Luận văn Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---OOO--- TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH Mà S Ố : 1.01.01 NGƯỜI THỰC HIỆN : HOÀNG ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1997 BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---OOO--- TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH Mà S Ố : 1.01.01 NGƯỜI THỰC HIỆN : HOÀNG ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1997 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: Phó giáo sư Tiến sĩ TRẦN HỮU BỔNG Khoa Toán Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Người phản biện 1: Phó tiến sĩ DƯƠNG LƯƠNG SƠN Khoa Giáo dục Tiểu học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Người phản biện 2: Phó tiến sĩ ĐẬU THẾ CẤP Khoa Khoa học Cơ bản Trường Cao đẳng Kỹ thuật Vinhempic Người thực hiện: HOÀNG ANH TUẤN Khoa Thống kê - Toán Kinh tế - Tin học Đại học Kinh Tế Tp Hồ Chí Minh LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin kính gửi đến Phó Giáo sư Tiến sĩ TRẦN HỮU BỔNG - Khoa Toán Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc. Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quí thầy : Phó tiến sĩ DƯƠNG LƯƠNG SƠN Khoa Giáo dục Tiểu học Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Phó tiến sĩ ĐẬU THẾ CẤP Khoa Khoa học Cơ bản Trường Cao đẳng Kỹ thuật Vinhempic đã đọc bản thảo, phê bình và phản biện cho luận văn. Xin chân thành cảm ơn Quí Thầy cô trong Khoa Toán đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập và Quí Thầy cô thuộc Phòng Nghiên cứu Khoa học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này. Xin cảm ơn gia đình, bạn hữu, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Thành phố Hồ chí Minh, 1997 Hoàng Anh Tuấn MỤC LỤC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH ........... 1 I Phổ của toán tử tuyến tính ............................................................................................... 1 II Cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính ....................................................................... 1 III. Ứng dụng. ......................................................................................................................... 3 CHƯƠNG 2: SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ NGƯỢC CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH........................................................................................................................................ 9 I Hàm liên tục đều bị chặn. .................................................................................................. 10 II Hàm đầu tuần hoàn ........................................................................................................... 10 III Hàm truy đồi.................................................................................................................... 11 IV Các bổ đề ......................................................................................................................... 12 V Điều kiện tồn tại toán tử ngược. ....................................................................................... 22 CHƯƠNG 3: VỀ SỰ BẢO TOÀN TÍNH FREDHOLM CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH ........................................................................................................................ 33 I Định nghĩa và kết quả. ....................................................................................................... 33 II Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa hội tụ tích phân tại vô cực. .................................. 34 III Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa đinh vị tại vô cực ..................................... 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 51 KÝ HIỆU R, p là tập hợp các số thực và số phức. R n (P n ) là không gian thực (phức) với chuẩn M n là không gian (vành) các ma trận thực cấp n với chuẩn C(R n ),C(P n ) là không gian Banach phức của các hàm liên tục, bị chặn trên R, có giá trị trong R n , p n với chuẩn : C 1 (R n ) là không gian Banach phức các hàm liên lục, bị chặn x(t ) có đạo hàm cấp 1 (t) liên tục, bị chặn trên R ( C(Rn) ) với chuẩn C*(R n ) là không gian con của C(Rn) gồm tất cả các hàm liên tục đều. bị chặn trên R, có giá trị trong R n . C(M n ) là không gian Banach các hàm ma trận A(t ) liên tục, bị chặn với chuẩn C*(M n ) là không gian Banach các hàm ma trận A(t ) liên tục đều, bị chặn với chuẩn như trên. MỞ ĐẦU Lý thuyết toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn trên trục số đã được nhiều tác giả quan tâm, bắt đầu từ những công trình cổ điển của Bohl P. , Person O. , Favard J. ... về sau lý thuyết này được các nhà toán học nghiên cứu theo những hướng khác nhau : Về tính chất nghiệm, về dáng điệu nghiệm, về tính giải được của phương trình không thuần nhất ... và cũng được xét trên những không gian hàm khác nhau. Luận văn của chúng tôi nghiên cứu về toán tử vi phân tuyến tính có dạng với A(t) là ma trận hàm liên tục bị chặn trên trục số và phương trình thuần nhất Từ tính chất của toán tử L ta sẽ thu được những tính chất của phương trình không thuần nhất Luận văn gồm ba chương: Chương 1 nghiên cứu cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính L. (Định lý 1.1) Chúng tôi đã thiết lập các mối liên hệ giữa khái niệm khả qui và hầu khả qui của phương trình thuần nhất. Kết quả chính của chương là định lý 1.2, có thể xem như một ứng dụng, xác định