Luận văn Tính toán sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa của ion phân tử H2+ dưới tác dụng của điện trường tĩnh vào khoảng cách liên phân tử

ng pháp tính số trong đó có những vấn đề cần quan tâm như trị riêng đoạn thời gian, phương pháp SVD và kỹ thuật R-matrix propagation, điều kiện biên của sóng truyền qua và điều kiện làm khớp.  Chương 3: Các kết quả cho thấy, khi điện trường yếu, tốc độ ion hóa của trạng thái đang xét như là một hàm theo cường độ điện trường có thể được giải thích dựa trên lý thuyết nhiễu loạn và lý thuyết gần đúng trường yếu lần lượt cho năng lượng ảo trạng thái liên kết và tốc độ ion hóa khi R = 2. Tuy nhiên, các lý thuyết gần đúng này không thể giải thích được biểu hiện của tốc độ ion hóa đối với điện trường mạnh. 4 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1. Tương tác giữa laser với nguyên tử, phân tử Laser được viết tắt từ cụm từ Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation trong tiếng Anh, nghĩa là “Máy khuếch đại ánh sáng bằng phát xạ kích thích”. Laser là nguồn ánh sáng nhân tạo, thu được nhờ sự khuếch đại ánh sáng bằng bức xạ phát ra khi kích thích cao độ các phần tử của một môi trường vật chất tương ứng. Theo lý thuyết lượng tử, trường laser được xem là những dòng hạt photon có năng lượng, động lượng và spin xác định. Vì vậy khi tương tác với môi trường, động lượng của nguyên tử sẽ bị thay đổi. Khi có sự tương tác giữa trường laser với vật chất sẽ có nhiều hiệu ứng phi tuyến xảy ra. Tùy thuộc vào cường độ của trường laser mà cơ chế tương tác giữa laser với vật chất sẽ khác nhau. Kỹ thuật định phương phân tử: Nếu mô tả một cách đầy đủ, chuyển động của phân tử bao gồm chuyển động của các điện tử ở thang thời gian atto giây, dao động của các hạt nhân ở femto giây và chuyển động quay của phân tử ở pico giây. Do đó, có thể thấy rằng các chuyển động này có thể khảo sát độc lập với nhau. Vì vậy, nếu chỉ quan tâm đến chuyển động quay của phân tử trong trường laser thì có thể bỏ qua các chuyển động khác, khi đó phân tử sẽ giống như một vật rắn. Đối với các phân tử có thể xem như một lưỡng cực điện, có thể dùng một chùm laser yếu để điều khiển quá trình quay của phân tử, sau đó sẽ chiếu chùm laser mạnh vào để xảy ra quá trình ion hóa. Tốc độ ion hóa: Tốc độ ion hóa chính là số ion được sinh ra trong một đơn vị thời gian trên tổng số nguyên tử hay phân tử. 1.2. Cơ chế ion hóa Khi trường laser yếu hơn nhiều so với thế ion hóa nguyên tử, trường laser chỉ có tác dụng gây ra sự nhiễu loạn lên các trạng thái electron của nguyên tử. Trong trường hợp này, các mức năng lượng của nguyên tử bị thay đổi tỉ lệ với bình phương cường độ của 5 trường laser, hiệu ứng này gọi là sự dịch chuyển Stark. Do đó, vùng này được gọi là vùng nhiễu loạn của quang học phi tuyến. Trong vùng này, sự ion hóa chủ yếu diễn ra theo cơ chế đa photon, nghĩa là nguyên tử hấp thụ liên tiếp nhiều photon làm cho năng lượng của nó tăng dần đến một giá trị lớn hơn năng lượng liên kết thì electron chuyển sang trạng thái tự do. Như vậy, trường hợp cường độ chùm laser yếu hơn nhiều so với trường Coulomb của nguyên tử thì nguyên tử chỉ hấp thụ một cách tự phát N photon và xảy ra sự ion hóa đa photon. Hình 1.1. Sự ion hóa đa photon [12] Khi cường độ trường laser tương đương với trường Coulomb của nguyên tử, trường laser sẽ làm biến đổi trường Coulomb như hình 1.2. Các electron có thể thoát ra khỏi nguyên tử, phân tử theo cơ chế xuyên hầm hay vượt rào trước khi trường laser đổi chiều. Vùng điện trường của laser tương ứng với quá trình này được gọi là vùng trường mạnh của quang học phi tuyến. Trong trường yếu, dưới tác dụng của điện trường electron nhận đủ năng lượng, có thể thoát khỏi nguyên tử hoặc phân tử do năng lượng của electron lúc này lớn hơn năng lượng liên kết giữa nó và hạt nhân, hàng rào Coulomb trở nên hẹp hơn, electron có thể chui qua rào thế hiệu dụng bằng cách xuyên hầm. Đây là sự ion hóa xuyên hầm. Đường thẳng mỏng tương ứng với sự đóng góp từ thế năng điện trường. 6 Đường cong dày ứng với ảnh hưởng đầy đủ của thế năng hiệu dụng và đường nằm ngang miêu tả năng lượng liên kết giữa electron với hạt nhân. Hình 1.2. Sự ion hóa xuyên hầm [7] Dưới tác dụng của thế năng điện trường, rào thế hiệu dụng lúc này trở nên mỏng và thấp hơn khi điện trường tăng. Với điện trường thích hợp đủ mạnh, electron có thể thoát ra khỏi nguyên tử hoặc phân tử và vượt khỏi rào thế. Đây là trường hợp ion hóa vượt rào. Hình 1.3. Sự ion hóa vượt rào [7] 7 1.3. Lý thuyết gần đúng trường yếu Với những giá trị khá nhỏ thích hợp của ,F năng lượng ε và tốc độ ion hóa Γ của trạng thái Siegert xuyên hầm xác định bởi phương trình 2 E i Γ= −ε , có thể được giải thích bởi lý thuyết nhiễu loạn [4] và lý thuyết gần đúng trường yếu [8]. Ta chọn một dạng hình học mà trục phân tử 'z trong mặt phẳng xz của hệ tọa độ phòng thí nghiệm. Sự định phương của phân tử được mô tả bởi góc ,β là góc hợp bởi trục của nó và sự định hướng của điện trường dọc theo trục z của phòng thí nghiệm (Hình 1.4) Hình 1.4. Sự minh họa hàm sóng không nhiễu loạn của ion phân tử H2+ theo góc β được định hướng trong một điện trường của trạng thái chẵn 2 pp + và trạng thái lẻ 2 pp − [5] Vì vậy ε và Γ là những hàm của F và β . Hàm sóng trạng thái liên kết không nhiễu loạn 0 ( )rψ mô tả phép chiếu của momen góc electron lên trục phân tử, đó là .M Ta xét trạng thái 0M = (trạng thái σ ) và 1M = (trạng thái p ). Năng lượng không nhiễu 0E của trạng thái 0M ≠ không phụ thuộc vào dấu của .M Sự suy biến được loại trừ bởi một trường yếu một cách tùy ý, bởi 0β ≠ . Trạng thái liên kết chính xác của hàm sóng bổ chính bậc 0 chắc chắn kết nối tuyến tính ở hai trạng thái suy biến. 8 1.3.1. Lý thuyết nhiễu loạn Hệ quy chiếu phân tử được xác định bởi sự quay hệ quy chiếu phòng thí nghiệm xung quanh trục y của nó bởi một góc β . Đặt ' ' ' ' ' '1 2 3( , , ) ( , x , )x y z x x≡ và ( ', ', ')r θ ϕ chỉ rõ hệ tọa độ Descart và hệ tọa độ cầu trong hệ quy chiếu phân tử, với 'y y= và 'r r= . Tensor hệ số phân cực lưỡng cực tĩnh trong hệ quy chiếu phân tử chéo hóa ' ' ' i j i ijx x x α α δ= , với ' ix α là hệ số phân cực trong sự định hướng của trục 'ix . Năng lượng của trạng thái trong bổ chính bậc 2 của lý thuyết nhiễu loạn. 2 2 2 0 ' '( sin cos )2 x z FE= − +ε α β α β (1) Những hệ số phân cực ' ix α có thể được trình bày trong những số hạng của trị riêng n ME và hàm riêng n Mψ của Hamiltonian không nhiễu loạn ' ' ' 0 0 0 0 2 i i nM nM i x nM n M x x E E≠ = −∑ ψ ψ ψ ψ α (2) với n là một hệ số lượng tử ứng với M , xác định trạng thái và phép cộng tràn ra sự hoàn thành của những trạng thái loại trừ sự không nhiễu loạn được chỉ ra bởi chỉ số dưới 0. Hàm riêng n Mψ trong hệ quy chiếu phân tử có dạng ' ( ', ', ') ( ', ') . 