Luận văn Tính duy nhất của nhóm cấp N

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGÔ THỊ HOÀI PHƯƠNG TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày ... tháng ... năm 2011. Có thế tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn ñề tài Cho n là một số nguyên dương. Bài toán tổng quát của nhóm hữu hạn là xác ñịnh tất cả các nhóm không ñẳng cấu nhau có cấp n, ñã ñược A. Cayley ñặt ra vào năm 1878. Năm 1951, Định lý cơ bản về nhóm Abel hữu hạn sinh ñã cho lời giải của bài toán này ñối với các nhóm Abel hữu hạn. Tuy nhiên bài toán tổng quát của nhóm hữu hạn là một bài toán khó, và ñến nay vẫn chưa có lời giải ñầy ñủ. Trong các giáo trình Lý Thuyết Nhóm, chúng ta ñã biết khi n = 1 hoặc n là một số nguyên tố thì có duy nhất một nhóm cấp n (tất nhiên là nhóm cyclic). Ngoài ra, bằng cách áp dụng ñịnh lý Sylow vào nhóm có cấp pq, p < q, p, q là các số nguyên tố, chúng ta cũng chứng minh ñược rằng một nhóm như vậy là duy nhất khi và chỉ khi p không chia hết q – 1. Từ ñó, một câu hỏi ñược ñặt ra một cách tự nhiên là “Với các số nguyên dương n nào, thì có duy nhất một nhóm cấp n”. Nhằm tìm hiểu lời giải cho câu hỏi này, tôi chọn ñề tài luận văn Thạc sĩ của mình là : "TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n". 2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu 1. Nghiên cứu cấu trúc nhóm và các tính chất của một nhóm. 2. Nghiên cứu lý thuyết số. 3. Xác ñịnh các số nguyên dương n sao cho có duy nhất một nhóm cấp n. 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1. Các nhóm hữu hạn. 2. Quan hệ ñẳng cấu giữa các nhóm. 3. Tính chất số học của tập các số nguyên. 4. Phương pháp nghiên cứu 1. Tập hợp và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan ñến nội dung ñề tài. Đặc biệt là các tài liệu về phân loại ñẳng cấu các nhóm hữu hạn. 2. Khảo sát các tính chất số học của tập các số nguyên. Tìm hiểu về hàm Euler. 3. Áp dụng các tính chất của tập số nguyên và hàm Euler vào bài toán phân loại ñẳng cấu các nhóm, từ ñó xác ñịnh với số nguyên dương n nào thì có duy nhất một nhóm cấp n, và ngược lại. 5. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ trình bày sơ lược về lý thuyết nhóm, lý thuyết số và một số kiến thức cần thiết ñể chuẩn bị cho chương sau. Chương II: Tính duy nhất của nhóm cấp n Chương này là nội dung chính của luận văn, xác ñịnh các số nguyên dương n sao cho có duy nhất một nhóm cấp n (sai khác một ñẳng cấu). Phần cuối chương sẽ xác ñịnh một số trường hợp của số nguyên dương n ñể chỉ có hai nhóm cấp n không ñẳng cấu nhau. 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này sẽ trình bày sơ lược về cấu trúc nhóm, lý thuyết số và một số kiến thức cần thiết ñể chuẩn bị cho chương sau. Các chi tiết liên quan có thể xem trong [1], [2], [3], [4]. 