một điều kiện cần và đủ dưới dạng phổ để phương trình (2) hầu khả qui về phương trình có hệ số hằng. Chương 2 trình bày về điều kiện tồn tại toán tử ngược của toán tử vi phân tuyến tính. Chúng tôi đã nhắc lại các khái niệm hàm hầu tuần hoàn, hàm truy hồi và các hàm cùng nhau truy hồi và chứng minh ba bổ đề mang tính chất kỹ thuật. Kết quả chính của chương là chỉ ra rằng toán tử L:C 1 (R n ) C(Rn) có toán tử ngược bị chặn trong hai trường hợp sau : (a) Hệ số ma trận hàm A(t) là truy hồi (hay hầu tuần hoàn) và tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất không có nghiệm khác không bị chặn trên R. (Định lý 2.1, 2.2) (b) Toán tử L là giải chuẩn tắc và A là ma trận hàm truy hồi. (Định lý 2.4) Ngoài ra với một vài giả thiết bổ sung, chúng tôi cũng xác định được tính chất nghiệm của phương trình không thuần nhất Lx = f (Định lý 2.3) Chương 3 nói về sự bảo toàn tính Fredholm của toán tử L phụ thuộc tham số bé dựa trên hai khái niệm : ma trận hệ số hội tụ tích phân tại vô cực và định vị tại vô cực. Kết quả chính của chương là chỉ ra với α > 0 đủ bé thì Lα Fredholm trong hai trường hợp sau đây : (a) Ma trận hàm A(t,α) hội tụ tích phân tại vô cực đến A0(t) khi α⟶0. (Định lý 3.1) (b) Ma trận hàm A(t,α) định vị tại vô cực khi α⟶0 và với mỗi dãy { ̃ }, ̃ với αk⟶ 0 tồn tại dãy con , ̃ - hội tụ đến ma trận B không có giá trị riêng thuần ảo. (Định lý 3.2) Trong chương còn có hai hệ quả, có thể xem như phần ứng dụng, khá thú vị suy ra từ các kết quả chính trên. (Hệ quả 3.1,3.2) Phương pháp chứng minh trong hai chương 2 và 3 dựa trên phương pháp của Mukhamadiev[4] mà cơ sở là sử dụng toán tử giới hạn tại vô cực xuất phát từ toán tử L ban đầu CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 1 CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH I Phổ của toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.1. Cho không gian Banach phức E và toán tử tuyến tính liên tục L : E - > E Số phức λ, gọi là giá trị chính qui của toán tử L nếu toán tử L - λ I có toán tử ngược liên tục, xác định trên toàn bộ E. Một số phức không phải là giá trị chính qui của L gọi là giá trị phổ của L. Tập hợp tất cả các giá trị phổ của L gọi là phổ của L, đó là phần bù (L) trong P của các giá trị chính qui của L. Đinh nghĩa 1.2. Các toán tử tuyến tính L1, L2 gọi là đồng dạng nếu tồn tại một toán tử tuyến tính U liên tục và khả nghịch liên tục sao cho Mệnh đề 1.1. Các toán tử đồng dạng có cùng phổ. II Cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính Xét phương trình thuần nhất: L là toán tử vi phân tuyến tính từ C1Rn) vào C ( R n ) định bởi : Bổ đề 1.1, Với số thực α, toán tử Lα định bởi đồng dạng với toán tử L trong C( Pn ). CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 2 CHỨNG MINH Xây dựng toán tử Uα trong C(Pn) như sau : Thì Uα là toán tử tuyến tính, liên tục, khả nghịch liên tục. Với y C(Pn) Vậy L và Lα đồng dạng, do đó chúng có cùng phổ. Bổ đề được chứng minh. □ Đinh lý 1.1. Phổ của toán tử L gồm các đường thẳng song song với trục ảo trong mặt phẳng phức. CHỨNG MINH Giả sử L có giá trị phổ α + iβ trong P. Ta chứng minh rằng α + iβ/ cũng là giá trị phổ của L Theo bể đề 1.1 , α + iβ cũng là giá trị phổ của Lβ nên Lp - (a + ip)l không có toán tử ngược liên tục. Mặt khác do đó Lβ/ - ( α + iβ/ ) I không có toán tử ngược liên tục suy ra α + iβ/ là giá trị phổ của Lβ/ Theo bổ đề 1.1, α + iβ/ cũng là giá trị phổ của L. Vậy phổ của toán tử L gồm các đường thẳng song song với trục ảo trong mặt phẳng phức. CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 3 Định lý được chứng minh. III. Ứng dụng. Phần này trình bày một điều kiện cần và đủ về phổ của toán tử vi phân tuyến tính để phương trình thuần nhất (1) hầu khả qui về phương trình thuần nhất có hệ số hằng. Đinh nghĩa 1,3, Phép biến đổi tuyến tính x(t) = U(t)y(t) gọi là phép biến đổi Liapunov nếu U(t) là hàm ma trận khả nghịch thỏa U C1(Mn) và U-1 C ( M n ) . Đinh nghĩa 1.4. Cho hai phương trình thuần nhất: Phương trình (1) gọi là khả qui về phương trình (2) nếu (1) có thể đưa về (2) bằng một phép biến đổi Liapunov Khi đó x(t) = U(t)y(t). Gọi L và L 1 là các toán tử từ C 1 ( R n ) vào C( R n ) tương ứng với các phương trình (1) và (2), định bởi : Mệnh đề 1.2. Hai toán tử L và L 1 đồng dạng với nhau. Do đó, theo bổ đề 1.1, chúng có cùng phổ. Định nghĩa 1.5, Cho hai phương trình thuần nhất : (1) (2) Phương trình (1) gọi là hầu khả qui về phương trình (2) nếu với mỗi > 0, tồn t ạ i phép biến đổi Liapunov x(t) = U (t)y(t) CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 4 chuyển (1) về phương trình sau (3) trong đó Gọi L, L1, L là các toán tử từ C 1 ( R n ) vào C ( R n ) tương ứng với các phương trình (1), (2), (3) định bởi : D là toán tử từ C 1 ( R n ) vào C( R n ) định bởi : Ta có Với ɛ > 0 cố định thì phương trình (1) khả qui về phương trình (3) Theo định nghĩa 1.4 Theo mệnh đề 2.1, L1 + Dɛ và L có cùng phổ. Bổ để 1.2. Phổ toán tử L là tập con của phổ toán tử L1 . CHỨNG MINH Do mệnh đề 1.2, hai toán tử L và Lɛ đồng dạng, do đó chúng có cùng phổ. Nếu là một lân cận bất kỳ của phổ (L1)(lân cận này gồm các đường thẳng song song với trục ảo). Khi đó với khá bé, ta có (L1 +Dɛ) , cho nên (L) . Từ bao hàm thức cuối suy ra (L) (L1) . Bổ đề được chứng minh. □ CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 5 Đinh lý 1.2. Phương trình (1) hầu khả qui về phương trình (2) với hệ số hằng khi và chỉ khi phổ của toán tử L gồm hữu hạn các đường thẳng song song với trục ảo. CHỨNG MINH Điều kiên