2 iM M nM n er f r= ϕ ψ θ ϕ θ p (3) Những thành phần của ma trận được cho bởi '' ' ' ' 1 ' 1 1' 'sin ' ( ), 2 M M n M nM n n M M M Mx f r f + −= +ψ ψ θ δ δ (4a) '' ' ' '' 'cos ' . M M n M nM n n M Mz f r f=ψ ψ θ δ (4b) Nếu trạng thái không nhiễu loạn là trạng thái σ 0nψ , ta có 9 21 0 ' ' ' '1 0 'sin ' ,n nx n n n f r f E E = −∑ θ α (5a) 20 0 ' ' ' '0 0 'cos ' 2 .n nz n n n n f r f E E≠ = −∑ θ α (5b) Với trạng thái không nhiễu loạn ứng với 0M ≠ , hàm sóng chính xác cho trạng thái chẵn n Mψ + và lẻ n Mψ − của bổ chính bậc 0 cho bởi cos '1 ( ) ( ', ') , 2 M nn M n M n M M f r+ −= + = ϕ ψ ψ ψ θ p (6a) sin '1 ( ) ( ', ') . 2 M nn M n M n M M f r i − −= − = ϕ ψ ψ ψ θ p (6b) Với những trạng thái trên, những thành phần ma trận cần có là '' ' ' ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 1' 'sin ' ( ), 2 2 M M n M n n M M M M M M M Mn Mx f r f ± + − − + − −= + ± ±ψ ψ θ δ δ δ δ (7a) '' ' ' ' ' 1' 'cos ' ( ). 2 M M n M n n M M M Mn Mz f r f ± −= ±ψ ψ θ δ δ (7b) Đặc biệt, với một trạng thái p chẵn 1nψ + , ta có 2 20 1 2 1 ' ' ' ' ''0 1 '2 1 'sin ' 'sin '1 , 2 n n n n x n nn n n n f r f f r f E E E E = + − −∑ ∑ θ θ α (8a) 21 1 ' ' ' '1 1 'cos ' 2 .n nz n n n n f r f E E≠ = −∑ θ α (8b) Một cách tương tự, với trạng thái p lẻ 1nψ − , ta tìm được 10 22 1 ' ' ' '2 1 'sin '1 , 2 n n x n n n f r f E E = −∑ θ α (9a) 21 1 ' ' ' '1 1 'cos ' 2 .n nz n n n n f r f E E≠ = −∑ θ α (9b) Trong sự tính toán với H2+ trình bày bên dưới, một hệ hoàn chỉnh trị riêng n ME và hàm riêng ( ', ')Mnf r θ cùng với đạo hàm bậc 0 điều kiện biên lên một hình cầu có bán kính đủ lớn. Ta sử dụng một sự mở rộng chính trong hệ quy chiếu phân tử và sự chéo hóa Hamiltonian không nhiễu loạn trong sự định hướng của hai cơ sở DVR thiết lập trong 'r và 'θ xây dựng từ đa thức Legendre. Tất cả thành phần của ma trận được tính toán bằng việc sử dụng phép cầu phương Legendre. Những hệ số phân cực 'xα và 'zα được đánh giá bởi phép cộng tất cả trạng thái trong phương trình (5), (8) và (9), bao gồm sự gián đoạn của những trạng thái liên tục với n ME > 0. Bán kính hình cầu sử dụng trong những sự tính toán là 20, đây là giá trị đủ để đạt đến sự hội tụ trong những kết quả trong tất cả những trường hợp ta xét đến [5]. 1.3.2. Lý thuyết gần đúng Theo lý thuyết này, phần gần đúng của tốc độ ion hóa Γ với 0F → cho bởi một tổng của những phần tỉ số của tốc độ ion hóa ứng với những kênh khác nhau và số lượng tử parabolic ( , ).n mξ Số hạng bổ chính trong sự gần đúng xác định bởi những kênh chủ yếu với giá trị nhỏ nhất của nξ và m . Với những phân tử tuyến tính, kênh chủ yếu là ( 0, ),n mξ = với 0, 1m = ứng với trạng thái không nhiễu loạn chẵn và lẻ. Với một trạng thái của phân tử tuyến tính không phân cực, tốc độ ion hóa cho bởi [ ]20 0(2 ) ( ) ( ) 1 ( ) ,as mo m mg W F O FΓ = − +δ β (10) với 11 1 21 /2 / /2/2 /2 0 00 0 ( ) ( ) ! 2 m m Z m im m d dg e e r m + ∞+ − ℵ ℵ −ℵ − →∞ ℵ = × ∫ ∫ pη ξ ϕ η ξ ϕβ η ξ ψ p (11) và 2 / 12 3 0 4 2W ( ) exp . 2 3 Z m m F F F ℵ− −    ℵ ℵ ℵ = −        (12) Với 02 Eℵ= và Z là điện tích gần đúng. Điều kiện sử dụng phương trình (10) là: 4 , 8 2 ( 1)c F F Z m ℵ = −ℵ +  (13) điện trường tới hạn cF chỉ ra một sự liên kết giữa trạng thái xuyên hầm và vượt rào của sự ion hóa. Điều kiện này đảm bảo cho số hạng chính xác trong phương trình (10) tuyến tính với F nhỏ hơn nhiều phần tử đơn vị. Vì vậy, số hạng bổ chính chiếm ưu thế. Trong phương trình (10), sự gần đúng bổ chính cho tốc độ ion hóa thừa số hóa bởi hai thừa số, đó là góc định phương β và điện trường .F Sự phụ thuộc vào góc định phương xác định bởi thừa số cấu trúc đối với phân tử không phân cực, ứng với 0 ( ).mg β Đường đặc trưng nên tách ra từ đuôi tiệm cận của hàm sóng không nhiễu loạn 0 ( )rψ tại .η →∞ Thừa số phụ thuộc trường cho bởi một hàm giải tích đơn giản (12) phụ thuộc vào phân tử và trạng thái thông qua thừa số ℵ và .Z Ứng với trạng thái bên trên, số lượng tử phương vị của kênh ion hóa chiếm ưu thế ứng với trạng thái không nhiễu loạn chẵn lẻ 0m = và 1m = . Điều này đúng với tất cả giá trị của β ngoại trừ một vài sự định phương đặc biệt, tích phân trong phương trình (11) ứng với kênh chiếm ưu thế sẽ trở về 0. Ví dụ, trạng thái chẵn 1sσ của H2+, kênh chiếm ưu thế là 0m = cho tất cả những góc định phương β , bởi vì 00 ( )g β không bao giờ trở về 0. Tương tự cho trạng thái lẻ 2 pp − , kênh chiếm ưu thế là 1m = với tất cả những giá trị của β , bởi vì 01( )g β không bao giờ đạt đến 0. Nhưng với trạng thái chẵn 2 pp + , 00 ( )g β 12 triệt tiêu tại β = 0. Với những trạng thái có giá trị β không quá nhỏ, kênh chiếm ưu thế là 0m = . Tuy nhiên, khi β giảm, sự đóng góp tốc độ ion hóa từ những kênh 0m = và 1m = trở nên cùng cỡ tại  cβ β và kênh 1m = trở nên chiếm ưu thế. Theo lý thuyết gần đúng trường yếu, với sự đóng góp từ hai kênh sẽ được giữ lại. Tốc độ ion hóa trong trường hợp này 2 200 01 002( ) ( ) W ( )[1 + O( )]2c Fg g F F<  Γ = + ℵ β β β β (14) Sự liên kết cβ giữa hai trạng thái phụ thuộc vào F . Trạng thái chẵn p 00 ( 0)g β β→ ∝ , trong khi 01( 0) 0g β → ≠ , ta thấy rằng 1/2c Fβ ∝ khi 0F → . Sự ảnh hưởng qua lại giữa những sự đóng góp từ kênh 0m = và 1m = với trạng thái chẵn p gần giá trị 0β = . Để đơn giản hóa, trong những tính toán hiện tại, ta chỉ giữ lại được kênh 0m = trong những kết quả gần đúng với trạng thái 2 pp + tại 0β ≠ , là kênh chiếm ưu thế khi 0F → . 