1.1. CẤU TRÚC NHÓM 1.1.1. Nhóm hữu hạn, p_nhóm 1.1.1.1. Định nghĩa 1 Cho một tập không rỗng G và một phép toán hai ngôi trên G ñược kí hiệu bởi • , cặp (G, • ) ñược gọi là một nhóm nếu (i) Với mọi x, y, z ∈ G, (x• y) • z = x• (y• z), (ii) Tồn tại một phần tử ký hiệu 1∈ G, gọi là phần tử ñơn vị, sao cho x• 1 = 1• x = x, với mọi x ∈ G, (iii) Với mỗi x ∈ G có một phần tử nghịch ñảo trong G, nghĩa là có một phần tử 1x− ∈ G sao cho x• 1x− = 1x− • x = 1. Nếu với mọi x, y ∈ G, x• y = y• x thì (G, • ) ñược gọi là một nhóm abel (hay nhóm giao hoán). Nếu không sợ nhầm lẫn về phép toán, ta còn nói G là một nhóm thay cho nhóm (G, • ). Nhóm G ñược gọi là nhóm hữu hạn nếu G là một tập hữu hạn. Lúc ñó số phần tử của tập hợp G ñược gọi là cấp của nhóm G và ñược kí hiệu là |G|. Nếu nhóm G không phải là nhóm hữu hạn thì ta nói G là nhóm (có cấp) vô hạn. 4 1.1.1.2. Định nghĩa 2 Một p-nhóm là một nhóm có cấp là một lũy thừa của một số nguyên tố p. 1.1.2. Nhóm con, p-nhóm con Sylow 1.1.2.1. Định nghĩa 3 Một bộ phận ổn ñịnh A của một nhóm X là một nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm, kí hiệu A ≤ X. 1.1.2.2. Định lý 1 Một bộ phận A của nhóm X là một nhóm con của X nếu và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây thỏa mãn : i) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A. ii) e ∈ A, với e là phần tử trung lập của X. iii) Với mọi x ∈ A, 1x− ∈ A. 1.1.2.3. Hệ quả 1 Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm X. Các ñiều kiện sau ñây là tương ñương : i) A là một nhóm con của X. ii) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A và 1x− ∈ A. iii) Với mọi x, y ∈ A, 1xy− ∈ A. 1.1.2.4. Định nghĩa 4 i) Nhóm H ñược gọi là p-nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con của G vừa là một p-nhóm. ii) Nhóm H ñược gọi là một p-nhóm con Sylow của G nếu H là một p-nhóm con của G và |H| = np là lũy thừa cao nhất của p chia hết |G|. 5 1.1.2.5. Định nghĩa 5 (Nhóm con cực ñại) Nhóm con thực sự M của G ñược gọi là nhóm con cực ñại của G nếu không có nhóm con H nào của G ñể M < H < G. 1.1.2.6. Định nghĩa 6 Hai nhóm con S và T của nhóm G ñược gọi là liên hợp nếu có một phần tử g ∈ G sao cho 1g Sg T− = . Trong ñó : { }1 1 /g Sg g sg s S− −= ∈ . 1.1.3. Nhóm cyclic 1.1.3.1. Mệnh ñề 1 Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của một nhóm G cũng là nhóm con của G. 1.1.3.2. Định nghĩa 7 Cho G là một nhóm và X là một tập con khác rỗng của G. Nhóm con của G sinh bởi tập hợp X là giao của tất cả các nhóm con của G có chứa X, kí hiệu X . X = { 1 21 2 nnx x x εε ε L / ix X∈ , iε = ± 1, n là một số nguyên dương}. 1.1.3.3. Nhận xét 1 X là nhóm con nhỏ nhất của G có chứa X. Nếu X = G thì ta nói G là nhóm ñược sinh bởi X và X là tập sinh của G. 1.1.3.4. Định nghĩa 8 Nhóm hữu hạn sinh là nhóm ñược sinh bởi một tập sinh hữu hạn. 1.1.3.5. Định nghĩa 9 Một nhóm X gọi là cyclic nếu và chỉ nếu X ñược sinh ra bởi một phần tử a ∈ X, kí hiệu a . Phần tử a ñược gọi là một phần tử sinh của X. Nhóm cyclic cấp n ñược kí hiệu là C(n). 6 1.1.3.6. Nhận xét 2 Nếu G = x và G là một nhóm con hữu hạn cấp r, (r, s) = 1, thì sx = G. 1.1.3.7. Định nghĩa 10 Giả sử G là một nhóm với phần tử ñơn vị 1, a G∈ . Nếu *1,ma m≠ ∀ ∈