cần. Giả sử phương trình (1) hầu khả qui về phương trình (2) với hệ số là ma trận hằng A 1 Gọi λk, k = là các giá trị riêng của ma trận A1. Theo định lý Bohl, phổ của L 1 trùng với tập các đường thẳng Reλk (k = ) Do đó, theo bổ đề 1.2, phổ của toán tử L gồm một số hữu hạn các đường thẳng song song với trục ảo. Điều kiên đủ. Giả sử phổ của L gồm một số hữu hạn các đường thẳng song song với trục ảo α k , k = trong đó α1 α2 αr Ta chứng minh rằng phương trình (1) hầu khả qui về một phương trình có hệ số là ma trận hằng. Chon > 0 sao cho Với mỗi k = Vậy αk+ , αk- k = là các giá trị chính qui của L. Do đó các toán tử trong C(R n ) có toán tử ngược bị chặn. Với mỗi k = CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 6 Theo định lý về lưỡng phân mũ (Demidovich [1] ), không gian nghiệmX của (1) là không gian n chiều được phân tích thành tổngtrực tiếp với Xk , k= là không gian con có số chiều là sao cho vớ i nghiệm x Xk thỏa mãn ước lượng (5) Từ (5) suy ra (Demidovich [1]) tồn tại α0 > 0 sao cho (6) Trong đó x , y , x , y , k1 k2 Giả sử { +1, + 2,. } là cơ sở trong không gian Xk+1 (k = 0,1,r-1, n0 = 0, nr = n ). Khi đó X(t) = [X1(t), X2(t),Xr(t)] = [ x1(t), x2(t),, (t),, xn(t)] là ma trận cơ bản của phương trình (1) Gọ i G[X(t)] và G[Xk + 1(t)], k = 0, 1 , . . . , r-1 là những định thức Grama của hệ các vectơ Khi đó từ (6) suy ra ước lượng (7) Từ (7) suy ra (Krasnocelski [2]) tồn tại phép biến đổ i Liapunov x = Q(t)y chuyển (1) về phương trình ̇ + B(t)y = 0 với B(t) = diag[B1(t) ,B2(t) , . . . ,Br(t)] trong đó Bk(t) là h à m ma trận tam giác cấp nk- n k - 1 , k = Ngoài ra bấ t kỳ nghiệm khác không y k ( t ) của phương trình CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 7 (8) dựa vào (5) thỏa mãn ước lượng (9) Gọi Uk(t,s) là ma trận Cauchy của phương trình (8) (Uk(s,s)= Ik ) yk(t)=Uk(t,s)yk(s) vớit > s Từ (9) suy ra các ước lượng sau đối với ma trận Cauchy Uk(t,s) (Uk (s,s)= I k ) của phương trình (8) (10) Ma trận Uk(t,s) có dạng Uk(t,s) = Vì hệ phương trình (8) có dạng tam giác, nên các phần tử uij (t,s) của Uk(t,s) được xác định bởi công thức với bij(t)là các phần tử của ma trận Bk(t) và bij(t) = 0 khi i > j Do từ bất đẳng thức (10) suy ra ước lượng sau Kết hợp hai bất đẳng thức cuối, ta có với t s CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 8 Từ ( 11) với ɛ’ 0 tùy ý, ta chọn và dựa vào kết quả trên suy ra các phần tử trên đường chéo bjj(t) của ma trận Bk(t) là khả tích gần đến số αk (Zabreiko,Krasnocelski, Strưgin [3]), do đó tất cả các hệ (8) là hầu khả qui đến hệ phương trình với hệ số hằng. Vậy phương trình (1) h ầ u khả qui đến phương trình với hệ số hằng. Định lý được chứng minh. □ CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 9 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ NGƯỢC CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chương này trình bày một điều kiện đủ để phương trình không thuần nhất hay trong C 1( R n ), với A C*(Mn) là hàm hầu tuần hoàn hay truy hồi. có nghiệm duy nhất Nói cách khác là trình bày một điều kiện tồn tại toán tử ngược của toán tử L tương ứng từ C 1 (R n ) vào C( R n) định bởi Trong trường hợp đó (Mukhamadiev [4]) sẽ tồn tại các tập : theo thứ tự là tập hợp các ma trận hàm giới hạn (theo nghĩa hội tụ đều trên từng khoảng hữu hạn của R) của tất cả các dãy ma trận hàm dạng {A(t + hk)}. Đặt H(A) = H+(A) H_(A) thì Cùng với (1) và L, xét các phương trình giới hạn thuần nhất Hay với ̃ là toán tử tương ứng từ C1( Rn) vào C( Rn) định bởi ̃ gọi là toán tử giới hạn tại vô cực xuất phát từ toán tử L Favard [5] đã khảo sát tính chất của nghiệm phương trình không thuần nhất với định lý sau đây: CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 10 Định lý Favard [5]. Giả sử (i) Ma trận hàm A(t) hầu tuần hoàn, (ii) Tất cả các phương trình (2) không có nghiệm khác không bị chặn trên R. (iii) Phương trình không thuần nhất ̇ +A(t)x = f (3) có nghiệm x khác không bị chặn trên R với mỗi hàm f hầu tuần hoàn. Khi đó x sẽ hầu tuần hoàn. Định lý Favard được nhiều tác giả mở rộng theo nhiều hướng khác nhau, song Mukhamadiev.E đã phát hiện giả thiết "tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình (3)" là thừa. Việc tiếp tục mở rộng lý thuyết Favard - Mukhamadiev đã đạt được những kết quả lý thú trong các công trình của Shubin M.A [8], Kurbatov V.G [9], Sljusartruc V.E [10], Trần Hữu Bổng [11] và các tác giả khác. Ở đây ta xét các kết quả của Mukhamadiev đối với toán tử (1). I Hàm liên tục đều bị chặn. Mệnh đề 2.1. Nếu f C*(Rn) thì tồn tại các tập : H+(f) và H_(f) theo thứ tự là tập hợp các hàm giới hạn (theo nghĩa hội tụ đều trên từng khoảng hữu hạn của R) của tất cả các dãy hàm dạng {f(t + hk)} Mệnh đề 2.2. Nếu g H(f) thì H(g) H(f). II Hàm đầu tuần hoàn CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 11 Định nghĩa 2.1. Hàm f C(Rn) gọi là hầu tuần hoàn ( theo nghĩa Bochner ) nếu từ mọi dãy {f(t + hk)}, hk R có thể chọn ra một dãy con hội tụ đều trên R. Nói cách khác, hàm f là hầu tuần hoàn nếu họ các hàm {f(t + h)/t,h R} là tập compac trong C(Rn) theo nghĩa hội tụ đều. Định nghĩa 2.2. Hàm ma trận F(t) = (fij(t))n C ( M n ) gọi là hầu tuần hoàn nếu các phần tử fij, i,j = đều hầu tuần hoàn. Mệnh đề 2.3. Mọi hàm hầu tuần hoàn đều thuộc C*(Rn). III Hàm truy đồi Định nghĩa 2.3. (Millionshikov [7] Hàm f C*(Rn) gọi là truy hồi nếu : • f H(f) • Với mọi ̃ H(f), ta có H(f) = H( ̃) Định nghĩa 2,4. Hàm ma trận A C*(Mn) gọi là truy hồi nếu : • A H(A) • Với mọi à H(A), ta có H( ̃) = H(A) Mệnh