13 CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI SIEGERT TRONG ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH 2.1. Lý thuyết trạng thái Siegert trong điện trường tĩnh Phương trình Schrödinger dừng mô tả sự tương tác của một electron với trường thế năng của nguyên tử hoặc phân tử V(r) và với một điện trường đều F = Fez, F ≥ 0 (Hệ đơn vị nguyên tử được sử dụng xuyên suốt luận văn) 1 ( ) ( ) 0. 2 V r Fz E rψ − ∆ + + − =   (15) Thế năng V(r) mô tả sự tương tác của electron với hạt nhân và những electron khác nhưng trong sự gần đúng ta xem như electron chỉ tương tác với hạt nhân. Ta có ( ) , r ZV r r→∞ = − (16) với Z là điện tích tổng cộng của ion ban đầu. Với F = 0, phương trình (15) có những nghiệm riêng năng lượng thực thỏa ( ) 0rrψ →∞ = , ứng với những trạng thái liên kết của phân tử không nhiễu loạn. Ta giải phương trình (15) trong hệ tọa độ parobolic xác định bởi [4] , 0 , , 0 , arctan , 0 2 . = + ≤ < ∞ = − ≤ < ∞ = ≤ < r z r z y x ξ ξ η η ϕ ϕ p (17) Trong hệ tọa độ này, phương trình (15) có thể được viết lại dưới dạng 2 ( ) ( ) 0, 2 4 E FB rη ηη η ψ η η  ∂ ∂ + + + = ∂ ∂  (18) với Hamiltonian đoạn thời gian 14 2 2 2( ) ( )4 2 4 E FB rV rξ η ξ ξη ξ ξ ξ ξη ϕ ∂ ∂ + ∂ = + − + − ∂ ∂ ∂ (19) là một toán tử tác dụng lên hàm sóng của ξ và ϕ và phụ thuộc vào η như là một tham số. Trị riêng và hàm riêng của nó được xác định bởi [ ]( ) ( ) ( , ; ) 0,B Bν νη η ξ ϕ η− Φ = (20a) ( 0, ; ) , ( , ; ) 0,ν νξ ϕ η ξ ϕ ηΦ = < ∞ Φ →∞ = (20b) ( , 2 ; ) ( , ; ),ν νξ ϕ p η ξ ϕ ηΦ + = Φ (20c) ngoài ra cũng phụ thuộc vào η như là một tham số. Với bất kỳ η , những hàm riêng khác nhau của ( )B η thì trực giao và chuẩn hóa bởi 2 0 0 ( , ; ) ( , ; ) .d d p ν µ ν µ νµξ ϕ η ξ ϕ η ξ ϕ δ ∞ Φ Φ ≡ Φ Φ =∫ ∫ (21) Nghiệm từ phương trình (20) thành lập cơ sở đoạn thời gian và hàm ( , ; )ν ξ ϕ ηΦ được gọi là hàm kênh. Ta xem xét đến phương trình (16), Hamiltonian đoạn thời gian cũng như nghiệm riêng dừng của nó phụ thuộc vào η trong vùng gần đúng. Vậy ý tưởng hàm kênh cho phép sự phân ly biến số và có dạng ( , ; ) ( , ) ( ) . 2 im n m n m e ξ ξ ϕ ν ξ ϕ η ξ ϕ φ ξ p Φ = Φ = (22) Với 0, 1, 2,...m = ± ± là số lượng tử phương vị và 0,1,2,...nξ = liệt kê những nghiệm khác nhau từ phương trình (20) trong vùng gần đúng. Bằng việc tiếp tục giải tích theo η , ta có thể sử dụng sự phân loại ( , )n mξν = để chỉ rõ nghiệm kênh từ Hamiltonian đoạn thời gian (19). Từ sự định nghĩa hàm kênh ( , ; ),ν ξ ϕ ηΦ nghiệm từ phương trình (18) được tìm dưới dạng một sự mở rộng trong cơ sở đoạn thời gian, 15 1/2( ) ( ) ( , ; ).r fν ν ν ψ η η ξ ϕ η−= Φ∑ (23) Thay (23) vào phương trình (18). Ta có 2 1/2( ) ( ) ( , ; ) 0 2 4 E FB fν ν ν η ηη η η η ξ ϕ η η η − ∂ ∂ + + + Φ = ∂ ∂  ∑ Để đơn giản, có thể viết lại dưới dạng 2 1/2( ) 0 2 4 E FB fν ν ν η ηη η η η η − ∂ ∂ + + + Φ = ∂ ∂  ∑ (24a) Ta đi tính riêng lẻ từng phần Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 ' '2 2 1 1 ' '2 2 3 1 ' '2 2 1 1 ' ' '' ' ' ''2 2 3 2 1 2 1 2 1 1 1. 2 2 2 1 2 2 1 4 f f f f f f f f f f f f f f f ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν η η η η η η η η η η η η η η η η − − − − − − − −  ∂ ∂ Φ ∂ ∂    ∂ = − Φ + Φ + Φ ∂    ∂ = − Φ + Φ + Φ ∂   = − − Φ − Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + Φ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1 1 '' ' ' ''2 2 2f f f fν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν η ηΦ + Φ + Φ + Φ∑ ∑ ∑ Ta lại có: 1/2 1/2 1/2 ( ) ( ) B f f B f B ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν η η η η η − − −   Φ    = Φ = Φ ∑ ∑ ∑ 16 Thay lại vào (24a), nhân cả hai vế cho 1/2η− , ta được: ( )'' ' ' ''2 1 12 0 4 2 4 E Ff f f f f B fν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν η η η  Φ + Φ + Φ + Φ + Φ + + Φ =   ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (24b) Nhân cả hai vế (24b) cho µΦ , rồi lấy tích phân trên toàn miền xác định 2 2 2 2 '' ' ' '' 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 4 1 0 2 4 f d d f d d f d d f d d E Ff B d d f d d f d d p p p p ν ν µ ν ν µ ν ν µ ν ν µ ν ν ν p p p ν ν ν µ ν ν µ ν ν µ ν ν ν ξ ϕ ξ ϕ ξ ϕ ξ ϕ η ηξ ϕ ξ ϕ ξ ϕ η ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Φ Φ + Φ Φ + Φ Φ + Φ Φ + Φ Φ + Φ Φ + Φ Φ = ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Vì 2 0 0 d d p ν µ µνξ ϕ δ ∞ Φ Φ =∫ ∫ . Ta có 1 hệ phương trình vi phân thường xác định hệ số hàm chưa biết ( )fν η 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 4 2 4 d E F df P Q f d d     + + + + + + =       ∑ν ν νµ νµ µ µ β η η η η η η η η η [ ] 2 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0, 2 d dE U f P Q f d dν ν νµ νµ µµ η η η η η η η     + − + + =       ∑ (24c) với 2 2 ( )1( ) 2 2 FU νν β η ηη η η = − − − (25) là thế và ma trận đoạn thời gian có dạng 2 2( ) , Q ( ) .P µ µ νµ ν νµ νη ηη η ∂Φ ∂ Φ = Φ = Φ ∂ ∂ (26) tương ứng với quá trình đoạn thời gian không kết hợp. Trong vùng gần đúng, những ma trận này triệt tiêu nhau và phương trình (27) trở thành phương trình không kết hợp. Với F 17 > 0 và với F = 0, những nghiệm sóng truyền qua từ phương trình không kết hợp thỏa [1,3] 1/2 1/2 3/2 1/2 1/4 1/2 2( ) exp . ( ) 3 f iF iEf F F→∞   = +    ν ν η η ηη η (27) Ở đây, fν là hệ số gần đúng. Giá trị tuyệt đối và bình phương của nó cho thấy phần độ rộng của trạng thái Siegert tương ứng với sự ion hóa trong kênh ν (xem phương trình (40) trong [8]). Trạng thái Siegert được miêu tả bởi những nghiệm từ phương trình (27) thỏa tính liên tục của điều kiện biên tại 0η → và điều kiện biên sóng truyền qua (27) tại η →∞ . Như vậy, những nghiệm này chỉ tồn tại như một hệ gián đoạn của các giá trị phức thông thường của năng lượng E. Những phần thực và phần ảo của trị riêng năng lượng E của trạng thái Siegert xác định năng lượng ε và tốc độ ion hóa Γ của trạng thái 2 iE ε= − Γ (28) Hàm riêng của trạng thái Siegert được chuẩn hóa bởi 2 2 2 0 0 0 1( ) ( )( ) 1 4 r dr r d d d p ψ ψ ξ η ξ η ϕ ∞ ∞ = + =∫ ∫ ∫ ∫ (29) 2.2. Phương pháp tính số Để sử dụng trạng thái Siegert như là một công cụ lý thuyết cho nhiều ứng dụng khác nhau trong vật lý trường mạnh, chúng ta phải giải được phương trình (18) cho trường hợp thế năng phân tử ở dạng tổng quát. Ta không có nhiều kiến thức về bất kỳ những đề cập nào liên quan đến vấn đề này, vì vậy điều quan trọng là cần đưa ra những chi tiết của công cụ phương pháp tính hiện nay. Phương pháp này được triển khai trong [2] theo trục của thế đối xứng bằng cách tính toán cho một cặp giữa những thành phần của hàm sóng tương ứng với những giá trị khác nhau của số lượng tử phương vị m. Nó dựa trên phương pháp SVD (Slow-variable discretization) [11] kết hợp với kỹ thuật lan R - matrix propagation [1]. Yếu tố kỹ thuật khác chủ yếu của phương pháp này là DVR 18 (Discrete variable representation) [2]. Tất cả những chi tiết cần thiết cho việc xây dựng DVR là những dạng khác nhau của đa thức trực giao có thể tìm trong [10]. 