thì a gọi là có cấp vô hạn. Nếu m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho 1ma = thì m ñược gọi là cấp của a. Cấp của phần tử a ñược kí hiệu là ord(a). Từ ñịnh nghĩa trên ta có ord(a) = a , và ord(a) = 1 ⇔ a = 1. 1.1.3.8. Bổ ñề 1 Cho X là một nhóm với phần tử ñơn vị e, a ∈ X có cấp là n. Chứng minh rằng ka = e khi và chỉ khi n | k. 1.1.3.9. Mệnh ñề 2 Cho X và Y là những nhóm cyclic có cấp là m và n. Chứng minh rằng X × Y là nhóm cyclic khi và chỉ khi (m, n) = 1. 1.1.4. Nhóm con chuẩn tắc 1.1.4.1. Định nghĩa 11 Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi ñó, các lớp trái của H trong G là các bộ phận có dạng xH = {y / y = xh, h ∈ H} với x ∈ G. Tương tự, các lớp phải của H trong G là các bộ phận có dạng Hx = {y / y = hx, h ∈ H}. 1.1.4.2. Định nghĩa 12 Cho G là một nhóm với phép toán nhân, một nhóm con H của G ñược gọi là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu xH = Hx, với mọi phần tử x ∈ G, kí hiệu H < G. 7 1.1.4.3. Mệnh ñề 3 Ắt có và ñủ ñể một nhóm con H của G là nhóm con chuẩn tắc của G là 1xhx− ∈ H, với mọi x ∈ G và với mọi h ∈ H. 1.1.4.4. Định lý 2 (Lagrange) Cấp của một nhóm con H của một nhóm hữu hạn G chia hết cấp của G. 1.1.4.5. Hệ quả 2 Cấp của một phần tử tùy ý của nhóm hữu hạn G là ước cấp của G. 1.1.4.6. Hệ quả 3 Mọi nhóm hữu hạn có câp nguyên tố ñều là cyclic và ñược sinh ra bởi phần tử bất kì, khác phần tử trung lập, của nhóm. 1.1.4.7. Định nghĩa 13 Số các lớp trái (phải) của H trong G ñược gọi là chỉ số của H trong G, kí hiệu [ ]:G H . 1.1.4.8. Nhận xét 2 Nếu G là một nhóm hữu hạn thì [ ]. :G H G H= . 1.1.5. Nhóm thương 1.1.5.1. Định nghĩa 14 Cho G là một nhóm và H < G. Tập thương của G trên H là một tập hợp của tất cả các lớp trái của H trong G, kí hiệu G / H. G / H = {xH / x ∈ G}. 1.1.5.2. Định lý 3 Nếu H < G thì i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xH, yH) với lớp trái xyH là một ánh xạ từ G / H × G / H ñến G / H. ii) G / H cùng với phép toán hai ngôi (xH, yH) a xyH 8 là một nhóm, gọi là nhóm thương của G trên H. 1.1.5.3. Mệnh ñề 4 Mọi nhóm con và mọi nhóm thương của nhóm cyclic là nhóm cyclic. 1.1.6. Đồng cấu nhóm 1.1.6.1. Định nghĩa 15 Giả sử G và G’ là các nhóm (với phép toán nhân). Một ánh xạ ':G Gϕ → ñược gọi là một ñồng cấu nhóm nếu: ( ) ( ) ( ); ,xy x y x y Gϕ ϕ ϕ= ∀ ∈ . 1.1.6.2. Mệnh ñề 5 Cho X, Y là hai nhóm tùy ý, ánh xạ f : X → Y x a Ye ( Ye là phần tử ñơn vị của Y) là một ñồng cấu. Đồng cấu f ñược xác ñịnh như trên gọi là ñồng cấu tầm thường. 1.1.6.2. Mệnh ñề 6 Giả sử ':G Gϕ → là một ñồng cấu nhóm. Khi ñó: i) ϕ chuyển ñơn vị của G thành ñơn vị của G’, tức là: ' (1 ) 1G Gϕ = . ii) ϕ chuyển nghịch ñảo của phần tử x G∈ thành nghịch ñảo của phần tử '( )x Gϕ ∈ , tức là: 1 1( ) ( )x xϕ ϕ− −= . 1.1.6.3. Định nghĩa 16 i) Một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một ñơn ánh ñược gọi là một ñơn cấu nhóm. ii) Một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một toàn ánh ñược gọi là một toàn cấu nhóm. 9 iii) Một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một song ánh ñược gọi là một ñẳng cấu nhóm. 1.1.6.4. Mệnh ñề 7 Đồng cấu nhóm ':G Gϕ → là một toàn cấu nếu và chỉ nếu 'Im Gϕ = . Nó là một ñơn cấu nếu và chỉ nếu { }er 1GK ϕ = , trong ñó e là ñơn vị của G. 1.1.6.5. Mệnh ñề 8 Nếu ':G Gϕ → là một ñồng cấu nhóm thì àKer v Imϕ ϕ là các nhóm con tương ứng của G và G’. Tâm của G ñược ñịnh nghĩa: { }( ) :ax = xa, x GZ G a G= ∈ ∀ ∈ . Rõ ràng ( )e Z G∈ , hơn nữa G là một nhóm abel nếu và chỉ nếu G = Z(G). 