) ρ(x)dx = 2πmy .−∫ Vế trái của công thức nhận ñược chính là thể tích của vật thể, nhận ñược khi quay quanh trục Ox, còn vế phải là tích của chu vi vòng tròn với tâm trùng với trọng tâm của vật thể nhân với diện tích của vật thể Q. Bằng cách ñó ta nhận ñược ñịnh lý Guldin thứ hai sau ñây: Định lý 2.7.2. Thể tích của vật thể nhận ñược khi quay nó theo trục Ox, bằng tích chu vi của vòng tròn với tâm trùng với trọng tâm của vật thể nhân với diện tích của vật thể ñó. 2.8. Quãng ñường ñi qua của vật thể chuyển ñộng Quãng ñường S mà vật thể ñi qua với vận tốc biến thiên v(t) trong khoảng thời gian 1 2[t , t ] ñược xác ñịnh bởi tích phân xác ñịnh: 2 1 t t S = v(t)dt.∫ (2.37) 2.9. Công của lực Công A của lực thay ñổi, cho bởi hàm số F = F(x) và có hướng dọc theo trục Ox trên ñoạn [a, b] bằng tích phân xác ñịnh: b a A = F(x)dx.∫ (2.38) Công A của lực co hoặc giãn của lò xo ñược xác ñịnh bởi: 2 1 x x A = k xdx,∫ ở ñây k là hệ số tỉ lệ phụ thuộc vào tính chất của lò xo, 1 2x , x là các giá trị ñầu và cuối của trạng thái co (giãn) tương ứng. 2.10. Áp suất của chất lỏng lên bề mặt của tấm mỏng Theo ñịnh luật Pascal thì áp suất của bề mặt chất lỏng theo phương nằm ngang ñược xác ñịnh theo công thức: P = gγSh, 24 trong ñó g là gia tốc rơi tự do, γ là mật ñộ của chất lỏng, S là diện tích bị bao phủ bởi chất lỏng, h là ñộ sâu. Áp suất của bề mặt chất lỏng theo phương thẳng ñứng ñược giới hạn bởi các ñường: 1 1 2 2x = a, x = b, y = f (x), y = f (x) (Hình 2.26) không thể tính ñược theo công thức trên bởi tại mỗi ñiểm khác nhau thì có ñộ sâu khác nhau. Hình 2.26 Giả sử ta nhấn chìm vật thể trong chất lỏng theo phương thẳng ñứng, ñược giới hạn bởi các ñường 1 1 2 2x = a, x = b, y = f (x), y = f (x). Hệ trục tọa ñộ ñược chọn theo hình vẽ 2.26. Giả sử một phần áp suất phải tìm biểu diễn dưới dạng hàm p = p(x) , như vậy p = p(x) là áp suất lên một phần của vật thể tương ứng trên ñoạn [a, x] , ở ñây x [a, b], p(a) = 0, p(b) = P.∈ Cho ñối số x số gia x = dx.∆ Hàm p(x) nhận số gia ∆p (trên hình vẽ 2.26 là dải nhỏ với bề dày dx ). Ta sẽ ñi xác ñịnh vi phân dp của hàm này. Do dx rất nhỏ nên ta có thể coi dải là hình chữ nhật, mà tất cả các ñiểm của nó ñều nằm ở cùng một ñộ sâu x, như thế lúc này phiến mỏng của ta ñược coi là nằm theo phương ngang, do ñó theo ñịnh luật Pascal ta có ñược: 2 1dp = gγ(y y )dx.x,− ở ñây 2 1(y y )dx− ñóng vai trò là S, còn x ñóng vai trò là h. Lấy tích phân cả hai vế hệ thức cuối trên [a, b] ta nhận ñược: ( )b 2 1 a P = gγ x y (x) y (x) dx.−∫ (2.39) 25 KẾT LUẬN Luận văn “Tích phân xác ñịnh và ứng dụng trong hình học và vật lý” ñã thực hiện ñược một số vấn ñề sau ñây: - Trình bày các kiến thức cơ bản về tích phân xác ñịnh: ñịnh nghĩa tích phân xác ñịnh, các tính chất của tích phân xác ñịnh, các ñịnh lý về giá trị trung bình ñối với tích phân xác ñịnh.... - Xác ñịnh diện tích của hình phẳng trong hệ tọa ñộ Đề - các và hệ tọa ñộ cực; - Thể tích của vật thể nhận ñược khi quay quanh trục Ox, Oy; - Xác ñịnh ñộ dài của ñường cong; - Xác ñịnh trọng tâm của ñường cong, trọng tâm của vật thể; và moment của vật thể; - Áp suất của chất lỏng lên bề mặt của phiến mỏng; công cần bỏ ra ñể nâng một vật lên một ñộ cao nào ñó... Trong quá trình thực hiện ñề tài mặc dù ñã hết sức cố gắng nhưng do hạn chế về chuyên môn cũng như ñây là bước khởi ñầu ñể tác giả làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và mặt hạn chế về thời gian nên trong luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Cho nên trong thời gian tới, nếu ñiều kiện cho phép, tác giả rất ñược mong muốn ñược tiếp cận và nghiên cứu ñề tài một cách sâu rộng hơn.