2.2.1. Vấn đề trị riêng đoạn thời gian Đầu tiên ta thảo luận về nghiệm của trị riêng đoạn thời gian (20). Đối với thế đối xứng theo trục, số lượng tử phương vị m thì bảo toàn. Ứng với từng giá trị m, hàm kênh đoạn thời gian có dạng /2( , ; ) mν ξ ϕ η ξΦ ∝ tại 0ξ → . Mỗi hàm kênh có thể được mở rộng trong DVR dựa trên sự xây dựng từ đa thức Laguerre ( ) (s )mnL ξ [2]. Trong trường hợp tổng quát, tuy nhiên, ( , ; )ν ξ ϕ ηΦ chứa số nguyên, ta xem nó như một năng lượng bán nguyên của ξ với 0ξ → , không thể trình bày bằng một DVR cơ bản với một giá trị m cố định. Để giải quyết được vấn đề khó này ta giới thiệu một biến mới là ,x được định nghĩa: 1/2( ) .x s= ξ (30) Thừa số đo đạc s đóng vai trò cơ bản trong biểu thức x trong vùng định xứ của những kênh đoạn thời gian. Giá trị tốt nhất cho thế và trạng thái được ta chọn dựa trên kinh nghiệm. Trong những tính toán này ta sử dụng 2s E . Trong những số hạng của biến mới, phương trình (20a) được viết lại ( ) } 2 2 2 [2 ( , , ) 2 4 ( )] ( , ; ) 0. s xs x x V x x x E F   ∂ ∂ ∂ + + − +  ∂ ∂ ∂  − + + Φ =ν ν ξ η ξ η ϕ η ϕ ξ ξ β η ξ ϕ η (31) Nghiệm từ phương trình chỉ chứa những năng lượng nguyên của x tại 0x → , chính là mục đích của sự biến đổi (30). Chúng có thể được mở rộng theo hướng hai thiết lập cơ bản không phụ thuộc vào x và ϕ . 1 2 1 2 2 ( )( , , ) ( ) ( ) ( ).Φ =∑ i i i i i i i a xν ξ ϕν ξ ϕ η η p p ϕ (32) 19 Với ( )i x ξp là cơ sở DVR được xây dựng dựa vào đa thức Laguerre (0)( ) ( )n nL x L x= [10] thỏa tính liên tục và điều kiện biên gần đúng (20b), và ( )i ϕp ϕ dựa trên phép cầu phương Chebyshev và xây dựng từ hàm sin và hàm cos [6] thỏa điều kiện biên tuần hoàn (20c). Thay phương trình (32) vào phương trình (31), chúng ta nhận được phương trình ở dạng đại số 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 2[2( ) ( , , ) 2 4 ( )] ( ) 0,    + +       + + − + + = ∑ ii j i j i j i j j j j j i i i i i i i i i xssK K a x x V E F a ξ ϕ ν η ν ν δ δ η ξ η ξ η ϕ ξ ξ β η η (33) với ix và iϕ là điểm cầu phương Laguerre và Chebyshev, và 2 /i ix sξ = . Ma trận động năng đối với chuyển động theo x và ϕ được cho bởi ( )( ) ( ) 0 ( )( ) , ∞ = ∫ jiij d xd xK x dx dx dx ξξ ξ pp (34a) ( )( )2( ) 0 ( )( ) .= ∫ jiij ddK d d d ϕϕpϕ p ϕp ϕ ϕ ϕ ϕ (34b) Chúng có thể được tính toán giải tích dựa trên những phương pháp được mô tả trong [6 ,10]. Phương trình (33) được giải bởi đại số tuyến tính chuẩn hóa. Vì vậy trị riêng ( )νβ η và hệ số 1 2 ( )i ia ν η trong phương trình (32) có thể được xác định cho những hàm kênh đoạn thời gian khác nhau tại bất kỳ điểm η nào. Thay phương trình (32) vào phương trình (21), điều kiện trực giao có dạng 1 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ,=∑ i i i i i i i i x a a s ν µ νµη η δ (35) nó tuân theo sự trực giao và chuẩn hóa của những phương trình cơ bản DVR [6, 10]. 20 Việc giải quyết một vấn đề trị riêng hai chiều (20) được mô tả trên sử dụng một cơ sở DVR tổng quát và vì vậy làm cho thế trở nên đủ mượt hơn. Đây là trường hợp thế phân tử có lõi mềm được xác định bởi điểm kì dị Coulomb tại hạt nhân. Trong trường hợp này, cơ sở DVR cần được đảm bảo hội tụ nhanh và sự chính xác về kết quả. Theo nguyên lý, nó có thể đếm số điểm kì dị Coulomb bởi sự chuyển đổi từ một vài cơ sở, giống như việc xác định những nguyên tố. Tuy nhiên, sẽ bắt buộc một số mạng lưới uốn, vì vậy vị trí của hạt nhân trong số hạng hệ tọa độ ξ và ϕ phụ thuộc vào cấu hình liên phân tử và sự định phương của phân tử, và sự bổ sung của nó cho bất kỳ phân tử nào dường như không được xem là thẳng. 2.2.2. Phương pháp SVD (Slow-variable discretization) và R - matrix propagation Ở đây chúng ta thảo luận nghiệm của phương trình (18) trong vùng bên trong 0 cη η≤ ≤ . Vùng này được chia bởi N thừa số, 0 10 ... .= < < < =N cη η η η (36) Xét đến thừa số thứ k, 1 .k kη η η η η− − +≡ ≤ ≤ ≡ Ma trận cơ sở R trong những thừa số này xác định bởi 2 ( ) ( , ; ) 0 2 4 n n E FL B η ηη η ψ ξ ϕ η η η  ∂ ∂ − + + + = ∂ ∂  (37) với L là toán tử Bloch [3], [ ( ) ( )] .+ − ∂ = − − − ∂ L η δ η η δ η η η (38) Những nghiệm khác nhau từ phương trình (37) trực giao với η . ( , ; ) ( , ; ) .n m nmd η η ψ ξ ϕ η ψ ξ ϕ η η η δ+ − =∫ (39) 21 Chúng ta giải phương trình (37) với phương pháp SVD [11]. Và cuối cùng, ta giới thiệu một biến mới y được thay ( ), ( 1) .y ±= ± =η η η η (40) Hàm ( )yη trở nên đơn điệu, và dẫn đến thừa số ánh xạ ngược được xét trong khoảng 1 1;y− ≤ ≤ dạng tường minh của ( )yη được cho bên dưới. Nghiệm của phương trình (37) trong sự mở rộng SVD [11], ( )( , ; ) ( ) ( , ; ).nn i i i i c yην ν ν ψ ξ ϕ η p ξ ϕ η= Φ∑ (41) Với ( ) (y)i ηp là cơ sở DVR được xây dựng từ đa thức Legendre [10] và ( ),i iyη η= với iy là điểm cầu phương Legendre. Thay phương trình (41) vào phương trình (37) chúng ta sẽ nhận được trị riêng SVD. 2 ( ) ' , ( ) 0,2 4   − + + =    ∑ nn ni iij i j j i i i j E FK O c B cη ν µ µ ν ν µ η ηη η (42) với ( )ijK η là ma trận động năng. ( )( )1( ) '1 (y)(y) ( ) . ( )− = ∫ jiij dd yK dy dy y dy ηη η pp η η (43) ,i jOν µ là ma trận chồng chập của những cơ sở đoạn thời gian tại những điểm kì dị khác nhau, , ( , ; ) ( , ; ) ,i j i jO = Φ Φν µ ν µξ ϕ η ξ ϕ η (44) và ' ' ( ).i iyη η= So sánh những đề cập dựa trên sự mở rộng của (23) và (41), nó xem như là phương pháp SVD để tránh việc giải những phương trình dài dòng cùng với đoạn thời gian không kết hợp (24c) và tính toán những ma trận (26). Thay vì ta phải tính ma trận chồng chập (44), ta có thể dễ dàng làm được bằng cách sử dụng phép cầu phương với sự 22 mở rộng DVR (32), và giải trị riêng đại số. Vì vậy ta xác định được trị riêng ma trận R nE và hàm riêng ( , , )nψ ξ η ϕ cho thừa số. Thay phương trình (41) vào phương trình (39), điều kiện chuẩn hóa có dạng ' ,n mi i i i nm i c c =∑ ν ν ν ηη δ (45) nó phụ thuộc vào tính chất của những hàm cơ bản của DVR [10] và phương trình (21). Ta hãy trở lại hàm ( )yη xác định biến số thay đổi (40). Sự thay đổi này có những dạng khác nhau trong thừa số thứ nhất và những thừa số xa hơn. Đối với thế đối xứng theo trục, nghiệm từ phương trình (37) với một giá trị số lượng tử phương vị m có dạng /2( , , ) mnψ ξ η ϕ η∝ tại 0η → . Thay 1( ) (1 ) / 2y n yη = + , với mỗi hàm có thể mở rộng trong những số hạng của cơ sở DVR xây dựng từ đa thức Jacobi (0, ) ( )mnP y [2]. Tuy nhiên, ( , , )nψ ξ η ϕ chứa số nguyên xem như là những năng lượng bán nguyên của η với 0η → . Sự khó khăn giống như ta thảo luận trước đó và ta đã biết biện pháp để giải quyết. Hàm ( )yη trong thừa số thứ nhất 10 η η≤ ≤ xác định bởi 21( ) (1 ) . 