1.1.6.6. Mệnh ñề 9 Giả sử G là một nhóm. Gọi Aut(G) là tập hợp tất cả các ñẳng cấu nhóm từ G vào chính nó. Khi ñó, Aut(G) là một nhóm ñối với phép hợp thành các ánh xạ. 1.1.6.7. Định nghĩa 17 Nhóm Aut(G) ñược xác ñịnh như trên gọi là nhóm các tự ñẳng cấu của G. 1.1.7. Các ñịnh lý Sylow 1.1.7.1. Định lý 4 (i) Giả sử G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố chia hết |G|. Khi ñó, tồn tại một p-nhóm con Sylow của G. (ii) Mọi p-nhóm con của G ñều ñược chứa trong một p-nhóm con Sylow của G. (iii) Bất kỳ hai p-nhóm con Sylow nào của một nhóm hữu hạn G ñều liên hợp. Số các p-nhóm con Sylow phân biệt của G chia 10 hết cấp của G và bằng 1 + kp, với k là một số nguyên không âm nào ñó. 1.1.7.2. Bổ ñề 2 Nếu nhóm G có duy nhất một p-nhóm con Sylow P, với |P| = rp thì P < G. 1.1.8. Nhóm tâm hóa, nhóm chuẩn hóa 1.1.8.1. Mệnh ñề 10 Cho A là một tập con của nhóm G. Khi ñó { }( ) / ,GC A c G ca ac a A= ∈ = ∀ ∈ là một nhóm con của G. 1.1.8.2. Định nghĩa 18 Ta gọi GC (A) là nhóm con tâm hóa của A trong G. 1.1.8.3. Mệnh ñề 11 Cho A là một tập con của nhóm G. Khi ñó { }( ) /GN A n G nA An= ∈ = là một nhóm con của G. 1.1.8.4. Định nghĩa 18 Ta gọi ( )GN A là nhóm con chuẩn hóa của A trong G. 1.1.8.5. Mệnh ñề 12 Số liên hợp của nhóm con S của nhóm G bằng chỉ số của nhóm chuẩn hóa của S trong G. 1.1.8.6. Mệnh ñề 13 GC (A) là nhóm con chuẩn tắc của ( )GN A . 1.2. TÍCH TRỰC TIẾP, TÍCH NỬA TRỰC TIẾP 1.2.1. Tích trực tiếp 1.2.1.1. Mệnh ñề 1 Cho H và K là các nhóm, khi ñó tập tích Đềcác { }( , ) / ,H K h k h H k K× = ∈ ∈ cùng với phép toán • 11 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )h k h k h h k k• = , 1 1 2 2( , ), ( , )h k h k H K∈ × là một nhóm. 1.2.1.2. Định nghĩa 1 Nhóm H K× ñược gọi là tích trực tiếp của hai nhóm H và K. 1.2.1.3. Mệnh ñề 2 Nếu H và K là các nhóm hữu hạn thì |H K× | = |H||K|. H và K là các nhóm con chuẩn tắc của H K× . 1.2.1.4. Mệnh ñề 3 Cho G là nhóm, H và K là các nhóm con chuẩn tắc của G. Khi ñó : Nếu H∩K = {1} và HK = G thì G ≅ H K× , với HK = {hk / h ∈ H, k ∈ K}. 1.2.2. Tích nửa trực tiếp 1.2.2.1. Mệnh ñề 4 Cho H và K là hai nhóm và ϕ là một ñồng cấu từ K vào Aut( H). Khi ñó tập tích Đềcác { }( , ) / ,H K h k h H k K× = ∈ ∈ cùng với phép toán 1 1 2 2 1 1 2 1 2( , ) ( , ) ( . ( )( ), )h k h k h k h k kϕ• = , 1 1 2 2( , ), ( , )h k h k H K∈ × là một nhóm. 1.2.2.2. Định nghĩa 2 Nhóm H K× ñược xác ñịnh như trên gọi là tích nửa trực tiếp của H và K theo ñồng cấu ϕ . Kí hiệu H ϕ× K. 1.2.2.3. Mệnh ñề 5 H ϕ× K = H K× khi và chỉ khi ϕ là ñồng cấu tầm thường. 1.2.2.4. Mệnh ñề 6 Cho ϕ và 'ϕ là liên hợp, tức là tồn tại α ∈ Aut(H) sao cho 1 '( ) ( ) ,k k k Kϕ α ϕ α −= ∀ ∈o o . 