đề 2.4. Mọi hàm hầu tuần hoàn đều là hàm truy hồi. Mệnh đề 2.5. Giả sử f C*(Rn) là hàm truy hồi. Khi đó các hàm ̃ H(f)cũng truy hồi. Chú ý rằng tính truy hồi của các hàm vectơ nói chung không suy ra được từ tính truy hồi của các thành phần của nó. Định nghĩa 2.5. Cho một họ hữu hạn các hàm CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 12 Các h à m n à y gọi là cùng nhau truy hồi nếu h à m vectơ truy hồi. IV Các bổ đề Xét toán tử L với A C (Mn) và dãy các toán tử vi phân dạng (4) Bổ đề 2.1. Giả sử các toán tử Lk có các toán tử ngược bị chặn và thỏa điều kiện ⟶ ‖ k(t) – A ‖ = 0 đều trên từng khoảng hữu hạn. Khi đó với mọi f C(Rn), phương trình Lx = f có ít nhất một nghiệm X f C 1 (R n ). CHỨNG MINH Cho f C(Rn). Theo giả thiết, phương trình Có nghiệm Với mọi t R, mọi k N Vậy dãy hàm {xk} bị chặn đều. Vì xk thỏa đẳng thức CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 13 nên xk cũng thỏa đẳng thức Với mọi t, s R, mọi k N Vậy dãy hàm {xk } liên tục đồng đều. Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {xk} là tập compac tương đối theo tôpô hội tụ đều trên từng khoảng hữu hạn, nên dãy đó chứa một dãy con hội tụ đến hàm x0 trên C(R n ). Không giảm tính tổng quát có thể giả sử dãy con đó chính là dãy hàm {xk}. Với t R nên dãy hàm {xk(t)} hội tụ đến hàm x0(t) đều trên R và do đó đều trên từng khoảng hữu hạn. Mặt khác CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 14 suy ra dãy hàm {Ak(t)xk} hội tụ đến hàm A(t)x0 đều trên từng khoảng hữu hạn. Với mỗi t R, tồn tại một khoảng hữu hạn [-a,a] chứa đoạn [0,t], do đó lấy giới hạn hai vế đẳng thức khi k⟶ , ta được Hàm x0 có đạo hàm liên tục trên R do f, A, X đều liên tục và nên ̇ C(R n) do đó x0 C 1 (R n ). Vậy x0 là nghiệm bị chặn trên R của phương trình Lx = f. Bổ đề được chứng minh. □ Bổ đề 2.2. Giả sử : (i) Phương trình thuần nhất (7) và tất cả các phương trình giới hạn đều không có nghiệm khác không bị chặn trên R. (ii) Tồn tại một dãy các ma trận hàm {Ak} trong C(M n ), mỗi Ak tuần hoàn với chu kỳ k thỏa và một dãy số {Tk} thỏa sao cho (9) CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 15 Khi đó tồn tại số k0 > 0 sao cho với mọi k k0, các toán tử có toán tử ngược bị chặn và CHỨNG MINH Ta chứng minh Thật vậy, với mọi t R, mỗi k N nhưng Ak, tuần hoàn với chu kỳ k, nên Từ (9) suy ra do đó Theo Demidovich [ 1 ] và Krasnocelski [2], để toán tử Lk với hệ số tuần hoàn Ak có toán tử ngược thì điều kiện cần và đủ là các phương trình thuần nhất không có nghiệm khác không bị chặn trên R. Ta chứng minh rằng tồn tại số k0 > 0 sao cho với mọi k k0, các phương trình thuần nhất không có nghiệm khác không bị chặn trên R bằng phản chứng. Giả sử với mỗi i, tồn tại ki i sao cho phương trình CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 16 có nghiệm xi khác không bị chặn trên R . Do tính tuyến tính của , nếu x i là nghiệm khác không của phương trình y i = ‖ cũng là nghiệm khác không, hơn nữa | |y i | |C 1 =1. Vậy ta có thể giả sử rằng tồn tạ i dãy hàm {x i} trong C 1 (R n ) và dãy số {k i}, k i i sao cho với mọ i i | |x i | |C 1 =1 (10) Từ (10) và | |y i | |C 1 =1 suy ra tồn tại 0 > 0 sao cho ||xi||C 1 0 0 với mọi i Thật vậy với mọi i Do và xi liên tục nên tồn tại t i G R sao cho Nếu thì tồn tại số nguyên m i thỏa Khi đó, xét dãy hàm {y i} vớ i y i(t) = x i (t + m i ) với mọ i i và Đặ t i = t i - m i thì CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 17 Do ma trận hàm Akj (t) tuần hoàn với chu kỳ . Nên Mặt khác Vì vậy không giảm tính tổng quát có thể coi rằng tồn tại sao cho Bây giờ xét dãy hàm {yi} xác định bởi thì với mọi i đồng thời dãy hàm {yi} bị chặn đều và liên tục đồng đều. Thật vậy, với mọi i N, mọi t R Vậy dãy hàm {yi} bị chặn đều. Vì xi thỏa đẳng thức (10) CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 18 Với mọi i N, mọi t , s R Vậy dãy hàm {yi} liên tục đồng đều. Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {yi} là tập compac tương đối nên chứa một dãy con hội tụ đến hàm y0 trên C(R n ); ta có thể giả sử rằng dãy con đó chính là dãy hàm {yi}. Do đó dãy {yi (t)} hội tụ đến y0(t) đều trên R, nên cũng đều trên từng khoảng hữu hạn. Bây giờ xét dãy { i} ●Nếu dãy { i} bị chặn thì dãy đó chứa một dãy con hội tụ, do đó không giảm tính tổng quát có thể coi như dãy { i} hội tụ đến 0 khi đó dãy {A(t + i) hội tụ đến A(t + 0) với mọ i t R. Với mỗi t R , vì k = k = + mà ki nên = = + do đó với 0, tồn tại số i0 sao cho * + chứa [0,t] và từ (9) suy ra khi i > i0 vì i * + suy ra dãy hàm { } hội tụ đến hàm A( ) đều trên từng khoảng hữu hạn Từ bất đẳng thức CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 19 Suy ra dãy hàm { } hội tụ đến hàm A(t+ 0)y0(t) đều trên từng khoảng hữu hạn Hàm yi thỏa đẳng thức Cho i ⟶ , ta được Hàm y0 có đạo hàm Liên tục và do đó ̇ C ( R n ) v à y0 C1(R n ). Ngoài ra CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 20 A(t+ i) đều trên từng khoảng hữu hạn nên dãy hàm { } hội tụ đến ̃(t) đều trên từng khoảng hữu hạn. Suy ra dãy hàm { } hội tụ đến ̃(t)y0(t) đều trên từng khoảng hữu hạn. Xét đẳng thức Cho i , ta được Chứng minh tương tự như trên, y0 là nghiệm khác không bị chặn trên R của phương trình (8) Mâu thuẫn với giả thiết (i) của bổ đề. Vậy tồn tại số k0 > 0 sao cho với mọi k k0 các toán tử Lk có toán tử ngược . Cố định k, với mọi x C1(Rn) Vậy Lk là toán tử tuyến tính bị chặn nên là toán tử bị chặn Do đó Bổ đề được chứng minh. □ Bổ đề 2.3. Giả sử tồn tại dãy số { } Sao cho Đều trên từng khoảng hữu hạn của (- ] Khi đó tồn tại các ma trận hàm {Ak}, mỗi Ak tuần hoàn với chu kỳ k và dãy số {Tk} thỏa CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 21 Sao cho CHỨNG MINH Vì nên có thể giả sử 0 với mọi k N với mỗi k cố định, chon Tk như sau: ta xác định được một dãy số {Tk} thỏa cũng có thể giả sử rằng Tk [0, k] và + Tk k với mọi k Do điều kiện (12) suy ra (14) Với mỗi k cố định, ta định nghĩa ma trận hàm Ak xác định trên R, tuần hoàn với chu kỳ k như sau : Rõ ràng Ak là hàm liên tục trên R. Ta chứng minh rằng dãy {Ak} thỏa (13). Thật vậy, do tính tuần hoàn của Ak, ta có: CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 22 vì –Tk ≤ t ≤ 0 nên ≤ ωk – Tk ≤ t + ωk ≤ ωk do đó Mặt khác khi k thì t 0, do (12) và tính liên tục của A(t) suy ra Do đó, ta có đẳng thức (13) Bổ đề được chứng minh. CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 23 V Điều kiện tồn tại toán tử ngược. Định lý 2.1. Giả sử : (i) Hệ số ma trận hàm A(t) của toán tử L là hầu tuần hoàn. (ii) Tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất (2) không có nghiệm bị chặn khác không trong C1Rn). Khi đó với mỗi hàm fC(Rn), phương trình (6) có duy nhất nghiệm khác không bị chặn trên R Định lý 2.1 là trường hợp riêng của định lý 2.2, do đó ta không chứng minh. Chú ý rằng trong Krasnocelski [2] đã chứng minh rằng : nếu với mỗi f hầu tuần hoàn, phương trình (6) có ít nhất một nghiệm bị chặn trên R thì tất cả các phương trình thuần nhất (2) không có nghiệm khác không bị chặn trên R. Vậy điều kiện của định lý 2.1 là điều kiện cần và đủ để phương trình (6) giải được đơn trị, tức toán tử L từ C1Rn) vào C(Rn) có toán tử ngược bị chặn nếu và chỉ nếu tất cả các phương trình (2) không có nghiệm khác không bị chặn trên R. Mở rộng định lý 1 là Định lý 2.2. Giả sử : (i) Hệ số ma trận hàm A(t) của toán tử L là truy hồi. (ii) Tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất (2) không có nghiệm khác không bị chặn trên R. Khi đó với mỗi hàm f  C(Rn), phương trình (6) có duy nhất nghiệm khác không bị chặn trên R. Nói cách khác, toán tử L từ C1Rn) vào C(Rn) có toán tử ngược bị chặn. CHỨNG MINH Giả sửAC(Mn)là truy hồi. Khi đó A H(A) = H+(A) H_(A). • Trường hợp AH+(A) Tồn tại dãy { k} thỏa CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 24 sao cho đều trên từng khoảng hữu hạn của R, cũng như của (- ,0]. nên dựa vào bổ đề 2.3, tồn tại dãy các ma trận hàm {Ak}, mỗi Ak tuần hoàn với chu kỳ k và dãy số {Tk}thỏa sao cho Theo giả thiết (ii) và A H+(A) thì phương trình không có nghiệm khác không bị chặn trên R nên theo bổ đề 2.2 tồn tại số k0 0 sao cho với mọi k k0, các toán tử các toán tử bị chặn và Dựa vào bổ đề 2.1 suy ra phương trình không thuần nhất (15) có ít nhất một nghiệm x1 khác không bị chặn trên R. Tính chất duy nhất của nghiệm đó suy ra từ điều kiện A  H+(A). Thật vậy, giả sử x2 là một nghiệm bị chặn khác không của phương trình (15). Khi đó x1 - x2 hiển nhiên là một nghiệm bị chặn của phương trình nhưng theo trên, phương trình này không có nghiệm bị chặn khác không do đó x1-x2=0 hay x1 = x2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khác không bị chặn trên R. Nói cách khác, toán tử L có toán tử ngược L-1 . Vì L là toán tử bị chặn nên L-1 bị chặn. CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 25 ● Trường hợp A  H_(A) Tồn tại dãy {hk} thỏa sao cho đều trên từng khoảng hữu hạn của R. Xét hàm ma trận A'(t) và dãy { k } định bởi A’(t) = A(-t) với mọi t  R k = - hk với mọi k thì A'C*(Mn) và = = + Ta chứng minh A'H+ (A') . Thật vậy A’(t) = A(-t)= = đều trên từng khoảng hữu hạn. Ta chứng minh rằng nếu A gH(A) thì tồn tại A f e H (A f) sao cho ̃(t) = ̃'(-t), t  R và ngược lại. Thật vậy, vì ̃ H(A) nên tồn tại dãy {pk} thỏa Sao cho Đều trên từng khoảng hữu hạn. Xét dãy {qk} định bởi qk = -Pk với mọi k thì với một ̃'H(A’) nào đó. Phần ngược lại được chứng minh tương tự. Do giả thiết (ii), với ̃  H(A’) thì phương trình với ̃  H(A) nào đó không có nghiệm khác không bị chặn trên R. Bây giờ xét phương trình (6) CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 26 Đ ặ t f ' ( t ) = f ( - t ) , t  R thì f ' C ( R n ) Dùng kết quả của trường hợp trên, phương trình ̇(t) + A’(t)x(t)=f’(t) có nghiệm x'0 duy nhất khác không bị chặn trên R. Đặt x0(t) = x'0(-t), ta được Vậy x0 là nghiệm duy nhất khác không bị chặn trên R của (6). Định lý được chứng minh. □ Đinh lý 2.3. (về tính chất nghiệm của phương trình Lx = f) Giả sử: (i) Hệ số ma trận hàm A(t) của toán tử L là truy hồi. (ii) Tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất không có nghiệm khác không bị chặn trên R. (iii) Ma trận hàm A(t), hàm f  C(Rn) cùng nhau truy hồi. Khi đó nghiệm x của phương trình Lx = f cũng truy hồi. Hơn thế nữa, các hàm vectơ x , f và ma trận hàm A(t) cùng nhau truy hồi. CHỨNG MINH Với giả thiết (i), (ii), theo định lý 2.2, phương trình Lx = f có nghiệm duy nhất x trong C1Rn). • Ta chứng minh x H(x). Do giả thiết (iii), vì (A, f)  H(A, f) nên tồn tại dãy {hk} thỏa sao cho (16) CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 27 đều trên từng khoảng hữu hạn. Hàm xk(t) = x(t + h k ) thỏa đẳng thức (17) Với mọi k Dãy hàm {xk} bị chặn đều và liên tục đồng đều trong C 1 R n ). Thật vậy, với mọi k N, mọi tR vậy dãy hàm {xk} bị chặn đều. Đẳng thức (17) tương đương với đẳng thức Với mọi k  N, mọi t, s  R vậy dãy hàm{xk} liên tục đồng đều. Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {xk} là tập compac tương đối nên chứa một dãy con hội tụ về hàm xk trong C(R n ); không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng dãy con đó chính là dãy hàm {xk} . Do đó dãy {xk(t)} hội tụ đến x0(t) đều trên R nên cũng đều trên từng khoảng hữu hạn. Chuyển qua giới hạn hai vế của đẳng thức CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 28 suy ra x0 là nghiệm khác không bị chặn của phương trình (15). Vì nghiệm bị chặn của (15) là duy nhất nên x0(t) = x(t) tức • Giả sử ̃ H(x), ta chứng minh H( ̃) = H(x). Theo mệnh đề 2.2, vì ̃ H(x) nên H( ̃) H(x) . Ta chứng minh x  H( ̃). Vì ̃ H (x ) nên tồn tại dãy {qk} thỏa sao cho đều trên từng khoảng hữu hạn. Vì A và f cùng nhau truy hồi nên từ dãy {qk} có thể chọn ra một dãy con { } sao cho đều trên từng khoảng hữu hạn. Ta có thể giả sử rằng chính dãy {qk} cũng thỏa tính chất trên, tức các giới hạn là đều trên từng khoảng hữu hạn. Hàm x(t) thỏa đẳng thức nên và do (16), ta được CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 29 Cho k , ta được hàm ̃(t) là nghiệm của phương trình với một cặp ( ̃, ̃) H(A,f). Vì A và f cùng nhau truy hồi, nên do đó tồn tại dãy { k} thỏa sao cho đều trên từng khoảng hữu hạn. Hàm ̃(t + k) thỏa mãn phương trình nên chứng minh tương tự như trên, hàm giới hạn x0 của dãy hàm { ̃ (t - k )} là nghiệm của phương trình (15) Do tính chất duy nhất của nghiệm bị chặn, ta có nên x  H( ̃), suy ra H(x) H( ̃) Vậy ta đã chứng minh nghiệm của phương trình (15) truy hồi. • Ta chứng minh x, f, A cùng nhau truy hồi. Trước hết chứng minh (x, f, A)  H(x, f, A). Theo chứng minh trên, tồn tại dãy{hk} thỏa sao cho ta đã suy ra Vậy (x, f, A)  H(x, f, A). Bây giờ, với mọi ( ̃, ̃, ̃)  (x,f,A), ta chứng minh H( ̃, ̃, ̃)) = H(x,f,A) CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 30 * Theo mệnh đề 2.5, vì A truy hồi nên mọi ̃ H ( A ) cũng truy hồi. Vì A, f cùng nhau truy hồi nên mọi ( ̃ , ̃ ) H(A,f) cũng cùng nhau truy hồi. Ngoài ra do giả thiết (iii), với ̃̃ H ( ̃ ) = H(A), tất cả các phương trình giới hạn không có nghiệm khác không bị chặn trên R. Theo phần đầu của định lý, phương trình có nghiệm duy nhất ̃ khác không bị chặn, ̃ truy hồi và ỹH ( x ) . Ta chứng minh ỹ H(x). Vì A và f cùng nhau truy hồi, nên H( ̃ ̃ ) = H(A,f) do đó tồn tại dãy {qk} thỏa sao cho đều trên từng khoảng hữu hạn. Hàm x là nghiệm của phương trình (15) suy ra x(t + q^) thỏa đẳng thức nên chứng minh tương tự như trên, hàm giới hạn x0 của dãy hàm { x(t+qk )là nghiệm của phương trình Do tính chất duy nhất nghiệm của phương trình này, ta được Vậy ỹ H(x). Ta chứng minh (x,f,A) H( ̃, ̃, ̃). Vì ( ̃, ̃, ̃) H(x,f,A) nên ̃ H(x). Tương tự như trên, tồn tại một cặp ( ̃ ̃ , ) H(A,f) sao cho ̃ thỏa đẳng thức Do ̃ ̃ , cùng nhau truy hồi nên do đó tồn tại các dãy {pk},{qk} thỏa CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 31 sao cho đều trên từng khoảng hữu hạn. Có thể giả sử rằng Dãy hàm {x^ + Pk)} thỏa Tương tự như trên, hàm giới hạn x0 của dãy hàm {x(t + Pk)} thỏa Phương trình này có nghiệm duy nhất là x nên đều trên từng khoảng hữu hạn. Suy ra đều trên từng khoảng hữu hạn. Chú ý rằng nên với các trường hợp còn lại của giới hạn hai dãy {pk},{qk},chứng minh được thực hiện tương tự. suy ra (x,f,A)  H( ̃, ̃, ̃), do đó H(x,f,A) H( ̃, ̃, ̃) Vậy H(x,f,A) = H( ̃, ̃, ̃) Kết luận x, f, A cùng nhau truy hồi. Định lý được chứng minh. □ Định lý2.4. Giả sử : (i) Toán tử L lừ C1( Rn) vào C(Rn) là giải chuẩn tắc. (ii) A là ma trận hàm truy hồi. Khi đó L có toán tử ngược bị chặn L-1 từ C(Rn ) đến C1Rn). CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 32 CHỨNG MINH Toán tử L là giải chuẩn tắc nếu L(C 1 (R n )) = (Krein[6]) Theo Mukhamadiev [4], L là giải chuẩn tắc khi và chỉ khi tất cả các phương trình (2) không có nghiệm khác không bị chặn trên R. Áp dụng định lý 2.2, toán tử L có toán tử ngược bị chặn L-1 từ C(Rn)đếnC1(Rn). Định lý được chứng minh. CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 33 CHƯƠNG 3 VỀ SỰ BẢO TOÀN TÍNH FREDHOLM CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH I Định nghĩa và kết quả. Đinh nghĩa 3.1. (Krein [6]) Toán tử L từ C1( R n ) vào C( R n ) gọi là Predholm nếu : • miền giá trị của L là đóng ie LC1Rn) = • dim KerL < • dim CokerL < và với mỗi a cố định thuộc (0,aj), ma trận hàm A(t, a)= Aa(t) liên tục đều theo t Mệnh đề 3.1. (Mukhamadiev [4]) Toán tử L từ C1Rn) vào C ( R n ) có dạng là Fredholm khi và chỉ khi tất cả các phương trình giới hạn không có nghiệm khác không bị chặn liên R Xét họ các toán tử L từ C1(Rn) vào C(Rn) định bởi (1) trong đó ma trận hàm A(t, a) thỏa mãn điều kiện và với mỗi α cố định thuộc (0, α1), ma trận hàm A(t, α)= A α (t) liên tục đều theo t trên R. Do đó A(. , α)  C*(Mn). Xét toán tử L0 từ C 1 (R n ) vào C( R n ) định bởi (2) với A0(t)= A(t,0)  C*(M n ). Giả sử L0 Predholm. Vấn đề đặt ra là với điều kiện nào thì toán tử Lα cũng Fredholm với α khá bé. CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 34 Ở đây, ta xét hai lớp hàm số của A(t,α). Do giả thiết đối với A α ( t ) = A ( t , α ) thì tồn t ạ i t ậ p H ( A α ) . II Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa hội tụ tích phân tại vô cực. Định nghĩa 3.2 . Ma trận hàm A(t,α) gọi là hội tụ t ích phân tạ i vô cực đến hàm A0(t) khi α⟶ 0 nếu với mọi > 0, tồn tại = ( ) > 0 sao cho với mọi α (0, ), bất đẳng thức sau được thỏa Định lý 3.1. Giả sử A(t, α) hội tụ tích phân tại vô cực đến A0(t) khi α ⟶ 0. Khi đó tồn tại α0 (0, α1) sao cho với mọi α (0, α0) toán tử Lα Fredholm. CHỨNG MINH Vì LoFredholm nên tất cả các phương trình thuần nhất (3) không có nghiệm khác không bị