4 y y= +ηη (46) Nghiệm từ phương trình (37) chỉ chứa năng lượng bán nguyên của (1 )y+ tại 1y →− , tương ứng với 0η → , và vì vậy có thể được mở rộng từ đa thức Legenrde (0,0)( ) ( ).n nP y P y= Ta chú ý rằng những biến thay đổi không tuyến tính tương tự phương trình (30) và (40) với ( )yη cho bởi phương trình (46), mục đích là loại bỏ những năng lượng bán nguyên của những biến tương ứng khi có một sự kết hợp giữa những thành phần phương vị khác nhau của hàm sóng, gần đây được sử dụng trong sự tính toán của tán xạ đàn hồi lên thế Coulomb tại hai trung tâm. Với thừa số 2k ≥ , sự khó khăn thảo luận trên không xảy ra, và ta sử sụng một sự chuyển đổi tuyến tính có dạng 23 1( ) [( ) ( ) ]. 2 y y+ − + −= + + −η η η η η (47) Đối với cả hai phương trình (46) và (47), ma trận (43) có thể được tính toán giải tích sử dụng công thức trong [10]. Ma trận R( ; )Eη cho nghiệm của phương trình (18) với những kênh đoạn thời gian xác định bởi ( , ; ) ( , ; ) ( , ; )( ; ) ( , ; ) .R E Φ ∂ = Φ ∂∑ ν νµ ν µ ξ ϕ η ψ ξ ϕ η ψ ξ ϕ ηη ξ ϕ η η (48) Ta có những nghiệm từ pt (37), ma trận R( ; )Eη có thể lan truyền suốt thừa số. Sự lan truyền thì được thực hiện bởi phương trình [1] 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )( ; ) ( ; ) ,E E −± ± ± ± ±  = ± − ± R R      η ηR R R R (49) với những ma trận ( , )± ±R cho bởi ( , ) ( ) ( ) 2 . n n nn f f E E ± ±± ± = −∑ ν µ νµ η η R (50) Với 1/2 1/2 ( ) ,( ) ( , ; ) ( , , ) ( 1) n n n j j j j f c O±± ± ± ± ±= Φ = ±∑ ην µ ν µν µ η η ξ ϕ η ψ ξ η ϕ η p (51) là biên độ bề mặt của hàm riêng ma trận R, và , ( , ; ) ( , ; )j jO± ±= Φ Φν µ ν µξ ϕ η ξ ϕ η (52) là ma trận chồng chập bề mặt. Giải phương trình (37) ứng với mỗi thừa số trong vùng bên trong và thay vào phương trình (49), chúng có thể lan truyền giữa hai điểm biên kη . 24 Phương pháp mô tả trên cho phép chúng ta giải quyết vấn đề với bất kỳ giá trị năng lượng E và trường F . 2.2.3. Điều kiện biên của sóng truyền qua Trong vùng bên ngoài cη η> , ta cần giải phương trình (24c) không lệ thuộc vào điều kiện biên của sóng truyền qua (27). Nghiệm ( )fν η dao động một cách nhanh chóng với biên độ tăng theo hàm mũ khi η →∞ dọc theo trục thực. Lúc này nó nhanh chóng đạt đến dạng gần đúng của nó một cách rất chậm. Sai số quan hệ của phương trình (27) giảm theo 1/ .η Hai trường hợp làm nó khó đạt độ chính xác cao trong những tính toán phụ thuộc vào trục thực .η Một giải pháp cho vấn đề này được trình bày trong [2]. Ý tưởng là làm thay đổi khoảng thực [ , )cη ∞ của biên dưới dạng phức η . Điều này khả thi vì các hệ số trong phương trình (24c) đã được biết một cách giải tích. Ta giải phương trình (24c) dọc theo một dốc đứng bán cổ điển đi xuống tới biên C (một đường Stokes) xác định bởi [2] 1/2 2 2 1 'Re ' 0 . 4 ' ' 2 4c mm E F d C  − + + + = → ∈     ∫ ξ η η η β η η η η η (53) Biên này bắt đầu tại cη η= , chạy từ vô cực đến trong khoảng nửa trên của vùng mặt phẳng song song dưới dạng phức đến / 3.η p= Nghiệm của sóng truyền qua từ phương trình (24c) giảm theo hàm mũ khi η tiến đến vô cùng dọc biên này, vì vậy phương trình (27) có số lượng điểm không điều kiện biên gần đúng đối với ( )fν η phụ thuộc vào .C Ta bắt đầu từ một điểm C∞ ∈η , việc tích phân trong phương trình (53) có một giá trị lớn, và sự lan truyền nghiệm của phương trình (24c) dọc theo C hướng vào cη bởi bốn số hạng của phương pháp Runge-Kutta. Bởi vì những số không bền vững gây ra những giá trị xác định của sự tính toán, không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu của ( ),fν η chỉ duy nhất có nghiệm tăng theo hàm mũ tồn tại trong sự lan truyền. Đây chính là nghiệm chúng ta cần, nó thỏa mãn điều kiện biên của sóng truyền qua (27). Ta chú ý rằng phương pháp này chỉ 25 áp dụng với 0,F = mặc dù dạng gần đúng của nghiệm trong trường hợp này khác với phương trình (27). Vì vậy có thể tính ( )fν η như là một thừa số hằng, nó thích hợp cho việc tìm trị riêng E của trạng thái Siegert. Kết quả của những sự tính toán trong vùng ngoài là một hệ của nhiều tỉ số ( )( ) ' ( ) c fr E f = = νν ν η η η η (54) đối với tất cả những kênh đoạn thời gian bao gồm trong phương trình (41). 2.2.4. Điều kiện làm khớp Với những nghiệm từ phương trình (18) tại 0,η = ta có (0; ) 0.R E =νµ (55) Với những nghiệm thỏa điều kiện biên của sóng truyền qua tại ,η →∞ ta có ( ; ) ( ) ,cR E r E=νµ ν νµη δ (56) với ( )r Eν cho bởi phương trình (54). Phương trình (55) và (56) cung cấp những điều kiện biên cho sự lan truyền ma trận R. Bắt đầu từ phương trình (55) và sự lan truyền R ( ; )Eη dọc theo thừa số k theo bên phải, ta xác định Rleft( ( ; ).k Eη Xét theo khía cạnh khác, từ phương trình (56) và sự lan truyền R ( ; )Eη qua N – những thừa số k ở phía trái, ta xác định Rright ( ; ).k Eη Điều kiện của tính liên tục từ phương trình (18) và điều kiện biên của nó với η tại kη η= dẫn đến điều kiện làm khớp. det ( ; ) ( ; ) 0.left k right kE E − = R Rη η (57) Giá trị của E từ phương trình này thỏa trị riêng của trạng thái Siegert. Ta giải phương trình (57), bắt đầu từ 0F = và tăng F bởi những bước nhỏ. Với 0F = , ta tìm nghiệm 0E E= ứng với trạng thái đã được chọn. Tại mỗi bước tiếp theo của ,F ta thấy 0 là trị 26 riêng nhỏ nhất của ma trận trong phương trình (57) đã được ta tìm ra tại những bước trước đó sử dụng