12 Khi ñó ' H K H Kϕ ϕ× ≅ × . 1.2.2.5. Mệnh ñề 7 Nếu 'ϕ ϕ α= o với α ∈ Aut(K) thì ' H K H Kϕ ϕ× ≅ × . 1.3.TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRÊN TẬP CÁC SỐ NGUYÊN 1.3.1. Quan hệ chia hết trên tập các số nguyên 1.3.1.1. Định nghĩa 1 Cho a, b ∈ Z, b ≠ 0. a ñược gọi là chia hết cho b, kí hiệu a M b, nếu ∃ q ∈ Z: a = b.q. Khi ñó, ta còn nói a là bội của b hay b là ước của a hay b chia hết a và còn kí hiệu b | a. Nếu a không chia hết cho b thì ta kí hiệu a b/M hoặc |b a/ . 1.3.1.2. Tính chất 1 1) ∀ a, b ∈ Z, b ≠ 0. Nếu b | a thì |b a± ± . 2) ∀ a ∈ Z*, a | a. 3) ∀ a ∈ Z, ± 1 | a. 4) ∀ a ∈ Z*, a | 0. 5) ∀ a, b ∈ Z*. Nếu b | a thì b a≤ . 6) ∀ a, b ∈ Z*. Nếu b | a và a | b thì a = b hoặc a = - b. 7) ∀ b ∈ Z*. Nếu b | 1 thì b = 1 hoặc b = - 1. 8) ∀ a, b ∈ Z*, c ∈ Z. Nếu a | b và b | c thì a | c. 9) ∀ a1, a2,..., an ∈ Z, ai M b 1,i n∀ = thì ∀ x1, x2,..., xn ∈ Z, 1 n i i i a x b = ∑ M . Trong ñó Z* = Z \ {0}. 13 1.3.1.3. Hệ quả 1 i) ∀ a1, a2 ∈ Z, b ∈ Z*. Nếu b | a1 và b | (a1 + a2) thì b | a2. ii) ∀ ai ∈ Z, 1,i n= ; ∀ bi ∈ Z*, 1,i n= nếu bi | ai, 1,i n∀ = thì b1b2...bn | a1a2...an. iii) ∀ a, b, c ∈ Z, b, c ≠ 0. Nếu bc | ac thì b | a. 1.3.1.4. Định lý 1 ∀ a, b ∈ Z, b ≠ 0, !∃ (q, r ) ∈ Z×Z: a = bq + r, với 0 r b≤ ≤ . 1.3.1.5. Định nghĩa 2 (Phép chia có dư) Cho a, b ∈ Z, b ≠ 0, theo ñịnh lý trên, !∃ (q, r ) ∈ Z×Z: a = bq + r, với 0 r b≤ ≤ . Khi ñó, q ñược gọi là số thương, r ñược gọi là số dư của phép chia a cho b. 1.3.2. Ước chung lớn nhất 1.3.2.1. Định nghĩa 3 i) Cho u ∈ Z* và a1, a2,..., an ∈ Z. u ñược gọi là một ước chung của a1, a2,..., an nếu u | ai, 1,i n∀ = . ii) Cho n số nguyên a1, a2,..., an. Ước chung lớn nhất của n số nguyên này, kí hiệu (a1, a2,..., an) là số nguyên dương d thoả hai ñiều kiện sau: a) d | ai, 1,i n∀ = b) Nếu có số nguyên dương d' mà d' | ai, 1,i n∀ = thì d' | d. Nói cách khác, (a1, a2,..., an) là số nguyên dương d lớn nhất mà d | ai, 1,i n∀ = . 14 1.3.2.2. Định lý 2 (về sự tồn tại ước chung lớn nhất) Giả sử a1, a2,..., an là n số nguyên. Khi ñó ước chung lớn nhất của n số nguyên ñó tồn tại. 1.3.2.3.Định nghĩa 4 Ta nói hai số nguyên a, b là hai số nguyên tố cùng nhau nếu (a, b) = 1 1.3.2.4. Tính chất 2 1) Nếu d = (a1, a2,..., an) thì ∃ x1, x2, ..., xn ∈ Z: d = a1x1 + a2x2 + ...+ anxn. 2) (a1, a2,..., an) = 1 ⇔ ∃ x1, x2,..., xn ∈ Z: a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = 1. 3) ∀ m ∈ Z+, (ma1, ma2,..., man) = m(a1, a2,..., an). 4) Nếu c ∈ Z+ và c | ai, 1,i n∀ = thì 1 2 1 2( , ,..., ) , ,..., n na a a aa a c c c c   =     . 5) Giả sử d là ước chung của a1, a2, ..., an. Khi ñó d = (a1, a2,..., an) ⇔ 1 2, ,..., naa a d d d       = 1. 6) Cho a, b, c ∈ Z, b ≠ 0. Nếu b | ac và (a, b) = 1 thì b | c. 7) Cho a, b, c ∈ Z. Nếu (a, b) = 1 thì (ac, b) = (c,b). 8) (a, b1. b2... bn) = 1 ⇔ (a, bi) = 1, 1,i n∀ = . 9) (a1a2...am, b1b2...bn) = 1⇔ (ai, bj) = 1, 1,i m∀ = , 1,j n∀ = . 10) Cho b1, b2,..., bn là n số nguyên nguyên tố cùng nhau từng ñôi một, nếu bi | a, 1,i n∀ = thì (b1b2...bn ) | a. 11) ∀ a, b ∈ Z, b ≠ 0. Nếu a = bq + r thì (a, b) = (b, r). 