chặn trên R Để chứng minh định lý, ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại α 0(0,α1) sao cho với mọi α (0,α0), tất cả các phương trình thuần nhất (4) không có nghiệm khác không trong C1(Rn)bằng phản chứng. Tồn tại số k0 > 0 thỏa 0 < α1. Giả sử với mỗi k k0, tồn tại αk ( ) và ̃ (., αk )  H ( ) sao cho phương trình có nghiệm xk khác không bị chặn trên R. Nếu xk là nghiệm khác không của phương trình trên thì cũng là nghiệm khác không || yk ||C 1 = 1 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 35 Vậy ta có thể giả sử rằng tồn tại các dãy số {αk}, dãy hàm {xk} trong C 1 (R n ), dãy ma trận hàm {Ã(.,αk)/Ã(.,αk)H(Aαk)} thỏa (5) Đối với mỗi Ã(.,(αk) H(Aαk ) , tồn tại dãy {hkj} thỏa Sao cho (6) đều trên từng khoảng hữu hạn. Với mọi k N, mọi t R Cho j⟶ , ta được Vậy dãy hàm {Ã(., αk)} bị chặn đều. Từ (5) và tương tự như chứng minh của bổ đề 2.2, chương 2, suy ra tồn tại > 0 sao cho Vì xk liên tục và nên tồn tại t0 R sao cho nếu t 0 ta xét hàm khi đó CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 36 và mặt khác nên yk là nghiệm của phương trình (5). Vậy không giảm tính tổng quát, có thể giả sử rằng Vì A(t,α) hội tụ tích phân tại vô cực đến A0(t) khi α⟶0 nên với ⟶0, tồn tại = ( ) > 0 sao cho với mọi α (0, ) ta có Vì nên với > 0, tồn tại k0 > 0 sao cho αk khi k > k0, ta có thể giả sử rằng 0 < αk < với mọi k. Suy ra tồn tại dãy { } thỏa sao cho với mọi k (7) Do | | nên với mỗi k , chọn j(k) sao cho do (6), tồn tại k0 > 0 sao cho khi k > k0, ta có CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 37 (8) từ (7), với ta có Nên với mọi k (9) Không giảm tính tổng quát, có thể coi rằng tồn tại ̃  E H (A0) thỏa (10) Khi k > k0. Kết hợp ba bất đẳng thức (8), (9), (10) ta có CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 38 Như vậy với < -1 suy ra đều trên từng khoảng hữu hạn. Do đó, với mỗi t cố định, chia đoạn [0,t] thành một số hữu hạn các đoạn nhỏ có chiều dài không quá 1 và áp dụng kết quả trên, ta có (11) Ta chứng minh dãy {xk} hội tụ trong C(R n ). Với mọi k  N, mọi t  R Vậy dãy hàm {xk} bị chặn đều. Vì xk thỏa đẳng thức (5) nên xk cũng thỏa đẳng thức Do đó với mọi kN, mọi t,s  R CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 39 vậy dãy hàm {xk} liên lục đồng đều. Theo định lý Ascoli - Azela, dãy hàm {xk} là tập compac tương đối nên chứa một dãy con hội tụ đến hàm x0 trong C(R n ). Không giảm tính tổng quát, ta có thể coi rằng dãy con đó chính là dãy hàm {xk}. Với t  R, vì nên dãy {xk(t)} hội tụ đến x0(t) đều trên R, do đó đều trên từng khoảng hữu hạn. Vì Nên dãy ,∫ ̃ - hội tụ về ∫ đều trên từng khoảng hữu hạn. Cũng từ (5) ta có (12) lấy giới hạn hai vế của (12) khi k ⟶ ta được Tương tự như chứng minh của bổ đề 2.2, chương 2, x0 là nghiệm khác không bị chặn trong C 1 R n ) của phương trình Mâu thuẫn với giả thiết L0 Fredholm. Định lý được chứng minh. □ CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 40 ỨNG DỤNG. Xét toán tử Lα từ C 1 R n ) vào C(R n) định bởi (13) với α > 0 và A  C*(Mn). Định nghĩa 3.3. Ma trận A  C*(Mn) gọi là trung bình hóa tại vô cực nếu tồn tại hai ma trận A+ và A_ sao cho (14) Nhờ khái niệm này và dựa vào định lý 1, ta có thể suy ra được một tiên chuẩn hết sức hiệu nghiệm cho tính Fredholm của các toán tử (13) với α khá bé. Hệ quả 3.1. Giả sử (i) Ma trận A(t) trung bình hóa tại vô cực; (ii) Phần thực của các giá trị riêng của ma trận A+ và A_ khác không. Khi đó với α > 0 khá bé, toán tử (13) Fredholm. CHỨNG MINH Cùng với toán tử (13), xét toán tử Đặt Khi đó Uα là toán tử tuyến tính liên tục và khả nghịch liên tục. Ngoài ra nên CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 41 Cho nên toán tử (13) Ficdholm nếu và chỉ nếu toán tử (15) Fredholm (Krein [6]) Xác định ma trận hàm (16) Ta chứng minh A α , A 0 C * (M n ), thật vậy Ma trận hàm A(t,α)  C*(Mn) vì A(t)  C*(Mn). Ngoài ra Nếu t, s 1 hoặc t, s 0 thì A0(t) liên tục đều. Nếu 0 t, s 1 thì và s 1 thì A0(s) = A0(l) nên A0(t)e C*(M n ) Ta chứng minh rằng ma trận hàm Aa(t) hội tụ tích phân tại vô cực đến ma trận hàm A0(t) khi a ⟶ 0 nghĩa là với mọi > 0, tồn tại 0 = 0 ( ) > 0 sao cho với mọi α  (0, 0) ta có CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 42 Xét trường hợp h → + suy ra (17) Tồn tại h0 > 0 sao cho + h với mọi  [ 0,1] khi h > h0. Khi đó (18) Do α 0 và 1 nên α = Từ giả thiết (14) suy ra tồn tại T0> 0 sao cho CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 43 [ 0,1], nên có thể giả sử khi h > h0 do đó suy ra (19) Từ (17), (19) với α  (0, 0), t a c ó Trường hợp h⟶ , chứng minh tương tự. Vậy ma trận hàm Aα(t) hội tụ tích phân tại vô cực đến hàm A0(t) khi α⟶ 0 . Ta chứng minh toán tử K0 định bởi CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 44 Fredholm nghĩa là chứng minh các phương trình thuần nhất không có nghiệm khác không bị chặn trên R, bằng phản chứng. Giả sử tồn tại ̃ H(A0) và x0 khác không bị chặn trên R thỏa Vì ̃ H(A0) nên tồn tại dãy {hk} thỏa sao cho đều trên từng khoảng hữu hạn. Cố định t R và xét trường hợp = + Tồn tại k0 > 0 sao cho t + hk 1 khi k > k0. Khi đó và xo là nghiệm khác không bị chặn của phương trình Vì phần thực của các giá trị riêng của A+ khác không nên mọi nghiệm khác không của phương trình trên không bị chặn. Mâu thuẫn. Chứng minh tương tự cho trường hợp = - Vậy toán tử K0 Fredholm. Hệ quả được chứng minh. □ III Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa đinh vị tại vô cực Định nghĩa 3,4, Ma trận hàm A(t,α) gọi là định v ị tạ i vô cực khi 0 nếu với mọi > 0, tồn tại = ( ) > 0 sao cho với mọi  (0, ) bất đẳng thức sau được thỏa mãn (20) Định lý 3.2 . Giả sử CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 45 (i) Ma trận h à m A(t,α) định vị t ạ i vỗ cực k h i α⟶0 (ii) Đối với mỗi dãy { ̃ } ( ̃ ( ̃ )) t h ỏ a = 0 tồn tại dãy con { ̃ } hội tụ đến ma trận B và các giá trị riêng của ma trận B không nằm trên trục ảo. Khi đó tồn tại α0 (0,α1) sao cho với mọi α (0,(α0), toán tử Lα Fredholm. CHỨNG MINH Ta chứng minh rằng tồn tại α0 (0,α1) sao cho với mọi α (0,(α0), tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất dạng không có nghiệm khác không bị chặn trên R bằng phản chứng. Tương tự như chứng minh của định lý 3.1, ta được các kết quả: •Tồn tại dãy số {αk}, dãy ma trận hàm { ̃ }, ̃ H( ) và dãy hàm {xk} trong C 1 R n ) thỏa (21) • Với mọi H( ) • Tồn tại số 0 > 0 sao cho • Không giảm tính tổng quát, có thể coi rằng • Dãy hàm {xk}hội tụ đến hàm x0 trong C( R n ), nên dãy {xk(t)} hội tụ đến x0(t) đều trên R, do đó đều trên từng khoảng hữu hạn. Theo giả thiết (ii) vì CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 46 nên ta có thể coi rằng dãy { ̃ } hội tụ đến B (22) Ta chứng minh dãy { ̃ (t)} hội tụ đến B đều trên từng khoảng hữu hạn. Thật vậy, vì Aα định vị tại vô cực khi α⟶0 nên với ɛ > 0, tồn tại = (ɛ) > 0 sao cho với mọi α (0, ) Ta có thể giả sử rằng 0 < αk < với mọi k Khi đó tồn tại dãy { } thỏa sao cho (23) Mặt khác, đối với H( ̃ ), tồn tại dãy { } thỏa sao cho đều trên lừng khoảng hữu hạn. Đối với mỗi k, chọn j(k) sao cho (24) Từ (23), với ta có nên Từ bất đẳng thức này và (24), suy ra CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 47 Như vậy với – 1 do đó đều trên từng khoảng hữu hạn. Dựa vào đó và từ (22), xét một khoảng hữu hạn [-a,a] và t [-a,a], chia đoạn [0,t] thành một số hữu hạn các đoạn nhỏ có chiều dài không quá 1, ta suy ra dãy { ̃(t, )} hội tụ đến B đều trên từng khoảng hữu hạn. Do đó dãy { ̃(t, )xk(t)} hội tụ về Bx0(t) đều trên từng khoảng hữu hạn. Vì xk thỏa đẳng thức (21) nên cũng thỏa đẳng thức CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 48 khi k → ∞ ta được hay x0 thỏa phương trình Tương tự như chứng minh của định lý 3.1 , x0 là nghiệm khác không b ị chặn trên R của phương trình trên Vì các giá tr ị riêng của B không nằm trên trục ảo nghĩa là phần thực của chúng khác không nên mọ i nghiệm khác không của phương trình trên không b ị chặn. Mâu thuẫn này chứng minh định lý 2. ỨNG DỤNG Xét toán tử nhiễu loạn kỳ d ị Kα từ C l (R n ) vào C(R n ) định bởi (25) trong đó A  C*(Mn). Giả sử λ1(t) , λ2(t) , λn(t) là các giá tr ị riêng của A(t). Ký hiệu + ( _) là tập các điểm giới hạn của các hàm λ1(t), λ2(t) , λn(t) khi t t Từ định lý 2 suy ra hệ quả sau : Hệ quả 3.2. Giả sử tập + - không cắt trục ảo. Khi đó với α > 0 khá bé, toán tử Kα Fredholm. CHỨNG MINH Cùng với toán tử Kα , xét toán tử Mα định bở i (26) Đặ t thì Uα là toán tử tuyến tính liên tục và khả nghịch liên tục. Ngoài ra CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 49 Cho nên toán tử Kα Fredholm nếu và chỉ nếu toán tử Mα Fredholm (Krein [6]) Đặt Rõ ràng là A α , A 0  C*(M n ). Ta chứng minh Mα thỏa giả thiết (i) của định lý 3.2. Thật vậy, vì A C*(Mn) nên với ɛ > 0, tồn tại ) sao cho khi | t - s | < . Với α  (0, ) và  [0,1] thì nên với mọi h  R Vậy ma trận hàm A(αt) định vị tại vô cực khi α⟶ 0. Ta chứng minh Mα thỏa giả thiết (ii) của định lý 3.2. Thật vậy, xét dãy { ̃ } ̃ H( ) thỏa Với ɛ > 0 tồn tại k0 sao cho khi k k0, ta có Với mỗi k, tồn tại dãy { } thỏa sao cho CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH 50 Với k = 1, tồn tại jo(l) > 0 sao cho với mọi j > jo(l), ta có chọn j(l) = j0(l). Giả sử đã chọn được j(k - 1) với k > 1. Tồn tại j0(k) > 0 sao cho với mọi j j0(k), ta có Chọn j(k) = max { j(k -1), j0(k), k} Ta được dãy {j(k)} thỏa Khi đó với k k0, ta có Nghĩa là Cho k⟶ ta được Vậy các giá trị riêng của ma trận B không nằm trên trục ảo. Hệ quả được chứng minh. □ CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] DEMIDOVICH B.P , Bài giảng về l ý thuyết toán ổn định, N X R Khoa học M. 1967, 472 trang. [2] KRASNOCELSKI M.A. VÀ NHỮNG NGƯỜI KHÁC, Dao động hầu tuần hoàn phi tuyến, NXB Khoa học M. 1970 [3] ZABREIKO P.P , KRASNOCELSKI M.A., STRƯGIN V.V. , về nguyên lý bài biến của phép quay, Thông báo của các trường Đại học Toán (Liên Xô) N° 5, 1972. [4] MUKHAMADIEV E. , về lính khả ngược của toán tử vi phân trong không gian các hàm bị chặn và liên tục trên trục số, Báo cáo của Viện Hàn lâm (Liên Xô) ( 196, N° 1, 1971, 47 - 49 ). [5] FAVARD J. , Sur les équations différentielles a coefficients presque- périodique, Acta Math 1927 , V. 51 , p 31 - 81. [6] KREIN S. G., Phương trình tuyến tính trong không gian Banach, NXB Khoa học, M. 1971 , 104 trang. [7] MILLIONSHIKOV V.M. , về nghiệm hầu tuần hoàn và truy hồi củahệ không ôtônôm, tập "Phương trình vi phân", 1968 , T. 4 , N° 9 , 1555 -1559. [8] SHUBIN M. A. , Lý thuyết Favard - Mukhamadiev và toán tử giả vi phân, Báo cáo Viện Hàn lâm Khoa học (Liên Xô), 1975 , T. 225 , N° 6 , 4 6 - 4 8 . [9] KURBATOV V. G. , về sự khả ngược của toán tử hầu tuần hoàn,"Tuyên tập toán học" (Liên Xô) 1989 , T. 180 , N° 7 , 913 - 923. [10] SLUSARTRUC V. E. , Sự khả nghịch của toán tử hàm C-liên tục hầu tuần hoàn, "Tuyển tập toán học" (Liên Xô), 1981 , T. 116 , N° 4 , 4 8 3 - 5 0 1 . [11] TRẦN HỮU BỔNG, về một số điều kiện khả ngược của toán tử vi phân hàm C- liên tục, "Báo cáo Viện Hàn lâm Khoa học" (Nga) 1993 , T. 329 , N° 3 , 278 - 280.