phương pháp Newton. Trong trường hợp này, E có thể liên tục tại bất kỳ giá trị phức nào của .F Ta chú ý rằng, phần sai số và phần làm khớp của những bước khảo sát ,F phương pháp này xem E như là một hàm giải tích của .F Trạng thái Siegert tương ứng được xác định giải tích liên tục theo F ở trạng thái liên kết, đây chính là ứng dụng chủ yếu của trạng thái Siegert trong lý thuyết đoạn thời gian [9]. Ta kết luận những thảo luận về phương pháp tính số bởi những giá trị xác định của những tham số dạng số sử dụng cho tính toán H2+ được trình bày bên dưới. Ta sử dụng những hàm cơ bản DVR 30 và 15 trong phương trình (32) với x và ϕ tương ứng. Tham số cắt bỏ là 75.cη = Vùng bên trong được chia thành 150N = thừa số bằng nhau, (36). Với mỗi thừa số, ta sử dụng sáu hàm cơ bản DVR và 60 kênh đoạn thời gian trong phương trình (41). Điều kiện làm khớp (57) phù hợp tại 10,kη  nơi mà hàm sóng trạng thái liên kết không nhiễu loạn 0 ( )rψ vẫn có một biên độ lớn. 27 CHƯƠNG 3: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1. Kiểm tra sự hội tụ của chương trình Việc khảo sát sự hội tụ của một đại lượng là sự khảo sát đại lượng xác định nhằm thu được các giá trị có xu hướng tiến về một giá trị không đổi. Việc kiểm tra sự hội tụ của chương trình là cực kỳ quan trọng, vì ta cần các kết quả giải số của năng lượng thực có độ chính xác cao. Thông qua việc kiểm tra sự hội tụ của năng lượng thực trong chương trình, ta thấy các giá trị năng lượng thực của hai lần liên tiếp đều nằm trong khoảng chênh lệch 10-10, cho thấy số con số chính xác rất cao. Việc kiểm tra này là một sự khẳng định tính chính xác về mặt giải số của những giá trị năng lượng thực mà ta thu được. Ta thiết lập các thông số đầu vào như NCH, NDVRP, NDVRX. Ta lần lượt thay đổi các thông số NCH, NDVRP, NDVRX để tính giá trị năng lượng thực. Trong thực tế, NCH phải thỏa mãn điều kiện NCH ≤ NDVRP.NDVRX nghĩa là không phải giá trị nào của NCH ta cũng có thể tính được giá trị của năng lượng thực. Ứng với các giá trị NDVRP xác định sẽ có số lượng kênh cực đại mà nếu NCH > NCH nào đó thì hàm sóng sẽ không tính toán được, do trong quá trình tính toán có những đại lượng cực nhỏ, khi đó chương trình tự hiểu những giá trị này bằng 0, dẫn đến những tính toán tiếp theo không thể thực hiện được. Để kiểm tra sự hội tụ của năng lượng thực tác giả khảo sát trường hợp F = 0, R = 1.8; R = 1.9; R = 2 ứng với ba trường hợp NDVRP = 1, NDVRP = 3, NDVRP = 5. Ta khảo sát trường hợp F = 0 vì đây là trường hợp đơn giản nhất, việc kiểm tra sự hội tụ sẽ được tiến hành ổn định, do đó đảm bảo thời gian tính toán ngắn nhưng vẫn đạt hiệu quả mong muốn. 28 a) Trường hợp F = 0, R = 1.8 Bảng 3.1. Kiểm tra sự hội tụ của chương trình trường hợp F = 0, R = 1.8 NDVRP = 1 NDVRP = 3 NDVRP = 5 NCH ε ε ε 5 -1.00005874 -0.99961183 -0.99894779 8 -1.00025018 -1.00005890 -0.99975623 13 -1.00027691 -1.00024898 -1.00017260 15 -1.00027917 -1.00026170 -1.00023176 18 -1.00027960 -1.00026856 -1.00025420 21 -1.00027961 -1.00027451 -1.00026357 23 -1.00027961 -1.00027645 -1.00026371 30 - -1.00027933 -1.00027518 40 - -1.00027961 -1.00027910 50 - -1.00027961 -1.00027957 Nhận xét: Với trường hợp NDVRP = 1, năng lượng bắt đầu đạt đến sự hội tụ ứng với số kênh NCH =13, còn hai trường hợp còn lại NDVRP = 3 và NDVRP = 5 số NCH cần phải sử dụng là 21 và 30. b) Trường hợp F = 0, R=1.9 Bảng 3.2. Kiểm tra sự hội tụ của chương trình trường hợp F = 0, R = 1.9 NDVRP = 1 NDVRP = 3 NDVRP = 5 NCH ε ε ε 5 -0.98073227 -0.98023465 -0.97955622 8 -0.98093361 -0.98066757 -0.98038459 13 -0.98096701 -0.98093510 -0.98085452 29 15 -0.98096968 -0.98094792 -0.98091784 18 -0.98097030 -0.98095649 -0.98094112 21 -0.98097032 -0.98096462 -0.98095163 23 -0.98097032 -0.98096691 -0.98095190 30 - -0.98097004 -0.98096518 40 - - -0.98096961 50 - - -0.98097027 Nhận xét: Với trường hợp NDVRP = 1, năng lượng bắt đầu đạt đến sự hội tụ ứng với số kênh NCH =18, còn hai trường hợp còn lại NDVRP = 3 và NDVRP = 5 số NCH cần phải sử dụng là 30 và 50. c) Trường hợp F = 0, R = 2 Bảng 3.3. Kiểm tra sự hội tụ của chương trình trường hợp F = 0, R = 2 NDVRP = 1 NDVRP = 3 NDVRP = 5 NCH ε ε ε 5 -0.96211903 -0.96156250 -0.96086537 8 -0.96232746 -0.96204721 -0.96172256 13 -0.96236830 -0.96233284 -0.96224775 15 -0.96237124 -0.96234854 -0.96231448 18 -0.96237204 -0.96235687 -0.96233862 21 -0.96237209 -0.96236533 -0.96235061 23 -0.96237209 -0.96236777 -0.96235106 30 - -0.96237168 -0.96236616 40 - -0.96237209 -0.96237126 50 - -0.96237209 -0.96237209 30 Nhận xét: Với trường hợp NDVRP = 1, năng lượng bắt đầu đạt đến sự hội tụ ứng với số kênh NCH =15, còn hai trường hợp còn lại NDVRP = 3 và NDVRP = 5 số NCH cần phải sử dụng là 30 và 40. Với NDVRP = 1, việc khảo sát năng lượng hội tụ gần như rất dễ dàng, tiết kiệm rất nhiều thời gian (cỡ 30 phút trên một phép tính) nhưng nó chỉ sử dụng được cho trường hợp 0.=β Trong khi NDVRP = 3 và NDVRP = 5 có áp dụng cho cả 0,≠β nhưng trường hợp NDVRP = 5 cần rất nhiều thời gian để kiểm tra sự hội tụ của năng lượng thực (khoảng 3 tiếng), còn NDVRP = 3 thời gian cho một phép tính khá tốt (khoảng 1 tiếng). Ta kết luận, bộ số liệu thích hợp nhất để kiểm tra sự hội tụ của năng lượng thực ứng với trường hợp NDVRP = 3. Do đó trong các tính toán tiếp theo, tác giả chọn NDVRP = 3 và NCH = 30. 