15 1.3.2.5. Thuật toán Euclide Cho a, b ∈ Z, b ≠ 0. Kí hiệu q là thương, r là số dư của phép chia a cho b, khi ñó, ta có: a = bq + r, với 0 ≤ r < |b|. Nếu r = 0, ta dừng lại. Nếu r > 0, ta chia b cho r và nhận ñược ñẳng thức b = rq1 + r1, 0 ≤ r1 < r. Tiếp tục quá trình trên ta nhận ñược a = bq + r, 0 ≤ r < b b = rq1 + r1, 0 ≤ r1 < r r = r1q2 + r2, 0 ≤ r2 < r1 ..................................... rk-2 = rk-1qk + rk, 0 ≤ rk < rk-1 rk-1 = rkqk+1 Khi ñó rk = (a,b). 1.3.3. Số nguyên tố 1.3.3.1. Định nghĩa 5 Một số nguyên lớn hơn 1, không có ước nguyên dương nào khác 1 và bản thân nó ñược gọi là một số nguyên tố. Một số nguyên lớn hơn 1, không phải là số nguyên tố ñược gọi là hợp số. 1.3.3.2. Định lý 3 Ước nhỏ nhất lớn hơn 1 của một số tự nhiên lớn hơn 1 là một số nguyên tố. 16 1.3.3.3. Định lý 4 (ñịnh lý cơ bản của số học) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Khi ñó, n luôn có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng n = 1 21 2 ... kkp p pαα α , trong ñó k, iα , 1,i k= là các số nguyên dương; pi, 1,i k= là các số nguyên tố thoả mãn 1 < p1 < p2 < ... < pk. Dạng phân tích ở trên ñược gọi là dạng khai triển chính tắc của số n. 1.3.4. Đồng dư 1.3.4.1. Định nghĩa 6 Cho a, b ∈ Z và m là một số nguyên dương. Ta nói a ñồng dư b theo môñulô m, kí hiệu a ≡ b(mod m), khi và chỉ khi (a - b) M m. 1.3.4.2. Tính chất 3 (tính chất cơ bản) i) Nếu a ≡ b(mod m) và c ≡ d(mod m) thì: a + c ≡ b + d(mod m) và ac ≡ bd(mod m). ii) Nếu p là số nguyên tố và ab ≡ 0(mod p) thì a ≡ 0(mod p) hoặc b ≡ 0(mod p). 1.3.5. Hệ thặng dư ñầy ñủ, hệ thặng dư thu gọn 1.3.5.1. Định nghĩa 7 Cho m là một số nguyên dương. Tập hợp H gồm những số nguyên lấy ra ở mỗi lớp thặng dư của mZ một và chỉ một số ñược gọi là một hệ thặng dư ñầy ñủ môñun m. Viết tắt là hệ TDĐĐ mod m. 1.3.5.2. Định nghĩa 8 Cho m là một số nguyên dương. Tập hợp K gồm những số nguyên lấy ra ở mỗi lớp khả nghịch của mZ một và chỉ một số ñược 17 gọi là một hệ thặng dư thu gọn môñun m. Viết tắt là hệ TDTG mod m. 1.3.6. Hàm Euler 1.3.6.1. Định nghĩa 9 Cho m là một số nguyên dương, hàm Euler ( )mΦ biểu thị số các số tự nhiên không vượt quá (m -1) và nguyên tố cùng nhau với m. 1.3.6.2. Định lý 5 Với hai số tự nhiên khác không 1m và 2m nguyên tố cùng nhau, ta có 1 2 1 2( ) ( ) ( )mm m mΦ =Φ Φ . 1.3.6.3. Định lý Euler. Nếu a, m là số nguyên dương và (a, m) = 1 thì ( ) 1(mod )ma mΦ ≡ . 1.3.6.4. Công thức tính ( )mΦ . i) Nếu m = 1 thì ( )mΦ = 1. ii) Nếu m = pα , trong ñó p là một số nguyên tố và α là một số tự nhiên khác 0 thì 1 1( ) (1 )p p p p p α α α α−Φ = − = − . iii) Nếu m > 1 và m = 1 21 2 ... kkp p pαα α là dạng khai triển chính tắc. Khi ñó ( )mΦ = m 1 11 k i ip=   −    ∏ 1.3.7. Số nguyên không có nhân tử chính phương (square-free) 1.3.7.1. Định nghĩa 10 Một số nguyên dương n ñược gọi là số nguyên không có nhân tử chính phương nếu trong tất cả các thừa số nguyên tố của n không có thừa số nào xuất hiện quá một lần. Nghĩa là n có khai triển chính tắc n = 1 2... kp p p , với i jp p≠ . 