3.2. Khảo sát sự thay đổi của năng lượng thực và tốc độ ion hóa theo điện trường 3.2.1. Khảo sát sự thay đổi của năng lượng thực theo điện trường Ta xét góc định phương 0,=β số kênh NCH = 30, số NDVRX = 30, NDVRP = 3. Ta thay đổi khoảng cách liên phân tử từ 0 đến 8, lấy giá trị năng lượng thử CEO chính là năng lượng ở trạng thái cơ bản. Bắt đầu khảo sát sự thay đổi của năng lượng khi đưa điện trường vào bằng cách thay đổi các thông số như: điện trường ban đầu CF0, bước nhảy điện trường CDF và số bước nhảy điện trường NCF. Ta sẽ thu được 3 kết quả là: giá trị của năng lượng thực, năng lượng ảo và tốc độ ion hóa chính là 2 lần giá trị tuyệt đối của năng lượng ảo. Lập bảng số liệu về khoảng cách liên phân tử, năng lượng thực, tốc độ ion hóa, tiến hành vẽ hình ta thu được một số kết quả sau 31 a) Trường hợp R = 2 Hình 3.1. So sánh kết quả giải số và giải tích biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng thực theo điện trường trường hợp R = 2 Ứng với trường hợp R = 2, trong vùng điện trường từ F = 0 đến F = 0.15, kết quả giải số phù hợp với kết quả giải tích dựa trên lý thuyết nhiễu loạn được cung cấp bởi Linda và cộng sự [5]. Dựa vào hiệu ứng Stark bậc 2 ta thấy được độ tin cậy của những kết quả giải số. Khi khảo sát các trường hợp R > 2, chúng tôi không so sánh với kết quả gần đúng không có sẵn giá trị giải tích cần thiết cho việc so sánh. Tuy nhiên, sự phù hợp giữa kết quả giải số và giải tích ứng với trường hợp R = 2 đã cho thấy tính đúng đắn của phương pháp số được sử dụng. b) Trường hợp R > 2 32 Hình 3.2. Sự phụ thuộc của năng lượng thực theo điện trường trường hợp R = 4, R = 6, R = 8. Khi chưa có điện trường, năng lượng liên kết giữa electron và hạt nhân tại R = 4 khoảng -0.7, nếu ta tiếp tục tăng khoảng cách liên phân tử thì năng lượng liên kết sẽ tăng theo, tại khoảng cách R = 8 năng lượng liên kết gần bằng -0.5. Năng lượng liên kết tăng khi khoảng cách liên phân tử tăng cho tác giả một dự đoán rằng tốc độ ion hóa của phân tử khi có mặt điện trường cũng sẽ tăng do năng lượng cần thiết để làm ion hóa electron giảm xuống khi tăng khoảng cách liên phân tử. Điều này phải được kiểm chứng trong mục 3.2.2. 3.2.2. Khảo sát sự thay đổi của tốc độ ion hóa theo điện trường a) Trường hợp R = 2 Hình 3.3. So sánh kết quả giải số và giải tích biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa theo điện trường trường hợp R =2. 33 Ứng với trường hợp R = 2, trong vùng điện trường F = 0 đến F = 0.15, tốc độ ion hóa của kết quả giải số phù hợp với kết quả giải tích dựa trên lý thuyết gần đúng trường yếu được cung cấp bởi Linda và cộng sự [5]. Kể cả khi điện trường F = 0.15 thì độ chênh lệch giữa kết quả giải số và kết quả giải tích cũng vẫn nhỏ hơn 10%. Tuy nhiên, ta có thể nhận thấy điện trường càng tăng thì độ chênh lệch giữa hai kết quả này cũng tăng lên. Điều này chứng tỏ phương pháp giải tích chỉ có thể giải thích được quá trình ion hóa đối với điện trường đủ nhỏ trong vùng ion hóa xuyên hầm. Trong khi đó, phương pháp giải số có thể tính được cho những trường hợp có điện trường rất lớn trong vùng ion hóa vượt rào. Do đó, phương pháp giải số là vô cùng quan trọng trong việc khảo sát một cách chính xác sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa của nguyên tử, phân tử vào độ mạnh bất kì của cường độ điện trường. b) Trường hợp R > 2 Hình 3.4. Sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa theo điện trường trường hợp R = 4, R = 6, R = 8. 34 Ta khảo sát tốc độ ion hóa các trường hợp R > 2, ta không so sánh với kết quả gần đúng vì sự phù hợp giữa kết quả giải số và giải tích ứng với trường hợp R = 2 cho thấy tính đúng đắn của phương pháp số được sử dụng. Trường hợp R = 6, R = 8, sự ion hóa bắt đầu xảy ra nhanh hơn, chỉ cần điện trường F = 0.02 đã bắt đầu có sự ion hóa. Với F = 0.1, tốc độ ion hóa có xu hướng ổn định hơn. Với F = 0, trường hợp R = 2, năng lượng liên kết giữa electron và hạt nhân khoảng -0.96, nhưng trường hợp R = 8 năng lượng này đã tăng lên gần -0.5, chứng tỏ năng lượng cần thiết để ion hóa electron giảm xuống cho nên electron này dễ dàng bị ion hóa dẫn đến tốc độ ion hóa tăng lên. Điều này hoàn toàn phù hợp với tiên đoán đã được đưa ra trong phần trên. 3.3. Khảo sát sự thay đổi của năng lượng thực và tốc độ ion hóa theo khoảng cách liên phân tử 3.3.1. Khảo sát sự thay đổi của năng lượng thực theo khoảng cách liên phân tử Ta xét góc định phương 0,=β số kênh NCH = 30, số NDVRX = 30, NDVRP = 3. Ta thay đổi khoảng cách liên phân tử từ 0 đến 8, lấy giá trị năng lượng thử CEO chính là năng lượng ở trạng thái cơ bản. Bắt đầu khảo sát sự thay đổi của năng lượng khi đưa điện trường vào bằng cách thay đổi các thông số như: điện trường ban đầu CF0, bước nhảy điện trường CDF và số bước nhảy điện trường NCF. Ta sẽ thu được 3 kết quả là: giá trị của năng lượng thực, năng lượng ảo và tốc độ ion hóa chính là 2 lần giá trị tuyệt đối của năng lượng ảo. Lập bảng số liệu về khoảng cách liên phân tử, năng lượng thực, tốc độ ion hóa, tiến hành vẽ hình ta thu được một số kết quả sau a) Trường hợp F = 0 35 Hình 3.5. Sự phụ thuộc của năng lượng thực vào khoảng cách liên phân tử khi chưa có điện trường F = 0. Trong những tính toán giải số với ion phân tử H2+, R≠ 0 nghĩa là 2 proton tách biệt nhau, ta không thể giải quyết được 2 thế Coulomb cùng lúc. Vì thế, để đơn giản hóa, tác giả thêm vào hệ số làm mượt b. Ứng với R = 0, ion phân tử H2+ sẽ trở thành He+. Theo công thức tính năng lượng ion hóa electron của những ion tương tự hydro 2 2 Z n = −ε , năng lượng của He+ là -2 (Z = 2, n = 1) nhưng do thêm vào hệ số làm mượt b = 0.09 nên tại vị trí R = 0 năng lượng của He+ không phải là -2 mà khoảng -1.3. Ứng với R ,= ∞ ion phân tử H2+ sẽ trở thành nguyên tử hydro. Theo công thức tính năng lượng ion hóa electron, năng lượng cần thiết để ion hóa hydro (Z = 1, n = 1) là -0.5 nhưng do hệ số làm mượt b = 0.09 mà tại vô cùng năng lượng chỉ đạt giá trị tiệm cận. Đây là điều hoàn toàn phù hợp với lý thuyết. Mặc dù chỉ trình bày kết quả của năng lượng thực ở trường hợp R = 8 nhưng tác giả hoàn toàn có thể kết luận tại vị trí vô cùng năng lượng sẽ đạt giá trị tiệm cận -0.5. Bởi vì do khả năng tính toán giải số có hạn, với R = 8 việc giải ra năng lượng thực vô cùng phức tạp và mất rất nhiều thời gian. Tác giả không thể mở rộng cho những tính toán với việc tăng khoảng cách R nhưng những kiểm chứng giải số năng lượng thực cho hai trường hợp R = 0; b = 0 và R ;= ∞ b = 0 cho thấy phương pháp số tác giả đang sử dụng có độ chính xác rất cao. Từ đó tác giả có thể kết luận với trường hợp R ,= ∞ năng lượng đạt giá trị tiệm cận là hoàn toàn đúng. 36 b) Trường hợp F > 0 Hình 3.6. Sự phụ thuộc của năng lượng thực vào khoảng cách liên phân tử khi có điện trường F = 0.05, F = 0.07, F = 0.1, F = 0.15 Khi có điện trường, năng lượng của ion phân tử H2+ bị thay đổi rõ rệt. Cụ thể, năng lượng tăng khá chậm, tăng đến giá trị cực đại ứng với một khoảng cách liên phân tử nhất định thì lại giảm. Giữa việc tăng giảm năng lượng tại các khoảng cách liên phân tử có mối quan hệ phụ thuộc vào việc tăng điện trường. Ứng với điện trường F = 0.05, năng lượng của ion phân tử H2+ theo khoảng cách liên phân tử chỉ tăng đến khoảng cách R = 6, sau đó nó có xu hướng giảm. Cứ thế, tiếp tục tăng điện trường đến giá trị F = 0.15, sự thay đổi năng lượng của H2+ lúc này rất rõ rệt, chỉ tăng đến giá trị R = 3 đã bắt đầu giảm. 37 3.3.2. Khảo sát sự thay đổi của tốc độ ion hóa theo khoảng cách liên phân tử Hình 3.7. Sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa vào khoảng cách liên phân tử khi có điện trường F = 0.05, F = 0.07, F = 0.1, F = 0.15. Khi có điện trường, tốc độ ion hóa của ion phân tử H2+ bị thay đổi rõ rệt. Cụ thể, tốc độ ion hóa tăng rất nhanh và sự ion hóa xảy ra tại khoảng cách liên phân tử ngày càng nhỏ khi điện trường tăng nhẹ. Khi điện trường F = 0.05, tại khoảng cách liên phân tử R ≈ 1.7 bắt đầu có sự ion hóa, khi tăng điện trường đến F = 0.1, tại khoảng cách liên phân tử R = 0 đã có sự ion hóa đáng kể. Nếu tiếp tục tăng đến F = 0.15, tại R = 0, tốc độ ion hóa tăng khá nhanh. Trái ngược với năng lượng thực, tốc độ ion hóa không phụ thuộc hoàn toàn vào thế ion hóa như nhận định một cách cổ điển. Dưới tác dụng của điện trường, khi khoảng cách liên phân tử tăng thì năng lượng thực cũng tăng, nhưng chỉ tăng đến một giá trị xác định ứng với khoảng cách nhất định sau đó lại giảm. Trong khi đó, dưới tác dụng của điện trường khi tăng khoảng cách liên phân tử thì tốc độ ion hóa cũng tăng theo. Điều này phù hợp với phương pháp biến phân của Plummer khi khảo sát tốc độ ion hóa của ion phân tử H2+ dưới tác dụng của điện trường tĩnh năm 1996. 38 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả đã kiểm tra sự hội tụ của chương trình giải số, kết quả cho thấy chương trình giải số hoàn toàn đáng tin cậy và có độ chính xác rất cao, các giá trị năng lượng thực của hai lần liên tiếp trong việc khảo sát sự hội tụ năng lượng có độ chênh lệch trong khoảng 10-10. Tác giả đã khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng thực theo điện trường ứng với các khoảng cách liên phân tử nhất định, kết quả cho thấy trường hợp R = 2 kết quả giải số phù hợp hoàn toàn với kết quả giải tích dựa trên lý thuyết nhiễu loạn bậc 2 được cung cấp bởi Linda và cộng sự. Dựa vào hiệu ứng Stark bậc 2, ta kết luận phương pháp giải số đang sử dụng có độ chính xác cao và những kết quả giải số ứng với R > 2 hoàn toàn đáng tin cậy. Việc khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng thực theo điện trường với khoảng cách liên phân tử nhất định là cơ sở giải thích cho những kết quả của việc khảo sát sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa theo điện trường với khoảng cách liên phân tử nhất định. Kết quả cho thấy, khi khảo sát sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa của ion phân tử H2+ dưới tác dụng của điện trường tĩnh trường hợp R = 2 kết quả giải số phù hợp với kết quả giải tích dựa trên lý thuyết gần đúng trường yếu được cung cấp bởi Linda và cộng sự. Tuy nhiên, khi tăng điện trường thì độ chênh lệch giữa hai kết quả này cũng tăng. Điều này giúp tác giả đi đến kết luận rằng phương pháp giải tích chỉ có thể giải thích được quá trình ion hóa đối với điện trường đủ nhỏ trong vùng ion hóa xuyên hầm. Trong khi đó, phương pháp giải số có thể tính được cho những trường hợp có điện trường rất lớn trong vùng ion hóa vượt rào. Do đó, phương pháp giải số là vô cùng quan trọng trong việc khảo sát một cách chính xác sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa của nguyên tử, phân tử vào độ mạnh bất kì của cường độ điện trường. Từ các kết quả thu nhận được tác giả nhận thấy việc tính toán sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa của ion phân tử H2+ dưới tác dụng của điện trường tĩnh vào khoảng cách liên phân tử là một đề tài khá lý thú. Tuy nhiên do hạn chế về thời gian và một số khó khăn nhất định, việc đào sâu các vần đề liên quan đến đề tài này vẫn còn nhiều hạn chế. Vì 39 vậy, đề tài này mở ra nhiều hướng phát triển mới như tính toán sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa của ion phân tử H2+ dưới tác dụng của điện trường tĩnh vào khoảng cách liên phân tử. Ngoài ra, còn mở rộng việc tính toán sự phụ thuộc của tốc độ ion hóa của các phân tử có cấu trúc phức tạp hơn vào khoảng cách liên phân tử dưới tác dụng của điện trường tĩnh. 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Anh [1] K. L. Baluja, P. G. Burke, and L. A. Morgan, Comput. Phys. Commun.27, 299 (1982). [2] Batishchev Pavel A., Tolstikhin Oleg I., and Morishita Toru (2010), “Atomic Siegert states in an electric field: Tranverse momentum distribution of the ionized electrons”, Physical Review A, 82, pp. 023416. [3] C. Bloch, Nucl. Phys.4, 503 (1957). [4] Landau L. D. And Lifshiz E. M. (1977), “Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory”, Pergamon Press, Oxford. [5] Linda Hamonou, Toru Morishita, and Oleg I. Tolstikhin, Physical Review A 86, 013412 (2012). [6] J. T. Muckerman,Chem. Phys. Lett.173, 200 (1990). [7] Pham Vinh N. T. (2015), “Investigating the ionization process of noble gas atoms by a static electric field using Seigert state method”, Journal of Science of Ho Chi Minh University of Education 2(67), 39. [8] Tolstikhin Oleg I., Morishita Toru, and Madsen L. B. (2011), “Theory of tunneling ionization of molecules: Weak-field asymptotics including dipole effects”, Physical Review A, 84, pp. 053423. [9] O. I. Tolstikhin, T. Morishita, and S. Watanabe,Phys.Rev.A81, 033415 (2010). [10] O. I. Tolstikhin and C. Namba, CTBC—A Program to Solve the Collinear Three- Body Coulomb Problem: Bound States and Scattering Below the Three-Body Disintegra-tion Threshold, Research Report NIFS-779(National Insti-tute for Fusion Science, Toki, Japan, 2003) available at:[]. [11] O. I. Tolstikhin, S. Watanabe, andM. Matsuzawa,J. Phys. B29, L389 (1996). 41 Website [12] https://www.google.com/search?biw=1366&bih=665&tbm=isch&sa=1&q=multiphoton+ ionization&oq=multiphoton+ionization&gs_l=img.3...4598.5976.0.6303.0.0.0.0.0.0.0.0.. 0.0....0...1c.1.64.img..0.0.0._KEGXyOCuI8