18 1.3.7.2. Hệ quả 2 i) Tất cả các số nguyên tố ñều là số nguyên không có nhân tử chính phương. ii) Nếu m là số nguyên không có nhân tử chính phương, tức là m = 1 2... kp p p thì 1 2( ) ( 1)( 1)...( 1)km p p pΦ = − − − . 19 Chương 2 TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n Chương này là nội dung chính của luận văn, sẽ xác ñịnh các số nguyên dương n ñể có duy nhất một nhóm cấp n (sai khác một ñẳng cấu). Phần cuối chương sẽ xác ñịnh một số trường hợp của số nguyên dương n ñể chỉ có hai nhóm cấp n không ñẳng cấu nhau. 2.1. TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n 2.1.1. Mệnh ñề 1 Giả sử H là một nhóm con riêng của nhóm G, và S là một tập con hữu hạn của G sao cho G = ,H S . Khi ñó tồn tại một nhóm con cực ñại của G mà chứa H. Đặc biệt, mọi nhóm hữu hạn sinh ñều có nhóm con cực ñại. 2.1.2. Bổ ñề 1 Cho G là một nhóm, H ≤ G, |H| < ∞ . i) Khi ñó, các liên hợp của H ñều là nhóm con của G và H ñẳng cấu với liên hợp của nó. ii) Nếu H là nhóm con cực ñại của G thì liên hợp của nó cũng là nhóm con cực ñại của G. 2.1.3. Mệnh ñề 2 i) Nhóm các tự ñẳng cấu của một nhóm cyclic cấp n có cấp bằng ( )nΦ , với Φ là hàm Euler. ii) Nhóm các tự ñẳng cấu của nhóm cyclic cấp p, với p là một số nguyên tố, là một nhóm cyclic có cấp p - 1. 20 2.1.4. Bổ ñề 2 Mọi nhóm G cấp pq (trong ñó p < q là các số nguyên tố) hoặc là nhóm cyclic, hoặc là nhóm không abel với một q-nhóm con Sylow chuẩn tắc. Trường hợp sau xảy ra khi và chỉ khi q – 1 chia hết cho p. 2.1.5. Bổ ñề 3 Cho G là một nhóm và H là một nhóm con chuẩn tắc của G sao cho H ⊂ Z(G). Khi ñó, nếu G/H là nhóm cyclic thì G là nhóm abel. 2.1.6. Định lý 1 Mọi nhóm cyclic có cấp vô hạn ñều ñẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z. Mọi nhóm cyclic hữu hạn cấp s ñều ñẳng cấu với nhóm cộng sZ các lớp thặng dư theo mô ñun s. 2.1.7. Hệ quả 1 Với mọi số nguyên dương n ñều tồn tại duy nhất nhóm cyclic C(n) cấp n. 2.1.8. Mệnh ñề 3 Giả sử n là số nguyên dương có nhân tử chính phương, tức là n = amp , trong ñó p là số nguyên tố không chia hết m, a là số tự nhiên, a ≥ 2. Khi ñó: i) (n, Φ (n)) ≥ p ii) Có ít nhất hai nhóm có cấp n không ñẳng cấu nhau là C(n) và ( ) ( )aC m C p× . 2.1.9. Mệnh ñề 4 Nếu G là một nhóm abel hữu hạn và p là một số nguyên tố chia hết cấp của G thì G có một phần tử cấp p. 21 2.1.10. Định lý 2 Giả sử n là một số nguyên dương sao cho có duy nhất một nhóm cấp n. Khi ñó (n, ( )nΦ ) = 1, với Φ là hàm Euler. 2.1.11. Bổ ñề 4 Ta có (m, ( )mΦ ) = 1, với mọi số nguyên dương m là ước của n. 2.1.12. Bổ ñề 5 i) Mọi nhóm con thực sự và mọi nhóm thương theo một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G ñều là nhóm cyclic. ii) Tâm Z(G) của nhóm G là tầm thường. 2.1.13. Bổ ñề 6 Cho x ≠ 1 là một phần tử của một nhóm con cực ñại U của G. Khi ñó U là nhóm tâm hóa ( )GC x của x trong G. Hơn nữa, bất kỳ hai nhóm con cực ñại phân biệt U, V của G ñều có giao tầm thường. 2.1.14. Bổ ñề 7 Bất kỳ nhóm con cực ñại U nào của G ñều bằng chính nhóm chuẩn hóa ( )GN U của U trong G. Ngoài ra, nếu U là một nhóm con cực ñại cấp u của G, thì các lớp liên hợp của U chứa ñúng n - n/u phần tử khác 1. Định lý sau là kết quả chính của luận văn: 2.1.15. Định lý 3 Cho n là một số nguyên dương. Điều kiện cần và ñủ ñể có duy nhất một nhóm cấp n là (n, ( )nΦ ) = 1. 2.1.16. Hệ quả 2 Các số nguyên dương n ≤ 100, sao cho có duy nhất một nhóm cấp n là : 22 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 41, 43, 47, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97. 2.2. MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP CỦA n ĐỂ CÓ ĐÚNG HAI NHÓM CẤP n Trong phần này, chúng tôi sẽ khảo sát một số trường hợp của số nguyên dương n, ñể chỉ có ñúng hai nhóm cấp n không ñẳng cấu nhau. 2.2.1. Hệ quả 1 Nếu N là một nhóm con chuẩn tắc của G và L là một nhóm con của G/N thì G có một nhóm con H chứa N và L = H/N. Nếu L là một nhóm con chuẩn tắc của G/N thì H là nhóm con chuẩn tắc của G. Ngoài ra, nếu H1/N = H/N, với H1 và H ñều là các nhóm con chứa N của G thì H1 = H. 2.2.2. Định lý 1 Nếu G { } 1G≠ và G là p-nhóm hữu hạn thì Z(G) có cấp khác 1. 2.2.3. Hệ quả 2 Cho G là một nhóm có cấp pr ( r ≥ 1). Khi ñó G chứa 1 nhóm con chuẩn tắc có cấp pr-1. 2.2.4. Mệnh ñề 1 Cho p là số nguyên tố. Khi ñó, mọi nhóm có cấp 2p ñều là nhóm abel. 2.2.5. Mệnh ñề 2 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 1. Khi ñó nhóm cyclic C( 2p ) có cấp 2p không ñẳng cấu với nhóm C(p) × C(p). 2.2.6. Mệnh ñề 3 Có hai nhóm không ñẳng cấu nhau có cấp p2. 23 2.2.7. Định nghĩa Xét ña giác ñều n cạnh n P với n > 2. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của n P một góc có hướng bằng 2 n pi , còn b là phép ñối xứng qua một ñường thẳng ñi qua tâm của n P và một ñỉnh của nó. Khi ñó, tất cả các phép ñối xứng của n P ñược liệt kê như sau: e, a, 2a , ..., 1na − , b, ab, ..., 1na − b. Chúng l;ập thành một nhóm, kí hiệu n D ñược gọi là nhóm dihedral cấp 2n. Như thế n D có thể biểu thị như sau 2 2 , / , , ( )nnD a b a e b e ab e= = = = . 2.2.8. Bổ ñề 1 Giả sử G là nhóm cấp 2p, với p là số nguyên tố lẻ. Khi ñó G có ñúng một nhóm con K cấp p và hoặc G i) có ñúng một nhóm con H cấp 2, hoặc ii) G có ñúng p nhóm con cấp 2. 2.2.9. Bổ ñề 2 Cho G là một nhóm cấp 2p, với p là số nguyên tố lẻ. Nếu G có duy nhất một nhóm con cấp 2 thì G là nhóm cyclic cấp 2p. 2.2.10. Bổ ñề 3 Giả sử G là một nhóm cấp 2p, với p là một số nguyên tố lẻ. Nếu G có ñúng p nhóm con cấp 2 thì G ñẳng cấu với nhóm pD . 2.2.11. Định lý 2 Với mỗi số nguyên tố lẻ p có ñúng hai nhóm có cấp 2p không ñẳng cấu nhau một nhóm cyclic C(2p) và một nhóm pD . 24 KẾT LUẬN Với mục tiêu ñã ñược ñặt ra, luận văn "TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n" ñã thực hiện ñược các vấn ñề sau: - Thông qua hàm Euler và các tính chất của nó, luận văn ñã xác ñịnh ñược các số nguyên dương n sao cho có duy nhất một nhóm cấp n (sai khác một ñẳng cấu). - Xác ñịnh một số trường hợp của số nguyên dương n ñể chỉ có hai nhóm cấp n không ñẳng cấu nhau. Hy vọng nội dung của luận văn sẽ tiếp tục ñược phát triển, hoàn thiện và mở rộng nhiều hơn nữa.